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7/30/2019 AIRTMETICA

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COLEGIO PERUANO CHINO JUAN XXIII

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1Tema 21

NMEROS RACIONALES:LAS FRACCIONES

MATEMATICA I 1ro Secundaria

Los conjuntos numricos que conocemos y utilizamos actualmente no aparecieron simultneamente. Al inicio, slo existan

los nmeros naturales.

N = {1; 2; 3; .....}

Sin embargo la ecuacin a + x = b, no siempre tena solucin en los naturales. Por ejemplo, 5 + x = 3. No existe un nmero naturalque pueda satisfacer dicha ecuacin. Debido a esto aparecen los nmeros enteros.

Z = {.............; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...................}

Donde la ecuacin anterior ya posee solucin. Pero, el conjunto de los enteros tambin fue insuficiente en algn momento, porquela ecuacin: a . x = b, no tiene solucin. Por ejemplo 4x = 9. Ningn nmero entero satisface esta ecuacin. Esto motiv la aparicin de losnmeros racionales.

Q =

func{left a over b ` ` / ` ` a ` ` ` ` Z ` ` ` ` b ` ` ` ` Z sup * ` right}

NOTA: Z* = Z - {0}Con lo cual la ecuacin: 4x = 9 ya tiene solucin, aunque est no es nica.

left ................; ` ` {-27} over {-12}; ` ` {-18} over {-8}; ` ` {-9} over {-4}; ` `9 over 4; ` ` 18 over 8; ` ` 27 over 12; ` `.................. right

Este conjunto se denomina clase de equivalencia y se llama as porque es un subconjunto del conjunto de los nmeros racionales.

El cual cumple con ser una relacin de equivalencia, porque es reflexiva, simtrica y transitiva.Se llama representante cannico de un racional (clase de equivalencia) a aquel numerador y denominador son primos entre s,

adems su denominador es positivo.

En el ejemplo anterior.

FRACCIN RACIONAL:Su funcin parte del conjunto de los nmeros racionales, salvo algunas restricciones:

Forma General:

Todo esto significa lo siguientes nmeros racionales:{-12} over 3; ` ` ` 7 over {-2}; ` ` ` 0 over 11; ` ` ` 7over 3; ` ` ` {-40} over 8; ` ` ` 2 over {-6}; ` ` ` 4 over5

Slo son fracciones:func{7 over 3; ` ` ` ` ` `y ` ` ` ` ` ` 4 over 5}

SIGNIFICADO Y REPRESENTACIN DE UNA FRACCIN:1) La unidad fraccionaria: Es cada una de las partes en que se ha divido la unidad principal.


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C.P.F. SAN ROMAN

Otros Ejemplos:

1 hora =1 over 24 del da

1 da =1 over 7 de la semana.

2) La fraccin como parte de un todoEs el nmero de partes se toma, del nmero de partes en quese divide cada cantidad principal.

5 over 6 es(menor que 1)

7 over 6 ` ` ` = ` ` ` 1 1 over 6(Nmero Mixto)7 over 6 esimpropia

1)

Ejemplos:En un saln de clases hay 18 hombres y 12 mujeres.

A. Qu fraccin del totalrepresentan las mujeres.

B. Qu fraccin de loshombres representan lasmujeres?

La fraccin como operador:La fraccin

COLEGIO PARROQUIAL FRANCISCANO SAN ROMAN

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func a over b se interpreta como un operador que acta sobre el nmero multiplicndolo primero por a y luego dividiendo el producto entreb.Ejemplo:

A. Jos compro un millarde hojas y gast los

3 over 5 del total de hojas.Cuntas hojas le quedan?

B. Anita cobr $120 de susueldo y gast

3 over 8. Cunto le queda?

AMPLIFICACIN, SIMPLIFICACIN, MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE FRACCIONES:I. Nmero Mxto

Tiene parte entera y parte fraccionaria.

Ejemplos:3 1 over 5; ` ` ` 6 2 over 7

Observacin

2) Para convertir un nmero mixto a fraccin se multiplica

la parte entera por el denominador, al producto se agregael numerador y a esta suma se le pone por numerador, eldenominador es el mismo de la parte fraccionaria.func{3 1 over 7 ` ` ` = ` ` ` {3 ` ` x ` 7+1} over 7 ` ` ` = ` `

` 22 over 7}func{6 1 over 3 ` ` ` = ` ` ` {6 ` ` x ` 3+1} over 3 ` ` ` = ` ` ` 19

over 3}II. Fracciones Equivalentes

= = Es decir:func{a over b = c over d}(sonequivalentes) siSe cumple: a x d = b x c

16 over24

= 8 over 12 =2 over

3

Dos fracciones se llaman equivalentes si representan la misma cantidad.

En el ejemplo:8 over 12 ` ` ` = ` ` ` 2 over 3 ya que 8 . 3 = 12 . 2

III. Amplificacin y Simplificacin de Fracciones:Las fracciones tienen estas dos propiedades:A) Si en una fraccin se multiplica al numerador y al

denominador por un mismo nmero, la fraccin obtenidaes equivalente a la primera.

func{5 over 6 = {5 ` x ` 4} over {6 ` x ` 4} = 20 over 24; `` ` ` ` ` ` ` 7 over 11 = {7 ` x ` 2} over {11 ` x ` 2} = 14over 22}

B) Si en una fraccin se divide al numerador y aldenominador por un mismo nmero, la fraccin obtenidaes equivalente a la primera.

18 over 24 = {18 6} over {24 6} = 3 over 4; ` ` ` ` `

` ` ` 16 over 28 = {164} over {284} = 4 over 7

IV. Fraccin irreductible o irreducible:


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C.P.F. SAN ROMAN

Es aquella que ya no puede simplificarse ms.

12 over 18 ` ` ` = ` ` ` {12 2} over {18 2} ` ` ` = ` ` ` 6

over 9 ` ` ` ` ` ` {63} over {93} ` ` ` = ` ` ` 2 over 3

Nota: Cuando resuelvas ejercicio y te pidan simplificar, seentiende hallar la fraccin irreductible.

V. Producto de Fracciones El producto de dos o ms fracciones es otra fraccin que tienepor numerador el producto de los numeradores y pordenominador, el producto de los denominadores.

func {a over b x c over d x e over f ` ` ` ` = ` ` ` ` {a ` x ` c ` x` e} over {b ` x ` d ` x ` f}}

A)func{2 over 3 x 5 over 9 = {2 x 5} over {3 x 9} = 10 over 27}

B)func{1 2 over 3 x ` ` ` 2 3 over 4 ` ` = ` 5 over 3 x 11 over 4 ` ` = ` ` {5 ` x 11} over {3 ` x ` 4} ` ` = ` ` 55 over 12}

VI. Divisin de FraccionesCuando nos piden:

A)2 over 3 entre 5; es lo mismo que, un quinto de2 over 3

2 over 3 5 =

func{2 over 3 ` ` ` x ` ` ` 1 over 5}

B)2 over 3 entre 2; es lo mismo que, la mitad de2 over 3

2 over 3 5 =func{2 over 3 ` ` ` x ` ` ` 1 over 5}


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Luego:

func{a over b ` ` ` ` ` ` c over 1 ` ` ` = ` ` ` a over b` ` ` x ` ` ` 1 over c}

En general:

FUNC{a over b ` ` ` ` c over d ` ` = ` ` a over b ` ` x ` `

d over c ` ` = ` ` {a ` ` x ` ` d} over {b ` ` x ` ` c}}

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Tengo S/.36 y gasto S/.24. Qu parte de lo que gasto, no gasto?

A)

3 over 4 B)

5 over 12 C)

1 over 2 D)5 over 6 E)

5 over 9

02. Tena S/.96 con los 5/12 de esta cantidad compr libros y con los 3/8 de lo que me qued compr un traje. Cunto me

queda?

A) S/.28 B) S/.35 C) S/.30

D) S/.40 E) S/.32

03. En una reunin haban 120 personas, se fueron los 3/5 y luego los 5/8 de los que quedaban. Cuntos quedan

finalmente en la reunin?

A) 27 B) 18 C) 16 D) 24 E) 12

04. Rosa fue de compras llevando S/.360. Compr una blusa en Miraflorina pagando con 3/8 de su dinero; luego en

DFashion compra un par de sandalias pagando con 3/5 del resto. Luego gast el resto en Mediterrneo Chicken en

San Isidro comiendo unas ricas costillas a la barbacoa. Cunto gast en este ltimo lugar?

A) S/.90 B) S/.45 C) S/.135

D) S/.81 E) S/.72

05. Ayer perd los 3/7 de mi dinero y hoy los 3/8 de lo que me quedaba. Si todava tengo $10, Cunto tena al principio?

A) $32 B) $36 C) $24

D) $26 E) $28

06. Un cartero dej en una oficina 1/6 de las cartas que llevaba, en un banco 2/9 del resto y todava tiene 70 cartas para

repartir. Cuntas cartas le dieron para repartir?

A) 108 B) 110 C) 124 D) 144 E) 96

07. Se vende los 2/9 de y una finca y se alquila 1/3 del resto. Si quedan 28 hectreas. Cul era la extensin de la finca?

A) 54 Ha B) 56 Ha C) 60 HaD) 48 Ha E) 52 Ha


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08. La semana pasada le los 5/7 de un libro y esta semana ya ha ledo los 2/5 de lo que faltaba. Si an falta 60 pginas,

Cuntas pginas tiene el libro?

A) 360 B) 342

C) 350

D) 412 E) 602

09. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero volvi al juego y perdi la mitad de lo que le quedaba, repiti lo

mismo por tercera y cuarta vez hasta que no le

quedaba ms que S/.6. Cunto dinero tena al

comenzar el juego?

A) S/.92 B) S/.108

C) S/.48

D) S/.96 E) S/.120

10. Anita tiene cierta suma de dinero; que los gasta de la siguiente manera: En 5 chocolates 5/8 de lo que tiene; en 3

refrescos 1/3 de lo que queda y en 4 galletas 4/9 delresto. Si an le quedan 10 soles. Entonces no son

falsas:

I. Por un chocolate, un refresco y una

galleta pag 14 soles.

II. Gast en total 62 soles.

III. No es cierto que despus de comprar

refrescos le quedan 18 soles.

A) Slo I B) Slo III

C) Iy II

D) II y III E) N.A.

11. De una piscina se sacan 40L, si haban los 2/3 y quedan 3/5. Cuntos litros se necesita para terminar de llenarla?

A) 360 B) 240

C) 600

D) 320 E) 180

12. Si quedan las 3/4 partes de lo transcurrido en un da. Qu parte del da ya pas?

A) 6 horas B) 8 horas

C)

9,3 horas

D) 13,7 horas E) 15 horas

13. De un tonel de vino se extrae primero 3/4 del total, luego la tercer parte del resto, y finalmente los 60L restantes.

Determine Ud. cuntos litros contena dicho tonel.

A) 300 L B) 320 L

C) 380 LD) 360 L E) 400 L

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14. Escribir en el casillero correspondiente la fraccin simplificada respectiva:

func{a over b} 60

over

128

1240

over

2340

9450

over

9990

420

over

360

Fraccin Irreductible

15. Calcula cada uno de los siguientes productos. Da tus resultados en forma simplificada.

A) -

func{3 over 16 ` ` x ` ` 2 over 15 ` x ` ` left ( - 2 over 3 right)}

B)

14 over 18 ` ` ` func x ` ` ` 6 over 7 ` ` ` func x ` ` ` 9 over 50 ` ` ` func x ` ` ` 25 over 4

C)

2 1 over 3 ` ` ` func x ` ` ` 1 5 over 9 ` ` ` func x ` ` ` 13 over 7 ` ` ` func x ` ` ` 1 2 over 7

16. Determina las divisiones. Expresa todos los resultados en forma simplificada:

A) -

5 over 16 ` ` ` ` 11 over 8 B) - 2

2 over 5 ` ` ` ` ` ` 3 1 over 4

C) 6 3

1 over 2 D) - 8

16 over 21

E) 2

2 over 9

10 over 7 F) - 4

2 over 5

left (-2 1 over 16 right)


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C.P.F. SAN ROMAN

17. Un sastre usa en promedio 13

1 over 3 metros de tela en un da. Cuntos metros de tela usar en 4

1 over 2 da?

A)

31 over 2 B) 30 C) 60

D)

64 over 3 E) 18

2 over 6

18. Un estudiante vende en S/.126 un libro que le haba costado S/.104. Qu parte es la ganancia del precio de venta?

A)

11 over 65 B)

21 over 67 C)

7 over 63

D)

11 over 63 E)

22 over 37

19. De una ciudad a otra hay 210 Km., un da ando los

3 over 7 de esa distancia, otro da los

2 over 21 y un tercer da los

7 over 30. A qu distancia estoy entonces del punto de llegada?

A) 48Km B) 60Km

C) 63Km

D) 51Km E) 58Km

20. Csar gasta S/.17

1 over 4 diariamente. Cunto gastar en 8

1 over 2 da?

A) 148

3 over 8 B) 154

7 over 8 C) 146

5 over 8

D) 151

3 over 8 E) 152

3 over 5

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Observar la figura:


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Qu fraccin del total representa la parte sombreada?

A)

6 over 17 B)

1 over 8 C)

5 over 8

D)

3 over 8 E)

5 over 12

22. En un colegio mixto hay 520 alumnos, los varones son 5/13 del total. Cuntas mujeres hay en dicho

colegio?

A) 320 B) 200 C) 120

D) 300 E) 180

23. Gustavo utiliza 1/3 del da para dormir, 3/8 para el colegio y hacer sus tareas. Cuntas horas le

quedan para hacer otras cosas?

A)

5 over 24 B)2 over 24 C)

11 over 24

D)

3 over 24 E)

7 over 24

24. Qu fraccin del da es a la 5 de la tarde?

A)

11 over 4 B)

13 over 24 C)

17 over 24D)

5 over 24 E)

7 over 24

25. Un bodeguero tiene que clasifica r 12 000 botellas en pequeas, medianas y grandes. Las pequeas

son un quinto del total y la medianas son los

dos tercios del resto Cuntas botellas hay

de las grandes?

A) 1 600 B) 3 200 C) 2 400

D) 2 800 E) 3 000

26. Una propiedad es de dos primos. La parte del primero est valorade en 49 700 dlares y la parte del

segundo en 63 900 dlares. Qu fraccin del total es la parte del primero?

A)

5 over 8 B)

7 over 13 C)

5 over 16

D)

13 over 10 E)

7 over 16

27. Normalmente Ins trabaja 71 over 2 horas diarias. El da de ayer ella trabaj

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C.P.F. SAN ROMAN

3 over 5 del tiempo que normalmente trabaja. Cuntas horas trabaj ella el da de ayer?

A) 5 B) 4

1 over 2 C) 2

1 over 3

D)

16 over 9 E)

2 over 5


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28. Una secretaria puede tipear 18 pginas en 40

1 over 3 minutos. Cuntas pginas puede tipear en un minuto?

A)

164 over 121 B)

80 over 121 C) 1

1 over 3

D)

54 over 121 E)

18 over 121

29. Un campesino necesita 12

1 over 4 paquetes de semillas para plantar 5

1 over 3 filas de tomate. Cuntos paquetes de semillas usar para plantar 1 fila de tomate?

A) 5

1 over 4 B)

147 over 64 C)

18 over 147 D)

17 over 64 E)

24 over 39

30. De 24 personas que rindieron un examen de manejo,

7 over 8 aprobaron el examen. Los

2 over 7 de los que aprobaron el examen, lo rendan por segunda vez. Cuntas personas aprobaron el

examen en su primer intento?

A) 15 B) 18

C) 10D) 12 E) 17

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Tema 22

FRACCIONES II

Fracciones Homogneas:

Son aquellas que tienen el mismo denominador:

Por ejemplo:

5 over 7; ` ` 12 over 7; ` ` {-3} over 7; ` ` 4 over 7

1 over 12; ` ` {-9} over 12; ` ` 59 over 12; ` ` {-5} over 12

Fracciones Heterogneas:

Son aquellas que tienen distintos denominador:

Por ejemplo:



Suma y Resta de Fracciones:

a. Para sumar o restar fracciones homogneas se forma una fraccin que tenga por numerador la suma o resta de

numeradores y por denominador, el denominador comn.

1)

3 over 12 ` ` + ` ` 5 over 12 ` ` = ` ` 8 over 12

2)

7 over 9 ` ` - ` ` 2 over 9 ` ` = ` ` 5 over 9

b. Para sumar o restar fracciones heterogneas se reducen a denominador comn y se opera como se ha indicado en el

punto (a).

1)

1 over 2 + 4 over 3 - 5 over 4

m.c.m(2; 3; 4) = 12

6 over 12 ` ` + ` ` 16 over 12 ` ` - ` ` 15 over 12 ` ` = ` ` {6 + 16 + 15} over 12 ` ` = ` ` 7 over 12

Operaciones Combinadas:

Para efectuar estas operaciones se debe tener en cuenta la siguiente prioridad operativa:

a. Se realizan las operaciones dentro de los signos de coleccin: parntesis; corchetes; llaves.

b. Las divisiones se cambian a multiplicaciones.

c. Se efectan las multiplicaciones.

d. Se realizan las sumas y restas.

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C.P.F. SAN ROMAN

Por ejemplo:

M = 1 -

2 over 5 - left (5 over 2 + 5 over 4 right) ` ` func x ` ` 2 over 25 ` ` ` ` 3 over 5

M = 1 -

2 over 5 ` ` ` - ` ` ` 15 over 4 ` ` func x ` ` 2 over 25 ` ` ` ` 3 over 5 ` ` ` = ` ` ` 1 ` ` ` - ` ` ` 2 over 5 ` ` ` - ` ` ` 15 over 4 ` ` ` func

x ` ` ` 2 over 25 ` ` ` func x ` ` ` 5 over 3

1 over 2

M = 1 -

2 over 5 ` ` - ` ` 1 over 2 ` ` = ` ` 1 over 10

CLASIFICACIN DE LAS FRACCIONES

1. Fraccin Propia:Es aquella cuyo valor es menor que la unidad, es decir

el numerador es menor que el denominador; es decir:

func{a over b ` ` ` < ` ` ` 1 ` ` ` ` ` ` a ` ` ` < ` ` `

b}

Ejemplo:

1 over 4; ` ` 5 over 7; ` ` 11 over 13; ` ` 2 over 9

2. Fraccin impropia:

Es aquella cuyo valor es mayor que la unidad, es decir

el numerador es mayor que el denominador, es decir:

func{a over b ` ` ` > ` ` ` 1 ` ` ` ` ` ` a ` ` ` > ` ` `

b}

Ejemplos:

11 over 4; ` ` ` 3 over 2; ` ` ` 5 over 3; ` ` ` 21 over 19

3. Fraccin decimal:

Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplo:

3 over 10; ` ` ` 17 over 100; ` ` ` 5 over 10 sup 4

4. Fraccin ordinaria:

Es aquella cuyo denominador no es una potencia de 10.

Ejemplo:

3 over 7; ` ` ` 4 over 3; ` ` ` 5 over 11


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C.P.F. SAN ROMAN

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Efectuar:

A){1 bold + 1 over 2} over {1 bold - 1 over 2} bold + {2 bold + 1 over 2} over {2 bold - 1 over 2} B)

{left(1bold +1 over 3 right) left (1 bold - 1 over 3 right)} over {left(1 bold + 1 over 4 right) left ( 1 bold - 1 over 4 right)}

C)

1 over 2 bold + 3 over {1 bold +4 over 3} func x 7 over 9 D)

2 over 5 ` ` bold + ` ` 2 over 3 ` ` func x ` ` 9 over 4 ` ` bold - ` ` 1 over 10

E)

{3 over 8 bold + 5 over 6 bold - 1 over 18} over {2 over 3 bold + 5 over 12 bold - 1 over 4 bold - 3 over 24 bold + 1 over 9} func x

left (7 over 5 bold + 2 over 7 right) ` ` bold ` ` {1 over 5} over 7

02. Germn gast el sbado

15 over 60 de su propina semanal y el domingo gast30 over 72 de dicha propina.

Qu fraccin de su propina gast Germn?

A)

8 over 27 B)

1 over 12 C)

1 over 3

D)

5 over 6 E)

2 over 3

03. Un poste se pinta de 3 colores, el color blanco ocupa la mitad del poste, el color rojo ocupa la tercera parte.

Qu parte del poste ocupa el color azul?

A)

1 over 3 B)

1 over 6 C)

2 over 3

D)

5 over 6 E)

1 over 4

04. Un comerciante vende naranjas de la siguiente manera: Primero vende 1/3 del total ms 4 naranjas, luego vende 3/5 delas naranjas restantes y finalmente vende la mitad de las restantes ms 4 naranjas.

Cuntas naranjas tena al principio?

A) 24 B) 18 C) 32

D) 40 E) 36

05. Calcular los 2/3 menos de los 4/5 ms del doble de 40.

A) 60 B) 72 C) 48

D) 36 E) 56

06. Cunto le falta a 3/7 para ser igual a los 2/3 de los 3/5 de los 4/7 de 105?A) 23

2 over 7 B) 23



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C.P.F. SAN ROMAN

1 over 7 C) 23

7 over 4

D) 23

1 over 4 E) 23

4 over 7

07. Qu nmero equidista de 1/6 y 1/8?

A) 1/7 B) 7/48 C) 3/11

D) 5/24 E) 3/17

08. De las siguientes fracciones:

5 over 6; ` ` ` ` 4 over 7; ` ` ` ` 15 over 16; ` `

` ` 2 over 3; ` ` ` ` 8 over 9

Cul es la menor?

A) 4/7 B) 15/16 C)

5/6

D) 8/9 E) 2/3

09. Ordenar de menor a mayor

a =

4 over 13 b =

2 over 7 c =

1 over 3

A) abc B) bac

C) bca

D) cba E) cab

10. Cuntas fracciones de la forma

func a over 12 son propias e irreductibles.

A) 4 B) 5

C) 6

D) 7 E) 8

11. Hallar una fraccin equivalente a 7/4 con la condicin que la suma de sus trminos es 88. Dar como respuesta el

numerador.

A) 28 B) 35

C) 42

D) 56 E) 63

12. Cuntos valores toma n si la fracin n/15 es irreductible y adems:

1 over 3 ` ` ` ` < ` ` ` ` func n over 15 ` ` `

` < ` ` ` ` 6 over 5



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C.P.F. SAN ROMAN

A) 5 B) 6 C) 7 D)

8

E)

9

13. Si las fracciones:

func{c over {2a+1}; ` ` ` ` ` {a+b} over 11;

` ` ` ` ` 13 over {b + 5}}

Son homogneas: Hallar (a + b)

A) 11 B) 12 C) 10 D)

13

E)

14

14. Cuntas fracciones cuyo producto de trminos es 30 son propias e irreductibles?

A) 2 B) 3 C) 4 D)

5

E)

6

15. Hallar cuntas fracciones de la forma a/14 que son irreductibles, mayores que 3/7 y menores que 3/2 existen.

A) 5 B) 6 C) 4 D)

7

E)

3

16. Cuntas fracciones de la forma 10/x son impropias e irreductibles?

A) 2 B) 3 C) 4 D)

5

E)

6

17. Cuntos tercios hay en 2?

A) 6 B) 3 C) 8 D) 9 E) 12

18. Cuntos 2/3 existen en 8?

A) 8 B) 4 C) 6 D) 12 E) 18



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C.P.F. SAN ROMAN

19. Los 3/4 de 8 /9 de 2/3 de 27 es:?

A) 8 B) 6 C) 12 D)

2

E)

4

20. Si la mitad de 2/7 de 14/3 de 3/2 se resta la quinta parte de 2/5 de 5/9 de 45, se obtiene?

A) 3 B) 1 C) 2 D)

-2

E)

-1

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Cul es el numerador de la fraccin equivalente a 2/5, tal que la suma de sus trminos sea 14?

A) 2 B) 1 C) 6 D) 4 E) 3

22. Hallar la suma de los valores que toma x si la fraccin

func x over 10 es propia e irreductible?

A) 12 B) 17 C) 20 D) 16 E) 19

23. Hallar cuntas fracciones de la forma

func a over 12 son irreductibles mayores que 5/6 y menores que 5/4?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3

24. Dada la fraccin

func a over b tal que a . b = 42. Indica la suma de los valores que toma b si la fraccin es impropia.

A) 28 B) 35 C) 42 D) 56 E) 60

25. Cuntos quintos tiene 6/5?

A) 1 B) 2 C) 6 D) 25 E) 30

26. Tengo un vaso lleno de gaseosa, bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que me queda Qu fraccin

de lo que queda debo volver a beber para que an sobren los 3/8 del vaso?

A)

1 over 6 B)

1 over 5 C)

1 over 3 D)

2 over 5 E)2 over 3


- 17 -


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C.P.F. SAN ROMAN

27. Un alumno hace 1/3 de su asignatura antes de ir a una fiesta, despus de la fiesta hace 3/4 del resto

y luego se va a dormir Qu parte de la

asignatura le falta por hacer?

A)

7 over 12 B)

1 over 12 C)

1 over 6 D)

2 over 3 E)

1 over 2

28. En una reunin los 2/3 son mujeres y 3/5 de los varones son casados, mientras que los otros 6 son

solteros. Cuntas personas hay en la

reunin?

A) 45 B) 35 C) 30

D)

25

E)15

29. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si su dinero ha disminuido en 12

dlares Cunto tena al principio?

A) $144 B) $132

C) $120

D) $108 E) $54

30. Un quinto de la quinta parte de un nmero es 1 Cul es el nmero?

A)1 over 25 B) 25 C) 5 D)

1 over 5 E) 125


- 18 -


19/79

Tema 23

NMEROS DECIMALES

Nmero Decimal

Nmero decimal exacto

Nmero decimal inexacto

Peridico puro

Peridico mixto

Decimal exacto.- Una fraccin irreductible genera un decimal exacto, si el denominador de dicha fraccin contiene nicamente

a los factores primos 2 y/o 5. Ejemplos.

3 over 8 = 0,375 12 over 25 =

0,48

31 over 80 =

0,3875

8 = 23 25 = 52 80 = 24 x 5

Decimal inexacto peridico puro: Una fraccin irreductible genera un decimal inexacto o peridico si el denominador de

dicha fraccin no contiene a los factores primos 2 ni 5, pero si cualquier otro factor primo (3, 7, 11, 13, 17, ....). Ejemplo:

5 over 11 = 0,4545... =

0,45 from { ` } to

13 over 37 = 0,351351... =

0, 351 from { ` } to

- 19 -


20/79

Decimal inexacto peridico mixto: Una fraccin irreductible genera un decimal peridico mixto, si el denominador de dicha

fraccin irreductible contiene a los factores primos 2 y/o 5 y adems otro factor primo. Ejemplo:

5 over 6 = 0,833333.... = 0,8 3 from { ` } to

17 over 55 = 0,30909... = 0,3 09 from { ` } to

FRACCIN GENERATRIZ

Decimal exacto

< 0,15 =

15 over 100

< 0,225 =

225 over 1000

< 0,8 =

8 over 10

< 0,07 =

7 over 100

< 0,125 =

< 0,09 =

Decimal Peridico Puro

< segn corresponda:

-62,508 +87,52

-13,113 +113,13

-6,2 +8,2

-1,5 0,0

-6,13 +1,1

+7,12 +12,05

- 23 -


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C.P.F. SAN ROMAN

-0,618 3,018

-612,12 0,0

+51,136 +71,23

+42,057 +89,15

04. Completar el siguiente cuadro segn sea el tipo de nmero decimal al que la fraccin dada d lugar:

FRACCIN

NMERO

DECIMAL AL

QUE DA LUGAR

EXACTO

05. Hallar la fraccin generatriz de:


- 24 -


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06. Calcular la suma:

E =372,47 + 3,8 + 40,05

A) 415,22 B) 436,13 C) 416,32

D) 461,23 E) 361,18

07. La diferencia de los nmeros:

0,4373737.... y 0,215151.....

A) 1/9 B) 2/9 C) 1/3

D) 4/9 E) 5/9

08. Hallar la suma del numerador y denominador de la fraccin irreductible equivalente al resultado de efectuar:

0,2 ` ` ` + ` ` ` 0,3 from { ` } to ` ` ` + ` ` ` 0,1 3 from { ` } to

A) 4 B) 5 C) 25 D) 15 E) 10

09. Hallar el valor de E =

sqrt {0,6 1 from { ` } to } ` ` ` ` ` ` sqrt {0,18}

A)

1,8 3 from { ` } to B) 1,5 C) 1,75

D) 1,6 E)

1,8 1 from { ` } to

10. Efectuar:

E = (0,5 x

- 25 -


26/79

C.P.F. SAN ROMAN

0,1 3 from { ` } to ) +

{0,0 02 from { ` } to } over {0,0 15 from { ` } to }

A) 0,2 B) 0,32

C)

0,21

D) 4/15 E)

0,2 from { ` } to

11. Calcular el valor de

E = [

0,2 from { ` } to +

0,3 from { ` } to +

0,4 from { ` } to + ... +

0,7 from { ` } to ] 0,

16 from { ` } to

A) 11 B) 13

C) 16

D) 18 E) 20

12. En la fraccin generatriz de 0,973333...., en su forma irreductible, cuando se suman su numerador y denominador se

obtiene

A) 296 B) 1 332 C) 148 D) 1

776E)

444

13. Hallar la fraccin generatriz del decimal 0,3484848...

A) 13/66 B) 23/66

C) 11/66

D) 15/66 E) 29/66

14. Cual es el valor de: b - a; si se cumple que:

0,func ab from { ` } to ` ` = ` ` 7 over 15?

A) 2 B) 5 C) 3 D)

6

E)

4

15. Hallar: a + b + c; si:

sqrt {0,00 func a from { ` } to ` ` + ` ` 0,00 func b

from { ` } to ` `+ ` `0,00 func c from { ` } to } ` ` `

` = ` ` ` ` 0,1 6 from { ` } to

A) 20 B) 22

C) 30

D) 25 E) 15

16. Calcular:

R =


- 26 -


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{0,5 ` ` + ` ` 0,66666...... - 0,055555.....} over {3,111...... - 2,066666.......}

A) 45/47 B) 50/47

C) 39/46

D) 43/49 E) 47/49

17. Hallar el valor de:

N =

9 over 14 ` ` ` left [0,2 from { ` } to ` ` `+ ` ` `0,3 from { ` } to ` ` `+ ` ` ` 0,4 from { ` } to ` ` `+ ` ` ` 0,5 from { ` } to right ]

A) 1/4 B) 1/2 C) 2 D)

-1

E)

1

18. Simplificar:

E =left [0,3 from { ` } to ` ` `+ ` ` `0,1 6 from { ` } to ` ` `+ ` ` ` 0,81 from { ` } to right ] ` ` ` ` ` ` ` ` 44 over 990

A) 0,5 B) 1 C) 2 D)

3

E)

4

19. Evaluar:

1,3 from { ` } to ` ` `+ ` ` `4,0 1 from { ` } to ` ` `+ ` ` ` 5,12 from { ` } to

A) 10119 over 990 B) 10

461 over 990 C) 12

137 over 990

D) 10

437 over 990 E) 11

137 over 990

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20. Hallar x si:

sqrt {0,00 x from { ` } to ` ` + ` ` 2(0,0 func x from { ` } to ) bold +` ` ` ` 0, func x from { ` } to } ` ` ` ` ` ` = ` ` ` ` ` ` 0,7 3 from

{ ` } to

A) 5 B) 4 C) 3 D)

2

E)

1

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Efectuar:

sqrt {0,1 from { ` } to ` ` + ` ` 0,2 from { ` } to ` ` + ` `0,3 from { ` } to ` ` + ` `... ` ` + ` ` 0,8 from { ` } t o}

A) 1/2 B)

0,2 from { ` } to C)

0,6 from { ` } to D) 3 E) 4

22. Simplif icar la siguiente expresin

M =

{(0,5 ` ` + ` ` 0,666... ` ` - ` ` 0,0555...) ` ` func x ` ` 0,9} over {(3,111...) ` ` ` - ` ` ` (2,0666...)} y dar la suma

de sus trminos

A) 47 B) 45 C) 92 D) 85 E) 53

23. Si a los trminos de una fraccin irreductible se le suma, el triple del denominador y el resultado se le

resta la fraccin, resulta la misma fraccin. Cunto suman los trminos de la funcin?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

24. Si:

5 over func {overline ab} ` ` ` = ` ` ` 0,2 7 from { ` } to , hallar a + b.

A) 9 B) 11 C) 13 D) 7 E) 8

25. Si:

func {overline ab over overline ba} ` ` ` ` = ` ` ` ` 0,222...., calcular b - a

A) 7 B) 6 C) 8 D) 5 E) 3

26. Hallar a si: 0,a

3 from { ` } to ` ` ` ` = ` ` ` ` 7 over 30

A) 7 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3

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C.P.F. SAN ROMAN

27. El resultado de: (0,222...) . (0,818181...) es:

A)

0,18 from { ` } to B)

0,36 from { ` } to C)

0,45 from { ` } to

D)

0,54 from { ` } to E)

0,63 from { ` } to

28. Cunto le falta a 0,

416 from { ` } to para que sea igual a

0,4 from { ` } to

A)

1 OVER 36 B)

1 OVER 18 C)

1 OVER 9

D)1 OVER 3 E)

1 OVER 2

29. Hallar la fraccin equivalente a:

x =

{0,2 from { ` } to ` ` + ` `0,3 from { ` } to ` ` + ` ` 0,4 f rom { ` } to ` ` + ` `.....` ` + ` `0,7 from { ` } t o }

over {0,3 2 from { ` } to ` ` + ` ` 0,4 3 from { ` } to ` ` + ` `0,5 4 f rom { ` } to ` ` + ` `.... ` ` + ` ` 0,8 7

from { ` } to }

A)

6 over 5 B)

5 over 6 C)5 over 4

D)

4 over 5 E)

6 over 4

30. El valor de la siguiente operacin

{(0,1232323...).(3,66666.....)} over

{6,7777........} es:

A)

1 over 5 B)

1 over 15 C)4 over 15

D)

7 over 15 E)

11 over 15


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C.P.F. SAN ROMAN

Tema 24

RAZONES

RAZN: Es el resultado de comparar dos cantidades; puede ser de dos clases:

1. RAZN ARITMTICA: Cuando se compara mediante la diferencia.

Ejemplo:

Si tenemos: Anita tiene 36 aos y su hijo 12 aos, entonces.

Diremos: Anita tiene 24 aos ms que su hijo:

36 - 12 = 24

Observacin:

Las unidades de la razn son las unidades del antecedente en general:


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2. RAZN GEOMTRICA: Cuando la comparacin es mediante el cociente.

Ejemplo:

En una reunin hay 20 hombres y 5 mujeres, entonces

diremos, el nmero hombres es cuatro veces el nmero

de mujeres.

20 over 5 = 4

Observacin:

Cuando nos digan: dos cantidades son entre s 3 es a 2, podemos plantear:

func{H over M} = 3 over 2

func{H over 3 = M over 2} MEJOR:

H = 3K

M = 2K

En general:

PROBLEMA EXPLICATIVO:

En un jardn de infancia estudian 72 infantes observandose que por cada 5 mujeres haban 3 varoncitos. Cuntos varonesestudian en dicho nido?

Resolucin:

H: # de hombres

M: # de mujeres

< H + M = 72

< func{M over H ` ` = ` ` 5 over 3}

{M = 5KH = 3K

5K + 3K = 728K = 72

K = 9 H = 3K = 3 x 9 = 27

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C.P.F. SAN ROMAN

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Si:

func {a over b} = 11 over 4, Adems: a + b = 90

Hallar bA) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 32

02. La razn de dos nmeros es 3/5 y su suma 1 216. Hallar el nmero menor:

A) 318 B) 456 C) 528 D) 619 E) 708

03. La razn aritmtica de dos nmeros es 20 y su razn geomtrica es 2. El nmero mayor es:

A) 20 B) 30 C) 40 D) 60 E) 80

04. En un corral se tiene 200 animales entre gallinas y conejos observandose que por cada 13 gallinas haban 7 conejos.

Cuntas son aves?

A) 130 B) 120 C) 65 D) 121 E) 95

05. Si:

func{a over b} ` ` ` = ` ` ` 2 over 3

Adems: 2b - a = 60

Hallar a

A) 18 B) 24 C) 30 D) 32 E) 28


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06. La relacin de 2 nmeros es

0,2 from { ` } to , adems el producto de los mismos es 288. Hallar la suma de cifras del menor.

A) 6 B) 8 C) 32 D)

16

E)

10

07. Las edades de 2 hermanas es como 4 es a 7. Hace 5 aos la diferencia de edades era 15 aos. Hallar la edad de la

mayor actualmente.

A) 20 B) 25 C) 35 D)

28

E)

26

08. El permetro de un rectngulo es 70 cm. si su base y su altura estn en la razn de 3 a 4. Hallar su base.

A) 9 B) 12 C) 15 D)

16

E)

10

09. Las edades de un hijo y su padre estn en la relacin de 1 a 5. Si la suma de sus edades es de 42 aos, Cul es la

edad del padre?

A) 30 B) 35 C) 40 D)

45

E)

N.A.

10. Dos nmeros estn en la relacin de 2 a 5; pero si aadimos 18 a cada uno de ellos su nueva relacin ser de 5 a 8.

Hallar el mayor de los nmeros.

A) 42 B) 24 C) 27 D)

36E)

30

SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS EQUIVALENTES (S.R.G.E)

Si :

16 over 8 = 2 ~ ~ ~ ~ ~ 20 ove r 10 = 2 ~ ~ ~ ~ ~ 4 over 2 = 2 ~ ~ ~ ~ ~ 14 ov er 2 = 2

Podemos escribir:

16 over 8 = 20 over 10 = 4 over 2 = 14 over 7 = 2

En una serie de 4 razones geomtricas equivalentes , de razn 2.

Concepto:

Es la igualdad de dos o ms razones geomtricas que tienen el mismo valor.

func{a sub 1 over b sub 1 = a sub 2 over b sub 2 = a sub 3 over b sub 3 = ................... = a sub n over b

sub n = K ------ RAZN}

Propiedades:

1 Si:

func{a over b ` ` = ` ` c over d ` ` = ` ` e ove r f ` ` = ` ` K }

func{{a + c + e} over {b + d + f} = K}

2 Si:

func{a over b ` ` = ` ` c over d ` ` = ` ` e ove r f ` ` = ` ` K }

func{{a ` ` x ` ` c ` ` x ` ` e} over {b ` ` x ` ` d ` ` x ` ` f} ` ` = ` ` K sup 3 }

- 33 -


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3 Propiedad fundamental:

func {a over b ` ` ` bold = ` ` ` c over d

` ` ` bold = ` ` ` e over f ` ` ` bold = ` ` `

k}

a = bk

c = dk

e = kf

Problema de Aplicacin:

Dado:

func{a over 4 = b over 7 = c over 11 = K}. Adems 4b - 2c = 72.

Hallar a

Resolucin:

func{a over 4 = b over 7 = c over 11 = K}

{a = 4K

b = 7Kc = 11K

Como: 4b - 2c = 724(7k) - 2(11k) = 7228K - 22K = 72

6K = 72 K = 12

Luego: a = 4K = 48

ACTIVIDADACTIVIDAD

11. Si

func {x over 5 = y over 10 = z over 15 = p over 20}, donde x + y + z + p = 30, hallar el valor de p.

A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

12. Si:

func{a over 4 = b over 7 = c over 5}, adems b + c = 108, calcula b - a.

A) 27 B) 9 C) 36

D)63

E)

28

13. Si:

func{a over 3 = b over 11 = c over 5}, adems 11a + 3b + c = 568, halla 2a + b - c.

A) 48 B) 130 C) 96 D) 40

E)

88

14. Se tiene que

func{17 over A = 19 over B = 21 over C} y que:

- 34 -


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C.P.F. SAN ROMAN

A + 2B + C = 152. Hallar A + B + C

A) 100 B) 114 C) 121

D) 109 E) 119

15. Si:

func{a over 2 = b over 3 = c over 5}, adems: a + 2b = 80".

Hallar el valor de c.

A) 40 B) 50 C) 60 D) 80 E) 100

16. Si:

func{a over 3 = b over 5 = c over 7}, adems 2a + b + c = 54.

Calcular: E = a + 2b + c

A) 60 B) 64 C) 70 D) 72 E) 80


- 35 -


36/79

C.P.F. SAN ROMAN

17. Los ngulos de un tringulo son entre s como: 4; 7 y 9. Determinar el menor de los ngulos.

A) 32 B) 36 C) 20 D) 24 E) 28

18. Si:

func{2 over a = 3 over b = 4 over c}, y: a.b.c = 17 496

Calcular: (a + b + c)

A) 81 B) 18 C) 72

D)

45

E)

90

19. Calcular cuatro nmeros proporcionales a 1; 2; 3 y 5 sabiendo que la suma de sus cubos es 4 347.

Dar como respuesta la suma del menor y

mayor de stos.

A) 3 405 B) 756 C) 18 D) 9

E)

17

20. La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la misma relacin que los nmeros 4; 2

y 15. Cul es el mayor de los nmeros?

A) 4 B) 10 C) 14

D)

15

E)

16

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Cuando Manuel naci, Sara tena 14 aos. Actualmente, la razn entre las edades de ambos es 0,75.

Cul es la edad de Manuel?

A) 56 B) 42 C) 24 D) 65 E) 48

22. Calcular el rea de un rectngulo sabiendo que su permetro es de 70cm y la razn entre sus

dimensiones (largo y ancho) es 5/2.

A) 205cm2 B) 250cm2 C) 520cm2

D) 260cm2 E) 280cm2

23. Dos nmeros estn en relacin de 2 a 3. Si se aumenta 15 a uno de ellos y al otro 10 se obtiene

cantidades iguales,cul es el mayor?

A) 15 B) 10 C) 12 D) 20 E) 8

24. Dos cajas contienen 25 fsforos cada una. Cuntos fsforos hay que pasar de una a otra para que larazn de las cantidades de fsforos de cada caja sea 7/3?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 20 E) 14



37/79

C.P.F. SAN ROMAN

25. En un aula la razn de nmero de nios al nmero de nias es de 8 a 5. Luego viene 4 nios y se van 5

nias y ahora la razn del nmero de nios al de nias es 2 a 1. Cuntos nios hay finalmente?

A) 56 B) 60 C) 62 D) 74 E) 78



38/79

C.P.F. SAN ROMAN

26. Si:

func{a over 2 = b over 8 = c over 7} y: a + b = 20. Hallar: a.c + b

A) 22 B) 64 C) 71

D)

60

E)

72

27. En una granja, el nmero de pavos es a 3, as como el nmero de gallinas es a 4 y el nmero de

patos es a 5. Si el total de animales es 60.

Hallar el nmero de gallinas.

A) 15 B) 20 C) 25 D)

30

E)

35

28. En un zoolgico hay tigres, leones, monos y loros en la proporcin de 3; 7; 5 y 11 si en total son 780 Cuntos sonloros?

A) 110 B) 220 C) 330

D)

440

E)

230

29. Si:

func{a over 5 = b over 3 = c over 6}, adems: a + c = 66, Halla el valor de b

A) 30 B) 36 C) 18 D)16

E)

26

30. Si:

func{a over 3 = b over 5 = c over 7}, adems

func{{(a + b + c)b} over {(a + b - c)}} = 375

Calcular: (5a - b - c)

A) 10 B) 12 C) 15 D)

18

E)20



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40/79

C.P.F. SAN ROMAN

adems: a . c = b2 25 . 9 = b2 (b = 15)

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Hallar la cuarta diferencial de 6; 15 y 10

A) 36 B) 25 C) 30 D) 40 E) 15

02. Hallar la tercer proporcional de 9 y 12.

A) 16 B) 20 C) 24 D) 25 E) 32

03. Hallar la cuarta proporcional de a; a.b y b

A) b B) 2b C) b2 D) a2 E) ab

04. Si la tercer proporcional de 9 y a es 25. Hallar la cuarta proporcional de a; 35 y 12.

A) 21 B) 16 C) 15 D) 28 E) 72

05. En una proporcin geomtrica continua la suma de los extremos es 58 y la diferencia de ellos es 40. Hallar la media

proporcional.

A) 20 B) 25 C) 27 D) 36 E) 21

06. En una proporcin geomtrica continua el producto de los 4 trminos es 50 625. Hallar la media proporcional.

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25

07. En una proporcin aritmtica continua la suma de sus trminos es 40 y la diferencia de los extremos es 8. Hallar el

mayor de los extremos.

A) 14 B) 12 C) 13 D) 11 E) 15

08. En una proporcin aritmtica la suma de sus trminos es 50. Adems uno de los medios es 4 veces el otro medio.

Hallar el menor de los medios.

A) 6 B) 5 C) 16 D) 8 E) 2

09. La suma de la media diferencial de 38 y 12 con la cuarta diferencial de 15; 10 y 19 es igual a:

A) 18 B) 20 C) 26 D) 24 E) 39

10. Hallar la tercer proporcional entre 32 y 8.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. En una proporcin aritmtica continua la suma de sus trminos es 60. Hallar la media diferencial.

A) 12 B) 18 C) 20 D) 10 E) 15


- 40 -


41/79

C.P.F. SAN ROMAN

12. En una proporcin aritmtica, la suma de los extremos es igual a 24. Si los trminos medios se diferencian en 2

unidades, el menor de estos medios es:

A) 10 B) 13 C) 11 D)

12

E)

14

13. En una proporcin aritmtica continua los trminos extremos son entre s como 7 es a 3. Si la suma de los

antecedentes es 96. Cul es la suma de los

consecuentes?

A) 48 B) 72 C) 80 D)

84

E)

64

14. En una proporcin aritmtica la suma de los trminos es 42, si la razn de los trminos es de 6 a 1. Hallar uno de los

extremos.

A) 6 B) 15 C) 9 D)

12

E)

18

15. En una proporcin geomtrica discreta el producto de sus trminos es 64. Hallar el mayor de estos trminos.

A) 1 B) 2 C) 3 D)

4E)

8

16. En una P.G.D. la suma de los antecedentes es 18 y la suma de los consecuentes es 12. Hallar el valor de la razn.

A)

4 over 3 B)

3 over 2 C)

1 over 2 D)

2 over 3 E)

3 over 4

17. En una P.G.C. se cumple que la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 30. Hallar la media

proporcional.

A) 6 B) 8 C) 4 D)

16

E)

12

18. En una proporcin geomtrica la suma de los trminos medios es 18 y la razn aritmtica de los mismos es 6. Hallar

el producto de los extremos.

A) 60 B) 64 C) 48 D)72


- 41 -


42/79

C.P.F. SAN ROMAN

E)

80

19. En una proporcin geomtrica continua el primer trmino es 1/9 del cuarto trmino. Si la suma de los medios es 72,

hallar la diferencia de los extremos.

A) 60 B) 72 C) 84 D)

90

E)

96

20. En una proporcin geomtrica continua los trminos extremos estn en la relacin de 4 a9, siendo su suma 65. Hallar

la media proporcional.

A) 30 B) 45 C) 50 D)

60

E)

90

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Hallar la tercera proporcional de 9 y 6

A) 4 B) 8 C) 6 D)

12

E)

15

22. Si: a = media proporcional de 4 y 9

b = media diferencial de 15 y 5.

Hallar a + b.

A) 6 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18

23. La media proporcional entre a y b es 10, la tercera proporcional de a y b es 80. Hallar la diferencia ente

a y b.

A) 21 B) 25 C) 15 D) 20 E) 100

24. Una proporcin continua tiene como suma de trminos medios a 36 y como diferencia de extremos a 77.

Calcular la suma de estos ltimos.

A) 81 B) 85 C) 93 D) 97 E) 75

25. En la proporcin aritmtica continua, la media diferencial es igual a 20 si la razn aritmtica de los

extremos es 10; hallar el producto de los extremos.

A) 375 B) 216 C) 256 D) 240 E) 360

26. En una proporcin aritmtica continua la suma de sus trminos es 80. Hallar la media diferencial.

A) 18 B) 20 C) 25 D) 16 E) 15


- 42 -


43/79

C.P.F. SAN ROMAN

27. Si a es la media proporcional de 1 y 25; b es la cuarta proporcional de 15 a y 21. Hallar: a +

b

A) 12 B) 5 C) 7 D)

16

E)

15

28. Sabiendo que

func{a over b = c over d} es una proporcin geomtrica dis creta, donde a + c = 9; y b - d = 1. Calcular el valor

de la razn de dicha proporcin.

A) 1/3 B) 3 C) 3/4 D)

5/4 E)

4/ 5

29. El producto de los 4 trminos de una proporcin geomtrica es 8 100, la diferencia de los

antecedentes es 3 y la de los consecuentes

es 5. Hallar la suma de dichos trminos.

A) 20 B) 30 C) 10

D)

26

E)

40

30. En una proporcin geomtrica continua, el producto de los trminos es 10 000. Si uno de los extremos

equivale a la suma de los medios. Calcular el

valor del otro extremo.

A) 6 B) 8 C) 5 D)10

E)

7


- 43 -


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Tema 26

REGLA DE TRES SIMPLE (R 3S)

Analiza solo 2 magnitudes, pueden ser:

DIRECTA

PROBLEMAS ILUSTRATIVOS

01. La habilidad de dos trabajadores es como 5 es a 13, Cundo el primero haya realizado 280m3 de cierta obra. Cunto

habr realizado el otro?

Resolucin:

Habilidad Obra

5 280

13 x

5x = 13 x 280

X = 728m3.

02. Ocho obreros hacen una obra en 15 das, si se retiran 3 obreros En cuntos das harn la misma obra?

Resolucin:

# Obreros #

Das

8

15

5

X

8 . 15 = 5 . x

X = 24 das

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Si 20 metros de seda cuesta $250. Cunto se pagar por 25 metros de la misma seda?

A) $200 B) $280 C) $400

+ +

- +

- 44 -


45/79

D) $360 E) $500

02. Un barco tiene vveres para 78 tripulantes durante 22 das, pero slo viajan 66 personas. Qu tiempo durarn los

vveres?

A) 18 das B) 19 das C) 24 das

D) 26 das E) 28 das

03. Por sembrar un terreno cuadrado de 20 metros de lado, un pen cobra S/.300 Cunto cobrar por sembrar otro

terreno cuadrado de 12 metros de lado?

A) 108 B) 109 C) 110 D) 111 E) 107

04. Un pintor cobra $50 por pintar una pared cuadrada de 5m de lado Cunto cobrara por pintar otra pared tambin de

forma cuadrada de 8m de lado?.

A) 80 B) 100 C) 64 D) 128 E) 160

05. Sabiendo que un buey atada a un poste con una cuerda de 3 metros de largo; tarda 5 das en comer toda la hierba a su

alcance Que tiempo le alcanzara la hierba a su alcance si la cuerda tuviera una longitud 2 veces mayor?.

A) 10 das B) 45 das C) 15 das

D) 25 das E) 18 das

06. Un cubo de madera que cuesta S/40 cuanto costar otro cubo de la misma madera cuya arista es el doble.

A) S/.80 B) S/.160

C) S/.240

D) S/.320 E) S/.200

07. Un superpaneton que tiene la forma de un paralelepdedo pesa 8 kg. Cunto pesara un Mnipaneton cuyas

dimensiones son la cuarta parte del anterio.

A) 2Kg B) 500g C) 250g D) 125g E)

1Kg

08. La cantidad de gramos de maz que se pueden guardar en un recipiente esfrico de 3dm de dimetro es 120.Cuntos gramos de maz se podrn guardar en un

recipiente esfrico de 6dm de dimetro?.

A) 480 B) 800

C) 600

D) 960 E) 1 440

09. 16 obreros pueden hacer una obra en 63 das, con cuntos obreros deber reforzarse si desea hacer la misma obra

en 36 das.

A) 16 B) 28 C) 12 D)

14

E)26

10. Una guarnicin de 1 500 hombres tiene vveres para 88 das. Si se quiere que los vveres duren 12 das ms.

Cuntos hombres se tendrn que retirar de la

guarnicin?.

A) 180 B) 160 C) 70 D)

150

E)

168

11. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 das. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. Cuntos

das tardarn en terminan el trabajo los obreros quequedan?.

- 45 -


46/79

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

12. Juan es el doble de rpido que Luis, pero la tercera parte que Pedro. Si Luis y Pedro hacen una obra en 27 das. En

cuntos das haran la misma obra los 3 juntos?:

A) 18 B) 21 C) 24 D) 27 E) NA

13. Una campana de 6 campanadas en 1 hora en forma peridica Cuntas campanadas dar en 10 horas?

A) 60 B) 51 C) 50 D) 49 E) 56

14. De un paradero de micros salen 6 combis en una hora en forma peridica. Entonces en 8 horas. Cuntas combis

habrn salido?

A) 48 B) 47 C) 40 D) 41 E) 39

15. Hctor un extraordinario boxeador da 4 golpes en cada segundo. Entonces en 1 minuto. Cuntos golpes habr dado al

mismo ritmo?.

A) 240 B) 200 C) 180 D) 161 E) 181

- 46 -


47/79

16. SI a albailes construyen una pared en 5 das. Cuntos das demorara en construirla un solo hombre?.

A) a/5 B) 5/a C) 5a D)

a/3

E)

3a

17. Cada soldado de un destacamento recibe 18 panes por semana, durante la guerra; como mueren 40 soldados, ahora

cada uno recibe 28 panes. Si semanalmente se

reparte la misma cantidad de panes. Cuntos

soldados quedan?.

A) 112 B) 70 C) 71 D)

72

E)

73

18. En un lugar muy pobre de la ciudad de Lima, consumen 8 velas por semana en cada hogar. Si en total hay 60

hogares. Cuntas velas se consumirn en dichos

hogares durante un mes?.

A) 168 B) 1 920 C) 1 930 D) 32 E)60

19. Un reloj se adelanta 8 minutos en cada hora y otro reloj se atrasa 5 minutos en cada hora, si se ponen ambos a la

hora al cado de 6 horas en cuantos minutos se

diferenciaran en tiempo que marca cada reloj..

A) 78 B) 54 C) 62 D)

48

E)

72

20. Un obrero al pintar una pared rectangular cobra N soles. Pero indica que si cada lado de la pared se duplica, tendra

que cobrar 144 soles ms. Cunto cobrara si cadalado de la pared se reduce a su mitad?.

A) 72 B) 48 C) 36 D)

40

E)

12

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Un avin tarda 2 minutos para recorrer 4,5Km. Cunto tardar en recorrer con la misma velocidad:

180Km?

A) 1h 20min B) 1h 30min C) 70min

D) 7 min E) N.A.

22. Si 10 metros de tela cuestan S/.150. Cunto se pagar por 15 metros de la misma tela?

A) 150 B) 225 C) 180 D) 15 E) 100

23. Si 21 obreros tardan 10 das para hacer una obra. Cuntos obreros se necesitarn para hacer la

misma obra en 15 das?.

A) 15 B) 10 C) 14 D) 11 E) 18

24. Un ejercito tiene vveres para 65 das. Cuntos soldados se deben dar de baja si se quiere que los

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48/79

vveres duren 15 das ms? (En ejercito tiene inicialmente 640 soldados).

A) 140 B) 120 C) 160 D) 170 E) 130

25. Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14 das. Cuntos obreros hay que aadir para que la se

termine en 8 das?.

A) 141 B) 8 C) 10 D) 4 E) 15

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C.P.F. SAN ROMAN

26. En un da de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. Cuntas horas tardar en hacer 25 deesas mismas Cajas?

A) 18 B) 20 C) 22D)

16E)

24

27. Sabiendo que un burro atado a una cuerda de 3m. de largo, tarda 5 das en comerse todo el pasto asu alcance, Cunto tardara si la cuerdafuera de 6m.?

A) 5 B) 10 C) 20D)

8E)

17

28. Juan es el doble de rpido que Jos y este es el triple de rpido que Miguel. Si entre los 3 puedenterminar una obra en 16 das En cuntosdas Jos y Miguel harn la misma obra?.

A) 40 B) 15 C) 16D)

11E)

10

29. Si a obreros tienen vveres para m das, si estos vveres deben alcanzar para 4m das. Cuntoshombres deben disminuir?.

A ) 1 /9 a B ) 1/ 7a C) 3/ 5a D) 3/ 4a E) a/ 2

30. Carlos es el doble de rpido que Luis, pero la cuarta parte que Pedro, Si Luis y Pedro realizan unaobra en 33 das. En cuntos das harn la

misma obra los tres juntos?A) 27 B) 28 C) 20D)

30E)

31


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C.P.F. SAN ROMAN

Tema 27

REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C)

Es una regla de tres donde intervienen ms de dos magnitudes proporcionales.

Mtodos de solucin:

Existen varios mtodos de solucin, en este caso emplearemos el mtodo de nombrar si la magnitud es directamente

proporcional (D.P.) o inversamente proporcional (I.P.) con la magnitud donde se encuentra la incgnita.

Pasos a seguir:

I. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema.

II. En la primera fila se colocan los datos y en la segunda fila los dems datos incluido la incgnita.

III. Se compara la magnitud donde se encuentra la incgnita con cada una de las dems, indicando en su parte inferior si

es directamente proporcional por D.P. y si es inversamente proporcional por I.P.IV. Se despeja la incgnita multiplicando la cantidad que se encuentra sobre ella por las diferentes fracciones que se

forman en cada magnitud, si son I.P. se copia IGUAL y son D.P. se copia DIFERENTE.

Ejemplo:

Seis obreros trabajando 16 das de 10 horas das pueden asfaltar 1 200m de una autopista. Cuntos das emplearn 8

obreros trabajando de 8 horas diarias para asfaltar 1 600m de la misma autopista?

Solucin:

N de Obreros N de Das N H/D

OBRA

6 16 10

1

200

8 X 8

1

600

I. P. I.P.

D.P

Igual Igual

Diferente

X = 16 .

6 over 8 . 10 over 8 . 1600 over 1200

X = 20 das

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Si 12 mquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas. Cuntos miles de lapiceros podrn producir 24

mquinas en 18 horas?



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C.P.F. SAN ROMAN

02. En 16 das, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra, se retiran 3 obreros, Cuntos das demorarn los obreros

restantes para terminar la obra?

03. Se necesitan 20Kg. de maz par alimentar 7 gallinas durante una quincena, luego. Cuntos kilogramos de maz se

necesitaran para alimentar 4 gallinas durante 3 semanas?

A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) NA

04. Seis monos comen 6 pltanos en 6 minutos.Cuntos pltanos comern 60 monos en media hora?.

A) 30 B) 60 C) 300 D) 150 E) 180

05. En 48 das 15 obreros han hecho 1/5 de una obra que les fue encomendada. Cuntos das empleara otra cuadrilla de

24 obreros triplemente hbiles en terminar la obra?.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

06. Diecisis obreros realizan los 4/9 de una obra en 6 das. Si se retiran seis obreros. Cuntos das emplearn los


A) 12 B) 14 C) 15 D)

18

E)

9

07. En 12 das, 8 obreras han hecho los 2/3 partes de una obra. Se retiran 6 obreros. Cuntos das demoran los obreros


A) 12 B) 18 C) 16 D)

24

E)9

08. Ocho sastres confeccionan 40 jeans de doble costura en 5 das trabajando 6h/d. Cuntos sastres confeccionan 60

jeans de triple costura en 9 das trabajando 5h/d?.

A) 18 B) 12 C) 16 D)

20

E)

24

09. Un grupo de 6 carpinteros que trabajan con un rendimiento del 50% producen 200 carpetas en 10 das trabajando 5

horas/diarias. Cuntas carpetas producirn 5carpinteros de 90% de rendimiento en 15 das

trabajando 4 h/d?.

A) 180 B) 240 C) 360

D)

400

E)

480

10. Nueve mquinas empaquetadores trabajando 10 horas diarias durante 6 das puede empaquetar 900 pedidos. Si slo

4 de estas mquinas trabajan 2 horas diarias ms

durante 8 das. Cuntos pedidos podrn realizar?.A) 320 B) 450 C) 360



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C.P.F. SAN ROMAN

D)

720

E)

600

11. Un obrero que a trabajado 30 das, ha hecho 60m de cierta obra. Cunto tiempo emplearon 7 obreros para hacer

140m de otra obra? (La dificultad del primer terreno respecto al segundo es como 2 es a 3).

A) 10 B) 15 C) 20 D) 23 E) 30

12. 15 obreros pueden hacer una zanja de 5m. de largo en 15 das a razn de 7h/d En qu tiempo podrn hacer una zanja

de 9m. de largo, 21 obreros a razn de 5h/d?:

A) 24 B) 30 C) 27 D) 28 E) 29



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C.P.F. SAN ROMAN

13. 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 das. Cuntos operarios pueden producir 160 zapatos en

24 das?

A) 7 B) 10 C) 8 D)

9

E)

11

14. En un zoolgico se necesitan 720kg de carne para alimentar durante el mes de noviembre a 5 leones. Cuntos kg.

Se necesitaran para dar de comer a 3 leones ms

durante 25 das?.

A) 960 B) 990

C) 970

D) 980 E) 1 000

15. Dos secretarias copian 350 problemas en una semana. Cuntas secretarias seran necesarias para copiar 600

problemas en 4 das?A) 6 B) 7 C) 4 D)

8

E)

5

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

16. En un zoolgico se necesitan 720kg de carne para alimentar el mes de noviembre a 5 leones. Cuntos kg. se

necesitaron para dar de comer a 3 leones ms durante 25 das?.

17. Veinte obreros pueden hacer un trabajo en 15 das de 8 horas diarias. Cuntos obreros harn un trabajo que es el

doble del anterior en 16 das de 10 horas diarias?.

A) 25 B) 24 C) 30 D) 15 E) 40

18. En 12 das, 8 obreros han hecho las 3/4 partes de una obra. Se retira 6 obreros. Cuntos das demorarn los obreros

restantes para terminar la obra?.

A) 24 B) 48 C) 20 D) 16 E) 12



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C.P.F. SAN ROMAN

19. Cuarenta obreros en 12 das, pueden fabricar 600 artculos trabajando a razn de 8 horas diarias con un rendimiento

de 90%. Cuntos artculos podrn hacer 20

obreros en 18 das laborando 6 horas diarias con un

rendimiento del 60%?

A) 220 B) 320 C) 225

D)

118

E)

NA

20. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800m3 en 50 das, en cuantos das 100 hombres 50% ms eficientes

podrn cavar una zanja en 120m3 cuya dureza del

terreno es 3 veces de la del anterior?.

A) 60 B) 65 C) 70 D)

80

E)

90


- 54 -


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Tema 28

TANTO POR CIENTO

DEFINICIN

Es el nmero de partes que se toma de una cantidad principal que se encuentra dividida en 100 partes

iguales: es decir:1 over 100

= 1%

- 55 -


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C.P.F. SAN ROMAN

Se toma x partes de 100

func x over 100 = x%

Luego

func x% = func x over 100En general:

func{El ` ` ` x % ` ` ` de ` ` ` A = x over 100 . A}

PORCENTAJES NOTABLES

< 100% es igual al total

< 50% es igual a 50/100 = 1/2 del total



< 10% es igual al 10/100 = 1/10 del total


Observaciones:1. 100% = 1

A = 100% A

P = 100% P

2. En matemtica los enunciados

x por cuanto n =

func x over n ` ` ` ` ` ` 1 ` ` ` func por ` ` ` func cuanto ` ` ` 9 ` ` ` = ` ` ` 7 over 9

x de n = x . n 5% de 80 = 5%. 80

3. Operaciones de %:

30% A + 50% A = 80% A

70%B - 50% B = 20% BC + 40% C = 140% C

D - 30% D = 70% D

P + 10% P = 110%P

4. Conversin de fraccin a tanto por ciento:

func a over b = func{{100a} over b} %

3 over 5 = 300 over 5 % = 60%

2 over 9 = 200 over 9 % = 22,2 from { ` } to %

Ejemplos:

a. Calcular el 15% del 20% de 800.

Resolucin:


3 over 100

= 3%20 over

100 =

- 56 -


57/79

15 over 100 func x 20 over 100 func x 800 = 24

b. El 20% de que nmero es 60.

Resolucin:

20%A = 60

20 over 100 . A = 60 A = 300

c) Si Mara vende el 30% de los huebos que tiene le quedara 35 huevos. Cuntos huevos tena inicialmente?

Resolucin:

H: # de huevos que tena al inicio.

Luego:

70% H = 35 H = 50

- 57 -


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C.P.F. SAN ROMAN

11. Qu porcentaje de 3/5 es 6/25?

A) 30% B) 25% C) 40% D) 24% E) 35%

12. Qu porcentaje de 0,04 es 0,0028?

A) 8% B) 2% C) 70% D) 5% E) 35%


- 59 -


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C.P.F. SAN ROMAN

13. Qu porcentaje de a3b2 es 0,02a2b3?

A)

func{left (b over a right)}% B)

func{left ({2b} over a right)}% C)

func{left (a over b right)}%

D)func{left ({4b} over a right)}% E) N.A.

14. De 80 alumnos; 16 desaprueban el curso de Razonamiento Matemtico. Qu porcentaje de los 80 alumnos

aprobaron el curso de Razonamiento Matemtico?

A) 75% B) 80% C) 60% D) 70% E) 60%

15. En un mnibus viajan 60 pasajeros de los cuales 15 son damas. Qu porcentaje de los pasajeros no son damas?

A) 45% B) 75% C) 40% D) 25% E) 15%

16. Si a un nmero se le quita su 25% sera 60. Hallar dicho nmero.

A) 100 B) 80 C) 75 D)

90

E)

120

17. Si a N se le incrementa 30% tendramos 91. Hallar dicho nmero N.

A) 69 B) 70 C) 72 D)

71

E)

61

18. Si Manuel tuviera el 25% menos de la edad que tiene, tendra 30 aos. Cuntos aos tendr dentro de 6 aos?

A) 36 B) 24 C) 46 D)

52

E)

48

19. Al comprar una grabadora en la tieneda de mi amigo me hacen un descuento del 15%, costndome as 170 dlares.

Cunto le costara a otra persona que noes su

amigo?

A) 340 B) 200 C) 300D)

240

E)

N.A.

20. Una seora va al mercado, donde al comprar un cierto nmero de naranjas le regalan un 12% de las que compr.

Obteniendo as 224 naranjas. Cuntas naranjas

compr?

A) 400 B) 600 C) 200

D)

120

E)



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C.P.F. SAN ROMAN

240

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

21. Hallar el 40% de 120.

A) 24 B) 36 C) 48 D)

60

E)

40

22. Hallar el 15% del 20% de 800.

A) 24 B) 30 C) 40 D) 36 E) 12

23. Calcular el 23,5% del 8% del 36% de 25 000.

A) 169,2 B) 172,6 C) 172,8

D) 121,4 E) N.A.

24. El 5% del 10% de los 4/3 de una cantidad es 15. Hallar dicha cantidad.

A) 2 050 B) 1 816 C) 2 225

D) 2 250 E) 2 260

25. Qu porcentaje del triple del 30% del un nmero es el 15% del 60% de dicho nmero?

A) 8% B) 10% C) 12% D) 16% E) 9%

26. De la figura:

Qu % de los cubos son los cubos con asteriscos?

A) 35% B) 45% C) 25%

D) 32% E) 31,25%



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C.P.F. SAN ROMAN

27. Hallar que porcentaje del da permaneces en el colegio?

Rpta: ................................

28. De 200 melones, 80 resultaron en mal estado, Qu porcentaje de los 200 estn buenos para la venta?

A) 80% B) 120% C) 60% D) 30% E) 50%

29. Si vendiera mi libro de Razonamiento Matemtico en un 25% ms; costara 20 soles. Cul es el precio real del libro?

A) S/.16 B) S/.25

C) S/.30

D) S/.45 E) S/.50

30. Carlos vende un artculo ganando el 10% de lo que le costo y le dan 300 soles. Hallar el precio de costo.

A) 300 B) 250 C) 200

D)

310E)

290


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C.P.F. SAN ROMAN

Tema 29

ESTADSTICA

La estadstica es la ciencia que se ocupa de recolectar,

procesar, presentar, analizar e interpretar datos que sirven para

la toma de decisiones de un investigacin

Existen dos tipos de estadstica, segn el trabajo realizado con los datos.

# Estadstica descriptiva: Recopila, procesa, analiza e interpreta un grupo de datos, sin ningn intento de hacer una

prediccin basada en ellos.

Ejemplo:

La tabla de posiciones del campeonato de fulbito de primer grado de secundaria.

# Estadstica inferencial: Estudia las inferencias o conclusiones hechas a partir de una informacin parcial (muestra), y las

condiciones que rigen su validez.Ejemplo:

Un profesor de matemtica utiliza el promedio del curso de la seccin A para estimar la calificacin promedio del resto de

secciones (B, C, D y E). Sin embargo, el profesor debe establecer qu probabilidad hay de que sea cierta su conclusin.

POBLACIN Y MUESTRA

Yavira estudia la clase de msica que le gusta a sus compaeros de colegio. Juan analiza los votos en las elecciones

peruanas. Ricardo revisa y coteja la fallas de los autos ensamblados en una empresa. Qu objetos o sujetos estudia cada

uno?

El conjunto por todos los individuos (personas, animales o

cosas) que son objeto de estudio se llama poblacin.

Las poblaciones pueden ser finita o infinitas por ejemplo:

Los estudiantes de un colegio en el aos 2 002 es una poblacin finita, pero si nos referimos a los estudiantes de un pas,

en el tiempo, tenemos una poblacin infinita.

En el ao 2 000 hubo elecciones en Per, muchas empresas divulgaron el resultado, antes de la eleccin. stas obtuvieron

resultados rpidos encuestando a toda la poblacin? Qu procedimiento siguieron?

Un subcojunto de una poblacin recibe el nombre de muestra, est tiene

menor nmero de elementos que la poblacin y es representativa de la

misma, pues conserva las proporciones y caractersticas de la poblacin.

El estudio de una muestra resulta menos costoso, ms rpido y nos puede brindar precisin si la muestra es elegida

adecuadamente, Por ejemplo:

Para estudiar la calidad de un lote de 100 000 focos se toma una muestra al azar de 1 000 focos.

Variable estadstica

Javier estudia las caractersticas de un deportista. Qu datos puede pedir Javier?

Cada una de las caractersticas de un elemento de la poblacin que

se investiga o registra recibe el nombre de Variable estadstica.

Ejemplo de variable son:El estado civil (soltero, viudo, divorciado); el sexo (masculino, femenino); la profesin; la nacionalidad; el peso; la edad; la


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talla; el nmero de latidos del corazn, etctera.

CLASIFICACIN DE VARIABLES

Las variables se clasifican en:

# Variables cualitativas: Son caractersticas que se expresan como categoras (nombre o nmeros) que al analizarlas slo

permiten observar semejanzas o diferencias.

Por ejemplo: estado civil, sexo, profesin, nacionalidad, etctera.# Variable s cuantitativas: Son caractersticas que se expresan de forma numrica. Por ejemplo: peso, edad, talla, nmero

de latidos de corazn etctera.

Por ejemplo: peso, edad, talla, nmero de latidos del corazn, etctera.

Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos:

< Discretas, si toman valores de un subcojunto de los nmeros enteros.

Por ejemplo: El nmero de hermanos, el nmero de goles a favor o en contra en un campeonato de ftbol.

< Continuas, si toman como valores nmeros decimales.

Por ejemplo: El peso de una persona, la temperatura de una ciudad.

ORGANIZACIN Y PRESENTACIN DE DATOS

Los alumnos observaron en el parque El bosque los siguientes tipos de arboles: acacias (a), fcus (f), caucho (c),

eucaliptos (e), poncianas (p) y molles (m). Ellos los anotaron en un cuaderno por orden de observacin; f,e,m,p,f, a, m, c,

m, a, e, a, m, p, m, m, a, f, a. Cmo pueden elaborar un informe acerca de lo observado.

La informacin recolectada es organizada en datos estadsticos y presentada en tablas y grficas, as se pueden hacer

comparaciones y observar tendencias. Veamos cmo se presentan los datos segn los diferentes tipos de variables.

TABLE DE FRECUENCIAS Y GRFICA: VARIABLES CUALITATIVAS

Para variables cualitativas, utilizamos la tabla de distribucin de frecuencias y la grfica de barras o circular.

# Tabla de Frecuencias:

< Absoluta (fi), si el nmero de veces que se repite un dato por categora.

< Relativa (hi), si el cociente obtenido entre el valor de una determinada frecuencia absoluta y el total dedatos observados. Se expresa tambin como porcentaje multiplicando dicho cociente por 100.

< Acumulada absoluta (Fi), Si se suman las frecuencias relativas. La correspondiente a la ltima categora

es igual al total de observaciones.

< Acumulada relativa (Hi), si se suman las frecuencias absolutas relativas. La correspondiente a la ltima

categora de la variable es igual a 1 100%.

Ordenemos, en una tabla de frecuencias, los datos de la situacin inicial.

TIPO DE

RBOL

FRECUENCIA

ABSOLUTA (fi)

FRECUENCIA

RELATIVA (hi)

PORCENTAJE

(hi) X 100)

F. ACUMULADA

ABSOLUTA (Fi)

F. ACUMULADA

RELATIVA (Hi)

Acacias

Ficus

Cauchos

Eucaliptos

Poncianas

Molles

Total

5

3

1

2

2

7

20

5 20 = 0,25

3 20 = 0,15

1,00

25%

15%

100%

5

8

20

25%

40%

100%

# Grfica: Presenta os datos por medio de figuras que hacen visible la relacin entre ellos. Pueden ser grficas de

barras o diagrama circular.

< Grfica de barras: Para elaborar ubicamos en el eje x las categoras de la variable en estudios y en el eje y

las frecuencias absolutas.

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Observa que las barras se dibujandejando un espacio entre ellas.

# Grfica o diagrama circular: Identifica cada categora con un sector del crculo. Si es tridimencional recibe el

nombre de pastel.

TABLAS DE FRECUENCIAS Y GRFICA: VARIABLES CUANTITATIVAS

En un aula se pregunt a cada estudiante por su nmero de hermanos. Las respuestas fueron: 2; 1; 2; 3; 0; 2; 1; 1; 4; 2; 1; 4; 1;

3; 5; 1; 0; 5; 2; 1; 3; 2; 1; 0. Cmo resumiras los datos?, Puedes grficarlos?

Para variables cuantitativas discretas, utilizando la tabla de frecuencias, la representamos mediante un grfica de barras,

circular y de bastones.

# Tabla de frecuencias: Presenta las categoras de la variable ordenadas de forma ascendente. Las frecuencias absolutas y

relativas, en este caso, tienen el mismo significado y propiedades que para la variable cualitativa.

# Grfica: Utilizamos generalmente la grfica de bastones, que consisten en trazar para cada categora de la variable un

segmento de recta proporcional a la frecuencia.

Completemos la tabla y la grfica de bastones y circular utilizando la informacin anterior.

N de

Hermanos

Frecuencia

Absoluta (fi)

Frecuencia

Relativa (hi)

0

1

2

3

4

5Total

3

8

25

12%

32%

24%

16%

8%

8%100%

Se recopilaron datos sobre el peso (kg) de 40 alumnos. Los resultados fueron 42; 46; 54; 61; 37; 46; 65; 58; 70; 54; 42;

36,5; 54; 48; 65; 58; 37; 38; 65; 54,25; 61; 58; 36; 46; 54; 58; 61; 48; 54; 42; 48; 61; 54; 46; 48; 75; 48; 54; 45; 70; 48;

58; 48.

Es conveniente elaborar la tabla de frecuencias que hemos estado usando? Por qu?

Para variables cuantitativas continuas, utilizamos la distribucin de frecuencias por intervalos o clases, pues el

nmero de valores de la variable es muy grande. Las representamos con el histograma y el polgono de frecuencias.

# Tabla de frecuencias por intervalos: Se obtiene agrupando los datos en intervalos o clases y determinando el


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nmero de datos que contiene cada uno. Para hallar la longitud de intervalo se calcula la diferencia entre los datos

extremos y se divide entre el nmero de intervalos deseados.

< Grfica: Se usa el histograma considerado que la base de cada barra es proporcional a la longitud del intervalo y la

altura proporcional a la frecuencia.

Peso (kg) 36 37 42 46 48 54 58 61 6570

N de Alumnos 2 2 3 4 7 8 5 4 3 2

PESO DE ALUMNOS

(INTERVALOS)

N DE ALUMNOS

(FRECUENCIA)

[36; 43[ 7

[43; 50[ 11

[50; 57[ 8

[57; 64[ 9

[64; 71] 5

Cada intervalo incluye el valor de la izquierda pero no el de la derecha. El ltimo intervalo considera ambos valores. El

polgono de frecuencias se forma uniendo los puntos medios de cada intervalo y cerrando el polgono medio intervalo antes

del primero y medio intervalo despus del ltimo.

ACTIVIDADACTIVIDAD

01. Escribe V o F segn cada enunciado sea verdadero o falso.

a. La frecuencia absoluta puede ser negativa

( )

b. La frecuencia relativa es un racional positivo o cero

( )

c. La suma de frecuencias absolutas es mayor que 1.

( )

d. La suma de frecuencias relativas es 1 100%

( )

e. La suma de frecuencias absolutas es igual al nmero de observaciones realizadas.

f. La frecuencia acumulada es igual a la suma de las frecuencias de dos valores consecutivos.

( )

02. En un centro comercial, 30 de los ms asiduos compradores llenaron encuestas sobre el servicio brindado, la

calificacin usada fue:

A = Excelente B = Muy bueno C =

Bueno

D = Aceptable E = Regular

F =

Deficiente

Los resultados fueron:

C B C A F A D B D C A B F D C A B D C

C B A A C B F A D D Fa. Elabora una tabla de frecuencias simples y

acumuladas: absoluta y relativa.

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b. Elabora una grfica de barras de frecuencias

simples y acumuladas.

03. Al realizar una encuesta entre sus compaeros de clase para saber el nmero de hermanos que tiene, se obtuvieron

los siguientes datos.

2 3 2 1

0

2 4 1 3

2

0 1 1 2 2

2 2 3 2 1

2 2 1 2 1

1 1 2 2 1

0 1 1 1 2

3 0 1 2 2

a. Construye una tabla distribucin de frecuencias.

b. Haz un diagrama de barras para representar los datos.

04. Para cada grfica elabora la tabla de frecuencias respectiva considerando en ella frecuencias absolutas y relativassimples y acumuladas.

(Nota: Aproximar al centsimo si es necesario)

05. Se tiene la tabla de distribucin:

a. Completa los datos en la tabla.

ESTUDIANTES DE PRIMER NMERO DE HERMANOS

Xi fi

hi

Fi H%COMO FRACCIN O

DECIMAL

COMO PORCENTAJE

(%)

4 8 8

3 2

2 10

1 8

0 4

Total

b. Cuntos estudiantes de primero tienen hermanos?

c. Cuntos estudiantes tienen 2 o ms hermanos?

d. Qu porcentaje de alumnos tiene 3 o ms hermanos?

e. Elabora una grfica de bastones de frecuencias absolutas acumuladas para el tipo de tabla que has completado.f. En relacin a la grfica anterior, te parece que resulta til este tipo de frecuencias acumuladas? Si tu respuesta es


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afirmativa en qu casos?

06. En la siguiente grfica se muestran las preferencias de los alumnos de un aula por los cursos de matemtica (M),

lenguaje (L), ingls (I), historia del Per (HP), historia universal (HU) y geografa (G).

Si a 12 alumnos les gusta

la matemtica,

Cuntos alumnos conforman el saln?

a cuntos le gusta la geografa.

07. Dado el siguiente pictograma acerca del tipo de detergente que usan las amas de casa del cono norte.

Qu porcentaje consumen otros detergentes?

A) 6% B) 5% C) 4%

D)

10%E)

3%

08. Del grfico anterior indicar que porcentaje no corresponde a Opal ni a Ariel.

A) 46,5% B) 42,5%

C)

40%

D) 48,5% E) 51%

09. Dado el siguiente diagrama de barras acerca de nmero de hijos de 80 hogares de la Urb. El Retablo.

Cuntas familias encuestadas tienen menos de 3

hijos?

A) 63 B) 58 C) 45 D)72

E)

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C.P.F. SAN ROMAN

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10. A partir de la siguiente grfica, determina el gasto mensual en cada rubro, si una persona gana S/.5 000.

11. Se han recopilado las notas de los cursos de matemtica (C1) y lenguaje (C2) de primer ao:

Notas C1 C2[0; 5[ 1 0

[5; 10[ 7 4

[10; 15[ 23 31

[15; 20] 9 5

a. Construye los histogramas de los dos cursos.

b. Discute y compara a las dos distribuciones.

12. El departamento de control de calidad de la fbrica textil La Reina toma una muestra, cada 2 horas, del nmero de

tejidos producidos en cada uno de los 3 turnos que tiene.

TIEMPO TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3

[0; 2[ 2 0 1

[2; 4[ 4 1 1

[4; 6[ 5 2 2

[6; 8] 7 3 3

a. Construye una histograma para cada turno.

b. Qu turno es ms eficiente?


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C.P.F. SAN ROMAN

13. El siguiente grfico muestra la asistencia al pub Costa Azul

El nmero de mujeres solas que asistieron el

sbado entre el nmero de las que asistieron el

viernes es igual:

A) 2.5 B) 2 C) 1,5

D)

1

E)

0,5

14. En el problema anterior el nmero de hombres que asistieron el sbado excede al nmero de hombres que asistieron

el viernes en:

A) 100 B) 150 C) 200

D)

250

E)300

15. En base al diagrama que se muestra determinar el nmero total de alumnos y la mayor cantidad de alumnos que

obtuvieron una misma nota.

A) 80 30 B) 150 5

C)

80

20

D) 75 30 E) 100 25


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PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

16. Del presupuesto nacional de la Repblica, se destina a un pueblo la cantidad de $40 000 para salud, vivienda y

educacin.

a. Cul es el porcentaje que se utiliz en vivienda?

b. Cunto dinero se utiliz en salud?

17. Dada la siguiente tabla de tiempos de utilizacin de la computadora por 250 profesores de la universidad.

Tiempo (Min) Profesores

[0;10[ 0

[10; 20[ 5

[20; 30[ 20

[30; 40[ 30

[40, 50[ 42

[50; 60[ 55

[60; 70[ 36

[70; 80[ 26

[80; 90[ 15

[90; 100[ 10[100; 110[ 6

[110; 120] 5

Diagrama el histograma y el polgono de frecuencia

en una sola grfica.

18. El siguiente histograma nos muestra el consumo promedio de energa elctrica de un conjunto habitacional en un

determinado da.

a. Cuntos kw/h se consume en todo el da?

b. Qu porcentaje del consumo diario se consume entre las 8:00 y 12:00 horas? Qu porcentaje del consumo diario se

consume entre las 20:00 y las 24:00 horas?

19. La grfica muestra la distribucin de gastos de un hogar (la canasta familiar). Si una familia gana S/.3 000, Cunto

gasta en cada uno de los rubros?

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C.P.F. SAN ROMAN

20. En el grfico muestra la distribucin de los gastos de un hogar Cuntos grados corresponden al sector alimentacin?

A) 135 B) 120 C) 144 D) 90 E) N.A.


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C.P.F. SAN ROMAN

21. En el curso de Matemtica, de un curso de 40 alumnos, se obtuvo el siguiente Histograma, sobre, las notas

obtenidas.

Calcular la suma de x y la media aritmtica de las

notas obtenidas.

A) 18,3 B) 20,5 C) 21,5 D) 19,3 E) 18,7

22. Dado el grfico que muestra el presupuesto de un empleado, si gana $650 mensualmente.

Cunto gasta mensualmente en polladas?

A) S/.120 B) S/.130

C)

S/.160

D) S/.165 E) S/.125

23. Cunto invierte en educacin?.

A) S/.205 B) S/.190

C)

S/.260

D) S/.195 E) S/.185

24. Qu % de su presupuesto gasta en otras actividades?

A) 12% B) 10% C) 8% D) 15% E)

65%


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c. Si se multiplica por 3 cada una de las edades de 4 hermanos, el promedio de las edades queda multiplicado por 3.

( )

d. El valor que ms se repite en un conjunto de datos se conoce como media aritmtica.( )

e. Para un arreglo de datos con 40 observaciones, la mediana ser el valor de la observacin nmero 20 del arreglo.

( )

f. El nmero de elementos de una muestra se denota con n.( )

g. La moda siempre se encuentra en el punto ms alto de una grfica de un arreglo de datos.( )

h. El valor que ms se repite en un conjunto de datos recibe el nombre de moda.( )

02. Calcula la media, la mediana y la moda.

a. Los siguientes datos son minutos que un grupo de alumnos se demora en contestar una pregunta.

4; 3; 4; 5; 3; 4;4;5;4;4

b. Los siguientes datos son el nmero de

accidentes de transito ocurridos durante los 10

primeros das del mes de octubre en un distrito

limeo.

6; 2; 4; 2; 1; 4; 3; 3; 4; 5

c. Las notas de matemtica de 20 alumnos que se

dividieron en dos grupos son:

Grupo 1: 14; 09; 12; 14; 13; 13; 11; 12; 15; 18

Grupo 2: 09; 15; 12; 11; 11; 15; 12; 17; 15; 12

03. Cul es el promedio o trmino medio de 31; 12; 12; 12; 31; 24; 31; 12; 12 y 24?

A) 19,2 B) 17,4 C) 19,4 D) 20,1 E) 20,3

04. Dado el siguiente conjunto de valores:

A = {1; 2; 1; 3; 2; 1; 7; 6; 3}

Calcular la mediana de los valores

A) 1 B) 2 C) 3 D)

6

E)

7

05. Dado el siguiente conjunto de valores:

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A = {2; 1; 0; 3; 1; 0; 2; 2}

Calcular la mediana de valores:

A) 0 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 3

06. Considere las observaciones muestrales siguientes:

24;37; 41; 82; 68 y 63.

Calcule la mediana.

A) 61 B) 41 C) 63 D) 52 E) 68

07. El nmero de alumnos de 10 secciones de un colegio se muestra en esta lista.

25 4011 44

41 42

44 40

La suma de los valores que se obtienen al calcular la media aritmtica la mediana y la moda es:

A) 120 B) 98 C) 100 D) 110 E) 89

08. Dado el siguiente conjunto de datos:

3; 5; 7; 3; 6; 8; 3; 5

Hallar: p si:

P =

func{{(MODA)+(MEDIANA) + (MEDIA))} over 2}

A) 6,3 B) 5,5 C) 6,5 D) 13 E) 7,5

09. En el siguiente conjunto de datos:.

51 50 51 53

54 53 51 53

52 50 56 54

Cul es la mediana?

A) 52 B) 53 C) 53,5 D) 51,5 E) 52,5


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C.P.F. SAN ROMAN

10. En una familia compuesta por 12 hijos se sabe que tienen las edades: Una recin nacida, 1 ao, 3 aos, 2 gemelos

de 4 aos, 5 aos, 3 trillizos de 7 aos; 9 aos, 10

aos y 15 aos.

Cul es la edad media de sus hijos?

A) 5,9 B) 5,8 C) 6 D)

6,1

E)

6,4

11. Los precios de un mismo medicamento en 11 farmacias de un distrito fueron los siguiente (en soles) 9; 10; 10; 13; 15;

11; 10; 11; 12; 14; 14. Si se considera como

promedio a la mediana de estos datos, es decir, el

dato que ocupa la posicin central cuando estn

ordenados de menor a mayor, la mediana es:

A) 10 B) 11 C) 12 D)

13

E)

14

12. Del problema anterior.

Hallar: (MODA) + (MEDIANA)

A) 12 B) 11 C) 12,5 D)14

E)

7,5

13. Del problema anterior que proposicin es correcta:

A) Media > Mediana > Moda

B) Media = Mediana > Moda

C) Moda > Media > Mediana

D) Moda > Media = Mediana

E) Moda = Media = Mediana

14. Dado la distribucin de frecuencias de las notas de 20 alumnos de 5to ao de Secundaria en el Curso de Aritmtica.

Notas 15 16 17 18 19 20

fi 4 0 6 5 2

Hallar: la media aritmtica + x.

A) 17,5 B) 19,5 C) 20,5 D) 18 E) 21



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15. Del problema anterior. Calcular la mediana ms la moda.

A) 32 B) 33 C) 34,5 D)

34

E)

35

PARA TUPARA TU

CUADERNOCUADERNO

16. Las notas en matemtica de 10 alumnos es como sigue:

11 11 12 13 13

14 15 15 16 18

Hallar:

(MEDIA) + (MEDIANA)

A) 20,72 B) 40,1 C) 27,3

D) 28,2 E) 34,3

17. Dado el siguiente conjunto de datos.

3, 5, 7, 3, 6, 8, 3, 5

Hallar P si:

P =

func{{(MODA)+(MEDIANA) + (MEDIA))} over 2}

A) 6 B) 5 C) 3 D) 15/2 E) 13/2

18. La siguiente tabla muestra el nmero de casa y el nmero de habitantes por cada de tres ciudades.

# casas # hab/casa

Esteras I 150 4

San Miguel 250 6

Villa Jardin 100 9



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Cul e la media aritmtica de los habitantes por casa para las tres ciudades?

19. Pedro ha llevado cuatro cursos en la universidad, el curso, sus crditos y su nota final son las siguientes:

Curso Creditos Nota

Matemtica 4 16

Esttica 4 14

Lengua 3 15

Redaccin 2 13

Cul es el promedio ponderado de Pedro?

20. Las notas del ltimo examen del curso de matemtica son:

14 18 04

11

15 19 14

15

16 11 15

16

12 18 12

19

08 17 15

20

Encontrar la media, mediana y moda de los datos.

airtmetica

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