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MATEMÁTICA 4

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GOBERNADORA DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRESLic. María Eugenia Vidal

DIRECTOR GENERAL DE CULTURA Y EDUCACIÓNLic. Gabriel Sánchez Zinny

SUBSECRETARIO DE EDUCACIÓNLic. Sergio Siciliano

DIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOS Prof. Ing. Pedro Schiuma

SUBDIRECTOR DE EDUCACIÓN DE ADULTOSProf. Juan Carlos Latini

MANUAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

PRESENTACIÓN

Este material que hoy llega a sus manos forma parte de una serie de módulos del Programa de Educación a Distancia (Res. 106/18) de la Dirección de Educación de Adultos de la Provincia de Buenos Aires. El mismo busca ampliar el acceso a la educación secundaria de aquellos jóvenes y adultos mayores de 18 años que se encuentren imposibilitados de concurrir a nuestras escuelas.

La evolución de las tecnologías de la información y de la comunicación nos permite repensar el modelo educativo de enseñanza-aprendizaje. El objetivo de la modalidad a distancia es superar las limitaciones de tiempo y espacio de todos aquellos bonaerenses que quieran terminar sus estudios secundarios. Este Programa tiene como propósito que los estudiantes puedan ingresar y egresar en cualquier momento del año, avanzando según su propio ritmo y con la posibilidad de organizar su trayecto formativo.

La Educación a Distancia es una herramienta que se suma a las ofertas de terminalidad secundaria que ofrece la provincia de Buenos Aires en pos de alcanzar a aquellos que el sistema educativo no les proponía una alternativa de estudio que no requiera concurrir a los servicios educativos presenciales de tiempo completo y con desplazamiento diario.

Esta modalidad se caracteriza por la mediatización de la relación entre el docente y el estudiante, a través de recursos de aprendizaje especí�cos que permiten la actividad autónoma de éstos.

Los estudiantes contarán así con el acompañamiento permanente de un profesor tutor a través de los distintos recursos que ofrece el Campus Virtual (campusvirtualadultos.com.ar), y también en instancias presenciales de encuentros individuales e intercambios abiertos grupales para compartir intereses, preocupaciones, dudas, opiniones, explicaciones, materiales, etc.

Este material estará disponible tanto en formato digital como impreso, para que sin importar sus posibilidades, los estudiantes tengan acceso al mismo. Completar sus estudios secundarios es, fundamentalmente, dar un paso más en la construcción de su ciudadanía.

Director de Educación de AdultosProf. Ing. Pedro Schiuma

RESOLUCIÓN DE CREACIÓN 106/18 Año de impresión2018Adecuación de la estructura curricular modular del Programa Educación a Distancia

Introducción

Unidad 1: Límites Apuntes de clase: Límites -1. Límite finito -2. Límite laterales -3. Límite infinito -4. Cálculo de límites -5. Indeterminación del tipo ∞/ ∞ -6. Asíntotas lineales -7. Continuidad de una función en un punto

Unidad 2: Derivadas Apuntes de clase: Derivadas -1. Derivada de una función en un punto -2. Interpretación geométrica de la derivada -3. Función derivada -4. Cálculo de derivadas -5. Recta tangente y normal -6. Derivadas sucesivas

Unidad 3: Aplicaciones de las derivadas Apuntes de clase: Aplicaciones de las derivadas -1. Introducción -2. Signo de la primera derivada

• 2.1. Intervalos de monotonía• 2.2. Determinación de máximos y mínimos

-3. Signo de la segunda derivada• 3.1. Determinación de máximos y mínimos• 3.2. Puntos de inflexión

Unidad 4: Antiderivadas Apuntes de clase: Antiderivadas -1. Antiderivadas -2. Integrales indefinidas -3. Métodos de integración. Integración por sustitución -4. Cálculo de derivadas -5. Integral definida

• 5.1. Regla de Barrow• 5.2. Propiedades

-6. Cálculos de áreas en diferentes casos -7. Cálculos de áreas encerradas entre 2 funciones

1EDUCACIÓN a DISTANCIA

MATEMÁTICA 4

En este módulo veremos conceptos más específicos del análisis matemático: límites, derivadas e integrales.

Con los límites podrán ver la tendencia de la función en la medida que se acerca a un punto (un número).

Las derivadas les permitirán hacer un estudio completo de las funciones, determinando puntos clave para su análisis, y entenderlas mejor.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

¡Éxitos en su recorrido!

Introducción

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EDUCACIÓNa DISTANCIA

2MATEMÁTICA 4

1. Límite finito

Vamos a ver en qué condiciones los valores de una función se aproximan a un número real determinado cuando los puntos del dominio se acercan a un punto a, que puede o no pertenecer al dominio.

Consideremos la función:f(x)=2x-1 con la restricción de que x≠3

Apunte de clase: Límites

UNIDAD 1 Límites


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Estudiemos la variación de la función en un entorno reducido del punto 3, sin preocuparnos de lo que sucede en ese punto, es decir cuando la variable x se aproxima ilimitadamente a 3, sin hacerse igual a 3, lo que se designa x→3 (x tiende a 3).

Realizamos una tabla de valores:

Los valores de f(x) se aproximan a 5 cuando x→3Entonces podremos afirmar que:

x→3 f(x) = 5

x 2,8 2,99 3,001... 3,01 3,1 3,22,99 ...

...

2,999 3

F (x) 4,6 4,98 5,0024,8 4,998 ... 5,02 5,2 5,4

La fórmula general del límite queda expresada como

x→a f(x) = l

Donde a será el punto de acumulación donde deseamos saber que ocurre, y l el valor finito que satisface a la f(x)

Definimos entonces al límite, como una forma para saber qué sucede con la función en determinado punto del dominio.

Para resolver los límites, reemplazaremos las x de la función por el valor a.Por ejemplo:

x→-1 2x+8 = 2 . (-1)+8 = 6

x→-1 x²+x = 1²+1-3 = -1

ACTIVIDAD 1»Calcular los siguientes límites:a) x→3 X X2

b) x→-2 x2+9-x

c) x→0 x7-3

d) x→-1 1+x

2. Límite laterales

Hasta ahora, al hablar de límite consideramos puntos próximos al punto de acumulación “a” a ambos lados de dicho punto. En algunos casos interesa el comportamiento de la función en puntos del dominio a un solo lado, es decir en un semientorno a la derecha o a la izquierda.

Consideremos la siguiente función

f (x) = lxl con x ≠ 0 x

Continuamos con la lectura del apunte

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim


4MATEMÁTICA 4

Con su respectivo gráfico:

Observamos que para elementos del dominio mayores a cero se satisface la definición de límite con el número.

x→0 |x| = 1 xAnálogamente, para los valores menores a cero el límite es -1. x→0 |x| = -1 xA modo de conclusión, podemos afirmar que si una función admite el

mismo número como límite por la derecha y por la izquierda de un punto de acumulación “a”, entonces dicha función tiene límite finito en ese punto.

En nuestro ejemplo anterior, la función no posee límite finito en el punto de acumulación cero.

En el siguiente ejemplo donde f(x) es una función partida, es decir que está formada por dos o más funciones restringidas a una pequeña parte del dominio.

lim

lim

f (x) = -1 si x < 1 Calcular lim f(x) 2x si x > 1 x→1{


MATEMÁTICA 4

Podemos observar que la primera función es una constante de valor -1, la cual comprende a todos los valores del dominio que sean menores o iguales a 1.

La segunda función es una lineal, la cual comprende a todos los valores del dominio que sean mayores a 1.

Entre las dos logran que el dominio de f(x) sean todos los números reales.Ahora volviendo al cálculo del límite, cuando se trata de este tipo de

funciones procederemos a analizarla por izquierda y por derecha:Por la derecha: (colocamos como índice de x el signo +).

x→1 + 2x = 2Por la izquierda (colocamos como índice de x, el signo -)

x→-1 - 1 = -1

Si el límite por ambos lados es igual, podremos decir que existe un límite finito. Caso contrario diremos que no existe límite en el punto.

En nuestra función entonces:

x→1 f(x) Ǝ

Para seguir con el tema pueden visitar:http://matematica.50webs.com/limite-finito.html

WEB

ACTIVIDAD 2»Calcular si las siguientes funciones por partes poseen límites finitos en el punto:a) f (x) = x² si x<2 cuando x→2 2x si x<2

b) f (x) = x si x< 4 cuando x→4 -1 si x> 4

c) f (x) = x² si x< 0 cuando x→0 x si x> 0

3. Límite infinito

La inexistencia de límite finito en un punto de acumulación “a” puede significar, como ya hemos visto, que no coincidan los límites laterales a derecha e izquierda, o bien, que cuando x se aproxima al punto de acumulación “a” los valores de la función superan, en valor absoluto, a cualquier número prefijado.

Consideremos la funciónf (x) = Como sabemos x≠0 y ahora veremos por qué.Tomemos valores en un entorno reducido del punto cero.

x 0,1 0,001 -0,01-0,001 -0,10,01 00,0001 -0,0001

F (x) 10 1000 -100100 10000 -10000 -1000 -10


{

{

{

1 x

lim

lim

lim


6MATEMÁTICA 4

A medida que x toma valores próximos a cero, la función toma, en valor absoluto, valores cada vez más grandes.

Se dice entonces que el x→0 1 → ∞ x

Entendiéndose por ello que la función en valor absoluto toma valores tan grandes como se quiera.

4. Cálculo de límites

Indeterminación del tipo 0 0

Consideremos el siguiente límite: x →2 x²-4 = 2² - 4 = 0 x-2 2-2

Tanto la función del numerador como la función del denominador tienen límite 0. En estos casos se dice que se produce una indeterminación del tipo 0

0

lim

lim


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Para poder calcular el límite debemos “salvar” la indeterminación, es decir, aplicar algún procedimiento algebraico para poder simplificarla.

En este caso factorizaremos el numerador:

x →2 x²-4 = x →2 (x-2) (x+2) x-2 x-2

Procedemos a cancelar el factor (x-2) que se encuentra multiplicando y dividiendo, y nos queda:

x →2 x+2 = 2+2 = 4

De esta forma obtuvimos que cuando x tienda a 2, el límite será 4.

ACTIVIDAD 3»Calcular los siguientes límites:a) x→1 5x²+2x x

b) x→1 x³+x²+x x²-2x

c) x→1 x-1 x²-2x+1

5. Indeterminación del tipo ∞/∞

Consideremos el siguiente límite:x→∞ 2x+1 = 2∞+1 x−3 ∞−3

El símbolo ∞ nos indica un número demasiado grande, al cual no lo influyen las operaciones comunes (como la adición, sustracción, o multiplicación; si lo hará la división, explicada más adelante), por eso el límite nos quedará de la siguiente forma:

2∞+1 = ∞ ∞−3 ∞

Entonces, tanto la función numerador como la función denominador tienen limite infinito. En estos casos se dice que se produce una indeterminación del tipo ∞

∞Para poder calcular el límite, sacaremos factor común la x de mayor

exponente en el numerador y el denominador, es decir:

x→∞ 2x+1 = x→∞ x(2+1/x) x−3 x (1-3/x)


lim lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim lim


8MATEMÁTICA 4

Procedemos a cancelar el factor x que se encuentra multiplicando y dividiendo, y nos queda:

x→∞ 2+1/x 1-3/x

Para tener en cuenta: k → ∞ 0

Si poseemos una constante cualquiera sobre cero diremos que el resultado va a tender a infinito: k → 0

∞

Si poseemos una constante cualquiera sobre infinito diremos que el resultado va a tender a cero.

Entonces continuando con el ejemplo anterior:

2+1/∞ = 2+0 = 21−3/∞ 1−0

Cuando los elementos del dominio tiendan al infinito, el límite será 2.

ACTIVIDAD 4»Calcular los siguientes límites:a) x→∞ x²-4+3 x²+1

b) x→∞ x³-2x+3 3 x³ -5x+1

c) x→∞ x-2 x³+2

Pueden mirar el siguiente video en el cual se resuelve una indeterminación del tipo 0 0“LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=rrbS5l--1Ss

VIDEO

6. Asíntotas lineales

Se le llama así a una recta que se aproxima continuamente a la gráfica de una función, pero nunca llegara a tocarla.

Poseemos asíntotas verticales, las cuales son paralelas al eje de ordenadas; y asíntotas horizontales, las cuales son paralelas al eje de abscisas.

Asíntota verticalLa recta x=a es asíntota vertical al gráfico de la función si y sólo si:

x→a f(x)→∞

En el caso de obtener una constante k, el valor a nos indicará donde la función tiene un “agujero”, es decir que el punto (a;k) no pertenece a la función.


lim

lim

lim

lim

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Asíntota horizontalLa recta y=l es asíntota horizontal al gráfico de la función si y sólo si:

x→∞ f(x)=l

Aplicación de las asíntotas en funciones racionalesLas funciones racionales son aquellas cuya fórmula está dada por el

cociente entre dos polinomios.f(x) = p(x) con q(x)≠0 q(x)

Sea entonces

F(x) = 3x+1 x-2

Indicaremos el dominio de la función. Recordamos que son los valores de x para los cuales existe valor en el eje y.

Como dijimos antes q(x) no podrá ser igual a cero, entonces:x-2≠0x≠2

EntoncesDom f(x)=R-{2}

Es decir, que todos los números reales del dominio satisfacen a f(x), a excepción del número 2.

Ahora averiguaremos qué sucede con la función en ese valor, aplicando los conocimientos antes vistos:

x→2 3x+1 = 3.2+1 = 6+1 → ∞ x-2 2-2 0

Podremos decir que x=2 es asíntota vertical.Ya que cumple con la condición antes mencionadaNos faltaría saber qué sucede cuando x→∞

x→∞ 3x+1 = 3∞+1 = ∞ x-2 ∞-2 ∞

x→∞ x(3+1/x) = 3 + 1/∞ = 3+0 = 3 x (1-2/x) 1 - /∞ 1-0

Entonces y=3 es asíntota horizontal.Si graficamos la función, obtendremos lo siguiente:

lim

lim

lim

lim


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Evitable cuando Ǝ x→a f(x)=l (finito) donde puede suceder Ǝ f(a) f(a)≠x→a f(x)

Esencial cuando Ǝ x→a f(x)=l (finito) donde puede suceder x→∞ f(x)=∞ x→a+ f(x)≠ x→a- f(x)

ACTIVIDAD 5»Calcular las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones racionales:a) F(x) = x²-x x²-2x-3

b) F(x) = x²-5x+6 x²-3x+2

b) F(x) = x²+x-6 x²-6x+9

7. Continuidad de una función en un punto

Sea f una función y a un punto de acumulación1) Ǝ f(a)

f es continua en a si y sólo si 2) Ǝ x→a f(x)=l (finito)

3) f(a)= x→a f(x)

Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, la función es discontinua en a.

Existen 2 tipos de discontinuidad:


lim

lim

limlim

limlim

limlim

{

{


MATEMÁTICA 4

Por ejemplo:f(x) = f(x) = x²−1 x+1 Aclaramos los elementos del dominio que no pertenecen a la funciónen este caso x ≠ -1Y ahora procedemos a averiguar que sucede en el ese punto

x→ -1 (x+1)(x−1) = -1-1 = -2 x+1

Como no existe f(-1) podemos asumir que hay una discontinuidad evitable en x=1

Si la graficamos podemos observarla mejor.El ser evitable nos permite recorrer la función “salteando” solo el punto

que no pertenece a la función.

Otro ejemplof(x)= 1 En este caso x≠4 x−4

x→4 1 = 1 → ∞ x−4 0

Por tratarse de una asíntota, diremos que es una discontinuidad esencial. Si observamos su gráfico podemos decir que como es esencial no

podemos recorrer la función y solo “saltear” el punto que no pertenece.

¿Quedó alguna duda? ¿Alguna actividad que no sé cómo resolverla? Los espera el tutor en el Campus Virtual o en el encuentro presencialpara acompañarlos y ayudarlos.


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12MATEMÁTICA 4

1. Derivada de una función en un punto

Sea f una función continua definida en un intervalo abierto y sea a un punto cualquiera perteneciente a dicho intervalo.

Apunte de clase: Derivadas

UNIDAD 2 Derivadas

Cuando del valor a pasamos al valor x decimos que la variable ha experimentado un incremento ∆x

∆x=x-a

De la misma manera la ordenada ha pasado del valor f(a) al valor f(x) y experimenta el incremento ∆y

∆y=f(x)-f(a)

Definición:La función f tiene derivada en el punto a si y sólo si existe el limite finito

del cociente incremental Δy cuando ∆x→0 Δx

f’(a) = ∆x→0 Δy o f’(a)=x→a f(x)−f(a) Δx x−a

Ejemplo:Queremos hallar la derivada de la función f(x)=3x² en x=2Aplicamos la fórmula utilizando el valor 2 como punto a:f’(2)= x→2 x²−3.2² x−2

lim lim

lim


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f’(2) = 3.2²−2 = 12−12 = 0 2−2 0 0

Como vimos anteriormente, al obtener una indeterminación 0 0 debemos “salvarla” utilizando algún procedimiento algebraico. En este

caso primero sacamos como factor común al 3, y luego aplicamos el método de diferencia de cuadrados.

Si no recuerdan el método, pueden mirar el siguiente video:

“DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS. Ejemplo 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=11&v=5RtsQZLIDSY

VIDEO

f’(2)= x→2 3(x²−4) = x→2 3(x+2)(x−2) x−2 x−2

x→2 3(x+2) = 3(2+2)=12

Entonces la derivada de la función f(x)=3x² en x=2 es 12

ACTIVIDAD 6»Hallar las siguientes derivadas de la función en el punto:a) f(x)=x2+4x-5 en x=1

b) f(x)=x3+2x-5 en x=1

2. Interpretación geométrica de la derivadaContinuamos con la lectura del apunte

lim lim

lim


14MATEMÁTICA 4

Recordamos que una recta tangente es aquella que intersecta a una curva en un solo punto.

De esta forma, en una función f(x) por cada punto a obtendremos una recta tangente diferente, ya que modifica su pendiente.

La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

3. Función derivada

Hasta ahora hemos calculado f’(a), pero si consideramos al punto a como variable, se tiene f’(x) que se llama función derivada primera de f.

Ejemplo:Sea f(x)=5x²+3x hallar f’(x)

Esta vez como no poseemos valor para a ya que es variable, la colocamos en la fórmula como si fuera una incógnita más, de esta forma:

f’(a)= x→a 5x²+3x−(5a²+3a) = 5a²+3a−5a²−3a = 0 x−a a−a 0

Observamos que hay que realizar el límite, al hacerlo, obtenemos una indeterminación, por lo tanto, procedemos sacando factor común 5 y 3 de la siguiente manera:

lim


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f’(a)= x→a 5(x²−a²) + 3(x−a) = 5(x+a)(x−a)+3 (x−a) x−a x−a

f’(a)= x→a 5(x+a)+3 = 5(a+a)+3 = 5 . 2a+3 = 10a+3

Para terminar, expresaremos el resultado en función de x cambiando la a por una x:

f’(x)=10x+3Acabamos de obtener la función derivada con la cual podremos hallar

todas las derivadas puntuales que deseemos, sólo hará falta reemplazar la x por el punto correspondiente.

Por ejemplo: hallamos f’(2) y f’(-1)

f’(2)=10 . 2+3=23f’(-1)=10 . (-1)+3=-7

Tienen otro ejemplo en el siguiente video:

“DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg

VIDEO

ACTIVIDAD 7»Hallar la función derivada de f(x)=8x2+2x+5 y las derivadas puntuales en:a) x=1b) x=12c) x=0

4. Cálculo de derivadas

Como vimos, hay que hacer demasiados pasos para obtener la derivada de una función, por eso, para un cálculo más rápido y práctico utilizaremos las siguientes reglas de derivación.

Donde u, v y w son funciones; k, n y a son constantes; e es el número irracional euler.

1) Derivada de la función constantef(x)=k f’(x)=0

2) Derivada de la función identidadf(x)=x f’(x)=1

3) Derivada de una potenciaf(x)=un f’(x)=n . un-1 . u’

4) Derivada de la raíz cuadradaf(x)= √u f’(x) = 1 . u’ ²√u


lim

lim


16MATEMÁTICA 4

5) Derivada de una suma algebraica de funcionesf(x)=u+v-w f’(x)=u’+v’-w’

6) Derivada del producto de una constante por una funciónf(x)=k . u f’(x)=k . u’

7) Derivada del producto de 2 funcionesf(x)=u . v f’(x)=u’. v+u . v’

8) Derivada del cociente de 2 funcionesf(x)= u f’(x)= u′.v−u.v′ v v2

9) Derivada del logaritmo neperianof(x)=ln u f’(x)= 1 . u’ u

10) Derivada del logaritmo en base af(x)=log u f’(x)= 1 . u’ u.lna

11) Derivada de la función senof(x)=sen(u) f’(x)=cos (u) . u’

12) Derivada de la función cosenof(x)=cos (u) f’(x)=-sen(u) . u’

13) Derivada de la función tangentef(x)=tg(u) f’(x)=sec2(u) . u’ = u′ cos²(u)

14) Derivada de la función exponencialf(x)=eu f’(x)=eu . u’f(x)=au f’(x)=au . ln a . u’

Ejemplo de aplicaciónCalcularemos la derivada de la siguiente función:f(x) = 3x4+2x3-3x+8

Si aplicamos la regla 5, podemos derivar cada término y sumar algebraicamente sus resultados:

f’(x)=(3x4)’+(2x3)’-(3x)’+(8)’

Podemos observar que para el primer término podemos aplicar la regla 3:(3x4)’=4 . 3x4-1 . (x)’

Aplicando la regla 2 y resolviendo algebraicamente obtenemos:(3x4)’=12x3 . 1=12x3


MATEMÁTICA 4

Las mismas reglas podemos utilizarlas para el segundo término:(2x3)’=3 . 2x2 . 1= 6x2

Para el término 3 podemos aplicar la regla 6:(3x)’=3 . 1= 3

Y por último aplicamos la regla 1 al término independiente:(8)’=0

Ahora sumamos algebraicamente los resultados y nos quedaf(x)’=12x3+6x2-3

ACTIVIDAD 8»Derivar las siguientes funciones utilizando las reglas de derivación:a) f(x) = 1 x3

b) f(x) = x2+cos(x)

c) f(x) = x . ln x

5. Recta tangente y normal

Habíamos comentado anteriormente que la derivada era la pendiente de una recta tangente a la función en un punto.

Ahora supongamos que deseamos saber más sobre esa recta tangente. Su ecuación será la siguiente:

t(x)=f’(a) .(x-a)+f(a)Si deseamos saber su recta normal tendremos en cuenta lo siguiente:n(x)= -1 .(x-a)+f(a) f′(a)Como observamos son similares, salvo por la pendiente, la cual en la

recta normal es la inversa y opuesta que la de la recta tangente.Gráficamente observamos lo siguiente:

Ambas rectas intersectan en el punto a y forman un ángulo de 90º entre ellas.



18MATEMÁTICA 4

Ejemplo de aplicación:Si f(x)=x2-5x+3 hallaremos las rectas tangente y normal al punto a=1Comenzamos calculando f(a)f(1)=12-5 . 1+3=-1Continuamos calculando la f’(x)f’(x)=2x-5La evaluamos en el punto af’(1)=2 . 1-5=-4

Ya estamos en condiciones de aplicar la fórmula para obtener la recta tangente

t(x)=f’(1) .(x-1)+f(1)t(x)=-4 . (x-1)-1

Aplicamos la propiedad distributivat(x)=-4x+4-1t(x)=-4x+3

Una vez obtenida la recta tangente, calculamos la recta normaln(x)= - 1 . (x-1)+ f (1) f’(1)n(x)= - 1 . (x-1)-1 -4n(x)= 1 x -1 -1 4 4n(x)= 1 x - 5 4 4

ACTIVIDAD 9

ACTIVIDAD 10

»

»

Hallar las rectas tangentes y normales a las siguientes funciones:a) f(x)=6x-2 en a=8b) f(x)=3x2+x en a=-1

Calcular la derivada primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:a) f(x)=x3+3x2-2x+8b) f(x)=x2-8x+14c) f(x)=2x5+5x3-9x2



6. Derivadas sucesivas

A una función la podremos derivar las veces que deseemos, siempre y cuando no sea igual a cero.

A continuación hallaremos la f’(x), f’’(x), f’’’(x) de las siguientes funciones: f(x)=sen(x) f’(x)=cos (x) f’’(x)=-sen(x) f’’’(x)=-cos(x)

f(x)=ln (x) f’(x)=1 que es igual a x-1 f’’(x)=-x-2 f’’’(x)=2x-3

x


Obligatoria


MATEMÁTICA 4

1. Introducción

En esta unidad veremos qué datos se pueden obtener a través del uso de derivadas.

En las funciones de grado 2 o superior, las derivadas nos ayudarán a calcular los puntos extremos (E) y los puntos de inflexión (I).

Apunte de clase: Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 3 Aplicaciones de las derivadas


20MATEMÁTICA 4

Si una función f tiene derivada primera negativa en un punto a, entonces la función es estrictamente decreciente en dicho punto.

f’(a)<0

2. Signo de la primera derivada

El crecimiento y decrecimiento de una función está vinculado al signo de la derivada primera.

Si una función f tiene derivada primera positiva en un punto a, entonces la función es estrictamente creciente en dicho punto.

f’(a)>0


MATEMÁTICA 4

Ejemplo:Analizar el crecimiento o decrecimiento en los puntos x=-2 y x=1 de la

función f(x)=x2

Calculamos la derivada segunda de la función:f’(x)=2x

Y evaluamos ambos puntos:f’(-2)=2 . (-2)=-4 f’(1)=2 . 1=2f’(-2)<0 f’(1)>0

Como conclusión decimos que la función crece en el punto x=1 y decrece en el punto x=-2

2. 1. Intervalos de monotonía

Son los intervalos en donde se contemplan todos los puntos donde la función crece o decrece.


22MATEMÁTICA 4

Si evaluamos un extremo en la función derivada segunda y su resultado es negativo, el extremo será un máximo de la función.

Si evaluamos un extremo en la función derivada segunda y su resultado es positivo, el extremo será un mínimo de la función.

2. 2. Determinación de máximos y mínimos

La derivada de una función en un máximo o un mínimo es nula, ya que la pendiente de la recta tangente a ese extremo será cero.

Ejemplo:Teniendo la función f(x)=x3+3x2-1 analizaremos en que puntos se

encuentran los extremos.Primero procedemos a calcular la derivada primera y segunda de la función:f’(x)=3x2+6xf’’(x)=6x+6

Ahora igualamos f’(x)=0 para obtener los extremos máximos y mínimos3x2+6x=0

Aplicando la fórmula resolvente obtenemos 2 valores posible para xx1=-2 x2=0

Luego procedemos a evaluar ambos valores en la f’’(x)f’’(x1)=6 . (-2)+6 f’’(x2)=6 . 0+6f’’(-2)=-6 f’’(0)=6

A modo de conclusión decimos que:

Como f’’(-2)<0 la función tiene un máximo en x=-2

Como f’’(0)>0 la función tiene un mínimo en x=0


MATEMÁTICA 4

Para obtener los valores de y de ambos extremos, los evaluamos en la función original.

f(-2)=(-2)3+3 . (-2)2-1 =3f(0)=03+3 . 02-1 =-1

Máximo en (-2;3) Mínimo en (0;-1)

Ahora procedemos a indicar los intervalos de monotonía. Podemos observar que en los extremos, la función modifica los mismos. (Observen la gráfica anterior).

Teniendo en cuenta los valores del dominio, analizamos la función por tramos.

Desde el -∞ hasta el -2 la función crece, ya que los valores de y aumentan conforme aumentan los de x.

Desde del -2 hasta el 0 la función decrece, ya que los valores de y disminuyen conforme aumentan los de x.

Desde el 0 hasta el +∞ la función crece, ya que los valores de y aumentan nuevamente.

Escribiéndolo de forma de intervalos:(-∞;-2) U (0;+∞) intervalo de crecimiento(-2;0) intervalo de decrecimiento

ACTIVIDAD 11»Hallar los extremos de las siguientes funciones e indicar los intervalos de monotonía:a) f(x)=3x2+6xb) f(x)=x3+3x2-1c) f(x)=x2-3x+10


24MATEMÁTICA 4

3. Signo de la segunda derivada

La concavidad de una función está vinculada al signo de la derivada segunda.Si una función f tiene derivada segunda positiva en un punto a, entonces

la función es cóncava hacia arriba en dicho punto.f’’(x)>0

Si una función f tiene derivada segunda negativa en un punto a, entonces la función es cóncava hacia abajo en dicho punto.

f’’(x)<0

3. 1. Intervalos de concavidad

Son los intervalos en donde se contemplan todos los puntos en los cuales la función posee concavidad positiva o negativa.



MATEMÁTICA 4

3. 2. Puntos de inflexión

La derivada segunda de una función en punto de inflexión es nula, sabiendo esto, calcularemos los intervalos de concavidad de la siguiente función.

f(x) = 1 x3-4x 3

Primero procedemos a calcular la derivada segunda de la función.f’(x)=x2-4f’’(x)=2x

Luego igualamos f’’(x)=0 y despejamos x:2x=0x=0

Los valores de x obtenidos serán los posibles puntos de inflexión.Para verificarlos, procedemos a tomar un valor por derecha y un valor por

izquierda al posible punto, y evaluarlo en la derivada segunda de la función:f’’(-1)=2 . (-1)=-2f’’(1)=2 . 1=2

Como podemos observar, con los valores por derecha e izquierda obtuvimos signos opuestos, es decir:

f’’(-1)<0f’’(1)>0

Eso nos demuestra que en x=0 se encuentra un punto de inflexión, ya que modificó la concavidad de la función (signo de la segunda derivada).

Para conocer el valor de y solo hará falta evaluar el valor de x en la función principal:

f(0) = 1 x3-4x = 1 . 03-4 . 0 = 0 3 3


26MATEMÁTICA 4

ACTIVIDAD 12»Hallar los puntos de inflexión de las siguientes funciones e indicar los intervalos de concavidad:a) f(x)=x3+x2-x+2b) f(x)=x3-3x+2c) f(x)=x2+2x-8



Ahora procedemos a indicar los intervalos de concavidad. Teniendo en cuenta los valores del dominio, analizamos la función por tramos.Desde el -∞ hasta el 0 la función posee concavidad negativa.Desde el 0 hasta el +∞ la función posee concavidad positiva.Escribiéndolo de forma de intervalos:

(-∞;0) intervalos de concavidad negativa(0;+∞) intervalo de concavidad positiva


MATEMÁTICA 4

1. Antiderivadas

Llamaremos a F(x) “primitiva” o “antiderivada” de f(x) ya que F’(x)=f(x)Para hallar la primitiva de f(x) debemos encontrar una función F(x) que al

derivarla nos de f(x).Por ejemplo: hallaremos la primitiva de f(x) = x2

Al tanteo vemos que si derivamos x3 obtenemos 3x2 que “se parece bastante” a f(x), con la diferencia de que nos sobra un 3 que multiplica a la x. Para anularlo podemos colocar un 3 dividiendo; por lo que propondremos como primitiva:

F(x) = x3

3

Para verificar, derivamos a F(x)F’(x)= 3x2 =x2

3

Observamos que F’(x) = f(x)Como segundo ejemplo, hallaremos la primitiva de f(x) = cos xObtenemos como resultado F(x) = sen xPero debemos preguntarnos, ¿es éste el único resultado posible?Si en el ejemplo anterior tomamos F(x) = sen x + 6, su derivada esF’(x) = cos x por lo que también verifica F’(x) = f(x)Ambas cumplen con la definición de primitiva ya que, al derivar la

constante, ésta desaparece.Entonces podemos decir que F(x) = sen x + C es una primitiva de f(x) = cos x, donde C contempla a los infinitos valores que pueden tomar

las constantes.Así como el cálculo que derivadas conduce a un único resultado, el

cálculo de primitivas tiene infinitas soluciones que quedan expresadas en el siguiente teorema:

Apunte de clase: Antiderivadas

UNIDAD 4 Antiderivadas

Todas las primitivas de una función difieren entre sí en una constante

2. Integrales indefinidas

Al conjunto de las primitivas de f se lo llama integral indefinida de f y se escribe:∫ f(x)dx=F(x)+C

Con los ejemplos antes vistos:∫ x2dx=x3+C ∫ cos x dx= sen x+C


28MATEMÁTICA 4

Propiedades de las integrales:1) Si una constante multiplica una función, puedo sacarla de la integral∫ k . f(x) dx=k . ∫ f(x) dx

2) La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones

∫ [f(x)+g(x)-h(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx - ∫ h(x) dx

Algunas integrales saldrán inmediatamente, al utilizar la siguiente tabla:

∫ dx=x+C

∫ xn dx = xn+1+C n≠-1 n+1

∫ sen x dx=-cos x+C

∫ ex dx=ex+C

∫ tg x dx=-In(cos x) +C

∫ sec2 x dx=tg x+C

∫ k dx=kx+C

Si n=1 ∫ x−1 dx = ∫ 1 = In x+C x

∫ ax dx = ax +C lna

∫ cos x dx=sen x+C

∫ cotg x dx=In(sen x)+C

∫ cosec2 x dx=-cotg x+C

ACTIVIDAD 13»Resolver las siguientes integrales indefinidas:a) ∫ x dx=b) ∫ 2 dx=c) ∫ x3-3x2+1=

3. Métodos de integración. Integración por sustitución

A las integrales que no sean directas, las tenemos que resolver utilizando algunos de los siguientes métodos.

Integración por sustitución:Se aplica para integrar funciones compuestas y consiste en hacer un

cambio de variable para que la integral resulte inmediata, y podamos usar las tablas de integración.

Por ejemplo:∫ (3x+1)2 dx=

Sustituimos a 3x+1 por la variable z, es decir z=3x+1Derivamos en ambos miembros por lo que nos queda dz=3 dx Despejamos a dx dx = dz 3

Ahora reemplazamos en la integral:∫ (3x+1)2 dx = z2 dz3



MATEMÁTICA 4

ACTIVIDAD 14»Realizar las siguientes integrales, utilizando el método de integración por sustitución:a) ∫ 1 dx 2x+5

b) ∫ cos(ln x ) dx

c) ∫ (1-5x)22 dx

Y procedemos a resolverla con ayuda de las propiedades y las tablas de integración:

Gracias a la primera propiedad podemos sacar la constante que divide a dz hacia afuera de la integral:

∫ (3x+1)2 dx = 1 ∫ z2 dz 3

∫ (3x+1)2 dx = 1 . z3 +C 3 3

∫ (3x+1)2 dx = 1 . z3+C 9

No debemos olvidar de cambiar a la variable original, es decir, de z pasar a x

∫ (3x+1)2 dx = 1 . (3x+1)3+C 9

Ahora procedemos a verificar para asegurarnos que el resultado es el correcto.Para ello derivamos el antes obtenido.F(x) = 1 (3x+1)3+C 9

F’(x) = 1 .3.(3x+1)2 . 3=(3x+1)2

9

4. Integración por partes

Se utiliza cuando no se puede integrar de forma inmediata o por sustitución.Consta de usar la siguiente fórmula, proveniente de la derivada de

un producto:d(u.v) = v . du+u . dv

∫ d(u.v) = ∫ (v . du+u . dv)

u.v = ∫ v du + ∫ u dv

u.v - ∫ v du = ∫ u dv

∫ u dv = u.v - ∫ v du



30MATEMÁTICA 4

Para elegir qué factor será u, basta con recordar la siguiente regla mnemotécnica:

I Inversas (del estilo 1/x)

L Logarítmicas (del estilo log, ln…)

P Potenciales (del estilo xn)

E Exponenciales (del estilo ex)

T Trigonométricas (del estilo sen, cos…)

Donde daremos la prioridad de arriba hacia abajo.Ejemplo de aplicación:∫ x . sen x dx =Llamaremos u a x ; y dv a sen x dxEn forma de cálculo auxiliar procedemos a calcular v y du.Si u=x; du será su derivada, entonces du=dxSi dv=sen x dx; v será su primitiva, entonces v=-cos x

Una vez conseguidos estos valores, los reemplazamos en la fórmula:∫ x . sen x dx=x . (-cos x) - ∫ -cos x dx

Y procedemos a resolver la integral inmediata:∫ x . sen x dx=- x . cos x +sen x+C

Para verificar nuestro resultado, solo hará falta derivarlo:F(x)=- x . cos x +sen x+CF’(x)=- 1 . cos x -x. (-sen x)+cos xF’(x)=-cos x+x . sen x+cos x F’(x)=x . sen x

ACTIVIDAD 15»Realizar las siguientes integrales, utilizando el método de integración por partes. Utilizar también el método por sustitución.a) ∫ x . ex dx=b) ∫ x .cos x dx=c) ∫ x . e3x+1dx=

5. Integral definida Una de las aplicaciones más importante de la integral es el cálculo de áreas.Supongamos que poseemos un rectángulo con 4 unidades de base y 2

unidades de altura. Su área será el producto de ambas, es decir:A=b . h=4 . 2=8

Ahora bien, obtendremos el mismo resultado calculando la integral definida de la función equivalente. Más adelante les explicamos los procedimientos a realizar.



MATEMÁTICA 4

Tomaremos f(x)=2 para describir la altura, y los límites de integración 0 y 4 para definir la base, es decir:

A = 4 2 dx 0

A = 2x 4 0 A = 2 . 4 - 2 . 0A = 8

El teorema fundamental del cálculo integral nos lleva a definir la integral de f entre a y b como el número A(b).

a y b se llaman límites de integración; a es el inferior y b es el superior.

A(b) = b f(x) dx a

La integral se calcula por alguno de los métodos vistos y una vez obtenida la primitiva se reemplaza por la regla de Barrow para obtener el número buscado.

5. 1. Regla de Barrow

Esta regla indica que una vez obtenida la función primitiva, debemos evaluarla en el límite superior y restarle el límite inferior, de esta forma:

b f(x) dx=F(b)-F(a) a

Ejemplo:Sea f(x)=x2 calcular la integral entre los límites -2 y 1 1 x2 dx = x3 1 −2 3 -2

∫

∫

∫

∫


32MATEMÁTICA 4

Aplicando la regla de Barrow: 1 x2dx = 13 - (−2) 3

−2 3 3

1 x2dx = 13 - (−8) = 3−2 3

5. 2. Propiedades

1) La integral definida entre el mismo límite de integración da como resultado un área igual a 0:

a f(x) dx = 0 Pues F(a) - F(a) = 0 a

2) La integral definida entre 2 puntos es igual a la integral negativa de los mismos 2 puntos cambiado el orden:

b f(x) dx = - a f(x) dx Pues F(b) - F(a) = - [F(a) - F(b)] a b

3) Si una constante multiplica una función, puedo sacarla de la integral: b k . f(x) dx = k . b f(x) dx a a

4) La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales de dichas funciones

b [f(x)+g(x)-h(x)] dx = b f(x) dx + b g(x) dx - b h(x) dx a a a a

5) La integral definida entre 2 puntos, puede ser calculada como la suma de integrales definidas entre puntos intermedios

b f(x) dx = c f(x) dx + b f(x) dx a a c

Área Total = Área A + Área B

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


MATEMÁTICA 4

Les proponemos mirar el siguiente video: “INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 1”https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=wuI5MFhvgsY

VIDEO

ACTIVIDAD 16»Resolver las siguientes integrales definidasa) 1 (x3+2x-3) dx = 0

b) e 1 dx = 1 x

c) 4 - 7 dx = −4

6. Cálculos de áreas en diferentes casos

Caso 1:Si la función es positiva en el intervalo [a;b]

Calcularemos el área como:A = b f(x) dx a


∫

∫

∫

∫


34MATEMÁTICA 4

Caso 2:Si la función es negativa en el intervalo [a;b]

Calcularemos el área como:A = - b f(x) dx a

Caso 3:Si deseamos calcular el área comprendida entre dos funciones distintas

en el intervalo [a;b]

Debemos calcular el área de f(x) y restarle el área de g(x)A = b [f(X)-g(x)] dx a

∫

∫


MATEMÁTICA 4

7. Cálculo de áreas encerradas entre 2 funciones

Deseamos saber el área encerrada entre las funciones f(x) = x3 y g(x) = xPrimero debemos saber en qué puntos intersectan, para ello procedemos

a igualarlas.f(x) = g(x)x3 = xx3-x = 0

Sacamos factor común xx . (x2-1) = 0

Observamos una diferencia de cuadradosx . (x-1) . (x+1) = 0

Entonces sabemos que intersectan en 3 puntosx = -1 x = 0 x = 1

Podemos realizar un pequeño esquema para ayudarnos a calcular mejor:

Observamos que el área encerrada será la suma del área comprendida entre -1 y 0 y la comprendida entre 0 y 1.

Vamos con el primer intervalo:En la fórmula colocamos primero a f(x) ya que se encuentra por encima

de g(x) (caso 3).

A-1 y 0 = 0 [f(x)-g(x)] dx −1∫


36MATEMÁTICA 4

Y procedemos a calcular:

A-1 y 0 = 1 (x-x3) dx 0

A-1 y 0 = 0 x3 dx--10xdx −1

A-1 y 0 = x4 1 - x2 1 4 0 2 0

A-1 y 0 = (04 - (−1)4 )- (02 -(−1)2 ) 4 4 2 2

A-1 y 0 = (0 - 1) - (0 - 1) 4 2

A-1 y 0 = -1 + 1 4 2

A-1 y 0 = 1 4

Ya obtuvimos nuestra primer área, ahora seguimos con la otra.En la fórmula colocamos primero a g(x) ya que se encuentra por encima

de f(x) (caso 3).A0 y 1 = 1 [g(x)-f(x)] dx 0

Y procedemos a calcular:A0 y 1 = 0 - (x-x3) dx −1

A0 y 1 = 1 x dx - ∫ x3dx 0

A0 y 1 = x2| - x4 | 2 4

A0 y 1 = ( 12 - 02) - (14 - 04) 2 2 4 4

A0 y 1 = (1 - 0) - ( 1- 0) 2 4

A0 y 1 = 1 - 1 2 4

A0 y 1 = 1 4

∫

∫

∫

∫10

10

∫


MATEMÁTICA 4

Entonces el área total será:A = A-1 y 0+A0 y 1

A = 1 + 1 4 4

A = 1 2

Les proponemos mirar el siguiente video: “ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 2”https://www.youtube.com/watch?time_continue=2&v=kx4x2ki2bsY

VIDEO

ACTIVIDAD 17»Calcular el área encerrada por las siguientes funciones:a) f(x) = 3x2-x-3 y g(x) = -2x2+4x+7

b) f(x) = -x2+2x+1 y g(x) = x-1

c) f(x) = √x g(x) = x-2 y la recta que pasa por x=0

Obligatoria



Bibliografía y Webgrafía

● Material elaborado en forma conjunta con los docentes y el Centro de Planificación, Evaluación e Investigación de Procesos Educativos en Red (CEPEIPER), dependiente de la Secretaría Académica de la UNRC en el marco del Proyecto de Ingreso, Orientaciones para el Diseño, Implementación y Evaluación de Proyectos para la integración a la Cultura Universitaria 2016-2019. UNRC- Secretaría Académica – CEPEIPER● UTN (2016) MATEMÁTICA. Seminario de ingreso UTN Instituto Nacional Superior del Profesorado técnico.● UNTREF (2009), Matemáticas. Material de cátedra ingreso Ingeniería.● UTN BA (2012) Seminario de ingreso, módulo B Matemática/Física.

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