99

7. FRACCIONES FACTORIALES

7.1 INTRODUCCION

Si el número de factores a estudiar no es reducido los planes factoriales equilibrados (por ejemplo,

los planes 2k) exigen un número muy elevado de pruebas. Por ejemplo, en un estudio para mejorar

el proceso de activación de un catalizador con el fin de aumentar su productividad en el reactor.

Factores potencialmente interesante (Asociados sobre todo a diferentes parámetros del perfil de

temperatura en el activador): 11 Factores, lo que nos da un numero de combinaciones de 211

=

2048. Realizar 2048 pruebas resulta un numero muy grande de pruebas, mas sin embargo es

posible realizar este experimento solo realizando 16 pruebas adecuadamente escogidas entre las

2048 posibles, con lo que se podrá estimar los efectos simples de los once factores. Para esto, se

recomienda emplear los diseños fraccionados.

7.2 DISEÑOS FRACCIONADOS

En principio un plan 2k permite estudiar un número muy elevado de posibles efectos. Por ejemplo a

partir de los 64 resultados de un diseño 26 es posible estudiar:

6 Efectos Simples

15 Interacciones Dobles

20 Interacciones Triples

15 Interacciones Cuádruples

6 Interacciones Quíntuples

1 Interacción Séxtuplo

Cada uno de estos efectos se estima con una gran precisión, como la diferencia entre las medias de

dos conjuntos de 32 observaciones cada uno. La mayor parte de estos 63 efectos serán inexistentes

(vg. muy posiblemente todas las interacciones de orden mayor que 2 y muchas de las interacciones

dobles). Además la precisión obtenida puede ser innecesariamente elevada para el estudio. El uso de

100

los diseños fraccionados, permiten reducir el tamaño de la experimentación, sacrificando la

precisión y la posibilidad de estudiar interacciones de orden elevado.

7.3 DISEÑO FRACCIÓN UN MEDIO 2k-1

El diseño fracción un medio consiste en tomar la mitad de combinaciones de un diseño 2k completo.

Se recomienda usarlo en las primeras faces de la experimentación y es útil cuando el diseño es de 4

a 6 factores.

7.3.1 PROCEDIMIENTO PARA OBTENER UN DISEÑO FRACCION UN

MEDIO

Supongamos que se quiere investigar la influencia de 4 factores en una variable de respuesta, por lo

que las combinaciones de un 24 se pueden ver en la tabla 7.1. De las 16 combinaciones de la tabla

7.1, se debe escoger adecuadamente 8 combinaciones para realizar un diseño fraccionado un medio.

Y con esas 8 combinaciones estimar los efectos simples de los 4 factores y alguna que otra

interacción doble. Para seleccionar las 8 combinaciones, no se recomienda seleccionar las primeras

ocho, ni las últimas ocho, ya que el factor D solo se estudiaría en un solo nivel y no seria posible

conocer su efecto promedio. Lo primero es que un requisito deseable que deben satisfacer las 8

pruebas seleccionadas es que todos los factores se hayan presentado en ellas 4 veces a nivel bajo ( -)

y 4 veces a nivel alto ( +), como se muestra en las filas no sombradas de la tabla 7.2. El problema

de la selección de las combinaciones que están señaladas por las filas no sombreadas es que, a pesar

de que todos los factores se estudian cuatro veces a nivel bajo ( -) y 4 veces a nivel alto ( +), los

efectos de los factores A y B (estarían) "confundidos" debido a que tendrían los mismo signos y con

esto no sería posible saber si un efecto observado se debe a uno u otro (o, incluso, si ambos fueran

igual de importantes, pero de signo contrario en el experimento no se detectaría efecto alguno). Si

sucede esto significa que el diseño no es ortogonal. Una solución de seleccionar las 8

combinaciones se puede ver en la tabla 7.3, nótese que si se seleccionan las pruebas 1, 4, 6, 7, 10,

11, 13 y 16 todos los efectos simples son ortogonales entre si y ortogonales además a las

interacciones dobles. La forma o el procedimiento con que se seleccionaron las 8 combinaciones es

como se describe en la sesión 7.3.2.

101

Prueba A B C D

1 - - - -

2 + - - -

3 - + - -

4 + + - -

5 - - + -

6 + - + -

7 - + + -

8 + + + -

9 - - - +

10 + - - +

11 - + - +

12 + + - +

13 - - + +

14 + - + +

15 - + + +

16 + + + +

Tabla 7.1 Combinaciones de un diseño 24

7.3.2. Metidos de construcción de un diseño fraccionado un medio

7.3.2.1 Primer Método

Construir el plan completo asociado a k-1 de los factores (que tendrá 2k-1

pruebas) y asociar el factor

restante a la interacción entre los k-1 primeros. En el caso de 4 factores se genera un diseño

completo 23 como se muestra en la tabla 7.4. Posteriormente el factor D es generado por los signos

de la multiplicación de los factores A, B Y C, como se muestra en la tabla 7.5.

102

Prueba Código A B C D

1 (1) - - - -

2 a + - - -

3 b - + - -

4 ab + + - -

5 c - - + -

6 ac + - + -

7 bc - + + -

8 abc + + + -

9 d - - - +

10 ad + - - +

11 bd - + - +

12 abd + + - +

13 cd - - + +

14 acd + - + +

15 bcd - + + +

16 abcd + + + +

Tabla 7.2 Los efectos de los factores A y B están confundidos

7.3.2.2 Método Dos

Construir un plan 2k y seleccionar solo las pruebas que correspondan al signo positivo ( o al signo

negativo) de la interacción de orden más elevado. En el caso de 4 factores, la interacción de orden

mayor es la interacción cuádruple, así que las combinaciones de un diseño completo 24 se pueden

ver en la tabla 7.6. Los signos de la interacción del orden cuádruple se pueden ver en la tabla 7.7. En

esta tabla las combinaciones que están sombreadas corresponden a las combinaciones seleccionadas

103

Prueba Código A B C D

1 (1) - - - -

2 a + - - -

3 b - + - -

4 ab + + - -

5 c - - + -

6 ac + - + -

7 bc - + + -

8 abc + + + -

9 d - - - +

10 ad + - - +

11 bd - + - +

12 abd + + - +

13 cd - - + +

14 acd + - + +

15 bcd - + + +

16 abad + + + +

Tabla 7.3 Las ocho combinaciones adecuadas para un diseño fraccionado.

para la construcción de un diseño fracción un medio para 4 factores, misma en la que la Interaccion

ABCD esta en nivel alto (+). Nótese que las ocho combinaciones seleccionadas en la tabla 7.7 son

las mismas que las seleccionadas en la tabla 7.5.

104

Prueba A B C

1 - - -

2 + - -

3 - + -

4 + + -

5 - - +

6 + - +

7 - + +

8 + + +

Tabla 7.4 Generando un diseño completo 23

Prueba A B C D=ABC

1 - - - -

2 + - - +

3 - + - +

4 + + - -

5 - - + +

6 + - + -

7 - + + -

8 + + + +

Tabla /.5 Combinaciones de un diseño 24-1

Una consecuencia de hacer D=ABC o de seleccionar las combinaciones donde la interacción

ABCD es solo positiva, es que la interacción ABCD no podrá ser estudiada en el análisis. En este

caso la interacción cuádruplo ABCD se convierte en el generador del diseño fraccionado. Por

construcción el factor D esta confundido con la interacción ABC. Igualmente cada uno de los

restantes efectos simples estará confundido con la interacción triple entre los otros tres factores.

105

Prueba A B C D

1 - - - -

2 + - - -

3 - + - -

4 + + - -

5 - - + -

6 + - + -

7 - + + -

8 + + + -

9 - - - +

10 + - - +

11 - + - +

12 + + - +

13 - - + +

14 + - + +

15 - + + +

16 + + + +

Tabla 7. 6 Combinaciones de un diseño 24

Prueba A B C D ABCD

1 - - - - +

2 + - - - -

3 - + - - -

4 + + - - +

5 - - + - -

6 + - + - +

7 - + + - +

8 + + + - -

9 - - - + -

10 + - - + +

11 - + - + +

12 + + - + -

13 - - + + +

14 + - + + -

15 - + + + -

16 + + + + +

Tabla 7. 7 Combinaciones de un diseño 24-1

Análogamente la interacción doble entre cada par de factores estará confundida con la existente

entre la otra pareja de factores. Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el

mismo signo en todas las pruebas, en el ejemplo ABCD) se denomina generador de la fracción. El

número de letras del generador se denomina resolución de la fracción expresándose en números

romanos, en el ejemplo el diseño es de resolución IV.

106

7.3.2.3 REQUISITOS PARA UN FRACCION ADECUADA

Una fracción factorial permite estudiar el efecto de k factores con el menor número de pruebas que

el que exigiría un plan factorial completo (la reducción en el número de pruebas puede ser muy

importante)

A cambio de:

1.- No poder estudiar ciertos efectos (los generadores de la fracción que son en general interacciones

de orden elevado).

2.-Confundir entre si algunos efectos de los que se pueden estudiar (por ejemplo, el efecto simple de

A con la interacción BCD o la interacción AB con la CD).

Una "buena" fracción factorial debe:

1.- No confundir nunca efectos simples entre si

2.-Procurar no confundir efectos simples con interacciones dobles.

3.-De ser posible, no confundir tampoco interacciones dobles entre si.

Regla practica para estudiar la confusión de efectos.

1.-Al efecto utilizado para construir la fracción (es decir, al que tiene el mismo signo en todas las

pruebas) se denomina generador de la fracción. El número de letras del generador se denomina

resolución de la fracción expresándose en números romanos.

2.-Los planes 2k-1

tiene un sólo generador que normalmente es la interacción de orden más elevado.

Los planes 2k-p

, cuyo número de pruebas es menor que la mitad del plan completo (por ejemplo la

cuarta o la octava parte), tiene varios generadores.

107

3.-El efecto asociado al generador no puede estudiarse.

4.-Cualquier otro efecto esta confundido con el que resulta de multiplicar las letras del efecto por las

del generador y tachar los cuadrados.

En ejemplo: generador ABCD (resolución IV)

A se confunde con: A*ABCD=A2BCD=BCD

AB con: AB*ABCD = A2B

2CD = CD

De acuerdo con esta regla:

En las fracciones de resolución III por lo menos un efecto simple estará confundido con alguna

interacción doble.

En las fracciones de resolución IV los efectos simples no estarán confundidos con interacciones

dobles.

En las fracciones de resolución V (generadores de cinco letras) las interacciones dobles no estarán

confundidas entre sí.

7.4 EJEMPLO DE UN DISEÑO FRACCION UN MEDIO

Con el objetivo de mejorar el rendimiento de un proceso de manufactura de un circuito

integrado, se investigaron 5 factores un diseño 5 1

2

. Los cinco factores fueron A=apertura del

diafragma (pequeña, grande), B=tiempo de exposición (20% abajo y arriba del nominal),

C=tiempo de revelado (30,45 seg), D= Dimensión de la pantalla (pequeña, grande), E=tiempo de

corrosión selectiva (14.5 y 15.5 seg). A continuación se presenta la construcción del diseño 5 1

2

, los resultados del diseño de experimentos se pueden ver en la tabla 7.8.

108

corrida A B C D E RENDIMIENTO

1 -1 -1 -1 -1 1 8

2 1 -1 -1 -1 -1 9

3 -1 1 -1 -1 -1 34

4 1 1 -1 -1 1 52

5 -1 -1 1 -1 -1 16

6 1 -1 1 -1 1 22

7 -1 1 1 -1 1 45

8 1 1 1 -1 -1 60

9 -1 -1 -1 1 -1 6

10 1 -1 -1 1 1 10

11 -1 1 -1 1 1 30

12 1 1 -1 1 -1 50

13 -1 -1 1 1 1 15

14 1 -1 1 1 -1 21

15 -1 1 1 1 -1 44

16 1 1 1 1 1 63

Tabla 7.8 Resultados del diseño para el rendimiento de un proceso.

7.4.1 SOLUCION ESTADISTICA DEL DISEÑO FRACCION UN MEDIO

Primeramente se obtienen los efectos promedios hasta el segundo orden, a partir de estos

diseños ya no se estudiaran las interacciones triples hacia adelante (ver tabla 7.9), los cuales son

graficados en el diagrama de Pareto Normal de la figura 7.1. Al igual como se vio en los diseños

no replicados, no hay suficientes grados de libertad para estimar el error y por consecuencia no

es posible saber cuales efectos son significativos. Pero siguiendo las mismas indicaciones como

se vio en los diseños no replicados encontramos que el mejor anova o mejor Pareto

estandarizado del diseño son los que se encuentran en la tabla 7.9 y en la figura 7.2,

respectivamente.

109

Efectos estimados para Rendimiento

Efecto Estimado

promedio 30.3125

A:Aper Diafragma 11.125

B:T exposicion 33.875

C:T revelado 10.875

D:Dim pantalla -0.875

E:T corrosion 0.625

AB 6.875

AC 0.375

AD 1.125

AE 1.125

BC 0.625

BD -0.125

BE -0.125

CD 0.875

CE 0.375

DE -1.375

Tabla 7.9 Efectos promedios

Figura 7.1 Diagrama de Pareto Normal

Diagrama de Pareto para Rendimiento

0 10 20 30 40

Efecto

BDBEACCE

E:T corrosionBC

D:Dim pantallaCDADAEDEAB

C:T reveladoA:Aper Diafragma

B:T exposicion+

-

110

Figura 7.2 El mejor Pareto estandarizado

Análisis de Varianza para Rendimiento

Fuente Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Razón-F Valor-P

A:Aper Diafragma 495.063 1 495.063 193.20 0.0000

B:T exposicion 4590.06 1 4590.06 1791.24 0.0000

C:T revelado 473.063 1 473.063 184.61 0.0000

AB 189.063 1 189.063 73.78 0.0000

Error total 28.1875 11 2.5625

Total (corr.) 5775.44 15

R-cuadrada = 99.5119 porciento R-cuadrada (ajustada por g.l.) = 99.3345 porciento

Tabla 7.9 El mejor anova para rendimiento

Para un α=0.05, los efectos significativos son los efectos simples de Apertura de Diafragma, el

Tiempo de Exposición y El tempo de revelado. Además, también es significativa la interacción

de la Apertura de Diafragma y Tiempo de Exposición (ver tabla 7.9)

Diagrama de Pareto Estandarizada para Rendimiento

0 10 20 30 40 50

Efecto estandarizado

AB

C:T revelado

A:Aper Diafragma

B:T exposicion+

-

111

7.4.1 ANALISIS COMPLEMENTARIOS DEL DISEÑO FRACCION UN

MEDIO

7.4.1.2 GRAFICAS DE LOS EFECTOS PROMEDIO E INTERACCIONES

SIGNIFICATIVAS

Figura 7.3 Grafica de efectos promedio para

Apertura del Diafragma

Figura 7.4 Grafica de efectos promedio para

Tiempo de Exposición

Figura 7.5 Grafica de efectos promedio para

Tiempo de Revelado

-1.0

24.75

1.0-1.01.0

Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento

24

26

28

30

32

34

36

Rendim

iento

Aper Diafragma1.0

35.875

-1.0

13.375

1.0-1.01.0

Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento

13

23

33

43

53

Rendim

iento

T exposicion1.0

47.25

-1.0

24.875

1.0-1.01.0

Gráfica de Efectos Principales para Rendimiento

24

26

28

30

32

34

36

Rendim

iento

T revelado1.0

35.75

112

Con base a las graficas de efectos promedio de las figuras 7.3, 7.4, y 7.5, se puede concluir que

para maximizar el rendimiento se debe trabajar el proceso en un nivel alto (+) de la Apertura del

Diafragma, en un nivel alto (+) del Tiempo de Exposición y un nivel alto (+) para el Tiempo de

revelado.

Figura 7.6 Grafica de interacción de Apertura de Diafragma y Tiempo de Exposición

Con base a la grafica de interacción de la Apertura del Diafragma y el Tiempo de Exposición,

para maximizar el rendimiento se recomienda usar un nivel alto (+) de Apertura del Diafragma y

un nivel alto (+) de Tiempo de Exposición.

Con base a las recomendaciones de los efectos promedio y las recomendaciones de la grafica de

interacción, se puede concluir que para maximizar el rendimiento de un proceso, se debe trabajar

la Apertura de Diafragma en el nivel alto (+), el Tiempo de Exposición en el nivel alto (+) y un

Tiempo de Revelado en nivel alto (+).

-1.0

T exposicion=-1.0

T exposicion=1.0

Gráfica de Interacción para Rendimiento

0

10

20

30

40

50

60

Rendim

iento

Aper Diafragma1.0

T exposicion=-1.0

T exposicion=1.0

113

7.4.1.3 MODELO DE REGRESION Y GRAFICA DE RESPUESTA

La expresión 7.1 corresponde al modelo de regresión para el rendimiento del proceso. En la

figura 7.7 esta la grafica de respuesta para el rendimiento. Sustituyendo los valores de la

Apertura de Diafragma en el nivel alto (+), el Tiempo de Exposición en el nivel alto (+) y un

Tiempo de Revelado en nivel alto (+) en la expresión 7.1, encontramos el promedio de máximo

rendimiento que se ilustra en la figura 7.7.

Rendimiento = 30.3125 + 5.5625*Aper Diafragma + 16.9375*T exposición + 5.4375*T revelado + 3.4375*Aper Diafragma*T exposición

(7.1)

Figura 7.7 Grafica de Respuesta para Rendimiento de un proceso

Gráfica de Cubo para RendimientoDim pantalla=0.0,T corrosion=0.0

Aper Diafragma

T exposicion

T r

evela

do

-1.01.0

-1.0

1.0

-1.0

1.0

5.812510.0625

50.812532.8125

16.687520.9375

61.687543.6875

114

7.4.1.4 SUPUESTOS DEL DISEÑO

SUPUESTO DE VARIANZA CONSTANTE

En las figuras 7.8, 7.9, 7.10, están las gráficas de verificación de la varianza constante de los

efectos Apertura de Diafragma, Tiempo de Exposición y Tiempo de Revelado, respectivamente.

Nótese que en ninguna grafica se presenta algún patrón inusual, por lo que podemos concluir que

se cumple el supuesto de varianza constante.

Figura 7.8 Varianza constante de Apertura de

Diafragma

Figura 7.9 Varianza constante de Tiempo de

Exposición

Figura 7.10 Varianza constante de Tiempo de

Revelado

Gráfica de Residuos para Rendimiento

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1

Aper Diafragma

-2.9

-1.9

-0.9

0.1

1.1

2.1

3.1

resid

uo

Gráfica de Residuos para Rendimiento

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1

T exposicion

-2.9

-1.9

-0.9

0.1

1.1

2.1

3.1

resid

uo

Gráfica de Residuos para Rendimiento

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1

T revelado

-2.9

-1.9

-0.9

0.1

1.1

2.1

3.1

resid

uo

115

SUPUESTO DE INDEPENDECIA Y NORMALIDAD DE RESIDIOS

En la gráfica de la figura 7.11 se puede ver la grafica de independência de residuos, en la cual se

pude ver que no hay ningún problema. Tampoco se presenta ningún patrón inusual en la

normalidad de los resíduos (ver figura 7.12).

Figura 7.11 Independencia de Residuos Figura 7.12 Normalidad de los Residuos

Gráfica de Residuos para Rendimiento

0 4 8 12 16

número de corrida

-2.9

-1.9

-0.9

0.1

1.1

2.1

3.1

resid

uo

Gráfico de Probabilidad Normal para Residuos

-2.9 -1.9 -0.9 0.1 1.1 2.1 3.1

residuos

0.1

1

5

20

50

80

95

99

99.9

porcentaje