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Material de distribución gratuita

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6

MatemáticaTercer Ciclo de EducaciónGeneral Básica para Adultos

M O D A L I D A D S E M I P R E S E N C I A L

6

Ministro de Educación de la Nación

Lic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación Básica

Lic. Gustavo Iaies

infopace@me.gov.ar

Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.

ISBN 950-00-0300-7. Primera Edición. Primera Reimpresión.

Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de

Acciones Compensatorias en Educacióndel Ministerio de Educación.

Índice

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Perímetros, superficies y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Perímetro o superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Duplicando longitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variación de superficie y volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Semejanza de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Qué es un teorema? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Claves de Corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

6

8

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16

28

37

46

73

99

5

Introducción

Este es el último de los libros del área matemática. En la primeraparte trabajará sobre las relaciones que existen entre perímetros,superficies y volúmenes. Se considerará especialmente si la equi-valencia en perímetros implica equivalencia de superficies y si laequivalencia de superficies necesariamente significa equivalenciade los volúmenes de los cuerpos.

En la segunda parte se desarrolla el tema semejanza entre figuras,se trata de un concepto que se utiliza corrientemente.

En el apartado en el que se considera el Teorema de Pitágoras tambiénse presentan algunas reflexiones sobre la matemática como ciencia.

Finalmente se plantean actividades con el propósito de que ustedpueda repasar algunos conceptos y procedimientos ya estudiados.

6

Perímetros, superficies y volúmenes

Estos tres conceptos han sido trabajados en los libros anteriores.El perímetro es la longitud del borde de una figura plana. Porejemplo, el cerco perimetral de un campo. Cuando se trata de la su-perficie de una figura plana nos referimos a la región del plano in-terior a la línea que la limita. Por ejemplo, la cantidad de vidrio ne-cesario para poner en una ventana. Por último, el volumen es el lu-gar que ocupa un cuerpo en el espacio. Por ejemplo, la tierra que senecesita para completar un pozo.

a

b

¿Cuánto mide la superficie de cada una de las figuras que armó?

¿Cuánto mide el perímetro de cada una?

7

Actividad Nº1Dibuje un rectángulo de 3 cm de largo por 4 cm de ancho.Marque una de las diagonales de ese rectángulo y córtelo porella. Quedan dos piezas triangulares.

Haciendo coincidir un lado completo de ambas piezas armediferentes figuras. Vaya dibujando las figuras que obtiene.

¿Cuántas figuras diferentes se pueden armar?

Calcule el área de todas ellas.

Halle el perímetro de cada una. Si es necesario utilice la regla.

Compare sus respuestas a los items d y e. ¿Qué conclusiónpuede obtener?

Actividad Nº2En el Libro 5 usted armó un cuadrado, un paralelogramo, unrectángulo y un triángulo utilizando en cada caso las sietepiezas del Tangram.

a

b

c

d

e

f

8

¿Perímetro o superficie?

Un agricultor va a comprar un campo y le dan a elegir entre uno quemide 190 m de frente por 110 m de fondo y el otro 150 m por 140 m.El fabricante de alambrados le aconseja: “Comprá el de 190 por 110porque tiene mayor perímetro así que debe tener mayor superficie".

¿Qué piensa usted acerca de ese razonamiento?

Al agricultor le interesa poseer la mayor región interior, la mayorsuperficie, que es donde él planta y cosecha.

Para calcular el perímetro de un polígono basta con sumar la lon-gitud de sus lados. En este caso, como se trata de rectángulos tie-nen dos pares de lados iguales.

Para calcular el perímetro, basta con multiplicar por dos cada lado y su-mar los resultados. A cada uno de los lados se lo simboliza con L1 y L2.

Para hallar la superficie se multiplican entre sí los lados.

Perímetro del rectángulo = 2 . L1 + 2 . L2

Superficie del rectángulo = L1 . L2

Perímetro de un rectángulo = 2 . 190 m + 2 . 110 m

Perímetro de un rectángulo = 600 m

Superficie de este rectángulo = 190 m . 110 m

Superficie de este rectángulo = 20.900 m2

Perímetro del otro rectángulo = 2 . 150 m + 2 . 140 m

Perímetro del otro rectángulo = 580 m

Superficie de este rectángulo = 150 m . 140 m

Superficie de este rectángulo = 21.000 m2

Si se completa un cuadro con los valores de los terrenos que pre-tendía comparar el agricultor se obtiene:

Relea en el Libro 5 lo estu-diado sobre perímetros ysuperficies.

9

Observe que el terreno que tiene mayor perímetro tiene menorárea. Por lo tanto a mayor perímetro no le corresponde mayorárea, como se podría suponer.

En la actividad del Tangram usted advirtió que tanto el cuadradocomo el rectángulo, el paralelogramo y el triángulo poseen la mis-ma superficie pero varían sus perímetros.

190 m; 110 m 600 m 20.900 m2

150 m; 140 m 580 m 21.000 m2

Medidas lineales Perímetro Superficie

Lado 1 Lado 2 Superficie Perímetro

Actividad Nº3Dibuje en el papel cuadriculado a 1 cm que tiene en el Anexo Itodos los rectángulos posibles cuyos lados sean valores ente-ros y su superficie mida 20 cm2.

¿Qué relación existe entre los lados de rectángulos que tienenigual superficie? Justifique su respuesta.

Complete una tabla consignando el valor de los lados, la su-perficie y el perímetro:

a

b

c Compare los valores de los perímetros de estos rectángulosque son equivalentes en superficie. ¿Qué conclusión obtiene?

Analice ahora qué sucede si se mantiene constante el perímetro.

10

Actividad Nº4Sobre papel cuadriculado dibuje todos los rectángulos posiblescuyos lados midan valores enteros y su perímetro sea 20 cm.

Halle las áreas respectivas y ordénelas de menor a mayor.

¿Cuál de estos rectángulos posee mayor área?

a

b

a

Como habrá comprobado al realizar las actividades anteriores:

• existen figuras que tienen la misma superficie pero distinto perímetro;• existen figuras que tienen igual perímetro pero diferente superficie.

Por lo tanto se puede concluir que:

• la equivalencia de perímetros no implica la equivalencia de su-perficies;

• la equivalencia de superficies tampoco implica la equivalenciade perímetros.

Actividad Nº5Halle el perímetro y la superficie de las figuras dibujadas so-bre la trama cuadriculada de 1 cm.

La unidad de longitud es un lado de un cuadradito, es decir 1 cm.

La unidad de superficie es un cuadradito de 1 cm de lado, esdecir 1 cm2.

11

¿Qué conclusiones puede extraer sobre la equivalencia de lassuperficies y los perímetros hallados?

Si las tres últimas figuras fuesen las plantas (planos) en escalade tres casas, ¿cuál elegiría para que le representara menos gas-to en paredes exteriores con relación a la superficie cubierta?

Dibuje la figura formada por cuadrados de 1 cm2 que posea me-nor área y mayor perímetro, siguiendo la secuencia de D, E y F.

Actividad Nº6En una inmobiliaria se ofrecen dos terrenos con las siguientesdimensiones:

Terreno A: largo 75 m y ancho 25 mTerreno B: largo 80 m y ancho 20 mEl terreno A tiene mayor superficie que el B

Determine el perímetro de cada terreno.

¿Cuánto mide la superficie de cada uno?

¿Cuál de los dos terrenos compraría usted si le informan quevalen lo mismo? ¿Por qué?

a

b

c

a

b

c

12

Actividad Nº7Dos jardines tienen la misma superficie. El primero es un cua-drado de 19,8 m de lado. El segundo es un rectángulo de 29,7m de largo. Calcule el perímetro de cada uno.

Duplicando longitudes

Si preguntamos qué sucede con el perímetro y la superficie de uncuadrado al duplicar la medida de los lados, muchas personas afir-marán rápidamente que se duplicarán tanto el perímetro como lasuperficie. Analicemos los siguientes ejemplos.

Un cuadrado tiene 3 cm de lado. Si se duplica la medida de su la-do, ¿qué sucede con el perímetro?, ¿por qué número queda multi-plicada su superficie?

Le sugerimos que reproduzca los siguientes gráficos en hojas cua-driculadas a 1 cm. (Anexo I)

Solución gráfica:

Al duplicar el lado (de 3 cm se pasó a 6 cm) el perímetro quedóduplicado (de 12 cm se pasó a 24 cm).

En el mismo gráfico se observa que la superficie es de 36 cm2 yque el cuadrado entra 4 veces en el nuevo cuadrado. Es decir queal duplicar el lado, la superficie se cuadruplicó.

13

También se puede hallar la solución mediante un procedimientoaritmético.

Solución aritmética:

Perímetro del cuadrado = 4 . LadoPerímetro del cuadrado pequeño = 4 . 3 cm = 12 cmPerímetro del cuadrado más grande = 4 . 6 cm = 24 cm

Como puede observar al duplicar el lado del cuadrado, el perímetrose duplicó.

Superficie del cuadrado = L2

Superficie del cuadrado menor = (3cm)2 = 9 cm2

Superficie del cuadrado mayor = (6 cm)2 = 36 cm2

La superficie del primer cuadrado es de 9 cm2 y la del segundo mi-de 36 cm2.

Cuando se duplica el lado del cuadrado la superficie se cuadruplica.

En el Libro 3 usted estudió que al variar el lado de un cuadrado superímetro varía en la misma proporción. Por eso se dice que el pe-rímetro está en función del lado en una relación de proporciona-lidad directa.

Siga analizando qué sucede con la superficie de los cuadrados almodificar la longitud del lado. Considere estas variaciones a partirde las medidas de un cuadrado de 1 cm de lado.

Su superficie es de 1 cm2

Si se duplica el lado del cuadrado se observa que se cuadruplica lasuperficie.

Si se triplica el lado del cuadrado se observa que su superficie que-dó multiplicada por 9.

14

Si se cuadruplica el lado del cuadrado la superficie queda multipli-cada por 16.

Si se multiplica por 10 el lado del cuadrado su superficie quedamultiplicada por 100.

Como puede observar, no existe relación de proporcionalidad di-recta entre la medida del lado de un cuadrado y su superficie.

Actividad Nº8Aunque la relación del lado del cuadrado y la medida de susuperficie no sea de proporcionalidad directa, puede afirmar-se que, la superficie del cuadrado está en función del lado.Revise, si es necesario, el concepto de función en el Libro 3.

¿Cómo varía la superficie del cuadrado en función de la va-riación del lado?

¿Cómo se puede expresar la superficie de un cuadrado enfunción del lado?

a

b

15M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n

a

b

a

b

c

Actividad Nº10El perímetro de un cuadrado es 36 cm.

Calcule la medida de la superficie de este cuadrado.

Encuentre qué altura debe tener un paralelogramo si tiene la mis-ma medida su superficie que el cuadrado y su base mide 6 cm.

Actividad Nº9Halle la superficie de las secciones de cada una de las estruc-turas de acero que se muestran en las siguientes figuras.

Actividad Nº11

Halle el perímetro del rectángulo y del paralelogramo.

Antes de hallar la superficie de estos cuadriláteros estime quérelación guardan entre sí ambas superficies. ¿Son iguales odiferentes? ¿Por qué?

Halle la superficie. ¿Cómo resultó su estimación?

a

b

16

Variación de superficie y volumen

El panal de las abejas está compuesto por celdillas que puestas unaa continuación de la otra forman un cubrimiento hexagonal. ¿Quéventaja brinda esto a la abeja?Analice una celdilla: es un cuerpo parecido a un prisma cuya baseexterior es un hexágono regular.¿Por qué decimos parecido a un prisma? Porque un prisma tienesus bases planas, en cambio, el fondo de una celdilla (donde laabeja deposita la miel) está formado por tres caras congruentes si-mulando una copa. Cada una de estas caras es un rombo.A continuación, ilustramos el aspecto de una celdilla y su desarro-llo en el plano. Para poder comprender una sorprendente curiosi-dad de la naturaleza, le adjuntamos el desarrollo en el Anexo II pa-ra que arme con él una celdilla.

Los naturalistas se preguntaron si las medidas de los ángulos de losrombos que forman la base tendrían influencia en el mayor apro-vechamiento del espacio de la colmena y la menor cantidad de ma-terial utilizado en su construcción. Es sabido que, la cera con quese construyen las celdas donde se guarda la miel es una sustanciadifícil de fabricar.Al medir los ángulos de estos rombos se obtuvieron los siguientesvalores: 109° 28’ y 70° 32’ .

17

1 Rafael Rodríguez Vidal; Diversiones matemáticas. Reverté, Barcelona. 1983.2 P. Sadovsky, M. Kass, M. C. Panizza y M. I. Reyna; Matemática 2. Santillana, Buenos Aires, 1989.

La idea que destacamos en el texto anterior -mayor aprovechamien-to del espacio con la menor cantidad de material- es algo que intere-sa especialmente a los fabricantes que deben envasar sus productos.Ellos necesitan, en general, guardar la mayor cantidad de materialdentro del mínimo envoltorio.

El concepto matemático que se refiere a la cantidad de material esel volumen y el del envoltorio es la superficie.

Analizaremos entonces la relación entre el volumen de un cuerpo ysu superficie. Para ello utilizará el Soma que construyó en el Libro 5.

Con las 7 piezas del Soma arme un cubo. Si las aristas de cada cu-bito son de una unidad ¿cuál es la superficie total y cuál el volu-men del cubo formado?

Entonces se le encargó a un matemático el siguiente cálculo:Supuesta una vasija hexagonal que termine en tres caras rómbicasde fondo, averiguar cuáles son los ángulos de los rombos que da-rían el mayor aprovechamiento del espacio con el menor material.Hecho este cálculo se obtuvieron los siguientes valores: 109° 26’ y70° 34’. Se consideró entonces, que este pequeño “error" de la abe-ja era tan insignificante que no se le dio importancia.Años después, el famoso matemático Mac Laurin no se conformócon la pequeña discrepancia planteada entre el valor del ánguloconstruido por la abeja y el calculado en forma teórica por el hom-bre. Al resolver nuevamente el problema encontró que los ángulosque brindan mayor aprovechamiento del espacio son 109° 28’ y 70°32’, es decir ¡coinciden exactamente con las medidas de los ángulosde los rombos que forman las celdillas fabricadas por las abejas!Comprobamos una vez más que la naturaleza nos sorprende con subelleza y perfección.

Adaptación del original de Rafael Rodríguez Vidal1 realizada por P. Sadovsky y otros.2

“Maravillosa naturaleza”.

18

Seguramente encontró que la superficie mide 54 unidades cuadra-das (54 u2) y el volumen 27 unidades cúbicas (u3).

Unidad delongitud

Unidad desuperficie

Unidad devolumen

Actividad Nº12Construya distintos cuerpos con las siete piezas del Soma.

Halle las áreas de cada uno y los volúmenes correspondientes.Compárelos y obtenga alguna conclusión respecto de lasequivalencias.

Actividad Nº13Arme con cubos, prismas que contengan ocho cubos iguales.

Halle las áreas totales y los volúmenes.

Algunas cajas donde se guardan herramientas tienen una for-ma de prisma rectangular, como se muestra en el dibujo:

a

b

a

b

alto

largo

ancho

19

Recuerde que para calcular el volumen de un prisma hay que cal-cular la superficie de la base y multiplicar el resultado por la altura.

Por tratarse de un rectángulo, en este caso, la superficie de labase se calcula multiplicando el largo por el ancho:

Volumen del prisma rectangular = largo x ancho x alto.

Hay dos cajas similares de herramientas cuyas dimensiones son:

Caja I: largo = 2 dm ancho = 32 dm alto = 1 dmCaja II: largo = 16 dm ancho = 2 dm alto = 2 dm

Calculemos el volumen de la primera caja:Volumen de la caja = largo x ancho x altoVolumen de la caja 1= 2 dm x 32 dm x 1 dmVolumen de la caja 1= 64 dm3

Calculemos también el volumen de la caja 2:Volumen de la caja 2= 16 dm x 2 dm x 2 dmVolumen de la caja 2= 64 dm3

Es evidente que las dos cajas son equivalentes en volumen.

Veamos qué sucede con sus superficies totales.

¿Cómo se determinan las superficies totales de las cajas? Basta concalcular la superficie de cada una de las caras y luego sumarlas.

La caja I tiene dos caras rectangulares de 1 dm x 32 dm; dos carasrectangulares de 2 dm x 1 dm y otras dos caras rectangulares de 32 dmx 2 dm.

20

Si se expresa la superficie total como suma de todas ellas en uncálculo combinado quedará expresado:

Para la segunda caja:

Al determinar la superficie de cada una de las cajas se observa quelas superficies son distintas:

Sup (caja I) = 196 dm2

Sup (caja II) = 136 dm2

Por lo tanto, así como sucede entre la superficie y el perímetro, laequivalencia entre volúmenes no implica equivalencia entre lassuperficies.

Existen cuerpos que tienen igual volumen pero distinta superficie.

Revise el procedimientopara resolver cálculos com-binados en el Libro 3.

Actividad Nº14Halle las áreas totales de cada uno de los siguientes cuerposy los volúmenes correspondientes. Hay huecos donde ustedno ve cubos.

Sup (caja 1) = 2 x 1 dm x 32 dm + 2 x 2 dm x 1 dm + 2 x 32 dm x 2 dm Sup (caja 1) = 196 dm2

Sup (caja II) = 2 x 2dm x 16dm + 2 x 2dm x 2dm + 2 x 2dm x 16dm Sup (caja II) =136 dm2

21

Le presentamos el siguiente problema que se le atribuye al grancientífico Galileo:

Si se tiene una hoja de anotador con el largo distinto del anchoy se desea obtener un cilindro al cual se le agregará luego un fondopara poder llenarlo de líquido, ¿cuál de los dos cilindros posiblescontendrá mayor cantidad de líquido?

Vamos a suponer que el largo de la hoja es de 12,56 cm y el anchode 6,28 cm. La hoja puede estar representada por este dibujo:

Como se observa en el dibujo, con la misma hoja se pueden obte-ner dos cilindros distintos: uno más alto que el otro o bien uno debase mayor que la del otro.

Calcularemos ahora el volumen de cada uno.

Para poder hacerlo se necesita conocer el radio de la base, que noes un dato. Sin embargo se conoce la longitud de la circunferencia dela base, porque en uno de los cilindros será el ancho de la hoja y enel otro el largo. Para poder resolverlo le proponemos revisar lo estu-diado en el Libro 5 sobre ecuaciones.

Para llegar a calcular el volumen es preciso resolver un problemaintermedio que se podría enunciar del siguiente modo:

En los Libros 2 y 5 se traba-jó con cálculo de volúme-nes. Consúltelos si lo creenecesario.

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¿Cuál es el radio de una circunferencia de 12,56 cm?, ¿y si la lon-gitud de la circunferencia es de 6,28 cm?

Recuerde que la longitud de la circunferencia se calcula:

Long (circunf.) = 2 .� . r

Se conoce la longitud, no así el radio r, que es la incógnita de la si-guiente ecuación:

12,56 cm = 2 x 3,14 x r

de donde podemos despejar el radio, dividiendo ambos miembrospor 2 x 3,14

=

Ahora se puede simplificar en el segundo miembro 3,14 y 2. Alhacerlo se obtiene:

= r

= 2 cm (radio).

El radio del primer cilindro es de 2 cm.

Para el radio de la base del segundo cilindro procedemos de mane-ra similar:

Long (circunf.) = 2 . � . r 6,28 cm = 2 . 3,14 . r

de donde podemos despejar el valor del radio del nuevo cilindro

= r

= 1 cm (radio)

Luego de resolver estos problemas intermedios se puede calcular elvolumen de los cilindros, y comprobar si son equivalentes al tenerla misma superficie lateral.

Recuerde que para calcular el volumen de un cilindro se debe mul-tiplicar la superficie de la base por la altura. Expresado en un cál-culo combinado:

________12,56 cm2 . 3,14

________12,56 cm2 . 3,14

________6,28 cm2 . 3,14

________6,28 cm2 . 3,14

________12,56 cm2 x 3,14

__________2 x 3,14 x r2 .x 3,14

23

Vol. (cilindro) = Sup del círculo de la base por alturaVol. (cilindro) = � . r 2. h

El volumen del primer cilindro es:

Vol. (cilindro) = 3,14 . 4 cm2 . 6,28 cmVol. (cilindro) = 78,8768 cm3

El volumen del segundo cilindro es:

Vol. (cilindro) = 3,14 . 1 cm2 . 12,56 cmVol. (cilindro) = 39,4384 cm3

Como puede observar los cilindros tienen la misma superficie la-teral y poseen diferente volumen. De los dos cilindros posibles, elprimero podrá contener mayor cantidad de líquido. En la ActividadNº 14 usted halló que hay cuerpos con la misma superficie total ydistinto volumen.

Por ello se puede concluir que:

Existen cuerpos que tienen la misma superficie pero distinto volumen.

Ya se analizó qué sucede con el perímetro y con la superficie al va-riar el lado de un cuadrado. Se considerará ahora si existe relaciónde proporcionalidad entre la arista de un cubo y su volumen.

En el Anexo III encontrará desarrollos de cubos de 1 cm de arista,de 2 cm de arista, de 3 y así hasta 5 cm de arista para que puedaarmarlos y comprobar los datos de la siguiente tabla.

arista del cubo

1 cm2 cm3 cm4 cm5 cm

volumen del cubo

1 cm3

8 cm3

27 cm3

64 cm3

125 cm3

superficie deuna cara del cubo

1 cm2

4 cm2

9 cm2

16 cm2

25 cm2

superficie total del cubo

6 cm2

24 cm2

36 cm2

96 cm2

150 cm2

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Cada cara del cubo es un cuadrado. Al duplicar el lado de ese cua-drado la superficie se cuadruplica y en consecuencia sucede lomismo con la superficie total del cuerpo.

¿Qué sucede con el volumen al duplicar la arista? El volumen semultiplica por 8.

Si se triplica la arista, se multiplica por 9 la superficie y se multi-plica por 27 el volumen.

Como puede observar, la variación de la arista define una varia-ción del volumen, pero puede afirmarse que:

No hay relación de proporcionalidad entre la arista y el volumen del cubo.

Si se analiza qué sucede con la relación entre la superficie total yel volumen, también puede afirmarse que:

No hay relación de proporcionalidad entre la superficie de un cuerpo y su volumen.

Actividad Nº15Haga otra tabla con las medidas de las aristas, las superficiesde cada cara y de los volúmenes.

a

b

aristas

12345

volumen

182764125

superficie deuna cara

1491625

Compare esta tabla con la correspondiente de la ActividadNº 36 del Libro 3.

Si bien no hay relación de proporcionalidad directa entre laarista y el volumen del cubo, sí puede decirse que el volumen esuna variable dependiente de la arista. ¿Cuál es la función queexpresa esta relación?

25

Analice qué sucede cuando se multiplica por 10 el lado de un cua-drado o la arista de un cubo y verá qué es lo que se aplica para cal-cular la relación entre las unidades de superficie y de volumen. Ca-da decímetro tiene 10 cm, por lo tanto si se dibuja un cuadrado deun decímetro (se multiplicó por 10 la longitud del lado de un cua-drado de 1 cm) su superficie queda multiplicada por 100.

Si se considera un cubo cuya arista es de 10 cm su volumen será1.000 cm3. Recuerde que en el SIMELA (Sistema Métrico Legal Ar-gentino), las unidades de superficie y de volumen se definen a par-tir de las unidades de longitud.

La relación que existe entre las unidades de longitud es de potenciasde 10. El metro tiene 10 decímetros, 100 (102) cm, 1000 (103) mm.

La relación que existe entre las unidades de superficie es de poten-cias de 100. El metro cuadrado tiene 100 decímetros cuadrados,10.000 cm2 (1002), 1.000.000 mm2 (1003)

La relación que existe entre las unidades de volumen es de poten-cias de 1.000. El metro cúbico tiene 1.000 decímetros cúbicos, 106

centímetros cúbicos y 109 milímetros cúbicos.

Relea en el Libro 4 el apar-tado Notación Científica.

Actividad Nº16Considere recipientes de base rectangular que tengan todos elmismo volumen 64 dm3. Las dimensiones de cada uno son:

largo

1 dm2 dm4 dm16 dm32 dm64 dm16 dm

ancho

8 dm4 dm4 dm2 dm2 dm1 dm4 dm

alto

8 dm8 dm4 dm2 dm1 dm1 dm1 dm

volumen

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

superficie

Complete en la tabla la medida correspondiente a cada su-perficie total.

a

26

¿Cuáles son las dimensiones del recipiente que tiene la me-nor superficie?

En la hojalatería le venden una chapa por m2. ¿Cuál de las di-mensiones elegiría para la caja, de tal manera que tenga elmenor costo posible? (Recuerde que todas las cajas tienen elmismo volumen.)

Actividad Nº17Se han construido, con un mismo material, cuatro cubos ma-cizos cuyas aristas son respectivamente de 6 cm; 8 cm; 10 cmy 12 cm. Hay que colocarlos en los platillos de una balanzade modo que éstos queden en equilibrio.

¿Qué cubo o cubos pondría en cada platillo? Justifique su respuesta.

Actividad Nº18En una plaza hay un cantero aproximadamente cuadrado quetiene un círculo inscripto en el que se quiere plantar flores,dejando cubierto de pasto el resto de la superficie del cuadra-do. Se sabe que el cuadrado tiene 400 cm de perímetro.

¿Cuál es la superficie que se cubrirá con pasto?a

b

b

c

Otra persona, en vez de plantar en un solo círculo, quiere po-ner las flores en los cuatro círculos iguales de mayor superfi-cie que puedan trazarse dentro del cuadrado de tal forma queninguno se superponga.

¿Qué superficie quedará cubierta de césped? Justifique su res-puesta. Compárela con la obtenida en el item anterior.

27

Actividad Nº19Un campo tiene una superficie de una hectárea. ¿Cuál es su pe-rímetro, si tiene la forma aproximadamente de un cuadrado?

Otro campo está integrado por dos terrenos:• uno es un rectángulo de 40 m x 50 m; • el otro es un triángulo rectángulo isósceles.

Los lados iguales son los del ángulo recto. No se conoce la longitud de estos lados, pero se sabe que uno de los lados iguales coincide con uno de los lados del rectángulo.

De las dos posibilidades de formar el campo, ¿cuál encierra lamayor superficie?

Le dibujamos una de las maneras posibles. Dibuje usted las otras.

a

b

Actividad Nº20Una figura de cartulina, que representa una cara con sombre-ro, está compuesta por un trapecio isósceles y dos semicírcu-los construidos: uno sobre la base menor (que será la copa delsombrero) y otro sobre la mayor (que será la cara ). Los datosdel trapecio son: Base mayor = 20 cm; base menor = 14 cm;altura del trapecio = 12 cm.

Determine:• la superficie total que tiene la figura;• la cantidad de cinta necesaria para bordear el contorno de la

figura;• el menor tamaño posible de la cartulina en la que se la dibujará.

28

Semejanza de figuras

Al observar las siguientes letras notamos inmediatamente que to-das ellas poseen la misma forma pero no poseen el mismo tamaño.

En este caso el tamaño de la letra crece y por lo tanto decimos quela letra A se encuentra amplificada.

En este segundo caso el tamaño de la letra A decrece, por lo tantodecimos que hemos efectuado una reducción.

Todas las imágenes de las letras, ¿son iguales? Seguramente res-ponderemos negativamente, dado que las letras son de diferentestamaños. Pero, ¿se podría afirmar que son distintas las letras aesdibujadas? También responderíamos negativamente a esta últimapregunta dado que las letras comparten la misma forma.

¿Cómo puede ser que a las imágenes anteriores le asignemos tantosimilitudes como diferencias?

Las siguientes imágenes permitirán explicar esta ambigua impresión.

M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n

29

Tomaremos una parte de los dos dibujos para simplificar la compa-ración de ambas imágenes.

30

Como se advierte, se trata de dos triángulos: ABC y el A’B’C’. Pro-cederemos a medir la longitud de sus lados y la amplitud de susángulos. Si es necesario revise en el Módulo Nº 4 cómo utilizar eltransportador.

Comience con los ángulos; extreme las precauciones para medircon la mayor precisión posible.

� �

Observe:como son los ángulos A y A’ = . . . . . . . . . . . . .

como son el B y el B’ = . . . . . . . . . . . . .

y como el C y el C’ = . . . . . . . . . . . . .

Siga con los lados.AB= . . . . . . . . . . . . . A’B’ = . . . . . . . . . . . . .

AC = . . . . . . . . . . . . . A’C’ = . . . . . . . . . . . . .

BC = . . . . . . . . . . . . . B’C’ = . . . . . . . . . . . .

Observará que los lados varían. Veamos en qué forma lo hacen. Pa-ra ello analizaremos el cociente entre la medida de los siguientespares de lados: AB con A’B’, BC con B’C’ y AC con A’C’ .

Analice los pares de lados que estamos considerando. Ambos tie-nen como extremos los vértices de ángulos iguales.

______

_________

__ ______ _______

31

= = = = = =

¿Cómo son todos los cocientes?

Un error de medición pequeño, 1 o 2 milímetros, puede alejar bas-tante los resultados. Si tomamos la medida con total precisión ob-tenemos cocientes aproximadamente iguales.

Que los cocientes sean iguales implica que la razón (el cociente) en-tre los lados originales y los de la ampliación es siempre la misma.Esto significa que la relación que existe entre un par de lados esigual a la razón que existe entre los otros pares de lados respectivos.

En este caso si obtenemos = 2 significa que el lado A’B’ es eldoble que el AB. Pero como los demás pares también dieron porcociente 2 o un número muy próximo a 2, significa que todos loslados del segundo triángulo son el doble de los del primero. Eltriángulo se duplicó.

Los triángulos ABC y A’B’C’ son triángulos semejantes; el cocien-te entre sus lados respectivos, que en este caso resultó ser 2, nosindica cuántas veces más grande o más chica es una figura conrespecto a la otra.

El número que obtenemos como cociente en cualquiera de los pa-res de lados correspondientes se llama “razón de semejanza".

� �

___A’B’AB

_____

___A’B’AB

___

______

__

___ ___B’C’BC

_____ ___ ___A’C’

AC

_____ ___ ���

Relea en el Libro 2Módulo 4 el tema Ra-zones y Proporciones.

Actividad Nº21Analice si existe proporcionalidad entre los lados respectivosde los triángulos considerados. Justifique su respuesta.

Los dos triángulos considerados son semejantes. Defina consus palabras cuándo dos triángulos son semejantes. Conside-re para ello las dos condiciones analizadas.

a

b

Lo comprobado para estos triángulos, ¿se mantendrá en el resto dela figura?

Actividad Nº22Mida los ángulos y compruebe si son o no iguales.

Luego tome la medida de los lados y complete:

= = = = = = = =

¿Cómo son los resultados?

De acuerdo con las respuestas anteriores, ¿son semejantes loscuadriláteros?, ¿cuál es la razón de semejanza?

32

Tome la medida de cualquiera de las partes del tractor grande, porejemplo la distancia entre la rueda grande y la chica, tome la mis-ma medida en el tractor chico y luego calcule el cociente.

Puede comparar también la rueda grande de cada tractor. O la par-te del tractor que le interese. Comprobará de esta manera que cadauna de las piezas del segundo tractor es exactamente el doble quela misma pieza del primero.

A las figuras que poseen ángulos iguales y lados directamente proporcionales se las denomina figuras semejantes.

Observe la siguiente figura:

Si nos alejamos del cuadrilátero lo veremos más chico.

¿Serán semejantes?

Según lo expresado en la definición, para ser semejantes estos dospolígonos deben tener los ángulos respectivamente iguales y loslados respectivos directamente proporcionales.

___ABA’B’

_____ ___ � ___BC

B’C’

______ ___ � ___CD

C’D’

______ ___ � ___AD

A’D’

______ ___ �

a

b

c

d

33

La razón de semejanza que obtuvo en esta oportunidad es aproxi-madamente 0,33, número que equivale aproximadamente a .

En este caso la razón nos está indicando que el segundo triánguloes la tercera parte del primero.

__13

a

b

c

a

b

c

Actividad Nº23Si la razón de semejanza entre dos figuras es 4, ¿qué puededecir de la segunda figura con respecto a la primera?

Si la razón es 0,5, es decir , ¿la segunda figura es una am-pliación o una reducción de la primera? ¿Cuántas veces?

Y si la razón es 1, ¿cómo son las figuras?

__12

La semejanza no se limita a las figuras geométricas, está presente enun gran número de situaciones cotidianas. En los mapas, en las foto-grafías, en los planos de propiedades o piezas de máquinas, al haceruna ampliación o reducción en una fotocopiadora, etc. Cuando serealizan trabajos aplicando escalas, se está trabajando con semejanza.

Le proponemos que reviseel concepto de escala en elLibro 1, Módulo 3.

Actividad Nº24En un mapa trazado a escala 1:400.000 dos ciudades se en-cuentran separadas por 4 cm de distancia.

¿Cuál será la distancia real que separa ambas localidades?Exprese el resultado utilizando notación científica. Puede con-sultar el Libro 4.

¿Cómo puede fabricarse la maqueta de un auto deportivo pa-ra respetar la escala 1:72?

Se quiere representar dos localidades que están separadas por360 km en un mapa trazado a escala 1 cm : 2 . 105 m ¿Cuálserá la distancia que separe a los respectivos puntos que re-presentan a las ciudades?

34

Actividad Nº25Un cliente de una casa de fotocopias discute con el dueñoacerca de la eficacia con la que el comercio confeccionó eltrabajo encargado. La imagen entregada debía ser reducida al50 % de su superficie. El cliente midió el ancho de la figuraoriginal, el ancho de la reducción y encontró que el primeroera el doble con respecto al segundo, luego reiteró el procedi-miento con el largo. Estas mediciones le sirvieron para deter-minar la nueva superficie. ¿Por qué está enojado el cliente?Justifique su respuesta.

La semejanza de figuras llega a la industria del papel

La industria papelera ha estandarizado el tamaño de las hojas. Porejemplo, si tomamos una hoja de papel A3 y la plegamos al medio,cortando ambas hojas obtenemos un par de hojas A4.

Si reiteramos el procedimiento con una hoja A4 obtendremos doshojas de tamaño A5.

Cada uno de los tamaños es de la mitad de la superficie de los anteriores.

35

Registremos las medidas de cada una de las hojas:A3: 297 mm x 420 mm.A4: 210 mm x 297 mm.A5: 148 mm x 210 mm.

Por tratarse de rectángulos se sabe que todos los ángulos son igua-les y rectos. Por ello nos ocuparemos de la razón de semejanza.

Obtengamos los cocientes entre los respectivos largos y los respec-tivos anchos de las hojas tamaño A3 y A4.

a

b

c

__________Largo de A3Largo de A4

_______420 mm297 mm

= = 1,414

___________Ancho de A3Ancho de A4

_______297 mm210 mm

= = 1,414

Podemos concluir que los tamaños de hojas de papel A3 y A4 sonrectángulos semejantes, para los cuales su razón de semejanza se-rá aproximadamente igual a 1,414.

Actividad Nº26En cualquier diccionario enciclopédico busque el mapa de laRepública Argentina (o el de su provincia) y determine la dis-tancia entre la capital y una localidad que haya elegido. (Lerecordamos que debe tener en cuenta cuál es la escala en lacual fue hecho el mapa.)

Para determinar la altura de un edificio se tienen los siguien-tes datos: la distancia desde el observador hasta el edificio esde 60 m. La distancia del mismo observador hasta un postecuya altura es de 2 m es igual a 5 m. Tanto el poste como eledificio están en la misma línea de observación y el observa-dor mira al ras del suelo.

Haga el dibujo correspondiente.

En una fotografía hay dos personas. Allí se ha reducido la al-tura de cada una a la quinta parte. Si en la foto una personamide 36 cm y otra 36,5 cm, ¿cuál es la altura real de ambas?

˜

˜

36

Un cantero triangular tiene por lados: 4 m; 5 m; 7 m. Se quie-re hacer un plano en la escala siguiente: 1:100. Dibuje el pla-no del cantero. ¿Cuáles serán las longitudes de los lados enese plano?

En una fotografía se presentan dos esqueletos de animalesprehistóricos que vivieron en el sur de la Argentina. El esque-leto del más pequeño tiene en la foto una longitud de 6,5 cmmientras que la del más grande es de 11,5 cm.

Se sabe que el dinosaurio más grande medía 36 m de longi-tud. ¿Cuál era la longitud del menor? ¿Cuál es la razón desemejanza?

d

e

37

Teorema de Pitágoras

Para resolver muchas situaciones geométricas en las que se tra-baja con polígonos se suele dividir el polígono en triángulos. Ustedya utilizó esta estrategia al demostrar que la suma de los ángulosinteriores de un cuadrilátero es igual a 360° (o un ángulo de un gi-ro). Revise en el Libro 5 los aspectos allí considerados.

Los triángulos pueden ser obtusángulos, acutángulos y rectángu-los. Trabajaremos sobre éstos últimos, pues presentan propiedadesque resultan útiles para resolver situaciones en las que se conocenlas longitudes de dos de los lados y se quiere conocer la longituddel tercero, el perímetro del triángulo o la superficie.

Revise en el Libro 4 lo estudiado sobre la unicidad del triángulo -dadaslas medidas de los tres lados, el triángulo que se puede formar es único-.

Para dibujar un triángulo cualquiera se pueden trazar dos lados delos cuales se conocen sus medidas, dependerá del ángulo que seforme entre ellos la medida que tomará el tercer lado.

38

Actividad Nº27Dibuje diferentes triángulos rectángulos comenzando por ele-gir la medida de los lados que corresponden a los del ángulorecto. Propóngase elegir diferentes medidas para el tercer la-do. ¿Es posible?

Analice las siguientes situaciones para ver cómo puede calcu-larse el tercer lado de un triángulo rectángulo si se conocenlos otros dos.

Situación 1

¿Cuál es el largo de una escalera, para alcanzar un techo queestá a una altura de 3 m, si el pie de la escalera está separadoa 4 m de la pared?

Situación 2

Necesitamos instalar una antena de transmisión radial de do-ce metros de altura sobre una terraza. Disponemos de cincometros de distancia entre el pie de la antena y el borde de laterraza. Es necesario sujetarla con un cable de acero que unala punta de la antena con el borde de la terraza. Es imprescin-dible conocer la longitud del cable dado que si añadimos dostramos no podremos tensarlo suficientemente y si nos exce-demos el corte del cable es muy trabajoso.

39

Situación 3

Una plaza rectangular tiene 90 metros de ancho y 120 metrosde largo. Si se construye un sendero que lo atraviesa diago-nalmente, ¿qué longitud tiene el sendero?

Las tres situaciones tienen algo en común. En las tres la in-formación y la medida que queremos hallar corresponden alados de un triángulo rectángulo.

40

Situación 1

Situación 2

Situación 3

41

El nombre de los lados de un triángulo rectángulo son:

Se llama cateto a cada uno de los lados del ángulo recto; por lotanto ambos catetos son perpendiculares entre sí. Se denomina hi-potenusa al lado opuesto al ángulo recto.

Como puede observar, en todos los triángulos rectángulos cada ca-teto es la altura correspondiente al otro cateto, pues para hallar laaltura debe trazarse una perpendicular al lado. Por ser triángulosrectángulos, ambos catetos son perpendiculares.

Relea en el Libro 4 el apar-tado sobre Triángulos.

En el problema de la Situación 1, los catetos son: la altura de la te-rraza (cateto menor) y la separación entre el pie de la escalera y lapared (cateto mayor). La hipotenusa es la escalera.

Ya se analizó que conocidos dos lados de un triángulo rectánguloexiste un único valor posible para el tercer lado.

Una forma de hallar los resultados de los problemas planteados esdibujándolos y tomando la medida que se busca. Esta estrategia desolución que le proponemos utilizar tiene como dificultad podergraficar los triángulos.

42

Actividad Nº28Represente el triángulo de la Situación 1 con un triángulorectángulo cuyos catetos son de 3 y 4 cm. ¿Qué escala se pro-pone utilizar?

Mida la hipotenusa del triángulo que dibujó. ¿Cuál es la lon-gitud de la escalera?

Si compara el triángulo real y el triángulo dibujado verá queson figuras semejantes, porque tienen ángulos iguales y ladoscorrespondientes proporcionales. ¿Cuál es en este caso la ra-zón de semejanza?

Actividad Nº29Dibuje un triángulo rectángulo que represente a la segundasituación (escala 1 cm equivalente a 1 m).

Mida la hipotenusa y determine la longitud del cable de acero.

Actividad Nº30Realice para la Situación 3 la misma experiencia que en loscasos anteriores, pero con una escala diferente. Piense cuán-tos metros representa con 1 cm y luego dibuje el triángulo ydetermine la longitud del sendero.

Explique con sus palabras cómo se calcula la longitud real delsegmento dibujado que la representa si se conoce la escalacon la que se está trabajando.

a

b

c

a

b

A través de los dibujos hemos podido dar respuesta a las tres situacio-nes planteadas, pero este proceso es poco práctico para averiguar lamedida de uno de los lados de un triángulo rectángulo cuando se co-nocen los otros dos lados. Veamos otro modo más apropiado.

43

El primero de los triángulos dibujados tiene catetos de 3 y 4 cm yla hipotenusa mide 5 cm.

Considere los números 3, 4 y 5 y observe que si se eleva a cada unode ellos al cuadrado y se los suma, el resultado es igual al cuadra-do del tercero.

32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

¿Será casualidad?

a

b

Actividad Nº31Eleve al cuadrado los catetos del triángulo de la segunda situa-ción, sume los resultados. Eleve al cuadrado la hipotenusa ¿Diolo mismo?

Repita el cálculo con los lados de la tercera situación.

Que en los tres triángulos ocurra esto puede seguir siendo casualidad.

Analicemos estas situaciones gráficamente.

Piense unos instantes en qué significa geométricamente elevar alcuadrado la longitud del cateto mayor. Significa averiguar la su-perficie de un cuadrado que tenga como lado un segmento de esalongitud. Podemos entonces proyectar un cuadrado que tiene comolado el valor del cateto.

44

Ahora apliquemos el mismo procedimiento para el cateto menor.

Y ahora con la hipotenusa.

Si usted suma la cantidad de cuadraditos de las dos últimas figurasy compara el resultado con la obtenida en primer lugar, notará quela cantidad de cuadraditos contenidos en los cuadrados proyecta-dos a partir de ambos catetos reunidos equivalen a la cantidad decuadraditos de la hipotenusa.

45

Hemos encontrado una propiedad fundamental en los triángulosrectángulos:

En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Esto se ha probado para tres triángulos rectángulos, pero esto no nosasegura que ocurra en todos. ¿En cuántos se cumplirá la propiedad?

En los libros anteriores se ha insistido que en matemática no es sufi-ciente con comprobar que cierta propiedad ocurre en uno o variosejemplos, pues podrían estar considerándose casos particulares. Paraser válida la afirmación es necesario asegurarnos qué ocurre en ge-neral, para todos los casos posibles, o sea siempre. Para ello, comoya analizó en el Libro 5 es necesario demostrar la propiedad.

Cuando se demuestra la propiedad -es decir que ocurre siempre- reci-be el nombre de teorema, en este caso “Teorema de Pitágoras". Conesa denominación estamos significando que se verifica en todos loscasos, que no es casualidad que lo observemos en algún ejemplo.

46

¿Qué es un teorema?

En las diversas civilizaciones de la Antigüedad la matemática sedesarrolló a partir de diferentes problemas y se obtuvieron diferen-tes resultados. Algunos pueblos utilizaron una matemática máspráctica, para resolver problemas particulares.

Entre esas civilizaciones los egipcios y los babilonios realizaron im-portantes aportes al conocimiento matemático. Por ejemplo, los egip-cios pudieron resolver ecuaciones sencillas, pudieron calcular el áreade triángulos, rectángulos y trapecios, volúmenes de cilindros, pris-mas rectos, tronco de pirámide de base cuadrada, que les permitió laconstrucción de las pirámides. Los babilonios utilizaron un sistemade numeración posicional de base 60, nos legaron innumerables ta-blas numéricas, como las de cuadrados y cubos de números, podíanhallar el área de triángulos y trapecios, el área del círculo con � = 3,volúmenes de prismas y cilindros y casos particulares del Teorema dePitágoras. Pero no demostraron ninguna preocupación por justificary probar las reglas que utilizaban.

Fue en Grecia donde nació la matemática tal como la conocemoshoy. Antes de los griegos, la matemática tenía como objetivo fun-damental hallar procedimientos aritméticos o geométricos que per-mitieran solucionar situaciones de la vida práctica. Durante ese pe-ríodo no se buscaba la sistematización, la generalización y la abs-tracción que hoy tiene la matemática.

Muchos historiadores señalan a Tales de Mileto como el primero enadoptar el método deductivo (siglo VI a.C.) y a Euclides (siglo IIIa.C.) como el padre de la ciencia matemática.

La matemática trabaja con abstracciones. Actualmente se basa encuatro pilares.

1. Los conceptos primitivos.2. Los axiomas.3. Las definiciones.4. Los teoremas.

Busque en el Libro 3 deCiencias Sociales informa-ción sobre los pueblosmencionados.

47

No es nuestro propósito desarrollar con profundidad cada uno deestos conceptos, sólo daremos una noción de cada uno de ellos.

Los conceptos primitivos: son los elementos con los que iniciamoscada una de las ramas de la matemática; no tienen definición ex-plícita. Por ejemplo: punto, recta y plano.

Los axiomas: son las propiedades o atributos que tienen -entreotros elementos- los conceptos primitivos, y que implícitamentelos definen. Por ejemplo: “Dos puntos determinan una y sólo unarecta a la cual ellos pertenecen".

Las definiciones: establecen nuevos elementos, deben ser precisasy determinar sólo aquello a lo que le asignamos esa denominación.Por ejemplo: “Un polígono es regular si todos sus lados y todos susángulos son iguales".

Los teoremas: son los enunciados de propiedades o proposicionesverdaderas seguidas de sus demostraciones. Por ejemplo: el teore-ma de Pitágoras que en párrafos anteriores hemos enunciado.

Axioma y teorema son conceptos semejantes, en ambos casos seenuncian propiedades. Pero existe una diferencia fundamental, losaxiomas (que son muy pocos) no necesitan demostración, mientrasque los teoremas sí.

Una demostración comienza con un enunciado, en el que especifica-mos bajo qué condiciones se cumple determinada propiedad; y unademostración consiste en utilizar reglas lógicas que nos conduzcan, apartir del enunciado, a verificar que la propiedad se cumple siempre.

Existen teoremas cuyas demostraciones son complejas, por eso enocasiones sólo enunciamos la propiedad (y la utilizamos) sin hacersu demostración. En otros casos las demostraciones no son tancomplejas y podemos realizarlas con pocos conocimientos previos,como lo hicimos al demostrar en el Libro 5 que la suma de los án-gulos interiores de los cuadriláteros es de 360º.

Por la importancia que tienen los axiomas, es decir las propiedades queno se demuestran y que se consideran ciertas para demostrar los teore-mas, se considera que la matemática tiene una estructura axiomática.

48P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

¿Por qué Teorema de Pitágoras?

En general los teoremas que tienen nombres de matemáticos, comoeste, son homenajes a ellos.

En el caso de Pitágoras, él junto a sus discípulos llamados “los pi-tagóricos", trabajaron con los números entre otros temas. Ellos en-contraron y demostraron la relación existente entre la hipotenusay los catetos de un triángulo rectángulo. Por eso esta propiedadlleva su nombre.

Luego de estas aclaraciones vamos a retomar el desarrollo de la pro-piedad de los lados de un triángulo rectángulo y “demostrar" el Teore-ma de Pitágoras. La siguiente es una de las posibles demostraciones.

Al trabajar con un teorema se debe tener claro:

• qué es lo que se quiere demostrar: en este caso que la suma de loscuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa;

• qué información se tiene a partir del enunciado: en este caso seestá trabajando con un triángulo rectángulo, es decir que tienecatetos (que son los lados que forman el ángulo recto) e hipotenusa .

Para demostrar los teoremas, en general, se hacen figuras de análi-sis para interpretar el problema, pero se debe tener cuidado al ha-cerlas que no se esté trabajando con un caso particular, sino quesirvan para el análisis de todas las situaciones posibles.

Para demostrar el Teorema de Pitágoras partiremos de dos cuadra-dos de igual medida. No importa su longitud pues, se debe analizarla situación general. Es decir que a lo largo de la demostración hayque estar atentos a si lo que se está afirmando se cumple efectiva-mente cualquiera sea la medida de los lados de los cuadrados paralos infinitos cuadrados que existen. Llamaremos I a uno de loscuadrados y II al otro para diferenciarlos. Llamaremos l letra l) allado de estos cuadrados

I II

49

En el cuadrado I determinamos un punto a una distancia cualquie-ra del vértice. El lado quedará dividido en dos segmentos a los quese llamará a y b.

El lado del cuadrado puede ser expresado como la suma de los dossegmentos que quedaron determinados:

l = a + b

Se reitera el procedimiento en los lados restantes, conservando lamedida y garantizando que los segmentos que tienen en común unvértice del cuadrado sean iguales entre sí. Si se trazan los segmen-tos que tienen como extremos estos puntos y que sean paralelos alos lados queda el cuadrado I dividido en dos cuadrados de dife-rente tamaño y dos rectángulos iguales.

Como puede observar, no importa a qué distancia de uno de los extre-mos haya marcado el punto, pues siempre el lado del cuadrado (I) que-dará igual a la suma de los dos segmentos (a y b), y se determinarán losdos cuadrados y los dos rectángulos. Si se hubiese marcado el punto jus-to en la mitad del segmento I, quedarían determinados cuatro cuadra-dos. Si es necesario revise el Libro 5 para ver que todo cuadrado es unrectángulo, por lo tanto se estaría en un caso particular de rectángulo.

b a

50

Si se trazan las diagonales de los rectángulos puede verse que encada uno de ellos quedan determinados dos triángulos rectángulos.Los catetos son los segmentos a y b, y las diagonales las hipotenu-sas, a las que se llamarán h. Se puede considerar que a es la basede un triángulo y b su altura respectiva.

¿Cuál será la superficie del cuadrado I?

El cuadrado I está formado por un cuadrado de lado a, un cuadra-do de lado b, y 4 triángulos rectángulos de cateto menor a, catetomayor b e hipotenusa h.

Por lo tanto la superficie del cuadrado I es la suma de la superficiedel cuadrado de lado a; más la superficie del cuadrado de lado b;más la superficie de cuatro triángulos de base a y altura b.

Superficie del cuadrado I = a2 + b2 +

Se trata ahora de encontrar una expresión para calcular la superficiedel cuadrado II, que como sabe, es equivalente a la del cuadrado I.

En el cuadrado II se dibujan triángulos rectángulos cuyos vértices coin-cidan con los del cuadrado y sus catetos sean respectivamente a y b.

_______4 . a . b2

h

h

51

¿Cuál será la superficie del cuadrado II?

El cuadrado II está formado por un cuadrado de lado h y cuatro trián-gulos rectángulos de cateto menor a, de cateto mayor b e hipotenusa h.

Por lo tanto la superficie del cuadrado II es la suma de la superficiedel cuadrado de lado h más el cuádruple de la superficie de untriángulo de base a y altura b.

Superficie del cuadrado II = h2 + 4 .

Ambos cuadrados son iguales, en consecuencia se puede afirmarque sus superficies también lo son. Por lo tanto la expresión de lasuperficie del primer cuadrado tiene que ser igual a la expresión dela superficie del segundo.

Sup. del Cuadrado I = Sup. del Cuadrado II

a2 + b2 + 4 . = h2 + 4 .

Notará la presencia de los cuatro triángulos rectángulos en amboscuadrados. Si se descuenta la superficie de los triángulos, se estándescontando superficies iguales a ambos cuadrados; por lo tanto lasuperficie del cuadrado I sin los cuatro triángulos debe ser igual ala superficie del cuadrado II sin los cuatro triángulos.

a2 + b2 = h2

____a . b2

____a . b2

____a . b2

52

Si analiza qué representa la expresión obtenida verá que a y b sonlos catetos de cualquiera de los triángulos rectángulos y h es la hi-potenusa de esos mismos triángulos.

La nueva distribución de las figuras evidencia que hemos demos-trado que la propiedad se cumple para todos los triángulos rectán-gulos existentes.

El Teorema de Pitágoras permite hallar el tercer lado de un trián-gulo rectángulo cuando los otros dos son conocidos.

Por ejemplo: El tamaño de los televisores se indica según la longitud de la diagonalde su pantalla medida en pulgadas. Si un televisor tiene 16´´ (16 pul-gadas) de ancho y 12 de alto, ¿cuántas pulgadas tiene su diagonal?

Relea en el Libro 1 Módulo 3el tema medidas de longitud.

53

Si bien los bordes de la pantalla son algo redondeados, podemostomar a la mitad de la pantalla como un triángulo rectángulo, cu-yos catetos miden 12 y 16, y cuya hipotenusa queremos hallar. Por el Teorema de Pitágoras podemos escribir la ecuación

x2 = 122 + 162

x2 = 144 + 256x2 = 400

Preguntarse qué número al cuadrado es 400 equivale a preguntarse laraíz cuadrada de dicho número. Como el número 400 es positivo ten-drá dos soluciones una positiva y otra negativa. En este caso, como seestán considerando longitudes el resultado negativo no tiene sentido,por lo tanto se la desecha como respuesta para este problema.

Calculamos la raíz cuadrada de 400. x = ����x = 20El televisor es de 20´´

Al inicio de este tema se planteó que conocidos dos de los lados de untriángulo rectángulo el otro queda determinado. Usted construyó enuna actividad anterior no sólo hipotenusas, dados los catetos, sinotambién un cateto al tener como dato el otro cateto y la hipotenusa.

Al trabajar con el Teorema de Pitágoras, también se puede calcular al-guno de los catetos si es que se conoce la hipotenusa. Por ejemplo:

Una escalera de dos hojas tiene una longitud de 2,4 metros. Cuan-do está abierta, la parte que apoya sobre el suelo se separa 1,2 me-tros. ¿A qué altura está la parte más alta de la escalera?

400

Se traza en el gráfico la altura que corresponde al lado que quedaen el suelo; luego se considera uno de los dos triángulos rectángu-los que se forman al trazar la altura.

54

Quedaría el siguiente esquema:

En este triángulo la hipotenusa es conocida: 2,4 m, pues es el lar-go de la escalera. Uno de los catetos también es dato, 0,6 m (por serla mitad de la separación total). Queremos hallar el otro cateto, alque llamaremos x porque desconocemos su valor.

El Teorema de Pitágoras sostiene que:

“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Para nuestro triángulo será: (2,4 m)2 = (0,6 m)2 + x2

5,76 m2 = 0,36 m2 + x2

5,76 m2 - 0,36 m2 = x2

5,4 m2 = x2

entonces x = ������ = 2,32 m

Revise en el Libro 5 cómose resuelven ecuaciones.

5,4 m2

55

En este problema también se descartó el resultado negativo de la raízporque se está calculando una longitud. La escalera alcanza una al-tura de 2,32 metros.

Actividad Nº32Tal como se señaló en el Libro 5 muchas veces, es necesariohacer una figura de análisis que nos permita visualizar la si-tuación que se está considerando. Por ello le proponemos queal resolver los siguientes problemas comience por hacer la re-presentación gráfica de cada uno de ellos.

Para resolver los siguientes ejercicios utilice una calculadora yredondee los resultados considerando la cantidad de cifras per-tinentes a cada problema. Si lo considera necesario, puede vol-ver al Libro 4 para revisar el uso de la calculadora y redondeo.

Los bomberos tienen una escalera de 16 m. Se produjo un in-cendio de tal magnitud que por las llamas no existen posibili-dades de acercarse a más de 6 metros del pie del edificio, ¿has-ta qué altura se podrá realizar el rescate con esta escalera?

¿Cuántos metros debe caminar un chico para recuperar su ba-rrilete que cayó verticalmente al suelo desde la posición seña-lada por el dibujo?

a

b

c Se desea reforzar con dos barras de hierro soldadas el piso delbaúl rectangular de un auto, para que pueda cargar un tubode gas. Sus dimensiones son 70 cm de ancho y 90 cm de lar-go y las barras que queremos agregar cruzan el baúl en formadiagonal. ¿Cuál será la longitud de cada barra?

NQ = 7 cmOQ = 4 cmMP = 6 cm

56

¿Cuál es el perímetro del romboide MNPQ?d

e

__

____

Si doblamos un papel glasé -esos papeles de colores, cuadra-dos, de 10 cm de lado- por su diagonal, obtenemos un trián-gulo isósceles donde los lados iguales miden 10 cm. ¿Cuántomide su perímetro?

Cuando se trabajó sobre el teorema de Pitágoras vimos que para ha-llar el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se debesumar el cuadrado de los catetos. En la situación 1 era: 52 = 32 + 42.Si en lugar de hacer esta operación primero sumamos los catetos yluego los elevamos al cuadrado ¿el resultado será el mismo?

Verifiquemos si 32 + 42 es igual a (3 + 4)2.32 + 42 =9 + 16 = 25(3 + 4)2 = 72 = 49

Los resultados son distintos. Por lo tanto: (3 + 4)2 = 32 + 42

La conclusión anterior no es válida sólo para los números 3, 4 y 5. Con-sidere otros valores y comprobará que no es lo mismo sumar y luegoelevar al cuadrado que elevar al cuadrado y luego sumar las potencias.

/

Actividad Nº33En lenguaje simbólico (Libro 5) exprese la propiedad ante-rior generalizando para cualquier par de números y cual-quier exponente.

57

En los párrafos anteriores vimos que (a + b)2 = a2 + b2. Analicemosa qué es igual (a + b)2.

Puede aprovecharse el gráfico que utilizamos anteriormente.

La superficie de este cuadrado la obtenemos con (a + b)2, pero obser-vando los cuadriláteros en que quedó dividido el cuadrado podemosdecir que el área del cuadrado es equivalente a la suma de las áreasde los dos cuadrados a x a y b x b y de los dos rectángulos a x b.

Es decir que: (a + b)2 = a2 + b2 + a x b + a x b pero sumar dos ve-ces el mismo rectángulo es lo mismo que multiplicar por dos a x b,con lo que nos queda:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2 x a x b

Al hacer este análisis no tomamos un valor en particular de a o de b.El enunciado anterior es válido para cualquier par de valores a y b.

/

Actividad Nº34Exprese en lenguaje coloquial la propiedad del recuadro anterior.

A continuación le proponemos un conjunto de actividades que lepermitirán revisar algunos de los contenidos trabajados en los li-bros. No encontrará en los márgenes de las hojas la indicación pa-ra consultar otros materiales. En esta ocasión este trabajo lo deja-mos por su cuenta. Tampoco se incluyen las claves de correcciónde estas actividades. Trate de resolverlas usted solo y luego discutalas respuestas con sus compañeros y con su docente.

58

Actividad Nº35Fundación de Cartago

Acerca de la fundación de Cartago existe la siguiente leyenda:

“Dido, hija del rey de Tiro, perdió a su esposo asesinado por elhermano de ella. Como fue perseguida huyó hacia África de-sembarcando con muchos tirios en su costa norte.En ese lugar le compró al rey de Numidia, Iarbas (parece quequedó prendado de la belleza de Dido), tanta tierra como po-día delimitar un cuero de toro.Cuando el trato quedó cerrado la astuta reina cortó el cuerode toro en tiras muy estrechas. Gracias a ello, abarcó un terri-torio suficiente como para construir una fortaleza.Así, según la leyenda, se fundó el recinto fortificado de Car-tago en torno al cual se edificó después la ciudad que habríade traer tantos dolores de cabeza a los romanos."

Luego de la lectura del texto le proponemos que resuelva lassiguientes actividades.

Considere que la piel del toro está representada por una hoja depapel glasé, de diario, de cuaderno, y aplique la idea de Dido.

¿Es única la respuesta que usted puede dar con respecto a lasuperficie delimitada por el papel que cortó? ¿Por qué?

Suponga que un cuero de toro tiene una superficie rectangu-lar de 4 m2 y que la reina Dido lo cortó en tiras de 1 cm de an-cho, de forma rectangular y las colocó una a continuación deotra para obtener así una larga tira. ¿Cuál es la longitud deesa tira? Exprésela en metros.

Puede pensarse que el rey Iarbas, dándose cuenta del engañodel que lo hizo víctima Dido exigió como condición suple-mentaria que la piel del toro no pudiera ser cortada en variostrozos para posteriormente unirlos.

¿Podría haberse acotado de esta manera un terreno propiciopara fundar la ciudad? ¿Por qué? ¿Cómo?

c

b

a

Adaptación del texto de Geo-metría. Su enseñanza. Estruc-tura Modular 2. Prociencia. Co-nicet. Módulo I. Buenos Aires,1986. Texto original de Perel-man; Problemas y experimen-tos recreativos, Mir, Moscú,1975.

59

Cierre la tira como si fuera un hilo (desprecie el ancho de 1cm) y obtenga una poligonal cerrada de manera tal que seformen distintos rectángulos.

¿Cuál es la longitud de la poligonal?

Complete la siguiente tabla usando solamente múltiplos de 10para hallar el rectángulo que encierra la mayor superficie. ¿Porqué se acota el problema al usar solamente múltiplos de 10?

d

e

f

Medida de la base

Medida dela altura

Medida della perímetro

Medida dela superficie

¿Es posible encontrar una figura geométrica que encierre unamayor superficie que la hallada en el punto anterior? ¿Cuáles? Determínela.

Actividad Nº36En la ciudad de Ushuaia, durante el invierno pasado, se regis-traron durante una semana las siguientes temperaturas máxi-mas y mínimas:

DíaTemperatura mínima (°C)

Temperatura máxima (°C)

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

-10

-5

-6

0

1

-2

-1

- 2

3

- 2

4

7

6

7

60

¿Cuál fue la temperatura promedio (máxima y mínima) de lasemana?

¿Cuál fue la amplitud térmica de cada día de la semana?

¿Cuál fue el día más frío y cuál el menos frío? ¿Por qué?

Actividad Nº37En una determinada ciudad, la temperatura a las 10 de la ma-ñana era de 6°C. A las 20, el termómetro marcaba 5°C menos.A las 23 horas el termómetro marcaba 8°C menos que a las 10de la mañana.

¿Cuál era la temperatura a las 20 horas?

¿Cuál es la temperatura a las 23 horas?

¿Hace más frío a las 23 horas que a las 20? ¿Por qué?

Actividad Nº38Se tienen 64 esferitas iguales de 1 cm de diámetro. Hay que colo-carlas en una caja que tiene la forma de prisma recto rectangular.

¿Cuáles son las posibles medidas del largo, del ancho y del al-to de la caja para que quepan exactamente todas las esferitas?

¿Qué dimensión elegiría usted para construir la caja de mane-ra de usar la menor cantidad de material?

a

b

c

a

b

c

a

b

61

Actividad Nº39Un cubo contiene exactamente a una pelota. Otro cubo, igualal anterior, contiene exactamente 27 pelotitas todas iguales.

Si la pelota grande y las chicas están construidas con el mis-mo material, ¿cuál de los cubos pesa más? ¿Por qué?

Recuerde que la fórmula que permite calcular el volumen dela esfera es V(esfera) = 4/3 π r3, donde la letra r representa lalongitud del radio de la esfera.

Suponga que la arista de cada cubo es de 27 cm y que el diá-metro de cada esfera pequeña del segundo cubo tiene un diá-metro de 9 cm.

Actividad Nº40Calcule mentalmente

Sabiendo que una buena aproximación del número � es *

La longitud de una circunferencia cuyo radio es 7 cm.

La longitud de una circunferencia cuyo diámetro es de 28 cm.

Las dimensiones de un terreno cuadrado cuya superficie es 81 m2.

Las dimensiones que tendrá un tanque cisterna cúbico quetiene 1000 litros de capacidad.

a

b

c

d

* Esta aproximación de π la comenzó a utilizar el célebre Arquímedes.

__227

62

Actividad Nº41En algunos países utilizan una rueda métrica (o rueda metro orueda click) para medir la longitud de las canchas de fútbol,de terrenos, etcétera.

a

La rueda se desplaza, volviendo al punto inicial tras haber re-corrido justo un metro, y hace un click. (Cada click que se es-cucha marca que midió un metro.)

¿Qué diámetro debe tener la rueda para que la longitud de sucircunferencia sea de un metro?

Actividad Nº42En Rusia utilizan unos carros que tienen las ruedas delanterasmucho más pequeñas que las traseras.

¿A qué se debe que esas ruedas delanteras se gasten muchomás que las traseras?

Actividad Nº43Usted dispone de una soga cuyos extremos están unidos y cu-ya longitud es de 36 metros. Arme algunos rectángulos.

Escriba en una tabla los posibles valores naturales para la basey para la altura.

base 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

altura 17 16

63

b

c

d

e

Complete la siguiente tabla y responda: ¿cuál es el rectángu-lo que tiene la mayor superficie?

De acuerdo con la tabla anterior, ¿en qué se parecen todos losrectángulos encontrados?

Represente gráficamente en los siguientes ejes los valores ha-llados en el punto a.

Identifique cada una de las funciones anteriores.

base altura perímetro superficie

1

2

17

16

64

De “Diversiones Matemáticas”.Juegos y comentarios al margende la clase. Rafael RodríguezVidal. Reverté. Barcelona.1983

Actividad Nº44

Dice una vieja historia que cierto día acercóse un mozo a unvendedor de espárragos en el mercado, y así le dijo:-Ved que traigo conmigo este cordel que mide un palmo, ypregunto cuánto me cobraréis por el mazo de espárragos quepueda atar con él.Pidió el aldeano cinco reales y el mozo se mostró conforme,pagó y se llevó la mercancía. A los dos días presentóse el mo-zo y dijo al vendedor:-Aquí vuelvo con este cordón, que mide dos palmos. Os acor-daréis que por los espárragos que pude atar con el cordel deun palmo me cobrásteis cinco reales. Así que por el mazo queatemos con este cordón de dos palmos os pagaré diez reales silo véis justo.Aceptó el aldeano, aunque concluida la venta se quedó conuna cierta duda de si le habría o no engañado el comprador.¿Hubo engaño?

Analice usted el problema. Si es necesario grafique la situación.

Actividad Nº45La falta de proporcionalidad entre longitudes, superficies yvolúmenes tiene influencia en los gráficos estadísticos. Porejemplo, si se indica con una moneda cierta ganancia por laproducción de algún producto en una provincia y en otra sequiere indicar que hay el doble de producción, el gráfico quese hace puede llevar a confusión. Quedaría así:

Explique usted por qué decimos que llevaría a confusión.

65

De “Diversiones Matemáticas”.Juegos y comentarios al margende la clase. Rafael RodríguezVidal. Reverté. Barcelona.1983

—— —— —— —— —— —— ——

Actividad Nº46De cómo los indios de la isla de Vancouver conseguían trazarlas líneas destinadas a fijar la planta de una casa cuadrada,según Dirk J. Struik.

“Desde un punto que había de estar en el centro de la líneafrontal del edificio, tendían una cuerda hasta el medio de lalínea posterior. Después de señalar con estacas esos dos pun-tos, partían la cuerda en dos mitades y extendían una mitad ala derecha y la otra a la izquierda de la estaca frontal.Luego, empleando otra cuerda para medir la distancia desdela estaca trasera hasta los extremos de la cuerda delantera,ajustaban esta última hasta que las distancias entre la estacaposterior y las dos esquinas frontales fuesen iguales. Así, lalínea frontal queda exactamente colocada en ángulo rectocon la línea del centro. Los ángulos traseros se determinabandel mismo modo."

FP = AF + FB; AF = FB; PA = PB

Explique las propiedades de las alturas de los triángulos.

Se debe a una aplicación práctica de una propiedad de las alturas de los

triángulos.

P

A

B

66

Actividad Nº47Ordene los siguientes recipientes de acuerdo con su capacidad:

Botella de lavandina 2 lBotella de vino de (750 cm3)Botella de gaseosa 1500 cm3

Cartón de leche 500 cm3 tetrabrikBalde 1 dalBalde 8 l

Actividad Nº48La piscina de un club tiene 25 m de largo por 7,5 m de anchopor 2,5 m de profundidad. ¿Cuánto tarda en llenarse si labomba echa 120 l de agua por minuto?

Si se cambia el agua cada 15 días y permanece abierta 3 mesesen el verano, ¿cuántos hl de agua se consumen en la temporada?

Actividad Nº49Explique con sus palabras la siguiente secuencia de gráficos de laizquierda y determine a qué fórmula de superficie es posible arribar.

Exprese simbólicamente los diferentes pasos.

Actividad Nº50Se desea alambrar con tres hilos una plazoleta triangular cuyos la-dos miden 30, 50 y 80 m. ¿Qué cantidad de alambre será necesario?

Si se debe usar la misma cantidad de alambre, también dando tresvueltas, ¿qué dimensiones debería tener una plazoleta cuadrada?

a

b

a

b

a

b

34__

67

a

b

a

b

Actividad Nº51Queremos plastificar el piso de un salón cuyo perímetro es de 24m. Le dicimos al vendedor que nos pase el presupuesto. Cuesta$ 40 el metro cuadrado. El empleado nos dice son $1.440. Peronosotros discutimos pues el cálculo nos dio $1.280.

Explique a qué se debe la diferencia.

Actividad Nº52Si se conoce cuánto mide la diagonal de una plaza cuadrada,

• ¿es posible hallar su superficie?

• trate de relacionar al cuadrado con los otros cuadriláterosque conoce. En especial, ¿de cuáles de ellos se usa la dia-gonal para hallar la superficie?

Fundamente su respuesta.

¿Qué relaciones es posible establecer entre las superficies de lostriángulos (ABM, ABN, ABP, ABQ) y la del paralelogramo ABCD?

Actividad Nº53Dibuje un trapecio cuya base menor mida 8 cm, su base mayor12 cm y su altura 6 cm. ¿Puede hallar una única solución?

Las siguientes afirmaciones ¿son verdaderas o falsas?

“Para definir un trapecio alcanza con conocer las medidas de sus bases y su altura."

“Para definir un rectángulo basta conocer su largo y su ancho."

“Para definir un cuadrado es suficiente con conocer la medida de su lado."

68

a

b

c

d

Actividad Nº54Considere un cuadrado de lado 1. Si marca los puntos mediosde los lados y los une obtiene otro cuadrado cuya área es .Compruébelo.

12__

12__

Cómo haría para ampliar una pileta de beber al doble del es-pejo de agua si le dan la siguiente información:

La pileta es cuadrada; su borde es de 100 m y en cada esqui-na hay cuatro ombúes que no se pueden arrancar.

¿Qué sucederá con el perímetro de la nueva pileta? Le damosuna ayuda: en la nueva pileta, los ombúes quedan exacta-mente en el punto medio de cada borde de la pileta.

Si la pileta tiene m de profundidad, ¿cuánta agua conten-drá la primera pileta? ¿Y la ampliada?

69

a

b

c

Actividad Nº55El siguiente gráfico representa la distribución de los habitan-tes de una provincia agrupados por edades (en intervalos de10 años) y por sexo.

¿A qué edad la cantidad de mujeres y de varones es la misma?

¿En cuál de los intervalos de edades se da la mayor despro-porción entre varones y mujeres?

¿Cuál es, aproximadamente, la cantidad de mujeres que hayen la ciudad entre 41 y 50 años?

varones mujeres200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

en m

iles

de h

abita

ntes

0 a10 11 a 20 21 a 30 31 a 40 41 a 50 51 a 60 61 a 70 71 a 80 más de80

70

Actividad Nº56La exportación de cereales de un país varió a través de losaños según el siguiente gráfico.

a

b

c

d

¿Cuál era, aproximadamente, la exportación en el año 1900?

¿En que período aumentó (porcentualmente) más la exportación?

¿En cuántas toneladas se incrementó la exportación entre1890 y 1980?

¿Cuál es el porcentaje de incremento que calculó en el puntoanterior?

71

Actividad Nº57Imagine que usted es un periodísta. En la editorial le solicitanque escriba un artículo periodístico sobre el consumo de ta-baco en la Argentina para el sumplemento del diario del do-mingo. Para facilitar su tarea le indican el titular y el copeteque deberá tener la nota y los gráficos que debe incluir.

Escriba el artículo.

Hay humo en el negocio del tabacoCómo reacciona la industria argentina de los cigarrillos frente al estan-camiento que, desde hace cinco años, afecta al consumo local.

Referencias Si fuma No fuma

58,2 66,933,141,8

HOMBRES MUJERES

¿USTED FUMA?

Referencias: Si Fuma No Fuma

Clarín, 22 de agosto de 1999.

72P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

73

Claves de Corrección

Actividad Nº1a

b

c

d

Se pueden armar dos paralelogramos, el rectángulo, dos triángulos y

un romboide.

El área de todas ellas es equivalente a la del rectángulo original, por

lo tanto es de 12 cm2

74

El perímetro del rectángulo es de 14 cm.

El de uno de los paralelogramos es de 16 cm y el del otro es de 18 cm

El perímetro de los triángulos isósceles es de 18 cm en un caso y de

16 cm en el otro. El perímetro del romboide es de 14 cm.

Las superficies son todas equivalentes pero los perímetros no lo son.

Hay figuras que tienen la misma superficie y el mismo perímetro

pero distinta forma.

Actividad Nº2En los cuatro casos las superficies son equivalentes, porque están

armadas con las mismas piezas. Dado que el lado del cuadrado que

se forma tiene 10 cm, su superficie es de 100 cm2, que como ya se

dijo es la medida de la superficie de todas las figuras.

e

f

a

b El perímetro del cuadrado es de 40 cm, el del rectángulo de 42,42

cm, el del paralelogramo de 48,28 cm, y el del triángulo de 48,28 cm.

75

a

b

c

Actividad Nº3

En este caso dibujamos sólo una de los rectángulos posibles para

cada medida.

La relación que existe entre los lados de rectángulos que tienen

igual superficie es de proporcionalidad inversa, porque al variar uno

el otro necesariamente varía en la proporción inversa (doble-mitad,

triple-tercio,etc). Lo que se mantiene constante es el producto entre

los lados, es decir la superficie del rectángulo.

Superficie Perímetrolado 1 Lado 21 cm2 cm4 cm5 cm10 cm20 cm

20 cm10 cm5 cm4 cm2 cm1 cm

20 cm2

20 cm2

20 cm2

20 cm2

20 cm2

20 cm2

42 cm24 cm18 cm18 cm24 cm42 cm

Los perímetros son diferentes, aunque los rectángulos tengan

superficies equivalentes.

76

a

b

a

b

c

Actividad Nº4

Superficielado 1 Lado 21 cm2 cm3 cm4 cm5cm

9 cm8cm7 cm6 cm5 cm

9 cm2

16 cm2

21 cm2

24 cm2

25 cm2

perímetro

superficie

A8 cm

4 cm2

8 cm

3 cm2

El cuadrado es el rectángulo de perímetro 20 cm y es el que posee

mayor área.

Actividad Nº5

B8 cm

2 cm2

C D12 cm

9 cm2

12 cm

8 cm2

E12 cm

7 cm2

F

El perímetro permanece constante pero el área va disminuyendo.

La figura D con el mismo gasto en paredes que las otras (E y F)

abarcaría una mayor superficie.

La figura con menor área y mayor perímetro siguiendo esa

secuencia sería

Esta figura tiene 4 cm2 de superficie y 16 cm de perímetro. Se puede

observar que el perímetro no es sólo la medida del borde “externo" ,

sino también el del otro borde. Piense que si tuviese que cercar este

terreno tan particular debería rodear los cuatro cuadrados.

77

a

b

c

Actividad Nº6El perímetro de cada terreno se calcula:

Terreno A:

Per (A) = 2 . largo + 2 . ancho

Per (A) = 2 . 75 m + 2 . 25 m

Per (A) = 150 m + 50 m

Per (A) = 200 mTerreno B:

Per (B) = 2 . largo + 2 . ancho

Per (B) = 2 . 80 m + 2 . 20 m

Per (B) = 160 m + 40 m

Per (B) = 200 m

Ambos terrenos tienen el mismo perímetro

La superficie de cada terreno se calcula:

Terreno A:

Sup (A) = largo x ancho

Sup (A) = 75 m x 25 m

Sup (A) = 1875 m2

Terreno B:

Sup (B) = largo x ancho

Sup (B) = 80 m x 20 m

Sup (B) = 1600 m2

Ambos terrenos tienen distinta superficie.

Al considerar sólo las dimensiones es probable que usted haya

elegido el primer terreno ya que ocupa mayor superficie pero el

precio es el mismo. No obstante para la compra de un terreno se

consideran otros aspectos. Podría suceder que los terrenos del

primero se inundaran y los del segundo no. Podría tener muy difícil

acceso, o estar muy alejado de centros comerciales. Depende de

para qué lo quiera debería contemplar otras muchas variables.

78

Actividad Nº7Para calcular el perímetro del rectángulo es necesario conocer la

medida de los lados. Sólo se tiene como dato uno de los lados. Pero

se sabe que su superficie es equivalente a la de un cuadrado del que

se puede calcular la superficie, por conocer la medida del lado. Si se

halla la superficie del rectángulo se podrá entonces calcular el lado

que falta para calcular el perímetro.

Superficie del jardín cuadrado:

(19,8 m )2 = 392,04 m2

Superficie del jardín rectangular = 392,04 m2

392,04 m2 = 29,7 m x ? m

En este caso se tiene una ecuación donde la incógnita está multipli-

cada por 29,7 m Por ello se dividen ambos miembros por ese valor,

para poder simplificar en el segundo miembro y que el valor busca-

do quede despejado.

392,04 m2 = 29,7 m x X m

29,7 m 29,7 m

El lado desconocido del jardín rectangular se encuentra dividiendo

la superficie por el lado conocido:

392,04 m2 : 29,7 m = X m

392,04 m2 : 29,7 m = 13,2 m

Para calcular el perímetro de un rectángulo hay que sumar el doble

de cada lado, pero es lo mismo que hallar el doble de la suma de los

dos lados (que es el semiperímetro o la mitad del perímetro)

Perímetro del jardín rectangular: 2 x ( 29,7 m + 13,2 m) = 85,8 m

Perímetro del jardín cuadrado : 19,8 m x 4 = 79,2 m

El perímetro del cuadrado se puede calcular multiplicando por 4 la

medida de cada lado:

Perímetro del cuadrado = 4 . lPerímetro del cuadrado = 4 . 19,8 m

Perímetro del cuadrado = 79,2 m

______ ________

79

a

b

a.1

Actividad Nº8La superficie del cuadrado está en función del lado. Varía según el

cuadrado del lado.

En el Libro 3 se señaló que la función que representa esta relación es:

Superficie del cuadrado = lado2

Por lo tanto la superficie del cuadrado es directamente propor-cional al cuadrado del lado.

Actividad Nº9Existen diversas posibilidades para calcular las superficies de las

diferentes secciones de las estructuras de acero. Aquí le planteamos

sólo algunas.

Se tienen dos trapecios pequeños y dos más grandes.

Se necesita saber cuánto mide la base menor del trapecio pequeño.

Se encuentra restando a 8 cm que es la base mayor, dos veces 2 cm.

Se obtiene así 4 cm.

La superficie del trapecio más pequeño se calcula sumando las bases

(en este caso 4cm y 8 cm), multiplicándolas por su altura (en este

caso 2 cm) y dividiendo el resultado por 2.

Superficie del trapecio pequeño =

Superficie del trapecio pequeño =

Aquí se puede simplificar el 2 del numerador (porque está multipli-

cando) con el del denominador. Así el resultado será 12 cm2.

Si se procede en forma similar con el otro trapecio se verá que sus ba-

ses miden 8 cm y 12 cm y que la altura también es de 2 cm. Por ello la

de cada trapecio grande será de 20 cm2.

Por estar la estructura formada por dos de los trapecios pequeños

(de 12 cm2 cada uno) y dos de los trapecios más grandes (de 20 cm2

cada uno) la estructura total tendrá 64 cm2.

(B + b) x H2

________

(8cm+4cm ) x 2 cm

2_______________

80

a.2

b

Superficie total= 2 . sup. trapecio pequeño + 2 . sup. trapecio grande

Superficie total= 2 x 12 cm2 + 2 x 20 cm2

Superficie total= 24 cm2 + 40 cm2

Superficie total= 64 cm2

Se tiene un rectángulo grande al que se le puede restar el más peque-

ño. Esta es más sencilla porque hay que calcular la superficie de dos

rectángulos.

Uno de ellos tiene 12 cm x 8 cm y el otro tiene 8 cm x 4 cm. Por lo

tanto la superficie de uno será de 96 cm2 y la del otro de 32 cm2, que

restadas darán los 64 cm2.

La superficie de la segunda figura se puede calcular de diferentes

maneras según sean los rectángulos que se consideren.

Pueden tenerse en cuenta los rectángulos.

O también los rectángulos:

Una tercera opción, esta vez para restar superficies es:

81

Si se consideran los rectángulos de 15 cm x 5 cm y el de 4 cm x 7 cm

Se tiene que la superficie del primer rectángulo es de 75 cm2 y la del

segundo es de 28 cm2. Por lo tanto la superficie total es de 103 cm2

Si se considera el segundo gráfico:

El valor de la base del rectángulo de la izquierda se halla como dife-

rencia entre la base de la figura (15 cm) y el lado que mide 7 cm. O

sea que el rectángulo de la izquierda tendrá por superficie 40 cm2

pues 8 cm x 5 cm= 40 cm2 .

El rectángulo de la derecha tiene como base 7 cm y la altura se la pue-

de obtener como la suma de 4 cm y 5 cm. Por lo que las dimensiones

de este rectángulo son 7 cm y 9 cm. Su superficie será 63 cm2

La superficie total es entonces 40 cm2 + 63 cm2 = 103 cm2. Como ya

se había obtenido con la otra descomposición de la figura.

En la tercera de las opciones se puede restar a un rectángulo de 15 cm

por 9 cm la superficie de un rectángulo de 4 cm por 8 cm. Por lo

tanto será 135 cm2 menos 32 cm2, con lo que también se halla el

resultado buscado.

Actividad Nº10Si el perímetro del cuadrado es de 36 cm significa que cada lado mide

9 cm, porque al perímetro total (la suma de los cuatro lados iguales)

se lo divide por 4 (cantidad de lados iguales). Por lo tanto la medida de

su superficie será de 81 cm2, dado que la medida de la superficie se

calcula elevando al cuadrado la medida del lado.

Para calcular la medida de la superficie de un paralelogramo tiene que

multiplicarse la base por su altura. Si se conoce la superficie que es de

81 cm2, y la base mide 6 cm se puede plantear una ecuación donde la

incógnita será la longitud de la altura (h).

Superficie del paralelogramo = base x altura

81 cm2 = 6 cm x h

Basta con dividir ambos miembros por 6 cm para poder simplificar

en el segundo miembro. =

y quedará: = h

H = 13,5 cm

a

b

81 cm2

6 cm_____

81 cm2

6 cm_____

6 cm x h

6 cm_______

82

Actividad Nº11Ambas figuras tienen dos lados de 7 cm y dos lados de 5 cm. Por lo

tanto el perímetro de ambas es de 24 cm.

La superficie del rectángulo será mayor porque la altura del paralelo-

gramo tiene una longitud menor que la del rectángulo.

La base del paralelogramo es de 7 cm y la altura es de 4 cm según el

gráfico. Por lo tanto la superficie es de 28 cm2

En el caso del rectángulo la base es de 7 cm y la altura de 5 cm, por lo

tanto la superficie es de 35 cm2

Actividad Nº12

a

b

c

83

Aquí se muestran sólo algunas de las posibles construcciones.

Depende de la que usted haya hecho el valor de la superficie. En

todos los casos el volumen será de 27 unidades cúbicas.

Actividad Nº13

Todos los volúmenes son equivalentes. Si se considera como unidad

al volumen de un cubo, en todos los casos el volumen será de 8

unidades cúbicas (u3)

Actividad Nº14En todos los casos la medida de la superficie total es de 52 unidades

cuadradas mientras que en cada uno cambia la medida del volumen.

El cuerpo A mide 23 u3, el cuerpo B mide 22 u3 y el C 21 u3.

84

Actividad Nº15a Los valores corresponden a los cuadrados y a los cubos de los

números de la primera columna.

b El volumen del cubo puede calcularse elevando al cubo la medida

de la arista, por lo tanto su expresión general será:

V = a3

En esta función queda explícito que el volumen del cubo es direc-tamente proporcional al cubo de la arista.

Actividad Nº16

a

b

a

b

c

largo en dm

1 dm2 dm4 dm16 dm32 dm64 dm16 dm

ancho en dm

8 dm4 dm4 dm2 dm2 dm1 dm4 dm

alto en dm

8 dm8 dm4 dm2 dm1 dm1 dm1 dm

volumen en dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

64 dm3

superficie en dm2

160 dm2

112 dm2

96 dm2

136 dm2

196 dm2

258 dm2

168 dm2

La caja cuyas dimensiones son 4 dm x 4 dm x 4 dm (es decir, una

caja cúbica).

La que permite construir un cubo porque necesitaría menor canti-

dad de chapa.

Actividad Nº17Al ser los cubos de un mismo material y macizos el equilibrio de los

pesos implica el equilibrio de los volúmenes.

En todos los casos el volumen a calcular corresponde a cubos, por lo

tanto habrá que elevar al cubo las aristas correspondientes (puede

ayudarse con la tabla de cubos del Libro 3 o usar la calculadora).

85

a

b

Así se tiene que el cubo de 6 m de arista tiene un volumen de 216 cm3,

el de 8 cm tiene 512 cm3, el 10 cm tiene 1000 cm3 y el de 12 cm tiene

1728 cm3 de volumen.

El volumen del último cubo es de 1728 cm3, que equivale a la suma de

216 cm3, 512 cm3 y 1000 cm3.

Habría que poner juntos los cubos cuyas aristas miden 6 cm; 8 cm y

10 cm mientras que el cubo más grande habría que colocarlo en el

otro platillo de la balanza para obtener el equilibrio.

Actividad Nº18Para calcular la superficie cubierta con pasto hay que restarle a la su-

perficie del cuadrado la superficie del círculo.

En este caso si el perímetro del cuadrado es de 400 cm significa que

cada lado de la plaza mide 100 cm. Por lo tanto la superficie del cua-

drado será de 100 m2, o sea 10.000 cm2.

La longitud del diámetro del círculo es igual a la longitud del lado del

cuadrado, por lo tanto su radio será la mitad de 100 cm, es decir 50 cm.

Conocido el radio se puede calcular la superficie del círculo multipli-

cando su cuadrado por el número PI. Así se obtiene que la superficie

del cuadrado es de 7850 cm2.

Como la superficie a cubrir de pasto es la diferencia entre las dos super-

ficies calculadas, bastará con restar a los 10.000 cm2 del cuadrado los

7850 cm2 del círculo. Por lo tanto la superficie buscada es de 2150 cm2.

La superficie de cada círculo se puede obtener conociendo el radio.

Como cada diámetro es la mitad del lado del cuadrado, sus radios

serán la cuarta parte de dicho lado. O sea que cada radio tiene 25 cm.

La superficie de cada círculo pequeño es de 1962.5 cm2, porque 25 al

cuadrado es 625 y a este resultado hay que multiplicarlo por π, que

se lo considera con dos decimales de aproximación, o sea 3,14.

86

a

b

Como hay cuatro círculos iguales bastará con multiplicar por cuatro

la superficie hallada para uno de ellos. Así se obtiene que la

superficie que deberían cubrir las flores es de 7850 cm2, que es la

misma que la hallada anteriormente. Por lo tanto en cualquiera de

los dos casos la superficie de pasto sería equivalente.

Actividad Nº19Si la superficie es de una hectárea y el terreno tiene forma de

cuadrado, entonces cada lado mide 100 m de largo. Por lo tanto su

perímetro será de 400 m.

Los tres campos posibles son:

En cualquiera de los tres casos se tiene que calcular la superficie del

rectángulo, que no variará para cualquiera de las dos posibilidades, y

sumarle la superficie del triángulo.

La superficie del rectángulo se obtiene multiplicando las medidas de

los lados, por lo tanto será de 2.000 m2.

A partir de ahora consideraremos las dos primeras figuras. Si usted

quiere encontrar la tercera consulte con su docente.

En cualquier triángulo rectángulo un lado del ángulo recto es la al-

tura correspondiente al otro. Por lo tanto, en los triángulos isósceles

que consideramos se tiene como datos un lado y su correspondien-

te altura. En este caso la altura y el lado del triángulo son iguales.

Dado que la superficie del triángulo es

Sup. del triángulo = Base x altura2

_________

87

En el caso del triángulo rectángulo en el que uno de los lados coincide

con el lado menor del rectángulo, o sea el que mide 40 m , se tendrá:

Sup. del triángulo =

Sup. del triángulo = 800 m2

Si a este valor se le suma la superficie del rectángulo (2.000 m2) se

tiene que el campo medirá 2800 m2

Si se considera el triángulo rectángulo cuyos lados iguales miden 50

m entonces la superficie será:

Sup. del triángulo =

Sup. del triángulo = 1250 m2

En este caso la superficie total del terreno será de 3.250 m2.

Actividad Nº20Para poder analizar mejor el problema conviene hacer una figura de

análisis:

40 m x 40 m2

__________

50 m x 50 m2

__________

La superficie total será la suma de las superficies de los dos semicír-

culos y del trapecio. Por lo tanto hay que calcular cada una de ellas.

Debe tenerse en cuenta que las bases del trapecio se corresponden

con el diámetro de los círculos, o sea que hay que dividirlos por dos

para calcular los radios.

88

Superficie del círculo= π . R2

Por lo tanto la superficie del semicírculo será:

Superficie del semicírculo =

Superficie del semicírculo 1 =

Superficie del semicírculo 1 =

Superficie del semicírculo 1 = 157 cm2

Superficie del semicírculo 2 =

Superficie del semicírculo 2 = 76.93 cm2

La superficie del trapecio es:

Sup. del trapecio =

Sup. del trapecio =

Sup. del trapecio= 204 cm2

Por lo tanto la superficie total de la figura es de 437.93 cm2.

Para ver el mínimo tamaño de la cartulina en la que se la dibujará hay

que considerar que entren las longitudes totales de ancho y largo. Es

decir se inscribe la figura en un rectángulo:

π . R2

2____

π . (10 cm)2

2_________

π . (7 cm)2

2________

(B + b ). h2

_______

(20 cm +14 cm). 12 cm2

__________________

π . 100 cm2

2_________

Como se puede observar el ancho será el del diámetro del círculo mayor

(o sea la base mayor del trapecio) y la otra medida es la suma de la altura

del trapecio y de los dos radios de los círculos. Por lo tanto el ancho será

de 20 cm y el largo de la cartulina deberá ser de 29 cm.

89

a

a

b

c

a

a

b

c

Actividad Nº21Existe relación de proporcionalidad directa entre los lados respecti-

vos de los triángulos considerados porque hay una constante de

proporcionalidad que es la razón de semejanza.

Consulte su respuesta con su docente.

Actividad Nº22Cada ángulo de la primera figura tiene un ángulo respectivo en la

segunda que es igual.

Consulte con su docente su respuesta

Los resultados dependerán de las mediciones que usted haya hecho,

sin embargo si están relativamente bien medidos serán todos apro-

ximadamente a o 0,33.

Actividad Nº23La segunda figura será el cuádruple de la primera.

Es una reducción, por lo tanto la segunda será la mitad de la primera

figura.

Si la razón es 1 significa que los lados son iguales, por lo tanto las

figuras también lo son.

Actividad Nº24La escala indicada expresa que por cada 1 cm dibujado la distancia

real es de 400.000 cm. Por lo tanto si se tienen 4 cm se tendrán

1.600.000 cm reales, que se puede expresar como 1,6 x 106cm. Sin

13

__

90

b

c

embargo distancias tan grandes no suelen expresarse en cm sino en m

o km. Si se lo expresa en metros se tendrá 1,6 x 104 m. Si se lo expre-

sa en kilómetros no se justifica utilizar notación científica pues es 16

km (1,6x 101).

Cada una de las medidas reales deberá ser divida por 72.

Por cada cm representado hay 200.000 m reales, que es lo mismo

que decir 200 km, por lo tanto

200 km . . . . . . . . . . . . . . .1 cm

360 km . . . . . . . . . . . . . . . x

Como se trata de escala es una proporcionalidad directa:

X= 1,8 cm

Actividad Nº25Tal como se vio en la primera parte de este libro, al duplicar el lado

de un cuadrado lo que sucede con la superficie de la figura es que se

cuadruplica. Por lo tanto si se duplicara cada lado de la fotocopia la

superficie de la figura estaría cuadruplicada. Y si se redujera cada la-

do a su mitad la superficie sería la cuarta parte, o sea un 25% de la

superficie original. Recuerde que la relación de proporcionalidad

que se da es inversa.

El cliente solicitó el 50% de la superficie y recibió el 25% de la mis-

ma. A esto se debió su enojo.

El comerciante interpretó, como siempre lo hacen en ese tipo de co-

mercio, el 50% de los lados y de la diagonal. Como usted sabe así se

obtiene el 50% del perímetro pero no el 50 % de la superficie.

360 km . 1 cm200 kmX = _____________

91

a

b

c

Actividad Nº26Consulte su respuesta con el docente.

En este caso conviene hacer una figura de análisis.

La distancia desde el observador hasta el edificio es de 60 m. La dis-

tancia del mismo observador hasta un poste cuya altura es de 2 m

es igual a 5 m. Tanto el poste como el edificio están en la misma lí-

nea de observación y el observador mira al ras del suelo.

En este caso por ser la misma línea de observación el ángulo de los

triángulos que se forman es el mismo. Por lo tanto los tres ángulos

respectivos de los dos triángulos son iguales ( el tercero lo es porque

uno de cada uno de ellos es recto) La relación que se da entre dos de

los lados tiene que tener la misma razón de semejanza que los otros

dos, por lo tanto:

se calculó la razón de semejanza considerando el cociente entre la

distancia al edificio (60 m) y la distancia al poste (5 m). La razón es

12, por lo tanto a 2 m que es la altura del árbol habrá que multipli-

carla por 12. El edificio tiene una altura de 24 m.

Si la fotografía redujo a la quinta parte la altura de cada persona

entonces a las alturas que están representadas en las fotos hay que

multiplicarlas por 5. Por lo tanto una persona tendrá 180 cm que es

92

a

lo mismo que decir 1.80 m y la otra 182,5 cm. En general las alturas

de las personas se expresan en metros y con una precisión no menor

a los centímetros por lo tanto si se redondea se dirá que la persona

mide 1,83 m. Si lo necesita recuerde que redondeo puede repasarlo

en el Libro 4.

d

e

Las longitudes de los lados del plano serán de 4, 5 y 7 cm respecti-

vamente, pues cada cm representa 100 cm que equivale a decir que

1 cm representa 1m.

Por tratarse de una foto, que es una representación a escala de la

realidad, las figuras que se forman, por ser semejantes, tendrán los

lados respectivos directamente proporcionales. Es decir que existe

una razón de semejanza que es la escala que tiene la representa-

ción. En este caso para hallarla se divide la longitud real del dino-

saurio más grande (36 m = 3600 cm) por su representación en la

foto (11,5 cm). La razón de semejanza es de 313.

Es decir por cada centímetro se indican 3.13 m. Así la longitud del

dinosaurio más pequeño es de 20.35 m, que se obtiene de multipli-

car la razón de semejanza por la longitud representada en la foto.

Actividad Nº27Por tratarse de triángulos rectángulos ya se conoce el valor de un

ángulo. Si usted elige previamente la longitud de dos de los lados

solo podrá dibujar un triángulo rectángulo, pues con estos datos el

tercer lado ya queda determinado.

No importa si la longitud de los lados que eligió son los dos que co-

rresponden a los lados del ángulo recto , o es el lado opuesto y uno

de los lados del ángulo recto.

93

a

b

Actividad Nº28

Si hay que representar 1m dibujando una longitud de 1cm, entonces

la escala que se le propone es de 1cm : 1m.

La hipotenusa mide 5 cm. Por lo tanto la longitud de la escalera será de 5 m.

La razón de semejanza es la escala utilizada, expresada las longitu-

des en las mismas unidades. En este caso: 1 cm: 100 cm, lo que equi-

vale a decir que la razón de semejanza será 1/100, o sea 0,01.

Actividad Nº29En este caso como en el anterior usted no está haciendo una figura

de análisis. Está dibujando en escala para poder medir una longitud

que desconoce.

Los 12 m de la antena se transformarán en 12 cm en el dibujo y los

5 m de distancia entre el pie de la antena y el borde de la terraza en

5 cm. Por lo tanto el dibujo queda:

94

a

b

a

b

La hipotenusa mide aproximadamente 13 cm. Por lo tanto la longi-

tud del acero será de 13 m considerando que en la escala utilizada

1 cm representa 1 m.

Actividad Nº30El tamaño del dibujo depende de la escala que usted haya elegido.

La longitud del sendero dibujada dependerá de la escala, pero la del

sendero real será de 150 m.

Para mayor seguridad sobre sus respuestas le sugerimos consultar la

respuesta con su docente.

Actividad Nº31Los catetos del triángulo miden 5 m y 12 m. Se pide calcular:

c12 +c22 = x

En este caso:

(5m)2 + (12 m)2 = 25 m2 +144 m2 = 169 m2

Si se eleva al cuadrado la hipotenusa calculada por medición (13 m)

también se obtiene 169 m2.

Para las medidas de los bordes de la plaza y el sendero se realizará el

mismo procedimiento solicitado, en este caso las medidas corres-

ponden a 90 m y a 120 m.

(90 m)2 + (120 m)2 = 8.100 m2 +14.400 m2 = 22.500 m2, que coincide

con (150 m)2

Observe que las medidas de cada cateto se las coloca entre parénte-

sis porque también a la unidad hay que elevarla al cuadrado.

95

a

b

Actividad Nº32En este caso se conoce la longitud de la hipotenusa y uno de los ca-

tetos. Por ello se puede plantear una ecuación donde la incógnita

sea el otro cateto.

SI hipotenusa2 = cateto12 + cateto22

(16 m)2 = (6 m)2 + cateto22

Para despejar la incógnita hay que restar (6 m)2 a ambos miembros

para que se pueda cancelar los (6 m)2 que están sumando con los

que están restando y se mantenga la relación de igualdad.

(16 m)2 - (6 m)2 = (6 m)2 + cateto22 - (6 m)2

(16 m)2 - (6 m)2 = cateto22

Con lo cual para obtener el cuadrado de un cateto tendrá que elevar

al cuadrado la medida de la hipotenusa y restarle el cuadrado del

otro cateto. En este caso:

256 cm2 - 36 cm2 = cateto22

220 cm2 = cateto22

Por lo tanto se tiene que hallar la raíz cuadrada del número 220 por-

que ese será el número que elevado al cuadrado tenga por resultado

220. Como usted ya sabe hay dos resultados posibles, uno positivo y

el otro negativo, pero como se está trabajando con longitudes sólo

se considerará el resultado positivo:

Cateto2 = �������

Cateto 2= 14.83 cm

Ya se analizó en el item anterior que para calcular un cateto hay que

obtener la raíz cuadrada de la diferencia entre el cuadrado de la

hipotenusa (h) y el cuadrado del otro cateto (c). En este caso será:

X = ������X = �������������X = �������������X = ������X = 8 m

220 cm2

h2 - c2

(17 m)2 - (15 m)2

289 m2 - 225 m2

64 m2

96

d

c En este caso se quiere calcular la longitud de la hipotenusa. Por lo

tanto:

h2 = c12 + c22

h2 = (70 cm)2 + (90 cm)2

h2 = 4900 cm2 + 8100 cm2

h2 = 13000 cm2

h = ���������h = 114,02 cm

Cada barra mide 114,02 cm

Como NQ mide 7 cm y OQ mide 4 cm se deduce que NO mide 3 cm.

Además MO y OP miden 3 cm cada uno pues MP es cortado en partes

iguales por la diagonal mayor NQ. Entonces utilizando el Teorema de

Pitágoras se pueden hallar los lados MN y NP

MN = NP = ������������� = ������

Luego también utilizando el Teorema de Pitágoras se puede calcular

la medida de los lados MQ y PQ.

MQ = PQ = ������������� = ������

Finalmente el perímetro del romboide MNPQ se halla así

2 x (4,24 cm+ 5 cm) = 18,48 cm

13000 cm2

__ __ ____ __ __

____ __

___ __

___

___

__

(3 cm)2 + (3 cm)2 18 cm2 ≈ 4,24 cm

(3 cm)2 + (4 cm)2 25 cm2 = 5 cm__

M

M

Q

P

P

N

97

e

O también se podría hallar

2 x 4,24 cm + 2 cm x 5 cm = 8,48cm + 10 cm = 18,48 cm

El perímetro del romboide es aproximadamente 18,48 cm.

Para calcular el perímetro es necesario conocer la medida de la

diagonal del cuadrado que es la hipotenusa de un triángulo

rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 cm. Por lo tanto

habrá que calcular la raíz cuadrada de 200 cm2 que es 14,14 cm.

Actividad Nº33Cualquier par de números se los representará con las letras a y b. Se

usan dos letras distintas para indicar que son dos números diferen-

tes (aunque en algún caso particular puedan ser iguales). Si el expo-

nente puede tomar cualquier valor deberá ser simbolizado con otra

letra, por ejemplo n.

Por lo tanto la expresión quedará

an + bn = (a + b)n

Actividad Nº34El cuadrado de una suma de dos términos, es igual al cuadrado del

primer término más el cuadrado del segundo más el doble producto

del primer término por el segundo.

/

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I

Papel cuadriculado de 1 cm de lado

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I

Papel cuadriculado de 1 cm de lado

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I

Papel cuadriculado de 1 cm de lado

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I

Papel cuadriculado de 1 cm de lado

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I I

Panal de abeja. Desarrollo.

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I I I

Desarrollo de cubos.

M a t e m á t i c a 6

A N E X O I I I

Desarrollo de cubos.

6Matemática

Ter

cer

Cic

lo d

e E

du

caci

ón

Gen

eral

Bás

ica

par

a A

du

lto

s

MO

DA

LID

AD

SE

MIP

RE

SE

NC

IAL

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Mate

máti

ca6

6