acv_2015_a_04

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2015

• Aptitud Académica

• Matemática

• Ciencias Naturales

• Cultura General

Preguntas propuestas

Aritmética

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822

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Clasificación de los Z+ III

NIVEL BÁSICO

1. Si 42n tiene 81 divisores, halle el valor de n.

A) 20 B) 10 C) 15D) 25 E) 30

2. Si 4k+2 – 4k tiene 88 divisores compuestos, halle el valor de k – 1.

A) 3 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

3. Si se sabe que =12×30n tiene doble cantidad de divisores que B=12n×30, halle el valor de n.

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

4. Si el número P=280×30m tiene 90 divisores múltiplos de 42, halle el valor de m – 1.

A) 1 B) 3 C) 6D) 2 E) 4

5. De los divisores de 113 400, ¿cuántos terminan en 1; 3; 7 o 9?

A) 2 B) 6 C) 10D) 11 E) 13

6. Si N2 tiene 63 divisores y N3 tiene 130 divisores, ¿cuántos divisores tiene N? Calcule la suma de las cifras de esta cantidad.

A) 4 B) 5 C) 2D) 7 E) 8

7. Sean p y q el menor y el mayor factor primo del número N=1 004 006 004 001. Si q – p=6, entonces indique cuánto vale q+p.

A) 16 B) 20 C) 32D) 40 E) 52

8. ¿Cuántos ceros hay que agregar a la derecha de 275 para que el número resultante tenga 70 divisores?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

9. Halle (a+b) si el número N=3a · 2b tiene 28 divisores, cuya suma de cifras es m9 y 30 divisores m4.

A) 11 B) 12 C) 13D) 10 E) 9

10. Si A tiene 30 divisores; B tiene 32 divisores y A · B tiene 104 divisores, ¿cuántos tendrá A · B2?

(Nota: A y B tienen los dos mismos factores primos)

A) 210 B) 220 C) 240D) 250 E) 280

NIVEL INTERMEDIO

11. La suma de los divisores del numeral 8n · 63n+1 es 31 veces la suma de los divisores del nume-ral 8n · 3n+1. Halle n2.

A) 25 B) 16 C) 9D) 1 E) 4

12. Se sabe que la descomposición canónica de un número entero positivo N es N=(ab)c(ac)b y que tiene 32 divisores. Indique, el menor valor posible de a+b+c.

A) 14 B) 13 C) 12D) 11 E) 10

13. Sean los números N1=63a+1×8a y N2=8a×33a+1 si la cantidad de

los divisores de N1 es igual a la cantidad de los divisores de N2 aumentada en 20, halle el valor de 2a – 1.

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) 9

Aritmética


3

14. ¿En cuántos sistemas de numeración 448 acaba en 8?

A) 11 B) 16 C) 12D) 14 E) 15

15. Se sabe que N=23n×32n+4×5n+3×72n+1 tiene 1920 divisores cuadrados perfectos. ¿Cuántos de los divisores de N son cubos perfectos si n impar?

A) 720 B) 360 C) 192 D) 460 E) 660

NIVEL AVANZADO

16. Halle las 3 últimas cifras al expresar (358)3824 en base 7. Dé como respuesta la suma de estas.

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

17. Un número de la forma abac posee 21 divisores y 2a+2b+c=14. Calcule la suma de los divisores de ca(b – 1) que terminan en cero.

A) 1020 B) 1040 C) 1080D) 840 E) 960

18. Halle un número par de 4 cifras de la forma mnpq, tal que m+q=15; n+p=4 si se sabe además que tiene 15 divisores. Dé como res-puesta el resto de dividir dicho número entre 7.

A) 4 B) 1 C) 5D) 2 E) 3

Aritmética


4

Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo I

NIVEL BÁSICO

1. Se desea mandar a hacer recipientes de igual capacidad para llenar 120 y 70 litros de aceite utilizando el menor número posible de reci-pientes. ¿Cuántos recipientes se mandaron a hacer?

A) 10 B) 12 C) 15D) 17 E) 19

2. Si tenemos que llenar cuatro cilindros de ca-pacidad 72 m3; 24 m3; 56 m3 y 120 m3 respec-tivamente, ¿cuál es la máxima capacidad del balde en m3 que puede usarse para llenarlos exactamente?

A) 8 B) 24 C) 10D) 12 E) 14

3. ¿Cuántos divisores comunes tienen los núme-ros 540 y 360?

A) 8 B) 16 C) 9D) 18 E) 20

4. Se divide un terreno de forma rectangular de 468 m por 540 m en cuadros cuyas longitudes de sus lados son números enteros en metros. ¿Cuántos cuadrados hay si el área de cada uno está comprendida entre 100 y 300 m2?

A) 1170 B) 780 C) 1755D) 1440 E) 1260

5. Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del Callao y se sabe que el primero de ellos tarda 25 días en regresar y permanece anclado 3 días; el segundo 45 y 5 días; el tercero 32 y 3 días y el cuarto 60 y 10 días. ¿Cada cuánto tiempo zarpan los cuatro barcos a la vez?

A) 700 B) 770 C) 840D) 910 E) 860

6. Las losetas de un piso de forma cuadrada han sido renovadas 2 veces. Originalmente eran de 12 cm×10 cm, luego se cambiaron por otras de 20 cm×8 cm y finalmente por unas de 16 cm×24 cm. ¿Cuántas losetas tiene el piso como mínimo?

A) 6 B) 25 C) 150D) 75 E) 1350

7. ¿Cuántos múltiplos comunes tienen 8; 12 y 24, comprendidos entre 500 y 2500?

A) 48 B) 84 C) 104D) 94 E) 74

8. Calcule la cantidad de pares de números, de modo que su MCD es 36, además dichos números están comprendidos entre 750 y 950.

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

9. El MCD de dos números es 9. ¿Cuál es su MCM si el producto de dichos números es 1620?

A) 180 B) 188 C) 198D) 207 E) 216

10. Halle la diferencia de dos números enteros si se sabe que su producto es 7776, y que MCD2=3/4 MCM.

A) 100 B) 96 C) 92D) 90 E) 86

NIVEL INTERMEDIO

11. Si se sabe que MCD(aac:(a – 1)(a – 1)b)=15 MCD (aac: da(a – 1))=66 determine la suma de todos los posibles valo-

res de a+b+c+d.

A) 23 B) 24 C) 20D) 9 E) 18

Aritmética


5

12. Determine el valor de n si se sabe que el mínimo común múltiplo de A=180n×27 y B=40n×60. Tiene 5400 divisores.

A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

13. Al descomponer en sus factores primos, los números A y B se expresan como

A= 3ab2; B=3b×a (con a y b consecutivos) Si su mínimo común múltiplo y su máximo

común son 675 y 45, respectivamente, halle el valor más pequeño de A+B.

A) 360 B) 368 C) 456D) 720 E) 810

14. Dé el valor de a en

MCM [ab; (a+1)(b+1)]=132

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

15. El MCM de A=18×75n y B=75×18n tiene 845 divisores que son divisibles entre 12. ¿Cuántos divisores impares no primos tiene?

A) 177 B) 178 C) 179D) 180 E) 181

NIVEL AVANZADO

16. Indique los enunciados son verdaderos (V) o falsos (F).

I. Si a ∈ Z y a ≠ 0, MCD (0; a)=|a| II. MCD (a; b+c)=MCD (a; b)+MCD (a; c) III. MCD (an; bn)=[MCD (a; b)]n

A) VFV B) VVV C) VFFD) FFV E) FVF

17. Un número se divide entre 15, y el cociente resulta exacto e igual a su complemento arit-mético. Luego se multiplica el dividendo por el cociente, de lo cual resulta un número que es el MCM de 72 números diferentes. ¿Cuántos di-visores tiene el cociente de la división original?

A) 11 B) 12 C) 16D) 20 E) 180

18. Si MCD (ab0ab(4); mnmn5)=13

MCM (ab0ab(4); mnmn5)=17 160 entonces (a+b+m+n).

A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

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Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo II

NIVEL BÁSICO

1. En qué cifra terminará el MCM de A y B si A=33...34

504 cifras y B=77...78

84 cifras.

A) 0 B) 7 C) 8D) 6 E) 5

2. El MCM de dos números es 22 400, y en el cálculo del MCD de ellos por el algoritmo de Euclides se obtuvieron los cocientes sucesivos de 3; 2; 2; 1; 2; 3 (los tres primeros por exceso y los últimos por defecto). Indique el mayor de los números.

A) 400 B) 900 C) 1000D) 1200 E) 1400

3. Al calcular el MCD de ab(a – 1) y 3b8 por el algoritmo de Euclides se obtuvo 1; 2; 2 y 3 como cocientes, en dicho orden. Halle a – b si se sabe que la segunda división se realizó por exceso y a > 3.

A) 3 B) 2 C) 4D) 5 E) 8

4. Si MCD (10A; 14B)=60 MCD (14A; 10B)=420 halle el MCD de A y B.

A) 15 B) 20 C) 60D) 120 E) 30

5. Si los menos de 900 alumnos, que tiene un co-legio, se forman de 5 en 5, 7 en 7 o de 8 en 8, sobrarían 2; 3 y 1, respectivamente. ¿De cuán-tas maneras se pueden formar sin que sobre ninguno, de modo que una fila tenga como mí-nimo 2 alumnos y como máximo 12 alumnos? (Se sabe que esta posibilidad existe).

A) 2 B) 3 C) 11D) 9 E) 33

6. Determine MCD [CA (444...459); 111...11(3)]

20 cifras 20 cifras en base 3 y dé la suma de cifras.

A) 20 B) 23 C) 40D) 10 E) 15

7. Calcule la suma de cifras de MCD (A; B) si A es el menor número cuya suma de cifras es 270 y B es también el menor número cuya suma de cifras es 405.

A) 270 B) 225 C) 375D) 675 E) 135

8. Si

A=MCM (75!; 76!; 77!; ...)

10 números

B=MCD (83!; 84!; ...)

16 números

calcule en cuántas cifras cero termina A×B.

A) 36 B) 38 C) 32D) 40 E) 34

9. Al dividir el MCM de N! y (N!+1) entre el MCD de N! y 7N! se obtiene 7ab. Halle (a+b).

A) 7 B) 9 C) 11 D) 2 E) 3

10. Tres ciclistas parten al mismo tiempo de un mismo punto de una pista circular. En cada vuelta tardan 1 min 12 s, 1 min 30 s y 1 min 45 s. ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista cuando hayan pasado nuevamente y a la vez por el punto de partida? Dé como respuesta la suma.

A) 118 B) 87 C) 56D) 70 E) 48

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NIVEL INTERMEDIO

11. ¿Cuántos enteros positivos de cuatro cifras, que no son múltiplos de 125, son múltiplos de 24; 50 y 60 a la vez?

A) 22 B) 18 C) 16D) 12 E) 8

12. Sean A, B y C tres números enteros positivos tales que MCD (A; B)=24 y MCD (B; C)=36. El número de ternas ordenados (A; B; C), tales que A+B+C=300 es igual a

A) 0 B) 1 C) 3D) 5 E) 6

13. Las circunferencias de las ruedas delanteras y posteriores de una carreta miden 1,80 m y 2,40 m respectivamente. ¿Cuántos metros de-berá recorrer la carreta para que las ruedas delanteras den 50 vueltas más que las poste-riores?

A) 180 B) 360 C) 540D) 720 E) 900

14. Si MCM(63A; 9B)=12 096 y MCD(91A; 13B)=104, calcule el menor valor posible de (A+B).

A) 82 B) 88 C) 60D) 72 E) 78

15. Se sabe que MCD3 42

43

8n n− +

=; . Calcule

cuántos pares de números existen, tales que su MCM es n si se sabe que es el menor núme-ro posible.

A) 5 B) 7 C) 2D) 3 E) 4

NIVEL AVANZADO

16. Se sabe que MCD (A; B)=d. Respecto a las proposiciones siguientes:

I. d=1, si y solo si existen enteros x, y tales que Ax+By=1.

MCD

Aa

Bb

;

= 1

II. Si A divide a B×C y d=1, entonces A divide a C.

III. Si A divide a B×C, entonces Ad

divide a C.

IV. MCD (AK; BK)=K · d, siempre que K > 0. ¿qué se puede afirmar?

A) todas son falsasB) todas son verdaderasC) cuatro son verdaderas y una falsaD) tres son verdaderas y dos son falsasE) dos son verdaderas y dos son falsas

17. Sean A, B y C tres números enteros positivos, tales que MCD (A; B)=24 y MCD (B; C)=36. Halle el número de ternas ordenadas (A; B; C), tales que A+B+C=300.

A) 0 B) 1 C) 3D) 5 E) 6

18. Si a y b son enteros positivos, y 11a+2b es divi-sible entre 19, halle el MCD (11a+ 2b; 18a+5b).

A) 1B) 19C) 11a+2bD) no se puede determinarE) depende de a y b

Aritmética


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Potenciación

NIVEL BÁSICO

1. Calcule el menor número, tal que al sumarle su mitad y luego sus 4/5 se obtiene una potencia perfecta de grado 3.

A) 7200 B) 3610 C) 8125D) 8200 E) 8400

2. ¿Cuántos términos de la sucesión 72(1) 72(2) 72(3) ... 72 (2000) son potencias perfectas de grado 4?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3. Halle el menor número, tal que al agregarle su séptima parte es un cuadrado perfecto.

A) 12 B) 14 C) 18D) 24 E) 27

4. ¿Cuántos numerales de la forma abab7 son potencias perfectas de grado 3?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

5. Si a(2a)a es un cuadrado perfecto, halle los valores de a.

A) 2 y 3 B) 3 y 5 C) 1 y 4 D) 2 y 4 E) 4 y 7

6. Halle el menor número, tal que al agregarle sus tres cuartas partes se obtenga un cubo perfecto.

A) 196 B) 216 C) 220D) 225 E) 232

7. ¿Cuántos cubos perfectos de 5 cifras existen que terminen en 6?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 7

8. La cantidad de divisores de N es un número impar; además,

N=abc+2 · abc+3 · abc+...+24 · abc ¿cuántos valores asume abc?

A) 9 B) 12 C) 13D) 15 E) 17

9. Si 49m4m es una potencia perfecta de grado 3, halle la suma de los valores de m.

A) 6 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

10. Determine el menor entero positivo tal que al

multiplicarlo por 324 000 se obtiene un número que sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez.

A) 2250 B) 2550 C) 2750D) 3250 E) 4250

NIVEL INTERMEDIO

11. Respecto a los siguientes enunciados, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

I. Existen únicamente 10 números de cuatro cifras que son cubos perfectos.

II. El residuo de la raíz cúbica de un número positivo es siempre menor que el triple del cuadrado de la raíz más el triple de la raíz más uno.

III. La suma de los cubos de tres números en-teros consecutivos es divisible entre tres ve-ces el número del medio y entre nueve.

A) FFF B) FVF C) FVVD) VFV E) VVV

Aritmética


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12. Respecto a los siguientes enunciados I. Todo número impar >1 es la diferencia de

los cuadrados de dos números consecutivos. II. El cuadrado de un número entero positivo

par n es igual a la suma de los n primeros números pares positivos.

III. La diferencia de los cubos de dos números entero consecutivos disminuidos en una unidad es siempre divisible entre 6.

A) FFF B) FFV C) FVFD) VFV E) VVV

13. Sea abab un número de 4 cifras. Determine el menor número m, tal que abab – m sea un cuadrado perfecto.

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14. Sea N un número cuadrado perfecto impar. Si N+23 es divisor de 136×R y R es primo, halle el menor número N que cumple lo anterior.

A) 9 B) 25 C) 49D) 81 E) 121

15. El número AABB es un cuadrado perfecto y la raíz correspondiente es un número de la forma XX. Calcule A+B+X.

A) 16 B) 17 C) 18D) 19 E) 20

NIVEL AVANZADO

16. Indique verdadero (V) o falso (F) según las siguientes proposiciones.

I. Un número cuadrado perfecto puede ser

7 7 1 7 2 7 4o o o o; ; ; .+ + +

II. Un número cuadrado perfecto en la base nueve puede terminar en las cifras 0; 1; 2 o 4.

III. Si un número se eleva a la cuarta y se es-cribe en la base cinco su cifra de unidades puede ser 0; 1 o 4.

A) VVF B) VVV C) VFFD) FVV E) FFV

17. La distancia mínima entre Marte y la Tierra ocurrió en un día y mes que son cubos per-fectos y tiene mes que son cubos perfectos y tiene la forma

D=(2n+1)(2n+1)(3n+1)(3n)0nn0 km, y la suma de sus cifras es igual a uno de dichos cubos perfectos. Calcule la distancia entera en millones de kilómetros más aproximada.

A) 33 B) 34 C) 55D) 56 E) 78

18. ¿En cuántos sistemas de numeración 16 003 008 es un cubo perfecto y es el cubo perfecto de un número de tres cifras cuya base es un cuadrado perfecto?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

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Radicación

NIVEL BÁSICO

1. ¿Cuántos números de sucesión 54×1; 54×2; 54×3; ...; 54×2000 tienen raíz cuadrada exacta.

A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

2. Si 22ab es un cuadrado perfecto, calcule a+b.

A) 9 B) 11 C) 13 D) 14 E) 16

3. Al extraer la raíz cuadrada de 6abc4 se obtuvo

un residuo máximo. Halle a+b+c si a ≠ 0.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

4. Se extrae la raíz cúbica de un número, y se tiene que el residuo por defecto y exceso se encuentran en la relación de 15 a 16 y suman 217. Halle el número.

A) 542 B) 584 C) 617 D) 643 E) 684

5. Al extraer la raíz cúbica de un número se observó que si al radicando se le disminuye 721, entonces su raíz disminuye en una unidad pero manteniendo el mismo residuo. Halle en cuánto excede el radicando al residuo.

A) 3125 B) 3164 C) 4096 D) 4196 E) 4340

6. Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 52 de residuo; pero si se le suma 1000 unidades, su raíz aumentaría en 2 y su residuo sería máximo. Halle la raíz del número.

A) 201 B) 192 C) 126D) 160 E) 174

7. A un concierto de rock asistieron entre 4000 y 5000 personas. La raíz cuadrada del número

de asistentes representa a la cantidad de personas que usan jean y la raíz cuadrada de estos usan anteojos. La raíz cúbica del total de personas no usan aretes. Halle la suma de cifras de los asistentes.

A) 11 B) 17 C) 19D) 21 E) 22

8. Si 23cd es un cuadrado perfecto, calcule c+d.

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 11

9. Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtiene un residuo máximo. Si se extrae la raíz cúbica, también se obtiene un residuo máxi-mo. Si la suma de los residuos es 268, calcule la suma de cifras del número.

A) 19 B) 17 C) 18D) 15 E) 16

10. Si ab0ab(8) es un cuadrado perfecto, calcule a+b.

A) 9 B) 12 C) 10D) 7 E) 8

NIVEL INTERMEDIO

11. Halle a+b+c+d

si ab3=acadb.

A) 12 B) 14 C) 15D) 16 E) 18

12. Al calcular la raíz cuadrada de un número se obtiene como residuo la raíz cuadrada del re-siduo máximo. Si a dicho número se le añaden 307 unidades, obtenemos el cuadrado perfec-to inmediato. Halle la suma de las cifras de di-cho número.

A) 14 B) 16 C) 18D) 20 E) 22

Aritmética


11

13. Al extraer la raíz cuadrada de un número se tomó por error al residuo como raíz y a esta como residuo, lo cual resultó un número que es inferior en 372 unidades al original. Si la di-ferencia de la raíz menos el residuo es 3, calcu-le el número original.

A) 4149 B) 4150 C) 4157D) 4158 E) 4159

14. Halle el valor de a+b+c+d si al extraer la raíz cuadrada de 14abcd64 se obtiene abcd.

A) 17 B) 18 C) 19D) 20 E) 21

15. En el número 16P61n, P es 11. Halle la raíz cuadrada en base n.

A) 113 B) 123 C) 130D) 131 E) 132

NIVEL AVANZADO

16. Determine el valor de a+b – c si se tiene que

(ab)3=1c8ab

A) – 1 B) – 2 C) 1D) 2 E) 3

17. La 7 se encuentra entre 2 y 3, por lo tanto

aproximamos su valor a x152

= , y al aplicar

la fórmula xx

xnn

n− = +

⋅1 27

2 hallamos valores

más precisos. El primero de estos valores que aproximan a 7 con cinco cifras decimales.

A) 14053

B) 281107

C) 560211

D) 56092120

E) 56102119

18. Reconstruya

* * * * * *** * ** *

* * * ** 1 * *

0

* * *

Luego dé como respuesta la suma de las cifras del radicando.

A) 21 B) 22 C) 23D) 24 E) 25

Anual UNI

ClasifiCaCión de los Z+ iii 01 - A

02 - B

03 - A

04 - D

05 - C

06 - C

07 - B

08 - C

09 - E

10 - B

11 - D

12 - D

13 - A

14 - A

15 - B

16 - A

17 - B

18 - A

MáxiMo CoMún divisor y MíniMo CoMún Múltiplo i01 - E

02 - A

03 - D

04 - c

05 - A

06 - c

07 - B

08 - B

09 - A

10 - D

11 - B

12 - c

13 - A

14 - A

15 - D

16 - D

17 - B

18 - A

MáxiMo CoMún divisor y MíniMo CoMún Múltiplo ii01 - E

02 - E

03 - D

04 - E

05 - B

06 - A

07 - E

08 - B

09 - E

10 - B

11 - D

12 - D

13 - B

14 - B

15 - E

16 - E

17 - D

18 - B

potenCiaCión

01 - B

02 - d

03 - B

04 - A

05 - C

06 - A

07 - A

08 - C

09 - E

10 - B

11 - C

12 - d

13 - B

14 - B

15 - d

16 - C

17 - d

18 - A

radiCaCión

01 - B

02 - A

03 - D

04 - C

05 - C

06 - E

07 - C

08 - A

09 - B

10 - E

11 - D

12 - C

13 - C

14 - E

15 - D

16 - E

17 - D

18 - B

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