8dda17a3d01

Cinemtica en una y dos dimensiones

Alfredo Enrique Lora

Dpto. de Matemticas y FsicaUniversidad del Norte

Enero del 2009

Alfredo Enrique Lora (Uninorte) Enero del 2009 1 / 50

Conceptos bsicosQue es la cinemtica?

Es el estudio del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causasque lo originan.

Partcula:Es un sistema fsico que corresponde a una idealizacin que se hacede los cuerpos segn la cual:

En cualquier instante, est representada en el espacio por un puntogeomtrico.En s misma es invariable e indestructible.

Sistema referencial:Lo constituye un cuerpo o un conjunto de cuerpos respecto a loscuales se describe el movimiento, y en el cual, el origen del tiempo escompletamente arbitrario:

Pueden estar en reposo o movindose unos con respecto a otro convelocidad constante. En este caso se llaman inerciales.En caso contrario, se llaman acelerados o no inerciales.





En cualquier instante, est representada en el espacio por un puntogeomtrico.

En s misma es invariable e indestructible.









Pueden estar en reposo o movindose unos con respecto a otro convelocidad constante. En este caso se llaman inerciales.

En caso contrario, se llaman acelerados o no inerciales.


Movimiento:Es cambio contnuo medido con respecto del sistema referencial, queexperimenta la posicin de un cuerpo en la medida en que transcurreel tiempo.

Trayectoria:Es el lugar geomtrico determinado por todos los puntos quecaracterizan la posicin de un sistema en movimiento.Vector de posicin:

x

y

z

Initialposition

Path ofparticle

Laterposition

O

irrf

D r


Movimiento:Es cambio contnuo medido con respecto del sistema referencial, queexperimenta la posicin de un cuerpo en la medida en que transcurreel tiempo.Trayectoria:Es el lugar geomtrico determinado por todos los puntos quecaracterizan la posicin de un sistema en movimiento.

Vector de posicin:

x

y

z

Initialposition

Path ofparticle

Laterposition

O

irrf

D r


Movimiento:Es cambio contnuo medido con respecto del sistema referencial, queexperimenta la posicin de un cuerpo en la medida en que transcurreel tiempo.Trayectoria:Es el lugar geomtrico determinado por todos los puntos quecaracterizan la posicin de un sistema en movimiento.Vector de posicin:

x

y

z

Initialposition

Path ofparticle

Laterposition

O

irrf

D r


Cinemtica en una dimensin

Desplazamiento:Se denota por ~x y se dene segn:

~x = ~x f ~xi


Velocidad (~v)Se dene como el ritmo con el que cambia la posicin de un sistema,en la medida en que transcurre el tiempo.

Velociad media o promedio~v

En un intervalo de tiempo t = t f ti, se dene segn

~v =~xt=~x f ~xit f ti

La rapidez promedio notada v es la magnitud de ~v y se dene como

v =Distancia total recorrida durante el...

Tiempo total estudiado

[~v] =h~vi= [v] y tienen las mismas unidades


Velocidad instantneaSe dene segn

~v = limt!0

~xt= lim

t f!ti~x f ~xit f ti =

d~xdt

Interpretacin geomtrica

Geomtricamente v se interpreta como la pendiente de la rectatangente a la curva, en un punto dado de la grca x vs t


Aceleracin (~a)Se dene como el ritmo con el que cambia la velocidad de un sistema,en la medida en que transcurre el tiempo.

Aceleracin media o promedio~a

Se dene en un intervalo de tiempo t = t f ti, segn

~a =~vt=~v f ~vit f ti


Aceleracin instantneaSe dene segn

~a = limt!0

~vt= lim

t f!ti~v f ~vit f ti =

d~vdt=

d2~xdt2

Se interpreta geomtricamente como la pendiente de la recta tangentea la curva en un punto dado de la grca v vs. t.

[~a] =h~ai= [a] y tienen las mismas unidades.

Ilustracin


Ejercicios

Ejercicio1

Una partcula se mueve a lo largo del eje x segun la ecuacin

x (t) = 2 3t+ t2

donde x se mide en metros y t en segundos. Para la partcula encuestin, halle:

El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.

La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.

La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.

La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.

La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.

El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.

La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicios

Ejercicio1


x (t) = 2 3t+ t2


El desplazamiento entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad media entre los instantes t = 1s y t = 3s.La velocidad instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin media entre los instantes t = 1s y t = 2s.La aceleracin instantnea en los instantes t = 1s y t = 2s.El espacio total recorrido entre los instantes t = 0s y t = 3s.La rapidez promedio entre los instantes t = 0s y t = 3s.


Ejercicio 2

Grca de posicin contra tiempo de un partcula que se mueve a lo largodel eje x.

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

6

7

2t(s)

x(m)

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

8

x vs t

4


En la grca anterior x se mide en metros, t se mide en segundos yt 0. Los segmentos de la curva entre t = 0s y t = 5s y entret = 17s y t = 20s son rectos. Determine:

Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.

Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.

Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.

Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.

Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.

Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.

Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.

Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.

Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.

Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.



Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la izquierda.Dnde se encotraba cuando se empez a estudiar su movimiento.Cundo y dnde la partcula se mueve hacia la derecha.Cundo y dnde invirti su direccin.Cuntas veces y cundo pas por al origen del sistema coordenado.Cundo y donde el movimiento fue retarado.Cundo y dnde el movimiento fue uniforme.Cul fu su velocidad en t = 3.5s.Cul fue la distancia total recorrida.Cul fu su velocidad promedio durante todo el recorrido.


Movimiento en una dimensin con aceleracin constante

Caracterizacin

La velocidad vara linealmente con el tiempo, es decir, aumente odisminuye a ritmo constanteDe acuerdo con lo anterior

~a =~a =~v f ~vit f ti

Si ~vi = ~v0, t f = t y ti = 0, entonces, de la ecuacin anterior, se tiene

~v f = ~v0 +~at =) v f x = v0x + axt (1)



CaracterizacinLa velocidad vara linealmente con el tiempo, es decir, aumente odisminuye a ritmo constante

De acuerdo con lo anterior



~v f = ~v0 +~at =) v f x = v0x + axt (1)



CaracterizacinLa velocidad vara linealmente con el tiempo, es decir, aumente odisminuye a ritmo constanteDe acuerdo con lo anterior



~v f = ~v0 +~at =) v f x = v0x + axt (1)


La posicin x de la partcula, en cualquier instante t, se determinaevaluando el rea bajo la curva en la graca de v vs. t, gura (a)anterior, entre los instantes ti = 0 y t f = t, esto es:

x = ARectngulo + ATringulo = v0xt+12axt2 (2)

Grca

Si de (1) se despeja el tiempo y se sustituye en (2), se obtiene

v2x = v20x + 2axx (3)


Ejercicios

Ejercicio 1Dos trenes expreso parten del reposo con una diferencia de 5min eluno del otro. Cada uno es capaz de alcanzar 160 km/h despus deacelerar uniformemente durante 2 km. Halle

La aceleracin de cada trenCun lejos est el primer tren cuando el segundo inicia su movimiento?Cun lejos est uno del otro cuando ambos viajan a rapidez mxima?

Ejercicio 2Un tren de pasajeros se mueve con una rapidez de 28m/ s cuando sutcnico avisora un tren de carga delante en las vas. En ese instante,la locomotora del tren de pasajeros est a 350m del cabs del tren decarga, el cul viaja a 6m/ s en la misma direccin que el tren depasajeros. La desaceleracin mxima que puede experimentar el trende pasajeros es de 0.71m/ s2. Determine:

Si los trenes chocan o no, si el tiempo de reaccin del tcnico es de0.9 s.


Ejercicios


La aceleracin de cada tren

Cun lejos est el primer tren cuando el segundo inicia su movimiento?Cun lejos est uno del otro cuando ambos viajan a rapidez mxima?




Ejercicios


La aceleracin de cada trenCun lejos est el primer tren cuando el segundo inicia su movimiento?

Cun lejos est uno del otro cuando ambos viajan a rapidez mxima?




Ejercicios


La aceleracin de cada trenCun lejos est el primer tren cuando el segundo inicia su movimiento?Cun lejos est uno del otro cuando ambos viajan a rapidez mxima?




Si ocurre la colisin, halle el punto donde ocurre, medido desde elpunto donde el tcnico vi el tren de carga.

La velocidad de los dos trenes al colisionar, en caso de que esto ocurra.Trace la grca de x vs t que describe la situacin planteada en elenunciado y la solucin de la misma.

Ejercicio 3Una partcula parte del reposo y se mueve sobre una lnea recta conuna aceleracin constante de 2.5m/ s2 durante 1min. Seguidamentese mueve con velocidad constante, durante el siguiente minuto yluego se va frenando uniformemente hasta detenerse en un tiempo de1.5min.

Halle la distancia total recorrida por la partcula.Cul fu su aceleracin medio durante todo el recorrido?Cul fu su velocidad madia?



La velocidad de los dos trenes al colisionar, en caso de que esto ocurra.

Trace la grca de x vs t que describe la situacin planteada en elenunciado y la solucin de la misma.







Halle la distancia total recorrida por la partcula.

Cul fu su aceleracin medio durante todo el recorrido?Cul fu su velocidad madia?





Halle la distancia total recorrida por la partcula.Cul fu su aceleracin medio durante todo el recorrido?

Cul fu su velocidad madia?


Freely Falling Objects

Todo objeto liberado desde el reposo, o lanzado verticalmente con unavelocidad inicial dada, y que solo experimente los efectos asociados alfenmeno gravitacional, se dice que est en cada libre.

Es un ejemplo de m.u.a en el cual:

a = ~g = 9.8m/s2 : S.I, o biena = ~g = 32 f t/s2 : B.E.S

Convensiones

y > 0 y v > 0, cuando el movimiento est dirigido hacia arriba.y < 0 y v < 0, cuando el movimiento est dirigido hacia abajo.

Ecuaciones de movimiento

y = v0yt 12gt2 (4)

v f y = v0y gt (5)v2f y = v

20y 2gy (6)




Es un ejemplo de m.u.a en el cual:a = ~g = 9.8m/s2 : S.I, o bien

a = ~g = 32 f t/s2 : B.E.SConvensiones



y = v0yt 12gt2 (4)


20y 2gy (6)




Es un ejemplo de m.u.a en el cual:a = ~g = 9.8m/s2 : S.I, o biena = ~g = 32 f t/s2 : B.E.S

Convensiones



y = v0yt 12gt2 (4)


20y 2gy (6)





Convensionesy > 0 y v > 0, cuando el movimiento est dirigido hacia arriba.

y < 0 y v < 0, cuando el movimiento est dirigido hacia abajo.


y = v0yt 12gt2 (4)


20y 2gy (6)





Convensionesy > 0 y v > 0, cuando el movimiento est dirigido hacia arriba.y < 0 y v < 0, cuando el movimiento est dirigido hacia abajo.


y = v0yt 12gt2 (4)


20y 2gy (6)


Ejercicio1

Si el tiempo de vuelo dela pelota lanzada por elexperimentador queaparece en la gura de laizquierda es tv = 6s.Determine:

la velocidad delanzamiento.la velocidad con quecolisiona contra el piso.la altura mxima quealcanza medida desdeel piso.La velocidad cuandopasa frente al punto delanzamiento, bajando.


Ejercicio1


la velocidad delanzamiento.

la velocidad con quecolisiona contra el piso.la altura mxima quealcanza medida desdeel piso.La velocidad cuandopasa frente al punto delanzamiento, bajando.


Ejercicio1


la velocidad delanzamiento.la velocidad con quecolisiona contra el piso.

la altura mxima quealcanza medida desdeel piso.La velocidad cuandopasa frente al punto delanzamiento, bajando.


Ejercicio1


la velocidad delanzamiento.la velocidad con quecolisiona contra el piso.la altura mxima quealcanza medida desdeel piso.

La velocidad cuandopasa frente al punto delanzamiento, bajando.


Ejercicio1


la velocidad delanzamiento.la velocidad con quecolisiona contra el piso.la altura mxima quealcanza medida desdeel piso.La velocidad cuandopasa frente al punto delanzamiento, bajando.


Ejercicio 2A stone from rest from the top of a hihg clif. A second stone isthrown downward from the same heigth 2 s later whit an initial speedof 30m/ s. If both stones hit the ground below simultaneaously, howhigh is the cli?

Ejercicio3Se deja caer un globo lleno de agua desde lo ms alto de una torre de200m del piso. Un arquero diestro en la base de la misma torre, ve elglobo y dispara una echa directo hacia arriba, contra el globo, 5 sdespus de haberse iniciado la cada de ste. la velocidad inicial de laecha es 40m/ s, cundo y donde llega la echa al globo?

Ejercicio 4 (Homework)A rock, starting from rest and falling freely, falls the last 1/2 of thetotal distance of fall in 3 s. Find a) the height from which the rockwas released, and b) the total time of fall.


Movimiento en dos dimensiones con aceleracin constante

La posicin de una partcula en el plano est dada por el vector

~r = x + y (7)

Donde

x = v0xt+12axt2 y y = v0yt+

12ayt2 (8)

Por denicin, la velocidad ~v est dada por:

~v =d~rdt=

d (x + y )dt

=dxdt

+dydt

= vx + vy (9)

Dondevx = v0x + axt y vy = v0y + ayt (10)

Por denicin, la aceleracin ~a est dada por:

~a =d~vdt=

dvx + vy

dt

=dvxdt

+dvydt

= ax + ay (11)


Ilustracin


EjercicioUn pez nada en un estanque de aguas tranquilas. En un punto dadodel estanque, cuya posicin con respecto a una roca es~r0 = (10+ 4 ) m, el pez tiene una velocidad inicial~v0 = (4+ 1 ) m/ s, Si despus de nadar con aceleracin constantedurante 20 s, su velocidad es ~v f = (20 5 ) m/ s, determine: a) Laaceleracin del pez, b) la posicin del pez con respecto a la rocamensionada, en el instante t = 3s.


Lanzamiento de proyectiles (Tiro parablico)

Caractersticas del movimiento:

Es un caso particular de movimiento en el planoSobre el sisitema (proyectil) solo actuan los efectos debidos alfenmeno gravitacional () ~ax = 0 y ~ay = g El sistema es lanzado formando un ngulo 0 con la horizontal,pi2 < 0 < pi2



Caractersticas del movimiento:Es un caso particular de movimiento en el plano

Sobre el sisitema (proyectil) solo actuan los efectos debidos alfenmeno gravitacional () ~ax = 0 y ~ay = g El sistema es lanzado formando un ngulo 0 con la horizontal,pi2 < 0 < pi2



Caractersticas del movimiento:Es un caso particular de movimiento en el planoSobre el sisitema (proyectil) solo actuan los efectos debidos alfenmeno gravitacional () ~ax = 0 y ~ay = g

El sistema es lanzado formando un ngulo 0 con la horizontal,pi2 < 0 < pi2



Caractersticas del movimiento:Es un caso particular de movimiento en el planoSobre el sisitema (proyectil) solo actuan los efectos debidos alfenmeno gravitacional () ~ax = 0 y ~ay = g El sistema es lanzado formando un ngulo 0 con la horizontal,pi2 < 0 < pi2



De la gura

~r = ~v0t+12~at2 ()

8

A lo largo del eje y

y = v0yt 12gt2 = (v0 sin 0) t 12gt

2 (15)

Ecuacin de la trayectoria:

Despejando t de (14):t =

xv0 cos 0

(16)

Sustituyendo en (15) y organizando se obtiene:

y =

g2v20 cos2 0

x2 + tan 0x (17)

Comparando cony = ax2 + bx+ c (18)

Se observa que (17) representa una parbola que abre hacia abajo(ntese que el coeciente de la x2 es negativo)


Altura y el alcance horizontal mximoFrmula para la altura mxima

Clculo del tiempo quetarda el proyectil enalcanzar su altura mximah.

De

vy = v0y ayt = v0 sin 0 gt,y teniendo en cuenta quecuando y = h, vy = 0. Setiene entonces que:

tO!A =v0 sin 0

g(19)

Sustituyendo en

y = (v0 sin 0) t 12gt2


Se obtiene

h = (v0 sin 0)v0 sin 0

g

1

2gv0 sin 0

g

2

O bien

h =v20 sin

2 02g

(20)

Frmula para el alcance horizontal mximo R

De acuerdo con la simetra de la trayectoria parbolica, se tiene que

tO!B = 2tO!A =2v0 sin 0

g(21)

Sustituyendo enx = (v0 cos 0) t (22)

Se obtiene que

R = (v0 cos 0)2v0 sin 0

g

=

2v0 sin 0 cos 0g

(23)


Se obtiene


g

1

2gv0 sin 0

g

2O bien

h =v20 sin

2 02g

(20)

Frmula para el alcance horizontal mximo R

De acuerdo con la simetra de la trayectoria parbolica, se tiene que


g(21)


Se obtiene que

R = (v0 cos 0)2v0 sin 0

g

=

2v0 sin 0 cos 0g

(23)


Se obtiene


g

1

2gv0 sin 0

g

2O bien

h =v20 sin

2 02g

(20)

Frmula para el alcance horizontal mximo RDe acuerdo con la simetra de la trayectoria parbolica, se tiene que


g(21)


Se obtiene que

R = (v0 cos 0)2v0 sin 0

g

=

2v0 sin 0 cos 0g

(23)


O bien

R =v0 sin 20

g(24)

Donde se ha uasado la identidad trigonomtrica

sin 20 = 2 sin 0 cos 0 (25)

Ntese que R = Rmax, sii 0 = pi/4.


Resumen

El movimiento de proyectiles o el tiro parablico puede estudiarsecomo la superposicin de dos movimientos unidimensionales a saber:

Uno a lo largo del eje x con aceleracin nula, esto es: ax = 0Otro a lo largo del eje y, en caida libre, esto es: ay = gEl parmetro que acopla los movimientos es el tiempo t.

Las ecuaciones del movimeineto son:

x (t) = (v0 cos 0) t

y (t) = (v0 sin 0) t 12gt2

La ecuacin de la trayectoria es

y (x) =

g2v20 cos2 0

x2 + tan 0x


Resumen


Uno a lo largo del eje x con aceleracin nula, esto es: ax = 0

Otro a lo largo del eje y, en caida libre, esto es: ay = gEl parmetro que acopla los movimientos es el tiempo t.


x (t) = (v0 cos 0) t

y (t) = (v0 sin 0) t 12gt2


y (x) =

g2v20 cos2 0

x2 + tan 0x


Resumen


Uno a lo largo del eje x con aceleracin nula, esto es: ax = 0Otro a lo largo del eje y, en caida libre, esto es: ay = g

El parmetro que acopla los movimientos es el tiempo t.


x (t) = (v0 cos 0) t

y (t) = (v0 sin 0) t 12gt2


y (x) =

g2v20 cos2 0

x2 + tan 0x


Resumen


Uno a lo largo del eje x con aceleracin nula, esto es: ax = 0Otro a lo largo del eje y, en caida libre, esto es: ay = gEl parmetro que acopla los movimientos es el tiempo t.


x (t) = (v0 cos 0) t

y (t) = (v0 sin 0) t 12gt2


y (x) =

g2v20 cos2 0

x2 + tan 0x


El movimiento es simtrico con respecto a una recta vertical que pasapor el vrtice de la parbola

La altura mxima h est dado por

h =v20 sin

2 02g

El alcance horizontal R est dado por

R =v0 sin 20

g

y es R = Rmax sii 0 = pi/4.


El movimiento es simtrico con respecto a una recta vertical que pasapor el vrtice de la parbola

La altura mxima h est dado por

h =v20 sin

2 02g

El alcance horizontal R est dado por

R =v0 sin 20

g

y es R = Rmax sii 0 = pi/4.Alfredo Enrique Lora (Uninorte) Enero del 2009 29 / 50

Ejercicios

Ejercicio 1Un caon est en un arrecife de 400 ft de altura con respecto al niveldel piso horizontal, dispara un proyectil con una rapidez inicial de86 ft/ s y un ngulo de disparo de 30o. Calcule las coordenadas delpunto en el que proyectil choca contra el piso. Si un auto de dirigehacia el arrecife con una velocidad constante de 60mi/h (88 ft/ s) alo largo de un camino horizontal y de frente al movimiento delproyectil, determine la distancia a la que debe estar del arrecife en elinstante del lanzamiento, para que el disparo del caon sea exitoso.

Ejercicio 2A skier leaves the ramp of a sky jump with a velocity of 10m/ s, 15o

above the horizontal, as in the gure. The slope is inclined at 50o,and air resistance is negligible. Find a) the distance from the ramp towhere the jumper lands and b) the velocity components just beforethe landing. How do you think the results might be aected if airresisitance were included? Note that jumpers lean forward in the


shape of an airfoil, with theirhands at their sides, toincrease their distance. Whydoes this work?

Ejercicio 3Un balon de futbolamericano se lanza haciaun receptor con unavelocidad inicial de

20m/ s y con un ngulo dedisparo de 30o por encima dela horizontal. 0.31 s despusdel instante del lanzamiento, elreceptor que est a 20m dellanzador se pone enmovimiento para capturar elbaln 2m por encima del nivelde lanzamiento. Si el receptorsiempre se mueve en el mismoplano del baln, halle larapidez constante y ladireccin con que debemoverse l, con respecto alpunto de lanzamiento, paralograr su cometido.


Ejercicio 3.60 pag. 114 texto gua

Una bola de nieve rueda hacia abajo por el techo de un gallinero queest inclinado un ngulo de 40o con respecto a la horizontal, como semuestra en la gura.

El borde del techo est a 14mdel suelo y la bola tiene unarapidez de 7m/ s cuandoabandona el techo, a) A qudistancia de la pared delgranero golpea la pelota elpiso? b) Un hombre de 1.9mde estatura est parado a 4mde la pared del granero, logolpea la bola? Explique.



Un peasco de de 76 kg est rodando horizontalmente hacia el bordede un acantilado que est a 20m por encima de la supercie de unlago, como se muestra en la gura.

El tope del de la cara vertical de una represa esta a 100m del pie delacantilado, al nivel de la supercie del lago. Hay una llanura 25m pordebajo del tope de la represa. a) Qu rapidez mnima debe tener laroca al perder contanto con el acantilado para llegar hasta la llanurasin chocar con la presa? b) A qu distancia del pie de la represa caela piedra en la llanura?



Un hombre sobre un furgn plano que viaja con rapidez constante de9.1m/ s como se muestra en la gura quere lanzar una pelota atravs de un aro estacionario a 4, 9m sobre la altura de la mano, demodo que la bola se mueva horizontalmente al pasar por el aro.

El hombre lanza la bola con una rapidez de 10.8m/ s respecto a smismo. a) Qu componente vertical debe tener la velocidad inicial dela bola? b) Cuntos segundos despus del lanzamiento la bola pasara travs del aro? c) A qu distancia horizontal del aro debe soltarse labola?


Movimiento circular

Es el ejecutado por una partcula cuando la trayectoria que describe,es una circunferencia.

Su importancia radica en que sirve de fundamenteo para explicarmodelos fsicos como: El movimiento planetario, el tomo de Bohr, o elde un mecanismo que gira alrededor de un eje.

Posicin angular

q

x

y

i

j

P(x,y)

x

y

q

qr

r

En la gura , y r, sonvectores unitariosortogonales:

tangente a latrayectoria, yr dirigido radialmentehacia afuera.Ntese que , y r noson constantes.


Movimiento circular



Posicin angular

q

x

y

i

j

P(x,y)

x

y

q

qr

r


tangente a latrayectoria, y

r dirigido radialmentehacia afuera.Ntese que , y r noson constantes.


Movimiento circular



Posicin angular

q

x

y

i

j

P(x,y)

x

y

q

qr

r


tangente a latrayectoria, yr dirigido radialmentehacia afuera.

Ntese que , y r noson constantes.


Movimiento circular



Posicin angular

q

x

y

i

j

P(x,y)

x

y

q

qr

r


tangente a latrayectoria, yr dirigido radialmentehacia afuera.Ntese que , y r noson constantes.


Descripcin vectorial del movimiento circular

La particula estudiada se mueve en el plano xy en sentido antihorario,describiendo una circunferencia de radio r, cuyo centro coincide con elorigen del sistema coordenado. Supngase que en un instantecualquiera t, la partcula se encuentra en el punto P(x, y) como semuestra en la gura.

qx

y

i

j

P(x,y)q

rq

qx

qy

r

rx

ry


El vector de posicin en cualquier instante t, est dado por

~r = r cos + r sin (26)

Ntese que al dividir ambos miembros de (26) por r, y teniendo encuenta la denicin de vector unitario, se obtiene

r =~rr= cos + sin (27)

Donde r es un vector unitario en la direccin radial y dirigido haciaafuera como se muestra en la gura.

El otro vector unitario que aparece reseado en la misma gura, esortonormal a r, su direccin es tangente a la trayectoria y su sentidoes el mismo en el que crece el gulo .Observaciones:

Los vectores unitarios y son constantes tanto en direccin las cualesestn respectivamente establecidas a lo largo de los ejes coordenados xe y; como en magnitud, pues tienen norma 1; por ello, sus derivadascon respecto al tiempo son nulas, esto es:

d dt=

d dt= 0 (28)



~r = r cos + r sin (26)




El otro vector unitario que aparece reseado en la misma gura, esortonormal a r, su direccin es tangente a la trayectoria y su sentidoes el mismo en el que crece el gulo .

Observaciones:


d dt=

d dt= 0 (28)



~r = r cos + r sin (26)




El otro vector unitario que aparece reseado en la misma gura, esortonormal a r, su direccin es tangente a la trayectoria y su sentidoes el mismo en el que crece el gulo .Observaciones:


d dt=

d dt= 0 (28)


Continuacin observaciones:

Los vectores unitarios r y no son constantes por que a pesar de tenernorma 1, sus direcciones varian continuamente; por ello, sus derivadascon respecto al tiempo no son nulas, esto es

d rdt6= 0 y d

dt6= 0 (29)

De otro lado, de la gura referida es posible obtener una expresin parael vector unitario en trminos de los vectores unitarios y .Descomponiendo en sus componentes rectngulares se obtiene

= ~x +~y =

sin +

cos (30)

Pero como

= 1, entonces (30) puede reescribirse como

= sin + cos (31)Como es funcin del tiempo y r es funcin de , entonces r es unafuncin compuesta de t, es decir, cuando se derive a r con respecto a tdebe aplicarse la regla de la cadena.




d rdt6= 0 y d

dt6= 0 (29)

De otro lado, de la gura referida es posible obtener una expresin parael vector unitario en trminos de los vectores unitarios y .

Descomponiendo en sus componentes rectngulares se obtiene

= ~x +~y =

sin +

cos (30)

Pero como






d rdt6= 0 y d

dt6= 0 (29)


= ~x +~y =

sin +

cos (30)

Pero como


= sin + cos (31)

Como es funcin del tiempo y r es funcin de , entonces r es unafuncin compuesta de t, es decir, cuando se derive a r con respecto a tdebe aplicarse la regla de la cadena.




d rdt6= 0 y d

dt6= 0 (29)


= ~x +~y =

sin +

cos (30)

Pero como




Consecuencias de las observaciones

De acuerdo con lo anterior podemos conclur entonces que:

d rdt= sin d

dt+ cos

ddt

= ( sin + cos ) d dt

Pero por denicinddt= (32)

Por lo tanto la ecuacin anterior puede escribirse como:

d rdt= (33)

Anlogamente se puede inferir que

d dt= cos d

dt sin d

dt = (cos + sin ) d

dtPor lo tanto la ecuacin anterior puede escribirse

d dt= r (34)


Consecuencias de las observacionesDe acuerdo con lo anterior podemos conclur entonces que:

d rdt= sin d

dt+ cos

ddt

= ( sin + cos ) d dt

Pero por denicinddt= (32)

Por lo tanto la ecuacin anterior puede escribirse como:

d rdt= (33)

Anlogamente se puede inferir que

d dt= cos d

dt sin d

dt = (cos + sin ) d

dtPor lo tanto la ecuacin anterior puede escribirse

d dt= r (34)


Velocidad en el movimiento circular

De acuerdo con la primera parte de ecuacin (27) el vector de posicinde la partcula que ejecuta el moviviento estudiado est dado por

~r = r r

De acuerdo con la denicin de velocidad se tiene que

~v =d~rdt=

d (r r)dt

= rd ( r)dt

Recordando que r es el radio de trayectoria (constante) y teniendo encuenta (33), la ecuacin anterior queda

~v = r (35)

Este acuacin establece que la direccin de la velocidad en elmovimiento circul

8dda17a3d01

Documents