5Matemática

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Material de distribución gratuita

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MatemáticaTercer Ciclo de EducaciónGeneral Básica para Adultos

M O D A L I D A D S E M I P R E S E N C I A L

5

Ministro de Educación de la Nación

Lic. Andrés Delich

Subsecretario de Educación Básica

Lic. Gustavo Iaies

infopace@me.gov.ar

Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.

ISBN 950-00-0294-9. Primera Edición. Primera Reimpresión.

Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de

Acciones Compensatorias en Educacióndel Ministerio de Educación.

Índice

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuadriláteros convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Romboides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Otros paralelogramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Perímetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Superificies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo se miden las superficies? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo se calculan las superficies? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Superficie del triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Superficie del trapecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Superficie del romboide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo se mide el volumen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo se calcula el volumen de los cuerpos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El lenguaje matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ecuaciones e inecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo se resuelven las ecuaciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¿Cómo se resuelven las inecuaciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La estadística y la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Claves de Corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

699

1316181820

31

414546485254

586062

66

727682

8594

101

129

5

Introducción

En el Libro 4 se trabajó con las operaciones en el conjunto de losnúmeros racionales, completando de este modo lo estudiado en elLibro 3 sobre las operaciones con números naturales y enteros. Eneste Libro se retoman algunos temas trabajados en los Libros 1 y 2sobre cuadriláteros, particularmente, casos especiales de uso fre-cuente para la resolución de problemas cotidianos. Asimismo, seprofundizará y ampliará lo estudiado sobre perímetros, superficiesy volúmenes. Le sugerimos que disponga de los Libros anteriorespara resolver las actividades que aquí se plantean. Siga las referen-cias que se incluyen en el margen de las hojas pues le ayudarán arepasar algunos conceptos que resultan necesarios para la com-prensión de otros nuevos.

Finalmente, estudiará el concepto de probabilidad que se utilizapara poder analizar situaciones que tienen resultados inciertos, esdecir en las que interviene el azar.

6P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

Cuadriláteros

En el Libro 3 se trabajó sobre diferentes cuerpos geométricos:prismas, cubos, pirámides, octaedros, cilindros, cuerpos cóncavos yconvexos. También se estudiaron los elementos que conformanesos cuerpos: caras, aristas y vértices.

Las caras de los cuerpos pueden tener distintas formas planas. Porejemplo, el triángulo, que se desarrolló en el Libro 4, es la forma de lascaras laterales de las pirámides y la base de los prismas rectos.

Si observamos el marco de una ventana, la forma de una puerta,las hojas de nuestros cuadernos, algunos barriletes, etc. notaremosque todas estas formas están constituidas por cuatro lados. Es porello que se las denomina cuadriláteros.

pirámides

prismas

7

Considere la habitación en la que se encuentra. Es posible que seaun prisma rectangular. ¿Qué forma tienen las paredes, el piso, eltecho? La forma de las caras de este cuerpo es una figura muy co-mún, se encuentra en las puertas, ventanas, bancos, cuadernos, li-bros. Es el rectángulo. Por poseer cuatro lados pertenece a la fami-lia de los cuadriláteros. El cuadrado también es un cuadrilátero,que se encuentra, por ejemplo, en las caras de los dados cúbicos.

Si observa atentamente ciertos mecanismos comprobará que estánformados por sistemas articulados de cuatro barras.

8

En el Anexo I encontrará varillas para recortar. Forme con cuatrode ellas, de iguales o diferentes longitudes, una poligonal cerrada.Observe que puede obtener diferentes cuadriláteros.

Repase en el Libro 3 el con-cepto de poligonal cerrada.

Como sucede con los cuerpos poliedros, los polígonos en general, ylos cuadriláteros en particular, pueden ser cóncavos o convexos.

Actividad Nº1Utilizando las varillas arme:

• cuadriláteros que tengan dos lados iguales de a pares; • cuadriláteros que no tengan los lados paralelos;• un cuadrilátero con las varillas de 2 cm, 2 cm, 3 cm y 10 cm.

9

Cuadriláteros convexos

Algunos cuadriláteros convexos tienen características especiales,por ejemplo poseer dos pares de lados paralelos, poseer todos loslados iguales, poseer los ángulos interiores iguales, etc. Por tener loslados paralelos, o porque los lados son iguales, o porque los ángulosson iguales, o porque tienen varias de estas propiedades a la vez reci-ben un nombre que los diferencia del resto de los cuadriláteros.

Paralelogramos

Si observamos un perchero como el de la siguiente figura, podre-mos detectar a un cuadrilátero, el paralelogramo, que tiene los la-dos opuestos paralelos.

Como todo cuadrilátero los paralelogramos se nombran a partir desus vértices: paralelogramo ABCD.

A igual que el resto de los cuadriláteros el paralelogramo tienecuatro lados, cuatro ángulos interiores y dos diagonales.

10

Comenzamos observando sus lados:

Note que el lado BC es igual al lado AD y que el lado AB es igualal lado CD.

____ __

__

Observando paralelogramos de diferentes medidas podemos obser-var que todos guardan la misma relación entre sus lados. Se puededemostrar que:

Los paralelogramos poseen sus lados opuestosde igual medida.

Analice ahora la medida de sus ángulos interiores.

Los ángulos B y D son iguales entre sí.^ ^

11

Los ángulos A y C son iguales entre sí.

Si observa varios paralelogramos advertirá que:

Los ángulos opuestos de un paralelogramoson iguales entre sí.

^ ^

Actividad Nº2¿Qué propiedad cumplen los ángulos consecutivos de un pa-ralelogramo?

Recuerde que los ángulos de un polígono cualquiera son con-secutivos cuando tienen un lado en común.

Analice ahora las diagonales del paralelogramo.

12

a

b

Como notará las diagonales no son iguales, aunque podrían serlo. Elparalelogramo es un cuadrilátero que no necesariamente tiene susdiagonales iguales. En este caso, el paralelogramo ABCD posee sudiagonal AC más corta que la diagonal BD.

Observe que al trazar las diagonales de un paralelogramo, el puntocomún a ambas es su punto medio.

En el paralelogramo ABCD, el punto O es punto medio de la diago-nal BD y lo es también de la diagonal AC.

Las diagonales de un paralelogramose cortan en su punto medio.

Actividad Nº3 El capot de un tractor posee la forma de un paralelogramo, uno desus lados es de 80 cm y su perímetro -suma de los lados de una fi-gura- es de 4 metros. ¿Cuál es la medida de cada uno de los lados?

Un carpintero es contratado para hacer una biblioteca amuradaa una pared. Al tomar las medidas detecta que el muro sobre elque debe asegurar el mueble está en falsa escuadra. Si el ángu-lo entre el piso y la pared es de 78º, ¿cuál será la amplitud quedebe tener cada uno de los tres ángulos restantes del mueble?

13

Rectángulos

Si observa el marco de las ventanas, las puertas, la tapa de un li-bro, el lomo de las guías de teléfono, las sendas peatonales en lasesquinas de la calles, etc., notará que todos estos objetos son cua-driláteros que reciben el nombre de rectángulos.

Dibuje en una hoja un rectángulo cualquiera.

Nombre sus vértices como A, B, C y D; así el rectángulo se llama-rá: rectángulo ABCD.

Prolongue todo lo que pueda los lados BC y AD.__ __

14

Prolongue todo lo que pueda los lados. Mida con una escuadra ladistancia entre ambas rectas. Encontrará que es la misma.

Notará de este modo que el lado BC y el lado AD son paralelos entre sí.

Prolongue ahora los lados AB y CD . Notará que también son paralelos.

Si prueba con muchos rectángulos observará la misma relación.Podemos demostrar que:

Los rectángulos poseensus lados opuestos paralelos entre sí.

__

__ __

__

Actividad Nº4Complete:

Si un rectángulo es un cuadrilátero que posee lados opuestos paralelos

podemos afirmar que todo rectángulo es .....................................................

¿Cómo son las longitudes de los lados de cualquier rectángulo?Compruébelo con una regla graduada o un compás en el siguienterectángulo.

15

Los rectángulos poseen lados opuestos iguales.

Analice ahora la medida de los ángulos interiores. Para ello recor-te los ángulos A, B, C y D del rectángulo previamente dibujado.Cuide de cortar en forma irregular la región interior del modo queseñala la figura (así evitará confundir los vértices del rectángulo).

Con el ángulo recto de una escuadra superpóngalos unos sobreotros. Verá que cada uno de ellos mide un recto. Observará que loscuatro ángulos son iguales. Por ello se dice que:

Todo rectángulo es equiángulo.

El prefijo equi significa igual, por lo tanto afirmar que el rectángu-lo es equiángulo implica que sus cuatro ángulos interiores midenlo mismo.

También se puede demostrar que un rectángulo es un paralelogramoque tiene sus cuatro ángulos interiores iguales (son todos rectos).

^ ^ ^ ^

Actividad Nº5¿Cuál es la medida de cada lado de un terreno rectangular cu-yo largo es de 80 m y su perímetro de 300 m?

16

Romboides

Entre los barriletes que los chicos remontan hay dos formas quecon mucha frecuencia se ven en el cielo: los barriletes hexagonalesy los romboidales.

¿Cuáles son las propiedades de un romboide?

Para armar un barrilete romboidal se suele utilizar dos cañas o va-rillas muy livianas. Éstas son las diagonales del romboide que, co-mo puede notar en la figura, son perpendiculares y una corta a laotra en su punto medio.

Luego se colocan los piolines, bien tensos, en los extremos de lasvarillas.

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De este modo hay dos piolines cortos de igual longitud y dos pio-lines largos de igual longitud.

Simbólicamente: AD = AB y DC = BC

Todo romboide tiene dos pares de lados consecutivos iguales.

Observe ahora los ángulos B y D. Notará que son iguales.

Todo romboide tiene al menos un par de ángulos interiores iguales entre sí.

__ __ __ __

^ ^

18

Otros paralelogramos

Rombos

Si observa los logotipos que utilizan muchas empresas automotri-ces notará la importancia que les dan a las formas geométricas.

Una de estas empresas en sus publicidades se refiere a sus produc-tos como "Los autos del Rombo".

Indudablemente es una de las formas más familiares que vemos anuestro alrededor: observando sus lados resulta agradable la armo-nía de sus formas.

Mida los lados de varios rombos. Verá que todo rombo es equilátero.

Los cuadriláteros equiláteros se denominan rombos.

Dibuje un rombo ABCD de cualquier medida.

Como lo hizo con el rectángulo, prolongue los lados AB y CD. No-tará que los lados AB y CD son paralelos entre sí.

Prolongue luego los lados BC y AD. Notará que también son para-lelos entre sí.

Como todo rombo es paralelogramo es posible afirmar que:

Los lados opuestos de un rombo son paralelos entre sí.

__ ____ __

__ __

19

Por tener lados opuestos iguales y paralelos, todo rombo es un pa-ralelogramo. Se puede afirmar entonces que sus diagonales se cor-tan en su punto medio.

A = C B = DAO = OCBO = OD

Como el rombo es equilátero, podemos afirmar que AB = BC y CD = DA,es decir que todo rombo posee lados consecutivos iguales. Por lotanto se puede afirmar que:

Todo rombo es romboide.

Si todo rombo es romboide debe tener diagonales perpendiculares.

Le proponemos que lo compruebe colocando el ángulo recto de suescuadra sobre las diagonales de cualquier rombo.

^ ^^ ^__ ____ __

Actividad Nº6Se quiere alambrar una plazoleta con forma de rombo contres vueltas de alambre. Para ello se necesitarán 600 m.

• ¿Cuál es el perímetro de la plazoleta? • ¿Cuánto mide cada lado?

20

Cuadrado

El cuadrado es una forma que se encuentra en un sinnúmero de losobjetos que nos rodean, las rejillas de nuestras casas, la zona de sa-que en una cancha de tenis, una hoja de papel glasé, los frentes delas cajas de disquetes de computación, las manzanas de las ciuda-des vistas desde un avión, etc.

El cuadrado es un cuadrilátero regular porque posee:• todos sus lados iguales,• todos sus ángulos iguales.

21M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n

• sus lados opuestos son paralelos.• sus diagonales son iguales y perpendiculares y se cortan en su

punto medio.

Actividad Nº7Complete las siguientes afirmaciones.

• Por ser equilátero todo cuadrado es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Por ser equiángulo todo cuadrado es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A modo de síntesis observe en el siguiente cuadro los diferentes ti-pos de cuadriláteros y las condiciones que cumplen cada uno.

No tiene lados paralelos.Trapezoide

Romboide

Trapecio

Paralelogramo

Rombo

Rectángulo

Cuadrado

Es un trapezoide con dos pares delados consecutivos iguales.

Tiene un sólo par de lados paralelos.Estos se denominan bases.

Tiene sus dos pares de ladosopuestos paralelos.

Paralelogramo con sus cuatro ladosiguales.

Paralelogramo con sus cuatroángulos rectos.

Rectángulo con sus cuatro ladosiguales.

22

A continuación se analizará la formación de cuadriláteros a partirde triángulos y la descomposición de cuadriláteros en triángulos. Enmatemática es muy frecuente resolver problemas a partir de triangu-lar las figuras para determinar los posibles triángulos cuya sumaconstituya el polígono que se está analizando.

Si se los dibuja haciendo coincidir el lado que tienen igual se for-ma un cuadrilátero.

Actividad Nº8Construya otro triángulo para obtener en cada caso el cuadri-látero que se menciona. Le sugerimos usar papel de calcar pa-ra facilitar su tarea.

romboide paralelogramo

cuadrado rombo

23

a

b

a

b

c

d

Actividad Nº9Observe la fotografía sobre el trabajo que realizan artesanosjaponeses del bambú. ¿Qué polígonos encuentra?

Dibuje tres de ellos y descríbalos.

Actividad Nº10En una hoja cuadriculada dibuje por lo menos un cuadriláte-ro que tenga:

Sólo un par de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

Los dos pares de lados iguales y ningún par de lados paralelos.

Sólo un par de lados paralelos y sólo un par de lados iguales.

Los dos pares de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

Bruno MunariEl Triángulo, más de 1000ejemplos ilustrados sobre eltriángulo equilátero. EdicionesG. Gili, México, 1999.

24

El cuadrado en la historia del hombre

Bruno MunariEl cuadrado, más de 300 ejem-plos ilustrados sobre la formacuadrada, Ediciones G. Gili,México, 1999)

Curral das Letras. Las primeras apariciones del cuadradoen los signos rupestres de los pueblos primitivos del perío-do neolítico, en Curral das Letras, Tua-Braganza, Portugal.Estos signos aparecerán después también en las escritu-ras cretenses y en las prehistóricas americanas.

Situación 1976, pinturade Diana Baylon.

Bauhaus. Uno de los primeros experimentos de distintasagrupaciones de nueve cuadrados. Bauhaus, Weimar.

Bet. Signos extraídos de los je-roglíficos, valor fonético: bet.

Anaguitá. Algunos signos extraídos de lospetroglifos americanos de Anaguitá.

25

Recorte varillas iguales y arme un cuadrilátero. Modifique sus án-gulos interiores y observe que de pronto tiene un cuadrado, luegoun rombo no cuadrado.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas figuras?

• Tienen los lados respectivamente iguales.• Varían las medidas de los ángulos interiores respectivos.

Observe que el cuadrado tiene los cuatro ángulos iguales y rectos osea que cada uno de ellos mide 90°, por lo tanto la suma de loscuatro es:

90° x 4 = 360°

En el rombo no cuadrado dos de los ángulos miden más de 90° ylos otros dos menos de 90°. ¿Cuánto suman los cuatro?

En vez de usar el transportador para medirlos y luego sumarlos re-curriremos a la misma estrategia que utilizamos en el Libro 3 paraanalizar cuánto suman los ángulos interiores del triángulo. Anali-zaremos entonces cuánto suman los ángulos interiores del rombo yde otro cualquiera de los cuadriláteros.

26

Para ello recorte los cuadriláteros que figuran en el Anexo II.Luego recorte los ángulos de cada uno de ellos y péguelos en for-ma consecutiva.

De este modo usted acaba de verificar que la suma de los ángulosinteriores de todos los cuadriláteros que usted recortó es 360°.

Pero esto sólo muestra qué sucede en estos casos.

¿Sucederá en cualquier caso y con todos los cuadriláteros?

Para contestar a estas preguntas es preciso dar una explicación yjustificación más general que efectivamente abarque a todos loscuadriláteros. En matemática esto se llama demostración.

En este caso se quiere demostrar que la suma de los ángulos interioresde cualquier cuadrilátero es 360°. Usted ya sabe que la suma de los án-gulos interiores de todo triángulo es 180°, por lo tanto se puede usaresta propiedad si se logra formar triángulos en el cuadrilátero.

Para poder considerar mejor el problema que se quiere resolver es útilapelar a una representación gráfica. Por ello se dibuja una figura deanálisis.

Observe que el ángulo A del cuadrilátero es igual a la suma de 1 y 6,y C es igual a la suma de 3 y 4.

27

Dibuje un cuadrilátero cualquiera y márquele una diagonal. Porejemplo:

El cuadrilátero quedó dividido en dos triángulos. Cuando se hacendemostraciones es preciso recurrir a conocimientos previos sobre eltema en cuestión. En este caso usted ya conoce la propiedad de losángulos interiores del triángulo.

En cada uno de los dos triángulos se cumple la propiedad: la sumade sus ángulos interiores es 180°. Para identificar a qué ángulo nosreferimos les pondremos nombres. Para diferenciar los ángulos deltriángulo de los del cuadrilátero nombraremos a cada ángulo deltriángulo con un número:

1, 2, 3, 4, 5, 6^ ^ ^ ^ ^ ^

^^ ^ ^

^

28

Como se observa en el gráfico

3 + 4 = C1 + 6 = A

5 = D2 = B

^ ^^ ^

^^

^^

^^

^ ^^ ^

^^

4 + 5 + 6 = 180°3 + 2 + 1 = 180°

C + 5 + 2 + A = 180° + 180°

C + D + B + A = 360°

^^

^ ^

^

^

^

^

¿Qué sucedería si se hubiera dibujado otro cuadrilátero?

Con cualquier cuadrilátero podría hacerse el mismo razonamiento.

Estas deducciones podrían hacerse con cualquier cuadrilátero que sehubiese dibujado, entonces se dice que se demostró en forma general.

Para hacerlo se recurrió a:• considerar qué conocimientos ya se tenían sobre suma de ángulos

interiores (en este caso ya se conocía la suma de los ángulos inte-riores de los triángulos);

• dibujar una figura de análisis (un cuadrilátero cualquiera); • dividir la figura en triángulos para aplicar una propiedad ya

conocida;• obtener mediante sumas el resultado deseado;• considerar si lo demostrado responde a un caso particular o sirve

para cualquier situación general (en este caso para cualquiercuadrilátero).

¿Qué se demostró en este caso?

Los ángulos interioresde un cuadrilátero cualquiera suman 360°.

En lenguaje simbólico:

Siendo ABCD un cuadrilátero cualquiera se verifica que A + B + C + D = 360°^ ^ ^ ^

++

29

Actividad Nº11Si tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden:65º, 89º y 135º ¿cuánto mide el cuarto?

Un cuadrilátero tiene al menos un par de ángulos iguales; siuno de ellos mide 70º ¿cuánto miden los restantes?

Actividad Nº12Es usual que los pisos y las paredes de las habitaciones esténcubiertos con piezas de madera o cerámicas. Muchas vecesestas piezas son cuadradas o rectangulares, pero también seutilizan otros polígonos.

¿Es posible cubrir el suelo utilizando baldosas repetidas de al-guna/s de las formas siguientes sin superponerlas y sin dejarespacios en blanco?

a

b

a

b

Para responder elija la (o las) figuras que considere puedenservir y recorte varias piezas iguales. Le sugerimos utilizarpapel de calcar.

¿Por qué cree que hay formas que sirven y otras no?

30

Es posible realizar hermosos diseños repitiendo polígonos. Aquí lemostramos algunos. Trate de hacer usted otros.

Antigua marca para identificarobjetos cerámicos, sólo contriángulos

Diseño de nuestros aborígenes

Motivos de patchwork con rombos.

Irene AlbuerneVilma Díaz y ZárateDiseños indígenas argentinos,Emecé Editores, Bs. As., 1999.

Bruno MunariEl triángulo, más de 100 ejem-plos ilustrados sobre el trián-gulo equilátero, Ediciones G.Gili, México, 1999)

31

Perímetros

En muchas situaciones cotidianas tenemos que estimar longitu-des para bordear diferentes objetos. Por ejemplo: la cantidad de hi-lo para hacer un paquete, de alambre para poner alrededor de uncantero, de cinta para hacer el borde de un vestido, etc. En estoscasos lo que se está estimando es el perímetro.

Por ejemplo, el perímetro de una plaza se expresa generalmente enmetros, la cantidad de hilo para atar un paquete pequeño puede in-dicarse en cm, el borde de la cabeza de un tornillo en mm o cm. Elcentímetro, el metro, el milímetro son unidades de longitud.

Para conocer la medida de cualquier perímetro bastaría bordearcon un hilo su contorno y luego medir esa longitud.

En el Libro 1 Módulo 3 re-pasar perímetros y unida-des de longitud.

Cuando se quiere calcular el perímetro de un polígono resulta mássencillo, porque se puede tomar la medida con una regla, si esto esfactible, y luego calcular la suma de los lados. Usted ya ha reali-zado en el Libro 3 ejercicios en los que aplicó estos conceptos.

Ahora considerará un perímetro muy particular: la longitud de lacircunferencia.

32

Analice el siguiente problema.

En una fábrica de neumáticos se necesita calcular la longitud decinta de caucho que se utilizará en la última capa de uno de susproductos. Para poder resolver esta situación debemos tener encuenta la forma del objeto con el que estamos trabajando.

En Libro 2 Módulo 5encontrará circunferencia ycírculo.

La circunferencia es la línea que se forma con todos los puntos queestán a igual distancia de otro llamado centro. Es decir, todos lospuntos de la circunferencia son equidistantes del centro.

Para dibujar circunferencias se utiliza el compás. Este instrumentopermite transportar segmentos. Al dibujar una circunferencia setransporta un mismo segmento infinitas veces, uno por cada pun-to de la circunferencia.

33

Actividad Nº13¿Qué nombre recibe el segmento que tiene por extremos elcentro de la circunferencia y uno cualquiera de sus puntos?

a

b

c

d

¿Cuántos radios tiene una circunferencia?

Es posible determinar otros segmentos en la circunferencia,aquellos en que sus dos extremos son puntos de la circunferen-cia. ¿Cuál de los segmentos dibujados tiene mayor longitud?

¿Cuántos diámetros tiene la circunferencia?

La figura plana que queda delimitada por la circunferencia tienesiempre el mismo ancho, porque tiene infinitos diámetros iguales.

34

Esta propiedad es la que le permitió al hombre inventar la rueda,facilitando enormemente el traslado de cosas pesadas.

Para que usted note con mayor claridad la importancia de esta for-ma tome dos cilindros de igual diámetro (dos lápices) y trasladeuna caja haciéndolos rodar.

Luego tome otros dos lápices pero con forma de prismas y trate dehacer lo mismo. ¿Qué sucede?

Por ser las diagonales de mayor longitud que los lados el "ancho", noes constante. Tiene un “ancho" máximo y un ancho mínimo. En las si-guientes figuras se observa esta situación considerando la posibilidadde que usted haya elegido un lápiz con base cuadrada o hexagonal.

Esto también lo advertirá si trata de pasar por un pasillo un cuerpocuyas caras laterales sean estas figuras, depende de cómo ubique elcuadrado, pasa o no. Piense por ejemplo una caja de base cuadrada.Muchas veces al reubicar muebles tenemos en cuenta esta propiedad.

Retomemos el problema de la fábrica de cubiertas. Allí necesitansaber la longitud del caucho, que no es otra cosa que la longitud dela circunferencia.

35

Hallar la longitud de la circunferencia es medir el largo de dicha lí-nea. Para ello se puede rodear la cubierta con un piolín, estirarlo yluego medirlo.

Actividad Nº14Tome varios objetos de base circular como platos, latas de du-raznos, ollas, baldes, etc. Dibuje los contornos de las bases, esdecir las circunferencias.

Analice qué sucede con la relación entre la longitud de la cir-cunferencia y la longitud de los diámetros de esas figuras.Complete los valores hallados en una tabla como la siguiente.Puede utilizar un piolín.

Longitud de circunferencia Diámetro

¿Cómo hallar los diámetros?

De diferentes maneras. Le proponemos algunas:

• apoyar los objetos circulares sobre un papel, bordearlos. Recortar loscírculos obtenidos y doblarlos por la mitad, por lo menos dos veces.

Así es posible obtener un diámetro.

Ver Módulo 5 Libro 2.

36

Observe que cualquier doblez que divida en mitades siempre per-mite obtener un diámetro porque pasa por el centro.

• Con un piolín, apoyar en un punto del borde y tomar diferentesmedidas hasta obtener la máxima. Esa corresponde a la del diáme-tro, por definición de diámetro.

Para que exista proporcionalidad directa entre el diámetro y la lon-gitud de la circunferencia debería haber una constante de propor-cionalidad.

Para hallar esa constante, si es que existe, divida cada longitud decircunferencia por su correspondiente diámetro.

Si usted tomó bien las medidas y efectuó bien los cálculos obten-drá valores muy cercanos a 3.

Recuerde proporcionalidaddirecta en el Libro 2, Mó-dulo 4 y en el Libro 3.

37

Actividad Nº15Dibuje un par de ejes. En el horizontal indique los diámetrosy en el vertical las longitudes de las circunferencias. Marquelos puntos correspondientes a los valores obtenidos en losdiámetros y circunferencias de la actividad anterior.

El siguiente cuadro corresponde a los valores hallados en una acti-vidad similar a la que usted tenía que realizar en la que se utilizóun instrumento graduado en cm y mm.

Diámetro 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 6 cm 7 cm 8 cm 9 cm

Longitud de lacircunferencia 3 cm 6,3 cm 9,4 cm 12,6 cm 15,7 cm 18,9 cm 22 cm 25,1 cm 28,2 cm

l

d

Referencias

l longitud de la circunferenciad diámetro

38

A continuación le presentamos el gráfico correspondiente a estecuadro:

Observará que los puntos quedan aproximadamente alineados.

Además si una circunferencia tuviese diámetro cero, ¿qué longitudtendría?

Considerando los errores en los valores del cuadro, propios de la li-mitación del instrumento y los errores al medir, se podría decirque el gráfico corresponde a puntos que están sobre una recta quepasa por el origen de coordenadas.

Por lo tanto si la relación que existe entre el diámetro de cada circun-ferencia y su longitud es una proporcionalidad directa cuya constan-te es (aproximadamente) tres, se puede afirmar que tiene la forma

y = k . x

Donde k (constante de proporcionalidad) es aproximadamente 3.

39

O seay = 3. x

En este caso la variable independiente x es el diámetro y la varia-ble independiente y es la longitud de la circunferencia, que serádistinta para cada valor del diámetro. Queda entonces:

Longitud de la circunferencia = 3 . diámetro

Este valor 3 es el que usaban los súmero-babilonios para hallarlongitudes de circunferencias, por ejemplo el largo de un hierroque al curvarlo diera una rueda de cierto ancho.

Pero los matemáticos, mediante otros métodos han calculado conmayor exactitud la constante de proporcionalidad, número al quellamaron π (pi) y que no puede expresarse con todas sus cifras de-cimales, pues siempre se puede calcular una nueva cifra. Tal comoestudió en el libro 4 tanto por truncamiento como por redondeo sela puede indicar por aproximación

� = 3,14

La fórmula para hallar la longitud de la circunferencia:

Longitud de la circunferencia = � . d

Como el diámetro tiene el doble de la longitud del radio se la pue-de expresar también como:

Longitud de la circunferencia = 2 . � . r

Retomemos el problema de los neumáticos. Para resolverlo debe-mos medir el radio. Si al hacerlo registramos un radio de 50 cm, lalongitud de cinta de caucho para el neumático será igual al doblede 50 cm (50.2) por π, que indica la cantidad de veces que “entra"el diámetro en la circunferencia. Así se tiene:

Longitud de cinta = 2 . � . rLongitud de la cinta = 2 . � . 50 cmLongitud de la cinta de caucho = 314 cm

a

b

40

No todos los problemas en los que participan formas circulares po-seen como incógnita la longitud de una circunferencia. Otros pue-den referirse a la superficie del círculo.

Lea en el Libro 2, Módulo 5lo trabajado sobre superfi-cie de círculo.

Actividad Nº16En una fábrica de posavasos se quiere averiguar la superficiedel material sobrante por cada planchuela que deja una má-quina perforadora de planchuelas de corcho. Las dimensionesde las planchuelas son de 50 cm por 60 cm. La máquina rea-liza 35 agujeros circulares de 5 cm de radio.

Calcular cuánta cinta es necesaria para poner en el borde delos portavasos de cada planchuela, considerando que al totalde la cinta necesaria se le agrega un 15% para poder trabajar.

Se quiere atar un paquete cilíndrico del modo que indica el gráfi-co. Se sabe que la longitud de la circunferencia de las bases delpaquete es de 15,7 cm, la altura del paquete es de 9 cm y se deseadejar 8 cm para el nudo. ¿Con qué longitud debe contar el piolín?

a

b

Actividad Nº17Calcular en forma aproximada la superficie de una monedade $ 0,25, de una de $ 0,50 y de una de $ 1.

Se quiere enchapar con fórmica la superficie de una mesa circularde 50 cm de diámetro. ¿Qué superficie de fórmica debe comprarse?

41M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n

a

Superficies

El Tangram

El Tangram es un juego muy antiguo de origen chino. Consta desiete piezas geométricas. Con él es posible armar una muy variadacantidad de figuras. Algunas resultan figurativas, semejan anima-les o casas, otras son enteramente geométricas.

Actividad Nº18Para realizar esta actividad tendrá que recortar las figuras queestán en el Anexo III. Le sugerimos que las pegue sobre car-tón o cartulina para trabajar mejor. Todas ellas conforman elrompecabezas conocido como Tangram.

Arme las siguientes figuras con las siete piezas del Tangram. (Laspiezas se pueden colocar una al lado de otra pero no superponer.)

42

Arme con ellas un cuadrado.

¿Cómo son entre sí las superficies de las figuras de los items a y b?

b

c

Superponga los dos triángulos pequeños con: • el cuadrado pequeño;• el paralelogramo; • el triángulo mediano.

Actividad Nº19Arme la pieza triangular grande con:• el paralelogramo y los dos triángulos pequeños;• el triángulo mediano y los dos triángulos pequeños;• el cuadrado y los dos triángulos pequeños.

Arme un triángulo, un paralelogramo y un rectángulo usandolas siete piezas cada vez.

¿Cuántos triángulos pequeños son necesarios para formar eltriángulo mediano? ¿Y para formar el triángulo más grande?

a

b

c

Después de hacerlo observe que se puede decir que el cuadrado pe-queño mide (ocupa el lugar de) dos triángulos pequeños. Lo mismosucede con el paralelogramo y con el triángulo mediano.

De este modo podemos afirmar que la pieza con forma de cuadra-do, la que tiene forma de paralelogramo y el triángulo medianotienen superficies equivalentes. O lo que es lo mismo, que tienenla misma superficie.

También son figuras equivalentes en superficie las figuras y elcuadrado obtenido en la actividad anterior.

43M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n

Considere el triángulo pequeño. ¿Cuánto mide el cuadrado que searma con las siete piezas?

Mide 16 triángulos pequeños.

Considere el triángulo mediano. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado?

Mide 8 triángulos medianos.

Considere el triángulo grande. ¿Cuánto mide el mismo cuadrado?

Mide 4 triángulos grandes.

La medida de la superficie se llama áreay varía dependiendo de qué patrón se usa para medir.

¿Varía de cualquier manera?

En los ejemplos del Tangram se puede observar lo siguiente: en ca-da medición se usó un patrón con el doble de superficie respectodel anterior, y se obtuvo una medida que resultó la mitad en cadauno de los respectivos ejemplos.

Patrón usado Medida obtenida

16

8

4

44P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

Puede deducirse que cuando el patrón (unidad) es el doble, la medi-da obtenida es la mitad; cuando es el cuádruple la medida obtenidaes la cuarta parte. La relación entre el tamaño de la unidad y la me-dida obtenida es de proporcionalidad inversa, porque al variar unade ellas, la otra se modifica según su inverso multiplicativo.

Si lo considera necesario re-pase en el Libro 4 el concep-to de inverso multiplicativo.

Actividad Nº20Corte un trozo de hilo. Esta será una de sus unidades de lon-gitud. Corte otros dos hilos cuyo largo sea el doble y el tripledel anterior. Analice qué sucede si mide la longitud del bordede una mesa utilizando sucesivamente estas tres longitudescomo unidades.

Busque dos botellas tales que la capacidad de una de ellas sea eldoble de la otra. Mida la capacidad de un balde o de una ollados veces utilizando sucesivamente como unidad estas botellas.

Analice sus respuestas a los items a y b y responda: ¿la relaciónde proporcionalidad inversa entre el tamaño de la unidad y la me-dida obtenida depende de la magnitud que se mida?

a

b

c

Si queremos forrar un cuaderno, pintar o empapelar una pared,embaldosar un piso, etc. debemos estimar las respectivas medidasde las superficies. Esto se puede hacer de dos formas:

• por una estrategia de “medición", es decir de comparación -directao mental- con una unidad o patrón de esa magnitud;

• por el cálculo de la medida de la superficie, a partir de anali-zar la figura y conocer algunas longitudes.

45

¿Cómo se miden las superficies?

Si antes de pintar una habitación, para proteger su piso lo cubri-mos con 50 hojas de papel de diario, podríamos afirmar que la su-perficie del piso es 50 papeles de diario. En este caso se comparódirectamente la superficie a medir con la unidad (papel de diario).

Pero se sabe que no todas las publicaciones editan sobre un mismotamaño de papel. Por tal razón no podríamos transmitir a otro lainformación si previamente no nos ponemos de acuerdo sobre quédiario usar y por lo tanto obtener la misma medida.

Para medir superficies la unidad es un metro cuadrado, o sea es lasuperficie de un cuadrado que tiene un metro de lado.

También se necesitan unidades de mayor y de menor superficie.Por ejemplo, la superficie de un país se mide en km2 , la superficiede una hoja de cuaderno en cm2.

Para medir campos también suele utilizarse la hectárea (ha) que esuna superficie equivalente a 1hm2, es decir a un cuadrado de 1hmde lado. Por ejemplo en las ciudades las cuadras generalmente sonde 100 m de largo, cada manzana es 1 hectárea.

Es importante recordar que las unidades patrón se eligen en fun-ción de las mediciones que se deben efectuar.

Consulte en el Libro 1, Mó-dulo Nº3 las unidades demedida.

Actividad Nº21Indique cuál es la unidad adecuada para medir la superficieen cada caso:

La extensión de su provincia

El frente de un edificio

La superficie de su mesa de trabajo

La hoja de un árbol

La palma de su mano

La huella que deja su pie

Objeto que se debe medir Unidad de superficie elegida

46

Actividad Nº22Halle el área de la hoja de una planta usando diferentes uni-dades como por ejemplo, el centímetro cuadrado, el milímetrocuadrado.

Para realizar esta actividad puede “calcar" la hoja sobre papelcuadriculado de 1cm, de cm y sobre papel milimetrado(Anexos IV , V y VI).

Resulta interesante tomar hojas de una misma planta en dife-rentes estadios de crecimiento y observar qué relación guar-dan entre sí el largo, el ancho y el área.

12_

a

b

¿Cómo se calculan las superficies?

No siempre resulta sencillo medir superficies, pero se puede ob-tener la medida a partir de conocer algunas longitudes.

En módulos anteriores usted ha estudiado cómo calcular la super-ficie del rectángulo, del cuadrado, del rombo, del triángulo y delcírculo. Puede consultar los números 2, 3 y 4.

Actividad Nº23Se quiere embaldosar un patio rectangular de 4 m de largopor 3 m de ancho utilizando baldosas de 40 cm por 40 cm.¿Cuántas baldosas serán necesarias?

Una lata de pintura en su etiqueta dice “Rendimiento 5 m2/ li-tro" esto significa que con un litro es posible cubrir 5 m2). Se de-sea pintar una habitación que tiene dos paredes de 4 m x 6 m yotras dos de 5 m x 6 m. En una de las paredes pequeñas hay unaventana de 1 m x 2 m; en otra hay una puerta de 1,5 m x 3 m;en una de las paredes grandes hay otra puerta de 2 m x 3 m. (Eltecho no se pinta con la misma pintura de las paredes.)

47

a

b

c

a

b

b.1

b.2

b.3

Haga el dibujo de la habitación.

Determine las dimensiones del techo.

Calcule cuántos litros de pintura serán necesarios para pintarlas paredes (descontando las puertas y la ventana).

Actividad Nº24Dibuje en el papel cuadriculado triángulos de cm2; 1 cm2;1 cm2; 2 cm2; 2 cm2 y 3 cm2 respectivamente.

Para ello tenga en cuenta que las siguientes figuras miden 1 cm2.

12_

12_

12_

_12

superficie de A = 1 cm2 _12

superficie de B = 1 cm2

Actividad Nº25Dibuje un cuadrado y recórtelo. Divídalo en dos figuras deigual superficie. Intente varias soluciones.

Dibuje un rectángulo y recórtelo. Divídalo en dos figuras deigual superficie. Intente varias soluciones.

Dibuje un paralelogramo y recórtelo. Divídalo en dos figurasde igual superficie. Intente varias soluciones.

Actividad Nº26Dibuje un cuadrado cuya superficie mida 36 cm2.

Dibuje un triángulo cuya superficie mida la cuarta parte de ladel cuadrado.

48

Actividad Nº27Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 24 cm2. Dibuje untriángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo.

Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 24 cm2. Dibujeun triángulo cuya superficie sea la mitad de la del rectángulo.

Dibuje un rectángulo cuya superficie mida 21 cm2. Dibuje untriángulo cuya superficie mida la mitad de la del rectángulo.

Dibuje un paralelogramo cuya superficie mida 21 cm2. Dibujeun triángulo cuya superficie mida la mitad de la del paralelo-gramo. Dibuje otro triángulo cuya superficie sea la mitad dela del mismo paralelogramo.

a

b

c

d

¿Cómo calcular la superficie de otras figuras?

A continuación determinaremos cómo se calcula la medida de lassuperficies de triángulos, trapecios y romboides. Para ello se utiliza-rán las superficies de rectángulos y paralelogramos que ya conoce.

Superficie del triángulo

Para calcular la superficie del triángulo utilizaremos el rectángu-lo y el paralelogramo. Le sugerimos revisar sus respuestas a la Ac-tividad Nº 27.

Al trazar cualquiera de las diagonales de un rectángulo notará que lafigura queda dividida en dos triángulos iguales. La superficie del trián-gulo deberá ser, entonces, la mitad de la superficie del rectángulo.

Relea en el Libro 4 las pro-piedades de los triángulos.

49

Como la superficie del rectángulo es base por altura, la superficiedel triángulo será la mitad, o sea, habrá que multiplicar a la basepor la altura y dividirla por dos:

Sup. del triángulo = base x altura2

¿Cuál será la superficie de un triángulo de 5 cm de base y 3 cm dealtura? Consulte los Módulos Nº3 y Nº5 donde se trabajó sobre su-perficie del rectángulo.

____________

Primero cuente los cuadraditos completos.

Luego las porciones de cuadrados uniéndolas para constituir cua-drados completos.

50

Como podemos notar la fórmula interpreta el conteo de centíme-tros cuadrados realizado por nosotros:

Superficie del triángulo=

Superficie del triángulo=

Superficie del triángulo=

Superficie del triángulo= 7,5 cm2

El triángulo sobre el que recién trabajamos es rectángulo. ¿Cómo secalcula la superficie del triángulo si es acutángulo u obtusángulo?

Considere el siguiente paralelogramo:

____________

____________

______

Como puede observar, al trazar cualquiera de las diagonales el pa-ralelogramo también queda dividido en dos triángulos iguales.

En este caso también hay que multiplicar la base por la altura pa-ra hallarla. Por lo tanto si la superficie de cada triángulo es la mi-tad de la del paralelogramo, habrá que dividir por 2 el resultado dela multiplicación. Es importante considerar que la altura del para-lelogramo coincide con la altura del lado del triángulo que se estáconsiderando como base.

Como puede observar la fórmula sirve para calcular la superficiede cualquier triángulo, no importa que éste sea rectángulo, acután-gulo u obtusángulo.

Superficie del triángulo=

Si es necesario revise el Li-bro 2, Módulo 5 para repa-sar cómo se calcula la su-perficie del paralelogramo.

base x altura2

____________base x altura2

5 cm . 3 cm2

15 cm2

2

51

Actividad Nº28Con un hilo elástico (cerrado) fije dos puntos A y B y despla-ce el tercer punto C por una paralela al lado AB (ver figura).

a

b

c

d

e

f

¿Qué elementos de cada triángulo permanecen constantes ycuáles varían?

¿Qué clases de triángulos pudo obtener?

¿Cuántos triángulos acutángulos, rectángulos y obtusánguloshalló?

Identifique los triángulos isósceles encontrados.

¿Cuál es el triángulo de menor perímetro?

¿Que conclusión puede sacar respecto de la superficie y delperímetro de cada triángulo?

52

Superficie del trapecio

Para que usted pueda seguir la explicación más fácilmente esconveniente que recorte los dos trapecios iguales que encontraráen el Anexo VII.

Coloque los nombres a los vértices, como indican las siguientes figuras.

Trabajaremos con el trapecio ABCD y con el A’B’C’D’, que soniguales entre sí.

Responda las preguntas que se formulan, si tiene dificultades mirela referencia en el pie de página.

Rote uno de los trapecios 180º y haga que el lado CD y el lado C’D’coincidan.

Podrá observar que queda conformado un paralelogramo. Mencio-ne qué paralelogramo queda formado : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

¿Cómo es la superficie del paralelogramo respecto del trapecio?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Halle la superficie de un paralelogramo.

1 El paralelogramo ABA’B

53

Superficie del paralelogramo ABA’B’ = . . . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . 3

O sea la base del paralelogramo por la altura.

Pero además la base del paralelogramo es la suma de la base ma-yor y la base menor del trapecio.

Nos referiremos a ellas como Base (base mayor) y base (base menor).

Se tiene entonces que AB’ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4

La altura del paralelogramo es la misma que la del trapecio, la lla-maremos h.

Si reemplazamos la base del paralelogramo por la suma de las ba-ses de los trapecios queda:

Superficie del paralelogramo ABA’B’ = (. . . . . . + . . . . . . ) x . . . . . . 5

Como usted sabe que la superficie de cada trapecio es igual a lamitad de la del paralelogramo sólo restará dividir por dos:

Superficie del trapecio =Base (mayor) + base (menor) x H

2________________________

2 La superficie del paralelogramo es el doble de la superficie del trapecio. Por lo tanto la superficie del trapecio es la mitad de la del paralelogramo.3 Superficie del paralelogramo ABA’B’= AB’ . AB. 4 AB’= Base (mayor) + base (menor).5 Superficie del paralelogramo ABA’B’= {Base (mayor) + base (menor)} x h.

54

Actividad Nº29Primero consulte en el Módulo 5 qué son los puntos medios.Luego realice la actividad.

Dibuje un rectángulo sobre el papel cuadriculado (Anexo IV o V).

¿Cuánto mide la superficie de su rectángulo?

• Trácele los puntos medios a los lados.• Una los puntos medios de lados consecutivos.

¿Qué figura le quedó formada al unir los puntos medios?

¿Qué relación encuentra entre esta superficie y la del rectán-gulo del comienzo?

a

b

c

Superficie del romboide

Para facilitar la deducción de la fórmula del romboide recorte delAnexo VIII los dos romboides iguales. En uno de ellos recorte lostriángulos que están determinados.

Coloque las letras para poder seguir la deducción.

55

Llamaremos d a la diagonal menor y D a la diagonal mayor.

Complete el rectángulo con las piezas triangulares del otro romboi-de para conseguir formar un rectángulo. Como puede observar, es-te rectángulo tiene el doble de superficie que cada romboide.

Como usted sabe hallar la superficie de un rectángulo, le bastarácon hallar la superficie del rectángulo y luego dividirla por dos pa-ra obtener la del romboide.

Observe:

La diagonal mayor del romboide coincide ¿con qué segmento delrectángulo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Y además la diagonal menor coincide con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

El rectángulo está formado por ocho triángulos. Podríamos formarcon ellos dos romboides iguales. Por lo tanto la superficie del rom-boide es igual a la mitad de la superficie del rectángulo.

Entonces:

Superficie del romboide =Sup (rectángulo)

2

Complete con los datos del rectángulo:

Superficie del romboide = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 La base del rectángulo PL (o bien MN) coincide con D.7 La altura del rectángulo (BE=MP).8 PL x MP.

2

_______________

56

Usted ya dedujo que esos datos están relacionados con los del rom-boide, reemplácelos:

Superficie del romboide = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

La superficie del romboide es:

Superficie del romboide =D x d

2

9 Diagonal (mayor) x diagonal (menor)2

Actividad Nº30Su hijo quiere construir un barrilete que tiene forma de rom-boide. Para eso usted dispone de dos maderitas de 60 cm y de80 cm. ¿Cuántos cm2 de papel necesitará si quiere ponerle doscapas, una a cada lado del barrilete?

Un puente que se encuentra sobre un ferrocarril tiene un en-rejado fino que forman dos “paredes de hierro" laterales quesirven como seguro. La forma de cada una es la de un trape-cio isósceles cuya base mayor mide 15 m, su base menor mi-de 12 m y la altura es de 8 m. ¿Cuál es la superficie de cadauna de esas paredes?

a

b

Actividad Nº31Calcule mentalmente.

¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide 7 cm y sualtura mide 8 cm?

Una carpeta cuadrada tiene 25 m2 de superficie, ¿cuál es lamedida de cada uno de sus lados?

Un paralelogramo posee 80 m2 de superficie. Si su base mide10 cm, ¿cuál es su altura?

Un triángulo mide 36 cm2 de superficie si la altura es de 9 cm,¿cuánto mide su base?

a

b

c

d

57

A continuación y a modo de síntesis, le presentamos un cuadrocon las fórmulas de superficie que usted podrá consultar cada vezque lo necesite.

Triángulo

Figura Fórmula de lasuperficie

Cuadrado

Rectángulo

Paralelogramo

Rombo

Romboide

Trapecio

Círculo

b . h2

D . d2

D . d2

(B + b) . h2

l2

b . h

b . h

Sup. (círculo) = � . r2

58

Volúmenes

Si queremos levantar una construcción de hormigón, llenar uncamión con la carga, llenar una pileta o un tanque, guardar la va-jilla en un armario o la mercadería que compramos (latas de toma-tes, paquetes de galletitas, etc.), guardar libros en una caja o en unestante, rellenar un pozo con tierra o con material asfáltico debe-mos estimar los respectivos volúmenes.

Para realizar la próxima actividad trabajará con un rompecabezasllamado Soma.

El Soma es un rompecabezas espacial creado por el matemáticodanés Piet Hein. Consta de siete piezas que están formadas por cu-bos. Con él es posible armar una muy variada cantidad de sólidos.Algunos resultan figurativos y otros son enteramente geométricascomo por ejemplo el cubo del dibujo.

En el Libro 2, Módulo Nº5encontrará informaciónmás detallada sobre el te-ma volumen.

Actividad Nº32Copie en cartón o cartulina fuerte este rompecabezas. Armelos 27 cubitos y con ellos las siete piezas del Soma.

59

Arme los siguientes cuerpos con piezas del Soma.

Observe que las piezas se arman con diferente número de cu-bos. Así como para medir superficies se utiliza una superficietomada como unidad patrón, para medir volúmenes se consi-dera un volumen como unidad. En este caso un cubo peque-ño será la unidad. Analice en cada una de las construccionescuál es el volumen respecto de esa unidad.

Arme tres cuerpos equivalentes en volumen.

60

¿Cómo se mide el volumen?

Para medir el volumen de un cuerpo es necesario acordar -tal co-mo se hizo con las mediciones de longitudes y de superficies- yadoptar una unidad de medida común.

Si cargamos el baúl de un auto con cajones de gaseosa, y vemosque entran cinco, podríamos afirmar que el volumen interior delbaúl es 5 cajones de gaseosa. Pero otra persona podría discutir porun baúl semejante porque él guarda sesenta cajas de gaseosas, en-tonces podría decir mide sesenta.

Un volumen se mide viendo cuántas unidades cúbicas contiene elsólido en cuestión.

El metro cúbico (m3) es el volumen que tiene un cubo de 1 m de arista.

El centímetro cúbico (cm3) es el volumen que tiene un cubo de 1 cmde arista.

Si se quiere medir el volumen de agua que puede contener un baldees conveniente medirlo con centímetros cúbicos (cm3) . También seusa esta unidad para indicar la capacidad total de los cilindros de losmotores de los coches y las motos. Es común escuchar hablar de la ci-lindrada de los motores, a mayor cilindrada mayor potencia.

En cambio si se quiere medir el volumen de aire que contiene unahabitación es mejor hacerlo en metros cúbicos (m3).

Muchas veces, la capacidad de los frascos de medicamentos viene in-dicada en centímetros cúbicos (cm3) o en milímetros cúbicos (mm3).

Si considera el siguiente dibujo a escala de 1 dm3 y la cantidad decubitos de 1 cm de arista (1cm3) necesarios para llenarlo podrá re-cordar que en las unidades de volumen del SIMELA la relación en-tre las diferentes unidades es de potencias de 1.000.

En el Libro 2 del Móludo 4puede encontrar desarro-llado lo relativo a las unida-des de volumen que seconsideran en el SistemaMétrico Legal Argentino(SIMELA).

1 cm

61

Si lo cree necesario arme un m3. Recorte y pegue papeles de diariopara armar las caras laterales que tendrán 1m2. Arme el cubo de1m de arista, en un rincón de una habitación, así podrá utilizar elpiso y las paredes como ayuda. Complete con su imaginación el“techo" de este metro cúbico. Si además construye cubos de 1 dmde arista (dm3) verá como efectivamente se necesitarán 1.000 deesos cubos de 1dm3 para completar el m3.

También puede armar cubos de 1cm de arista y tratar de completarun cubo de 1dm3 de volumen.

1 cm31 dm3

62

Estas equivalencias entres unidades son las que deberá recordar, porejemplo, si le preguntan ¿a cuantos dm3 equivalen 5m3? Podrá contes-tar pensando en el cubo que armó de 1m3 que equivalen a 5 000 dm3.

¿Cómo se calculan los volúmenes de los cuerpos?

Así como no siempre resulta sencillo medir superficies tampocolo es medir los volúmenes. La medida se puede obtener calculándo-la a partir de conocer algunas longitudes.

Por ejemplo, la fórmula del prisma es:

Volumen del prisma = superficie de la base x altura.

Analice este ejemplo.

Se quiere medir el prisma de la siguiente figura. Se utilizan cubosde un cm3.

En el Libro 2, Módulo 5 seexplica cómo calcular el vo-lumen de cubos, prismas ycilindros. Revéalo.

63

64

Se observa que caben 6 cubos a lo largo, luego 5 cubos a lo ancho.Con lo que se tienen en la base 30 cubos. Luego se observa que enel alto caben 3 cubos. Finalmente se cuentan todos los cubos y seobtiene que hay 30 x 3 = 90 cubos.

Por lo tanto el volumen de este prisma se puede obtener directa-mente multiplicando los valores del largo por el ancho por el altoo lo que es lo mismo, superficie de la base por la altura.

Datos:Longitud del largo = 6 cmLongitud del ancho = 5 cmLongitud del alto = 3 cm

Volumen del prisma = ?

Volumen del prisma = 6 cm x 5 cm x 3 cm = 90 cm3

65

Actividad Nº33Las aristas de una caja de cartón con forma de prisma midenrespectivamente 16,5 dm, 18 dm y 30 dm.

¿Con cuántos cubos de 1 dm de arista se puede rellenar?

¿Con cuántos cubos de 1 cm de arista se puede rellenar?

Use la fórmula para hallar el volumen en decímetros cúbicos.

Use la fórmula para hallar el volumen en centímetros cúbicos.

¿Encontró alguna diferencia con los resultados anteriores?

a

b

a

b

Actividad Nº34Las aristas de un envase de leche miden 2 dm, 1,25 dm y 1 dm.¿Cuántos decímetros cúbicos caben en él?

Actividad Nº35El decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de undecímetro de arista, pero no es correcto decir que un decíme-tro cúbico es un cubo de un decímetro de arista. Resuelva elsiguiente problema y responda por qué no es correcto.

Las aristas de una caja prismática son 1 dm, 2 dm y 0,5 dm.¿Cuál es el volumen de esta caja?

66

El lenguaje matemático

Para poder organizar nuestro pensamiento, comunicar nuestrasideas, interpretar las ideas de otros, necesitamos usar una repre-sentación que sea común a todos. Esta representación es el lengua-je. Este lenguaje ya sea el gestual, con gráficos, con palabras haido cambiando a través de la historia del hombre.

¿Qué habrán querido transmitir aquellos hombres que pintaron lasparedes de la cueva de Altamira en España o aquellos que lo hicie-ron en la cueva de las manos en nuestra Patagonia?

Es fundamental que todos entendamos lo mismo con cada símboloque usemos. Por ejemplo el semáforo debe ser interpretado de cier-ta manera: luz roja, parar; luz verde, avanzar. Si alguien entendie-ra lo contrario resultaría muy peligroso. La elección del color esconvencional y arbitraria.

Convencional quiere decir que las personas que la utilizan se pusie-ron de acuerdo, y arbitraria que es así por elección pero podría ha-ber sido de otra manera.

Del mismo modo las palabras que usamos para hablar y escribir sonarbitrarias. Así también sucede con el lenguaje matemático. Es con-vencional y es arbitrario. Por ello es que debemos acordar qué signi-fican los símbolos que se usan para que todos nos entendamos.

67

La matemática usa varios lenguajes: el lenguaje gráfico, el lengua-je aritmético, el lenguaje geométrico, el lenguaje coloquial (habi-tual), el lenguaje algebraico.

María tiene quince años. Es una expresión del lenguaje habitual (en castellano)

María tiene 15 años. Ya introduce el lenguaje aritmético. Utiliza un símbolo numéricoque forma parte del lenguaje aritmético.

Observe que en la Antiguedad un romano lo hubiese escrito: María tiene XV años.

Los lenguajes evolucionan de acuerdo con los diferentes momentoshistóricos con las diferentes civilizaciones.

“Quince" se dice diferente en otros países, por ejemplo en inglés“fifteen". Pero, tanto en Inglaterrra como en muchísimos paísesmás, se escribe 15 al usar el lenguaje aritmético, porque el lengua-je aritmético es casi universal.

¿Para qué sirve el lenguaje simbólico de la matemática? Para acor-tar expresiones. En la Edad Media se escribía “la raíz cuadrada detreinta y seis más sesenta y cuatro es igual a diez". Ahora se indica así:

�36 + 64 = 10

Los signos más y menos tal como hoy los usamos ("+" y "-") fueronempleados por primera vez por el alemán Ricardo Widmann en 1489.

El signo "=" lo creó el inglés Robert Recorde en 1557.

La notación "� " para designar a la raíz cuadrada fue introducidapor Christoph Rudolff en 1525.

Recién en el siglo XV se generalizó a toda Europa el uso del siste-ma de numeración indoarábigo, que usamos hoy.

Piense qué otros símbolos matemáticos conoce. Todos tienen su historia.

68

Thomas Harriot creó los signos de desigualdad “>" y “<" en 1631. En-tonces hoy pensamos y decimos que “siete es mayor que tres" tantocuando vemos escrito “7 > 3" como cuando encontramos “3 < 7".

También es posible escribir “7 � 9" con lo que se indica que “sietees menor o igual que nueve".

Pero también es común encontrar en los textos matemáticos “a < 9"con lo que se quiere expresar “cualquier número menor que nue-ve". En este caso estamos usando el lenguaje algebraico.

En el lenguaje algebraico se utilizan letras en lugar de números. Estasletras pueden estar representando uno, varios o infinitos números.

Veamos algunos ejemplos:

• Cuando se dice “un número que sumado a tres de siete" simbóli-camente se puede expresar “n + 3 = 7". Con “n" se indica un solonúmero desconocido al momento de expresarlo pero que es facti-ble hallar. Se dice que ese número es cuatro y se expresa “n = 4".

• Cuando se dice en lenguaje coloquial “dos números naturales quesumados den siete" (que es lo mismo que decir “cualquier par de números naturales tales que al sumarlos se obtenga siete") se ex-presa de este único modo algebraicamente: “a + b = 7" (En reali-dad se podrían haber usado otras letras pero estaríamos indicandolo mismo). Y “a" y “b" estarían representando varios pares de nú-meros: 1 y 7, 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4.

• Cuando se escribe “a > 10" se quiere expresar cualquier númeroque sea mayor que diez. En este caso “a" está representando demodo general a infinitos números.

En los Libros 3 y 4 usted ya trabajó con expresiones algebraicaspara hacer generalizaciones. Por ejemplo: a tiene por opuesto a –a.En estos casos se utiliza el lenguaje simbólico para representar todoslos números, para cualquiera de ellos (por lo tanto son infinitos).

Cuando en el Libro 3 usted estudió funciones utilizó expresionestales como “y = k . x", cuando se trató la proporcionalidad directa

69

y se aclaró que quería decir que “y es igual al producto de unaconstante k por la variable x". En estos casos existen infinitos pa-res de valores posibles para x y para y.

Otro ejemplo visto en el Libro 3 fue:En símbolos: “y = k . x + b" donde b y k son valores dados en ca-da caso.

Y se tradujo como: “Las funciones en las que la variable indepen-diente se multiplica por algún valor y luego se le suma (o resta)otro tienen como gráficas rectas que no pasan por el origen decoordenadas".

Un ejemplo de este tipo de función en lenguaje algebraico sería: y = 3 . x + 2

Esa función en lenguaje gráfico sería:

También se indicaron con letras las fórmulas de la superficie de fi-guras y de los volúmenes de cuerpos.

70

Actividad Nº36Traduzca las siguientes expresiones utilizando símbolos ma-temáticos:

• Siete es menor que quince.• Veintitrés no es mayor que cuarenta.• Nueve es menor que quince y mayor que tres (lo que es

equivalente a decir que nueve está entre tres y quince).• Veinticinco es menor o igual que veintisiete.• El consecutivo de un número es tres. (Es lo mismo que decir

“El siguiente de un número...").• El doble de un número cualquiera.• Un número cualquiera disminuido en tres.

Actividad Nº37El perímetro de este paralelogramo puede hallarse por cual-quiera de estas dos fórmulas:P = 2 . a + 2 . b P = 2 . (a + b)

Escriba usando sus propias palabras el significado de ambasfórmulas.

Verifique que al reemplazar por los valores dados (por ejem-plo 9 cm y 5 cm) en cualquiera de las dos fórmulas se obtieneel mismo resultado.

71

Actividad Nº38Los cuadernos azules cuestan 3 pesos cada uno y los rojos2,80 pesos cada uno. Si compró algunos cuadernos rojos yotros azules gastó 14,60 pesos.

• Escriba una letra que simbolice los cuadernos azules.• Escriba otra letra que simbolice los cuadernos rojos.• Escriba una expresión que simbolice el gasto de 14,60 pesos

en cuadernos.• Escriba una expresión que simbolice un gasto cualquiera en

cuadernos.

Es importante tener en cuenta que cuando se hace referencia a unmismo número siempre se utiliza una misma letra. En cambio,cuando se quiere indicar números diferentes (aunque en algún ca-so particular puedan ser iguales) se deben utilizar letras diferentes.

La aritmética es la parte de la matemática que utiliza los números.El álgebra comienza cuando los matemáticos empiezan a intere-sarse por simbolizar operaciones que se pueden hacer con cual-quier número.

Los babilonios alrededor del 1700 a. C. resolvían problemas sinutilizar símbolos. Con un matemático griego llamado Diofanto (250d. C.) aparecen las primeras abreviaturas. Y así permanece la notaciónalgebraica hasta el siglo XVI. La notación tal como la usamos hoy lainventó el francés Viéte en el siglo XVI. Contribuyó también Descar-tes (filósofo y matemático) y se convirtió el álgebra en la ciencia delos cálculos simbólicos y de las ecuaciones.

72

Ecuaciones e inecuaciones

Usted ha escuchado expresiones como las siguientes:

1. Pablo tiene 39 años, ¿en cuánto tiempo tendrá 53 años?2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie es

de 36 m2? 3. Este campo tiene más de 35 hectáreas.4. Este chico mide menos de 1,5 m.

Todas estas expresiones se pueden escribir matemáticamente de al-guna manera.

1. Si Pablo tiene 39 años, ¿en cuántos años tendrá 53 años?

En los primeros Libros se expresaba este problema indicando con uncasillero vacío el lugar del número que se desconocía. En este caso, lacantidad de años que deben pasar para que Pablo cumpla 53 años.

39 + = 53

Hoy lo puede expresar simbólicamente como: 39 + x = 53

¿Qué representa la “x" en esta expresión? Representa el tiempo quedeberá transcurrir para que Pablo cumpla 53 años.

2. ¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado cuya superficie esde 36 cm2?

Se expresa así: x2 = 36 cm2

¿Qué representa la “x" en esta expresión? La longitud del lado delcuadrado cuya superficie conocemos.

3. Este campo tiene más de 35 hectáreas.

Se expresa: x > 35

73

¿Qué significa la “x" en esta expresión? Significa que el campopuede tener como superficie cualquier número mayor que 35.

4. Este chico mide menos de 1,5 m.

Se expresa así: x < 1,5

¿Qué significa la “x " en esta expresión? Que el niño en cuestióntiene una altura que es menor que un metro y medio.

Los dos primeros ejemplos:

39 + x = 53 x2 = 36 cm2

Se denominan ecuaciones.

Los dos siguientes:

x > 35 x < 1,5

Se llaman inecuaciones.

¿Cuál es la diferencia?

1. La ecuación es una igualdad en la que aparecen una o más in-cógnitas.

Ejemplos:

1. ¿Cuánto me falta para pagar $ 112 si tengo $ 55?

x + 55 = 112

En esta ecuación la x representa los pesos que me faltan para tener 112 pesos.

El valor que verifica la igualdad es 57. Se dice que 57 es la so-lución de la ecuación.

74

2. El doble de un número menos 35 es igual a 3.

2 . x - 35 = 3

En esta ecuación la expresión 2 . x representa el doble delnúmero x.

Mentalmente se puede seguir pensando: ¿a qué número le resto35 y obtengo 3? A 38.

Luego ¿el doble de qué número es 38? De 19. Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto35 y finalmente me da 3.

19 es la solución de la ecuación.

2. La inecuación es una desigualdad en la que aparecen una o másincógnitas.

Vea estos ejemplos:

1. ¿A partir de qué número natural, sumado a 55, el resultadosupera a 112?

x + 55 > 112

En esta inecuación la x representa el número a partir del cualsumándole 55, la suma da por resultado un número mayor que 112.

Para hallar la solución podemos pensar 55 más qué número da112. O lo que es lo mismo 112 menos 55.

112 menos 55 es 57.

Veamos 57 + 55 = 112

Pero x + 55 debe ser mayor que 112. O sea que en el campode los números naturales la inecuación se verifica a partir de 58.

75

58 + 55 = 113 y 113 > 112, luego 58 + 55 > 112

59 + 55 = 114 y 114 > 112, luego 59 + 55 > 112

60 + 55 = 115 y 115 > 112, luego 60 + 55 > 112

Y vemos que así se verifica para todos los números naturalesmayores o iguales que 58. Lo cual se puede indicar x ≥ 58.

2. ¿Qué cantidad de pesos debo poseer si el doble de esa suma me-nos 35 da por resultado un número menor que 3?

2 . x - 35 < 3

Aquí la expresión 2 . x representa el doble de la cantidad depesos que estamos buscando.

¿A qué número le resto 35 y obtengo 3? A 38.

Luego, ¿el doble de qué número es 38? De 19.

Entonces 19 es el número al cual le hallo el doble, luego le resto35 y finalmente me da 3.

Pero en este caso el resultado no debe ser 3 sino menor que 3.

Entonces ¿qué número natural verifica la desigualdad?

2 . 18 - 35 = 36 – 35 = 1 y 1 < 3, luego 2 . 18 - 35 < 3

2 . 17 - 35 = 34 - 35. No tiene solución en los números naturales.

La solución debe ser un número natural pues es la cantidad depesos que debo poseer y no se puede poseer una cantidad ne-gativa. Con un número negativo puedo representar una canti-dad faltante o unadeuda. Por lo tanto la única solución es 18.

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3. Si salgo a pasear puedo gastar entre 15 y 20 pesos.

15 < x < 20

¿Qué cantidad de pesos puedo gastar? 16, 17, 18 ó 19. Por esodecimos que la solución de esta inecuación es en realidad ungrupo de números y no un número solo. También se podríanconsiderar los valores intermedios considerando los centavos.

¿Qué significa resolver una ecuación o una inecuación?

Resolver una ecuación significa hallar el valor o los valores numé-ricos con los que al reemplazar la incógnita se verifica la igualdad(o la desigualdad en el caso de la inecuación).

¿Cómo se resuelven las ecuaciones?

El hijo de Juan, de 12 años pregunta:- Papá: ¿cuántos años tenés?

Y el padre, como le gustan los acertijos, contesta: - La mitad de mi edad menos 6 años es igual a tu edad. ¿Cuántosaños tengo?

¿Cómo se puede hacer para averiguar la edad del padre?

En primer lugar es conveniente escribir en forma matemática, esdecir mediante una ecuación, la respuesta del padre.

Llamamos “x" a la edad del padre, porque no la conocemos, es laincógnita.

“La mitad de mi edad" significa que la edad debe dividirse por 2

“La mitad de mi edad menos 6", al resultado anterior hay que res-tarle 6.

- 6

x2_

x2_

77

“La mitad de mi edad menos 6 es igual a tu edad" que es 12, segúnla afirmación anterior.

- 6 = 12

Podríamos pensar como hicimos antes, o probar con diferentes núme-ros hasta obtener la solución. Pero usaremos otro camino que nos ser-virá en casos en los que no sea tan sencillo resolver la incógnita.

La ecuación es una igualdad. Lo que está antes del signo igual sellama primer miembro y lo que está detrás segundo miembro.

Comparemos esta igualdad con una balanza de platillos, con losdos brazos iguales. (Cada uno de los platillos representa un miem-bro de la igualdad.)

Si en la balanza colocamos el mismo peso en ambos platillos éstase mantendrá en equilibrio. En cambio, si se coloca un objeto máspesado en uno de los platillos la balanza se inclinará hacia el ladoque pesa más.

Para equilibrar la primera balanza deberé colocar un peso de 2 kgen el platillo de la derecha; para equilibrar la segunda uno de 3 kgen el platillo de la izquierda.

Usando lenguaje aritmético quedaría indicado:

7 = 5 + 2 2 + 3 = 5

7 kg 5 kg 2 kg 5 kg

x2_

78

Si una balanza está en equilibrio y agrego (o quito) el mismo pesoen ambos platillos, el equilibrio se mantiene.

En las igualdades numéricas sucede algo parecido; decimos quehay una analogía.

Tenemos una igualdad. Por ejemplo:

Si agrego 2 kg en cada platillo, el equivalente numérico consistiríaen sumar 3 a cada miembro de la igualdad.

3 kg 3 kg 3 = 3

3 + 2 = 3 + 2 = 5

La balanza queda en equilibrio. La igualdad se mantiene.Del mismo modo si multiplicamos (o dividimos) ambos miembrosde una igualdad por un mismo número -que no sea cero- la igual-dad se conserva.

¿Para qué nos sirve sumar (o restar) y multiplicar (o dividir) ambosmiembros de las igualdades por un mismo número?

Esto le permitirá resolver la ecuación. Lo que significa, hallar elvalor de la incógnita. O lo que es lo mismo, despejar la incógnita.

79

¿Qué significa despejar la incógnita?

Significa lograr que quede sola antes o después del signo igual, esdecir que en uno de los miembros queden expresados los cálculosque deben realizarse para hallar el valor de la incógnita. Para ellodeben ejecutarse una serie de pasos algebraicos, garantizando queen todos ellos se mantenga la igualdad.

Por ejemplo:

x + 12 = 30

En este caso se tratará de lograr que la x quede “sola” en el primermiembro. Para ello tengo que tratar de sacar de allí el 12 que estásumando; la forma de hacerlo es restarle 12 (para que quede 0 alhacer la cuenta), pero como hay que mantener la igualdad deberestársele a ambos miembros de la igualdad 12. Así se tiene:

x + 12 - 12 = 30 - 12; operando queda10

x + 0 = 18x = 18, que es la solución.

Efectivamente 18 + 12 = 30

43 -14 = x - 37

En este caso la x está en el segundo miembro, se encuentra afecta-da por una operación de resta (en este caso -37), para despejarlahay que lograr que el -37 se cancele, para ello es necesario sumar-le 37, pero si se le suma en el segundo miembro también hay quehacerlo en el primero para mantener la igualdad.

29 = x - 3729 + 37 = x - 37 + 37

66 = x + 0

Luego:

66 = x

10 Tengamos en cuenta que si a un número le sumamos otro y al resultado le restamos ese mismo número, el primer número no cambia. Decimos que se cancela el que suma con el que resta.

Retomemos el problema inicial que es una ecuación más compleja:

- 6 = 12

En este caso hay dos operaciones que están afectando a la incógni-ta. Recuerde el orden en que se realizan las operaciones en los cál-culos combinados. Las últimas operaciones que debe resolver enlos cálculos son las primeras a las que les deberá aplicar la propie-dad cancelativa o la simplificación. Por ello:

- 6 + 6 = 12 + 6

Cancelamos en el primer miembro los dos números 6 porque el re-sultado es igual a cero.

80

O lo que es lo mismo x = 66

= 28

Acá, ¿qué operación debe efectuarse en ambos miembros para des-pejar x?11

Siga solo:

x4__

x2__

x2__

11 Si multiplica ambos miembros por 4 obtendrá el valor de x. Tengamos en cuenta que si a un número lo multiplica-mos por otro (distinto de cero) y al resultado lo dividimos por ese mismo número, el primer número no cambia yaque significa haber hecho una simplificación.

Si lo necesita relea en el Li-bro 3 cómo se resuelven loscálculos combinados.

81

= 18

Multiplicamos por 2 ambos miembros de esta igualdad:

. 2 = 18 . 2

Para resolver el primer miembro simplificamos en él los dos núme-ros 2 porque el resultado es igual a uno.

x = 36 Ya tenemos la respuesta: el padre tiene 36 años.

Será útil recordar las siguientes propiedades:

Si sumamos y restamos un mismo número a otro, el resultado es elmismo número.

Ejemplo: 9 + 15 - 15 = 9

Si multiplicamos y dividimos por un mismo número a otro (distin-to de 0), el resultado es el mismo número.

Ejemplo: 9 . = 9

x2__

x2__

77__

Actividad Nº39Resuelva las siguientes ecuaciones:

x + 255 = 1.000

x + 221 = 55

100 - x = 200

- 7 = 15 + 59

234 + 57 = 27 -

a

b

c

d

e

x3__

x3__

82

Actividad Nº40Un campo tiene la forma de un rectángulo. Se sabe que el pe-rímetro es de 400 metros y la base es de 90 metros. ¿Cuántomide la altura?

En una fiesta organizada por la cooperadora de una escuela secobraba $ 5 la entrada a los hombres; $ 3 las damas y $ 1 los chi-cos menores de 12 años. Se sabe que se recaudaron $ 480 y queasisitieron 40 damas y 110 chicos. ¿Cuántos hombres asistieron?

Un empleado gana $ 328 por semana. En este sueldo se incluyen$ 20 por presentismo. Si trabaja 8 horas por día de lunes a viernesy cuatro horas los sábados, ¿cuánto le pagan por hora trabajada?

a

b

c

¿Cómo se resuelven las inecuaciones?

Analice la siguiente inecuación:

x + 38 > 99

Si restamos 38 a ambos miembros de esta desigualdad12 y luegocancelamos en el primer miembro, obtenemos:

x + 38 - 38 > 99 - 38x > 61

Entonces la respuesta es que a partir del 61 la suma va a superar a 99.En este caso, a diferencia del ejemplo en el que se consideraba que elresultado debía ser un número natural, nada se explicitó sobre el con-junto numérico. Todos los números mayores que 61 cumplirán con lacondición. Esto se puede observar en la siguiente recta numérica:

12 Esto puede hacerse porque no se modifica el sentido de la desigualdad al sumar o restar el mismo número aambos miembros.

83

En la recta numérica se marcó el número 61 con un círculo pequeñopero no se lo pintó, porque el número 61 no verifica la desigualdad:

61 no es mayor que 61

Analice este otro ejemplo:

La inecuación planteada es: 3 . x - 20 < 4

Sumamos 20 en ambos miembros de la desigualdad y resolvemos:

3 . x - 20 + 20 < 4 + 203 . x < 24

Dividimos ambos miembros de la desigualdad por 4 y resolvemos:

4 . <

x < 6

La respuesta indica que con cualquier número menor que 6 se ve-rificará la desigualdad. Verifique con algunos de ellos:

3 . 2 - 20 ¿<? 46 - 20 ¿<? 4-14 < 4

Efectivamente se verificó la desigualdad.

Lo graficamos en la recta numérica:

x4__ 24

4__

Si se quiere graficar en la recta numérica el tercer ejemplo dado alplantear los problemas de inecuaciones, se observa

84

Actividad Nº41Encuentre los números naturales que hagan ciertas las si-guientes desigualdades:

x - 30 > 10

x - 30 < 10

39 + 3 .x > 45

Actividad Nº42El diámetro interior máximo de un cilindro metálico deber ser,a lo sumo de 5 cm (recuerde que debe ser mayor que cero, de locontrario no habría diámetro interior). El diámetro exterior de-be tener por lo menos 5,1 cm y a lo sumo 5,2 cm. Exprese al-gebraicamente el valor de cada diámetro del cilindro.

Exprese como una inecuación:

a

b

c

a

b

c

d

e

Si un empleado gana $140 por semana y tiene $110 de gastosfijos por lo menos, ¿entre qué valores estará comprendido loque podría ahorrar? Represéntelo en una recta numérica.

Un turista tiene que ir de una localidad a otra que está a 400 km.Si ya recorrió 160 km y el resto lo hace a una velocidad de 80 kmpor hora, ¿cuánto tiempo tardará para recorrer lo que le falta?

Piense un número de 2 cifras. Súmele 22. Al resultado multi-plíquelo por 3. Al resultado que obtuvo réstele el triplo delnúmero que pensó. Ha obtenido 66. ¿Por qué?

85

Probabilidad

¿Quién no pensó alguna vez en acertar el Quini 6, el Loto ocualquiera de los juegos de azar que ofrecen pozos millonarios?Muchos son los que intentaron alguna vez encontrar alguna técni-ca que le permitiera ganar en el casino.

Estos deseos no son nuevos; desde hace muchos siglos se les in-tenta ganar a los “juegos de azar". Importantes matemáticos co-menzaron a desafiarse presentándose mutuamente situaciones enlas cuales se pretendían analizar todas las “probabilidades" de ga-nar que tenían.

Los matemáticos comenzaron a preocuparse no sólo por los resul-tados exactos sino también por la resolución de problemas en loscuales interviene el azar.

Los hechos que dependen del azar se llaman “sucesos aleatorios" y larama de la matemática que los estudia es el “cálculo de probabilidades".

Hasta ahora usted ha trabajado en matemática con resultadosexactos. Por ejemplo:

• ¿Cuál es el resultado de 3 más 5? simbólicamente: 3 + 5 = xy ya sabe que el resultado es único e igual a 8.

En este caso el resultado es exacto.

• Suponga que a un grupo de personas se le pide que midan el lar-go de una mesa con una regla milimetrada. Algunos encuentranvalores de 98,5 cm otros 98,4 cm, otros 98,6 cm. El valor a ob-tener depende de la mínima unidad que el instrumento utiliza-do para medir permita registrar, y de la precisión con que se loutilice. Suponiendo una medición cuidadosa, podría decirse queel resultado está dentro de una cierta variación, que se puede pre-decir y que hay un margen de error.

86

Le proponemos que compare los resultados anteriores con el de lasiguiente situación:

En uno de los grupos de Educación General Básica a distancia hayun 30 % de personas casadas. Alguien elige al azar uno de losalumnos y le pregunta: ¿es casado?

Nada puede afirmarse como respuesta, sólo podría decirse que hay másprobabilidades de que no lo sea, pero la respuesta no puede predecirse.

Pensar este tipo de situaciones implica desarrollar el pensamientoaleatorio, es decir aquél en el que no hay uno o varios resultadosexactos o con un cierto margen de error acotado.

Hay sucesos que ocurren indefectiblemente, por ejemplo: que maña-na sea lunes (si hoy es domingo) o ver una persona que tiene menosde 180 años en un partido de fútbol. Estos son sucesos seguros.

También existen sucesos que no ocurrirán nunca, es decir que con to-tal certeza no sucederán. Por ejemplo: que mañana sea sábado (si hoyes miércoles) o que la primera persona que vea a través de la ventanasea la madre del general San Martín. Estos son sucesos imposibles.

Los sucesos que ahora nos interesa estudiar no son ni los segurosni los imposibles, sino aquellos en los que algo puede o no ocurrir;estos son los sucesos probables.

Por ejemplo: Que gane nuestro equipo en el próximo partido o quela primera persona que entre por la puerta sea una mujer.

87

Actividad Nº43Marque con una X qué tipo de suceso es cada uno de los si-guientes.

Que mañana llueva

Que un pez salte del agua y empiece a volar

Vivir hasta los 100 años

Encender el televisor y que estén dando una propaganda

Que nuestro gato atienda el teléfono

Tardar más de 2 horas en ir en auto de Salta a Bs. As.

Imposible Seguro Probable

Actividad Nº44Le proponemos que invite a un amigo a jugar con los dados.

Los participantes juegan uno por vez alternativamente. Cada vezque tira un dado y sale el número 6 su amigo se anota 1 punto.

Cuando usted tira el dado y saca un número impar se anota 1punto. Gana el que primero reúna 10 puntos.

¿Le parece que encontrará muchos amigos que quieran jugar?¿Por qué?

Lea con atención los siguientes sucesos aleatorios:

1. Salir un 3 al tirar un dado.

2. Elegir una carta de un mazo de 40 y que sea un oro.

3. Tirar una moneda y que caiga “cara".

4. Que en una jugada de ruleta salga el 20.

5. Dar vuelta una carta y que no sea un rey.

88

Todos estos sucesos pueden o no ocurrir; es probable que ocurrany también es probable que no ocurran. Pero... ¿son igualmenteprobables?, es decir ¿tienen la misma probabilidad de ocurrir comode no ocurrir? Evidentemente no.

Algunos de estos sucesos son “poco probables", otros "altamenteprobables" y algunos “igualmente probables".

Los casos 1, 2 y 4 son poco probables, son mayores las posibilida-des de que no ocurran.

El caso 5 es altamente probable, son mayores las chances de queocurra a que esto no suceda. Hay muchas más cartas que no sonreyes que las que lo son.

El caso 3 es igualmente probable; las posibilidades de que sucedason tantas como las de que no ocurra.

En el caso del juego de dados planteado en la última actividad, lasposibilidades de obtener un punto son diferentes para cada juga-dor, por eso se dice que no es equitativo, o que los sucesos que per-miten obtener 1 punto no son equiprobables.

Si existen diferentes posibilidades en los sucesos aleatorios deberáexistir una forma de “medir" la probabilidad.

Suponga que en un juego se tiran simultáneamente dos monedas yse puede apostar a:

1. dos caras;2. una cara y una ceca (no importa el orden); 3. dos cecas.

¿Apostaría a cualquiera de las tres alternativas o a una de ellas enparticular?

Al arrojar dos monedas, esas tres son las únicas posibilidades quepueden darse, pero... ¿son igualmente probables?

89

Para responder esta pregunta hagamos el siguiente análisis:

10 20

cara

ceca

cara

ceca

ceca

cara

El esquema muestra las diferentes formas en que puede caer una mo-neda. La primera puede caer cara o ceca; y para cada una de estas po-sibilidades hay dos alternativas para la segunda moneda, cara o ceca.

En este esquema, denominado “diagrama de árbol", se advierte quelas posibilidades son cuatro:

(cara; cara) (cara; ceca) (ceca; cara) y (ceca; ceca)

Por lo tanto, si apostamos por ejemplo a sacar dos caras, existeuna sola posibilidad de ganar. Esto quiere decir que uno solo delos posibles resultados es favorable sobre un total de 4 resultados(casos) posibles. Muchas personas suelen decir que hay un 25% deprobabilidades porque es 1 de cada 4 casos el favorable. Lo mismopodría decirse de la probabilidad de sacar dos cecas, porque de ca-da 4 casos posibles uno solo es favorable. También suele decirseque son equiprobables (igual probabilidad).

En cambio, si apostamos a una cara y una ceca tendremos máschances de ganar, pues de los 4 resultados posibles 2 son favora-bles. Dicho de otra forma tenemos la mitad de las posibilidades deganar, lo que es equivalente al 50 %.

Sacar una y una tiene el doble de posibilidades que sacar dos ca-ras o dos cecas, es decir que las tres posibilidades de apuestas noson equiprobables.

C.F.C.P.

90

Volvamos al primero de los ejemplos. Queremos medir la probabi-lidad de sacar un tres al tirar un dado cúbico.

Al hacerlo puede salir cualquiera de los números del 1 al 6. Hay 6resultados posibles. Éste es el total de casos posibles, o sea la can-tidad de resultados diferentes que pueden obtenerse. Todos ellostienen la misma probabilidad de salir, son casos equiprobables oigualmente posibles. En esta situación son 6 los casos posibles.

De estos 6 casos posibles sólo 1 es favorable a sacar un 3.

La probabilidad de sacar un 3 es:• 1 entre 6• 1 de cada 6• 1 en 6• de cada 6 posibles 1 es favorable

Todas estas expresiones son equivalentes, y se expresan matemáti-camente como .

Como son 6 los casos posibles, y uno solo el caso favorable, la pro-babilidad de sacar un tres es (una en seis).

Simbólicamente

Si lo necesita relea en el Li-bro 4 el concepto de expre-siones equivalentes.

_16

_16

_16

P(3) = casos favorablescasos posibles

___ Cantidad de casos favorables

Cantidad de casos posiblesigualmente probables

En general se simboliza con S cualquier suceso y con P(s) = proba-bilidad de que ocurra S. La forma de expresar el cálculo de la pro-babilidad teórica de un suceso es:

P(S) =

1040

91

Analice el segundo caso:

Sacar una carta de un mazo de 40 y que sea un oro.

La cantidad de casos favorables es 10 (hay 10 oros) y los casos po-sibles son 40 (hay 40 cartas en total y todas tienen las mismas po-sibilidades de salir).

Los tres resultados pueden leerse como:

“10 de 40" “uno de cada cuatro"

0,25 es el número que expresa la probabilidad.

__ 14__

1040__C.F.

C.P.____ 1

4__P(S) = = = =0,25

Actividad Nº45Calcule la probabilidad de:

Sacar un as (mazo de 40 cartas).

Obtener un número mayor que 1 al lanzar un dado.

Acertar a color negro en una jugada de ruleta.

a

b

c

Antes de continuar resuelva la actividad anterior.

92

Actividad Nº46Analice en los cálculos de probabilidades anteriores qué rela-ción existe entre el numerador y el denominador de las frac-ciones. ¿Cuál es mayor? ¿Esto sucede siempre? ¿Por qué?

Teniendo en cuenta su respuesta anterior indique entre qué núme-ros enteros está el valor de la probabilidad de cualquier suceso.

Antes de continuar controle sus respuestas con las Claves deCorrección.

a

b

Dos casos especiales

1. Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un númeromenor que 9?

Los casos favorables son 6, ya que todos los números de un dadoson menores que 9. Es seguro que el número que obtendremoses menor que 9. Los casos posibles también son 6, entonces P(<9) = = 1.

2. Si tenemos 5 monedas y en total suman $ 0,80, ¿cuál es la proba-bilidad de que una de ellas sea de $1?

Si las 5 monedas suman $ 0,80, es imposible que una sea de $1(c.f. = 0). Por lo tanto: P($1) = =0

_66

_06

Si un suceso es seguro la probabilidad es 1.

Si un suceso es imposible la probabilidad es 0.

1252

93

a

b

c

Actividad Nº47¿Cuál es la probabilidad de sacar una figura (sotas, caballos oreyes) de un mazo de 52 cartas?

Al lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un nú-mero menor que cinco?

En una urna hay 5 bolas blancas, 8 azules y 3 amarillas; alsacar una sola bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?

Frecuentemente, cuando escuchamos hablar de probabilidades se re-fieren a ésta como un porcentaje y no como un número entre 0 y 1.

En el caso de la probabilidad de obtener una figura de un mazo de52 cartas se tiene que:

P(fig.) = pero si buscamos qué porcentaje es 12 de 52, por cada 52 corresponden 12,por cada 100 serán . 100

La cuenta que deberemos realizar es: x 100 = 23,08 %, donde es la probabilidad.

Lo mismo ocurrirá en los otros dos casos.

P(<5) = 0,6666 = 66,66 % y P(azul) = 0,5 = 50 %

Podemos entonces referirnos a la probabilidad como el número queobtenemos como cociente y que siempre estará entre 0 y 1, o al por-centaje que no es más que el mismo número multiplicado por 100.

Para algunas personas el porcentaje les permite apreciar con mayorfacilidad cuán probable es que ocurra o no cierto suceso. Cuántomás se aproxime al 100% mayor será la probabilidad. Si nos da 50%significa que es tan probable que ocurra como que no ocurra.

__

1252__

1252__

1252__

94

Actividad Nº48Se lanzan simultáneamente 3 monedas. Realice el diagramade árbol correspondiente y calcule la probabilidad de:

• Obtener 3 cecas.• Obtener 2 caras y una ceca.• Que al menos una moneda salga cara.

Actividad Nº49Cuál es la probabilidad de:

• Sacar un rey o un as de un mazo de 40 cartas.• Que la última cifra de la jugada de lotería sea 48.• Que salga un número de la primera docena en una jugada de

ruleta.

La estadística y la probabilidad

¿Qué un avión llegue a destino, es un suceso seguro, imposibleo probable?

Seguro no es, ya que lamentablemente cada tanto nos informansobre accidentes de aviones en vuelo.

Imposible tampoco. En la mayoría de los casos los aviones llegansin dificultad.

Probable, sí. El avión puede o no llegar.

Si aceptamos que es probable, deberá existir un número que nosindique esa probabilidad. Para calcularlo, según la fórmula que he-mos visto, deberíamos conocer el número de caso favorables y elde casos posibles, pero es imposible saberla. Sin embargo algunaslíneas aéreas dicen que la probabilidad de que sus vuelos lleguen adestino es de 0,99998 o 99,998 % ¿De dónde sale este número?

Para entender el origen de este número y el de todas aquellas pro-babilidades en las que el número de casos favorables y posibles noes conocido, tomaremos un ejemplo: obtener 3 al tirar un dado.

P(3) = = 0,1666 o 16,66 %

Le proponemos que tire el dado 6 veces. Nada nos permite asegu-rar que de las 6 veces que tire, el 3 saldrá sólo una vez. Por eso sela llama probabilidad teórica. Lo que sí puede suceder es que si ti-ramos muchas veces el dado aproximadamente parte de ellassaldrá el 3.

Suponga que tiramos 60 veces13 y obtenemos los siguientes resulta-dos. Recuerde que la frecuencia relativa (Fr) expresa la frecuencia ab-soluta con respecto al total de casos analizados. Por eso se obtiene di-vidiendo la frecuencia absoluta por el total de casos analizados. (Fr = )

En el gráfico de barras se representa la frecuencia absoluta de los 6números posibles.

16_

16_

Ftotal___

En el Libro 4 se trabajó confrecuencias absolutas y re-lativas. Vuelva a leer ese te-ma si lo necesita.

123456

total

981310137

60

0.150.13330.21660.16660.21660.1166

F Fr

123456

total

192024211917

120

0.15830.1666

0.20.1750.15830.1416

F Fr

Si en lugar de 60 lanzáramos el dado 120 veces

13 Usted puede hacer la experiencia, quizás los valores se aproximaran mucho.

96

Y si tiramos 600 veces

123456

total

991001021039799

600

0.1650.16660.17

0.17160.16170.165

F Fr

En el siguiente gráfico se analiza la frecuencia absoluta del núme-ro 3 según la cantidad de tiradas. Para ello se continuó tirando losdados y se obtuvo que:

• en 1.000 tiradas la frecuencia absoluta de 3 resultó 0,16;• en 1.500 tiradas la frecuencia absoluta de 3 resultó 0,17.

Cuanto mayor es el número de tiradas, más próxima a la probabi-lidad teórica está la frecuencia relativa.

Esta experiencia nos muestra que la frecuencia relativa tiende a laprobabilidad. Para conocer la probabilidad de obtener un 3 con eldado no tiene sentido realizar una tabla de frecuencias, pero parael caso del avión sí.

Suponga que disponemos de los registros que llevan las empresasdonde figuran los vuelos realizados y cuántos llegaron a destino. Co-mo son un número considerable de casos podemos calcular la proba-bilidad de que lleguen a destino calculando la frecuencia relativa.

Partieron 50.000 y llegaron 49.999; la frecuencia relativa de avio-nes que llegaron es: = 0,99998 es decir que el 99.998 % de

los aviones llega sin dificultad a destino.

4999950000_____

97

Actividad Nº50Al analizar un dado defectuoso, se obtuvieron los siguientesresultados:

Complete la tabla calculando el total y la frecuencia relativa.

¿Qué número es el que tiene mayor probabilidad de salir?

¿Cuál es la probabilidad de sacar 5?

¿Cuál es la probabilidad de sacar 4?

Actividad Nº51En una laguna existen cuatro variedades de peces que se pes-can de igual modo. En la última muestra que se tomó, se re-gistró lo siguiente:

Complete la tabla.

¿Cuál es la probabilidad de pescar un pez B?

¿Cuál es la probabilidad de pescar un pez C?

¿Podemos asegurar que más de la mitad de los peces que pes-quemos serán C?

a

b

c

d

a

b

c

d

123456

total

667083586870

F Fr

ABCD

total

22476658182

F Fr

98

Cuando se arrojan dos dados simultáneamente se puede obtenercomo suma de ambos, valores entre 2 y 12.

Si tuviera que apostar, ¿lo haría a cualquiera de los valores entre 2 y12? ¿O le parece que alguno de ellos tiene más chances que los otros?

Este problema se puede analizar de varias maneras; le proponemos una.

Actividad Nº52Consiga dos dados y láncelos muchas veces; cuanto mayorsea el número de tiradas mejor (tire como mínimo 200 veces).En cada tirada registre lo que salió, por ejemplo:

a

b

23456789101112

Conteo Total

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Total

F Fr

Con los datos de las tiradas complete la tabla de frecuencias.

Puede preparar una tabla de2 a 12 y a medida que va ti-rando hacer una marca. En elejemplo se usaron las deanotar en el truco pero puedeutilizar la que usted prefiera.Al finalizar cuente el totalde cada número.

99

c

d

e

¿Todos los números tienen la misma probabilidad de salir?

¿Cuál de todos tiene la menor probabilidad?

¿Cuál es el número con mayor probabilidad?

No continúe hasta resolver la actividad y controlar la clave decorrección.

¿Por qué pudimos adelantar la frecuencia relativa aproximada queusted obtuvo sin haber visto su experiencia?

El análisis a través de la tabla de frecuencias no es la única mane-ra de pensar esta actividad. Veamos esta otra forma.

Al tirar dos dados podemos hacer el diagrama de árbol correspondiente:

1

2

3

4

5

6

De los 36 casos sólo uno de ellos suma 2, cuando los dados caen 1 y 1.Y 6 son las formas de obtener 7: (1 + 6); (2 + 5); (3 + 4); (4 + 3); (5 + 2) y (6 + 1)

Del mismo modo podemos analizar los restantes números, de allí quela probabilidad teórica de obtener 2 es: P(2) = = 0,0277 o 2,77%.

El resto de las probabilidades es:

P(3) = = 0,0555 ó 5,55% P(4) = = 0,0833 ó 8,33%

P(5) = = 0,1111 ó 11,11% P(6) = = 0,1388 ó 13,88%

P(7) = = 0,1666 ó 16,66% P(8) = = 0,1388 ó 13,88%

P(9) = = 0,1111 ó 11,11% P(10)= = 0,0833 ó 8,33%

P(11)= = 0,0555 ó 5,55% P(12) = = 0,0277 ó 2,77%

Como síntesis es importante recordar que para trabajar con el cálculode probabilidades hay que analizar cuál es la cantidad total de casosposibles, si todos ellos son igualmente probables, y cuántos de esoscasos son favorables al suceso que se está analizando.

136__

236__

436__

636__

436__

236__

336__

536__

536__

336__

136__

El primer dado puede ser 1 y el segundo cualquier número de 1 a 6 ,hay en este caso 6 variantes posibles. Como el primer dado no tienepor qué ser 1, sino que puede caer de 6 maneras diferentes, el númerototal de casos es 36.

1

101

Claves de Corrección

Actividad Nº1

Como resulta evidente no es posible armar un cuadrilátero con esas

medidas, porque las medidas de los lados deben guardar una

relación de desigualdad semejante a la que deben cumplir los lados

de un triángulo.

Para que sea posible construir un triángulo las medidas de uno

cualquiera de sus lados debe ser MENOR que la suma de los otros dos.

102

a + b > c

b + c > a

a + c > b

Se deben verificar las tres desigualdades.

En el caso de los cuadriláteros también debe cumplirse una relación

análoga.

a + b + c > d

b + c + d > a

c + d + a > b

a + b + d > c

Esta propiedad es generalizable a un polígono de cualquier número

de lados.

Actividad Nº2Es posible usar variados caminos para dar la respuesta. Una es usar el

transportador y tomar medidas en variados paralelogramos. Otra es

recortar paralelogramos en papel y comparar los ángulos, después de

recortarlos, por superposición y colocándolos en forma consecutiva.

De cualquier modo usted descubrirá que los ángulos consecutivos

son suplementarios, su suma es de 180°.

Actividad Nº3El perímetro mide 4 m o 400 cm.

Dos lados iguales miden 80 cm x 2 = 160 cm

Al perímetro (suma de los 4 lados) que es de 400 cm le restamos 160

cm, quedan 240 cm para los lados restantes. Como son iguales cada

uno debe medir 120 cm.

La amplitud del ángulo opuesto al de 78° es de 78°.

Y el consecutivo de cada uno de ellos mide 180° - 78° = 102°

a

b

103

Actividad Nº4Si un rectángulo es un cuadrilátero que posee lados opuestos

paralelos podemos afirmar que todo rectángulo es parelelogramo.

Actividad Nº5Si el perímetro es 300 m y dos lados 80 m x 2 = 160 m, queda

300 m – 160 m = 140 m,

luego 140 m : 2 = 70 m

Actividad Nº6El total de alambre es de 600 m y se dan tres vueltas. Entonces para

saber cuánto alambre se utiliza en una vuelta bastará con dividir

600 por 3, con lo que se obtiene 200 m.

Como el rombo tiene sus cuatro lados iguales dividiendo 200 por 4

se obtiene el valor de cada lado, 50 m.

Actividad Nº7Por ser equilátero todo cuadrado es romboPor ser equiángulo todo cuadrado es rectángulo

104

Actividad Nº8En el caso del paralelogramo hay otras soluciones posibles, quizás

usted hizo una diferente a la nuestra.

a

Actividad Nº9

Actividad Nº10Solo un par de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

Por ejemplo: trapecio escaleno.

105

b

c

d

a

b

Los dos pares de lados iguales y ningún par de lados paralelos.

Por ejemplo: romboide o cuadrilátero cóncavo (“semejante" al

romboide)

Sólo un par de lados paralelos y sólo un par de lados iguales.

Los dos pares de lados paralelos y ningún par de lados iguales.

Imposible, por propiedad de los paralelogramos. Al intentar

resolverlo queda evidenciada la propiedad de los paralelogramos,

que al tener sus lados paralelos los lados opuestos son iguales.

Actividad Nº11360° - 65° - 89° - 135° = 71°

Existen varias posibilidades:

1. Si el cuadrilátero es paralelogramo (o si es romboide)

106

^ ^

^ ^^

^ ^^

^ ^

^ ^^

^^

^

Si A = 70° , C = 70°

A + C = 140°

B + D = 360° - 140° = 220°

Como B = D entonces B = D = 110°

2. Si el cuadrilátero es un romboide

A = C = 70°

Pero sólo sé que B y D sumados dan 220°, pero no puedo saber

cuánto mide cada uno pues son diferentes

B =70° No se puede deducir cuánto miden los otros ángulos. Del

mismo modo sucede si D mide 70°

Actividad Nº12Ni con el pentágono ni con el octógono es posible. En cambio lo es

con el triángulo equilátero, con el hexágono regular y con cualquier

cuadrilátero.

Si la suma de los ángulos que coinciden en un vértice de cualquier

polígono es de 360° es posible embaldosar sin dejar huecos y sin

superponer.

El resultado que se obtiene con los cuadriláteros confirma la

propiedad de la suma de los ángulos interiores. En cada vértice se

hacen coincidir los cuatro ángulos del cuadrilátero.

107

a

b

c

d

Actividad Nº13El segmento que tiene por extremos el centro de la circunferencia y

uno de sus puntos se llama radio.

Una circunferencia tiene infinitos radios.

La mayor amplitud corresponde al diámetro.

La circunferencia tiene infinitos diámetros.

Actividad Nº14La longitud de cada circunferencia se puede determinar así: se

coloca alrededor del contorno del plato, de la lata, del balde o de la

olla, un hilo. Se extiende el mismo y se lo superpone sobre una regla

graduada. Es longitud, es la de la circunferencia respectiva. La

relación entre la longitud y el diámetro es un número que se llama

πy es aproximadamente igual a 3,14.

Actividad Nº15Consulte con su docente la respuesta.

Actividad Nº16Para calcular la cantidad de cinta necesaria se realiza el siguiente

procedimiento:

60 x 50 = 3000 de donde 3000 cm2 es la superficie de la planchuela

La superficie de cada círculo � . r2 3,14 x 25 = 78,5 cm2

Los 35 agujeros circulares 35 x 78,5 = 2747,5 cm2

Sup. de la planchuela - sup. agujeros: 3000 - 2747,5 = 252,5

La superficie sobrante es de 252,5 cm2

a

108

1 portavasos = 2 � r = 2 x 3,14 x 5

1 portavasos = 31,4 cm

35 portavasos = 35 x 31,4 cm = 1099 cm

35 portavasos con el agregado del 15%

1099 + 0,15 x 1099 = 1263,85

La cinta necesaria será 1263,85 cm = 12,6385 m, aproximadamente

113 m de cinta.

El cálculo de la longitud del piolín es:

Longitud de base = 15, 7 cm

2.�.r = 15,7

� . d = 15,7

El diámetro es el número que multiplicado por pi da 15, 7. Si

dividimos 15,7 por 3,14 se obtiene el valor del diámetro, entonces el

diámetro es 5. Pero son 4 diámetros entonces son 20 cm pues 5 x 4 = 20

Además son 4 alturas entonces son 36 cm pues 4 x 9 = 36

En total: 20 + 36 + 8 = 64 (para el nudo)

Se necesitan 64 cm de piolín

Actividad Nº17Estos son todos valores aproximados.

sup círculo = � r2

b

a

b

Moneda

$0,25

$0,50

$ 1

Diámetro

2,4 cm

2,5 cm

2,3 cm

Longitud

7,356 cm

7,85 cm

7,222 cm

Superficie

4,5216 cm2

4,90625 cm2

4,15265 cm2

La superficie justa para la mesa será de 3,14 x 502 = 1962,50 cm2

Pero seguramente el mínimo para comprar será el cuadrado en el que

está inscripto el círculo o sea un cuadrado de 50 cm x 50 cm = 2500 cm2

Es posible que haya que comprar más por las medidas en que vienen

las planchas de fórmica. Si el ancho que traen es de 1 m, por

ejemplo, habrá que comprar 100 cm x 50 cm = 5000 cm2 y quedará

un sobrante, por supuesto.

c

109

a

b

Actividad Nº18

Las superficies de las figuras de los items a y b son iguales, ocupan la

misma superficie, luego las figuras son equivalentes.

Actividad Nº19a

110P l a n S o c i a l E d u c a t i v o

Actividad Nº20La relación de proporcionalidad no depende de la magnitud que se

mida, siempre existe una relación de proporcionalidad inversa.

Actividad Nº21

b

La extensión de su provincia

El frente de un edificio

La superficie de su mesa de trabajo

La hoja de un árbol

La palma de su mano

La huella que deja su pie

Objeto que se debe medir

km2

m2

cm2

mm2

cm2

cm2

Unidad de superficie elegida

111

Actividad Nº22

a

Actividad Nº23Usted puede haberlo resuelto calculando la superficie total del patio

y la superficie de cada baldosa y calculando cuántas veces entra la

superficie de cada baldosa en el patio (dividiendo).

La sup del patio rectangular es de 120.000 cm2 pues

400 x 300 = 120.000

La sup de cada baldosa es 1600 cm2 pues

40 x 40 = 1600

120.000 : 1.600 = 75

Entonces 75 es el número necesario de baldosas.

Pero este método no sirve siempre. Veamos por qué.

Si lo resuelve así no está teniendo en cuenta que entra un número

justo de baldosas a lo largo pero no a lo ancho.

A lo largo entran 10 baldosas y a lo ancho entran 7 y baldosas.

En este caso al comprar 75 si no se rompe ninguna al cortarlas

completaría un rectángulo de 10 x 7 baldosas.

Con las 5 baldosas restantes completaría la franja a lo largo que

sería justo de 10 mitades de baldosa.

Esta es la razón por la que los albañiles calculan un 20% de más en

cuanto al número de baldosas para colocar.

12__

112

Las dimensiones del techo son de 4 m x 5 m (hemos supuesto que el

techo es paralelo al piso).

La cantidad de pintura para las cuatro paredes es de 17,1 litros.

2 x (4 x 6) = 48

2 x (5 x 6) = 60

Total paredes : 108 m2

La ventana ocupa 2 m2

Una puerta 4,5 m2. Y la otra 6 m2

Al total de paredes le restamos el lugar ocupado por puertas y

ventana.

108 – 12,5 = 85,5. La superficie a pintar es de 85, 5 m2

Actividad Nº24

b

113

Actividad Nº25a

b

c

a

Actividad Nº27

114

Actividad Nº26

12__

115

b

c

d

c

116

a

b

Actividad Nº28La base y la altura de cada triángulo son siempre las mismas. Por lo

tanto las medidas de las superficies son idénticas, son una

constante. Varían la longitud de los otros dos lados y el perímetro de

cada triángulo.

Podemos encontrar triángulos acutángulos, rectángulos,

obtusángulos, isósceles, escalenos.

Hay por lo menos dos triángulos rectángulos. Acutángulos y

obtusángulos existen infinitos.

117

d

e

f

a

b

c

a

Los triángulos isósceles hallados son

El triángulo que tiene el vértice c sobre la mediatriz de la base ab, es

el que tiene el menor perímetro (es isósceles, pero en algún caso

puede ser equilátero)

La conclusión es: De todos los triángulos que tienen la misma

superficie, el isósceles tiene el menor perímetro. En algún caso ese

triángulo isósceles es un equilátero.

Actividad Nº29

La figura es un rombo.

Superficie del Rombo = Superficie del rectángulo : 2

Actividad Nº30Para hallar la superficie del romboide se debe multiplicar la diagonal

mayor por la diagonal menor y dividir el resultado por 2. Se obtiene,

= = 2.400

O sea que para cubrir el barrilete hacen falta 2.400 cm2 de papel.

Pero se quieren colocar dos capas de papel por lo tanto se debe

multiplicar por dos la cantidad encontrada.

2400 cm2 x 2 = 4800 cm2. Se van a necesitar 4.800 cm2 de papel.

80 x 602

______ 48002

___

118

a

b

c

d

b La superficie de cada pared se encuentra dividiendo por 2 la suma

de las bases (mayor y menor) del trapecio y luego multiplicando por

la altura del mismo:

( ) x 8 = x 8 = = 27 x 4 = 108

La superficie de cada pared metálica es de 108 m2.

Actividad Nº3156 cm2

5 m

800 m

8 cm

Actividad Nº32

15+22

____ 27 x 82

_____272

__

119

a

b

El volumen de los cuerpos, tomando un cubo pequeño como unidad, es:

Cuerpo

ABCDE

Volumen

88111215

Cuerpo

F

HJK

Volumen

19

272727

unidad

Actividad Nº33La cantidad de cubos de 1 dm de arista que pueden entrar en la caja de

cartón se encuentra multiplicando la cantidad que entra por cada arista.

• Sobre la arista que mide 18 dm entran 18.

• Sobre la arista que mide 30 dm entran 30.

• Sobre la arista que mide 16,5 dm entran solamente 16.

Por lo tanto en esta caja entran 18 x 30 x 16 = 8.640 cubos de 1 dm

de arista.

La caja en centímetros mide: 180 , 300 y 165. Por lo tanto la

cantidad de cubitos de 1 cm de arista que entran a lo largo de cada

arista son: 180, 300 y 165 respectivamente. Así la cantidad de

cubitos de 1 cm de arista que entran en la caja se encuentra

multiplicando estos números: 180 x 300 x 165 = 8.910.000

El volumen de la caja en centímetros cúbicos se encuentra

multiplicando las medidas de las aristas en centímetros:

180 cm x 300 cm x 165 cm = 8.910.000 cm3

Coincide este último resultado con la cantidad de cubitos de 1 cm

de arista que entran en la caja, pero no coincide con la cantidad de

cubos de 1 dm de arista. Pues una de las aristas mide una cantidad

de decímetros que no es un número entero sino decimal. Entonces

sobre esa arista deberíamos "romper" los cubos para que entren.

Debería llenarse con medios cubos en este caso.

120

Actividad Nº34Los decímetros cúbicos que mide este envase son:

1 dm x 2 dm x 1,25 dm = 2,50 dm3

Pero si fuesen cubos de 1 dm de arista no entrarían dos y medio.

Entrarían 1 x 2 x 1 = 2 , o sea sólo dos cubos.

Actividad Nº35El volumen ocupado por una caja que mide 1 dm, 2 dm y 0,5 dm de

arista es igual a 1 decímetro cúbico = 1 dm3

Hay cuerpos que no son cubos y sin embargo miden 1 dm3

Actividad Nº36• 7 < 15

• 23 > 40

• 9 < 15 y 9 > 3 ó 3 < 9 < 15

• 25 � 27

• x + 1 = 3

• 2 x

• x - 3

Actividad Nº37Verificación

P= 2 . 9 + 2 . 5 = 18 + 10 = 28

P= 2. (9 + 5) = 2 . 14 = 28

El doble de la base más el doble de la altura es igual al perímetro del

paralelogramo.

El perímetro del paralelogramo es igual al doble de la suma de la

base y la altura.

121

a

b

c

d

Actividad Nº38• Cuadernos azules A $ 3.-

• Cuadernos rojos R $ 2,80.-

A . 3 + R . 2,80 = 14,60

Un gasto cualquiera de cuadrenos puede expresarse así:

A . 3 + R . 2,80 = $ x

Actividad Nº39x + 255 = 1000

x + 255 - 255 = 1000 - 255

x + 0 = 745

x + 221 = 55

x + 221 - 221 = 55 - 221

x + 0 = -166

100 - x = 200

-100 + 100 - x = -100 + 200

0 - x = 100

- x = 100

x= - 100

- 7 = 15 + 59

- 7 + 7= 74 + 7

= 81

3 . = 81

x = 243

234 + 57 = 27 -

291 = 27 -

-27 + 291 = - 27 + 27 -

264 = 0 -

3 . 264 = 3 .

792 = -x

-792 = x

x 3

__

x 3

__

x3__

-x3__

x3__

x3__

x3__

x3__

x3__

122

Actividad Nº402 . (90 + h) = 400

90 + h =

-90 + 90 + h = -90 + 200

0 + h = 110

h = 110

2 . 90 + 2 . h = 400

180 + 2 . h = 400

180 + 180 + 2 . h = -180 + 400

0 + 2 . h = 220

2 . h = 220

=

h = 110

hombres $5

damas $3

menores $1

h . 5 + d . 3 + m . 1 = 480

h . 5 + 40 . 3 + 110 . 1 = 480

h . 5 + 120 + 110 = 480

h . 5 + 230 = 480

h . 5 + 230 - 230 = 480 - 230

h . 5 = 250

=

h = 50

El sueldo básico del empleado más $20 de presentismo hacen $ 328

s + 20 = 328

s = 308

Trabaja 8 horas diarias de lunes a viernes: 8 x 5 = 40

Y los sábados 4 horas más. En una semana trabaja 44 horas.

Gana $308 por 44 horas de trabajo, entonces por cada hora gana

308 : 44 = 7

Por hora gana $7.

4002

___

2 . h2

___ 2202

___

h . 55

___ 2505

___

a

b

c

123

Actividad Nº41

x - 30 > 10

x - 30 + 30 > 10 + 30

x > 40

x - 30 < 10

x - 30 + 30 < 10 + 30

x < 40

39 + 3 . x > 45

- 39 + 39 + 3 . x > -39 + 45

3 . x > 6

>

x > 2

Actividad Nº42Si el diámetro debe ser a lo sumo de 5 cm se indica d < 5 pero como

es una medida de longitud debe ser positiva, o sea mayor que 0.

Finalmente queda expresado 0 < d � 5

Si el diámetro exterior debe tener por lo menos 5,1 cm y a lo sumo

5,2 cm, se expresa 5,1 � D � 5,2

31 < x < 39

140 - 110 = 30

Puede ahorrar como máximo $30.

Entonces lo que podría ahorrar está entre $0 y $30, incluidos $0 y $30

Se indicaría 0 � a � 30

a

b

c

a

b

c

d

3 . x3

___ 63__

Le falta recorrer 400 - 160 = 240

Hará 80 km en una hora, debe recorrer 240 km. Tardará 240 : 80 = 3

124

e Un número de dos cifras: ab

A ese número ab hay que sumarle 22: ab + 22

Al resultado hay que multiplicarlo por 3: 3 (ab + 22)

Al resultado hay que restarle el triplo del número pensado

(Si el triplo del número pensado se expresa 3ab)

Queda: [3. (ab + 2) ] - 3ab

Se obtiene 66, se escribe: [3. ( ab + 22)] - 3. ab = 66

Operando se tiene: 3. ab + 66 - 3. ab = 66

Efectivamente: 66 = 66

Actividad Nº43

Que mañana llueva

Que un pez salte del agua y empiece a volar

Vivir hasta los 100 años

Encender el televisor y que estén dando una propaganda

Que nuestro gato atienda el teléfono

Tardar más de 2 horas en ir en auto de Salta a Bs. As.

Imposible Seguro Probable

X

X

X

X

X

X

Actividad Nº44El juego que se propone no es equitativo, pues usted tiene más

probabilidades de ganar que su contrincante. Usted gana con

cualquier número impar (o sea que puede sacar 1, 3 ó 5) mientras

que su compañero sólo ganará si saca un 6.

El juego no es justo porque no son equiprobables las formas de

anotar el puntaje.

125

a

b

c

a

b

a

b

c

Actividad Nº45 En el mazo hay 4 ases (c.f.) y 40 cartas en total (c.p.) por lo tanto

P(as) = = = 0,1

Números mayores que 1 (2, 3, 4, 5 y 6) hay 5 (c.f.) y el total de casos

posibles es 6, entonces: P(>1) = = 0,8333

Números negros hay 18, y en total hay 37 números, es decir que:

P(negro) = = 0,4865

Actividad Nº46En todos los casos el numerador es menor que el denominador,

porque siempre la cantidad de casos favorables será menor o igual

(como muy grande será igual) que la cantidad de casos posibles.

La fracción es positiva porque el numerador y el denominador

indican cantidad de veces que ocurre un fenómeno, por lo tanto son

números naturales.

En el cálculo de la probabilidad el numerador siempre será un número

menor o igual al denominador, lo que nos permite asegurar que:

0 � Probabilidad � 1

Actividad Nº47P(fig.) = = 0,2308

Piense cuáles son las posibilidades de que salga un número menor que 5.

Que salga el nro. 1, o el 2, o el 3, o el 4. Son cuatro posibilidades

(sucesos favorables).

El total de posibilidades (sucesos posibles) consiste en que salga

cualquiera de los 6 números, del 1 al 6. Por eso: P(< 5) = = 0,6666

P(azul) = = 0,5

440__ 1

10__

56

__

816__

1252__

1837__

126

Actividad Nº48cara

ceca

cara

ceca

cara

ceca

cara

ceca

ceca

cara

cara

ceca

cara

ceca

8 son las posibilidades al arrojar tres monedas, hemos destacado una

de ellas para facilitar la lectura de los ocho casos (ceca, cara, ceca).

P(ceca, ceca, ceca) = que es lo mismo que 0,125 o 12,5 %

P(2 caras, 1 ceca) = que es igual a 0.375 o 37,5 %

En este caso tenemos 7 casos favorables, ya que la única

combinación que no es favorable es (ceca, ceca, ceca).

P(al menos una cara) = que es igual a 0.875 o 87,5 %

Actividad Nº49• Como es favorable sacar rey o as, los casos favorables son 8,

entonces P(rey o as) = = 0,2 o 20 %

• En total hay cien números de dos cifras, por lo tanto

P(48) = = 0,01 es decir 1 %

• P(1º docena) = = 0,3243 o lo que es igual 32,43 %

18_

840__

1100__

1237__

38_

78_

127

a

b

c

d

a

b

c

d

Actividad Nº50

123456

total

667083586870

415

0,1590,1687

0,20,13970,16390,1687

F Fr

Sin duda conviene jugar al 3, tiene la mayor frecuencia relativa

La probabilidad de sacar un 5 es de 0,1639.

La probabilidad de sacar un 4 es de 0,1397.

Actividad Nº51

ABCD

total

22476658182

1140

0,19640,06660,57720,1596

F Fr

La probabilidad de sacar un pez B es muy baja, 0,0666 o 6,66 %

La probabilidad de sacar un pez C es la más alta, 0,5772 o 57,72 %.

Si, ya que supera el 50 %.

128

a

b

c

d

e

Actividad Nº52No podemos indicar qué obtuvo pues no sabemos cuántas veces tiró

los dados, ni qué números obtuvo exactamente. Si los dados son

normales (no están defectuosos) y tiró muchas veces, la frecuencia

relativa obtenida tiene que ser muy próxima a la que le damos a

continuación.

23456789101112

Total

12345654321

36

0,02770,05550,08330,11110,13880,16660,13880,11110,08330,05550,0277

F Fr

No todos tienen la misma probabilidad.

La menor probabilidad corresponde a los números 2 y 12.

El número con mayor probabilidad es el 7.

M a t e m á t i c a 5

A N E X O I

M a t e m á t i c a 5

A N E X O I I

M a t e m á t i c a 5

A N E X O I I I

M a t e m á t i c a 5

A N E X O I I I

M a t e m á t i c a 5

A N E X O I V

Papel cuadriculado de 1 cm de lado

M a t e m á t i c a 5

A N E X O V

Papel cuadriculado de 1mm de lado

M a t e m á t i c a 5

A N E X O V I

Papel cuadriculado de 1/2 cm de lado

M a t e m á t i c a 5

A N E X O V I I

Trapecios para recortar.

M a t e m á t i c a 5

Dos romboides iguales. A su vez triángulos determinados en ellos por las diagoanles

A N E X O V I I I

M a t e m á t i c a 5

A N E X O I X

Plantilla con desarrollo de cubo.

5Matemática

Ter

cer

Cic

lo d

e E

du

caci

ón

Gen

eral

Bás

ica

par

a A

du

lto

s

MO

DA

LID

AD

SE

MIP

RE

SE

NC

IAL

Material de distribución gratuita

Mate

máti

ca5

5