ACTIVIDAD 6: COLABORATIVO 1

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES

Grupo colaborativo:

299004_7

Trabajo presentado Por

Carlos Andrés Arango

Luis Enrique Gómez (11.292.292)

Marlon Esty Trillos Suarez (13.567.564)

Leonardo Javier Manosalva

José Hernando Otálora (11.348.817)

Trabajo presentado A

LIC. Faiber Robayo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA- UNAD

INGENIERÍA ELECTRÓNICA

6 DE OCTUBRE DE 2012

ZIPAQUIRA

INTRODUCCION

Las señales eléctricas son tensiones o corrientes que contienen

información. Además de las señales eléctricas existen otras, de

naturaleza magnética, hidráulica, neumática, luminosa, etc.

Las señales pueden ser generadas en forma natural o artificial. Algunos

ejemplos de señales naturales son la radiación electromagnética de una estrella, la altura de la marea y la velocidad del viento. Algunos

ejemplos de señales artificiales son la emisión de un canal de TV, las

ondas emitidas y recibidas por radares, teléfonos celulares, sonares, etc.

Las señales se representan matemáticamente como funciones de una o más variables independientes.

La variable independiente más común es el tiempo, y algunas señales

que dependen de él son, por ejemplo, la voz, una onda de radio, un electrocardiograma, etc.

Otras señales, tales como las imágenes, son funciones de 2 variables

independientes, ya que contienen información de brillo o de colorido en

función de las coordenadas X e Y de un plano. Procesamiento de Señales es un área de la Ingeniería Electrónica que se

concentra en la representación, transformación y manipulación de

señales, y de la información que ellas contienen. Procesamiento de Señales en Tiempo Discreto (Discrete-Time Signal

Processing) se refiere al procesamiento de señales discretas en el tiempo

o en el espacio. Esto implica que sólo se conoce el valor de la señal en

instantes o en puntos específicos. Sin embargo, la amplitud de la señal es continua, es decir, puede tomar infinitos valores diferentes.

Procesamiento Digital de Señales (Digital Signal Processing o DSP) añade a

La característica anterior la de manejar la amplitud en forma discreta, la

cual es una condición necesaria para que la señal pueda ser procesada en un computador digital. La amplitud de la señal sólo puede tener un

número finito de valores diferentes.

1) Investigación

a) Realizar una recopilación bibliográfica que permita identificar y

explicar, aplicaciones de la correlación en procesamiento digital de

señales.

b) Investigar y proponer ejemplos de aplicación de la correlación

usando MatLab. Es necesario adjuntar el código .m generado.

DESARROLLO

La transformada de Fourier se puede definir como "la representación en

frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se

encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de

la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver

al dominio temporal.

Un ejemplo de representación en frecuencia, puede ser el ecualizador

de un equipo de música. Las barritas que suben y bajan, indican las

diferentes componentes frecuenciales de la señal sonora que estás

escuchando. Esto, lo hace ni más ni menos que un integrado que realiza

precisamente la transformada de Fourier de la forma más rápida posible

(FFT, o Fast Fourier Transform).

El trabajo con la señal en frecuencia, no solo sirve como información,

sino que se puede modificar, de forma que es ampliamente utilizada en

filtros, procesado de la imagen y el sonido, comunicaciones

(modulaciones, líneas de transmisión, etc.) y otro tipo de aplicaciones

más curiosas: estadística, detección de fluctuaciones en los precios,

análisis sismográfico, mantenimiento preventivo y/o predictivo de

maquinarias (motores, motobombas, compresores, tuberias) etc,

ademas de aplicaciones especificas en termodinamica y mantenimiento

de contactores y arrancadores eléctricos por vibración y/o temperatura.

Se busca poner cualquier función x(t) como un sumatorio de senos y

cosenos, esto es, como un sumatorio de puesto que cualquier

función senoidal se puede poner en forma de exponencial compleja.

Para una señal periódica definimos el desarrollo en serie de Fourier

como:

A la vista de la exponencial compleja podemos observar que al variar los

valores de k tenemos una función periódica de periodo:

Para averiguar los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier

haremos:

La transformada de Fourier se emplea con señales aperiódicas a

diferencia de la serie de Fourier. Las condiciones para poder obtener la

transformada de Fourier son (Condiciones de Dirichlet):

Que la señal sea absolutamente integrable, es decir:

Que tenga un grado de oscilación finito.

Que tenga un número máximo de discontinuidades.

La transformada de Fourier es una particularización de la transformada

de Laplace con S=jw (siendo w=2*pi*f), y se define como:

Y su antitransformada se define como:

He mencionado al principio que la transformada de Fourier se usa con

señales aperiódicas. Con la invención de la función delta(t) a principios

de este siglo es posible calcular la transformada de Fourier de una señal

periódica:

Sabiendo que

Y que la transformada de Fourier tiene la propiedad de dualidad:

Obtenemos que

De esta forma, podemos calcular la transformada de Fourier de

cualquier señal periódica x(t) de potencia media finita, esto es:

Ya que

Luego para una x(t) periódica se cumple que:

Extraído de: http://www.pacop.net/transformada-de-fourier-fft/la-

transformada-de-fourier.html

Neurofisiología clínica

Mapeo cerebral.

Técnica desarrollada en los últimos 40 años, donde podemos distinguir

básicamente dos tendencias:

1.-Análisis de frecuencias, que se realiza en base a la aplicación de un

algoritmo matemático (transformada rápida de Fourier) que

descompone en sus Frecuenciasfundamentales una señal analógica. Así obtendremos la potencia de cada una de las bandas del EEG por

electrodo. Se puede desplegar como potencia total o bien relativa, y su

principal valor consiste en poder conocer valores numéricos en los que

se basa el análisis cuantitativo del EEG. Estas señales ya digitalizadas,

pueden ser ometidas a otros tipos de análisis, como el de coherencia, en donde se observa la tendencia de una señal a ser sincrónica. Otro, es

la asimetría, en donde al restar la actividad de un hemisferio contra la

del otro, obtendremos el valor numérico absoluto de una diferencia. Al

comparar contra grupos controles, podemos realizar también análisis

estadístico, mientras que el análisis multiparamétrico con técnicas de

análisis discriminatorio calcula aspectos tan complejos con los que se

intenta obtener marcadores eléctricos de diferentes tipos de

padecimientos neurológicos.

APLICACIONES DE LA VISIÓN ARTIFICIAL

La transformada de Fourier puede resultar útil por ejemplo para

determinar la naturaleza de una determinada formación geológica o de

una especie biológica. En efecto, la figura S.21(b) muestra una

formación rugosa de un tronco de árbol con una orientación media de las arrugas en sentido vertical, tal y como se deduce del espectro de

frecuencias de la figura 1(a). Análogamente, en la figura S.32(a) se

muestra una imagen de una formación geológica con estratos inclinados

formando un ángulo de 45o aproximadamente.

TRANSFORMADA DE FOURIER EN TELEDETECCION

Podríamos decir que se puede estudiar el uso de la Transformada de

Fourier como representación alternativa de una imagen o señal, y

también para la resolución de sistemas de ecuaciones. En concreto se

emplea en la resolución de ecuaciones lineales que llevan asociadas

matrices circulantes.

Aparte del filtrado convencional, la transformada de Fourier constituye

una herramienta con aplicaciones en campos muy diversos, entre los

que podemos citar con respecto a l tema que nos ocupa los siguientes.

Señales.

Una señal es una magnitud física de interés que habitualmente es una función del tiempo.

Voltaje en una línea telefónica (voltaje frente a tiempo).

Ondas sonoras producidas por un interlocutor. (Presión frente al tiempo)

Cotizaciones en bolsa de un producto (valores frente al tiempo).

En el contexto del procesado digital de señales muchas de las señales

proceden de medidas del mundo real (sonidos, temperatura, luz,

etc.). Para poder utilizar estas señales necesitamos un transductor o sensor, que es un dispositivo que nos permite transformar la

magnitud física en una magnitud eléctrica variable, en general una

tensión.

Muchas de las señales de interés son analógicas, en las que en cualquier

instante de tiempo pueden tomar cualquier valor de amplitud

entre unos niveles determinados. El procesado digital no puede

trabajar directamente con estas señales por lo que es necesaria una conversión de las mismas. Los procesos de muestreo y cuantificación

realizan esta tarea, obteniendo una secuencia de números que

representan, aproximadamente, la señal original.

Es necesario decidir 2 parámetros:

¿Con que velocidad tomamos muestras de las señal analógica?

¿Qué precisión empleamos para representar la amplitud?

Existen sistemas digitales que crean la señales internamente en lugar de

emplear señales externas es el caso de la síntesis de voz o la generación de tonos telefónicos de marcación.

Señales sinusoidales, cuadradas y en general casi cualquier forma arbitraria pueden ser generadas digitalmente.

Las señales a las que hemos hecho referencia hasta ahora son

señales unidimensionales, sin embargo el procesado de señales puede ser también utilizado para señales de más dimensiones como

por ejemplo en procesado de imágenes o vídeo.

Señal unidimensional (Audio)

Señal bidimensional

Uno de los primeros usos del procesado digital fue para simular el

funcionamiento de sistemas analógicos como paso previo a su

construcción. Es decir aproximamos una ley física por un conjunto de

ecuaciones matemáticas. La gran ventaja del procesado digital es que nosotros podemos plantear, en el dominio digital, ecuaciones que no

se corresponden con un sistema realizable físicamente, esto proporciona

un campo de aplicación muy amplio. En PDS el papel del circuito

electrónico lo va a realizar un computador.

Herramientas básicas de procesado.

• Filtrado: se utilizan los filtros digitales para modificar el contenido frecuencial de una señal, como el bass y el trebble1 de un

amplificador de audio. Los filtros digitales pueden reproducir el

comportamiento de los filtros analógicos e incluso se pueden utilizar

nuevos tipos de filtros que no existen en el dominio analógico como son

los filtros de fase lineal.• Análisis espectral: en ocasiones queremos conocer que frecuencias están presentes en una señal. Por

ejemplo un ecualizador gráfico muestra las frecuencias presentes

en una señal de audio en diferentes bandas. Esta idea está íntimamente

ligada con la idea de transformaciones, que no son más que herramientas matemáticas que nos permite describir las señales en

términos de sus valores a lo largo de tiempo (dominio temporal)

o bien a partir de las frecuencias contenidas en dicha señal

(dominio frecuencial). Veremos que la descripción de señales y también sistemas en el dominio frecuencial puede facilitar el

procesado.

• Síntesis: los sistemas DSP pueden generar desde tonos sencillos hasta simular fielmente la voz humana. La síntesis incluye la

generación de funciones trigonométricas, números aleatorios,

osciladores digitales, etc.

• Correlación: la correlación la podemos entender como un tipo

particular de filtrado, en el que el filtro deja pasar un tipo

particular de señal. Utilizamos la correlación para determinar

periodicidades de una señal, comparando tramos anteriores de la misma con tramos actuales, y en general para determinar el grado de

similitud entre señales.

Utilizando estas herramientas básicas se pueden formar bloques más complejos, por ejemplo un sistema de compresión de voz para su

transmisión más eficiente o almacenamiento implica etapas de

análisis, filtrado y correlación. Existen otras operaciones como la

modulación que implican operaciones no descritas anteriormente así que las herramientas indicadas las consideraremos como bloque

iniciales de trabajo aunque no únicos.

Aplicaciones del PDS.

Tanto si el procesado se realiza con microprocesadores genéricos o con

hardware específico, los costes están decreciendo continuamente

y su prestaciones aumentando. Esto ha hecho que su uso se esté extendiendo cada vez más reemplazando la electrónica

analógica y en algunos casos creando nuevo productos que no

seria posibles sin el PDS. En la siguiente tabla se muestran

algunas aplicaciones.

• Propósito general Filtros digitales

• Voz/Habla Síntesis y reconocimiento de voz, reconocimiento de

interlocutor, compresión de voz, ...

• Gráficos/Imagen Compresión/Transmisión de imágenes,

reconocimiento, realidad virtual, ...

• Control/Regulación Servocontrol, control de discos, modelización de sistemas, lógica difusa, ...

• Telecomunicaciones Modems, Cancelación de ecos, multiplexación

de canales, ecualización de canales, criptografía, ...

• Consumo Juguetes, TV y audio digitales, Cámaras ...

• Industria Control numérico, monitorización de la línea de red,

acondicionamiento de señales, ...

• Instrumentación Analizadores de espectro, PLL, ...

• Aplicaciones militares RADAR, SONAR, ...

• Automoción ABS, posicionamiento global, ...

• Electromedicina Diagnóstico automático, Sistemas de obtención

y tratamiento de imágenes médicas, prótesis, TAC, RMN, ...

El PDS ha mejorados dispositivos analógicos existentes como el

teléfono, televisión, radio, música electrónica, electrónica del automóvil

y ha creado nuevo productos como el CD, DAT, los modems, reconocimiento de voz e imágenes, etc.

Ventajas de un sistema de procesado digital frente a un sistema

analógico.

* Programabilidad/Flexibilidad: Al tratarse de sistemas

programados se facilita el cambio de los algoritmos sin necesidad

de modificar el circuito como ocurre con los sistemas analógicos. Dependiendo de que la programabilidad sea en el

proceso de fabricación, o a posteriori los circuitos disponen de diferentes

tipos se memoria (ROM, EEPROM, RAM).

* Repetitividad: La memoria y la lógica de un procesador no se

alteran. Procesos repetibles no influenciados por derivas térmicas,

tolerancias de los componentes, no necesarios ajustes individuales.

Los algoritmos de procesado son ecuaciones matemáticas por lo que su resultado no varía aunque se cambie el dispositivo (DSP,

microprocesador etc.)

* Coste. Un sistema programado puede modificar su

funcionamiento (algoritmo) sin modificar la circuitería como ocurre

con los sistemas analógicos, que deben modificar el número de

componentes.

* Implementación de sistemas sin equivalente analógico.

Existen sistemas digitales sin equivalente analógico como los filtros FIR.

Digitalmente se pueden generar formas de onda arbitrarias. Se

pueden almacenar las señales para un procesado posterior.

* Existencia de un gran número de herramientas de diseño.

Muchas de las tareas de procesado como la derivación de algoritmos y la

obtención de formulas ya están hechas y existen programas como Matlab que permiten obtener los coeficientes de un filtro sin

necesidad de conocer todo el desarrollo matemático subyacente.

Existen herramientas que permiten automatizar el proceso casi

al completo, desde el diseño hasta la programación del dispositivo sobre el que se va a ejecutar el programa. Si bien para poder

utilizar todas estas herramientas es necesario conocer los fundamentos

básicos del procesado

Limitaciones de un sistema de procesado digital.

El Procesado Digital de la Señal no es sin duda el sustituto completo y

radical del analógico. De hecho, muchas señales presentan un ancho de banda excesivamente grande como para permitir su

tratamiento digital en tiempo real. Para dichas señales, el

procesado analógico o, actualmente el óptico, son la solución. Sin

embargo, cuando existan dispositivos digitales con la suficiente velocidad de proceso, o se desarrollen algoritmos que reduzcan la

carga computacional, el tratamiento digital será preferible.

Elementos básicos de un sistema de procesado digital.

Por lo que hemos comentado hasta ahora parece obvio que en

un sistema de procesado digital, en general, necesita interactuar con el

exterior para recoger las señales analógicas que queremos procesar y posteriormente devolver estas señal al dominio analógico, si bien

existen tareas de procesado como las simulaciones o la síntesis de

señales en las que o necesariamente estarán todas esta etapas.

El procesado digital de señales continuas implica 3 etapas básicas (1)

Conversión de la señal continua en tiempo y amplitud en una señal

digital.

(2) Procesado de la señal digital

(3) Conversión de la señal digital procesada, en una señal continua.

Señal analógica de partida.

• Filtro antialiasing (Analógico)

• Conversión Analógico Digital (AD)

• Etapa de procesado digital (DSP)

• Conversión Digital Analógica

• Filtro reconstructor o suavizado (Analógico)

Ejemplos de sistemas de procesado digital

Lector de CD.

Obtención y procesado de imágenes de Tomografía Axial Computarizada

(TAC)

Procesado de Imágenes

♦ La correlación entre dos señales g(t), h(t) viene dada por

donde CF denota correlation function y DCF discrete correlation function. Cuando las señales son funciones del tiempo, t se denomina retraso (lag en inglés) ♦ La autocorrelación se define, de forma análoga, como donde ACF denota autocorrelation function. La ACF se suele emplear para encontrar períodos.

Métodos espectrales: correlación

dhtgthg )()())(,(CF

1

0),(DCF

N

k kkjj hghg

),(CF)(ACF ggg

(Figuras de Peterson 2001 en “The Starburst-AGN-Connection”, World Scientific)

En un sistema complejo, por ejemplo, una red de telecomunicaciones,

se monitoriza para condiciones de fallos. Con el fin de poner en

correlación alarmas para establecer que alarmas (por ejemplo, 31, 32,

33) tienen una causa común, se utiliza un modelo de conectividad lógica

en el que una propiedad lógica se transfiere entre los elementos lógicos

relacionados (por ejemplo, 41, 52) en respuesta al elemento (41) en

condición de alarma. Si como resultado de tal traspaso el valor de la

propiedad lógica excede un valor de umbral de cualquier elemento (61)

se establece una correlación y el elemento (61) es resaltado (72) como

la probable causa de las alarmas.

Las series de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, 1768)

propuso a la comunidad científica en diciembre

de 1807 una idea polémica y de consecuencias

entonces imprevisibles. En una memoria

sometida a la consideración del Institut de

La transformación de Fourier (FT) convierte funciones del espacio temporal o espacial al espacio de frecuencias temporales o espaciales. Estatransformación simplifica el cálculo de los métodos espectrales.

En Física se utiliza la frecuencia expresada en rad/s en vez de en ciclos/s,

ω=2πν

♦ Propiedades

si h(t) es real → H(−ν) = H*(ν)

imaginario → H(−ν) = −H*(ν)

par → H(−ν) = H(ν)

impar → H(−ν) = −H(ν)

real y par → H(ν) es real y par

real e impar → H(ν) es imaginario e impar

imaginario y par → H(ν) es real y par

imaginario e impar → H(ν) es real e impar

Transformadas de Fourier

tiethdthH 2)()(FT)(

tieHdHth 21 )()(FT)(

transformada

antitransformada

titi eHdthetHdtH )()( )()(

France, “Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides”,

afirmaba: "Cualquier función periódica se puede escribir como una serie

trigonométrica". En aquel tiempo, la definición de función no tenía la

precisión necesaria, y la convergencia de las series trigonométricas

estaba muy lejos de adquirir los significados que hoy conocemos. Sin

embargo, su trabajo fue rechazado "porque no contenía nada nuevo ni

interesante" por un comité formado por Laplace, Lagrange, Lacroix y

Monge. La memoria fue publicada en 1822 con pocas modificaciones.

Las transformadas son herramientas matemáticas que permiten mover

información del dominio del tiempo a un dominio frecuencia y viceversa.

Existen una gran cantidad de transformadas. Las transformadas pueden

ser categorizadas básicamente en transformadas continuas,

transformadas de serie y transformadas discretas. Las transformadas

continuas son aplicables a señales continuas en el tiempo y frecuencia.

Si una señal continua en el tiempo posee solo ciertos componentes

frecuenciales, entonces puede decirse que la señal posee espectro

discreto o de líneas. En este caso, la transformada continua se reduce a

una transformada en serie. Así las transformadas en serie son un caso

especial de transformadas continuas en el tiempo, con componentes

frecuenciales discretos. Las transformadas discretas son aplicables a

señales que son discretas en el tiempo y en las frecuencias, tal como

son las que aparecen en los sistemas digitales.

Ejemplo de Aplicación en telecomunicaciones

Eliminación de ruido.

En lo que respecta al ruido, un modelo teórico de descomposición de la

señal en el dominio tiempo puede escribirse como

Siendo s la señal afectada por el ruido e y x la información libre de ruido.

Efectuando una transformación wavelet discreta, se deduce una

representación tiempo-escala (y tiempo-frecuencia) de las diferentes

señales implicadas:

Obteniendo así una conjunto de coeficientes que las representan en el

dominio transformado. La eliminación del ruido se intenta, seguidamente,

aplicando transformaciones no lineales a los mencionados coeficientes, que

practican sobre ellos un mecanismo de umbral selectivo. las aproximaciones

más sencillas son la hard treshold,

o, más generalmente,

siendo T una cantidad real que juega el papel de un umbral y 0£a£1 un

coeficiente cuyo valor debe ser seleccionado convenientemente; y la soft

treshold,

En ambos casos se está haciendo la suposición de que la energía de la señal

de interés queda capturada en su mayor parte por los coeficientes de la

transformada cuyas magnitudes respectivas son superiores a la del umbral,

mientras que la energía del ruido está representada por coeficientes con

magnitudes inferiores a la cantidad citada.

Donoho y Johnstone han propuesto varios métodos para la selección del

umbral T, uno de los cuales se basa en la cantidad

Siendo s2 la varianza del conjunto de datos originales, que suponen N

muestras. Otro procedimiento consiste en minimizar la función de riesgo de

Stein:

Donde m (T) representa el número de coeficientes de magnitud menor o

igual que el umbral T y ck los coeficientes de la transformada wavelet

reordenados como una serie creciente.

En cuanto a los valores del parámetro a, existe un compromiso entre la

posibilidad de distorsión de la voz (valores próximos a 0) y la incapacidad

para eliminar el ruido (valores próximos a la unidad).

Por otra parte, el problema que plantean el ancho de banda disponible y el

ahorro de energía se pueden abordar conjuntamente transformándolos en

un problema de moderación del volumen de datos a transmitir.

SEÑALES

Se tratarán 4 tipos de señales:

al, -xq[n], amplitud y tiempo discretos.

Clasificación de las señales

sólo para el eje positivo de t.

-t)

-x(-t)

energía y potencia (impulsos limitados en tiempo y señales

periódicas)

Una señal se dice que es de energía si Ex es finito, lo que implica que Px

es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.

Una señal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que implica que

Ex es infinito. Ej. Una señal periódica.

Funciones elementales:

-u(t-1/2) -2r(t)+r(t-1)

Seno Cardinal , Sinc: sinc( t)= sen (πt)/πt

-∞ ∫ +∞

δ(τ) d τ = 1

Representación de las señales:

Operaciones con señales: -2), desp. A la derecha

resión en el tiempo: x(2t)

-t)

Algunas señales en Matlab

>> y = diric (x,N)

La función de Dirichlet se define de la siguiente forma:

D(x) = sin(Nx/2) / N sin(x/2)

El argumento de entrada es un vector x en cuyos puntos queremos calcular la función de dirichlet y el parámetro N, e es el número de

máximos de la función en el intervalo (0-2π).

>> y = sawtooth (x,width)

Genera una señal en diente de sierra con período 2π para los elementos

del vector x. El parámetro “width” es un escalar entre 0 y 1 y describe la

fracción del período 2π en el que ocurre el máximo.

>> y = sinc (x)

La función sinc (x) = sin (πx) / (πx)

>> y = square (x, duty) Genera una onda cuadrada de período 2π con un ciclo de trabajo dado.

El parámetro “duty” es el porcentaje del período en el cual la señal es

positiva.

SISTEMAS

cuyo funcionamiento está sujeto a leyes físicas.

rocesador de señales.

relacionan la salida y(t) y la entrada x(t)mediante constantes, parámetros y variables independientes.

Sistemas: Clasificación

Los sistemas se clasifican en:

constantes.

s

constantes.

A los sistemas lineales se les puede aplicar el principio de superposición.

Si x(t)=x1(t)+x2(t) -> y(t)= y1(t)+y2(t)

x(t)=K x1(t) -> y(t)=K. y1(t)

Un sistema es invariante en el tiempo cuando la respuesta y(t) depende

sólo de la forma de la entrada x(t) y no del tiempo en que se aplica.

Matemáticamente: Si L{x(t)}=y(t) -> L{x(t-t0)}=y(t-t0)

L{} indica el sistema físico en cuestión.

Usaremos sistemas LTI: lineal e invariante en el tiempo. La respuesta al

impulso del sistema se representa con h(t) y es la respuesta a la excitación delta de Dirac.

Es la principal herramienta para el estudio de un sistema.

CONVOLUCIÓN Podremos calcular la respuesta y(t) de un sistema a una entrada

cualquiera x(t).

Condiciones para llevarla a cabo:

Basándonos en el principio de superposición y en que el sistema es

invariante en el tiempo:

Una señal arbitraria de entrada x(t) puede expresarse como un tren

infinito de impulsos.

Para ello, dividimos x(t) en tiras rectangulares de anchura ts y altura

x(k ts). Cada tira la reemplazamos por un impulso cuya amplitud es el

área de la tira:

ts . x(k.ts) δ(t –kts)

La función xs(t) que aproxima x(t) es:

x(t) es el límite cuando ts -> dλ , kts->λ

Y aplicando el principio de superposición:

Mediante convolución hemos sido capaces de determinar la respuesta

del sistema a una señal de entrada a partir de la respuesta del sistema a

una entrada impulso.

La función h(t) se define para t >= 0 y decrece cuando t -> 0, para la

mayoría de los sistemas físicos. Por tanto:

entrada y de la respuesta al impulso.

correspondientes más antiguos (y más grandes) valores de h(t).

CORRELACIÓN

Es una operación similar a la convolución, con la diferencia de que en la correlación no se refleja una de las señales.

x(t) e y(t) se definen dos correlaciones:

Autocorrelación

La correlación de una señal consigo misma se denomina

autocorrelación:

La autocorrelación representa la similitud entre la señal y su desplazada.

El máximo de autocorrelación se obtiene cuando no hay desplazamiento (t=0). La autocorrelación es simétrica con respecto al origen.

Nota: Autocorrelación discreta

Ejemplo de uso de la autocorrelación: Radar.

Convolución y Correlación en MATLAB

>> y = conv(x,h)

Hace la convolución de los vectores x y h. El vector resultante y tiene un

tamaño igual a length(x)+length(h)-1

>> rxy = xcorr(x,y)

Hace la correlación de los vectores de M elementos x e y. Devuelve un

vector de 2M-1 elementos.

>> rxx = xcorr(x)

Hace la autocorrelación del vector x de M elementos. Devuelve un vector

de 2M-1 elementos.

CORRELACIÓN CRUZADA Y AUTOCORRELACIÓN

Frecuentemente en el procesado digital de señales se necesita cuantificar el grado de interdependencia entre dos procesos o la

similitud entre dos señales x1 y x2 En otras palabras determinar

la correlación existente entre dos procesos o señales. De entre los variados campos de aplicación, vamos a centrar nuestra atención en la

detección e identificación de señales.

Descripción de la correlación . Consideremos la necesidad de

comparar dos señales

x1 y x2 de la misma longitud N. Una medida de la correlación

existente entre ambas señales puede efectuarse mediante la suma de los productos de los correspondientes pares de puntos mediante la

expresión conocida como correlación cruzada:

Un resultado negativo en c12 indica una correlación negativa, es decir

un incremento en una variable se asocia con un decremento en la otra.

La anterior definición de la correlación cruzada produce un resultado

que depende del número de muestras. Una definición alternativa es:

la cual promedia la suma de productos entre el número N de elementos.

Ejemplo 1.- Calcular la correlación cruzada de las secuencias definidas

por:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x1 4 2 -

1

3 -

2

-

6

-

5

4 5

x2 -

4

1 3 7 4 -

2

-

8

-

2

1

= [4. (-4) + 2 .1 + (-1). (3) + 3. 7 + (-2). 4 + (-6). (-2) +

+ (-5). (-8) + 4. (-2) + 5. 1 = 5

Sin embargo la definición debe ser modificada

porque en muchos casos puede indicar correlación cruzada cero y sin

embargo las dos señales estar totalmente correlacionadas, tal es el caso

de dos señales en oposición de fase, Figura 8.27.

Para resolver este problema es necesario rotar o retrasar una de las señales respecto de la otra. Tal y como se representa en la Figura 8.28.

la señal x2 se retrasa o rota a la izquierda k intervalos de muestreo.

Otra alternativa equivalente es rotar x1 a la derecha. En este caso,

la nueva expresión para la correlación cruzada es:

Fig. 8.28.

Ejemplo 2.- Calcular la correlación cruzada de las secuencias definidas por:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x1[n] 4 2 -

1

3 -2 -

6

-

5

4 5

x2 -4

1 3 7 4 -2

-8

-2 1

sin retraso y con un retraso k = 3 .

Solución Las secuencias representadas en la tabla:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x1[n] 4 2 -

1

3 -

2

-

6

-

5

4 5

x2[n] -

4

1 3 7 4 -

2

-

8

-

2

1

se transforman cuando x2 [n] se retrasa k = 3 intervalos de

muestreo en:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x1[n] 4 2 -1

3 -2

-6

-5

4 5

x2[n] 7 4 -

2

-

8

-

2

1

Cuando no existe retraso la correlación cruzada es:

= [4. (-4) + 2 .1 + (-1). (3) + 3. 7 + (-2). 4 + (-

6). (-2) +

+ (-5). (-8) + 4. (-2) + 5. 1 = 5

Con retraso k = 3 la nueva correlación cruzada es:

= [4. 7 + 2 .4 + (-1). (-2) + 3. (-8) + (-2).

(-2) +

+ (-6). 1] = 1.3333

También es posible considerar la correlación cruzada para señales

analógicas.

En el campo analógico se efectúa el cambio de variables n ---> t y k

---> t

Si x1 (t) y x2 (t) son periódicas de periodo T0 la ecuación anterior se

reescribe como::

Si x1 (t) y x2 (t) son dos señales de energía finita la función de

correlación cruzada es:

En la práctica se procesan señales de longitud y energía finita por

lo que la ecuación a emplear es:

Existe otro problema asociado con la definición:

Coma se ha podido comprobar en el ejemplo anterior, cuando k = 0 c12 = 5 , mientras que par k = 3 c12 . A medida que

aumenta el índice k, disminuye el solapamiento entre las secuencias

x1 y x2 y en consecuencia c12 disminuye linealmente

conforme k aumenta tal y como se representa en la Figura 8.29. donde

para k=N c12 .

Fig. 8.29.

Definiendo el valor verdadero de la

correlación para un valor concreto de k, la relación entre c12 V y el

calculado c12 se obtiene de la expresión :

----->

por lo tanto el valor calculado de la correlación cruzada c12 puede

ser fácilmente corregido añadiéndole el término

Los valores de la correlación cruzado obtenidos por las expresiones anteriores dependen del valor absoluto de los valores de la secuencia.

Desde un punto de vista práctico es interesante cuantificar entre los valores -1 y +1, por ejemplo +1 significa un 100% de correlación

mientras que -1 significa que las dos señales están en oposición de fase.

Esta forma de especificar la correlación puede implementarse

normalizando los valores por una cantidad dependiente de la energía

asociada al dato.

Veamos un ejemplo. Consideremos los dos pares de señales {x1

x2 y

{x3 4 cuyos valores se indican en la tabla adjunta.

Como puede apreciarse en la tabla las señales x1 y x3 tienen la

misma forma diferenciándose en un factor de escala. Lo mismo sucede

con las señales x2 y x4 , por lo tanto, por significado físico, la

correlación entre las señales {x1 2 y {x3 4 debe

ser la misma. Sin embargo si se aplican las expresiones

;

se obtienen resultados distintos. Esta situación se corrige normalizando

la correlación cruzada c12 por el factor:

=

y de forma similar para c34

La versión normalizada de c12 es por lo tanto:

donde el término se conoce como coeficiente de la correlación

cruzada. Su valor está comprendido entre +1 y -1. El valor +1 significa un 100% de correlación, mientras que -1 significa un 100% de

correlación en oposición de fase. Un valor cero significa que no existe

correlación y por lo tanto las dos señales son completamente

independientes. Este es el caso, por ejemplo, si una de las señales fuese

completamente aleatoria. Pequeños valores de indican poca

correlación.

Ejemplo 3. Calcular los valores del coeficiente de correlación cruzada

aplicada a las secuencias de la tabla anterior.

Solución

De la tabla se obtienen los datos para calcular el factor de normalización para la pareja de secuencias {x1[n] , x2[n] } y

{x3[n] , x4[n] }

para c12 [k] ---->

para c34 [k] ---->

Por lo tanto ;

Ahora = con lo cual el proceso de normalización

permite efctuar una estimación de la correlación cruzada con

independencia de los valores absolutos de los datos.

Existe un caso especial cuando ambas secuencias coinciden, x1

x2 . Este proceso se conoce como autocorrelación.

La función de autocorrelación se modela por la expresión:

la cual tiene la siguiente propiedad:

= S

donde S es la energía normalizada asociada a la señal x1 Este

hecho proporciona un método para calcular la energía asociada a una señal. Si la señal es totalmente aleatoria. por ejemplo ruido blanco, la

autocorrelación tendrá su valor máximo para

k = 0 (retraso nulo) y fluctuará entorno a cero a medida que el retraso

aumenta. Esto constituye una prueba para señales aleatorias tal y como

se representa en la Figura 8.30.

Se ha diseñado un programa interactivo que calcula tanto la función

de autocorrelación como de correlación cruzada de unos datos, los cuales pueden ser introducidos vía teclado o bien leídos desde el fichero

correspondiente.

Después de procesar los datos y mostrarse la información en la

pantalla, éstos pueden almacenarse en otro fichero para su análisis

posterior si fuese preciso.

2) Analizar y desarrollar los siguientes ejercicios.

a) Determine la respuesta al impulso de los siguientes sistemas

· 5y[n] =x [n] - x [n-1]

· y[n] + 3 y[n-1] + y[n-2] + 4y[n-3] =x[n]

· 3y[n] - y[n-1] +12y[n-2] =x [n]

· 8y[n] + y[n-1] - 7y[n-2] = x [n]

El desarrollo de los ejercicios de llevo a cabo de la siguiente manera en

MATLAB

Con la opción stem agregándola al código de programa anterior

obtenemos la siguiente gráfica

Analizar y desarrollar los siguientes ejercicios.

a) Determine la respuesta al impulso de los siguientes sistemas

· 5y[n] =x [n] - x [n-1]

El código en MATLAB usado fue:

%//DETERMINE LA RESPUESTA AL IMPULSO DEL SIGUIENTE SISTEMA %// 5Y[n] =x [n] - x [n-1] b= [1 -1]; a= [5 0]; n=1:50; x=(n==1); y=filter (b, a, x); figure (1); plot (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x'); figure (2); stem (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x');

La gráfica obtenida en la simulación fue la siguiente

2.b y[n] + 3 y[n-1] + y[n-2] + 4y[n-3] =x[n]

El código en MATLAB usado fue:

%//DETERMINE LA RESPUESTA AL IMPULSO DEL SIGUIENTE SISTEMA %// y[n] + 3 y[n-1] + y[n-2] + 4y[n-3] =x[n] b= [1 0 0 0 ]; a= [1 3 1 4]; n=1:50; x=(n==1); y=filter (b, a, x); figure (1); plot (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x'); figure (2); stem (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x');

La gráfica obtenida en la simulación fue la siguiente

2.c 3y[n] - y[n-1] +12y[n-2] =x [n]

El código en MATLAB usado fue:

%//DETERMINE LA RESPUESTA AL IMPULSO DEL SIGUIENTE SISTEMA %// 3y[n] - y[n-1] +12y[n-2] =x [n] b= [1 0 0]; a= [3 -1 12]; n=1:50; x=(n==1); y=filter (b, a, x); figure (1); plot (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x'); figure (2); stem (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x');

La gráfica obtenida en la simulación fue la siguiente

2.d 8y[n] + y[n-1] - 7y[n-2] = x [n]

El código en MATLAB usado fue:

%//DETERMINE LA RESPUESTA AL IMPULSO DEL SIGUIENTE SISTEMA %// 8y[n] + y[n-1] - 7y[n-2] = x [n] b= [1 0 0]; a= [8 1 -7]; n=1:50; x=(n==1); y=filter (b, a, x); figure (1); plot (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x'); figure (2); stem (y (1:30)); xlabel ('respuesta de y al impulso x');

La gráfica obtenida en la simulación fue la siguiente:

b) Dadas las siguientes señales

· y[n] = [-2 0 2 3 0 -1]

· x[n] = [4 0 -3 1 -2 -3]

· z[n]= [2 -1 -1 0 -2 1]

Encuentre:

· r yy

· r xz

· r yz

· r zz

DESARROLLO

𝑦 𝑛 = −2 , 0 , 2 , 3 , 0 , −1

𝑦 𝑛 = −2 , 0 , 2 , 3 , 0 , −1

𝑙 = 0

𝑟𝑦𝑦 0 = −2 ∗ −2 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ 3 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ −1 = 18

𝑙 = 1

𝑟𝑦𝑦 1 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ −2 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 2 + 0 ∗ 3 + −1 ∗ 0 = 6

𝑙 = 2

𝑟𝑦𝑦 2 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ −2 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 2 + −1 ∗ 3 = −7

𝑙 = 3

𝑟𝑦𝑦 3 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ −2 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 2 = −8

𝑙 = 4

𝑟𝑦𝑦 4 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ −2 + −1 ∗ 0 = 0

𝑙 = 5

𝑟𝑦𝑦 5 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ −2 = 2

𝑙 = −1

𝑟𝑦𝑦 −1 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ −1 + −1 ∗ 0 = 6

𝑙 = −2

𝑟𝑦𝑦 −2 = −2 ∗ 2 + 0 ∗ 3 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ −1 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = −7

𝑙 = −3

𝑟𝑦𝑦 −3 = −2 ∗ 3 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ −1 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = −8

𝑙 = −4

𝑟𝑦𝑦 −4 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ −1 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = 0

𝑙 = −5

𝑟𝑦𝑦 −5 = −2 ∗ −1 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = 2

𝑙 = −6 𝑦 6 ⇒ 𝑟𝑦𝑦 = 0

𝑟𝑦𝑦 = 2, 0, −8, −7, 6, 18, 6, −7, −8, 0, 2

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

𝑥 𝑛 = 4, 0, −3, 1, −2, −3

𝑧 𝑛 = 2, −1, −1, 0, −2, 1

𝑙 = 0

𝑟𝑥𝑧 0 = 4 ∗ 2 + 0 ∗ −1 + −3 ∗ −1 + 1 ∗ 0 + −2 ∗ −2 + −3 ∗ 1 = 12

𝑙 = 1

𝑟𝑥𝑧 1 = 4 ∗ 0 + 0 ∗ 2 + −3 ∗ −1 + 1 ∗ −1 + −2 ∗ 0 + −3 ∗ −2 = 8

𝑙 = 2

𝑟𝑥𝑧 2 = 4 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −3 ∗ 2 + 1 ∗ −1 + −2 ∗ −1 + −3 ∗ 0 = −5

𝑙 = 3

𝑟𝑥𝑧 3 = 4 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −3 ∗ 0 + 1 ∗ 2 + −2 ∗ −1 + −3 ∗ −1 = 7

𝑙 = 4

𝑟𝑥𝑧 4 = 4 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −3 ∗ 0 + 1 ∗ 0 + −2 ∗ 2 + −3 ∗ −1 = −1

𝑙 = 5

𝑟𝑥𝑧 5 = 4 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −3 ∗ 0 + 1 ∗ 0 + −2 ∗ 0 + −3 ∗ 2 = 6

𝑙 = −1

𝑟𝑥𝑧 −1 = −2 ∗ 0 + 1 ∗ 2 + 2 ∗ −0 + 1 ∗ −1 + 0 ∗ 2 + (−1 ∗ 0) = 1

𝑙 = −2

𝑟𝑥𝑧 −2 = −2 ∗ 2 + 1 ∗ −0 + 2 ∗ −1 + 1 ∗ 2 + 0 ∗ 0 + (−1 ∗ 0) = −4

𝑙 = −3

𝑟𝑥𝑧 −3 = −2 ∗ −0 + 1 ∗ −1 + 2 ∗ 2 + 1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + (−1 ∗ 0) = 3

𝑙 = −4

𝑟𝑥𝑧 −4 = −2 ∗ −1 + 1 ∗ 2 + 2 ∗ 0 + 1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + (−1 ∗ 0) = 4

𝑙 = −5

𝑟𝑥𝑧 −5 = −2 ∗ 2 + 1 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + (−1 ∗ 0) = −4

𝑙 = −6 𝑦 6 ⇒ 𝑟𝑥𝑦 = 0

𝑟𝑥𝑧 = −4, 4, 3, −4, 1, 0, 4, 2, −1, 0, −1

𝑦 𝑛 = −2 , 0 , 2 , 3 , 0 , −1

𝑧 𝑛 = 2, −1, −1, 0, −2, 1

𝑙 = 0

𝑟𝑦𝑧 0 = −2 ∗ 2 + 0 ∗ 1 + 2 ∗ −1 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ −2 + −1 ∗ 1 = 7

𝑙 = 1

𝑟𝑦𝑧 1 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 2 + 2 ∗ −1 + 3 ∗ −1 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ −2 = −3

𝑙 = 2

𝑟𝑦𝑧 2 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 2 + 3 ∗ −1 + 0 ∗ −1 + −1 ∗ 0 = 1

𝑙 = 3

𝑟𝑦𝑧 3 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 2 + 0 ∗ −1 + −1 ∗ −1 = 7

𝑙 = 4

𝑟𝑦𝑧 4 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 2 + −1 ∗ −1 = 1

𝑙 = 5

𝑟𝑦𝑧 5 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 2 = −2

𝑙 = −1

𝑟𝑦𝑧 −1 = −2 ∗ −1 + 0 ∗ −1 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ −2 + 0 ∗ 1 + −1 ∗ 0 = −4

𝑙 = −2

𝑟𝑦𝑧 −2 = −2 ∗ −1 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ −2 + 3 ∗ 1 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = 1

𝑙 = −3

𝑟𝑦𝑧 −3 = −2 ∗ 0 + 0 ∗ −2 + 2 ∗ 1 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = 2

𝑙 = −4

𝑟𝑦𝑧 −4 = −2 ∗ −2 + 0 ∗ 1 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = 4

𝑙 = −5

𝑟𝑦𝑧 −5 = −2 ∗ 1 + 0 ∗ 0 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −1 ∗ 0 = −2

𝑙 = −6 𝑦 6 ⇒ 𝑟𝑦𝑧 = 0

𝑟𝑦𝑧 = −2, 4, 2, 1, −4, −7, −3, 1, 7, 1, −2

𝑧 𝑛 = 2, −1, −1, 0, −2, 1

𝑧 𝑛 = 2, −1, −1, 0, −2, 1

𝑙 = 0

𝑟𝑧𝑧 0 = 2 ∗ 2 + −1 ∗ −1 + −1 ∗ −1 + 0 ∗ 0 + −2 ∗ −2 + 1 ∗ 1 = 11

𝑙 = 1

𝑟𝑧𝑧 1 = 2 ∗ 0 + −1 ∗ 2 + −1 ∗ −1 + 0 ∗ −1 + −2 ∗ 0 + 1 ∗ −2 = −3

𝑙 = 2

𝑟𝑧𝑧 2 = 2 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + −1 ∗ 2 + 0 ∗ −1 + −2 ∗ −1 + 1 ∗ 0 = 0

𝑙 = 3

𝑟𝑧𝑧 3 = 2 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + 0 ∗ 2 + −2 ∗ −1 + 1 ∗ −1 = 1

𝑙 = 4

𝑟𝑧𝑧 4 = 2 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −2 ∗ 2 + 1 ∗ −1 = −5

𝑙 = 5

𝑟𝑧𝑧 5 = 2 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −2 ∗ 0 + 1 ∗ 2 = 2

𝑙 = −1

𝑟𝑧𝑧 −1 = 2 ∗ −1 + −1 ∗ −1 + −1 ∗ 0 + 0 ∗ −2 + −2 ∗ 1 + 1 ∗ 0 = −3

𝑙 = −2

𝑟𝑧𝑧 −2 = 2 ∗ −1 + −1 ∗ 0 + −1 ∗ −2 + 0 ∗ 1 + −2 ∗ 0 + 1 ∗ 0 = 0

𝑙 = −3

𝑟𝑧𝑧 −3 = 2 ∗ 0 + −1 ∗ −2 + −1 ∗ 1 + 0 ∗ 0 + −2 ∗ 0 + 1 ∗ 0 = 1

𝑙 = −4

𝑟𝑧𝑧 −4 = 2 ∗ −2 + −1 ∗ 1 + −1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −2 ∗ 0 + 1 ∗ 0 = −5

𝑙 = −5

𝑟𝑧𝑧 −5 = 2 ∗ 1 + −1 ∗ 0 + −1 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + −2 ∗ 0 + 1 ∗ 0 = 2

𝑙 = −6 𝑦 6 ⇒ 𝑟𝑧𝑧 = 0

𝑟𝑧𝑧 = 2, −5, 1, 0, −3, 11, −3, 0, 1, −5, 2

CONCLUSIONES

Los sistemas LTI, invariantes en el tiempo son una herramienta fundamental en el procesamiento de señales digitales.

La Transformada Discreta de Fourier es otra de las herramientas

de la mayor importancia en múltiples aplicaciones y específicamente en el tratamiento y manejo de imágenes.

Desde su utilización, estos conocimientos van a ser básicos en

muchas aplicaciones de la vida profesional y particularmente en lo

relacionado con las comunicaciones.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Modulo de procesamiento digital de señales -- Universidad

Nacional Abierta y a Distancia UNAD -- Escuela de Ciencias

Básicas Tecnología e Ingeniería -- Autor: Lic. Indira Casseleth

Garrido -- Bogotá, 2010.

Guía de Actividad -- Trabajo colaborativo 1

http://www.frsn.utn.edu.ar/tecnicas3/apuntes/td3cap_8.pdf

Último acceso: 25 de septiembre de 2012.

http://www.ehu.es/Procesadodesenales/tema8/corre1b.html

Último acceso: 25 de septiembre de 2012.