a1_p3(20)_012014
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Prof. Guillermo Moreno 1
Universidad de Carabobo, 01-2014
Facultad de Ingeniera, Anlisis Matemtico I
(4 puntos) cada respuesta correcta
1. Parcial No 3 (20%)
1: Usando la denicin de derivada en un punto, calcular la pendiente de la recta tangente a lacurva f (x) = 2x2 que pasa por el punto cuya abscisa vale 1.
2: Calcular por denicin la funcin derivada de f (x) = 1 + 1x.
3: Dada la funcin f vericar su derivada:
f (x) =arcsinx
x+1
2ln
1 +
p1 x2
1p1 x2
) dydx= 1
x2arcsinx
4: Dada la funcin f (x) =p1 x 4p1 + x
3px 1 calcular su derivada aplicando la regla de la funcin
logartmo.
5: Aplicando la regla para derivar a partir de la funcin inversa, calcular la funcin derivada def (x) = 2 arctan (3x).
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Prof. Guillermo Moreno 2
2. Solucin
1: Usando la denicin de derivada en un punto, calcular la pendiente de la recta tangente a lacurva f (x) = 2x2 que pasa por el punto cuya abscisa vale 1.
f 0 (x0) = lmh!0
f (x0 + h) f (x0)h
) f 0 (1) = lmh!0
f (1 + h) f (1)h
= lmh!0
2 (1 + h)2 2h
!0
0
f 0 (1) = lm
h!02 (1 + h)2 2
h= lm
h!02h (h+ 2)
h= lm
h!02 (h+ 2) = 4
2: Calcular por denicin la funcin derivada de f (x) = 1 + 1x.
f 0 (x) = lmh!0
f (x+ h) f (x)h
= lmh!0
1 +1
x+ h1 +
1
x
h
= lmh!0
1 +1
x+ h 1 1
xh
= lmh!0
1
x+ h 1x
h
f 0 (x) = lmh!0
1
x+ h 1x
h= lm
h!0
hx (h+ x)
h= lm
h!0 1x (h+ x)
= 1x2
3: Dada la funcin f vericar su derivada:
f (x) =arcsinx
x+1
2ln
1 +
p1 x2
1p1 x2) f (x) = arcsinx
x+1
2ln1 +
p1 x21
2ln1p1 x2
f 0 (x) =(arcsinx)0 x (x)0 arcsinx
x2+
1 +
p1 x20
21 +
p1 x2
1p1 x2021p1 x2
f 0 (x) =
xp1 x2 arcsinx
x2+
xp1 x2
21 +
p1 x2
xp1 x2
21p1 x2
f 0 (x) =xp1 x2 arcsinx
x2p1 x2
x
21 +
p1 x2p1 x2 x2 1p1 x2p1 x2
f 0 (x) =xp1 x2 arcsinx
x2p1 x2
x
2p1 x2
1
1 +p1 x2 +
1
1p1 x2
f 0 (x) =xp1 x2 arcsinx
x2p1 x2
x
2p1 x2
1p1 x2 + 1 +p1 x21 +
p1 x2 1p1 x2
!f 0 (x) =
xp1 x2 arcsinxx2p1 x2
x
2p1 x2
2
x2
=xp1 x2 arcsinx
x2p1 x2
1
xp1 x2
f 0 (x) =x
x2p1 x2
p1 x2 arcsinxx2p1 x2
1
xp1 x2 =
1
xp1 x2
arcsinx
x2 1xp1 x2
f 0 (x) = 1x2arcsinx
-
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4: Dada la funcin f (x) =p1 x 4p1 + x
3px 1 calcular su derivada aplicando la regla de la funcin
logartmo.
f (x) =
p1 x 4p1 + x
3px 1 ) ln (f (x)) = ln
p1 x 4p1 + x
3px 1
= ln
p1 x 4p1 + x ln 3px 1
ln (f (x)) = lnp1 x+ ln 4p1 + x ln 3px 1
ln (f (x)) =1
2ln (1 x) + 1
4ln (1 + x) 1
3ln (x 1) ) Ahora derivamos...
1
f (x)f 0 (x) =
(1 x)02 (1 x) +
(1 + x)0
4 (1 + x) (x 1)
0
3 (x 1) )1
f (x)f 0 (x) =
12 (1 x) +
1
4 (1 + x) 13 (x 1)
f 0 (x) = f (x) 12 (1 x) +
1
4 (1 + x) 13 (x 1)
) f 0 (x) = f (x)
5x 1
12 (x2 1)
5: Aplicando la regla para derivar a partir de la funcin inversa, calcular la funcin derivada def (x) = 2 arctan (3x).
f (x) = 2 arctan (3x) ) y = 2arctan (3x) ) arctan (3x) = y2
) 3x = tany2
x =
1
3tany2
) Aplicamos la regla: dy
dx=
1
dx=dy) dy
dx=
11
6sec2
y2
dy
dx=
6
sec2y2
) Entonces: 1 + tan2 y2
= sec2
y2
) 3x = tan
y2
1 + (3x)2 = sec2
y2
) sec2
y2
= 9x2 + 1 ) dy
dx=
6
9x2 + 1