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Guía sobre Euclides Contenido: Teorema de Euclides

Geogebra: Una herramienta para construcciones Geométricas Visualizando el Teorema de Euclides.

Autores: Manuel Galaz, Osvaldo Baeza.Descripción

Las actividades en la cuales trabajará a continuación, tienen el propósito de mostrar una forma pedagógica de usar este procesador geométrico. Esto con la intención de que usted, como profesor del área, se haga una idea de como puede planear actividades, para realizarlas con sus alumnos y así pueda abordar la Unidad de “Algo más sobre Triángulos”. La intención es mostrar las posibilidades didácticas, en cuanto a la dinámica, que posee este tipo de software educativo. Para ello, es necesario que Ud. asuma el papel de estudiante y realice las acciones propuestas y saque sus propias conclusiones.

Recursos

Software Geogebra. Geogebra: Una herramienta para

construcciones Geométricas; Visualizando el Teorema de Euclides.

Acciones Técnicas

Elementos Iniciales.

1. Activar Geogrebra

Para activar este software educativo, debes recurrir a Programas del menú Inicio, si su computador funciona con el Sistema Operativo Windows. Luego, activa el programa desde la carpeta Geogebra.

2. Identificando el ambiente de Geogebra

Una vez activada la aplicación, es importante ambientarse en su interfaz. Ésta está compuesta de los siguientes ambientes:

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figura 1: Interfaz de Geogebra

3. Identificando las herramientas de construcción

Para trabajar con esta aplicación, uno de los elementos claves es manejar los botones de la barra de Herramientas. A través de ellos, se podrá construir las figuras geométricas planas que desee y que la aplicación permita.

figura 2 : barra de herramientas

Esta barra de herramientas está compuesta por 9 botones. Cada uno de ellos permite seleccionar una opción de un conjunto de acciones que, al activarse permiten realizar una operación específica para efectuar la construcción y acción que se desee. Por ejemplo:

Si mantiene presionado, con el indicador del mouse, el sector que señala la flecha se activa el menú de la figura 4.

figura 3figura 4

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Área de trabajo

Barra de herramientas

Sección de entrada de comandos

Sección de Algebra


figura 5

Al activar este botón se desplaza el menú que se observa en la figura 6.

figura 6

4. Algunas acciones importantes

Al momento de estar trabajando en una construcción geométrica, son dos las acciones que, inicialmente, son necesarias de conocer: deshacer construcciones erróneas y guardar el trabajo realizado. Para el primero, se debe realizar la siguiente acción:

figura 7

Del menú Edita, seleccionar Deshace.

Así podrás borrar aquellas construcciones o acciones no deseadas.

Para Guardar o almacenar una construcción geométrica realizada en la aplicación, realiza los siguientes pasos:

figura 8

Del menú Archivo seleccionar Graba.

En la ventana de diálogo Guardar, determina el Nombre y seleccione el lugar don guardará el archivo. Finalmente, Guardar.

De esta manera podrás almacenar los trabajos que realice en esta aplicación.

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Visualizando el Teorema de Euclides.

Las acciones que realizará a continuación, le permitirán conocer las virtudes de un procesador geométrico, en particular, visualizar el Teorema de Euclides. Para comenzar, construirá un Tangrama alemán, que permitirá dicha visualización.

1. Construyendo el Tangrama Alemán.

i.- En el Área de Trabajo construya un rectángulo.

figura 9´

Active las opciones del Botón que se muestra en la figura 9.

figura 10

De ellas, seleccione Segmento entre dos puntos, como se muestra en la figura 10.

figura 11

En el Área de Trabajo, dibuje el Segmento AB.

Ahora, dibuje una recta perpendicular a y que se intersecte a ella en B.

figura 12

Haga un clic sobre el Botón Recta Perpendicular en la Barra de Herramientas.

Haga un clic sobre .

Luego, un clic sobre el punto B.

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figura 13

De esta forma, ha construido una recta perpendicular a .

A continuación, dibuje una recta paralela a .

figura 14

Haga un clic sobre el Botón Nuevo punto en la Barra de Herramientas.

figura 15

figura 16

Haga un clic sobre la recta perpendicular a

. Así obtiene el punto C.

Construya una recta paralela a

, y que pase por el punto C.

De esta forma, ha construido una recta paralela a .

Para completar la construcción del rectángulo, realice las siguientes acciones

Construya una recta perpendicular a y que se intersecte a ella en el punto A.

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figura 17

Asigne a este nuevo punto el rotulo D. Para ello, active el botón Intersección de dos objetos (figura 18), luego un clic sobre dicho punto.

figura 18

Ya ha construido el rectángulo ABCD. Ahora, le invitamos a que construya, en la figura, los siguientes elementos:

figura 19

Trace el segmento AC.

Construya una recta perpendicular a y que pase por el punto D.

Asigne a este nuevo punto de intersección el rótulo E.

El siguiente paso, consiste en ocultar los elementos que han permitido la construcción. Para ello, realice las siguientes acciones.

figura 20

Con el botón derecho del mouse, haga un clic sobre .

En el menú despegable, desactive la opción Expone objeto.

Repita esta acción con todas las rectas y segmentos de la figura geométrica.

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Deténgase unos instantes y reflexione sobre lo realizado, antes de continuar, en la construcción.

figura 21

La figura 21 representa lo que usted debe tener, en estos momentos, en la pantalla de su computador. Para llegar hasta esta etapa, ha aprendido a trazar rectas y segmentos, perpendiculares y paralelas por medio de las herramientas de Geogebra. Así ha llegado a construir un rectángulo. De esta forma simple podrá realizar otras construcciones geométricas que estime convenientes, y a la vez podrá transferir actividades de esta naturaleza a sus alumnos.

ii.- Construya los triángulos que conforman el Tangrama alemán.

figura 22

Haga un clic sobre el Botón Polígono como lo señala la figura 22.

figura 23

Haga un clic sobre los puntos A, E, D y A respectivamente.

Repita la acción con los puntos E, C, D y E respectivamente.

De igual manera con los puntos A, B, C y A.

De esta forma, ha construido ∆AED, ∆DEC y ∆ABC, como se observa en la figura 23.

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Ya está construido el tangrama alemán, el cual está formado por tres triángulos rectángulos. Visualicemos ahora las relaciones matemáticas entre las longitudes de los lados de los triángulos que lo conforman.

Una recomendación importante, guarde lo realizado hasta este momento.

2. En busca del teorema de Euclides.

i.- Construyendo triángulos congruentes.

Construya la recta FG. Distribuya los puntos F y G como se muestra en la figura 24.

figura 24

figura 25

Active el botón Circulo por centro y radio (figura 25 ).

figura 26

Con centro en G y radio , construya una circunferencia:

Haga un clic sobre el punto G. En la ventana de Diálogo

Circulo por centro y radio, en la sección Radio escriba Distancia[E,D] y luego Aplica ( figura 26 ).

Ya tiene una circunferencia. Rotule el punto de intersección, a

la izquierda de G. Sea este punto H.

Oculte la circunferencia.

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figura 27

Trace una perpendicular por H. Con centro en H y radio AE

construya una circunferencia. Rotule el nuevo punto de

intersección con la letra I. Oculte la circunferencia y la recta

perpendicular. Construya el triángulo HGI

(figura 27).

En la construcción ∆AED y ∆IHG son congruentes ¿por qué?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Continuando con la construcción:

figura 28

Con centro en G y radio , construya una circunferencia:

Ya tiene otra circunferencia.

Rotule el punto de intersección, a la izquierda de G. Sea este punto J.

Oculte la circunferencia. Trace una perpendicular a la

recta FG y que pase por J. Con centro en J y radio ED

construya una circunferencia. Rotule el nuevo punto de

intersección con la letra K. Oculte la circunferencia y la

recta perpendicular. Construya el triángulo JGK.

De esa forma ha construido el segundo triángulo (figura 28).

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Finalmente, por medio de las acciones anteriores, construya el triángulo LGM, como lo muestra la figura 29.

Oculte la recta FG.

figura 29

ii.- Visualizando el Teorema de Euclides.

Active el botón Desplaza. Ubique el indicador del mouse sobre el punto B. Mantenga presionado el botón izquierdo del mouse y mueva el punto.

¿Qué ocurre con la construcción?______________________________________________________________________________

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Repita la acción con el punto A y C.

Intente determinar un cuadrado, ¿Qué ocurre con los triángulos de la segunda construcción?______________________________________________________________________________

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¿Qué preguntas haría a sus alumnos si hubiesen sido ellos quienes realizaron esta construcción? ______________________________________________________________________________

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Guarde su trabajo.

3. Geogebra nos permite visualizar, de manera interactiva, el teorema de Euclides.

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A continuación, la invitación, y a la vez el desafío, es que usted aprenda a darle interactividad a construcciones de esta naturaleza. Es aquí donde se puede observar el potencial de estos recursos.

figura 30

i.- Realice las siguientes acciones:

Oculte sólo los triángulos de la segunda construcción. Deje a la vista los puntos de los vértices de los triángulos ( figura 30 ).

ii.- Definiendo una barra de control.

figura 31

figura 32

Active el botón Deslizador. En la ventana de diálogo

Deslizador (figura 31), ingrese los siguientes datos: en la sección intervalo; min. en o y max. en 1.

En la sección Deslizador; Ancho en 200.

En incremento en 0,01. Finalmente, Aplica.

Estas acciones, permiten definir una barra de control, como se muestra en la figura 32. Usted puede mover este botón, pruébelo.

iii.- Configuran movimiento a través de una barra de control.

Veamos las acciones que permiten configurar la barra de control, de tal manera que desplace un triángulo.

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Active la sección de entrada de comandos. Ingrese la siguiente expresión: K1 = D + v*(G - D) Luego, Enter.

figura 32

Si mueve el botón rotulado con V, observe que mueve el punto K1.

Nuevamente, active la sección de entrada de comandos. Ingrese la siguiente expresión: K2 = E + v (H - E). Luego, Enter.

Si mueve el botón rotulado con V, observe que mueve los puntos K1 y K2.

Nuevamente, active la sección de entrada de comandos. Ingrese la siguiente expresión: K3 = A + v (I - A) Luego, Enter. Construya un Triángulo con los puntos K1, K2 y K3. Si mueve el botón rotulado con V.

Observe que las expresiones utilizadas, contienen los puntos de los vértices de los triángulos congruentes de menor dimensión.

Para visualizar, de manera interactiva, el teorema de Euclides, proceda a repetir las acciones del punto iii con los puntos relacionados con el segundo triángulo y luego con el de mayor dimensión.

Para el triángulo de dimensiones intermedias, las expresiones son las siguientes:

H1 = C + v* (G - C)

H2 = E + v* (J - E)

H3 = D + v* (K - D)

El desafío para usted es que defina las expresiones para el triángulo de mayor dimensión.

¿Cree usted que con recursos de esta naturaleza se podría realizar una clase motivadora para sus alumnos, en la sala de computación?______________________________________________________________________________________________________________________________________________

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Geogebra: Reflexiones sobre la actividad realizada Presentación

Las acciones realizadas, le permitieron a usted construir la figura geométrica que permite abordar visualmente el Teorema de Euclides, a través de las longitudes de los lados de los triángulos que lo conforman. Si bien están los elementos como para encontrar las relaciones matemáticas, es necesario intencionar más el trabajo, entonces ¿cuáles son las preguntas que orientarían a sus alumnos para encontrar las relaciones que permitan descubrir el Teorema de Euclides?

Actividades

1. Hágale preguntas matemáticas a la figura construida.

Sobre los ángulos interiores de los triángulos.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sobre los lados de los triángulos________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Sobre el Teorema de Euclides ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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