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“Análisis de perfiles aerodinámicos mediante un método de paneles” Diego Lodares / Juan Manzanero 3º Curso. Especialidad: CTA
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AERODINÁMICA: MÉTODOS
NUMÉRICOS
Práctica nº 1: Análisis de perfiles
aerodinámicos mediante un
método de paneles
Diego Lodares Gómez DNI: 53816452-V
Juan Manzanero Torrico DNI: 04857557-W
Especialidad: CTA
“Análisis de perfiles aerodinámicos mediante un método de paneles” Diego Lodares / Juan Manzanero 3º Curso. Especialidad: CTA
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INTRODUCCIÓN
El siguiente informe recoge los resultados obtenidos tras el análisis del perfil
aerodinámico NACA 6300 aplicando un método de paneles (solución discretizada).
Se trata de un método numérico que encuentra su fundamento en la discretización de las
ecuaciones que permiten el cálculo de las cargas aerodinámicas sobre un perfil inmerso en un
fluido que se puede considerar potencial, volando en régimen subsónico e incompresible a
bajos valores del ángulo de ataque, es decir, las ecuaciones de la Teoría Potencial Linealizada.
Estas ecuaciones reducen el cálculo de las velocidades en la superficie del perfil a determinar
una distribución de torbellinos situados en el esqueleto de dicho perfil, que previamente ha
sido discretizado en un número finito de paneles.
Cada panel queda comprendido entre dos nodos, de tal forma que las incógnitas del modelo
resultan la intensidad de los torbellinos en cada nodo, y se aproxima la intensidad de dichos
torbellinos en cada panel mediante interpolación lineal de los correspondientes valores en sus
nodos anexos.
El problema resuelto por el método de los paneles es el llamado Problema Directo, de tal
forma que a partir de la línea de curvatura, el ángulo de ataque, y la velocidad de vuelo se
obtienen las magnitudes deseadas tras la resolución del algoritmo que caracteriza este
método.
Para conseguir una mayor generalidad en el análisis, se ha procedido a la adimensionalización
de las magnitudes mediante una dimensión característica. Para las longitudes se ha empleado
la cuerda del perfil, mientras que para velocidades se utiliza la velocidad de la corriente sin
perturbar, .
De esta forma la variable de longitud empleada,
,estará comprendida entre 0 (Borde de
ataque) y 1 (Borde de salida).
ANÁLISIS DE LA GEOMETRÍA DEL PERFIL
Para el desarrollo del trabajo se ha estudiado el comportamiento del ya citado perfil cuya
denominación es NACA 6300. Debido a que el método de paneles hace uso de la teoría
potencial linealizada, el espesor contribuye mediante un efecto de segundo orden, así que
únicamente se resuelve el problema antisimétrico o sustentador a partir de la línea media del
perfil.
La línea media de los perfiles tipo NACA se obtienen mediante dos parábolas tangentes en el
punto de máxima curvatura. En este caso, los valores numéricos utilizados han sido:
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De esta forma, introduciendo los parámetros en la expresión general que hace uso de la
condición de tangencia se obtiene la línea de curvatura representada:
RESOLUCIÓN DEL PERFIL MEDIANTE EL MÉTODO DE PANELES
Para la aplicación del método de paneles, en primer lugar se debe concretar la distribución
nodal de la que se va a hacer uso. Cualitativamente, como las mayores variaciones de las
magnitudes tienen lugar en los bordes de salida y de ataque, lo óptimo será disponer de una
mayor concentración de nodos en esta zona. Para evitar definir funciones a trozos, lo más
sencillo es el empleo de una distribución cosenoidal, de tal forma que automáticamente esta
función cumple con el requerimiento ya mencionado.
El número de nodos empleados es de 101 (de tal forma que el número de paneles es 100), ya
que así se obtiene un compromiso entre precisión de cálculo y exigencias computacionales.
Así, el perfil queda discretizado de la siguiente manera:
Figura 1: Línea media del perfil
Figura 2: Discretización de la línea media
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1) Distribución de sustentación a lo largo de la cuerda del perfil
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones que permiten determinar la distribución de
torbellinos para los ángulos de ataque pedidos ( es posible el cálculo de las
correspondientes distribuciones de sustentación del perfil:
Figura 3: Distribuciones de sustentación para distintos ángulos de ataque.
Puede observarse que en ninguno de los casos el perfil vuela al ángulo de ataque ideal, ya que
aparece la singularidad de tipo
haciendo divergir la solución al infinito. Para los
valores el coeficiente que marca el carácter de la singularidad es negativo y para
el coeficiente de la singularidad es positivo.
Además se cumple que el coeficiente de sustentación Cl (x) se anula en el borde de salida, de
tal forma que efectivamente se verifica la hipótesis de Kutta impuesta en el modelo.
Por último, en la figura también se ofrece la solución cuando el perfil vuela al ángulo de ataque
ideal, de tal forma que efectivamente la distribución de sustentación se anula en el borde de
ataque evitando la singularidad.
2) Coeficientes de fuerzas y momentos globales del perfil
Integrando la distribución de sustentación (es decir, sumando en el modelo numérico) a lo
largo de toda la cuerda es posible obtener el coeficiente global de sustentación del perfil y los
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coeficientes de momento aerodinámico respecto del centro aerodinámico (el cual resulta
independiente del ángulo de ataque de vuelo) y respecto del borde de ataque. Además se ha
calculado la posición del centro de presiones, definido como aquel punto en el que se
encuentra aplicada la sustentación (no se obtiene componente de momento).
Los resultados se recogen en la siguiente tabla:
α= -5 α= 0 α= 5
CL 0.0826 0.6309 1.1791
Cmac -0.1342 -0.1342 -0.1342
Cmba -0.1548 -0.2919 -0.4290
xcp/c 1.8749 0.4627 0.3638
Su representación gráfica se muestra a continuación:
Figura 4: Coeficiente de sustentación global Cl frente a ángulo de ataque.
Figura 5: Coeficiente de momento respecto al borde de ataque en función del ángulo de ataque.
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Figura 6: Coeficiente de momento respecto al centro aerodinámico
en función del
ángulo de ataque del perfil. Puede observarse cómo se mantiene constante sea cual sea dicho ángulo.
Figura 7: Posición del centro de presiones en función del ángulo de ataque del perfil. Tiende a infinito cuando se cumple que el coeficiente de
sustentación global del perfil tiende a cero, es decir, cuando la línea de sustentación nula tiene la dirección de la corriente incidente y α=-αLSN.
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En primer lugar, puede señalarse que la curva CL(α) preserva el carácter rectilíneo
característico de la teoría potencial linealizada.
También destaca la independencia del momento respecto al centro aerodinámico del ángulo
de ataque, tal y como anuncia su definición.
Por último, destacar que para α= -5 la posición del centro de presiones queda fuera del
esqueleto del perfil, esto no debe resultar una controversia, ya que es el punto en el cual
queda aplicada la distribución de sustentación, y no tiene por qué tratarse de un punto del
esqueleto.
3) Coeficientes característicos de la curva de sustentación del perfil
Aplicando las ecuaciones del método de paneles es posible calcular los coeficientes de la curva
de sustentación del perfil CL(α). Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
CL0 CLα αLSN (rad)
0.6309 6.2829 0.1004
TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA
En el siguiente apartado, se llevará a cabo un análisis análogo al anterior, pero aplicando las
expresiones propias de la teoría potencial linealizada de perfiles delgados volando en régimen
subsónico, utilizando el programa MATLAB para el cálculo de los coeficientes de los
desarrollos en serie trigonométricos propios de esta teoría.
Figura 8: Línea de sustentación nula. Cuando se cumpla la igualdad α=-αLSN, el coeficiente de sustentación global del perfil será nulo.
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a) Distribución de sustentación a distintos ángulos de ataque
Como se puede observar, la distribución correspondiente al ángulo de ataque ideal es la única
que evita la singularidad en el origen. Los resultados obtenidos mediante esta teoría se
asemejan en gran manera a aquellos fruto del método de paneles:
b) Cálculo de coeficientes aerodinámicos y posición del centro de presiones
La siguiente tabla muestra una comparación entre los dos métodos considerados:
Figura 9: Distribución de sustentación para el perfil volando a distintos ángulos de ataque (teoría potencial linealizada).
Figura 10: Comparación entre las distribuciones obtenidas para un ángulo de ataque de 5°.
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α= -5° α= 0° α= 5°
Cl T.P.L. 0.0827 0.6310 1.1793
M. Paneles 0.0826 0.6309 1.1791
Cmac T.P.L. -0.1342 -0.1342 -0.1342
M. Paneles -0.1342 -0.1342 -0.1342
Cmba T.P.L. -0.1549 -0.2919 -0.4290
M. Paneles -0.1548 -0.2919 -0.4290
xcp/c T.P.L. 1.8734 0.4627 0.3638
M. Paneles 1.8749 0.4627 0.3638
Puede concluirse que las soluciones obtenidas se hallan comprendidas en un aceptable
margen de confianza, ya que en un análisis de esta naturaleza basta con una precisión de dos
decimales para las magnitudes.
A continuación se muestran las representaciones gráficas de dichas magnitudes:
Figura 11: Coeficiente de sustentación global Cl en función del ángulo de ataque (teoría potencial linealizada).
Figura 12: El coeficiente de momento de cabeceo respecto al centro aerodinámico es independiente del ángulo de ataque del perfil.
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c) Cálculo de Cl0, Clα y línea de sustentación nula
La aplicación de la teoría potencial linealizada conduce a los siguientes resultados:
Teoría potencial linealizada Método de paneles
Cl0 0.6310 0.6309
Clα 6.2832 6.2829
αLSN (rad) 0.1004 0.1004
Puede comprobarse como los valores obtenidos mediante cada método son muy similares. De
hecho, la pendiente de la línea de sustentación del perfil (Clα) calculada a través de la teoría
potencial se aproxima más a su valor teórico (2π). Debería coincidir exactamente de no ser por
los errores de truncación propios de todo programa de cálculo numérico como MATLAB.
Figura 13: Coeficiente de momento calculado en el borde de ataque del perfil frente a ángulo de ataque (teoría potencial linealizada).
Figura 14: Posición del centro de presiones del perfil en función del ángulo de ataque(teoría potencial linealizada).
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Figura 15: Línea de sustentación nula calculada a través de la teoría potencial linealizada de perfiles.
INFLUENCIA DEL NÚMERO DE PANELES
Para evaluar el efecto del número de paneles en la solución del método se ha elevado su
número en un orden de magnitud, es decir, tomando 1000 paneles (frente a los 100 que se
tomaron en el análisis anterior).
Una vez resuelto de nuevo el problema con 1000 paneles, se extraen los datos numéricos
precisos (con un mayor número de cifras significativas para facilitar la comparación posterior)
para ver cómo han cambiado, y a su vez compararlos con la teoría potencial linealizada para
comprobar qué método resulta más preciso.
α= -5 α= 0 α= 5
CL 0.082660099913571 0.630971210921254 1.179282321928934
Cmac -0.134187989580943 -0.134188129368810 -0.134188269156679
Cmba -0.154853014559336 -0.291930932099124 -0.429008849638913
Xcp/c 1.873370764386313 0.462669178951743 0.363788078275599
Solución de la teoría potencial linealizada:
α= -5 α= 0 α= 5
CL 0.0826610288380190 0.630972384454094 1.179283740070170
Cmac -0.134188203313414 -0.134188203313414 -0.134188203313414
Cmba -0.154853460522918 -0.291931299426937 -0.429009138330956
Xcp/c 1.873355106992032 0.462668900604122 0.363787885607097
De esta forma, puede calcularse el error relativo a la teoría potencial linealizada:
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- Para N=1000:
ERROR α= -5 α= 0 α= 5
CL 1.123775569994e-05 1.859879876477e-06 1.202544551060e-06
Cmac 1.592781373059e-06 5.510514484530e-07 4.906784945618e-07
Cmba 2.879907114019e-06 1.258268005172e-06 6.729274917199e-07
Xcp/c 8.357942507183e-06 6.016129894049e-07 5.296176963367e-07
- Para N=100:
ERROR α= -5 α= 0 α= 5
CL 0.00112730355851456 0.000185924274416939 0.000119938983933838
Cmac 0.000157244897415810 5.36427751444799e-05 4.99593471258165e-05
Cmba 0.000286699619785070 0.000125120185393774 6.67971047666224e-05
Xcp/c 0.000841552623997118 6.08153960815134e-05 5.31482537148721e-05
Se comprueba la tendencia esperada: Al aumentar el número de paneles la solución tiende
asintóticamente a la de la teoría potencial linealizada. Este resultado no resulta sorprendente
ya que el método de los paneles es la resolución numérica de las ecuaciones de la TPL, por lo
que al tomar un mayor número de paneles se describe de forma más precisa la geometría de la
curvatura.
También ocurre algo similar con los valores obtenidos para los parámetros característicos de
la curva de sustentación:
CL0 CLα αLSN (rad)
N=100 0.630855071371338 6.282908809083086 0.100399862731999
N=1000 0.630971210921254 6.283182504173865 0.100422148236161
TPL 0.630972384454094 6.283185307179587 0.100422373940349
INFLUENCIA DE LA FORMA DE DISTRIBUCIÓN DE LOS PANELES
Para evaluar la repercusión que una distribución distinta de los nodos utilizados para
discretizar el perfil puede tener sobre los resultados obtenidos, se ha optado por representar
las distribuciones de sustentación disponiendo los nodos de distintas formas, manteniendo el
número de paneles constante e igual a 100.
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a) Nodos equiespaciados:
Los resultados numéricos del análisis se recogen en las siguientes tablas comparativas:
Nodos equiespaciados Distribución original (cosenoidal)
Cl0 0.6277 0.6309
Clα 6.2707 6.2829
αLSN (rad) 0.0997 0.1004
α= -5° α= 0° α= 5°
Cl Nodos equiespaciados
0.0805 0.6277 1.1749
Distribución cosenoidal
0.0826 0.6309 1.1791
Cmac Nodos equiespaciados
-0.1333 -0.1333 -0.1333
Distribución cosenoidal
-0.1342 -0.1342 -0.1342
Cmba Nodos equiespaciados
-0.1535 -0.2902 -0.4270
Distribución cosenoidal
-0.1548 -0.2919 -0.4290
xcp/c Nodos equiespaciados
1.9068 0.4624 0.3634
Distribución cosenoidal
1.8749 0.4627 0.3638
Figura 16: Los nodos equiespaciados no son adecuados para representar la tendencia al infinito que la distribución de sustentación a lo largo del perfil muestra en el borde de ataque.
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b) Nodos concentrados en el centro:
Los resultados obtenidos para esta distribución son:
Nodos concentrados Distribución original (cosenoidal)
Cl0 0.6259 0.6309
Clα 6.2639 6.2829
αcl=0 (rad) 0.0994 0.1004
α= -5° α= 0° α= 5°
Cl Nodos concentrados
0.0793 0.6259 1.1726
Distribución cosenoidal
0.0826 0.6309 1.1791
Cmac Nodos concentrados
-0.1328 -0.1328 -0.1328
Distribución cosenoidal
-0.1342 -0.1342 -0.1342
Cmba Nodos concentrados
-0.1527 -0.2893 -0.4259
Distribución cosenoidal
-0.1548 -0.2919 -0.4290
xcp/c Nodos concentrados
1.9250 0.4622 0.3632
Distribución cosenoidal
1.8749 0.4627 0.3638
Figura 17: La ausencia de suficientes nodos en el entorno del borde de ataque hace que la forma de la distribución sea aún más inexacta: la tendencia al infinito de la curva
solamente llega a sugerirse tímidamente.
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COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS CON OTROS MÉTODOS
Previamente se ha comparado los resultados obtenidos mediante el método de los paneles
con los resultados analíticos de la teoría potencial linealizada, comprobando la veracidad de la
solución obtenida hasta cierto grado de aproximación, y viendo cómo a medida que se
aumenta el número de paneles se reduce la diferencia con la analítica.
A continuación se presenta la comparación de los resultados del método de paneles, más
concretamente la curva CL(α) con el programa JAVAFOIL.
Se han introducido en el programa los datos relativos a la línea media del perfil NACA 6300. Es
necesario señalar que no se le ha dado espesor al perfil, para poder establecer una
comparación en igualdad de condiciones con la curva obtenida a través del método de paneles
utilizado anteriormente.
Figura 18: coeficiente de sustentación global frente a
ángulo de ataque (mostrado en este caso en grados
sexagesimales). Caso sin viscosidad. Re=9x106.
Figura 19: coeficiente de sustentación global frente a ángulo de ataque (de nuevo,
en grados sexagesimales). Caso con viscosidad. Re=
9x106.
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Cabe destacar que no aparecen diferencias notables entre los casos con y sin viscosidad. Es
decir, para un número de Reynolds igual a 9x106 la introducción o no de fenómenos viscosos
no afecta en exceso a la curva Cl (α). Por otra parte, estas dos curvas han perdido su carácter
lineal, hecho debido sin duda a que el programa JAVAFOIL lleva a cabo un tratamiento más
complejo que la teoría potencial linealizada de perfiles. Sin embargo, en un entorno de la
abcisa α=0 todas las gráficas llegan a ser muy similares entre sí, llegando incluso a tener la
misma ordenada en el origen ( que, en el caso de la teoría potencial linealizada, se calcularía
como 2·π·αLSN). Esta última apreciación se erige como importante reivindicación de la validez
de la teoría potencial linealizada y los métodos de paneles asociados a ella para pequeños
ángulos de ataque, ofreciendo resultados satisfactorios de una forma rápida y relativamente
sencilla.
CONCLUSIONES
El método de paneles resulta un esquema numérico gratamente sorprendente en cuanto a la
fidelidad de los resultados que obtiene tras escasas operaciones de cálculo. Así, se ve que con
100 paneles obtenemos resultados totalmente válidos, ya que a lo largo del curso de
aerodinámica básica se ha recomendado con insistencia una precisión de dos decimales para
las magnitudes obtenidas.
En cuanto a las limitaciones que presenta este método, resultan las mismas que las que
presenta la teoría de la que proviene: la incapacidad de simular desprendimientos de capa
límite, el fenómeno de entrada en pérdida, no calcular resistencia viscosa ni de forma, etc.
Figura 20: coeficiente de sustentación global en función del ángulo de ataque (en radianes), aplicando el método de paneles con N=100.