(1)

Movimento Harmônico Simples vertical

y = 0

yo = mg/k

y’

m

m

Equilíbrio

Novo

equilíbrio

yo=mg/k

Corpo

oscilando

y’=y-yo

ymg

Fe

A força que a mola exerce sobre o corpo é:

Fe = -ky

Pela Segunda Lei de Newton, na direção y:

Se mudamos de variável para y = y’+yo teremos:

Mas, kyo= mg então:

Assim podemos ignorar o efeito da gravidade se tomamos o deslocamento

respeito da posição y’=0

A solução é:

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

(2)

Movimento Harmônico Simples Amortecido

Quando a amplitude de um objeto que oscila diminui

devido a forças externas dizemos que o movimento é

amortecido.

Um exemplo é dado na figura. Uma massa m ligada a

uma mola de constante k oscila verticalmente.

A massa oscilante está ligada a uma palheta

submergida em um líquido.

O líquido exerce uma força de amortecimento

Fd que é dada pela equação: Fd = -bv

O sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento da massa

oscilante.

O parâmetro b é chamado constante de amortecimento.

A força resultante sobre a massa m é: FR = -bv-kx

A partir da Segunda Lei de Newton obtemos: FR = -bv-kx = ma

Substituindo v por dx/dt e a por d2x/dt2 obtemos a equação diferencial:

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

/ 2 ( ) co sbt m

mx t x e t

(3)

Solução da equação diferencial

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

Movimento Harmônico Simples Amortecido

02

0 zzm

bz tiBez

02

0

2 zzm

ibz

02

0

2

m

ib

2

0

2

42

1

2

m

ibi

m

b2

0

02

12

m

bi

m

b

Constante complexa

(4)

Movimento Harmônico Simples Amortecido

2

0

02

12

m

bi

m

b '

2 i

m

b2

0

02

1'

m

b

tit

m

bt

m

ibi

ti BeBeBez''

22

iAeB

itit

m

b

Aez'

2 )(2'ti

tm

b

eAe

)(2'

ReRe tit

m

b

eAexz

textxt

m

b

m

'2 cos

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b / 2 ( ) co sbt m

mx t x e t

(5)

A Segunda Lei de Newton para o Oscilador

Harmônico Amortecido é (como vimos):

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

A solução desta equação é:

Na figura abaixo desenhamos x(t) contra t.

Podemos interpretar a solução acima como uma

função co-seno com uma amplitude que

depende do tempo segundo

m

bt

mex 2

Movimento Harmônico Simples Amortecido

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

(6)

Como vimos a frequência angular ’ do oscilador

harmônico amortecido é dada pela equação:

2

2

4'

m

b

m

k

Movimento Harmônico Simples Amortecido

2

0

02

1'

m

bou

Se b aumenta ’ diminui !

Se b = 2m0 temos ’=0

E se b > 2m0 ????

criticamente amortecido

super amortecido

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

(7)

Para um oscilador harmônico a energia

mecânica é constante e é igual a E = ½ k xm2

Para um oscilador harmônico amortecido a

energia mecânica não é constante, ela diminui

com o tempo.

Quando o oscilador é sub amortecido podemos

substituir xm por

m

bt

m extx 2

Neste caso encontramos que m

bt

m

bt

m eEexktxmE

0

222

2

1

2

1

A energia mecânica diminui exponencialmente com o tempo!

Movimento Harmônico Simples Amortecido

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

(8)

Movimento Harmônico Simples Amortecido

O tempo necessário para diminuir a energia “e” vezes é chamado

A grandeza Q = o = o m/b é o fator de qualidade

Este fator se relaciona com a perda de energia por ciclo (dE/dt):

t

m

bt

eEeEE

00

EdtdteEdE

t

o

11

Por ciclo temos que: dt = T e dE = E

Q

T

E

E

22

0

cicloE

EQ

2ou

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

(9)

Movimento Harmônico Simples Amortecido

A frequência em termos de Q pode ser escrita

da seguinte forma:

Interpretação: se Q >> 1 ’ o

2

0

02

1'

m

bQ = o

20

2

0

04

11

21'

Qm

b

Exercícios

(10)

Movimento Harmônico Simples Amortecido. Exercícios

O sistema de suspensão do automóvel cede 10 cm quando o chassis é

colocado no lugar. Além disso, a amplitude das oscilações diminui de 50%

a cada ciclo. Estime os valores de (a) a constante elástica k e (b) a

constante de amortecimento b do sistema mola-amortecedor de uma das

rodas, supondo que cada roda sustente 500 kg.

Pela lei de Hooke temos:

Se a amplitude diminui 50% a cada ciclo, isso significa que:

cmN

cm

smkg

k 22

109.410

8.9500

'2

2

2

1

Tondee m

bT

k m/Como nos solicitam estimar, podemos aproximar:

49000

500,

N / m

kg9.9 rad / s Portanto T = 0,63 s

(11)

Movimento Harmônico Simples Amortecido. Exercícios

Tomando o log a ambos lados da equação2

12

m

bT

e

obtemos:

32 500 kg2

ln2 0.69 1.1 10 kg/s.0.63 s

mb

T

=2 2

( 2) + 4= 1086

2 2b

mkln

ln kg / s

O resultado exato teria sido utilizando

Teríamos obtido:

2

2

4'

m

b

m

k

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (57) (59) (89)

Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

móvel

(12)

Para compensar as perdas é necessário injetar

energia no sistema, ou seja forçá-lo. Para isso

aplicamos uma força de excitação externa Fext

de uma determinada frequência angular .

Movimento Harmônico Simples Forçado

Pela Segunda Lei de Newton, na direção na

direção x:

ou

Vamos utilizar o método aplicado no caso de oscilações amortecidas, ou

seja, vamos re-escrever esta equação na forma complexa!

(13)

Movimento Harmônico Simples Forçado

A parte Re z vai satisfazer a equação real!!!

Como a força externa obriga o sistema a oscilar na sua frequência

esperamos que a solução seja:

Substituindo na equação teremos:

Substituindo B na solução temos....

(14)

Movimento Harmônico Simples Forçado

A parte real é:

Onde pode ser calculado a partir de:

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)

𝑡𝑔𝜃 =𝑏𝜔

𝑚 𝜔02 −𝜔2

móvel

(15)

Movimento Harmônico Simples Forçado

onde a amplitude A ou xm varia com a frequência

segundo a equação já obtida.

Como vimos o deslocamento é dado por

Am

pli

tud

e

menor

amortecimento

A maior amplitude se obtém quando

=0 Esta situação é chamada

ressonância.

Todas as estruturas possuem uma ou

mais frequências naturais e se a

frequência da força externa se iguala a

uma destas frequências naturais é

possível danificar a estrutura.

𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜃)

(16)

Movimento Harmônico Simples Forçado. Exercícios

Nove pêndulos com os seguintes comprimentos são pendurados numa

viga horizontal: (a) 0,10 (b) 0,30 (c) 0,40 (d) 0,80 (e) 1,2 (f) 2,8 (g) 3,5

(h) 5,0 (i) 6,2 m. A viga sofre oscilações horizontais com frequências

angulares na faixa de 2,00 a 4,00 rad/s. Quais dos pêndulos entram

“fortemente” em oscilação?

Com =2/T podemos utilizar a equação

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (61) (63)

g

LT 2

para calcular a frequência dos pêndulos.

Assim, os únicos pêndulos que possuem os valores apropriados de são

(d) e (e).