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ADUNI 1

ANUAL INTEGRAL CURSO: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

BOLETIN Nº 5 2010

PRÁCTICA DOMICILIARIA

TANTO POR CIENTO II

1 Compras dos productos a un costo de 22 000 soles.la siguiente semana haces la misma compra, estando

el primer producto rebajado en un 10% y el segundo en un 20%, pagando solo 18 600 soles. ¿Cuánto

costará en soles la misma compra en otra ocasión, si los precios están rebajados en un 10% y en un 20%,

respectivamente, con relación a los precios de la segunda semana?

Resolución

Durante la primera semana Durante la segunda semana

Del dato: 100 a+100 b= 22 000……… (1) Del dato: 90 a+80 b= 18 600……….. (2)

De (1) y (2) se tiene a=100 b= 120

Reemplazando en lo pedido: 90%(90a) +80%(80b)=15 780

Por lo tanto la compra costara en otra ocasión 15 780. Respuesta: E)

2 El área de un cuadrado es 75 m2 y se disminuye a 48 m2.halle el porcentaje en que disminuye su

perímetro.

Resolución

De los datos: área Inicial área final

75 5 3 48 4 3

Perímetro 20√3 Perímetro 4√3

Variación por centual: x 100% = x100%= 20%

Por lo tanto su perímetro disminuye en 20%. Respuesta: B)

Costo del primer

producto

Costo del

segundo

producto

100a 100b

El primer producto se

rebaja en un 10% queda

el 90%

El segundo producto

se rebaja en un 20%

queda el 80%

(90%)100a= 90a (80%)100b=80b

75m2

48m2

ADUNI 2


BOLETIN Nº 5 2010

3 Se tienen 180 litros de alcohol de 90oy se mezclan con 270 litros de alcohol de 72o.Para que la mezcla sea

de 600, indique la cantidad de agua que se debe adicionar a la mezcla alcohólica obtenida.

Resolución

De los datos: 180 litros de OH al 90% 270 litros de OH al 72%

Se agrega X litros de agua Pureza = x 100%

Pureza = x 100% =60%

X=144 litros

Por lo tanto se debe agregar 144 litros de agua. Respuesta: C)

4 Dos recipientes contienen alcohol al 40% y 60%, y sus volúmenes están en la relación de 8 a 5,

respectivamente.se agrega a cada recipiente igual número de litros de agua y resulta que tienen la

misma concentración. ¿Cuál es dicha concentración?

Resolución

De los datos Total: 8 total: 5

Se agrega x litros de agua Se agrega x litros de agua

Pureza: =

Luego x= 40

Reemplazando x100%= 6, %

Por lo tanto la concentración es 6, % Respuesta: A)

OH: 162

litros

OH: 194,4

litros

OH 356,4

litros

OH: 40%(8)

litros

OH: 60%(5)

litros

ADUNI 3


BOLETIN Nº 5 2010

5 Un comerciante vende un artículo ganando el 25% del precio de costo, ¿qué tanto por ciento del precio

de venta está ganando en la venta de dicho artículo?

Resolución

Precio de Venta: 5

Sea la relación pedida: x 100% = 20%

Por lo tanto la ganancia es el 20% del precio de venta. Respuesta: A)

6 El precio de un artículo se fija en S/80 más que su precio de costo. Halle el precio de costo si se sabe que

al momento de venderlo se rebajó el 10% y se ganó el 8%.

Resolución

De los datos: Precio fijado: Pc +80 = 100k+80

Aumento = 80

Se observa 18k +8 =80

k =4

Por lo tanto el precio de costo será: S/400. Respuesta: E)

Precio de costo (25%Ganancia)

4

Ganancia

1

Precio de costo

100k

Ganancia

8%Pc = 8k

Descuento

10%PF = 10k + 8

ADUNI 4


BOLETIN Nº 5 2010

SUCESIONES I

7 Los términos de la secuencia (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13;..) obedecen a una ley de formación. Si a n , es el

término de orden n de esa secuencia, el valor de a30 +a55 es:

Resolución

De los datos se observa que hay dos sucesiones intercaladas del cual se tiene:

Por lo tanto a30+a55 =22+37=59. Respuesta: D)

8 En una P.A. el cuarto término es 53 y el décimo tercer término es 89.Halle el vigésimo término.

Resolución

9r 7r

53+9r =89 T20=89 +7r

r=4

Por lo tanto T20= 89 +7(4) =117. Respuesta: D)

N° de término

PARES

a2

2(1)

a4

2(2)

a6

2(3)

a30

2(15)

1 1na a r n

a30 = 8+(1)(14)

8

+1

9

10

+1

…………… 22

N° de término

IMPARES

a1

2(1)-1

a3

2(2)-1

a5

2(3)-1

a55

2(28)-1

1 1na a r n

a55 = 10 + (1)(27)

10

+1

11

12

+1

…………… 37

10 20 30 40 ………. 130 ……… 200

53 …………. 89

ADUNI 5


BOLETIN Nº 5 2010

9 ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión son impares y poseen 3 cifras?

4,11; 18; 25;…

Resolución

De la sucesión se tiene:

10 20 30 40 ………. n0

4

+7

11 18

+7

25 …………. 7n-3

100≤7n-3≤999 14,7 Luego n=15; 16; 17; 18;…; 143

Los términos serán 102; 109; 116; 123;….; 998 N0 términos = +1 =129 términos

Número de términos pares: 65

Número de términos impares: 64

Por lo tanto son 64 términos impares. Respuesta: C)

10 Si ; ;

Están en P.A., halle el valor de m

Resolución

Se sabe que la semisuma de términos equidistantes es igual al término central

entonces:

2

2

1 1

19 4

2 2

4 9 12

9 4 2

13 13 36

36

6

m m

m

m m

m m m

m m m m

m

m

Por lo tanto: m es igual a 6. Respuesta B)

ADUNI 6


BOLETIN Nº 5 2010

11 Un niño vende boletos de cierta lotería .El primer día vendió 2 boletos, el segundo día 5 boletos, el tercer

día 4 boletos más que el segundo día, el cuarto día el doble de lo que vendió el tercer día, menos 4

boletos, y así sucesivamente. Si comenzó a vender el 23 de marzo, ¿Cuánto vendió el 5 de abril?

Resolución

Del 23 de marzo al 5 de abril son 14 días de venta.

Día 1° 2° 3° 4° …………

…

13°

N° de boletos Lo 0 2 5 9 14 ………

RA 2 3 4 5

MI 1 1 1

Luego 21 3

2 2nt n n t14 = = 119

Por lo tanto: el día 5 de abril vende 119 boletos. Respuesta: D)

12 Si se borran los términos de lugar par de una sucesión, resulta otra cuyo término general es 24 4 2n n , en cambio, si se borran los de lugar impar, se obtendría otra cuyo término general seria 24 1n ¿Cuál es el termino general de dicha sucesión?

Resolución

Construyamos la sucesión teniendo en cuenta:

24 4 2nt n n , Para lugares impares

24 1nt n , Para lugares pares

1°

2° 3° 4° 5° …………………….. n°

LO 1 2 5 10 17 26

RA 1 3 5 7 9

MI 2 2 2 2

Luego: 2 1nt n

Por lo tanto: el término general de la sucesión formada es 2 1nt n Respuesta: B)

PIDE

ADUNI 7


BOLETIN Nº 5 2010

SUCECIONES II Y SERIES I

13 Una máquina costo inicialmente $ 10480. Al cabo de un año se vendió a la mitad de su precio, pasado

otro año volvió a venderse por la mitad del nuevo precio, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la

máquina al séptimo propietario?

Resolución

De los datos se tiene: una progresión geométrica

N° de propietario 1° 2° 3° …………………….. 7°

Costo de la máquina 10 480 5 240 2 620

1

2

1

2

De lo que se tiene:

1

1

6

7

110480 163,75

2

n

nt t q

t

Por lo tanto: el séptimo propietario le costo $ 163,7. Respuesta: B)

14 Determine el cuarto término de una progresión geométrica si los tres primeros términos son de la

forma 3 1 , 5 1 , 7 1b b b .

Resolución

Se sabe que la raíz cuadrada del producto de términos equidistantes es igual al término central

entonces:

2

2

5 1 3 1 7 1

5 1 3 1 7 1

25 10 1

b b b

b b b

b b

221 10 1b b

5b

Luego

1° 2° 3° 4°

16 24 36 54

6

4

6

4

6

4

Por lo tanto: el cuarto término es 54. Respuesta: E)

Pide

Pide

ADUNI 8


BOLETIN Nº 5 2010

15 En una progresión geométrica que tiene 5 términos, la razón es igual a la cuarta parte del primer

término y la suma de los dos primeros términos es 24. Halle la suma del tercer término y quinto

término.

Resolución

Se tiene la siguiente progresión geométrica:

1° 2° 3° 4° 5°

4a

a

24a 34a 44a 54a

Del dato

24 4 24

1 6 2 3

a a

a a

2a

Luego:

3 5

3 5

3 5

3 5

4 4

4 2 4 2 160

t t a a

t t

Por lo tanto: la suma del tercer término y el quinto término es 160. Respuesta: D)

16 Calcule la suma de cifra del valor de a en la siguiente serie

1 2 3 ...... 3 1640a a a a a

Teniendo en cuenta la serie aritmética 1 2 3 ...... 3a a a a a cuya razón es 1.

Hallando su valor: 1

2

nt tS n

3 3 1

2 1

2 2 1

2 2 1 1640

2 1 820 20 41

a a a as

s a a

a a

a a

20a

Por lo tanto: la suma de cifras de a es 2. Respuesta: B)

ADUNI 9


BOLETIN Nº 5 2010

17 Se reparten 4044 panes de tal manera que el primer niño recibe 2, el segundo niño recibe 4, el tercero

6, y así sucesivamente. ¿Cuántos panes sobran?

Resolución

Se tiene

N° de orden 1° 2° 3° n°

N° de panes 2

+2

4

+2

6 …………… 2n

Se suma todos los panes repartidos

2 2

2

1

ns n

s n n

Este valor debe aproximarse a 4044, entonces: 1s n n = 64x63=4032

Por lo tanto: sobra 4044 - 4032= 12. Respuesta: C)

18 Halle la suma de todos los términos del siguiente arreglo si se sabe que es simétrico respecto al centro.

14 16 18 20

8 10 12

4 6

2

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

20 filas

Resolución

Se observa que en la parte superior todos son números pare y en la parte inferior todos son impares

Juntándolos tendríamos a los números naturales, solo faltaría determinar cuántos son:

Se observa una relación entre el término de la derecha y el número de fila

ADUNI 10


BOLETIN Nº 5 2010

514 16 18 20 4

2

48 10 12 3

2

34 6 2

2

2

4

3

2 1

2

2

1

fila

fila

fila

fila

De esta manera hasta la fila 10: 110

11

2 102

Entonces: S= 1+2+3+4……..+110= 110 111

2

= 6105

Por lo tanto: la suma total del arreglo es 6105. Respuesta: D)

SERIE II

19 Halle la suma de los términos de la fila 10.

1 1

2 4 9

3 16 25 36

4 49 64 81 100

5 121 144 169 196 225

fila

fila

fila

fila

fila

Resolución

Todo el arreglo está formado por cuadrados perfectos, nos interesa saber quien inicia y termina la fila 10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21 1

2

34 9 3

2

416 25 36 6

2

549 6

1

4 81 100 102

6121 144 169 196

1

2

45

46 5

225 152

10

2

2

33

44

55

99

10510

11

2

fila

fila

fila

fila

fila

fila

fila

ADUNI 11


BOLETIN Nº 5 2010

22 2 2 2 2 2 21 2 ..... 45 1 2 ..... 446 .... 55

55 56 111 45 46 9125585

6 6

5S

S

Por lo tanto: la suma de todos los términos de la fila 10 es 25585 Respuesta: B)

20 calcule el valor de 20

9 99 999 ......... 9999...99cifras

S

20

2 3 20

2 3 20

20

21

10 1 100 1 1000 1 ... 10..00 1

10 1 10 1 10 1 ... 10 1

10 10 10 ... 10 20

10 10 120

10 1

101 190

9

cifras

S

S

S

S

S

Por lo tanto: el valor de 2110 190

9S

. Respuesta: C)

21 Halle el valor aproximado de S

Resolución

Observemos que la siguiente serie proviene de la sucesión geométrica cuya razón es

Por lo tanto: Al valor de S es 9/10 . Respuesta: E)

1

2

9 18 36 72...

20 80 320 1280s

9

10S

9

2 20

S

1

2 -

9 9 9 9...

20 40 80 160

1 9 9 9...

2 40 80 160

S

S

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22 Calcule el valor de la siguiente serie:

S= 1+ 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

2 3 4 6 8 12

Resolución

S= 1+ 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 +…

2 3 4 6 8 12

S = 1 + 1 + 1 + 1 +…

6 12 24

Por lo tanto: El valor de la serie es igual . Respuesta: C)

23 Halle la suma de todos los números de 4 cifras que comiencen y terminen en 4.

Resolución

Sea la forma general del número de cuatro cifras que comiencen y termine en 4:

Por lo tanto: la suma de todos los números de 4 cifras que comiencen y terminan en 4es: 449900

Respuesta: B)

24 Marque la alternativa donde aparece el resultado de la siguiente suma:

Resolución

Observamos:

1 41

3 3S

4

3

La razón de la sucesión geométrica

infinita es q= 1/2 y además su 1º

término es 1/6

1 4 2 5 3 6 ... 40 30S

4ab4

4004 ... 4994

4004 ... 4004 99

40344

0

4004 100 10 20 30 ... 990

4

4024

400

004

014

4004 10

100 10(1 2 3 4 ...

4004 30

99)

44

4 20

9900

S

S

S

S

S

1 4 2 5 3 6 ... 40 30S

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Luego:

Por lo tanto: El resultado de la suma es: 24600. Respuesta: A) CONTEO DE FIGURAS I 25 Halle el número de triángulos en la siguiente figura:

Resolución

Este problema se resolverá por el método de combinación

Combinación de 1 fig. : a,b,c,d,f,g,h. 5

Combinación de 2 fig.: db,cf,ce,de,dh,fg. 6

Combinación de 3 fig.: acf,abd,heg,beg. 4

Combinación de 5 fig.: cfegh, bdheg. 2

El total de la figura 1

Suma Total de Triángulos 20

Por lo tanto: la suma total de triángulos es: 20 Respuesta: C)

( 3) ( 3) ( 3)1 1 2 2 3 3 ... ( 3)40 40S

40 40 40 402 2

n 1 n 1 n 1 n 1

( 3) (n 3n) n 3nn nS

40 40

2

n 1 n 1

n 3 nS

40(41)(81) 3(40)(41)24600

6 2S

ADUNI 14


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26 Halle el número de pentágonos en el siguiente gráfico:

Resolución

1er Tipo de pentágonos

Se observan 4 de estas figuras, ya que se forman por Cada lado del cuadrado mayor.

2do tipo de pentágonos

Se observan 4 de estas figuras, ya que se forman por Cada lado del cuadrado menor.

3er tipo de pentágonos:

Se observan 4 de estas figuras, ya que se forman por Cada lado del cuadrado menor.

4to tipo de pentágonos:

Se observan 4 de estas figuras, que se forman por Cada vértice del cuadrado mayor.

Por lo tanto: Total de pentágonos= 4 + 4 + 4 + 4 = 16. Respuesta: C)

ADUNI 15


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27 Calcule el número de triángulos en el siguiente gráfico.

Resolución

Contemos por separado la cantidad de triángulos

1º Los triángulos de la siguiente forma:

Se cuentan: 12 triángulos

2º Los de esta forma:

Se cuentan 8 triángulos

3º Por último los de la siguiente forma:

Se cuentan: 6

Por lo tanto: 12 + 8 + 6 = 26 triángulos Respuesta: B)

ADUNI 16


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28 Halle el número de cuadriláteros en la siguiente figura.

Resolución

Lo resolvemos por el método de combinación:

Combinación con 1 fig.: b, d, e, g, h. 5

Combinación con 2 fig.: bc, dc, fg, ef. 4

Combinación con 3 fig.: bcd, efg. 2

Suma Total de Cuadriláteros 11

Por lo tanto: La suma total de cuadriláteros es: 11. Respuesta: C)

29 ¿Cuántos cuadrados con al menos una casilla blanca hay en un tablero de ajedrez.

Resolución

Observemos el tablero de ajedrez:

1

suma decuadradossumatotal de suma decuadrados

con al menos casillacuadrados grises

blanca

172 = 8² + 7² + 6² + 5² + 4² + 3² + 2² + 1² - 32

Por lo tanto: Hay 172 cuadrados con al menos una casilla blanca en un tablero de ajedrez.

Respuesta: D)

1 2 3 4 5 6 7 8

2

3

4

5

6

7

8

casillas

simples

gris

8 9 17

6

ADUNI 17


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30 ¿Cuántos cuadriláteros hay en el siguiente gráfico?

Resolución

Tenemos que tener en cuenta la siguiente observación

(Cóncavos) (Convexos)

S total : 3(4) 2(3) + 3(4) 2(3)

Cuadriláteros 2 2 2 2

S total : 36 Cuadriláteros

Por lo tanto: Hay 36 cuadriláteros Respuesta: D)

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