Dinámica de las Estructuras (S-02) - Vibración Libre

Vibración Libre

Se dice que una estructura vibra en forma libre cuando su posición de equilibrio estático es perturbada sin ninguna excitacióndinámica externa.

Vibración Libre sin Amortiguamiento

La ecuación de movimiento de un sistema de un solo gradode libertad (UGL) en vibración libre sin amortiguamiento es:

E Iv

m u'' t( )( ) k u t( ) 0= que puede ser modelado por unmarco idealizado de un solo nivel ouna masa sujeta a un resorte o auna columna:

Resolviendo esta ecuación diferencial lineal y homogénea, sujeta a las siguientes condiciones iniciales, es decir:

que parte de una posición inicial: u u 0( )=

a una velocidad dada: u' 0( )

u t( ) u0 cos ωn t u'0

ωnsin ωn t = u t ωn u0 u'0 u0 cos ωn t

u'0

ωnsin ωn t

Tn = Periodo natural de la estructura

ωn = Frecuencia natural circular, muchas vecesreferida también como frecuencia natural de laestructura

fn = Frecuencia natural cíclica

u0 = Amplitud (desplazamiento máximo o mínimo)

Tn2 π

ωn=

Esta ecuación resulta ser larespuesta de un sistema UGLen movimiento armónicosimple, de donde observamoslas siguientes características

ωnk

ms=

fn1

Tn=

ρ0 u 0( )2 u' 0( )

ωn

2

=

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1 104

1 103

0.01 0.1 1 10 100

0

0.11

0.22

0.33

0.44

0.55

0.66

0.77

0.88

0.99

1.1

1

0.5ω' ρ( )

ρ

La frecuencia natural de un marco de un solo nivel con su base empotrada, tenemos que la rigidez lateral (la rigidez en ladirección de la excitación) está dada por:

si L 2h=

k12 E Ic Ic L 6 Iv h

h3

2 Ic L 3 Iv h = k

24 E Ic

h3

12ρ 1

12ρ 4= ρ

Iv

4 Ic=

si Iv ∞= ρ ∞= k24 E Ic

h3

E

ωn ρ ∞=

k

m=

24 E Ic

mh3

=

E Iv

si Iv 0= ρ 0= k6 E Ic

h3

E

ωn ρ 0=

k

m=

6 E Ic

mh3

=

ahora la frecuencia natural circularquedaría como: ωn

k

m=

24 E Ic

mh3

12ρ 1

12ρ 4=

ωn

24 E Ic

mh3

12ρ 1

12ρ 4= ω' ρ( )

12ρ 1

12ρ 4

ρ 1 104

1 103

1 102

ωnρ ∞=

24 E Ic

mh3

=

ωnρ 0=

6 E Ic

mh3

=

En la gráfica se puede observar que la frecuencia natural es afectada por la relación de rigidez entre columna y viga, llegando aser el doble cuando la viga es muy rígida con relación a la columna. También es afectada por las condiciones de poyo que tienen

las columnas, si las columnas están articuladas en la base y la viga es rígida tenemos también ωn

6 E Ic

mh3

= , que resulta ser la

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mitad que cuando las columnas están empotradas.

Ejemplo 1.Una nave industrial tiene las características mostradas en la figura, determine la ecuación demovimiento de vibración libre, la amplitud, el periodo, la frecuencia circular y la frecuencianaturales en las dos direcciones de la estructura. Grafique la respuesta si u0 2cm . y u'0 0

Ix

3350.663 cm4

Iy

3350.663 cm4

HSS 16x16x1/2

E 2.039 106

kgf

cm2

Contraventeo: ϕcontrv 1in

Masa del sistemade techo es: W 150

kgf

m2

Planta de la nave industrial

Elevación del marco en el claro corto

Simplificaremos el modelo idealizando quela masa se concentra en el centro degravedad del techo

msW 10m( ) 6m( )

g917.745 kgf

s2

m

para el marco del claro grande, tenemos 3 marcos

h 2.7m Ic Ix

klat 1 224 E Ic

h3

1666.088Ton

m

Elevación del marco en el claro largo

la ecuación de movimiento es: ms u'' t( ) klat 1 u t( ) 0=

ωn

klat 1

ms42.608

rad

s u1 t( ) u t ωn u0 u'0

Tn2 π

ωn0.147s fn

1

Tn6.781 Hz

0 0.5 1 1.5

2

1

1

2

u1 t( ) cm( )1

t

Analizando ahora la otra dirección (marcos

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contraventeados):

PA E

Lδ= P

fs

cos θ( )= δ u cos θ( )=

fs

cos θ( )

A E

Lu cos θ( )( )= fs

A E

Lcos θ( )

2 u= kcntrv

A E

Lcos θ( )

2=

θ atan2.7m

6m

24.228 ° Aπ

4ϕcontrv

2 5.067 cm

2

L 2.7m( )2

6m( )2

657.951 cm

la rigidez lateral total es: Ic Iy

klat 2 224 E Ic

h3

2A E

Lcos θ( )

2

4277802.186kgf

m

la ecuación de movimiento es: ms u'' t( ) klat 2 u t( ) 0= ωn

klat 2

ms68.273

rad

s u2 t( ) u t ωn u0 u'0

Tn2 π

ωn0.092s fn

1

Tn10.866 Hz

0 0.5 1 1.5

2

1

1

2

u2 t( ) cm( )1

t

Comparando las dos

0 0.5 1 1.5

2

1

1

2

u1 t( ) cm( )1

u2 t( ) cm( )1

tSe observa que el marco contraventeado es más rígido lo que resulta en un periodo más corto o un frecuencia más alta.

Otras expresiones útiles son: ωng

δst= fn

1

2 π

g

δst= y Tn 2 π

δst

g= donde: δst

m g

k=

Vibración Libre con Amortiguamiento Viscoso

Como se mencionó con anterioridad, en la realidad una estructura no permanece vibrado en forma continua cuando ha cesado alexcitación, existe una serie de mecanismos que disipan la energía de vibración, cuyo efecto inducen a que la amplitud demovimiento decaiga en forma continua hasta que la estructura nuevamente esté en reposo.

Ahora agregaremos el termino de amortiguamiento a la ecuación de movimiento: m u'' t( ) c u' t( ) k u t( ) 0=

m u'' t( ) c u' t( ) k u t( ) 0= u'' t( )c

mu' t( )

k

mu t( ) 0= u'' t( )

2c ωn

2m ωnu' t( ) ωn

2u t( ) 0= u'' t( ) 2 ξ ωn u' t( ) ωn

2u t( ) 0=

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donde nos referiremos a ξc

2ms ωn=

c

ccr= como la relación de

amortiguamientocrítico (adimensional)

ccr 2ms ωn= 2 ms k=2 k

ωn= coeficiente de

amortiguamiento crítico

Se observa que el amortiguamiento en un estructura afecta su respuesta ante una perturbación:

Si ξ 1= ó c ccr=

Si ξ 1 ó c ccr La estructura retorna a su posición de equilibrio sin oscilar o vibrar.

El sistema oscila al rededor de su posición de equilibrio con una disminución progresiva de suamplitud de movimiento.El coeficiente de amortiguamiento crítico es la valor mínimo del amortiguamiento (c) que anula laoscilación completamente, es decir, representa la frontera entre el movimiento con o sin oscilación.

Si ξ 1 ó c ccr

En este curso nos ocuparemos del los sistemas subamortiguado, ya que las estructuras de interés en el análisis estructural, talescomo edificios, puentes, presas, estructuras marinas, etc., son estructuras subamortiguadas, donde ξ 0.10 es un valor típico de larelación de amortiguamiento

La solución a la ecuación de movimiento devibración libre con amortiguamiento parasistemas subamortiguado's es:

u t( ) eξ ωn t

u0 cos ωD t u'0 ξ ωn u0

ωDsin ωD t

= ωD ωn 1 ξ2

=

uD t ωn ωD ξ u0 u'0 eξ ωn t

u0 cos ωD t u'0 ξ ωn u0

ωDsin ωD t

Ejemplo 2.Grafique la respuesta de vibración libre amortiguada de un sistema estructural con las características mostradas. Compare conun sistema sin amortiguamiento.

k 25Ton

m ms 2Ton

s2

m c 2.5Ton

s

m u0 50cm u'0 2

m

s

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ωnk

ms3.536 Hz ccr 2 ms ωn 14.142 Ton

s

m ξ

c

ccr17.678 %

Calculando los parámetrosde las soluciones:

ωD ωn 1 ξ2

3.48 Hz ρ u02 u'0 ξ ωn u0

ωD

2

83.163 cm

Tn2 π

ωn1.777s TD

Tn

1 ξ2

1.806s

La función para vibración libre sinamortiguamiento

uLibre t( ) u t ωn u0 u'0

La función para la vibración libre conamortiguamiento es:

uamrt t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0 ρ' ξ ωn t ρ eξ ωn t

0 2 4 6 8

100

50

50

100

uamrt t( ) cm( )1

uLibre t( ) cm( )1

ρ' ξ ωn t cm( )1

ρ' ξ ωn t cm( )1

t

Tenemos que el efecto del amortiguamiento hace que lafrecuencia circular tienda a ser más corta y el periodo aser más largo. Estas diferencias llegan a serprácticamente despreciables cuando las relaciones deamortiguamiento ξ son menores o iguales al 20%. Dehecho la mayoría de las estructuras están dentro de esterango de amortiguamiento.

El efecto más importante del amortiguamiento es la tasaa la que la vibración libre disminuye.

Ejemplo 3.Grafique la respuesta de vibración libre amortiguada del mismo sistema estructural con las misma características, pero con lassiguientes relaciones de amortiguamiento

a) 2%, b) 5%, c) 10%

ξ 2% um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0

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0 10 20 30 40 50

100

50

50

100

um t( ) cm( )1

t s( )1

ξ 5% um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0

0 10 20 30 40 50

100

50

50

100

um t( ) cm( )1

t s( )1

ξ 10% um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0

0 10 20 30 40 50

100

50

50

100

um t( ) cm( )1

t s( )1

Decremento de la Amplitud de Movimiento

La relación entre dos picos de tiempo "t" y "t + TD" de una vibración libre con amortiguamiento,

es independiente del tiempo, tenemos que:

u t( )

u t TD eξ ωn TD

= e

2π ξ

1 ξ2

=

Ejemplo 4.Ecuación de decremento entre picos ξ 15% k 50

Ton

m ms 2Ton

s2

m

ωnk

ms5 Hz ωD ωn 1 ξ

2 4.943 Hz u0 80cm u'0 0

Tn2 π

ωn1.257s TD

Tn

1 ξ2

1.271s um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0

ρ u02 u'0 ξ ωn u0

ωD

2

80.915 cm ρ' ξ ωn t ρ eξ ωn t

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0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6

100

50

50

100

um t( ) cm( )1

ρ' ξ ωn t cm( )1

ρ' ξ ωn t cm( )1

t s( )1

Tenemos que como estamos partiendo desde un desplzamiento inducido y con velocidad cero, elprimer pico lo tenemos al inicio

t 0

um t( )

um t TD 2.594

um t( ) 80 cm

eξ ωn TD

2.594um t TD 30.838 cm

e

2π ξ

1 ξ2

2.594

De la segunda igualdadu t( )

u t TD e

2π ξ

1 ξ2

=

2π ξ

1 ξ2

lnui

ui+1

= δ= podemos tener una relación llamadadecremento logarítmico δ

Para valores pequeños de ξ 1 ξ2

≈1 δ 2π ξ= del ejemplo: δ2π ξ

1 ξ2

0.953 ≈ 2π ξ 0.942

ξ 0 0.02 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

10

20

30

2π ξ

1 ξ2

2π ξ

ξ

Comparando las dos relaciones en unagráfica, podemos observar que tenemosvalores prácticamente iguales en valoresde relación de amortiguamiento menores al20%.

Es conveniente relacionar las dospicos separados por vario ciclos,entonces:

u'1

u'j+1e

ξ ωn j TD = e

2π ξ

1 ξ2

j

= ej δ

= j δ lnυ1

υj+1

= δ1

jln

υ1

υj+1

= 2π ξ=

Ejemplo 5.Con los datos del ejemplo 4 calcule el número de ciclos que necesario para que la amplitud del desplazamiento caiga al 5%

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j 1 ξ 15%

tenemo que la relación sería si Givenυj+1

υ1%decr= υj+1 Find υj+1 %decr υ1υj+1

suponiendo υ1 1 υj+1 5%( ) υ1 0.05 Given1

jln

υ1

υj+1

2π ξ= j Find j( ) 3.179 ciclos

Ejemplo 6.En un estudio que se ralizó a un modelo etructural se obtuvieron losdatos mostrados en la tabla. Obtenga el periodo natural de vibrar y larelación de amortiguamiento del sistema

t'

a

Pico No. Tiempo [s] Pico [g's]

1 1.11 0.915

11 3.844 0.076

t' t' s

tenemos que el periodo lo obtenemoscalculando la diferencia entre picos: j 11 1 10 TD

t'2

t'1

j0.273s

la expresión 1

jln

υ1

υj+1

2π ξ= también se aplica en el caso de aceleraciones1

jln

υ''1

υ''j+1

2π ξ=

υ''1 a1

0.915 υ''j+1 a2

0.076 Given1

jln

υ''1

υ''j+1

2π ξ= ξ Find ξ( ) 0.039601

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