6.programació lineal macs

Lestel daurat[El jove Vili, un dels protagonistes daquesta novella, que es desenvolupa en una ciutat dHongria, als anys vint del segle XX, una tarda obre a la seva habitaci el llibre de Fsica i observa durant una estona aquesta frmula:]

g SrR

T g

R

r g 1 4 2 4

22

22P J P Jcos cos

Li van passar les ganes de viure.

Aix quin sentit t? es va preguntar confs. Qui inventa aquestes coses per amargar la vida als alumnes? Va sentir rbia. Se li va fer un nus a la gola. Els nombres estpids sarrossegaven davant seu com cucs, mentre que les lletres ho feien com larves.

Va badallar. [...]

Un professor particular hi anava cada tarda per estovar-li el cap i que li entressin les dues assignatures ms difcils: Matemtiques i Fsica. Mentre esperava que arri-bs per ensenyar-li totes aquestes burrades, sentretenia, ms aviat amb torpesa, amb el llibre dexercicis de Matemtiques.

Podia passar hores llegint-los, per en va: Un senyor va comprar cinc metres de roba..., Fa vuit anys un pare era cent vegades ms vell que el seu fill; vuit anys ms tard noms li faltaven quatre anys per ser tres anys ms gran que el mateix fill..., Un home ric que contracta dos jornalers.... Es fixava noms en lancdota i no es preocupava dall que havia de resoldre, i imaginava situacions divertides amb els personatges dels problemes. Es deixava embolicar com en un somni lent, i se nimaginava els detalls: el color de la roba, qui eren el pare i el fill, si aquell senyor tenia barba, si el noi sabia anar amb bicicleta i on vivia el ric... Per quan arribava el moment inevitable denfrontar-se als nombres, desbaratat el joc, es jus-tificava amb largument: Per, a veure, qui necessita aquella roba? Jo, segur que no. s ms que clar que el pare, el fill i el ric, tots, sn rucs i no serveixen per res.

DEZS KOSZTOLNYI

Expressa algebraicament aquest problema:Una fbrica vol elaborar un nou tipus de pasts amb dos productes A i B. El primer cont un 70 % de greixos i un 15 % dhidrats de carboni, mentre que el segon cont un 12 % de greixos i un 80 % dhidrats de carboni. El pasts ha de contenir, almenys, 40 g de greixos i 90 g dhidrats de carboni. El cost del producte A s de 0,05 /g i el del producte B s de 0,02 /g. Quants grams de cada producte ha de tenir el pasts perqu el cost sigui mnim?

Programaci lineal6L I T E R AT U R A I M AT E M T I Q U E S

Problemes de programaci linealMtodes de resoluciTipus de solucionsProblemes de la producci, el transport i la dieta

917475 _ 0114-0135.indd 114 29/7/09 09:55:45

115Programaci lineal

Programaci lineal

ABANS DE COMENAR... RECORDA

Donada la recta y x 4, en trobem el vector director i totes les rectes paralleles a ella.El vector director s $u (m, 1) (1, 1), per la qual cosa, totes les rectes paralleles a ella tindran el mateix vector director i el mateix pendent, per tant, lequaci del feix de rectes paralleles s y x k, k R.

1 Dibuixa la recta 2x 3y 6 i totes les rectes paralleles a ella.

Repassa

Donada la funci f(x, y) 2x y, el conjunt de punts del pla que compleixen que aquesta funci pren el valor f(x, y) 6 sn els determinats per la recta: 2x y 6.De tots aquests punts, els que tenen coordenades enteres positives sn els segents:A(6, 0), B(4, 1), C(2, 2) i D(0, 3)

2 Dibuixa el conjunt de punts del pla que fan que la funci f (x, y) 3x 4y prengui el valor 12.

Repassa

Donada la funci f ( x, y ) 2x y, els punts del pla que fan que aquesta funci assoleixi el mxim amb les restriccions segents:

x q 1, 0 a y a 3, x y a 3sn tots els que estan dins de la regi marcada.De tos ells, la funci objectiu f ( x, y ) 2x y assoleix el mxim en el punt A(6, 3) i val f ( A ) 2 6 3 15. El mnim lassoleix en el punt B(1, 0) i el seu valor s f ( B ) 2 1 3 5.

3 Donada la funci f(x, y) x y, esbrina en quins punts assoleix el mxim amb les restriccions segents:

1 a x a 3 i 4 a y a 9

Repassa

Feix de rectes parallelesUn feix de rectes paralleles a una de donada s un conjunt infinit de rectes totes elles paralleles entre si i paralleles a la donada.

Funci objectiu

La funci objectiu s una funci de tres variables, dues dindependents i una de dependent,

f : r m

(x, y) m z f (x, y)lexpressi algebraica de la qual s f(x, y) ax by, amb a, b w 0.

Mxim i mnim duna funci

Una funci objectiu pot tenir un mxim i un mnim en una regi del pla determinada per una srie de restriccions, o sigui un sistema dinequacions.

Y

Y

X

X

y x 4

0

0

$u1,1)

Y

X0B

A

917475 _ 0114-0135.indd 115 29/7/09 09:55:49

116 Unitat 6

1 Planteja aquest problema: Tenim com a mxim 120 unitats de dos productes, A i B. Hi ha 65 unitats del A, amb uns guanys de 4 , i 55 de B, amb 6,50 per unitat. Determina les quantitats que es venen per maximitzar els beneficis.

2 Planteja: Tenim taules de tipus A amb 2 m2 de fusta, 1 hora de feina i un benefici de 80 cada una, i de tipus B amb 1 m2 de fusta, 3 hores de feina i 50 de benefici. Si hi ha 600 m2 de fusta i un mxim de 900 hores, determina com obtenir el benefici mxim.

ACTIVITATS

Programaci lineal

La programaci lineal s un conjunt de tcniques que es fan servir per optmitzar (maximitzar o minimitzar, depn dels casos) una funci lineal de diverses variables anomenada funci objectiu, que est sotmesa a un seguit de restriccions expressades mitjanant inequacions lineals.

1.1. Plantejament del problemaUn problema de programaci lineal amb dues in-cgnites, x i y, consisteix a trobar els valors que fan mxima o mnima, segons els casos, una funci del tipus f (x, y) px q y que est sotmesa un seguit de restriccions expressades mitjanant un sistema dinequacions lineals amb dues incgnites.

1

Cada restricci en un problema de programaci lineal pot presentar qualsevol tipus de desigualtat:

, , a o q

No te noblidis

Generalment, a causa de la naturalesa de les incgnites (quantitats, objectes, temps, ) que intervenen en aquest tipus de problemes acostumen a aparixer les restriccions x q 0 i y q 0.Tamb hi poden aparixer restriccions dun altre tipus:

x 0 x q k, amb k R

Fixa-thi

a x b y ca x b y c

a x b y cn n n

1 1 1

2 2 2

a q

COM PLANTEGEM UN PROBLEMA DE PROGRAMACI LINEAL

Una fbrica de lmpares produeix dos models A i B. El model A necessita 2 hores de feina de xapa i 1 hora de pintura. El model B necessita 1 hora de xapa i 2 hores de pintura. Cada setmana sinverteixen com a mxim 80 hores en feines de xapa i 100 hores en pintura. Cada unitat del model A es ven a 75 i cada unitat de B a 80 . Determina el nombre de lmpares de cada tipus que interessa produir perqu el benefici de la venda sigui al ms gran possible.

PRIMER. Disposem la informaci Model A Model B TotalsXapa 2 1 80Pintura 1 2 100Benefici 75 80

en una taula.

SEGON. Definim les variables.x nre. de lmpares model A y nre. de lmpares model B

TERCER. Trobem les restriccions i la funci objectiu.x nre. de lmpares A x q 0 y nre. de lmpares B y q 0

Model A Modeo B TotalsXapa 2 1 80Pintura 1 2 100Benefici 75 80

2 x y a 80 x 2y a 100

QUART. Definim el problema Maximitzar f ( x, y ) 75x 80yRestringit a 2 80

2 1000 0

x yx y

x y

a aq q

,

de programaci lineal.

Fes-ho aix

f (x, y ) 75x 80y Funci objectiu

917475 _ 0114-0135.indd 116 29/7/09 09:55:51



3 Disposem de 90.000 m2 per construir parcelles de 3.000 i 5.000 m2, tipus A i B. Els beneficis sn de 10.000 per cada parcella A i de 20.000 per cada parcella B. El nombre mxim de parcelles B s de 120, i el de parcelles A s 150. Determina quantes parcelles de cada tipus necessitem per obtenir beneficis mxims.

4 Volem invertir en dos productes financers A i B. La inversi en B ser, almenys, de 3.000 i no sinvertir en A ms del doble que en B. El producte A proporciona un benefici del 10 %, i el B del 5 %. Si disposem dun mxim de 12.000 , quant hem dinvertir en cada producte per maximitzar el benefici?

ACTIVITATS

Mtodes de resoluci

2.1. Mtode analtic Consisteix a determinar la soluci ptima del problema a partir de lestudi del valor de la funci objectiu en els vrtexs de la regi factible.

COM RESOLEM ANALTICAMENT PROBLEMES DE PROGRAMACI LINEAL

Una fbrica de lmpares produeix dos models A i B. El model A necessita 2 hores de feina de xapa i 1 hora de pintura. El model B necessita 1 hora de xapa i 2 hores de pintura. Cada setmana sinverteixen com a mxim 80 hores en feines de xapa i 100 hores en pintura. Cada unitat del model A es ven a 75 i cada unitat de B a 80 . Determina el nombre de lmpares de cada tipus que interessa produir perqu el benefici ontingut en vendre-les sigui mxim.

PRIMER. Disposem la informaci Model A Model B Totals

Xapa 2 1 80Pintura 1 2 100Benefici 75 80

en una taula.

SEGON. Definim les variables.x nre. de lmpares model A x q 0y nre. de lmpares model B y q 0

TERCER. Definim les restriccions i plantegem el problema.

Model A Model B TotalsXapa 2 1 80Pintura 1 2 100Benefici 75 80

2 x y a 80 x 2y a 100

Maximitzar f ( x, y ) 75x 80y

Subjecte a 2 802 100

0 0

x yx y

x y

a aq q

,

QUART. Dibuixem la regi factible i en determinem els vrtexs.

A(0, 0) B(0, 50) C(20, 40) D(40, 0)

CINQU. Substitum els vrtexs en la funci objectiu i determinem els que optimitzen la funci.

f x y x yA

B( , )

( , )

( 75 80 75 0 80 0 00 0

0}}}m}}}m

,, )

( , ).

50

20 4075 0 80 50 4 000

75 20 80

}}}mC 440 4 70075 40 80 0 3 000

40 0

.

.( , )

}}}mD

El punt que maximitza la funci s C (20, 40). La soluci ptima s 20 unitats del model A i 40 del model B.

Fes-ho aix

2

D

Y

10

10 XA

BC

2x y 80

x 2y 100


917475 _ 0114-0135.indd 117 5/8/09 11:22:26

118 Unitat 6

5 Es fabriquen dos tipus daparells A i B als tallers X i Y. En cada un dels tallers es treballen 100 hores a la setmana. Cada aparell A necessita 3 hores del taller X i 1 hora de Y, i cada aparell B, 1 i 2 hores, respectivament. Cada aparell A es ven a 100 i cada aparell B a 150 . Calcula grficament el nombre daparells de cada tipus que shan de produir perqu la facturaci sigui mxima.

6 Tenim 120 refrescos de taronja i 180 de llimona. Es venen en paquets de dos tipus: els paquets de tipus A contenen 3 refrescos de taronja i 3 de llimona, i els de tipus B contenen 2 refrescos de taronja i 4 de llimona. El benefici s de 6 per cada paquet de tipus A i 5 per cada paquet de tipus B. Troba, grficament, quants paquets de cada tipus han de vendre per maximitzar el beneficis.

ACTIVITATS

2.2. Mtode grfic Consisteix a representar la funci objectiu igualada a zero, f (x, y) 0, que s una recta que passa per lorigen de coordenades, i desprs traar rectes paral-leles a aquesta que passin pels vrtexs de la regi factible.

La recta ax by 0 sempre passa per lorigen de coordenades.

Recorda

COM RESOLEM GRFICAMENT PROBLEMES DE PROGRAMACI LINEAL

Una fbrica de lmpares produeix dos models A i B. El model A necessita 2 hores de feina de xapa i 1 hora de pintura. El model B necessita 1 hora de xapa i 2 hores de pintura. Cada setmana sinverteixen com a mxim 80 hores en feines de xapa i 100 hores en pintura. Cada unitat del model A es ven a 75 i cada unitat de B a 80 . Determina el nombre de lmpares de cada tipus que interessa produir perqu el benefici ontingut en vendre-les sigui mxim.

PRIMER. Plantegem el problema de manera algebraica.

x nre. de lmpares model A y nre. de lmpares model BMaximitzarSubjete a

f x y x yx yx

( , ) a

75 802 80

2yyx y

aq q

1000 0,

SEGON. Dibuixem la regi factible i tracem la recta f ( x , y ) 0, que representa la funci objectiu igualada a zero.

TERCER. Tracem rectes paralleles a la recta f (x, y) 0 que passin per cada vrtex de la regi factible.

QUART. En les rectes que noms tallin la regi factible en el vrtex, analitzem el signe del coeficient de la variable y en la funci objectiu, f ( x, y ) ax by.t Si b 0 El mxim sassoleix en el vrtex la recta tangent al qual tingui ordenada

ms gran. El mnim sassoleix en el vrtex la recta tangent al qual tingui ordenada ms petita.

t Si b 0 El mxim sassoleix en el vrtex la recta tangent al qual tingui ordenada ms petita. El mnim sassoleix en el vrtex la recta tangent al qual tingui ordenada ms gran.

En aquest cas, la recta amb ordenada ms gran passa pel vrtex (20, 40); per tant, el valor mxim de la funci objectiu sassoleix en aquest vrtex. El valor de la funci objectiu en aquest punt s: 75 20 80 40 4.700

Fes-ho aix

Y

10

10f (x, y ) 0

X

Y

X

10

10 DA

BC

917475 _ 0114-0135.indd 118 29/7/09 09:55:56


7 Resol aquest problema de programaci lineal:Maximitzar f (x, y ) x 2ySubjecte a x

xyy

x y

qq

q q

22 8

100 0,

8 Resol el problema de programaci lineal:Maximitzar f (x, y ) x ySubjecte a x

xyy

x y2

23

66

0 0

aq

q a

,

ACTIVITATS

Tipus de solucions

3.1. Problemes amb soluci nicaSi un problema de programaci lineal t soluci nica, la funci objectiu sop-timitza en un dels vrtexs de la regi factible. Grficament, es donar un daquests casos:

1 Resol els segents problemes de programaci lineal:

a) Maximitzar f ( x, y ) x y

Subjecte a q

aq q

x yx y

x y

2 82

0 0,

Els vrtexs de la regi factible sn: A(0, 0) B(0, 4) C(4, 2) D(2, 0)

Substitum en la funci objectiu:

f x y x yA

B

C

( , )( , )

( , )

(

}}m}}m}}m

0 0

0 40 0 00 4 4

44 2

2 04 2 62 0 2

, )

( , )

m}}m

MximD

Existeix una nica soluci ptima: x 4, y 2.

b) Minimitzar f ( x, y ) x y Subjecte a x y

x yx y

a

qq q

3 82 6

0 0,

Els vrtexs de la regi factible sn: A(3, 0) B(8, 0)


f x y x yA

B( , )

( , )

( , )

}}m m}}m

3 0

8 03 0 38 0

Mnim88

Existeix una nica soluci ptima: x 3, y 0.

Exemple

3

X

Y

X

Y

X

Y

D

f (x, y ) 0

f (x, y ) 0

Y

1

1

XA

B

C

Y

1

1

X

A B

917475 _ 0114-0135.indd 119 29/7/09 09:56:03

120 Unitat 6

9 Resol aquest problema de programaci lineal:

Maximitzar f (x, y ) 2x 4ySubjecte a x

xx

yyy

x y6

2

4

12030

0 0

aaq

q q

,

10 Resol el problema de programaci lineal segent:

Maximitzar f (x, y ) 3x 6ySubjecte a

aaa

xxx

yyy

23

2

684

ACTIVITATS

3.2. Problemes amb soluci mltiple Si un problema de programaci lineal t soluci, i no s nica, la funci objec-tiu soptimitza en, almenys, dos dels vrtexs de la regi factible. Grficament tenim un daquests casos:

2 Resol els segents problemes de programaci lineal.

a) Minimitzar f ( x, y ) x y

Subjecte a

qq

q q

4 2 161

0 0

xx

yy

x y,

Els vrtexs de la regi factible sn: A(1, 0) B(3, 2) C(4, 0)


f x y x yA

B( , )

( , )

( , )

}}m m}}m

1 0

3 21 0 13 2

Mnim11

4 0 44 0

m}}m

MnimC ( , )

La funci objectiu assoleix el valor mnim en els vrtexs A i B i, per tant, en tots els punts del segment AB. Hi ha infinites solucions.

b) Minimitzar f ( x, y ) 2x 8y Subjecte a x

xx

yyy

x y

342

1812

60 0

qaa

q q

,

Els vrtexs de la regi factible sn: A(0, 6) B(2, 4) C(6, 3)

f x y x y AB

( , ) ( , )( , )

2 8 2 0 8 6 482 2

0 6

2 4}}m}}m

8 4 36

2 6 8 3 366 3

m}}m m

MnimMnim

C ( , )

La funci objectiu assoleix el valor mnim en els vrtexs B i C i, per tant, en tots els punts del segment BC. La soluci s mltiple.

Exemple

Si la funci objectiu soptimitza en dos vrtexs de la regi factible, tamb soptimitzen en tots els punts del segment que uneix els dos vrtexs.

No te noblidis

Perqu un problema de programaci tingui soluci mltiple s necessari que la funci objectiu representi rectes paralleles a una de les restriccions.

Fixa-thi

f (x, y ) 0

X

Y

X X

Y Y

Y

1

1

X

B

C

Y

X

A

BC

f (x, y ) 0 1

1

917475 _ 0114-0135.indd 120 29/7/09 09:56:10


3.3. Problemes sense soluci Si un problema de programaci lineal no t soluci, o b la regi factible no s acotada o b no existeix. Grficament tenim un daquests casos::

3 Resol els segents problemes de programaci lineal.

a) Maximitzar f ( x, y ) x y

Subjecte a xxx

yyy

x y

342

1812

60 0

qaa

q q

,

La funci objectiu creix indefinidament per a valors creixents de x i y. Si tracem rectes paralleles a la funci objectiu podem veure que sempre existeix una recta parallela per sobre de lanterior que tamb talla la regi factible. En aquest cas no existeix un valor que faci mxima la funci objectiu, s a dir, el problema no t soluci.

b) Minimitzar f ( x, y ) x y Subjecte a 8

367

4812

0 0

xx

yy

x y

qa

q q

,

No existeix regi factible. Per tant, no hi ha cap punt en qu es pugui optimitzar la funci objectiu. El problema no t soluci.

Exemple

11 Resol aquest problema de programaci lineal:Maximitzar f (x, y ) x 3ySubjecte a x

xyy

xy

qa

qq

5 254

00

12 Resol aquest problema de programaci lineal:Maximitzar f (x, y ) 3x 2ySubjecte a

qqa

qq

xxx

yyy

xy

23 12

84

00

ACTIVITATS

Si un problema de programaci lineal t una regi factible no acotada, el problema pot tenir soluci, nica o mltiple, o no tenir-ne.Tot i aix, si un problema no t soluci, la seva regi factible s no acotada o no existeix.

No te noblidis

X

Y

X

Y

X

Y

Y

2

2

X

Y

1

1

X

917475 _ 0114-0135.indd 121 29/7/09 09:56:15

122 Unitat 6

Problema de la producci

El problema de la producci consisteix a maximitzar els beneficis o minimitzar els costos de producci darticles sotmesos a restriccions: producci limitada, existncia de materials

4 Per fabricar dos tipus de cables, A i B, que es vendran a 150 i 100 lhectmetre, respectivament, es fan servir 16 kg de plstic i 4 kg de coure per cada hectmetre del tipus A i 6 kg de plstic i 12 kg de coure per cada hectmetre del tipus B. El cable fabricat del tipus B no pot ser ms gran que el doble del tipus A i, a ms, noms tenim 252 kg de plstic i 168 kg de coure. Determina la longitud, en hectmetres, de cada tipus de cable perqu la quantitat de diners obtinguda en vendrels sigui mxima.Definim les variables i disposem les dades en una taula:

x Hectmetres de cable del tipus A y Hectmetres de cable del tipus BTipus A Tipus B Totals

Plstic 16 6 252Coure 4 12 168Preu 150 100

16 x 6y a 252 4x 12y a 168

El cable del tipus B no s ms gran y a 2 x 2 x y q 0 que el doble del tipus A.

Maximitzar f (x, y ) 150x 100y Subjecte a 16 6 252

4 12 1682 0

0 0

x yx yx y

x y

a a

qq q

,

Calculem els vrtexs:

A x yx y

B x y( , ) ( , )0 0 4 12 1682 0

6 12 16 6

m

2524 12 168

12 10x y

Cm ( , )

16 6 252 00

x y Dy }m ( ; )15,75

Substitum a la funci objectiu:

f x y x yA

( , )( , ) 150 100 150 0 100 0 00 0}}}m

}}}

mm}}}m

B

C

( , )

( , ).6 12

12 10150 6 100 12 2 100150

12 100 10 2 800

150 115 75 0.

( , ; )m

}}}mMxim

D 55 75 100 0 2 362 50, . , Shan de fabricar 12 hm de cable del tipus A i 10 hm del tipus B.

Exemple

4

13 Una fbrica elabora dos tipus de productes, A i B. El tipus A necessita 2 obrers que treballin un total de 20 hores, i sobt un benefici de 1.500 per unitat. El tipus B necessita 3 obres amb un total de 10 hores de feina i el benefici s de 1.000 per unitat. Si disposen de 60 obrers i 480 hores de feina, determina la quantitat dunitats de A i de B que shan de fabricar per maximitzar el benefici.

14 Una fbrica de conserva t 800 kg de psols per conservar en dos tipus de llaunes. La llauna petita en cont 200 g i aporta un benefici de 10 cntims per llauna. La llauna gran en cont 500 g i aporta un benefici de 30 cntims. Si al magatzem noms tenen 2.000 llaunes de mida petita i 1.000 de grans, determina la quantitat de llaunes de cada mida que hem de produir per maximitzar el benefici.

ACTIVITATS

D

Y

2

2

XA

B C

f (x, y ) 0


917475 _ 0114-0135.indd 122 29/7/09 09:56:19


15 Un esportista necessita consumir diriament 36 g duna substncia M, 24 g de N i 8 g de P. A la farmcia ha trobat dos tipus de cpsules que contenen aquestes substncies. Les cpsules A tenen 6 g de M, 2 g de N i 18 g de P, i costen 3 cntims per cpsula. Les cpsules B tenen 3 g de M, 4 g de N i 18 g de P, i costen 4,5 cntims per cpsula. Quantes cpsules de cada tipus necessita perqu el cost sigui mnim?

16 Els animals duna granja han de prendre, almenys, 60 mg de vitamina A i, almenys, 90 mg de vitamina B. Existeixen dos compostos amb aquestes vitamines. El compost X cont 10 mg de vitamina A i 15 mg de B, i cada dosi val 0,50 . El compost Y cont 10 mg de cada vitamina, i cada dosi costa 0,30 . A ms, es recomana no prendren ms de 8 dosis diries. Calcula quines dosis han de prendre perqu el cost sigui mnim.

ACTIVITATS

Problema de la dieta

El problema de la dieta consisteix a minimitzar els costos dels aliments que constitueixen la dita diria dun collectiu (animals o persones) i que els apor-ten els nivells de nutrients necessaris.

5 Un veterinari vol donar als seus animals una dieta que contingui un mnim de 30 unitats de pinso tipus A i 20 unitats de pinso tipus B.

Al mercat hi ha dos productes, P1 i P2, que selaboren amb aquests pinsos. Cada bossa de P1, que val 2,50 , cont 4 unitats del tipus A i 2 unitats del B, mentre que cada bossa de P2, que val 3,25 , cont 5 unitats del A i 5 unitats del B. Quina quantitat de P1 i P2 haur de comprar perqu el cost de la dieta sigui mnim?

Definim les variables i disposem les dades en una taula: x Unitats del producte P1 y Unitats del producte P2

P1 P2 TotalsTipus A 4 5 30Tipus B 2 5 20Preu 2,5 3,25

4 x 5y q 30 2x 5y q 20 f (x, y ) 2,5 x 3,25y Funci objectiu

Minimitzar f (x, y ) 2,5 x 3,25y Subjecte a 4 5 30

2 5 200 0

x yx y

x y

q qq q

,

Calculem els vrtexs de la regi factible:

4 5 30 0 64 5 302 5 20

0x y Ax yx y

x

}m}

( , )

}}m

}m

B

x y Cy

( , )

( , )

5 2

2 5 20 00 10


f x y x y A( , ) , , ,( , ) 2,5 3,25 }}}m0 6 2 5 0 3 25 6 19 5502 5 5 3 25 2 19

5 2

1

}}}m m

}}}m

B

C

( , )

(, , Mnim

00 02 5 10 3 25 0 2

, ), , 5

Haur de comprar 5 unitats de P1 i 2 unitats de P2.

Exemple

5

Y

1

1 X

A

B

C

917475 _ 0114-0135.indd 123 29/7/09 09:56:23

124 Unitat 6

17 Una empresa es dedica a elaborar lots de productes que es venen als supermercats. En aquest moment estan empaquetant dos lots diferents. El lot de tipus A t 1 formatge i 2 ampolles de vi, i transportar-lo costa 0,90 . El lot de tipus B t 3 formatges i 1 ampolla de vi, i el transport val 1,50 . Lempresa disposa de 200 formatges i 100 ampolles de vi, i han delaborar, almenys, 10 lots del tipus A i 25 del tipus B. Quants lots de cada classe han delaborar perqu les despeses en transport siguin mnimes?

18 Aquesta s la composici dels articles A i B pels elements M1, M2 i M3.

Necessitem, almenys, 45 unitats de M1, 71 de M2 i 25 de M3, i els costos de trasllat de A i B sn 50 i 60 , respectivament. Determina els articles que shan delaborar perqu els costos de trasllat siguin mnims.

ACTIVITATS

Problema del transport

El problema del transport consisteix a minimitzar els costos del trasllat de mercaderies, articles o persones a un dest determinat per satisfer una demanda sense excedir-la.

6 Es vol organitzar un pont aeri entre dues ciutats, amb prou places de passatge i crrega, per transportar 1.600 persones i 96 tones dequipatge. Els avions disponibles sn de dos tipus: 11 del tipus A i 8 del tipus B. La contractaci dun avi del tipus A val 4.000 i pot transportar 200 persones i 6 tones dequipatge; els avions de tipus B costen 1.000 i poden transportar 100 persones i 15 tones. Quants avions de cada tipus han dutilitzar-se perqu el cost sigui mnim?

Definim les variables i disposem les dades en una taula: x Avions del tipus A y Avions del tipus B

Tipus A Tipus B TotalsPersones 200 100 1.600Equipatge 6 15 96Preu 4.000 1.000

200 x 100y q 1.600 6x 15y q 96 f (x, y ) 4.000 x 1.000y Funci objectiu

Avions disponibles: 11 del tipus A x a 11 8 del tipus B y a8

Minimitzar f (x, y ) 4.000 x 1.000y Subjecte a 200

6100

151 60096

0 110 8

xx

yy

x xy y

qq

q aq a

.

,,

Calculem els vrtexs de la regi factible:

200 100 1 6006 15 96

6 4 200x yx y

A x

. ( , )m 1100 1 600 4 811 8 6 15 96

8y BC x y

y

x

. ( , )( , )

}}m}}m11 11 2D( , )


f x y x y A( , ) . . . .( , ) 4 000 1 000 4 000 6 1 0006 4}}m 44 28 0004 000 4 1 000 8 24 000

4 8

.

. . .( , )

}}m mB MMnim}}m}}m

C ( , ). . .

11 84 000 11 1 000 8 52 000

DD( ). . .

11, 24 000 11 1 000 2 46 000

Shan dutilitzar 4 avions del tipus A i 8 avions del tipus B.

Exemple

6

D

Y

1

1

X

A

B C

A BM1 2 1M2 3 2M3 1 2

917475 _ 0114-0135.indd 124 29/7/09 09:56:28


Resoluci informtica

El programa DERIVE permet resoldre duna forma senzilla els problemes de programaci lineal.

7

19 Determina la soluci ptima de la funci f ( x , y ) x 3y sotmesa al conjunt dinequacions segent:

x q 0 y q 0 2x 6y a 12 x q 2y

20 Determina la soluci ptima de la funci f ( x , y ) x y sotmesa al conjunt dinequacions segent:

x q 0 y q 0 x 6y a 12 x q 3y

ACTIVITATS

COM DETERMINEM LA SOLUCI PTIMA DUN PROBLEMA DE PROGRAMACI LINEAL

Determina en quin punt sassoleix la soluci ptima dun problema de programaci lineal la funci objectiu del qual s f ( x , y ) x 2y sotmesa al conjunt dinequacions segent:

x q 0 x q 4 y a 1 x q y 2x 3y a 12

Primer dibuixem la regi factible. Hem de plantejar a la finestra dlgebra: . A la finestra sortir un quadre de dileg

que ens demana el nombre dequacions o inequacions: hi escrivim 5 i premem . A la finestra segent sortiran tants quadres com inequacions.

Hi escrivim les cinc inequacions, una darrere laltra, i una vegada introdudes, i amb les variables x i y en el quadre de Variables, premem i obtenim la soluci analtica del sistema a #2:

Premem el bot i una vegada a la finestra grfica es torna a prmer

el bot per obtenir la regi factible.

Per esbrinar la soluci ptima, calculem primer els vrtexs de la regi a partir de resoldre sistemes dequacions agafant-les de dues en dues. Aix obtenim els vrtexs: A (1, 1), B (4, 1), C (4, 4/3) i D (12/5, 12/5).

Definim la funci objectiu #11: f ( x , y ) x 2y i calculem en cada cas quin s el seu valor:

x 2y f (1, 1) x 2y f (4, 1) x 2y f (4, 4/3) x 2y f (12/5, 12/5)

Desprs representem les rectes i obtenim la soluci de manera grfica:

Mxim: D (12/5, 12/5) Mnim: A (1, 1)

Fes-ho aix

917475 _ 0114-0135.indd 125 29/7/09 09:56:30

126 Unitat 6

Problemes de programaci lineal

1. COM RESOLEM UN PROBLEMA EN EL QUAL UNA DE LES RESTRICCIONS S UNA RELACI ENTRE LES INCGNITES

7 Una persona t 1.500 per invertir en dos tipus daccions, A i B. El tipus A t un inters simple anual del 9 % i el tipus B del 5 %. Aquesta persona decideix invertir com a mxim 900 en accions del tipus A, 300 , com a mnim, en accions del tipus B i, a ms, invertir en A almenys tant com en B. Com ha dinvertir els 1.500 perqu els beneficis anuals siguin als mxims possibles? Calcula aquests beneficis anuals.

SOLUCI

PRIMER. Plantegem el problema de programaci lineal.x Quantitat de diners invertits en Ay Quantitat de diners invertits en BInverteix 1.500 x y a 1.500Mxim 900 en A 0 a x a 900Mnim 300 en B y q 300Inverteix en A almenys tant com en B B x q yFunci objectiu f ( x, y ) 0,09x 0,05y

El problema que obtenim s: Maximitzar f ( x, y ) 0,09x 0,05ySubjecte a x y

x yx

y

aqa aq

1 500

0 900300

.

SEGON. Dibuixem la regi factible i en calculem els vrtexs.

x yy

A

x yx y

300300 300

1 500

m ( , )

.

m

m

B

x yx

C

( , )

. ( ,

750 750

1 500900

900 6000

900300

900 300

)

( , )xy

Dm

TERCER. Substitum aquests punts en la funci objectiu i determinem quins punts optimitzen la funci.

f x y x yA

( , ) , ,

, ,( , )

0 09 0 05

0 09 300 0300 300}}}m 005 300 420 09 750 0 05 750750 750

}}}mB( , ) , , 11050 09 900 0 05 600 111

900 600

}}}m}}

C ( , ), ,

}}mD( , ) , ,900 300 0 09 900 0 05 300 96 Si inverteix 900 en A i 600 en B, obtindr 111 de benefici.

2. COM RESOLEM UN PROBLEMA QUAN LA FUNCI OBJECTIU S DEL TIPUS f ( x, y) ax by k

8 Un establiment de roba esportiva t emmagatzemats 1.600 banyadors, 1.000 ulleres de bany i 800 barrets. Volen incentivar la compra daquests productes mitjanant loferta de dos tipus de lots: el lot A, que produeix un benefici de 8 , format per un banyador, un barret i unes ulleres; i el lot B, que produeix un benefici de 10 i que est format per dos banyadors i unes ulleres. Si saps que la publicitat daquesta oferta tindr un cost de 1.500 que shan de deduir dels beneficis, calcula el nombre de lots A i B que faran mxim el benefici i digues, tamb, a quant puja aquest benefici.

SOLUCI

PRIMER. Plantegem el problema de programaci lineal.x Quantitat de lots del tipus A x q 0y Quantitat de lots del tipus B y q 0

x y TotalsBanyadors 1 2 1.600Ulleres 1 1 1.000Barrets 1 0 800

x 2y a 1.600 x y a 1.000 x a 800

Maximitzar f ( x, y ) 8x 10y 1.500El problema que obtenim s:

Maximitzar f ( x, y ) 8x 10y 1.500Subjecte a x y

x yx

y

a aa aq

2 1 6001 000

0 8000

.

.

SEGON. En calculem els vrtexs.

A Bx yx y

C

( , ) ( , )..

(

0 0 0 8002 1 600

1 000

m 4400 600

1 000800

800 200

, )

. ( , )

(

x yx

D

E

m

8800 0, )

TERCER. Substitum aquests punts en la funci objectiu i determinem els que optimitzen la funci.

f x y x yA

( , ) .

.( , )

8 10 1 500

8 0 10 0 1 5000 0}}}m

1 5008 0 10 800 1 500 6 5000 800

.. .( , )

}}}mB }}}m

}}

C ( , ). .

400 6008 400 10 600 1 500 7 700

}}m}}}m

D

E

( , ) . .800 200 8 800 10 200 1 500 6 900 (( , ) . .800 0 8 800 10 0 1 500 4 900

El mxim benefici sobt amb 400 lots de tipus A i 600 de tipus B, i el benefici s de 7.700 .

PROBLEMES RESOLTS

D

Y

300

X

A

B

C

300

Y

200X

A

B C

200

D

E

(Activitats de Selectivitat)

917475 _ 0114-0135.indd 126 29/7/09 09:56:35


3. COM RESOLEM UN PROBLEMA QUAN LA REGI FACTIBLE NO S ACOTADA

9 Una empresa que fabrica autombils produeix dos models A i B en dues fbriques situades a Lleida i Tarragona. La fbrica de Lleida produeix diriament 6 models de tipus A i 4 de tipus de B amb un cost de 32.000 diaris; la fbrica de Tarragona produeix 4 models de cada tipus al dia amb un cost de 24.000 . Si saps que la fbrica de Lleida no pot funcionar ms de 50 dies i que han de posar a la venda almenys 360 models del tipus A i 300 models del tipus B, determina el nombre de dies que ha de funcionar cada fbrica perqu el cost total sigui mnim.

SOLUCI

PRIMER. Plantegem el problema de programaci lineal.x nre. de dies de la fbrica de Lleida x q 0y nre. de dies de la fbrica de Tarragona y q 0Lleida no pot funcionar ms de 50 dies x a 50

x y TotalsTipus A 6 4 360Tipus B 4 4 300

6x 4y q 360 4x 4y q 300

Funci objectiu f ( x, y ) 32.000x 24.000yEl problema que obtenim s:

Minimitzar f ( x, y ) 32.000x 24.000ySubjecte a 6 4 360

4 4 3000 50 0

x yx y

x y

q qa a q

,

SEGON. Calculem els vrtexs de la regi factible.

Ax yx y

B

x

( , )

( , )

0 906 4 3604 4 300

30 45

4

m

4 30050

50 25yx

Cm ( , )

TERCER. Com que la regi no s acotada, tracem rectes paralleles a f ( x , y ) 0 que passen pels vrtexs.

QUART. Si existeix una recta la intersecci de la qual amb la regi factible s el vrtex o un segment que delimita la regi factible, calculem el valor de la funci objectiu en cada vrtex. En cas contrari, no hi ha soluci.

f x y x yA

( , ) . .( , )

32 000 24 0000 90}}}m 2.160.000

}}}m m}}}m

B

C

( , )

( , )

30 45

50 25 2.040.000 Mnim 2.200.000

Lleida ha dobrir 30 dies, i Girona 45 dies.

4. COM TRAIEM CONCLUSIONS DE LA SOLUCI PTIMA DUN PROBLEMA

10 Un agricultor vol plantar 750 cirerers, 700 pereres i 650 pomeres. Al viver Agro ofereixen un lot de 15 cirerers, 30 pereres i 10 pomeres per 700 , i al viver Ceres el lot de 15 cirerers, 10 pereres i 20 pomeres val 650 . Esbrina el nombre de lots que ha de comprar a cada viver per poder plantar el nombre darbres que vol i que el cost total de ladquisici sigui mnim. Lagricultor plantar tots els arbres que ha comprat? En cas negatiu, digues quants no nha plantat i de quins tipus sn.

SOLUCI

PRIMER. Plantegem el problema de programaci lineal.x nre. de lots del viver Agro x q 0y nre. de lots del viver Ceres y q 0

x y TotalsCirerers 15 15 750Pereres 30 10 700Pomeres 10 20 650

15x 15y q 750 30x 10y q 700 10x 20y q 650

Minimitzar f ( x, y ) 700x 650y

SEGON. Calculem els vrtexs de la regi factible.

A Dx yx y

( , ) ( , )0 70 65 015 15 75030 10 700

mm

m

B

x yx y

C

( , )

(

10 40

15 15 75010 20 650

3

55 15, )

TERCER. Determinem si el problema t soluci i, si en t, la calculem.Com que la regi s no acotada, tracem rectes paralleles a f ( x, y ) 0 que passin pels vrtexs. Lnica recta la intersecci de la qual amb la regi factible s el vrtex s la que passa per B. Estudiem si la funci objectiu soptimitza en B.

f x y x y AB

( , ) ( , )( ,

700 650 0 7010 4}}m}}m

45.500 00

35 15

65

33)

( , )

(

.000 Mnim34.250

m}}m}}m

C

D ,, )0 45.500 La soluci s 10 lots del viver Agro i 40 lots del Ceres.

QUART. Analitzem la soluci.

Agro Ceres Comprats

Pomeres 10 10 100 40 20 800 650

Li sobren: 900 650 250 pomeres.

Y

X

A

B

10

10

C

Y

X

A

B

C

D

10

10

917475 _ 0114-0135.indd 127 29/7/09 09:56:41

128 Unitat 6

ACTIVITATS

Problemes de programaci lineal21 El premi dun concurs

consisteix en un xec de 240 per gastar en llibres i jocs. Els llibres valen 8 , i els jocs 24 . Lorganitzaci estableix la condici que el nombre de llibres que compri el guanyador no pot superar el doble del nombre de jocs.

a) Planteja un sistema dinequacions amb les restriccions i representa la regi factible.

b) Determina, de manera raonada, si el guanyador podria comprar 12 llibres i 6 jocs.

c) Podria comprar 7 llibres i 7 jocs? En cas que li sobressin diners, quants nhi sobrarien?

22 Una empresa t dos centres de producci. Un, genera diriament 1 tona de material altament radioactiu, 3 de radiaci mitjana i 5 de baixa radiaci. Laltre centre genera cada dia 2 tones de cada tipus. Lempresa ha de reciclar, almenys, 80 tones de material altament radioactiu, 160 de radiaci mitjana i 200 de baixa radiaci. Si el cost diari de loperaci s de 20.000 en cada centre, quants dies sha de dur a terme perqu el cost de loperaci sigui mnim?

23 Disposem de 105.00 per invertir en dos tipus daccions, A i B. Les de tipus A tenen un inters anual del 8 % i les de tipus B del 7 %. Si inverteixo com a mxim 65.000 en les de tipus A, com a mnim 3.000 en les de tipus B i vull que la inversi en les de tipus A sigui, almenys, igual a la inversi en les de tipus B, quina s la distribuci amb la qual obtinc un benefici ms gran?

24 Un circ ha muntat una carpa amb una capacitat per a 1.500 persones, entre adults i nens. El nombre de nens no pot superar els 600 i el nombre dadults no pot superar el doble del nombre de nens.

Si el preu de lentrada dadults s de 8 , i el de nens s un 40 % menys, quina s la quantitat mxima que poden recaptar per les entrades?

25 Una empresa fabrica dos models de guants: un model normal i un model de luxe. El departament de costura de lempresa t 900 hores disponibles, el dacabat disposa de 300 hores i el dempaquetat disposa de 100 hores. Les hores necessries de cada departament per parell de guants i els beneficis, en , es donen a la taula segent:

Costura Acabat Empaquetat Beneficis

Normal 1 1/2 1/8 4

De luxe 3/2 1/3 1/4 8

Quants parells de cada model han de fabricar per maximitzar el benefici? (Activitat de Selectivitat)

26 Per Nadal, una botiga de queviures vol preparar dos tipus de lots, L1 i L2. Cada lot del tipus L1 est format per 4 barres de torr, 2 ampolles de cava i 2 paquets de caf, i cada lot del tipus L2 est format per 2 barres de torr, 2 ampolles de cava i 4 paquets de caf. Amb cada lot del tipus L1 obtenen un benefici de 4,50 , i amb cada lot del tipus L2 un de 3 . La botiga disposa de 300 barres de torr, 180 ampolles de cava i 300 paquets de caf. Quants lots de cada tipus han de preparar per obtenir un benefici mxim?(Activitat de Selectivitat)

27 Un professor ha donat als seus alumnes una llista de problemes perqu en resolguin, com a mxim, 70. Els problemes estan classificats en dos grups. Els del grup A valen 5 punts cadascun, i els del grup B, 7 punts. Per resoldre un problema del tipus A es necessiten 2 minuts i per resoldre un problema del tipus B, 3 minuts. Si els alumnes disposen de dues hores i mitja per resoldrels, quants problemes de cada tipus hauran de fer per obtenir la puntuaci mxima?(Activitat de Selectivitat)

28 En un magatzem delectrodomstics hi ha neveres i rentadores, i poden emmagatzemar un total de 180 unitats. Per atendre de manera adequada la demanda dels clients, han de tenir, almenys, 30 rentadores i el nombre de neveres ha de ser, almenys, igual al nombre de rentadores ms 20. Si el cost de cada nevera s de 450 i el de cada rentadora s de 375 :a) Formula el problema corresponent.b) Representa la regi factible.

c) Quantes unitats de cada electrodomstic han demmagatzemar per minimitzar el cost total?

(Activitat de Selectivitat)

917475 _ 0114-0135.indd 128 5/8/09 11:22:46


29 Una botiga darticles de pell necessita per a la prxima campanya un mnim de 80 bosses, 120 parells de sabates i 90 caadores. Es proveeix dels articles en dos tallers: A i B. El taller A produeix diriament 4 bosses, 12 parells de sabates i 2 caadores amb un cost diari de 360 . La producci diria del taller B s de 2 bosses, 2 parelles de sabates i 6 caadores, amb un cost de 400 cada dia.

Determina, justificant la resposta: a) El nombre de dies que ha de treballar cada taller

per proveir la botiga amb un cost mnim.b) El valor daquest cost mnim.(Activitat de Selectivitat)

30 Dos grups diferents, G1 i G2, de la mateixa empresa poden dur a terme un projecte de jardineria. Es tracta denjardinar tres zones: A, B i C. A la taula segent es recull el nombre dunitats que pot enjardinar cada grup durant una setmana:

Zona A Zona B Zona C

Grup G1 4 10 7

Grup G2 10 5 7

Han denjardinar un mnim de 40 unitats a la zona A, 50 unitats a la zona B i 40 unitats a la zona C, i el cost setmanal sestima en 3.300 per al grup G1 i en 4.000 per al grup G2. Quantes setmanes haur de treballar cada grup per acabar el projecte amb el cost mnim? Expressa la funci objectiu i les restriccions del problema. Representa grficament la regi factible i calculan els vrtexs. (Activitat de Selectivitat)

31 Una empresa fabrica dues qualitats dun b, i nha de produir en total un mnim de 100 unitats i un mxim de 200. El cost de producci duna unitat de primera qualitat s de 15 i sobt un benefici unitari de 100 . El cost de producci duna unitat de segona qualitat s de 10 i sobt un benefici unitari de 50 .

a) Planteja i resol un programa lineal per esbrinar el cost mnim total per obtenir un benefici total de, almenys, 12.500 .

b) Planteja i resol un programa lineal per esbrinar el benefici total mxim amb un cost total no superior a 2.550 .


32 Un distribudor doli doliva compra la matria primera en dues almsseres, A i B. Les almsseres A i B venen loli a 2.000 i 3.000 per tona, respectivament. Cada almssera li ven un mnim de 2 tones i un mxim de 7 i, per atendre la demanda, el distribudor ha de comprar en total un mnim de 6 tones. El distribudor ha de comprar a lalmssera A com a mxim el doble doli que a lalmssera B.

Quina quantitat doli ha de comprar el distribudor a cada una de les almsseres per obtenir el cost cost mnim? Determina aquest cost mnim.(Activitat de Selectivitat)

33 Cada installaci duna televisi analgica necessita 10 m de cable i cada installaci de televisi digital en necessita 20 m. Cada televisi analgica necessita 20 minuts dinstallaci, i cada televisi digital 30 minuts. Disposem dun mxim de 400 m de cable al dia. Hem de treballar almenys 300 minuts al dia. Diriament podem installar un mxim de 20 televisors analgics i hem dinstallar, almenys, 6 televisors digitals. Per cada televisor analgic installat obtenim uns ingressos de 10 , i 15 per cada televisor digital.Mitjanant tcniques de programaci lineal, representa la regi factible, calcula el nombre de televisors analgics i digitals que permeten obtenir ingressos diaris ms grans i lingrs mxim diari que es pot aconseguir.(Activitat de Selectivitat)

34 Una empresa fabrica dos tipus de peces, A i B. Cada pea ha de passar per tres departaments amb limitacions de temps. Les hores necessries per cada pea i els seus beneficis sn:

Dep. 1 Dep. 2 Dep. 3 Benefici

Pea A 2 5 2 11

Pea B 6 2 2 7

Hores disponibles 66 50 26

Calcula la producci que maximitza el benefici. a) Planteja el problema.b) Resoluci grfica.c) Analitza grficament qu passa si el benefici de B es

redueix en 4 .(Activitat de Selectivitat)

917475 _ 0114-0135.indd 129 29/7/09 09:56:47

130 Unitat 6

ACTIVITATS

35 Per dotar de mobiliari urb una zona de la ciutat, es volen collocar almenys 20 peces entre fanals i jardineres. Hi ha 40 fanals i 12 jardineres disponibles. Es pretn que el nombre de jardineres collocades no sigui superior a una tercera part del de fanals collocats, per de manera que almenys un 20 % de les peces que es colloquin siguin jardineres.

a) Quines combinacions de peces de cada tipus es poden collocar? Planteja el problema i representa grficament el conjunt de solucions.

b) Quina combinaci fa que la diferncia entre el nombre de fanals i de jardineres collocades sigui ms gran? s la combinaci en qu es colloquen ms peces de mobiliari?


36 Una companyia de telefonia mbil vol celebrar una jornada de Consum raonable i ofereix als clients loferta segent: 15 cntims deuro per cada missatge SMS i 25 cntims deuro per cada minut de conversa, incls el cost destabliment de trucada. Imposa les condicions:

t El nombre de trucades dun minut no pot ser ms gran que el nombre de missatges augmentat en 3 ni ms petit que el nombre de missatges disminut en 3.

t Si se sumen el quntuple del nombre de missatges amb el nombre de trucades no pot obtenir-se ms de 27.

a) Dibuixa la regi factible. b) Determina el nombre de missatges i de trucades

perqu el benefici sigui mxim.

c) Quin s el benefici mxim?(Activitat de Selectivitat)

37 Un fabricant de cotxes llena una oferta especial en dos models i ofereix el model A a un preu de 15.000 i el model B a un preu de 20.000 . Loferta est limitada per les existncies, que sn 20 cotxes del model A i 10 del model B, i vol vendre, almenys, tantes unitats del model A com del model B.

Daltra banda, per cobrir les despeses daquesta campanya, els ingressos obtinguts han de ser, almenys, de 60.000 .

a) Planteja el problema i representan grficament el conjunt de solucions.

b) Quants cotxes haur de vendre de cada model per maximitzar els ingressos? Quin ns limport?


38 Una companyia aria t dos models davi (A i B) per cobrir tres trajectes diferents (T1, T2 i T3). El model A pot fer mensualment 10 vegades el trajecte T1, 30 vegades el T2 i 50 vegades el T3. El model B pot fer mensualment 20 vegades cada un dels trajectes. La companyia sha comproms a efectuar almenys 80 vegades el trajecte T1, 160 vegades el T2 i 200 vegades el T3.

Si el cost del combustible dels dos models s de 200.000 mensuals, quant de temps ha de volar cada un daquests models perqu es compleixin els compromisos adquirits amb el cost mnim?

39 Una empresa dautobusos de diversos tipus i capacitats disposa, en un dia determinat, dun mxim de 7 conductors i de 6 conductores. Rep lencrrec de transportar els 528 alumnes dun centre docent a una excursi dun dia de durada. Si un conductor porta un autobs de 44 places, aleshores les conductores han de portar obligatriament els de 66 places. En canvi, si una conductora porta un autobs de 24 places, aleshores els conductors han de portar obligatriament els de 72 places. La quantitat que cobra lempresa s de 500 al dia per conductor, independentment de si s home o dona.

a) Representa la regi factible. b) Determina el nombre de conductors i el nombre

de conductores perqu el benefici empresarial sigui mxim.

c) Calcula aquest benefici mxim.(Activitat de Selectivitat)

40 Un camioner transporta dos tipus de mercaderies, X i Y, i guanya 60 i 50 per tona, respectivament. Ha de transportar, almenys, 8 tones de X i, com a molt, el doble de quantitat que de Y. A quant puja el seu guany total mxim si t un cami que pot transportar fins a 30 tones?(Activitat de Selectivitat)

917475 _ 0114-0135.indd 130 29/7/09 09:56:51


41 Un horticultor vol barrejar fertilitzants que proporcionin un mnim de 15 unitats de potassa, 20 unitats de nitrats i 24 unitats de fosfats. Cada unitat de la marca 1 proporciona 3 unitats de potassa, 1 de nitrats i 3 de fosfats, i costa 120 . Cada unitat de la marca 2 proporciona 1 unitat de potassa, 5 de nitrats i 2 de fosfats i t un cost de 60 . Quina s la combinaci de fertilitzants amb un cost menor que satisf les especificacions desitjades?a) Planteja el problema.b) Resoluci grfica.c) Analitza grficament qu passa si el preu de la marca 2

augmenta en 20 .(Activitat de Selectivitat)

42 Marios Pizza s productor de pizzes congelades de dos tipus, A i B. Obt un benefici d1 per cada pizza A que produeix i d1,50 per cada pizza tipus B. Cada pizza inclou una combinaci de pasta de farina i de barreja de farcit, com sindica en el quadre segent:

Pasta de farina

Barreja de farcit Benefici

Pizza A 1/2 kg 1/8 kg 1

Pizza B 1/2 kg 1/4 kg 1,50

Un dia qualsevol, diposa dun mxim de 75 kg de pasta de farina i de 25 kg de barreja de farcit i, segons les comandes anteriors, ha de vendre diriament almenys 50 pizzes de tipus A i, almenys, 25 pizzes de tipus B.

a) Formula el sistema dinequacions, representa grficament la regi factible i calculan els vrtexs.

b) Quantes pizzes A i B haur de fabricar diriament per maximitzar els beneficis? Calcula aquests beneficis.


43 Per seguir una dieta per aprimar-se, es recomana un preparat diettic que barreja dos productes A i B amb les condicions segents:t La quantitat de producte B no ha de superar la quantitat

de producte A.t La quantitat de barreja ingerida no ha de superar

els 200 grams.t La quantitat de producte A no ha de superar

els 150 grams.Si, en cada gram, el producte A cont 0,4 g de vitamines i el producte B cont 0,3 g de vitamines: a) Representa la regi factible.b) Quants grams de cada producte sha dincloure

en la barreja per maximitzar-ne el contingut vitamnic?(Activitat de Selectivitat)

44 En una refineria es produeixen dos tipus de fertilitzants a partir de quatre compostos: nitrogen, cid fosfric, potassi soluble i guano. A la taula segent sexpressa la composici per bid daquests dos fertilitzants:

Nitrogen cid fosfric Potassi GuanoFertilitzant 1 20 litres 30 litres 30 litres 20 litresFertilitzant 2 10 litres 10 litres 60 litres 20 litres

Lempresa disposa de 900 litres de nitrogen i de 1.400 litres de guano, i les quantitats dels altres dos components no estan limitades, encara que a causa del gran estoc existent daquests dos productes cal utilitzar almenys 600 litres dcid fosfric i 1.800 litres de potassi. Cada bid del fertilitzant 1 suposa un benefici de 6 pessetes, i de 5 pessetes cada bid de laltre fertilitzant. Troba quina quantitat de fertilitzant de cada classe cal produir per obtenir un benefici mxim.(Activitat de Selectivitat)

45 En un taller de confecci es disposa de 80 metres quadrats de tela de cot i de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per fer un vestit del tipus A es necessita 1 metre quadrat de cot i 3 metres quadrats de llana; en canvi, per un vestit del tipus B calen 2 metres quadrats de cada tipus de tela.a) Quants vestits de cada tipus shan de fer per obtenir

un benefici total mxim si per cada vestit (sigui del tipus que sigui) es guanyen 30 euros?

b) Quina seria la conclusi a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es guanyen 30 euros i, en canvi, per cada un del tipus B noms es guanyen 20 euros?


46 Un pastisser t 150 kg de farina, 22 kg de sucre i 26 kg de mantega per fer dos tipus de pastissos. Es necessiten 3 kg de farina, 1 de sucre i 1 de mantega per fer una dotzena de pastissos del tipus A, mentre que les quantitats per una dotzena del tipus B sn, respectivament, 6 kg, 0,5 kg i 1 kg. Si el benefici que sobt per la venda duna dotzena de pastissos del tipus A s 20 i per una dotzena del tipus B s 30, troba el nombre de dotzenes de pastissos de cada tipus que ha de produir per maximitzar el seu benefici.(Activitat de Selectivitat)

47 En una prova es proposen 10 qestions de 5 punts i 8 qestions de 10 punts i es dna un temps de 100 minuts. Noms es valoren els encerts; els errors o respostes en blanc no resten puntuaci.LAnna, que est capacitada per contestar correctament totes les qestions, necessita 4 minuts de mitjana per respondre a cada qesti de 5 punts i 10 minuts per respondre a cada qesti de 10 punts.Quina estratgia ha de seguir lAnna (s a dir, quantes preguntes de cada tipus ha de contestar) per obtenir la millor puntuaci possible en les seves condicions?(Activitat de Selectivitat)

917475 _ 0114-0135.indd 131 29/7/09 09:56:52

132 Unitat 6

ACTIVITATS

48 Un entusiasta de la salut vol tenir un mnim de 36 unitats de vitamina A al dia, 28 unitats de vitamina C i 32 unitats de vitamina D. Cada pastilla de la marca 1 costa 0,03 A i proporciona 2 unitats de vitamina A, 2 de C i 8 de D. Cada pastilla de la marca 2 costa 0,04 A i proporciona 3 unitats de vitamina A, 2 de C i 2 de D. Quantes pastilles de cada marca haur de comprar per a cada dia si vol cobrir les necessitats bsiques amb el menor cost possible?(Activitat de Selectivitat)

49 Decideix si el polgon de vrtexs consecutius A(0,0), B(5,2), C(7,1), D(7,6) i E(0,6) s la regi factible dun problema de programaci lineal. Justifica la resposta.(Activitat de Selectivitat)

50 Un curs de segon de batxillerat dun institut t un grup que est format per 20 noies i 10 nois, que volen organitzar un viatge de fi de batxillerat. A fi de recollir diners, troben una feina de fer enquestes. Lempresa contracta equips de joves per fer enquestes durant les tardes lliures que poden ser de dos tipus:A: parelles dun noi i una noia.B: equips de tres noies i un noi.Paguen a 40 la tarda els equips A i a 90 la tarda els equips B.Com els conv distribuir-se per obtenir la major quantitat possible de diners?Quina quantitat de diners obtindran per tarda treballada?(Activitat de Selectivitat)

51 Un taller de confecci fabrica dos models de vestits. Per fer el model A es necessiten 2 m de teixit de color, 1 m de teixit blanc i 4 hores de feina. Per fer el model B es necessiten 2,5 m de teixit de color, 0,5 m de teixit blanc i 3 hores de feina. El taller disposa, cada dia, dun mxim de 250 m de teixit de color, 100 m de teixit blanc i 380 hores de feina.a) Anomena x i y el nombre de vestits dels models A i B

respectivament fets cada dia. Expressa mitjanant un sistema dinequacions les restriccions de la producci.

b) Representa grficament la regi del pla que satisf les inequacions.

c) La venda dun vestit del model A porta al taller un benefici de 5 , i la dun vestit del model B, de 4 . Suposant que la producci diria es ven ntegrament, quants vestits de cada tipus cal fer per tal dobtenir el mxim benefici? Quant val el benefici mxim?

d) En aquest ltim cas, quin tipus de teixit sobrar i en quina quantitat?


52 En una empresa es fabriquen dos tipus de peces que nomenarem A i B. Per fabricar una pea de tipus A es necessiten 2 quilos dun metall i per fer-ne una de tipus , 4 quilos del mateix metall. Lempresa disposa com a mxim de 100 quilos de metall i no pot fabricar ms de 40 peces de tipus A ni ms de 20 de tipus B.a) Dna un sistema dinequacions que representi

les restriccions en la fabricaci que t lempresa.b) Determina grficament els punts del pla que verifiquen

aquest sistema.c) Dentre les solucions obtingudes, quins sn els

possibles valors de peces de cada tipus (han de ser enters) si es volen exhaurir els 100 quilos de metall? Explica detalladament qu fas per trobar-los.


53 Una marca comercial utilitza tres ingredients A, B i C en lelaboraci de tres tipus de pizzes P1, P2 i P3. La pizza P1 selabora amb 1 unitat de A, 2 de B i 2 de C; la P2 selabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 1 de C, i la P3 selabora amb 2 unitats de A, 1 de B i 2 de C.El preu de venda al pblic s de 4,80 per a P1, 4,10 per a P2 i 4,90 per a P3. Sabent que el marge comercial (benefici) s d1,60 en cadascuna, troba quant costa cada unitat de A, B i C a la marca comercial esmentada.(Activitat de Selectivitat)

54 Un taller pot produir per dia com a mxim 12 articles del tipus A i 20 del tipus B. Cada dia el servei tcnic pot controlar un mnim de 20 articles i un mxim de 25, independentment del tipus.a) Siguin x i y el nombre darticles produts per dia

dels tipus A i B, respectivament. Expressa les condicions anteriors mitjanant un sistema dinequacions en x i y.

b) Representa la regi del pla determinada per aquest sistema.

c) Sabem que el benefici de produir els articles de tipus A s el doble del que sobt amb els articles de tipus B. Troba quants articles de cada tipus ha de produir el taller per obtenir el benefici mxim.


55 Els alumnes dun institut disposen de 300 samarretes, 400 llapis i 600 bolgrafs per finanar-se un viatge. Tenen la intenci de vendrels en dos tipus de lots: el lot A consta d1 samarreta, 3 llapis i 2 bolgrafs i el venen per 9 . El lot B consta d1 samarreta, 2 llapis i 4 bolgrafs i el venen per 11 . Calcula quants lots de cada tipus han de vendre per treuren el benefici mxim i aquest benefici mxim.(Activitat de Selectivitat)

917475 _ 0114-0135.indd 132 29/7/09 09:56:55


56 En un jard municipal es volen plantar un mnim de 1.200 geranis, 3.200 clavells i 3.000 margarides. Una empresa A ofereix un lot que cont 30 geranis, 40 clavells i 30 margarides per 15 . Una altra empresa B ofereix un lot de 10 geranis, 40 clavells i 50 margarides per 12 . LAjuntament compra x lots a lempresa A i y lots a lempresa B.a) Determina les inequacions que representen

les restriccions a les quals estan sotmesos els valors de x i de y per tal que compleixin les condicions de la plantaci.

b) Representa grficament la regi del pla que satisf les inequacions.

c) Troba el nombre de lots de cada tipus que fan que la despesa sigui mnima i calcula aquesta despesa mnima.

d) Troba quants geranis, clavells i margarides adquireix lAjuntament amb la compra de preu mnim i quantes plantes i de quin tipus haur adquirit per sobre del mnim que vol plantar.


57 Un taller de confecci fa jaquetes i pantalons per a criatures. Per a fer una jaqueta es necessiten 1 m de roba i 2 botons, i per a fer uns pantalons calen 2m de roba, 1 bot i 1 cremallera. El taller disposa de 500 m de roba, 400 botons i 225 cremalleres. El benefici que sobt per la venda duna jaqueta s de 20 i per la duns pantalons s de 30 . Suposant que es ven tot el que es fabrica:a) Calcula el nombre de jaquetes i de pantalons

que shan de fer per tal dobtenir un benefici mxim. Determina tamb aquest benefici mxim.

b) Si el material sobrant es ven a 1 el metre de roba, a 0,20 cada cremallera i a 0,01 cada bot, calcula quant es pot obtenir de la venda del que ha sobrat.


58 En un taller fabriquen dos tipus de bosses. Per fer una bossa del primer model es necessiten 0,9 m2 de cuir i 8 hores de feina. Per al segon model necessiten 1,2 m2 de cuir i 4 hores de feina. Per a fer aquests dos tipus de bosses el taller disposa de 60 m2 de cuir i pot dedicar-hi un mxim de 400 hores de feina.a) Expressa, mitjanant un sistema dinequacions,

les restriccions a les quals est sotmesa la producci daquests dos models de bosses.

b) Representa la regi soluci daquest sistema i troban els vrtexs.


59 Una empresa de mobles fabrica dos models darmaris, A i B. Per al model A calen 5 h 30 min de feina i 2 m de fusta. Per al model B calen 4 h de feina i 3 m de fusta. Lempresa no pot fabricar ms de 430 armaris per setmana, disposa de 2.800 h de feina i de 1.200 m de fusta. Els armaris de tipus A i B proporcionen, respectivament, 250 i 310 de benefici cadascun. Determina el nombre darmaris de cada tipus que shan de fabricar per obtenir el benefici mxim.(Activitat de Selectivitat)

60 Un estudiant dedica part del seu temps a repartir propaganda publicitria. Lempresa A li paga 4 cntims per cada imprs repartit, i lempresa B, amb fulletons ms grans, li paga 7 cntims per imprs. Lestudiant porta dues bosses: una per a impresos A, on nhi caben 150, i una altra per a impresos B, on nhi caben 90. Ha calculat que cada dia s capa de repartir 200 impresos com a mxim. Lestudiant es pregunta: quants impresos haur de repartir de cada classe perqu el benefici diari sigui mxim?

917475 _ 0114-0135.indd 133 29/7/09 09:57:01

134 Unitat 6

PREPARA LA SELECTIVITAT

Una empresa dinstallacions disposa de 195 kg de coure, 20 kg de titani i 14 kg dalumini.

Per fabricar 100 m de cable de tipus A es necessiten 10 kg de coure, 2 kg de titani i 1 kg dalumini, mentre que per fabricar 100 m de cable de tipus B es necessiten 15 kg de coure, 1 kg de titani i 1 kg dalumini. El benefici que sobt per 100 m de cable de tipus A s de 1.500 , i per 100 m de cable de tipus B, 1.000 .

Calcula els metres de cable de cada tipus que han de fabricar per maximitzar el benefici de lempresa. Troba aquest benefici mxim.(Activitat de Selectivitat)

IDEA CLAU

s un problema en qu sha doptimitzar un benefici (funci objectiu) sotms a una srie de restriccions (lempresa disposa duna quantitat limitada de minerals i cada tipus de cable necessita quantitats diferents daquests minerals). Per tant, s un problema de programaci lineal.

Definim les incgnites i organitzem la informaci del problema en una taula: x nre. de metre de cable del tipus A x q 0 y nre. de metre de cable del tipus B y q 0

Tipus A Tipus B DisponibleCoure 10 15 195Titani 2 1 20Alumini 1 1 14Benefici 1.500 1.000

10 x 15y a 195 2x y a 20 x y a 14 f (x, y ) 1.500x 1.000y Funci objectiu

Aix, el problema de programaci lineal s:

Maximitzar f ( x, y ) 1.500 x 1.000ySubjecte a 10

215 195

2014

0 0

xxx

yyy

x y

aaa

q q

,

Dibuixem la regi factible i en calculem els vrtexs. A(0, 0) B(0, 13)

10 15 19514

3 11x yx y

C a am ( , )

2 2014

6 8x yx y

D a am ( , )

E(10, 0)

Substitum aquests punts en la funci objectiu i determinem els punts que optimitzen la funci:

f x y x yA

( , ) . . . .( , ) 1 500 1 000 1 500 0 1 0000 0}}}m

0 0

1 500 0 1 000 13 13 0000 13

}}}m}}

B( , ) . . .}}m

}}}m

C

D

( , )

( ,. . .3

61 500 3 1 000 11 15 50011

8

))

( , ). . .1 500 6 1 000 8 17 000

110 m

}}}mMxim

0E .. . .500 10 1 000 0 15 000 El benefici mxim puja a 17.000 i sobt fabricant 600 m del tipus A i 800 m del tipus B.

En la majoria dels casos, la naturalesa de les incgnites

implica les restriccions:

x q 0 y q 0

Les restriccions sn per fabricar 100 m de cable de cada tipus; per tant, la soluci vindr indicada en centenars de metres.

134

Y

1XA

BC

1 E

D

917475 _ 0114-0135.indd 134 29/7/09 09:57:05


(Activitats de Selectivitat)

1 Dos compostos medicinals tenen dos principis actius A i B. Per cada pndola, el primer compost t 2 unitats de A i 6 de B, mentre que el segon compost t 4 unitats de A i 4 unitats de B. Durant un perode de temps, un pacient ha de rebre un mnim de 16 unitats del tipus A i un mnim de 24 unitats del tipus B. Si el cost de cada pndola del primer compost s de 0,50 i el cost de cada pndola del segon compost s de 0,90 :

a) Representa la regi factible.b) Calcula el nombre ptim de pndoles de cada compost que ha de rebre el pacient per minimitzar

els costos.

2 Una empresa fabrica dos tipus de televisors (T21 i T14) de 21 i 14 polzades, a un cost per televisor de 100 i 50 , respectivament. Sabem que el nombre de televisors T21 fabricats diriament no supera en 4 unitats als T14, i que entre tots dos no superen diriament els 30 televisors. Tamb sabem que el procs productiu no permet fabricat diriament menys de 2 televisors T21 ni menys de 5 televisors T14.

a) Formula el sistema dinequacions associat a lenunciat.b) Dibuixa la regi factible i calculan els vrtexs.c) Calcula quants televisors T21 i T14 maximitzen el cost de producci diria i quants la minimitzen.

3 Una aerolnia vol optmitzer el nombre de files de classe preferent i de classe turista en un avi. La longitud til de lavi per installar les files de seients s de 104 m, i es necessiten 2 m per installar una fila de classe preferent i 1,5 m per a les de classe turista. Laerolnia ha dinstallar almenys 3 files de classe preferent i que les files de classe turista siguin com a mnim el triple que les de classe preferent. Els beneficis per fila de classe turista sn de 152 i de 206 per a la classe preferent.

Quantes files de classe preferent i quantes de classe turista han dinstallar per obtenir el benefici mxim? Indica aquest benefici.

4 Una empresa fabrica dos productes P1 i P2 que es venen a 50 i 44 la unitat, respectivament. Per elaborar-los lloga dues mquines, M1 i M2, a un preu de 5 per hora i 6 per hora, respectivament. Les hores de funcionament de cada mquina que calen per a la fabricaci duna unitat de cada producte i la disponibilitat mxima setmanal de cada mquina estan expressades en la taula segent:

Producte P1 Producte P2 Disponibilitat

M1 2 hores 4 hores 80 hores

M2 4 hores 2 hores 100 hores

El cost del material utilitzat en la fabricaci duna unitat del producte P1 s de 10 i en una unitat del producte P2 s de 8 . Es vol saber quantes unitats de cada producte shan de fabricar per maximitzar el benefici.

a) Planteja el problema.b) Troban la soluci grficament.c) Analitza grficament qu passa si el preu de P2 es redueix en 2 .

5 La candidatura dun grup poltic per a les eleccions municipals ha de complir els requisits segents: el nombre total de components de la candidatura ha destar comprs entre 6 i 18 i el nombre dhomes (x) no ha dexcedir del doble del nombre de dones ( y).

a) Representa el recinte associat a aquestes restriccions i calculan els vrtexs.b) Quin s el nombre ms gran dhomes que pot tenir una candidatura que compleixi les condicions?

Posat a prova

135

917475 _ 0114-0135.indd 135 29/7/09 09:57:05

ACTIVITATS DLGEBRA I PROGRAMACI LINEAL A LA SELECTIVITAT

136

Matrius i determinants1 Calcula els productes segents:

a) (1 3 ) 2

5

b) 2

5

(1 3 )

2 Considera la matriu:

A =

5 4 2

2 1 1

4 4 1

a) Demostra que A2 2A + I = 0 en qu I s la matriu identitat i 0 s una matriu amb tots els elements iguals a 0.

b) Calcula A3.

3 Determina els valors de x i y que fan certa la igualtat segent:

1 1

3 2

x

y

=

1 x

y 1

3

2

4 Considera les matrius:

A =1 3

0 1

X =2 1

0 x

a) Determina el valor de x en la matriu B perqu es verifiqui la igualtat:

AB = BAb) Troba la matriu C tal que:

AtC = I2


A =

1 2 1

0 1 0

1 3 0

X =

x

y

2

Y =

x

2

z

a) Determina la matriu inversa de A.b) Troba els valors de x, y, z per als quals es compleix

que AX = Y.


A =

2 1 0

1 0 3

1 1 2

B =

x 0 1

y 1 0

3 2 z

C =

2 0 2

11 6 1

6 4 1

Determina els valors x, y i z que fan possible la igualtat matricial AB = A + C. Justifica la resposta.

7 Duna matriu A sabem que la segona fila s (1, 2)

i que la segona columna s 1

2

3

.

Troba la resta delements de A si saps que:

1 1 1

2 0 1

A =

0 0

0 1

8 Troba totes les matrius X de manera que AX = XA, on la matriu A s la segent:

A =1 0

4 2

9 Resol i classifica el sistema:

1 3 0

1 2 1

0 1 1

x

y

z

=

2

1

1


A =2 3

1 2

B =

1 3

2 6

Esbrina si existeix una matriu C que verifiqui que BB = A. Si existeix, calcula-la.

11 Considera la matriu A =

0 0

2 1

Troba les matrius B dordre 2 tals que:

a) AB = 0b) AB = BA = 0

Sistemes dequacions lineals12 Resol el sistema segent:

x + 2y 5z = 13

3x + y 2z = 7 37

2x 3y + z = 12

13 Considera el sistema dequacions lineals segent:

x + y + 3 z = k2 y + z = 0

x + 3 y + k 2 z = 2

a) Discuteix el sistema en funci del parmetre k.b) Determina la soluci del sistema per al valor de k

que fa el sistema indeterminat.c) Troban la soluci per a k = 1.

917475 _ 0136-0143.indd 136917475 _ 0136-0143.indd 136 29/7/09 03:16:0429/7/09 03:16:04

137lgebra

14 Considera el sistema dequacions:

ax + y + 3z = 0

x + ay + 2z = 1

x + ay + 3z =1

a) Discuteix-ne les possibles solucions segons els valors del parmetre a.

b) Resol el sistema per a = 0.Justifica les respostes.

15 Estudia per a quins valors de m el sistema, amb incgnites representades per x i y, donat per:

mx m 2 = 0mx + (m1)y 2m1 = 0

t soluci i digues quan s nica.Troban dues solucions per a m = 1.

16 Considera el segent sistema dequacions lineal dependent del parmetre real a:

x 2y + z = 0

3x + 2y 2z = 3

2x + 2y + az = 8

a) Discuteix el sistema per als diferents valors de a.b) Resol el sistema per a a = 4.

17 Considera el sistema dequacions, dependent del parmetre real a:

x + ay + z = 1

2y + az = 2

x + y + z = 1

a) Discuteix el sistema per als diferents valors de a.b) Resol el sistema per a a = 3 i a = 1.

18 Donat el sistema dequacions:

x + 2y 2 z = 0x 2y + 2 z = 3

y 2 z =1

a) Escriu-lo en forma matricial.b) Justifica, sense resoldrel que no t soluci nica.c) Resol el sistema.

19 Considera el sistema lineal dequacions, dependent del parmetre real a:

x + y + 2z = 2

2x + 3y + z = 1

x + ay + 3z = 3

a) Discuteix el sistema per als diferents valors de a.b) Resol el sistema per a a = 2.

20 Discuteix els sistemes dequacions lineals segents i troban la soluci (si sn compatibles).

a)

x + y 2z =52x y + z = 23x + 2y + z = 5

b) x + 2y =1x 3y = 0

2x 5y =1

21 En un domicili es van pagat 3 factures (aigua, llum i telfon) per un total de 140 . Daigua es va pagar la tercera part que de llum i la factura del telfon va ser el 45 % del total.

Es demana:

a) Plantejar el sistema dequacions corresponent.

b) Quant es va pagar en cada factura?

22 Un comerciant ha estat venent plomes estilogrfiques a 20 la unitat i les vendes mensuals han estat de 35 unitats. Vol apujar-ne el preu i calcula que, per cada euro daugment en el preu, en vendr 2 unitats menys. Daltra banda, al comerciant cada ploma li costa 10 .Digues:a) A quin preu ha de vendre les plomes perqu el benefici

sigui mxim?b) Quins beneficis saconsegueixen?

23 En la XXI Olimpada Nacional de Qumica, es van contractar 5 autobusos de 55 places cada un, inclosa la plaa del conductor, per transportar alumnes, professors i acompanyants. La suma del 10 % del nombre de professors i del 20 % del nombre dacompanyants supera en una unitat el 10 % del nombre dalumnes. El nombre dalumnes duplicaria el de professors si hi haguessin anat 5 professors menys. Determina el nombre dalumnes, de professors i dacompanyants que van anar a lOlimpada Nacional de Qumica.

24 Una persona ha invertit 6.000 comprant accions de dues empreses, A i B. Passat un any, el valor de les accions de lempresa A ha pujat un 5 %, mentre que el valor de les accions de lempresa B ha baixat un 10 %. Malgrat aix, si ara vengus les accions, guanyaria 150 . Determina quants diners va invertir en accions de cada empresa.

25 Per reunir els 860 que costa un regal, tres amics A, B i C decideixen fer aportacions de la manera segent: A hi posar el triple del que hi posin B i C junts. C hi posar 3 per cada 2 que hi posi B. Quina quantitat de diners hi aportar cadascun?

917475 _ 0136-0143.indd 137917475 _ 0136-0143.indd 137 29/7/09 03:16:0429/7/09 03:16:04


138

26 En Xavier ha guanyat 1.372 treballant durant les vacances. Pot gastar ntegrament aquests diners comprant un ordinador porttil, una cmera digital i fent un viatge.

El preu de lordinador porttil excedeix en 140 la suma dels preus de la cmera i del viatge. Si tenim en compte que el preu dun segon acompanyant per al viatge s la meitat que el preu inicial, en Xavier podria convidar el seu germ al viatge si no s comprs la cmera digital i encara li quedarien 208 .

Calcula els preus de lordinador, de la cmera i del viatge.

27 Una empresa installa cases prefabricades de tres tipus A, B i C. Cada casa de tipus A necessita 10 hores de feina de paleta, 2 de fontaneria i 2 delectricista. Cada casa de tipus B necessita 15 hores de feina de paleta, 4 de fontaneria i 3 delectricista. Cada casa de tipus C necessita 20 hores de feina de paleta, 6 de fontaneria i 5 delectricista. Lempresa empra exactament 270 hores de feina de paleta al mes, 68 de fontaneria i 58 delectricista. Quantes cases de cada tipus installa lempresa en un mes?

28 Una empresa ofereix un producte a minoristes (a un preu de 400 per unitat) i a majoristes (a un preu per unitat desconegut, i que pots anomenar m). Amb les vendes daquest mes han obtingut 270.000 en total. Daltra banda, la quantitat obtinguda amb les vendes a minoristes s la mateixa que la que haurien obtingut venent 480 unitats del producte als majoristes.

a) Planteja un sistema dequacions (en funci de m) on les incgnites (x, y) siguin el nombre dunitats venudes a cada tipus de client. Basant-ne noms en lestudi de la compatibilitat del sistema, s possible que el preu per als majoristes sigui de 562,50 per unitat?

b) Resol el sistema per a m = 562,5. A partir daqu, si es va vendre alguna unitat als majoristes, s possible que fos a un preu de 562,50 per unitat?

29 Un trajecte de 200 km lhem de fer combinant taxi, ferrocarril i autobs. El cost del taxi s de 5 /km; el del ferrocarril s de 2 /km, i el de lautobs s de 3 /km. El recorregut ens ha costat 500 , perqu em fet el doble de quilmetres en ferrocarril que en taxi i en autobs junts.

Determina les distncies que hem recorregut amb cada mitj de transport.

30 Tres jugadors acorden que el que perdi una partida doblar els diners que en aquell moment tinguin els altres dos jugadors. Quan tots han perdut una partida, cada jugador es retira amb vint euros. Quants diners tenien al principi del joc?

31 Una empresa de productes informtics t tres botigues (B1, B2 i B3) on ven un model dordinador (O), un dimpressora (I) i un altre de cmera digital (C), a un preu de venda per unitat de 1.200 , 300 i 650 , respectivament.

En un mes determinat, el nombre darticles venuts en cada botiga est indicat en la taula segent:

O I C

B1 x y 4

B2 25 x z

B3 20 y z

Determina el nombre darticles que han venut en cada una de les tres botigues si saps que els ingressos que van obtenir durant aquest mes van ser de 23.600 en la botiga B1, 39.700 en la B2 i 32.300 en la B3.

32 La suma de les tres xifres dun nombre s 6, i si intercanviem la primera i la segona xifres, el nombre augmenta en 90 unitats. Finalment, si intercanviem la segona i la tercera xifres, el nombre augmenta en 9 unitats. Calcula aquest nombre.

33 En el primer curs de Batxillerat dun institut hi ha un total de 65 alumnes matriculats i estan dividits en tres grups: A, B i C. Al centre, shi queden a dinar 42 alumnes, que corresponen a la meitat dels del grup A, les quatre cinquenes parts dels del B i les dues terceres parts dels del C. Linstitut va organitzar una sortida i shi van apuntar les tres quartes parts dels alumnes del grup A, tots els del B i les dues terceres parts dels del C, i en total eren 52 estudiants. Quants alumnes hi ha en cada grup?

34 Un comer t un total de 270 unitats de productes de tres tipus: A, B i C. Del tipus A en t 30 unitats menys que de la totalitat de B ms C, i del tipus C en t el 35 % de la suma de A ms B. Quants productes de cada tipus hi ha al comer?

35 En una fbrica de xocolata envasen bombons en capses de 250 g, 500 g i 1 kg. Un dia van envasar 60 capses en total, i hi havia 5 capses ms de mida petita (250 g) que de mida mitjana (500 g). Si saps que el preu del quilogram de bombons s de 40 i que limport total dels bombons envasats puja 1.250 , quantes capses han envasat de cada tipus?

36 Els tres models que existeixen duna marca dautombils costen 12.000 , 15.000 i 22.000 , respectivament. Un concesionari de cotxes ha ingressat 1.265.000 per la venda dautombils daquesta marca. Quants cotxes ha venut de cada model si del ms barat se nhan venut tants com dels altres dos junts i del ms car se nhan venut la tercera part dels cotxes que costes 15.000 ?

917475 _ 0136-0143.indd 138917475 _ 0136-0143.indd 138 29/7/09 03:16:0429/7/09 03:16:04

139lgebra

37 Un institut compra 500 paquets de fulls a tres provedors diferents a 2,75 , 270 i 2,80 cada paquet, respectivament. La factura total puja 1.360 . La diferncia entre el nombre de paquets subministrats pel segon i el tercer provedor s el triple del nombre de paquets subministrats pel primer provedor. Quants paquets subministra a linstitut cada un dels provedors?

38 La suma de les edats actuals dels tres fills dun matrimoni s de 59 anys. Fa cinc anys, ledat del ms petit era un ter de la suma de les edats que tenien els altres dos fills. Daqu a cinc anys, el doble de ledat del germ mitj ser una unitat ms gran que la suma de les edats que tindran els altres dos. Troba les edats actuals de cada un dels fills.

39 En un viatge determinat, un autobs transporta 60 passatgers de tres tipus: passatgers que paguen el bitller sencer, que val 1 , estudiants que tenen un 25 % de descompte i jubilats amb el 50 % de descompte sobre el preu del bitllet. En aquest viatge, la recaptaci de lautobs va ser de 48 . Calcula el nombre de passatgers de cada classe si saps que el nombre destudiants era el doble que el nombre de la resta de passatgers.

40 Una companyia dassegurances t tres tarifes: una per a adults, una altra per a nens i una altra per persones grans. Sabem que una famlia de 3 adults, 2 nens i 1 persona gran paga 215 ; que una segona famlia de 4 adults, 1 nen i 2 persones grans paga 260 , i que una tercera famlia de 2 adults, 2 nens i 1 persona gran paga 190 .

a) Quant paga cada nen, cada adult i cada persona gran?

b) Qu pagar una famlia de 5 adults, 3 nens i 2 persones grans?

41 A les eleccions municipals duna poblaci, shi han presentat dos partits poltics A i B. Si 250 votants del partit A haguessin votat al partit B, els dos partits haurien empatat en vots. El nombre de vots en blanc o nuls s l1 % de la suma del nombre de vots obtinguts per totes dues candidatures. Si saps que van anar a votar 11.615 electors, troba el nombre de vots que ha obtingut cada partit i quants daquests vots sn en blanc o nuls.

42 En els tres cursos duna diplomatura hi ha un total de 350 alumnes matriculats. El nombre dalumnes matriculats a primer curs coincideix amb els de segon ms el doble dels de tercer. Els alumnes matriculats a segon ms el doble dels de primer superen en 250 al quntuple dels de tercer. Calcula el nombre dalumnes que hi ha matriculats en cada curs.

43 Un alumne de 2n de Batxillerat gasta tres euros per comprar tres llapis, una maquineta de fer punta i dues gomes desborrar. El doble del preu dun llapis supera en cinc cntims deuro la suma dels preus duna maquineta de fer punta i duna goma desborrar. Si cada llapis valgus cinc cntims deuro ms, aleshores el seu preu duplicaria el duna goma desborrar. Determina el preu dun llapis, duna maquineta de fer punta i duna goma desborrar.

44 Tres empreses constructores van invertir en la compra de terrenys daquesta manera: la primera va invertir mig mili deuros en terreny urb, 250.000 en terreny industrial i 250.000 en terreny rstic. La segona empresa va invertir 125.000 , 250.000 i 125.000 en terrenys urb, industrial i rstic, respectivament. La tercera empresa va invertir respectivament 100.000 , 100.000 i 200.000 en aquests mateixos tipus de terreny. Passat un any, venen tots els terrenys. La rendibilitat que obt la primera constructora s del 13,75 %, la de la segona s de l11,25 % i, finalment, la de la tercera s del 10 %.

Determina la rendibilitat de cada un dels tipus de terreny per separat.

45 En un taller de joieria fabriquen collarets amb 50, 75 i 85 perles i per elaborar-los utilitzen 17.500 perles i 240 tanques.

Es demana:

a) Quants collarets de cada mida han de fabricar si volen tants collarets de mida mitjana com la mitjana aritmtica del nombre de collarets grans i petits?

b) Sense tenir en compte la condici de lapartat anterior, s possible fabricar el mateix nombre de collarets de cada mida?

46 La suma de les tres xifres dun nombre s 18, i la xifra de les desenes s igual a la mitjana de les altres dues xifres. Si es canvia la xifra de les unitats per la de les centenes, el nombre augmenta en 198 unitats. Calcula aquest nombre.

47 Un home diu a la seva dona: Thas fixat que des del dia del nostre casament fins al dia que va nixer el nostre fill van transcrrer el mateix nombre danys que des del dia del naixement del nostre fill fins a avui? El dia del naixement del nostre fill la suma de les nostres edats era de 55 anys.

La dona li diu: Recordo que el dia del naixement del nostre fill, tu tenies ledat que jo tinc ara i a ms recordo que el dia del nostre casament el doble de ledat que tu tenies excedia en 20 anys ledat que tinc avui.

Troba les edats actuals de tots dos.

917475 _ 0136-0143.indd 139917475 _ 0136-0143.indd 139 29/7/09 03:16:0429/7/09 03:16:04


140

48 Una empresa compra 5.400 barrils de petroli de tres tipus. El de tipus A el compra a 27 el barril, el petroli del tipus B el compra a 28 , i el de tipus C a 31 el barril. El preu total de la compra s de 156.000 . Si el primer subministrador ven el 30 % del total a lempresa, et demanem:

a) Plantejar les equacions que corresponen a lenunciat.b) Quina s la quantitat de petroli de cada tipus

que han comprat?

Programaci lineal49 Representa grficament el conjunt de punrs que satisfan

les inequacions segents:x + 2 y 10 2 x + y x 8 0 x 0 y

50 Considera el sistema dinequacions segent:

x 4y 11x + 4y 4x 4y 6x + 4y 9

Dibuixa la regi de solucions del sistema.

51 Representa grficament la regi determinada per les restriccions segents:

2x + y 6 4x + y 10 x + y 3 x 0 y 0

i determinan els vrtexs.

52 Es demana:

a) Representar grficament el conjunt de solucions del sistema dinequacions segent:

3x + 2y 54x 2y 15x + 4y 164x 4y 5

b) Determinar els vrtexs de la regi obtinguda en lapartat anterior.

c) Calcular el punt on la funci f(x, y) = 3x y assoleix el mnim en aquesta regi. Determinar aquest valor mnim.

53 Considera:

T = (x , y )/x

5+

y

8 5,

x

10+

y

6 5, 2x + 5y 110, y 0

a) Representa grficament la regi T.b) Considera la funci f(x, y) = 3x + 5y. Calcula,

si existeixen, els punts (x, y) que donen el valor mxim de f(x, y) i els punts que donen el valor mnim de f(x, y) en T.

c) Quina seria la resposta de lapartat anterior si selimina la desigualtat y 0?

54 Durant el seu temps lliure, un estudiant reparteix propaganda publicitria. Lempresa A li paga 0,05 per cada imprs que reparteix, mentre que lempresa B li paga 0,07 per imprs. Lestudiant porta dues bosses: una per als impresos A, on nhi caben 120, i una altra per als de lempresa B, on nhi caben 100. Tamb sap, per experincia, que cada dia pot repartir, com a mxim, 150 impresos. Quants impresos ha de repartir de cada classe perqu el seu guany diari sigui mxim? A quant pujar aquest guany?

55 Una botiga dinformtica promou una oferta destinada a comercialitzar dos models dordinadors porttils: model A i model B. Cada unitat del model A es ven a 1.000 , i cada unitat del model B a 800 . Aquesta promoci noms est destinada a un nombre limitat dunitats: noms afecta a 30 ordinadors del model A i a 40 ordinadors del model B. Lobjectiu de la botiga s vendre del model A almenys el doble dunitats que del B i obtenir uns ingressos mnims de 30.000 . Quantes unitats de cada model hauran de vendre per obtenir uns ingressos mxims? A quina quantitat pugen aquests ingressos?

56 Una hamburgueseria necessita diriament un mnim de 180 quilograms de carn de porc i 180 quilograms de carn de vedella. Hi ha dos escorxadors, A i B, que poden subministrar-li la carn que necessita, per ha de ser en lots. El lot de lescorxador A cont 6 quilograms de carn de porc i 2 quilograms de carn de vedella i t un cost de 25 . El lot de lescorxador B cont 4 quilograms de carn de porc i 3 quilograms de carn de vedella i t un cost de 35 .

Determina, i justifica la resposta:

a) El nombre de lots que ha de comprar lhamburgueseria en cada escorxador amb lobjectiu de garantir les seves necessitats diries amb el cost mnim.

b) El valor daquest cost mnim diari.

57 Diriament, una persona necessita almenys 80 grams de protenes i 200 grams dhidrats de carboni.

Lobjectiu duna empresa s incloure aquests elements en la dieta diria a partir de dos elements bsics, A i B. La composici de cada aliment s la que es mostra en la taula segent:

Protenes(grams per unitat)

Hidrats de carboni(grams per unitat)

A 2 12,5

B 4 5

El cost duna unitat de lelement A s de 4 , i el duna unitat del B s de 6 . Quantes unitats dels elements A i B shan dincloure en la dieta per assegurar, amb un cost mnim, les necessitats diries de protenes i hidrats de carboni?

Quant pugen els costos?

917475 _ 0136-0143.indd 140917475 _ 0136-0143.indd 140 29/7/09 03:16:0429/7/09 03:16:04

141lgebra

58 Dos grups diferents, G1 i G2, duna mateixa empresa poden dur a terme un projecte de jardineria que consisteix a enjardinar tres zones: A, B i C.

A la taula segent es recull el nombre dunitats que pot enjardinar cada grup en cada zona durant una setmana:

Zona A Zona B Zona C

Grup G1 4 10 7

Grup G2 10 5 7

Shan denjardinar un mnim de 40 unitats en la zona A, 50 unitats en la zona B i 49 unitats en la zona C. El cost setmanal de la feina sestima en 3.300 per al grup G1 i en 4.000 per al grup G2.

Quantes setmanes haur de treballar cada grup per acabar el projecte amb el cost mnim?

Expressa la funci objectiu i les restriccions del problema.

Representa grficament la regi factible i calculan els vrtexs.

59 Una companyia de telefonia mbil vol celebrar una jornada de Consum responsable i ofereix als seus clients loferta segent: 15 cntims deuro per cada missatge SMS i 25 cntims deuro per cada minut de conversa, incls el co

6.programació lineal macs

Documents