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7/29/2019 93822984 Act 4 Probabilidad

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Act 4: Leccin evaluativa 1

espacio muestral, Eventos o sucesos

EXPERIMENTOS ALEATORIOS Y ESPACIO MUESTRAL.

En la teora de probabilidades se habla a menudo de experimentos aleatorios y de fenmenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual

significa suerte o azar. Un fenmeno aleatorio, es por tanto, aqul cuyo resultado est fuera de control y que depende del azar.Experimentos o fenmenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados , sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cul de stos va a ser observadoen la realizacin del experimento.Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones inciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dnde caer, cunto tiempo tardar,

etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qu cara quedar arriba. El resultado depende del azar. Es una experienciaaleatoria.b

Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrir o no, dependiendo del azar.

Experimento aleatorio, espacio muestral y eventos

ESPACIO MUESTRALEspacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos

porS. A la coleccin de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Suceso o Evento de un fenmeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de

S se llaman sucesos individuales o sucesos elementales. Tambin son sucesos el suceso vaco o suceso imposible , , y el propio S,

suceso seguro

Si S tiene un nmero finito, n, de elementos, el nmero de sucesos de E es 2n.

Eventos o Sucesos

Operaciones con sucesos o evento


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Ya que los eventos o sucesos son subconjuntos, entonces es posible usar las operaciones bsicas de conjuntos, tales como uniones,

intersecciones y complementos, para formar otros eventos de inters, denominados eventos osucesos compuestos.

Dados dos sucesos, A y B, se llaman

Unin: Es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

Interseccin: Es el suceso formado por todos los elemento que son, a la vez de a y de B

Diferencia: es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Complemento de A: Es el suceo formado por todos los elementos de S que no son elementos de A.

diagramas de Venn y Diagramas de rbol

Los diagramas de Vennsuelen emplearse para representar un espacio muestral y sus eventos

Un diagrama de rbol es una especie de mapa de acontecimientos en donde se describen los eventos bsicos que ocurren en unexperimento aleatorio. Este grfico est formado por segmentos de rectas y puntos. Los eventos que ocurren se denotan por puntos.Este diagrama puede ser dibujado de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo, no hay restricciones para ello.

El espacio muestral que representa el experimento: Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

Su respuesta :

S = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 }

Correcto

Considere el experimento aleatorio de seleccionar tres alumnos en un grupo, con el fin de observar si trabajan (A) o no trabajan (B). Cual de las siguientes proposiciones es FALSA

Su respuesta :


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Exactamente uno no trabaja { (AAB), (ABA), (BAA), (BBB) }

Correcto!!!Esta proposicion es falsa

Tcnicas de conteo

En el clculo de las probabilidades se debe poder determinar el nmero de veces que ocurre un evento o suceso determinado. Esmuchas situaciones de importancia prctica es imposible contar fsicamente el numero de ocurrencias de un evento o enumrelos uno a

uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuando se esta frente a esta situacin es muy til disponer de un mtodo corto, rpido yeficaz para contar.

A continuacin se presentan algunas de estas tcnicas, denominadas tcnicas de conteo o anlisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principio fundamental delconteo, permutaciones, variaciones, combinaciones, la regla del exponente y el diagrama de rbol.

Principio de multiplicacin

Si un evento determinado puede realizarse de n1maneras diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2maneras diferentes,y si, adems, un tercer evento puede realizarse de n3maneras diferentes y as sucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento esindependiente del otro, entonces el nmero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

n1 x n2 x n3 x ....Principio aditivoEste principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condicin no de que los eventos sean independientes

sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga. El nmero total demaneras en las que pueden realizarse los eventos es la adicin:

n1 + n2 + n3 +....

PERMUTACIONES Y VARIACIONES

El nmero de permutaciones(acomodos u ordenaciones) de n elementos distintos, tomados todos de una vez, se denota porn!


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El nmero de permutaciones de n elementos tomados ra la vez se denota como y se define como:

Cuando uno o varios elementos estn repetidos, el clculo de las permutaciones vara; en este caso se habla de permutaciones con

repeticin. El nmero de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son iguales, n2son iguales, ,nrson iguales, es:

_______ n!___________

n1! x n2! x n3! x ...nr!

Combinatorias o combinaciones

Suponga que tiene un conjunto de n elementos. Una combinacinde ellos, tomados ra la vez, es un subconjunto de relementosdonde el orden no se tiene en cuenta . El nmero de combinaciones de n elementos tomados ra la vez, sin tener en cuenta el orden,es:

Regla del Exponente

Se trata de un tipo de combinacin o arreglo ordenado en donde siempre hay reemplazo del elemento que se toma. Si se tiene unconjunto de N elementos y se construye con estos elementos un conjunto de n elementos con la condicin de que cada vez que se tome

un elemento del conjunto de N elementos este sea nuevamente reemplazado, el nmero de arreglos posibles o acomodos del conjuntode n elementos es

N

n

En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, cuatro tipos decarne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. De cuntas maneras puede un comensal elegir su men que consista de unasopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre?

Su respuesta :

96


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Correcto!!!

En una fiesta se lleva a cabo un concurso de baile. De los 10 concursantes se premia al primer, segundo y tercer lugar. Cuantas opciones tendr el jurado para entregar el premio?

Su respuesta :

720

Correcto!!!

En la gerencia se quiere formar un comit integrado por 4 personas. Hay 11 personas que pueden formar el comit pero se establece que siempre el gerente haga parte. Cuantos

comits se pueden formar?

Su respuesta :

120

Correcto!!!

definicin de Probabilidad

INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD

Existen tres diferentes formas de definir la probabilidad de un evento. Cada una de estas formas de interpretacin tiene su lugar en el estudio de laProbabilidad y ninguna de ellas por separado cubre completamente todos los casos.Antes de iniciar con estas definiciones, se hace importante acordar una notacin que se seguir, y que usted encontrar comnmente en otros

textos acadmicos relacionados con la probabilidad. Los eventos sern enunciados en letras maysculas as:A, B, C,; la letramaysculaPdenotar una probabilidad yP(A) indicar, entonces, la probabilidad de que ocurra el eventoA.

DEFINICIN CLSICA DE PROBABILIDAD O A PRIORICuando un experimento aleatorio tiene n resultados, y todos ellos con igual posibilidad de ocurrencia, entonces se emplea elmtodo clsicode la


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probabilidad para estimar la posibilidad de ocurrencia de cada uno de ellos. Le corresponde pues, a cada resultado, una probabilidad igual a 1/n.

DEFINICIN DE PROBA BILIDAD SEGN EL CONCEPTO DE FRECUENCIA RELATIVA O PROBA BILIDAD FRECUENTISTA

En el siglo XIX, los estadsticos britnicos, interesados en la fundamentacin terica del clculo del riesgo de prdidas en las plizasde seguros de vida y comerciales, empezaron a recoger datos sobre nacimientos y defunciones. En la actualidad, a esteplanteamiento se le llama frecuencia relativa de presentacin de un evento y define la probabilidad como:

La frecuencia relativa observada de un evento durante un gran nmero de intentos, o

La fraccin de veces que un evento se presenta a la larga, cuando las condiciones son estables

Este mtodo utiliza la frecuencia relativa de las presentaciones pasadas de un evento como una probabilidad. Determinamos qu tanfrecuente ha sucedido algo en el pasado y usamos esa cifra para predecir la probabilidad de que suceda de nuevo en el futuro.

PROBABILIDADES SUBJETIVAS.Las probabilidades subjetivas estn basadas en las creencias de las personas que efectan la estimacin de probabilidad. Laprobabilidad subjetiva se puede definir como la probabilidad asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidenciaque se tenga disponible. Esa evidencia puede presentarse en forma de frecuencia relativa de presentacin de eventos pasados opuede tratarse simplemente de una creencia meditada.

Las valoraciones subjetivas de la probabilidad permiten una ms amplia flexibilidad que los otros dos planteamientos. Los tomadores

de decisiones puede hacer uso de cualquier evidencia que tengan a mano y mezclarlas con los sentimientos personales sobre la

situacin. Las asignaciones de probabilidad subjetiva se dan con ms frecuencia cuando los eventos se presentan slo una vez o un

nmero muy reducido de veces.

axiomas de probabilidad

REGLA DE LA ADICI N


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P (A U B) Estamos interesados en la probabildiad de que una cosa u otra suceda, es decir nos interesa la probabilidad de la union de dos eventos.

a) P (A U B) = P (A) + P (B) si A y B son eventos mutuamente excluyentes

b) P ( A U B) = P (A) + P(B) - P ( ) si A y B son compatibles

Existe un caso especial, para cualquier evento A, tenemos que ste sucede o no sucede. De modo que los eventos A y A son mut uamente

excluyentes y exhaustivos:

P(A) + P(A) = 1

P(A) = 1 - P(A)

REGLAS DE MULTIPLICACIN

P ( ) Nos interesa encontrar la probabilidad de que ocurran dos eventos o mas

P ( ) = P(A) X P(B) si A y B son eventos independientes

P ( ) = P(A) X P(B / A ) si A y B son eventos Dependientes

La dependencia estadstica existe cuando la probabilidad de que se presente algn suceso depende o se ve afectada por lapresentacin de algn otro evento. La independencia estadstica existe cuando la probabilidad de que se presentre algn suceso nodepende o no se ve afectada por la presentacin u ocurrencia de algn otro evento.

robabilidad Total y Teorema de Bayes

a probabil idad totalde un evento es la suma exhaustiva de las probabilidades de todos los casos mutuamente excluyentes que conducen a dicho evento., Se puede observar


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en el siguiente esquema:

Es as como la regla de probabilidad totalafirma:

TEOREMA DE BAYES

En el ao 1763, dos aos despus de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se public una memoria en la que aparece, por vez primera, la

determinacin de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El clculo de dichas probabilidades recibe el

nombre de teorema de Bayes.

En el curso de estadstica la probabilidad de que los estudiantes tengan computador es de 0.60, la probabilidad de que tengan auto es de 0.25 yambas cosas es de 0.15. Cual es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar tenga computador o auto?

Su respuesta :

0,70

correcto

Fabin y Pilar estudian en un mismo curso. La probabilidad de que Fabin no pierda ninguna materia es del 85% y la de Pilar es del 90%. Cual es la

probabilidad de que los dos no pierdan ninguna materia?

Su respuesta :

0,765

correcto!!!

Del conjunto S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} se saca un numero. Cual es la probabilidad de que este sea impar o divisible entre 3?

Su respuesta :

6/11


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correcto!!

Una compaa encontr que el 80% de las personas seleccionadas para su programa de entrenamientode vendedores termino el curso. De estos

solamente 60% se convirtieron en vendedores productivos. Si un aspirante nuevo llega al curso cual es la probabilidad de que termine el curso y seconvierta en un vendedor productivo?

Su respuesta :

0,48

correcto!!!

Un fabricante produce artculos en dos turnos, en el primer turno hace 300 unidades por da y en el segundo 200 unidades por da. Por experiencia se cree que de la

produccin de ambo turnos el 1% de las unidades del primer turno y el 2% del segundo turno son defectuosas. Calcule la probabilidad de que al seleccionar al azar unaunidad, esta se encuentre defectuosa.

Su respuesta :

0,014

correcto!!!

Se ha observado que hombres y mujeres reaccionan diferente a un medicamento; 70% de las mujeres reaccionan bien, mientras que el porcentaje de los hombres

es solamente del 40%. Se realizo una prueba a un grupo de 15 mujeres y 5 hombres para analizar sus reacciones. Una respuesta elegida al azar resulto negativa.

Cual es la probabilidad de la prueba la haya realizado una mujer?

Su respuesta :

0,60

correcto


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Un fabricante produce artculos en dos turnos, en el primer turno hace 300 unidades por da y en el segundo 200 unidades por da. Por experiencia se cree que de laproduccin de ambo turnos el 1% de las unidades del primer turno y el 2% del segundo turno son defectuosas. Si se selecciona una unidad al azar, y esta se encuentredefectuosa.Calcule la probabilidad de que se haya elaborado en el segundo turno?

Su respuesta :

0,57

correcto!!

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