1Preguntas Propuestas

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Aritmética

Teoría de conjuntos I

1. Sea el conjunto A={8; {1; 2}; {{7}}; 4; 3}. De-termine cuántas de las siguientes proposicio-nes son verdaderas.

2 ∈ A {3; 4} ∈ A 7 ∉ A {{7}} ∈ A 4 ∉ A 8 ∈ A {2; 1} ∈ A {7} ∉ A

A) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 7

2. Sean P y Q conjuntos tales que: Si p ∈ P, entonces p ∈ Q. Luego se puede afir-

mar que

A) si – 3 ∈ Q, entonces – 3 ∈ P.B) si 13 ∉ P, entonces 13 ∉ Q.C) si 10 ∉ Q, entonces 10 ∉ P.D) si 0,10 ∈ Q, entonces 0,10 ∉ P.E) si 1 ∉ Q, entonces 1 ∈ P.

UNI 2005 - II

3. Si A xx= +

∈ < ≤

2 35

2 15Z y

B xx x= + ≤ < ∈{ }3

22 15 ; Z

determine cuál de las siguientes alternativas es incorrecta.

A) El cardinal de B excede en ocho al cardinal de A.

B) 6 es un elemento de ambos conjuntos.C) Todos los elementos de A son enteros.D) La suma de los elementos de B es 26.E) 7,5 es un elemento de B.

4. Se sabe que A={2x+3 / 8 ≤ 3x+4 < 24 ∧ x ∈ Z} y B={(3m – 2) ∈ A / 4 ≤ m ≤ 10} Halle el cardinal del conjunto B.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

5. Dado el siguiente conjunto

A xx= + ∈ < + <{ }( )1 4

2 35

7Z +

calcule la suma de los elementos de A.

A) 108 B) 91 C) 81D) 78 E) 100

6. Si A={(x/2+4) ∈ Z / – 7 ≤ x < 6; x ∈ Z} y

B={(2x+1) ∈ N / – 5 < x ≤ 6}

halle n(A)+n(B).

A) 19 B) 29 C) 20 D) 18 E) 23

7. Determine el siguiente conjunto por comprensión.

M={28; 40; 54; 70; ...; 460}

A) M={n2+n/3 ≤ n ≤ 20 ∧ n ∈ Z}

B) M={n(n+3)/4 ≤ n ≤ 21 ∧ n ∈ N}

C) M={(n2+2n)/3 ≤ n ≤ 20 ∧ n ∈ Z}

D) M={n(n+3)/3 < n ≤ 20}

E) M={n(n+3)/3 < n ≤ 20 ∧ n ∈ Z}

8. ¿Cuál de las alternativas no representa al con-

junto N = { }177

219

2511

2913

10149

; ; ; ; ...; por com-

prensión?

A) 4 132 5

23nn

n n++

∈ ∧ <{ }Z+

B) 4 12 1

4 25nn

n n+−

∈ ∧ ≤ ≤{ }Z

C) 23

2 522+

+∈ ∧ ≤{ }n

n nN

D) 4 52 1

3 24nn

n++

≤ ≤{ }E) 2

32 1

3 26+−

∈ ∧ < <{ }nn nN

3

AritméticaTeoría de conjuntos II

9. Sean a, b y c enteros; K=a+b+c. Si {(a2+9); (b – c – 5)}={– 1; – 6a; (a2+b2 – 7)},

halle la suma de todos los valores que tome K.

A) –15 B) –14 C) – 7 D) 1 E) 8

UNI 1989

10. Dado el conjunto A={φ; 5; {2}; {1; 3}; 6; {φ}; {2; 2}} ¿cuántas de las siguientes proposiciones son

verdaderas? I. {φ} ⊂ A II. {1; 3} ∈ P(A) III. {2; 6} ⊄ A IV. {φ; 5; 3; 6} ⊂ P(A) V. n(A)=6

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1

11. Sea A={2; 3; 5; 8}. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes expresiones y eli-ja la secuencia correcta.

I. ∃ x ∈ A / ∀ y ∈ A: x2+y ≥ 68 II. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ A / x2 > 2y III. ∃ x ∈ A: ∃ y ∈ A/ ∀ z ∈ A: x+y ≤ z2

IV. ∀ x ∈ A: ∃ y ∈ A / 12 ≤ x2+y2 ≤ 70

A) FFVV B) VFVV C) FFVFD) FVFF E) VFVF

12. Dados los conjuntos A={– 2; 0; 1; 3; 5} B={– 3; – 1; 0; 2; 4} indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) según las siguientes proposiciones.

I. ∃ x ∈ A / ∃ y ∈ B / ∀ z ∈ A: x – y < z

II. ∀ x ∈ A: ∀ y ∈ B: x+2y ≥ – 7

III. ∀ ∈ ∃ ∈ +−

∈x A y Bxy

:31

Z+

A) FFV B) VFF C) VFVD) VVF E) VVV

13. El siguiente conjunto N={a×b+2; a2 – 3; a+b+c} es unitario. Si se sabe que a es un entero po-

sitivo, calcule la suma de valores que puede tomar c.

A) 18 B) 20 C) 24D) 22 E) 14

14. Dados los siguientes conjuntos

A x

x x= − ∈ ∈ ∧ ≤{ }+2 13

3Z Z

B x

x= − ∈ <{ }+2 13

3Z

C y A y B= −( )∈ ∉{ }2 1

de las siguientes proposiciones, ¿cuáles son incorrectas?

I. Los conjuntos A y B no son iguales. II. El conjunto C es un conjunto vacío. III. El conjunto B es unitario. IV. Los conjuntos B y C son disjuntos.

A) II y III B) solo III C) I y IV D) I y II E) solo I

15. El conjunto A posee 120 subconjuntos con más de un elemento; además, el conjunto B posee siete subconjuntos no nulos que son disjuntos con A. ¿Cuántos subconjuntos de A son disjun-tos con B si B posee seis elementos?

A) 31 B) 8 C) 7 D) 15 E) 16

16. ¿Cuántos subconjuntos no nulos, que no sean binarios, tienen en común los conjuntos {2; 3; 5; 6; 8} y {1; 3; 5; 7; 8}?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

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Aritmética

Teoría de conjuntos III

17. A un grupo de 85 jóvenes se les preguntó so-bre la preferencia de tres videojuegos y se ob-tuvo que a 51 jóvenes no les gusta FIFA 2010; a 41 jóvenes no les gusta Star Craft y a 31 no les gusta Nascar. ¿A cuántos jóvenes les gusta exactamente dos de los juegos si solo 6 jóvenes prefieren los tres juegos y a 4 ninguno de estos juegos?

A) 39 B) 27 C) 30D) 32 E) 41

18. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40 mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provincias, 28 casados van al extranjero y 45 solteros van a provincias. Se sabe que hay 42 hombres casados y que 18 mujeres solteras viajan al extranjero, entonces el número de mujeres solteras es

A) 60 B) 62 C) 64 D) 66 E) 68

UNI 2000 - II

19. Dados tres conjuntos A, B y C no vacíos conte-nidos en el universo U, se cumple lo siguiente:

• A – B=φ • n[B – (A ∪ C)]=12 • n[C – [(B – A) ∩ C]]=18 – a • n[(A – C) ∪ (B ∪ C)C]=22+a • n[A ∪ AC]=60 Calcule n[(B ∩ C) – A].

A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 10

20. Sean los conjuntos A, B y C contenidos en el conjunto universal (U), tal que cumplen las si-guientes condiciones:

• A ∪ B=A ∆ B

• n C n B Cn A n B( ) = × ∩( ) =( )

=( )

22 3

• n(B ∩ C)=2×n(A ∩ C)=20 • n(AC ∪ A)=510 Calcule n(A ∪ B ∪ C)C.

A) 200 B) 210 C) 260D) 300 E) 240

21. En una reunión social de 138 personas se observa lo siguiente:

• La cantidad de varones solteros que bailan es tanto como la cantidad de mujeres casa-das que bailan.

• La cantidad de mujeres que no bailan, pero que tienen falda o son casadas es 20.

• Hay 13 mujeres solteras que bailan y 8 varo-nes solteros que no bailan.

• La cantidad de varones casados que no bai-la es igual a la cantidad de mujeres solteras que no bailan ni utilizan falda.

Calcule la cantidad de varones solteros que bailan o la cantidad de mujeres solteras que no bailan ni usan falda.

A) 30 B) 36 C) 42 D) 45 E) 48

22. En la siguiente gráfica, ¿qué expresión conjun-tista representa la parte sombreada?

A B

D

C

A) (A ∩ C) ∩ (B ∪ D)B) B ∪ (A ∩ C ∩ D)C) A ∩ B ∩ C ∩ DD) [A ∪ (C ∪ D)] ∩ BE) AC ∩ (B ∩ C ∩ D)

23. Si A * B=[(A ∪ B) – B] ∪ [(A ∩ B’)’ ∩ B] simplifique {[(A * B) ∩ B] – [(A ∩ B) * B’]} * (A * B)’

A) A B) A’ C) φ D) U E) A’ ∪ B

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Aritmética24. Si los conjuntos A, B y C están contenidos en el

universo U; además, A ⊂ B y B es disjunto con C, simplifique

{[(A ∆ B) ∆ (A ∆ C)] ∆ (A ∩ B ∩ C)} – A'

A) A B) φ C) A – B D) A ∩ C E) B

Teoría de numeración I

25. Corrija los siguientes numerales.

I. 2(n+3)(n –1)(2n+2)n; n > 5

II. 8(23)6(12)7

III. 6(– 5)0(–11)5

Dé como respuesta la suma de cifras en cada caso.

A) 8; 13 y 7 B) 13; 8 y 8 C) 10; 13 y 14D) 13; 10 y 7 E) 8; 10 y 8

26. ¿Cuántos numerales de 3 cifras existen que no contengan ninguna cifra 8 y posean, por lo me-nos, una cifra no significativa?

A) 128 B) 512 C) 648D) 144 E) 136

27. En cierto sistema de numeración existen 351 numerales de la forma

(1 – a)(b/3)(a+8)(7 – b)(2c/3) ¿Cuántos numerales pares se representan

como numerales capicúas de tres cifras en dicho sistema de numeración?

A) 60 B) 70 C) 91 D) 84 E) 72

28. Sabiendo que a00a6=bc1, 0 es el cero, a ≠ 0; determine la suma (a+b+c).

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

UNI 2008 - II

29. Se cumple que

ab

cd b efefef3

1 1 5−

+( ) =

Calcule a2+b2+d2+e2.

A) 84 B) 80 C) 74 D) 68 E) 82

30. Se cumple que a1a(12)=b(b+1)(b+2)8. Ade-más an9=mb. Calcule a+b+m+n.

A) 16 B) 14 C) 17 D) 15 E) 18

31. Se cumple que abn=ccba=2n+6pb+p. Calcule la cantidad de numerales capicúas que se encuentran entre cb y pan.

A) 48 B) 50 C) 47 D) 49 E) 45

32. Si se cumple que a(2a)6bn=cd(b+3)8 calcule el máximo valor de a+b+c+d.

A) 16 B) 15 C) 17D) 14 E) 12

Teoría de numeración II

33. Miguel, para comprobar el peso de un diamante de 911 gramos de peso, dispone de pesas de 1; 3; 9; 27; ... gramos. ¿Cuántas de estas pesas uti-liza Miguel para efectuar dicha comprobación si utiliza a lo más 2 pesas de cada tipo y todas van en un solo platillo de las balanza?

A) 11 B) 7 C) 10 D) 8 E) 9

34. Si se cumple que

n n n−( )( ) +( )1 33 =aba7=mppq(b)

calcule el valor de a×b+m×p+n.

A) 20 B) 18 C) 19 D) 16 E) 21

. . .

6

Aritmética

35. Se cumple que

amn3cd(4)=bbbd(7)

Calcule el mayor valor de a+b+c+d+m+n.

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 17

36. Al expresar el número 103301013031 de base n en base n3 se observa que la suma de sus cifras es 232. Calcule la suma de cifras al ex-presar dicho número en la base n2.

A) 74 B) 86 C) 96 D) 78 E) 76

37. Se cumple que a(b+2)(c+1)b(16)=(d –1)(b – 5)c02cd(4)

Determine el valor de a+b+c – d.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

38. Se cumple que

ababcan= 1 0 6 2d mm mnm c n( )( )( )( ) Calcule el valor de a+c+d+m+n.

A) 15 B) 17 C) 14 D) 18 E) 16

39. Exprese el menor numeral del sistema nonario cuya suma de cifras es 325 en la base 27. Dé como respuesta la suma de sus cifras.

A) 707 B) 703 C) 685D) 681 E) 655

40. Si a un numeral de 4 cifras del sistema decimal se le sumara x unidades, resultaría el mayor numeral de 4 cifras de la base (n+1). Pero si se le hubiese restado x unidades, obtendríamos el mayor numeral de 5 cifras de la base (n – 1). Calcule la suma de cifras del numeral inicial. Considere que x ∈ Z+.

A) 17 B) 14 C) 16D) 15 E) 18

claves

01 - B

02 - C

03 - D

04 - B

05 - B

06 - A

07 - E

08 - D

09 - B

10 - B

11 - A

12 - C

13 - E

14 - E

15 - E

16 - B

17 - A

18 - B

19 - D

20 - D

21 - C

22 - D

23 - B

24 - A

25 - C

26 - E

27 - D

28 - C

29 - E

30 - B

31 - C

32 - A

33 - B

34 - C

35 - D

36 - E

37 - E

38 - B

39 - B

40 - C