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9. Modelos exponenciales. Primera parte

“Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.”

Wang Zhenyi (1768-1797)

9.1 Modelos exponencialesEn este módulo introduciremos algunos modelos relacionados con las denominadas

funciones exponenciales y logarítmicas en contextos de las ciencias biológicas o de lasciencias químicas. Las funciones exponenciales y logarítmicas permitirán modelar lossiguientes procesos (físicos - químicos - biológicos):

Crecimiento y decrecimiento continuo de una poblaciónEl primer modelo que consideraremos, por ser el más sencillo y simple, se refiere a la

reproducción bacteriana. Este proceso se denomina fisión binaria y en él, cada bacteria sedivide en dos. En condiciones ambientales y de alimentación adecuadas, las bacterias puedenreproducirse muy rápidamente, requiriendo pocos minutos. Sin embargo, en un cultivo debacterias, es frecuente que la fisión binaria no se realice en forma sincronizada entre todas lasbacterias presentes, de modo que sólo una parte (una fracción) del total de bacterias presentesen el cultivo realiza la división en cada instante de tiempo t (medido en alguna unidad demedición).

Figura 9.1: Cultivo de bacterias.

Métodos de conteo para medir el tamañode una población bacteriana:

Conteo directo por microscopio usandoportaobjetos especiales (cámaras de con-teo o cámaras de conteo electrónicas). Nopermite distinguir entre células vivas ymuertas.

Conteo indirecto (recuento de placas):se diluye la muestra en un diluyente notóxico. Si se coloca en un medio adecua-do, cada unidad viable crece y forma unacolonia que se puede contar (UFC) y elnúmero de UFC se relaciona con la can-tidad de bacterias viables en la muestra.

http://textbookofbacteriology.net/kt_toc.html

El modelo más sencillo para estudiar el crecimiento de una población de bacterias consideracomo hipótesis central que en cada instante de tiempo t, la porción de bacterias que se duplicaes siempre la misma. Si consideramos como N(t) la función que determina el tamaño (enalguna unidad de medida) de la población en función del tiempo t (en alguna unidad de medida)se tendrá

N ′(t)︸︷︷︸Velocidad de crecimiento

= k .N(t)︸︷︷︸La constante k representala proporción de población

que se divide.

La constante k se denomina tasa de reproducción relativa de la población. Podemoscontemplar situaciones más abarcativas al considerar poblaciones en las que puede aumentarla cantidad de individuos por nacimientos o por inmigración de nuevos individuos; o puededisminuir por muertes o por emigración.

N ′(t) = a.N(t)︸︷︷︸Nacimientos

+ b.N(t)︸︷︷︸Inmigración

− c.N(t)︸︷︷︸Muertes

− d.N(t)︸︷︷︸Emigración

N ′(t) = (a + b − c − d)N(t)

N ′(t) = k .N(t) (9.1)

La tasa de reproducción relativa k es la suma/resta de los distintos aportes que hacen variarla cantidad de población.

Concentración de una sustancia en un proceso químico. Cinética química.La concentración de una sustancia que reacciona en un proceso químico de primer orden

varía según pasa el tiempo. En estos casos se considera que la velocidad con la cuál se produceesta variación es proporcional a la concentración de la sustancia. O sea,

d[A]dt= −k[A] (9.2)

donde consideramos [A] como la concentración de la sustancia A y siendo k la tasa dereacción (constante) del reactivo A. La concentración [A] se toma en alguna unidad de medidacorrespondiente; como por ejemplo: concentración molar, normalidad, %P/P , %P/V .



2 Capítulo 9. Modelos exponenciales. Primera parte

Decaimiento de una sustancia radiactivaEn forma similar, en un proceso de decaimiento radiactivo se considera que la cantidad

de una sustancia radiactiva disminuye a una velocidad que es proporcional a la cantidad desustancia

dNdt= −kN(t) (9.3)

donde N(t) representa la cantidad de sustancia radiactiva en función del tiempo; y k es la tasade decaimiento de la sustancia.

Las tres ecuaciones anteriores (9.1), (9.2) y (9.3) tienen la misma forma al considerar unaconstante k y una función derivable f (x) que cumple

f ′(x) = k . f (x) (9.4)

La existencia de una función que cumpla la ecuación (9.4) la aceptaremos según el siguienteteorema.

Teorema 9.1.1—Funciones exponenciales. Dado a > 0 (un número real fijo y positivo), existeuna función continua y derivable cuyo dominio es todo R llamada función exponencial debase a, que denotaremos por

f (x) = ax

y que tiene las siguientes propiedades: a y b son números positivos; x e y son númeroscualquiera:

ax+y = ax .ay ax.y = (ax)y

(a.b)x = ax .bx

Esta función cumple la ecuación (9.4); o sea, para alguna constante k se tiene

f ′(x) = k . f (x)

9.2 Funciones exponenciales

Actividad 9.1 Considerando la función exponencial f (x) = ax , respondan.

a) Suponiendo que n ∈ N y m ∈ Z, con m , 0. Completen:

an = a.a . . . a︸︷︷︸n-veces

a−1 =

a−n = a1/n =

am/n =

b) Considerando a = 2; o sea f (x) = 2x , completen la siguiente tabla:

x 3/4 0 3 0.1 1.25 −2.3 1 10

2x por definición 23/4

2x según el exponente 4√

23

2x aproximando ≈ 1.68

�

9.2 Funciones exponenciales 3

Los valores de la función f (x) = 2x pueden calcularse para cualquier número x fraccionariode manera similar a cómo se resuelve la Actividad 9.1. Para completar todos los números realesfaltaría evaluar en los valores de x irracionales. Por ejemplo, si consideramos x = π haremos,

3 < π < 4 =⇒ 23 < 2π < 24

3.1 < π < 3.2 =⇒ 23.1 < 2π < 23.2

3.14 < π < 3.15 =⇒ 23.14 < 2π < 23.15

3.141 < π < 3.142 =⇒ 23.141 < 2π < 23.142

pudiendo seguir este procedimiento indefinidamente. Aceptaremos (sin demostralo) que elnúmero 2π está bien definido como aquel que se encuentra comprendido en todos los intervalos

2p/q < 2π < 2P/Q

siempre que p/q y P/Q sean números fraccionarios conpq< π <

PQ. En particular, usando la

última fila de los cálculos anteriores tenemos

8.8213 < 2π < 8.8274.

Un procedimiento similar se usará para calcular ax para cualquier base a > 0 y cualquierotro exponente x irracional.

La Figura 9.2muestra las gráficas de algunas funciones exponenciales y = ax con diferentesvalores de la base a.

x

y

10x

1x

4x 2x

(12

)x (14

)x(1.5)x

Figura 9.2: Gráficas de las funciones y = ax para valores de a = 14,

12, 1, 1.5, 2, 4 y 10.

• Todas las gráficas pasan por el punto (0, 1) porque a0 = 1 para a , 0.

• Para a , 1 la imagen de ax es el intervalo (0,+∞).

• Si 0 < a < 1, f (x) = ax es una función decreciente de x.

Si x1 < x2 entonces ax1> ax2

• Si a = 1, f (x) = 1 es una función constante de x.

• Si a > 1, f (x) = ax es una función creciente de x.

Si x1 < x2 entonces ax1< ax2

x

y

(0, 1)

a) f (x) = ax con 1 < a

x

y

(0, 1)

b) f (x) = 1x

x

y

(0, 1)

c) f (x) = ax con 0 < a < 1


9.3 Funciones logarítmicasSi a > 0 y a , 1, la función exponencial f (x) = ax es una función creciente o decreciente

en todo R, y por lo tanto es uno a uno (recordar la prueba de la recta horizontal).

Definición 9.3.1 — Función logaritmo. Se denomina logaritmo con base a (a > 0 y a , 1)a la función inversa de la función exponencial f (x) = ax . Se escribe loga(x). Por lo tanto

loga(x) = y ⇔ ay = x.

El dominio de la función loga(x) es el intervalo (0,+∞).

Se dice y es el logaritmo de x en base a.

En otras palabras, y = loga(x) es la respuesta a la pregunta

¿Qué número y cumple que x = ay?

� Ejemplo 9.1 Como 23 = 8, 21/2 =√

2, 2−1 =12tenemos que

log2(8) = 3, log2(√

2) =12, log2

(12

)= −1.

Además, log2(−3) no existe porque no existe ningún número y para el cual 2y = −3(2y es siempre positivo).Tampoco existe log−3(2) porque y = log−3(2) tendría que ser algún número real quesatisfaga (−3)y = 2, y no se encuentra definida la exponencial para bases negativas.

�

Como se vio en el Módulo 8, la gráfica de la función loga(x) es la reflexión de la gráficade la función f (x) = ax con respecto a la recta y = x. La Figura 9.3 muestra el caso a > 1.

x

y Recta y = xax

loga(x)(0, 1)

(1, 0)

Figura 9.3: Gráficas de las funciones f (x) = ax y f −1(x) = loga(x) en espejo respecto a larecta y = x. Caso con a > 1.

9.3 Funciones logarítmicas 5

Propiedad 9.3.1 Si x e y son números positivos, r un número real cualquiera entonces

• loga(x.y) = loga(x) + loga(y) • loga

(xy

)= loga(x) − loga(y)

• logb(x) =logc(x)logc(b)

• loga(xr ) = r loga(x)

La Figura 9.4 muestra las gráficas de y = loga(x) para varios valores de la base a. Comologb(1) = 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).

x

y

log10(x)

log2(x)

log1/2(x)

log1/3(x)

log3(x)

Figura 9.4: Gráficas de las funciones y = loga(x) para valores de a = 2, 3, 12 ,

13 y 10.

Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones con exponenciales y logaritmospara practicar las propiedades.

� Ejemplo 9.2 Resolvemos la ecuación 2x2+x−4 = 4 usando que la logaritmo en base 2 es lafunción inversa de la función exponencial de base 2. También tenemos en cuenta queambos términos de la ecuación son positivos.

2x2+x−4 = 4⇐⇒ x2 + x − 4 = log2(4) ⇐⇒ x2 + x − 4 = 2⇐⇒ x2 + x − 6 = 0

Hay dos soluciones x1 = 2 y x2 = −3 (resolver la ecuación cuadrática del final). �

� Ejemplo 9.3 De manera similar resolvemos la ecuación log3(2x − 7) = 2. En este casotenemos que considerar desde el comienzo que no se aceptan soluciones tales que2x − 7 ≤ 0. Con esto en el tintero resolvemos

log3(2x − 7) = 2⇐⇒ 2x − 7 = 32 ⇐⇒ 2x = 16⇐⇒ x = 8

El valor x1 = 8 es válido como solución porque cumple 2x1 − 7 = 9 > 0. �


Desigualdades (con exponen-ciales y logaritmos)

Para resolver desigualdades sepuede operar de manera similarpero teniendo en cuenta que lasfunciones exponenciales y loga-rítmicas son crecientes o decre-cientes según sea la base mayoro menor que 1.

Si la base es mayor que 1, la de-sigualdad se mantiene; si la basees menor que 1, la desigualdadse invierte.

� Ejemplo 9.4 Resolvemos la desigualdad log4(x − 1) < 1. Debemos considerar que elconjunto de validez de la desigualdad está determinado por los x tales que x − 1 > 0.

log4(x − 1) < 1

La base es 4 > 1︷︸︸︷⇐⇒ x − 1 < 41 ⇐⇒ x < 5

Debemos considerar ahora que los valores x buscados deben cumplir x > 1 y x < 5.Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad son los x tales que 1 < x < 5.

�

Actividad 9.2 Determinen los dominios naturales de las siguientes funciones.

a) f (x) =1

4x − 1b) g(x) =

1log2(x)

c) h(x) =√

5x − 3�

9.4 Derivada de ax y definición de eDe acuerdo al Teorema 9.1.1, las funciones exponenciales f (x) = ax son derivables en

todo R y cumplen la ecuación fundamental

(ax)′ = k .ax (9.5)

para alguna constante k. Será una constante distinta según la base de la función exponencialf (x) = ax . La constante k está asociada a la base de la función exponencial

En la Sección 9.1 se presentó ala constante k en diferentes si-tuaciones de modelos exponen-ciales asociándola, por ejemplo,como la tasa de reproducciónrelativa de una población o latasa de decaimiento de una sus-tancia radiactiva.

Teorema 9.4.1 — Número e y derivada de ax . Existe un número positivo, denominado e, talque la función exponencial f (x) = ex cumple que k = 1. O sea,

(ex)′ = ex

Para cualquier otro número a > 0 se tiene (ax)′ = loge(a).a

x .

El número e es irracional: nopuede escribirse como fracciónentre dos números enteros. Suvalor aproximado es

e ≈ 2.718281828459045

Demostración Asumiremos como válida la existencia del número e (no haremos lademostración).Reescribimos ax usando la igualdad a = eloge (a) y elevando a la x ambos lados

a = eloge (a)

ax =(eloge (a)

)x= eloge (a)x

y usando la regla de la cadena en el miembro de la derecha obtenemos

(ax)′ =

(eloge (a)x

) ′= loge(a)e

loge (a)x = loge(a)ax

Definición 9.4.1 — Función logaritmo natural ln(x). El logaritmo con base e se llama loga-ritmo natural y se escribe

ln(x) = loge(x)

.

C Luego se tiene que

eln(x) = x para x > 0 ln(ex) = x para todo x

9.5 Derivada del logaritmo 7

� Ejemplo 9.5 Ejemplos de derivadas de funciones exponenciales.

ddx(2x) = loge(2) 2

x = ln(2) 2x ddx(4x) = loge(4) 4

x = ln(4) 4x

ddx(3x) = loge(3) 3

x = ln(3) 3x ddx(πx) = loge(π) π

x = ln(π) πx

�

Las siguientes expresiones sondistintas entre sí

ex2, (ex)2

Por convención se considera

ex2= e(x

2).

Actividad 9.3 Calculen las derivadas de las siguientes funciones.

a) f (x) = e3x b) g(x) = ex2

c) h(x) =ex + 1ex − 1

d) m(x) = x2ex e) p(x) = ex 2x f ) q(x) = x3 + 3x

�

Actividad 9.4 Determinen los valores estacionarios de las funciones de la Actividad 9.3. �

9.5 Derivada del logaritmoCalcularemos la derivada de la función logarítmica f (x) = loga(x). En primer lugar, según

lo visto en el Módulo 8, podemos afirmar que la función es derivable en todo su dominioporque es la función inversa de g(x) = ax (que ya vimos es derivable y además su derivada essiempre positiva o siempre negativa). Partiendo entonces de la igualdad

a f (x) = x,

podemos derivar (todas las funciones involucradas son derivables) ambos miembros de laigualdad

ddx[a f (x)] =

ddx[x] =⇒ ln(a) a f (x) f ′(x) = 1.

Podemos despejar f ′(x)

f ′(x) =1

ln(a) a f (x)=︸︷︷︸

a f (x)=x

1x ln(a)

Teorema 9.5.1 — Derivada de funciones logarítmicas.Las funciones logarítmicas f (x) = loga(x) son derivables en todo x ∈ (0,+∞) y además

f ′(x) =1

x ln(a)

En particularddx[ln(x)] =

1x

para todo x > 0


Actividad 9.5 Calculen las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = ln(3x) b) g(x) = ln(x5) c) h(x) = ln(x) + x

d) m(x) =x

ln(x)e) t(x) =

ln(x)x

f ) q(x) = x3 ln(x)

g) p(x) = ln(x4 + 2x3 − 1) h) x(y) = ln(3 − y2) i) f (w) = ln(

3w − 11 + 4w

)�

Actividad 9.6 Den los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f (x) = x ln(x). �

Actividad 9.7 [Derivación logarítmica] En varias ocasiones puede ser complicado ytrabajoso calcular la derivada de funciones que involucran productos, cocientes o potencias.Esta tarea puede ser simplificada mediante los logaritmos. Por ejemplo, para calcular laderivada de la función

f (x) = xx

aplicamos ln(x) a ambos lados de la igualdad y aplicamos las propiedades de los logaritmosde la siguiente manera:

f (x) = xx

ln ( f (x)) = ln (xx)

= ↓ (aplicando propiedad del logaritmo)

ln ( f (x)) = x ln(x)

Y a continuación derivamos con respecto a x a ambos lados de la igualdad

(ln ( f (x)))′ = (x ln(x))′

(regla de la cadena) ↓ = ↓ (regla del producto)

1f (x)

f ′(x) = ln(x) + x.1x= ln(x) + 1

y luego despejamos f ′(x)

1f (x)

f ′(x) = ln(x) + 1

f ′(x) = f (x) (ln(x) + 1)f ′(x) = xx (ln(x) + 1)

Calculen las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = xsen(x) b) (x2 + 3)3x+1 c) h(x) = x−x

�

9.6 Modelos exponenciales. Segunda parte 9

9.6 Modelos exponenciales. Segunda parteSabemos entonces que las funciones exponenciales f (x) = ax cumplen con la ecuación

(ax)′ = k .ax

Otras funciones, similares, que también cumplen la ecuación y que permiten trabajar conmodelos exponenciales tales como los presentados en la Sección 9.1 son de la forma

f (x) = C.ekx = C.ax

donde hemos considerado que ek = a, o en forma equivalente k = ln(a).De esta manera, los modelos exponenciales quedan determinados por dos parámetros: C y k.

• La constante k se denomina tasa de reproducción relativa porque es el cociente entrela velocidad con la que se desarrolla el proceso (por ejemplo: el crecimiento poblacional)y la cantidad neta que se estudia (por ejemplo: la cantidad de individuos).

k =velocidad del proceso

cantidad neta=

f ′(x)f (x)

• La constante C se denomina cantidad inicial dado que si consideramos a x = 0 comoel instante inicial del proceso entonces

f (0) = C.ek.0 = C.1 = C

� Ejemplo 9.6 La población mundial fue de 2560 millones en el año 1950 y de 3040 millonesen el año 1960. Asumimos que el crecimiento de la población puede estudiarse con unmodelo exponencial, ¿cuál fue la tasa de reproducción relativa?Proponemos que P(t) = C.ekt determina la cantidad de individuos (en millones dehabitantes) contando t en años a partir de 1950; o sea, t = 0 es el instante inicial:

C = P(0) = 2560

Por otro lado, para determina la población mundial en el año 1960 corresponde evaluarP(10) debiéndose cumplir

3040 = 2560ek10

que representa una ecuación para la determinar la tasa de reproducción relativa dela población mundial. La resolvemos

3040 = 2560e10k

30402560 = e10k

ln(

1916

)= 10k

110 ln

(1916

)= k

k ≈ 0.017185

Evaluando en t = 68 podemos estimar la población en el año 2018,

P(68) = 2560e0.017175×68 ≈ 8236.6

Estimamos que en la actualidad hay 8236.6 millones de habitantes en el planeta.¿Pueden corroborar esta predicción en internet?

�


� Ejemplo 9.7 En un proceso de decaimiento radiactivo se denomina vida media de unasustancia al tiempo requerido para que la sustancia decaiga, desde una cantidad inicialde materia, hasta la mitad. Por ejemplo, la vida media del radio-226 es de 1560 años.¿Cuál es la tasa de decaimiento de la sustancia?

Si consideramos una cantidad inicial de 100 mg de Radio-226, entonces sabemos que1590 años después tendremos, por decaimiento radiactivo, 50 mg de sustancias.Proponemos el modelom(t) = 100.ekt considerando a t el tiempo (en años) transcurridoy m(t) la cantidad de sustancia (en mg). Podemos plantear, según la información de lavida media, que

m(1560) = 50

y usar la ecuación para determinar k, la tasa de decaimiento de la sustancia

m(1560) = 50

100e1560k = 50

e1560k =12

1560k = ln(

12

)k =

11560

ln(

12

)k =− ln(2)1560

La tasa de decaimiento del Radio-226 es k =− ln(2)1560

≈ −4.44325 × 10−4.�

Actividad 9.8 Una población de protozoos se desarrolla con una tasa de reproducciónrelativa de 0.7944 de individuos por día. En el día inicial, la población contaba con 2miembros. Determinen el tamaño de la población al sexto día. �

Actividad 9.9 En los intestinos humanos habita de manera habitual la bacteria escherichiacoli. Una célula de esta bacteria se divide en 2 células cada 20 minutos. Considerando quela población inicial de un cultivo es de 60 células.

a) Encuentren la tasa de crecimiento relativa de la población.b) Encuentren una expresión para la función que determina el tamaño de la población

al minuto t.c) Encuentren el número de bacterias en la población luego de 8 horas.d) ¿En qué momento la población alcanza un tamaño de 20000 bacterias?

�

Actividad 9.10 La vida media del cesio-137 es de 30 años. Comenzando con una muestrade 100 mg.

a) Encuentren la masa que queda luego de t años.b) ¿Qué cantidad de sustancia queda luego de 100 años?c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que quede 1 mg?

�

Actividad 9.11 Es posible estimar la edad de un objeto antiguo (como huesos, muebles,tablas) mediante el método de datación radiométrica. En algunas circunstancias se utiliza

9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 11

la sustancia Carbono-14 porque se encuentra presente en los organismos vivos. Mientras unorganismo está vivo, intercambia constantemente sus átomos de carbono con el ambiente,y la proporción entre Carbono-14 y Carbono-12 (isótopo estable del elemento Carbono) esla misma que en la atmósfera. Cuando el organismo muere el decaimiento radiactivo delCarbono-14 hace que la relación relativa respecto al Carbono-12 vaya disminuyendo.

Se ha encontrado un fragmento de un pergamino que tiene el 74% de Carbono-14respecto al Carbono-12. Considerando que la vida media del Carbono-14 es de 5730 añosaproximadamente, estimen la edad del fragmento de pergamino hallado.

�

9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos9.7.1 Comportamientos asintóticos

Para estudiar los comportamientos asintóticos de las funciones exponenciales y logarítmicastrabajaremos con las funciones f (x) = ex y g(x) = ln(x).

x

yf (x) = ex

Figura 9.5: Gráfica de la funciónf (x) = ex .

x

y

g(x) = ln(x)

Figura 9.6: Gráfica de la funcióng(x) = ln(x).

Actividad 9.12 Completen con valores correspondientes utilizando la información de lasFiguras 9.5 y 9.6.

a) lı́mx→+∞

ex = b) lı́mx→−∞

ex =

c) lı́mx→+∞

ln(x) = d) lı́mx→0+

ln(x) =�

Actividad 9.13 Tachen lo que no corresponda en cada caso.

a) La función f (x) = ex tiene un comportamiento asintótico horizontal / vertical parax → −∞. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.

b) La función g(x) = ln(x) tiene un comportamiento asintótico horizontal / verticalpara x → 0+. La recta y=0 / x=0 es una asíntota horizontal / vertical.

�

En el Módulo 7 desarrollamos técnicas para el cálculo de límites de la forma

lı́mx→+∞

√x + 3x2 − 1

x + 3x9 + 9lı́m

x→−∞

x1/3 + x2/5

x + 3x1/5

para de determinar los comportamientos asintóticos de funciones racionales y algebraicas.En esta sección trabajaremos con situaciones similares pero en las que intervienen funcionesexponenciales y logarítmicas.

En el caso de cocientes de polinomios, o de funciones potencias, pudimos resolver lasituación comparando los grados de los polinomios o los índices de las potencias. En elcaso de funciones exponenciales o logarítmicas utilizaremos los siguientes resultados (sindemostrarlos).

Teorema 9.7.1 — Comparación de crecimientos. Sea r > 0. Entonces,

a) lı́mx→+∞

xr

ex= 0 b) lı́m

x→+∞

xr

ln(x)= +∞

O sus equivalentes

a) lı́mx→+∞

ex

xr= +∞ b) lı́m

x→+∞

ln(x)xr= 0


C El Teorema 9.7.1 establece que, para x → +∞, los valores de ex crecen mucho más

rápidamente que los valores de xr de modo que el cocientexr

extiende a 0. En los libros,

esta situación se suele escribir comoxr � ex para x → +∞

Por el contrario, los valores de ln(x) crecen de manera muy lenta respecto a xr de modo

que el cocientexr

ln(x)tiende a +∞. Se escribe

ln(x) � xr para x → +∞

C Los comportamientos para las funciones exponenciales o logarítmicas de la formageneral ax o loga(x) se estudian mediante las igualdades

ax = eln(a)x loga(x) =ln(x)ln(a)

Definición 9.7.1 — Órdenes de magnitud. Si f y g son dos funciones que cumplen

lı́mx→+∞

f (x) = +∞ y lı́mx→+∞

g(x) = +∞

se dice que f (x) tienen mayor orden de magnitud que g(x) para x → +∞ en el caso que

lı́mx→+∞

f (x)g(x)

= +∞

Se escribre g(x) � f (x) para x → +∞.

9.7.2 Límites asociados a cocientes incrementalesOtros dos límites básicos que involucran a las funciones ex y ln(x) son los siguientes

Teorema 9.7.2 — Cocientes incrementales. Se tiene que

a) lı́mx→0

ex − 1x= 1 b) lı́m

x→1

ln(x)x − 1

= 1

Demostración Si consideramos la función f (x) = ex y calculamos su derivada en x = 0usando la definición (con el cociente incremental) obtenemos

f ′(0) = lı́mx→0

f (x) − f (0)x − 0

= lı́mx→0

ex − e0

x= lı́m

x→0

ex − 1x

Pero sabemos que f ′(x) = ex . Por lo que f ′(0) = e0 = 1.

Actividad 9.14 Realicen la demostración del segundo límite del Teorema 9.7.2. �

Los seis límites resumidos en los Teoremas 9.7.1 y 9.7.2 se consideran básicos desdeel punto de vista de que con ellos es posible calcular otros con funciones exponencialeso logarítmicas de base diferente a e; o que se presentan con operaciones algebraicas entreellas, junto con funciones polinómicas, funciones con raíces, racionales, etc. Existen una granvariedad de técnicas de cálculo de límite desarrolladas para estudiar los comportamientosasintóticos de las funciones o para estudiar los comportamientos cerca de sus discontinuidades.No lo hemos dicho explícitamente hasta ahora, pero dado que ax y loga(x) son funcionesderivables en todo su dominio podemos afirmar también que son continuas y por lo tanto, loslímites que se refieran a x → x0, con x0 un elemento del dominio, se calculan por simpleevaluación.

9.7 Límites que involucran exponenciales y logaritmos 13

� Ejemplo 9.8 Podemos calcular lı́mx→2

ln(x) − ex

x2 por evaluación.

lı́mx→2

ln(x) − ex

x2 =ln(2) − e2

4

Ya que la función f (x) =ln(x) − ex

x2 es continua en x = 2. Consideramos aquí quees un cociente de funciones continuas en x = 2 donde el denominador no se anula.Además, ln(x) − ex es continua para todo x > 0. �

� Ejemplo 9.9 ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 2x = x10? Como ya mencionamos en elMódulo 5, si graficamos con alguno de los softwares usuales las funciones f (x) = 2x yg(x) = x10 se obtiene una gráfica similar a la que presentamos en la Figura 9.7. Allí seobserva que hay dos intersecciones entre las gráficas, lo que equivale a 2 soluciones dela ecuación 2x = x10. Sin embargo, dado que

lı́mx→+∞

2x

x10 =︸︷︷︸2x=ex ln(2)

lı́mx→+∞

ex ln(2)

x10 =︸︷︷︸u = x ln(2)x =

u

ln(2)

lı́mu→+∞

(ln(2))10 eu

u10 =︸︷︷︸(∗)

+∞

(∗): Usando que u10 � eu para u→ +∞ y que (ln(2))10 es positivo.También debemos mencionar que la sustitución que realizamos u = x ln(2) tiene

en cuenta quex → +∞⇐⇒ u→ +∞

Concluimos que x10 � 2x para x → +∞ y por lo tanto, la gráfica de 2x debevolver a cruzarse con la gráfica de x10 para algún valor de x suficientemente grande ypositivo.

�

x

y

1

2

−1 1

y = 2x

y = x10

Figura 9.7: Gráficas de las funcionesf (x) = 2x y g(x) = x10.

x

y

f (x) = x ln(x)

Figura 9.8: Gráfica de la funciónf (x) = x ln(x).

� Ejemplo 9.10 Estudiaremos el lı́mx→0+

x ln(x).En primer lugar notamos que para x → 0+ se tiene x︸︷︷︸

→0

. ln(x)︸︷︷︸→−∞

y por lo tanto no es

posible utilizar las propiedades de los límites enunciadas en el Módulo 7.Realizamos la sustitución u = 1

x de modo que x → 0+ ⇐⇒ u→ +∞ y

x ln(x) =1u

ln(

1u

)=︸︷︷︸

ln(u−1)=− ln(u)

−ln(u)

u

Por lo tanto lı́mx→0+

x ln(x) = lı́mu→+∞

−ln(u)

u= 0 porque ln(u) � u para u→ +∞.

La función f (x) = x ln(x) no tiene una asíntota vertical en x = 0. �


� Ejemplo 9.11 Estudiaremos el lı́mx→−∞

x2 − ex .

En primer lugar notamos que para x → −∞ se tiene x2︸︷︷︸→+∞

− ex︸︷︷︸→0

y por lo tanto si es

posible aplicar las propiedades de límites enunciadas en el Módulo 7. Obtenemos

lı́mx→−∞

x2 − ex = +∞.

La función f (x) = x2 − ex no tiene un comportamiento asintótico horizontal parax → −∞.

�

Actividad 9.15 Estudien, calculen y determien la presencia de comportamientos asintóticosseñalados a continuación.

a) lı́mx→+∞

x2 − ex b) lı́mx→−∞

ex − x3 c) lı́mx→−∞

xex

d) lı́mx→+∞

x3 + ex

ex −√

xe) lı́m

x→0+x3 ln(x) f ) lı́m

x→0+xe1/x

g) lı́mx→0−

xe1/x h) lı́mx→+∞

x(e1/x − 1

)i) lı́m

x→1+x

ln(x)

j) lı́mx→1−

xln(x)

k) lı́mx→0+

ln(x)x

�

9.8 Modelos SemilogUna técnica muy utilizada para trabajar con modelos exponenciales f (x) = ax es la

utilización de una escala logarítmica en el eje vertical. Si consideramos un modelo exponencialde la forma f (x) = Cekx , conC > 0 y definimos una nueva función g(x) = ln ( f (x)) obtenemosque:

g(x) = ln ( f (x)) = ln(Cexk

)= ln(C) + ln

(ekx

)= ln(C) + k x ln(e) = ln(C) + k x

La función g(x) resulta lineal y su gráfica tiene pendiente k y ordenada al origen ln(C).

Recíprocamente, si g(x) = b + k x es una función lineal, al definir f (x) = eg(x) obtenemosun modelo exponencial

f (x) = eg(x) = eb+kx = ebekx

que representa un modelo exponencial con cantidad inicial eb y tasa de crecimiento k.Utilizaremos esta equivalencia para explorar los modelos exponenciales en contextos de

las ciencias biológicas o químicas.

9.8 Modelos Semilog 15

t V(t)

1 76.04 53.08 18.011 9.415 5.222 3.6

Tabla 9.1: Datos V(t) (carga viral enplasma) respeto a t (en días) luego decomenzar el tratamiento con ABT-538.

t V(t) ln (V(t))

1 76.0 4.334 53.0 3.978 18.0 2.8911 9.4 2.2415 5.2 1.6522 3.6 1.28

Tabla 9.2: Datos V(t) y ln (V(t)) se-gún la Tabla 9.1.

� Ejemplo 9.12 En 1995, un artículo científico describió los efectos de una proteína (ABT-538)sobre el virus de inmunodeficiencia humana HIV-1. En Tabla 9.1 y en la Figura 9.9 sepresentan los valores de la carga viral V(t) en el plasma (medido en copias de ARN pormL) en un paciente luego de t días de haber comenzado el tratamiento con ABT-538.

1 4 8 11 15 22

76

53

189.45.23.6

t - Días de tratamiento

V-C

arga

viralenplasm

a

Figura 9.9: Datos correspondientes a la Tabla 9.1.

La distribución de los puntos en la Figura 9.9 sugiere que es adecuado un modeloexponencial V(t) = Cekt considerando que k debe ser negativo porque debe ser unafunción decreciente.

Definimos g(t) = ln (V(t)) = ln(C)+ k x de modo que obtenemos los nuevos valoresen la Tabla 9.2 y en la Figura 9.10.

1 4 8 11 15 22

4.333.97

2.89

2.24

1.651.28

t - Días de tratamiento

ln(V)

Figura 9.10: Datos correspondientes a la Tabla 9.2.

Mediante el software Desmos obtenemos el modelo lineal que mejor ajusta losdatos de la Figura 9.10 según el criterio del Error cuadrático medio.


Figura 9.11: Ajuste de los datos de la Figura 9.10 con el software Desmos.

Obtenemos que k ≈ −0.15 y b ≈ 4.31. Por lo tanto el modelo exponencial

f (t) = ebekt = e4.31e−0.15x = 74.44e−0.15t

�

Actividad 9.16 La Tabla 9.3 presenta los resultados de un experimento que involucra elparásito de la malaria. El tiempo t está medido en días y N es el número de parásitos pormicrolitros en sangre.

t N ln(N)

1 2282 23573 127504 266615 3723316 22174417 6748400

Tabla 9.3: Datos de N (cantidad de parásitos por microlitro en sangre) respeto a t (en días).

a) Completen la Tabla 9.3 con los datos de ln(N).b) Usando el software Desmos o algún otro, determinen el modelo semi-log asociado

según el criterio el ECM y el modelo exponencial para los datos de la cantidad deparásitos por microlitro en sangre del experimento.

c) ¿Cuánto se estima, según el modelo propuesto, que será la cantidad de parásitos dela malaria por microlitros en sangre al día 10?

�

9.8 Modelos Semilog 17

Actividad 9.17 En un estudio médico, los investigadores midieron la concentración ensangre de alcohol (BAC) de 8 adultos masculinos (en mg/mL) luego de consumir 30 mL deetanol (correspondiente a 2 bebidas alcohólicas estándar). Se presentan los datos obtenidosen la Tabla 9.4.

t (horas) BAC (mg/mL) ln(BAC)

1 0.331.25 0.291.5 0.241.75 0.222 0.182.25 0.152.5 0.12

Tabla 9.4: Valores de BAC (concentración de alcohol en sangre - en mg/mL)) respeto a t(en horas).

a) Completen la Tabla 9.4 con los datos de ln(BAC).b) Determinen el modelo semi-log asociado según el criterio el ECM y el modelo

exponencial para los datos de la concentración de alcohol en sangre del experimento.c) ¿En qué momento, según el modelo propuesto, la concentración de alcohol en sangre

estará por debajo los 0.1 mg/mL?�

9.modelosexponenciales.primeraparte9.modelosexponenciales.primeraparte...

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