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Universidad de Oriente Núcleo de Anzoátegui
Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas Departamento de Electricidad
Solución de Problemas de Máquinas Sincrónicas Trifásicas
Autor: Ing. Ramón José Quijada B.
Trabajo Presentado como Requisito Parcial para Ascender a la Categoría de Profesor Asistente
Barcelona, Enero del 2007
ii
AGRADECIMIENTO
A la Universidad de Oriente, y al Departamento de Electricidad; por darme la
oportunidad de trabajar con la asignatura Máquinas Eléctricas II.
A Mis Profesores del Departamento de Electricidad; su formación brindada es la
base invalorable de este trabajo
iii
DEDICATORIA
A Eustolia; mi invalorable compañera
A Mis Hijas: Paola Carolina y Lurenis Verónica
A Mi Madre; desde siempre y por siempre, mi inagotable fuente de inspiración.
A la Familia Quijada; presente y futura; porque la honestidad y humildad sean
nuestros valores más preciados.
iv
INDICE GENERAL Pág. AGRADECIMIENTO --------------------------------------------------------
ii
DEDICATORIA ---------------------------------------------------------------
iii
INDICE GENERAL ----------------------------------------------------------
iv
RESUMEN ---------------------------------------------------------------------
1
INTRODUCCIÓN ------------------------------------------------------------
2
CAPITULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 1.1.- Contexto de la Situación del Problema ---------------------------- 4 1.2.- El Problema ------------------------------------------------------------ 4 1.3.- Objetivos --------------------------------------------------------------- 6 1.4.- Justificación ------------------------------------------------------------ 6 1.5.- Alcance ----------------------------------------------------------------- 6 1.6.- Limitaciones ----------------------------------------------------------- 7 1.7.- Delimitación ----------------------------------------------------------- 7 1.8.- Factibilidad ------------------------------------------------------------
7
CAPITULO II: MARCO TEÓRICO DE LAS MÁQUINAS SINCRÓNICAS TRIFÁSICAS
2.1.-Partes Constituyentes de una Máquina Sincrónica ---------------- 8 2.2.-Clasificación de las Máquinas Sincrónicas de Acuerdo ----------
a la Forma Constructiva del Rotor 9
2.3.-Ecuación Básica de Operación de una Máquina ------------------- Sincrónica
11
2.4.-Voltaje Inducido en la Armadura de Generadores ---------------- Sincrónicos
12
2.5.-Circuito Equivalente de un Generador Sincrónico ---------------- 16 2.6.-Curvas de Operación de Máquinas Sincrónicas ------------------ 18 2.7.-Potencia Entregada por un Generador Sincrónico ---------------- 21 2.8.- Generadores Sincrónicos Operando en Paralelo ------------------ 22 2.9.-Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes --------------------------
23
CAPITULO III: MARCO METODOLÓGICO 3.1.-Tipo de Investigación ------------------------------------------------ 26 3.2.-Diseño de la Investigación ---------------------------------------------- 26 3.3.-Población y Muestra -------------------------------------------------- 26 3.4.-Instrumentos de Recolección de Datos ---------------------------- 27 3.5.-Técnicas de Análisis de Datos -------------------------------------- 27 3.6.-Bases Legales ---------------------------------------------------------
27
v
CAPITULO IV: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Problema # 1 --------------------------------------------------------------------- 28 Problema # 2 --------------------------------------------------------------------- 29 Problema # 3 --------------------------------------------------------------------- 31 Problema # 4 --------------------------------------------------------------------- 35 Problema # 5 --------------------------------------------------------------------- 36 Problema # 6 --------------------------------------------------------------------- 38 Problema # 7 --------------------------------------------------------------------- 41 Problema # 8 --------------------------------------------------------------------- 43 Problema # 9 --------------------------------------------------------------------- 45 Problema # 10 -------------------------------------------------------------------- 48 Problema # 11 -------------------------------------------------------------------- 48 Problema # 12 -------------------------------------------------------------------- 56 Problema # 13 -------------------------------------------------------------------- 58 Problema # 14 -------------------------------------------------------------------- 60 Problema # 15 -------------------------------------------------------------------- 63 Problema # 16 -------------------------------------------------------------------- 74 Problema # 17 -------------------------------------------------------------------- 78 Problema # 18 ------------------------------------------------------------------- 80 Problema # 19 ------------------------------------------------------------------- 82 Problema # 20 ------------------------------------------------------------------- 88 Problema # 21 ------------------------------------------------------------------- 90 Problema # 22 ------------------------------------------------------------------- 98 Problema # 23 ------------------------------------------------------------------- 102 Problema # 24 ------------------------------------------------------------------- 107 Problema # 25 ------------------------------------------------------------------- 114 Problema # 26 ------------------------------------------------------------------- 119 Problema # 27 ------------------------------------------------------------------- 124 Problema # 28 ------------------------------------------------------------------- 130 Problema # 29 ------------------------------------------------------------------- 134 Problema # 30 ------------------------------------------------------------------- 141 Problema # 31 ------------------------------------------------------------------- 145 Problema # 32 ------------------------------------------------------------------- 153 Problema # 33 ------------------------------------------------------------------- 157 Problema # 34 ------------------------------------------------------------------- 159 Problema # 35 ------------------------------------------------------------------- 162 Problema # 36 ------------------------------------------------------------------- 166 Problema # 37
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
170
BIBLIOGRAFÍA 173
1
Universidad de Oriente Núcleo de Anzoátegui
Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas Departamento de Electricidad
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁQUINAS SINCRÓNICAS
TRIFÁSICAS
Autor: Ing. Ramón José Quijada B. Fecha: Enero, 2007
RESUMEN
El objeto del presente trabajo consiste en solucionar los problemas que sobre máquinas sincrónicas trifásicas están planteados en el texto “Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas”, autor Matsch, Leander (1.990); el cual, según el programa curricular vigente de la carrera Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente, es el texto guía para el estudio del tema máquinas sincrónicas. Se partió de un estudio de los principios operativos de las máquinas sincrónicas que incluye aspectos tales como: características constructivas básicas, la naturaleza del voltaje inducido, curvas de operación y funcionamiento en paralelo; entre otros; los cuales son expuestos bajo un enfoque equilibrado entre los criterios establecidos en textos que tratan sobre el tema y la interpretación que hace el autor del presente trabajo, en base a la experiencia práctica y académica que sobre máquinas sincrónicas trifásicas se posee. Se continúa con la solución de los problemas planteados en el referido texto, dejando ver de manera muy clara los fundamentos operativos de las máquinas sincrónicas en los cuales se sustenta el análisis para la solución de tales problemas, induciendo de manera tacita hacia una práctica de la ingeniería en donde no existan fricciones entre los fenómenos físicos que se desarrollan en las máquinas sincrónicas y los modelos matemáticos que los describen. El resultado de este trabajo se traduce en un documento que estando al alcance de los estudiantes de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente, se convierte en un elemento que potencia sus capacidades analíticas y contribuye de esta manera con un mejor desempeño profesional. Descriptores: Máquinas Sincrónicas Trifásicas, Texto Guía, Programa Curricular Vigente, Principios Operativos, Solución de Problemas Planteados, Potenciar Capacidades Analíticas.
2
INTRODUCCIÓN
Probablemente la mejor manera de percibir la importancia de cualquiera de los
servicios con los cuales contamos en nuestra vida cotidiana, es imaginarnos que tales
servicios dejarán de existir o que funcionarán por debajo de un nivel al que estamos
acostumbrados a recibirlos. Quizás el servicio que más refleja lo anteriormente
planteado lo constituye la energía eléctrica. Y es que la electricidad; para aplicar un
término de uso más común, está presente en cada uno de los actos y decisiones de la
vida; siendo tal la dependencia que se tiene del uso de esta forma de energía que
resulta difícil imaginar en que nivel de desarrollo social e industrial se estaría sin
ella. Es más; una rápida proyección fundamentada sólo en el sentido común, indicaría
que no se le ven competidores debido a las ventajas de transporte y distribución que
esta forma de energía tiene sobre otras.
Las máquinas de corriente alterna trifásicas; particularmente los generadores
sincrónicos de rotor cilíndrico y de polos salientes, son las que tienen la
responsabilidad de convertir las formas de energía primaria: hidráulica, térmica o
nuclear, en los grandes centros de generación de energía, en energía eléctrica. Esta
energía es transportada hasta los grandes centros de consumo, en donde es distribuida
a niveles de tensión adecuados para ser utilizada en nuestra vida cotidiana; y como
fuerza motriz en los diferentes procesos productivos de las industrias. En estos dos
últimos escenarios aparecen de nuevo las máquinas de corriente alterna, esta vez,
como motores de inducción tipo jaula de ardilla o de rotor devanado.
Teniendo presente la importancia de la energía eléctrica, y en particular de las
máquinas sincrónicas trifásicas para generar esta forma de energía, es que ha surgido
la idea de realizar el presente trabajo: Solución de Problemas de Máquinas
Sincrónicas Trifásicas; el cual consiste en solucionar los problemas que sobre este
tipo de máquinas están planteados en el texto guía Matsch, Leander (1.990) de
acuerdo al programa curricular vigente de la carrera Ingeniería Eléctrica de la
Universidad de Oriente; generando con ello una herramienta de análisis que potencie
las capacidades analítica de los nuevos profesionales en esta área.
3
Para realizarlo, se llevó a cabo un estudio detallado de la bibliografía especializada;
lo que conlleva al planteamiento de las soluciones con una clara correspondencia
entre los aspectos prácticos y teóricos.
El trabajo quedó estructurado de la siguiente forma:
CAPITULO I: PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Incluye el contexto del problema a investigar, objetivos, justificación, alcance,
limitaciones, delimitación y factibilidad del trabajo.
CAPITULO II: MARCO TEÓRICO
Contempla los antecedentes del trabajo y las bases teóricas de las Máquinas
Sincrónicas Trifásicas; como son: Máquinas Sincrónicas de Rotor Cilíndrico,
Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes, Operación en Paralelo de Máquinas
Sincrónicas, Curvas de Operación, entre otros. Los aspectos teóricos son presentados
con un equilibrio entre el criterio de diferentes autores sobre el tema y la experiencia
práctica y académica del autor sobre máquinas sincrónicas trifásicas.
CAPITULO III: MARCO METODOLÓGICO
Se considera el tipo y diseño de investigación, la población, la muestra; así como la
recolección y análisis de los datos.
CAPITULO IV: SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁQUINAS SINCRÓNICAS
Se solucionan los problemas que sobre máquinas sincrónicas trifásicas están
planteados en el texto guía: “Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas”,
autor Matsch, Leander (1.990) Las soluciones se dan dejando ver los fundamentos
teóricos en los cuales se fundamentan, lo cual constituye el factor que induce a un
razonamiento inductivo y que potencia las capacidades analíticas de los estudiantes
sobre el tema de las máquinas sincrónicas trifásicas.
Por último se establecen las conclusiones y recomendaciones.
4
CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1.-CONTEXTO DE LA SITUACIÓN DEL PROBLEMA
No caben dudas acerca de la importancia que tiene el estudio de las máquinas
sincrónicas trifásicas en los programas de estudio de la carrera Ingeniería Eléctrica en
cualquier universidad nacional o internacional. Tal importancia radica en que son
estas máquinas las responsables de la generación de esta forma de energía; tan
importante para el desarrollo industrial de la sociedad y para la cotidianidad de la
vida misma, y se precisa que los diferentes pensum de estudio contemplen el
desarrollo de actividades académicas que develen los principios y condiciones
operativas de este tipo de máquinas.
En el caso de la Universidad de Oriente; fundada en 21 de Noviembre de 1961, desde
sus inicios se dicta la carrera Ingeniería Eléctrica en el Núcleo del Estado Anzoátegui;
y actualmente en el pensum de estudio vigente se contemplan al menos 40 horas de
actividades académicas teórico-prácticas para el estudio de los principios operativos
de las máquinas sincrónicas, lo que ha convertido a los profesionales egresados en
esta especialidad en piezas claves para el sostenimiento operativos de los sistemas de
generación de energía eléctrica en el región Sur-Oriente del país.
1.2.-EL PROBLEMA
En el desarrollo de las actividades académicas para el estudio de las máquinas
eléctricas sincrónicas trifásicas llevadas a cabo en el Departamento de Ingeniería
Eléctrica de la Universidad de Oriente, existe una situación problemática que se
puede describir como sigue:
5
Síntoma del Problema:
Se percibe el síntoma de una deficiencia conceptual por parte de los estudiantes en el
análisis de problemas relacionados con las máquinas sincrónicas trifásicas.
Causa del Problema: No existe en el marco de las actividades académicas desarrolladas un documento que
pueda servir como un elemento que concatene la física de los problemas operativos
de las máquinas sincrónicas con los modelos matemáticos que los describen, y que
induzca de manera inductiva basado en el conocimiento de los principios de
operación a la solución de los problemas operativos de las máquinas sincrónicas.
Pronóstico del Problema: Se puede pronosticar; con relación síntoma del problema planteado, que de continuar
esto, se afectaría el desempeño profesional de los Ingenieros Electricistas del
Departamento de Electricidad de la Universidad de Oriente en lo que respecta al
análisis de los problemas operativos de máquinas sincrónicas trifásicas como
componentes fundamentales de los sistemas de potencia eléctrica.
Control del Pronóstico: Con el fin de controlar el pronóstico anterior es que ha surgido la necesidad de
realizar el presente trabajo el cual consiste en solucionar los problemas que sobre
máquinas sincrónicas trifásicas están planteados en el texto: Máquinas
Electromecánicas y Electromagnéticas, autor Matsch, Leander (1.990) el cual es el
texto guía para el estudio del tema de acuerdo al programa curricular vigente de la
carrera Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente. En el documento que se
genera como resultado de este trabajo, se plantea la solución de problemas operativos
con una clara correspondencia con los fundamentos teóricos de tales máquinas; y se
espera que el mismo se convierta en una herramienta que ayude a potenciar las
6
capacidades analíticas de los futuros profesionales de la ingeniería eléctrica en esta
área.
1.3.-OBJETIVOS Por lo indicado en el planteamiento del problema se establece el siguiente objetivo:
Solucionar los problemas que sobre Máquinas Sincrónicas Trifásicas están
Planteados en el texto: Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas, autor
Matsch, Leander (1.990); como texto guía de la asignatura Máquinas Eléctricas II del
programa curricular vigente de la carrera Ingeniería Eléctrica de la Universidad de
Oriente.
1.4.-JUSTIFICACIÓN La justificación para la realización del presente trabajo es de naturaleza académica, y
se describe como sigue:
El resultado de este trabajo se traduce en un documento que potenciará la capacidad
analítica de los estudiantes de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente en lo
que se refiere a la solución de problemas operativos de máquinas sincrónicas
trifásicas; lo cual mejorará su desempeño profesional como futuros ingenieros.
1.5.-ALCANCE
El alcance del presente trabajo consiste en solucionar los problemas que sobre
máquinas sincrónicas trifásicas están propuestos en el texto guía de la asignatura
Máquinas Eléctricas II, como lo es: Máquinas Electromecánicas y
Electromagnéticas, autor Matsch, Leander (1.990). Se espera que la forma en que se
presenta la solución de los problemas se constituya en un elemento que potencie las
capacidades analíticas de los estudiantes de ingeniería eléctrica en el área de las
máquinas sincrónicas.
7
1.6.-LIMITACIONES
El criterio del autor para plantear la solución de los problemas planteados; basado en
la experiencia académica y práctica que se posee, además de la interpretación de
criterios expuestos en los diferentes textos especializados, se constituye en el
principal factor limitar para el alcance del objetivo del presente trabajo, ya que bajo
dicho criterio no se garantiza la correcta interpretación de la solución de los
problemas por parte de los estudiantes.
1.7.-DELIMITACIÓN
Para este trabajo no aplica ninguna delimitación geográfica o física, sin embargo su
naturaleza documental conlleva a establecer que el mismo se delimitará a la solución
de los problemas operativos de las máquinas sincrónicas planteados en el texto guía
de la asignatura Máquinas Eléctricas II del pensum vigente de la carrera Ingeniería
Eléctrica de la Universidad de Oriente, como es: Máquinas Electromecánicas y
Electromagnéticas, autor Matsch, Leander (1.990).
1.8.-FACTIBILIDAD
Los aspectos que favorecen la realización del presente trabajo son:
Se cuenta con los textos guías de la asignatura Máquinas Eléctricas II de la
carrera Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente de acuerdo al
programa curricular vigente.
El autor posee una experiencia académica directa como docente de la
asignatura Máquinas Eléctricas II del pensum de estudios de la carrera
Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente; además de cierta
experiencia práctica en el área de las máquinas sincrónicas.
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CAPITULO II MARCO TEÓRICO DE LAS MAQUINAS SINCRÓNICAS TRIFÁSICAS
Las máquinas sincrónicas son las máquinas en las cuales se sustenta la generación de
la energía eléctrica que es usada a diario en las diferentes actividades industriales,
comerciales y residenciales de la sociedad. Su principio de funcionamiento y sus
características operativas, se prestan de manera natural para responder a un servicio
eléctrico cada vez más exigente en cuanto a su calidad y cantidad; siempre y cuando
se cuente con la aplicación de programas adecuados de mantenimiento y dispositivos
accesorios de control que respondan a los cambios de la carga conectada. Cabe
destacar que para cada problema propuesto en el Capítulo IV se desarrollará la teoría
sobre la cual se sustenta su solución; sin embargo, es conveniente estudiar; entre
otros, los siguientes aspectos básicos de las máquinas sincrónicas:
2.1.-PARTES CONSTITUYENTES DE UNA MÁQUINA SINCRÓNICA
Las máquinas sincrónicas; al igual que otros tipos de máquinas eléctricas, están
constituidos por dos partes principales que son:
Estator: Es la parte de la máquina en la que se encuentran devanadas las fases donde
se genera la diferencia de potencial que se aplica a la carga. Es la parte de la máquina
que se fija a una estructura base.
Rotor: Es la parte de la máquina en la que se encuentra el devanado de excitación
que crea el campo magnético necesario para la conversión de energía mecánica a
eléctrica. Es la parte de la máquina que gira impulsada por la fuerza motriz primaria.
En la figura Nº 1, se muestran el estator y rotor como partes constituyentes de una
máquina sincrónica.
9
2.2.-CLASIFICACIÓN DE LAS MÁQUINAS SINCRÓNICAS DE ACUERDO
A LA FORMA CONSTRUCTIVA DEL ROTOR
Las máquinas sincrónicas de acuerdo a la forma constructiva del rotor se clasifican
en:
Máquinas Sincrónicas de Rotor Cilíndrico: Como su nombre lo indica; en este tipo
de máquina, el rotor tiene una forma cilíndrica. A no ser por las ranuras practicadas
en la periferia del rotor para alojar a los conductores que forman el devanado de
excitación, se puede considerar que el espacio entre el rotor y estator, conocido como
entrehierro, es prácticamente uniforme.
En la figura Nº 2, se muestra el estator y rotor de un generador sincrónico de rotor
cilíndrico donde se aprecian las ranuras practicadas en el rotor para alojar los
conductores de un campo de excitación de 2 polos. La característica constructiva
compacta de este tipo de rotor; lo cual le permite soportar altas fuerzas centrifugas, la
hacen particularmente apta para operar a velocidades de 1200 rev/min. ó superiores.
Tornillos de Fijación del Estator a la Base
Estator: Parte de la Máquina Fijada a una Base: Devanado de las Fases
Rotor: Parte de la Máquina que Gira. Devanado del Campo W
Figura Nº 1: Partes Constituyentes de una Máquina Sincrónica. Fuente: El Autor
N
S
+
-
XX
X
X
X
X
XX
OO
O
O
O
O
OO
a
-a
Entrehierro
Figura Nº 2: Generador Sincrónico de Rotor Cilíndrico de 2 polos. Fuente: El Autor
10
En la figura Nº 2 ya referida, se deben resaltar los siguientes aspectos:
o En las ranuras del rotor marcadas con “X” están alojados conductores del
devanado de excitación por donde entra la corriente.
o En las ranuras del rotor marcadas con “O” están alojados conductores del
devanado de excitación por donde sale la corriente.
o El circulo de mayor tamaño indicado en la estructura de hierro del rotor
representa el anillo deslizante al cual se conecta; vía escobilla, la alimentación
positiva (+) del campo de excitación.
o El circulo de menor tamaño indicado en la estructura de hierro del rotor
representa el anillo deslizante al cual se conecta; vía escobilla, la alimentación
negativa (-) del campo de excitación.
o Nótese que las zonas del rotor identificadas como polo norte (N) y polo sur
(S) son más amplia que los dientes de las ranuras del propio rotor. Este detalle
constructivo se realiza con la finalidad de ayudar a que en tales zonas polares
exista la mayor concentración de líneas de flujo magnético.
Máquinas Sincrónicas de Polos Salientes: En este tipo de máquina, los polos del
campo magnético de excitación están físicamente pronunciados respecto a la periferia
del rotor; evidenciado una clara diferencia entre la distancia de entrehierro que existe
frente a los polos a la que existe frente a un espacio interpolar.
En la figura Nº 3, se muestra el estator y rotor de un generador sincrónico de 2 polos
de polos salientes. La característica constructiva no compacta de este tipo de rotor no
permite que el mismo opere a altas velocidades; siendo sus velocidades típicas de
operación por debajo de 1200 rev/min.
ø X X
O O
N S
Figura Nº 3: Generador Sincrónico de Rotor de Polos Salientes de 2 Polos. Fuente: El Autor
11
2.3.-ECUACIÓN BÁSICA DE OPERACIÓN DE UNA MÁQUINA
SINCRÓNICA
La ecuación básica de operación de una máquina sincrónica es la ecuación Nº 1:
Donde:
Con respecto a la ecuación anterior debe indicarse que siendo el número de polos de
la máquina un aspecto constructivo; éste es constante para toda condición de
operación de la máquina. Por otro lado; la frecuencia, a la cual trabaja el sistema
eléctrico del cual la máquina forma parte, es establecida a un valor; el cual para el
caso del sistema eléctrico de Venezuela es 60 Hz, y se procura que el mismo
permanezca constante para cualquier condición de operación del sistema; siendo esto
un parámetro indicador de la calidad del servicio eléctrico que se presta.
De lo anterior se desprende que siendo el número de polos constante, la máquina
sincrónica debe girar a una velocidad constante para mantener la frecuencia de
operación del sistema eléctrico prácticamente constante; a no ser por las
perturbaciones ocurridas por la entrada y salida de cargas del sistema. La máquina
sincrónica es por tanto en esencia una máquina que opera a velocidad constante.
Con respecto a la ecuación fundamental de una máquina sincrónica se puede además
añadir lo siguiente: si se despeja la frecuencia de operación, se tiene que;
De la forma anterior se desprende que el término 120 = 60 x 2; se corresponde con un
factor de conversión para llevar la velocidad de operación de la máquina de rev/min a
rev/seg y para tomar en cuenta el número de pares de polos de la máquina.
1.120 EcP
fns =
min)/(: revOperacióndeSincrónicaVelocidadns
)/(: segrevóHzOperacióndeFrecuenciafPolosdeNúmeroP :
260120PnPn
f ss ×==
12
2.4.-VOLTAJE INDUCIDO EN LA ARMADURA DE GENERADORES
SINCRÓNICOS.
Ya sea que el generador sincrónico, sea de rotor cilíndrico o de polos salientes, el
objetivo siempre es inducir en las fases devanadas en el estator una diferencia de
potencial, la cual es aplicada; generalmente después de un proceso de transformación,
transmisión, distribución y nuevamente transformación, a las diferentes cargas
conectadas al generador. La diferencia de potencial inducida se establece; de acuerdo
a la Ley de Inducción de Faraday, por el movimiento relativo que existe entre el
campo de excitación; creado por el devanado de excitación que se encuentra en el
rotor y que consecuentemente gira a su misma velocidad, y las bobinas; que forman
las fases, que se encuentran devanadas en el estator y que consecuentemente están
estáticas.
El valor eficaz de la diferencia de potencial generada en cada fase del generador;
viene dada por la ecuación Nº 2:
Donde:
Se observa que la magnitud del voltaje inducido en cada fase del estator depende del
flujo por polo creado por la corriente de excitación en el devanado del rotor.
Respecto a la ecuación Nº 2 se deben aclarar los siguientes aspectos:
2.44,4
EcaNKKf
E PoloPorfasebpfase
Φ=
)(: voltFaselaenInducidoVoltajeE fase
PasodeFactorK P :ónDistribucideFactorKb :
faseporVueltasdeNúmeroN fase :)/(: polowbPoloporFlujopoloΦ
ParaleloenCircuitosderNúmeroa :
13
Factor de Paso (Kp): Este factor toma en cuenta el hecho de que las bobinas que se
usan para constituir las fases en las máquinas sincrónicas son de paso fraccionario. Al
respecto es conveniente aclarar lo siguiente:
Bobina de Paso Completo: Es una bobina que se expande 180º eléctricos en
el espacio del entrehierro. 180º eléctricos existen en el espacio del entrehierro
entre un polo Norte y un polo Sur del campo magnético. En la figura Nº 4 se
muestra una bobina de paso completo.
Bobina de Paso Fraccionario: Es una bobina que se expande menos de 180º
eléctricos en el espacio del entrehierro. En la figura Nº 5 se muestra una
bobina de paso fraccionario.
a1
-a1 -a2
a2
S
S
N N
EbobinadePaso
º180=
a1
-a1
-a2
a2
S
S
N N
EbobinadePaso
º180<
Figura Nº 4: Bobina de Paso Completo. Fuente: Matsch, L (1.990)
Figura Nº 5: Bobina de Paso Fraccionario. Fuente: Matsch, L (1.990)
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Siendo la bobina de paso fraccionario; ésta es abrazada por una cantidad de flujo
inferior al flujo total por polo creado por la corriente de excitación, lo que evidencia
que el voltaje inducido en una bobina de paso fraccionario es menor que en una
bobina de paso completo. Tal disminución se toma en cuenta por medio del factor de
paso; él cual, viene dado por la ecuación Nº 3:
Donde:
Se debe indicar que; si bien el uso de bobinas de paso fraccionario disminuye la
magnitud del voltaje inducido en la bobina y consecuentemente en la fase, también
mejora la calidad del voltaje inducido en el sentido que disminuye los componentes
armónicos propios de la generación eléctrica en un porcentaje mayor al que reduce la
componente fundamental.
Factor de Distribución (Kb): Este factor toma en cuenta el hecho de que las bobinas
que se usan para constituir las fases en las máquinas sincrónicas están ubicadas en
ranuras diferentes; lo cual establece una diferencia en fase en los voltajes inducidos
en cada una de las bobinas, lo que conlleva a que la magnitud del voltaje total
inducido en la fase no se corresponda con la suma escalar de los voltajes inducidos en
cada bobina que compone esa fase. La relación entre la suma vectorial y la suma
escalar entre los voltajes inducidos en cada bobina; según Matsch, L (ob. cit) se
conoce como factor de distribución. La diferencia en fase establecida, existe debido a
que las ranuras del estator tienen posiciones angulares diferentes respecto a la onda de
densidad de flujo senoidal que existe en el entrehierro. En la figura Nº 6 se puede
apreciar el ángulo ocupado por cada ranura del estator.
El factor de distribución (Kb) está dado por la ecuación Nº 4
3.2
EcpSenKp π=
BobinaladePasodeFracciónp =
4.)2/(
)2/( EcSenn
SenKbγ
β×
=
15
Donde:
N fase: Corresponde al número de vueltas por fase del devanado del estator. Es el
número de vueltas por bobina multiplicado por el número de bobinas por fases.
Φ polo: Corresponde al flujo por polo creado por la corriente de excitación. El flujo por
polo viene dado por la ecuación Nº 5:
A su vez; la amplitud de la onda de densidad de flujo; viene dada por la ecuación Nº
6.
Se observa en la ecuación anterior la relación directa entre la amplitud de la onda de
densidad de flujo y la corriente de excitación.
a: Corresponde al número de trayectoria en paralelo en el que están conectados las
bobinas que conforman las fases. Estas bobinas pueden conectarse en serie o en
paralelo ya sea formando una conexión Delta o una conexión Estrella.
N
S X
X X
X
X
X
X
X
O O
O
O
O
O
O
O
a
-a
γ
Figura Nº 6: Angulo de Ranuras y de Fase. Fuente: Matsch, L (1.990)
RanuraunaporOcupadoAngulo=γPolosdeParunBajoFaseunaporOcupadoAngulo=β
PolosdeParunBajoFaseunadeRanurasdeNúmeron =
5.2 EcBPDL
ampPoloPor =Φ
6.4 EcPg
INKb
gFmm
Be
fo
e
Foamp
ffμ
πμ =×=
β
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En la figura Nº 7 se muestra una conexión serie de bobinas del estator en estrella; es
decir a=1
En la figura Nº 8 se muestra una conexión en paralelo de dos circuitos en estrella; es
decir, a=2
2.5.- CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN GENERADOR SINCRÓNICO
Visto la naturaleza del voltaje inducido, es conveniente presentar el modelo de
circuito que representa las interacciones físicas; entre los diferentes parámetros, que
ocurren en un generador sincrónico. Este circuito es el mostrado en la figura Nº 9:
Figura Nº 7: Bobina en Serie Conectadas en Estrella. Fuente: El Autor
a1 a2
b2c1
b1
L1
L3
L2
c2
Figura Nº 8: Conexión de las Bobinas del Estator en Dos Circuitos. Fuente: El Autor
afE
I ljXadjX ar
V+
-
agE
-
+
Figura Nº 9: Circuito Equivalente de un Generador Sincrónico. Fuente: Matsch, L (1.990)
L1
L2
b2L3
c1
a1
a2
c2b1
17
Donde:
Respecto al circuito equivalente es conveniente aclarar lo siguiente:
Eaf: Cuando el rotor del generador gira a la velocidad sincrónica y se energiza el
campo de excitación con tensión DC; circula una corriente de excitación por el
devanado de campo que produce un campo magnético que viaja en el entrehierro de
la máquina a la misma velocidad del rotor; es decir, a velocidad sincrónica. Este
campo magnético tiene una densidad de flujo que varia senoidalmente en el
entrehierro cuya amplitud es Bamp por lo que existe el flujo por polo Φpolo. El
movimiento relativo entre el campo magnético del rotor y los conductores devanados
en el estator que constituyen las fases, genera en estas fases, un voltaje que viene
dado por la ecuación Nº 2. En esta parte es conveniente tener presente que entre el
rotor y el estator no existe una conexión física; entre ellos, existe un acoplamiento
magnético debido a que el campo del rotor concatena a los conductores de las fases
del estator.
Xad: Cuando se conecta al generador una carga; entonces por las fases del estator
circula una corriente; la cual genera el campo magnético del estator. Este campo
magnético del estator interactúa con el campo magnético del rotor, y a esta
interacción se le llama reacción de armadura. La interacción del campo magnético del
estator sobre el rotor puede ser de tres tipos:
Que el campo magnético de estator ayude al campo magnético del rotor:
Efecto Magnetizante.
Que el campo magnético del estator tenga un efecto nulo sobre el campo
magnético del rotor.
Que el campo magnético del estator disminuya el campo magnético del rotor:
Efecto Desmagnetizante.
En una operación normal de un generador sincrónico el efecto de reacción de
armadura generalmente es desmagnetizante y se representa mediante una reactancia
2: EcuaciónlapordadoGeneradoInternoVoltajeEaf
ArmaduradeaccióndeciaacX ad RetanRe:
DispersióndeciaacX l tanRe:
Faseladeopiasistenciara PrRe:
18
inductiva que refleja la disminución del voltaje generador Eaf producto de la
disminución del flujo del campo del rotor debido al campo del estator.
Xl: Las líneas del campo magnético del rotor no se acoplan totalmente con los
conductores del estator; por el contrario existe un flujo de dispersión que se toma en
cuenta con la reactancia de dispersión.
2.6.-CURVAS DE OPERACIÓN DE MÁQUINAS SINCRÓNICAS
La condición operativa de una máquina sincrónica puede representarse mediante
curvas de operación; entre las cuales se encuentra:
Curva de Vació: En esta curva se representan valores del voltaje generado Eaf
contra valores de la corriente de excitación estando la máquina en vacío; sin carga, e
impulsada a la velocidad nominal de operación. La forma general de la curva de vacío
se muestra en la figura Nº 10.
Respecto a la curva de vacío es conveniente aclarar lo siguiente:
Línea de Entrehierro: Representa los valores del voltaje generado contra la corriente
de excitación en condición de vacío, cuando se desprecia la saturación del circuito
magnético de la máquina; el cual está conformado por el hierro del estator y el hierro
del rotor, además del entrehierro.
Voltaje Línea - Línea
Línea de Entrehierro OC
Corriente de Excitación
Figura Nº 10: Forma General de la Curva de Vacío. Fuente: Matsch, L (1.990)
19
Recta de Corto Circuito: En esta curva se representan lo valores de corriente de
armadura contra la corriente de excitación, estando la máquina en condición de corto
circuito y siendo impulsada a una velocidad cercana a la nominal. En la figura Nº 11,
se muestra la forma general de conexión para una prueba de corto circuito y la
consecuente obtención de la recta de corto circuito.
En la figura Nº 12, se muestra la forma general de la recta de corto circuito
Curvas V: Esta curva representa la variación de corriente de armadura contra la
corriente de excitación cuando se mantiene constante la potencia activa entregada por
la máquina. En la figura Nº 13, se muestra la forma general de la curva “V” para un
generador sincrónico.
A
ar
excV
I
A
A
A
Corriente de Campo
Figura Nº 11: Esquema General de Conexión para la Prueba de Corto Circuito. Fuente: Matsch, L (1.990)
Corriente de Corto Circuito
Figura Nº 12: Forma General de la Recta de Corto Circuito. Fuente: Matsch, L (1.990)
20
En la figura Nº 14, se muestra la forma general de la curva “V” para un motor
sincrónico.
2.7.-POTENCIA ENTREGADA POR UN GENERADOR SINCRÓNICO
La potencia activa entregada por un generador sincrónico de acuerdo a la teoría de
rotor cilíndrico; viene dada por la ecuación Nº 7.
5,0 0,1 5,1 0,2 5,2 0,3
5,0
0,1
5,1
0,2
5,2
5,0
0,1
25,1
5,1
0=fp += 8,0fp−= 8,0fp
5,0 0,1 5,1 0,2 5,2 0,3
5,0
0,1
5,1
0,2
5,2
5,0
0,1
25,1
5,1
0=fp −= 8,0fp+= 8,0fp
7.)(
2
2
EcZ
SenVEXVCosVErP
d
afdafa δδ +−=
Corriente de Armadura en p.u.
Figura Nº 13: Forma General de la Curva “V” de un Generador Sincrónico. Fuente: Matsch, L (1990)
Figura Nº 14: Forma General de la Curva “V” de un Motor Sincrónico. Fuente: Matsch, L (1.990)
Corriente de Armadura en p.u.
Corriente de Excitación en p.u.
Corriente de Excitación en p.u.
21
Donde:
La potencia reactiva entregada por un generador sincrónico de acuerdo a la teoría de
rotor cilíndrico; viene dada por la ecuación Nº 8:
Donde:
Respecto a las ecuaciones que dan la potencia activa y reactiva entregada por el
generador; es conveniente aclarar lo referente al ángulo de par.
Angulo de Par (δ): Se conoce que existe en el entrehierro de la máquina sincrónica
un campo magnético principal producido en el rotor por la corriente de excitación; el
cual da origen al voltaje generado Eaf . También se conoce que cuando se conecta una
carga al generador, circula una corriente por las fases de la armadura que produce un
campo magnético del estator; el cual, también existe en el entrehierro de la máquina y
viaja a la misma velocidad a la cual viaja el campo del rotor; es decir, los campos
magnéticos del rotor y del estator están sincronizados, y de allí el nombre de
máquinas sincrónicas. En el caso de un generador sincrónico; el campo magnético del
rotor viaja adelante del campo magnético del estator, y a esta separación se le conoce
como separación angular de par ó ángulo de par, tomado en cuenta que el par se
produce por la tendencia de los campos magnéticos a alinearse entre sí. Un aumento
de la separación angular aumenta el par desarrollado por la máquina.
EntregadaActivaPotenciaP :2: EcuaciónlapordadoGeneradoInternoVoltajeEaf
PardeAngulo:δteMagnetizanciaacX d tanRe:
Faseladeopiasistenciara PrRe:
22Im: dadd XrZteMagnetizanpedanciaZ +=
8.)(
2
2
EcZ
SenVErVCosVEXQ
d
afaafd δδ +−=
EntregadaactivaPotenciaQ Re:
22
2.8.- GENERADORES SINCRÓNICOS OPERANDO EN PARALELO
Los generadores sincrónicos; a objeto de constituir un sistema eléctrico confiable en
el cual sus parámetros característicos voltaje y frecuencia permanezcan constantes,
deben operar en paralelo; tal como se muestra en el diagrama eléctrico unifilar de la
figura Nº 15:
Las condiciones para conectar generadores en paralelo; para el generador que se
pretende conectar son las siguientes:
La secuencia de fases del generador a conectar bebe ser igual a la del sistema
en paralelo.
Los voltajes de fase del generador a conectar deben estar en fase con los del
sistema.
La magnitud de los voltajes de fase del generador a conectar deben ser iguales
a los del sistema.
La frecuencia del generador a conectar debe ser igual a la del sistema.
Para la conexión en paralelo de un generador sincrónico a un sistema eléctrico,
normalmente se efectúan operaciones que aseguran las últimas tres condiciones
anteriores; y el proceso de sincronización es supervisado en una columna de
sincronización como la mostrada en la figura Nº 16.
Barra Infinita V= 1 p.u f= 1 p.u
G1 G2 G3
Cargas
Figura Nº 15: Diagrama Unifilar de Generadores Sincrónicos en Paralelo. Fuente: El Autor
23
2.9.- MÁQUINAS SINCRÓNICAS DE POLOS SALIENTES
Se ha comentado que las máquinas sincrónicas de acuerdo a la forma constructiva del
rotor se clasifican en: Maquinas de rotor cilíndrico y máquinas de polos salientes. Si
bien los fundamentos teóricos que se desarrollan para el análisis se basan en
máquinas de rotor cilíndrico, lo cual se conoce como teoría de rotor cilíndrico, las
máquinas de polos salientes abarcan un espectro amplio y los fundamentos para su
análisis parten también de la teoría de rotor cilíndrico con cierta modificación.
El aspecto constructivo a resaltar en las máquinas de polos salientes; siendo este el
aspecto que establece la diferencia operativa con respecto a las máquinas de rotor
cilíndrico, es el hecho de que existe una marcada diferencia en cuanto al efecto de la
corriente de armadura sobre el campo principal cuando la reacción es a lo largo del
eje directo ó a lo largo del eje de cuadratura; debiéndose tal diferencia a la longitud
del espacio de entrehierro que existe a lo largo de cada eje. En la figura Nº 17, se
aprecian las diferentes reacciones de armadura en cada eje; siendo Fad la reacción de
armadura en el eje directo y Faq la reacción de armadura en el eje de cuadratura.
Columna de Sincronización Voltímetro
Frecuencímetro
55 60 65
55 60 65
Sincronoscopio + -
El voltaje del generador debe ser igual al del sistema.
La frecuencia debe ser la misma que la del sistema
Los voltajes de fase del generador deben estar en fase con los del sistema.
Figura Nº 16: Columna de Supervisión de Sincronización de un Generador Sincrónico. Fuente: El Autor
24
En base a la experiencia académica del autor, es conveniente aclarar un aspecto en el
cual normalmente existe cierta confusión, y es el hecho de que la reactancia que
representa la reacción de armadura en el eje directo por el hecho de tener mayor
efecto magnetizante o desmagnetizante sobre el campo principal del rotor, siempre
será mayor que la reactancia que representa la reacción de armadura en el eje de
cuadratura.
La modificación; ya comentada, de la teoría de rotor cilíndrico para el análisis de las
máquinas de polos salientes consiste en considerar que la máquina reacciona de
forma independiente en cada eje.
En la figura Nº 18 se muestra un generador de polos salientes reaccionando en el eje
directo; para la cual el voltaje en terminales de acuerdo a la teoría de rotor cilíndrico
es:
aqFaqB
adF
adB
afE
da Ir ×dd IjX ×
V
afλ
dI
adλ
Figura Nº 17: Reacciones de Armadura en el Eje Directo y Eje de cuadratura. Fuente: Matsch, L (1.990)
( ) daaf IjXdrVE ++=
Figura Nº 18: Generador Sincrónico con Reacción de Armadura en el Eje Directo. Fuente: Matsch, L (1.990)
25
En la figura Nº 19 se muestra un generador de polos salientes reaccionando en el eje
de cuadratura; para la cual el voltaje en terminales de acuerdo a la teoría de rotor
cilíndrico es:
afE
V
afλ
qI aqλ
qq IjX ×
( ) qqaaf IjXrVE ++=
Figura Nº 19: Generador Sincrónico con Reacción de Armadura en el Eje de Cuadratura. Fuente: Matsch, L (1.990)
qa Ir ×
26
CAPITULO III MARCO METODOLÓGICO
En este capítulo se describe el marco metodológico del trabajo; lo cual pasa por
definir el diseño y tipo de la investigación; así como los aspectos relacionados con el
tamaño de la muestra investigada, las técnicas que se emplearon para la recolección
de la información y análisis de la misma.
3.1. – TIPO DE LA INVESTIGACIÓN
El tipo de investigación que se desarrolló en el presente trabajo corresponde a la
Investigación Analítica ya que la misma consiste en analizar los problemas que sobre
máquinas sincrónicas trifásicas están propuestos en el texto guía: Máquinas
Electromecánicas y Electromagnéticas, autor Matsch, Leander (1.990), para
comprender su solución en términos de los aspectos teóricos que la sustentan.
3.2.- DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
La investigación que se desarrolló en el presente trabajo de acuerdo a la fuente es de
tipo documental ya que la información sobre la cual se sustenta la solución de los
problemas planteados sobre las máquinas sincrónicas trifásicas proviene de la
interpretación de los criterios expuestos en los diferentes textos que tratan el tema de
generadores sincrónicos trifásicos de acuerdo al programa vigente de la carrera
Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Oriente.
3.3.- POBLACIÓN Y MUESTRA
Para este trabajo la población está constituida por los problemas que sobre máquinas
sincrónicas trifásicas están propuestos en el texto guía de la asignatura Máquinas
Eléctricas II de acuerdo al programa de estudios de la carrera Ingeniería Eléctrica de
27
la Universidad de Oriente; es decir, se tiene una población conocida. En este caso; se
le dio solución a todos los problemas propuestos, por lo que la muestra es toda la
población.
3.4. – INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
El instrumento para la recolección de la información necesaria para plantear la
solución teórica de los problemas propuestos sobre máquinas sincrónicas trifásicas
consiste en la lectura y análisis de los textos guías de la asignatura Máquinas
Eléctricas II con lo cual se podrá formar un criterio o matriz de análisis.
3.5. – TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE DATOS
Los criterios de análisis formados a partir de la lectura de los diferentes textos guías
de la asignatura Máquinas Eléctricas II de acuerdo al programa curricular vigente
permitirán aplicar un análisis de tipo inductivo a los problemas propuestos en el texto
guía: Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas, autor Matsch, Leander
(1.990) a los fines de comprender al máximo nivel de detalle sus aspectos asociados.
3.6.-BASES LEGALES
Entre los aspectos legales que condicionan este trabajo se encuentra:
.-Programa Curricular Vigente de la Carrera Ingeniería Eléctrica de la Universidad de
Oriente.
La relación de este programa con el presente trabajo, consiste en que el mismo
contiene los lineamientos generales para el desarrollo de las actividades académicas
de la carrera Ingeniería Eléctrica en la Universidad de Oriente, Núcleo de
Anzoátegui; por tanto, la manera como se plantea la solución de los problemas
propuestos en el texto guía: Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas, autor
Matsch, Leander (1.990) estará enfocada a cumplir con los objetivos macros de éste
programa.
28
CAPITULO IV SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Las máquinas sincrónicas de rotor cilíndrico y de polos salientes constituyen el punto
génesis de la energía eléctrica, ya que son estos equipos los responsables de la
generación de esta forma de energía tan importante para el desarrollo y sostenimiento
de la sociedad. La fuente de energía primaria puede ser diversa: hidráulica, térmica o
nuclear; en cualquier caso, siempre se requerirá de un generador sincrónico para
transformarla en energía eléctrica debido a las ventajas que esta posee para su
transporte y distribución sobre otras formas de energía.
La naturaleza de los problemas relacionados con la operación de los generadores
sincrónicos; tanto de rotor cilíndrico como de polos salientes, dependen del entorno
operativo en el que se encuentren; el cual puede ser muy diverso; y estar afectado por
aspectos humanos, económicos y de operatividad propiamente dichos. Los problemas
planteados; no son todos los problemas; pero se espera que estos; así como la
solución dada, contribuyan de manera significativa a fortalecer los fundamentos
teóricos de análisis que los estudiantes han adquirido sobre operación de generadores
sincrónicos.
PROBLEMA # 1:
Los datos de placas de un generador tipo hidráulico de 60 Hz, muestran una
velocidad de 72 r.p.m. Calcule el número de polos de este generador.
Solución: Los datos suministrados dejan ver que se trata de un generador de polos salientes; el
tipo de fuerza que lo impulsa (hidráulica) y la baja velocidad de funcionamiento, así
lo determinan.
La ecuación básica que describe la operación de las máquinas sincrónicas es:
29
Dado que a partir de los datos se conoce la velocidad de operación y la frecuencia de
la máquina, se puede determinar de manera directa el número de polos de la misma.
La naturaleza de la ecuación básica de las máquinas sincrónicas es la siguiente. Partiendo de la forma:
Se considera que una máquina de 2 polos tiene su velocidad expresada en rev/min; en
este caso la ecuación anterior queda como sigue:
De modo que la ecuación básica de una máquina sincrónica está expresada para tomar
en cuenta el número de pares de polos de la máquina; así como la conversión de la
velocidad de rev/min a rev/seg.
PROBLEMA # 2: Un arreglo en el cual una máquina sincrónica de 60 Hz y una máquina sincrónica de
25 Hz tienen sus ejes conectados directamente; es decir sin la intervención de
engranes, se conoce como una cambiador de frecuencia. Calcule el número más
pequeño posible de polos en cada máquina
Solución: La situación anterior se visualiza como se muestra en la figura Nº 20; en la cual existe
un único motor primario que impulsa a ambas máquinas sincrónicas, y dado que entre
Polosn
fPS
10072
60*120120===
120Pn
f S=
HzsegrevnrpmnrpmnPn
f SsSS ===
×== )/(
60)(
6022*)(
120
pfnS
120=
30
estas últimas no existe ningún dispositivo de engranes, estas tienen la misma
velocidad de funcionamiento.
Fig. 20: Representación Gráfica del Problema Nº 2 Así; para la máquina de 60 Hz y 25 Hz; se tiene:
Como ya se ha indicado, debe cumplirse que:
Efectuando las operaciones que corresponden se encuentra que la relación entre los
números de polos de cada máquina para que se cumpla con el arreglo planteado es:
Los mínimos números de polos de cada máquina que cumplen con la relación anterior
son:
Máquina de 60 Hz: 24 Polos Máquina de 25 Hz. 10 Polos Con tales números de polos, cada máquina tiene una velocidad de 300 r.p.m,
calculada según la ecuación básica:
Máquina Sincrónica
60 Hz.
Motor Primario
Máquina Sincrónica
25 Hz.
HzHz P
n60
6060120 ∗
=
HzHz nn 2560 =HzHz PP 2560
2512060120 ∗=
∗
4,22560
25
60 ==Hz
Hz
PP
→∗
=∗
HzHz PP 2560
2512060120 rpm30010
2512024
60120=
∗=
∗
HzHz P
n25
2560120 ∗
=
31
PROBLEMA # 3: La figura Nº 21; muestra una vista desarrollada de los dientes y ranuras en la
estructura de campo de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico. El ancho de los
dientes y ranuras están representados por T y S respectivamente. Cada bobina de
campo tiene Nbobina vueltas y conduce una corriente de If amp. Exprese en términos
de X1, X2, X3, T, S, Nbobina e If la integral de línea de H tomada alrededor de cada una
de las trayectorias 1, 2 y 3 y grafique la forma de onda de la Fmm desde el eje Q hasta
la distancia A.
Fig. Nº 21: Vista Desarrollada de los Dientes y Ranuras en la Estructura de Campo de la Máquina de
Rotor Cilíndrico Asociada con el Problema Nº. 3. Solución: De acuerdo al enunciado del problema se considera que en cada ranura existe una
bobina de Nbobina vueltas y por cada una de ellas circula una corriente de If amp. La
asociación entre los datos que se consideran conocidos en el problema como son: If,
Nbobina; así como el tamaño y la separación de las ranuras; sugiere que la relación
básica entre estos y la información pedida como es la intensidad del campo
magnético, esta dada por la ecuación que describe la Ley de Ampere.
Donde:
T S
X X2 X3
A
Eje Q
Diente Ranura
∫ ∫ ×=×S
dlHdaJ
)/(: 2mAcorrientedeDensidadJ)(sup: 2merficiedeldiferenciaElementoda
32
La ecuación anterior expresa que la integral de la intensidad del campo magnético (H)
alrededor del contorno de la superficie a través de la cual pasa la densidad de
corriente J, es igual a la corriente que pasa a través de esa superficie.
Para la trayectoria 1; considerada en la figura Nº 22, se tiene:
Fig. Nº 22: Consideración de la Trayectoria de Flujo Nº 1 del Problema Nº 3. Para plantear la solución de una manera práctica se considera que la bobina en cada
ranura abarca completamente el espacio de la misma, y que la corriente If se
distribuye de manera uniforme en cada una de ellas. De esta manera; para cualquiera
trayectoria seleccionada que abarque completamente la ranura, la corriente que
circula a través de la misma es If. Si la trayectoria seleccionada no abarca
completamente la ranura, como es el caso de la trayectoria 1, el área de la ranura a
considerar está afectada de manera directa por la relación X1/S. Con tales premisas la
aplicación de la Ley de Ampere para la trayectoria 1 resulta:
)/(: mVueltaAmagnéticocampodelIntensidad −Η
)(: mlongituddeldiferenciaElementodl
111 lcH
SXIN fbobina ×=××
T S
X1
A
Eje Q
Diente Ranura
D
111 ,, lcΗΦ
)/(1:1 mVueltaAatrayectorilademagnéticocampodelIntensidad −Η
)(1:1 WbatrayectorilademagnéticoFlujoΦ)1(:1 mtatrayectoriladecontornodelLongitudlc
33
Para la trayectoria 2; considerada en la Figura Nº 23, se tiene:
Fig. Nº 23: Consideración de la Trayectoria de Flujo Nº 2 del Problema Nº 3. Para la trayectoria 2, dado que esta abarca completamente a una ranura, la aplicación
de la Ley de Ampere para esta trayectoria resulta:
Para la trayectoria 3; considerada en la Figura Nº 24, se tiene:
Se puede observar que la trayectoria 3 abarca completamente a una ranura por donde
pasa la corriente If que entra Nbobina veces en la superficie que corresponde al
contorno de esta trayectoria, pero además de eso, abarca una porción X3/S de otra
ranura. De este modo la aplicación de la Ley de Ampere a tal trayectoria resulta:
( )mVAatrayectorilademagnéticocampodelIntensidad /2:2 −Η
)(2:2 WbatrayectorilademagnéticoFlujoΦ
)(2:2 mtatrayectoriladecontornodelLongitudlc
T S
X2
A
Eje Q
Diente Ranura
222 ,, lcΗΦ
22 lcHIN fbobina ×=×
)/(3:3 mVueltaAatrayectorilademagnéticocampodelIntensidad −Η
)(3:3 WbatrayectorilademagnéticoFlujoΦ
)(3:3 mtatrayectoriladecontornodelLongitudlc
34
Fig. Nº 24: Consideración de la Trayectoria Nº 3 del Problema Nº 3.
En la solución de este problema de manera implícita se considero que las ranuras
están bajo la influencia de un mismo polo.
Si se considera a la Fmm desarrollada en cada ranura como concentrada; en la medida
en que se avanza desde el eje Q hasta la distancia “A”, el incremento de la Fmm se
puede representar como un escalón en ascenso; como se muestra en la Figura Nº 25.
Fig. Nº 25: Representación de la Onda de Fmm del Problema Nº 3.
333 ,, lcΗΦ
T S
X3
A
Eje Q
Diente Ranura
333 lcH
SXININ fbobinafbobina ×=××+×
3331 lcH
SXIN fbobina ×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +×
A
Eje Q Onda de Fmm
35
PROBLEMA # 4: En la figura Nº 26; se aprecian las bobinas del estator de una máquina sincrónica de
dos polos conectadas en estrella en un circuito único por fase. Dibuje el diagrama
para una conexión de dos circuitos por fase.
Solución: Cuando las bobinas que conforman una fase están conectadas todas en serie; se dice
que las fases están conectadas en un circuito único. Esto; en la ecuación que da el
voltaje inducido en una máquina sincrónica significa que:
Conectar las bobinas de tal manera que las fases tengan una conexión de dos circuitos
implica conectar las bobinas que conforman la misma en paralelo, como se indica en
la siguiente figura Nº 27.
En este caso la ecuación que da el voltaje inducido es:
Nótese como el número de circuitos en que están conectadas las bobinas que
conforman una fase influye en la magnitud del voltaje inducido. En general las
máquinas de corriente alterna son fabricadas con la posibilidad de conectarse en dos
144,4
=Φ
= aconaNKbKpf
E PoloPorfasefase
a1
-a1a2
-a2
b2
-b2
c1-c1
L1
L3
L2
-c2c2
b1-b1
Fig. Nº 26: Conexión de las Bobinas del Estator en un Circuito Único. Problema Nº 4.
244,4
=Φ
= aconaNKbKpf
E PoloPorfasefase
36
niveles de tensión; siendo uno el doble del otro. Dado que la máquina ha sido
diseñada para trabajar en una potencia determinada; es obvio que para mantener la
potencia de trabajo, se deba consumir de la línea una corriente que en el caso de estar
la máquinas conectada para trabajar con el nivel superior de voltaje; está es la mitad
de la que consume si se conecta para trabajar en baja tensión.
Un aspecto práctico de interés a resaltar en esta parte es el número de bobinas de la
máquina asociado con el número de polos. En general una máquina trifásica de P
polos tendrá P/2 bobinas por fase.
PROBLEMA # 5: Un generador sincrónico trifásico de 60 Hz. tiene una armadura con un paso de 7/9 en
donde cada bobina tiene tres vueltas. El flujo por polo es 0,02 weber, distribuido
senoidalmente. Calcule el voltaje inducido de la bobina.
Solución: La información con que se cuenta puede representarse como se indica en la figura Nº 28. La densidad de flujo senoidal en función del ángulo θ es entonces:
a1
-a1
a2
b2
-b2
c1
-c1
b1
-b1 -c2
L1
L3
L2
-a2
c2
Fig. Nº 27: Conexión de las Bobinas del Estator en Dos Circuitos. Problema Nº 4
)()( θθ SenBB amp=
37
El diferencial del flujo en el elemento diferencial de ángulo dθ indicado en Fig. Nº 28, es:
Donde dA es el elemento diferencial de área por polo tomado en la periferia interna
del estator; según se muestra en la figura Nº 29.
dABd dA ×=Φ → )()( θθ
L
mdθ
D/2
dA
mdLDdA θ××=2 m
Pθθ2
=
θθ dP
d m2
= θdP
DLdA =
Figura Nº 29: Elemento Diferencial de Área para el Angulo dθ m. Problema Nº 5
Figura Nº 28: Distribución de la Densidad de Flujo en el Entrehierro de un Generador Sincrónico. Problema Nº 5
B
Estator
N SS Rotor α
πα p+
θ θd
Paso Polar = 9
Paso de Bobina
97
== pBobinadePaso
-a1 a1
38
De modo que el flujo viene dado por:
El voltaje inducido en la bobina viene dado por:
El valor eficaz del voltaje inducido en la bobina; es:
PROBLEMA # 6: Si el generador del problema # 5 tiene 4 polos. La longitud axial del hierro es de 5
pulg. y el diámetro de la superficie interior de la armadura es de 12 pulg. Calcule la
amplitud de la onda de la densidad de flujo en unidades mks.
Solución: La amplitud de la onda de la densidad de flujo está relacionada con los parámetros
propios del rotor como son: Corriente de excitación, número de vueltas del devanado
θθθ dSenBP
DLd ampdA )()( =Φ → ∫+
=Φπα
αθ θθ
p
ampbobina dSenBP
DL )()(
)2
(2
2)(
παπα pSenpSenB
PDL
ampbobina +=Φ
[ ])()( πααα pCosCosBP
DLampbobina +−=Φ
dtd
e tbobinatbobina
)()(
λ−= )()( ααλ bobinabobinabobina N Φ×=
)2
(2)(
πωπω ptCospSenNe bobinatbobina −Φ=
PoloPorbobinabobina NKpfE Φ= 44,4
voltiosSenEbobina 02,1502,0329
76044,4 =××⎟⎠⎞
⎜⎝⎛××=
π
39
del rotor y el factor de distribución del rotor; de acuerdo a la ecuación determinada a
partir de un análisis que comienza en la Figura Nº 30.
Una corriente de excitación que llega a la máquina a través de los anillos de
excitación y recorra el devanado de campo en la forma indicada produce un campo
magnético como el indicado en la misma figura Nº 30 e identificado con las líneas
punteadas que recorren tanto el hierro del estator como el del rotor.
La forma de onda de la fuerza magnetomotriz producida por tal corriente de
excitación tomando en cuenta el efecto de tener las bobinas del campo distribuidas en
las ranuras existentes en la periferia externa del rotor es como se indica en la Figura
Nº 31; estando el ángulo θ medido a partir del eje magnético de la fase “a”.
Tomando un par de polos como referencia, la ecuación de la onda de Fmm del campo
aplicando Fourier es:
mmfF
θ
Eje Fase “a”
Figura Nº 31: Forma General de la Onda de Fmm del rotor
N
S
øø +
-
X X
X
X
X
X
X X
O O
O
O
O
O
O O
a
-a
θ
Eje Magnético de la Fase “a”
Figura Nº 30: Densidad de Flujo Senoidal en Función del Angulo. Problema Nº 6
40
Siendo la amplitud de la onda:
Teniendo presente que:
Por lo tanto:
Si se comparan los términos que intervienen en la ecuación anterior para determinar
la magnitud de la amplitud de la densidad de flujo con la información aportada en el
enunciado del problema; obviamente se opta por la no aplicación de tal ecuación.
Dado que se conoce el flujo por polo y los parámetros físicos del hierro del estator, se
opta por la aplicación de una relación entre la densidad de flujo, el flujo por polo y el
área por polo de la máquina.
En el problema anterior se determinó que el área por polo en función del ángulo
θ; mostrado nuevamente en la figura Nº 32, está dada por la siguiente relación:
[ ]θθθπθ nSenSenSenPIN
KbFmm nff
ff1
314
)( ...3 +++=
PIN
KbFmm fffMaxf πθ
4)( =
ampFoamp HB ×= μe
Ffamp g
FmmH =
e
fffo
e
Foamp Pg
INKbg
FmmBμ
πμ 4
=×=
con
L
mdθ
D/2
dA
Figura Nº 32: Elemento Diferencial de Área para el Angulo dθ . Problema Nº 5 y 6.
41
En el problema anterior también se determinó que la onda del flujo está dado por:
Siendo:
A partir de la anterior ecuación:
PROBLEMA # 7: El generador del problema # 6 tiene 36 ranuras en el estator. La armadura está
conectada en estrella para una operación de un circuito único. Calcule:
a.-) El voltaje de fase y el voltaje de línea a línea.
b.-) El voltaje de fase y el voltaje de línea a línea para una conexión en estrella de dos
circuitos.
c.-) El voltaje de fase y el voltaje de línea a línea para una conexión en delta de un
circuito único.
Solución: Parte a.-) El voltaje de fase de la máquina viene dado por la siguiente ecuación:
mdLDdA θ××=2 m
Pθθ2
=
θθ dP
d m2
= θdP
DLdA =
)2
(2
2)(
παπα pSenpSenB
PDL
ampbobina +=Φ
ampPoloPor BPDL2
=Φ
2lglg
033,10254,0lg50254,0lg122
402,02 mt
wbPuPu
PolosWbDL
PB
Pumts
Pumts
PoloPoramp =
×××××
=×Φ
=
42
Donde:
De este modo:
Además:
Resulta:
Parte b.-) Para una operación en estrella de 2 circuitos:
aNKbKpf
E PoloPorfasefase
Φ=
44,4
Hzf 60=
939,029
7=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
πSenKpPasodeFactor
2
2γ
β
SennSen
KbónDistribucideFactor×
==
343
36=
×==
Polosfasesranuras
nPoloporFaseporRanurasdeNúmero
º209
º180=== γranuraunaporocupadoAngulo
º60º203 =×=×== γβ npolosdeparunbajofaseunaporocupadoAngulo
959,0º103
º30
2
2 =×
=×
==Sen
SenSenn
SenKbónDistribucideFactor γ
β
3633
36... =×=×= bobinasdeVueltasNroBobinasNroN fase
1;02,0 ===Φ aCircuitosdeNúmeroWbPorPolo
voltsE fase 72,1721
02,036959,0939,06044,4=
×××××=
voltsEE faseLL 15,2993 ==−
43
Parte c.-) Para una conexión en delta de un circuito único
Para todas las partes resueltas en este problema se ha considerado que el devanado de
la armadura es de doble capa; es decir, el número de ranuras es igual al número de
bobinas.
PROBLEMA # 8: Se tiene un generador con las mismas características de las presentadas en los
problemas # 5, # 6 y # 7; tiene la misma componente fundamental de la densidad de
flujo y tiene además las componentes armónicas tercera, quinta y séptima en la
densidad de flujo con amplitudes de 0,20; 0,10 y 0,05 de la fundamental. El
embobinado de armadura es una conexión en estrella de un circuito único. Calcule los
valores RMS de la fundamental y de cada una de las armónicas en: a.-) Voltaje línea
a neutro, b.-) Voltaje línea a línea.
Solución: En la Figura Nº 33; se indica la forma en que están conectadas las bobinas que
conforman la máquina.
voltsE fase 36,862
02,036959,0939,06044,4=
×××××= voltsEE faseLL 57,1493 ==−
voltsE fase 72,1721
02,036959,0939,06044,4=
×××××= voltsEE faseLL 72,172==−
Figura Nº 33: Conexión Inicial de las Bobinas en el Problema Nº 8
L2
L1
b2 L3 c1
a1
a2
c2 b1
44
El cálculo para la componente fundamental ya fue realizado en el problema anterior,
resultando:
En términos generales, el voltaje para las armónicas viene dado por:
Donde:
Para la tercera armónica:
Para la quinta armónica:
.72,1721
02,036959,0939,06044,41 voltE =
×××××=
aNKbKphf
E hfasehhh
Φ=
44,4
armónicaladegradoelIndicah :
2
2: γ
β
hnSenhSen
KbesarmónicaslasparaóndistribucidefactorEl h =
2: πhpSenKpesarmónicaslasparapasodefactorEl h =
aNKbKp
E fase 3333
36044,4 Φ×××=
5,029
733 −=×=πSenKp 6667,0
333
2º20
2º60
3 =×
×=
SenSen
Kb
voltE 38,381
)002,020,0(108667,0965,036044,43 −=
×××××××=
aNKbKp
E fase 5555
56044,4 Φ×××=
173,029
755 −=×=πSenKp 217,0
535
2º20
2º60
5 =××
×=
SenSen
Kb
voltE 6,31
)02,010,0(36217,0)173,0(56044,45 −=
××××−×××=
45
Para la séptima armónica:
Tomando en cuenta las armónicas, el voltaje línea neutro de la máquina es:
Para determinar el voltaje línea a línea se debe tomar en cuenta el hecho de que la
tercera armónica y sus múltiplos son despreciables debido a que básicamente el
voltaje de línea a línea se calcula por la diferencia entre dos voltajes línea a neutro;
tras lo cual las componentes de terceras armónicas y sus múltiplos quedan en fase,
razón por la cual se anulan.
A partir de lo anterior, el voltaje línea a línea de la máquina es:
PROBLEMA # 9: Repita el problema # 8 para un embobinado de paso completo. Compare la forma de
onda del voltaje de ambos problemas.
aNKbKp
E fase 7777
76044,4 Φ×××=
766,029
777 =×=πSenKp 177,0
737
2º20
2º60
7 −=××
×=
SenSen
Kb
voltE 10,91
)02,005,0(36)177,0()766,0(76044,47 −=
×××−××××=
27
25
23
21 EEEEE fase +++=
27
25
213 EEEE LL ++×=−
voltE fase 20,17710,96,338,3872,172 2222 =+++=
voltE fase 63,29910,96,372,1723 222 =+++×=
46
Solución: La diferencia fundamental que existe con respecto al problema anterior es el hecho de
que las bobinas de la máquina de este problema son de paso completo. Esto implica
que el factor de paso es:
El cálculo para la componente fundamental resulta:
En términos generales, el voltaje para las armónicas:
Donde:
Para la tercera armónica:
12
== pconhpSenKphπ
voltE 94,1831
02,036959,016044,41 =
××××=
aNKbKphf
E hfasehhh
Φ=
44,4
armónicaladegradoelIndicah :
2
2: γ
β
hnSenhSen
KbesarmónicaslasparaóndistribucidefactorEl h =
2: πhpSenKpesarmónicaslasparapasodefactorEl h =
aNKbKp
E fase 3333
36044,4 Φ×××=
12
33 −=×=πSenKp 6667,0
333
2º20
2º60
3 =×
×=
SenSen
Kb
72,761
)002,020,0(36667,0)1(36044,43 −=
××××−×××=E
47
Para la quinta armónica:
Para la séptima armónica:
Tomando en cuenta las armónicas, el voltaje línea neutro de la máquina es:
Para determinar el voltaje línea a línea se debe tomar en cuenta el hecho de que la
tercera armónica y sus múltiplos son despreciables debido a que básicamente el
voltaje de línea a línea se calcula por la diferencia entre dos voltajes línea a neutro;
tras lo cual las componentes de terceras armónicas y sus múltiplos quedan en fase,
razón por la cual se anulan.
A partir de lo anterior, el voltaje línea a línea de la máquina es:
aNKbKp
E fase 5555
56044,4 Φ×××=
12
55 =×=πSenKp 217,0
535
2º20
2º60
5 =××
×=
SenSen
Kb
voltE 8,201
)02,010,0(36217,0156044,45 =
×××××××=
aNKbKp
E fase 7777
76044,4 Φ×××=
12
77 −=×=πSenKp 177,0
737
2º20
2º60
7 −=××
×=
SenSen
Kb
voltE 8,111
)02,005,0(36)177,0()1(76044,47 =
×××−×−×××=
27
25
23
21 EEEEE fase +++=
27
25
213 EEEE LL ++×=−
voltE fase 73,20088,118,2072,7694,183 2222 =+++=
voltE LL 77,32188,118,2094,1833 222 =++×=−
48
PROBLEMA # 10: El voltaje de línea a línea de un generador trifásico es de 173,2 voltios; el voltaje de
línea a neutro es de 104,4 voltios. Calcule la componente de la tercera armónica en el
voltaje de fase.
Solución: La solución a este problema se plantea como si sólo existieran la fundamental y la
tercera armónica.
El voltaje de línea a neutro viene dado por:
El voltaje línea a línea; de acuerdo a lo planteado con respecto a la presencia de la
tercera armónica, viene dado por:
A partir del resultado anterior:
PROBLEMA # 11: Los siguientes datos son para un generador sincrónico trifásico de 13.800 voltios,
conectado en estrella, de 60.000 Kva, 60 Hz. 2 polos, 36 ranuras en el estator con
igual número de bobinas y 2 vueltas en cada bobina. El paso de bobina es de 12
ranuras, existen 28 ranuras en el rotor con espaciamiento de 1/37 de la circunferencia,
el número de bobinas del rotor es 14, y el número de vueltas de cada bobina es 15.
Además se tienen los siguientes datos: Diámetro interno del estator = 37,25 pulg;
voltiosEEE fase 4,10423
21 =+=
voltiosEE LL 2,1733 21 =×=−
voltiosE 99,993
2,173 2
1 ==
voltiosEEE fase 31,2999,992,104 2221
23 =−=−=
49
diámetro exterior del hierro del rotor = 34 pulg; la longitud axial neta del hierro del
estator es 132,5 pulg. Las bobinas del estator están conectadas en dos circuitos y las
del rotor en serie.
El generador está dando una carga nominal a factor de potencia 0,80 la corriente
atrasada. La reactancia de dispersión es 0,12 veces la reactancia magnetizante.
Considere despreciable la resistencia de la armadura.
Asuma que ge=1.08g Calcule: a.-) Los valores de los encadenamiento de flujo λag, λaf y λa
b.-) Los voltajes Eag y Eaf en base que E = 4.44 x f xλ
Solución: Parte a.-) El encadenamiento de flujo λa con la fase “a” del devanado de la armadura debido a
la corriente del campo if tomando en cuenta el factor de paso Kp y el factor de
distribución Kb
Se debe aclarar que el factor de paso y el de distribución en este caso son referidos al
estator.
El factor de paso Kp es:
ffase
af aNKbKp
Φ××
=λ
PolosNumRanurasdeNúmeroPolarPaso
BobibadePasopsiendopSenKp
.
122
===π
50
El factor de distribución Kb es: Donde: El número de vueltas por fase del devanado de armadura es: La corriente nominal de la máquina es:
1812
23612
==p
866,0218
122
===ππ SenpSenKp
2
2γ
β
Senn
SenKb
×=
polosdeparunbajofaseunaporocupadoAngulo:β
ranuraunaporocupadoAngulo:γ
poloporyfaseporranurasdeNúmeron :
623
36=
×=
×=
PoloFaseranurasdeNúmeron
º1018
º18018
º180===
polarpasodelranuraspolarpasodelγ
º60º106 =×=×= γβ n
956,0
2º106
2º60
=×
=Sen
SenKb
bobinaporvueltasdeNúmerofasebobinasdeNúmeroN fase ×= )/(
vueltasN fase 24212 =×=
AmpV
VAPotenciaI
LLL 29,2510
800.133000.000.60
3)(
=×
=×
=−
51
La máquina tendrá una inductancia magnetizante dada por:
Donde: El entrehierro efectivo de la máquina es:
El enunciado del problema indica que la máquina está conectada en dos circuitos; por
lo tanto: a=2
Esta inductancia tendrá asociada una reactancia inductiva dada por:
62
108,4 −×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××=
PaNKK
gLD
L fasebp
e
gad
oentrehierrelenmedioDiámetroDg :
2int rotordelexteriorDiámetroestatordeleriorDiámetro
Dg+
=
mtpu
mtspuDpu
pupuD gg 9048,0
lg0254,0
lg625,35lg625,352
lg34lg25,37=×==
+=
estatordelhierrodelefectivaaxialLongitudL :
mtspu
mtpuL 3655,3lg
0254,0lg5,132 =×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
×=×=2
int08,108,1 rotordelexteriorDiámetroestatordeleriorDiámetrogge
( ) faseporHenriosLad 00810,01096,40445,0616,14 62 =×= −
fasefLX ad
Ω=×××== 053,300810,06022 ππ
62
1022
24956.0866,03655,39048,08,4 −×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
×××××
=e
ad gL
0445,02
3425,3708,108,1 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
×=×= gge
52
El enunciado del problema indica que la máquina tiene una reactancia de dispersión
de 0,12 veces la reactancia magnetizante
En base al circuito equivalente de un generador sincrónico; mostrado en la figura Nº 34:
Dado que la resistencia del estator se puede despreciar según el enunciado del
problema;
El voltaje generado debido a la corriente de excitación es:
El flujo que debido a la corriente de excitación induce el voltaje Eaf anterior es:
faseXX adl
Ω=×=×= 366,0053,312,012,0
IjXrVE laag ×++= )(
º86,362510366,03
13800−∠×+= jEag
fasevoltiosEag º93,439,8544 ∠=
IjXrVE daaf ×++= )(
º63,2708,804.14º86,362510)366,0053,3(3
13800∠=−∠×++= afaf EjjE
polowbNKKf
aE
fasepp
afF /59,5
24956,0866,06044,408,804.142
44,4=
×××××
=××××
=Φ
afE
I ljXadjX ar
V
+
-
agE
-
+
Figura Nº 34: Circuito Equivalente de un Generador
53
Dado que el flujo ΦF antecede al voltaje Eaf en 90º, se expresa el flujo como sigue:
De esta manera el flujo concatenado con la fase “a” del devanado de armadura es: El flujo concatenado ΦR que produce a Eag viene dado por:
Dado que el flujo ΦR antecede en 90º al voltaje Ea; se expresa el flujo como sigue:
El flujo concatenado λR asociado con ΦR El flujo concatenado con la fase “a” del devanado de armadura debido a la corriente
de armadura, se puede obtener partiendo de que el flujo concatenado resultante en el
entrehierro λR es la suma fasorial de los flujos concatenados debido al campo y a la
corriente de armadura; esto es:
De modo que el flujo concatenado con la fase “a” del devanado de armadura debido
a la corriente de la misma es:
polowbF /º63,11759,5 ∠=Φ
vueltawba
NKbKpaff
faseaf −=×
××=Φ
××= 53,5559,5
224956,0866,0λλ
polowbNKKf
aE
fasepp
agR /22,3
24956,0866,06044,439,544.82
44,4=
×××××
=××××
=Φ
vueltawba
NKbKpafR
faseR −=×
××=Φ
××= 98,3122,3
224956,0866,0λλ
AafR λλλ +=
º12,3781,28º63,11753,55º93,9498,31 −∠=∠−∠=−= AafRA λλλλ
polowbR /º93,9422,3 ∠=Φ
54
Otra manera como hallar el flujo concatenado λA es: Se conoce que la corriente de armadura; siempre tomando la fase “a” como
referencia, produce una onda de densidad de flujo que se relaciona con el flujo por
medio de la ecuación básica:
La densidad de flujo BA está relacionada con la intensidad del campo magnético
debido a tal corriente de la armadura por:
De tal modo que el flujo ΦA se puede expresar como sigue: Teniendo presente que la fuerza magnetomotriz A producida por la corriente de
armadura es:
Queda: Sustituyendo en la ecuación anterior:
PLD
PoloporAreaDondePoloporAreaB gAA
ππ
=×=Φ :2
eampAAampA g
AHDondeHB == ;0μ
e
gog
e
oA Pg
LADP
LDg
A μπμπ
22=×
×=Φ
PaIKwN
A efecfase7,2=
e
gefecfasebpoA gaP
LDINKK2
4,5 ×=Φ
μ
polowbA
A
/894,2
0445,0223655,39048,0251024956,0866,01044,5
2
7
=Φ
××××××××××
=Φ−π
flujodeondaladepromediovaloreltomasequeindicaotérElπ2min
55
El flujo concatenado λA debido a ΦA es: Nótese la coincidencia con el resultado hallado en la forma anterior. Otra manera en la cual se halla el flujo concatenado λA es a partir de la caída de
tensión producida por la corriente de armadura en la reactancia magnetizante Xad.
El voltaje EA está relacionado con el flujo de reacción de armadura ΦA como sigue:
Dado que el flujo se encuentra ΦA antecede en 90º el voltaje EA por él inducido, se tiene:
De tal manera que se expresa el flujo concatenado con la fase “a” de la armadura
debido a la propia corriente de la armadura como sigue:
Parte b.-) Los valores de Eag y Eaf en base a E = 4.44 x f xλ
vueltawba
NKbKpafA
faseA −=×
××=Φ
××= 751,28894,2
224956,0866,0λλ
)65,150526,2008(046,3º86,362510046,3 jjjEIjXE AadA −×=−∠×=×=
14,53764515,611720,4586 ∠=+= jE A
polowbNKKf
aE
fasepp
AA /888,2
24956,0866,06044,440,76452
44,4=
×××××
=××××
=Φ
polowbF /º86,3688,2 −∠=Φ
º86,3681,28 −∠=Aλ
voltiosEfE agagag 47,851998,316044,444,4 =××== λ
voltiosEfE agafaf 19,793.1453,556044,444,4 =××== λ
56
PROBLEMA # 12: Para el generador del problema # 11 determine el valor de la inductancia propia no
saturada del embobinado del campo.
Solución: Teniendo presente que la fuerza magnetomotriz del embobinado de campo viene
dada por:
La intensidad del campo magnético asociada a tal fuerza magnetomotriz es: Conociendo que la densidad del campo magnético está relacionada con la intensidad
del campo por medio de la permeabilidad del medio, se tiene que:
El diferencial de área por polo viene dado por: Integrando para un ángulo entre 0 y π; se tiene que el área por polo es:
En consecuencia, el valor promedio del flujo por polo debido a la corriente de
excitación es:
e
ffwfgofampf gP
INLKDPoloporAreaB 2
82π
μπ
=×=Φ
PIN
KbFmm fffMaxf πθ
4)( =
e
Ffamp g
FmmH =
e
fffo
e
Fofampoamp Pg
INKbg
FmmHB
μπ
μμ 4=×=×=
θdP
DLdA =
PDLPoloporArea π
=
57
El flujo concatenado con el devanado de campo debido a la corriente de campo es: La inductancia propia del devanado del campo es la capacidad de producir flujo
concatenado por unidad de corriente. Sin tomar en cuenta el flujo de dispersión del
campo se tiene:
Donde:
El enunciado dice que el espaciamiento entre ranuras es 1/37 de la circunferencia, se
representa de modo general en la figura Nº 35.
mtVAwbmediodelmagnéticadadPermeabilio ×−
×== −7104πμ
oentrehierrelenmedioDiámetroDg :
2int rotordelexteriorDiámetroestatordeleriorDiámetro
Dg+
=
mtpu
mtspuDpu
pupuD gg 9048,0
lg0254,0
lg625,35lg625,352
lg34lg25,37=×==
+=
estatordelhierrodelefectivaaxialLongitudL :
mtspu
mtpuL 3655,3lg
0254,0lg5,132 =×=
rotordelóndistribucideFactorK wf :
2
2f
f
f
wf
Senn
SenK
γ
β
=
e
ffwfgofffwff gP
INLKDNK 2
228π
μλλ =Φ×=
e
fwfgof
f
ff gP
NLKDL
IL 2
228π
μλ==
58
Sustituyendo se obtiene: PROBLEMA # 13: El generador del problema # 11 se opera a cero carga, a velocidad sincrónica y con Calcule:
a.-) La densidad de flujo promedio en el radio medio del entrehierro
b.-) La amplitud de la onda de la densidad de flujo
c.-) La amplitud de la onda de H
d.-) La fuerza magnetomotriz del campo y la corriente de campo
poloWb
F 60,5=Φ
14228: === ff nrotordelpoloporranurasdeNúmeron
º72,9372
==πγ f
º21,13629,7914 =××=×= fff n γβ
7815,0
2729,914
2º21,136
2
2 =×
==Sen
Sen
Senn
SenK
ff
f
wf γ
β
HL
gPNLKD
L
f
e
fwfgof
47,1
0445,02)1514()7815,0(3655,39048,010488
2
227
2
22
=
×××××××××
==−
ππ
πμ
Figura Nº 35: Representación del Espaciamiento entre Ranuras
fβ
fγ
59
Solución: Parte a.-) y b.-) El valor promedio del flujo en el entrehierro está relacionado con la amplitud de la
onda de densidad de flujo como sigue:
A partir de esta ecuación: Del problema anterior se conoce que: Con ello se obtiene: El valor promedio de la densidad de flujo es: Parte c.-)
La amplitud de la onda de la intensidad del campo magnético H está relacionada con
la amplitud de la densidad de flujo como se indica:
PoloporAreaB fampf ×=Φπ2
PLD
porPoloAreaconPoloporArea
B gffamp
ππ=
×Φ
= :2
mtpu
mtspuDpu
pupuD gg 9048,0
lg0254,0
lg625,35lg625,352
lg34lg25,37=×==
+=
mtspu
mtpuL 3655,3lg
0254,0lg5,132 =×=
2/839,1
23655,39048,02
60,52
mtwbPoloporArea
B ffamp =
×××
×=
×
Φ=
πππ
2/17,1839,122 mtwbBB famppromfamp =×==ππ
60
Parte d.-) La fuerza magnetomotriz del campo está relacionada con la intensidad del campo
magnético como sigue:
La corriente de campo está relacionada con la fuerza magnetomotriz del campo como
sigue:
PROBLEMA # 14: Un generador tiene un entrehierro de 1,25 la longitud del entrehierro del generador
del problema # 11; pero es semejante en todos los otros aspectos incluyendo los
valores nominales de voltaje, potencia y frecuencia. Desprecie la saturación y calcule
la corriente de campo cuando este generador alimenta su carga nominal a un factor de
potencia de 0,80 la corriente atrasada.
Solución: Un rápido análisis de la situación planteada en el problema lleva a la conclusión de
que; a pesar de alimentar la misma carga al mismo nivel de voltaje y frecuencia, la
mtVueltaA
mtVueltaAwb
mtwb
HB
H fampo
fampamp
−=
×−×
==−
97,146342104
839,1
7
2
πμ
efampf gHFmm ×=
VueltaAmtmtVueltaAFmm f −=×
−= 26,65120445,097,146342
fbf
ff
ffff NK
FmmPI
PIN
KbFmm××
××=→=
44
ππ
AVueltas
VueltaANK
FmmPI
fbf
ff 33,62
2107815,0426,65122
4=
××−××
=××
××=
ππ
61
corriente de excitación de campo debe ser mayor en relación con la máquina del
problema # 11.
Esto se desprende de que ahora por el mayor entrehierro se requiere una corriente de
campo mayor para producir la misma fuerza magnetomotriz.
Para el cálculo de la corriente de excitación requerida se parte de:
El generador está entregando su carga nominal a un factor de potencia de 0,80 la
corriente atrasada.
La máquina tiene una reactancia magnetizante dada por:
De acuerdo a los datos comunes con el problema anterior: El entrehierro de la máquina es:
El entrehierro efectivo de la nueva máquina es:
El entrehierro de la máquina viene dado por:
65,150526,20082510800.133000.000.60
3)(
jIAmpV
VAPotenciaI
LLL −==
×=
×=
−
62
108,4 −×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××=
PaNKK
gLD
L fasebp
e
gad
mtpu
mtspuDpu
pupuD gg 9048,0
lg0254,0
lg625,35lg625,352
lg34lg25,37=×==
+=
mtspu
mtpuL 3655,3lg
0254,0lg5,132 =×=
0515,00412,025,125,1 =×=×= gg máquinanueva
0556,00515,008,108,1 =×=×= máquinanuevamáquinanuevae gg
62
El factor de paso, el factor de distribución y el número de vueltas del estator son los
mismos que para el problema # 11. De tal modo que:
La reactancia de dispersión asociada con tal inductancia es:
La reactancia de dispersión es:
El voltaje Eaf generado por la corriente de campo para mantener la carga nominal al
factor de potencia indicado cuando se desprecia la resistencia de la armadura es:
La relación entre el voltaje inducido y el flujo del campo es:
Tal flujo tiene asociado una amplitud de onda de densidad de flujo dado por:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=2
int0515,0 rotordelexteriorDiámetroestatordeleriorDiámetro
00752,01022
24956.0866,00556,0
3655,3966,08,4 62
=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
×××××
= −adL
fasefLXad
Ω=×××== 834,200752,06022 ππ
faseXX adl
Ω=×== 340,0834,212,012,0
IjXrVE daaf ∗++= )(
º47,2789,366.14)65,150526,2008()340,0834,2(66,7967 ∠=−×++= jjEaf
polowbNKKf
aE
fasepp
afF /42,5
24956,0866,06044,489,366.142
44,4=
×××××
=××××
=Φ
rotordelexteriorDiámetroteriorDiámetroEx +××= 0515,02
mtteriorDiámetroEx 966,00254,0340515,02 =×+××=
63
El valor promedio de la densidad de flujo es: La intensidad del campo magnético asociada es:
La fuerza magnetomotriz asociada es: La corriente de campo que produce tal fuerza magnetomotriz es:
PROBLEMA # 15: a.-) Dos generadores sincrónicos A y B tienen idénticos valores nominales de
voltaje, velocidad de la frecuencia y factor de potencia. Todas sus dimensiones
correspondientes son idénticas excepto que la longitud axial efectiva LB de generador
B es 1,20 LA que del generador A. Los embobinados de armadura en las dos
máquinas tienen un paso y factores de anchura idénticos y tienen el mismo valor
nominal de la densidad de corriente. También son idénticas las densidades de flujo en
2/667,1
23655,3966,02
42,52
mtwbPoloporArea
B ffamp =
×××
×=
×
Φ=
πππ
2/06,1667,122 mtwbBB famppromfamp =×==ππ
mtVueltaA
mtVueltaAwb
mtwb
HB
H fampo
fampamp
−=
×−×
==−
21,435.8104
06,1
7
2
πμ
VueltaAFmmgHFmm fefampf −=×=×= 99,4680556,021,435.8
fbf
ff
ffff NK
FmmPI
PIN
KbFmm××
××=→=
44
ππ
AVueltas
VueltaANK
FmmPI
fbf
ff 48,4
2107815,0499,4682
=××
−××=
×
××=
ππ
64
los entrehierros. Si las vueltas por fase, los Kva. nominales y la reactancia sincrónica
en ohmios del generador A son NA, SA y XA ¿Cuáles son las relaciones NB/NA, SB/SA
y XB/XA, donde NB, SB y XB son las cantidades correspondientes para el generador
B?. Considere que la relación de las reactancias de dispersión es la misma que la de
las reactancias magnetizante.¿Cuál es la relación de las reactancias sincrónicas por
unidad?. b.-) Repita la parte a.-) pero para la condición de que todas las dimensiones
L, ge, De y todas aquellas de las ranuras en el generador B son 1,20 veces las del
generador A. c.-) Muestre que en una máquina de rotor cilíndrico con una número
dado de polos y un factor de embobinado dado, si la longitud axial efectiva y el
diámetro medio efectivo del entrehierro se aumentan por un factor k, el entrehierro
efectivo debe aumentarse por un factor k2, si la reactancia magnetizante en por unidad
de una máquina de rotor cilíndrico debe permanecer igual.
Solución: Parte a.-) El enunciado del problema sugiere que los generadores están entregando una carga
determinada, que para los efectos se considera que es la carga nominal de cada uno de
ellos: SA para el generador A y SB para el generador B.
Para el generador A tal condición de funcionamiento se traduce en entregar una
corriente dada por:
Para el generador B:
La densidad de corriente en los devanados de armadura para ambas máquinas es
igual, esto implica que:
LL
AalNoA V
SI
−×=
3min
LL
BalNoB V
SI
−×=
3min
65
Dado que los voltajes nominales son idénticos, la relación entre las potencias de
ambas máquinas queda de la siguiente manera:
Donde:
El problema indica que los generadores son idénticos en todas sus dimensiones
excepto en las longitudes. Si se acepta como correcta la relación anterior hallada; esto
significa que uno de los generadores tenga bobinas con secciones conductoras mayor
que el otro generador; lo que conlleva a que los estatores tengan dimensiones
diferentes, lo cual choca con la condición de similitud de dimensiones impuesta en el
enunciado. La condición impuesta se cumple sí el generador que tiene una mayor
sección transversal en sus conductores tiene un número de vueltas menor por fase.
Para la condición de funcionamiento nominal supuesta; es conveniente aclarar que se
pudo haber escogido una condición de funcionamiento igual para ambas máquinas
por debajo de la nominal.
El flujo promedio por polo para ambas máquinas es como sigue: Para la Máquina A:
B
A
alNoB
alNoA
B
alNoB
A
alNoAalNoBalNoA Sc
ScII
ScI
ScI
JJ =→===min
minminminminmin
B
A
B
A
ScSc
SS
=
menterespectivaByAsgeneradorelosdedevanadoslosdesconductoracioneslassonScySc BA sec:
AfAampfA PoloporAreaB ×=Φπ2
66
Para la Máquina B:
Dado que la densidad de flujo es igual en ambas máquinas la relación entre sus flujos
por polo queda como sigue:
El área por polo de cada máquina es: De modo que: Cada flujo produce un flujo concatenado con sus devanados respectivos, el cual viene
dado por la siguiente ecuación:
Dado que los factores de paso y de anchura de ambos devanados son los mismos y
además existe igual número de circuitos, la relación entre los flujos concatenados de
ambas máquinas es como sigue:
De lo anterior se desprende que la relación entre los voltajes generados por ambas máquinas es:
BfBampfB PoloporAreaB ×=Φπ2
B
A
fB
fA
PoloporAreapoloporArea
=Φ
Φ
AfA
Aaf aNKbKp
Φ××
=λ BfB
Baf aNKbKp
Φ××
=λ
B
A
BfB
AfA
Baf
Aaf
NN
NN
×=
Φ×
Φ×=
20,1λλ
PDL
PoloporArea AA
π=
PDL
PoloporArea BB
π=
20,11
===Φ
Φ
B
A
B
A
fB
fA
LL
PDLP
DL
π
π
AafAaf fE λ××= 44,4 BafBaf fE λ××= 44,4
67
La reactancia magnetizante de la máquina A es:
Para la máquina B:
La relación entre las reactancias magnetizantes de ambas máquinas es:
La relación entre las reactancias de dispersión de ambas máquinas es igual a la de las
reactancias magnetizantes:
La reactancia sincrónica de la máquina A es:
La reactancia sincrónica de la máquina B es:
3108 6
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××= − mcon
PaNKK
gLDmf
X Abp
e
AgAad
3108 6
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××= − mcon
PaNKK
gLDmf
X Bbp
e
BgBad
2
2
BB
AA
Bad
Aad
NLNL
XX
××
= 2
2
2
2
20,120,1 B
A
BA
AA
Bad
Aad
NN
NLNL
XX
×=
××
=
2
2
20,1 B
A
Bl
Al
NN
XX
×=
( )BlBadB
A
B
BlA
B
BadAAlAadA XX
NN
NXN
NXN
XXX +×
=×
×+
×
×=+= 2
2
2
2
2
2
20,120,120,1
2
2
2
2 20,120,1
A
BlB
A
BadBBlBadB N
XNN
XNXXX
××+
××=+=
( )AlAadA
BBlBadB XX
NNXXX +
×=+= 2
220,1
B
A
Baf
Aaf
Baf
Aaf
NN
ff
EE
×=
××
××=
20,144,444,4
λλ
68
Dada la diferencia entre las longitudes de los conductores de bobinas de ambas
máquinas; además de la diferencia entre las secciones transversales, existe una
diferencia entre las resistencias de ambas máquinas como se indica:
Del enunciado del problema se conoce que la longitud del conductor de la máquina B
es 1,20 mayor por vuelta que el de la máquina A. La longitud total del conductor de la
máquina B es:
Esto conlleva a que la resistencia por fase de la máquina B sea:
La relación entre las resistencias por fase de ambas máquinas es:
El voltaje terminal de cada máquina es:
A
AacondAa Sc
Lr ρ=
B
BacondBa Sc
Lr ρ=
BmáquinaladebfaseladeconductordelLongitudL
AmáquinaladeafaseladeconductordelLongitudLDonde
Bcond
Acond
"":
""::
AacondA
BBacond L
NNL ××= 20,1
B
AacondA
B
Ba Sc
LNN
r×
=20,1
ρ
AB
BA
B
AacondA
B
A
Aacond
Ba
Aa
ScNScN
Sc
LNNSc
L
rr
×××
=×
×
×=
20,120,1ρ
ρ
AAAAaAafA IjXIrEV ×−×−=
69
Dado que las máquinas tienen voltajes terminales iguales según el enunciado del
problema; es decir:
Lo anterior ocurre sí:
Nótese que la sección de conducción de los conductores de la máquina B es mayor
que la de la máquina A tal como se había deducido cualitativamente, y que el número
de vueltas por fase de la máquina B es menor que el de la máquina A.
A partir de las relaciones anteriores, se tiene: La relación entre las potencias de las máquinas es:
La relación entre el número de vueltas ya es conocida:
La relación entre las reactancias magnetizantes es:
BBBBaBafB IjXIrEV ×−×−=
AA
BA
A
BA
A
BAa
BA
ABAaf
A
BB I
ScScX
NNjI
ScScr
ScNScNE
NNV ×
×−×
×××
−×
= 2
220,120,120,1
BB VV =
20,11:120,1
==××
××
A
B
A
B
BA
AB
NNquedadocumplesecualLo
ScSc
ScNScN
20,111
20,1=→=
×
A
B
A
B
NN
NN
20,1120,12
2
==××
A
B
A
B
A
B
ScScsicumplesecualLo
ScSc
NN
20,1==A
B
A
B
ScSc
SS
20,111
20,1=→=
×
A
B
A
B
NN
NN
70
Parte b.-) Si ahora las dimensiones L, ge y De del generador B son 1,20 veces las del generador
A; un análisis cualitativo indicaría que la relación entre el número de vueltas no
cambiaría en relación con la parte a.-). La relación entre las potencias tampoco
cambiaría.
Nuevamente la corriente de armadura en cada máquina es:
El flujo promedio por polo para cada máquina es: La relación entre los flujos por polo es:
20,1120,120,1
2
2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×=
×=
A
B
A
B
A
B
NN
NN
XX
LL
AalNoA V
SI−×
=3min
LL
BalNoB V
SI−×
=3min
B
A
alNoB
alNoA
B
alNoB
A
alNoAalNoBalNoA Sc
ScII
ScI
ScI
JJ =→===min
minminminminmin
B
A
B
A
ScSc
SS
=
AfAampfA PoloporAreaB ×=Φπ2
BfBampfB PoloporAreaB ×=Φπ2
B
A
fB
fA
PoloporAreapoloporArea
=Φ
Φ
PLD
PoloporArea AAA
π=
PLDPoloporArea BB
Bπ
=
44,11
20,120,1=
×××===
Φ
Φ
AA
AA
BB
AA
BB
AA
fB
fA
LDLD
LDLD
PLD
PLD
π
π
71
La relación entre los flujos concatenados es: La relación entre los voltajes inducidos es: La reactancia magnetizante de cada máquina es:
La relación entre las reactancias es:
La relación de las reactancias de dispersión de ambas máquinas es igual a la de las
reactancias de reacción de armadura:
La relación entre las reactancias sincrónicas es:
AfA
Aaf aNKbKp
Φ××
=λ BfB
Baf aNKbKp
Φ××
=λ
B
A
BfB
AfA
Baf
Aaf
NN
NN
×=
Φ×
Φ×=
44,1λλ
AafAaf fE λ××= 44,4BafBaf fE λ××= 44,4
B
A
Baf
Aaf
Baf
Aaf
NN
ff
EE
×=
××
××=
44,144,444,4
λλ
3108 6
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××= − mcon
PaNKK
gLDmf
X Abp
eA
AgAAad
3108 6
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××= − mcon
PaNKK
gLDmf
X Abp
eB
BgBBad
2
2
2
2
2
2
20,11
20,120,120,1
B
A
eABAgA
eAAAgA
eABBgB
eBAAgA
Bad
Aad
NN
gNLDgNLD
gNLDgNLD
XX
×=×××××
××××=
×××
×××=
2
2
20,1 B
A
Bl
Al
NN
XX
×=
( )BlBadB
A
B
BlA
B
BadAAlAadA XX
NN
NXN
NXN
XXX +×
=×
×+
×
×=+= 2
2
2
2
2
2
20,120,120,1
72
La relación entre las resistencia por fase de los conductores queda determinada por el
hecho de que ahora el generador B tiene una resistencia 1,44 veces por vuelta mayor
que la del generador A. Este 1,44 es el resultado de multiplicar el 1,20 de aumento
debido a la longitud y el 1,20 de aumento debido al diámetro
Los voltajes terminales de cada máquina son:
Para que los voltajes terminales sean iguales debe cumplirse que:
2
2
2
2 20,120,1
A
BlB
A
BadBBlBadB N
XNN
XNXXX
××+
××=+=
( )AlAadA
BBlBadB XX
NNXXX +
×=+= 2
220,1
2
220,1
A
B
AlAad
BlBad
A
B
NN
XXXX
XX ×
=+
+=
AB
BA
Ba
Aa
ScNScN
rr
×××
=44,1
AAAAaAafA IjXIrEV ×−×−=
BBBBaBafB IjXIrEV ×−×−=
AA
BA
A
BA
A
BAa
BA
ABAaf
A
BB I
ScScX
NNjI
ScScr
ScNScNE
NNV ×
×−×
×××
−×
= 2
220,144,144,1
44,11:1
44,1==×
×××
A
B
A
B
BA
AB
NN
quedadocumplesecualLoScSc
ScNScN
44,11144,1
=→=×
A
B
A
B
NN
NN
728,111
20,12
2
==××
A
B
A
B
A
B
ScSc
sicumplesecualLoScSc
NN
73
Parte c.-) La reactancia de reacción de armadura está dada por:
Si la longitud axial efectiva y el diámetro medio efectivo se aumentan un factor k, la
reactancia de reacción de armadura es:
El valor de la reactancia base es:
El valor por unidad de la reactancia sincrónica sin el factor k de aumento en el
diámetro medio del entrehierro y la longitud axial es:
El valor por unidad de la reactancia de reacción de armadura con el factor k de
aumento en las dimensiones es:
Una relación entre los valores por unidad de las dos reactancias es:
3108 6
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××××××= − mcon
PaNKK
gLDmf
X Abp
e
gad
3108 6
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××××××= − mcon
PaNKK
gkLkDmf
X Abp
e
gad
base
basebase I
VX =
62
108 −×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××××==
PaNKK
gLDmf
VI
XX
X Abp
e
g
base
base
base
adunidadpor
62
108 −×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××××==
PaNKK
gkLkDmf
VI
XX
X Abp
ke
g
base
base
base
adkunidadpor
26
2
62
108
108
kgg
PaNKK
gkLkDmf
PaNKK
gLDmf
XX
e
Ke
fasebp
ke
g
fasebp
e
g
kunidadpor
unidadpor
×=
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××××××
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××××××
=−
−
74
Para que los valores por unidad de ambas reactancias sean iguales debe ocurrir que:
Es decir, el entrehierro de la máquina debe aumentarse en un factor k2. PROBLEMA # 16: Un generador sincrónico de 2 polos, 6.250 Kva., trifásico de 2400 voltios, 60 Hz, con
su armadura conectada en estrella, tiene las siguientes constantes:
La corriente de campo es una corriente directa con un valor constante de 275 amp.
Calcule para σo=0 a velocidad sincrónica: a.-) Los encadenamientos de flujos
expresados como funciones del tiempo para cada fase cuando la corriente de
armadura es cero. b.-) El voltaje generado en cada fase. c.-) El voltaje a través del
embobinado de campo.
Solución: Parte a.-) En este problema es conveniente tratar el generador en términos de las relaciones de
las inductancias para lo cual se usa la representación mostrada en la figura Nº 36.
Los parámetros propios de la armadura son:
eke gkg 2=
Ω=Ω==
===
280,000250,0670,00315,0000809,00176,0
faff
afmabaa
rrhLhLhLhL
anvai + −
bi
bnv+
−ci
cnv−
+fvfi
Figura 36: Representación de un Generador Sincrónico que Facilita las Relaciones de Inductancias
75
Los parámetros propios del rotor son: Los parámetros mutuos entre el rotor y el estator son: Los voltajes de cada fase de la armadura y del devanado de campo a partir de la
figura Nº 36; se expresan como sigue:
El flujo concatenado con la fase “a” se expresa como sigue:
armaduradedevanadodelsistenciara Re:
armaduradedevanadodelpropiaciaInducLaa tan:
""""tan: blayafaselaentremutuaciaInducLab
""""tan: cybfaselaentremutuaciaInducLbc
""""tan: cyafaselaentremutuaciInducLac
campodedevanadodelsistenciarf Re:campodedevanadodelpropiaciaInducL ff tan:
campodedevanadoelyafaselaentremutuaciaInducLaf ""tan:
campodedevanadoelyarmaduraladefases
lasdecualquieraentremutuaciainduclademáximoValorLLL cfmbfmafm tan:==
campodedevanadoelybfaselaentremutuaciaInducLbf ""tan:
campodedevanadoelycfaselaentremutuaciaInducLcf ""tan:
dtdirv a
aaanλ
+−=dt
dirv bbabn
λ+−=
dtdirv c
cacnλ
+−=
dtd
irv ffff
λ+=
fafcacbabaaaa iLiLiLiL −−−−−−= )()()(λ fafcabbabaaaa iLiLiLiL −−−−−−= )()()(λ
fafcbabaaaa iLiiLiL −−−−−= )()(λ fafaabaaa iLiLL −−+= ))((λ
76
El signo negativo de las corrientes de fase indica que las mismas están saliendo de la
máquina
El flujo concatenado con la fase “b” es:
El flujo concatenado con la fase “c” es:
Para la condición de corriente de armadura cero, los flujos concatenados de cada fase
se expresa como sigue:
La inductancia mutua entre el devanado de campo y cada una de las fases del
devanado de armadura es:
De este modo el flujo concatenado con cada fase es:
fbfcbcbbbaabb iLiLiLiL −−−−+−−= )()()(λ fbfcabbbbaabb iLiLiLiL −−−−+−−= )()()(λ
fbfbbbcaabb iLiLiiL −−+−−−= )()(λ fbfbbbabb iLiLL −−+= ))((λ
fcfcccbbcaacc iLiLiLiL −−+−−−−= )()()(λfcfcccbabaabc iLiLiLiL −−+−−−−= )()()(λ
fcfcccbaabc iLiLiiL −−+−−−= )()(λ fcfcabccc iLiLL −−+= ))((λ
fafaafafaabaaa iLiConiLiLL −==−−+= λλ 0))((
fbfbbfbfbabbbb iLiConiLiLL −==−−+= λλ 0))((
fcfccfcfcabccc iLiConiLiLL −==−−+= λλ 0))((
( )σCosLL afmaf = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
32πσCosLL bfmbf ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
34πσCosLL cfmcf
( ) ( ) ( )σσσλ CosCosiCosLiL fafmfafa 66,82750315,0 −=××−=×−=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −×−=×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−=
3266,8275
320315,0
32 πσπσπσλ CosCosiCosLiL fafmfbfb
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −×−=×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−=
3466,8275
340315,0
34 πσπσπσλ CosCosiCosLiL fafmfcfc
77
A partir de lo anterior con σo los encadenamientos de flujo de cada fase se expresan
como sigue:
Parte b.-) Dado que la corriente de armadura es cero, el voltaje generado en cada fase es igual al
voltaje terminal:
Parte c.-) El voltaje a través del devanado de campo es:
El encadenamiento de flujo con el devanado de campo viene dado por:
hLLLCon cfmbfmafm 0315,0===
owtcomoresarsepuedequeangularciadisunaEs σσσ +=:exptan:
segradenrotacióndeangularVelocidadw /:
σσ deinicialValoro :
( )wtCosa 66,8−=λ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
3266,8 πλ wtCosb ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
3466,8 πλ wtCosc
( ) ( )wtCoswdt
wtCosddt
dviCon
dtd
irv aana
aaaan ×=
−===+−= 66,866,8(0
λλ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
===+−=3
266,83266,8(
0 ππ
λλwtCosw
dt
wtCosd
dtd
viCondt
dirv b
bnbb
babn
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
===+−=3
466,83466,8(
0 ππ
λλwtCosw
dt
wtCosd
dtd
viCondt
dirv c
cncc
cacn
dtd
irv ffff
λ+=
( )dt
iLdir
iiiSiiLiLiLiL
ffffff
cbafffcfcbbfaaff
+×=
===+−−−−−−=
λ
λ 0;)()()(
78
Dado que y que
PROBLEMA # 17: El rotor del generador del problema # 16, es impulsado a velocidad sincrónica con el
circuito de campo abierto. Corrientes de secuencia de fase positiva balanceada; es
decir:
Se aplican a la armadura con la corriente de la fase “a”:
Desprecie la resistencia del embobinado de armadura y calcule: a.-) El
encadenamiento de flujo con la fase “a” expresado como una función del tiempo. b.-)
El encadenamiento de flujo con el devanado de campo expresado en función del
tiempo. c.-) El valor rms del voltaje aplicado a la armadura expresado en voltios por
fase y en voltios línea a línea.
Solución: Parte a.-) La información dada acerca de que se aplican corrientes de secuencia de fase positiva
en la armadura de la máquina se entiende como si la máquina está trabajando como
motor.
Por la información dada acerca de las corrientes de secuencia de fase positiva, se
tiene que:
voltiosirv fff 7727528,0 =×==
teconsLff tan= teconsif tan=
º240º120 ∠=∠== IIIIII cba
( )º7,582121 −+= oa wtSeni σ
fafcacbabaaaa iLiLiLiL −−−= )()()(λ
( )º7,582121 −+= oa wtSeni σ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+=
32º7,582121 πσ ob wtSeni
79
Dado que el circuito de campo está abierto, la corriente de excitación es cero. El encadenamiento de flujo con la fase es por tanto:
Parte b.-)
El encadenamiento de flujo
Parte c.-) El valor rms de voltaje aplicado a la armadura en voltios por fase es:
El enunciado del problema indica que se puede despreciar la resistencia de armadura;
de hecho el valor dado es bastante pequeño y la caída de tensión que ocurre en la
misma es pequeña. De este modo:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+=
34º7,582121 πσ oc wtSeni
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−××
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−××−−−××=
34º7,582121000809,0
32º7,582121000809,0º7,58212100276,0
πσ
πσσλ
o
ooa
wtSen
wtSenwtSen
ccfbbfaaffffffcfcbbfaaff iLiLiLiSiiLiLiLiL −−==+−−−= λλ 0;
( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−××⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++×
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−××⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++×
−−−××+×=
32º7,582121
320315,0
32º7,582121
320315,0
º7,5821210315,0
πσπσ
πσπσ
σσλ
oo
oo
oof
wtSenwtCos
wtSenwtCosi
wtSenwtCos
dtd
irv aaaan
λ+=
( ) ( )( )dt
iiLiLddt
iLiLiLddt
dv cbabaaacacbabaaaa
an+−
=−−
==λ
( )dtdi
LLdtdiL
dtdiL
v aabaa
aabaaaan +=+=
80
El voltaje en los terminales línea a línea es:
PROBLEMA # 18: 1.-) Repita el problema # 17, pero para el rotor parado y despreciando las corrientes
parásitas en el hierro del rotor así como la resistencia en la armadura. 2.-) Calcule el
voltaje inducido en el devanado de campo con el rotor parado
Solución: Parte 1.a.-) El encadenamiento de flujo con la fase “a” cuando el rotor está parado es el mismo
que en el caso del problema # 17; ya que sí el rotor está parado y además el circuito
de campo está abierto no existe ningún acoplamiento con respecto a la fase armadura
que se deba al campo. Se tiene:
Parte 1.b.-) El encadenamiento de flujo con el campo debido a que el rotor está parado no varía
con la posición relativa del rotor respecto a las fases del estator. Si se toma en cuenta
el resultado del Problema # 17; el cual se presenta nuevamente:
( ) ( )º7,582121002569,0 −+×××= oan wtCoswv σ
( )º7,5844,5 −+××= oan wtSenwv σ
( )º7,5844,53 −+×××=− oLL wtSenwv σ
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−××
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−××−−−××=
34º7,582121000809,0
32º7,582121000809,0º7,58212100276,0
πσ
πσσλ
o
ooa
wtSen
wtSenwtSen
81
Asumiendo que σ0 el encadenamiento con el devanado de campo queda como sigue:
Parte 1.c.-) Tal como se indicó en la parte 1.a); el flujo concatenado con la armadura no cambia
en relación con el caso de funcionamiento descrito en el problema # 17. Esto significa
que el voltaje en la fase a es el mismo que en el caso anterior:
Parte 2: El voltaje inducido en el devanado de campo con el rotor parado, se determina a
partir de la derivada del flujo concatenado con el devanado de campo: Esto es:
Dado que el devanado de campo está abierto, la caída en la resistencia de este
devanado es cero. Queda:
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−××
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−××−−−××=
32º7,5821210315,0
32º7,5821210315,0º7,5821210315,0
πσ
πσσλ
o
oof
wtSen
wtSenwtSen
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−−−××=
34º7,58
32º7,58º7,5821210315,0 πσπσσλ ooof wtSenwtSenwtSen
( )º7,5844,5 −+××= oan wtSenwv σ
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−−−××=
34º7,58
32º7,58º7,5821210315,0 πσπσσλ ooof wtSenwtSenwtSen
dtd
irv ffff
λ+=
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−−−×××=
34º7,58
32º7,58º7,5821210315,0 πσπσσ ooof wtCoswtCoswtCoswv
( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−××⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++×
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−××⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++×
−−−××+×=
32º7,582121
320315,0
32º7,582121
320315,0
º7,5821210315,0
πσπσ
πσπσ
σσλ
oo
oo
oof
wtSenwtCos
wtSenwtCos
wtSenwtCos
82
PROBLEMA # 19: El generador del problema # 16, conduce una corriente de campo constante de 275
amp y corrientes de secuencia de positiva con la corriente en la fase “a”:
La máquina se impulsa a velocidad sincrónica. Para σ0 = 0 determine como
funciones del tiempo: a.-) El encadenamiento de flujo con cada fase del devanado de
la armadura. b.-) El encadenamiento de flujo con el devanado de campo. c.-) El
voltaje aplicado al devanado de campo. d.-) El voltaje en terminales instantáneos de
cada fase de la armadura despreciando la resistencia de la armadura. e.-) El par
electromagnético.
Solución: Parte a.-) El encadenamiento de flujo con la fase “a” de la armadura viene dado por:
De acuerdo al problema # 16, se tiene:
El flujo concatenado con la fase “a” queda:
Para σo = 0:
( )º7,582121 −+= oa wtSeni σ
fafcacbabaaaa iLiLiLiL −−−−−−= )()()(λ fafcabbabaaaa iLiLiLiL −−−−−−= )()()(λ
fafcbabaaaa iLiiLiL −−−−−= )()(λ fafaabaaa iLiLL −−+= ))((λ
Ω=Ω==
===
280,000250,0670,00315,0000809,00176,0
faff
afmabaa
rrhLhLhLhL
( ) ( )[ ] ( ) 2750315,0º7,582121000809,00176,0 00 ×−−−−−+= σσλ wtCoswtSena
( ) ( )wtCoswtSena 66,8º7,58045,39 −−×−=λ
83
El encadenamiento de flujo con la fase “b” viene dado por:
Con los valores dados de las inductancias, el flujo concatenado con la fase “b”
queda:
Para σo = 0:
El encadenamiento de flujo con la fase “c” viene dado por:
Con los valores dados de las inductancias el flujo concatenado con la fase “c” queda:
Para σo = 0:
Parte b.-) El encadenamiento de flujo con el devanado de campo viene dado por:
fbfcbcbbbaabb iLiLiLiL −−−−+−−= )()()(λ fbfcabbbbaabb iLiLiLiL −−−−+−−= )()()(λ
fbfbbbcaabb iLiLiiL −−+−−−= )()(λ fbfbbbabb iLiLL −−+= ))((λ
( ) 2753
20315,03
2º7,5821210176,0000809,0 00 ×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−+=
πσπσλ wtCoswtSenb
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×−=
3266,8
32º7,58045,39 ππλ wtCoswtSenb
fcfcccbbcaacc iLiLiLiL −−+−−−−= )()()(λfcfcccbabaabc iLiLiLiL −−+−−−−= )()()(λ
fcfcccbaabc iLiLiiL −−+−−−= )()(λ fcfcabccc iLiLL −−+= ))((λ
( ) 2753
40315,03
4º7,5821210176,0000809,0 00 ×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−−+=
πσπσλ wtCoswtSenc
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×−=
3466,8
34º7,58045,39 ππλ wtCoswtSenc
fffcfcbbfaaff iLiLiLiL +−−−−−−= )()()(λ
84
Con los valores de inductancia dados:
Para σo = 0:
Parte c.-) El voltaje aplicado al devanado de campo viene dado por:
La diferenciación del flujo concatenado con respecto al tiempo es:
De este modo el voltaje en el devanado de campo es:
( ) ( )
275670,03
2º7,5821213
20315,0
32º7,582121
320315,0
º7,5821210315,0
×+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−×−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++×−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−×−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++×−
−−×−×+×−=
πσπσ
πσπσ
σσλ
oo
oo
oof
wtSenwtCos
wtSenwtCos
wtSenwtCos
( ) ( )
25,1843
2º7,583
281,66
32º7,58
3281,66º7,5881,66
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +×+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +×+−××=
ππ
ππλ
wtSenwtCos
wtSenwtCoswtSenwtCosf
dtd
irv ffff
λ+=
( ) ( )
25,1843
4º7,583
4....
...3
2º7,583
2º7,5881,66
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−××=
ππ
ππλ
wtSenwtCos
wtSenwtCoswtSenwtCosf
( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−××−=
34º7,58
34....
...3
2º7,583
2º7,5881,66 2
ππ
ππλ
wtCoswtSen
wtCoswtSenwtCoswtSenwdt
d f
85
Parte d.-) El voltaje en terminales instantáneo de la fase “a” despreciando la resistencia de la
armadura, viene dado por:
Recordando que sí la frecuencia es 60 Hz., la velocidad angular de rotación es:
El voltaje de la fase “b” es:
El voltaje de la fase “c” es:
( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−××−×=
34º7,58
34....
...3
2º7,583
2º7,5881,66275280,0 2
ππ
ππ
wtCoswtSen
wtCoswtSenwtCoswtSenwv f
( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−××−=
34º7,58
34....
...3
2º7,583
2º7,5881,6677 2
ππ
ππ
wtCoswtSen
wtCoswtSenwtCoswtSenwvf
( )( )[ ] ( ) ( )[ ]dt
wtCoswtSenddt
iLiLLddt
dv fafaabaaa
an×−−×−
=−−+
==66,8º7,58045,39λ
( ) ( )[ ]wtCoswtSenwvan ×+−×−= 66,8º7,58045,39
( )( )[ ]dt
wtCoswtSend
dtiLiLLd
dtd
v fbfbbbabbb
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×−
=−−+
==3
266,83
2º7,58045,39 ππλ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×−=
3266,8
32º7,58045,39 ππ wtCoswtSenwvb
( )( )[ ]dt
wtCoswtSend
dtiLiLLd
dtdv fcfcccabc
c
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×−
=−−+
==3
466,83
4º7,58045,39 ππλ
segradw /377602 =××= π
86
Parte e.-) De acuerdo al principio de conversión de energía electromecánica el par
electromagnético desarrollado en una máquina eléctrica es igual al cambio que
experimenta la energía almacenada con el desplazamiento angular que experimenta el
rotor cuando las corrientes son constantes:
Donde:
La energía almacenada en el campo magnético de una máquina trifásica de rotor
cilíndrico es:
Dado que la inductancia propia de cada fase de la armadura Laa, la inductancia entre
fases de la armadura Lab y la inductancia propia del campo Lff son constantes; la
variación de la energía magnética almacenada respecto a la variación de la posición
angular queda:
Tomando en cuenta la relación que existe entre la variación angular expresada en
grados eléctricos y la variación angular expresada en grados mecánicos; el par
electromagnético viene dado por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×−=
3466,8
34º7,58045,39 ππ wtCoswtSenwvc
m
WT
σ∂∂
= Φ
( ) ( ) ( )[ ]2222 2221
fffccfbbfaaffaccbbaabcbaaa iLiLiLiLiiiiiiiLiiiLW +++++++++=Φ
rotordelmecánicaangularVariaciónm :σ∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
∂∂
= Φ
m
cfc
m
bfb
m
afaf
m ddL
iddL
iddL
iiW
Tσσσσ
( )[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=m
afm
cm
afm
bm
afmaf d
CosLdi
d
CosLdi
dCosLd
iPiTσ
πσ
σ
πσ
σσ 3
43
2
2
87
Para el caso de estudio las corrientes son balanceadas, de modo que se puede expresar
el par electromagnético como sigue:
Aplicando la identidad trigonométrica:
Tomando en cuenta que:
El par electromagnético queda:
A raíz del resultado anterior se observa que el par electromagnético es constante
cuando es constante la corriente de excitación y las corrientes polifásicas de la
armadura son balanceadas. Cuando las corrientes de la armadura no son balanceadas
el par no es constante.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −×+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −×+×=
34
32
2πσπσσ SeniSeniSeniPLiT cbaafmf
( )
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−×+−×
=
34
34º7,582121
32
32º7,582121º7,582121
2 πσπσ
πσπσσσ
SenSen
SenSenSenSenPLiT afmf
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−=
34
34º7,58
32
32º7,58º7,582121
2πσπσπσπσσσ SenSenSenSenSenSenPLiT afmf
( ) ( )[ ]yxCosyxCosySenxSen ++−=21)()(
( )[ ] ( ) ( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−+−+−
=
387,582º7,58
21
34º7,582º7,58
21º7,582º7,58
21
21212 πσ
πσσ
CosCos
CosCosCosCosPLiT afmf
( ) ( )º7,58232121
220315,0275º7,58
232121
2−××××=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −= CosCosPLiT afmf
( ) 03
8º7,5823
4º7,582º7,58221
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−
πσπσσ CosCosCos
mtNT −= 74,27559
88
PROBLEMA # 20: a.-) Muestre el diagrama de fasores para el generador del problema # 16 y para las
condiciones de carga del problema # 19. Incluya la fuerza electromotriz inducida en
la armadura Eaf debida a la corriente de campo solamente y EA inducida en la
armadura por la corriente de armadura propia, si Xad = 0,85Xd. b.-) Cuál es el valor de
voltaje en terminales? c.-) Muestre un diagrama del circuito equivalente con una
fuente de corriente y calcule la corriente de armadura equivalente.
Solución: El voltaje inducido en la fase “a” de la armadura Eaf debido solamente a la corriente
de campo, se determina tomando en cuenta solo el flujo concatenado con esta fase
debido a la corriente de campo. Del resultado obtenido en el problema anterior:
Tal como lo expresa el enunciado del problema, si se toma en cuenta solo el flujo
concatenado debido a la corriente del campo, se tiene:
Con esto el voltaje inducido en la fase “a” debido sólo a la corriente del campo es:
El valor eficaz del voltaje inducido en la fase “a” debido sólo a la corriente de campo es:
La reactancia magnetizante Xd no es un valor dado de manera directa en alguno de los
problemas a los cuales se hace referencia. Sin embargo, del problema # 16 se conoce
el valor de la inductancia propia de cada fase Laa así como la inductancia mutua entre
fases Lab. A partir de estos valores se puede hallar la reactancia magnetizante Xd
aplicando:
( ) ( )wtCoswtSena 66,8º7,58045,39 −−×−=λ
( )wtCosa 66,8−=λ
( )[ ] ( )wtSendt
wtCosddt
dE a
af ×=×−
== 82,326466,8λ
57,23082
82,3284==afE
89
De tal manera que para la condición de carga manifestada en el problema # 19 se
tiene:
Se indica en el problema que la reactancia magnetizante Xad y la reactancia sincrónica
Xd es:
Conocida la reactancia magnetizante se determina el voltaje inducido por el flujo
producido por la propia corriente de armadura; el cual viene dado por:
El voltaje en terminales de la máquina; una vez conocido el voltaje inducido en cada
fase debido a la corriente de excitación y la caída debido al efecto desmagnetizante de
la corriente de armadura, además despreciando la resistencia de la armadura y en base
al el circuito equivalente mostrado en la figura Nº 37:
faseLLwX abaad
Ω=+=+= 968,0)000809,000176,0(377)(
º3,3178,145164,1385º7,582
2121968,03
2400∠+=−∠×+=×+= jIjXVE daf
º02,1628,273222,75412,2626 ∠=+= jEaf
fasefaseXX dad
Ω=
Ω×=×= 822,0968,085,085,0
º3,311234º7,582
2121º90822,0 ∠=−∠×∠=×=→= IjXEI
EX adAA
ad
afE
I ljXadjX
V
+
-
agE
-
+
Figura Nº 37: Circuito Equivalente de un Generador Sincrónico
90
Se construye el diagrama fasorial mostrado en la figura Nº 38. PROBLEMA # 21: Los siguientes datos se aplican a un generador de polos no salientes: Kva 13,259 Bobinas del Rotor 8 Voltios 13.800 Vueltas por Bobina del Rotor 36 Hz. 60 Ranuras del Estator 42 Fases 3 Bobinas del Estator 42 Conexión 2
circuitos Vueltas por Bobina del Estator 5
Velocidad 3600 Resistencia del Campo 0,38 Ω Ranuras del Rotor 16 Paso de las Ranuras de las Bobinas del
Estator 17
Resistencia de la Armadura por Fase 0,072 Ω Las ranuras del rotor cubren un ángulo de 125,2º por polo La característica de circuito abierto de la máquina tiene los siguientes datos:
º22,3517,1307
º7,582
2121968,057,2308
−∠=
−∠×−=
×−=
×+=
V
jV
IjXEV
IjXVE
daf
daf
afλ
aλ
º3,311234∠=AE
agλ
º057,2308 ∠=afE
iθ
22,3517,1307 −∠=Vº7,581500 −∠=I
º3,3196,218 ∠=gE
Figura Nº 38: Diagrama Fasorial del Problema Nº 20
91
Corriente de Campo en Amperios Voltaje de Armadura Línea a Línea; voltios 40 4180 80 8350 120 11900 160 14270 200 15900 280 17820 380 18850
La característica de corto circuito tiene los siguientes datos:
Corriente de Campo en Amperios Corriente de Armadura en Amperios 186 566
a.-) Calcule la reactancia sincrónica no saturada en ohmios y en por unidad. b.-)
Calcule los valores no saturados de Lafm, Lff y LaaM. c.-) Calcule la reactancia
sincrónica de reacción de armadura Xad en ohmios y en por unidad. d.-) En base de
los datos de corto circuito y el valor de Xad en la parte “c” calcule la reactancia de
dispersión Xl en ohmios y en por unidad.
Solución: Parte a.-)
Se debe determinar la reactancia sincrónica no saturada a partir de los resultados de
las pruebas de circuito abierto y corto circuito de la máquina. Lo anterior se
fundamenta en el hecho de que la impedancia constante; el cual es el caso de la
reactancia sincrónica no saturada, de una fuente de voltaje constante se puede obtener
dividiendo el voltaje terminal de circuito abierto entre la corriente de corto circuito.
Los circuitos equivalentes de una fase de una máquina sincrónica bajo prueba de
circuito abierto y corto circuito son los que se indican en la figura Nº 39 y Nº 40
respectivamente:
La impedancia sincrónica no saturada a partir de estas pruebas se obtiene:
fasedu CircuitoCortodeCorrienteAbiertoCircuitodeVoltajeZ Ω=
92
De los datos dados se construyen las curvas características vacío y de corto circuito mostradas en la figura Nº 41: La impedancia sincrónica no saturada a partir de las curvas anteriores se obtiene
ubicando en el eje del voltaje generado en la armadura el valor nominal de voltaje
(13.800 voltios) y proyectarlo hasta la recta de entrehierro; donde se lee una corriente
de excitación de aproximadamente 132 amperios. Tal corriente de excitación
produce; bajo la prueba de corto circuito, una corriente de 402 amperios en el circuito
de armadura.
Tomando en cuenta el valor de la resistencia de cada fase de la armadura, la
reactancia sincrónica no saturada viene dada por:
Para calcular el valor de la reactancia sincrónica no saturada por unidad, se obtiene la
impedancia base a partir de los valores nominales de la máquina, los cuales se toman
como valores base:
ar
+
-
ljXadjX
ocaf EE =
arljXadjX
scI
Figura Nº 39: Generador Sincrónico en Circuito Abierto
Figura Nº 40: Generador Sincrónico en Corto Circuito
faseduZ Ω=×
= 82,194023
13800
afE
afE
faseadudu rZX Ω=−=−= 81,19072,082,19 2222
93
El valor por unidad de la reactancia sincrónica no saturada es: En esta parte se puede demostrar el hecho de que el valor por unidad de la reactancia
sincrónica no saturada es igual al valor por unidad del voltaje generado sobre la línea
de entrehierro; el cual corresponde al valor por unidad que se obtiene para la misma
fasebase
base
base
base
base
base
basebase Kva
Kv
KvKva
KvI
KvZ Ω==
××
=×
= 36,14
333
2
37,136,1481,19
)/()/(
==ΩΩ
=faseXfaseX
Xbase
realunidadpor
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
40 80 120 160 200 240 280 320 360
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp)
Figura Nº 41: Curva de Vacío y Recta de Entrehierro Problema Nº 21.
100
200
300
400
500
600
Corriente de Armadura (amp)
Recta de Corto Circuito
132
402
153
554
180
94
corriente de campo en por unidad que produce que la corriente de armadura sea 1 por
unidad.
El valor de la corriente nominal de armadura es: Tal valor de corriente; que corresponde a 1 por unidad, en la prueba de corto circuito
es producido por una corriente de campo de 182,29 amperios; los cuales generarán un
voltaje sobre la línea de entrehierro de 18773,81 voltios. El valor por unidad de este
voltaje es:
Nótese que este valor por unidad del voltaje sobre la línea de entrehierro es igual al
valor por unidad de la reactancia sincrónica no saturada.
Parte b.-) El enunciado del problema no suministra información acerca del flujo de dispersión
de la máquina. En este caso, en base a una regla analítica; ya aceptada de manera
general, que la dirección del flujo de dispersión que produce la reactancia de
dispersión respecto al flujo de reacción de reacción de armadura que produce la
reactancia correspondiente, tienen un rango de coincidencia de aproximadamente
0,09 a 0,20 para máquinas de rotor cilíndrico. Para este caso en particular se asume
que la reactancia de dispersión es 0,12 la reactancia de reacción de armadura.
De este modo la reactancia sincrónica no saturada se expresa como:
ampsKv
KvaI alno 73,5548,133
132593min =
×=
×=
37,113800
81,18773)()(
===voltiosVvoltiosV
Vbase
realunidadpor
faseadadadladdu XXXXXX Ω==+=+= 569,192,112,0
faseX fase
adΩ
==Ω
307,162,1
569,19
95
La reactancia de reacción de armadura no saturada viene dada por la ecuación:
Ahora; la información dada para resolver el problema no dice nada acerca de las
dimensiones físicas de la máquina; sin embargo se puede trabajar con la ecuación
anterior para determinar de manera conjunta un valor que sea representativo de las
dimensiones de la máquina. Esto es:
De la información dada, siendo la máquina de 2 polos, el número de ranuras por polo
es 42/2 = 21; lo cual conlleva a que el paso de bobina en el estator expresado como
fracción del paso polar en ranuras es 17/21. De tal manera que el factor de paso es:
También de la información dada, se tiene que el ángulo que abarca una ranura del
estator es 8,57º. Siendo el número de ranuras por fase por polo n = 7; se tiene que el
ángulo ocupado por una fase entre par de polos es 8,57º x 7 = 60º. De este modo el
factor de distribución del devanado del estator es:
Siendo el número de vueltas por fase en el estator 5; se tiene que:
La inductancia propia del devanado de campo, no tomando en cuenta el flujo de
dispersión el cual se considera pequeño comparado con el flujo radial en máquinas de
rotor cilíndrico; viene dado por:
3307,16108 6
20 =
Ω=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××××= − mcon
fasePaNKK
gLDmf
X Abp
e
gad
μ
( ) 620
2
108)(
−×××××××
××=
×
Abp
ad
e
g
NKKmfaPX
gLD
μ
955,0221
172
===ππ SenpSenKp
955,0
2º57,87
2º60
2
2 =×
=×
=Sen
Sen
Senn
SenKb
γ
β
( )
( )61,693
376,08,260
5955,0955,01043608
2230,16
27
2
==××
×−××××
××Ω
=×
−
mtVAwb
faseg
LD
e
g
π
96
De acuerdo a la información con que se cuenta para la solución del problema, el
factor de distribución del campo viene dado por:
La inductancia propia de cada fase de la armadura está dada por:
Dado que el desplazamiento angular entre los ejes magnéticos de cada una de las
fases y del campo es el factor que determina la inductancia la inductancia mutua entre
cada fase de la armadura y el campo; y dado que el valor máximo de tal inductancia
se consigue cuando los ejes están alineados entre si; el valor máximo de la
inductancia de acoplamiento tomando en cuenta que estamos despreciando el flujo de
dispersión lo cual da un factor de acoplamiento unitario es:
El valor máximo de la inductancia mutua entre la fase “a” y el devanado de campo
LafM es:
62
62
102,3102,3 −− ×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×=
PNK
gLD
PNK
gLD
L campobf
e
gcampobf
e
gff
931,0
2º65,158
2º2,125
2
2 =×
=×
=Sen
Sen
Senn
SenK
ff
f
bf γ
β
HenriosL ff 92,398102
368931,061,6932,3 62
=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ××
×= −
62
62
102,3102,3 −− ×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×××=×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
××=
aPNKK
gLD
aPNKK
gLD
L fasebp
e
gfasebp
e
gaa
HenriosLaa 86,501022
425955,0955,031,6932,3 62
=×⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
××××
×= −
HenriosLLLLKL aaffaaffafM ××=××= 00,1
( )Henrios
Pga
NKKNKLD
Le
fasebpcampobfg
afM8
2 1014,8
−××
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×××××
=
97
Parte c.-) Aunque ya el cálculo de la reactancia de reacción de armadura fue realizado en la
parte anterior como paso previo al cálculo de las reactancias propias del campo y de
cada fase de la armadura; así como el valor máximo de la inductancia mutua entre el
campo y cada una de las fases de la armadura; en esta parte se presenta el resultado de
manera formal como lo exige el problema planteado.
Debido a que el flujo de dispersión y el flujo de reacción de armadura están ambos en
fase con la corriente en cada fase del embobinado; se puede decir que la reactancia
sincrónica no saturada está dada por:
Tomando en cuenta el aspecto analítico en cuanto al comportamiento del flujo de
dispersión en máquinas de rotor cilíndrico; el cual indica que el flujo de dispersión
varia entre 0,09 y 0,20 del flujo de reacción de armadura y tomando el valor típico de
0,12:
El valor por unidad de la reactancia magnetizante se obtiene dividiendo su valor real
entre el valor base:
( )Henrios
Pa
NKKNK
gLD
L
fasebpcampobf
e
gafM
82 1014,8 −×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××××
×=
( )HenriosLafM 24,710
22425955,0955,0368931,0
31,69314,8 82 =×
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ×
××××××= −
laddu XXX +=
faseX fase
adΩ
==Ω
307,162,1
569,19
faseadadadladdu XXXXXX Ω==+=+= 569,192,112,0
135,136,14
307,16)/()/(
==Ω
Ω=
faseXfaseX
Xbase
realadunidadporad
98
Parte d.-) Como ya se indicó, la reactancia de dispersión se considera como 0,12 Xad. Por lo
tanto el valor en ohmios de la reactancia de dispersión es:
El valor por unidad de la reactancia de dispersión es: PROBLEMA # 22: a.-) Calcule la reacción de corto circuito RCC para el generador del problema # 21.
b.-) Considere que la reactancia de dispersión permanece sin afectarse por los
cambios en el entrehierro y calcule la reacción de corto circuito si la longitud del
entrehierro se incremente en 25 %.
Solución: Parte a.-) La relación de corto circuito (RCC) de una máquina sincrónica es una medida de su
tamaño físico. Se define como el cociente entre la corriente de campo que se requiere
para producir voltaje nominal de cero carga cuando la máquina gira a velocidad
nominal, entre la corriente de campo que se requiere para producir corriente nominal
de la armadura cuando la máquina se encuentra en corto circuito.
Trabajando en base a las curvas de vacío y de corto circuito del problema # 21, se
observa que la corriente de campo que se requiere para producir el voltaje nominal
sobre la curva de vacío es 153 amperios, mientras la corriente que se requiere para
producir corriente nominal de corto circuito en la armadura es 180 amperios; siendo
la corriente nominal de la armadura 554 amperios. De este modo; la relación de corto
circuito es:
faseadl XX Ω=×== 956,1307,1612,012,0
136,036,14
956,1)/()/(
==Ω
Ω=
faseXfaseX
Xbase
reallunidadporl
85,0180153
==ampsampsRCC
99
Parte b.-) ¿Qué sucede en la máquina bajo estudio cuando se incrementa la longitud efectiva del
entrehierro en 25 %?
Considerando despreciable la reluctancia del hierro y asumiendo que las dimensiones
del hierro del estator así como el devanado de armadura permanecen iguales; resulta
lógico pensar que la corriente de campo necesaria para dar un voltaje de cero carga en
la curva de vacío debe aumentar en 25 %.
Lo anterior se puede apreciar mejor con base en las ecuaciones por medio de las
cuales se obtiene el flujo o la densidad de flujo necesario en el entrehierro de la
máquina para producir el voltaje nominal de cero carga.
La amplitud de la intensidad del campo magnético necesario para producir voltaje
nominal de cero carga es:
Tomando en cuenta el aspecto distribuido del devanado del campo por medio del
factor de distribución, la forma de onda de la FmmF tiene la forma indicada en la
figura Nº 42.
Una descomposición de la forma de onda anterior aplicando la serie de Fourier resulta
en la siguiente ecuación:
e
Ffamp g
FmmH =
fFmm
θ
Eje Fase “a”
Figura Nº 42: Forma General de la Onda de Fmmf del Rotor
[ ]θθθπθ nSenSenSenPIN
KbFmm nff
ff1
314
)( ...3 +++=
100
La amplitud de la onda es:
Recordando que la densidad del campo magnético necesaria en el entrehierro para
producir el voltaje de cero carga y la intensidad del campo magnético están
relacionadas por medio de la siguiente ecuación:
Se puede apreciar que si se aumenta la longitud efectiva del entrehierro en 25 %;
dado que el resto de los parámetros que forman la ecuación son constantes, es
necesario que la corriente de excitación aumente también en 25 % para que la
densidad de flujo permanezca constante y se pueda conseguir el mismo voltaje
generado en condición de cero carga.
Dado que la reactancia de reacción de armadura viene dada por la siguiente ecuación:
Un aumento del 25 % en el entrehierro efectivo produce el siguiente cambio en la
reactancia magnetizante:
De modo que:
De tal modo que un aumento del 25 % en el entrehierro produce una disminución del
20 % en la reactancia magnetizante, lo que requiere sólo el 80 % del flujo original
para producir la corriente de corto circuito en la armadura. Con base nuevamente en
la ecuación:
PIN
KbFmm fffMaxf πθ
4)( =
ampFoamp HB ×= μe
fo
e
Foamp Pg
INKb
gFmmB ff
μ
πμ 4
=×=
62
0 108 −×⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××××=
PaNKK
gLDmf
X Abp
e
gad
μ
62
0' 1025,1
8 −×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×××××××=
PaNKK
gLDmf
X Abp
e
gad
μ
adad XX 80,0' =
101
Se observa que un valor del flujo del 80 % del original por un aumento del 25 % en el
entrehierro, conlleva a que la Fmmf del campo necesaria para producir la corriente de
armadura nominal en corto circuito es constante. Esto es:
De tal manera que existe una situación donde se requiere que la corriente de campo
se aumente en 25 % para producir el mismo valor de voltaje en la condición de cero
carga, mientras que se requiere que la corriente de campo para producir corriente de
armadura nominal en corto circuito debe permanecer igual.
Lo anterior conlleva a que la relación de corto circuito de la máquina sea ahora: De lo anterior se desprende que la relación de corto circuito de la máquina con un
entrehierro 25 % mayor; es un 25 % mayor que la máquina con el entrehierro
original. Teniendo presente que la relación de corto circuito es una medida del
tamaño físico de la máquina resulta lógico pensar que la máquina a la cual se le
modificó el entrehierro sea un 25 % más grande que la máquina original.
El aumento en el tamaño de la máquina se justifica por el hecho de que como la
corriente de campo es ahora el doble; a los fines de que se pueda manejar el nuevo
nivel de calor que representa el duplicar la corriente en el campo, se requiere que el
devanado del campo sea de mayor calibre, lo cual conlleva a que se tenga que
aumentar las dimensiones del rotor y consecuentemente de la máquina.
e
fo
e
Foamp Pg
INKb
gFmmB ff
μ
πμ 4
=×=
Foeamp FmmgB ×=× μ25,18,0
06,1180
15325,1=
×=
ampsampsRCCnueva
102
PROBLEMA # 23: Dos generadores de turbina (rotor cilíndrico) idénticos de tres fases, 13,8 Kv, 100.000
Kva, 60 Hz, numerados 1 y 2, operan en paralelo alimentando a una carga combinada
constante de 150.000 Kva, factor de potencia de 0,8, corriente atrasada, a voltaje y
frecuencia nominal. La reactancia sincrónica de cada máquina es 1,10 por unidad. La
salida mecánica de los motores primarios se ajustan de tal forma que las máquinas
comparten igualmente la potencia real, mientras que las excitaciones del campo son
tales que las salida de potencia reactiva de las dos máquinas es igual. Calcule para
cada generador: a.-) Potencia real, b.-) Potencia reactiva, c.-) Corriente de armadura,
d.-) factor de potencia, e.-) Voltaje de fase generado, f.-) Angulo de par, y g.-) El
ángulo medido eléctricamente, entre las Fmms del campo y de la armadura.
Solución: En esta parte es conveniente recordar cuales son las condiciones que se deben cumplir
para poner en funcionamiento dos o más generadores.
La secuencia de fase del generador a conectar debe ser igual a la del sistema.
Los voltajes de fase del generador deben estar en fase con los del sistema.
La frecuencia debe ser la misma que la del sistema
El voltaje del generador debe ser igual al del sistema.
El esquema unifilar que muestra la conexión en paralelo de dos generadores se indica
en la figura Nº 43.
Parte a.-) Dado que los dispositivos de control de potencia activa de los motores primarios se
ajustan de tal manera que los generadores comparten igual potencia activa; la
potencia real de cada generador es la mitad de la potencia real de la carga del sistema.
Esto es:
103
La carga del sistema consume una potencia real dada por:
Parte b.-) La información dada indica que las excitaciones de cada máquina son tales que los
generadores entregan igual potencia reactiva a la carga; de modo que la potencia
reactiva de cada generador es la mitad de la potencia reactiva de la carga.
La carga del sistema absorbe una potencia reactiva dada por:
Barra Infinita V = 1 p.u
F = 1 p.u
G1 G2
100.000 Kva 13,8 Kv 60 Hz. Xd = 1,10 p.u.
100.000 Kva 13,8 Kv 60 Hz Xd = 1,10 p.u.
Carga 150 Kva. fp = 0,8 (-)
( ) MvaCosSenSQacladeactivaPotencia LL 90)8,0()(argRe 1 =×= −
)2(2Re)1(1Re QGeneradordelactivaPotenciaQGeneradordelctivaPotencia =
var452
902
21 MQ
QQ L ====
Figura Nº 43: Diagrama Unificar de Conexión en Paralelo
MwMwP
PGeneradordelPotenciaPGeneradordelPotencia L 602
1202
)2(2)1(1 ====
MwSPacladealPotencia LL 12080,0)(argRe =×=
104
Parte c.-) Para obtener la corriente de armadura de cada máquina, en primer lugar se halla la
potencia compleja que entrega cada una de ellas:
Generador 1: Generador 2:
Otra forma en la que se puede realizar este cálculo es tomando en cuenta que las
máquinas comparten igual potencia activa y reactiva; de tal manera que la potencia
compleja de cada máquina es la mitad de la carga.
La corriente de armadura de cada máquina se obtiene como sigue: Parte d.-) Conocido la potencia compleja y la potencia real que entrega cada máquina; los
factores de potencia de cada una de ellas se determinan como sigue:
Parte e.-) El voltaje de fase generado por cada máquina se determina a partir del circuito
equivalente; el cual se muestra completo en la figura Nº 44; conjuntamente con la
ecuación que da el valor del voltaje generado.
MvaQPS 754560 2221
211 =+=+= MvaQPS 754560 222
22
22 =+=+=
8,133000.75
3)(2)(1 1
21×
=×
==−
KvaV
SIGArmaduradeCorrienteIGArmaduradeCorriente
LLLL
AIGArmaduradeCorrienteIGArmaduradeCorriente LL 86,3137)(2)(1 21 ==
80,07560).(1
1
11 ===
SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
8.07560).(1
2
22 ===
SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
105
La información suministrada del problema no indica nada acerca del valor de la
resistencia del devanado de la armadura; razón por la cual no se considera en el
cálculo; lo cual no introduciría errores apreciables en los cálculos por el tamaño de la
máquina.
Nótese como en el circuito equivalente se deja que la reactancia sincrónica es la suma
de la reactancia magnetizante de reacción de armadura y la reactancia de dispersión
dado que ambos flujos están en fase con la corriente. Esto es:
Despreciando la resistencia del devanado de la armadura, el voltaje generado resulta:
Si se utiliza el sistema de cálculo por unidad, los valores base son: Los valores por unidad de los parámetros que intervienen en la ecuación son: Luego, el valor del voltaje generado es:
IjXrVE daaf ∗++= )(
ar
V
+
-
afE
djXI
ljXadjX
agE
-
+
ladd XXX +=
−∠∗+= º86,36749,01,11 jEaf
KvVBase 8,13= KvaSBase 000.100= AV
SIase
baseBase 82,183.4
3=
×=
upV UP .1. = upS UP .1. = upI UP .749,082,418386,3137
. ==
IjXVE daf ∗+=
Figura Nº 44: Circuito Equivalente de un Generador Sincrónico
106
El valor real del voltaje generado es: Parte f.-) Para determinar el ángulo de par o de potencia de cada generador se toma como base
en el diagrama de fasores de cada uno de ellos. En el cual se puede apreciar que el
ángulo de par es aquel formado entre el voltaje en terminales de la máquina y el
voltaje generado. Tomando el voltaje en terminales de referencia; como se ha hecho
en este problema, entonces el ángulo de voltaje generado es el ángulo de par o de
potencia; como se muestra en la figura Nº 45.
Dado que los generadores G1 y G2 tienen idénticos parámetros operativos; entonces
los ángulos de par de ambos generadores son iguales:
( ) +∠=+=++=−∗+= º88,23627,1659,0488,1659,0488,016,08,0749,01,11 jjjjEaf
KvKvVEE BaseUPafrealaf 45,228,13627,1. =×=×=
º88,23=δ
º88,2321 == δδ
+∠= º88,23627,1afE
IjX d ×
I
θ
afE
δ
V
Figura Nº 45: Angulo de Par δ de un Generador Sincrónico
107
Parte g.-) La fuerza magnetomotriz de cada fase de la armadura está en fase con la corriente de
cada fase de la armadura. Por su parte, la fuerza magnetomotriz del campo está en el
eje directo a 90º en adelanto con respecto al voltaje generado, como se muestra en la
figura Nº 46.
Otro esquema en el cual se aprecia el ángulo de desfase entre las fuerzas
magnetomotriz de la armadura y del campo es el mostrado en la figura Nº 47.
PROBLEMA # 24: Repita el problema # 23, pero para las condiciones en que las máquinas alimentan
una potencia real igual a cero con la excitación del campo del generador 1
incrementado un 20 % arriba de su valor en el problema # 23, mientras que la
θ
a Estator
NS S X X X X X XXXO O OO
Rotor
Eje Directo afeaT iF ,
2π
fF
º74,150º90º74,60 =+=
OOOO
º74,60º86,36º88,23 =+=+=
i
i
θθδθ
Figura Nº 47: Desfasaje entre las Ondas de Fmm
I
θ
afE
δV
90º
afλ
IjXd ×
Figura Nº 46: Diagrama Fasorial de un Generador Sincrónico
108
corriente de campo del generador 2 se ajusta de tal manera que el voltaje en
terminales permanece constante a su valor nominal. Desprecie las pérdidas en los
generadores y considere que la reactancia sincrónica de cada generador permanece
constante a 1,10 por unidad.
Solución: La visión para la solución de este problema, es que a partir de la condición de
funcionamiento determinada en el problema anterior se hacen ajustes en el dispositivo
de control de potencia reactiva del generador 1, razón por la cual se deben hacer los
ajustes correspondientes en el dispositivo de control de potencia reactiva del
generador 2.
La condición de funcionamiento inicial de los dos generadores se muestra en el
diagrama fasorial representado en la figura Nº 48.
Parte a.-)
Dado que los dispositivos de control de potencia activa de cada máquina no sufren
ajustes, es de esperar que la potencia activa de cada máquina permanezcan igual al de
la condición de operación anterior. Esto es:
Parte b.-) Cuando se ajusta el dispositivo de control del potencia reactiva del generador 1 de tal
forma que ahora la corriente de excitación del campo es 20 % mayor, dada la relación
de proporcionalidad directa que existe entre éste parámetro y el voltaje generado, se
puede decir que éste último también aumenta en un 20 %.
La proporcionalidad directa entre el voltaje generado y la corriente de excitación se
puede ver en las siguientes ecuaciones:
MwSPacladealPotencia LL 12080,0)(argRe =×=
MwMwP
PGeneradordelPotenciaPGeneradordelPotencia L 602
1202
)2(2)1(1 ====
109
Con lo anterior, se calcula la magnitud del voltaje generado del generador 1 como
sigue:
Dado que solo se ha cambiado el ajuste del dispositivo de control de potencia
reactiva del generador 1, la forma como varia el voltaje generado se puede ver en el
diagrama fasorial de la figura Nº 49.
V
1IjX d × 1θ
'1I
'1θ
'1GafE
11 θCosIX d
'1θ
11 θSenIX d
'1
'1 θSenIX d
1GafE
1δ'
1δ
1I
1θ
11 θCosI
'1
'1 θCosIX d
afE
21 δδ = 21 IjXIjX dd ×=×
V
1ILθθθ == 21
2I21 IIIL +=
Figura Nº 48: Representación Fasorial de la Condición Inicial del Problema Nº 24
aNKbKpf
E PoloPorfasefase
Φ=
44,4ampPoloPor B
PDL2
=Φ
e
fffo
e
Foamp Pg
INKbg
FmmBμ
πμ 4
=×=
KvEE GafGaf 94,2645,2220,120,1 1'
1 =×=×
Figura Nº 49: Variación del Voltaje Generado de G1
110
Se aprecia en el diagrama fasorial que un aumento en el voltaje generado causa no
sólo que la corriente de armadura aumente; si no también, que se retrase más respecto
al fasor que representa el voltaje en los terminales, de tal forma que la proyección del
fasor corriente sobre el fasor voltaje en terminales es constante a los fines de
mantener su salida de potencia real constante.
Si se desprecian tanto las pérdidas en la resistencia de la armadura y se mantiene
constante la reactancia sincrónica aún con el aumento de la corriente de excitación
que experimenta el generador 1, se obtiene el nuevo valor de la corriente de armadura
para el generador 1 de la siguiente manera:
Se aprecia en el diagrama fasorial que el voltaje generado no sólo cambia en
magnitud; si no que también disminuye el ángulo de par. Partiendo de que:
Aplicando que: Si se utiliza el sistema de cálculo por unidad con los valores ya calculado en el
problema # 23, se tiene:
El valor real de la corriente del generador 1 es:
'1
'1 IjXVE dGaf ×+=
d
Gaf
JXVE
I−
='
1'1
99,51969,0º901,1658,0839,0
º901,1º01)º69,19627,120,1('
1 −∠=∠+
=∠
∠−+∠×=
jI PU
ampIII BasePUreal 12,405482,4183969,0'1
'1 =×=×=
'1
'111 θθ CosIXCosIX dd =
337,0627,120,1
)º86,36(749,01,1'
1
11'1 =
×××
==Cos
ECosIXSen
Gaf
d θδ
( ) º69,19337,01'1 == −Senδ
111
Nótese que el ángulo de par del generador 1 disminuyó; así como la corriente de
armadura se atrasó más con respecto al voltaje; lo cual es un resultado lógico dado
que cuando se aumenta la corriente de excitación de éste generador se está
provocando que disminuya su factor de potencia.
Una vez conocida la corriente del generador 1, su potencia reactiva se determina de la
siguiente manera:
Dado que la potencia reactiva de la carga se mantiene constante (igual que en el
problema anterior), se puede obtener la potencia reactiva del generador 2 como sigue:
Parte c.-) Ya en la parte anterior se determinó la corriente que entrega el generador 1 para la
nueva condición de funcionamiento. Considerando nuevamente que la condición de
carga del problema # 23 se mantiene, la corriente de carga del generador 2 se
determina de la siguiente manera:
Parte d.-) Se determina la potencia compleja de cada generador.
var79,76374)99,51(12,40548,1333 '1
'1 KSenSenIVQ LL =−×∗×=×××= − θ
var21,1362579,76374900001221 KQQQQQQ LL =−=−=→+=
21 III L +=
72,1232,258899,5112,4054º86,368,133
15000012 −∠=−∠−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∠
×=−= III L
MvaQPS 12,97374,7660 22'1
'1
'1
22
=+=+=
MvaQPS 52,61625,1360 222'2
2'2
'2 =+=+=
112
El factor de potencia de cada generador se determina a partir de los ángulos de los
fasores corriente de cada máquina con respecto al voltaje en los terminales de la
máquina:
Nótese como a raíz del cambio en la excitación del generador 1, éste disminuye su
factor de potencia, mientras que la excitación del generador 2 debe disminuirse para
aumentar su factor de potencia, y de esta manera se compensa el aumento de sufrido
en el generador 1; lo cual es necesario dado que la carga no ha cambiado.
Parte e.-) Ya se ha calculado el voltaje generado por el generador 1 a raíz del aumento de su
corriente de excitación. Se tiene:
Ya en la parte b.-) de este problema se determinó que el nuevo ángulo de par del
generador 1 es:
Por lo tanto, el voltaje generado del generador 1 es: El voltaje generado del generador 2 es:
617,012,97
60).(1 '1
'1´'
1 ===SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
975,052,61
60).(2 '2
'2´'
2 ===SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
KvEE GafGaf 94,2645,2220,120,1 1'
1 =×=×=
( ) º69,19337,01'1 == −Senδ
KvE Gaf º69,1994,26'1 ∠=
KvjIjXVE dPUGaf 72,1282,418332,25881,1º01'
2'
2 −∠×+∠=×+=
KvjIjXVE dPUGaf º9,29326,172,12618,01,1º01'2
'2 ∠=−∠×+∠=×+=
113
Parte f.-) Se comentó que, estando el fasor de voltaje en los terminales como la referencia, el
ángulo de par es de manera directa el ángulo del fasor del voltaje generado en cada
máquina, de esta manera se tiene:
En el diagrama fasorial de la figura Nº 50; se puede apreciar el comportamiento de
los parámetros del generador 2.
Parte g.-) Por un razonamiento idéntico al de la parte g.-) del problema # 23, se puede decir que
el ángulo medido eléctricamente entre la Fmm de la armadura y la Fmm del rotor es:
En la figura Nº 51; se puede ver el ángulo entre las Fmms del campo y de la armadura
del generador 1
2afE
2δ
Lθ
LI
'2I
'1I
'1θ
'2θ
V
'1
'1 θCosI
'2
'2 θCosI 11 θCosIX d
2θ
'2θ
'2afE
'2δ
22 θSenIX d
'2
'2 θSenIX d
( ) º69,19337,01'1 == −Senδ
º90,29'2 =δ
Figura Nº 50: Variación de los parámetros de G2
º59,16190,51º69,19º90º901 '1
'1 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
º73,13283,12º90,29º90º902 '2
'2 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
114
En la figura Nº 52; se puede ver el ángulo entre las Fmms del campo y de la armadura
del generador 2
PROBLEMA # 25: Repita el problema # 23 para la condición de operación en que la excitación del
generador 1 permanece constante, mientras que la entrada de su motor primario se
incrementa un 20 %. Se hacen ajustes en la corriente de campo del generador 2 y en
θ
a Estator
NS S X X X X XXXXO O OO
Rotor
Eje Directo afeaT iF ,
2π
fF
º59,161º90º59,71 =+=
OOO O
º59,71º90,51º69,19 =+=+=
i
i
θθδθ
θ
a Estator
NS S X X X X XXXXO O OO
Rotor
Eje Directo afeaT iF ,
2π
fF
º73,132º90º73,42 =+=
OOO O
º73,42º83,12º90,29 =+=+=
i
i
θθδθ
Figura Nº 51: Angulo de las Fmm del Rotor y Estator de G1
Figura Nº 52: Angulo de las Fmm del Rotor y Estator de G2
115
su motor primario de tal forma que la frecuencia y el voltaje en terminales
permanecen a sus valores nominales. Desprecie las pérdidas del generador, considere
que la reactancia sincrónica de cada generador permanece constante a 1,10 por
unidad.
Solución: Parte a.-) Dado que la entrada del motor primario del generador 1 se aumenta un 20 %,
entonces la potencia real del generador 1 aumenta un 20 %. Así se tiene:
La potencia real de la carga no ha cambiado; por lo tanto la potencia real del
generador 2 es:
Parte b.-) La potencia real del generador 1 viene dada por:
Dado que el valor de la reactancia sincrónica es conocido en el sistema de cálculo por
unidad; su valor real es:
En el diagrama se aprecia que:
MwPPGeneradordelalPotenciaNueva 726020,120,1)(1Re 1'
1 =×=×=
MwPPPGeneradordelalPotenciaNueva L 4872120)(2Re '1
'2 =−=−=
( )'1'1 3)(1Re θICosVPGeneradordelalPotencia LL ××= −
( )'18,13372000 θICosKw ××= ( ) 35,3012'1 =θICos
faseMvaS
KvZXX
Base
BaseBasePUdreald /628,3
1008,1331,1
)(3
1,122
Ω=×
×=×
×=×=
116
Nótese que en el cálculo anterior se ha usado el valor fase-neutro del voltaje generado
ya que el diagrama fasorial está referido a valores por fase.
Teniendo presente que el voltaje generado por la máquina 1 no cambia su magnitud
dado que no ha cambiado su corriente de excitación. El nuevo ángulo de par del
generador 1; mostrado en la figura Nº 53, es:
Otra manera es determinar el nuevo ángulo de par del generador 1, es a partir de la
ecuación relaciona dicho ángulo con la potencia real de la máquina. Cuando se
desprecia la resistencia de armadura; como es este caso, la impedancia sincrónica de
la máquina es igual a la reactancia sincrónica, y se expresa la potencia real como:
1IjX d ×
1I
1θ
1afE
1δ
V
'1afE
'1δ
'1θ '
1I
'1IjX d ×
841,0322450
35,3012628,3'
1
'1
,1'
1 =×
=×
=Gaf
d
ECosIX
Senθ
δ
º32,57)841,0(1'1 == −Senδ
( )d
Gaf
XSenEV
P'
1'
1'1
δ××= ( ) '
1
'1'
1Gaf
d
EVXP
Sen××
=δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××
= −'
1
'11'
1Gaf
d
EVXP
Senδ
º47,572245013800
628,310000.6020,1 31'
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×××= −Senδ
Figura Nº 53: Angulo de Par de G1
117
Nuevamente se debe resaltar que el valor del voltaje generado de la máquina 1
mantiene el valor de la condición de operación anterior ya que no ha cambiado su
corriente de excitación.
Con el nuevo valor del ángulo de par del generador 1, se expresa el voltaje generado
por esta máquina como sigue:
Con el fasor de corriente del generador 1 se determina la potencia reactiva de esta
máquina aplicando:
Dado que el valor y la condición de carga no han cambiado, se calcula la potencia
reactiva de la máquina 2 como sigue:
Parte c.-) Para calcular la corriente que entrega el generador 2; se plantea lo siguiente: Ya se conoce que: Parte d.-) El factor de potencia de cada generador se calcula a partir de los ángulos de los
fasores de corrientes de cada máquina.
'11
'1 º47,57627,1 IjXVEE dPUGafPUGaf ×+=∠==
º18,525,11,1
º01º47,57627,1'1 −∠=
∠−∠=
jI
'1
'2
'2
'1 IIIIII LL −=+=
º73,87011,1º18,525,1º86,365,1'2 −∠=−∠−−∠=I
º86,365,182,4183
º86,3673,6275º86,3673,6275º86,368,133
150000 '' −∠=−∠
=−∠=−∠×
= PULL II
( ) ( )'1?1
'1
'1 33 θθ SenIIVISenVQ BasePU ×××=××=
( ) var61,11285º18,582,418325,18,133'1 KSenQ =−××××=
var39,7871461,1128590000'1
'2
'2
'1 KQQQQQQ LL =−=−=+=
118
Parte e.-) Con respecto al voltaje generado por la máquina 1, se comentó que su magnitud no
cambia ya que no se ha modificado su corriente de excitación, pero que su ángulo con
respecto al fasor de voltaje en los terminales; el cual se ha tomado como referencia,
aumenta hasta 57,32º. De este modo Eaf en por unidad es:
Con respecto a la máquina 2, su voltaje generado cambia, ya que a raíz del cambio en
la entrada del motor primario del generador 1, deben hacerse ajustes en los
dispositivos de control de potencia activa y reactiva del generador 2.
Parte f.-) Ya se comentó que, estando el fasor de voltaje en los terminales como la referencia,
el ángulo de par es de manera directa el ángulo del fasor del voltaje generado en cada
máquina, de esta manera se tiene:
Parte g.-) Por un razonamiento idéntico al de la parte g.-) del problema # 23, se tiene que el
ángulo medido eléctricamente entre la Fmm de la armadura y la Fmm del rotor es:
987,061,1128572000
72000).(122'
1
'1´'
1 =+
==SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
520,039,7871448000
48000).(222'
2
'2´'
2 =+
==SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
º47,57627,11'
1 ∠== PUGafPUGaf EE
º194,1111,2º73,87011,11,1º01'2
'2 ∠=−∠×+∠=×+== jIjXVE dPUGaf
º47,57'1 =δ º194,1'
2 =δ
º71,156º24,9º47,57º90º901 '1
'1 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
º85,149º66,58º194,1º90º902 '2
'2 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
119
Un diagrama fasorial sobre lo que sucede con los parámetros del generador 2 se
puede ver en la figura Nº 54.
PROBLEMA # 26: Repita el problema # 23 para dos generadores con el mismo voltaje y frecuencia
nominal; pero con el generador 1 con un valor nominal de 80000 Kva y con una
reactancia sincrónica de 1,00 por unidad mientras que el generador 2 tiene un valor
nominal de 120 Kva con una reactancia sincrónica de 1,20 por unidad.
Solución:
De acuerdo a lo expresado en el enunciado del problema, se infiere que la condición
de carga no ha cambiado y es la siguiente:
Parte a.-) Se considera que los generadores comparten por igual la carga a pesar de la diferencia
de sus valores nominales, la potencia activa de cada uno e ellos es la mitad de la
potencia activa consumida por la carga:
'2IjX d ×
2I
2θV
'2δ
'2afE
2afE
2δ
2IjX d ×
'2I
'2θ
Figura Nº 54: Variación de los Parámetros de G2
KvaSacladePotencia L 150)(arg =
( )−= 80,0)(arg LfpacladePotenciadeFactor
MwSPacladealPotencia LL 12080,0)(argRe =×=
120
Parte b.-) Se considera que los generadores comparten por igual la carga a pesar de la diferencia
de sus valores nominales, la potencia reactiva de cada uno de ellos es la mitad de la
potencia reactiva consumida por la carga.
Parte c.-) Para obtener la corriente de armadura de cada máquina, en primer lugar se halla la
potencia compleja que entrega cada una de ellas:
Generador 1: Generador 2: La corriente de armadura de cada máquina se obtiene como sigue: Parte d.-) Conocido la potencia compleja y la potencia real que entrega cada máquina; los
factores de potencia de cada una de ellas se determinan como sigue:
MwMwP
PGeneradordelPotenciaPGeneradordelPotencia L 602
1202
)2(2)1(1 ====
( ) MvaCosSenSQacladeactivaPotencia LL 90)8,0()(argRe 1 =×= −
)2(2Re)1(1Re QGeneradordelactivaPotenciaQGeneradordelctivaPotencia =
var452
902
21 MQ
QQ L ====
MvaQPS 754560 2221
211 =+=+= MvaQPS 754560 222
22
22 =+=+=
8,133000.75
3)(2)(1 1
21×
=×
==−
KvaV
SIGArmaduradeCorrienteIGArmaduradeCorriente
LLLL
AIGArmaduradeCorrienteIGArmaduradeCorriente LL 86,3137)(2)(1 21 ==
80,07560).(1
1
11 ===
SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
8.07560).(1
2
22 ===
SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
121
Parte e.-) El voltaje de fase generado por cada máquina se determina a partir del circuito
equivalente; el cual se puede sintetizar en la siguiente ecuación:
La información suministrada del problema no indica nada acerca del valor de la
resistencia del devanado de la armadura; razón por la cual no se considera; lo cual no
introduciría errores apreciables en los cálculos por el tamaño de la máquina.
Nótese como en el circuito equivalente se deja ver que la reactancia sincrónica es la
suma de la reactancia magnetizante de reacción de armadura y la reactancia de
dispersión dado que ambos flujos están en fase con la corriente. Esto es:
Despreciando la resistencia del devanado de la armadura, el voltaje generado queda:
Si se utiliza el sistema de cálculo por unidad, los valores base son: Nótese que en esta parte se ha considerado un valor de potencia base diferente a los
valores nominales de cada máquina.
Los valores por unidad de los parámetros que intervienen en la ecuación para
determinar el voltaje generado por la máquina 1 son:
Luego, el valor del voltaje generado por la máquina 1 es:
IjXrVE daaf ∗++= )(
ladd XXX +=
−∠∗+= º86,36749,00,111 jEaf
KvVBase 8,13= KvaSBase 000.100= AV
SI
base
baseBase 82,183.4
3=
×=
upV UP .1. = upI UP .749,082,418386,3137
. ==
( ) +∠=+=++=−∗+= º41,18579,1499,0449,1599,0449,016,08,0749,00,111 jjjjEaf
IjXVE daf ∗+=
upZ GUP .11. =
122
El valor real del voltaje generado por la máquina 1 es: Los valores por unidad de los parámetros que intervienen para determinar el voltaje
generado por la máquina 2 son:
Luego, el valor del voltaje generado por la máquina 2 es: El valor real del voltaje generado por la máquina 2 es: Parte f.-) Para determinar el ángulo de par o de potencia de cada generador se toma como base
el diagrama de fasores de cada uno de ellos. En este se puede apreciar que el ángulo
de par es aquel formado entre el voltaje en terminales de la máquina y el voltaje
generado. Tomando el fasor del voltaje en terminales como referencia, entonces el
ángulo de voltaje generado es el ángulo de par o de potencia, como se muestra en la
figura Nº 55.
KvKvVEE baseUPafaf 79,218,13579,1.11 =×=×=
−∠∗+= º86,36749,020,112 jEaf
upV UP .1. = upI UP .749,082,418386,3137
. ==
( ) +∠=+=++=−∗+= º94,24697,1719,0539,1719,0539,016,08,0749,020,112 jjjjEaf
upZ GUP .20,12. =
KvKvVEE baseUPafaf 418,238,13697,1.22 =×=×=
+∠= º41,18579,1afE º41,181 =δ
11 IjXd ×
I
1θ
1afE
1δ
V
Figura Nº 55: Diagrama de fasores de un G1
123
El ángulo de par del generador 2; mostrado en la figura Nº 56, es: Parte g.-) La fuerza magnetomotriz de cada fase de la armadura está en fase con la corriente de
cada fase de la armadura. Por su parte, la fuerza magnetomotriz del campo está en el
eje directo a 90º en adelanto con respecto al voltaje generado.
De esta manera, el ángulo en grados eléctricos entre la Fmm del campo y la Fmm de la
armadura; mostrado en la figura Nº 57, es:
Para la máquina 1: Para la máquina 2; mostrado en la figura Nº 58, es:
1I
1θ
1afE
1δ
V
90º
1afλ
11 IjXd ×
+∠= º94,24697,12afE
21 IjXd ×
I
2δ
2afE
2δV
º94,242 =δ
°=°+°+°=− 27,14586,3641,1890Af FmmFmmentreAngulo
°=°+°+°=− 80,15186,3691,2490Af FmmFmmentreAngulo
Figura Nº 56: Diagrama de fasores de un G2
Figura Nº 57: Desfasaje entre las Ondas de Fmm de G1
124
PROBLEMA # 27: Repita el problema # 26, pero para las condiciones en que las máquinas alimentan
una potencia real igual pero con la excitación del campo del generador 1
incrementado un 20 % arriba de su valor en el problema # 26, mientras que la
corriente de campo del generador 2 se ajusta de tal manera que el voltaje en
terminales permanece constante a su valor nominal. Desprecie las pérdidas en los
generadores y considere que la reactancia sincrónica de cada generador permanece
constante a 1,00 por unidad para la máquina 1 y a 1,20 por unidad para la máquina 2.
Solución:
La visión para la solución de este problema es que; a partir de la condición de
funcionamiento determinada en el problema # 26, se hacen ajustes en el dispositivo
de control de potencia reactiva del generador 1, razón por la cual se deben hacer los
ajustes correspondientes en el dispositivo de control de potencia reactiva del
generador 2.
La condición de funcionamiento inicial de los dos generadores se muestra en los
diagramas de fasores representados en las figuras Nº 59 y Nº 60 para los generadores
1 y 2 respectivamente.
Parte a.-) Dado que los dispositivos de control de potencia activa de cada máquina no sufren
ajustes, es de esperar que la potencia activa de cada máquina permanezcan iguales al
de la condición de operación anterior. Esto es:
1I
2θ
2afE
2δ
V
90º
2afλ
22 IjXd ×
Figura Nº 58: Desfasaje entre las Ondas de Fmm de G2
125
Parte b.-) Cuando se ajusta el dispositivo de control del potencia reactiva del generador 1 de tal
forma que ahora la corriente de excitación del campo es 20 % mayor, dada la relación
de proporcionalidad directa que existe entre éste parámetro y el voltaje generado, éste
último también aumenta en un 20 %.
La proporcionalidad directa entre el voltaje generado y la corriente de excitación se
puede ver en las siguientes ecuaciones:
V
1I
1θ
21δ1IjXd×
V2δ
2IjXd ×
2I
2θ
2afE
Figura Nº 59: Diagrama Fasorial Inicial de G1
aNKbKpf
E PoloPorfasefase
Φ=
44,4ampPoloPor B
PDL2
=Φ
Figura Nº 60: Diagrama Fasorial Inicial de G2
1afE
MwSPacladealPotencia LL 12080,0)(argRe =×=
MwMwP
PGeneradordelPotenciaPGeneradordelPotencia L 602
1202
)2(2)1(1 ====
126
Con lo anterior, se calcula la magnitud del voltaje generado del generador 1 como
sigue:
Dado que solo se ha cambiado el ajuste del dispositivo de control de potencia
reactiva del generador 1, la forma como varia el voltaje generado se puede ver en el
diagrama fasorial de la figura Nº 61.
Se puede apreciar en el diagrama fasorial que un aumento en el voltaje generado
causa no sólo que la corriente de armadura aumente; si no también, que se retrase más
respecto al fasor que representa el voltaje en los terminales, de tal forma que la
proyección del fasor corriente sobre el fasor voltaje en terminales sea constante a los
fines de mantener su salida de potencia real constante.
Si se desprecian tanto las pérdidas en la resistencia de la armadura y se mantiene
constante la reactancia sincrónica aún con el aumento de la corriente de excitación
que experimenta el generador 1, se obtiene el nuevo valor de la corriente de armadura
para el generador 1 de la siguiente manera:
Se puede apreciar en el diagrama fasorial que el voltaje generado no sólo cambia en
magnitud; si no que también disminuye el ángulo de par. Partiendo de que:
V
1IjX d × 1θ
'1I
'1θ
'1GafE
11 θCosIX d
'1θ
11 θSenIX d
'1
'1 θSenIX d
1GafE
1δ'
1δ
1I
1θ
11 θCosI
'1
'1 θCosIX d
e
fffo
e
Foamp Pg
INKbg
FmmB
μπ
μ 4=×=
KvEE GafGaf 148,2679,2120,120,1 1'
1 =×=×=
'1
'1 IjXVE dGaf ×+=
d
Gaf
JXVE
I−
='
1'1
Figura Nº 61: Variación de los Parámetros de G1
127
Aplicando que: Si se utiliza el sistema de cálculo por unidad con los valores ya calculado en el
problema # 23, se tiene:
El valor real de la corriente del generador 1 es: Nótese que el ángulo de par del generador 1 disminuyó; así como la corriente de
armadura se atrasó más con respecto al voltaje; lo cual es un resultado lógico dado
que cuando se aumenta la corriente de excitación de éste generador se provoca que
disminuya su factor de potencia.
Una vez conocida la corriente del generador 1, su potencia reactiva se determina de la
siguiente manera:
Dado que la potencia reactiva de la carga se mantiene constante (igual que en el
problema anterior), se obtiene la potencia reactiva del generador 2 como sigue:
Parte c.-) Ya en la parte anterior se determinó la corriente que entrega el generador 1 para la
nueva condición de funcionamiento. Considerando nuevamente que la condición de
carga del problema # 26 se mantiene, la corriente de carga del generador 2 se
determina de la siguiente manera:
32,63330,1º900,1598,0190,1
º900,1º01)º28,15894,120,1('
1 −∠=∠+
=∠
∠−+∠×=
jI PU
AIII BasePUreal 48,556482,4183330,1'1
'1 =×=×=
'1
'111 θθ CosIXCosIX dd =
263,0894,120,1
)º86,36(749,00,1'
1
11'1 =
×××
==Cos
ECosIX
SenGaf
d θδ
( ) º28,15263,01'1 == −Senδ
var58,118860)32,63(48,55648,1333 '1
'1 KSenSenIVQ LL =−×∗×=×××= − θ
var58,2886058,118860900001221 KQQQQQQ LL −=−=−=→+=
21 III L +=
°−∠=−∠−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−∠
×=−= 57,2580,279632,6348,5564º86,36
8,133150000
12 III L
128
Parte d.-) Se determina la potencia compleja de cada generador. El factor de potencia de cada generador se determina a partir de los ángulos de los
fasores corriente de cada máquina con respecto al voltaje en los terminales de la
máquina:
Nótese como a raíz del cambio en la excitación del generador 1, éste disminuye su
factor de potencia, mientras que la excitación del generador 2 debe disminuirse para
con lo cual se aumenta su factor de potencia, y de esta manera se compensa el
aumento en el generador 1; lo cual es necesario dado que la carga no ha cambiado.
Parte e.-) Ya se ha calculado el voltaje generado por el generador 1 a raíz del aumento de su
corriente de excitación. Se tiene que:
Ya en la parte b.-) de este problema se determinó que el nuevo ángulo de par del
generador 1 es:
Por lo tanto, el voltaje generado del generador 1 es: El voltaje generado del generador 2 es:
450,0145,133
60).(1 '1
'1´'
1 ===SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
MvaQPS 145,133860,11860 22'1
'1
'1
22
=+=+=
MvaQPS 580,66860,2860 222'2
2'2
'2 =+=+=
901,0580,66
60).(2 '2
'2´'
2 ===SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
KvEE GafGaf 377,31148,2620,120,1 1'
1 =×=×=
( ) º24,15263,01'1 == −Senδ
KvE Gaf º24,15377,31'1 ∠=
KvjIjXVE dPUGaf 57,2582,418380,279620,1º01'
2'
2 −∠×+∠=×+=
129
Parte f.-) Ya se comentó que, estando el fasor de voltaje en los terminales como la referencia,
el ángulo de par es de manera directa el ángulo del fasor del voltaje generado en cada
máquina, de esta manera se tiene:
En el diagrama fasorial de la figura Nº 62; se aprecia el comportamiento de los
parámetros del generador 2.
Parte g.-) Por un razonamiento idéntico al de la parte g.-) del problema # 26, el ángulo medido
eléctricamente entre la Fmma de la armadura y la Fmmf del rotor es:
En la figura Nº 63; se observa el ángulo entre las Fmm del campo y de la armadura del
generador 1.
2afE
2δ
Lθ
LI
'2I
'1I
'1θ
'2θ
V
'1
'1 θCosI
'2
'2 θCosI
11 θCosIX d
2θ'2θ
'2afE
'2δ
22 θSenIX d
'2
'2 θSenIX d
KvjIjXVE dPUGaf °∠=−∠×+∠=×+= 22,28526,157,25668,020,1º01'2
'2
( ) º24,15263,01'1 == −Senδ
º22,28'2 =δ
Figura Nº 62: Comportamiento de los Parámetros de G2
º49,16825,63º24,15º90º901 '1
'1 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
º93,14371,25º22,28º90º902 '2
'2 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
130
En la figura Nº 64; se observa el ángulo entre las Fmms del campo y de la armadura del
generador 2
PROBLEMA # 28: Repita el problema # 25 para la condición de operación en que la excitación del
generador 1 permanece constante, mientras que la entrada de su motor primario se
incrementa un 20 %. Se hacen ajustes en la corriente de campo del generador 2 y en
su motor primario de tal forma que la frecuencia y el voltaje en terminales
permanecen a sus valores nominales. Desprecie las pérdidas del generador, considere
θ
a Estator
NS S X X X X XXXXO O OO
Rotor
Eje Directo afeaT iF ,
2π
fF
º98,143º90º98,53 =+=
OOOO
º98,53º75,25º23,28 =+=+=
i
i
θθδθ
θ
a Estator
N S S X X X X XXXXO O OO
Rotor
Eje Directo afeaT iF ,
2π
fF
º49,168º90º49,78 =+=
OOO O
º49,78º25,63º24,15 =+=+=
i
i
θθδθ
Figura Nº 63: Desfasaje entre las Ondas de Fmm de G1
Figura Nº 64: Desfasaje entre las Ondas de Fmm de G2
131
que la reactancia sincrónica de cada generador permanecen constantes a 1,00 por
unidad y 1,20 por unidad tal como se ha indicado.
Solución: Parte a.-) Dado que la entrada del motor primario del generador 1 se aumenta un 20 %,
entonces la potencia real del generador 1 aumenta un 20 %. Así se tiene:
La potencia real de la carga no ha cambiado; por lo tanto la potencia real del
generador 2 es:
Parte b.-) La potencia real del generador 1 viene dada por: Dado que el valor de la reactancia sincrónica es conocido en el sistema de cálculo por
unidad; su valor real es:
En el diagrama se puede apreciar que: Nótese que en el cálculo anterior se ha usado el valor fase-neutro del voltaje generado
ya que el diagrama fasorial está referido a valores por fase.
Teniendo presente que el voltaje generado por la máquina 1 no cambia su magnitud
dado que no ha cambiado su corriente de excitación. El nuevo ángulo de par del
generador 1; mostrado en la figura Nº 65, es:
MwPPGeneradordelalPotenciaNueva 726020,120,1)(1Re 1'
1 =×=×=
MwPPPGeneradordelalPotenciaNueva L 4872120)(2Re '1
'2 =−=−=
( )'1'1
'1 3)(1Re θCosIVPGeneradordelalPotencia LL ××= −
( )'1'18,13372000 θCosIKw ××= ( ) 35,3012'
1'1 =θCosI
faseMvaS
KvZXX
Base
BaseBasePUdreald /298,3
1008,1330,1
)(3
0,122
Ω=×
×=×
×=×=
789,0321790
35,3012298,3'
1
'1
'1'
1 =×
=×
=Gaf
d
ECosIX
Senθ
δ
132
Otra manera para determinar el nuevo ángulo de par del generador 1, es a partir de la
ecuación relaciona dicho ángulo con la potencia real de la máquina. Cuando se
desprecia la resistencia de armadura; como es este caso, la impedancia sincrónica de
la máquina es igual a la reactancia sincrónica, se expresa la potencia real como:
Nuevamente se debe resaltar que el valor del voltaje generado de la máquina 1
mantiene el valor de la condición de operación anterior ya que no ha cambiado su
corriente de excitación.
Con el nuevo valor del ángulo de par del generador 1, se expresa el voltaje generado
por esta máquina como sigue:
Con el fasor corriente del generador 1 se determina la potencia reactiva de esta
máquina aplicando:
1IjX d ×
1θ
1afE
1δV
'1afE
'1δ
'1θ '
1I
'1IjX d ×
º15,52)789,0(1'1 == −Senδ
( )d
Gaf
XSenEV
P'
1'
1'1
δ××= ( ) '
1
'1'
1Gaf
d
EVXP
Sen××
=δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
××
= −'
1
'11'
1Gaf
d
EVXP
Senδ
º15,522179013800
298,310000.6020,1 31'
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
×××= −Senδ
'11
'1 º15,52579,1 IjXVEE dPUGafPUGaf ×+=∠==
º47,124,10,1
º01º15,52579,1'1 ∠=
∠−∠=
jI
( ) ( )'1'1
'1
'1
'1 33 θθ SenIIVSenIVQ BasePU ×××=××=
( ) var03,3181º47,182,418324,18,133'1 KSenQ =××××=
Figura Nº 65: Diagrama Fasorial de G1
1I
133
Dado que el valor y la condición de carga no ha cambiado, se calcula la potencia
reactiva de la máquina 2 como sigue:
Parte c.-) Para calcular la corriente que entrega el generador 2; se plantea lo siguiente: Se conoce que: Parte d.-) El factor de potencia de cada generador se calcula a partir de los ángulos de los
fasores de corrientes de cada máquina.
Parte e.-) Con respecto al voltaje generado por la máquina 1, se ha comentado que su magnitud
no cambia ya que no se ha modificado su corriente de excitación, pero que su ángulo
con respecto al fasor de voltaje en los terminales; el cual se ha tomado como
referencia, aumenta hasta 52,15º. De este modo se representa de la siguiente manera:
Con respecto a la máquina 2, su voltaje generado cambia, ya que a raíz del cambio en
la entrada del motor primario del generador 1, deben hacerse ajustes en los
dispositivos de control de potencia activa y reactiva del generador 2.
var97,8681603,318390000'1
'2
'2
'1 KQQQQQQ LL =−=−=+=
'1
'2
'2
'1 IIIIII LL −=+=
º13,8892,0º47,124,1º86,365,1'2 −∠=∠−−∠=I
º86,365,182,4183
º86,3673,6275º86,3673,6275º86,368,133
150000 '' −∠=−∠
=−∠=−∠×
= PULL II
999,003,318172000
72000).(122'
1
'1´'
1 =+
==SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
486,097,8618648000
48000).(222'
2
'2´'
2 =+
==SP
pfGeneradorPotenciadeFactor
º15,52579,11'
1 ∠== PUGafPUGaf EE
134
Parte f.-) Se ha comentado que, estando el fasor de voltaje en los terminales como la referencia,
el ángulo de par es de manera directa el ángulo del fasor del voltaje generado en cada
máquina, de esta manera se tiene:
Parte g.-) Por un razonamiento idéntico al de la parte g.-) del problema # 26, el ángulo medido
eléctricamente entre la Fmm de la armadura y la Fmm del rotor es:
Un diagrama fasorial sobre lo que sucede con los parámetros del generador 2 se
observa en la figura Nº 66.
PROBLEMA # 29: Un generador sincrónico trifásico, 240 voltios, 5 Kva, 60 Hz, conectado en estrella
tiene una reactancia sincrónica de 1,00 por unidad. Este generador alimenta una
carga aislada compuesta de tres resistores no inductivos idénticos conectados en
'2IjX d ×
2I2θ
V
'2δ
'2afE
2afE
2δ
2IjX d ×
'2I
'2θ
º98,010,2º13,88921,020,1º01'2
'2 ∠=−∠×+∠=×+== jIjXVE dPUGaf
º15,52'1 =δ º98,0'
2 =δ
º71,144º56,2º15,52º90º901 '1
'1 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
º90,151º92,60º98,0º90º902 '2
'2 =++=++= θδGdelFmmyFmmentreAngulo FA
Figura Nº 66: Variación de los Parámetros de G2
135
estrella con una corriente nominal a voltaje nominal y a frecuencia nominal. La
inductancia mutua Lafm entre el campo y una fase de la armadura es de 0,245 henrios.
a.-) Calcule la fem generada Eaf en voltios por fase y la corriente de campo en
amperios. b.-) La salida del motor primario se mantiene constante mientras que varía
la corriente del campo. Desprecie los cambios en las pérdidas rotacionales y en la
saturación y grafique la frecuencia como una función de la corriente del campo. c.-)
Calcule el valor mínimo de la corriente del campo en que el generador puede
alimentar su capacidad nominal a la carga aislada.
Solución: Parte a.-) La fem generada por fase por este generador para la condición de funcionamiento
indicada, se obtiene aplicando la ecuación que se desprende del circuito equivalente
de la máquina; mostrado en la figura Nº 67:
Nótese que en este problema no se da de manera explicita información acerca del
valor de la resistencia del devanado de la armadura; así como tampoco se dan
resultados de pruebas que puedan conducir al cálculo de tal resistencia; por esta razón
no se considera este valor en los cálculos aunque con ello se esté introduciendo un
error en los mismos debido al pequeño tamaño de la máquina
Despreciando la resistencia del devanado de armadura, queda:
IjXVE daf ×+=
IjXrVE daaf ×++= )(
ar
V
+
-
afE
djXI
ljXadjX
agE
-
+
Figura Nº 67: Circuito Equivalente de un Generador Sincrónico
136
La corriente que entrega el generador a la carga es la nominal:
Dado que el generador alimenta a una carga resistiva, la corriente se encuentra en fase
con el voltaje en los terminales, el cual se toma como fasor de referencia. De este
modo se expresa la corriente y el voltaje como:
Si se toman como valores bases los valores nominales del generador, entonces la
corriente que entrega éste, tiene un valor unitario en el sistema de cálculo por unidad.
El voltaje generado se expresa como sigue:
El valor en voltios por fase del voltaje generado para mantener la condición de carga
especificada es:
Dado que no se conoce la curva de vacío de la máquina; para hallar la corriente de
excitación que la máquina requiere para general el Eaf calculado y mantener la
condición de carga especificada, se intenta; en primer lugar, con el valor dado de
inductancia mutua entre el devanado de campo y cualquiera fase de la armadura (LafM
= 0,245).
Siendo los valores base para el cálculo en por unidad los siguientes:
El valor base de la reactancia sincrónica es:
Dado que el valor por unidad de la reactancia sincrónica es 1; entonces el valor en
ohmios de esta reactancia es:
°∠=°∠×+°∠= 45414,1010,101 jE puaf
ampsva
I L 02,122403
5000=
×=
°∠= 002,12LI °∠= 0240LV
voltiosVBase 240= KvaS Base 5=
faseVAV
Xbase
baseBased /52,11
5000)240( 22
Ω===
voltiosEaf º4536,33945414,1240 ∠=°∠×=
137
Despreciando el flujo de dispersión, entonces la reactancia sincrónica de la máquina
es igual a su reactancia magnetizante (Xd = Xad). A partir de esta, se obtiene la
inductancia de reacción de armadura:
Esta inductancia magnetizante viene dada por:
De tal manera que:
La inductancia propia de una fase de la armadura; no habiendo flujo de dispersión,
viene dada por:
Teniendo presente que la inductancia entre el campo y alguna de las fases de la
armadura está determinada por el ángulo entre los ejes magnéticos del campo y la
fase considerada; y ésta tiene un valor máximo cuando ambos ejes estén alineados; y
suponiendo que no existe flujo de dispersión con lo cual se considera que el factor de
acoplamiento magnético entre ambos circuitos es 1; se tiene que el valor máximo de
la inductancia mutua entre el campo y cualquiera de las fases de la armadura es:
De donde:
faseX Ohmiosd /52,11 Ω=
0305,01022,1 7
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×= −
PaNK
gLD
L fasew
e
gad
faseHenriosf
XL ad
ad /0305,0602
52,112
=×
==ππ
2500001022,1
0305,07
2
=×
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−Pa
NKg
LD fasew
e
g
faseHenriosPa
NKg
LDL fasew
e
gaaM /02035,01025000014,810
14,8 88
2
=××=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××= −−
a
aaaaM i
Lλ
=
aaMffafM LLL ××= 00,1
138
Recordando que la inductancia propia del campo viene dada por:
De donde se obtiene:
El cálculo de la corriente de excitación por esta vía; es decir usando el valor dado de
la inductancia mutua entre el devanado del campo y cualquiera de las fases de la
armadura, a partir de este punto cae en una serie de sustituciones para encontrar los
diferentes parámetros físicos de la máquina, lo cual conlleva a que no se vea el
sentido físico del problema.
Se opta entonces por la siguiente vía:
El voltaje interno Eaf generado por la máquina para mantener la condición de carga
especificada; para un escenario de operación lineal; es decir, sin saturación como el
que se está considerando, viene dado por:
Por otra parte en la reactancia magnetizante Xad cae el voltaje EA debido a la reacción
de armadura. Esta caída tiene un valor de:
Al igual que Eaf es producido por el flujo Φpolo; también EA es producido por el flujo
ΦA, por la siguiente ecuación:
Se establece entonces la siguiente relación entre el voltaje Eaf y EA:
faseHenriosLL
LaaM
afMff /94,2
02035,0245,0 22
===
HenriosP
NKg
LDL fasebf
e
gff 94,210
14,8 8
2
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ××= −
12,361179361014,8
94,210 88
2
=×
=×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ×−
−
PNK
gLD fasebf
e
g
fasevoltiosaKf
E polowaf /36,339
44,4=
Φ×××=
fasevoltiosIXE adA /47,13802,1252,11 =×=×=
fasevoltiosa
KfE Aw
A /47,13844,4
=Φ×××
=
139
El flujo por polo Φpolo debido a la corriente de excitación de la máquina viene dado por:
El flujo por polo ΦA debido a la corriente de armadura viene dado por:
Estableciendo una relación entre los dos flujos; es decir Φpolo/ΦA, debido a que los
parámetros involucrados en las ecuaciones son constantes; es evidente que la relación
entre las corriente es igual a la establecida para los flujos; por lo cual se deduce que la
corriente de campo que requiere el generador para generar el Eaf calculado y
mantener la condición de carga especificada es:
Parte b.-) En esta parte es conveniente un razonamiento inductivo a partir de la ecuación básica
de funcionamiento de una máquina sincrónica, la cual es:
De donde la frecuencia es:
Es evidente que siendo el número de polos (P) constante al igual que la velocidad de
operación, la frecuencia de la máquina es constante; es decir, frecuencia no varía con
la variación de la corriente de excitación de la máquina.
45,247,13836,339
44,4
44,4
==Φ
Φ=
Φ×××
Φ×××
=A
polo
Aw
polow
A
af
aKf
aKf
EE
e
fcampobfgopolo gP
INKLD××
××××=Φ 2
8π
μ
e
fasewgoA gaP
INKLDm××
×××××=Φ 2
8,1 μ
ampsII f 45,2902,1245,245,2 =×=×=
Pfns
×=
120
120Pn
f s ×=
140
Un análisis en base a:
De donde la frecuencia es:
Debido a que se desprecia la saturación existe una relación directa de
proporcionalidad conlleva a que cualquier cambio en la corriente de excitación que
aumente el Φpolo causa igual aumento en el voltaje Eaf; por lo cual la frecuencia
permanece constante a 60 Hz para cualquier valor de la corriente de excitación
Parte c.-) Estando el generador de manera aislada alimentando a la carga especificada, la cual
se corresponde con la carga nominal del generador; es decir, los 5000 va de capacidad
del generador se convierten en 5000 vatios aplicados a la carga debido al hecho de
que está tiene un factor de potencia unitario. Si se aplica un disminución a la corriente
de excitación del generador manteniendo la carga constante; esto causa; no sólo la
disminución propia del voltaje generado Eaf, sino también que la corriente de
armadura aumente adelantándose respecto al voltaje en terminales, con lo cual, el
generador pasa a una condición operativa en la que toma reactivos de la red, lo que no
es posible ya que se trata de un sistema aislado. De modo que la corriente mínima
para mantener la carga especificada es igual a la de la parte a.-). Por otro lado, siendo
el generador la única fuente de potencia reactiva, el valor de la corriente de
excitación deber ser tal que el generador produzca los reactivos necesarios para su
propio proceso de conversión de energía, además de los que requiere la carga. Sin
embargo siendo la carga resistiva, el valor de excitación debe ser la necesaria para el
proceso de conversión únicamente.
aKf
E polowaf
Φ×××=
44,4
polow
af
KfaE
fΦ×××
×=
44,4
141
PROBLEMA # 30: El generador trifásico del problema # 29 alimenta una máquina idéntica operando
como un motor sincrónico. Tres reactores inductivos, uno en cada fase, se conectan
en serie entre las armaduras como se muestra en la figura Nº 68. El valor de cada
reactancia es de 0,20 por unidad en términos de los valores nominales de la máquina
y la resistencia es despreciable. El motor impulsa una carga mecánica en donde el par
puede considerarse independiente de la velocidad y de un valor tal que la potencia
mecánica es de 2,0 Kw a velocidad nominal. a.-) Las corrientes de campo de las dos
máquinas se ajustan de tal forma que el voltaje nominal se aplica a las terminales del
motor a frecuencia nominal con un factor de potencia del motor de 0,80 corriente
atrasada. Desprecie pérdidas y calcule la corriente del campo en cada máquina. b-)
Cuál es el valor mínimo de la corriente del campo del motor (en base a la teoría del
rotor cilíndrico) para la cual las máquinas permanecerán en sincronismo a velocidad
sincrónica con la corriente del campo del generador como en la parte a.-).
Solución:
Parte a.-)
Del problema # 29 se conocen los datos característicos del generador y motor:
Máquinas sincrónicas trifásicas, 240 voltios, 5 Kva, 60 Hz, conectadas en estrella y
con una reactancia sincrónica de 1,00 por unidad.
Se conoce que para impulsar la carga mecánica que tiene conectada el motor en su
eje, éste entrega una potencia mecánica de 2 Kw a velocidad nominal. Despreciando
Gen Sin Mot Sin
Figura Nº 68: Generador Sincrónico Alimentando a un Motor Sincrónico a Través de Reactores
142
las pérdidas tal como se establece en el enunciado del problema; se tiene que la
potencia eléctrica de entrada al motor es también 2 Kw.
En esta parte se debe tener presente que:
Sí no hay pérdidas; es decir, la eficiencia es 100 %, la potencia de entrada es igual a
la potencia de salida.
La potencia de entrada también viene dada por:
El enunciado del problema establece que la excitación del motor se ajusta de tal
manera que a éste se le aplica voltaje en terminales nominal a factor de potencia 0,80
corriente atrasada.
La corriente que entra al motor para impulsar la carga especificada es entonces:
Tomando en cuenta el desfasaje entre el voltaje y la corriente que establece el factor
de potencia del motor, la corriente se expresa como
Para tener los parámetros de operación ya calculados, el voltaje interno generado en
el motor es:
Despreciando ra queda:
Siendo Xd = 1,0 p.u
EficienciaP
P salidaentrada =
θCosIVPentrada ×××=Φ 33
.02,680,02403
20003
3 ampsCosV
PI entrada =
××=
××= Φ
θ
ampsI º14,14302,6º86,36º18002,6 ∠=−∠=
IjXIrVE daaf ++=
IjXVE daf +=
143
El valor base de la corriente es:
El valor por unidad de la corriente del motor es:
De tal modo que el voltaje interno generado por el motor en por unidad es:
El voltaje generado en voltios es:
Para la condición de carga especificada la caída en la reactancia de sincrónica; igual
en este caso a la reactancia magnetizante, EA viene dada por:
Por un razonamiento igual al problema # 29, se establece la siguiente relación entre el
voltaje Eaf y EA:
Tras lo cual la corriente de excitación del motor es:
El voltaje interno generado por el generador para mantener la condición de carga
especificada es:
.02,122403
50003
ampsV
SI
base
basebase =
×=
×=
upI pu .º14,14350,0º14,14302,1202,6
∠=∠=
º74,29806,0º14,14350,011 −∠=∠×+= jE puaf
º74,2944,193 −∠=afE
º14,23335,69º14,14302,652,11 ∠=∠×= jE MA
78,235,6944,193
44,4
44,4
==Φ
Φ=
Φ×××
Φ×××
=A
polo
Aw
polow
A
af
aKf
aKf
EE
ampsII Mf 73,1602,678,278,2 =×=×=
IjIjXVE dGaf ×+×+= 20,0
º86,365,020,0º86,365,011 −∠×+−∠×+= jjE Gaf
º44,1944,1 ∠=GafE
144
El voltaje generado en voltios es:
Por un razonamiento igual al problema # 29, se establece la siguiente relación entre el
voltaje Eaf y EA:
Tras lo cual la corriente de excitación del generador para mantener la condición de
carga especificada es:
En esta parte se concluye que para la condición de carga especificada el motor está
subexcitado y el generador está sobreexcitado
Parte b.-) Manteniendo la carga conectada al motor, la potencia activa tomada por el motor de
la red permanece constante en 2000 vatios. De acuerdo a la teoría de rotor cilíndrico
la potencia activa que toma el motor de la red viene dada por:
Para el caso en estudio se tiene que:
Dado que la potencia es constante, el término Eaf x Senδ =95,95 debe ser constante
dado que V y Xd son constantes
Una disminución en la corriente de excitación causa que el voltaje interno generado
Eaf disminuya por lo que el ángulo de par δ debe aumentar a objeto de mantener el
producto constante. Teóricamente; cuando se desprecia la resistencia de armadura
98,435,696,345
44,4
44,4
==Φ
Φ=
Φ×××
Φ×××
=A
polo
Aw
polow
A
af
aKf
aKf
EE
º89,126,345 ∠=afE
ampsII Gf 97,2902,698,498,4 =×=×=
d
af
XSenEV
Pδ××
=
52,11º74,2944,1932402000 Sen××
=
145
como en este caso, el límite del ángulo δ es 90º. A partir de este valor la energía
eléctrica de entrada no se convierte en energía mecánica y el motor tiende a pararse
como consecuencia de la carga conectada, perdiendo de esta manera el sincronismo.
Siendo el límite de δ = 90º; Senδ = 1, y por lo tanto el mínimo valor de Eaf que
mantiene el producto Eaf x Senδ = 95,95, es Eaf = 95,95 voltios (=0,40 pu)
Con tal valor de voltaje interno generado y trabajando en valores por unidad, la
corriente de entrada al motor es:
Recordando que se ha despreciado el flujo y dispersión, tras lo cual la reactancia
sincrónica es igual a la reactancia magnetizante, la caída en la reactancia
magnetizante en por unidad es:
En voltios EA es:
Se establece la siguiente relación entre el voltaje Eaf y EA:
Tras lo cual la mínima corriente de excitación del motor es:
PROBLEMA # 31: Los datos de circuito abierto de un generador de rotor cilíndrico de 133689 Kva; 13,8
Kv; 60 Hz; 3600 r.p.m se dan en la siguiente tabla.
º8,111077,11
º01º9040,0−∠=
⊥−∠=
−=
jXVE
Id
af
º8,21077,18,111077,11 −∠=−∠×=×= jIjXE dA
voltiosE A º8,2148,2588,111077,1240 −∠=−∠×=
371,048,258
95,9544,4
44,4
==Φ
Φ=
Φ×××
Φ×××
=A
polo
Aw
polow
A
af
aKf
aKf
EE
ampsII Mf 8,494,12371,0371,0 =×=×=
146
Corriente de Campo en Amperios Voltaje de Armadura Línea a Línea 0 0
385 11,05 545 13,80 700 15,20 980 16,50
1190 17,25 1470 17,95 1650 18,20
Los datos del factor de potencia cero del mismo generador son los siguientes: Corriente de Campo (Amp) Corriente de Armadura en (Amp) Voltaje Línea-Línea (Kv)
795 5594 0 1615 5594 13,8
Encuentre: a.-) La reactancia sincrónica no saturada, b.-) La reactancia de Potier, c.-)
La reactancia de la reacción de armadura y d.-) La corriente de campo para dar un
medio de la corriente nominal a factor de potencia cero y voltaje nominal.
Solución:
Parte a.-)
El valor de la reactancia sincrónica no saturada Xdns se determina a partir de la recta
de entrehierro y de la recta de corto circuito, aplicando la siguiente ecuación:
Donde: OC: Voltaje nominal de la máquina sobre la recta de entrehierro
O’d: Corriente de corto circuito sobre la recta de corto circuito producida por
la misma corriente de campo que produce a OC.
Si bien, la información para construir tales rectas no está dada de manera explicita
como dato del problema, estas se obtienen a partir de la información dada.
Con respecto a la recta de entrehierro, se debe tener presente que esta representa una
condición de magnetización de la máquina donde se desprecia la saturación del hierro
del estator y rotor como parte del circuito magnético. En este sentido, la recta de
entrehierro no es más que una extensión de la zona lineal de la curva de vacío; es
decir, cuando aún no existe saturación.
fasedns dOOCX Ω
×=
'3
147
En la figura Nº 71, se muestra la curva de vacío para los datos dados y la recta de
entrehierro.
Con respecto a la Recta de Corto Circuito; se conoce un punto de la curva de factor
de potencia cero, este punto es: 795 amperios de corriente de campo que producen
una corriente de 5594 amperios en la armadura en condición de corto circuito; es
decir con el voltaje en terminales igual a cero. Es una práctica común, a objeto de
facilitar el análisis que la recta de corto circuito y la recta de entrehierro se dibujen en
una misma gráfica. En la figura Nº 69, se ha dispuesto el eje de corriente de armadura
en condición de corto circuito a la derecha para mostrar la recta de corto circuito
pasando por el punto (795, 5594) y por el origen.
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp)
Figura Nº 69: Curva de Vacío y Recta de Entrehierro Problema Nº 31.
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Corriente de Armadura (amp)
Recta de Corto Circuito
480
3377
13800
148
Ubicando el voltaje nominal de la máquina (13800 voltios) sobre la línea de
entrehierro se encuentra que este es producido por una corriente de campo de 480
amperios; la cual, ubicándola sobre la recta de corto circuito produce una corriente de
3377 amperios. La reactancia sincrónica no saturada es:
Parte b.-)
La reactancia de Potier toma en cuenta; además de la reactancia de dispersión del
estator, la reactancia de dispersión del rotor por el hecho de que ambos flujos de
dispersión están en fase para una corriente dada de fase. La reactancia de Potier se
determina a partir del triángulo de Potier; el cual se construye a partir de la curva de
vacío y de los datos para la curva de factor de potencia. Para ilustrar este
procedimiento, se toma como punto de partida la curva de vacío ya elaborada y
mostrada nuevamente en la figura Nº 70.
Los pasos son los siguientes:
Paso 1: Se ubica en la gráfica el punto 1 de la curva de factor de potencia cero; el
cual es: Corriente de campo de 795 amperios que en condición de corto circuito
(Voltaje en terminales = 0) produce una corriente de armadura de 5594 amperios
Paso 2: Se ubica en la gráfica el punto 2 de la curva de factor de potencia cero; el
cual es: Corriente de campo de 1615 amperios que a voltaje nominal (Voltaje
Nominal = 13800 voltios) produce una corriente de armadura de 5594 amperios.
Paso 3: Medir; hacia la izquierda, sobre la línea de voltaje nominal (Voltaje del punto
2 de la curva de factor de potencia cero) un segmento de corriente igual a la corriente
de campo del punto 1 (795 amperios) como se indica.
Paso 4: Por el extremo izquierdo del segmento del paso 3, trazar una recta paralela a
la recta de entrehierro como se indica. La recta paralela trazada corta a la curva de
vacío en el punto “c”. Desde el punto “c” se traza una perpendicular hasta el eje de
corriente de campo que corta al segmento trazado en el paso 3 en el punto “a”. La
unión de los puntos “a”, “c” y 2, forma el triángulo de Potier.
fasednsX Ω=×
= 35,233773
13800
149
La altura del triángulo de Potier representa la caída en la reactancia de dispersión de
la máquina; tanto la del rotor como la del estator, y en la gráfica se lee que esta tiene
un valor de 16100 -13800 = 2300 voltios.
La reactancia de Potier Xp viene dada por:
Paso c.-)
La reactancia sincrónica no saturada de la máquina Xdns es la suma de la reactancia de
dispersión y la reactancia magnetizante o de reacción de armadura. Esto es:
Figura Nº 70: Construcción del Triángulo de Potier Problema Nº 31.
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp)
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Corriente de Armadura (amp)
Recta de Corto Circuito
480
3377
13800
795
Punto 2
Punto 1
1615
795
c
a
fasepX Ω=×
−= 237,0
5594313800016100
150
Donde: Xl: Es la reactancia de dispersión del estator
Xad: Es la reactancia magnetizante o de reacción de armadura
Tomando en cuenta que la reactancia de Potier considera; además de la reactancia de
dispersión del estator, la reactancia de dispersión del rotor, se expresa la reactancia
sincrónica como sigue:
De donde se determina la reactancia magnetizante o de reacción de armadura:
Parte d.-)
Para el cálculo de la corriente de excitación que se requiere en el generador para
mantener la condición de operación especificada se parte del cálculo de voltaje
interno generado Eaf; a partir de la siguiente ecuación cuando se desprecia la
resistencia interna:
Donde: Xd = Es la reactancia sincrónica saturada
V = Voltaje en terminales
I = Corriente de armadura; la cual para la condición de operación
especificada es la mitad de la corriente nominal; es decir, 5594/2 = 2797
amperios
La reactancia sincrónica saturada Xd; esta relacionada con la reactancia de Potier y la
reactancia de reacción o de armadura o magnetizante por la siguiente ecuación:
adldns XXX +=
adpdns XXX +=
faseXXX pdnsad
Ω=−=−= 11,2237,035,2
IjXVE daf ×+=
KXXX ad
pd +=
151
Donde: K = Factor de saturación definido como la relación entre la corriente de
excitación resultante para el entrehierro además del hierro (R) que para el entrehierro
sólo (Rag) bajo las condiciones magnéticas determinadas por el voltaje de Potier (Ep)
Una ilustración gráfica de lo que representa el factor de saturación se muestra en la
figura Nº 71.
El voltaje de Potier para la condición de operación especificada es:
voltiosjIjXVE pp 56,8630º902797237,03
13800=−∠×+=×+=
Figura Nº 71: Factor de Saturación K bajo condición magnética de Ep Problema Nº 31.
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp)
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Corriente de Armadura (amp)
Recta de Corto Circuito
3377
480
590
Ep L-L=14948,12
Recta de Carga
152
Se halla Ep L-L:
Se ubica Ep L-L en la gráfica de la figura Nº 73, y se proyectan hacia el eje de corriente
de excitación los puntos donde corta a la recta de entrehierro y a la curva de vacío. Se
encuentra R = 590 amperios y Rag= 480 amperios. El factor de saturación es entonces:
De modo que la reactancia sincrónica saturada es:
El voltaje interno generado Eaf es entonces:
Se determina EK:
Debido a que las condiciones para las cuales se determinó el voltaje de Potier (Ep)
son las mismas que para Eaf; las condiciones magnéticas de la máquina permanecen
constantes; la reactancia sincrónica saturada tiene el valor calculado, la curva de
vacío se representa por medio de la recta de carga como se muestra en la figura Nº 73.
Se ubica el valor de EK sobre la recta de carga y se encuentra que el mismo es
producido por una corriente de excitación de 920 amperios como se muestra en la
figura Nº 72.
voltiosEE pLLp 12,149483 =×=−
22,1480590
===agRRK
faseKX
XX adpd
Ω=+=+= 96,1
22,111,2237,0
voltiosjIjXVE daf 1345090279796,13
13800=−∠×+=×+=
voltiosEE afK 232951345033 =×=×=
153
PROBLEMA # 32:
Use el método del factor de saturación para determinar: a.-) La corriente de campo y
b.-) La regulación del generador en el problema # 31, cuando alimenta una carga
nominal a un voltaje en terminales nominal, frecuencia nominal y un factor de
potencia de 0,85 corriente atrasada.
Figura Nº 72: Ubicación de EK Problema Nº 31.
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp)
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Corriente de Armadura (amp)
Recta de Corto Circuito
3377
Ep L-L=14948,12
Recta de Carga EK=23295
920
154
Solución:
Parte a.-) La corriente de campo Regulación
La condición de carga especificada en este problema es diferente a la del problema Nº
31, lo que conlleva a que cambien las condiciones magnéticas del hierro de la
máquina. Cabe destacar que la reactancia de Potier (Xp) permanece constante dado
que las trayectorias del flujo de dispersión no se ven afectadas por las nuevas
condiciones magnéticas de la máquina. Se determina entonces un voltaje de Potier
para la condición dada:
Se halla Ep L-L:
Se ubica Ep L-L en la gráfica de la figura Nº 73, y se proyectan hacia el eje de corriente
de excitación los puntos donde corta a la recta de entrehierro y a la curva de vacío. Se
encuentra R = 685 amperios y Rag= 515 amperios. El factor de saturación es entonces:
De modo que la reactancia sincrónica saturada es:
El voltaje interno generado Eaf es entonces:
Se determina EK:
voltiosjIjXVE pp º4,798,8737º78,315594237,03
13800∠=−∠×+=×+=
voltiosEE pLLp 18,151343 =×=−
33,1515685
===agRRK
faseKX
XX adpd
Ω=+=+= 82,1
33,111,2237,0
voltiosjIjXVE daf 99,3241,1589278,31559482,13
13800∠=−∠×+=×+=
voltiosEE afK 65,2752541,1589233 =×=×=
155
Se ubica el valor de EK sobre la recta de carga y se encuentra que el mismo es
producido por una corriente de excitación de 1250 amperios como se muestra en la
figura Nº 74; la cual genera un voltaje en la curva de vacío de 17950 voltios.
Parte b.-) La Regulación
La regulación del generador viene dada por:
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp) Rag=515
Ep L-L=15134,18
Recta de Carga
R=685
Figura Nº 73: Ubicación de EK Problema Nº 32.
07,3013800
1380017950Re%arg
arg =−
=−
=aconc
acconvacío
EEE
g
156
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Voltaje Línea a Línea (Kv)
Recta de Entrehierro Curva de Vacío
Corriente de Excitación (amp)
Ep L-L=15134,18
Recta de Carga
Figura Nº 74: Ubicación de EK Problema Nº 32.
Evacío= 17950
157
PROBLEMA # 33:
En una prueba de deslizamiento a un motor sincrónico de 5 Kva., 240 voltios, 60 Hz;
se toman las siguientes lecturas:
Línea a Línea, voltios 200 máximo; 180 mínimo
Corriente de Línea, amp 11,25 máximo; 7, 20 mínimo
Desprecie los efectos de la sobreoscilación de los instrumentos y calcule los valores
no saturados de Xd y Xq en ohmios y en por unidad en base al neutro de línea a línea
¿Cuáles serian los valores por fase si la armadura estuviera conectada en delta?
Solución:
La prueba de deslizamiento se aplica a las máquinas sincrónicas de polos salientes
para obtener valores aproximados de la reactancia de eje directo y la reactancia de eje
de cuadratura. Debe tenerse presente que en una máquina de polos salientes existe
una marcada diferencia en el entrehierro frente a los polos que frente a los espacios
interpolares lo que resulta en la aparición de las reactancias ya comentadas y en la
existencia de los ejes directo y de cuadratura que identifican a tales reactancias; como
Xd y Xq respectivamente.
La prueba de deslizamiento; la cual consiste en aplicar un reducido voltaje trifásico
balanceado a frecuencia nominal al estator, mientras que el rotor se le hace girar un
poco arriba o debajo de la velocidad sincrónica, con el circuito de campo abierto,
permite la determinación aproximada de las reactancias de eje directo y de eje de
cuadratura, ya que con ella se logra que la Fmm de armadura reaccione alternamente
a lo largo de cada eje.
Durante la prueba se toman oscilogramas del voltaje en terminales de la armadura,
corriente de armadura y el voltaje de campo abierto, como se muestran en la figura Nº
75.
158
Se aprecia en los oscilogramas mostrados en la figura Nº 76 que cuando la Fmm de
reacción de armadura reacciona en el eje directo, el voltaje de armadura tiene un valor
máximo y la corriente de armadura tiene un valor mínimo; por el contrario, cuando la
reacción de armadura reacciona en el eje de cuadratura, el voltaje de armadura tiene
un valor mínimo y la corriente de armadura tiene un valor máximo. Con base a lo
anterior los valores aproximados de la reactancia de eje directo (Xd) y de eje de
cuadratura (Xq) vienen dados por:
Xd = Relación de voltios por fase aplicado a los amperios por fase de la
armadura cuando la Fmm de armadura reacciona en el eje directo.
Xq = Relación de voltios por fase aplicado a los amperios por fase de la
armadura cuando la Fmm de armadura reacciona en el eje de cuadratura.
Cuando no se disponen de los oscilogramas, los valores aproximados de Xd y Xq
también pueden obtenerse a partir de las lecturas de voltímetros y amperímetros. Un
amperímetro indica un valor mínimo de la corriente cuando Fmm de armadura
reacciona en el eje directo y un valor máximo cuando lo hace en el eje de cuadratura,
la lectura del amperímetro oscila entre un valor máximo y un mínimo. El voltímetro
por su parte indica un valor máximo cuando la Fmm de armadura reacciona en el eje
Corriente de Armadura
Voltaje de Armadura
DEje − QEje −
Figura Nº 75: Oscilogramas de la Prueba de Deslizamiento
159
directo y un valor mínimo cuando lo hace en el eje de cuadratura. Loa valores
aproximados están dados por:
Para lo valores dados:
La impedancia base es:
Los valores por unidad de Xd y Xq son:
Si la armadura estuviera conectada en delta los voltajes de línea aplicado son los
voltajes de fase; y las corrientes de fase son las corrientes de línea entre raíz de tres.
Esto resulta:
Los valores por unidad son:
PROBLEMA # 34:
Un generador de 40.000 Kva, trifásico;13,2 Kva; 60 Hz; tiene unos valores por
unidad de las reactancias sincrónicas saturadas de Xd = 1.00 y Xq = 0.60. a.-)
Considere que este generador está conectado a una barra infinita y calcule la potencia
min
max
IV
X NLd
−=max
min
IV
X NLq
−=
faseX d
Ω== 03,16
20,73/200
faseX q
Ω== 23,9
25,113/180
faseZbase
Ω== 52,11
50002402
39,152,1103,16
==pudX 80,052,1123,9
==puqX
faseX d
Ω== 11,48
3/20,7200
faseX q
Ω== 71,27
3/25,11180
17,452,1111,48
==pudX 40,252,1171,27
==puqX
160
real máxima que este generador puede alimentar sin perder el sincronismo cuando el
circuito del campo está abierto. b.-) Calcule la potencia reactiva, factor de potencia y
corriente. ¿Está la corriente adelantada o atrasada respecto al voltaje en terminales?
Solución:
Parte a.-)
La potencia activa trifásica que entrega un generador sincrónico viene dada por:
Estando el circuito de campo abierto, la corriente de excitación es cero y por lo tanto
no hay voltaje interno (Eaf = 0). La potencia real trifásica que puede entregar este
generador es entonces:
La potencia real trifásica es máxima cuando δ = 45º, que hace Sen (2δ) = 1. Por tanto:
Si se usan los valores en por unidad dados de las reactancias Xd y Xq se obtiene:
Tomando como valor base potencia la potencia compleja nominal de la máquina, el
valor real de la potencia activa trifásica entregada sin excitación es:
La máxima potencia activa monofásica que entrega sin excitación es:
Parte b.-)
La potencia reactiva trifásica que entrega un generador sincrónico viene dada por:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+= δδ 2
23 2SenV
XXXX
SenX
VEP
qd
qd
d
af
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= δ2
23 2SenV
XXXX
Pqd
qd
2max 2
3 VXXXX
Pqd
qd −=
333,0160,012
60,01 2max =×
××−
=puP
KwP 1332040000333,03max =×=Φ
KwP 44403
133201max ==Φ
161
Si no hay excitación Eaf = 0.
Para δ = 45º, Cos (2δ) = 0. Por tanto
Si se usan los valores en por unidad dados de las reactancias Xd y Xq se obtiene:
Tomando como valor base potencia la potencia compleja nominal de la máquina, el
valor real de la potencia reactiva trifásica entregada sin excitación es:
La máxima potencia reactiva monofásica que entrega sin excitación es:
La potencia compleja trifásica entregada por la máquina es:
El factor de potencia es:
Un razonamiento que conlleva a determinar si la corriente está adelantada o atrasada
respecto al voltaje en terminales es el hecho de que la máquina no tiene excitación; lo
cual conlleva a que ésta tome reactivos de la red, por lo que debe tener la corriente
adelantada con respecto al voltaje en terminales.
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−= δδ 2)()(
23
2
CosXXXXXX
VCosX
VEQ qdqd
qdd
af
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−= δ2)()(
23
2
CosXXXXXX
VQ qdqdqd
[ ])(2
32
qdqd
XXXX
VQ +−=
[ ] 33,1)60,01(60,012
12
max −=+××
−=puQ
KwQ 5332040000333,13max =×=Φ
var33,177733
533201max KQ ==Φ
KvajS º97,7557,5495853320133203max −∠=−=Φ
2424,0)º97,75( == Cosfp
162
PROBLEMA # 35:
Un motor sincrónico de 200 Hp, trifásico 60 Hz tiene un factor de potencia a plena
carga de 0.85 corriente adelantada. La resistencia de armadura es 0.05 por unidad, las
reactancias son Xp = 0.12, Xdu = 1.10 y Xq =0.60 por unidad no saturadas. La
eficiencia a carga nominal no incluyendo el excitador es 0.92. Los datos para la
características de circuito abierto se listan en por unidad a continuación
Excitación de Campo 0.0 0.7 1.0 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2.0 2.3
Voltaje de Armadura 0.0 0.70 0.92 1.04 1.08 1.115 1.14 1.165 1.215 1.25 1.28
Use la teoría de las dos reacciones (use Xd y Xq), el método de factor de saturación y
calcule el ángulo de par δ y la corriente de campo para carga nominal, factor de
potencia 0.85, corriente adelantada. La corriente de campo requerida para un voltaje
de circuito abierto nominal en la línea de entrehierro es de 12,2 amperios.
Solución:
Trabajando en valores por unidad; para la condición de carga nominal, la potencia de
salida es 1 p.u. La potencia de entrada es:
La potencia de entrada también viene dada por:
Con V= 1 p.u; se obtiene la magnitud de la corriente en valores por unidad:
Tomando en cuenta el factor de potencia; la corriente se expresa como:
086,192,01
===Eficiencia
PP salida
entrada
85,01086,1 ××=××== ICosIVPentrada θ
upI .278,1=
upI .º78,211278,178,31º180278,1 ∠=+∠=
163
Con los datos dados se construye la curva de vacío que se muestra en la figura Nº 76.
El voltaje de Potier para la condición de operación especificada en valores por unidad
es:
Se ubica Ep (p.u) en la gráfica de la figura Nº 77, y se proyectan hacia el eje de
corriente de excitación los puntos donde corta a la recta de entrehierro y a la curva de
vacío. Se encuentra R = 1,20 amperios y Rag= 1,03 amperios. El factor de saturación
es entonces:
0767,9039,1º78,31278,1)12,005,0(0,1)( −∠=∠×++=×++= jIjXrVE pap
Figura Nº 76: Factor de Saturación K bajo condición magnética de Ep Problema Nº 35.
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,25 0,50 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0
Voltaje Línea a Línea (p.u)
Corriente de Excitación (pu) Rag=1,03
R=1,20
2,25 2,50
Ep=1,03
Recta de Entrehierro Recta de Carga
Eaf=1,90679
2,201
164
Se halla la reactancia sincrónica saturada aplicando:
Un diagrama fasorial aproximado se muestra en la figura Nº 77.
El vector aC viene dado por:
La tangente del ángulo de par δ; en base al diagrama fasorial viene dado por:
165,103,120,1
===agRRK
faseKXX
XK
XXX pdns
pad
pdΩ
=−
+=−
+=+= 96,0165,1
12,010,112,0
º78,211278,1 ∠=I
C
a
DEje
QEje
Ira
IjX q
dI
qI
º93,26−=δdd IjX
afE
V
qq IjX
( )IjXrVaC qa ++=
aCaCTan
ReIm
=δ
θθθθ
δCosIrISenXV
SenIrICosXTan
aq
aq
×−+
×+=
º78,31=θ
93,26º78,31 +=iθ
Figura Nº 77: Diagrama Fasorial Asociado al Problema Nº 35.
165
Luego; δ es:
Conocido δ; se determinan las componentes de eje directo y de eje de cuadratura de la
corriente de armadura. Para el diagrama fasorial mostrado en la figura Nº 77, se tiene:
El voltaje generado internamente para mantener la condición de carga especificada
viene dado por:
En la curva de vacío de la figura Nº 77 se traza la recta de carga que representa la
magnetización de la máquina para la condición de operación especificada; para la
cual se lee que el voltaje de Potier es producido por una corriente de campo de 1,2
p.u. Luego; sí 1,2 p.u de corriente de campo generan 1,039 de voltaje de Potier sobre
la recta de carga; 1,9067 de voltaje es producido por una corriente de campo de 2,201
p.u de corriente de excitación. Es importante destacar en esta parte que dado que se
trabaja con valores por unidad no se requiere hallar el voltaje línea a línea para entrar
a la gráfica.
De la información dada se concluye que la corriente de excitación base es 12,2
amperios; por lo tanto, la corriente hallada en amperios es:
º93,2685,0278,105,0)º78,31(278,160,01)º78,31(278,105,085,0278,160,01 −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××−××+
××+××= −
SenSenTanδ
º07,153663,0º07,153)º71,58(278,1º180 ∠=∠×=−∠×= CosCosII iq δθ
º93,116092,1º93,116)º71,58(278,1º90 ∠=−∠×=+−∠×= SenSensII id δθ
ddqqaaf IjXIjXIrVE +++=
53,116092,196,007,153663,060,0º78,211278,1005,01 −∠×+∠×+∠×+= jjEaf
53,269067,18635,07,1 −∠=−= jEaf
amperiosI f 85,126201,22,12 =×=
166
PROBLEMA # 36:
Un motor sincrónico de 250 Hp, 2.400 voltios, 3 fases, 60 Hz, 600 rpm, 0.80 factor
de potencia, tiene las siguientes constantes expresadas en por unidad: Xd = 0.90;
Xq=0.50 y ra = 0.025.
Cuando trabaja a carga nominal, a 0.80 factor de potencia, corriente adelantada la
eficiencia del motor es de 0.95. a.-) Calcule el par de salida, usando la teoría de rotor
cilíndrico, es decir, Xd = Xq = 0.90 para carga nominal y factor de potencia 0.80 ¿Cuál
es la potencia reactiva a la salida? ¿Cuál es la relación del par de salida a 0.80 factor
de potencia al que se tendría a factor de potencia unitario? b.-) Desprecie el cambio
en eficiencia y repita la parte a.-) pero para factor de potencia unitario, corriente
adelantada.
Solución:
Parte a.-)
Estando el motor funcionando a carga nominal, la potencia de salida expresada en
kilovatios es:
Siendo la eficiencia del motor de 0,95; se determina la potencia de entrada:
Se conoce que la potencia de entrada trifásica viene dada por:
De donde se obtiene:
Tomando en cuenta el factor de potencia la corriente de línea se expresa como:
KwHpKwHpPsalida 5,186746,0250 =×=
KwKwEficiencia
PP salida
entrada 31,19695,05,186
===
80,024003331,1963 ×××=×××==Φ ICosIVKwPentrada θ
AmpI 03,59=
AmpCosI 87,21603,59)80,0(º18003,59 1 ∠=+∠= −
167
El torque desarrollado por la máquina viene dado por:
Donde: P1Φ = Es la potencia monofásica
wm = Velocidad del Motor (rad/seg)
Conociendo que la potencia monofásica; de acuerdo a la teoría de las dos reactancias,
viene dada por:
Y que la velocidad del motor se expresa en términos de la velocidad sincrónica como:
El torque electromagnético desarrollado por el motor viene dado por:
Por condición del problema, para esta parte se exige el uso de la teoría de rotor
cilíndrico con Xd = Xq = 0,90. El torque electromagnético es entonces:
La relación de la ecuación que da el torque electromagnético con la corriente de línea
previamente hallada, consiste en determinar el voltaje interno generado Eaf que
permite que dicha corriente circule por la armadura del motor. El voltaje Eaf; de
acuerdo a la teoría de rotor cilíndrico, viene dado por:
Xd y ra; están dados en valores por unidad. El valor de la impedancia base es:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+= δδ 2
23 2SenV
XXXX
SenX
VEP
qd
qd
d
af
mem w
PT Φ= 13
602 sinn
wm×
=π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
××
= δδπ
222
603 2
sin
SenVXXXX
SenX
VEn
Tqd
qd
d
afem
d
af
sd
afem X
SenEVw
SenX
VEn
Tδ
δπ
×××=×
××
=31
2603
sin
IjXIrVE daaf ++=
Ω=== 47,23245400
)2400( 22
SV
Z nbase
168
Donde S = 245400; es el valor de la potencia compleja para la condición de carga
especificada.
Los valores reales de Xd y ra son:
El voltaje interno generado es entonces:
El torque electromagnético desarrollado por el motor es entonces:
La potencia reactiva trifásica de salida viene dada por:
Si Xd = Xq; entonces:
Sustituyendo se obtiene:
Sí el factor de potencia es 1; los parámetros operativos son los siguientes:
faseX real
Ω=×= 12,2147,2390,0
fasera
Ω=×= 5867,047,23025,0
25,10188,2105º87,21603,59)12,215867,0(3
2400 jjEaf −=∠×++=
º81,25206,2339 −∠=afE
mNwSen
Tem −=×××
= 17,319012,21
)81,25(06,23393
24003
832,621
[ ]⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−= δδ 2)()(
23
2
CosXXXXXX
VCosX
VEQ qdqd
qdd
af
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= d
ddd
af XXX
VCosX
VEQ 2
23
2
δ
( )22
2 322
3 VCosVEX
XX
VCosX
VEQ af
dd
dd
af −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= δδ
var83,1415493
240081,2506,23393
240012,21
32
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−××= CosQ
169
La potencia compleja del motor es:
La impedancia base es:
Para la nueva base de potencia compleja; los valores reales de Xd y ra son:
La corriente del motor para la nueva condición de carga es:
De donde se obtiene:
El voltaje interno generado para la nueva condición de carga es:
El torque electromagnético es entonces:
La relación entre los torques a diferentes factor de potencia es:
KvaKwP
SdondedefpSP salidasalida 31,196
131,196
1===×=
Ω=== 34,29196310
)2400( 22
SV
Z nbase
faseX real
Ω=×= 406,2634,2990,0
fasera
Ω=×= 7335,034,29025,0
AmpI º180227,47 ∠=
0,124003331,1963 ×××=×××==Φ ICosIVKwPentrada θ
77,124603,1351º180227,47406,267335,0(3
2400 jjEaf −=∠×++=
º70,424,1838 −∠=afE
mNwSen
Tem −=×××
= 33,312440,26
)70,42(4,18383
24003
832,621
021,133,312417,3190
1
80,0 ===
=
fpem
fpem
TT
170
CONCLUSIONES Al término del presente trabajo se establece la siguiente conclusión: La solución de los problemas que sobre máquinas sincrónicas están propuestos en el
texto guía: Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas, autor Matsch, Leander
(1.990); del pensum de estudio de la carrera Ingeniería Eléctrica de la Universidad de
Oriente, por la manera inductiva en que están presentadas contribuirá a potenciar la
capacidad de análisis de los estudiantes, a la vez que mejora el desempeño
profesional en el área de máquinas sincrónicas como elementos claves en los sistemas
de potencia eléctrica.
171
RECOMENDACIONES
Al término del presente trabajo se establece la siguiente recomendación: Por la forma resumida en que se presentan los fundamentos teóricos en los cuales se
sustenta la solución de los problemas planteados; y a los fines de ayudar en el logro
del objetivo planteado, se recomienda la lectura detallada del capítulo V del texto
guía: Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas, autor Matsch, Leander
(1.990).
172
BIBLIOGRAFIA Matsch, L. (1.990) “Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas” Representaciones y Servicios de Ingeniería, S.A. México. Fitzgerald, A; Kinglsey, C. (1975) “Teoría y Análisis de las Máquinas Eléctricas”. Editorial Hispano Europea. Primera Edición. España Langsdorf, A. (1977). “ Teoría de las Máquinas de Corriente Alterna”. McGraw Hill, Segunda Edición. México Kosov, I. (1991) “Máquinas Eléctricas y Transformadores”. Prentice Hall. Segunda Edición. México Cathey, J. (2001). “Máquinas Eléctricas: Análisis y Diseño Aplicando Matlab”. Mc Graw Hill. Primera Edición. México