SÓLIDOS: APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS, TEOREMA DE THALES Y TRIGONOMETRÍA.

PRISMAS:Los prismas son poliedros que tienen dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos.

Elementos de un prisma

Desarrollo de un prisma

Prismas regulares

Son los prismas cuyas bases son polígonos regulares

Prismas irregulares

Son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares.

Prismas rectos

Son los prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.

Prismas oblicuos

Son los prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.

Paralelepípedos

Los paralelepípedos son los prismas cuyas bases son paralelogramos.

Los prismasparalelogramos

Ortoedros

Los ortoedros son paralelepípedos que tienen todas sus caras rectangulares.

Los tienen todas sus

Prisma triangular

Prisma cuadrangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

PIRÁMIDES:Poliedros cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

Elementos de una pirámide

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

La apotema de la pirámide es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

Desarrollo de una pirámide

Pirámide convexa

La pirámide convexa tiene de base un polígono convexo

Pirámide irregular

La pirámide irregular tiene de base un polígono irregular.

La convexade base unpolígono convexo

Pirámide cóncava

La pirámide convexa tiene de base un polígono cóncavo

Pirámide regular

La pirámide regular tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.

La convexabase un cóncavo

Pirámide recta

En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.

Pirámide oblicua

En la pirámide oblicua alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.

En la caras laterales

TRONCOS DE PIRAMIDES.ELEMENTOS

Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice.

La sección determinada por al corte es la base menor.

Las caras laterales son trapecios isósceles.

Las apotemas son las alturas de los trapecios isósceles.

La altura es la distancia entre las bases.

Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base menor y el vértice.

Desarrollo de un pirámide truncada

Área y volumen de prismas.

Área y volumen de pirámides.

AREAS Y VOLUMENES DE TRONCOS DE PIRAMIDES.

CILINDRO Es el cuerpo de revolucion obtenido alk hacer girar un rectangulo alrededor de uno de sus lados.

Desarrol lo del c i l indro

Elementos del cil indro

Eje

Es e l lado f i j o a l rededor de l cua l g i ra e l rectángulo .

Bases

Son los c írculos que engendran los lados perpendiculares a l e je .

Altura

Es la d i s tanc ia ent re las dos bases .

Generatriz

Es e l lado opuesto a l e je , y es e l lado que engendra e l c i l indro .

La generatr iz de l c i l indro es igua l a la altura .

h = g

CONO:Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos del cono

Eje:Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.

Base:Es el círculo que forma el otro cateto.

Generatriz:Es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Desarrollo del cono

Defin ic ión de tronco de cono

E l tronco de cono o cono truncado es e l cuerpo geométr ico que resu l ta a l cor ta r un cono por un plano parale lo a la base y separar la par te que cont iene a l vér t i ce .

Desarrol lo de un tronco de cono

Elementos del tronco de cono

La secc ión determinada por a l cor te es la base menor .

La altura es e l segmento que une perpend icu la rmente las dos bases

Los radios son los rad ios de sus bases .

La generatr iz es e l segmento que une dos puntos de l borde de las dos bases .

Obtenemos la generatr iz del t ronco de cono ap l i cando e l teorema de Pitágoras en e l t r iángu lo sombreado:

Superficie esférica

Es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro.

ESFERA: Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Elementos de la esfera

Centro:Punto interior que equidista de cualquier punto de la esfera.

Radio:Distancia del centro a un punto de la esfera.

Cuerda:Segmento que une dos puntos de la superficie.

Diámetro:Cuerda que pasa por el centro.

Polos:Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Circunferencias en una esfera

Paralelos:Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.

Ecuador:Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de revolución que contiene al centro de la esfera.

Meridianos:Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contienen el eje de revolución.

Área y volumen del ci l indro

Área y volumen del cono.

Area y volumen de tronco de cono

Área lateral de un tronco de cono

Área de un tronco de cono

Volumen de un tronco de cono

Área y volumen de la esfera.

CUBOS Y ORTOEDROS.

1.- Las tres aristas que concurren en los vértices de un ortoedro miden 8, 10 y 12 cm. Calcular la longitud de la diagonal.Ángulo que forma la diagonal con la base del cubo.

2.- Hallar la longitud de la arista de un cubo, sabiendo que su diagonal mide 15 cm

3.-La diagonal de una cara de un cubo mide cm. Hallar la diagonal del cubo.

4.- La diagonal de un cubo mide 12 mm. Hallar su área.

PRISMAS.

1. Hallar el área lateral y total de un prisma hexagonal regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la arista lateral 24 cm.

2. Hallar el área lateral y total de un prisma recto que tiene por base un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25 cm. y uno de los catetos 7 cm., siendo la altura del prisma igual a 30 cm.

3. Hallar el área lateral de un prisma hexagonal regular cuya apotema de la base mide m. y la altura del prisma 14 m.

4. Hallar el volumen de un prisma triangular regular cuyo lado de la base mide 6 cm. y la altura del prisma 12 cm.

5. Hallar el área total de un prisma triangular regular cuyo volumen es igual a cm3 y el lado de la base 2 cm.

PIRAMIDES.

1.-Una pirámide regular de 13 mm. de altura tiene 338 mm2 de área de su base. a)Si se corta por un plano paralelo a la base distante 6 mm. del vértice, hallar el área de esta sección.b)¿Qué ángulos forman las caras laterales con la base?

2.- Una pirámide regular de base cuadrada tiene 18 cm. de altura y 9 cm. de lado de la base. Si se corta por un plano distante 12 cm. de la base, hallar el lado de la sección producida.

3.- ¿A qué distancia del vértice deberá cortarse una pirámide regular de 15 cm. de altura para que el área de la sección producida sea los 2/3 del área de la base de la pirámide.

4.- Dos secciones hechas a una pirámide hexagonal regular por planos paralelos que cortan a todas las aristas laterales tienen 48 cm2 y 12 cm2, respectivamente. Si la distancia entre ellas es de 4 cm, hallar la distancia de la sección menor al vértice.

5.- Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal regular cuya base tiene 3 cm de lado y la apotema de la pirámide mide 12 cm.

6.- Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 4 cm. y cuya altura tiene 10 cm. Obtén la inclinación de las caras laterales con respecto a la base.

7.- Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un triángulo equilátero de 8 cm. de lado y la altura de la pirámide mide 24 cm.

7.-Hallar el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 4 m. de lado y la arista lateral mide 12 cm.¿qué ángulo formas dos caras alaterales no contiguas?

8.-El área lateral de una pirámide cuadrangular regular es m2 y el lado de la base mide 6 m. Hallar el volumen de la pirámide.

ESFERA

1. Hallar el área de una esfera de radio igual a 2 m.2. Hallar el radio de una esfera cuya superficie mide 314 cm2.3. Hallar el área de una superficie esférica que pasa por los vértices de un cubo cuya área total mide

216 cm2.4. El área de una superficie esférica es 256. Hallar el área del círculo máximo de esta esfera.5. Hallar el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 9 cm2 de área.6. Obtén el área de la sección de una esfera de radio 3 que dista 2 cm. del polo.7. En una esfera de radio 5 se tiene una sección de área igual a 4. ¿a qué distancia se ha hecho el corte

del polo más próximo?8. El paralelo que se encuentra a una latitud de 30º ¿qué radio teiene?. Radio de la tierra 6370 km.

CONO.

1. Hallar el área lateral de un cono circular de 3 cm. de radio de la base y 9 cm. de generatriz. Obtén el ángulo en su vértice.

2. Hallar el área total de un cono circular de 5 m. de radio de la base y 12 m. de altura. Obtén el ángulo en su vértice.

3. Hallar el volumen de un cono circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm. Obtén el ángulo en su vértice.

4. Un cono circular tiene 5 cm. de radio de la base y la generatriz mide 12 cm. Hallar su volumen. Obtén el ángulo en su vértice.

5. El volumen de un cono circular de 10 m. de altura es 30. Hallar el radio de su base y el ángulo en su vértice.

6. El área total de un cono circular es 384 y el radio de la base 12. Hallar su volumen y el ángulo en el vértice.

Ejercicios

1Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.

2Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de 6 € el metro cuadrado.

1 Dibujando su desarrollo plano determina cuánto costará pintarla.

2Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

3En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar?.

Queremos colocar una cuerda que una l vértice inferior izquierdo del almacén con el superior derecho.

¿Qué longitud tendrá la cuerda? ¿Qué ángulo formará la cuerda con el suelo?

4 Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad.

Si el prisma tiene como base triángulos equiláteros determina su lado.

5 Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

6Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular:

1 El área total. 2 El volumen

7En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?

8 La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un coste de 300 € el m2, ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?

9¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?

10Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío? ( 1 litro de agua pesa 1 kg.)

11Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

¿Qué ángulo tiene ese cono en su vértice?

12Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de radio? ¿Y en un cilindro de 20 cm de radio y 20 cm de altura?

13 Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

14Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. Determina igualmente la inclinación de sus caras laterales en relación al suelo.

Si la pirámide está apoyada en su base se rellena de un líquido que alcanza los 6 cm de altura, ¿cuál es el volumen de ese líquido?

15Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. Determina igualmente la inclinación de sus caras laterales en relación al suelo.

16Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

Dibuja su desarrollo.

17Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

18Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

19Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

20Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm.

21Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

22Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

23Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.