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MATEMTICAS A. CS II

Tema IIMatrices

Apuntes 2 Bachillerato C.S.

OPERACIONES:PRODUCTO DE MATRICESTEMA 2.3 * 2 BCS


PRODUCTO DE MATRICES

Para multiplicar una matriz fila de tamao 1xn por una matriz columna de tamao nx1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un nmero real.

Ejemplo_1 d( a b c ) e = a.d + b.e + c.f fEjemplo_2

4 4.2 4.5 4.(-7) 8 20 -28 -3 ( 2 5 -7 ) = -3.2 -3.5 -3.(-7) = -6 -15 21 1 1.2 1.5 1.(-7) 2 5 -7


Producto: DEFINICINDadas dos matrices A y B de tamao mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el n de columnas de la 1 coincide con el n de filas de la 2, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B.El resultado es una matriz de tamao mxp. 2 3 4 5 6 7 a d . b e c f 2a+3b+4c 2d+3e+4f= 5a+6b+7c 5d+6e+7fUna matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2]


Ejemplos 2 -3 -5 6 -1 . 4 2(-1)+(-3).4 = -5(-1)+6.4 -14 = 29 2 -3 -5 6 -1 2 . 4 3 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3= -5(-1)+6.4 -5.2+6.3 -14 -5 = 29 8 2 -3 -1 2 . 4 3= 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3= -14 -5


Ms ejemplos 2 -3 0 -5 6 1 -1 . 4 2 2(-1)+(-3).4+0.2 = -5(-1)+6.4+1.2 -14 = 31 1 -2 0 3 -4 1 -1 2 . 4 3 1.(-1)+(-2).4 1.2+(-2).3= 0.(-1)+3.4 0.2+3.3 (-4).(-1)+1.4 (-4).2+1.3 -9 -4 = 12 9 8 -5 1 0 -1 0 1 3 -1 1 0 5. 7 4

5+04= 0+7+12 -5+7+0 1 = 19 2


ltimo ejemplo 2 -3 4 -5 6 -1 -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5)= -5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5) -22 -25= 31 13 -1 2 4 3 . -2 -5 2 -3 4 -5 6 -1 -2-10 3+12 -4-2= 8-15 -12+18 16-3 -4+25 6-30 -8+5 -12 15 -6= -7 6 13 21 -24 -3El producto de matrices NO es conmutativo: A.B B.ASea la matriz A [2x3] y la matriz B [3x2] Como se puede observar los resultados son distintos: A.B = [2x2] y B.A = [3x3]


Propiedades del PRODUCTOPROPIEDADES

Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C (En ocasiones hay que multiplicar entre s ms de dos matrices) No es conmutativa: A.B B.A (Muy importante en las operaciones con matrices)Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I).(La matriz I es siempre cuadrado, presenta todos unos en la diagonal principal y los dems elementos son ceros)Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C(Hay que tener presente que A.(B+C) (B+C).A , en general.)Elemento inverso: Slo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre.(Imprescindible para poder dividir matrices. Si A.B = C, nos dan A y C, para hallar B tenemos: B=C / A = (1 / A).C , donde 1/A es la matriz inversa de A.)


Ejemplo 1 1 0 1 -1 2 . 4 3PROPIEDAD ASOCIATIVA: A.(B.C) = (A.B).C 0 1 . 2 1 1 1= 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 . 2 1 1 1 0 1 4 1 . 6 7 3 5= 4 3 0 1 . 2 1 10 8 6 7 10 8 = 6 7


Ejemplo 1 1 0 1 -1 2 . 4 3PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A.(B+C) = A.B+A.C 0 1 + 2 1 1 1= 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 . 2 1 1 1 0 1 -1 3 . 6 4 3 5= 4 3 2 2 + 2 1 5 7 6 4 5 7 = 6 4 1 1+ 0 1


Otro ejemplo de propiedad anticommutativa del producto 1 2 A.B = 4 5 . 4 7 2 5 8 17 = 26 53 4 7B.A = 2 5 .1 24 5 32 43= 22 29


POTENCIA DE UNA MATRIZ A2 = A.A A3 = A2 .A

A4 = A3 .A

An = An 1 . A

En todos los casos los valores de los trminos del resultado siguen una ley de formacin, una serie. 1 0Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A = 1 1


Ejemplo de potencias de matrices 2 1 0 1 0 1 0 A = = 1 1 1 1 2 1 3 1 0 1 0 1 0A = = 2 1 1 1 3 1

4 nQu valdr A ? Y A ?Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz

1 0A = 1 1


Otro ejemplo de potencias 2 1 0 1 0 1 0 A = = 1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 1 0A = = 1 0 1 0 1 0

4 nQu valdr A ? Y A ?Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz

1 0A = 1 0


Otro ejemplo de potencias 2 0 1 0 1 1 0 A = = 1 0 1 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1A = = 0 1 1 0 1 0

4Qu valdr A ? Lo mismo que A n Y A ? A si n es par, e I si n es imparEjemplo: Calcular las potencias de la matriz

0 1A = 1 0


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