ESTABILIDAD DE

LyapunovINTEGRANTES:

ARCOS BASURTO SANDRAAUSTRIA BAEZA IVAN

CARDOZO ROSAS ARTUROHERRERA HERRERA HECTORVALDOVINOS VARGAS FIDEL

ESTABILIDAD DE LYAPUNOV PARA SISTEMAS LINEALES

• En general siempre vamos a desear que los sistemas no se aparten demasiado de su punto de operación, puesto que podemos llegar a saturaciones, quemarse equipos, hacer saltar fusibles, etc.; y por lo general el sistema quiero que siga funcionando por todo el tiempo de la vida útil del sistema (y no repararlo o reemplazarlo cada dos por tres).

• Es importante entonces antes de poner en funcionamiento un sistema, hacer un análisis para prever si el sistema tendrá variables que diverjan o no (que no diverja es un indicio de que el sistema es “estable”).

CONSIDERAREMOS LA ESTABILIDAD DESDE DOS PUNTOS DE OBSERVACIÓN:

• Caso 1: El sistema está “libre” (no tiene entradas: todas sus entradas son nulas en todo tiempo), pero parte de una condición inicial distinta de cero. Esta estabilidad la llamaremos estabilidad de entrada cero o estabilidad interna.

• Caso 2: El sistema está “relajado” (tiene condición inicial nula), pero tiene una entrada distinta a cero. La estabilidad resultante de este análisis, la llamaremos estabilidad de estado cero o estabilidad externa.

•Para sistemas lineales e invariantes en el tiempo, la estabilidad interna puede ser caracterizada mediante las propiedades de la matriz de transición, mientras que la estabilidad externa puede ser caracterizada mediante la matriz de función de transferencia.

•Algo más complicado es llegar a analizar la estabilidad de los sistemas no-lineales y/o variantes en el tiempo.

Est

ad

o d

e e

qu

ilib

rio

Un estado xe de un sistema se dice ser un estado de equilibrio si posee la siguiente propiedad:si x(t0) = xe => x(t) = xe, para todo t > t0,provisto que ninguna entrada es aplicada.

Consideremos un sistema contínuo no-lineal y variante en el tiempo, descripto por la ecuación estado:

                                     [Ec. 1]

 entonces, los estados de equilibrio de éste sistema serán aquellos

estados xe que cumplen con la ecuación: ] 

Para los sistemas discretos, no-lineales y variantes en el tiempo, descripto por la ecuación:

                          [Ec. 3]

Esta

bilid

ad

de e

ntr

ad

a

cero

- d

efi

nic

ion

es

SISTEMA ASINTÓTICAMENTE ESTABLE

• El estado de equilibrio xe = 0 es asintóticamente estable si:• 1) es estable (en el sentido de Lyapunov)• 2) para cualquier tiempo t0 y para cualquier estado inicial x0

suficientemente cercano al origen del espacio de estado, el estado x(t) tiende al origen en cuanto t tiende a infinito.

• Si en estas dos definiciones de estabilidad, el parámetro d es independiente de t0, entonces la estabilidad se dice que es uniforme (cosa que siempre se cumple para sistemas invariantes en el tiempo).

• También, si en éstas dos definiciones, el estado inicial x0 no está restringido a que dicho estado esté lo suficientemente cerca del origen (o sea que se cumple cualquiera sea del estado inicial x0 de que se parta), entonces se dice que la estabilidad es global.

SISTEMA ASINTÓTICAMENTE ESTABLE

•Un sistema lineal es asintóticamente estable si para ese sistema el estado xe = 0 es asintóticamente estable.

•Esquemáticamente, los distintos tipos de estabilidades de un punto de equilibrio xe (una pelota sobre distintas superficies):

ESTABILIDAD DEL SISTEMA Y CRITERIO DE ESTABILIDAD

•Un sistema estable se define como aquel que tiene una respuesta limitada.

•Esto es se dice que un sistema es estable si, estando sujeto a una entrada o perturbación limitada, su respuesta es de magnitud limitada.

•Una condición necesaria y suficiente para que un sistema de realimentación sea estable es que todos los polos de la función de transferencia del sistema tengan partes reales negativas.

Criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz se compone de tres pruebas separadas que deben ser satisfechas. Si alguna prueba única falla, el sistema no es estable y más pruebas no tiene por qué ser realizado. Por esta razón, las pruebas están organizadas en orden desde el más fácil de determinar en el más duro.

La prueba de Routh Hurwitz se realiza en el denominador de la función de transferencia, la ecuación característica. Por ejemplo, en una función de transferencia a lazo cerrado con G (s) en el camino a seguir, y H (s) en el circuito de retroalimentación, tenemos:

Si simplificamos esta ecuación, tendremos una ecuación con un numerador N (s), y un denominador D (s):

El criterio de Routh-Hurwitz se centrará en el denominador polinomio D (s).

Aquí están las tres pruebas de los criterios de Routh-Hurwitz. Por conveniencia, usaremos N como el orden del polinomio (el valor de la máxima exponente de s en D (s)). La ecuación D (s) se puede representar en general, de la siguiente manera:

Regla 1

Todos los coeficientes a i debe estar presente (no nula) Regla 2

Todos los coeficientes a i debe ser positivo (equivalente todos ellos debe ser negativo, sin cambiar de signo)

Regla 3 Si el artículo 1 y artículo 2 están satisfechos, entonces forman una matriz de Routh de los coeficientes a i. Hay un poste en el s de la derecha del plano para cada cambio de signo de los miembros de la primera columna de la matriz de Routh (cualquier cambios de signo, por lo tanto, significa que el sistema es inestable).

La matriz de Routh

La matriz de Routh se forma mediante la adopción de todos los coeficientes a i de D (s), y el escalonamiento en forma matricial. Las columnas de final de cada fila debe contener ceros:

Por lo tanto, si N es impar, la primera fila será todos los coeficientes impares. Si N es par, la fila superior se todos los coeficientes incluso. Podemos llenar en el resto de la matriz de Routh como sigue:

Ahora, podemos definir todos nuestros b, c, y los coeficientes de otros, hasta llegar a la fila s 0. Para llenarlos utilizamos las siguientes fórmulas:

Y

Para cada fila que se está calculando, llamamos a la izquierda-la mayoría de los elementos de la fila justo encima de ella el elemento pivote. Por ejemplo, en la línea B, el elemento pivote es una N-1, y en la fila C, el elemento pivote es b N-1 y así sucesivamente y así sucesivamente hasta llegar a la parte inferior de la matriz.

Para obtener cualquier elemento, que niega el determinante de la matriz siguiente, y se dividen por el elemento pivote:

Dónde:

k es el elemento más a la izquierda dos filas por encima de la fila actual. l es el elemento pivote. m es el elemento de dos filas, y una columna a la derecha del elemento actual. n es el elemento de una fila, y una columna a la derecha del elemento actual.

En términos de klmn, la ecuación es:

ESTABILIDAD DE ENTRADA «0»

•Para un determinado sistema, si se puede hallar una función escalar V(X) definida positiva, tal que su derivada en el tiempo tomada a lo largo de un trayecto es siempre negativa, entonces al crecer el tiempo, V(X) toma valores mas y mas pequeños de C. Al crecer el tiempo V(X) finalmente se reduce a cero y, por lo tanto, también x se reduce a CERO.

TIPOS DE ESTABILIDAD• ESTABILIDAD.- Se dice que un estado de equilibrio Xe del sistema de la

ecuación es estable en el sentido de Liapunov si, en correspondencia con cada S(E), existe una S(s) tal que las trayectorias que empiezan en S(s) no se alejan de S(E) conforme t se incrementa indefinidamente.

• ESTABILIDAD ASINTÓTICA-. Se dice que un estado de equilibrio Xe del sistema de la ecuación es asintóticamente estable si es estable en el sentido de Liapunov y todas las soluciones que empiezan dentro de S(Q) convergen a Xe, sin apartarse de S(E), conforme el t se incrementa indefinidamente. Asimismo, una estabilidad asintótica tal vez no signifique que el sistema operará en forma adecuada. Por lo general, se requiere de cierto conocimiento del tamaño de la región más grande de la estabilidad asintótica, región conocida como dominio de atracción. Es esa parte del espacio de estados en el cual se originan las trayectorias asintóticamente estables; en otras palabras, todas las trayectorias que se originan en el dominio de atracción son asintóticamente estables.

• INESTABILIDAD.- Se dice que un estado de equilibrio Xe es inestable si para algún número real E > 0 y cualquier numero real S> 0, no importa qué tan pequeño, hay un estado Xo en S(s) tal que la trayectoria que empieza en estos estados se aparta de S(F).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA ESTABILIDAD, LA ESTABILIDAD ASINTÓTICA Y LA INESTABILIDAD

En las figuras la región S(s) limita el estado inicial X0 y la región S(E) corresponde al límite para la trayectoria que empieza en XO.Observe en la figura (c) que la trayectoria se aparta de S(E) e implica que el estado de equilibrio es inestable.

TEOREMA DE Lyapunov

Aleksandr Lyapunov1857-1918

• La estabilidad de puntos de equilibrio generalmente se caracteriza en el sentido de Lyapunov.

• Es el método más general para la determinación de la

estabilidad de los sistemas no lineales y/o variantes con el tiempo, este método también se aplica a la determinación de la estabilidad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo.

• Un punto de equilibrio se dice estable si todas las soluciones que se inicien en las cercanías del punto de equilibrio permanecen en las cercanías del punto de equilibrio; de otro modo el punto de equilibrio es inestable.

• Un punto de equilibrio se dice asintóticamente estable si todas las soluciones que se inicien en las cercanías del punto de equilibrio no sólo permanecen en las cercanías del punto de equilibrio, sino que además tienden hacia el equilibrio a medida que el tiempo se aproxima a infinito.

• Las funciones que podrían probar la estabilidad de un punto cualquiera de equilibrio son llamadas funciones de Lyapunov.

SEGUNDO METODO DE Lyapunov•Para determinar la estabilidad de los

sistemas dinámicos descritos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias.

•El primer método se compone de todos los procedimientos en los cuales se usa la forma explícita de la solución de las ecuaciones diferenciales para el análisis.

•El segundo método no requiere de las soluciones de las ecuaciones diferenciales; es decir, se determina la estabilidad de un sistema sin resolver las ecuaciones de estado.