5_integracion

5. Integracin

Falacias, falacias, ...

Integrales de lnea, de camino o de contorno reales

El signo debe tomarse de modo que ds0 para los valores x e y en juego.En este caso +.Otra manera:

Interpretacin fsica de las integrales de lnea:Podemos definir las integrales con dx y dy:Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos).

Ejercicio: recalcular las tres integrales recorriendo el camino en sentido inverso.Negativo?Ejemplo:Camino:

Calculemos de nuevo de otra forma:Repetir para dx y dx/dy.

La integral depende del sentido en los que recorramos el camino Cen los casos de dx y dy:Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues tomamos el mdulo del vector:

Integrales de lnea, de camino o de contorno en el plano complejoObserva que la integral NO es el rea bajo la curva.El valor depende del sentido: es una suma de vectores.Los z actan como vectores, no como longitudes. Si f(z) = 1, qu significa la integral?

Conexin entre integrales de lnea reales y complejasCon C indicamos el camino de la integral de lnea.

Integracin de funciones complejas parametrizadasArco suave C de A a B:Parametrizacin continua con t(A) t t(B) y con derivadas x(t) e y(t) continuas.

Ejemplo:

Evala donde C es el contorno de la figura

C1 est definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it, con 0 t 1, z(t) = 1 + i, f(z(t)) = t2 + it2 : La curva C2 est definida por x = 1, y = t con 1 y 2. Entonces: z(t) = 1 + it, z(t) = i, f(z(t)) = 1 + it2:

ExamenSEPTIEMBRE 02/03: P-1

Camino o contorno simple cerradoEs un contorno que genera dos dominios: uno acotado (interior) y otro no acotado (exterior). Ambos dominios tienen al contorno como frontera.Camino o contorno no simple cerrado

Decimos que la integracin se lleva a cabo en sentido positivo alrededor del contorno C cuando el interior queda a la izquierda del sentido de circulacin.Para no recargar con smbolosDecimos que la integracin se lleva a cabo en sentido negativo si ocurre lo contrario.Se cumple que:

Propiedades de las integrales de contorno

Integrar la funcin a lo largo de la circunferencia: |z| = r. EjemploIntroducimos un parmetro tvariando entre Nota: podramos haber usadoEjercicio: repetir con esta forma.

Integrar la funcin a lo largo del cuadradoEjemploIntroducir un parmetro t variando entre

0 (integrando impar en intervalo de integracin par)

Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integracin.Integrar la funcin a lo largo del cuadradoIntroducir un parmetro t variando entre

Usando las relacionesobtenemosDonde C ahora es el cuadrado unitario anterior desplazado a la izquierda 2 unidades.

Observa que:

Teorema integral de CauchySi f (z) es analtica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:f (z) es analtica en todo puntoexcepto en z = 0f (z) es analtica en todo puntoEjemplos:

Para demostrar el teorema de Cauchy nos ser necesario el Teorema de Green (1828)George Green (1793-1841).Resultado de sus trabajos en electromagnetismo.Seancontinuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:

Supongamos que la regin R es un rectngulo como muestra la figura.Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variacin en x:

Repitiendo anlogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3 y C1 no tienen variacin en y, obtendremos:Y eso completa la demostracin para un contorno rectangular recorrido en sentido positivo.

Podemos usar infinitos rectngulos para recubrir exctamente el rea de R. Recorrindolos como indica la figura superior, se compensan las integrales en los caminos horizontales...

Demostracin del teorema integral de Cauchy:0(Como f(z) es analticacumple las ECR) Como suponemos u(x,y), v(x,y) y susderivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:

Teorema integral de Cauchy-GoursatSi f (z) es analtica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Goursat demostr el teorema integral de Cauchy sin imponer la restriccin alguna sobre la derivada de f(z).Edouard Jean-Baptiste Goursat(1838 1936)

f (z) es no analtica en z = /2, 3/2, ...f (z) es no analtica en z = 3EjemplosNo es analtica en los puntos z = 0, 1, 2,... 012-1-2C2i

Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la desigualdad ML:longitudde Ccualquier nmero tal que sobre CDemostracin:Cotas para integrales de lnea.

Observemos que si |f(z)|=1, entonces:Por la desigualdad triangular, tenemos:

Supongamos que: si z es un punto de C.Entonces:Desigualdad ML

Ejemplo: Encuentra una cota superior para el valor absoluto de:donde C es el crculo |z| = 4. Puesto que |z +1| |z| 1 = 3, entonces: Adems, |ez| = ex, con |z| = 4, y tenemos que el mximo valor de x es 4. As:

Demostrar la siguiente desigualdad:Im (z)1Re (z)Respuesta.L: longitud del arco:M: max |Log z|

ADemostracin del teorema deCauchy-Goursat para camino triangular cualquiera:

Sea el camino triangular ABCA.Trazamos un tringulo auxiliar EFD a partir de los puntos mediosde los lados del tringulo ABC.Entonces:E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2

Aplicando la desigualdad triangular:SeaEntonces:Repitiendo el proceso con el tringulo

Despus de n pasos, tendremos:Hemos construido una sucesin de tringulos encajados:gracias al principio de Cantor de compactos encajados:existe un punto z0 que pertenece a todos ellos. Y puesto que z0 est dentro o sobre ABC , y como por el enunciado f(z) es analtica en z0. Entonces:recordemos que (z) depende de z y que (z)0 cuando z z0; es decir, que para todo podemos encontrar un tal que (z) siempre quez - z0.

Integrandos g(z) analticos con primeras derivadas continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.

Si P es el permetro de ABC , entonces el permetro n ser: Usando la desigualdad ML:

Tenamos:Y como se puede tomar arbitrariamente pequeo, entonces:

Puesto que todo polgono cerrado se puede triangular, aplicando el teorema de Couchy-Goursat a cadatringulo podemos demostrar el teorema para un polgono cerrado arbitrario.

Intentaremos aproximar una curva arbitraria a travs de un polgono cerrado P de vrtices z0, z1, z2, ... zn-1, zn= z0,tal y como hicimos para definir la integral de lnea compleja.

Recordemos que:Para n finito, estamos aproximando la curva cerrada con un polgono P cerrado de n lados y de permetro Sn.Obviamente:Usando la desigualdad triangular:Acotaremos y

Comencemos conEntonces, dado cualquier > 0 existe un nmero N() tal que para n > N():

Sigamos con acotemos:

Utilizando la desigualdad triangular:Multiplicando por 1 y cambiando el signo de los integrandos:

Para cada una de las k integrales (k=1,2, ..., n) usaremos la desigualdad ML.Observemos que la longitud de cada integral es: Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos tomar el N() de lo suficientemente grande como para quecon n > N() la distancia entre f(zk) y f(z) est por debajo de /2P, para todo k, donde P es el permetro de la curva cerrada. As podemos acotar todos los integrandos:

De modo que:Tenamos:

Recopilando:Puesto que es arbitrario, entonces:

Ejercicio

Principio de deformacin de contornos(Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo).Supongamos que f (z) es analtica en un dominio doblemente conexo D as como en las curvas que lo limitan.

Entonces:Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto conexo (no incluye los puntos frontera).Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros) Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros) Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros) ...Sentido negativo

Como:Sentido positivoNota: Observa que los sentidos en que se recorren los circuitos en este dibujo y el anterior, no son los mismos...

Ejemplo 1:(obvio!)Ejemplo 2:(no tan obvio)

Otra demostracinIntroduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen los dos contornos.

Sean C* y C** los dos nuevos contornos cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4) y (5-6-7-8), respectivamente.12345678InicioyxAhora f (z) es analtica sobre y dentro de C* y C** . Por el teorema Integral de Cauchy:

Integramos alrededor del dominio D, a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. As:Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulanPero como las integrales a lo largo de C* y C** son cero,entonces:con lo que se demuestra el enunciado. 12345678Inicioyx

Por qu se denomina principio de deformacin de contornos?Si uno de los contornos puedetransformarse en el otro mediante una deformacin continua y sin cruzar ninguna singularidad de f(z), entonces:Recordemos:

As que como la integral de f(z) = 1/z a lo largo de un crculo de radio r es 2i:A partir del teorema integral de Cauchy para dominios doblemente conexosvemos que la integral de f(z) = 1/z a lo largo de cualquier camino que contenga este crculo es tambin 2i.es analticaaquEjemplo

Evaluar la integralf (z) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos estn fuera de la regin sombreada como muestra la figura. As:donde C es un crculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un crculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo.Ejemplo03i-3i12

Teorema de Cauchy-Goursat para dominios mltiplemente conexosSupongamos que C, C1, , Cn son curvas cerradas simples con orientacin positiva, tales que C1, C2, , Cn son interiores a C pero las regiones interiores a cada Ck, k = 1, 2, , n, no tienen puntos en comn. Si f es analtica dentro y sobre el contorno C, sin el interior de todos los Ck, k = 1, 2, , n, entonces:

No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir que formen anillos. Por ejemplo:Imaginemos que f(z) es analticaen todos los puntos del dominio D de la figura. Tanto C2 como C3 forman anillos con C1. Por deformacin de contornos:

Ejercicio: Se sabe que una cierta funcin es f(z) es analtica en todo el plano complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y quesiendo Ck : |z k| = , orientado en sentido positivo.Calcular , siendo i cada uno de los siguientes contornos orientados positivamente:(1) 1 : |z| = 4,(2) 2 : |z| = 5/2 y (3) 3 : |z 5/2| = 1Respuesta: Por el teorema de Cauchy-Goursat en dominios mltiplemente conexos:

Integremos la funcin a lo largo de la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i.(1) Representar C en la forma z(t):(2) Integramos:Independencia del camino de integracin

A lo largo de C2:EjemploIntegrar la funcin a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura:A lo largo de C1:

El valor de la integral entre dos puntos depende siempre del camino?

Repitamos pero con a lo largo de la recta C, que una los puntos 0 y 1+ i.(1) Representar C en la forma z(t):(2) Integramos:

A lo largo de C2:EjemploRepitamos de nuevo con la funcin , pero ahora a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i:A lo largo de C1:

Ahora el valor de la integral no depende del camino.Qu diferencias hay entre f(z) = z y f(z)= ?

Integrar la funcin a lo largo del camino Cuniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figuraOtro ejemplo

Integrar la funcin a lo largo del camino C = C1+ C2 uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figuraOtro ejemploA lo largo de C1:A lo largo de C2:

El valor de la integrala lo largo de los dos caminos es el mismo.Coincidencia?

Independencia del caminoSupongamos que f (z) es analtica enun dominio simplemente conexo D(por el teorema integral de Cauchy)

Recuerda el potencial gravitatorio:La energa potencial gravitatoria = m g hes independiente del camino...masa maltura h

Ejemplo: f(z)=|z|2x1i1+iL0L1L2yObserva que L0 L1+L2

Ejemplo: f(z)=z2x1i1+iL0L1L2yObserva que L0=L1+L2

Ejemplo: calcular A lo largo del camino C1:Como f(z) = 1/z es analtica en todo el plano complejo excepto en z = 0. Podemos utilizar un camino ms sencillo C2 (|z| = 1).

Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo para cada bucle, utilizando como puntos intermedios los puntos de interseccin.

Si f es analtica en D entonces:

Independencia del caminoConsideremos la integralSi F (z) es analtica en un dominio simplemente conexo D, conderivada dF/dz = f(z) y, z0 y z1 estn en D, entonces la integral de f(z) entre z0 y z1 es independiente del camino en D.dondep.ej.De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real:

Ejemplos(1)todo el plano complejo(2)( f (z) es no analtica en todo punto - depende del camino)(3)f (z) analtica eneste dominio(ambas 1/z2 y 1/z son no analticas en z = 0 - el camino de integracin C debe eludir el punto)

Por qu en este caso la integral depende del camino?

Intentemos definir F(z) = Ln z como primitiva. En este caso una posible primitiva es:CortePunto de ramificacin

CortePunto de ramificacinIntentemos definir una primitiva para este caso.Observe que NO puede ser la misma que en el caso anterior:Y tomemos los cortes como los tomemos, siempre obtendremos este resultado.

Ms sobre integracin en contornos cerrados...Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que stas sean:(a) analticas, o (b) analticas en ciertas regionesPor ejemplo,f (z) es analtica en todo punto excepto en z = 0Pero, qu sucede si el contorno encierra un punto singular?

Frmula Integral de CauchySea f (z) analtica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0:

EjemploIlustremos la frmula integral de Cauchy para el caso de f (z) = 1 y z0 = 0La frmula integral de Cauchyf (z) es una funcin constante, es entera, as que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0.se convierte en

EjemploEvaluar la integral donde C es z = 2 es un punto singular en el interior a C.se convierte en:La frmula integral de Cauchyf (z) es analtica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2.

Demostracin no rigurosa de la frmula integral de Cauchy:

Por el principio de deformacin de contornos:Cambio de variable:

Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagmoslo infinitamente pequeo:Qu no es riguroso aqu?

Demostracin de la frmula integral de Cauchy. Por el principio de deformacin de contornos:

Vamos a encontrar una cota ML paraTenemos:Y necesitamos M tal que:Para todo z en C0 :Como f(z) es continua en z0:Si tomamos para todo z sobre C0.

Ya podemos aplicar la desigualdad ML: paraEpsilon puede ser tan pequeo como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r0. As que:

EjemplosEvaluar las siguientes integrales:(1)donde C es el crculo |z |=2f (z) es analtica en D y C incluye z0

(2)donde C es el crculo |z+i |=1Necesitamos un trmino en la forma 1/(z- z0) as que rescribimos la integral como:En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presentapuntos singulares en z = i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.Ese es nuestro punto z0 en la frmula

Evaluar donde C es el crculo |z 2i | = 4.Solucin Solo z = 3i est dentro de C, y

Otro ejemploFrmula integral de Cauchy:se convierte enEvaluardonde C es cualquier contorno cerradoconteniendo z = -if (z) es analtica en todo punto

Tenemos queEl contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.Ese es nuestro punto z0 en la frmuladondeAhoradonde C es el crculo |z+i |=1

donde C es el crculo |z |=3/2tan z es no analtica en /2, 3/2, , pero esos puntos estn fuera de nuestro contorno de integracinC incluye dos puntos singulares, z = 1.Para poder usar la frmula integral de Cauchy, debemos tener slo un punto singular z0 dentro de C.Usaremos fracciones parciales:

Por ejemplo,Se pueden tratar funciones ms complicadas con potencias de z-z0, con la frmula:Nota: cuando n=0 tenemos laFrmula Integral de Cauchy:Generalizacin de la frmula integral de Cauchyf analtica en y dentro de C, z0 dentro de C Esta frmula tambin es conocida como la formula para las derivadas de una funcin analtica.

Tomando f(z0) como una funcin de variable z0. Derivando con respecto a z0 y aplicando la regla de Leibnitz:Partamos de la frmula integral de Cauchy:Demostracin de la generalizacin de la frmula integral de CauchyUsar el mismo procedimiento para demostrar por induccin:

La generalizacin de la frmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional:

Si una funcin f(z) es analtica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los rdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez tambin analticas en el dominio.

Sea f(z) una funcin definida en todo punto de un entorno de z0. Si f(z) no es analtica en z0 es imposible encontrar una funcin F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sera analtica y por la frmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existira en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sera analtica en z0: una contradiccin.

EjemploEvaluar la integraldonde C es el crculo |z |=2 seaseaf (z) es analtica en D, y C incluye z0

EjemploEvaluar la integraldonde C es el crculo |z |=2 seaseaf (z) es analtica in D, y C incluye z0

ExamenJUNIO 02/03: P-1

Resumen:con f (z) analtica dentro y sobre C.(1)con f (z) analtica dentro y sobre C(3)( Teorema integral de Cauchy-Goursat )(Frmula integral de Cauchy )con f (z) analtica dentro y sobre C(4)( Frmula para derivadas )(2)dondeF (z) analtica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y z0 y z1 en D.

Ejercicios: Demostrar

(1) El teorema de Morera: (2) La desigualdad de Cauchy:Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y sipara cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analtica en D(Probarlo usando la frmula para las derivadas de una funcin analticay la desigualdad ML)(3) El teorema de LiouvilleSi una funcin entera f (z) est acotada en valor absoluto para todo z, entoncesf (z) debe ser constante probarlo usando la desigualdad de Cauchy.

Desigualdad de CauchySi tomamos el contorno circular C: |z z0| = r, utilizando la generalizacin de la frmula integral de Cauchy y la desigualdad ML: donde |f(z)| M para todos los puntos de C.

Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que |f (z0)| M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer que |f (z0)| sea tan pequeo como queramos: |f (z0)| = 0. De modo que f es una funcin constante. Teorema de Liouville

Ejercicio. Sea la funcin entera tal que:Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresin general de f(z).Respuesta.Por el teorema de Liouville:Por tanto

1. We need to be able to take the derivative in complex analysis. We wouldnt be able to do much otherwise. E.g. if we have displacement we can use calculus to obtain s and a, which are really useful/essential to know. 2. But the derivative in complex analysis is a bit trickier than the derivative in ordinary real calculus
















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