UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

TÓPICOS DE MATEMÁTICA (Código 575)

GUIA INSTRUCCIONAL (VERSION PRELIMINAR) Sólo para uso instruccional

Sin valor comercial

Lic. María A. Arocha. S.

EDUCACIÓN Mención: Matemática

Caracas, Febrero 2006

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO SUBPROGRAMA DISEÑO ACADÉMICO ÁREA: EDUCACIÓN CARRERA: EDUCACIÓN – MENCIÓN MATEMÁTICA

TOPICOS DE MATEMÁTICAS

Código: 575 Semestre: VII U. C.: 4 Carrera. Educación Mención: Matemática Código: 508 Tipo de material: Guía Instruccional (Versión

Preliminar) Compilador: Lic. María A. Arocha. S Comité Tecnico:

Caracas, Febrero 2006

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TÓPICOS DE MATEMÁTICA

INDICE Introducción……………………………………………………………………………… 5 Modulo I: Tópicos de Matemáticas aplicado al ámbito del saber………………………

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Unidad I. LECCIÓN 1. 1.1. LA HISTORIA Y LA MATEMÁTICA DISCRETA 1.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HISTÓRICOS

LECCIÓN 2.

2.1. TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO 2.2. RECURSIÓN, ITERACIÓN E INDUCCIÓN 2.3. ALGORITMOS

8 9

13 14 18

Módulo II. Tópicos de Matemáticas aplicado a la equidad en la toma de decisiones.

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Unidad II. LECCIÓN 3. 3.1. GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS)

LECCIÓN 4. 4.1. MATRICES

LECCIÓN 5 5.1. OPTIMIZACIÓN Y VIABILIDAD

Unidad III. LECCIÓN 6. 6.1. ECUACIONES EN DIFERENCIA

LECCIÓN 7. 7.1. SISTEMAS PONDERADOS DE VOTACIÓN

LECCIÓN 8 8.1. CLASIFICACION Y PARTICIÓN

20

20

21

23

35

47 Módulo III. Tópicos de Matemáticas aplicado a la vida cotidiana. 50

Unidad IV. LECCIÓN 9. 9.1. CRECIMIENTO 9.2. INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CAOS

51 52

4

LECCIÓN 10.

10.1. FRACTALES 10.2. CAOS E INTERACIÓN

Unidad V. LECCIÓN 11. 11.1. LOGICA BORROSA – TEORIA DE CONJUNTOS

BORROSOS

LECCIÓN 12. 12.1. DIAGRAMA DE VORONOY

LECCIÓN 13 13.1. TRABAJOS PRÁCTIVOS CON APLICACIONES

EN OTRAS ÁREA

54 58

60

60

61

5

INTRODUCCIÓN

El curso Tópicos de Matemáticas es de carác ter obli gatoria teórico – prácti co,

está ubicado en el diseño curricular de la mención Matemática en el VII semestre.

Esta asignatura se origina con la fina lidad de ofrecerle al futuro docente de la

carrera de Educación Mención Matemática una serie de nuevos conceptos y formas de

pensamientos que le permitan:

Situar la planificación de l a i nstrucción dentro del c ontexto del pro ceso

curricular.

Seleccionar y aplicar estrategias de enseñanza y procedimientos de evaluación,

acordes con su área de especialización.

Ser capaz de dis eñar programa de instrucción y mate riales n ecesarios p ara

llevarlo a cabo dentro del aula.

Que arti cule e stos c ontenidos con o tras áre as como s on: bi ología, química,

ingeniería, informática, sociología, economía, etc.

Con este c urso el d ocente po drá c oncretar as pectos e studiados en otras

materias en s u vinc ulación c on te mas es pecíficos de l a m atemática y que l e dan

sentido al C urrículo Mate mático, a l a Evaluación M atemática y a los Materiales

Instruccionales diseñados con fines específicos.

Este curso contribuirá a definir el quehacer cotidiano del docente en su actividad

de aula, marcará las pautas fundamentales de su actividad profesional.

Queremos que el fut uro docente d e la C arrera de E ducación Mención

Matemática se conforma a partir de habilidades, actitudes y conocimientos que aluden

a la acción docente en g eneral. Po r tal mo tivo es impres cindible e n la dis cusión de

tópicos de matemáticas sobre como abordar l os conceptos, principios, ope raciones y

aplicaciones que s e p ongan de manifiesto en lo s temas como grafo s, matri ces,

problemas de optimización, sistemas ponderados de votación, técnicas de conteo, etc.

No se puede abordar en una as ignatura, o carrera de ense ñanza de todos los

conocimientos, destrezas y habilidades que deseamos tenga un docente. El presente es

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un esfuerzo que pretende suministrar conocimientos y experiencias que le sirva como

futuro docente en el aula.

Para tener éxito en este curso, tome algunas recomendaciones que debes tener

en cuenta:

1. La metodología a seguir es propia de la enseñanza a d istancia, por lo

tanto es eminentemente activa y el aprendizaje se fundamenta en las

actividades de le ctura, con ocimiento y refl exión y e laboración,

referidos a los contenidos del curso. En la medida que estudies c ada

aspectos debes comenzar a elaborar tus propias opiniones, reflexiones

y transferir el conocimiento que va adquiriendo a otros contextos.

2. Revisa la unidad que vas a estudiar y el material de lectura disponible

para ello.

3. Debes t ener m uy presente c uál es el tema de la unidad que vas a

estudiar y la intencionalidad del objetivo.

4. Mientras lees, realiza un análisis e interpretación del material escrito,

bien s ea de t exto preelab orados, material co mpilado d e di ferentes

textos y publ icaciones y /o ma terial d iseñado y producido e n la

mención.

5. Luego debes proc eder a des arrollar las ac tividades establecidas en

esta guí a instrucc ional, para e xtraer los e lementos uti lizados e n e l

material bi bliográfico en c uanto a s us as pectos conceptuales,

operatorios y de aplicación, y resolución de problemas.

6. En caso, que presentes al guna dific ultad p uede ac udir al asesor o

comunicarte con el especialista en contenido.

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OBJETIVO DEL MODULO I.

OBJETIVO DE LA UNIDAD I.

CONTENIDO DE LA UNIDAD I.

Aplicar diferentes tópicos de matemáticas en el

ámbito del saber humano relacionados con su

origen histórico.

Explicar los distintos tópicos de matemáticas en el ámbito del saber

humano.

LECCION 1. 1.1. LA HISTORIA Y LA MATEMATICA DISCRETA. 1.2. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HISTÓRICOS.

LECCION 2. 2.1. TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO. 2.2. RECURSIÓN, ITERACIÓN E INDUCCIÓN. 2.3. ALGORITMOS.

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UNIDAD I.

LECCIÓN 1.

LA HISTORIA Y LA MATEMATICA DISCRETA La h istoria de la matemática está llena de ané cdotas, de proble mas interesantes, u nos y a re sueltos y otros si n re solver, qu e ustedes c omo f uturos docentes podrán utiliz ar para motivar a nu estros a lumnos a es tudiarla y desarrollar actitudes positivas hacia ella. El us o de la historia de la matemática l es permi tiría a u stedes como futuros docentes a acercase a esta ciencia desde un punto de vista humano, con el fin de que nuestros al umnos com prendan que l a matemática es simplemente cre ada po r se res humanos iguales que ellos. Por tal motivo, un c ierto conocimiento de la historia de la matemática, debería formar parte indispensable del conocimiento del matemático general y del docente de cualquier nivel, como lo son la Básica, Media Diversificada y Profesional. Sin embargo, la his toria de la m atemática nos pro porciona l a a parición de nuevas t eorías y nu evas formas de pensamiento, por el intento de r esolver una situación, problemas, etc.

A ra íz de la a parición de las c omputadoras, calculadoras científicas y graficadoras, con su gran capacidad de cálculo, con su enorme rapidez, su versatilidad, potencia de representación gráfica, las posibilidades para la modelización sin pasar por la formulación matemática c lásica, nos ha abi erto una multitud de campos diversos, como lo es la Matemática Discreta.

La Mat emática Disc reta e s la parte de l as mate máticas qu e estudia obje tos discretos. La Matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética, grafos,...).

Actividades 1.1.1. Usted de berá l eer la Lec tura 1: Mat emática Dis creta. Tall eres

divulgativos “mat emática en acción” de Franci sco Sa ntos que se encuentra en la selección de lecturas.

1.1.2. Usted deberá hacer un análisis de la lectura realizada, con base a ese análisis, re sponda ¿cree usted imp ortante el uso de la matemática discreta en el aula de Matemática? ¿qué implicaciones tendría el uso de la matemática disc reta si u sted como docente d ebe des arrollar este contenido?

Explicar los distintos tópicos de

matemáticas en el ámbito del saber

humano.

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1.1.3. Extraer los elementos util izados en e l material bibliográfico en cuanto a sus aspectos conceptuales, operatorios y de apl icación, y re solución de problemas.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS HISTÓRICOS. La Res olución d e Pro blemas Hi stóricos, no s perm itiría q ue n uestros alumnos usen destrezas para re solver pr oblemas: de terminar cómo abor dar un problema, explicar el razonamiento y verificar sus resultados. La re solución de p roblemas históricos debe ría s er una herrami enta p ara objetivos tales como:

a. Señalar los problemas abiertos en cada época, su evolución, la situación en la que se encuentra actualmente.

b. Apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.

Observe la siguiente lectura donde se utiliza la historia de la matemática desde un

enfoque de resolución de problemas

Elementos de Euclides: una aplicación de la historia al aula, enfocada desde la resolución de problemas

Joaquín Fernández Gago

José Gutiérrez Bueno Francisco Hinojosa Onieva Damián Jiménez Vázquez

Emilio J. Muñoz Velasco El artículo se enmar ca en el trabajo de l Seminario Permanente de H istoria de las Matemáticas de Málaga. Se presenta aquí lo que fue una clase en que se les planteó a los alumnos una actividad construida sobre la mediatriz, extraída del Libro I de los El ementos de Euclides. Metodológicamente, se enfoc a d esde la resolución de pr oblemas por ser és te el ambiente natural en las clases d el grupo elegido.

Introducción La a cción del Semi nario Per manente de Historia de la s Mate máticas de Málaga tiene c omo eje el diseño de actividades y su puesta en práctica en las clases a través del estudio – entre otros temas – de la i nfluencia del conocimiento y de la utilización de la Historia de la s Matem áticas en e l aprendizaje de s u leng uaje. El hec ho de c entrarse en H istoria de l a

Matemática está motivado, tal como se señala en e l Diseño Curricular de la E . S. O, por la re organización de conceptos que ha ce el alum no al desenfocarlos de su contexto ci entífico actual. Por eje mplo, en el caso concreto d el lenguaje m atemático se pueden comprender s u arbi trariedad y s u eficacia a l comp arar los métodos de los griegos con los de Fermat.

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También es de de stacar la importancia de la historia para contribuir a que lo s estudiantes aprecien el papel que las Matemáticas han jugado y siguen jugando en el desarrollo científico y en el progreso de la humanidad. Lo qu e aquí s e pres enta es produ cto de una clase dirigida a los alumnos de 2º de BUP del Instituto de Ba chillerato Licinio de la Fuente, en Coín (Málaga). En ella s e p romueve una dinámica participativa o rientada d esde continuas preguntas, in citando a que el alum no busque las re spuestas para incidir sobre la f ormación y reestructuración de sus conoc imientos. A la vez, se p retende que los al umnos desarrollen su capacidad de ex presión oral pa ra obtener m ayor pre cisión en el dominio del lenguaje matem ático. Esta activi dad cont ienen muy poco del estilo deduc tivito de los Elementos de Euclides, ya q ue la e structura n atural de la clase en que trabaj amos e s la típica de r esolución de proble mas (en el sentido que inició Polya) Objetivos 1. Extraer el concepto de mediatriz de

su a ctual co ntexto ci entífico, enfocándolo primero desde un punto de vista empírico (previo al método deductivo de los griegos), y después desde la perspe ctiva de la geometría c lásica (construcción de Euclides)

2. Potenciar el uso del lenguaje algebraico y observar sus ventajas e inconvenientes.

3. Relacionar l os conceptos de distancia, ángulo, bi sectriz, mediatriz, rect a, triángulo, lugar geométrico.

4. Incitar al alum no a entender un problema por medio de preguntas tipo: ¿C uáles s on los datos?, ¿ Cuál es la inc ógnita?, ¿ Cuál es la condición?.

5. Incitar al alumno a usar y reconocer estrategias para res olver problemas: h acer más fá cil el problema y buscar s emejanzas c on conceptos o problemas conocidos, o escoger una notación adecuada.

6. Favorecer el gusto por la certeza, incitando a los alumnos a que fundamenten s us propios resultados.

7. Ver la mat emática má s co mo u n conjunto de resultados estáticos.

8. Incitar a l os alumnos a utilizar el método ensayo – error.

Motivación Se comienza planteando a los alumnos el siguiente problema para que lo intenten resolver como quieran. ¿Dónde situarías una fábrica que equidista de dos pueblos separados por una cadena montañosa? ¿Qué se te ocurre?

¿Cuántas p osibilidades tien es de colocar la fábrica?

¿Te suena al go a la as ignatura de Dibujo? Respuestas de los alumnos En prim er l ugar obs ervamos, a l pasar por sus bancas, que todos van respondiendo que sólo hay una. Más tarde afirm an que dos . Ello es porque a nteriormente, con otra actividad, han c onstruido con reg la y compás u n t riangulo equilátero. En este pu nto pregunto: ¿Sólo hay dos? R ápidamente responden que hay infinitas , aunqu e alg unas todavía no lo tengan claro. Es el momento de reorganizar la información y ver en qué s e han equivocado. Pronto s urgen explicaciones, afir mando que la distancia de la fábrica a los pueblos no tiene p or qué s er la mism a que la distancia entre los pueblos.

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Construcción euclidiana Ellos leen la que vie ne a continuación e xtraída de l a Proposición 10 del L ibro de lo s Elementos de Euclides.

1) Llamamos AB al seg mento que queremos dividir en dos; a par tir de éste c onstruimos el triángulo equilátero ABC.

2) Calculamos ahor a l a bi sectriz del ángulo A CB. Esta rec ta es l a buscada.

(Para d ibujar la bi sectriz de u n ángulo, te s erá muy út il la Proposición 9, o cualquier l ibro de Dibujo) Para l os al umnos no pre senta mucho i nterés, pu es prá cticamente ellos la habían hec ho ya a parti r de la Motivación. Ejercicios Les proponemos los siguientes:

1) En el triángulo equilátero ACB, la altura div idía a la base en dos partes igu ales. ¿ Es esto c ierto en cualquier triángulo?. Intenta Justificar.

2) Se ll ama mediatri z (*) de un segmento al lugar geométr ico de los puntos del plano que equidistan de los extrem os de dic ho s egmento. Escribe en co ordenadas cartesianas la ec uación de la m ediatriz de u n segmento: c omienza por ejemplo con los p untos A( 3,0) y B(0,3). ¿Pasa la mediatriz por el punto (0,0)? ¿ y p or (1’ 5,1’5)?. Res ponde de dos f ormas distintas a esta pregunta: por el d ibujo y por la ecuación de la recta. Hazlo ahora de una for ma más general eligiendo dos puntos (x1,y1) y (x2,y2).

3) Busca cinco pu ntos qu e e stén a la misma distancia de A y que de B.

4) ¿Qué diferenc ia enc uentras entre lo que hiz o E uclides y lo que has hecho tú en el ejer cicio anter ior?

¿Por qué E uclides no usó coordenadas?. Alumnos: So bre el primero s e observan p or las bancas las siguientes estrategias: - Usar el teorem a de Pitágoras. Su

razonamiento consiste en que las partes en que queda dividido el segmento son los catetos de dos triángulos rectángulos iguales.

- Usar la trigonometría que ya conocen: las partes en que queda dividido e l se gmento como e l coseno de un mismo ángulo.

- Doblando el pap el por la altu ra ellos ven que son iguales.

Respecto a l se gundo problema se establece un diálogo muy interesante. Profesor. Vamo s a plantear el problema: ¿Cuále s son lo s datos?, ¿cuál es l a incógnita?, ¿c uál es l a condición? Alumnos: Los dat os son qu e di stan de los pueblos igual. Profesor: ¡Mejor, eso lo ponemos en la condición! Alumnos: L os d atos son los d os puntos o pueblos. Profesor: ¿Cómo los llamamos? Alumnos: Por ejemplo A y B. (Surge la siguiente pregunta) ¿Pero quiénes son A y B? Profesor: Como no los c onocemos hagámoslo má s fá cil y supongamos que son dos puntos con cretos d el plano, como por ejemplo A(3 ,0) y B(0,3). Centrémonos ahora en la condición. Alumno: Yo teng o otra c ondición, y es qu e la r ecta es la perpendicular que divide a la distancia AB en dos. Profesor: Está muy bien pero queda mejor expres ado dic iendo que es la perpendicular al seg mento AB que pasa por el punto medio AB. Bueno ¡ya podéis ata car el problema! Us emos la e strategia ¿A qué os suena?. (sigue a c ontinuación un s ilencio que no entiendo muy bien). Si, algo de lo que tenemos esc rito e n la condición lo hemos dado en clase.

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Alumnos: ¿l a distancia entre puntos? (lo dicen dudando). Profesor: Vamo s a tr aducirlo a l lenguaje algebraico de Fermat. Alumnos: (x, y) está en la mediatriz cuando d( (x, y) (3,0)) = d ((x, y)(0,3)) Profesor: Bueno ahor a dec idme cómo se c alcula l a di stancia entre puntos. Alumnos: Se bu sca un triángulo rectángulo en los puntos A y B. Profesor: No ha ce falta q ue lo deduzcáis, decidme la fórmula. Alumnos (a co ro): ra íz cuadrada d e x1-x2 al cuadrado más y 1-y2 a l cuadrado. Profesor: ¿Quién es aquí x1? ¿Quién es aquí x2? ¿quién es y1? ¿Quién es y2?. Después de pensar la s vari ables escriben la formula

2222 )3()3( yxyx Profesor: Bueno, s ólo qued a ahora hacer cálculos. Alumnos: ¿ Para quitar las raíces elevamos al cuadrado? Profesor: Sí. Alumno: ¿Es (x-3)2 = x2 – 9? Profesor: N o, ¿re cuerdas del año pasado la fórmula x2+32 - 6x? Alumno: ¡Ah! ¡Ya recuerdo! Profesor: ¿ Qué q ueda después de los cálculos? Alumnos: - 6x + 6y = 0. Profesor: Si os d a igual y = x, que es la e cuación ex plicita de una recta. ¿Es ló gico el resul tado que ha salido? Alumnos: No entiendo. Profesor: Si, nos ha salido una recta que pas a por el (0,0). Pero eso yo ya lo s abía s in hacer cálculos, ¿por qué?. Alumnos: Porqu e (0 ,0) es tá separado de A tres unidades, y (0,0) es tá s eparado d e B también tres unidades. Profesor: ¡ En efec to! ¿y por qué los puntos tienen la x igual a la y? (Silencio que si entiendo)

Por ejemplo, el punto (1’5, 1’5) está en la m ediatriz porque es el punto medio del seg mento A b. Bueno, usar ahora la ot ra es trategia,... (pero toca el timbre y pasan de mí). (*) Es impor tante ac larar que Euclides e n ningú n mom ento de la Proposición 10 l lama m ediatriz la recta que buscamos. Es más , ni siquiera d emuestra que la rec ta buscada sea el lugar geométrico de los puntos del pl ano qu e equi distan de dos puntos fijos. Bibliografía BOYER, CARL B. (1 986) Historia

de la matemática. Ed. Alianza, Madrid.

GUZMÁN, Miguel de. (1 986). Aventuras Matemáticas. Ed. Labor, Barcelona.

HEATH, THOMAS L. (1 956). The Thirteen Books of Euclid`s Elements. Dover.

MASON, J. –BURTON L. –STACEY K. (1 989). Pensar matemáticamente. Ed. Labor – MEC, Barcelona.

Polya, g. (1 965). Como plantear y resolver problemas. Ed. Trillas. México.

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Actividades

1.2.1. Analicé la lectura realizada anteriormente. 1.2.2. Usted deberá leer la L ectura 2: L a hi storia de la Matemática y de la

ciencia como estrategia en la didáct ica de resoluc ión de problemas por Israel Mazarío Triana y Lectura 3: Recopilación de Problemas Históricos, que se encuentran en la selección de lecturas.

1.2.3. Con base a esa lec tura deberá se leccionar un t ema o tó pico de matemática inc luido en el c urrículo de la Te rcera Etapa de Educación Básica o de la Educación Media, Diversificada y Profesional, para diseñar una ac tividad utilizan do la his toria de la matemática, trate de s er creativo e innovador(a) al momento de realizar la tarea

LECCIÓN 2.

TÉCNICAS BÁSICAS DE CONTEO.

Al contar objetos, lo que realmente se hace es tomar a cada uno de los objetos que ha ser contado y luego s e le asocia un número, 1, 2, 3, etc, hasta que ya no hay objetos. Este mé todo de con tar se empleó aun antes de qu e l os n úmeros tuvieran nombres y símbolos. Los hombres después de las cavernas determinaban con piedras cuántos animales de sus hatos de ganado no regresaban del pastoreo. Por cada vac a que salía, se colocaba una piedra al lado. Conforme regresaba cada vaca, se eliminaba una piedra de la p ila. Si des pues d e que r egresaban l as v acas qued aban p iedras, entonces se sabía que se habían perdido algunos animales. Es importante hacer notar que los cavernícolas hicieron esto sin haber tenido un lenguaje o s imbolismo para los números. Las té cnicas de c ontar son u niversales, y se h an encontrado e n todas l as sociedades estudi adas hasta a hora. Esta s técni cas han da do o rigen al concept o de número y a la Aritmética. Surgen ligadas a la necesidad de:

comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos (cardinal de la colección).

indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de objetos (ordinal del objeto).

En las so ciedades pre históricas - cazadores y re colectores- se plantea ya, aunque sea a pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿cuántos son?. También aparece la ne cesidad de establecer un ord en de actuación: ¿qué s e hace primero ?, ¿quién interviene en segundo lu gar?, et c. A partir d e esas necesidades sociales s e desarrollan diferentes té cnicas de recuento q ue h an i do evolucionando a lo la rgo de la historia. En nuestra sociedad s e utiliza predominantemente una t écnica de con teo con pa labras, a un cu ando s e con servan vestigios de otras varias técnicas. Cada cole cción de "obje tos numéricos" vamos a ll amarla "s istema numeral" o sistema de representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son "objetos ideales" o abstractos. En definitiva, interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ci ertas si tuaciones en l as que reflexionamos sobre l as acti vidades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para esas actividades.

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Actividades 2.1.1. Usted deb erá l eer la Lectura 4: Enseñar p robabilidad en pr imaria y

secundaria? ¿Para qué y p or qué? por Li liana Jiménez M., José Ra fael Jiménez F en la selección de lecturas.

2.1.2. Defina que es Té cnica de Conteo , y de qu é m anera ut ilizaría us ted la lectura realizada anteriormente en el aula, diga su pro y su contra.

2.1.3. Usted debe rá bus car libros de matemática de Educación Bá sica o Educación Media, Diversifica y Profesional y describirá la forma como es dada la técnica de conteo y de que forma usted como docente impartiría una actividad de técnica de conteo.

RECURSIÓN, ITERACIÓN E INDUCCIÓN.

Consideremos el problema de las Torres de Hanoi.

Problema 1. El objetivo de este antiguo ac ertijo es p asar la torre de discos a cu alesquiera de la estaca 1 a la estaca 3 con e l mínimo pos ible de movimientos. Se p uede mover solamente un d isco c ada vez. No se pu ede col ocar un di sco sobre otro que sea más pequeño.

En la tabla 1, n r epresenta el número de discos de la torre, M re presenta el

menor número de movimientos que toma pasar estos discos a las estacas vacantes.

TABLA 1.

n M 1 2 3 4 5 6 . . .

.- ¿Cuál es el mínimo número de movimientos con cuatro discos?. Si an representa el número de pasos para llevar una torre compuesta por n discos de la estaca 1 a la 3; entonces ¿cómo encontramos una ecuación recursiva para hallar an+1? Como las torres 2 y 3 (qu e inicialmente están vacías) juegan (o pueden jugar) un papel simétrico, entonces an también representa el número mínimo de movimientos necesarios para llevar la torre de la estaca 1 a la 2, usando la estaca 3 como auxiliar.

1 2 3

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La secuencia gráf ica anterior nos permite deducir que an+1, e l número mínimo de movimientos necesarios para trasladar la torre de la estaca 1 a la 3 es igual a 2an + 1; esto es an (número mínimo de movimientos requeridos para llevar n discos de la estaca 1 a la 2); más 1 movimiento para llevar el disco mayor de la estaca 1 a la 3; más an (número mínimo de movimientos necesarios para llevar n discos de la estaca 2 a la 3). En consecuencia, obtenemos la relación de recurrencia an+1= 2an + 1, n1 a1=1 Rellenemos la tabla 2, para hallar el mínimo número de movimientos con cuatro discos y veamos qué sucede cuando se toman siete discos. TABLA 2.

n M 1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 6 63 7 127 8 255 9 511 . . .

2

1

1

1

3

32

21

a

3a2

31

16

.- ¿Encuentre un patrón que podría dar la solución para 64 discos?

.- ¿Cree que el procedimiento de las diferencias finitas, se puede aplicar a este problema?

Procedamos a uti lizar tabla 2 y restemos los términos consecutivos, entonces nos quedará:

TABLA 3.

n M 1 1 2 2 3 2 4 2 3 7 4 2 8 4 2 4 15 8 4 2 16 8 4 2 5 31 16 8 4 2 32 16 8 4 6 63 32 16 8 64 32 16 7 127 64 32 128 64 8 255 128 256 9 511 . . .

.- ¿Por qué razón no se puede resolver por el método de las diferencias finitas?. .- ¿Cree poder obtener otro procedimiento, para hallar la solución para 64 discos?. .-¿Podría utilizar la tabla 3, pa ra hallar este valor a pesar de no poderse obtener por diferencias finitas? .-¿Existe entre ellas una regularidad?. ¿Cuál?. .- ¿Cómo aumentan? .- ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos?

Este problema no se puede resolver por el método de las diferencias finitas, ya que la obse rvación en l a tab la 3, no s pe rmite sugerir que, a medida que s e va n restando las diferencias y nos movemos hacia la derecha, siempre termina arribando a 2 , 4, 8, 16, 32, 64,…..(señalados en cursiva y negrita en la tabla 3) y que el término que permanece constante es sólo el dos, lo que no nos garantiza la permanencia de la constante.

17

Por la tabla 3, tenemos las siguientes relaciones:

CUADRO 1.

Caso 1. Caso 2

01231

432105

32104

21023

102

01

2222...........2

.

.

.

22222161531

22228715

222221437

22213

201

nna

a

a

a

a

a

12

.

.

.

1213231

1211615

12187

12143

12121

55

44

33

22

11

nna

a

a

a

a

a

.- ¿Cuál cree que sea la solución, según el cuadro 1? .- ¿Cuál es el mínimo número de movimientos con cuatro discos? .- ¿Cuál es la fórmula para el menor número de movimientos necesarios para pasar n discos? .- ¿Qué relación hay entre el caso 1 y el 2?

L a solución general, 12 n , no es un polinomio. Por esta razón, este problema no se puede resolver por diferencias finitas. El patrón para el número de movimientos que cada disco hace es:

12 n = 01231 2222...........2 n

Actividades

2.2.1. Usted deberá buscar, varios libros de Primero y Segundo año de Media, Diversificado y Profesional, y analizará de que forma son manejado los términos de recursión, iteración e inducción.

2.2.2. Tomando en cuenta la actividad presentada anteriormente, usted deberá realizar una pr opuesta de una actividad q ue a plicaría en el aula de matemática en la Media Diversificada y Profesional.

Número total (mínimo de

movimientos).

Disco más pequeño

Disco más grande.

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ALGORITMOS. En el curso Didáctica de la Aritmética (código 542) se presenta un algoritmo de la sustracción no estándar por el profesor Angel Miguez. Actividades

2.3.1. Usted deberá leer en la guía instruccional de D idáctica de la Arit mética, pagina 11 – 17, donde se encuentra un algoritmo.

2.3.2. Cree usted que la matemática debe enseñarse por algoritmo, diga cuales son los pro y los contra.

2.3.3. Que di ferencia hay entre patrones y algoritmo en matemá tica. Si no la hay justifique su respuesta.

PRIMERA ENTREGA DE ASIGNACIÓN

Debes entregar por escrito todas las actividades propuestas del Módulo I (unidad I) a más tardar la 5ª semana del semestre a través de la valija de la Universidad, esto con l a fi nalidad de que tu trabajo sea revisado y en caso de necesitar mejorarlo, tengas oportun idad de hac erlo. E s ne cesario qu e p ara la en trega d e estas actividades sigas las orientaciones que presentamos a continuación:

Debes ser conciso y preciso en las respuestas. Si usas un procesador de palabras debes usar como mínimo una le tra tamaño

11 puntos y máximo 12 puntos, usa tipos de letra sencillos. Usa hojas tamaño carta. Si no dominas el uso de l editor de ecuaciones, símbolos, tablas, gráficos y dibujos deja el espacio en blanc o en el sitio correspondiente y hazlo a mano con un bolígrafo o un color de tu agrado.

Si vas a realizar el trabajo a mano usa letra legible y clara. Debes usar un block de hojas t amaño carta de una línea. Prefe riblemente h azlo en bolígrafo azul para facilitar su lectura.

Responde de manera ordenada, secuencial. El trabajo debe estar limpio y legible. El trabajo a ent regar no debe estar encuadernado, simplemente engrapado

en el orden correspondiente y a lo sumo en una carpeta sencilla.

19

OBJETIVO DEL MODULO II.

OBJETIVO DE LA UNIDAD II.

CONTENIDO DE LA UNIDAD II.

Investigar los distintos tópicos de matemáticas en

cuanto sus aspectos conceptuales, operatorios y

de aplicación que permitan la compresión e interacción en la realidad con la toma de

decisiones.

Explicar grafos, matrices y optimización en cuanto

a sus aspectos conceptuales, operatorios

y de aplicaciones.

LECCION 3. 3.1. GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS). LECCION 4. 4.1. MATRICES. LECCION 5. 5.1. OPTIMIZACIÓN Y VIABILIDAD.

20

UNIDAD II.

LECCIÓN 3

GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS)

En l a te oría d e g rafos, cu yo o rigen h istórico suele si tuarse e n el co nocido problema de “los sietes puentes de Kônisberg ” propuesto por Euler (1736), los grafos son modelos matemáticos de numerosas situaciones reales, por ejemplo: un mapa de carreteras, un plano d e un red d e m etro d e una c iudad, u n plano de un c ircuito eléctrico, etc., son grafos que representan esquemáticamente situaciones reales.

Actividades 3.1.1. Usted deberá leer la Lectura 5: Grafos (redes y circuitos) y analizar dicha

lectura. 3.1.2. En caso de ser necesario usted puede buscar otras bibliografías como la

disponible e n inte rnet (http://www.dma.fi.upm.es/gregorio/grafos/CamMin/teoria/teoria.htm, por Hernández, G.

3.1.3. Extraer los elementos uti lizados en e l material bibliográfico en cuanto a sus aspectos conceptuales, operatorios y de aplicación, y re solución de problemas.

LECCIÓN 4

MATRICES

Las matrices además d e usted ve rlas como tema obligatorio en la carrera de educación mención matemática, es dada en l a media d iversificada y profesional, s in embargo, nuestros alumnos de au la, tiene una confusión sobre que es una columna y que es una fila, es decir cuál es la diferencia entre ellas.

Explicar grafos, matrices y optimización

en cuanto a sus aspectos conceptuales,

operatorios y de aplicaciones.

21

Actividades 4.1.1. Usted deberá leer la Lectura 6: Matrices por María Victoria Veguín Casas,

este es una le ctura no muy prof unda pues l a idea es observ ar la importancia de las matrices y su origen.

4.1.2. Usted deberá proponer una actividad sencilla, donde el alumno llegue a la conclusión de q ué es una matriz, tipos de matrices y propiedades de las matrices en suma y multiplicación.

LECCIÓN 5

OPTIMIZACION Y VIABILIDAD

Actividades 5.1.1. Usted de berá leer la L ectura 7: La matemáticas de todo s l os días.

Problemas de optimización, por Emma Castelnuovo. 3.1.2. Usted deberá analizar la le ctura y deberá hacer una pr opuesta de una

actividad para ser evaluada en el aula.

22

OBJETIVO DEL MODULO II.

OBJETIVO DE LA UNIDAD III.

CONTENIDO DE LA UNIDAD III.

Investigar los distintos tópicos de matemáticas en

cuanto sus aspectos conceptuales, operatorios y de aplicación que permitan la compresión e interacción en la realidad con la toma

de decisiones

Demostrar ecuaciones en diferencia, toma de

decisiones, clasificación y partición.

LECCION 6. 6.1. ECUACIONES EN DIFERENCIA. LECCION 7. 7.1. SISTEMAS PONDERADOS DE VOTACIÓN LECCION 8. 8.1. CLASIFICACIÓN Y PARTICIÓN

23

UNIDAD III.

LECCIÓN 6

ECUACIONES EN DIFERENCIA

Capitulo1. Ecuaciones en Diferencia con aplicaciones, por Takahashi, T. 1990.

1 LEY DEL CRECIMIENTO

1.1 PROGRESION GEOMÉTRICA

Cuando un a c antidad s e inc rementa muy rápidam ente e n s u valor, de una

manera es pecial que p recisaremos en es ta sección, s e dice que varía en pro gresión

geométrica. E n seguida s e considera un problema de progresión g eométrica

presentado en un libro de texto de ma temáticas tit ulado “ Jinkoki”, que fue

ampliamente utilizado en Japón en el siglo XVII.

"A principios de año nuevo aparece una pareja de ratones, quienes tienen

luego una camada de 12 crías. El número de ratones es ah ora 1 4. En

febrero no s olamente la pare ja inicial, sino tam bién c ada una d e la s

nuevas p arejas, da lugar a 12 cría s. El núme ro tot al de roe dores se

convierte en 98. En esta forma, una vez por mes cada pareja de ra tones

de cada una de las generaciones tiene una camada de 12 crías. ¿Cuál es el

número total de ratones al final de diciembre?"

La respuesta q ue apar ece en el libro es 27 682 574 402, que eq uivale a 2

multiplicado por 7 e levado a l a potencia 12 . Aunque no e s muy difícil obtener di cha

respuesta, consideremos el problema con cierto detalle.

Primeramente, las condiciones del problema se resumen como sigue:

(i) Hay dos ratones a principios de enero.

(ii) Cada pareja tiene 12 crías en cada mes, es decir, el incremento del número

de ratones es de 6 por 1.

Demostrar ecuaciones en

Diferencia, toma de decisiones,

clasificación y partición.

24

Si bien de bemos en contrar el número de rato nes pres entes al final d e

diciembre, para de terminarlo c on éxito de acuerdo a las c ondiciones anteriores,

formulemos e cuaciones cu yas i ncógnitas se an l as can tidades de raton es a l finalizar

cada uno de los meses de enero a diciembre.

Denotemos por U(1), U(2), . . ., U(12) al n úmero de raton es en enero,

febrero,..., dicie mbre, respectivamente. Inicialmente hay dos ratone s y a fine s de

enero el núme ro de ratones llega a ser U(1). Por lo tanto el i ncremento de dic ho

número es U(1) - 2, que es igual a 6 x 2 por la condición (ii). Consecuentemente,

U(1) - 2= 6 x 2. (1.1)

Ahora, como U(1) es también el número de ratones al principio de fe brero, el

incremento del número en dicho mes es igual a U(2) - U(1), que es igual a 6U(1) por

la condición (ii);

U(2)- U(1) = 6U(1). (1.2)

Del mismo modo, por la condición (ii), el incremento del número de ratones en

cada uno de los meses restantes está dado por las siguientes ecuaciones

U(3) - U(2) = 6U(2), U(4) - U(3) = 6U(3).

U(5) - U(4) = 6U(4), U(6) - U(5) = 6U(5).

U(7) - U(6) = 6U(6), U(8) - U(7) = 6U(7), (1.3)

U(9) - U(8) = 6U(8), U(10) - U(9) = 6U(9),

U(11) - U(10) = 6U(10), U(12) - U(11) = 6U(11).

Las expres iones (1.1 ), (1.2) y (1.3) for man un s istema de ecuaciones

simultáneas con doce inc ógnitas U(1), U(2 ), . .., U(12). P ara re solverlas, primero

transpóngase el segundo término del primer miembro de la ecuación (1.1) al s egundo

miembro. Entonces

U(1) = 6 x 2 + 2 = 7 x 2 = 14.

También transpónganse los s egundos té rminos de l prime r miembro de l as

ecuaciones (1.2) y (l.3) al s egundo miembro. Entonces la ec uación (1.2) s e convierte

en

U(2) = 6U(1) + U(1) = 7U(1).

Sustituyendo el valor de U(1), se tiene

U(2) = 7 X 14 = 98.

De la misma ma nera, sucesivamente se

obtiene

U(3) – 7U(2) = 7 x 98 = 686, U(4) = 7U(3) = 7 x 686 = 4802, . . .

Para poder observar l a regularid ad, es mejor representar estos valore s en

25

forma de exponentes, esto es,

U(2) = 7 • 7 • 2 = 72 • 2. U(3) = 7 • 72 • 2 = 73 • 2,

U(4) = 7 • 73 • 2 = 74 • 2.

En vis ta d e es tas expr esiones, es de esperar qu e los valo res de U (5) y lo s

términos siguientes sean dos veces 7 el evado a la potencia que indica el número del

mes correspondiente. En efecto

U(5) = 7U(4) = 7 • 74 • 2 = 75 • 2, U(6) = 7U(5) = 76 • 2,

U(7) = 7U(6) = 77 • 2, U(8) = 7U(7) = 78 • 2,

U(9) = 7U(8) = 79 • 2, U(10) = 7U(9) = 710 • 2,

U(11) = 7U(10) = 711 • 2, U(12) = 7U(11) = 712 • 2,

como se esperaba. Se puede ve rificar, me diante s ustitución, que estos val ores s on

soluciones de las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3).

De es ta manera el pr oblema queda res uelto. Sin embargo, en el desarrollo

anterior f ue n ecesario e scribir muchas f órmulas semejantes. Resumiendo dichas

fórmulas, volvamos a escribirlas como sigue.

Representemos los meses del primero al último mediante la literal t. Es decir, t

es una variable cuyo valor recorre los enteros del 1 al 12. Análogamente, sea U(t) el

símbolo que representa a U(1), U(2), ..., U(12). U(t) denota el número de ra tones

presentes al fina l de l t-ésimo mes. En pri mer l ugar, si se analizan l as e cuaciones

(1.1), (1. 2) y (1 .3), s e obs erva que las ecuaciones (1 .2) y (1.3 ) re presentan l a

relación que exi ste e ntre el nú mero de ratones en un mes determinado y el

correspondiente al mes anterior. Aunque la ecuación (1.1) parece un poco diferente, si

se denota por t = 0 el principio de enero y se establece U(0) = 2, la ecuación (1.1) se

convierte en

U(1) - U(0) = 6U(0),

que es de la misma forma que las ecuaciones (1.2) y ( 1.3). Puesto que el número de

ratones al principio del t-ésimo mes es U(t - 1), las ecuaciones (1.1)-(1.3) se resumen

en la fórmula

U(t) - U(t - 1) = 6U(t - l), (1.4)

Si se su stituye t = 1 en es ta ec uación, re sulta U(1) – U(O ) = 6 U(0) q ue es

precisamente la nueva expresión de la ecuación (1.1) dada anteriormente para t - 1 =

1 - 1 = 0. D e mane ra se mejante, si se su stituye t = 2, 3,. .., 1 2, se obtienen las

ecuaciones (1.2) y (1.3). Es más conveniente escribir los valores que recorre t (t= 1,

2,..., 12) junto con las ecuaciones.

26

Ahora bi en, las e cuaciones simultáneas (1.1.) - (1.3) s on fórmulas que

representan las condiciones ( i) y ( ii), pe ro s on e xpresiones qu e se o btuvieron

aplicando la condición (ii) a cada uno de los meses de enero a diciembre en lugar de

representar la pro pia c ondición (ii). La ecuación (1.4) es la fo rmulación de dicha

condición (ii). En el procedimiento anterior se ha buscado la ecuación (1.4) a partir de

las ecuaciones (1.1) - (1.3). Pero e l camino es un poco opuesto. Si se representa la

condición (ii) me diante l a e cuación (1.4), s e obt ienen las e cuaciones (1. 1) - (1.3)

sustituyendo t por los valores 1,2,..., 12. Sin embargo, la ecuación (1.4) no implica la

condición (i), es decir, una fórmula qu e repr esente el valor de U(t) cu ando t = O,

Entonces se requiere una ecuación mas

U(0) = 2. (1.5)

que repr esenta la c ondición (i ). De es ta m anera la s ec uaciones (1.4) y (1.5)

representan las condiciones (ii) y (i) respectivamente.

Si se a dopta tal e xpresión, l as s oluciones U(l), U(2), .. . se resumen en l a

fórmula

U(t) = 7t-1 • 2 (1.6)

Si se sustituye t = O en esta ecuación, se obtiene U(0) = 7 0 • 2 = 2 que es

precisamente la ecuación ( 1.5). Para veri ficar que l a ecuación ( 1.6) sati sface l as

ecuaciones simultáneas, es suficiente introducir la ecuación (1.6) en (1.4). Esto es, si

se reemplaza t por t - 1 en la ecuación (1.6), entonces resulta

U(t - 1) = 7t-1 - 2. (t = 1,2, ....,12).

La ecuación anterior y la (1.6) implican que

U(t) = 7 • 7t-1 • 2 = 7U(t - 1),

o en forma equivalente,

U(t) - U(t - 1) = 6U(t - 1).

De esta manera se puede ver que la ecuación (1.4) es válida para t = 1, 2, ...,

12.

VARIABLES Y FUNCIONES

Un símbolo, tal como la li teral t empleada en la discusión anterior, que asume

varios valores en un problema dado, se denomina variable. En cambio, un símbolo que

adquiere un valor definido se llama constante. Si bien U(t) es una variable, su valor es

determinado por el valor de t. Por ejemplo si t es 2, el valor U(2) es 98. A una variable

cuyo val or e s de terminado por otra variable, se le llama función de esta última. Es

decir, U(t) es una fu nción de t. En este lib ro se de nota por t a una va riable que

represente tiempo y comúnmente se denotan por x las demás variables. Las funciones

27

de x se representan por U(x), V(x), u(x), v(x); Y(x) o S(x) dependiendo del problema

particular. Por ejemplo, el valor de U(x) en x = 2 se expresa como U(2). De acuerdo a

estas de finiciones, el pro blema re suelto anteriormente s e formula c omo s igue:

Encontrar una función U(t) definida en t = O, 1, 2,...,12 y que satisfaga las ecuaciones

(1.4) y (1.5).

EJERCICIO 1 En el problema de progresión geométrica de esta sección suponga

que hay 10 ratones al pri ncipio de l a ño y ob tenga el número de ra tones en enero,

febrero y marzo.

EJERCICIO 2 De muestre que U(t) = 7t • 10, (t = O, 1, 2, ..., 12), satisface la

ecuación (1.4).

Obsérvese que si se reemplaza t - 1 por x en la ecuación (1.4), entonces

U(x + 1) - U(x) = 6U(x) (x = O, 1, 2, ..., 11)

para t = x + 1. Puesto que x es sólo un símbolo que representa una variable, se puede

reemplazar x por t y se tiene

U(t + 1) - U(t) = 6U(t), (t = O, 1, 2. .... 11). (1.4’)

Dado qu e l as ec uaciones (1.4) y (1.4’) son esencialmente iguales, s e puede

adoptar la (1.4') en lugar de la (1.4).

1.2 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

Ecuaciones tales como (1.4) y (1.4') que están definidas en cierto dominio de

una variable y que relacionan una función incógnita de la variable x con la función de

la variables x + 1, qu e difiere en 1 de la pri mera, por ejemplo U(x) y U(x + 1) , se

llaman ecuaciones en diferencias de primer orden. En gene ral, una ecuación que

relacione una función incógnita U(x) con U(x + 1), U(x + 2), .. .. U(x + n) se llama

ecuación en diferencias o ecuación en diferencias finitas de orden n. A menos que se

diga específicamente otra cosa, se supondrá que x y U(x) varían en el conjunto de los

números enteros y el de los reales, respectivamente.

Una solución de una ecuación e n diferencias es un a fun ción qu e s atisface la

ecuación. En otras palabras, es una función que satisface una ecuación dada (ecuación

en dife rencias) para cualquier valor de la variable pe rteneciente a un dominio en el

que está definida la función.

Se hace notar que dada una ec uación en diferencias, una solución definida en

esta forma no necesariamente es única. Por ejemplo, 7 t • 2 y 7 t • 10 son soluciones

28

de la ecuación (1.4). En general, si C es una c onstante el egida a rbitrariamente,

entonces

U(t) = 7t • C, (2.1)

es una solución de la ecuación (1.4). Si bien C es una constante, puede tomar valores

arbitrarios y se llama por lo tanto constante arbitraria. El hecho de que una solución

contenga una c onstante arbitraria significa que ha y una c antidad infinita de

soluciones. Aunque este hecho parece extraño, en un problema práctico hay algunas

condiciones adicionales que deben satisfacerse junto con las ecuaciones en diferencias

y así res ulta que mediante dichas c ondiciones, s e s elecciona una s ola solución de

entre una in finidad de e llas. Resulta muy fácil ver que en e l problema de la sección

precedente, s e debe tomar C = 2 en la ecuación (2.1) para que s e satis faga l a

ecuación (1.5).

Una ecuación como la (1.5) que define el valor de una función en el valor inicial

de la variable se llama condición inicial de la ecuación en diferencias de primer orden.

El valor d e una func ión d efinido por medio de una c ondición in icial s e llam a valor

inicial.

Si una solución de una ecuación en diferencias dada (que satisface la condición

de u nicidad que s erá exp licada po steriormente) contiene constantes arbitrarias y

satisface condiciones i niciales a justando apropiadamente dichas con stantes, se llama

solución general de la ecuación en diferencias. SÍ se asignan valores particulares a las

constantes arbi trarias de una solución general, la solución obtenida se l lama solución

particular. Por ejemplo, la ecuación (2.1) es una solución general de la ecuación (1.4)

y 7t • 2 y 7t • 10 son soluciones particulares.

En un problema práctico de progresiones geométricas, basta con obtener una

solución que satisfaga una condición inicial dada. El método de cálculo empleado en la

sección precedente es como sigue. Primero se hace x = 1 en la ecuación en diferencias

para obtener la ecuación (1.1) y s e sustituye el valor inicial de U(0) para encontrar

U(1). En seguida se hace x = 2 en la ecuación en diferencias para obtener la ecuación

(1.2) y s e sustituye el val or de U (1), obtenido ante riormente, para encontrar U(2).

Repitiendo este procedimiento, s e encuentran U (3), U (4), .... A u n m étodo q ue

empiece con el valo r i nicial e introduzca va lores conocidos en la ecuac ión en forma

repetida para encontrar la solución sucesivamente, se le llama método de iteración o

iterativo. E ste tipo d e m étodo s e u tiliza a m enudo pa ra resolver ec uaciones

numéricamente.

Ahora se explica la unicidad de una solución bajo una condición inicial dada.

29

Por su naturale za, no es posible imag inar que un problema de progresión

geométrica tuviera dos soluciones. Si bien se obtuvo ciertamente una solución única

de una progr esión ge ométrica uti lizando un m étodo i terativo, s e c onsidera el

procedimiento general para re solver una e cuación en diferencias me diante este

método.

Supongamos ahora que se cumplen las condiciones siguientes.

(i) El valor inicial U(0) es dado.

(ii) Dados valores arbitrarios de la variable x y U(x), U(x + 1) es determinado

de manera única mediante la ecuación en diferencias.

Las dos condiciones anteriores se pueden escribir de nuevo como sigue

(i') El valor U(0) de U(x) en x = 0 es único.

(ii') Si el valor U(k) para x = k está determinado de manera única, entonces el

valor U(k + 1) para x = k + 1 también está determinado de manera única.

Dado que U(0) es único, si se hace k = 0 en ( ii'), la condición implica que U(1) es

único. Si U(1) e s ún ico, e ntonces por (i i') U(2) es único. Si se repite este

procedimiento, U(x) resulta determinado de manera única para todo núm ero natural

que pertenezca al dominio donde U(x) está definida. Este método de demostración se

llama inducción matemática. De esta manera, para las ecuaciones en diferencias que

satisfagan la c ondición (i i), la exis tencia y unicidad de la s s oluciones bajo la s

condiciones inic iales dadas, quedan probadas. Se ha ce notar que estas propiedades

son también útiles para resolver algunos problemas prácticamente.

En l a presente s ección se han ex plicado ecuaciones en diferencias de primer

orden. Pe ro casi todos lo s ra zonamientos de sarrollados an teriormente se pueden

aplicar a ecuaci ones e n diferencias de orde n supe rior con la dife rencia de que

aumentan el número de condiciones iniciales y el de constantes arbitrarias.

Aunque el dominio d e una variab le se puede e legir arb itrariamente, de ahora

en adelante se elige el dominio que consta de todos los enteros no negativos O, 1,2,

..., a menos que se diga específicamente lo contrario.

Sean a y b números arbitrarios. Si se hace x = a, U(x) = b y U(x + 1) = y, entonces la ecuación en diferencia se convierte en una ecuación con incógnita y. Se supone que esta ecuación tiene una solución real única. Esta condición es en realidad muy fuerte. Si el dominio de la variable y la imagen de la función se limitan, resulta suficiente que U(x + 1) sea determinado de manera única en dicha imagen limitada. Desde luego, el valor inicial debe estar contenido en la misma

imagen. Por ejemplo, si U (x + 1) = )(1 xU , se debe tener que U(x) 1 para que la función sea real. Además, si

0 U(x) 1 entonces 0 )(1 xU 1. En este caso, (ii) se satisface bajo la condición 0 U(x) 1. Pero si U (x + 1) =

2+ )(1 xU , no existe un valor real U(x) que implique )(1 xU 1. En este caso, (ii) no se cumple.

30

Incluso s i un dominio empieza de sde u n en tero dis tinto de cero n o hay d iferencia

esencial, ya que éste último es solamente numerado a p artir de ese entero. Puesto

que la existencia y la unicidad de una solución están probadas, por ejemplo en el caso

de una progresión geométrica, aunque t sea mayor que 12 se puede ver sin tener que

efectuar más cálculos que al cabo de t meses el número de ratones es 2 • 7t, siempre

que la tasa de incremento de ratones sea constante.

Finalmente se hace notar que si la condición de unicidad se satisface, todas las

soluciones están contenidas en una solución general. Dado que resolver una ecuación

en d iferencias es encontrar toda s l as sol uciones, entonces, s egún s ea dada un a

condición inicial o no, deb emos bus car una s olución general o bien una sol ución

particular que satisfaga la condición inicial, respectivamente.

EJEMPLO 1 Si a es una constante distinta de cero, la ecuación en diferencias

U(x + 1) - aU(x) = O, (x = O, 1, 2,.. .), (2.2)

se vuelve a escribir

U(x + 1) - U(x) = (a - 1}U(x) (2.3)

Ésta es una forma generalizada d e l a ecuación (1.4), una ec uación en

diferencias para progresión geométrica. Una solución general de la ecuación (2.2) es

U(x) = Cax (2.4)

Aunque e ste h echo s e d educe fácilmente, se su giere al lector p robarlo d e

acuerdo al ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2 Sea

U(x + 1) - U(x) = b, (x = O, 1,2,...) (2.5)

Se puede deducir una solución general de la ecuación (2.5),

U(x) = C + bx,

a partir de U(1) = U(0) + b, U(2) = U(1) + b = U(0) + 2b,...

DEMOSTRACION. Se sustituye x por x + 1 en la ecuación (2.6) y se tiene

A veces se elegirá un dominio que conste de los enteros no positivos x = 0,1,2,....., satisface una condición

inicial. –x = , entonces y varía sobre el conjunto 0, 1, 2, ....

Una solución obtenida por el método de iteración para x = 0, 1, 2,..., satisface una condición inicial. Una

solución particular que satisfaga la misma condición inicial se puede obtener a partir de una solución

general. En virtud del teorema de unicidad esas soluciones deben ser iguales.

31

U(x + 1) = C + b(x + 1).

Esta expresión y la ecuación (2.6) implican que

U(x + 1) - U(x) = C + b(x + 1) - (C + bx) = b.

Por lo tanto la ecuación (2.6) es una solución de la ecuación (2.5). Si se hace x

= 0 en la ecuación (2.6),

U(0) = C.

Eligiendo C a decuadamente, s e s atisface la c ondición ini cial. Obviamente l a

ecuación (2.5) cumple la condición de unicidad. Por c onsiguiente la ecuación (2.6) es

una solución general de la ecuación (2.5).

EJERCICIO 1 Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias.

(a) U(x + 1) - 5U(x) = O, U(0) = 4.

(b) U(x + 1) + 2U(x) - O, U(0) = 1.

(c) 3U(x + 1) - 2U(x) = 0.

(d) U(x + 1) - U(x) == 2, U(0) = 3.

1.3 SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Supongamos que una func ión U(x) e stá de finida en el dominio d e todos los

enteros no negativos. Si la infinidad de valores de U(x) en x = O, 1, 2, ... se ordena n

en la forma

U(0), U(1), U(2), ..., (3.1)

este ordenamiento se llama sucesión y se denota por {U(x)}. Cada uno de los valores

que forman una sucesión se llama término de la sucesión. Dado que la variable x no es

sino un nú mero qu e repre senta el orden de los térm inos, se puede de cir q ue una

sucesión es un acomodo lineal de una infinidad de números ordenados por cierta regla.

Se considera una función como sucesión para poder ver cómo varían los valores

de l a función ( términos de la sucesión) según varían los valores de la var iable x. La

función U(x) es un término de la sucesión {U(x)}.

Ahora bi en, l as su cesiones más comu nes y además i mportantes son l as

aritméticas y las geométricas. Una s ucesión a ritmética e stá c ompuesta de té rminos

que se o btienen su mando s ucesivamente una constante al p rimer té rmino. L a

constante se llama diferencia común. Una sucesión geométrica consta de términos que

se obtienen multiplicando el prim er término sucesivamente por una constante que se

llama razón común. Por consecuencia, para evitar casos excepcionales, se permite que

una diferencia común sea cero, pero se supone que toda razón común es diferente de

cero. Re sultará o bvio qu e l os té rminos U (x) de e stos ti pos d e su cesiones son

32

soluciones de las siguientes ecuaciones en diferencias, donde la dif erencia común y la

razón común se representan por b y a, respectivamente:

Ecuación en diferencias Solución

U(x + 1) = U(x) + b (x = O, 1, 2, ...) sucesión aritmética (3.2)

U(x + 1) = aU(x) (a O, x = 0. 1. 2, ...). sucesión geométrica (3.3)

Si s e util izan lo s res ultados de lo s ejem plos 1 y 2 de la s ección prec edente, la s

sucesiones se representan como sigue

Sucesión aritmética: {C + bx}. (3.4)

Sucesión geométrica: {Cax}. (3.5)

Donde C denota el término inicial U(0).

Para poder ve r el comp ortamiento de e stas su cesiones, se di bujan gráficas

sustituyendo la variable por algunos valores. Ejemplos

1. {3 + 2x} 3, 5, 7, 9, 11,...

2. {3 + (-2)x} 3, 1, -1, -3, -5,...

3. {3 2x} 3, 6, 12, 24, 48,...

4. {3 (1)x} y {3 + 0x} 3, 3, 3, 3, 3,...

5.

x

2

13 ,...

16

3,

8

3,

4

3,

2

3,3

6.

x

2

13 ,...

16

3,

8

3,

4

3,

2

3,3

7. {3 (-1)x} 3, -3, 3, -3, 3,...

8. {3 (-2)x} 3, -6, 12, -24, 48,...

9. {(-3) 2x} -3, -6, -12, -24, -48,...

10.

x

2

1)3( ,...

16

3,

8

3,

4

3,

2

3,3

En general, si los términos de una sucesión {U(x)} aumentan progresivamente

a medida que la variable aumenta, esto es, si se cumple que

U(x + 1) > U(x) (x = 0, 1, 2,...),

la sucesión se l lama monótona estrictamente creciente. A la inversa, si los términos

disminuyen cuando la variable aumenta, es decir, se tiene que

U(x + 1) < U(x) (x = 0, 1, 2, ...),

la su cesión se l lama monótona estrictamente decreciente. Estos dos tipos de

sucesiones se denominan genéricamente sucesiones monótonas.

33

FIGURA 1

Si los términos de una sucesión se mantienen aumentando y disminuyendo (no

necesariamente en f orma alternada) a medida que la variable aumenta, esto es, no

existe ningún ent ero no ne gativo tal que pa ra todo valor de la variable mayor que

dicho entero se satisfacen siempre las desigualdades U(X + 1) > U(x) o bien U(x + 1)

< U(x), exclusivamente, entonces la sucesión se llama oscilante.

En los eje mplos an teriores, (1), (3) y (10) s on sucesiones monótonas

estrictamente c recientes; (2), (5) y (9 ) son su cesiones monótonas e strictamente

decrecientes; (6), (7) y (8) s on sucesiones oscilantes; (4) es una sucesión constante

(todos sus términos U(x) son constantes).

Ahora bien, s in ef ectuar cálculos num éricos s e pued en observar tales

comportamientos a pa rtir de la magnitud y si gno de l as constantes a, b y c en l as

ecuaciones (3.2), (3.3) o (3.4), (3.5) como sigue.

Obsérvese prim ero qu e las c ondiciones para ser monótona estrictament e

creciente y dec reciente s on U(x + 1) - U(x) > O y U(x + 1) - U(x) < O,

respectivamente. Si una sucesión es aritmética, la ecuación (3.2) implica que el signo

de U(x + 1) - U(x) es igual al de b. Consecuentemente, una sucesión

es estrictamente creciente (como la (1)), si b > O,

es estrictamente decreciente (como la (2)), si b < O,

es constante (como la (4)), si b = 0

Si una sucesión es geométrica, la ecuación (3.5) implica que si C = 0, entonces

U(x) = 0 y si C 0, ento nces U(x) 0. Supongamos en lo que s igue que C 0. La

ecuación (3 .3) im plica que s i a > O, U(x + 1) y U(x) ti enen s ignos igual es (si u n

número se multiplica por un factor po sitivo, no cambia su signo). Por lo tanto, si C =

U(0) es positivo, entonces todo valor U(x) es positivo, si C es negativo, entonces todos

los U(x) son negativos. En este caso, el segundo miembro (a - 1)U(x) de la ecuación

(2.3) tiene s igno d efinido s iempre q ue a 1. Se gún sea e l s igno, l a su cesión e s

(i)

34

estrictamente c reciente (como (3) y (10)) o estrictamente decreciente (c omo (5) y

(9)). Si a = 1, la sucesión es constante (como l a (4)). Si a < O e ntonces la ecuación

(3.3) impl ica que U(x + 1) y U(x) tien en si gnos opue stos, ya que aU(x) se h ace

negativo o pos itivo s egún sea U(x) positivo o ne gativo, re spectivamente.

Consecuentemente, en es te caso la s ucesión es oscilante (como (6), (7) y (8)). Los

resultados anteriores se resumen en la siguiente proposición:

Una sucesión geométrica es monótona o bien constante con signo

definido, si a > 0;

oscilante, si a < 0.

En seguida se examina una sucesión de la forma {|U(x)|} cuyo término general

es el valo r absoluto |U(x)| de l término general U(x) de una sucesión geométrica. (El

valor absoluto || de un nú mero real se define como el mismo o bien (-), según

sea > O o bien < O, respectivamente. Por ejemplo |3| = |—3| = 3). Entonces

|U(x + 1)| = |||U(x)|, (3.6)

o en forma equivalente

|U(x + 1)| - |U(x)| = (|a| - 1) |U(x)|.

|U(x)| > 0, ya que C 0 implica que U(x) 0. Por consiguiente, la sucesión {|U(x)|}

es estrictamente creciente (como en los casos (3), (8) y (9)), si > 1

( > 1 o < -1);

es estrictamente decreciente (como en (5) y (6)), si 0 < | | < 1

(0 < < 1 o -1 < < 0);

es constante (como en (4) y (7)) si || = 1 ( = 1 o = -1)

Las tres sucesiones (6), (7) y (8) son oscilantes, pero hay diferencias entre sus

correspondientes su cesiones de valores absolutos. Si l os té rminos U(x) de una

sucesión o scilante cambian de si gno alternadamente, |U(x)| se ll ama ampl itud de la

sucesión. Tomando logaritmo en ambos miembros de la ecuación (3.6), se tiene

log |U(x + 1)| -log|U(x)| = log||,

lo cual pone de manifiesto que {log|U(x)|} es una sucesión aritmética con di ferencia

común log ||. Ésta es la razó n por la que se uti liza convenientemente el eje de las

ordenadas marcado e n escala l ogarítmica c uando se trazan gráficas de su cesiones

geométricas. En la Figura 2, están las gráficas de las sucesiones (3) {3 • (2x)} y (5) {3

• x21 }

(ii)

(iii)

35

Figura 2

Actividades Usted deberá realizar la Lectura anterior. Usted deberá resolver los ejercicios presentados en la lectura. Defina que es una Ecuación en Diferencia

LECCIÓN 7

SISTEMAS PONDERADOS DE VOTACIÓN

Tomado del libro Las matemáticas en la vida cotidiana. Capitulo 12. Por Steven J. Brams, Universidad

de Nueva York y otros.

En algunas c ircunstancias electorales, el pr incipio d e << una persona, un voto>> no vale. Por ejemplo, cuando los accionistas de una empresa pública eligen un consejo, a cada a ccionista l e corr esponde un voto por cada a cción qu e pose e. L os accionistas que pose en can tidades relativamente gran des de acciones n ormalmente tienen mayor influencia en las elecciones que los accionistas pequeños.

Un sistema de votación ponderado es un procedimiento de toma de decisiones en el que los participantes tienen un número diferente de votos. Son ejemplos de este sistema las elecciones de accionistas y la elección del Presidente de Estados Unidos por el Colegio Electoral (véase Primer Plano 12.1). Algunos organismos legislativos tienen una disciplina partidista tan fuerte que los legis ladores s iempre votan según dicte su partido. Estos organismos legislativos adoptan sistemas de votación ponderados en los que lo s participantes so n las organizaciones po líticas, ca da una de la s cuales tien e derecho a un número de votantes igual al tamaño de su delegación en la legislatura.

El poder de un partic ipante en un sis tema de votac ión pond erado se puede definir a grandes rasgos como la capacidad del participante de influir en una decisión. Hay varias formas de medir matemáticamente el poder de un participante, o un bloque de participantes, en un sistema d e vo tación pon derado. Estudiaremos d os de t ales medidas: el índice de poder de Banzhaf y el índice de poder de Shapley-Shubik. Ambos índices proporcionan una medida mucho más precisa del poder de un participante que el número de votos que tiene derecho a emitir.

36

CÓMO FUNCIONA LA VOTACIÓN PONDERADA En 1958, el Consej o Directivo d el Co ndado de N assau (Nueva York) estaba compuesto por seis concejales de cinco municipios. Dos de el los habían sido e legidos por la ciudad de Hempstead, que tenía más de la mitad de la población del condado. Para compensar l as poblaciones desiguales de l os municipios, a l os concejales se l es dieron votos ponderados, como se describe en la tabla 12.1. El número total de votos asignados a los concejales fueron 30, y hacía falta una mayoría simple (16 votos) para aprobar una medida. Dado que los dos concejales e Hempstead ju ntos co ntrolaban 18 v otos, tendrían el poder d e aprobar c ualquier medida sin consultar a sus colegas de los municipios más pequeños. Sin embargo, los Estatutos del C ondado de N assau c ontenían una dis posición que estipulaba que cualquier medida había de tener el apoyo de los concejales de dos municipios distintos para ser a probada. Esta di sposición co mplica el análisis del poder de l C onsejo Directivo, de modo que de momento lo ignoraremos, para tratarlo después.

TABLA 12.1 Votación ponderada. Consejo Directivo del Condado de Nassau. 1958. Municipio Número d e

votos Hempstead 9 Hempstead 9 Nort Hempstead 7 Oyster Bay 3 Glen Cove 1 Long Beach 1 Total 3 0

Para aprobar una medida, los d os concejales de H empstead pueden votar l o mismo, o uno de los concejales de Hempstead puede votar lo mismo que el concejal de North Hempstead. Si uno de los concejales de Hempstead propone una ley, pronto se dará cuanta de que no vale la pena buscar el apoyo de los concejales de Oyster Bay, ni de Glen Cove, ni de Long Beach. Estos concejales juntos sólo disponen de cinco votos, de manera que incluso si se sumaran sus votos con los del concejal de Hempstead, el total serían sólo 14 voto s, insuficientes para aprobar la medida. Si tres concejales de los mu nicipios má s pe queños se jun taran con el de North Hempstead, s us vot os ascenderían sólo a 12. Ninguna ley puede ser aprobada sin el de al menos dos de los concejales de Hempstead y North Hempstead, y si tiene el apoyo de dos de ellos, será aprobada sin la ayuda de los demás. En esta situación, los tres concejales de Oyster Bay, Glen Cove y Long Beach no tienen ni ngún poder electoral. Pued en in fluir en el proc eso de tom a de de cisiones trabajando en c omités, pr esentando ley es y participando en los d ebates, p ero básicamente son privados del derecho al voto por el sistema de votación del Consejo, Un votant e c uyo voto nu nca s erá ne cesario ni para aprobar una medida ni para rechazarla se denomina hombre de paja. El sistema de votación utilizado por el Consejo Directivo del Condado de Nassau es si milar a muchos si stemas utilizados p or organismos l egislativos e n el e stado de Nueva York . Tienen un número de partic ipantes re lativamente pequeño, lo que hace que sean más fáciles de analizar que la mayoría de los demás sistemas. Siguiendo las variaciones e n la s p oblaciones, el número de votos asign ados a l os con cejales h a cambiado varias veces. Por ejemplo, en los años sesenta, el representante de Oyster Bay y lo s do s de Hempstead te nías el m ismo po der, m ientras que el de North Hempstead compartía con G len Cov e y L ong Beach su estatus de hombres de p aja (véase la tabla 12.2). En 1965, el s istema de votac ión fue ana lizado por Joh n F. Banzhaf III en un artículo jurídico titulado <<Weighted Voting Doesn´t Work>> (<<La votación ponde rada no func iona>>) ( véase las Le cturas Sugeridas al f inal de e ste capítulo), en el que opinaba que este tipo de votación era injusta e inconstitucional.

37

En su artículo, Banzhaf describió un nuevo modelo matemático para la votación ponderada. El suyo no era el primero; otro modelo hab ía sido desarrollado diez años antes por Lloyd S. Shapley y Martin Shubik (véase Primer Plano 12.2). Sin embargo, el modelo d e Banzhaf ha c aptado el int erés de l os tri bunales. I ncluso e n fe chas tan recientes como en 1992, era una cuestión central en litigios que implicaban al Consejo Directivo del Condado de Nassau (véase Primer Plano 12.3).

TABLA 12.2 Votación ponderada, Consejo Directivo del Condado de Nassau, 1964 Municipio Número d e

votos Hempstead 31 Hempstead 31 North Hempstead 21 Oyster Bay 28 Glen Cove 2 Long Beach 2 Total 115

La notación de la votación ponderada. Para describir un sis tema de votación pond erado, primero nece sitamos especificar el conjunto de votantes. Si los votantes son A, B, C,..., entonces los pesos w(A),w(B),W(C),..., que s on el n úmero de vo tos que emite c ada un o de es tos votantes, han de es pecificarse. Finalmente, hay q ue especificar el número total q de votos necesarios para aprobar una medida, llamada la cuota. La notación

1 2 nq : w(V ),w(V ),...,w(V )

describe un s istema de votac ión ponderado con n vo tantes V1, V 2, . .., Vn, con pesos 1 2 nw(V ),w(V ),...,w(V ) y con cuota q.

Así, el s istema de votación uti lizado por el Consejo Directivo de l Co ndado de Nassau en 1958 se expresa como

1 2q : w(H ),w(H ),w(N),w(B),w(G),w(L)

16 : 9,9,7,3,1,1

donde H1 y H2 son los dos concejales de Hempstead, N es el de North Hempstead, y b, G y L son los de Oyster Bay, Glen Cove y Long Beach, respectivamente. Un conjunto de votantes que se ha unido para votar a favor de una cuestión, o para oponerse a ella, se llama una coalición. La coalición puede estar compuesta por todos los votantes o por cualquier subconjunto de ellos. Puede estar compuesta por un solo vo tante, o pu ede inc luso se nula. Po r e jemplo, s i el o rganismo vo tante es tá unánimemente a favor de una moción, entonces la coalición de oposición es nula. Una coalición de votantes a favor de una medida es una coalición ganadora si la suma de sus pesos es igual o excede a la cuota q. Pa ra que el s istema l legue a una decisión no ambigua, es im portante no permitir la exi stencia de dos c oaliciones

ganadoras que se opongan entre sí. Por esto, requeriremos que wq 2 , donde w es la

suma de los pesos de todos los participantes en el sistema electoral. Por consiguiente, si una coalición va ganando, con un total de votos t q , tal coalición tiene más de l a mitad de los votos. Los votantes que no formen parte de la coalición tendrán menos de la mitad de los votos, y no tendrán posibilidad de ganar. Una coalición de bloqueo es un s ubconjunto de votant es que se oponen a una moción y que tienen suficientes votos para derrotarla. En un sistema de votación con un peso total w y una cuota q, c ualquier coalición con un peso superior w – q es una coalición de bloqueo. De modo que, en el Consejo Directivo del Condado de Nassau de

38

1958, donde w = 30 y q = 16, cualquier coalición con más de 30 – 16 = 14 votos es una coalición de bloqueo.

En un si stema de votación con cuatro votantes, cada uno c on un voto, y c on una cuota de tres votos para aprobar una medida, cualquier coalición de dos votantes que se oponga a una medida es una coalición del bloqueo, aunque estos votantes no podrían aprobar ninguna medida que apoyaran sin el apoyo de un tercer votante. Suponga que un jurado en un juicio criminal tiene 12 miemb ros. Para a probar una med ida c ondenatoria o a bsolutoria, una coalición ha de i ncluir a todos los miembros. Si es imposible formar una coalición ganadora de 12 miembros, el juicio se declara nulo, y la acusación tiene el d erecho a exigir un nuevo juicio. Toda coalición con al menos un mie mbro de l jurado es u na c oalición de bl oqueo. Dado que cada miembro puede obstruir una medida por sí solo, decimos que tiene derecho de veto. EJEMPLOS: Casos de sistemas de votación ponderados 1. Considere una pequeña comp añía pe rteneciente a dos personas, A y B, que poseen el 60% y el 40% de las acciones, respectivamente. Si las medidas se aprueban por mayoría simple, expresamos este sistema de votación como

40,60:51)(),(: BwAwq La característica destacable de este ejemplo es que el accionista A tiene todo el poder. Cuando el peso de un individ uo es igual o excede a l a cuota, di cho individuo puede aprobar c ualquier medida s in c onsultar c on nadie. Denominamos a ta l individuo un dictador. Una coalición a favor de una medida es una coalición ganadora si y sólo si A, el dictador, pertenece a ella. Asimismo, una coalición en contra de una medida es una coalición de bloqueo si y sólo si incluye al dictador. 2. Examinemos una segunda empresa, con tres accionistas, A, B, Y C, que poseen el 49%, 48% y 3% de las acciones, respectivamente. Entonces

3,48,49:51)(),(),(: CwBwAwq No hay dictador; de he cho, e sta empresa es más << democrática>> de lo que uno podría pensar. Cualquier coalición de dos o más accionistas tiene una mayoría simple, así que el poder está dividido por igual entre los tres accionistas. Aunque C posee sólo 3% de las acciones, tiene igual influencia. Su voto ponderado, cuando se suma al voto ponderado de A o B, formará una mayoría. 3. Una tercera empresa tiene cuatro accionistas A, B, C y D. Los accionistas A, B y C tienen 26% de l as acciones cada un o, mientras que D po see el r estante 22 %. El sistema de votación de esta empresa es

27,26,26,26:51

)(),(),(),(:

DwCwBwAwq

Aunque las acc iones de la empresa correspondientes a D no s on m ucho menores que l as acciones de lo s otros tres accionistas, D es un hombre de pa ja. Es imposible que D convierta una coalición perdedora en una ganadora uniéndose a ella. El poder en esta empresa está dividido de igual manera entre A, B y C. Estos eje mplos i lustran qu e el po der no tie ne que s er ni s iquiera aproximadamente proporci onal a l porcentaje de v otos que uno tiene. Ahora examinaremos la relación que existe entre los pesos de los votantes y la cuota, por un lado, y el poder de cada votante, por otro. EL INDICE DE PODER DE BANZHAF Hemos vi sto e n nuestros e jemplos que l os pa rticipantes e n un sistema de votación ponderado no pue den to mar s u fr acción del voto total como una indicio significativo de su porci ón del poder e lectoral. El poder es la habilidad de ganar. Un

39

individuo puede estar con frecuencia en el bando de los ganadores sin tener poder. Por ejemplo, si un equipo de portivo prof esional normalmente gana, no quiere decir que todos los miembros del equipo puedan exigir sueldos altos. Los jugadores con sueldos son los que resultan cruciales para ganar. De manera similar, la verdadera importancia de un voto es saber si resulta esencial para la victoria. Una medida razonable del poder de voto es la frecuencia con la que el voto de un participante puede hacer pasar a una coalición del bando perdedor al ganador. Esta medida es u n recuento del número de diferentes maneras en las que el participante por sí solo puede convertir la derrota en victoria, o viceversa. Es decir, nuestra medida del poder es el número de formas di stintas en las que el participante puede unirse a una coalición perdedora y así convertirla en una coalición ganadora. Esto es idéntico al número de coaliciones ganadoras distintas a las que pertenece este participante, y que perderían si desertara. En cualquier coalición ganadora, un miembro capaz de causar la derro ta de l a misma a l desertar y vota r con la oposición se denomina un votante basculante, porque emite un voto basculante. El votante bascu lante en una coal ición de bloqueo e s un miembro cuyo vo to e s crucial para e l pro pósito de l a misma: si desertara, la coalición no podría impedir que se aprobara una moción. El índice de pode r de Banz ahaf de un participante es el número de diferentes coaliciones ganadoras en las que el partic ipante es un vo tante b asculante, m ás el número de dif erentes c oaliciones de bloqu eo e n las que también es un votante basculante. Ocurre con frecuencia que el mismo conjunto de votant es puede ser a la vez una c oalición ga nadora o u na coalición de bloqueo, si todos l os vo tantes d el conjunto apoyan o s e oponen a una medida. En tales conjuntos, algunos votantes se pueden contar dos veces como votantes basculantes: una por ser votantes basculantes en una coalición gana dora, y otr a por ser votantes basc ulantes en un a c oalición de bloqueo. En al gunas c itas al fi nal de este capítulo se utilizan té rminos como votante crucial y votante crítico en vez de votante basculante. El indice d e pode r de Banzhat de un partic ipante es e l número de dife rentes c oaliciones ganadoras en las que el participante es un votante bas culante, más el n úmero de di ferentes coaliciones de bloqueo en las que también es un vo tante basculante. Ocurre con frecuencia que el mismo conjunto de votantes puede ser a la vez una coalición ganadora o una coalición de bloqueo, s i todos los votant es del conj unto apoyan o se op onen a una medida. En tales con juntos, al gunos vo tantes se pu eden con tar dos ve ces como v otantes basculantes: una por ser vot antes basculantes en una coalición ganadora, y otra por ser votantes basculantes en una coalición de bloqueo. El algunas citas al final de este capítulo se util izan términos como votante crucial y votante crítico en vez de votante basculante.

EJEMPLO: Un comité de tres personas Un comité t iene un presidente A, con dos votos, y dos miembros más, B y C,

cada uno con un voto. La cuoata para aprobar una medida es de tres votos. Podemos expresar este sistema de votación ponderado con:

q : w(A), w(B), w(C) 3 : 2,1,1

Este sistema de votación es equivalente a uno en el que cada miembro tiene un voto, pero el presidente tiene poder de veto. Las coaliciones ganadoras son todas l as coaliciones cuyos pesos sumen 3 o 4: {A, B}, {A, C}, y {A, B, C}. Las coaliciones {A B} y {A , C} son c oaliciones ganadoras m ínimas; es decir, cada m iembro de es tas coaliciones ganadoras ha de contener una de las coaliciones ganadoras mínimas como subconjunto. Las coaliciones que no son ganadoras son perdedoras: {B,C}, {A}, {B}, {C}, y (la coalición nula). El pres idente A ti ene po der de veto , y por c onsiguiente es un vo tante basculante en cada una de las coaliciones ganadoras. Esto signific a que si de serta de

40

una de estas coaliciones, se convierte en coalición perdedora. También es un votante basculante en tres coaliciones de bloqueo: {A}, {A,B}, y {A, B}, y {A, C}. No es un votante basculante en la coalición de bloqueo {A, B, C}, dado que {B,C}, con un peso total de 2 , todavía podría b loquear si A desertara. Los miembros B y C tienen igual poder. Ninguno es un votante basculante en la coalición ganadora {A, B, C}, dado que tendrían que desertar ambos para convertirla en coalición perdedora. El miembro B es un votante basculante en {A,B} como coalición ganadora, dado q ue A por sí solo no puede aprobar una moción, pero no es un votante basculante en {A,B} como coalición de b loqueo, dado que A sí solo puede vetar una moción. De forma similar, C es un votante bascu lante en {A, C} como coal ición ganadora , pero no como co alición de bloqueo. Finalmente, tanto B como C son votantes basc ulantes en la c oalición del bloqueo {B, C}. Por consiguiente, A tie ne un índice de poder de Banzhaf de 6, mientras que B y C tienen c ada uno un índi ce de 2. Se gún el modelo de Banz haf, A tiene tres veces el poder que B (o C), aunque su voto sólo tenga el doble de peso. Para re sumir, el índece de Banzhaf para este s istema de vota ción es (6,2,2). Nótese que en e l ej emplo an terior, A era un votan te basculante e n tres coa liciones ganadoras en tres coaliciones de bloqueo, mientras que B y C eran cada uno miembros de una coalic ión ganadora y una c oalición de bloq ueo. Esto no es c asualidad. Si un votante basculante deserta d e u na c oalición ganadora para unirse a la c oalición de oposición, ésta se convierte en una coalición de bloqueo, y ahora el mismo votante es basculante en la coalición en la coalición de bloqueo. Si un votante basculante deserta de una coalición de bloqueo, ésta ya no tiene suficiente peso para bloquear, y ganaría la coali ción oponente. De modo que cada votante e s un vota nte basculante en el mismo número de coaliciones de bloqueo que de coaliciones ganadoras. Sabiendo esto, podríamos determinar e l ín dice de Ban zhaf de un partic ipante dad o c ontando simplemente la s c oaliciones ganadoras en las qu e es un votante bas culante y multiplicando el resultado por dos.

CÓMO CALCULAR EL ÍNDE DE PODER DE BANZHAF En un sistema de votación ponderado con un máximo de cuatro votantes, no es

difícil c alcular el índ ice de poder de Ba nzhaf por el método de la fuerza b ruta. Simplemente hacemos una relación de todas las posibles maneras teóricas en las que podrían votar los part icipantes; es de cir, todas las difer entes combinaciones de voto s positivos y n egativos. Si hay n votant es, habrá 2n d e estas combinaciones (ver <<Cómo c ontar las c ombinaciones>>, en l a pró xima sección). A sí que , c on tres votantes hay ocho combinaciones, y con cuatro votantes, dieciséis. Luego examinamos cada combinación para ver si es ganadora o de bloqueo, y determinamos los votantes basculantes de cada combinación ganadora o de bloqueo. Este método no es práctico cuando hay un gran núm ero de votantes . P or ej emplo, en el Co legio El ectoral de Estados U nidos, do nde los pa rticipantes son cincuenta estados y un d istrito federal,

hay 512 2.251.799.813.685.248 combinaciones que examinar. Si pudiéramos examinar un millón de combinaciones por segundo, terminaríamos el trabajo en 71,4 años. Dado que los pesos cambian cada diez años con e l nuevo reparto de escaños, los cálculos estarían ob soletos antes de terminarlos. Éste es o tro ej emplo de la explosión combinatoria, que frecuentemente frustra los cálculos de fuerza bruta. Utilizamos el método de la fuerza bruta para determinar el índice de Banzha t

del sistema de votación

q : w(A), w(B), w(C) 3 : 2,1,1

para el comité de tres personas que presentamos anteriormente. La tabla 12.3 expone las ocho combinaciones de votantes, según voten sí (S) o no (N ). Las columnas de resultados que hau a la de recha d e l as com binaciones indican si la propu esta se rá

41

aprobada (A) o derrotada (D). Si se aprueba una propuesta, la coalición que ha votado S es una coalición ganadora; si es derrota da, los votantes que han votado N forman una coalición de bloqueo.

TABLA 12.3 Combinaciones de votos en el comité de tres personas

Cada fila de la tabla se examina para ver qu é votantes son basculantes. Esto significa que hay que comprobar cada uno a fa vor y en con tra de cada combinación para determinar si el cambio de un voto cambiará el resultado. Por ejemplo, la primera combinación

A B C S S S A

determina la aprobación de la medida por un voto unánime. Si el votante A cambia su voto de sí a no

A B C S S S A

N S S D entonces el resultado se c ambia a < <derrota>>. Ind icaremos que A es un votante

basculante en e sta combinación Strazando un círculo alrededor de la S que indica su

voto a favor.

A B C

˜ S S A Por otro l ado, si só lo e l votante B c ambia su voto de sí a no en la primera

combinación, el resultado no cambia: la cuestión es aprobada por 3 a 1: Por la misma razón, el votante C no es un votant e bas culante en esta

combinación. Ahora consideremos la segunda combinación: A B C S S N A

Si el votante A cambia su voto de sí a no la medida ya no será aprobada: A B C ˜ S S A

N S S D

Miembro A B C Peso 2 1 1 Co mbinaciones Votos Aprobada Derrotada S S S 4 A S S N 3 A S N S 3 A S N N 2 D N S S 2 D N S N 1 D N N S 1 D N N N 0 D

42

Además, si el votante B cambia su voto, será derrotada la medida: A B C S ˜ S A

S N N D Por consiguiente, A y B con votantes basculantes en la segunda combinación. C

no es un votante basculante, dado que si cambia su voto, el resultado no varía: A B C S S N A

S S S D Seguimos del m ismo modo con cada fila de la tabla 12.3, determinando cada

votante bascula nte y marcando con un círcul o la S o N correspondiente. Así, en la tercera combinación, A y C son votantes basculantes.

A B C ˜ N S

N N S

A B C S N ˜ A

S N N D En la c uarta fila , los votantes B y C s on basculantes en una c oalición de

bloqueo: A B C S ˜ N D

S S N A

A B C S N ˜ D

S N S A En la fila 5, únicamente A es un votante basculante:

A B C ˜ S S D

S S S A En la s fil as 6 y 7, A es el ún ico vo tante basculante en la s c oaliciones de

bloqueo: A B C ˜ S N D

S S N A

A B C ˜ N S D

S N S A

43

No hay votantes basculantes en la fila 8. La tabla 12.4 re sume estos cál culos. Si contamos e l número de círcu los en la columna de cada votante, llegamos a un índice de poder de (6, 2, 2).

EJEMPLO: Una sociedad con cuatro accionistas Considere el sistema de votación ponderado

q : w(A), w(B), w(C) 51: 40,30, 20,10

Podrían ser cuatro accionistas, A, B C y D d e una sociedad, con el 40%, 30%, 20% y 10 % de l as acciones, r espectivamente. Un a mayo ría ( que aquí se e ntiende como el 51% es necesaria para aprobar una medida. Encontramos el índice de poder d e Banzhaf haciendo un listado de las 24 = 16 combinaciones distintas de sí (S) y no (N) para los accionistas. Cada combinación se ve en una de las filas de la tabla 12.5. El porcentaje total de votos a favor para cada combinación está indicado a su derecha. La cuestión es aprobada (A) o derrotada (D) dependiendo de si el porcentaje de votos a f avor llega a la cuota del 51% o no . Cada voto de ca da co mbinación h a de se r examinado par a determinar si es un voto basculante. ¿Variará el resultado si cambia este voto? Si es así, el voto es basculante y se le pone un círculo. Si contamos el número de votos basculantes en la columna de cada a ccionista, encontramos en la columna de cada a ccionista, encontramos que el índice de poder de Banzhaf es (10, 6, 6 , 2). Nótese que mientras que B y C poseen

distintas cantidades de acciones, tienen el mismo poder electoral. De nuevo, hemos contado cada votante basculante en las coaliciones ganadoras y en l as de bloqueo. Podíamos haber hecho el proceso más e ficaz contando sólo los votos basculantes en las coa liciones ganadoras y en las de bloqueo. Pod íamos haber hecho e l proceso más eficaz contando sól o l os v otos b asculantes en l as coal iciones ganadoras o, alternativamente, podíamos haber contado sólo votos basculantes en las coaliciones de bloqueo. Para limitar nuestra atención a las coaliciones ganadoras, considere sólo las filas que muestr en una medida aprobad a. Un votante es bas culante en una c ombinación electoral de una de estas filas si (1) votó a favor (S), y (2) la medida sería derrotada si cambiara su voto a N. En la tabla 12.5, si contamos, o bien los votos basculantes en las coaliciones de bloqueo, acabaremos con la mitad del índice de Banzhaf: (5, 3, 3, 1).

CÓMO CONTAR LAS COMBINACIONES ¿Cómo sabemos que si hay n votantes, hay un total de 2n combinaciones de

votos? Para contestar a esta pregunta utilizamos el principio de la multiplicación. Cada votante tiene dos opciones: votar que sí o que no, y los votantes son independientes

TABLA 12. 4 L os v otantes basculantes e n cada combi nación de vo tos e n e l comité de tres personas Miembro A B C Peso 2 1 1 C ombinaciones Votos Aprobado D errotado ˜ S S 4 A ˜ ˜ N 3 A ˜ N ˜ 3 A S ˜ ˜ 2 D ˜ S S 2 D ˜ S N 1 D ˜ N S 1 D N N N 0 D Número de votaciones basculantes

6 2 2

44

los unos de los otros. Por consiguiente, el número de formas que tiene n votantes para emitir sus votos es

n22222

n factores ¿Cuántas com binaciones constan de, digamos, 6 vot os a fa vor y n - 6 v otos e n contra? (Naturalmente, la respuesta es <<ninguna>> si n 6, as í que supondremos

que n 6) Si decidimos mantener un control del orden p or el qu e los seis votantes a favor emiten sus votos, entonces hay n votantes que podrían emitir el primer voto. El primer votante no puede votar de nuevo, así que hay n - 1 votantes que podrían emitir el segundo voto a favor. D e modo sim ilar hay n - 2 vo tantes que podrían em itir el tercer voto a f avor, n - 3 que podrían e mitir e l cuarto, n - 4 que podrían emitir el quinto, y n -5 qu e podrían e mitir e l s exto. De nuevo, por el princip io de la multiplicación, ha y )5()4()3()2()1( nnnnnn formas que tendrían exactamente seis votantes con votos a favor, si controlamos el orden en el que votan. Los mismos seis votantes pueden votar en 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 ór denes distintos, así que s i queremos encontrar el número de formas que tengan seis votos a favor sin r eferirnos al orden, tenemos que dividir entre 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, para conseguir

TABLA 12.5 Los votantes basculantes en cada combinación de votos en el sociedad de cuatro accionistas

Accionista A B C D

Porcentaje 40 30 20 10

Comb inaciones Votos Aprobado Derrotado

S S S S 100 A

S S N 90 A

N S 80 A

N N 70 A

N S 70 A

N N 60 A

S S 50 D

S N 40 D

N 60 A

S S 50 D

S S 40 D

S N N 30 D

S S 30 D

N S N 20 D

N N N S 10 D

N N N N 0 D Número de votantes

basculantes 10 6 6 2

45

combinaciones con seis vo tos a f avor. El número 6 no tiene nada de especial ; para encontrar el número de combinaciones con K votos a favor, se forma el cociente

Este cociente se llama el número de combinaciones de n elementos tomados de

k en k. Al hablar, la gente frecuentemente se refiere a nkC como <<n sobre k>>.

Otra notación corriente para nkC es

k

n.

poder en estos dos s istemas ele ctorales tie nen i gual p oder en estos dos sistemas electorales bajo el modelo de Banzhaf, pero en el s istema de la regla de la mayoría, cada votante ti ene m ás probab ilidad de pro vocar un cambio d e d ecisión que en el sistema del consentimiento unánime. VOCABULARIO

mkC U n c onjunto c on m elementos ti ene m

kC s ubconjuntos con k el ementos. Es te

número, que se lee <<combinaciones de m elementos tomados de k en k>> o <<m sobre k>>, viene dado por la fórmula

)!(!

!

kmk

mC m

k

que se puede simplificar utilizando la regla de cancelación factorial

1...)1(

)1(...)1(

xxkkx

kmxxmmxC m

k

Coalición Conjunto - - c ompuesto por algunos , todos o ningú n partic ipante en u n sistema de votación ---que se ha unido para votar a favor o en contra de una medida. Coalición de blo queo Conjunto de participantes en un sistema de votación que puede prevenir que una medida se apruebe cuando sus miembros votan en su contra. Coalición de bloqueo mínima C oalición de bloqueo que no podrá bloquear s i deserta cualquier miembro. Cada miembro es un votante basculante. Coalición ganadora Conjunto de participaciones en un sistema de votación que puede aprobar una medida votando a favor de ella. Coalición ga nadora mínima Coalic ión ganad ora que s e conve rtirá en perd edora si deserta cualquier miembro. Cada miembro es un votante basculante. Coalición perdedora Coalición que no tiene el poder de voto suficiente para aprobar por sí sola una medida. Combinación electoral Lis ta que da el voto de cada participante para cada cuestión.

Cuando hay n votant es, hay un total de n2 combinaciones electorales, de las cuales

habra nkC Combinaciones electorales con exactamente k votos a favor.

Cuota Número mínimo de v otos necesarios para aprobar una m edida en un sistema de votación ponderado. Dictador Parti cipante en un sistema de votación que p uede aprobar cualquier asunto incluso si todos los demás votantes se oponen a él y bloquear cualquier asunto incluso si todos los demás votantes lo aprueban. Factorial Si n es un número entero positovo, el factorial de n (que se escribe n!) es el producto de to dos los en teros positivos menores o i guales que n. Normalmente es un número grande: 10! es un número de s ite díg itos, 9 000! e s un núm ero d e siete páginas.

123456

)5()4()3()2()1(6

nnnnnnC n

46

Hombre de paja Participante que no tiene poder en un s istema de votac ión. Un hombre de paja nunca es un votante basculante en ninguna coalición ganadora o de bloqueo, y nunca es el pivote en ninguna permutación. Índice d e poder de Banzhaf Me dida n umérica del poder de los par ticipantes en un sistema de votac ión. El índice d e B anzhaf de un participante es el número de coaliciones ganadoras o de bloqueo en las que es un votante basculante. Índice de poder de Shapley-Shubik Medida numérica del poder de los participantes en un sistema de votación. El índice de Shapley-Shubik de un part icipante es el número de permutaciones de los votantes en las que es el pivote d ividido por e l número de permutaciones (n ! s i hay n part icipantes). Permutación Ord enación es pecífica del primero al último de los elementos de un conjunto; por ejemplo, una ordenación de los participantes en un sistema electoral. Peso Número de votos asignados a un votante en un sistema de votación ponderado, o el total de votos de todos los votantes de una coalición. Pivote Pr imer votan te e n u na permutac ión qu e, c on s us pred ecesores en la permutación, formará una coalición ganadora. Cada permutación tiene un sólo votante pivote. Poder de veto Un votante tiene poder de veto si no se puede aprobar ninguna cuestión sin su voto. U n votante con poder de ve to es una c oalición de bloque o con una sola persona. Regla de la can celación factor ial Un c ociente que co ntiene factoriales puede s er simplificado utilizando la fórmula.

)1(...)1(

1

!

!

kxxnnxn

k

donde k < n. Sistema de vota ción ponderado Sistema de votación en el qu e lo s pa rticipantes pueden tener diferente número de votos. Se puede representar como [q:w(A1), w(A2), ..., w(An)], donde A1, ... An son votantes, w(A1), ... , w (An) representan el número de votos que pertenece a tales votantes y q es la cuota necesaria para ganar. Sistemas de votación equivalentes Dos sistemas de votación son equivalentes si hay una manera de q ue todos los vo tantes del primer s istema s e int ercambien c on lo s votantes del segundo y se conserven a la vez todas las coaliciones ganadoras. Votante basculante Miembro de una coalición ganadora cuyo voto es esencial para que gane la misma, o miembro de una coalición de bloqueo cuyo voto es esencial para que bloquee la misma. EJERCICIOS 1. a. Haga u na li sta d e l as 16 combinaciones po sibles qu e p ueden darse cuando cuatro votantes A,B, C y D tienen que re sponder con un s í (S) o un no (N ) a u n cuestión. b. Haga una lista de los subconjuntos del conjunto {a, b, c, d}. c. ¿Hay alguna correspondencia entre las listas de las partes a y b? d. ¿En cuántas combinaciones de la parte a el voto queda (1) 4 S y O N? (2) 3 S y 1 N? (3) 2S y 2 N? 2. ¿Se convertirá una coalición de bloqueo en una ganadora si todos los votantes de la coalición votan SÍ? Considere los siguientes ejemplos: a. Un comité de 9 miembros, cada uno con un voto, donde rige la mayoría.

47

b. Un comité c on 12 miembros, c ada uno c on un voto , d onde rige la mayoría. c. Un jurado con 9 miembros en u n ju icio criminal, donde hace fa lta una decisión unánime para condenar o absolver. 3. Para cada uno d e los s iguientes sistemas de v otación ponde rados, e scriba lo siguiente: (1) Todas las coaliciones ganadoras mínimas (2) Todas las coaliciones ganadoras que contengan al votante A. (3) Todas las coaliciones de bloqueo mínimas. (4) Todas las coaliciones de bloqueo que contengn al votante A. (5) Todas las coaliciones perdedoras que contengan al votante A.

(6) Todos los votantes que sean hombres de paja.

Actividades 7.1.1. Usted deberá leer la Lectura 8: Sistemas ponderados de votación que se

encuantra en la selección de lecturas. 7.1.2. Usted deberá definir que es un sistema ponderado de votación y cual es

el utilizado en nuestro país. 7.1.3. Usted deberá resolver los ejercicios que se presentan en la lectura y que

puede observar sobre los sistemas ponderados.

LECCIÓN 8

CLASIFICACION Y PARTICIÓN

Tomado de http://www3.unileon.es/dp/alf/clas.pdf

CLASIFICACION La clasificación es un procedimiento de construcción conceptual que conduce de

términos (conjuntos) a términos (<sub>conjuntos): es una operación cuyo operando es un conjunto. Debe distinguirse, por tanto, del diagnóstico, consistente en identificar a un individuo como miembro de un conjunto en virtud de sus características (en este sentido se habla de "clasificar" a un individuo).

Recubrimiento de un conjunto A es una familia F de subconjuntos de A cuya unión es igual a A (agota a A, es exhaustiva).

Rec(A) = F = (A1, A2,..., An), tal que (1) A1A2 ...An = A.

(2) Cuando se cumple, además, la condición de que los miembros de la familia F son disyuntos dos a dos:

(2) Ai Aj = , (i,j = 1,2,3,...,n), el recubrimiento se llama partición. Una aplicación1 f es una correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto A

1 En términos generales “aplicación” y “función” se utilizan como sinónimod. Cuando se desea una mayor precisión, se reserva “función para designar una correspoondencia que asocia a cada elemento de A a lo más un elemento de B. Así se da cabida a los casos de funciones en que como, por ejemplo, y= 1/ (1-x), no se cumple en algunos casos la asignación de un valor definido.

48

(inicial) un y un solo elemento de un conjunto B (final). La aplicación f determina en B un subconjunto (propio o impropio) de los elementos de B que son imágenes por f de los elem entos de A. En dire cción opues ta, e n A queda determinada una fam ilia de subconjuntos de A que satisface las condiciones (1) y (2). Es decir, que f determina en A una partición.

A B

a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 a5 b5

El axioma de especificación de la teoría de conjuntos establece que, dado un conjunto A y una propiedad P se puede determinar el conjunto B que contiene los miembros de A que tienen la propiedad P. Al (restante) conjunto B' de miembros de A que no tienen la pro piedad P, se l e llama c omplementario de B en A. Con este procedimiento s e establece una división de A.

CLASIFICACIONES BORROSAS Dado un conjunto X y un subconjunto A de X, se dice que A es un subconjunto preciso o nítido de X cuando para cada miembro de x de X se puede decidir que pertenece (del todo) o que n o pertenece (en absoluto) a A. La forma adecuada de caracterizar esta pertenencia (o no) enteriza es establecer que la función de pertenencia de x a A, es decir, A(x), sólo puede tomar los valores 0 ó 1.

A(x) = 1, si x pertenece a A

A(x) = 0, si x no pertenece a A. La teoría de conjuntos borrosos (fuzzy sets) es una generalización que admite grados de pertenencia (pe rtenencias p arciales) y, por lo tanto, múl tiples v alores de dicha función. En este marco, el axioma de extensión, formulado clásicamente como: "dos conjuntos son iguales si tienen los mismos miembros", debe reformularse así: "dos conjuntos son iguales s i ti enen los mismos miembros en la misma medida" (e l va lor de fA(x) es el mismo en ambos casos para el elemento del mismo nombre). Por lo qu e se re fiere a l as clasificaciones, u na cla sificación basada e n co njuntos borrosos y f ormulada por analogía c on el modelo de las partic iones, t endría que cumplir con el requisito de la insuperabilidad de la identidad numérica, pues para todo x miembro de l conjunt o c lasificado X, la s uma de l os va lores de la fu nción de pertenencia respecto de cada subconjunto no puede superar la unidad.

n

in xXx

1

1)(

Referencias: Kosko, B. (1995), Pensamiento borroso, Barcelona: Grijalbo. Trillas, E. (1980): Conjuntos borrosos, Barcelona: Vicens-Vives. Zadeh, L. (1987): Fuzzy sets and Applications, selected papers by ---, edited by Yager, R.B. et al., New York: Wiley.

49

Actividades 8.1.1. Usted deberá realiza la lectura anterior. 8.1.2. Usted deberá definir que es clasificación y partición. 8.1.3. De su opinión si en la Educación Básica y Educación Media diversificada y

Profesional se de beria impartir la teoria d e c onjunto, y cual seria s u importancia en el aula de matemática.

SEGUNDA ENTREGA DE ASIGNACIÓN Debes entregar por escrito todas l as a ctividades p ropuestas de l Módulo II a más tardar la 11ª semana del semestre a través de la valija de la Universidad, esto con la finalidad de que tu trabajo sea revisado y en caso de necesitar mejorarlo, tengas oportunidad de hacerlo. Es necesario que para la entrega de estas actividades sigas las orientaciones que presentamos a continuación:

Debes ser conciso y preciso en las respuestas. Si usas un procesador de palabras debes usar como mínimo una le tra tamaño

11 puntos y máximo 12 puntos, usa tipos de letra sencillos. Usa hojas tamaño carta. Si no dominas el uso de l editor de ecuaciones, símbolos, tablas, gráficos y dibujos deja el espacio en blanco en el sitio correspondiente y hazlo a mano con un bolígrafo o un color de tu agrado.

Si vas a realizar el trabajo a mano usa letra legible y clara. Debes usar un block de hojas tama ño carta de una línea. Pre feriblemente h azlo en b olígrafo azul para facilitar su lectura.

Responde de manera ordenada, secuencial. El trabajo debe estar limpio y legible. El trabajo a ent regar no debe estar encuadernado, simplemente engrapado

en el orden correspondiente y a lo sumo en una carpeta sencilla.

50

OBJETIVO DEL MODULO III.

OBJETIVO DE LA UNIDAD IV.

CONTENIDO DE LA UNIDAD III.

Investigar los distintos tópicos de matemática

que permitan una compresión e interacción con los hechos de la vida

cotidiana y con otras áreas no afines con ella.

Asociar los distintos tópicos de matemáticas con la naturaleza y el

arte.

LECCION 9. 9.1. CRECIMIENTO.

9.2. INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE CAOS. LECCION 10. 10.1. FRACTALES. 10.2. CAOS E ITERACIÓN.

51

UNIDAD IV.

LECCIÓN 9

CRECIMIENTO

SEMEJANZA Y CRECIMIENTO A pesar d e que grandes cambios de escala implican cambios de a daptación en

los ma teriales o en la fo rma, dentro de limites pequeños—quizá hasta u n factor de 20—las criaturas pueden crecer de acuerdo con una ley de s emejanza. Crecen de tal manera que s e forma se conserva. Un sorpréndeme ejemplo de tal crecimiento es el del na utilo (Nautilus pompilius) C ada cámara nueva q ue s e a ñade a la c oncha del nautilus es más grande, pero de la misma forma que la anterior, y la forma de toda la concha —u na es piral equiangular o logarítm ica— pe rmanece igual (v éase l a figura 16.9).

Muchas de las criaturas vivientes crecen durante el curso de sus vidas hasta más de 2 veces su tamaño original. Hemos visto con el Dimetrodon que un gran espécimen no es una ve rsión ampliada de uno pequeño. Tampoco una persona adul ta e s simplemente una v ersión ampliada de un bebé. Co n relación a l a lo ngitud de s u cuerpo, la cabeza de un bebe es mucho más grande que la de un adulto. Los brazos de un beb é s on desproporcionadamente más cortos que los de un adulto. Durante el crecimiento desde bebé hasta adulto, e! cuerpo no crece proporcionalmente como un codo. Las diferentes part es del c uerpo se amplían cada una c on un factor de es cala diferente. Por ejemplo, los ojos de un bebé crecen en una proporción que es quizá dos veces s u tamaño ori ginal, mi entras que los brazo s c recen en otra propor ción, hasta aproximadamente 4 veces su tamaño original.

A pesar de que las leyes d el crecimiento pueden s er mas c omplicadas que el crecimiento proporcional (o incluso e l c recimiento alométrico que expondremos en la próxima sección), mate máticas má s sofisticadas — por e jemplo, la ge ometría diferencial, que es la ge ometría de la s c urvas y la s s uperficies— permit en realizar análisis de escalas mas complejas y entrelazadas. Para modelar el procedo que ocurre cuando la cabeza de un be bé cambia de forma hasta convertirse en la cabeza de un adulto, podemos usar papel milimetrado; ponemos un dibujo del cráneo de un bebé en

Asociar los distintos tópicos de

matemática con la naturaleza y el arte.

52

papel milimetrado y a conti nuación de terminamos cómo def ormar el c uadriculado hasta encajar e l crán eo adulto (vé ase l a figura 16 .10 y el Primer Plano 16 .3). La misma idea subyace en la «metamorfosi mediante computadores, el proceso mediante el cual la cara de un personaje de una película puede ir transformándose suavemente en la cara de otro, con escalas diferentes para las distintas partes de la cara.

Figura 16.10. Cómo modelar los cambios de forma de una cabeza humana desde la niñez hasta la edad adulta. (De Richard C Lewontin, <<Adaptation>>. © Scientific

American 239 (3); 220, (1978). Todos los derechos reservados). Actividades

9.1.1. Usted deberá leer la Lectura 9: Biología y tra nsformaciones afi nes, por Emma Castelnuovo y la lectura anterior.

9.1.2. De que forma utilizar ía usted esta lectura en el aula y de un ánalis is de las lecturas.

INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE CAOS

En la década de 1970 se fue consolidando una incipiente ciencia, el Caos, cuyos primeros bal buceos data n del año 1.963, cuando Edw ard L orenz, meteo rologo d el M.I.T. (Ma ssachusetts In stitute of Te chnology) diera a conocer un c urioso mode lo climatico qu e posteriormente fa scinaría a muchos f ísicos p or su e xtraño comportamiento [2].

53

No obstante, las raices profundas del Caos, son anteriores a aquella fecha, como así lo prueba el que hayan sido desenterrados del olvido importantes trabajos matemáticos, como los de Poincare, Liapounov o Julia [2], [6].

Algunos años más tarde el Caos se ha convertido en el nombre conciso de una teoría que constituye una verdadera eclosión en el ámbito científico. Son frecuentes los congresos y public aciones internacionales sobre él . En EE.UU. los administradores de programas de in vestigación e n el E jército, la C.I.A. y el Mi nisterio de E nergía ha n dedicado presupuestos cada vez mas cuantiosos al estudio del Caos [1].

Determinismo e ale atoriedad eran d os conceptos tradicionalmente irreconciliables en la H istoria de la Filo sofía, que hoy, para un ex tenso ámbito de fenómenos, el Caos intenta fusionar y acuñar en una sola moneda.

Si hacemos un breve repaso histórico del desarrollo de la ciencia desde Newton hasta Heisenberg, encontramos ya el precedente de que dos conceptos, en apariencia, mutuamente excluyentes, como partícula y onda, se abrazan en e l seno de una teoría mas general, como la Mecánica Cuántica.

Tal vez no sea, pues, exagerado q ue alg unos af irmen que , junto con l a Relatividad y la Mecánica Cuantica, el Caos es la tercera y ultima gran teoría, del siglo XX. Otros, los más atrevidos, no dudan en afirmar que determinismo e indeterminismo son solo las dos caras de una misma moneda.

A veces se ha definido e l Caos como la ciencia de la totalidad, pues , frente al reduccionismo de las ciencias puras y la superespecialización de las ciencias aplicadas, el Caos op one su e spíritu inte grador y unive rsalista. To da una dispar vari edad de campos de l sabe r humano ha n sido transce ndidos ya por la Teoría de l Caos; y probablemente lo serán otros muchos en el futuro. No se libran de su influjo campos tan diversos como la Ingeniería, la Medicina, la Biología o la Economía [1].

Desde el punto de vista de la Ingeniería y, en general, de las ciencias aplicadas la teoría de l Caos ha d e ser entendida como una nueva herramienta de análisis que permite al técni co afrontar pro blemas ha sta ahora inabordables o di fícilmente analizables por la Estadística.

Un concepto fundamental de esta teoría es el de "atractor", que aparece a l representar la evolución del sistema dinámico en el denominado espacio de fases. Este tipo de representación era conocida desde hace tiempo. Ya el matemático H. Po incaré la utilizó para representar "puntos fijos" y "ciclos límite", como soluciones permanentes de ciertas ecuaciones diferenciales correspondientes a ciertos sistemas dinámicos.

Tanto l os p untos f ijos como l os ciclos límite son atractores, p ero la di námica caótica s e c aracteriza por un tercer tipo de atractor, que F. Ta kens y D. R uelle en 1.971 bautizaron con el sugerente nombre de "atractor extraño", cuya peculiaridad es el poseer una dimensión fractal, concepto éste, que aclaramos en el apartado siguiente

Actividades 9.2.1. Usted deberá leer la lectur a 11 (p ag. 143 –151): Resumen del curso de

“Introducción a la Geometría” y la Lectura 13: La predicción y la teoría del caos, por Juan de Dios Ruano Gómez.

9.2.2. Realice un análisis sobre las lecturas.

54

LECCIÓN 10 FRACTALES

Somos cada vez más los docentes que pensamos que la Geometría Fractal, o al

menos al gunos e lementos de ella, de bieran inte grarse entre los co ntenidos de Secundaria, en Matemáticas y/o en Informática, con más motivo incluso que otros.

Las a ctividades e stán p ropuestas p ara alumnos de d istintos n iveles, que e l profesor puede determinar. La mayor parte de ellas se realizan utilizando LOGO.

Por tanto esta puede ser una buena ocasión también para recuperar del armario de los trastos abandonados aquella vieja herramienta. La realización de las actividades está pensada para la versión de Windows de WIN LOGO.

Los e jercicios y l as a ctividades propu estas a sí como el re sto de mat eriales contenidos en esta página están sacados de la publicación:

"Integración de la GEOMETRÍA FRACTAL en las Matemáticas, y en la Informática, de Secundaria: ¿Qué son y cómo pueden los fractales ayudar a representar y a organizar el espacio?", Miguel Zapata, 1996.

La dimensión fractal La medición de formas fra ctales (fronteras, pol igonales, etc,) ha obl igado a

introducir conceptos nuevos que van más al lá de los conceptos geométricos clásicos. Dado que un frac tal está co nstituido por elementos c ada vez más pequeños , el concepto de longitud no está c laramente definido: Cuando se qu iere medir una linea fractal con una unidad, o c on un instrumento de med ida determinado, siempr e habrá objetos más finos que escaparán a la sensibilidad de la regla o el instrumento utilizado, y también a medida que aumenta la sensibilidad del instrumento aumenta la longitud de la línea.

Esto sucede con la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud. Es dec ir la longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:

Así po r e jemplo en e l c aso de la curva po ligonal de n ivel 10, la longitud es 1.(4/3)^(10-1):

55

De esta f orma l a curva aumentarí a i ndefinidamente s u lo ngitud para un

fragmento acotado de curva. ¿Puede esto ser así?. Como la longitud de la linea fractal depende de la longitud de instrumento, o de

la unidad de medida que tomemos, la n oción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal. Que en el caso de las líneas fractales nos va a indicar de qué forma o en que medida una linea fractal llena una porción de plan o. Y que además sea una generalización de la dimensión euclidea. Sabemos que en geometría c lásica un segmento tiene dimensión uno, u n círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porció n de pl ano). Y en lo s c asos de l conjunto de C antor y de la curva de Koc h menor y mayor que uno respectivamente: En el primer caso no llena todo el segmento de recta, y en el segundo es más largo. Sin embargo el caso del conjunto de Cantor es excepcional y no se puede considerar propiamente un fractal, en general lo que sucede es qu e la lon gitud d e la curva frac tal es superior al del segment o de recta que lo genera, y por tanto en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos.

Como preced ente a l a di mensión frac tal nos e ncontramos con l a di mensión definida por Felix Hausdorf f en 1919, perfeccionada má s t arde p or Besic ovitch. La dimensión H ausdorff H(X) de un objet o fr actal X mi de el núme ro de con juntos de longitud L que hacen falta para cubrir X por L.

La dimensión fractal, D, c omo veremos es una generalización de la dimensión euclidea, DE. Si partimos de un segmento de longitud 1, y lo partimos en segmentos de longitud L obtendremos N(L) partes, de manera que N(L).L^1 = 1 cualquiera que sea L:

Si el o bjeto inic ial es un c uadrado de s uperficie 1 , y l o comparamos con

unidades c uadradas, cuyo lado tenga d e lo ngitud L, el número de unidades que es necesario para recubrirlo N(L), cumple N(L).L^2 = 1 cualquiera que sea L:

Si, por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como, por ejemplo, un

cubo de volumen 1, y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista L, entonces se cumple que N(L).L^3 = 1 Cualquiera que sea L:

56

De todo es to podemos g eneralizar q ue la dimensión fractal de un objeto

geométrico es D si N(L).L^D = 1 donde N(L) es el número de objetos elementales, o de unidades, de tamaño L que recubren, o que completan, el objeto. De donde deducimos, despejando D, que D= log (N(L))/log(1/L) De aquí podemos deducir las dimensiones del conjunto de Cantor D= log(2)/log(3) = 0'6309... La de la curva de Koch D = log(4)/log(3) = 1'2618...

Sin embargo se suele aceptar, e incluso definir, que un objeto es frac tal solo cuando su dimensión fractal es mayor que su dimensión euclidea: D>DE Así por ejemplo no se considera fractal el conjunto de Cantor.

El conjunto de Cantor.- Este conjunto, o gráfico, está considerado como precursor de los frac tales. Fué

descrito por este matemático en 1983. Posee una serie d e not ables propiedades métricas, y e s complejo de describir con el lenguaje de l as matemáticas. Se trata de un conjunto difícil de aceptar conceptualmente porque se desvanece progresivamente hasta hacerse invisible, aunque por otro lado se admite como una infinita sucesión de segmentos cuya longitud es distinta de cero.

Se trata de un segmento de longitud fija al que se divide en tres parte, en él se suprime el tercio de segmento central. Este procedimiento se repite en lo s segmentos que resultan de cada división. Como se ve es un procedimiento recursivo, y el aspecto de un conjunto de Cantor de u n nivel alto, e s siempre el mismo independientemente

57

del nivel de construcción en el que se encuentre. Se trata por tan to de lo que hemos definido como fractal. Práctica 2.- CURVAS POLIGONALES DE KOCH.-- Definidas p or Helge v on Koch en 1904, estas curvas se forman a partir de un segmento, por l a s ustitución de su te rcio central por dos segmentos de l ongitud tambien un tercio, pero formando áng ulos de 60º . Proceso que s e repite recursivamente en c ada se gmento de l as fi guras qu e progresivamente se va n obteniendo. Por tanto la poligonal de nivel 1 es un segmento: Para NIVEL=1

Para NIVEL=2

Para NIVEL=3

Para NIVEL=4

Para NIVEL=5

Para NIVEL=6

58

ACTIVIDAD A REALIZAR Elaborar los procedimientos LOGO para representar la Poligonal de Koch para un nivel n y una longitud dados.

Actividades

10.1.1. U sted deberá le er la l ectura ant erior y re alizar la s actividades presentadas.

10.1.2. Usted deberá leer la Lectura 10: Fractales: ¿formas de la naturaleza? Por Abelardo Gil- Fournier y la lec tura 11 Res umen del c urso de “Introducción a la Geometría Fractal, por Juan Pablo Braña.

CAOS E ITERACIÓN La teoria del caos es el estudio de los s istemas no lineales para los cuales el índice de cambio no es constante. Se caracte rizan p or su carácter i mpredecible. La climatología y el crecimeinto poblacional son buenos ejemplos de sistemas no lineales, ambos, también son fractales. En si stemas n o li neales, cada e stado de l sistema e stá d eterminado por sus estados a nteriores (itera ción). Un minúsculo cambi o e n l os va lores ini ciales puede tener dramáticos efectos en el resultado del sistema.

Actividades

10.2.1. Usted deberá leer la Lectura 11: Resumen del curso de “Introducción a la Geometría Fractal, por Juan Pablo Braña.

10.2.2. Defina que es caos e iteración. ¿Cuál es su relación con los fractales? CUARTA ENTREGA DE ASIGNACIÓN Usted deberá entregar por escrito después de haber procedido a discutir y de sarrollar las actividades propuestas del Modulo III ( unidad IV) a más tardar en la 15va semana del s emestre, por los dif erentes medios de e nvió (por val ija o po r i nternet) c on l a finalidad de que su trabajo se ha cor regido y realizar l as ob servaciones necesarios según sea el caso. Es necesario que para la entrega de estas actividades

59

OBJETIVO DEL MODULO III.

OBJETIVO DE LA UNIDAD V.

CONTENIDO DE LA UNIDAD III.

Investigar los distintos tópicos de matemática

que permitan una compresión e interacción con los hechos de la vida

cotidiana y con otras áreas no afines con ella.

Enfocar los distintos tópicos de matemáticas en otras áreas no afines

con ella.

LECCION 11. 11.1. LÓGICA BORROSA – TEORÍA DE CONJUNTOS BORROSOS.

LECCION 12. 12.1. DIAGRAMA DE VORONOY LECCION 13.

13.1. TRABAJOS PRÁCTICOS CON APLICACIONES EN OTRAS ÁREAS.

60

UNIDAD V.

LECCIÓN 11

LOGICA BORROSA –TEORIA DE CONJUNTOS BORROSOS

Actividades 11.1.1. Usted deberá leer la Lectura 12: La Lógica por Yuliana Corzo y la lectura

14 Borrosidad y Educación por Julio Mosquera, también puede consultar en la pagina web http://www.astic.es/nr/astic/boletic-todos/boletic24/artimono2.pdf, Logica borrosa y sus aplicaciones.

11.1.2. Usted deberá investigar: 1. Origen 2. Conceptos básicos de logica borrosa 3. Que es logica borrosa y teoria de conjuntos borrosos 4. Operaciones entre conjuntos borrosos 5. La relacion de la logica borrosa con la educación matemática

LECCIÓN 12

DIAGRAMA DE VORONOY

Actividades 12.1.1. Usted deberá leer la Lectura 15: Diagrama de Voronoy 12.1.2. Cómo util izaria us ted el mapa de Venezuela usando los diagramas de

Voronoy y c ómo realizaría una propuesta de ac tividad us ando los diagramas de Voronoy.

Enfocar los distintos tópicos de

matemáticas en otras áreas no afines con

ellas.

61

LECCIÓN 13

TRABAJOS PRACTICOS CON APLICACIONES EN OTRAS ÁREAS

Cómo puede observar la matemática se puede utilizar de varias formas. ¿En qu é se pa rece un h elecho, la co sta y un c opo de n ieve? Lo s t res son

elementos d e la n aturaleza. Y l os t res, co n s us c omplicadas formas y repeticiones, parecen fractales. Y s i estas pensando, qué rayos es un fractal, te sorprenderás con estas fascinantes estructuras que parecen más sacadas de un libro de arte que de uno de matemáticas.

Los fr actales son figuras ge ométricas, al i gual qu e lo s t riangulos y l os rectágulos, pero con unas propiedades especiales que los distiguen de éstos. Primero, son mu y comp lejos, a cualquier tamaño. Tiene n au tosimilitud, es decir, que pueden dividirse en partes q ue son copias reducidas del total. S u dimensión es una fracción a diferencia de otras figuras geométricas.

Los fra ctales fr ecuentemente lu cen como obje tos de la n aturaleza. Mu chos objetos naturales, como los helechos, copos de nieve, las costas de los países, rocas, tienen formas parecidas a los fra ctales. N o son fractales aut énticos pues s u complejidad no es infinita.

Una cosa interesante de los fractales es que su estudio es nuevo. Muchas áreas de las matemáticas son basadas en conocimiento antiguo. La geometría, por ejemplo, la in ventó E uclídes en el añ o 30 0 AC. Los fractales, por e l contrario, están s iendo estudiados e investigados en la actualidad.

¿Para que sirven los fractales? Uno de l os usos más populares e s en las artes. Uti lizando una programac ión

especial e n l a computadora se p ueden crear i ncreíbles o bras de arte. También está muy de moda la música fractal. Hay muchos lugares en la Internet con muestras de imágenes fractales y de piezas musicales.

Pero su uso no se limita a las artes. Tanto en la geología, como en la Biología y la Ingeniería, se es tán empleando debido a que pueden describir patrones natu rales complejos. L os fra ctales dan un ma rco teórico e n e l de sarrollo de si mulaciones de fenómenos naturales.

¿Cómo se hace una imagen fractal? 1. Hay mu chas man eras, y un a de e llas e s con l a r epetición con stante de un

cálculo simple. En eso las computadoras han venido a ser muy útil es. Con el software adecuado, se pueden generar imágenes fractales repitiendo un patrón fijo. Si quieres divertirte un poc o, in tenta construir el copo de nieve de Koch. Necesitas un compás y una regla. Con una regla dibuja una línea de 6 pulgadas.

2. Usa la regla para separar la línea en tres segmentos iguales. 3. Abre un compas a un ancho de 2 pulgadas, o sea el tamaño de cada segmento.

Colócalo e n un extremo del s egmento y dibuja u n arco. Lueg o en el o tro extremo dibuja otro arco. Dibuja un triángulo a partir del punto donde los arcos se cruzan. Borra la base del triángulo.

4. Repite el proceso en los dos lados del tr iángulo. (D ivide cada lad o en tres segmentos y c onstruye un tr iángulo e n el s egmento d el med io, s in olvidar borrar la base.)

5. Repite nuevamente el proceso en cada triángulo.

62

Sabías que La palabra fractal fue usada por primera vez hace menos de 20 años,

por el matemático polaco Benoit Mandelbrot en su trabajo La geometría fractal de la naturaleza D erivó la palabra d el verbo l atín fractus, que s ignifica ro mper en fragmentos irregulares.

Actividades

13.1.1. Usted ya realizó varias lecturas como son La matemática de todos los días. Problemas de opti mización, Biología y transformaciones afi nes, como pudo observ ar en la lectura la m atemática se pu ede a plicar a otras.

13.1.2. Usted deberá buscar dos lecturas donde se aplique la matemática en otras áreas, y realizará un ánalisis de esas lecturas.

TERCERA ENTREGA DE ASIGNACIÓN

Debes entregar por escrito todas las actividades propuestas del Módulo III a más tardar la 15ª semana del semestre a través de la valija de la Universidad, esto con la finalidad de que tu trabajo sea revisado y en caso de necesitar mejorarlo, tengas oportunidad de hacerlo. Es necesario que para la entrega de estas actividades sigas las orientaciones que presentamos a continuación:

Debes ser conciso y preciso en las respuestas. Si usas un procesador de palabras debes usar como mínimo una le tra tamaño

11 puntos y máximo 12 puntos, usa tipos de letra sencillos. Usa hojas tamaño carta. Si no dominas el uso de l editor de ecuaciones, símbolos, tablas, gráficos y dibujos deja el espacio en blanco en el sitio correspondiente y hazlo a mano con un bolígrafo o un color de tu agrado.

Si vas a realizar el trabajo a mano usa letra legible y clara. Debes usar un block de hojas t amaño carta de una línea. Prefe riblemente h azlo en bolígrafo azul para facilitar su lectura.

Responde de manera ordenada, secuencial. El trabajo debe estar limpio y legible. El trabajo a ent regar no debe estar encuadernado, simplemente engrapado

en el orden correspondiente y a lo sumo en una carpeta sencilla.

Universidad Nacional Abierta

1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

TÓPICOS

DE

MATEMÁTICA

SELECCIÓN DE LECTURAS

Sólo para uso instruccional Sin valor comercial

EDUCACIÓN

Mención: Matemática

Universidad Nacional Abierta

2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Área de Educación Mención Matemática

TÓPICOS DE

MATEMÁTICA CÓDIGO 575

SELECCIÓN DE LECTURAS

Compilador Profesor Arocha María

Noviembre 2 005

Universidad Nacional Abierta

3

INDICE

Introducción………………………………………………………………………………………………………………………

4.

LECTURA 1. Matemática Discreta. Talleres divulgativos “matemáticas en acción”…….

6

LECTURA 2. La Historia de la Matemática y de la ciencia como estrategia en la didác-

tica de resolución de problemas………………………………………………………………..

24

LECTURA 3. Recopilación de problemas históricos……………………………………………………….

34

LECTURA 4. Enseñar probabilidad en primaria y secundaria? ¿Para qué y por qué?....

41

LECTURA 5. Nociones Básicas. Grafos (redes y circuitos)………………………………………..….

60

LECTURA 6. Matrices………………………………………………………….………………………………………..….

76

LECTURA 7. La matemática de todos los días. Problemas de optimización…………….….

80

LECTURA 8. Sistemas ponderados de votación………………………………………………………………

105

LECTURA 9. Biología y transformaciones afines……………………………………………………………

110

LECTURA 10. Fractales: ¿formas de la naturaleza?................................................

113

LECTURA 11. Resumen del curso de “Introducción a la Geometría Fractal”…………………

120

LECTURA 12. La lógica……………………………………………………………………………………………………

174

LECTURA 13. La predicción y la teoría del caos……………………………………………………………

188

LECTURA 14. Borrosidad y educación…………………………………………………………………………….

195

LECTURA 15. Diagrama de Voronoy……………………………………………………………………………... 206

Universidad Nacional Abierta

4

INTRODUCCION

Nuestro sistema educativo, debe tener por finalidad, además de ser imprescindi-

ble que éste se adapte a los cambios que se van generando con los avances teóricos y

con las aplicaciones científicas y tecnológicas, garantizando con esto la t ransmisión y

supervivencia del conocimiento.

Por tal motivo, esta selección de lectura tiene la finalidad de permitir a nuestros

futuros docentes conocer contenidos en acción para llevar al aula. Es decir, los avances

tecnologicos como cientificos hacen necesario objetos discretos y procesos finitos. Esto

establece que se ponga de manifiesto temas como grafos, matrices, problemas de op-

timización, fractales, procesos i terativos, caos, ecuaciones en diferencias, entre otros.

Dichos contenidos se suelen agrupar con el término de matemática discreta.

Esta asignatura se origina con la finalidad de ofrecerle al futuro docente de la

carrera de Educación Mención Matemática una serie de nuevos conceptos y formas de

pensamientos que le permitan:

• Situar la planificación de la instrucción dentro del contexto del procesos curricu-

lar .

• Seleccionar y aplicar estrategias de enseñanza y procedimientos de evaluación,

acordes con su área de especialización.

• Ser capaz de diseñar programa de instrucción y materiales necesarios para lle-

varlo a cabo dentro del aula.

• Que articule estos contenidos con otras áreas como son: biología, química, in-

geniería, informática, sociología, economía, etc.

Con este curso el docente podrá concretar aspectos estudiados en otras mate-

rias en su vinculación con temas específicos de la matemática y que le dan sentido al

Currículo Matemático, a la Evaluación Matemática y a los Materiales Instruccionales

diseñados con fines específicos.

Este curso contribuirá a definir el quehacer cotidiano del docente en su actividad

de aula, marcará las pautas fundamentales de su actividad profesional.

Universidad Nacional Abierta

5

No se puede abordar en una asignatura, o c arrera de enseñanza de todos l os

conocimientos, destrezas y habilidades que deseamos tenga un docente. El presente es

un esfuerzo que pretende suministrar conocimientos y experiencias que le sirva como

futuro docente en el aula.

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6

LECTURA 1

Matemática Discreta Talleres divulgativos

“matemáticas en acción”

24 Noviembre 2004

Francisco Santos

¿Qué es la Matemática Discreta? En matemáticas, “discreto” es lo contrario de “continuo”.

continuo discreto

“Matemática discreta” es casi sinónimo de “combinatoria”, aunque lo primero es

más amplio que lo segundo.

La matemática discreta trata de números enteros, conjuntos finitos, objetos ge-

ométricos discretos (poliedros, complejos simpliciales,…)

La matemática discreta engloba:

- combinatoria (“el arte de contar”)

- “geometría discreta” (poliedros, etc)

- teoría de grafos

- álgebra discreta (grupos y cuerpos finitos, códigos algebraicos,…)

- etc…

En esta charla nos fijamos en cuatro ejemplos:

(1) particiones de un número.

(2) grafos Eulerianos y Hamiltonianos.

(3) empaquetando esferas que se besan.

(4) poliedros regulares.

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7

¿Es una disciplina nueva?

Desde luego que no. Veremos varios ejemplos de Teoremas de Matemática Dis-

creta descubiertos por Leonard Euler (1707-1783). Antes de Euler cabe c itar a Jakob

Bernoulli, Abraham de Moivre, Blaise Pascal.

… pero la Matemática Discreta ha vivido un renacer (¿revolución?) en el siglo

XX, por dos razones:

- ha pasado de ser una mera “colección de problemas sueltos y trucos de re-

solución” a tener una estructura definida y bien fundamentada (por ejemplo,

con los trabajos de G.C. Rota en los 1960’s.

- la Matemática Discreta es la parte de las matemáticas más cercana a los or-

denadores, y tiene una relación bidireccional con ellos: los ordenadores

son discretos.

“… the recent development of combinatorics is somewhat of a cinde-

rella story: It used to be looked down on by “mainstream” mathema-

ticians as being somehow less respectable than other areas, in spite

of many services rendered to both pure and applied mathematics.

Then along came the prince of computer science with its many ma-

thematical problems and needs --- and it was combinatorics that

best fitted the glass slipper held out”.

A. Björner, R. P. Stanley, 1999

“El desarrollo reciente de la combinatoria es en cierto modo la histo-

ria de la cenicienta: los matemáticos ortodoxos la miraban por enci-

ma del hombro, considerándola menos respetable que otras áreas a

pesar de sus muchos servicios tanto a la matemática pura como apli-

cada. Pero entonces llegó el príncipe de la informática con todos sus

problemas y necesidades matemáticas, y la combinatoria fue a quien

mejor le entraba el zapatito de cristal”.

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8

(1) Particiones de un número

Un poco de combinatoria

La combinatoria es el arte de contar o, para ser más precisos, el arte de decir

cuántos objetos hay en un cierto conjunto, o de cuántas maneras se puede hacer algo,

sin necesidad de contarlo explícitamente.

Por e jemplo, en un curso básico de combinatoria se aprende que hay 13 983

816 de combinaciones posibles en la lotería primitiva (el “número combinatorio 49 so-

bre 6”)

.… y también que ese mismo número cuenta las posibles maneras de ir desde el

punto (0,0) al punto (43,6) mediante caminos monótonos en la retícula de cuadrados

de lado 1.

Particiones de un número

Dado un número natural n llamamos “particiones de n” a todas las maneras de

escribir n como suma de números naturales. Por ejemplo:

hay 11 particiones del número 6:

1+1+1+1+1+1

2+1+1+1+1 4+1+1

2+2+1+1 4+2

2+2+2 5+1

3+1+1+1 6

3+2+1

3+3

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9

Euler, en 1740, demostró el siguiente

Teorema: para todo número n, hay tantas particiones de n en partes distintas

como particiones de n en partes impares.

Ejemplo: para n=9:

Distintas: Impares:

9 9

8+1 7+1+1

7+2 5+3+1

6+3 5+1+1+1+1

6+2+1 3+3+3

5+4 3+1+1+1+1+1+1

5+3+1 1+1+1+1+1+1+1+1+1

Demostración: Para cada n, sea pn el número de particiones de n. Llamamos

función generatriz de la sucesión (pn) a la función:

P(x) = po + p1 x + p2 x2 + p3 x

3 + + p4 x4 + ….

Se tiene que:

P(x) = (1 + x + x2 + x3 + + x4 +….)

(1 + x2 + x4 + x6 + + x8 +….)

(1 + x3 + x6 + x9 + + x12 +….)

(1 + x4 + x8 + x12 + + x16 +….)

(1 + x5 + x10 + x15 + + x20 +….)

………

Del mismo modo, la función generatriz de las particiones en partes impares es:

I(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + ….)

(1 + x3 + x6 + x9 + x12 + ….)

(1 + x5 + x10 + x15 + x20 + ….)

(1 + x7 + x14 + x21 + x28 + ….)

………

Y la de las particiones en partes distintas es:

D(x) = (1 + x )(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4 )(1 + x5 )……

Se trata, por tanto, de ver que I(x) = D(x).

Eso es cierto porque:

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10

)...1)(1)(1)(1(1

...)1...)(1(

...)1...)(1()(

753

28211472015105

12963432

xxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxI

−−−−=

=++++++++++

++++++++++=

Y:

)...1)(1)(1)(1(1

)...1)(1)(1)(1()...1)(1)(1)(1(

)...1)(1)(1)(1()...1)(1)(1)(1()...1)(1)(1)(1(

...)1...)(1)(

753

432

8642

432432

432

12963432

xxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxD

−−−−=

=−−−−−−−−

=

=++++−−−−−−−−

=

++++++++++=

QED

El teorema de Euler sobre particiones, aparte de su interés, ilustra el método de

las funciones generatrices en combinatoria enumerativa.

Es uno de los métodos más usados hoy día. El principio básico es que a veces

es más fácil manipular la función generatriz “en global” que los términos de la sucesión

a estudiar, individualizados. (Además de que, por ejemplo, el análisis de los ceros de la

función generatriz da información muy precisa sobre el comportamiento asintótico de

la sucesión a estudiar.

La teoría de particiones (de números, de conjuntos, de dimensión dos y supe-

rior) tiene relaciones con, por ejemplo, representación de grupos de Lie y con mecáni-

ca estadística.

Nota: existen demostraciones posteriores del Teorema de Euler que dan una

correspondencia explícita y biyectiva entre “particiones impares” y “particiones sin re-

petición”. Por ejemplo, la siguiente se debe a Sylvester:

- dada una partición en partes distintas, descompóngase cada parte como un

número

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11

impar multiplicado por una potencia de dos (lo cual se puede hacer de manera única).

Sustitúyase cada parte por el factor impar repetido las veces que dice el factor poten-

cia de dos. Por ejemplo:

60=15 x 4 se sustituiría por “15+1515+15”.

46=23 x 2 se sustituiría por “23+23”

8=1 x 8 se sustituiría por “1+1+1+1+1+1+1+1”

- dada una partición en partes impares, considérese un número i y sea r la can-

tidad de veces que aparece en la partición. Escríbase r como suma de potencias de dos

distintas (lo cual se puede hacer de manera única, se trata de escribir r en base dos).

Agrúpense las repeticiones de i en los grupos marcados por las potencias de dos que

aparecen.

Por ejemplo:

“5+5+5+5+5+5+ se sustituiría por “20+10”.

“1+1+1+1+1+1+1” se sustituiría por “4+2+1”.

“27+27+27+27+27+27” por “108 +54”.

Se deja al lector comprobar que estas dos transformaciones se des-

hacen la una a la otra y, por tanto, dan una bisección entre particiones impa-

res y particiones sin repetición.

(2) Grafos

Teoría de grafos

Junto con la combinatoria enumerativa es la otra gran pata de la Matemática

discreta.

Un grafo es un objeto combinatorio formado por un conjunto f inito de “vérti-

ces”, unidos entre sí por “aristas”.

Formalmente, un grafo con vértices V={1,2,3,…,n} no es más que un conjunto

de parejas de elementos de V.

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12

Ejemplo: el “grafo completo” con cuatro vértices:

Los puentes de Königsberg

Königsberg, en tiempos de Euler Kaliningrado, hoy

En tiempos de Euler se hizo popular en Königsberg hacer la siguiente pregunta:

¿Es posible atravesar los siete

puentes d e K önigsberg p a-

sando una sola vez por cada

uno de

ellos?

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13

Euler reformuló la pregunta como un problema de teoría de grafos ( y, de paso,

inventó el concepto de grafo):

¿Es posible recorrer entero el

siguiente g rafo s in p asar d os

veces por ninguna arista?

Teorema (Euler): Sea G un grafo (finito y conexo).

(a) la suma de las valencias de todos sus vértices es par. Es decir, hay un

“número par de vértices impares”.

(b) S i e l número de vértices impares es mayor que dos, el grafo no se puede

recorrer [sin pasar dos veces por ninguna arista].

(c) Si el número de vértices impares es cero, el grafo se puede recorrer. Pode-

mos además elegir por qué vértice empezar, y el camino siempre será cerrado

(termina donde empezó).

(d) Si el número de vértices impares es dos, el grafo se puede recorrer, pero el

camino ha de empezar en uno de los dos vértices impares y terminar en el otro.

A los grafos del apartado (c) se les llama “eulerianos” En particular, la

respuesta a la pregunta de Königsberg es negativa

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14

¿Cuáles de los siguientes grafos se pueden recorrer de manera euleriana?

Grafos Hamiltonianos

W.R. Hamilton ( 1805-1865) i n-

ventó (y patentó) un juego en el que se

trataba d e h acer u n r ecorrido p or 2 0

ciudades del mundo sin pasar por nin-

guna más de una vez. Las ciudades es-

taban unidas por 30 aristas, formando

el grafo de un icosaedro.

Es decir, se trataba de construir

un camino Hamiltoniano en el grafo

del dodecaedro.

El juego

“icosiano”

de Hamilton

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15

El problema tiene solución en el dodecaedro, y de hecho en los cinco poliedros

regulares:

Pregunta: dado un grafo cualquiera, ¿cómo es posible decidir si el grafo posee

un camino Hamiltoniano?

Es una pregunta parecida a la de Euler, así que esperaríamos una respuesta

parecida.

Respuesta: con mucha dificultad!

Teorema (Garey-Johnson, 1983): decidir si un grafo posee un camino Hamilto-

niano es un problema NP-completo.

¿Qué significa NP-completo?

- “es algo demasiado complejo de explicar en esta charla”.

- NP-completo es un problema “difícil de resolver pero fácil de comprobar”.

- NP-completo implica que “casi seguro” no existe ningún algoritmo general

para resolver ese p roblema en t iempo polinómico. De hecho, si usted l o en-

cuentra:

* Con el mismo método podrá descifrar las claves criptográficas más uti-

lizadas.

* E l I nstituto C lay (C ambridge, M ass.) l e d ará u n m illón d e d ólares

(“P=NP” es uno de sus “problemas del milenio”).

(3) Esferas que se besan

Empaquetamientos (y besos) de esferas

Dos problemas clásicos de geometría combinatoria son:

Empaquetamiento de esferas en dimensión n: en el espacio Euclídeo de dimen-

sión n, ¿cuál es la mayor densidad con que pueden colocarse esferas del mismo radio,

sin que se solapen?

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16

El número de “besado” de dimensión n: ¿cuántas esferas de dimensión n pue-

den tocar simultáneamente a otra esfera del mismo radio, sin que se solapen?

En dimensión dos la solución es relativamente sencilla: no más de seis bolas

pueden tocar a una, simultáneamente, y el empaquetamiento hexagonal es el más

denso posible. Lo primero es muy fácil de demostrar. Lo segundo requiere cierto traba-

jo y lo demostró por primera vez A. Thue en 1892.

En Dimensión 3 es posible colocar 12 esferas que toquen a una dada: por

ejemplo, en los vértices de un icosaedro regular, o en los de un cubo-octaedro regular

(es decir, en los puntos medios de las 12 aristas de un cubo):

Ahora bien, ¿será posible también colocar 13 esferas? Y ¿es posible extender

estas configuraciones “ad infinitum”?

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17

El problema de las 13 esferas

Una de las primeras apariciones del problema es en una discusión entre New-

ton (1643-1727) y David Gregory (1659-1708). Gregory opinaba que es posible co-

locar 13 esferas, y Newton que no. Pero la demostración formal (de que 13 no es posi-

ble) no llegó hasta final del Siglo XIX (Bender 1874, Hoppe 1874, Güther 1875).

En cuanto al problema de empaquetamiento, Kepler afirmaba que el empa-

quetamiento más compacto posible el que se sigue del cubo-octaedro (red cúbica cen-

trada en las caras). Pero el problema estuvo abierto hasta hace bien poco…

La conjetura de Kepler

En el empaquetamiento cúbico compacto, de cada esfera

es un dodecaedro rómbico las esferas forman capas de empaque-

tamientos hexagonales

La “celda de Voronoi”

La conjetura de Kepler. Citas.

Kepler, 1609: “de este modo el ensamblaje será muy prieto, de modo que

ninguna otra disposición permitirá meter más glóbulos en el mismo recipiente”.

Hilbert, 1900 (como parte del problema 18 de su famosa l ista “para los ma-

temáticos futuros”): “¿Cuál es la manera más densa de colocar en el espacio un núme-

ro infinito de sólidos iguales de una forma dada, e.g., esferas […]?”

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18

C. A. Rogers, 1958: “Muchos matemáticos creen, y todos los físicos saben,

que la densidad no puede exceder de pi/raiz(18)=0.74048, pero la mejor cota estable-

cida con propiedad parece ser 0.828,.…”

J. Milnor, 1974: “la situación es escandalosa, puesto que la respuesta correcta

se conoce desde Gauss. Lo único que nos falta es una demostración.”

La conjetura de Kepler. Historia

Gauss (1831) demostró que el empaquetamiento cúbico centrado en las caras

es el más denso posible si nos restringimos a empaquetamientos por retículos.

L. Féjes Toth (1953) redujo por primera vez la conjetura de Kepler a un pro-

blema de cálculo (encontrar el mínimo de cierta función de varias variables), finito…

pero complicado.

T. Hales consiguió demostrar la conjetura en 1998. Su método simplifica al de

Féjes-Toth pero aún así “es, si lo suponemos correcto, un tour de force en optimización

no lineal” (J. Lagarias, 2002). La demostración de Hales fue escrita en una serie de

seis artículos (con una ingente cantidad de casuística y cálculos por ordenador) de los

cuales sólo tres han sido publicados a fecha de hoy.

Dimensión 4

En dimensión 4 el empaquetamiento más compacto concido es el “retículo D4”

(puntos de coordenadas enteras y con suma par). Cada esfera toca a otras 24 (coloca-

das en los vértices de una “24-celda”).

Korkine y Zorotareff (1973) demostraron que es el mejor empaquetamiento

reticular, pero aún no se sabe si es el mejor empaquetamiento en general.

En cuanto al “número de besado”, tan sólo hace dos años se ha conseguido

demostrar que es imposible que 25 esferas toquen a otra del mismo radio, en

dimensión 4. (Oleg Musin, 2002)

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19

En dimensiones aún mayores:

El empaquetamiento reticular más denso se conoce en dimensiones 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 y 24.

Los de dimensiones 6, 7, y 8 (retículos E6, E7 y E8)

los demostró Blichfeld en 1938. El de dimensión 24

es el llamado “retículo de Leech”, conocido desde

los 19 50’s, p ero s u optimalidad n o s e d emostró

hasta hace poco (Cohn y Elkies, 2003).

La cota de Cohn-Elkies para empaquetamientos

reticulares, mejora ligeramente a la anterior cota

conocida y es suficiente para concluir que el retículo de Leech es óptimo.

(4) Poliedros regulares

Un poliedro regular de dimensión 3 es un poliedro cuyas caras son todas polígo-

nos regulares iguales e “igualmente dispuestos” (= el grupo de simetrías del polie-

dro contiene al de simetrías de cada cara y es transitivo sobre los vértices).

Un poliedro regular de dimensión n+1 es un poliedro cuyas caras son todas po-

liedros regulares de dimensión n iguales e igualmente dispuestos.

Dimensión 2:

Hay “un” polígono regular para cada número de lados:

Dimensión 3:

Hay sólo cinco. Los cinco sólidos platónicos:

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20

Demostración de que sólo hay estos cinco:

Con triángulos, el número de triángulos por vértice ha de ser tres, cuatro o cin-

co, porque la suma de ángulos alrededor de un vértice ha de ser menor que 360 (y 60

x 6=360)

Del mismo modo, con cuadrados y pentágonos sólo es posible colocar tres alre-

dedor de cada vértice, porque 90x4 = 360 y 108x4 > 360.

Con hexágonos no es posible colocar ni siquiera tres.

Dimensión 4

Es fácil llevar a cabo la misma clasificación en dimensión cuatro. La úni-

ca novedad es que no tenemos que pensar en cuántos poliedros de una clase es posi-

ble colocar en cada vértice sino de qué maneras es posible colocarlos de modo que

alrededor del vértice “se forme un poliedro regular” (al que llamaremos “figura de

vértice” del poliedro de dimensión cuatro).

Fijémonos de nuevo en el caso de dimensión tres:

Tipo de caras Figura de vértice Poliedro resultante

Triángulos Triángulos Tetradedro

Triángulos Cuadrados Octaedro

Triángulos Pentágonos Icosaedro

Cuadrados Triángulos Cubo

Pentágonos Triángulos Dodecaedro

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21

En el paso de dimensión tres a cuatro, debe haber “compatibilidad” entre los

poliedros de dimensión tres P y Q usados como cara y como figura de vértice. Para que

sea posible hacer la construcción de manera simétrica, las caras de Q han de ser igua-

les a la figura de vértice de P.

(Por ejemplo, si queremos colocar cubos pegados por un vértice de manera

“completamente simétrica” la figura de vértice será un poliedro con triángulos por ca-

ras, que son las figuras de vértice del cubo).

Eso deja, a priori, las 11 posibilidades de la siguiente tabla:

Cara (P) Figura de vértice (Q)

Lo único que nos queda es com-probar, caso por caso, si hay “es-pacio suficiente” para colocar los poliedros P for-mando la figura de vértice Q. Eso sucede si (y sólo si) el ángulo sólido en un vértice de P es menor que el ángulo con que cada cara es vista desde el centro de Q.

Tetraedro Tetraedro Tetraedro

Cubo Cubo Cubo

Dodecaedro Dodecaedro Dodecaedro

Octaedro Icosaedro

Tetraedro Octaedro Icosaedro Tetraedro Octaedro Icosaedro Tetraedro Octaedro Icosaedro

Cubo Dodecaedro

Cara (P) Figura de vértice (Q) Los casos positivos resultan ser los 6 resalta-dos en negrita. Hay 6 poliedros regulares de dimensión cuatro. Nota: a decir verdad, sólo hemos demostra-do que no puede haber más que estos seis, pero h ace f alta u n argumento m ás ( o u na construcción explícita) para demostrar que estos seis existen. Es decir, que la regla “ lo-cal” para construirlos se puede propagar y no da lugar a malas intersecciones entre caras. Además, la construcción no nos dice cuántas caras tendrá el poliedro final, del mismo mo-do que “a priori” no podemos saber que colo-cando c inco t riángulos por vértice en d imen-sión tres vamos a obtener un poliedro de 20 caras.

Tetraedro Tetraedro Tetraedro

Cubo Cubo Cubo

Dodecaedro Dodecaedro Dodecaedro Octaedro Icosaedro

Tetraedro Octaedro Icosaedro Tetraedro Octaedro Icosaedro Tetraedro Octaedro Icosaedro

Cubo Dodecaedro

Por ejemplo, si queremos que las caras de nuestro poliedro regular sean cu-

bos, debemos empezar colocando cubos alrededor de un vértice de modo que (“local-

mente”, alrededor del vértice) se forme uno de los tres poliedros regulares cuyas caras

son triángulos.

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22

Es fácil hacerlo con cuatro cubos (formando u n t etraedro) e imposible

hacerlo con 20 ( formando un icosaedro). S i lo intentamos hacer con ocho (octaedro)

resulta algo análogo al caso de seis triángulos en el plano: se pueden colocar, pero

resultan pegados unos a otros y no “sobra espacio” para poder “inclinarlos” a dimen-

sión cuatro de manera convexa.

Es decir, el único poliedro regular de dimensión cuatro cuyas caras son

cubos es el que tiene cuatro caras en cada vértice: el hipercubo, o 4-cubo (bola

unidad de la norma Linf).

El 4-cubo (diagrama de Schlegel):

Del mismo modo:

Si las caras son tetraedros, se pueden disponer formando tanto tetraedros,

como octaedros y como icosaedros alrededor de cada vértice. Los poliedros resultantes

son:

- El símplice (de dimensión cuatro), que tiene cinco vértices, 10 aristas, 10

triángulos, y 5 tetraedros.

- El “politopo cruzado” (dual del hipercubo y bola unidad de la norma L1) que

tiene 8 vértices, 24 aristas, 32 triángulos y 16 tetraeedros como caras.

- La 600-celda, que tiene 120 vértices, 720 aristas, 1200 triángulos y 600 te-

traedros.

Si las caras son dodecaedros, sólo es posible colocar cuatro alrededor de cada

vértice, formando (localmente) un tetraedro. El poliedro resultante en dimensión 4 es

la 120-celda que tiene 600 vértices, 1200 aristas, 720 pentágonos y 120 dodecae-

dros.

Si las caras son octaedros, la disposición local debe ser la de un 3-poliedro con

caras cuadradas, es decir un cubo.

Se comprueba que sí es posible hacerla. El 4-poliedro resultante en dimensión 4

es la 24-celda que tiene 24 vértices, 96 aristas, 96 triángulos y 24 octaedros.

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Es un poliedro autodual y es la base para resolver el problema de empaque-

tamiento y el de besado en dimensión 4. Sus vértices son los de un cubo y un politopo

cruzado con el mismo circuncentro. Es, en c ierto modo, el análogo 4-dimensional del

dodecaedro rómbico (excepto que éste no es regular).

Por ú ltimo, con caras icosaédricas es imposible construir un 4-poliedro regu-

lar. Haría falta poder colocar 20 en cada vértice (formando un dodecaedro localmente)

y no es posible hacerlo.

En resumen: los seis poliedros regulares de dimensión cuatro son:

- El símplice y la 24-celda, que son autoduales.

- El hipercubo y su dual, el politopo cruzado.

- la 120-celda y su dual, la 600-celda.

¿Y en d imensión mayor? La clasificación es aún más sencilla. En cualquier d i-

mensión n>4 sólo hay los tres poliedros regulares “triviales”: símplice, hipercubo (bola

unidad Linf) y su dual (politopo cruzado, o bola unidad L1)

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LECTURA 2.

Educación Universitaria, 1999, No. 2

LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA Y DE LA

CIENCIA COMO ESTRATEGIA EN LA DIDÁCTICA

DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Israel Mazarío Triana. Lic. en Educación en la especialidad de Matemática,

Profesor Asistente del Departamento de Matemática General de la Facultad de

Mecánica Química de la Universidad de Matanzas.

La Historia y la Metodología de la Matemática y la Ciencia, desde todos los pun-

tos de vista: acontecimientos históricos, la vida de los hombres de ciencia, metodolog-

ía de la ciencia, epistemología, filosofía del conocimiento científico, etc, puede servir

como i nstrumento e ficaz de t rabajo, como una estrategia más que e l docente puede

aplicar. La Historia de la Ciencia aporta datos y reflexiones sobre la naturaleza (mundo

que nos rodea), el alcance y los límites del conocimiento humano en su forma más

rigurosa y sistemática. Por lo que la conjugación de todos estos factores, la exploración

en la misma aportará valiosos elementos para que el profesor pueda desempeñarse

como un facilitador en la construcción del conocimiento sistémico del estudiante.

Los problemas que la naturaleza plantea al ser humano pueden ser abordados

de muy variadas formas o desde ópticas muy diversas. La Ciencia contempla la natura-

leza desde una perspectiva que permite establecer l eyes, p ropiedades, modelos, etc.

de la realidad que hagan a esta más comprensible.

Debido a e llo nuestros antepasados i ntentaron, prácticamente desde el mismo

momento que caminaron erguidos, encontrar las causas de los hechos que observaban

a su a lrededor y este p roceso de búsqueda estuvo estrechamente relacionado con l a

resolución de problemas de las más diversas índoles que el hombre ha tenido que so-

lucionar haciendo uso de los conocimientos de su época, en este proceso continuo de

investigación sin límites, el ser humano buscando descubrir nuevos hechos y estable-

cer relaciones entre ellos, hace Ciencia, nutriéndose de toda la experiencia precedente

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25

y proyecta extender el a lcance de su propia experiencia, reducirla a l orden y valorar

cuál es el procedimiento más conveniente para afrontar un problema con posibilidades

de solucionarlo, en este proceso ininterrumpido, la ciencia ofrece la solución de múlti-

ples fenómenos y simultáneamente intenta encontrarla para aquellos que todavía no la

tienen. Dentro de este rico proceso cada Ciencia particular en su avance va tributando

al desarrollo de la Ciencia en general y se van enriqueciendo el conocimiento, proceso

imprescindible para que estos avancen y combinen sus principios para resolver pro-

blemas prácticos que contribuyen al desarrollo social de la humanidad.

Por tales razones es importante concebir l a enseñanza de la Matemática inte-

grada en la historia y en la cultura, lo que puede constituir un valioso aporte a fin de

proporcionar motivación e interés al analizar las dificultades por la que ha transitado el

pensamiento humano hasta llegar a las formas actuales de presentación matemática.

Los conocimientos transmitidos durante la educación deben ser mostrados como

las soluciones trabajosamente logradas por los hombres en el curso de su enfrenta-

miento a los problemas prácticos y concretos de la vida real. Difícilmente podremos

encontrar conocimientos adquiridos como mero disfrute intelectual o por simple ocio

improductivo. La historia de la ciencia y la tecnología mucho nos puede enseñar en

esta dirección. Estudiémosla para ver en ella no la simple colección de descubrimiento

o la secusión cronológica de ideas interesantes sino para reconocer allí los pasos que,

entre triunfos y reveses, le permitieron al hombre i r domando a la naturaleza y a las

propias fuerzas sociales (Ramos, G.,1998, p. 85).

Por otra parte el uso de la historia de la Matemática y su relación con otras

Ciencias con una dimensión metacognitiva propone aprovechar la Historia de la Ciencia

para que los estudiantes sean conscientes de la existencia de ideas previas, es decir,

se trata de utilizar los elementos históricos para conseguir determinados objetivos

afectivos y nuevas actitudes que respondan a los valores que queremos estén presen-

tes en la formación universitaria, formación donde el desarrollo de habilidades en la

resolución de problemas y la aplicación de la Matemática como una herramienta básica

tiene una importancia extraordinaria para el futuro egresado.

Entre l os v alores a q ue h acíamos referencia e n el p árrafo a nterior, C arlos

Sánchez, 1989, pp.13-15, destaca:

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1- Valores heurísticos: La Historia nos brinda un panorama general de las direc-

ciones principales de la investigación en diferentes momentos, bajo determina-

das condiciones de carácter socio-económico relativas al propio desarrollo lógico

de conceptos y teorías.

La Metodología nos posibilita tomar conciencia sobre el mecanismo dialéctico de

formación y fundamentación del conocimiento matemático.

La Historia y Metodología de la Matemática nos ayudan a introducirnos en el la-

boratorio de la creación científica, en las luchas de ideas dentro del proceso de

investigación.

2- Valores comunicativos: Con el conocimiento de la Historia de la Matemática y

de la relación de esta con otras ciencias y otros campos de la actividad humana.

Ellas nos brindan un lenguaje común para todos los profesionales, un vínculo y

un modo fácil de intercambiar ideas. Posibilitando de esta forma el punto de vis-

ta pedagógico, a t ravés de l as referencias h istóricas, en l a introducción de l os

nuevos conceptos o teorías, activar los procesos productivos del pensamiento y

convertir la clase en una verdadera “fiesta intelectual”.

La Metodología de la Matemática nos permite comprender mejor el fundamento

material de la unidad de la Matemática, el carácter artificial de la diferenciación

entre matemáticas puras y aplicadas. se añade a la razón anterior el principio

metodológico básico de la relación entre teoría y práctica, el análisis de los ras-

gos específicos de otras regiones del conocimiento que se encuentran reflejadas

en los métodos matemáticos.

3- Valores educativos: La Historia de la Matemática ilustra la vida intelectual de

los grandes matemáticos, lo cual no sólo posee un inmenso valor heurístico, si-

no ante todo es un magnifico recurso para la educación integral.

En los ejemplos del pasado se educa a la juventud en el arte del descubrimiento

pero también en el espíritu de sacrificio y de consagración a la Ciencia, de la

honradez y la modestia, de los valores morales necesarios a todo científico.

La Metodología de la Matemática ayuda a formar una concepción científica del

mundo, favorece la comprensión del papel del hombre en la solución de pro-

blemas globales de la Ciencia y de la importancia de asumir una posición ide-

ológica firme y honesta en el enfoque de estos problemas.

Por su parte Miguel de Guzmán (1993, pp. 107-119), enfatiza el papel del cono-

cimiento de la Matemática y la Ciencia en el bagaje de conocimientos del profesor de

cualquier nivel de enseñanza y señala valiosos elementos sobre esta problemática,

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27

destacando que e l orden lógico en la construcción del conocimiento no es necesaria-

mente el orden histórico, ni tampoco el orden didáctico coincide en muchas ocasiones

con n inguno de l os anteriores, pero el p rofesor debería saber cómo han ocurrido las

cosas, para:

- comprender mejor las dificultades del hombre genérico, de la humanidad, en

la elaboración de las ideas matemáticas, y a t ravés de e llas la de sus propios

alumnos.

- entender mejor la ilación de las ideas, de los motivos y variaciones de la sin-

fonía matemática.

- utilizar este saber como una sana guía para su propia pedagogía.

El conocimiento de la Historia proporciona una visión dinámica de la evolución

de la Matemática que puede capacitarnos para muchas tareas interesantes en

nuestro trabajo educativo:

- posibilidad de extrapolación hacia el futuro.

- inmersión creativa en las dificultades del pasado.

- comprobación de los tortuosos caminos de la investigación, con la percepción

de la ambigüedad, obscuridad, confusiones iniciales, a media luz, esculpiendo

torsos inconclusos y concluye este autor destacando la Historia como un poten-

te auxiliar para lograr objetivos como:

- hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en Matemática; - en-

marcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con

su motivación, precedentes;

- señalar los problemas abiertos de cada época, su evolución, la situación el la

que se encuentran actualmente;

- apuntar las conexiones históricas de la matemática con otras ciencias, en cuya

interacción han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.

Todos estos elementos aportan al futuro egresado un conocimiento matemático

de gran valor instrumental y práctico, proyectan conocimientos indispensables a otras

disciplinas, que serán de gran valor para diseñar modelos matemáticos o de cualquier

otra índole. El conocer la génesis de las ideas con que se trabaja, capacita a una per-

sona para resolver problemas que presenten una determinada peculiaridad, propongo

tratar de formar un ser humano que aplique sus conocimientos en la práctica profesio-

nal para resolver los problemas de los que será responsable, dentro de este proceso la

enseñanza y aprendizaje de la Matemática tiene mucho que aportar por ser una disci-

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28

plina cuya historia y métodos generales aportan además valores informativos y forma-

tivos a nuestros estudiantes.

Los profesores de Matemática debemos hacer un esfuerzo especial en este sen-

tido, es decir, es necesario que la enseñanza transmita una correcta comprensión del

trabajo científico o al menos, algunas de sus características más relevantes.

Según lo expuesto por Juan Manuel Navarro Cordón y Tomás Calvo Martínez,

1992, p. 20: Los pitagóricos fueron, ante todo, matemáticos (los primeros que hicieron

progresar las matemáticas, dice Aristóteles) y su dedicación a las matemáticas influyó

decisivamente en su explicación acerca de la naturaleza (origen, sustrato y causa) de

lo real. Observaron, en efecto que múltiples propiedades y comportamientos de los

seres reales pueden ser formulados matemáticamente y supusieron que todos los se-

res del universo- lo que son y su forma de comportarse-son formulables matemática-

mente. Desde entonces la ciencia se ha beneficiado incesantemente de esta suposi-

ción, confirmándola una y otra vez.

El estudio de la Historia y metodología de la Ciencia en general debe ser un

componente esencial de los curriculum en todos los niveles de enseñanza por constituir

una premisa fundamental de l a formación del profesional, ya que es conocido que e l

desconocimiento de la experiencia y aporte de la ciencia, al no poderse llegar a la

esencia de su análisis, forma un profesional incompetente ante los problemas a enfren-

tar.

Es así como a lo largo de la historia, los aporte de la Ciencia han ejercido in-

fluencia en la concepción contemporánea de la Matemática y recíprocamente el cono-

cimiento matemático ha servido de modelo ejemplar para la construcción de la Ciencia.

Durante el transcurso del presente siglo, la Matemática se ha convertido en una

ciencia muy extendida en nuestra cultura ya que ha jugado un papel muy importante

en la enseñanza de otras disciplinas, lo que esta avalado por la incidencia de los con-

tenidos matemáticos los cuales abarcan no solo sus definiciones, axiomas, leyes y me-

todología y de forma peculiar su aplicación en otras áreas de la Ciencia.

A medida que un número cada vez mayor de científicos es atraído al mundo de

las cuestiones prácticas, el intervalo de t iempo entre el desarrollo de los conceptos y

su aplicación concreta va disminuyendo. (Magenau, H., Bergamini, D., 1966).

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29

Pudiéramos argumentar a favor de lo anterior que la Aritmética y el Álgebra,

surgieron como respuestas a necesidades humanas en materias de contabilidad, admi-

nistración y otras demandas de la cotidianidad; la Geometría y la Trigonometría, sur-

gen y se desarrollan a partir de problemas de medida, astronomía, y agrimensura; el

Cálculo Diferencial e Integral para la solución de ciertos problemas relacionados con la

Física.

Otras teorías matemáticas como la Geometría Proyectiva, la Teoría de Grupos,

la Topología, la Teoría de Conjuntos, y otras. Al principio parecía como si estas nuevas

teorías abstractas tuviesen sólo un valor para la propia Matemática. Con el tiempo se

ha comprobado que es posible expresar adecuadamente las singularidades de los pro-

cesos reales de la Física, la Química, la Biología, la Economía y la Técnica. Después de

elaborada l a teoría de Algoritmos y de las funciones recursivas, l a lógica matemática

encontró múltiples aplicaciones teóricas y prácticas en el análisis y síntesis de las

máquinas calculadoras y aparatos cibernéticos Estos ejemplos, cuyo número podía

aumentar nos demuestran que con el aumento de la abstracción dentro de la Matemá-

tica ésta no se aleja de la realidad. al contrario, con el uso de las teorías más abstrac-

tas es posible reflejar más completa y profundamente las relaciones y vínculos del

mundo real. (Ivanivich, G., 1990. pp. 222-223).

Debemos añadir que en los últimos años la matemática es utilizada con más

frecuencia como instrumento dentro de disciplinas como la Historia, la Lingüística y la

Psicología.

En todas las actividades humanas es identificable algún elemento matemático,

aún en aquellas con menos indicios de su presencia; aunque en ocasiones esta carac-

terística de su presencia en lo cotidiano la hace pasar inadvertida, por lo que los do-

centes y profesionales de la Matemática tenemos que poner nuestro empeño en hacer

que los estudiantes perciban la Matemática en todos los órdenes de la vida moderna,

enfatizando su característica de ser un conocimiento científico de primer orden que

hace se le identifique como la ciencia racional , deductiva o exacta por excelencia con-

siderándose además “la humilde sirvienta de la Ciencia” o “ la reina y cenicienta de la

Ciencia” aunque cada persona pueda definirla o buscar una definición en correspon-

dencia a sus intereses o instrucción, considero que para el propósito del tema aborda-

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30

do la definición de Miguel de Guzmán (en Marcos, A., 1997, p. 2) se ajusta más que

ninguna otra para el mensaje que queremos comunicar, se expresa:

“La Matemática ha sido y es un saber extraordinariamente polivalente y como

tal presenta características que la hacen extraordinariamente adecuada para la trans-

misión de las capacidades propias de nuestra cultura. La Matemática es a su vez:

- Una Ciencia con sus propios fines. Entre ellos la organización racional y lógica

de los aspectos cuantitativos, en sentido amplio, en las estructuras reales y

mentales.

- Un arte, que consigue, al menos como premio dado a su esfuerzo por alcanzar

sus objetivos específicos, la creación de estructuras mentales profundamente

bellas.

- Un instrumento poderoso de exploración y transformación del universo.

Entre las características menores pero llamativas están:

- La desnudez y el carácter esquelético de sus proposiciones.

- La peculiar dificultad; complicación y tensión de sus razonamientos.

- La perfecta exactitud de sus resultados.

- Su amplia universalidad.

- Nos permite hacer predicciones.

- Su peculiar uso de la abstracción; no puede tener éxito si no puede generali-

zarse.

Todo lo anterior es consecuencia de la posición especial de la Matemática en el

sistema de las Ciencias y del carácter especial de sus resultados en la práctica. La en-

señanza de la Matemática contribuye a la formación de la personalidad, ante todo des-

arrollando en los alumnos conocimientos y capacidades sólidas y poniéndolos en dispo-

sición para aplicarlos en la práctica. (Jungk, W., 1979, p.7).

Es decir, la Ciencia ha ejercido una enorme influencia en la concepción contem-

poránea de la Matemática así como la riqueza del conocimiento matemático ha servido

de modelo insustituible para la construcción de la Ciencia.

Un aspecto que puede incidir en las dificultades de la enseñanza de la Matemá-

tica puede ser la excesiva formalización en la presentación de sus contenidos y una

insuficiente reflexión acerca de su naturaleza epistemológica, su metodología y desen-

volvimiento histórico.

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31

La dialéctica de la Matemática requiere de un contexto donde colocar el conoci-

miento matemático en contrastación con otros tipos de conocimiento. Es decir, situar

el conocimiento matemático en relación al conocimiento científico o el filosófico, lo que

debe hacerse desde dos direcciones diferentes:

i) Proceso de análisis hacia el interior de la Matemática, una introspección en

sus fundamentos y evolución histórica.

ii) Proceso de análisis del conocimiento matemático en su relación con el cono-

cimiento científico, de esta forma se incorpora la Matemática dentro de un so-

porte referencial exterior como l a C iencia, lo que permite observar sus seme-

janzas, diferencias y limitaciones en su historia paralela.

Tanto en el enfoque interno como en el externo, debe hacerse énfasis en la es-

tructura problematizadora de los contenidos. Dicho enfoque tiene por objetivo inducir

al estudiante a abordar los problemas analizando la evolución de los mismos a lo largo

de la Historia, donde cada problema sirva de fundamentación y motivación para los

otros y aprovechar al máximo la estructuración de los contenidos.

De esta forma: “Los alumnos pueden reconocer que el grado de abstracción de

la Matemática es muy elevado y que precisamente en esto radica la posibilidad de apli-

carla universalmente. reconocen, además, en el transcurso de su formación matemáti-

ca, que esta ciencia se ha desarrollado por necesidades prácticas y que incluso hoy

recibe impulsos de l a práctica para su desarrollo continuo. (Jungk, W.., 1979, p . 7 ).

Este autor también destaca la afirmación de Federico Engels en su obra Antidühring de

que l a Matemática a l i gual que cualquier otra C iencia, ha partido de l as necesidades

prácticas del hombre.

En correspondencia con esto, a la Historia de las Matemáticas se les encomien-

da la resolución de un gran número de problemas que pueden ser analizados en tres

direcciones ( Ríbnikov, K., 1987, p. 10).

- los trabajos de carácter histórico-matemáticos i lustran como surgieron los

métodos, conceptos e ideas matemáticas, cómo se construyeron históricamente

las diferentes teorías matemáticas.

- las relaciones de la matemática con las necesidades prácticas y la actividad de

los hombres, con e l desarrollo de ot ras ciencias, l a i nfluencia de l a estructura

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32

económica y social de la sociedad y la lucha de clases (especialmente en la es-

fera ideológica), sobre el contenido y carácter del desarrollo de la matemáticas.

- el condicionamiento histórico de la estructura lógica de las matemáticas mo-

dernas y la dialéctica de su desarrollo.

El estudio anterior puede ser fructífero sólo si las investigaciones se realizan

basándose en la ciencia marxista-leninista con la aplicación del método del materialis-

mo dialéctico y con completo conocimiento del contenido especial de las cuestiones

estudiadas.

El campo de aplicación de las matemáticas en la resolución de problemas se

amplía constantemente, a esta ampliación no es posible ponerle un límite en los mar-

cos del desarrollo científico-técnico de nuestros días Insisto nuevamente que la Historia

y Metodología de l a Matemática y l a Ciencia integradas, pueden ser muy útiles en la

formación profesional, debido a la relación que puede establecer con la práctica y en la

docencia por su aplicabilidad y potencialidad didáctica en la resolución de problemas.

La utilización de la estrategia propuesta con una metodología de aprovecha-

miento didáctico, supone incidir en un planteamiento activo y de aprendizaje significa-

tivo ya que el profesor trabaja reconstruyendo pasos del método científico. La forma-

ción del estudiante se completa no sólo con la transmisión y adquisición de los conoci-

mientos estructurados en e l currículo, s ino que además conoce y aplica una serie de

recursos y técnicas de análisis, que integradas en su acerbo personal le permiten moti-

varse y orientarse en búsqueda de información bibliografica, realizar pequeñas investi-

gaciones orientadas por el profesor y de esta forma avanzar en su formación.

La Historia y Metodología del pensamiento matemático y científico en general es

una evidencia que reafirma que el análisis integrado de estos elementos es una forma

correcta de hacer ciencia.

Su estudio da una idea integral y armónica de la concepción unitaria de la reali-

dad, de la imperiosa necesidad de analizar la ciencia en su contexto, estableciendo los

vínculos entre Ciencia/Tecnología/Sociedad lo cual hace de la enseñanza un proceso

que no puede obviar la interdisciplinaridad para lograr sus objetivos.

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BIBLIOGRAFÍA

1. - De Gúzman, M., Formación del profeasorado de las Matemáticas y las Ciencias,

Editorial Popular S.A., Madrid, 1993.

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Habana, 1990.

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ca.editorial Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, 1979.

4. - Margenau, H., Berganini, Colección científica de Life en español., Life, Editado por

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5. - Marcos, A., La enseñanza de las Matemáticas en las Ciencias Económicas, Trabajo

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6. -Navarro, J.M., Calvo, T., Historia de la Filosofía, COU, Grupo Anaya, S.A., España,

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Superior, Vol. XVIII, No. 2, La Habana, 1998.

8. - Ríbnikov, K., Historia de las Matemáticas., Editorial MIR, Moscú, 1974.

9- Sánchez, C., El recurso de la Historia y la Metodología en la Didactica de la matemá-

tica., Boletin de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación,1989.

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LECTURA 3

RECOPILACIÓN DE PROBLEMAS

HISTÓRICOS.

Los siete puentes de Königsberg: Un ciudadano de Königsberg (Prusia) se

propuso dar un paseo cruzando cada uno de los siete puentes que existen sobre el río

Pregel una sola vez. Los dos brazos del río rodean a una isla llamada Kneiphof. ¿Cómo

debe cruzar los puentes para realizar el paseo?

El p roblema es s implemente encontrar un t rayecto, a lrededor de una serie de

puentes, que cruce solamente una vez cada uno de ellos. El mapa de abajo muestra la

disposición de siete puentes y dos islas en la ciudad de Königsberg.

En 1736, el matemático suizo radicado en San Petersburgo Leonhard Euler pu-

blicó "Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis", un artículo en el que re-

solvía el problema en el caso general. Este trabajo es considerado como el nacimiento

de la Teoría de Grafos, utilizada hoy en día en múltiples aplicaciones

La idea de Euler fue considerar los cuatro lugares terrestres, que se deseaban

comunicar (hay 4 de ellos), como puntos de destino y, a los famosos puentes, como

trayectorias entre esos puntos. En consecuencia, e l mapa de Königsberg –en esencia

matemática– puede ser entonces reducido al siguiente diagrama, que es un ejemplo de

lo que se suele llamar un grafo:

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Un grafo, es una figura cuyas líneas o curvas (llamadas aristas), conectan pun-

tos o vértices. En consecuencia, la trayectoria de los puentes de Königsberg puede ser

reformulada como un g rafo, en e l cual las a ristas son recorridas una sola vez. En la

siguiente figura, los puntos rojos representan las áreas terrestres de Königsberg y las

curvas negras l os puentes. Este p roblema, por supuesto que puede ser resuelto me-

diante un estudio exhaustivo de todas las posibles trayectorias. Pero las matemáticas

se interesan en generalizar el problema y buscar una solución sencilla y válida para

todos los posibles mapas de ciudades, e incluso objetos más generales.

En función de la ubicación de cada uno de los vértices y de los puentes que los

conectan, Euler demostró que no existe solución a l problema de la t rayectoria de los

puentes de Königsberg.

Por l o general, usamos grafos en dos s ituaciones. En p rimer l ugar, ya que un

grafo es un modo muy conveniente y natural de representar las relaciones entre obje-

tos: representamos objetos por puntos l lamados vértices y la relación entre ellos por

líneas llamadas aristas. En muchas situaciones (problemas) una representación de este

tipo puede ser suficiente para ilustrar un problema.

Por ejemplo una molécula química puede representarse como un grafo donde

los vértices son los átomos que la componen y las aristas, los enlaces entre estos áto-

mos.

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36

Otro ejemplo puede ser la representación de un mapa, en particular, el mapa de

Colombia, donde los vértices representan los departamentos y cada arista une dos de-

partamentos si estos tienen una frontera común.

En segundo lugar, tomamos el grafo como el modelo matemático, solucionamos

el problema grafo-teórico apropiado, y luego interpretamos la solución en términos de

problema original.

La mayor parte de los problemas de la teoría de grafo pueden ser c lasificados

en:

1. Problemas de Existencia

• El problema de los siete puentes de Königsberg: Existe una trayectoria cerrada

que cruce cada uno de los siete puentes exactamente una vez?

• El problema del Caballo de Ajedrez: Existe una secuencia de los movimientos

del caballo tal que visite cada cuadrado de un tablero de ajedrez exactamente

una vez y regresando a la posición de partida?

• El problema de los Cuatro Colores: Puede colorearse todo mapa con cuatro co-

lores de modo que los países vecinos tengan colores diferentes?

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37

2. Problemas de Construcción

• Determinar si un grafo dado es euleriano y construir un camino euleriano (algo-

ritmo de Fleury).

3. Problemas de Enumeración

• Grafos etiquetados.

• Digrafos etiquetados.

• Árboles etiquetados.

4. Problemas de Optimización

• Problema de encontrar el camino mínimo entre dos vértices en dígrafo pesado.

• Problema del viajante de comercio

www.astrocosmo.cl/anexos/p-p_konigsberg.htm

www.personal.kent.edu/~rmuhamma/GraphTheory/MyGraphTheory/graphIntro.htm

http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/teoriaderedes/nocionesbasicas.html

EL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES consiste básicamente, en que

cualquier mapa puede ser coloreado solamente con cuatro colores distintos de tal ma-

nera que dos regiones adyacentes (es decir, que t ienen una frontera en común y no

sólo un punto) no tengan el mismo color. Aquí te ponemos un ejemplo con el mapa de

España. Si quieres puedes intentarlo tú, de otra manera o con otros cuatro colores

distintos con el mapa de España que está en blanco y que puedes imprimir con la hoja

de ejercicios que te ofrecemos más adelante.

• Aunque parece un problema no matemático, sin embargo lo es y su demostra-

ción no es nada sencilla, ha costado mucho esfuerzo y 125 años el conseguirlo.

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38

El comienzo

Como tantos otros problemas matemáticos, c omenzó

de una manera casual. En 1850 un inglés estudiante de

leyes, Francis Guthrie se entretenía intentando colo-

rear el mapa de Inglaterra utilizando la menor cantidad

de colores posibles e intentó hacerlo con sólo cuatro

colores sin conseguirlo, pero tenía la intuición de que

se podía hacer.

Le contó a su hermano Frederick su problema. Frede-

rick había e studiado c on un p restigioso m atemático

inglés de la época llamado De Morgan, que no supo

solucionar el problema. De Morgan le envió una carta

a Hamilton (otro matemático inglés importante) que

no abordó el problema.

El caso es que el problema de los cuatro colores empezó a adquirir fama de tal

forma que en 1878 el profesor Cayley lo propuso oficialmente a la London Mathema-

tical Society (una de las sociedades de matemáticos más importantes del mundo)

como un problema a resolver.

• Al poco tiempo A. B. Kempe propuso uona demos-

tración q ue p ublicó e n 1 879. E sta d emostración

fue, en p rincipio, a ceptada y d io m ucha f ama a

Kempe, hasta que Heawood descubrió en 1890,

11 años después, que la demostración de Kempe

tenía un error, Heawood siguió trabajando en el

problema pero no lo solucionó, sin embargo consi-

guió probar que con cinco colores si se podía colo-

rear cualquier mapa.

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39

También se supo que tres colores no eran

tes, de modo que sólo quedaba por probar o refutar

los cuatro colores.

El problema siguió dando vueltas. Algunos matemá-

ticos pensaron incluso, que no todo mapa se podía

colorear con cuatro colores.

La prueba

• ¡Por fin!, en 1976 Appel y Haken dieron una prueba del teorema. Demostra-

ron mediante un complicado programa de ordenador que, efectivamente cuatro

colores eran suficientes para colorear cualquier mapa .

• De nuevo surgieron objeciones. El proceso del ordenador, es decir los pasos in-

ternos del ordenador no podían seguirse ni comprobarse cuando la máquina los

hacía; y para verificarlos " a mano", eran tantos, que habría hecho falta toda

una v ida para realizarlos. De modo que a lgunos matemáticos han tenido mu-

chas reservas con respecto a esta demostración.

• Por ú ltimo, en 1996, Neil Robertson; Daniel P. Sanders; Paul Seymour y

Robin Thomas, de la Escuela de Matemáticas del Georgia Institute of

Technology de Estados Unidos, publicaron una nueva prueba que no tenía los

inconvenientes de la demostración de Appel y Haken.

Te proponemos algunos ejercicios Pese a que, como has visto, todo mapa

plano se puede colorear con sólo cuatro colores, la cosa no es nada fácil. Pue-

des intentarlo con los tres siguientes mapas. Si quieres, puedes hacer "click"

sobre uno de ellos y los obtendrás en el tamaño de una página, que puedes im-

primir para practicar. Ambos mapas

son d el libro: " Aventuras topológicas" de José Luis Carlavilla y Gabriel

Fernández, Ed. RUBES. Estos dos profesores de matemáticas españoles, tam-

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bién incluyen en su libro el siguiente ejemplo de un mapa que no se puede co-

lorear con menos de cuatro colores:

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LECTURA 4

Enseñar probabilidad en primaria y secundaria? ¿Para qué y por qué?

Liliana Jiménez M., José Rafael Jiménez F.

Resumen:

Programa de Maestría en Matemática Educativa

Universidad de Costa Rica "Cuando no está en nuestra mano determi-nar lo que es verdad, debemos actuar de acuerdo con lo que es más probable.''

Descartes

Este trabajo va dirigido a maestros y profesores de Matemática. En él se exponen

algunas reflexiones sobre la necesidad de abordar, en nuestros días, los conceptos de

incertidumbre y probabilidad en la educación primaria y secundaria. Además se propo-

nen algunos modelos de ejercicios que los introducen, con algunos comentarios didác-

ticos para orientar el proceso.

Por otra parte, se trata de provocar más discusión acerca de la importancia de enseñar

el tema de probabilidad a nivel tanto de secundaria como de primaria, ya que es reco-

nocido que en el ámbito costarricense, los objetivos de este tema son dejados de lado

con mucha frecuencia.

Palabras Clave: Incertidumbre, probabilidad, azar en la enseñanza.

Introducción

En los programas de estudio de Matemática para segundo y tercer ciclo, del Mi-

nisterio de Educación Pública de Costa Rica (M.E.P.), se incluye entre los contenidos

por estudiar, a lgunas nociones l igadas a l os temas de P robabilidad y Estadística. S in

embargo es conocido que en repetidas ocasiones estos temas no se cubren, al menos

en secundaria. Esto ocurre, entre otras razones, porque el tiempo lectivo que propone

el M.E.P. para cubrir los programas a veces resulta insuficiente. Esto último, aunado al

hecho de que dichos temas hasta el año 2003 no eran evaluados en las pruebas nacio-

nales de conclusión de ciclo, ha provocado que muchos profesores los dejen de lado.

Amén de esto, se puede agregar que muchos docentes no son conscientes de la impor-

tancia que puede tener para un estudiante poseer como parte de su cultura un buen

manejo de la noción de incertidumbre.

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Además, podemos decir que, respecto a la enseñanza secundaria, en Costa Rica

nos estamos quedando rezagados, en lo que al tema de probabilidad se refiere. Al ana-

lizar los planes de estudio vigentes se nota la balanza inclinada hacia los temas tradi-

cionales: aritmética, geometría, álgebra y las funciones. Solamente se considera en

octavo año el estudio de algunos elementos de estadística descriptiva elemental y en

primaria escasamente dos o tres nociones introductorias al tema.

Por esta razón nos hemos propuesto en este trabajo, en primer término, dilucidar

por qué es importante enseñar el tema de probabilidad, en la Sección 2. En las seccio-

nes siguientes se presentan unos modelos de ejercicios y situaciones, acompañados de

comentarios sobre cuándo presentarlos, cuáles intenciones l levan y qué conceptos se

trata de explotar en ellos; en la Sección 5 se proponen actividades para la primaria y

en la Sección 6 para la secundaria.

¿Por qué enseñar Probabilidad?

La matemática sirve para modelar situaciones que se presentan en campos de la

vida cotidiana a través de diferentes ciencias como la física, química, economía, biolog-

ía, etc.; además juega un papel importante en el desarrollo tecnológico. De esta mane-

ra el saber matemático se puede considerar como un instrumento con el que es posi-

ble, a través de otras ciencias, reconocer y transformar la naturaleza y la sociedad.

En las últimas décadas el hombre ha sido testigo del gran incremento en la cantidad de

avances científicos y tecnológicos en la sociedad moderna, en consecuencia, del cam-

bio que esto ha provocado en el desarrollo industrial, la organización económica y so-

cial de los países.

Sin embargo, al tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza, el hombre se

ha encontrado con que hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otras

que en cambio obedecen a un modelo aleatorio. Por ejemplo, en el caso de los científi-

cos sociales es más difícil descubrir principios fundamentales que respondan a la in-

mensa complejidad de los fenómenos que se proponen estudiar, que para los investi-

gadores de las ciencias naturales explicar las leyes de la caída libre. El fenómeno de la

"prosperidad'' nacional es aún más complicado. Además de los millones de voluntades

y glotonerías humanas que la esculpen, están de por medio los recursos naturales, las

relaciones con otras naciones, las perturbaciones causadas por la guerra, entre otras.

Sin embargo estas dificultades que agobian a los científicos sociales son parecidas a las

que algunas veces sufren los biólogos, por ejemplo cuando se trata de explicar el fun-

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43

cionamiento del cerebro humano o las leyes de la genética, o los físicos cuando tratan

de explicar el estado de las partículas atómicas y subatómicas de la materia.

Como lo señala Kline: "Afortunadamente, las ciencias sociales y las biológicas

han adquirido un método matemático, nuevo por completo, de obtener información

sobre sus fenómenos respectivos: el método estadístico. (...) Sin embargo, con el uso

de los métodos estadísticos, ha surgido también el problema de determinar la confiabi-

lidad de los resultados. Este aspecto de la estadística se t rata por medio de la teoría

matemática de la probabilidad.'' (Kline, 1998, pág 496)

Igualmente, al hacer la planificación de proyectos industriales o el estudio y control de

sistemas económicos complejos, el hombre se ha visto obligado a explorar y aprender

nuevos métodos que hagan más eficiente su manejo. E l desarrollo de estos métodos

también ha contribuido a un aumento de la actividad dentro de ciertos campos de las

matemáticas aplicadas, como por ejemplo, la Probabilidad, la Estadística, Teoría de

Colas, Teoría de Fiabilidad entre otras.

Así mismo se puede agregar, como lo expresa Wakely en el prólogo al libro de

J.C. Turner, Matemática moderna aplicada: probabilidades, estadística e investigación

operativa, el aumento de la capacidad de los computadores ha hecho factible su utili-

zación para explorar de una manera más amplia las implicaciones de los modelos ma-

temáticos en los diferentes campos económicos o tecnológicos. Continúa: "Como resul-

tado de ello, la industria (y en sentido amplio, la nación), necesita ahora de las ma-

temáticas, y del modo de pensar matemático, de una manera sin precedentes en la

historia. (...) Hoy en día un joven ejecutivo no puede considerarse a sí mismo persona

culta si no hace más que inclinar la cabeza ante estos métodos.''(Turner, 1981, pág 9)

Con todos estos cambios, la sociedad se ve inevitablemente obligada a adaptar y rees-

tructurar su sistema educativo, para cumplir con su compromiso de formar a los indivi-

duos que l a componen. Debe considerar que una persona que v ive en esta sociedad

moderna debe tener una idea más clara de aquellos fenómenos de carácter aleatorio,

ahora más que en el pasado, ya que se cuenta con más información acerca de cómo

los cambios en su vida se pueden ver influenciados por ello. Veamos algunos casos que

lo ilustran: Cada mañana cuando se dirige al trabajo, un individuo tiene la confianza de

que llegará. Sin embargo todos los días muchas personas salieron de sus casas y no lo

lograron; esto lo conduce a pensar en los riesgos que debe asumir y los eventuales

seguros que debe tomar. Al escoger el banco para sus operaciones un individuo espera

que éste tenga solidez; no obstante, todas las decisiones tienen alguna incertidumbre,

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44

que se refiere a aquellas situaciones que no se pueden controlar, pero que influirán en

el resultado. Si un joven decide iniciarse en el fumado, hoy día existe mucha informa-

ción que indica una medida sobre el riesgo de enfermar de cáncer.

Dacunha en su libro "Chemins de L`Aleatorie. Le hasard et le risque dans la so-

ciété moderne.'', señala que el azar ha sido un recurso que han utilizado algunas so-

ciedades para resolver diversas situaciones y que en nuestra época hasta se ha inten-

tado utilizar en la asignación de empleos. Agrega, hay que aprender a dudar, a reco-

nocer la incertidumbre, a saber que ella es parte del ejercicio de la ciudadanía. Los

ciudadanos deberían integrar a su juicio la dimensión de lo aleatorio, cuando se trata

de su responsabilidad individual y de la responsabilidad del estado.

De esta manera, específicamente en lo que se refiere a la enseñanza de la matemáti-

ca, al menos en el nivel de secundaria en nuestro país, se debe incluir en los progra-

mas el concepto de aleatorio. Además, enseñar un conjunto de teorías que den acceso

a los estudiantes a los elementos básicos de probabilidades, que le permitan tomar

decisiones en su vida cotidiana y contar con una formación mínima para que puedan

desarrollarse desde esa perspectiva en cualquier campo profesional o científico. "La

probabilidad tiene la enorme cualidad de representar adecuadamente la realidad de

muchos procesos sociales y naturales, y, por lo tanto, su conocimiento permite com-

prender y predecir mucho mejor el mundo en que vivimos'' (Pérez y otros, 2000, pág

15). Solo así se logrará cumplir con el compromiso de formar un individuo que pueda

manejar los conceptos básicos del siglo XXI.

Pinceladas de historia

Los primeros pasos en la teoría de las probabilidades fueron dados por el ma-

temático y médico i taliano Je rónimo Cardano (1501-1576). Se di ce que Cardano era

un jugador y que inclusive algunas veces estuvo en la cárcel a causa de sus trampas y

pillerías. Él decidió que s i iba a usar su t iempo en juegos de azar, aprovecharía para

aplicar la matemática y así sacaría provecho de su pasatiempo. Procedió a estudiar las

probabilidades de ganar en varios juegos de azar y publicó sus reflexiones de la mate-

ria en su libro "Liber De Ludo Aleae'' (El libro de los juegos de azar). "Este libro es un

manual del jugador, en el cual se enseña a hacer trampas lo mismo que a descubrir-

las''. (Kline, 1998, pág 518)

Más tarde, en 1653, otro jugador y matemático, el llamado Caballero de Méré, se

interesó por la relación entre la matemática y los juegos de azar. "De talento limitado,

remitió a Pascal a lgunos problemas sobre e l juego de dados. Y éste, en colaboración

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45

con Fermat, hizo avanzar un poco más el estudio de la probabilidad. Cardano resolvió

sólo unos cuantos problemas de p robabilidades; Pascal concibió toda una c iencia. Se

propuso reducir a un arte exacto, con el rigor de la demostración matemática, la incer-

tidumbre del azar, fundándose así una nueva ciencia que con justicia reclamaría para

sí el asombroso título de: las matemáticas del azar. Cardano, Pascal y Fermat llegaron

a la probabilidad pasando por los problemas de los juegos de azar.'' (Kline, 1998, pág

518)

Aunque esta teoría nace como una aplicación de la matemática a los juegos de

azar, su estudio se fue profundizando cuando se necesitaron otras aplicaciones. Esto se

puede observar en el trabajo de Laplace, con su problema de determinar la exactitud

de las observaciones astronómicas o en procesos de muestreo al aplicar algunos méto-

dos de la estadística, que introducen inevitablemente l a posibilidad de error. O en la

biología con Mendel, en sus trabajos de genética.

Todo trabajo científico depende de la medición, pero toda medición es aproxima-

da. Los científicos buscan minimizar las inexactitudes haciendo muchas mediciones de

una misma cantidad y luego tomando la media de las cantidades medidas. Pero aquí

cabe preguntarse, ¿cuán confiable es la media calculada de las mediciones reales?

Kline lo explica de esta manera. "Es deplorable la falta de certidumbre en algunas

fases del trabajo científico, pero esto no es un obstáculo insuperable. Muy poco de lo

que esperamos que nos ocurra en el porvenir es cierto. ¿Cómo se procede ante la in-

certidumbre? Descartes señaló el curso que seguimos todos, consciente o inconscien-

temente: "Cuando no está en nuestra mano determinar lo que es verdad, debemos

actuar de acuerdo con lo que es más probable.'' En nuestra evaluación diaria de pro-

babilidades, nos contentamos con estimaciones burdas, es decir, con só lo saber si la

probabilidad es alta o baja. Al cruzar una calle hay incertidumbre, pero la cruzamos

porque, sin hacer el cálculo respectivo, sabemos que es alta la probabilidad de sobre-

vivir a l hacerlo. Pero en e l trabajo c ientífico y en l as empresas de g ran envergadura

tenemos que hacerlo mejor. Ya no podemos aceptar estimaciones bastas, sino que

debemos calcular con exactitud las probabilidades, y aquí es donde entra en juego la

teoría respectiva.'' (Kline, 1998, pág 519)

La necesidad de una teoría de probabilidades surge cuando se estudian experi-

mentos donde interviene el concepto de incertidumbre. Por eso se propondrán algunas

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46

actividades que involucran juegos para acercar al estudiante a las nociones de incerti-

dumbre y probabilidad.

Algunas consideraciones generales para una propuesta didáctica

En las líneas anteriores se ha comentado la importancia que tiene la probabilidad

en el mundo moderno, tanto para el desarrollo científico como para la cotidianeidad de

cada persona. Se hace importante entonces considerar cuales son aquellos aspectos en

los cuáles se debe fijar la atención para lograr que las probabilidades se inserten en el

bagaje cultural de esta sociedad moderna. En Costa Rica, el estudio de las probabilida-

des se ha restringido fundamentalmente a las aulas universitarias, especialmente para

los estudiantes de matemática y las ciencias económicas. También estudian este tema

pero en menor grado los estudiantes de ciencias sociales y de ingeniería.

De aquí surge la necesidad de plantearse la inserción de la probabilidad en la

educación general básica y el ciclo diversificado. Por supuesto que esto plantea un re-

to, en el sentido de que será un conocimiento nuevo, y que como tal ofrecerá la resis-

tencia de los padres y de las autoridades.

En un primer momento se debe empezar a introducir, ampliar y desarrollar el

concepto de "ENSEÑANZA DE LA PROBABILIDAD''. Hace algunos años se desarrollaron

trabajos de investigación sobre la enseñanza del cálculo, la enseñanza del álgebra y de

la enseñanza de la geometría, haciendo un análisis histórico y metodológico. Le ha

llegado el momento a la enseñanza de la probabilidad.

Para desarrollar trabajos de investigación en torno a la enseñanza de la probabilidad,

es necesario que se planteen preguntas interesantes cuyas respuestas sea preciso de-

terminar para continuar el estudio de d icho t ema. Estas p reguntas deben referirse a

aspectos fundamentales y tener la amplitud y la profundidad necesarias para que sus

respuestas repercutan d irectamente en el desarrollo de l a enseñanza de l a probabili-

dad. Algunas posibles preguntas son:

1. Si se considera el marco filosófico en que se debe desarrollar la enseñanza de la

probabilidad, de acuerdo con la fi losofía de la ciencia y los aspectos históricos,

políticos, científicos y religiosos que estuvieron presentes en los orígenes de es-

ta ciencia, ¿cómo debe realizarse esa inserción en nuestra idiosincrasia?

2. Desde el punto de vista de la psicología del niño y de su desarrollo intelectual,

¿qué consideraciones se deben tener al enseñar probabilidades?

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3. ¿Debe enseñarse la probabilidad en forma aislada, o conviene integrarla con

otras ramas de la matemática como la teoría de números, la geometría, el

álgebra y la trigonometría?

4. Cuáles son aquellos conceptos matemáticos que tienen un carácter de herra-

mienta (Douady, 1995, pág 63) en el estudio de las probabilidades?

5. ¿Cuáles son los conceptos de probabilidades que deben enseñarse en primaria y

secundaria? y ¿en qué forma deben distribuirse?

6. ¿Qué características deben tener los materiales que sirvan de apoyo en el tra-

bajo de aula, tales como libros, dados, esferas, barajas, tablas, calculadoras,

software?

7. ¿Cuál es la formación que se debe brindar a los futuros profesores de probabili-

dades?

8. ¿Qué peso debe tener la probabilidad en los curriculos de matemática de se-

cundaria y de primaria?

En las dos secciones siguientes, se expondrán algunos ejercicios que al docente

le podrían servir de modelo para generar otras actividades tendientes a introducir al-

gunos de los conceptos de la teoría de las probabilidades y a desarrollar la noción de

incertidumbre. Para una mayor comprensión se d ividirán las actividades en: activida-

des para la escuela primaria y actividades para la escuela secundaria. Se procurará no

entrar en mucho detalle en cada actividad, sino plantearlas en forma general haciendo

consideraciones metodológicas para el profesor y adaptándolas al desarrollo intelectual

del alumno.

Actividades para la primaria

La escuela primaria debe ser el lugar donde el estudiante se enfrente por primera

vez a la probabilidad. Los docentes encargados deben tener la suficiente solidez en su

formación para poder desarrollar adecuadamente esta tarea --aunque pareciera que

son e llos quienes t ienen más deficiencias en su formación sobre p robabilidades--. Es

importante que éstos tengan un dominio básico de la aritmética, de las fracciones,

comprendan las operaciones básicas de la teoría de conjuntos, reconozcan si una va-

riable es cualitativa, discreta o continua, interpreten gráficas y tablas de datos, com-

prendan modelos sencillos de experimentos aleatorios y planteen distintas actividades

que ilustren esos modelos. Deben también los maestros, tener la capacidad de hacer

una ubicación histórica, sencilla pero cierta, de las probabilidades, además de una idea

clara de sus aplicaciones, de manera que éstas no resulten una amenaza para el en-

Universidad Nacional Abierta

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torno del estudiante, y se eliminen prejuicios. Esto último se podría lograr si se motiva

al alumno con actividades en forma de juegos, pero además, si se indica la importancia

de las probabilidades en el mundo actual, tales como los seguros, la salud, los nego-

cios o la asignación de empleos.

Una propuesta de actividades didácticas para la primaria

Utilizando colores

Actividad 1.

El maestro muestra a los alumnos cuatro bolas distintas solo en sus colores. Las

coloca en una ca ja y d ice a l os estudiantes que "sin ver'' s e seleccionará una

bola. Pero que antes quiere saber cuál bola piensan los estudiantes que saldrá.

Anota en la pizarra los distintos colores y al lado escribe el número de alumnos

que creen que ese color corresponde a la bola que saldrá seleccionada. Se reali-

za el experimento y se escuchan comentarios de los estudiantes acerca de por

qué razón se obtuvo ese color. En el momento de los comentarios es importan-

te que el maestro apoye aquellos que tienen un sentido relacionado con el azar

y rechace de una manera sencilla aquellos que tiendan a asignar motivaciones

no aleatorias en los resultados. Se devuelve la bola a la caja. Luego se repite el

experimento, sin hacer la primera parte, un número grande de veces (preferen-

temente un número múltiplo de cuarto, ya que en esta etapa no se van a calcu-

lar razones y se puedan comparar rápidamente las proporciones) y se va regis-

trando en la pizarra el número de veces que se obtuvo cada color. Finalmente

se comentan los resultados que se obtienen.

Actividad 2.

Se trata de repetir la actividad anterior pero con dos de las cuatro bolas de

igual color, es decir hay tres colores y cuatro bolas. Antes de realizar la primera

selección se debe notar si los estudiantes se dan cuenta que ahora hay un color

que "puede salir más veces''. Una vez realizado el experimento conviene escri-

bir en la pizarra a lgunos comentarios como "el color que estaba repetido salió

más veces ...'', "todos los colores salieron ...'', etc.

Actividad 3.

El maestro entrega a los a lumnos una hoja en la cual está descrito e l experi-

mento. Se tiene una caja con cinco bolas de diferentes colores: roja-verde-azul-

amarilla-negra. Se extrae una bola y se anota el color. ¿Cuál cree usted que

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saldrá? Si se realiza el experimento 20 veces ¿cree usted que hay alguna bola

que saldrá más veces?. Nuevamente, lo importante es considerar aquellos co-

mentarios que tienen un sentido relacionado con el azar.

Actividad 4.

El maestro entrega a los alumnos una hoja donde se describe el experimento:

Se tiene una caja con cinco bolas: cuatro rojas y una amarilla. Se pueden repe-

tir entonces p reguntas similares a l as anteriores y se puede pedir a l niño que

haga dibujos que ilustren su respuesta.

Comentarios de las actividades

En estas actividades se busca iniciar al alumno con experiencias aleatorias, de

manera que pueda decir cuáles son los posibles resultados y cuáles pueden ocurrir con

más frecuencia, usando recursos de fácil manejo y atractivos para el niño.

En las actividades 1 y 3 los eventos simples son equiprobables, mientras que en

la actividad 2 no lo son. En la actividad 4 el niño debe seguir el modelo de las activida-

des anteriores pero el experimento es mental, en el sentido que el texto le describe la

experiencia pero no tiene la presencia física de la caja con las bolas.

Combinando nombres

Actividad 1.

El maestro escribe en el pizarrón los nombres de cinco personas y pregunta a

los niños. "¿Si se quiere escoger un comité de tres personas que representen a

estos niños, de cuántas formas podemos hacerlo?''. Una vez que se han escu-

chado algunas opiniones se les pide que digan posibles escogencias y se van

anotando en la pizarra, teniendo el cuidado de que no queden repetidas. Es im-

portante que en algún momento de la actividad se establezca que el orden no

interesa, es decir que tres nombres en diferente orden representan el mismo

comité. En este caso un problema que se p lantea es cómo determinar cuando

se tienen todos los resultados posibles para garantizar que se tienen todas las

posibilidades. Si no se oyen sugerencias, conviene entonces que el profesor

plantee a l os estudiantes una técnica para formar estos comités. Una de e llas

podría ser fijar un nombre, y luego escoger el segundo y el tercero. Es muy im-

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portante que en este nivel el profesor no dé fórmulas, para que el alumno logre

construir resultados.

Actividad 2.

Otra actividad que conviene plantear como variante del caso anterior es aquella

donde se asignaría a cada uno de los miembros del comité una determinada ta-

rea que podemos llamar P=presidente, S=secretario y T=tesorero. Llamaremos

a estos grupos directivas. La fase donde se establecen los resultados podría ser

semejante a la realizada en la actividad anterior. Sin embargo conviene tam-

bién desarrollarla en e l sentido de que cada comité permite ob tener un c ierto

número de directivas; así el profesor podría pedir inicialmente a los estudiantes

que d igan cuáles d irectivas se pueden ob tener del comité formado por Mario-

Carmen-Ana. Se esperaría que el estudiante haga todas las ordenaciones posi-

bles con estos tres nombres y obtenga que el resultado es seis directivas. Ob-

serve que del grupo de cinco personas se podrían obtener sesenta directivas en

total. Tratar de obtenerlas todas tal vez sea difícil, lo importante es que los es-

tudiantes se den cuenta que en el caso de la actividad anterior e l orden en la

terna no importa, en cambio en esta actividad el orden de la terna sí importa.

Actividad 3.

El maestro les pide que formen grupos de tres personas y le entrega una hoja a

cada alumno. En ésta se indican seis nombres y se les pide que determinen

cuantos comités de cuatro personas se pueden formar con esas seis personas.

La idea es que el alumno solo diga cuántos. El diagrama de árbol funciona bien

en este caso.

Actividad 4.

Una vez realizada la actividad anterior conviene que los alumnos establezcan el

número de directivas de cuatro personas que se pueden formar de esas seis

personas.

Actividad 5.

Otra actividad que se puede desarrollar es pedir a cuatro alumnos que se colo-

quen frente al grupo uno al lado del otro. Una vez allí se les pide que se orde-

nen de distintas formas. Otro alumno escribiría en la pizarra cada uno de los re-

Universidad Nacional Abierta

51

sultados. Se esperaría que puedan establecer el resultado para la siguiente in-

terrogante. "¿De cuántas formas se pueden ordenar cuatro personas?''

Luego el profesor podría p lantear las preguntas: "¿De cuántas formas se pue-

den ordenar cinco personas?'' "¿De cuántas formas se pueden ordenar seis per-

sonas?''

Conviene que el grupo generalice un método para poder contestar esas pregun-

tas para cualquier número de alumnos.

Comentarios de las actividades

Las técnicas de conteo permiten al estudiante reconocer un universo de eventos

donde debe trabajar. Este es un elemento necesario para que él pueda l legar a esta-

blecer una asociación entre un determinado evento y una medida de la incertidumbre.

En espacios de probabilidad discretos, para asignar una medida a la incertidumbre de

un cierto fenómeno aleatorio, se requiere determinar el número de eventos favorables

entre la totalidad de eventos posibles.

De esta manera se hace necesario desde la primaria introducir a los estudiantes a

las diferentes técnicas de conteo, aunque no se llegue a formalizar la teoría. Así se irán

desarrollando las estructuras mentales necesarias para etapas posteriores donde sí se

requiere de la formalización de resultados, trabajo que por cierto algunos investigado-

res han señalado como difícil de enfrentar para los estudiantes.

André Antibi, en su libro Didácticas de las Matemáticas. Métodos de Resolución de Pro-

blemas[1], se refiere a esta problemática. Muestra el grado de dificultad que presen-

tan, tanto para profesores como estudiantes desde los liceos, los problemas de conteo.

Señala que dichos problemas tienen al menos dos puntos en común: a menudo no se

está seguro de su resultado y por otro lado muchas veces resultan difíciles.

Con las actividades mostradas en esta sección, se busca que el alumno se inicie en

técnicas de conteo y a la vez que en el proceso se institucionalice --desde el punto de

vista de la teoría de las situaciones de Brousseau-- un procedimiento que éste pueda

utilizar, además de distinguir las condiciones en las cuáles se aplica.

Usando dados

El uso de los dados en la escuela primaria plantea el inconveniente que el alumno

confunde el nombre del evento con l a f recuencia de la ocurrencia. Así, puede ocurrir

que si se lanza un dado el alumno crea que un 5 puede obtenerse con frecuencia cinco

sobre seis. Es por esto necesario que se t rabaje con dados que tengan en sus caras

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52

colores, dibujos de animales, ciudades, países, palabras, alimentos, hábitos, activida-

des, etc. Esto permitiría al maestro desarrollar actividades donde el niño lance el dado

y pueda realizar una actividad complementaria. Por ejemplo, si sale "Argentina'', decir

cuál es la capital. O si sale "dormir'' el niño simula que duerme y el maestro aprovecha

para hacer un comentario sobre la importancia del sueño. Así aparece el dado y el azar

como un recurso del aula que permite utilizarse en otras actividades. Es importante

también desarrollar actividades como "lance dos dados y diga el resultado de multipli-

car los dos números de las caras''.

Comentarios generales de las actividades propuestas

• En general, no es necesario que en primaria se den definiciones de términos o

se enuncien resultados formalmente. Más bien conviene ofrecer al alumno acti-

vidades que le permitan desarrollar las estructuras mentales necesarias que lo

lleven a comprender los conceptos de las probabilidades.

• Conviene trabajar con atributos de cosas o personas, de manera que la fre-

cuencia de que ocurra un evento no se confunda con el evento mismo.

• El maestro puede proponer actividades como "dibuje los resultados posibles'' o

"coloree las distintas formas en que puede ocurrir'', para asegurarse que el niño

está entendiendo el proceso.

• El profesor debe p lantear actividades que puedan realizarse en grupos peque-

ños y que luego puedan ser analizadas en general.

• Lo importante es que el alumno desarrolle técnicas y métodos para resolver dis-

tintos problemas y no que utilice fórmulas.

• Es muy importante que el maestro planifique las actividades integrando otras

áreas del currículo.

• La improvisación de actividades en el aula debe evitarse pues puede caerse en

resultados de difícil manejo.

• Es i mportante t ener s iempre p resente, " que la c aracterística c omún d e l os

fenómenos que estudia la probabilidad es que en ellos se observa la ocurrencia

de a lgo ( ...), y en este contexto, experimentar equivale a observar.'' (Pérez y

otros, 2000, pág 31)

Actividades para la secundaria

Se propone que se enseñen los siguientes contenidos agrupados de la siguiente

manera:

1. Técnicas de conteo y análisis combinatorio.

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53

2. Cálculo de probabilidades de variables aleatorias discretas.

3. Cálculo de probabilidades de variables aleatorias continuas.

El tema 1 se puede desarrollar en sétimo y octavo, el tema 2 en noveno y décimo,

y el tema 3 en undécimo año.

Una propuesta de algunas actividades didácticas para la secundaria

En esta sección se presentarán modelos de ejercicios i lustrativos para introducir

el tema de probabilidades en secundaria. No se va a entrar en detalles en éstos, por-

que alargaría demasiado la exposición, dada la densidad del tema.

La idea es que en este nivel, aprovechando los conceptos y habilidades que traen

los estudiantes de primaria, se vayan introduciendo las definiciones y teoremas nece-

sarios para la comprensión de la teoría de probabilidades, formalmente.

Es muy importante dejar claro, en las primeras discusiones, que los fenómenos estu-

diados por la probabilidad cumplen con las siguientes características:

1. Se conocen todos los posibles resultados antes de realizar el experimento.

2. No se sabe cuál de l os posibles resultados se obtendrá en un experimento en

particular.

3. experimento puede repetirse. (Pérez y otros, 2000, pág 31)

Técnicas de conteo

Actividad 1.

El profesor divide al grupo en subgrupos de cuatro estudiantes.

Les pide a los alumnos que asignen cargos a cada uno de los miembros del gru-

po:

P = presidencia, S = secretaría, F = fiscalía, T = tesorería.

Cuando ya hayan hecho la asignación de cargos, l es p ide que den ot ra nueva

asignación.

Después de que todos los grupos ya hicieron la asignación les pide que hagan

todas las posibles asignaciones, es decir que escriban todas las posibles formas

de asignar los cargos.

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54

Una vez que todos los grupos consideren que finalizaron el trabajo se hace una

comparación del número de resultados que todos los grupos hicieron.

Se debe establecer un resultado general.

Actividad 2.

El profesor muestra a los a lumnos una caja con tres bolas d istintas solo en el

color --R: roja, B: blanca, A: amarilla--. Pide a un estudiante que seleccione

una bola, anota la letra que corresponde al color. Devuelve la bola. La acción se

repite dos veces más. El profesor dice a sus a lumnos que este t ipo de experi-

mento se denomina "tres extracciones con reemplazo''. Luego les dice: "Escri-

ban en sus cuadernos todos los tipos de resultados que se podrían obtener''.

Cuando ya los hayan realizado, pregunta: "¿Cuántos resultados se obtuvieron?''

Conviene que aquellos estudiantes que no obtengan una respuesta correcta re-

visen cuáles consideraciones no hicieron.

Cálculo de probabilidades de variables aleatorias discretas

Actividad 1.

1. Se asignan dos números distintos entre 1 y 6 a cada uno de tres estudiantes.

Por ejemplo: Estudiante A: 1 y 4. Estudiante B: 2 y 5. Estudiante C: 3 y 6.

Se divide en tres pasos.

Un estudiante lanza un dado. Se asigna un punto a aquel estudiante que tiene

el número que t iene l a cara superior del dado. E l ganador del j uego es aquel

que logre primero sumar 5 puntos.

2. Se les pide que repitan el juego tres veces. (Pueden cambiar de números si lo

desean)

3. Se entrega una hoja con las siguientes preguntas:

i) Antes de lanzar el dado, ¿cuál de todos los jugadores tiene mayor posibilidad de

obtener el punto?

ii) ¿Cuál es el número mínimo de veces que se debe lanzar el dado para obtener un

ganador?

iii) ¿Cuál es el número máximo de veces que se debe lanzar el dado para obtener un

ganador?

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55

Actividad 2.

Se escriben los números 1, 2, 3 en un papel. En otro se escribe 4, 5 y el 6 en

otro papel. Cada estudiante selecciona un papel de modo que obtenga una

asignación de números: Estudiante A: 1, 2, 3. Estudiante B: 4, 5. Estudiante C:

6.

Se repite el juego de la actividad 1 con las mismas reglas. Se agrega una pre-

gunta:

iv) ¿Por qué considera que se obtuvo este ganador?

Actividad 3.

1. Anote cuáles son los resultados que se pueden obtener.

Se lanza un dado numerado del 1 al 6 y se observa el número de la cara supe-

rior.

2. Interesa observar si el número obtenido es múltiplo de 3. ¿Cuáles resultados

son favorables a este suceso?

3. Analice el siguiente resultado: "El número obtenido es un divisor de 30'' ¿Cuál

fue ese número?

4. ¿Es posible el siguiente suceso: "El número obtenido es un múltiplo de 7''?

5. Cuando un suceso no ocurre con ningún resultado se llama "evento imposible''.

Dé un ejemplo de otro evento imposible.

6. ¿Puede obtenerse un número que sea par y menor que 5? Indique con cuáles

resultados ocurre este suceso.

Actividad 4.

Hay cuatro jugadores que tienen un cartón con números y lanzan según su turno dos

dados. Si el total de los dados es un número del cartón el jugador coloca una ficha so-

bre éste y continúa otro jugador. Gana aquél que complete una f ila o columna antes

que los otros jugadores.

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56

Es importante que e l estudiante conjeture con cuál de los cartones podría tener más

éxito. Para esto el profesor debe orientarlo para que analice la probabilidad de que se

obtenga cada uno de los números y también observe su correspondiente posición en el

cartón. No es lo mismo que aparezca en un cartón una fila o columna con el 6, 7 y 8,

que tener estos mismos números desordenados en el cartón. o que no aparezcan estos

números del todo.

Actividad 5.

de l a

suma de las caras superiores.

Suponga que se tienen dos dados que se lanzan para anotar el total

1. ¿Es posible obtener ó ? Explique.

2. Escriba todos los resultados posibles que se pueden obtener.

3. ¿De cuántas formas distintas se puede obtener ?

4. Complete la primera tabla (la tabla cruzada), escribiendo en cada casilla

el total, , que se obtiene al sumar los números que corresponden a la

fila y a la columna. En la segunda tabla, escriba el número de veces que

ocurre (la frecuencia ), usando sus resultados en la tabla 1:

7 9 5

8 * 3

6 10 4

6 9 7

4 * 3

10 11 12

8 5 7

3 * 10

4 11 2

11 9 12

3 * 10

2 4 5

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57

5. Suponga que se van a lanzar dos dados. Hay tres jugadores y usted debe esco-

ger de primero un número de los posibles que se obtendrían al sumar. Cada ju-

gador escoge un número distinto. Ganará aquél que tiene el número que sale

en la suma.

i. ¿Cuál número escogería usted? Explique.

ii. Si antes que usted los otros jugadores escogieron el 7 y 8, ¿cuál escoger-

ía usted? Explique.

Actividad 6.

• Punto cardinal por donde saldrá el sol mañana.

Definición "Un fenómeno es aleatorio si se conocen todos los resultados posi-

bles, pero no se puede decir con seguridad cuál de ellos ocurrirá en un caso

particular'' (Pérez y otros, 2000, pág 27)

Indique si los siguientes sucesos son aleatorios.

• El marcador de un partido de fútbol antes de que inicie el partido.

• Lado por el que circulan los automóviles en una carretera de dos vías en

Costa Rica.

• El artículo que se compró resultó defectuoso.

• Color de la luz en un semáforo que sigue después del color verde.

1 2 3 4 5 6

1

2 5

3

4

5

6 11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

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58

• El resultado de un dado que se lanza.

• Que un fumador muera de enfisema pulmonar.

Dé un ejemplo de:

a) Una situación de la vida cotidiana cuya ocurrencia dependa del azar.

b) Un hecho científico cuya ocurrencia es aleatoria.

c) Un hecho de la vida cotidiana cuya ocurrencia parece ser aleatoria pero no lo

es.

d) Un hecho científico cuya ocurrencia parece ser aleatoria pero no lo es.

Conclusión

Una manera de contribuir a mejorar la enseñanza de la teoría de las probabilida-

des en nuestro país, es por medio de la investigación. Las interrogantes planteadas en

la Sección 4 de este trabajo deberían desarrollarse en proyectos de investigación o

acción social, o bien, en tesis de licenciatura o maestría, dada la necesidad de aclarar

dichos puntos.

Por otro lado, si se busca que una propuesta acerca de profundizar más en la en-

señanza de la teoría de las probabilidades en Costa Rica tenga éxito, es indispensable

que las instituciones de educación superior tomen el asunto en sus manos, tanto apo-

yando investigaciones como las que se proponen en este trabajo, como con la labor de

impulsar planes de capacitación en dos direcciones: una para formar a los docentes

que nunca estudiaron los temas de Probabilidad y Estadística; otro que ayude a refres-

car a los que olvidaron estos temas.

Además, se hace necesario incluir cursos específicos de Probabilidades en el plan

de estudios de los maestros de primaria en el que se brinde todo lo necesario para que

se desenvuelvan con soltura. Así mismo, es importante tener en consideración que el

futuro maestro o profesor se forme también en cuanto a la historia de la matemática,

en este caso, específicamente en el área de la Probabilidad. Deben conocerse los prin-

cipales aportes de los matemáticos en este campo, cuáles problemas se estudiaron y

de qué manera los enfrentaron, ya que esto podría facilitar su comprensión.

Por último, dado que la Teoría de Probabilidades clásicamente usa el lenguaje de

la Teoría de Conjuntos, es importante que esta última se retome en los planes de es-

tudio de matemática, tanto en la formación de docentes como en los programas oficia-

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59

les. El estudio conjunto de algunos conceptos podría ser beneficioso para los estudian-

tes.

Bibliografía

1. Antibi, A. (2000) "Didáctica de las Matemáticas. Métodos de Resolución de Proble-

mas''. Editorial de la Universidad de Costa Rica, Serie Cabécar, San José, pág. 128-

147.

2. Brousseau, G. (1986) "Fundamentos y métodos de la didáctica de las matemáti-

cas'', Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 7, N , pág. 33-115. Tra-

dución al español por Centeno, J.; Melendo, B.; Murillo, R.

3. Dacunha-Castelle, D. (1996) Chemins de L'Aleatorie. Le Hasard et le Risque dans la

Société Moderne. Flammarion, Paris

4. Douady, R. (1995) "La ingeniería didáctica y la evolución de su relación con el co-

nocimiento'', Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Un esquema para la

investigación y la Innovación en la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas.

Gómez P., editor. Grupo Editorial Iberoamérica, Bogotá, pág. 61-96.

5. Kline, M. (1998) Matemáticas para los Estudiantes de Humanidades. Consejo Na-

cional de Ciencia y Tecnología, Fondo de Cultura Económica, México.

6. Ministerio de Educación Pública (C.R.). (2001) Programa de Estudios, Matemática,

II Ciclo. Imprenta Nacional, San José.

7. Pérez, B . R .; Castillo, A.; De l os Cobos, S. (2000) Introducción a la Probabilidad.

Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, México.

8. Turner, J. C. ( 1981) Matemática Moderna Aplicada. Probabilidades, Estadística e

Investigación Operativa. Versión española de Andrés Ortega. Alianza Editorial, Ma-

drid.

9. Sitio Web: almez.pntic.mec.es/-agos0000/cardano.html, 15 de abril, 12:00 m.d.

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60

LECTURA 5.

Nociones Básicas

GRAFOS (REDES Y CIRCUITOS) http://www.um.es/mataplic/fguil/tema3-grafos.doc

4.1.- DEFINICIONES BÁSICAS

Un grafo G es un p ar (V,E) donde V es un conjunto (llamado conjunto de vérti-

ces) y E un subconjunto de VxV (conjunto de aristas).

Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que

los unen.

Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2

vértices.

Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|.

Si |V| es finito se dice que el grafo es finito. En este curso estudiaremos los gra-

fos f initos, centrándonos sobre todo en grafos no d irigidos. También supondremos, a

no ser que se diga lo contrario, que entre dos vértices hay, como mucho, una arista y

que toda arista une dos vértices distintos.

Aristas

Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o {b,a}, siendo a

y b los vértices que une.

Si {a,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.

Vértices

Dos vértices v, w se d ice que son adyacentes’ si {v,w}∈A (o sea, si existe una

arista entre ellos)

Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Se

dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su grado.

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61

Caminos

Sean x, y ∈ V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión

finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este caso

- x e y se llaman los extremos del camino

- El número de aristas del camino se llama la longitud del camino.

- Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.

- Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simple

entre ellos.

- Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o

camino cerrado.

- Llamaremos ciclo a un circuito simple

- Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos.

Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Ejemplos de Grafos

1.- Grafo regular: Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado

es k lo llamaremos k-regular.

Por e jemplo, e l primero de l os s iguientes grafos es 3-regular, e l segundo es 2-

regular y el tercero no es regular

2.- Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos

disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo

conjunto

Ejemplo.- de los dos grafos siguientes el primero es bipartito y el segundo no lo

es

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62

3.- Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Un grafo

completo con n vértices se denota Kn.

A continuación pueden verse los dibujos de K3, K4, K5 y K6

Todo grafo completo es regular porque cada vértice tiene grado |V|-1 al estar

conectado con todos los otros vértices.

Un grafo regular no tiene por qué ser completo.

4.- Un grafo bipartido regular se denota Km,n donde m, n es el grado de cada con-

junto disjunto de vértices.

A continuación ponemos los dibujos de K1,2, K3,3, y K2,5

4.2.- PRIMEROS RESULTADOS SOBRE GRAFOS

Proposición.- La suma de los grados de los vértices es igual al doble del número

de aristas

Demostración

Al realizar la suma de los grados de todos los vértices, como cada arista tiene 2

extremos se cuenta exactamente 2 veces. Por tanto la suma de los grados de los vérti-

ces es igual al doble del número de aristas

Definición (matriz de adyacencia de un grafo)

Sea G un grafo de orden n. Llamaremos matriz de incidencia de G a la matriz nxn

que llamaremos A = (aij) donde aij = 1 si {i,j}∈A y aij = 0 en otro caso.

La matriz de adyacencia siempre es simétrica porque aij = aji

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63

Ejemplo:

Teorema.- Sea G un grafo de n vértices con n > 1 y sea A su matriz de adya-

cencia. Se cumple que el valor del coeficiente aijk de la matriz Ak es igual al número de

caminos de longitud k con extremos vi y vj

Demostración

Por inducción en k

Para k = 1 es la definición de A

Supongamos que es cierto para k y vamos a verlo para k+1.

La casilla (i,j) de Ak+1 es el producto de la fila i de Ak por la columna j de A, es

decir, si llamamos (a, b, c,...) a la fila i de Ak y (a’, b’, c’,...) a la columna j de A, en-

tonces la casilla (i,j) de Ak+1 es aa’ + bb’ +......

El número de caminos de longitud k+1 de i a j que pasan en último lugar por el

vértice 1 será 0 si no hay arista de 1 a j o bien coincidirá con el número de caminos de

longitud k de i a 1 si existe arista de 1 a j. En resumen, como el número de caminos de

i a 1 es el primer elemento de la fila i de Ak, y el primer elemento de la columna j de A

vale 1 ó 0 dependiendo de si hay o n o arista de 1 a j , tendremos que el número de

caminos de longitud k+1 de i a j que pasan en último lugar por el vértice 1 será siem-

pre aa’.

De manera análoga el número de caminos de longitud k+1 de i a j que pasan en

último lugar por el vértice 2 será siempre bb’, y así sucesivamente.

El número total de caminos de longitud k+1 de i a j será la suma de todos los

anteriores, es decir, aa’+bb’+cc’+...., es decir, el elemento (i,j) de la matriz Ak+1

.

Nota.- Si existe un camino de longitud m (m ≥ n) entre 2 vértices cualquiera,

entonces existe un camino de longitud ≤ n-1 entre esos dos vértices.

v1 v2 v3 v4 v5 v1 0 1 1 0 0 v2 1 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 1 v4 0 1 1 0 0 v5 0 0 1 0 0

v1 v2 v3 v4 v5

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64

Definición.- Un grafo G se dice conexo si cada par de vértices está unido al me-

nos por un camino.

Definición.- La relación entre vértices dada por v está relacionado con w si hay

un camino que los une es de equivalencia. Las clases de equivalencia de esta relación

se llaman las componentes conexas del grafo.

Nota.- Un método para comprobar si un grafo es conexo es el siguiente:

- Se halla la matriz de adyacencia y se eleva a la n-1-ésima potencia

- Se calcula la suma de las potencias de A hasta A

- Si todos sus elementos son ≠ 0, el grafo es conexo.

n-1

Definición.- Una arista de un grafo G se dice de separación si G es conexo pero

al suprimir la arista se divide en dos componentes conexos

Definición.- Dados dos grafos G=(V,E) y G´=(V´,E´), se denomina isomorfismo

entre G y G´ a cualquier aplicación biyectiva f:G → G’ ta l que s i a, b ∈ V, entonces

{a,b}∈E ⇔ {f(a),f(b)}∈E´.

Es decir, es una aplicación biyectiva entre los vértices de V y los de V´ de modo

que los vértices conectados s iguen estándolo. En este caso, d iremos que G y G´ son

isomorfos.

Si G y G’ son isomorfos son matemáticamente iguales y solo varía la apariencia,

o sea, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, nº de vértices,

nº de aristas, etc.

4.3.- GRAFOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS

Grafos eulerianos

Llamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del

grafo, apareciendo cada una exactamente una vez.

Un c iclo euleriano es un camino euleriano que comienza y acaba en el mismo

vértice.

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Definición.- Un grafo que admite un ciclo euleriano diremos que es un grafo

euleriano.

Ejemplo:

1)

2) Si un grafo es isomorfo a un solo ciclo, siempre tiene ciclo euleriano

Proposición.- Si un grafo está formado por dos subgrafos eulerianos unidos a l

menos por un vértice y sin aristas en común, entonces es euleriano

Demostración

Empezamos por uno de los vértices en común, v. Partiendo de él podemos reco-

rrer el primer subgrafo con un ciclo euleriano, volviendo al vértice de partida.

Ahora recorremos el segundo subgrafo con su ciclo euleriano. La unión de estos

dos ciclos vuelve a ser un ciclo que recorre todas las aristas exactamente una vez, por

tanto es un ciclo euleriano de todo el grafo.

Nota.- Lo mismo ocurre con una unión finita en las condiciones anteriores

Teorema.- Un grafo conexo G=(V,A) es euleriano ⇔ todo vértice tiene grado

par.

Demostración:

“⇐“ (por inducción en |A|=m)

El menor número posible de aristas es 3 . En este caso el grafo es un t riángulo

que es euleriano.

Suponemos que el teorema es cierto para grados en las mismas condiciones y

con menos de m aristas. Tenemos un grafo G con todos los vértices de grado par, da-

do que G es conexo ⇒ ∀v ∈ V, gr(v) > 0. Empiezo por un vértice v cualquiera y voy

recorriendo el grafo mientras pueda, con la condición de no repetir nunca arista.

Si llego a un vértice w que no sea el del principio, puede pasar que no haya pa-

sado antes por él o que no sea la primera vez que pase por w.

1 2 El primero no tiene ciclos ni caminos eu-leriano,

8 5 3 El segundo tiene ciclo euleriano 6 4

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En el primer caso, la única arista elegida es la que haya usado ahora para llegar

a w

En el segundo caso, cada vez que haya pasado antes por w habré escogido dos

aristas (una para llegar y otra para salir) y, finalmente, habré escogido una más para

llegar esta última vez a w.

En cualquiera de los dos casos, he cogido un número impar de aristas en w. Co-

mo w tiene grado par, tiene que haber alguna que no haya cogido todavía. En conse-

cuencia, puedo seguir recorriendo el grafo.

Como el número de aristas es finito, l legará un momento en que tenga que pa-

rarme, es decir, llegará un momento en que al llegar a un vértice no pueda seguir por-

que ya haya elegido todas las aristas que había en ese vértice. Por lo que hemos dicho

antes, en ese momento debo estar de vuelta en el vértice v y hemos construido un

ciclo.

Consideremos el subgrafo formado por el ciclo anterior que es claramente eule-

riano.

Si ese subgrafo tiene todas las aristas del grafo, el grafo original coincide con el

subgrafo, por lo que G es euleriano.

En otro caso, consideremos el subgrafo formado por las aristas que no hayamos

elegido. Este subgrafo tiene un número menor de aristas que G. Además, el grado de

los vértices ha de seguir siendo par. En efecto, el grado de los vértices será el grado

original (que era par), menos las aristas que hayamos quitado. Pero, como lo que

hemos quitado es un c iclo, e l número de aristas que quitamos en cada vértice es un

número par ( igual a dos veces e l número de ocasiones en que e l c iclo pase por ese

vértice). En consecuencia, el grado de cada vértices es ahora par - par = par. Des-

componiendo en componentes conexas, tendremos ahora una unión disjunta de grafos

que, por el principio de inducción, deben de ser eulerianos.

Ahora b ien, la unión de estos grafos es G que era conexo, así que deben tener

vértices en común. Pero ya vimos que la unión de grafos eulerianos sin aristas en

común y unidos por vértices es euleriano.

“⇒” Como todas las aristas están una vez y sólo una en el ciclo, el grado de un vértice

es el número de aristas del ciclo que pasan por él. Si recorremos el ciclo, cada vez que

pasamos por un vértice tendremos dos aristas (una de l legada y otra de salida). Por

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tanto el grado de cada vértice será dos veces el número de ocasiones que pase por él

el ciclo euleriano. En consecuencia el grado es par

Proposición.- Un grafo conexo tiene un camino abierto euleriano ⇔ tiene exac-

tamente dos vértices de grado impar.

Demostración

“⇐” Añadimos un nuevo vértice junto con dos aristas que lo unan a los dos vérti-

ces que tenían grado impar. Ahora estos vértices, al haberles añadido una arista a ca-

da uno, tienen grado par y el nuevo vértice tiene grado 2, por tanto, todos los vértices

son de grado par. Por el teorema anterior, tendremos un ciclo euleriano. S i en d icho

ciclo quitamos ahora el vértice y las dos aristas que habíamos añadido, obtendremos

un camino abierto que contiene exactamente una vez a cada arista de nuestro grafo

original.

“⇒” La demostración es similar a la del teorema de Euler.

Algoritmo de Fleury

Si G es un grafo euleriano siempre es posible seguir la siguiente construcción de

un circuito euleriano. Se empieza por un vértice arbitrario y se recorren las aristas ar-

bitrariamente sometida a dos condiciones:

1) Se borran las aristas a medida que son atravesadas

2) Solo se recorre una arista de separación si no queda otra alternativa

Caminos hamiltonianos

Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo

sin pasar dos veces por el mismo vértice. Si el camino es cerrado se dice un ciclo

hamiltoniano

Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano.

Nota.- A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de cuan-

do un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano

Teorema.- Si un grafo es conexo con |V|≥3 y para cada par de vértices la suma

de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es hamiltoniano.

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Problema del vendedor ambulante

En un grafo G con pesos se pretende encontrar un ciclo que pase por todos los

vértices de forma que la suma de los pesos de las aristas escogidas para formar el ci-

clo sea lo menor posible.

4.4.- ÁRBOLES

Definición.- Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos.

Ejemplos: Los dos grafos siguientes grafos son árboles:

Mientras que el siguiente no lo es

Nota.- Por tanto, un grafo es un árbol ⇔ entre cada par de vértices existe un

camino y sólo uno.

Definición.- Un grafo se dice un bosque si sus componentes conexas son árbo-

les.

Teorema.- Sea G(V, E) un grafo. Son equivalentes

a) G es un árbol

b) Cada par de vértices distintos de V esta conectado por un único camino.

c) G es conexo y toda arista de G es de separación

d) G no tiene ciclos y |V| = |E| + 1

e) G es conexo y |V| = |E| + 1

f) G no tiene ciclos pero al añadirle una arista a G se crea un único circuito

Demostración

“a⇒b” Por definición de árbol, G es conexo y entre cada par de vértices debe

haber, al menos, un camino. Si hubiese dos caminos distintos uniendo dos vértices, su

unión formaría un ciclo, pero los árboles no tienen ciclos

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“b⇒c” Es conexo porque cada par de vértices está conectado por un camino. Una

arista es un camino entre dos vértices, por tanto es el único. Si quito esa arista, ya no

hay caminos entre los vértices que unía y el grafo deja de ser conexo. Por tanto toda

arista es de separación.

“c⇒d” G no puede tener ciclos porque las aristas de los ciclos no son de separa-

ción

Veamos que |V|=|E|+1 por inducción en |V|

Para |V|=1 hay un único vértice v ⇒ |A| = 0 y |V| = |A| + 1

Supongamos que el teorema es cierto para grafos con menos de n aristas y va-

mos a verlo si n = |A|.

Quito una arista e, que será de separación, y el grafo se parte en dos componen-

tes conexas G1 = (V1, E1) con |V1| < n y G2 = (V2, E2) con |V2| < n.

Por la hipotesis de inducción |V1| = |E1| + 1, |V2| = |E2| + 1, luego |V| = |V1| +

|V2| = (|E1| + +|E2| + 1) + 1 = |E| + 1

“d⇒e” Veamos que G es conexo. Si no lo fuera, lo parto en componentes co-

nexas, G1,..., Gm. Cada una de ellas es conexa y sin ciclos, por lo que |V1| = |E1| + 1,

..., |Vm| = |Em| + 1. Pero entonces |V| = |V1| +...+ |Vm| = |E1| + 1 +.....+ |Em| + 1

= |E| + m en vez de ser |E|+1.

“e⇒f” Suponemos que existe un ciclo (con k aristas y k vértices) y vamos a llegar

a una contradicción. Pueden suceder 2 casos

1) k = n, |E| ≥ k = n, n = |V| p ero por la hipótesis |V| = |E| + 1 luego |V| >

|E|

2) los n - k vértices restantes necesitan al menos otras n - k aristas que les unan

con los demás para que G sea conexo, pero entonces |E| ≥ k + (n - k) = n = |V| pero

por hipótesis |V| = |E| + 1

“f⇒a” Si G no fuese conexo, habría dos vértices entre los que no habría ningún

camino. Entonces al añadir una arista entre ellos no formaríamos ningún ciclo

Definición.- Sea G un grafo, un árbol generador de G es un subgrafo conexo de

G que tiene los mismos vértices que G y no tiene circuitos

Nota.- Un árbol generador se puede crear de 2 modos:

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70

1) Suprimir aristas que no sean de separación

2) Partiendo de los vértices coger aquellas aristas de forma que no creemos

ningún circuito

Supongamos que a cada arista se le asocia un número positivo (su peso). Un

árbol generador se dice de peso mínimo si la suma de los pesos de las aristas que lo

componen es lo menor posible

Para calcular el árbol de peso mínimo existen 2 algoritmos:

- Kruskal: Se van cogiendo las aristas de menor peso hasta conseguir un árbol

de peso mínimo

- Prim: Consiste en ir borrando las aristas de mayor peso posible y que no sean

aristas de separación.

Puede haber más de un árbol generador de peso mínimo, pero todos deben tener

el mismo peso.

Definición.- Un árbol con raíz es un árbol con un vértice distinguido llamado

raíz.

Si le quitan la raíz quedan árboles con raíz T1,T2,...

En este t ipo de árbol los vértices se llaman nodos. Se llama hijo de un nodo a l

vértice adyacente que esta más alejado de la raíz que el nodo del que es hijo. Los no-

dos sin hijos se llaman hojas.

Un árbol se dice n-ario cuando todos los nodos excepto los terminales tienen a lo

sumo n hijos.

Definición.- Se llama nivel de un vértice al número de aristas que le separan de

la raíz. La raíz tiene nivel 0.

Se llama altura de un árbol al máximo nivel de sus vértices.

4.5.- GRAFOS PLANOS

Definición.- Un g rafo se d ice plano si admite una representación gráfica en el

plano de modo que dos aristas pueden cortarse únicamente en un vértice.

Una representación gráfica de este tipo se llama un mapa.

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71

Decimos que un mapa es conexo si representa a un grafo conexo.

Un mapa divide al plano en varias partes l lamadas regiones. Cada región de un

mapa M está delimitada por un ciclo s i el mapa es conexo. También se cuenta como

región la exterior a la figura.

Ejemplo:

Definición.- Se llama grado de una región a la longitud del camino que la bor-

dea.

Dos regiones de un mapa se consideran adyacentes si el circuito que las bordea

tiene alguna arista en común.

Teorema.- La suma de los grados de las regiones de un mapa es igual al doble

del número de aristas del grafo al que representa.

Demostración

Toda arista es frontera simple de 2 regiones o doble de la misma región, con lo que

cada una se cuenta doble.

Ejemplo de frontera doble:

Definición.- Llamaremos pseudomultigrafo dual de un mapa M, a aquel que se

construye asociando un vértice a cada región de M y si una arista es frontera común de

dos regiones, añadimos en el dual una arista uniendo los vértices correspondientes a

esas regiones.

Ejemplo: Grafo plano Mapa del grafo plano

4 1 2 3

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72

Como dos regiones pueden tener más de una a rista como f rontera común, nos

vemos obligados a permitir que haya más de una arista entre dos vértices. Así mismo,

puede haber aristas que empiecen y terminen en el mismo vértice.

Ejemplo de construcción:

Teorema.- Todo mapa conexo verifica

nº regiones + nº vértices – nº aristas = 2

Demostración:

Sea G un mapa conexo. Por inducción en |E|:

a) Si |E|=0. =

conexo Mapa0E

⇒ |V|=1, |R|=1. Con lo que claramente se verifica

la fórmula de Euler.

b) Supongamos que |E|= m ≥ 1

Se dan dos casos

1) Si el mapa tiene algún ciclo. Consideremos el subgrafo G' resultante

de suprimir una arista perteneciente a un circuito. G' seguira siendo

conexo porque l a arista pertenecía a un c ircuito y e l número de re-

giones d isminuye en una unidad porque las aristas pertenecientes a

un ciclo siempre son fronteras de dos regiones distintas. Por la hipó-

tesis de inducción, para M' tenemos que ( ) ( ) 21EV1R =−−+− , lue-

go 2EVR =−+

2) Si el grafo no tiene ningún ciclo (es decir, si es un árbol). En este caso

|R|=1. Usando la relación entre el número de vértices y de aristas de

un árbol, tendremos 2EVR =−+

Definición.- Una subdivisión elemental de un grafo G es el grafo G' obtenido

colocando un vértice en medio de una arista de G.

Una subdivisión de un grafo G es un grafo obtenido efectuando un número finito

de subdivisiones elementales sucesivas.

• • • • • •

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73

Teorema ( de Kuratowski)

Un grafo G es plano ⇔ no contiene ningún subgrafo isomorfo a una subdivisión

de K5 o K3,3.

Demostración:

Demasiado complicada para este nivel.

4.6.- COLORACIONES DE GRAFOS

Definición.- Sea G = (V,E) un grafo y C = {1,2,..k} un conjunto de k colores.

Una coloración con k colores del grafo G es una aplicación de f : V → C de modo que si

los vértices u, v, son adyacentes entonces f(u) ≠ f(v).

Se l lama número c romático del g rafo G a l menor k tal que G puede colorearse

con k colores

Teorema (de los 4 colores).- El número cromático de un grafo plano es siem-

pre menor o igual que 4.

Definición.- Un grafo G se dice que es bipartido si se puede colorear con 2 colo-

res

Teorema.- Un grafo es bipartito ⇔ no tiene circuitos de longitud impar.

Demostración

“⇒” Si G es bipartito, los vértices de cada circuito deben ir alternando de un color

a otro. Para que el color del primer y último vértice del circuito no coincidan, el número

de aristas del circuito debe ser par.

“⇐” Podemos suponer que el grafo es conexo.

Elijo un vértice cualquiera v y, dado otro vértice distinto, habrá siempre al menos

un camino que lo una a v.

Además, si hay más de un camino, cada dos de ellos formarán un ciclo que habrá

de ser de longitud par. Por tanto, los dos caminos serán simultáneamente de longitud

par o impar. Por tanto no hay problema en asociar el primer color a aquellos vértices

que estén unidos a v por caminos de longitud impar y dar el segundo color a los de-

más.

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74

Si hay una arista entre dos vértices, u – w, cualquier camino de v a u se continúa

hasta w al añadir esta arista. Por tanto, si los caminos de v a u eran de longitud par,

los de v a w serán de longitud impar (así mismo, si los caminos a u son de longitud

impar, los caminos a w serán de longitud par). Por tanto la arista une siempre vértices

de distinto color.

Definición.- Sea G un grafo bipartido, donde los vértices se descomponen en V1

y V2 según su color y siendo el número de vértices en V2 mayor o igual que el de V1.

Un emparejamiento en G es elegir para cada vértice de V1 otro de V2 tal que

1) Cada vértice de V1 está unido por una arista con el correspondiente vértice de V2

2) A dos vértices de V1 distintos les corresponden vértices distintos de V2

Condición de diversidad.- El grafo G cumple la condición de diversidad si, para

cualquier k menor o igual que el número de vértices de V1, y cualquier subconjunto de

k vértices de V1, hay al menos k vértices de V2 unidos a ellos.

Teorema.- En un grafo bipartido hay un emparejamiento si y sólo si se da la

condición de diversidad

Demostración

“⇒” Es obvio, ya que dados k vértices de V1 están unidos, al menos, a los corres-

pondientes k vértices de V que proporciona el emparejamiento

“⇐” Por inducción en n = número de vértices de V1

Para n = 1 es inmediato

Supongamos que es cierto para grafos en que V1 tiene menos de n vértices y

vamos a verlo para n. Pueden darse dos casos

Caso1.- Hay un número k < n tal que hay k vértices de V1 unidos exactamente a

k vértices de V2.

En este caso partimos el grafo en dos, G1 y G2. En el primero ponemos los k

vértices de V1 con los correspondientes k vértices de V2 y en el segundo ponemos los

demás vértices.

Veamos que se da la condición de diversidad en los nuevos grafos por lo que,

dado que en ellos el primer subconjunto de vértices tiene menos de n vértices (tendrán

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75

k y n -k, respectivamente), la hipótesis de inducción nos aseguraría que podíamos

hacer emparejamientos en ellos y, por tanto, en todo el grafo G.

En el primer subgrafo, dado un número r < k, en el grafo inicial había r vértices

de V2 unidos a ellos, pero hemos escogido todos los posibles vértices de V2 unidos a los

k vértices de V1, por tanto también estarán en el grafo G1 y en G1 se da la condición de

diversidad.

Cojamos ahora r vértices de V1 que estén en G2. Junto con los k que puse en G1

tendré k + r vértices de V1 que, en G, debían estar unidos a k + r vértices de V2. Como

he quitado k vértices de V2 que puse en G1, en G2 me quedan r vértices de V2 unidos a

mis k + r vértices. No pueden estar unidos a los de G1, por lo que deben estar unidos a

los r vértices de G1 y, una vez más, se da la condición de diversidad.

Caso 2.- Para cualquier k y cualquier subconjunto de k vértices de V1 hay al me-

nos k+1 vértices de V2 unidos a ellos.

Elijo un primer vértice de V1 y lo emparejo con otro cualquiera de V2 unido a él.

Los quito y me queda un grafo G’ c on n-1 vértices en V1. Todo se reduce ahora a ver

que en G’ también se da la condición de diversidad y aplicar la hipótesis de inducción.

Cojo k vértices de V1 que estaban unidos al menos a k + 1 vértices de V2. Como

en G’ he quitado un vértice de V2, aún deben estar unidos al menos a k vértices de los

que quedan. Por tanto, en el grafo G’ se sigue dando la condición de diversidad y, por

la hipótesis de inducción, se puede hacer un emparejamiento. Dicho emparejamiento,

junto con la primera elección de emparejar un vértice de V1 con otro de V2, dan el em-

parejamiento global de G.

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76

LECTURA 6.

MATRICES

(Nov. 03) Algunas notas históricas sobre matrices

MARIA VICTORIA VEGUÍN CASAS

Presentamos en este artículo un repaso de la historia de las matrices y un pro-

blema sobre este tema planteado en Los Nueve Capítulos.

El primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el inglés James

Joseph Sylvester en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil

años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de

resolución de sistemas de ecuaciones l ineales equivalente al método

de Gauss y por lo tanto, empleaban tablas con números.

Prueba de ello es que el método aparece en Los Nueve Capítulos, la obra ma-

temática china más importante de la antigüedad.

Uno de los problemas de este tratado es el siguiente:

Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero, dos del segundo,

y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos del primero, tres del segundo y uno

del tercero hacen 34 medidas. Y uno del primero, dos del segundo y tres del

tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de cereal son contenidas en un

fardo de cada tipo?

Para resolver el problema el autor del tratado da la siguiente tabla

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

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77

Y da instrucciones para que el lector operando sobre las columnas llegue a la tabla

siguiente

0 0 3

0 5 2

36 1 1

99 24 39

Sin embargo hay que esperar hasta el siglo XIX para que se desarrolle una de las

herramientas más importantes de la matemática: el álgebra de matrices. A ella contri-

buyeron d iversos matemáticos, entre ellos l os i ngleses Cayley y Sylvester, a quienes

algunos h istoriadores h an b autizado como” l os g emelos in variantes”.

James Joseph Sylvester nació el 3 de septiembre de 1814 en Londres

en el seno de una familia judía lo que representó, en ocasiones, un

obstáculo para su carrera. Arthur Cayley nació el 16 de agosto de

1821 en R ichmond. Ambos matemáticos, que fueron amigos, tuvie-

ron algunas características en común:

• Una gran inteligencia que se puso de manifiesto en los primeros años escolares.

• Ambos estudiaron en Cambridge aunque en distintos años debido a la diferencia de

edad. Sylvester fue alumno de otro algebrista notable De Morgan.

• Tenían una gran variedad de aficiones diferentes a las matemáticas: leer, viajar, pin-

tar, etc.

• A l no poder conseguir un puesto f ijo en la Universidad decidieron estudiar Derecho

para poder vivir aunque nunca perdieron su pasión por las matemáticas. Se conocieron

siendo abogados.

• Trabajaron en matemáticas hasta edades muy avanzadas y consiguieron al f inal de

su vida una cátedra en la Universidad.

• Ambos lucharon para conseguir que la mujer pudiese estudiar en la Universidad. En

aquel tiempo las mujeres no podían asistir a clase.

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78

Cayley es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia siendo uno de los primeros

en estudiar las matrices de forma sistemática. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la

teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz, suma de matrices, de producto de

un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley

afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una

forma conveniente de expresar transformaciones geométricas. Al trabajar en la teoría de

transformaciones hace constar que si a la transformación

Si se cambia el orden de la composición de las transformaciones el resultado es dife-

rente ya que no se cumple la propiedad conmutativa. Gauss, en 1801, había trabajado

ya la composición de transformaciones.

Posteriormente continuó trabajando en cuestiones relacionadas con este tema estando

interesado en invariantes de matrices, es decir en propiedades de matrices que se

mantienen bajo algunas transformaciones

También a Cayley se debe la noción de geometría n dimensional y la noción de grupo

abstracto aunque esta noción no fue comprendida en ese momento.

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79

Bibliografía:

BOYER, C . Historia de la matemática. Ali anza E ditorial. M adrid, 1 986

BELL, ET. Men of Mathematics. Simon and Schuster, New York, 1937 (En Internet exis-

te una versión en castellano).

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80

LECTURA 7.

LA MATEMÁTICA DE TODOS LOS DIAS

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Tomando De viaje con la matemática. Imaginación y razonamiento matemáti-

co. Por Emma Castelnuovo

2.1. DE UNA OLLA A LA OTRA. CUANDO LOS SENTIDOS ENGAÑAN

Tal vez ya les ha ocurrido también a ustedes, y s ino les ha pasado, vayan a la

cocina y... pruébenlo.

Lleno de agua una olla baja; aunque después pienso: No, es mejor aquella otra

alta porque quiero cocinar espagueti (fig. 2.1.).

Vierto el agua de una olla a la otra. Y resulta que el agua no cabe en la olla alta,

mientras que el nivel de la baja estaba por abajo del borde.

No hago caso, pero... lo vuelvo a pensar. Es verdad que el fondo de la segunda

olla es menor que el de la primera, aunque se trata de una olla mucho más alta.

Figura 2.1

Vuelvo a probar y luego... mido.

Mido el diámetro de la base de las ollas (generalmente no es necesario tomar las

medidas porque están escritas en el fondo, sobre la parte externa). Una es de 12 cm y

la otra de 24; las alturas son respectivamente de 16 y de 8 cm. Hay por tanto una

compensación: cuando el diámetro es el doble, la altura es la mitad y viceversa. Pero,

entonces, ¿no deberían contener la misma cantidad de agua los dos recipientes?

En la figura 2.2 están dibujadas de manera estilizada las dos ollas, como dos ci-

lindros.

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81

Para comparar los dos cilindros, inserto el de la base más pequeña (A) dentro del

que tiene la base más grande (B) (fig.2.3); es como si el cilindro A estuviese dividido

en dos partes iguales: una mitad adentro del cilindro B y la otra mitad afuera.

Figura 2.2

Nos preguntamos: ¿Las dos mitades insertadas en el cilindro B, lo llenan comple-

tamente? Basta observar la f igura 2.4 para comprender la situación: ¡los dos medios

cilindros en realidad no llenan el cilindro bajo!

FICHA HISTÓRICA

Galileo y los dos contenedores cilíndricos

Galileo en el Diálogo en torno a dos nuevas ciencias considera los dos cilindros de

igual superficie lateral que se obtienen al enrollar una hoja de papel a lo ancho y a lo

largo (fig. 2.5); prueba que los dos volúmenes son inversamente contrarios a sus altu-

ras.

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82

Figura 2.5

Dice Galileo que la gente está siempre convencida de que los cilindros construi-

dos de esta manera deben tener el mismo volumen. Esto es lo que escribe: “Hay un

incidente entre el pueblo, del cual se habla como si se tratara de un hecho maravilloso.

Se tiene la costumbre de hacer sacos para contener grano usando un fondo de madera

y utilizando un pedazo de tela más largo por un borde que por el otro (fig.2.6). ¿En-

tonces más cuando se utiliza la menor medida de la tela como altura del saco o cuando

se hace lo contrario? Por ejemplo, si un borde de la tela fuese de 6 codos y el otro de

12, más contendrá cuando se circunde la tabla del fondo con la longitud de 12, que-

dando la altura del saco de 6 codos, que si se circundase el fondo de 6 codos teniendo

12 por a ltura. Ahora b ien, por l o que se ha mostrado, a l a i dea general de contener

más para un saco que para el otro, se añade el conocimiento específico y particular del

cuál es el que más contiene; y es que tanto más contendrá cuando más bajo sea y

tanto menos cuando más alto”.

Los campesinos - parece querer decir Galileo - han aprendido la matemática de

su trabajo, mientras que la gente se maravilla todavía con este “incidente”.

¿Y hoy? Los siglos han pasado, pero... ¡sigue siendo igual!

Figura 2.6

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83

2.2. DOBLAMIENTO DE UNA HOJA DE PAPEL.

LOS DOS RECIPIENTES

Dejemos ahora la cocina y las ollas para construir recipientes con cartoncillo.

Tomemos dos hojas de papel. Una hoja se puede doblar en cuatro franjas iguales

de dos maneras: a lo ancho y a lo largo (fig. 2.7).

Figura 2.7

Con dos hojas iguales pueden construirse dos paralelepípedos de base cuadrada

(fig 2.8).

Figura 2.8

Si en lugar del papel usamos cartón resistente y le pegamos un fondo cuadrado,

obtendremos dos recipientes: uno es más alto, pero tiene como base un cuadrado más

pequeño; en otro es más bajo, pero su base es más grande.

Nos preguntamos: ¿T ienen e l mismo volumen estos dos recipientes construidos

con hojas iguales? Es decir, ¿les cabe la misma cantidad de material, por ejemplo hari-

na o arroz?

Es verdad que podemos regresar a la cocina con estas dos “ollas de cartón” y

hacer la prueba, por ejemplo vaciando arroz de una a la otra, pero esta vez tratemos

de “ver”, de entender sin hacer el experimento.

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84

Dan ganas de responder de inmediato: “¡Es verdad que tienen el mismo volu-

men! Es evidente: están construidos con hojas iguales!” Y además... “¡Se ve!”

Para “ver mejor”, construyamos los dos paralelepípedos con hojas más angostas,

por ejemplo, con la mitad de una hoja estándar cortada a lo largo (fig.2.9).

Figura 2.9

Obtenemos dos paralelepípedos: uno ancho y estrecho, el otro bajo y largo (fig.

2.10).

¿Tendrán el mismo volumen? Ahora quedamos un poco perplejos.

En seguida hagamos otra construcción: con dimensiones de hojas diferentes,

tomando por ejemplo la mitad de la última hoja cortada a lo largo (fig.2.11).

Cuando procedemos a construir los dos paralelepípedos, nos damos cuanta de

que uno es delgadísimo, como si fuese un tubito de sección cuadrada; mientras que el

otro tiene una altura más pequeña, pero una base bastante grande (fig.2.12).

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85

Figura 2.12

Ya puede verse bien: No, ¡ los dos recipientes no pueden tener el mismo volu-

men!

Para c onvencerse b asta c on c ortar e l “ tubito” e n c uatro p artes i guales

(fig.2.13a); si colocamos estas piezas en el recipiente de base grande, nos damos

cuenta de q ue d ejamos m ucho e spacio l ibre (f ig.2.13b). A mbas f iguras h an s ido

agrandadas para mayor claridad.

Figura 2.13

2.3. CÓMO SE CALCULA EL VOLUMEN

DEL PARALELEPÍPEDO

Reflexionemos una vez más sobre l os dos recipientes construidos a l doblar una

hoja de papel.

Para comparar de manera segura los dos recipientes, es necesario calcular el

volumen del paralelepípedo, Si no recordamos la fórmula, no tiene importancia porque

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86

es fácil entender cómo se obtiene. Dado que volumen corresponde a “contenido”, sur-

ge espontáneamente este razonamiento (fig.2.14).

Figura 2.14

Imaginemos que l a base del paralelepípedo se t raslada paralelamente a s i mis-

ma, hasta llegar a la tapa; todo el paralelepípedo ha sido “barrido” por la base cuadra-

da que “sube” por un tramo igual a la altura. El volumen se obtendrá por tanto al mul-

tiplicar el área de la base por la altura, esta es la fórmula en símbolos:

V = A X h

en donde V indica el volumen, A el área de la base y h la altura (se usa frecuentemen-

te la letra h inicial de la palabra height que en inglés significa altura).

En el caso de los paralelepípedos construidos con la primera hoja, la base es un

cuadrado; por tanto, su área se obtiene multiplicando el laso por sí mismo, o sea, cal-

culando el cuadrado del lado.

Podemos ahora calcular el volumen de nuestros paralelepípedos en los diferentes

casos. Comencemos con el primer caso, cuando las dimensiones de la hoja no difieren

mucho. Para facilitar los cálculos, tomemos una hoja con dimensiones de 20 y 16 cm.

En la figura 2.15 están dibujados los paralelepípedos que se obtienen doblando las

hojas en cuatro partes iguales. Para cada caso está calculando en seguida el volumen.

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87

Resulta ser mayor el volumen del paralelepípedo menos alto, pero con la base

más grande. ¡Y sin embargo no se veía!

Calculemos ahora los volúmenes en el tercer caso, en donde, en cambio, se pro-

baba fácilmente que los volúmenes no eran iguales. Las dimensiones de las tiras obte-

nidas al dividir a lo largo la hoja en cuatro, son ahora 20 y 4.

Tenemos ahora las figuras y los cálculos relativos a este caso (fig. 2.16).

¡Se encuentra que los volúmenes difieren realmente mucho!

2.4 EL DESCUBRIMIENTO DE UNA

RELACIÓN ENTRE LOS VOLÚMENES

Examinemos mejor la última pareja de recipientes. El volumen del paralelepípedo

de base más grande es 100, mientras que el volumen del otro es 20. Resulta entonces

que el paralelepípedo bajo tiene una capacidad que equivale a cinco veces aquella de

la del alto. Observemos que la relación 1 a 5 que hemos encontrado entre los volúme-

nes de los dos paralelepípedos, es también la razón entre sus dimensiones 4 y 20, de

la hoja de la cual partimos; de hecho, resulta que

4 120 5

=

También en el primer caso, en el cual las dimensiones de la hoja son 16 y 20, se

verifica la misma propiedad. Ya que los volúmenes resultaban ser 320 y 400, su razón

es 320400

, o sea igual a 1620

; con lo que se tiene:

320 16400 20

=

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¿Será siempre de este modo? La razón entre los volúmenes de los paralelepípe-

dos obtenidos a l doblar en cuatro partes i guales, ¿resultará s iempre i gual a la razón

entre las dimensiones de la hoja?

Para estar seguros, no basta con probarlo en un caso cualquiera; con probarlo

para 100, 1000,... casi puede decirse que es muy probable que ocurra siempre así,

pero no se t iene la certeza absoluta. La certeza se t iene si “hacemos abstracción” de

los números, es decir, si en lugar de números utilizamos letras. ¡Nadie debe espantar-

se por el hecho de usar frecuentemente símbolos para entender mejor!

Denotemos ahora con a y b, las dimensiones de la hoja que vamos a doblar

(fig.2.17).

Figura 2.17

Cuando doblamos la hoja en cuatro partes iguales de las dos maneras (fig. 2.18),

y formamos los paralelepípedos (fig.2.19), obtenemos para cada volumen el valor indi-

cado a un costado de cada figura.

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89

b X Ya podemos estar seguros de que la razón de volúmenes de los dos paralelepípe-

dos es equivalente a la razón de las dimensiones de la hoja. Se entiende entonces que

si las dimensiones del rectángulo difieren mucho, otro tanto ocurrirá con los volúme-

nes; en cambio, la razón de los volúmenes será cercana a 1 si la divergencia entre las

dos dimensiones es pequeña, y los volúmenes serán obviamente iguales en el caso de

una hoja cuadrada.

2.5. CONSTRUCCIÓN DE PARALELEPÍPEDOS DE IGUAL

VOLUMEN TRABAJANDO CON CUBOS

En la sección 2.2 construimos paralelepípedos de base cuadrada valiéndose de

hojas de papel iguales; tenían por tanto la misma superficie lateral.

Ahora queremos construir paralelepípedos de base cuadrada que tengan el mis-

mo volumen. Trabajemos con 8 cubitos iguales.

Se pueden construir tres paralelepípedos (fig. 2.20): uno de altura 8, colocando

los cubos uno sobre el otro; uno de altura 4, poniendo cuatro niveles formados por dos

cubos, uno sobre otro, y uno de altura 2, disponiéndolos en cubo, es decir, colocando

cuatro sobre cuatro.

Los tres paralelepípedos tienen obviamente el mismo volumen: es igual a 8, ¡pe-

ro la superficie es diferente!

Puede comprenderse que el paralelepípedo tiene una superficie más pequeña

cuando los cubitos están “más concentrados”, es decir, cuando la figura es más com-

pacta, o sea, menos expuesta al aire.

Resulta que, igualdad de volumen, el cubo tiene la superficie mínima.

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90

2.6. CONSTRUCCIÓN DE SÓLIDOS DE IGUAL

VOLUMEN TRABAJANDO CON ARCILLA

Hemos visto que, a igualdad de volumen, el cubo presenta la superficie mínima

entre todos los paralelepípedos.

Nos preguntamos: ¿Entre los sólidos que tienen el mismo volumen, pero diferen-

te forma, será siempre el cubo el que tenga la superficie mínima?

Si deseamos construir sólidos de diferentes formas, los cubitos no funcionan muy

bien; trabajemos ahora con un bloque de arcilla (fig. 2.21).

Figura 2.21

Comencemos por construir un cubo, valiéndose de la arcilla (fig. 2.22).

Figura 2.22

En s eguida, p ara h acer m ás c ompacta l a a rcilla, c omprimamos e l cubo, p or

ejemplo, ejerciendo una presión horizontal (fig.2.23).

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91

El sólido se vuelve más angosto, pero más alto (fig. 2.24).

Sobre este nuevo sólido apliquemos una presión vertical (fig. 2.25a). La altura

disminuye, pero el sólido se ensancha (fig. 2.25b)

Y volvamos a apretarlo horizontalmente; se levanta...

Luego se presionamos verticalmente; se ensancha...

Si continuamos de esta manera, se nota que poco a poco, con cada comprensión,

el sólido va redondeándose cada vez más “Se intuye” que se llegará a una esfera.

¡Y es precisamente una esfera de la cual daremos cuenta en la próxima sección,

jugando con las burbujas de jabón!

2.7. LAS BURBUJAS DE JABÓN

PROPIEDAD DEL MÍNIMO DE SUPERFICIE DE UNA ESFERA

Y DE PERÍMETRO DE UN CÍRCULO.

Las burbujas de jabón. ¿Quién no las conoce? ¿Quién no ha jugado y fantaseado

ante estas pelotas iridiscentes obtenidas con agua jabonosa?

Sin embargo, cuando se juega con burbujas de jabón, ¡no se p iensa realmente

que estas pelotillas de aire estén “dentro” de la matemática!

Tratemos de comprender cómo la matemática impone sus leyes también a este

juego. Observemos las diferentes fases (fig. 2.26): Se empieza sumergiendo un popo-

te en una palangana de agua jabonosa; l uego se l evanta del agua y se sopla por e l

extremo seco, es decir, se introduce una cierta cantidad de aire. Es entonces cuando

se forma una pelota iridiscente que es la burbuja de jabón.

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92

La superficie esférica está formada por una capa finísima de agua jabonosa, capa

que contiene la cantidad de aire que hemos soplado al interior.

La burbuja de jabón t iene como envoltura una finísima película elástica, y esta

película, precisamente por ser elástica, tiende a contraerse hasta hacer mínima su su-

perficie. E l hecho de que l a película tome forma esférica s ignifica que, a igualdad de

volumen, es decir de cantidad de aire soplado, la esfera tiene la superficie mínima.

Continuemos jugando con las burbujas d e jabón, pero ahora p oniendo a lgún

obstáculo a la formación de la esfera. Procedamos de esta manera: Tomemos dos pla-

cas de vidrio y , después de haberlas humedecido con l a solución jabonosa, coloqué-

moslas de modo que sean paralelas (fig. 2.27).

Soplemos ahora una burbuja en el espacio comprendido entre las dos p lacas, y

observemos. En cuanto se sopla un poco de aire, se forma una pequeña esfera que

cabe en el espacio entre las placas.

Sin embargo, cuando se juega con burbujas de jabón, ¡no se piensa realmente que

estas pelotillas de aire estén “dentro” de la matemática!

Pero si se continúa soplando, habrá un momento en el que la película ya no

tendrá espacio suficiente para seguir siendo esférica; de pronto, veremos aparecer un

cilindro ( fig. 2 .28). El ci lindro t iene como bases dos círculos colocados sobre l as dos

placas.

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93

Reflexionemos: cada una de las bases de este cilindro está formada por una

lámina jabonosa y, por ende, elástica.

El hecho de que la lámina se contraiga en forma de círculo, significa que el círculo

tiene el contorno mínimo entre todas las figuras planas que contienen la misma canti-

dad de sustancia jabonosa. Resulta de este modo que, a i gualdad de área, el c írculo

tiene el perímetro mínimo.

En resumen, entre todas las figuras planas que tienen la misma extensión, el

círculo es el que tiene el perímetro mínimo.

En conclusión, el círculo en el plano tiene la misma propiedad que la esfera en el

espacio.

Hemos iniciado con un juego, pero este juego condujo a descubrimientos ma-

temáticas sobre las superficies mínimas y sobre los contornos mínimos, bajo ciertas

condiciones. Conviene decir que la idea de estudiar las burbujas de jabón desde un

punto de vista científico, se debe a un gran físico matemático del siglo pasado: el belga

J.A. Ferdinand Plateau.

Estos problemas de optimización (hacer mínima una envoltura, hacer mínimo un

contorno bajo ciertas condiciones) han estimulado hasta nuestros días un amplísimo

campo de investigación por parte de los matemáticos.

2.8. RAZONAMIENTO POR REDUCCION

AL ABSURDO. LAS PROPIEDADES

OPTIMAS DE LA ESFERA Y EL CÍRCULO

El título no debe asustar: ¡no significa que nos proponemos decir cosas absurdas!

Hemos descubierto que:

1. La esfera tiene la superficie mínima a igualdad de volumen.

2. El círculo tiene el perímetro mínimo a igualdad de área.

De estas dos propiedades se desprenden otras dos; se demuestra que:

3. La esfera tiene el volumen máximo a igualdad de superficie.

4. El círculo tiene el área máxima a igualdad de perímetro.

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94

Para convencerse de que estas dos últimas propiedades son válidas, basta un

razonamiento; hagamos referencia por ejemplo, al círculo. Sabemos que el círculo tie-

ne el perímetro mínimo entre todas las figuras planas que tienen la misma área.

Consideremos a continuación unas figuras que tienen el mismo perímetro; es

fácil construirlas, basta con tomar como contorno un trozo de estambre y acomodarlo

en varias formas: de cuadrado, de triángulo, de círculo, etcétera (fig.2.29).

Comparemos a manera de ejemplo el círculo con el cuadrado. Si el área del círcu-

lo no fuese más grande que la del cuadrado, las dos áreas serían iguales, pero si las

áreas son iguales, e l c írculo t iene, por la propiedad 2, e l menor perímetro, y esto es

absurdo porque hemos supuesto que las dos figuras tienen el mismo perímetro.

Figura 2.29

Con un razonamiento análogo, se rechaza que el círculo pueda tener un área más

pequeña que la del cuadrado.

Se concluye que, junto con las propiedades 1 y 2, son válidas también las pro-

piedades duales 3 y 4.

2.9. APLICACIONES DE LAS PROPIEDADES

DE LA ESFERA

Las propiedades de la esfera, presentadas en la sección anterior, permiten darse

cuenta de la razón por la cual se le da forma esférica a muchos diseños tecnológicos.

Comencemos con cosas pequeñas, para lo cual regresemos a la cocina. Algunas

marcas de teteras tienen forma esférica (fig.2.30). No es sólo una razón estética la

que ha sugerido este tipo de tetera, la forma esférica es conveniente porque la tetera

ocupa poco lugar en la vitrina, aunque tiene una gran capacidad.

Ahora un ejemplo de cosas grandes. En el vuelo espacial del 31 de julio de 1992,

en el cual participó el primer astronauta italiano, estaba conectada al transbordador

una esfera de un metro y medio de diámetro que servía también como contenedor. Ya

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95

podemos comprender por qué le fue dada la forma esférica a este contenedor: la esfe-

ra es, entre las diversas formas, la que tiene el máximo volumen, es decir la de máxi-

ma capacidad, a igualdad de envoltura (fig.2.31).

Figura 2.30

Figuras 2.31. Esta es una representación imaginaria del experimento.

Observe la forma esférica del satélite Tethered.

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96

LA CONSTRUCCIÓN DE CARTAGO. EL CÍRCULO

EN UN DIÁLOGO DE GALILEO.

La propiedad del círculo de encerrar la máxima área a igualdad de perímetro es

conocida desde hace mucho tiempo y se pierde en la leyenda.

Virgilio, en la Eneida, cuenta la historia de Dido, y nos hace comprender que esta

mujer, inteligente y valerosa, conocía la propiedad óptima del círculo.

Dido (siglo IX a.C.), hija del rey de Tiro, floreciente ciudad de la costa fenicia

(hoy humilde localidad de Líbano), decidió abandonar su patria junto con un grupo de

habitantes de su ciudad para liberarse del poder de su hermano Pigmalión. Cuenta

Virgilio que Dido llegó en barco a la costa de Numidia (región que comprende la actual

Tunicia) ( fig. 2 .32) y , fascinada por e l paisaje, pensó en adquirir una parte de t ierra

pra construir ahí una ciudad. Pero el rey de Numidia se opuso y, para tomarle el pelo,

le ofreció una piel de buey diciéndole que, utilizando sólo ésta, le concedía el derecho

de limitar el sitio de la nueva ciudad.

Dido tuvo la idea de hacer cortar la piel en tiras finísimas y de unirlas unas a

otras para obtener un cordón con el cual cercar una parte de terreno.

Figura 2.32

Dispuso este cordón en forma de círculo (o, mejor dicho, en semicírculo porque

quería que la ciudad tuviese vista al mar); es así como el cordón, hecho de piel de

buey, formó el sitio de una ciudad que muy pronto se hizo famosa: Cartago.

Se comprende entonces que Dido, muchos siglos antes de Cristo, conocía esta

propiedad: a igualdad de perímetro, el círculo contiene el área máxima.

La propiedad dual del círculo de tener un perímetro mínimo a igualdad de área,

fue utilizada siempre en el medievo para la construcción de ciudades. De hecho no son

pocas las ciudades construidas en ese periodo que presentan forma circular. La razón

era probablemente ahorrar en la longitud de la muralla y, al mismo tiempo, poder vigi-

lar con un número mínimo de hombres los ataques que l legaban a la ciudad desde el

exterior (fig. 2.33).

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97

Figura 2.33

Desde el p unto d e v ista m atemático, u na d emostración d e l as p ropiedades

óptimas del círculo se encuentra en la obra de Pappo (también conocido como Pappus),

un matemático griego del año 400 d.C. Todo parece indicar que Pappo se inspiró en un

trabajo del matemático griego Senodoro, que vivió entre los años 100 a. C y 100 d.C.

¡Cuántos siglos habían ya pasado desde la leyenda del Dido!

Pasan los siglos y la propiedad del círculo de encerrar la máxima área a igualdad

de perímetro es puesta a discusión por Galileo en el Diálogo en torno a dos nuevas

ciencias. Esto es lo que dice: “Con frecuencia se necesita determinar el tamaño de di-

versas ciudades, la gente piensa que basta con saber la cantidad de plazas que las

forman, ignorando que un área puede ser igual a otra y la plaza contenida en ésta mu-

cho mayor que la plaza de aquélla. Esto ocurre no sólo entre las superficies irregulares,

sino también entre las regulares, entre las cuales las de mayor número de lados son

siempre de mayor capacidad que aquellas de pocos lados, de tal modo que a fin de

cuentas el círculo, como polígono de infinitos lados, es el que tiene la mayor capacidad

sobre todos los otros polígonos de igual perímetro.

Y como resultado de dialogar con sus amigos, Galileo destacó el error, que todav-

ía en nuestros días es muy común, de confundir el concepto de área con el de períme-

tro. Y la propiedad conocida por Dido, la de que el círculo encierra al área máxima a

igualdad de perímetro, la expuso Galileo a sus perplejos amigos... ¡Cuántos siglos han

pasado!

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98

UN MÉTODO PARA COMPARAR VOLÚMENES

Hemos hablado en la sección 2.3 de un método que nos permite encontrar la

fórmula para calcular el volumen del paralelepípedo.

Hemos imaginado que la base del paralelepípedo (fig. 2.34) se mueve paralela-

mente a sí misma hasta “barrer” por completo el sólido.

Figura 2.34

De este modo se entiende que, para obtener el volumen, es decir, para saber

cuál es el contenido del paralelepípedo, es indispensable “repetir” tantas veces el área

de las base como nos lo indique la altura; es necesario por tanto multiplicar la base por

la altura. Entonces, el volumen depende del área de la figura plana que se mueve pa-

ralelamente a sí misma y de la altura del sólido.

Esta idea condujo en 1627 a un alumno de Galileo, el padre Bonaventura Cavalie-

ri, a afirmar que:

Si se cortan sólidos de igual altura con planos paralelos a uno fijo, por ejemplo

el plano de la base, y se obtienen secciones de igual área, entonces los sólidos tie-

nen el mismo volumen.

Para entender bien el significado de esta afirmación, que se conoce como Princi-

pio de Cavalieri, observemos la figura 2.35: Están representados tres sólidos de igual

altura apoyados sobre el mismo plano, uno de base triangular, uno de base cuadrada y

uno cuya base es una figura de contorno curvilíneo.

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99

Estos sólidos son cortados por planos paralelos a la base. Si resulta que las tres

secciones t ienen la misma área en cualquier n ivel, es obvio entonces que la cantidad

de material que constituye a los sólidos es siempre la misma y, por tanto, los sólidos

tienen el mismo volumen.

CÓMO UN RAZONAMIENTO MATEMÁTICO LOGRA TRANSFORMAR

UN CUBO EN UNA ESFERA DE IGUAL VOLUMEN

Veremos ahora cómo la matemática consigue dar una explicación teórica a la

experiencia realizada en la sección 2.6 con un bloque de arcilla. Están invitados a se-

guir el razonamiento que se desarrolla en los pasos 1,2 y 3.

1. Del cubo al cilingro

Tenemos un cubo (fig. 2.36) que está apoyado sobre una mesa.

Queremos transformarlo en un sólido que tenga el mismo volumen, pero que sea

“menos” anguloso”, por ejemplo en un cilindro. Procedamos de esta forma: Plantamos

sobre la mesa en donde está apoyado el cubo, perpendicularmente al plano de ella, un

alambre de hierro (fig. 2.37).

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100

Construyamos ahora un c ilindro que tenga e l alambre r c omo eje de rotación y

que cumpla con esta propiedad: la altura h del c ilindro debe ser igual a la altura del

cubo, y el círculo de la base debe tener la misma área que la base cuadrada del cubo

(fig. 2.38).

Ahora se comprende que el cilindro contiene el mismo volumen del cubo porque

se cumplen exactamente las condiciones indicadas en el Principio de Cavalieri (fig.

2.39).

¿Qué podemos decir de las superficies de ambos sólidos? Las bases tienen la

misma área porque hemos construido la base circular del cilindro con la condición de

ser equivalente a la base cuadrada del cubo. Comparemos ahora las dos superficies

laterales. Razonemos sobre la figura 2.40: Puede pensarse que la superficie lateral del

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101

cilindro está formada por un conjunto de hilos circulares iguales colocados uno sobre el

otro; en el caso del cubo, en cambio, la superficie lateral está formada por un conjunto

de hilos cuadrados iguales, colocados uno sobre el otro.

En nuestro caso, los dos contornos, circular y cuadrado, encierran la misma área;

ahora sabemos que (sección 2.7), a igualdad de área el círculo es el que tiene el me-

nos perímetro. Esto lleva a afirmar que la superficie lateral del cilindro, formada por la

superposición de hilos circulares, tiene área menor que la del cubo. Toda la envoltura

del cilindro tiene por tanto una superficie menor que la del cubo, aunque ambos con-

tengan el mismo volumen.

2. Del cilindro a un sólido más “redondeado”

Partamos ahora del c ilindro recién construido. Hemos v isto que aunque t iene el

mismo volumen del cubo, t iene una envoltura de menor superficie. Transformaremos

este cilindro en un sólido que tiene igualmente el mismo volumen, pero que presenta

una superficie todavía más pequeña.

Procedamos de esta manera: Fijemos una recta s perpendicular a la recta r, eje

de rotación del cilindro (fig. 2.41); construiremos un sólido que tenga como eje de ro-

tación la recta s y que sea equivalente al cilindro.

Figura 2.41

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102

Nos basaremos siempre en el Principio de Cavalieri. En esta ocasión cortemos el

cilindro con planos paralelos perpendiculares a la recta s (fig. 2.42).

Las secciones que obtenemos son rectángulos. Estos rectángulos tienen todos la

misma altura (es la altura h del cilindro) y t ienen por base una cuerda del círculo, es

decir, un segmento que va de “cero” (cuando el plano es tangente a las generatrices

del cilindro g o g’) a la longitud del diámetro d de la base circular. En correspondencia

con cada uno de estos rectángulos, construyamos un círculo de igual área, cuyo centro

se encuentre sobre la recta s (fig. 2.43); obtenemos así una superficie de rotación so-

bre el eje s. El círculo más grande está señalado en color gris: es equivalente al

rectángulo que tiene las dimensiones d y h.

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103

A continuación, conforme hacemos referencia a l as secciones rectangulares que

se van alejando del rectángulo máximo hacia la derecha y hacia la izquierda, obtene-

mos círculos cada vez más pequeños. Los dos rectángulos que se dibujan sobre las

generatrices g y g’, corresponden sobre la nueva superficie a círculos de diámetro cero,

es decir, con puntos: los puntos G y G’.

Hemos l legado a construir de esta manera un sólido que, por el Principio de Ca-

valieri, tiene el mismo volumen que el cilindro. Comparemos ahora la superficie de

este sólido con la del cilindro.

La superficie del nuevo sólido está formado por “hilos”, más cortos o más largos,

siempre colocados en círculo; en cambio, la superficie del cilindro está formada por

rectángulos más grandes o más pequeños.

Los círculos y los rectángulos correspondientes encierran la misma área, pero no

tienen el mismo perímetro porque, a igualdad de área, los círculos tienen un perímetro

menor; en consecuencia, la superficie formada por hilos circulares será menor que la

formada por hilos rectangulares. El sólido redondeado tiene, a igualdad de volumen,

una superficie menor.

3. Hacia la esfera

El razonamiento matemático ha logrado transformar un cubo en un cilindro, y un

cilindro en una superficie más redondeada. De esta última se puede pasar a otra su-

perficie al fijar como eje de rotación la antigua recta r; luego a otra más que tenga a la

recta s como eje de rotación la recta r y continuar de igual manera.

Se comprende que l os sólidos que vamos construyendo poco a poco, t ienden a

tener a la recta r o a la recta s como ejes de rotación, y tienden por tanto a la forma

esférica; de hecho, es la esfera la única superficie que tiene dos ejes de rotación per-

pendiculares entre si (fig. 2.44).

El razonamiento que hemos desarrollado hace comprender de qué manera la idea

de una demostración puede ser sugerida por una experiencia concreta: La demostra-

ción repite de hecho el acto manual con el cual, ejerciendo sobre un cubo de arcilla

una presión, ora horizontal, ora vertical, se le da al bloque de arcilla una forma cada

vez más redondeada.

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104

La esfera tiene solamente dos ejes de rotación perpendiculares entre sí. Si se corta un elipsoide con planos

perpendiculares a r, se obtienen círculos; en cambio, si se corta el elipsoide con planos perpendiculares a s,

se obtienen elipses.

Si se corta un elipsoide con planos perpendiculares a r, se obtienen círculos; en cambio, si se corta el elip-

soide con planos perpendiculares a s, se obtienen elipses.

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LECTURA 8.

Sistemas ponderados de votación http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/ICE99MVC/Pondera.doc

Sistema de votación ponderado: los participantes pueden tener distinto número de votos. El poder de un participante en un sistema de votación ponderado se mide por su capa-cidad para influir en las decisiones. Descripción matemática: [q: w(v1), w(v2), ..., w(vn)] Votantes: v1, v2, ..., vn w(vj) es el número de votos (o peso) que tiene asignado el votante vj . q = Cuota ( número de votos que se necesita para aprobar una propuesta) La cuota debe ser siempre superior a la mitad del número de votos Ejemplo 1. Empresa con dos accionistas A y B que poseen el 60% y e l 40% de l as acciones respectivamente. Se necesita mayoría absoluta para tomar las decisiones. Ejemplo 2. Tres accionistas A, B y C que poseen el 49%, el 48% y el 3% de las accio-nes respectivamente. Se necesita mayoría absoluta para tomar las decisiones. Ejemplo 3. Cuatro accionistas A, B, C y D que poseen el 26%, el 26%, el 26% y el 22% de las acciones respectivamente. Se necesita mayoría absoluta para tomar deci-siones. Ejemplo 4. Un Senado de 250 miembros en el que están representados tres partidos A, B y C con 140, 93 y 17 miembros respectivamente. La decisión de destituir al Presi-dente se toma por acuerdo de las dos terceras partes de los miembros del Senado. Coalición: Conjunto de votantes que se han unido para votar a favor o en contra de una propuesta. Ejercicio 1. Encuentra todas las coaliciones en un Comité de tres personas A, B y C. Ejercicio 2. Encuentra todas las coaliciones en un Comité de cuatro personas A, B, C y D. Ejercicio 3. ¿Cuántas coaliciones pueden hacerse en un Comité de n personas? Coalición ganadora: es una coalición en l a que l a suma de sus votos ( o pesos) es

mayor o igual que la cuota.

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Coalición de bloqueo: es una coalición en la que la suma de sus votos (o pesos) son

suficientes para conseguir que no se apruebe una medida si votan en contra de ella.

Para que una coalición sea de bloqueo basta que la suma de los votos de todos sus miembros sea superior al número de votos totales menos la cuota.

Coalición perdedora: toda coalición que no es ni ganadora ni de bloqueo. Votante basculante: es un votante que cuando se retira de una coalición ganadora esta deja de serlo, o que cuando se retira de una coalición de bloqueo ya no lo es. Coalición ganadora mínima: es una coalición ganadora en la que todos sus miem-bros son votantes basculantes. Coalición de bloqueo mínima: es una coalición de bloqueo en la que todos sus miembros son votantes basculantes. Ejercicio 4. Para el sistema de votación ponderado dado por [q: w(A), w(B), w(C)] = [8: 5, 4, 3] encuentra:: a) Todas las coaliciones ganadoras. b) Todas las coaliciones ganadoras mínimas. c) Todas las coaliciones de bloqueo. d) Todas las coaliciones de bloqueo mínimas. ¿En qué coaliciones ganadoras es A un votante basculante? ¿Y B? ¿Y C? ¿En qué coaliciones de bloqueo es A un votante basculante? ¿Y B? ¿Y C?

EL ÍNDICE DE PODER DE BANZHAF El índice de poder de Banzhaf de un participante en una votación ponderada es el número de coaliciones ganadoras diferentes en las que el participante es un vo-tante basculante más el número de coaliciones de bloqueo en las que el participante es un votante basculante. Ejercicio 5. Calcula el índice de poder de Banzhaf de cada uno de los participantes en un Comité que se rige por el sistema de votación ponderado siguiente: [q: w(A), w(B), w(C)] = [3: 2, 1, 1] Ejercicio 6. Calcula el índice de poder de Banzhaf de cada uno de los participantes en un Comité de un empresa que se rige por el sistema de votación ponderado siguiente: [q: w(A), w(B), w(C), w(D)] = [51: 40, 30, 20, 10] Ejercicio 7 (La Comunidad Europea en 1958). La Comunidad Europea estaba for-mada en 1958 por Bélgica (B), Holanda (H), Francia (F), Alemania (A), Italia (I) y Luxemburgo (L). Su Consejo de Ministros usaba un sistema de votación ponderado: [q: w(A), w(F), w(I), w(B), w(H), w(L)] = [12: 4, 4, 4, 2, 2, 1] Calcula el índice de poder de Banzhaf de cada país.

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EL ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK.

1. Se consideran todas la permutaciones de los n votantes. 2. En una permutación consideramos que las coaliciones se forman en orden. Habrá un votante cuyos votos sumados a l os anteriores haga que la coalición sea ganadora, y antes no lo era. Este votante se dice que es un votante pivote. 3. Para un votante X, llamamos P(X) al número de permutaciones en las que X es un pivote.

Índice de Shapley-Shubik = P X

n( )

!

Ejercicio 8. Calcula el índice de poder de Shapley-Shubik de cada uno de los partici-pantes en un Comité que se rige por el sistema de votación ponderado del ejemplo 5: [q: w(A), w(B), w(C)] = [3: 2, 1, 1] Ejercicio 9. Calcula el índice de poder de Shapley-Shubik de cada uno de los partici-pantes en un Comité de un empresa que se rige por el sistema de votación ponderado del ejemplo 6: [q: w(A), w(B), w(C), w(D)] = [51: 40, 30, 20, 10] Ejercicio 10. Una empresa tiene un accionista con el 10% de las acciones. Los restan-tes 90 accionistas tienen igual participación en la empresa. Se toman las decisiones por mayoría absoluta. Encuentra el índice de Shapley-Shubik de cada accionista.

SISTEMAS DE VOTACIÓN EQUIVALENTES Dos sistemas de votación con el mismo número de votantes son equivalentes si hay alguna forma de intercambiar los votantes de un sistema con los del otro manteniendo las coaliciones ganadoras. Ejercicio 11 (El Gobierno Federal Australiano). Australia es una Federación de 6 estados: Australia del Oeste (O), Territorio del Norte (N), Australia del Sur (S), Que-ensland (Q), Nueva Gales del Sur (G) y Victoria (V). Algunas decisiones se toman me-diante el sistema de votación siguiente: cada estado tiene 1 voto y el Gobierno Federal (F) 2 votos. Como hay 8 votos puede haber empates; en caso de empate, la ley esta-blece que la coalición ganadora es aquella en la que esté el Gobierno Federal. a) Encuentra un sistema de votación ponderado para describir la forma en que se toman decisiones en la esta Federación. b) Encuentra el índice de Banzhaf de cada uno de los participantes en este siste-ma de votación. c) Encuentra el índice de Shapley-Shubik de cada uno de los participantes en este sistema de votación.

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Ejercicio 12 (El Rey, su Senado y el Parlamento). Un país tiene un Gobierno for-mado por un Rey, un Senado con 3 miembros y un Parlamento con 5 miembros. Una medida que sea aprobada con al menos 3 votos de los miembros del Parlamento pasa a debate en el Senado. El Senado la acepta si la medida cuenta con 2 votos favorables y la rechaza si tiene 2 o más votos en contra; en este último caso la medida no vuelve a ser considerada. Si el Senado la aprueba, la medida es enviada al Rey, quien puede firmarla o vetarla. Se la veta ya no puede volver a ser considerada. Demuestra que este sistema de gobierno no puede ser equivalente a un sistema de votación ponderado. Ejercicio 13 (El poder del Rey). El Rey, su Senado y el Parlamento (ejercicio 12) no gobiernan con un sistema de votación ponderado. Pero se puede hablar de coaliciones y de votantes basculantes. Para hacerte una i dea del poder del Rey encuentra l o si-guiente: a) Número de coaliciones ganadoras en las que el Rey es basculante. b) Número de coaliciones ganadoras en las que cada Senador es basculante. c) Número de coaliciones ganadoras en las que dada Parlamentario es basculante.

COMPARACIÓN ENTRE AMBOS ÍNDICES El índice de Shapley-Shubik mide la probabilidad de que un votante sea pivote en to-das las permutaciones posibles de los votantes. Para hacer con el índice de Banzhaf una probabilidad es necesario considerar el número total de coaliciones que es 2n

PB X IB Xn( ) ( )

=2

, con-tando la coalición vacía.

La probabilidad de que un votante sea basculante es , donde

IB(X) es el índice de Banzhaf del votante X y 2n

Sistema de votación

es el numero de coaliciones posibles que pueden hacer los n votantes. Tienes que rellenar el cuadro siguiente con los índices de Shapley-Shubik y con la probabilidad de que un votante sea basculante para los sistemas de votación que se especifican en la primera columna. Los cuatro primeros han sido considerados en los ejercicios anteriores; el antepenúltimo el es sistema en el que cada votante tie-ne un voto y las decisiones deben tomarse por unanimidad; en los dos últimos cada votante tiene un voto y las propuestas se aprueban por mayoría absoluta (debes distinguir los casos de número de votantes par e impar).

Índice de Shapley-Shubik

Probabilidad de ser bas-culante

Comité de 3 personas. [3: 2, 1, 1] Ejercicios 5 y 8

Empresa de 4 accionistas. [51: 40, 30, 20, 10] Ejercicios 6 y 9

El Gobierno Federal Australiano. [5: 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

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Ejercicio 11 Una empresa con 91 accionistas. [51: 10, 1, 1, ......., 1] Ejercicio 10

Decisión por unanimidad. [n: 1, 1, ........, 1, 1]

Mayoría absoluta con n impar [(n+1)/2: 1, 1, ....., 1, 1]. n=2m+1

Mayoría absoluta con n par [(n/2)+1: 1, 1, ....., 1, 1]. n=2m

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LECTURA 9.

BIOLOGÍA Y TRANSFORMACIONES AFINES Tomando De viaje con la matemática. Imaginación y razonamiento matemáti-

co. Por Emma Castelnuovo

En 1917 se público el libro Crecimiento y forma del biólogo matemático inglés

D’Arcy Thompson. Esta obra causó sensación en el medio científico porque el autor

intordujo en ele studio de los seres vivos una metodología que en esa época era ver-

daderamente revolucionaria. De hecho se estudian algunos procesos biólogicos a la luz

de sus propiedades matemáticas. El autor sostiene que la forma y el crecimiento de un

ser vivo se desarrollan de modo que sean óptimas las condiciones de vida, y estas

condiciones se expresan en términos matermáticos.

Para dar una idea de los trabajaos de D’ Arcy Thompson, presentemos a lgunos

ejemplos.

En la figura 4.40 está trazado por Durer , el perfil de la cabeza del mismo hom-

bre con el paso de los años.

D’Arcy Thompson nota que estos perfiles, que difieren por pequeñas variantes,

pueden “encuadrarse” en retículas de paralelogramos, demostrando así que el proceso

de transformación de un perfil a otro es por causa de una afinidad.

En la figura 4.41 se presentan los perfiles de dos peces que viven a gran profun-

didad: el Argyropelecus olfersi y el Sternoptyx diaphana.

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111

Se pasa de un d ibujo a l ot ro encuadrando a l primero en un rectángulo de cua-

drados, y aplicándole a éste una transformación afín (de cuadrados se pasa a paralelo-

gramos). “Una deformación de este tipo –dice Thompson- la vemos en los fósiles”. Es

entonces como si un pez fuese obtenido del otro en el proceso de evolución.

Tomemos ahora un e jemplo que se ob tiene a l expresar l a idea de Thompson a

través de ecuaciones. En la figura 4.42 se representa el metatarso (hueso de la planta

del pie o de la pata) del buey (b), de la oveja (o) y la jirafa (j).

Del caso b se pasa al caso o con las ecuaciones

=

=

yy

xx

´32´

y al caso j con las ecuaciones

=

=

yy

xx

´31´

Las formas de las patas son por tanto afines: Hay una “reducción” de la pata del

buey a la de la oveja y a su vez a la de la jirafa.

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112

Estas investigaciones biólogicas-matemáticas de D’Arcy Thompson fueron critica-

das por muchos años.

La aplicación reciente del método de las transformaciones a la morfología fue

retomada y afinada con el uso de la computadora para, por ejemplo, controlar las va-

riaciones normales (y por consiguiente las anormales) en el desarrollo de la forma de

la cabeza humana. La secuencia, que se muestra en la f igura 4.43, va de la infancia

(perfil interno) a la madurez (perfil externo); las variaciones son ocasionadas por la

acción simultánea de una transformación afín y una transformación cardioide (se trata

de una transformación que hace pasar de un círculo a una curva en forma de corazón).

Una investigación del mismo tipo se muestra en la figura 4.44. En este caso, la

secuencia de perfiles sugiere la evolución de la cabeza humana desde el hombre de

Neanderthal (perfil interno) al hombre del futuro (perfil externo).

Todo esto muestra que siempre ha habido, en el campo de la morfología, una

relación entre matemática y biología.

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113

LECTURA 10.

Fractales: ¿formas de la naturaleza? Abelardo Gil-Fournier

Al contemplar un fractal, inevitablemente recordamos alguna forma de la na-

turaleza; parece que la esencia de la geometría de la realidad, y con ella su

atractivo, halla una simulación, o una explicación, en la geometría fractal. Pe-

ro veamos por qué decimos esto. Ante todo, expliquemos por qué a esta sin-

gular especialización en la teoría del caos se la conoce como geometría fractal

Los fractales constituyen una de las secciones más hermosas de la teoría del

caos. Lo que en un principio comenzó como una observación sobre la repetición indefi-

nida de una misma estructura, ha acabado dando lugar a imágenes de increíble belle-

za, que han caracterizado especialmente a esta c iencia matemática, a lejándola de l a

frialdad con que se suele tratar al resto de las matemáticas. Pero no es solamente la

belleza el motivo del estudio de los fractales (motivo ya de por sí suficiente). Al con-

templar un fractal, inevitablemente recordamos alguna forma de la naturaleza; parece

que la esencia de la geometría de la realidad, y con ella su atractivo, halla una simula-

ción, o una explicación, en la geometría fractal. Pero veamos por qué decimos esto.

Ante todo, expliquemos por qué a esta singular especialización en la teoría del caos se

la conoce como geometría fractal. La referencia a la geometría es clara; en esta área

estudiamos figuras, formas en el espacio. La palabra fractal guarda un significado más

complejo. Se refiere al hecho de que matemáticamente la dimensión de estos objetos

no es un número entero, como cabría esperar tras haber estudiado durante 2500 años

la geometría euclídea, o las derivadas de ésta; la dimensión de un objeto fractal es un

número decimal, racional o irracional. No entramos en el aspecto del cálculo para la

obtención del valor de la d imensión de un fractal. Preferimos estudiar e l concepto de

dimensión decimal y sus implicaciones. Otra característica de estos objetos, la que

precisamente los hace bellos al espíritu humano, es la reiteración de un motivo cons-

tantemente, infinitas veces. La complejidad que observamos en un fractal no es en

realidad más que una impresión producida por el inmenso número de veces que se

repite una imagen, aunque siempre con sutiles diferencias. No encontraremos en un

fractal dos fragmentos idénticos el uno al otro. Además de describir cómo es un fractal,

tenemos que relacionarlo con la teoría de los sistemas dinámicos caóticos. Estudiando

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114

éstos con las herramientas de la topología existe ya un puente de unión. La obtención

misma de un fractal constituye un proceso iterativo, lo que lo emparienta con los sis-

temas dinámicos. Más allá de todo tratamiento matemático, y de todo estudio cualita-

tivo, la semejanza entre los fractales y lo que observamos en la realidad nos obliga a

pensar en la capacidad de explicación de la naturaleza ofrecida por los sistemas diná-

micos, y, también, nos lleva a la cuestión siguiente: ¿tendremos que sustituir los trián-

gulos de Pitágoras por estas extrañas figuras?

Dimensión fractal

El que estos objetos reciban el nombre precisamente de esta propiedad, el po-

seer dimensión decimal, nos puede hacer sospechar, con razón, sobre la importancia

de este concepto, tanto en su análisis como en su significación.

Al poseer una dimensión situada entre dos números enteros, no podremos tra-

tarlo como un volumen y un área bien definidos. Así, diremos de un fractal con dimen-

sión situada en el intervalo (1,2) que es una superficie no delimitada por una curva o

un conjunto de rectas, pero que no llega a ser un plano (su perímetro es infinito y no

diferenciable). Si ésta estuviera en (0,1) diríamos que se trata un conjunto de puntos

alineados que no l legan a constituir una recta, pese a ser infinitos y a estar infinita-

mente próximos entre sí. Éste es el caso del conjunto de Cantor (que vimos en la sec-

ción acerca del estudio mediante la topología). Presentamos aquí una de las figuras de

Koch, construidas mediante un proceso geométrico i terado. El f ractal resultante t iene

dimensión en el intervalo (1,2).

Este significado de la dimensión fractal tiene una interpretación física muy inte-

resante: la dimensión fractal de un objeto es un parámetro que nos cuantifica la capa-

cidad de éste de ocupar espacio, independientemente de la estructura geométrica del

mismo. El fractal se extiende por el espacio de dimensión menor (de las dos entre las

que se encuentra) repitiendo un mismo motivo indefinidamente, hasta "superar" esa

dimensión (al poseer longitudes, áreas o volúmenes infinitos).

Además de esta información, cualitativa en cierto modo, y que aprovecha poco

el valor numérico (el número que representa la dimensión), ésta nos indica la escala a

la que se encuentran ciertos parámetros al aparecer las copias del conjunto inicial en el

desarrollo del cuerpo del f ractal. Y en este número se d iferencian todos l os f ractales

entre sí. Todos presentan copias de sí mismos (autosemejanza), no exactamente idén-

ticas, en su cuerpo, pero no escalan de la misma forma. Por eso, atribuimos a la d i-

mensión el "grado de ocupación" del espacio por el conjunto en cuestión. Pensemos

ahora un momento en la idea que tenemos de la naturaleza, como sistema en evolu-

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115

ción, que tiende al mejor aprovechamiento del entorno. ¿No utilizará ésta una geo-

metría de dimensión fractal, con el fin de aprovechar lo mejor posible el espacio? Los

pulmones son superficies increíblemente extensas, situadas en un volumen muy redu-

cido; el conjunto de conductos de nuestro sistema circulatorio colocado en línea recta

tendría una longitud inmensa y, sin embargo, está situado en nuestro cuerpo ocupando

una superficie f inita y reducida. Y como éstos, podemos pensar en muchos ejemplos

más. Teniendo presente la idea de que la naturaleza t iende a maximizar o m inimizar

algunas magnitudes, los fractales aparecen como geometría propia y característica de

ésta.

Relación con los sistemas dinámicos

Antes de preguntarnos qué relación existe entre los objetos fractales y los sis-

temas dinámicos, veamos cómo se construye un fractal. Existen varias formas de ob-

tener este tipo de figuras. Todas ellas tienen en común la necesidad de iterar una ac-

ción un número elevado de veces (indefinidamente, en teoría).

Uno de estos métodos es el de i teración de una transformación concerniente a

la geometría. Por ejemplo: "divide cada segmento en tres partes y quita la parte cen-

tral". Con esta última acción reiterada una y otra vez llegamos al conjunto de Cantor,

el primer objeto fractal estudiado. Éste método de obtención de fractales es muy sen-

cillo, y con él podemos obtener imágenes semejantes a los copos de nieve, motivos

artísticos, etc. La figura que aquí ofrecemos es una de las versiones de la "alfombra de

Sierpinsky", donde la transformación consiste en unir los lados centrales de los trián-

gulos exteriores (los que tienen el centro de masas por encima del lado horizontal).

Reiterando una y otra vez la función obtenemos el fractal.

Otra forma de obtener fractales es siguiendo la órbita de un punto en un siste-

ma dinámico caótico. Lo que obtenemos se conoce como atractor extraño y viene a

indicar la zona del espacio de fases por la que circulan los distintos puntos del sistema

caótico. La importancia de estas f iguras reside en que son fractales d irectamente ex-

traídos de los sistemas dinámicos; son por lo tanto gráficos unificadores. El estudio

mediante técnicas que no veremos de estos objetos permite hacernos una idea de al-

gunas características del sistema dinámico. La figura que vemos a la derecha es cono-

cida como el atractor de Lorenz, y caracteriza el primer sistema dinámico caótico des-

cubierto. Una forma distinta a la anterior de generar fractales, es mediante alguna

propiedad referente a la sucesión de puntos valores de cada iteración (la órbita del

punto inicial). Aplicamos una función sobre un punto, y observamos la tendencia de la

sucesión de puntos formada (si converge o no). Veremos más claro todo esto mediante

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116

el siguiente ejemplo, obra del primer investigador de la geometría fractal: Benoit Man-

delbrot. Por ello el conjunto se conoce como fractal de Mandelbrot. En el espacio de los

números complejos (de dos dimensiones reales, una la parte imaginaria, y otra la re-

al), iteramos sobre cada punto la siguiente función:

Si la órbita del punto converge, entonces pintamos el punto. Si no converge, fi-

jamos un número de modo que al superar una sucesión éste número en una de las

iteraciones, pintamos el punto origen de ésta con un color según la iteración (por

ejemplo, según la última cifra del valor de ésta). Con estas leyes obtenemos uno de los

fractales más conocidos y a la vez asombrosos. En él se dan claramente la autoseme-

janza y la alta ocupación del espacio.

La imagen producida por la aplicación reiterada de esta función es la que aquí

aparece (en la página). Puede irse ampliando la imagen (haciendo "zooms") y nos en-

contraremos que la esta curiosa silueta aparece repetida a escalas mucho más peque-

ñas indefinidamente. Finalmente, podemos hablar de otra forma de crear figuras frac-

tales, conocida como "Chaos Game". Es muy general, y puede dar lugar a todo tipo de

fractales, incluidos los anteriores. El método es muy sencillo: tenemos n reglas sobre

el espacio de fases (que llevan un punto a otro punto del espacio), y una sucesión de n

sucesos una determinada probabilidad. Según el suceso que ocurra aplicamos sobre el

punto una u otra ley. Hacemos que aparezca un nuevo suceso, y repetimos el proceso.

Reiterado este mecanismo una y otra vez obtenemos figuras de todo tipo. Una de

ellas, quizá la más famosa, es la de la hoja de helecho que aquí presentamos. Este

fractal se ha generado con cuatro funciones con distinta probabilidad, siendo cada fun-

ción lineal (una matriz). Fijémonos en las características propias de fractal: autoseme-

janza (cada ramita es igual a la hoja entera) y repetición.

Un mecanismo tan sencillo es capaz de generar una imagen tan bella como la

que aquí vemos, claramente presente en la naturaleza. Con este método podemos si-

mular las costas de un continente, un cielo estrellado, galaxias, árboles, por eso es uno

de los más interesantes (y con muchas aplicaciones para el mundo multimedia).

Con esto hemos visto cómo se construye un fractal. Pero, ¿qué relación guardan

estas hermosas figuras con los sistemas dinámicos caóticos? En primer lugar tenemos

procesos iterativos en todos los métodos de construcción, también presentes en los

sistemas d inámicos. P ero n o s ólo e n l a co nstrucción a parece l a re iteración. C omo

hemos visto, la autosemejanza y la repetición de un mismo motivo son características

de l os fractales, constituye su método de conquista del espacio. Luego, s i considera-

mos el mecanismo que crea un fractal como un sistema dinámico (por ser un proceso

iterado), el objeto pasa a ser la representación gráfica de la ley. En los atractores, esta

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117

concepción es clara, puesto que se forman a partir de órbitas de puntos. En un conjun-

to del tipo del de Cantor, la idea es también muy natural, pues el fractal no es más que

la consecuencia de la acción del sistema dinámico. En los fractales del tipo de Mandel-

brot, la conexión no está tan clara, puesto que además del proceso iterativo añadimos

una condición para que un punto aparezca pintado o no. Sin embargo, esta condición

puede interpretarse como necesaria y suficiente para delimitar e l conjunto de puntos

sobre l os que se puede aplicar e l proceso i terativo (que no d iverge) y que permane-

cerán en el espacio de fases. Por lo tanto, adquiere en estos casos el fractal el sentido

de "frontera del sistema dinámico", frontera que separa los puntos en los que tiene

sentido la aplicación del proceso de los que no lo t iene. Este concepto de frontera es

mucho más profundo de lo que puede parecer, puesto que, en términos de s istemas

dinámicos, delimita la cuenca de un atractor, la zona del espacio en la que los puntos

se ven arrastrados o repelidos por el atractor. Tienen por lo tanto, también este tipo de

fractales, gran relación con l os si stemas d inámicos caóticos (en e l resto, l as cuencas

no son fractales).

Vemos por lo tanto que, en general, los fractales aparecen como una exposición gráfica

de la acción del sistema caótico. Estudiando los fractales conocemos características del

sistema dinámico que lo ha generado (y que podemos desconocer), y viceversa. Unos,

como posible explicación de ciertos mecanismos de la naturaleza y otros como posible

geometría de ésta. Siguiendo esta interpretación de la teoría, que habla de ésta como

el "lenguaje de la naturaleza", debían estar muy relacionados, tanto caos como fracta-

les. Y hemos visto qu e lo están.

Realidad de los fractales

La imagen del helecho obtenida como resultado del "Chaos Game" es realmente

sorprendente. Como también lo son el resto de las imágenes de plantas, galaxias, ríos,

costas, montañas, paisajes, etc., conseguidos por iteraciones semejantes. ¿Cómo es

que se parecen tanto a la realidad? Si hablábamos sobre los sistemas dinámicos como

herramienta intuitiva y natural a la hora de explicar los procesos dados en la naturale-

za, y vemos que éstos están unidos conceptualmente a los fractales, no nos debe ex-

trañar que aparezcan precisamente las formas de la naturaleza reflejadas el ellos. Así,

en e l s istema d inámico de Lorenz, que s imulaba una meteorología, es muy p robable

que de sus mismas ecuaciones exista la posibilidad de poder extraer algún fractal que

represente nubes, o un mapa de temperaturas... es decir, algo real, presente en la

naturaleza. Los f ractales pasan por lo tanto a ser una interesantísima prueba de que

los s istemas d inámicos caóticos están realmente presentes en la naturaleza (dejando

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118

las discusiones de si están en nuestra cabeza o en la naturaleza). Podemos ahora di-

vagar sobre las consecuencias de la "realidad" de los fractales. A pocas personas no les

produce satisfacción y placer la contemplación de un objeto fractal. ¿A qué se debe

esto? Podemos hablar de causas probables: la reiteración de un motivo, algo muy

común en el arte; el colorido que en ellos se obtiene (y que es algo artificial, que elige

quien diseña el programa que genera los fractales); la originalidad, nunca habíamos

visto cosas iguales (las imágenes que no son copia de la realidad); etc. Pero podemos

hablar de otra causa más profunda, basada precisamente en su parecido a las formas

de la realidad. ¿Acaso lo que nos agrada está basado en las irregularidades ordenadas

presentes en los fractales y no en las f iguras geométricas clásicas? O quizá la propia

tortuosidad de nuestra mente provoca que estos objetos nos parezcan bellos, por "pa-

recerse a nosotros". O, dentro ya del aspecto más metafísico, quizá vemos en ellos un

orden presente en la naturaleza, en todos sus rincones, común a todos los fenómenos.

Existe un mecanismo, una ley, que provoca que la naturaleza sea como es. Pero ésta,

al igual que una bella mujer, se nos muestra como un misterio, como algo oculto, que

nos arrastra irremediablemente a una constante admiración y búsqueda. Contemplan-

do esta belleza de los fractales, contemplamos la de la teoría del caos, y, en general,

la de las matemáticas y la razón. Si algún día sustituimos los triángulos equiláteros por

las nubes y las flores en nuestra visión geométrica del mundo, no será por el éxito ma-

temático de la teoría del caos, sino por el triunfo sobre las otras cosas del sentimiento

de belleza.

Benoit Mandelbrot (1936- )

Nacido en Polonia, sus padres emigraron a Francia en 1936 y su tío Szolem,

profesor de matemáticas en el Collège de Francia asumió la responsabilidad de su edu-

cación. Benoit estudió en Paris, Lyon y en California (en Caltech).

Como investigador en IBM se enfrentó a un problema que sorprendía a los in-

genieros de la m ultinacional. E stos notaron que s e p roducen s iempre e rrores d e

transmisión de información entre ordenadores, sea cual sea la cantidad de información

transferida. Vieron además que existía cierta regularidad en la distribución temporal de

estos: tras un período de ausencia venía otro repleto de errores. Mandelbrot analizó el

fenómeno, y descubrió que a medida que acortamos los intervalos de tiempo estudia-

dos, sigue apareciendo más complejidad en la distribución. Así, si durante una hora no

se producen errores, en la siguiente sí se producen. Si estudiamos únicamente esta

hora, y la dividimos en intervalos de 20 minutos, veremos que habrá intervalos sin

errores, y otros con muchos errores; estudiando aquellos con errores volvíamos a ver

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119

nuevos intervalos, etc. Mandelbrot asoció la imagen con un objeto estudiado por el

matemático Georg Canto, el conjunto de Cantor. Descubrió otros procesos con comple-

jidad c reciente a medida que nos aproximamos a ellos, y l os l lamó f ractales. Mostró

cómo los fractales están presentes en muchos lugares tanto en las matemáticas como

en la naturaleza.

Entre otros premios, ha recibido la "Barnard Medal for Meritorius Service to

Science", la Medalla Franklin y la Medalla Steinmetz (ésta, en 1991).

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120

LECTURA 11.

Resumen del curso de “Introducción a la Geo-

metría Fractal” http://www.fractaltec.org/CursoGeometriaFractal.pdf

Comenzando

Para introducirnos de lleno en el mundo de los Fractales, lo primero que quiero

contarles son las palabras que dan inicio al libro “Fractals Everywhere” (“Fractales en

todos Lados”) de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y más importantes divulga-

dores e investigadores del tema:

“La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir

leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen

inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flo-

res, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás vol-

verá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que has-

ta ahora le eran familiares."

Creen que Michael exageraba? En realidad esa pregunta no la podrán contestar

hasta que no hayan finalizado este curso. Una de mis metas es mostrarles que ese

párrafo solo refleja l a realidad y l a v isión de miles de c ientíficos s in importar en que

especialidad desarrollen sus actividades. Esta visión se incrementará más aún en todos

aquellos que decidan utilizar programas de computadoras (Fractint por ejemplo) para

comenzar a “navegar”, crear y descubrir infinitas y hermosas estructuras matemáti-

cas a las cuales llamamos Fractales.

Una importante advertencia que siempre me gusta mencionar al comienzo de

toda charla es la de tener un obsesivo cuidado de no ver estructuras fractales don-

de no las hay. Uno de los objetivos de este curso es el de reconocer tales sistemas, lo

cual profundizaremos cuando veamos más en detalle l a Teoría del Caos. Como decía

Barnsley en su impactante párrafo, la imagen de los objetos naturales que nos rodean

cambiará de manera contundente, así que la advertencia queda hecha.

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121

Un poco de historia

Los Fractales son los objetos matemáticos que constituyen la Geometr-

ía de la Teoría del Caos, aunque es importante destacar que no todos los fractales

son caóticos como veremos más adelante. Los objetos fractales fueron creados mucho

antes de haberse desarrollado formalmente la Geometría Fractal o la Teoría del Caos.

De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras con características fractales como

la del triángulo de Sierpinski (figura 1) en grabados de tela de hace varias décadas

atrás, hasta en los años de 1400 se hallaron grabados japoneses con estas estructu-

ras.

Antes de que Newton, Leibniz y colaboradores c rearan en e l s iglo XVII l o que

hoy conocemos como Calculus y estudiamos en la facultad como Cálculo, Análisis Ma-

temático o Cálculo Infinitesimal, se conocían funciones con enormes i rregularidades y

discontinuidades, pero los científicos de aquella época supusieron que esas mismas

funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgirían en sistemas natu-

rales, por l o que l as consideraban excepciones a la matemática t radicional y s imple-

mente las dejaban de lado, o s i no las ignoraban realizaban aproximaciones a través

de redondeos, lo cual aún hoy en día se continua haciendo con éxito en diferentes sis-

temas, pero dichos redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con una dinámica

caótica.

Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la naturaleza se daba

muy seguido el fenómeno de i rregularidades y que no eran excepciones como se su-

ponía. Los primeros que comenzaron a demostrar teóricamente esta problemática fue-

ron Cantor (con su famoso y casi místico conjunto de Cantor – Figura 2) y Peano. Has-

ta llegar a los años de 1880 con Poincaré, al que se lo conoce como el padre de la Te-

oría del Caos.

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122

Otra estructura matemática ya conocida en esa época y que más tarde pasó a

formar parte de uno de los fractales más reconocidos es el de Koch “Snowflake” Curve,

o la curva de “Copo de nieve” de Helge von Koch (figura 3)

Entonces, hasta el momento vimos de manera general como los sistemas diná-

micos y caóticos se fueron introduciendo en el pensamiento de la comunidad científica

y como fueron surgiendo nuevas necesidades para reformular teorías y crear nuevas

herramientas que pudieran describir sistemas que hasta ese entonces eran considera-

dos excepciones y a los cuales se les realizaban diferentes aproximaciones y se les

aplicaban diversos “trucos” matemáticos para ajustarlos a las herramientas disponibles

en esos tiempos. Más adelante veremos los problemas que surgen al aplicar estos tipos

de técnicas de aproximación y omitir variables y detalles que con el trascurso del tiem-

po pueden derivar en sistemas caóticos y totalmente impredecibles, pero no nos ade-

lantemos.

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123

Hemos v isto también que objetos con estructuras que hoy reconocemos como

fractales han existido durante muchos años, como ser todas las figuras anteriormente

mencionadas, y es por ello que diversos libros y autores difieren al contarnos la histo-

ria de cómo surgió esta rama de la matemática.

A pesar de toda esta introducción aún no les he contado como nacieron los frac-

tales ni como fueron formulados teóricamente.

Como surgieron los Fractales

No fue hasta el año 1958 cuando Benoit Mandelbrot i ngresa a t rabajar en l os

laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y perturbaciones eléctricas. Mien-

tras realizaba dichos estudios encontró un patrón en su comportamiento y por lo tanto

comenzó a descifrar una estructura escondida. Algo así como jerarquías de fluctuacio-

nes en todas las escalas ( lamento no poder detallar más este tema debido a mis po-

bres conocimientos en el área de electrónica, al menos por el momento!). Lo que sí es

cierto es que esas fluctuaciones no podían ser descriptas por la matemática estadística

que existía. Mientras seguía adelante con sus tareas empezó a imaginar en que otros

sistemas podría encontrar patrones similares que no puedan ser descriptos con exacti-

tud por la matemática existente y que se comportaran de igual manera. Su visión lo

llevó a hacerse una pregunta que para la mayoría de nosotros puede resultar obvia y

hasta para muchos otros ser trivial, o en el mejor de los casos sin sentido. Su famosa

pregunta fue: Cuánto mide realmente la costa de Inglaterra? Ok, cualquiera que tome

un libro de geografía o un mapa va a poder contestar esto sin ningún tipo de proble-

ma. Imaginemos que el dato que encontramos es de 2.000 kilómetros (no conozco el

valor real). Ahora bien, esos 2.000 KM., de donde provienen? Cómo se midieron? Para

contestar esto voy a proponer tres situaciones diferentes, con distintos puntos de vis-

ta:

1) S i medimos las costas de Inglaterra desde un satélite, vamos a ver que sus

bordes son suaves, armónicos, con líneas casi rectas y ángulos prácticamente

redondeados.

2) Probemos ahora medir la misma distancia, pero desde un avión que vuela

mucho más bajo que e l satélite. Qué pasa en este caso? Ahora que vemos l as

cosas con más detalle por estar más próximos, nos damos cuenta que los bordes

no eran en realidad tan suaves como se había observado anteriormente, sino

que notamos muchas más rugosidades.

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124

3) Imaginemos por último un tercer punto de partida, algo extremista, pero vale.

Esta vez no estamos ni en un satélite, ni en el avión; esta vez nos encontramos

parados sobre la misma costa de Inglaterra con una regla como la que usábamos

en l a escuela, y nos ponemos a medir roca por roca, rugosidad por rugosidad,

detalle por detalle.

Cuál creen que será el resultado de las distintas mediciones? Siempre habrá

arrojado el mismo resultado? Si fue variando, cuál habrá sido el de mayor extensión?

Sería bueno que antes de seguir leyendo sacaran sus propias conclusiones y las justifi-

caciones de por qué pasa eso.

La realidad y la geometría tradicional nos muestra que una figura con bordes

rectos o redondeados tiene una longitud menor que otra equivalente pero llena de ru-

gosidades. Comparemos por ejemplo un círculo perfecto con la figura que vimos ante-

riormente de von Koch, (figura 3-B). La segunda tiene una longitud mucho más grande

en sus bordes que la circunferencia. Teniendo en cuenta esto volvamos a l caso de la

costa de Inglaterra y la pregunta de Mandelbrot. Si acabamos de decir que una longi-

tud sin rigurosidades es menos extensa que una totalmente irregular, entonces pode-

mos asegurar que los resultados de las 3 mediciones serán en todos los casos diferen-

tes, y el de mayor extensión será el tercer caso, ya que es en el cual nos topamos con

más detalles. En realidad el resultado de este último caso se acercaría a infinito en el

marco teórico.

De qué dependerán nuestras mediciones, entonces? Justamente de la escala

que utilicemos para medirlas, y no es para nada una casualidad que estas deducciones

se desprendan de los mismos patrones que encontró Mandelbrot en sus estudios sobre

flujo electrónico, recordemos: ”jerarquías de fluctuaciones en todas las escalas”. Esas

escalas como Mandelbrot reconoció poseían un patrón, y ese patrón las relacionaba

diciendo que si bien no eran iguales a diferentes escalas, si lo eran de manera es-

tadísticamente similar, y ésta es una de las características principales de los fracta-

les ya que mismo pasaremos a estudiar.

Qué son los Fractales?

Cada vez que uno toma un libro sobre Geometría Fractal y busca una definición

clara surgen por algún motivo diferentes enunciados. Lo que personalmente sospecho

que no se trate de un problema de exactitud, sino que se requiere de tal abstracción

para comprender el concepto de Fractal que los puntos de vista varían drásticamente

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125

por más que se esté hablando de lo mismo, es más, tengo entendido que hasta el

mismo Mandelbrot no está 100% conforme con la definición. Otra consecuencia puede

llegar a ser que la Geometría Fractal se ha trasformado en una herramienta multidisci-

plinaria utilizada por científicos, artistas, psicólogos, sociólogos, etc ... entonces, un

matemático no va a dar una definición de la misma forma que la dará un programador

de computadoras o un artista plástico. Por lo tanto, para poder contarles que es un

fractal, y al ser este que nos reúne un grupo multidisciplinario, decidí enunciar un con-

junto de definiciones y pensamientos y al final intentar unirlos todos para que junto

con mi propia visión, poder formular una definición lo más clara y contundente posible.

Por el momento entonces solamente voy a enumerar una serie de frases sueltas:

1) Los Fractales son los objetos matemáticos que conforman la Geometría de la Teoría

del Caos.

2) La Geometría Fractal es también conocida como la “Geometría de la Naturaleza.

3) La palabra Fractal, enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y significa roto,

quebrado. (esto se asocia con las discontinuidades de funciones matemáticas que

mencionaba en párrafos anteriores).

4) La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje; ya que los puntos, rectas, esferas, elip-

ses y demás objetos de la geometría tradicional son reemplazados por algoritmos

iterativos co mputacionales q ue p ermiten d escribir si stemas n aturales, ca óticos y

dinámicos.

5) Los Fractales son objetos cuya dimensión es no entera o fraccionaria.

6) Un objeto fractal es aquél que su dimensión fractal de Hausdorff -Besicovich supera

a su dimensión topológica.

7) Un objeto fractal es aquél que posee las siguientes dos características:

a) Autosimilitud,

b) Dimensión Fractal

8) Un fractal es un objeto en el cual sus partes t ienen “alguna” relación con el todo.

(esto está íntimamente ligado a la Autosimilitud)

Bien, cualquiera de estas ocho definiciones es correcta. Algunas son más comple-

tas, otras más técnicas y otras aportan tan solo meros datos pero no llegan a ser defi-

niciones con todas las de la ley.

Veamos algunas en particular. Comencemos con la primera; cada teoría o ley ma-

temática posee sus propias herramientas que la soportan y la describen. Las más co-

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126

munes son la geometría euclidiana, el álgebra, o el mismo cálculo, este último en es-

pecial se da en la Física. La teoría del Caos no es la excepción a la regla, y se sustenta,

entre otras cosas, sobre la Geometría Fractal.

La segunda nos dice, que a la Geometría Fractal se la conoce como la “Geometría

de la Naturaleza”, y este caso no lo voy a explicar con palabras, sino con imágenes:

Sigamos adelante.

a) Autosimilitud:

Cada porción de un objeto tiene las mismas características del objeto completo.

También se puede decir que cada área de un fractal conserva, de manera estadística-

mente similar, sus características globales.

Pero veamos un ejemplo gráfico, con el conjunto de Mandelbrot, el fractal más

conocido

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127

La primera de estas cuatro imágenes es el conjunto de Mandelbrot en su estado

original, o s ea, s in ninguna iteración, o p ara que se entienda mejor, s in haber hecho

ningún ZOOM dentro de la imagen. Las siguientes figuras se generan ampliando un

sector del f ractal y v iendo que se encuentra dentro. Por ejemplo, a la segunda se l e

hizo un ZOOM, a la tercera cinco ampliaciones consecutivas y por último a la cuarta se

le aplicaron 10 ZOOM. Nótese que estoy hablando de un ZOOM inicial en un área de-

terminada, si hubiese elegido otro lugar d e fractal d onde comenzar a interactuar,

hubiese generado imágenes di stintas, pero a l mismo tiempo estadísticamente s imila-

res, sin importar la porción del fractal designado.

Muy importante, noten que no uso la palabra ZOOM con el s ignificado de am-

pliación de la imagen, sino es solo para dar una idea f igurativa, lo que realmente se

hace con un software para generar fractales es iteraciones! Lo veremos más adelante.

Pero básicamente digo que cada vez que elijo un trozo de imagen para ampliar dentro

de ellas encuentro infinitas imágenes similares.

Es tarea de cada uno de ustedes encontrar regularidades en esas imágenes.

Cuando las hayan detectado encontrarán patrones similares, eso es justamente la Au-

tosimilitud, característica fundamental de los fractales, aunque veremos que no todos

la poseen.

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b) Dimensión Fractal:

En matemática estamos acostumbrados a trabajar con cuatro dimen-

siones, que son las siguientes:

- Dimensión 0 ---- Un punto

- Dimensión 1 ---- Una línea recta

- Dimensión 2 ---- Un plano

- Dimensión 3 ---- El espacio

Existe una quinta que es la de un conjunto vacío, se dice que el mis-

mo posee una dimensión de –1.

Hasta aquí hemos recorrido un camino relativamente largo e intenso para llegar

tan solo a poder encontrar una definición lo más justa posible de la Geometría Fractal y

que englobe varios temas abstractos y tal vez nada intuitivos. Así que acá va el primer

ensayo para una posible definición:

“La Geometría Fractal, llamada también "Geometría de la Naturaleza",

es un conjunto de estructuras irregulares y complejas descriptas a

través de algoritmos matemáticos y computacionales; los cuales re-

emplazan a los puntos, rectas, circunferencias y demás figuras prove-

nientes de la matemática tradicional. Estos objetos tienen como carac-

terísticas fundamental las propiedades de Autosimilitud y la de convivir

en extraños paisajes formados por dimensiones fraccionarias.”

Quiero contarles también que hoy en día la Geometría Fractal ha avanzado a

pasos gigantescos, no se olviden que fue concebida hace tan solo 30 años y ya se apli-

can a estudios en medicina, sobre todo en las áreas de cardiología y neurología (estos

dos sistemas representan justamente la eterna lucha entre el Orden y el Caos, en eco-

nomía en estudios bursátiles, en psicología, en sociología, biología, en computación en

el área de Algoritmos no lineales para Criptografía, y obviamente en matemática, física

y química donde se están reformulando gran cantidad de teorías conocidas hasta el

momento.

Algunos sistemas naturales reconocidos como caóticos y descriptos a través de

los Fractales pueden ser: todo lo relacionado con turbulencias, ya sea en el aire o

agua; todo lo referido a ramificaciones, como ser redes neuronales, ríos; propagacio-

nes de poblaciones y enfermedades; estructuras montañosas y vegetales.

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Bien, ahora nos toca estudiar de una manera más detallada cada uno de estos

aspectos.

Distintos tipos de Fractales

Dijimos que los Fractales tienen dos características fundamentales, ellas son:

1) Autosimilitud

2) Dimensión Fractal

Anteriormente habíamos definido Autosimilitud como la característica que pre-

sentan determinados objetos en los cuales los detalles más pequeños que lo componen

tienen alguna relación estadística con sus propiedades globales, repitiéndose tales de-

talles de una manera infinita.

Comencemos ahora con otras cuatro propiedades que se encuentran ocultas en

esa definición:

1) Existen d os ti pos bien definidos d e f ractales. Lo s LINEALES y l os NO

LINEALES. Estoy seguro que intuitivamente y con las imágenes que hayan vis-

to con anterioridad en d iferentes galerías l os podrían reconocer sin p roblema.

De hecho uno de los participantes del curso, Geova, planteó que hace un tiem-

po había creado los algoritmos y programas de manera autodidacta para gene-

rar fractales como el Triángulo de Sierpinski y la Curva de von Koch, y que

otros como el Conjunto de Mandelbrot no le habían salido fácilmente. Bueno,

los primeros fractales son justamente los l ineales y se generan a través de al-

goritmos conocidos por l a matemática euclídea, e l Conjunto de Mandelbrot se

genera a través de números complejos, y tiene una dificultad mucho mayor.

Igualmente ahora les voy a contar sus diferencias y a dar ejemplos, muchos de

ellos ya conocidos por ustedes.

Los fractales lineales son aquellos que se construyen con un simple cambio en

la variación de sus escalas. Esto implica a lgo muy importante, l os f ractales l i-

neales son exactamente idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. En un

rato cuando estemos construyendo fractales espero que quede más claro. Por el

momento aquí van los ejemplos.

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En cualquiera de las tres imágenes anteriores cuando uno comienza a “sumer-

girse” dentro de esos objetos siempre va a encontrar exactamente la misma

estructura, sin distorsiones, solo cambiará su escala. (comparar con las distor-

siones sufridas a diferente escala en el Conjunto de Mandelbrot visto anterior-

mente. En la primera, por ejemplo, siempre encontraremos una línea recta, en

el tercero siempre un triángulo a diferentes escalas, y en la segunda una es-

tructura como muestra esta imagen:

Los fractales no lineales, en cambio, son aquellos que se generan a partir de

distorsiones complejas o j ustamente como lo dice su nombre, y usando un

término proveniente de la matemática Caótica, distorsiones no lineales. La ma-

yoría de los objetos fractales puramente matemáticos y naturales son no linea-

les. Ejemplos de ellos son: el súper conocido por todos nosotros Conjunto de

Mandelbrot (figura 2-A) o el Conjunto de Julia (figura 2-B).

2) De esta ú ltima propiedad (1) que hemos v isto, podemos sacar una conclusión

sumamente importante, y a la que hay que prestarle MUCHA atención. Los

Fractales pueden ser generados a partir de elementos de la matemática tradi-

cional (fractales lineales), o a través de números complejos. Estos últimos

seguramente los han estudiado en la secundaria. De hecho, el conjunto de

Mandelbrot se genera a t ravés de i terar una c ierta cantidad de veces la ecua-

ción compleja:

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131

Zn+1 Zn^2 + C Donde Z^2 significa Z al cuadrado. El símbolo ^ se utiliza

para representar una potencia, y donde Z y C son números complejos. Todo lo

que viene ahora para explicar como se utiliza esta ecuación no es necesario que

lo entiendan aquellos no interesados en la parte matemática, pero si considero

muy importante que sepan que el Conjunto de Mandelbrot, al igual que los de-

más fractales no lineales tienen su origen en los números complejos.

Para recordar un poco las propiedades de estos números, digamos que se divi-

den en dos partes, una real y una imaginaria. A la parte imaginaria la denota-

mos con i lo cual es igual a Recordemos también que los complejos pueden es-

cribirse de varias maneras, en este caso nosotros usaremos la forma binómica,

donde si (2 + 3i) es un número complejo, entonces 2 es su parte real y 3 es su

parte imaginaria.

Vamos a analizar ahora la ecuación de Mandelbrot:

Dados dos números complejos Z y C ( los mismos que están en la ecuación) y

donde:

Z = X + Yi

C = a + bi

La ecuación nos dice que elevemos Z al cuadrado y luego le sumemos C, hagá-

moslo entonces

Z^2 = (X + Yi)^2 = X^2 + 2XYi + (Yi)^2

Por potencies sucesivas de los números complejos sabemos que i^2 = -1, por

lo tanto nuestra expresión nos quedaría:

X^2 + 2XYi – Y^2

Ya tenemos la primera parte, Z^2, ahora nos toca sumarle el complejo C:

X^2 + 2XYi – Y^2 + a + bi

Para sumar lo que debemos hacer es agrupar la parte real y luego la parte

compleja, entonces tendríamos:

X^2 – Y^2 + a + 2XYi + bi

He puesto en color rojo la parte real (X) y en azul la parte imaginaria (Y)

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Ya tenemos la expresión final de la ecuación que genera el Conjunto de Mandel-

brot, lo que debemos hacer ahora iterarla, para ello, hay que elegir justamente,

el número de iteraciones. Los fractales matemáticos perfectos y teóricos tienen

un número infinito de iteraciones y detalles. Ahora retomo este tema!

3) Qué son las iteraciones? Es repetir y volver sobre sí mismo una cierta canti-

dad de veces. En el caso de los fractales lo que iteramos son fórmulas o e cua-

ciones como la que recién hemos visto para generar el Conjunto de Mandelbrot.

Cómo iteramos esas fórmulas? sería la siguiente pregunta. Bueno, la respuesta

es sencilla, hacerlo realidad es más complicado. Lo hacemos mediante algorit-

mos. Alguien se preguntó alguna vez por que los fractales no se crearon ante-

riormente? C reo que l a respuesta adecuada a e llo está l igado d irectamente a l

desarrollo de las computadoras, sin ellas los fractales no existirían. Iterar y

hacer estos cálculos con lápiz y papel resultaría en una complejidad que nadie

podría resolver (quizás Cantor). Como decía hace un instante, los fractales teó-

ricos tienen detalle infinito. Por ejemplo si nos adentramos en el triángulo de

Sierpinski siempre encontraremos otro triángulo con las mismas características

que el anterior pero a diferente escala (diferente tamaño), eso significa que

está iterado infinitas veces. Esto es algo que no podemos experimentar, ya que

crear un a lgoritmo de i teración infinita haría que una computadora se t ildase.

Por ello, si alguno ya usó algún software como el Fractint, Ultrafractal, o cual-

quier otro para generar imágenes fractales, habrá notado que llega un momen-

to en que la pantalla irremediablemente se queda en negro o blanco. Si son ob-

servadores deberían haberse preguntado por qué pasó eso si los fractales en

teoría tienen detalles infinitos y siempre deberíamos encontrar una nueva ima-

gen. Bueno, esto se debe justamente a lo que hablábamos recién, todavía no se

han podido escribir programas con iteración infinita. (al menos hasta donde yo

sé)

Esto último pasa en la Naturaleza también, como ya vimos existen varios siste-

mas que tienen características fractal, autosimilares, como ser árboles, ríos,

neuronas, etc. Si vemos un árbol en su totalidad, y luego tomamos una rama,

ésta ú ltima tendrá características muy similares al árbol en su totalidad. En la

misma rama podemos otras más pequeñas y en ellas a su vez otras más chicas

aún. Esas características transforman a un árbol en un objeto fractal. Pero llega

un momento en que ya no hay manera de seguir descomponiendo la rama de

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un árbol. Por lo tanto no sería un fractal perfecto, que como ya hemos deducido

hace un momento solo existen en el campo teórico.

4) Dijimos muy superficialmente que todos los fractales DEBEN tener una di-

mensión fractal (próximo tema), pero no todos los fractales son autosimilares,

estos últimos son los menos, pero es necesario mencionarlos. Un ejemplo de

ellos son los fractales plasmáticos, y tienen una forma muy indefinida. Vea-

mos una imagen.

Dimensión Fractal Ahora nos toca entrar de lleno en el que tal vez sea el concepto más importan-

te, y en el cual más esfuerzo deberán hacer para comprender, para e llo tendrán que

dejar de pensar en la matemática tradicional por un momento y adentrarse en las

geometrías no-Euclídeas.

Ya hemos visto que los fractales DEBEN poseer una dimensión fractal (aunque esto es

relativo, hay fractales que poseen dimensión fractal igual a 2 y aún así son fractales).

Entonces, la dimensión fractal debería ser:

- 1) no entera

- 2) su dimensión de Hausdorff debe superar su dimensión topológica.

Recién hice una aclaración que hay fractales que poseen dimensión entera, lo

cual aparenta ser una contradicción, pero hay que aclarar que si bien ellos no cumplen

con el punto 1), si cumplen con el 2), es el típico caso de la curva de Peano o de Hil-

bert, que parte de una curva, cuya dimensión topológica es 1, y termina llenando el

espacio, cuya dimensión es 2. Por lo tanto, la dimensión final es de 2, mayor a 1 su

dimensión topológica. Aclaramos también que cumple la característica de autosimili-

tud.

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Recordemos que las dimensiones topológicas son 5:

- Dimensión (-1) -- Un Conjunto Vacío

- Dimensión 0 -- Un punto

- Dimensión 1 -- Una línea recta

- Dimensión 2 -- Un plano

- Dimensión 3 -- El espacio

Como los fractales están compuestos por elementos cada vez más pequeños de

sí mismo (Autosimilitud), el concepto de longitud pasa a ser algo muy complejo y has-

ta casi sin sentido, de esta manera el concepto de dimensión comienza a jugar un

papel fundamental. De ahora en adelante no deberíamos preguntarnos cuanto mide un

fractal, sino cual es su dimensión.

Calcular la dimensión fractal de un objeto puede ser una tarea por demás com-

plicada, de hecho hay muchos fractales a los que aún no se les ha podido calcular su

dimensión con precisión. Es todo un tema de debate la dimensión fractal de la corteza

del cerebro humano por ejemplo, aunque se dice que ronda los 2.8... Para poder com-

prender estos nuevos conceptos voy a trabajar ahora con fractales lineales, lo cual

va a resultar mucho más sencillo que con los no lineales, ya que como acabo de men-

cionar, estos últimos pueden resultar muy tediosos y se necesitan otras técnicas, la

más famoso y exacta sea quizás el “box counting método” (el método de conteo de

cajas). Existe un sitio, que da una introducción y tutorial sobre este método, y además

tiene un EXCELENTE software libre para bajar y calcular la dimensión de diferentes

fractales no-lineales o lineales.

La URL de la página es:

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/ y el programa FDC (Fractal

Dimensión Calculador) e s:

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http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/fracdim/fdc_linux.tar.gz aconsejo

también bajarse los ejemplos TGA. Por lo que se este software esta disponible para

Linux y Mac, pero seguramente existe algún otro para WIN. Cualquier duda que tengan

sobre e ste m étodo, n o d uden e n c onsultar e n los f oros d e F ractalTec:

http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl

Sigamos, por le momento, tengamos presente que partiendo de una dimensión

entera, debemos llegar a una no entera.

Es una línea recta un fractal?

Espero que todos hayan contestado que NO!

Que debe pasar entonces para que no lo sea?

Espero que todos hayan contestado que su dimensión topológica coincide con la

de Hausdorff – Besicovich o a lo sumo es menor que ella. Si alguno de ustedes tuvo

algún t ipo de i nconvenientes para responder estas dos preguntas, sugiero que antes

de seguir leyendo repase las definiciones de dimensión que vimos anteriormente.

Probemos esto:

Tomamos un línea recta.

Ahora debemos medirla, para ello necesitamos un instrumento y una escala.

Imaginemos que tenemos una regla de 1 metro de longitud, y que justo la distancia de

esa recta es de un metro. Obtengo lo siguiente:

- Un Segmento S - S = 1 (nuestra escala)

- Una Longitud L --> L = 1 metro (una vez nuestra escala de medición)

Vamos ahora a otra posibilidad. Como habíamos hablado en el ejemplo de las

costas de Inglaterra, si por algún motivo necesitamos más precisión en nuestra medi-

ción, debemos elegir entonces una escala menor

Supongamos ahora, que tenemos la misma recta, pero esta vez tomamos un

elemento de medición que sea justamente la mitad del anterior.

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Nuestras mediciones ahora reflejan los siguiente resultados:

Dos Segmentos - S = 2

Longitud 2L - L = 2 (dos veces nuestra escala de medición)

Esto significa que si tenemos la recta original de 1 metro, y la medimos con una

regla de 50 cm. obtendremos 2 segmentos de 50 cm cada uno, o sea, dos veces nues-

tra escala de medición.

Llegamos a la parte más importante de l o que va del curso. Que es definir la

Dimensión Fractal, pero esta vez expresada matemáticamente. Para ello utilizaremos

las mediciones de las rectas que realizamos hace un momento. Pero antes pensemos

un poco. Resulta muy fácil para nosotros decir que la dimensión de una recta es 1, la

de un p lano es 2 y el espacio donde vivimos es 3 , pero de que hablamos realmente

cuando hablamos de dimensión? Cómo la definimos? Realmente no me ha resultado

nada fácil encontrar una definición clara para contarles, por lo tanto haré mi mejor

esfuerzo.

La dimensión está directamente ligada con los grados de libertad. Cuando la

dimensión es 0, solo podría existir ahí un punto inmóvil, y sin límites. Si en cambio la

dimensión es 1 ya tenemos una recta y existe un grado de libertad, que es el de mo-

verse de izquierda a derecha por ejemplo. Ahora, si la dimensión es 2 tenemos un pla-

no, con 2 grados de libertad, podemos movernos de izquierda a derecha nuevamente y

de arriba hacia abajo, y obviamente en diagonales. Por último, si la misma es 3 esta-

mos en una situación como la anterior solo que se le agrega un tercer grado de liber-

tad que es la profundidad.

Existen varias definiciones más precisas pero también complejas, pero conside-

ro estas ideas suficientes. Ahora voy a hacer es darles la expresión matemática para

calcular una dimensión. La misma es: (noten que S y L son las letras que usé ante-

riormente cuando estaba hablando de las dimensiones de la recta).

Donde S es la cantidad de segmentos o su longitud

L es la escala de medición

D es justamente la Dimensión.

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Bien, por ahora es una definición, no hay mucho por explicar.

Seguramente todos recordarán del secundario como se “despeja” una incógnita

de una ecuación. Por ejemplo, si teníamos X + 1 = 2 nos quedaba que X = 2 – 1 por lo

tanto x = 1

Si teníamos X^2 = 4, nos quedaba que el módulo de X es igual a la raíz cua-

drada de 4 .... Por lo tanto X = 2 ó X = -2

Ahora tenemos algo un poco más complicado para despejar (solo para aquellos

que hace tiempo que no están relacionados con la matemática) Tenemos:

Para poder “despejar” la D, justamente lo que deseo averiguar, voy a aplicar

logaritmo a ambos miembros de la igualdad:

Por propiedades de los logaritmos puedo decir que:

Log S = D* Log L (* denota multiplicación)

Por último divido ambos miembros por Log L y obtengo:

D = Log S / Log L (/ denota división)

Ya tengo la expresión final para calcular cualquier dimensión. Nótese que en

ningún momento hasta ahora usé propiedades fuera de la matemática tradicional.

Volvamos a nuestro ejemplo de las rectas que medimos anteriormente. En la

primera experiencia la longitud del segmento (L) era de un metro, o sea 1 ... y la can-

tidad de segmentos (S) también era 1, por lo tanto nuestra ecuación quedaría:

D = Log 1 / Log 1 -- D = 1

Aquí tenemos un problema, Log1/Log1 es una indeterminación del tipo 0/0. Por

lo tanto no podemos utilizar esta fórmula, deberíamos seguir.

Que pasa en nuestra segunda parte de la experiencia de medición. Tenemos

ahora que L = 2 y S = 2. Por lo tanto:

D = Log 2 / Log 2 -- D = 1

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Coinciden!!! Y, además, como era de sospechar la dimensión de una recta es

siempre 1 sin importar que escala usemos. Si hubiésemos elegido una escala de 3 nos

quedaba:

D = Log 3 / Log 3 Lo cual obviamente es 1

Y para generalizar, si hubiésemos elegido una escala n

D = Log n / Log n Lo cual también es 1. Con n distinto de 0.

Como conclusión final hemos probado que una recta NO es un fractal. Análoga-

mente se prueba que un cuadrado tampoco lo es, la dimensión será igual a 2 (coincide

con el plano) y un cubo tampoco es un fractal, su dimensión es 3 (coincide con el es-

pacio) Se los dejo como ejercicio!

Ahora lo que todos estaban esperando. ¿Cómo es la dimensión de un frac-

tal?

Para ello vamos a volver a tomar un fractal amigo y ya conocido por todos us-

tedes. La curva de von Koch.

Un fractal se genera en tres etapas. En la primera de ellas elegimos una figura

generadora. En nuestro caso será una l ínea recta, pero generalmente se puede elegir

cualquiera, ese es un tema más avanzado y se estudia en lo que se llaman IFS. Se-

guimos, después aplicamos un algoritmo, y por último comenzamos a iterar la f igura

resultante luego de haberle aplicado dicho algoritmo. Entonces las etapas quedarían

resumidas así:

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Traducido al lenguaje coloquial, diremos que tomamos una l ínea recta, le apli-

camos un a lgoritmo tal que a l apoderarse de esa misma recta l a d ivida en t res seg-

mentos i guales, una vez hecho eso, quiero que e l a lgoritmo e limine e l segmento del

centro y l o reemplace por otros dos, formando así un t riángulo como muestra l a se-

gunda instancia (imagen 2-B). Hasta ahí los dos pasos de generación, ahora comienza

la iteración. Y cada i teración hará exactamente l o mismo, o s ea, l o que l e indique el

algoritmo. Cada vez que vea una línea recta, la tomará y la dividirá en tres partes

iguales, e liminará e l segmento del medio y l o reemplazará por otros dos i guales for-

mando un triángulo. Es más difícil de explicar con palabras que viéndolo gráficamente.

Volvamos ahora sí a lo que más nos importa, que es calcular la dimensión de la

curva de von Koch.

En este caso nuestra L es 3, ya que dijimos que el algoritmo dividiría nues-

tra imagen generadora en 3 segmentos iguales (lo mismo ocurría cuando d ivid-

íamos la recta en dos segmentos iguales, L era igual a 2). Y aquí aparece la gran no-

vedad. Nuestro algoritmo toma una de esos segmentos y lo transforma en dos. Por lo

tanto nuestra S no será 3, sino 4 (ver imagen 2-B). Y aplicando la fórmula de dimen-

sión obtenemos:

D = Log S / Log L

D = Log 4 / Log 3 --------- D = 1.26185……..

Hemos obtenido una dimensión fraccionaria, no entera! Y además supera la di-

mensión topológica de nuestra imagen generadora que es 1.

Por lo tanto, y sin ningún lugar a dudas, la curva de von Koch es un

fractal

Veamos ahora, y por último en esta segunda clase, que pasa con el Conjunto de

Cantor. Anteriormente les dije que tenía una propiedad que era interesante debatir

para ver si se lo puede considerar como fractal o no. Aquí que les muestro esa propie-

dad y luego lo discutimos.

Traigamos frente a nuestros ojos nuevamente la figura 1-A

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Tenemos otra vez como imagen generadora una línea recta (se genera de arriba

hacia abajo). Estudien con detalle lo que ven y notarán que ahora S = 2 y L = 3. Por el

contrario de lo que sucede con el Conjunto de Cantor, el algoritmo nos divide ahora la

recta en 3 segmentos iguales, pero elimina a uno de ellos y no agrega nada como su-

cedía antes. Por lo tanto tenemos:

D = Log 2 / Log 3 - D = 0.6309.............

Bien, obtuvimos una dimensión fraccionaria. Pero que cambió? Ella es menor

que su dimensión topológica correspondiente a 1 por ser una línea recta su generador.

Esto es algo que le preocupó a Mandelbrot, pero expertos en fractales consideran

igualmente al Conjunto de Cantor, y a otros con estas particularidades, como fractales.

Personalmente las excepciones me molestas y preocupan bastante, si bien es cierto

que tiene una autosimilitud perfecta, por su dimensión yo optaría por no considerarlo

un fractal.

Dimensión Fractal del Triangulo de Sierpinski

Espero que entiendan por que propongo lo siguiente:

D = (log 3)/(log 2) = 1,58496

Bien, aquí hay que notar algo sumamente importante y muy confuso para la

mayoría. La dimensión fractal que obtuvimos es no entera. Hasta ahí perfecto. Ahora,

esta dimensión es superior o i nferior a su dimensión topológica? La respuesta es que

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es SUPERIOR, ya que la dimensión topológica de un triángulo (sin su relleno) es igual a

1. La explicación es que un t riángulo puede formarse “manipulando” una línea recta,

no pasaría lo mismo si el triángulo estuviese relleno. Entonces, el triángulo de Sier-

pinski cumple los dos punto de dimensión fractal, y además es Autosimilar, por lo tan-

to, es un fractal.

La misma explicación se aplica a las curvas de Peano y Hilbert que discutí ante-

riormente, parten de una curva, la cual tiene dimensión topológica igual a 1!!!

Forma de generar la curva de Hilbert:

Imag. Hilbert B

Forma de generar la curva de Hilbert:

Noten que tenemos 9 segmentos de 1/3

de longitud cada uno.

De ahí viene el log9/log3

El motivo por el cual la dimensión fractal

es 2, es porque si hacemos una Iteración

hasta e l infinito, esta curva llenará por

completo el plano.

Noten también que el grafico del cuadro

anterior es este son diferentes. Eso pasa,

porque hay MUCHAS variantes de estas

curvas.

En la primera imagen Imag. Hilbert A

vemos más fácilmente como se llena en

espacio. En la segunda, Imag. Hilbert A

vemos mas fácilmente por que su dimen-

sión topológica es igual a 1.

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142

Más s obre l a curva d e H ilbert:

http://www.fractalus.com/kerry/tutorials/hilbert/hilbert-tutorial.html

NOTA: por última vez quiero recalcar que nos fue fácil calcular estas dimensio-

nes porque pertenecen a fractales lineales, pero la idea es llegara comprender los frac-

tales complejos o no lineales ya que son las estructuras que se presentan en la Natura-

leza, para eso recomiendo que profundicen en el “box counting method” que mencioné

anteriormente.

Más consideraciones sobre la Dimensión Fractal, Autosimilitud y Carac-

terísticas Fractales.

Ahora me gustaría realizar algunos comentarios y hacer un breve resumen de lo

que hemos visto en la primera etapa, e intentar aclarar algunos conceptos que podrían

resultar algo confusos.

1) En primer lugar dijimos que los Fractales forman parte del estudio matemáti-

co de la Teoría del Caos, proporcionándole herramientas geométricas de gran

valor por describir sistemas naturales con gran realismo y detalle.

2) Luego di jimos que los fractales se caracterizaban por dos propiedades fun-

damentales: - Autosimilitud - Dimensión Fractal

3) La Autosimilitud la dividimos en dos partes. “Perfectamente Similar” para los

fractales l ineales y “Estadísticamente Similar” para los fractales complejos. D i-

jimos también que existen fractales que pueden no tener Autosimilitud, como

ser l os f ractales p lasmáticos. En l os fo ros d e d ebate

(http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl ) surgieron varios te-

mas con referencia a la Autosimilitud, y uno de ellos es si determinadas funcio-

nes matemáticas tradicionales pueden llegar a ser fractales. Como por ejemplo

la función propuesta fue Seno de X. Estoy seguro que dicha función no tiene

dimensión Fractal, por lo que en primer lugar podría asegurar que no lo es. Pero

igualmente sería interesante analizarlo desde el punto de vista de la Autosimili-

tud. Veamos estas imágenes:

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En la figura 1-A vemos la función Seno de X entro los valores 0 y 2ð. En la figu-

ra 1-B observamos la misma función pero esta vez entre -ð/2 y ð/2. ¿Qué conclusiones

podemos sacar de aquí? En primer lugar diremos que con seguridad no es un Fractal

lineal, ya que la Autosimilitud no es perfecta. Desde mi concepto personal de Autosimi-

litud tampoco lo veo “estadísticamente similar”. ¿Qué ven ustedes? (Recuerden que ya

dimos por sentado que no era un Fractal debido a que no tenía dimensión Fractal, que

solo estábamos analizando su Autosimilitud por una inquietud que surgió.

Sobre la Teoría del Caos

Ya tenemos un panorama bastante grande de los Fractales, ahora nos toca

abordar determinados aspectos de la Teoría del Caos.

El título solo nos da un panorama de lo que veremos a continuación: CAOS. Es-

te tema tiene además un fuerte trasfondo filosófico. Preguntas tales como: Juega Dios

a los dados? Haciendo alusión al azar con que se presentan los hechos en la Naturale-

za; el eterno enfrentamiento entre el Orden y el Caos, o el Reduccionismo y Determi-

nismo y figuras tales como la Entropía de la mecánica clásica y termodinámica; todos

unidos conforman un combo explosivo que llevan a enunciar postulados de lo que hoy

se lo reconoce como una “Nueva Ciencia”. Antes de las definiciones, voy a dar un par

de conceptos que considero son claves.

Los Fractales implican Caos, pero el Caos no implica Fractales. Aclaración

a este p rimer concepto. Aquí estoy hablando de l os f ractales que se presentan en l a

vida cotidiana, en la naturaleza, en los sistemas biológicos, físicos o sociales, en otras

palabras, los fractales no lineales o complejos. Es fácil ver que los fractales lineales

son perfectamente previsibles y deterministas.

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Veamos, la Geometría Fractal es tan solo una pequeña parte de la Teoría del

Caos, esta última se basa en una diversidad muy grande de herramientas matemáticas

que van mucho más allá de los Fractales. Si, como hemos visto anteriormente, aque-

llos sistemas no l ineales o caóticos que tengan Autosimilitud y una dimensión fraccio-

naria serán estudiados por l a Geometría F ractal, pero no todos l os si stemas caóticos

poseen estas cualidades, por lo tanto se requiere otro tipo de técnicas para estudiarlos.

Diferencia entre la Matemática tradicional y la Teoría del Caos

Cuando estudiamos en Física materias como Mecánica Clásica, nos topamos con

ecuaciones tales como:

la cual nos da por resultado la posición de un objeto que viaja a una velocidad deter-

minada en un tiempo y con una aceleración dada.

O las muy famosas leyes de Newton, como por ejemplo la segunda que nos di-

ce:

F = m a

Ella nos muestra que el valor de la sumatoria de todas las Fuerzas es igual a la

masa multiplicada por la aceleración.

Lo que intento dejar en c laro con estos ejemplos es que, según l a matemática

tradicional, conocidas tales condiciones iniciales puedo saber con exactitud como se

va a comportar un cuerpo o un sistema a lo largo del tiempo. En teoría, si conozco

donde se encuentra un cuerpo, a que velocidad se mueve, que aceleración posee y en

que t rayectoria se desliza, voy a poder saber sin p roblemas donde va a estar y que

características tendrá su movimiento en el tiempo que yo elija. Tanto en el pasado co-

mo en el futuro.

Es bueno hacer una aclaración sobre el tiempo en este momento. La Teoría del

Caos, y de la mano de Prigogine, habla sobre la Flecha del Tiempo concepto funda-

mental de esta nueva teoría. Esta nos dice que el tiempo es irreversible. La mecánica

clásica no diferencia entre presente y pasado, como veíamos en las ecuaciones ante-

riores, no importa que tiempo ponga en la variable t, voy a obtener un resultado lógico

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145

y correcto. La Teoría del Caos nos enseña que todos los sistemas son irreversibles,

jamás puedo volver hacia atrás, por este motivo se habla de la Flecha del Tiempo,

solo apunta hacia un extremo, futuro!

La justificación para este postulado, esta directamente relacionado con la en-

tropía.

( Ojo con el término condiciones iniciales, y que será lo más importante en lo que se

basa toda la Teoría del Caos)

Qué sistemas describen realmente estas ecuaciones? En primer lugar, obvia-

mente se aplican a sistemas naturales y mecánicos reales, si no, la Física no tendría

ningún sentido. En segundo lugar, y el que nos i nteresa particularmente a nosotros,

estas fórmulas se aplican a sistemas IDEALES. A qué me refiero con ideal? Si bien

ecuaciones como las de los ejemplos anteriores tienen en cuenta detalles como el ro-

zamiento, la resistencia del aire y otra serie de variables, JAMAS van a poder contem-

plar la totalidad de variables que se presentan en las condiciones iniciales de un siste-

ma. Vamos a dar dos ejemplos que se encuentran en los extremos y ello nos va a lle-

var a nuestra primera definición:

1) En l a N aturaleza t enemos sistemas q ue se a semejan al comportamiento

mecánico de un reloj. Ello implica que planteando una serie de condiciones

t2 iniciales podremos saber como ese mismo sistema se va a comportar

más delante o como se comportó en el pasado, de una manera “casi” exac-

ta. Un ejemplo claro de ello es el sistema planetario. Astrónomos pueden

predecir un eclipse de Sol cientos de años antes de que ocurra con una

asombrosa certidumbre. La palabra casi, es la que introduce el concepto de

Caos.

Veamos ahora el segundo ejemplo, el del otro extremo.

2) Seguramente todos han oído hablar del famoso “Efecto Mariposa” que d ice

algo así como: si una mariposa aleta en Tokio, bajo determinadas circuns-

tancias esa onda que produjo el aleteo puede viajar, potenciarse y trans-

formarse en un huracán en el Caribe.

Bueno, ambos ejemplos son los extremos de lo que se produce en la Naturale-

za, el primero sumamente mecánico y predecible y el segundo que en principio parece

regido solamente por el azar.

Universidad Nacional Abierta

146

Vamos a ensayar ahora una definición, en primera instancia podríamos decir:

Los sistemas caóticos son aquellos que se encuentran afectados directamente por sus

condiciones iniciales, transformándolos en el transcurso del tiempo en sistemas impo-

sibles de predecir.

Vamos a seguir avanzando para llegar a una definición más contundente. Abso-

lutamente todos los sistemas se encuentran afectados por sus condiciones iniciales, no

hay duda en ello, lo que si es importante destacar es lo que venimos hablando hasta

ahora, esas condiciones afectaran a los sistemas de varias formas a lo largo de su evo-

lución, haciéndolos crecer de una manera que podemos predecir o d e otra que resul-

tará caótica y difícil de prever.(ver los dos ejemplos anteriores)

Antes de seguir, voy a dar más ejemplos de sistemas caóticos para f ijar estas

ideas.

- El clima meteorológico, no se puede predecir con razonable exactitud con más

de una semana de anticipación. Y no siempre se acierta haciendo un pronóstico

ese mismo día, por más tecnología avanzada que se utilice. Esto se debe a la

gran cantidad de variables que son precisas conocer. - En la bolsa de comercio,

un simple rumor sobre la suba o baja de acciones puede potenciarse a lo largo

del tiempo y causar un efecto caótico. (comparar con el ejemplo de la maripo-

sa, como se potencia esa onda en el aire y como se potencia el rumor y cuales

son los resultados.) - Hace aproximadamente 6 años la Tierra tardó en girar al-

rededor del Sol un segundo más de lo estipulado. Se cree que se debió en prin-

cipio a las mareas. Ese segundo de más causará que en cientos de millones de

años la Tierra pierda su órbita. (para nosotros mucho tiempo, para la Naturale-

za un tiempo razonable)

Entonces, vean como un simple detalle como un rumor, un segundo o el aleteo

de una mariposa, puede causar a lo largo del tiempo que un sistema que parecía orde-

nado y afectado por leyes naturales exactas y deterministas, en un momento dado se

transforme en un sistema totalmente caótico y que al parecer está regido más por el

azar que por la Naturaleza.

Resulta sumamente interesante e importante calcular esos puntos de inflexión

donde un sistema pasa de ser ordenado a caótico. Esto nos lleva a enunciar dos postu-

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147

lados importantísimos de la Teoría del Caos, los que considero imprescindibles que

queden claro para cada uno de ustedes.

Para la Teoría del Caos, no existen sistemas ni 100% ordenados, ni 100% caóti-

cos. Esta teoría acepta tanto el Orden como el Caos y los relaciona en una dualidad de

la siguiente manera:

“En todo sistema ordenado, el caos siempre está presente o implícito”

“En todo sistema caótico, el orden siempre está presente o implícito”

Estos postulados son los que personalmente s iempre me han l lamado la aten-

ción y los que me han convencido de que esta Teoría es la que mejor describe los sis-

temas naturales, en conjunto con la Geometría Fractal.

Pero analicemos un poco que nos dicen y luego daremos tres ejemplos que se

dan en la naturaleza y que son dignos de estudiar, los cuales nos llevarán a replante-

arnos un serie de cosas que hasta ahora creíamos sin meditar.

Imaginemos un s istema ordenado. Uno podría ser el que mencioné anteriormente, la

Tierra girando armónicamente alrededor del Sol (sistema ordenado y predecible), y

que en determinado momento se demora un segundo en cumplir el recorrido total en

su órbita, lo que determina que será expulsada de la misma a lo largo del tiempo.

(consecuencias caóticas) De este e jemplo se desprende e l primer postulado. En todo

momento el sistema terrestre es ordenado, pero lleva implícito consigo mismo el caos,

que va trabajando muy de a poco y silenciosamente y en un determinado punto se

apoderará por completo del mismo y generará consecuencias insospechadas o ca-

tastróficas.

Veamos ahora un ejemplo para entender el segundo postulado:

En este caso debemos elegir un sistema totalmente opuesto al anterior. Que

comience siendo caótico y derive en orden. Esto se estudia mucho en comportamientos

sociales, así que aprovechemos a dar un ejemplo en este campo y luego veremos otros

que se dan en la naturaleza que son más complejos.

Imaginemos varias empresas chicas, las cuales están en problemas financieros que las

llevan a comportarse de una manera caótica y desordenada en el mercado. No se

sabrá que puede pasar el día de mañana con ellas, si quebrarán, si recibirán algún

préstamo, si despedirán personal, e tc Una si tuación caótica a la cual estamos t riste-

mente acostumbrados en estos tiempos. Ahora piensen en este caso, una de esas

mismas empresas tiene lo que a la otra le hace falta. Una tiene tecnología pero no tie-

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148

ne personal capacitado, a la otra le sobra personal pero no posee tecnología, otra tiene

contactos en el exterior pero no buenos productos para vender, a otra le sobran bue-

nos productos, pero no los conoce nadie, no están inmersos en el mercado. Esta situa-

ción muestra que una empresa tiene justamente lo que le falta a la otra, y por separa-

do todas funcionan de manera caótica y errática. Qué pasaría si todas o algunas de

ellas se uniesen con base en contratos legales, un organigrama bien establecido y con-

fianza entre sus socios. Lo que era un sistema totalmente desordenado por separado,

encontró sus patrones y puntos en común y derivó en un sistema armónico, ordenado

y productivo.

Algo sumamente importante, y por donde siguen pasando l as c laves para en-

tender esta teoría es lo siguiente:

Según el postulado de la Teoría del Caos que mencioné oportunamente, él nos

decía que en la Naturaleza jamás vamos a encontrar sistemas 100% ordenados ni

100% caóticos, por lo tanto, de estos ejemplos se desprende una consecuencia que

debemos tener siempre en cuenta:

Por más que un sistema haya derivado en caos, o que se haya vuelto ordenado y esta-

ble, potencialmente vuelve a pasar lo inverso. Ahora, aquel que era estable y derivó en

caos vuelve a l levar implícito consigo mismo el volver a transformarse en orden nue-

vamente. Y aquel que era caótico y desordenado y derivó en orden, ahora lleva el caos

implícito en su esencia. Esto lleva a conformar un circuito que no es ni más ni menos

como se genera y se construye la Naturaleza.

Más ejemplos de sistemas Caos-Orden

Ahora que ya hemos hecho una introducción a los sistemas caóticos y a la dua-

lidad y relación que existe entre el Caos y el Orden, voy a dar más ejemplos de lo que

ocurre en la naturaleza, que espero despierten su imaginación y asombro.

Ejemplo 1

El primero de ellos no es tan complicado, y hasta lo pueden experimentar uste-

des mismos.

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149

Imagínese que en esta pirámide cada uno de esos punto es un clavo. Todos se

encuentran incrustados en una pared vertical. (mi dibujo está algo desalineado, si van

a probar esta experiencia, debería estar un poco mejor construido.)

Ahora, esto que les voy a contar se ha realizado en laboratorios, en condiciones

de vacío total y con brazos de robot sumamente precisos, vean los resultados.

El robot toma una pequeña bola o p elota perfectamente circular, sin irregulari-

dades. La coloca sobre el tope de la pirámide, o sea, en el primer clavo y luego la suel-

ta. Esa bolita comienza a caer rebotando de clavo en clavo y pasando s iempre entre

medio de dos de ellos y llega al siguiente nivel sin detenerse hasta llegar la base. En la

base de mi dibujo se encuentran solamente 5 clavos, pero la idea es que sean muchos

más, una cantidad superior a los 100 para poder probar esto. Bueno, cuando la bolita

llega a la base, esta sale de la p irámide como d ijimos antes por entre medio de dos

clavos, imaginemos para el primer ejemplo entre el clavo 10 y 11 comenzando a con-

tar de izquierda a derecha.

El mismo robot, aparentemente con las mismas condiciones iniciales vuelve a

tomar la misma bolita y a repetir el ejercicio. Al comienzo la trayectoria es similar a la

primera experiencia, pero llega un momento que pasa a través de dos clavos distintos,

lo que deriva, una vez que llega a la base, que salga por dos clavos que nada que ver

con los de la primera medición. Por ejemplo entre los clavos 67 y 68.

Observación, cada vez que l a experiencia se repite, e l re sultado nunca es el

mismo, la bolita sale siempre por la base entre dos clavos diferentes y a mucha distan-

cia entre una medición y otra. Su trayecto también sufre modificaciones a partir de un

punto y siempre es distinto. Tengamos nuevamente en cuenta que se realizaba en

condiciones de vacío y con un brazo de robot preciso y aún así el sistema se comporta-

ba de una manera caótica o azarosa (no se puede predecir por donde saldrá la bolita, y

las mediciones arrojan resultados completamente distintos en cada medición).

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150

Esto es un típico caso que demuestra lo sensible que son los sistemas no lineales a sus

condiciones o variables iniciales, las que con el paso del tiempo, causan efectos y re-

sultados imposibles de predecir Primer postulado de la Teoría del Caos que vimos.

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151

Ejemplo 2

Científicos realizaron esta investigación

Seguramente todos conocen el juego de computadora l lamado Tetris. Estos in-

vestigadores convocaron a una persona que no conociera de que se trataba dicho jue-

go. Le inyectaron glucosa radioactiva (el cerebro se alimenta de glucosa), y lo sentaron

frente a la PC sin darle instrucciones de cómo jugar. Con un monitor se siguió la evolu-

ción. La glucosa radioactiva iluminaba las regiones del cerebro que la persona utilizaba

para intentar entender el Tetris, las cuales en primera instancia se manifestaban en

gran cantidad. Luego se le enseñó a jugar al mismo tiempo que se le repetía el mismo

procedimiento con la glucosa. Mientras la persona más aprendía, menos regiones del

cerebro se iluminaban, el cerebro iba asimilando y acumulando información, ya no ne-

cesitaba buscar aleatoriamente datos por toda su corteza. Una vez que la persona

comprendió por completo el juego, apenas una leve región del cerebro se iluminaba.

Este es un caso muy significativo de la transformación de un sistema caótico (todo el

cerebro iluminado en busca de información de cómo jugar) a uno ordenado (una leve

región i luminada una vez asimilado el juego) Otro de los postulados que vimos ante-

riormente.

Ejemplo 3

El Solitón de John Russell. Si arrojamos una piedra en un estanque de agua la

misma generará una perturbación, produciendo pequeñas olas, las cuales se diluirán

en un tiempo breve, dependiendo en principio de la fuerza con que se la haya arrojado

y las condiciones del agua en ese momento. Ahora bien, John Rusell observó un fenó-

meno increíble. En situaciones muy especiales, cuando las condiciones iniciales se pre-

sentan de una manera única, hay olas en el océano que se unen formando una nueva

con características p ropias. E sta n ueva o la, l lamada S OLITON v iaja c entenares d e

kilómetros sin perder su forma. Si un barco la atraviesa, al instante recobra su estruc-

tura original y sigue adelante. No importa si hay vientos o tormentas, la misma sigue

su trayectoria inmutable. Este fenómeno es muy famoso y ha sido muy estudiado. Se

ha intentado reproducir artificialmente en universidades por alumnos de matemática y

física, hay conferencias especializadas en el tema, y cursos especiales solamente refe-

ridos a este raro fenómeno, que puede englobar todos los misterios del Caos.

Es otro ejemplo de cómo un sistema caótico como ser olas en el océano se unen

y forman un nuevo sistema totalmente ordenado y armónico.

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152

Si alguien desea profundizar más en este tema para debatirlo más adelante, el

departamento de Matemática de la Universidad de Heriot-Watt tiene un excelente ma-

terial, lamentablemente el mismo está en ingles, pero no es difícil conseguir documen-

tación en español en Internet. Los enlaces son:

Página Principal de los Solitones: http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/

Historia de John Russell y los Solitones:

http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.html

Recreación del Solitón: http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/press.html

Atractores

Un tema fundamental, el cual lamentablemente no voy a poder profundizar en

este momento, es el tema de los Atractores. Los mismos son el camino de ida y vuelta

que nos conducen al Caos.

En ejemplos anteriores, como el del juego del Tetris, vimos que cuando la per-

sona aprendía a jugar a la perfección se i luminaba solo una región del cerebro. Deci-

mos entonces, que en ese momento se formó un Atractor.

En el ejemplo de la ola de John Russell, ese Solitón es un Atractor puro.

Quizás el Atractor más conocido y popular sea el de Lorentz, el cual se lo asocia

entre otras cosas al clima meteorológico. Su imagen es la siguiente

Fractales, Caos y Población

Hemos visto en la clase anterior diversos ejemplos de la dualidad que existe en-

tre el Caos y el Orden. Hemos visto también, de manera superficial por el momento,

como los Fractales se generan a través de diferentes iteraciones, y pusimos como

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153

ejemplo el Conjunto de Mandelbrot, el cual surge de iterar la fórmula compleja: Zn+1

Zn^2 + C donde Z es un número complejo y C una constante.

La Iteración de ecuaciones mediante algoritmos ha revelado una serie de pro-

piedades m atemáticas asociadas a l a d escripción d e s istemas n aturales r ealmente

asombrosos. Dicha iteración es el camino que nos conduce a los atractores y por con-

siguiente a la permanente y eterna metamorfosis entre el Caos y el Orden.

Ahora veremos un caso que se da en la Naturaleza en la que un sistema pasará

de un estado caótico a uno ordenado a través de iteraciones sobre sí mismo.

Una de las aplicaciones reales y más espectaculares de la Teoría del Caos se da

en fenómenos demográficos, como ser expansión de colonias de insectos, virus, pobla-

ción de ciudades y territorios por los humanos, epidemias, etc.

Increíblemente algunas de estas poblaciones son sumamente ordenadas, crecen

rápidamente, se extinguen de golpe, tienen ciclos perfectos de reproducción o mantie-

nen matemáticamente una tasa de natalidad casi perfecta. Otras, en cambio, son su-

mamente caóticas.

Para dar un ejemplo de ello, voy al libro que me introdujo en la Teoría del Caos

y el cual me fascinó por años, el mismo se llama “El Espejo Turbulento” y sus autores

son John Briggs y David Peat.

El ejemplo habla de un parásito llamado “mariposa lagarta”. Este parásito vive

en verano y muere de frío en invierno, antes de morir deposita sus huevos los cuales

nacerán al comienzo del próximo verano.

Veamos ahora cual es la ecuación matemática que se utiliza para estudiar po-

blaciones demográficas que se duplican año tras año:

Xn+1 = 2Xn

Donde X será el tamaño de nuestra población y los subíndices representarán un

tiempo inicial y uno final.

El número de individuos en una población jamás es estable, aumenta o dismi-

nuye de un año a otro dependiendo varios factores naturales. Viendo nuestra ecuación

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154

imaginemos que nuestro primer año de medición es 1 (Xn = 1) y además sabemos que

al año siguiente la población se duplicó (Xn+1 = 2 = 2X1)

La fórmula nos quedaría:

X2 = 2X1

Supongamos que la población del año 1980 es de 1000 larvas. Obviamente, de

acuerdo a nuestra formula, la población del próximo año, 1981, será de 2000 y la del

tercer año, 1982 será de 4000. (X3 = 2X2)

Naturalmente este crecimiento lineal tampoco se da en una manera tan perfec-

ta, como es e l de duplicarse de año en año, por l o tanto a l a ecuación anterior s i l e

agregamos un nuevo término dará una impresión mas realista, este término es N, que

indica la tasa de natalidad. Entonces nos queda:

Xn+1 = NXn

Hay que aclarar que esta ecuación es general y sirve para darnos una idea glo-

bal de la expansión poblacional. Luego, para cada comunidad en especial, se harán los

ajustes particulares.

Hasta aquí nada novedoso, sabiendo la tasa de natalidad, y como ha variado

una población de un año a o tro, podremos saber como se comportará a l o l argo del

tiempo. Pero esto se da solo, y nuevamente volvemos al concepto de matemática tra-

dicional visto en clases anteriores, en sistemas ideales. Pero eso contradice a las leyes

del Caos, y definitivamente no nos da un panorama realista de la situación.

Para solucionar ese inconveniente, a partir de este momento comienza a formar

parte del juego lo que a todos nosotros nos interesa: la iteración y todos los con-

ceptos caóticos. Ingeniosamente alguien añadió un término no-lineal a esa ecua-

ción.

Ahora tenemos:

Xn+1 = NXn(1-Xn)

Analicemos, en la misma ecuación tenemos dos veces el término Xn y lo más

curioso que uno está enfrentado al otro. ¿Qué quiere decir que estén enfrentados?

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155

Cuando crece Xn, el término (1- Xn) sin dudas disminuye. Cuando Xn tiende a 0 fíjen-

se que la ecuación nos queda prácticamente como la original, o sea, sin el nuevo

término ya que este se asemeja a 1. En cambio, cuando crece Xn y se acerca a 1, el

nuevo término se acerca a 0, haciendo disminuir todo el término que se encuentra a la

derecha del signo igual, o sea, la población un año después de nuestra medición.

Esto está directamente ligado a que una población no puede crecer infinitamen-

te, sino que sé auto regula. Ese último término añadido a la ecuación original nos

muestra la “cota”, en otras palabras, los l ímites que puede crecer una población. Esa

cota, matemáticamente, es entre 0 y 1, sin importar la cantidad de individuos dentro

de la población, es solo una regulación matemática.

Aprovecho a decir, que la auto-regulación y la auto-organización son dos de las

características más importantes y estudiadas de los sistemas no lineales y caóticos.

¿Por qué a l a ecuación anterior l e decimos no-lineal? Noten que cuando Xn crece, a l

mismo tiempo se auto regula con (1- Xn) y termina haciendo disminuir el resultado

final de la ecuación. Entonces, dicha ecuación, no está creciendo ni linealmente, ni ex-

ponencialmente; e stá regulándose n o-linealmente. A demás e stá m uy c laro q ue e l

término Xn queda elevado al cuadrado, lo que determina un crecimiento no lineal.

Conté este tema de una manera muy sintética, se puede llegar a profundizar

mucho más, pero igualmente quería dejarles planteada una ecuación no lineal, y como

se genera una Iteración en la cual nuestra variable es el año. Sería interesante que

ustedes mismos planteen diferentes condiciones iniciales y ver a que resultados llegan.

En mis lecturas sobre los aspectos matemáticos de la Teoría del Caos profundizo mu-

cho en este tema, y además proveo software para d icho estudio, pero esto escapa a

este curso. Les recomiendo darse una vuelta por www.fractaltec.org para buscar in-

formación.

Algunas aplicaciones que mencionadas en “El Espejo Turbulento” son:

Como se expande un rumor. Al comienzo se dispersa exponencialmente por todos

lados, de oído en oído hasta que comienza a resultar conocido, es entonces cuan-

do se comienza a decir “Ya conozco la versión” y el rumor comienza a decrecer

drásticamente. (Imagínense lo que pasa en economía con el rumor de la suba de

acciones, devaluación de la moneda, o en política con rumores sobre quien será

el futuro presidente). Lo que aprende un estudiante está relacionado con su ca-

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156

pacidad de incorporar conocimientos. Al comienzo aumenta notablemente, luego

se satura y comienza a declinar irremediablemente. Esta ecuación se utiliza mu-

cho en genética para el estudio de cambio de frecuencia en la población de de-

terminados gérmenes.

Igualmente vamos a analizar un poco más esta ecuación.

Más allá de todos los números que hagamos, lo destacado de esta ecuación

demográfica es que en todo momento mantiene el potencial hacia el Caos u Orden que

nombramos la clase pasada.

Imaginemos que la tasa de natalidad es de 0.99. Esto significa que la población

disminuirá 0.01 cada año, y hasta la población más grande se extinguirá.

Cuando la tasa de natalidad es 1.5 la población oscilará entre varios valores, y

luego se estabilizará en un valor constante de 2/3, o sea, el 66% de la población origi-

nal.

Cuando la tasa es de 2.5 nuevamente hay una oscilación grande, pero luego

vuelve a estabilizarse en 2/3. Vemos que la población no se extingue.

Entonces, de acuerdo a lo que mencioné en capítulos anteriores, sin ningún lu-

gar a dudas el 2/3 es un firme candidato a convertirse en un ATRACTOR, ya que no

importa las variaciones que pasen en el sistema, con esa tasa de natalidad siempre el

sistema va a tender a 0,66666667

Analizar la parte matemática de cómo llegamos a esos valores escapa a este

curso, estos ejemplos solo tienen la intención de mostrarles lo que sucede en la Natu-

raleza, como se auto-regulan las poblaciones, como crecen, como d isminuyen, como

los factores no-lineales son determinantes para describir un s istema correctamente y

lo muestre desde un punto de vista muy real.

Las oscilaciones de las que hablaba, se deben a varios factores, como ser climá-

ticos, alimenticios, espacio disponible para desarrollarse, etc. Por ejemplo, si tenemos

una tasa de natalidad altísima, va a haber muchos habitantes en la comunidad, pero el

alimento y el espacio pueden resultar escasos, por lo tanto muchos comenzarán a mo-

rir. Hasta llegar a regularse en un determinado número. Por el contrario, si el espacio y

el a limento abundan, y l a población es muy chica, se dan condiciones propicias para

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157

desarrollarse y aumentar la cantidad de integrantes. Nuevamente llegará un momento

en el que sean demasiados, y otra vez sé auto-regularán. Esto ciclos son justamente

los que demuestra la ecuación no lineal que estamos analizando y la manera como

forman sus atractores. Gráficamente pueden representarse así:

Dijimos que uno de los números claves era 2/3 o 66%. Ahora, cuando la tasa

de natalidad es de 3.56, nuevamente el sistema comienza a oscilar caóticamente. Esos

puntos clave como dijimos son atractores, y en cada punto caótico que detectemos

será un nuevo atractor construyendo así un grafico de bifurcaciones como los que

vemos en las imágenes anteriores.

El gran desafío de los matemáticos es detectar esos puntos y construir así el

mapa del Caos, o de crecimiento de un sistema a lo largo del tiempo. Para los que de-

seen aprender mas sobre esto, recomiendo que busquen el tema “Exponentes de Lya-

punov”, todavía no he escrito nada sobre el tema.

Nuevamente, noten que al parecer, un sistema completamente caótico como el

crecimiento de población de las larvas lagartas llega un momento en el que se ordena

(cuando llega al 66% de su población original) Pero el caos está potencialmente siem-

pre presente, acechando y cuando la tasa de natalidad supera el 3.56 nuevamente el

Caos está presente hasta ordenarse nuevamente en otro punto, un n uevo atractor y

produciendo bifurcaciones en su gráfica.

Noten lo más importante hasta ahora, esas imágenes de atractores anteriores,

tienen una estructura FRACTAL ! ! ! B usquen su autosimilitud! En la primer f igura,

vemos este cuadro de bifurcación entre los valores 2,5 y 4 ... en el siguiente grafico,

hice un ZOOM, o s ea, Iteración, entre los valores 3,54, y 3,60, noten que valores tan

cercanos, y aun así veo que ambos gráficos se parecen muchísimo, ahí entra en juego

la autosimilitud. Creo que este es un ejemplo de lo más claro que podía dar para ver la

dinámica de un s istema natural no-lineal, y la relación que existe con las estructuras

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158

fractales, y de paso mostrar como una ecuación no-lineal se realimenta y se auto-

regula a sí misma generando el concepto de iteración mas importante que existe para

los sistemas fractales y caóticos.

Por último sobre este tema, recomiendo que visiten el sitio:

http://hypertextbook.com/chaos/

Fractales, Caos y Matemática Tradicional

1) Triángulo de Pascal y Triángulo de Sierpinski

El triángulo de Pascal, también conocido como triángulo aritmético t iene la si-

guiente forma:

El mismo se construye así:

La primera fila es el tope del triángulo, y es la fila 0. todas las filas comienzan y

terminan con 1 cada fila t iene n + 1 elementos los demás elementos se obtienen su-

mando los dos de la fila anterior entre los cuales se encuentra situado. (solo es cues-

tión de prestarle atención para saber leerlo)

Esta figura se utiliza mucho en matemática, y representa entre otras cosas los

coeficientes de las series de potencias o b inomios de Newton. También se lo utiliza en

combinatoria, probabilidades y estadística.

Ahora, si sombreo los números impares de Pascal, adivinen que obtengo... s í!

Acertaron, EL TRIANGULO DE Sierpinski.

Noten como una estructura fractal se encuentra escondida dentro de una figura

de la matemática clásica conocida desde hace más de 700 años como ser el Triángulo

de Pascal.

2) El número PI (ð) dentro del conjunto de Mandelbrot?

Aunque he repetido unas cuantas veces esta imagen, vamos a verla nuevamente.

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159

Matemáticos, investigando en teoría de números (quizás una de las ramas

más apasionantes de la matemática) han decidido estudiar el Conjunto de Mandelbrot.

Dividieron el estudio en dos partes, primero el cuello de esta imagen, y luego su parte

posterior. Cuando expliqué en clases anteriores como se forma el Conjunto de Mandel-

brot, partí de la ecuación compleja Z Z^2 + C. Una vez que tenemos la iteración rea-

lizada, podemos probar que puntos pertenecen al conjunto y cuales no, reemplazándo-

los en dicha ecuación, recuerden que dichos puntos se encontrarán en el campo com-

plejo.

Nuevamente la parte matemática involucrada para probar lo que voy a decir

ahora escapa totalmente al interés de este curso, lo planteo simplemente como una

curiosidad entre la matemática clásica como ser el número PI y el conjunto de Mandel-

brot, tal vez dos de las figuras más representativas de la matemática en estos días.

Estudiando las iteraciones, como dije antes del cuello y la parte posterior del

conjunto de Mandelbrot, se llegó a estos resultados:

Esta primera tabla representa las iteraciones de los X pertenecientes al

cuello del conjunto.

X Número de iteraciones

1.0 3

0.1 33

0.01 315

0.001 3143

0.0001 31417

0.00001 314160

0.000001 3141593

0.0000001 31415928

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160

Esta segunda tabla representa las iteraciones de la parte posterior del

conjunto

X Número de iteraciones

1.0 2

0.1 8

0.01 30

0.001 97

0.0001 312

0.00001 991

0.000001 3140

0.0000001 9933

0.00000001 31414

0.000000001 99344

0.0000000001 314157

Apuesto a que todos han encontrado algo muy similar al número PI en estas es-

tructuras. No se ustedes, pero yo no creo en las casualidades.

El Dr. Aaron Klebanoff brinda una prueba detallada de cómo llegó a estos resul-

tados, la cual estoy estudiando desde hace un tiempo y resulta bastante complejo.

Otro punto más que podríamos encarar con el grupo de matemática.

Los patrones de semejanza entre la teoría de números tradicional, y la

teoría fractal, podría resultar uno de los campos de estudio e investigación

más importantes.

Solo les conté en esta ocasión dos ejemplos como las relaciones entre Sierpinski

y Pascal, y PI con el Conjunto de Mandelbrot, pero hay muchas más, hasta funciones

de Riemann tienen estructuras fractales.

¿Por qué destaco estos aspectos? Tengan en cuenta algo, teoremas, enunciados

y demostraciones como por ejemplo Pitágoras y otros tan conocidos como este último

han existido por cientos de años, y han pasado por millones de manos de investigado-

res, teóricos o e studiantes, digamos que ya no se le pueden descubrir nuevas facetas

matemáticas a teoremas tan reconocidos. Es más, creo que tan solo quedan por deve-

lar y probar cuatro o cinco intrigas matemáticas. Pero la Teoría Fractal es muy recien-

te, no tiene mas de 20 años, y todos nosotros somos una de las primeras manos que

reciben a esta nueva ciencia. Tenemos un campo muy grande para estudiar, para pos-

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161

tular ideas, para corregir enunciados, para descubrir aplicaciones y para probar nues-

tra propia visión del tema. Lo fantástico de esto es que cualquiera con mucha discipli-

na, que estudie mucha matemática y programación de computadoras, sentados frente

a su PC puede descubrir un mundo totalmente nuevo. Pero es imprescindible tener un

punto de vista propio e intercambiar ideas y conocimientos multidisciplinarios. Espero

que al menos este curso termine por motivarlos a comenzar tal experiencia.

Por último, y ya finalizando esta clase, los invito a aquellos que aún no tienen

software para generar fractales que comiencen a bajarlos de Internet.

Los que les recomiendo son los siguientes:

Fractint Es e l p rograma p ionero, con el que yo comencé hace aproximada-

mente 5 años. E l mismo t iene un importante valor matemático aunque l as imágenes

que produce no son tan artísticas como otros programas, pero sin dudas es por lejos el

mejor. Existe para diferentes plataformas y es totalmente libre. Su sitio es:

http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html

UltraFractal Es otro software muy popular y mucho más artístico. En su pa-

gina hay una lista de distribución de mail en la cual se intercambian mas de 30 imáge-

nes por día. El mismo no es gratuito, se puede bajar una versión de prueba por 30

días. También hablaré de este software. Se puede bajar desde:

http://www.ultrafractal.com

Generando Fractales

Estudio del programa Fractint y UltraFractal.

1) El propósito de esta sección no es el de ser un tutorial o un curso sobre estos

programas, sino el de dar las herramientas básicas para que puedan generar

sus propios f ractales inmediatamente y entender el software para luego poder

profundizarlo por ustedes mismos. Si esta clase les servirá para comenzar

2) En varias ocasiones estaré mencionando l a palabra ZOOM. Desde este mo-

mento quiero aclarar que no es la palabra correcta para describir el proceso por

el cual vemos un fractal por dentro. La palabra exacta sería iteración. La ven-

taja de la primera es la de ser muy intuitiva, y el concepto justo de iteración lo

entenderán cuando les quede claro el de Dimensión Fractal.

Universidad Nacional Abierta

162

¿Qué programa es mejor? La respuesta a ello varía dependiendo de varios

factores. Los programas de fractales podrían dividirse en dos categorías muy grandes,

las mismas son:

- Estudio de Fractales

- Diseño de Fractales desde un punto de vista artístico.

Luego cada una de esas categorías se subdividirá en otras más pequeñas. Por

ejemplo:

El estudio de fractales se puede encarar desde un uso:

- Matemático - A nivel Programación - Desarrollo de algoritmos -

Creación de fractales IFS (los mencionaré en futuras clases.) -

Evolución de Atractores

Los fractales artísticos pueden dividirse en:

- Creación de imágenes. - Galerías v irtuales. - Música F ractal. -

Películas Fractales.

Para cada una de esas categorías y subcategorías hay software y aplicaciones

especificas

Vamos a comenzar en primer lugar con el Fractint.

1) FRACTINT

Características principales

- Para a cceder a l p rograma, p ueden h acerlo d esde:

http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html

- La última versión disponible cuando escribí este texto es la 20.0 - Existen ver-

siones para los siguientes sistemas operativos: Win – DOS – Unix. - El Fractint es to-

talmente libre, sin costo alguno para cualquiera de esas plataformas.

Bien, esas son las primeras características que deben tener en cuenta. Sinceramente la

versión para Windows jamás la probé, y lo que he escuchado sobre ella no es para

nada recomendable. La versión para Linux si la he testeado y es bastante rudimentaria

comparada con la versión para DOS, pero para un estudio matemático de los fractales

es sumamente potente, no así desde un punto de vista artístico ya que las paletas de

colores no están implementadas como en otros programas.

Por lo tanto, sin dudas, la versión que les recomiendo es la que corre bajo DOS.

Si es la elección por la que finalmente optan, el archivo va a venir comprimido

en una extensión ZIP, y lo bueno es que con tan solo descomprimirlo en una carpeta

creada por ustedes, automáticamente tendrán disponible el ejecutable para hacer an-

Universidad Nacional Abierta

163

dar e l p rograma. (fractint.exe) No hace falta ningún otro requerimiento de i nstala-

ción o configuración.

Nota: para descomprimir el archivo frain200.zip que han bajado es necesario

hacerlo con un programa como el Winzip o WinRar

Bien, por el momento nada nuevo referido a los fractales. Los pasos que deber-

ían haber hecho en resumen para adquirir y tener el Fractint en su PC son

- Haberse c onectado a l s itio d e F ractint ( link m encionado a nteriormente) -

Haber bajado el archivo frain200.zip para DOS.

- Haber creado una carpeta llamada Fractint (no importa en que directorio) -

Haber descomprimido el archivo frain200.zip con el WinZip o WinRar en di-

cha carpeta. - Una vez descomprimido el archivo, dentro de la carpeta Frac-

tint (o como ustedes la hayan llamado), encontrarán el archivo ejecutable

fractint.exe

Espero que todos hayan podido llegar hasta aquí. Para ejecutar el Fractint solo

tienen que hacer doble click en el archivo ejecutable fractint.exe y se les abrirá una

ventana de DOS. Aquellos que dominen y se acuerden algo del DOS obviamente es

preferible correrlo directamente desde el DOS y no desde WIN.

A) Una vez dentro del programa, lo primero que aparece es una larga l ista de

desarrollados del Fractint (quizás vea el nombre de alguno de ustedes en futuras ver-

siones del programa)

B) Para salir de dicha pantalla y avanzar hacia la próxima basta con presionar la

tecla ENTER.

C) Lo primero que les pide es que seleccionen el modo de video que posee su

PC: Select Video Mode Hagan ENTER ahí. A menos que conozcan con exactitud su

placa de video, es preferible que opten por la que el Fractint ha reconocido por defec-

to. Para ello presionen ENTER

D) Y ahora sí! Aparece su primer fractal. A esta altura no hace falta mencionar

que es el Conjunto de Mandelbrot, pero bueno... vamos a nombrarlo por las dudas.

E) Ahora podemos comenzar a trabajar sobre esa imagen:

Universidad Nacional Abierta

164

Si todo anduvo bien esta es la primera imagen que verán.

Una de las grandes ventajas que tiene este programa, es que no requiere el uso

del mouse prácticamente para nada, por lo tanto podremos realizar todas las operacio-

nes con el uso de las teclas. Veremos algunas de ellas:

PgUp o PageUp o RePag En cada teclado que veo esta tecla tiene un nombre

diferente, pero en definitiva es la tecla para subir o retroceder una pagina de un texto.

Con esta tecla lo que podremos hacer es un recuadro para luego ubicarlo en la región

del fractal donde queremos “sumergirnos” o hacer un ZOOM o iterarlo, como más claro

les resulte llamarlo.

Veamos:

Universidad Nacional Abierta

165

NOTA: Cuando ustedes presionen varias veces la tecla PgUp el recuadro se di-

rigirá hacia e l centro del f ractal, para moverlo dentro de l a imagen de un lado hacia

otro deben usar las cuatro flechas del teclado: los cursores.

Fíjense en el ejemplo que d i recién, noten en la f igura 2-A el recuadro b lanco

que hice. En la figura 2-B aparecerá el resultado luego de haber presionado ENTER una

vez creado ese rectángulo. Así sucesivamente en cada una de las imágenes.

NOTA: Para achicar el rectángulo donde queremos hacer nuestro ZOOM como

dije recién utilizamos la tecla PgUp, como intuitivamente se darán cuenta para agran-

dar ese rectángulo usaremos la tecla PgDn o PageDown o AvPag

Aquí viene la parte interesante y la que nos permite aprender más allá de gene-

rar bonitas imágenes. Podemos repetir este proceso de crear nuevos rectángulos y

sumergirnos en diferentes áreas del fractal una cierta cantidad de veces. Pero l legará

un momento donde vamos a tener toda la pantalla de un solo color. Los fractales teóri-

cos tienen detalle infinito, por lo tanto se supone que se podrían realizar infinitos ZO-

OMs dentro cada imagen, pero no es así, todavía no se ha podido crear un programa

para realizar ese tipo de cálculos y probablemente nunca se pueda. De esto hablába-

mos en clases anteriores y surgió el tema en los foros de debate sobre bucles infinitos.

Igualmente, algo que leí en un tutorial en el sitio de Área Fractal sobre este programa

y el cual recomiendo para profundizar esta clase:

http://areafractal.tierradenomadas.com/fctint.html , dice textualmente:

“La mayoría de los tipos de fractal incluidos admiten ampliar cualquier parte de

la imagen. En principio, el límite de zoom por procedimientos normales es 10^15. Eso

significa, más o menos, ampliar una mesa de ping-pong más allá del tamaño del sis-

tema solar. Podría ser suficiente, pero lo cierto es que, aplicando una técnica llamada

precisión arbitraria, Fractint puede llegar a niveles de ampliación del orden de

10^1600. No existen ejemplos de esta relación de tamaño dentro del universo conoci-

do.”

Impresionante, no? El poderío que tenemos cada uno de nosotros con nuestras

PC para investigar... Solo es cuestión de saber aprovecharlo.

Bien, s igamos avanzando. El F ractint no ti ene solo el Conjunto de Mandelbrot

para i nvestigar, s ino que t rae más de 100 fórmulas para i nteractuar. Para acceder a

ellas, podemos hacerlo con la tecla t la cual nos mostrará todos los t ipos de fractales

disponibles. El que vimos hasta ahora es el llamado Mandel, prueben todos los demás,

y comiencen a hacer zoom en cada uno de ellos.

Otra opción a la tecla t es, desde el menú principal, Select Fractal Type

Universidad Nacional Abierta

166

Algo interesante y muy destacado en el Fractint es que trae una sección de fractales

IFS, l os cuales nosotros l lamamos anteriormente “ fractales l ineales”. Podrán generar

desde esa sección entre otros, el triángulo de Sierpinski o l a hoja de helecho que v i-

mos en otras clases, pero insisto, no desde un punto de vista artístico.

Otra cosa muy importante es la extensión de los archivos reconocidos por

Fractint. Los PAR son los parámetros que ustedes podrán abrir con este programa pa-

ra empezar a estudiarlo. Por ejemplo, yo puedo crear en mi computadora un fractal

con el Fractint y guardar sus parámetros, puedo subir a Internet ese archivo PAR y

cualquiera de ustedes bajarlo, abrirlo desde sus PC y comenzar a trabajar sobre él.

Está lleno de sitios de artistas fractales que suben sus fórmulas y sus parámetros para

que otros usuarios trabajen sobre ellos. Por lo tanto, cada vez que vean en alguna pa-

gina de fractales, algún parámetro PAR, podrán abrirlo con el Fractint y crear nuevas

imágenes a partir de él.

Algo sorprendente y sumamente útil que nos presenta Fractint es que una vez

que h icieron zoom y vieron una imagen que les gusto, pueden guardarla en formato

GIF. Pero esta imagen no será común y corriente, o s ea, una imagen plana. Ese GIF

tendrá incorporado todo el código y parámetros que se utilizaron para crear esa ima-

gen. Suena complicado, pero lo que realmente implica es que si yo abro con el Fractint

esa imagen nuevamente puedo seguir haciendo ZOOMs sobre ella como si fuera un

código de programación y no una imagen plana.

Guardar una imagen es sumamente sencillo. Basta con presionar la tecla S y

automáticamente Fractint guardará ese fractal en el directorio que han creado y donde

instalaron el programa. Se guarda con el nombre fract001.gif luego ustedes pueden

renombrarlo. Si a continuación guardan otra imagen, como es lógico esta tendrá el

nombre fract002.gif

Otra opción para guardar sus fractales es desde el menú principal: Save image

to file

Si bajan parámetros e imágenes desde algún sitio en Internet, para poder abrir-

las en su PC primero deberán buscarlas, para ello: presionen la tecla r o en su defecto

desde el menú principal: load image from file

Para escapar siempre de un menú a otro, o para salir de una imagen, presionen

la tecla Esc

Bien, estas son las herramientas más básicas que le permitirán crear sus prime-

ras imágenes fractales. Hagamos un resumen:

Una vez instalado el programa y habiendo corrido el archivo Fractint.exe:

1) ENTER para salir de la pantalla de presentación.

Universidad Nacional Abierta

167

2) ENTER para seleccionar el modo de video.

3) ENTER para seleccionar el reconocido por defecto por Fractint.

4) Ya tendrán su primera imagen en pantalla, el Conjunto de Mandelbrot. Para tra-

bajar sobre él:

- PgUp para crear el rectángulo que ubicarán en la región del fractal en el cual de-

seen hacer ZOOM. Sirve también para achicar el tamaño del rectángulo. - Utilizar las

cuatro flechas del teclado para mover ese rectángulo de un lado hacia otro en la pan-

talla. - PgUp para agrandar el rectángulo. - t para seleccionar otro tipo de fractal

- s para guardar la imagen deseada en formato GIF - r para buscar imágenes o

parámetros en su PC para luego abrirlos con el Fractint

- Esc para escaparse de cada imagen o menú.

- F1 es la ayuda, muy útil !!

Perfecto, todo lo que se puede hacer con el Fractint es maravilloso, esta última ver-

sión acepta archivos PAR de música fractal, lo cual es todo un tema. Existen varios

programas que trabajan en conjunto con el Fractint para crear diversas aplicaciones, y

otro aspecto interesante pero más avanzado es que cada vez que abran un nuevo frac-

tal verán las opciones para cambiar los parámetros y generar nuevas imágenes a partir

de ello, pueden experimentar aunque no entiendan de que se trata a ver que pasa,

pero no nos adelantemos mucho más, este es solo el comienzo de un camino tan in-

menso como el mismo detalle fractal.

Pero antes de dar por finalizada esta introducción al Fractint, quiero mostrarles otra

opción que seguramente les gustará. El manejo de colores:

Si sobre una imagen presionan la tecla c dos veces comenzarán a ver una catarata

de colores, los cuales pueden manejar presionando c nuevamente para detenerlo o con

las teclas + y – para avanzar o re troceder en la gama de colores. No les cuento más

así hacen las pruebas por ustedes mismos. Recuerden utilizar también la tecla Esc

cuando hayan encontrado el color que más les guste.

Existe otro modo para crear f ractales desde un punto de v ista más artístico pero

resulta algo complejo hacerlo con el Fractint así que voy a explicar ese tema en la sec-

ción del U ltraFractal. Para aquellos que igualmente deseen experimentar la paleta de

colores se abre presionando la tecla e. Las extensiones de los archivos que contienen

paletas de colores son los .MAP.

Links interesantes sobre el Fractint

- 1) Home Page de Fractint: http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html

Universidad Nacional Abierta

168

- 2) I nteresante t utorial d e F ractint:

http://areafractal.tierradenomadas.com/fctint.html

- - 3) La página de Jim Muth. (Fractal of the Day) Este muchacho desde el año

1997 viene subiendo una imagen diferente cada día en las listas de mail sobre

Fractint.

Lo b ueno e s q ue t ambién s ube s us parámetros.

http://home.att.net/~Paul.N.Lee/FotD/FotD.html

- 4) Galerías de Imágenes hechas con Fractint y sus respectivas formulas y

parámetros (archivos PAR.)

http://www.les.stclair.btinternet.co.uk/fractals/fractin1.htm Esta última página puede

resultarles de especial interés y les permitirá aprender muchísimo. Verán imágenes

hechas con este p rograma, pero además podrán bajar l as formulas y l os parámetros

de todas esas imágenes. Esto funciona más o menos así:

- Bajan alguno o todos los paquetes ZIP con imágenes, por ejemplo el primero

que contiene 30 y se llama kscope.zip.

- Una vez que los hayan bajado les recomiendo que los copien al directorio don-

de han instalado el Fractint y luego descomprimirlos con el WinZip o similar. - No solo

deben contar con los parámetros, sino que muchos de ellos dependen de fórmulas ne-

cesarias para que esos f ractales puedan crearse. Esas fórmulas son hechas por cada

una de las personas que desarrollan imágenes fractales. Cuando estén más avanzados

espero ver sus propias fórmulas dando vueltas por Internet. En la página hay un link

para que puedan bajarlas, el archivo se l lama lparfrms.zip y ya que estoy se los dejo

linkeados por las dudas que no lo encuentren. - Cuando ya tengan descomprimidos en

el directorio donde tienen instalado el Fractint tanto los parámetros como las fórmulas,

ya podrán abrirlos, hacer ZOOM en cada uno de ellos y crear nuevas imágenes. - Para

abrirlos recuerden presionar la tecla r que les permite buscar archivos en sus directo-

rios. Bueno, como dije al comienzo esta clase no es un tutorial de Fractint, solo quería

comentarles las características principales para que ya puedan generar sus imágenes,

lo cual es fundamental para que puedan comprender esta teoría. Ahora depende de

ustedes. Lo que les aconsejo es lo siguiente:

- Lean todo este material con detenimiento. - Aunque no les salga nada sigan

intentando y dando vueltas por el programa y cada una de sus opciones. - Cuando re-

almente descubran que no l es salen l as cosas, pregunten, en l os foros de debate he

abierto un espacio especial para eso. - Busquen otros textos explicativos. Como por

ejemplo el link que les deje hace un instante sobre el tutorial en Área Fractal. - Utilicen

Universidad Nacional Abierta

169

siempre F1 que es una muy buena ayuda. - Si se animan participen en las l istas de

distribución de mail y en los foros de debate internacionales.

2) ULTRAFRACTAL

Características principale:

- Para acceder al programa, pueden hacerlo desde: http://www.ultrafractal.com

- La última versión disponible es la 3.0, aunque yo recomiendo fuertemente la anterior,

la 2.05 que se puede bajar desde:

http://tucows.gms.lu/mmedia/adnload/194925_75032.html

- Existen versiones para diferentes versiones de Windows y está escrito en lenguaje

Pyton.

- UltraFractal es shareware, tiene un período de prueba de 30 días.

Bien, esas son sus características principales. La ventaja que tiene sobre el

Fractint es que su interfaz es mucho más l inda y por sobre todas las cosas es mucho

más intuitivo. Para los que recién están comenzando en el manejo de software para la

generación de fractales, creo que este es un muy buen comienzo, es muy fácil de ins-

talar, muy fácil de manejar y podrán generar imágenes de gran belleza.

Empecemos, toda la filosofía es igual que la del Fractint y la de cualquier otro

software. Se trata de abrir un archivo, comenzar a hacer zoom dentro de él y de esa

manera generar nuevos fractales. Para aquellos más adelantados también se trata de

crear sus propias fórmulas.

Al igual que el Fractint una vez que se corre el programa aparecerá en la panta-

lla el Conjunto de Mandelbrot. Ya no hay que hacer malabarismo para crear un rectán-

gulo y luego hacer zoom en la imagen, ahora simplemente se hará manteniendo pre-

sionado el botón del mouse y moviéndolo hasta la región del f ractal que deseen am-

pliar. Aparece un pequeño menú flotante donde encontrarán opciones para girar la

selección, aumentar o disminuir su tamaño.

Aparecen otras dos pantallas a modo de menú, una de propiedades que t iene

que ver con la formula ut ilizada, sus parámetros, t ransformaciones que se le pueden

aplicar a un fractal para deformarlo y otras propiedades algo más complicadas. Pueden

experimentar tranquilamente con todas ellas, y guiarse con el tutorial que se encuen-

tra en el HELP – Getting Started.

La segunda ventana se divide en 3 partes:

1) Layers: Esta opción es l a que le dará e l toque artístico a sus f ractales. Le

permitirá combinar varias capas y agregar efectos. Quienes sepan de diseño

grafico y m anejen s oftware como e l P hotoShop l es re sultará m uy fácil,

aquellos que no estén tan familiarizados con estos programas no les queda

Universidad Nacional Abierta

170

otra que practicar muchísimo, bajarse parámetros de fractales ya diseñados

y aprender de ellos, leer tutoriales y cuando no les salga algo preguntar.

Todo es cuestión de practica.

2) Image: En esta ventana tenemos todas las características de la imagen que

obtendremos por resultado: A ltura de la imagen, ancho y resolución (con-

viene que no supere los 300)

3) Comments: son solo características optativas que se agregarán a l código,

como ser el nombre de quien c reó el f ractal, l a fecha de c reación y algún

comentario como su e-mail o pagina Web donde suben sus fractales.

NOTA IMPORTANTE: En l a primera ventana, l a de propiedades, encontrarán

una pestaña que dice FORMULA, y dentro de ella un espacio para completar las itera-

ciones que desean. (Maximun Iterations) Esta opción muestra la cantidad de zoom que

podrán hacer sin perder fidelidad en la imagen y el nivel de profundidad donde siempre

van a seguir encontrando una nueva imagen a l hacer zoom. Noten que el l ímite que

propone el UltraFractal es de 100.000, generalmente se usa una iteración de entre 500

y 2500, más de eso puede hacer que cuando alguien abra la imagen que han creado,

tarden horas completas en cargarla. Recuerdo cuando comencé con el Fractint hace

más de 6 años atrás, en esa época tenia una PC 486 con 4 M G de memoria. Muchas

veces he dejado noches completas la computadora encendida tan solo para que hiciera

una i teración. Mandelbrot, cuando comenzó a generar sus primeros f ractales en IBM,

tardaba semanas completas y eso que usaba computadoras que en aquella época eran

de última generación y todas en un clauster. Por lo tanto, tengan cuidado cuando elijan

la cantidad de iteraciones, recuerden que ya dijimos que no existían fractales con ite-

ración infinita, al menos por ahora!

Veamos más cosas que pueden hacerse con este programa. Estudiemos ahora l a es-

tructura de directorios que se han creado luego de la instalación del UF. Hay 6 carpe-

tas:

- Alpha - Export - Formula - Fractal - Gradient - Parameters

Por el momento vamos a estudiar 3 de ellas.

Cuando uno genera fractales a través de este tipo de programas, podemos decir

que la creación del fractal se divide en dos grandes partes:

- Fórmula

- Parámetro

Lo que pasa es que al hacer todo de una manera gráfica mucha gente no tiene

en cuenta estos dos aspectos. Una comparación de ello es para quienes diseñan pági-

Universidad Nacional Abierta

171

nas Web, pueden hacerlo con el Bloc de Notas en un simple TXT o con un programa

gráfico como del DreamWeaver, el resultado será el mismo, la manera de hacerlo no,

una es mucho más didáctica y fácil que la otra.

Entonces, con la instalación básica del UF vienen aproximadamente 20 fractales

de muestra, sus parámetros están guardados en la carpeta PARAMETERS y sus respec-

tivas f órmulas, c omo no p odía s er d e otra manera, s e e ncuentran e n l a c arpeta

FORMULA. Hasta el momento esto no debería ser ningún problema para ustedes, ni

siquiera tienen que ingresar a las mencionadas carpetas. Pero, si desean bajar más

imágenes, como seguramente sucederá, entonces deberán fijarse bien donde guardan

sus archivos, más adelante retomo esto.

Para abrir un fractal, pueden ir a FILE – OPEN – (Directorio donde se instaló UF

– Parameters) – Elegir el fractal deseado.

Una vez que lo tenemos en la pantalla, como expliqué antes, con el mouse po-

demos comenzar a hacer zoom e iteraciones para generar nuevos fractales.

Veamos un poco el tema de los colores que en este programa resultan muy in-

teresantes.

Con este icono: comenzará a generarse un movimiento que mostrará to-

da la gama de colores de una determinada paleta (GRADIENT) Es equivalente a cuando

presionábamos la tecla c en el Fractint. Es asombroso como varía la forma de un frac-

tal tan solo con cambiar su color.

Para ver la paleta que estamos usando en este momento existe otro icono:

Para cambiar de una paleta a otra, el tema es algo complicado. Hay que seguir los si-

guientes 5 pasos:

1) Ir a FILE – BROWSE - GRADIENT. Ahí verán una serie de paletas disponibles.

2) Elegir la que más les guste y hacer doble click sobre ella para abrirla.

3) Presionar al mismo tiempo las teclas ctrl - c (equivalente a COPIAR)

4) Una vez hecho eso, volver a la imagen y presionar nuevamente el icono

Universidad Nacional Abierta

172

5) Veremos entonces la paleta anterior con la que estábamos trabajando, ahora

solo f alta p resionar a l m ismo t iempo la s teclas c trl – v ( equivalente a

PEGAR)

Realizados estos 5 pasos, automáticamente el fractal adoptará la nueva paleta

de colores.

Bueno, puede que por este medio resulte todo a lgo complejo, pero verán que

cuando estén frente al programa todo resultará más intuitivo. Queda en ustedes inves-

tigar y meterse en todas las opciones, esta es tan solo una pequeña guía de ayuda,

pero es imprescindible que ustedes investiguen, investiguen e investiguen, metiéndose

en todas las opciones posibles y experimentando que sucede.

Otra muy buena manera de aprender es bajándose f ractales hechos por artis-

tas, abrirlos con el UltraFractal y trabajar sobre ellos. Además de ver las imágenes,

estudien y lean también los códigos!

En el sitio de UltraFractal.com se encuentra disponible una lista de distribución

de mail donde a diario se intercambian más de 100 imágenes. Si tienen paciencia,

tiempo, saben inglés, y están dispuestos a recibir una alta cantidad de mails diarios,

les aconsejo fuertemente que se suscriban y hagan correr todos los fractales que ellos

envían, y por supuesto, envíen sus propios trabajos también.

Así como en e l F ractint l os parámetros eran a rchivos PAR, en Ul traFractal son

UPR, existen bases de datos enormes en Internet para bajar UPRs, por ejemplo los de

la lista de mails que les comenté se encuentran en:

http://users.pandora.be/jan.vyvey1/fractals.htm

Allí encontrarán más de 20.000 parámetros disponibles en paquetes ZIP, los

cuales deberán descomprimir dentro de l a carpeta PARAMETERS que l es mencionaba

anteriormente.

Como también les comenté, la mayoría de esos fractales están generados a

través de fórmulas que han escrito diferentes personas a lo largo del mudo, las cuales

son igualmente necesarias bajar; también vienen en paquetes ZIP los cuales hay que

descomprimir en el directorio FORMULA. Se pueden bajar desde:

http://formulas.ultrafractal.com/

Realmente no sé que tan actualizados estarán esos paquetes. Si cuando cargan

algún fractal, les muestra algún tipo de error, seguramente es porque no puede encon-

trar la fórmula adecuada, y habrá que comenzar a investigar donde pueden encontrar-

se. Un buen punto de partida es esa lista de distribución de mails que les conté, si pre-

guntan ahí, tienen respuesta asegurada.

Universidad Nacional Abierta

173

Galerías de imágenes, tutoriales, más fórmulas, parámetros y otros recursos

pueden encontrarse en:

http://www.ultrafractal.com/resources.html

Bueno, esto es todo por ahora con el UltraFractal, les deseo suerte, y la única

forma en la que van a tener éxito es siendo perseverantes y seguir adelante por más

que se topen con problemas o no entienda algún tema en particular.

3) Otros Programas

Por supuesto que el Fractint y el UltraFractal no son los únicos programas para ge-

nerar fractales, existen cientos de ellos. Algunos otros que me gustaría destacar son:

Fractal Explorer:

Puede bajarse de:

http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/index.html

http://www.freedownloadscenter.com/Multimedia_and_Graphics/Graphics_Editors/

Fractal_Explorer_Download.html

Una galería de imágenes de este programa se puede encontrar en:

http://members.optusnet.com.au/~peterstone/gallery.html

Si bien no es tan artístico como el UltraFractal, este tiene una opción para generar

paisajes fractales en 3D, lo cual me ha resultado muy interesante. Para ello deben con-

tar además con la Fractal Landscapes Library y descomprimirla en el directorio que

han instalado el Fractal Explorer. La pueden bajar de:

http://www.eclectasy.com/Fractal-Explorer/download.htm

Un ejemplo de esta imagen puede ser:

Noten que Conjunto de Mandelbrot tan interesante.

Otro programa que me gusta mucho es el Tierazon, el mismo puede bajarse de

Universidad Nacional Abierta

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http://fractals.iuta.u-bordeaux.fr/fergusonsc/

En este último sitio, se encuentran varios programas más para generar fracta-

les!

Lo que tiene de bueno el Tierazon es que se pueden crean películas fractales en

formato AVI realmente espectaculares, las mismas se generan a través de iteraciones

o haciendo zoom dentro de la imagen. Estoy preparando un par de estas películas y las

subiré pronto a FractalTec.

Un muy buen tutorial de este programa y de Arte Fractal, se encuentra en:

http://www.fractalarts.com/ASF/Tutor1.html

Por último, el programa que quiero recomendarles ahora es el Chaos Pro

El mismo puede bajarse desde:

http://www.chaospro.de/

y tiene un muy buen tutorial incorporado.

FIN DEL CURSO

Recuerden que pueden realizar todas sus consultas en los foros de FractalTec:

http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl

Juan Pablo Braña

Universidad Nacional Abierta

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LECTURA 12. Trabajo enviado por:

Yuliana Corzo

yulicorzo@cantv.net

La Lógica Indice

1. Introducción

2. Historia

3. Conceptos básicos de Lógica Difusa

4. ¿Que es la Lógica Difusa?

5. Conjuntos Difusos: Lógica Difusa.

6. Operaciones entre Conjuntos Difusos.

1. Introducción

La lógica borrosa es una rama de la inteligencia artificial que se funda en el

concepto "Todo es cuestión de grado" , lo cual permite manejar información vaga o de

difícil especificación si quisiéramos hacer cambiar con esta información el funciona-

miento o el estado de un sistema especifico. Es entonces posible con la lógica borrosa

gobernar un sistema por medio de reglas de 'sentido común' las cuales se refieren a

cantidades indefinidas.

Las reglas involucradas en un sistema borroso, pueden ser aprendidas con sis-

temas adaptativos que aprenden al ' observar ' como operan las personas los dispositi-

vos reales, o estas reglas pueden también ser formuladas por un experto humano.

En general la lógica borrosa se aplica tanto a sistemas de control como para

modelar cualquier sistema continuo de ingeniería, física, biología o economía.

La lógica borrosa es entonces definida como un sistema matemático que modela

funciones no lineales, que convierte unas entradas en salidas acordes con los plantea-

mientos lógicos que usan el razonamiento aproximado.

Se fundamenta en los denominados conjuntos borrosos y un sistema de infe-

rencia borroso basado en reglas de la forma " SI....... ENTONCES...... ", donde los va-

lores l ingüísticos de la premisa y el consecuente están definidos por conjuntos borro-

sos, es así como las reglas siempre convierten un conjunto borroso en otro.

Universidad Nacional Abierta

176

2. Historia

Los conjuntos difusos fueron introducidos por primera vez en 1965; la creciente

disciplina de la lógica difusa provee por sí misma un medio para acoplar estas tareas.

En cierto nivel, la lógica difusa puede ser vista como un lenguaje que permite trasladar

sentencias sofisticadas en lenguaje natural a un lenguaje matemático formal. Mientras

la motivación original fue ayudar a manejar aspectos imprecisos del mundo real, la

práctica temprana de la l ógica d ifusa permitió e l desarrollo de aplicaciones prácticas.

Aparecieron numerosas publicaciones que presentaban los fundamentos básicos con

aplicaciones potenciales. Esta frase marcó una fuerte necesidad de distinguir la lógica

difusa de la teoría de probabilidad. Tal como la entendemos ahora, la teoría de conjun-

tos difusos y la teoría de probabilidad tienen diferentes tipos de incertidumbre.

En 1994, la teoría de la lógica difusa se encontraba en la cumbre, pero esta

idea no es nueva, para muchos, estuvo bajo el nombre de lógica difusa durante 25

años, pero sus orígenes se remontan hasta 2,500 años. Aún Aristóteles consideraba

que existían ciertos grados de veracidad y falsedad. Platón había considerado ya gra-

dos de pertenencia.

En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano Irlandés, George Berkeley y David

Hume describieron que el núcleo de un concepto atrae conceptos similares. Hume en

particular, creía en la lógica del sentido común, el razonamiento basado en el conoci-

miento que la gente adquiere en forma ordinaria mediante vivencias en el mundo. En

Alemania, Immanuel Kant, consideraba que solo los matemáticos podían proveer defi-

niciones claras, y muchos principios contradictorios no tenían solución. Por ejemplo la

materia podía ser dividida infinitamente y al mismo tiempo no podía ser dividida infini-

tamente. Particularmente la escuela americana de la filosofía llamada pragmatismo

fundada a principios de siglo por Charles Sanders Peirce, cuyas ideas se fundamenta-

ron en estos conceptos, fue el primero en considerar ' 'vaguedades'', más que falso o

verdadero, como forma de acercamiento al mundo y a la forma en que la gente funcio-

na.

La idea de que la lógica produce contradicciones fue popularizada por el filósofo

y matemático británico Bertrand Russell, a principios del siglo XX. Estudio las vague-

dades del lenguaje, concluyendo con precisión que la vaguedad es un grado. El filosofo

austríaco Ludwing Wittgenstein estudió l as formas en l as que una palabra puede ser

empleada para muchas cosas que tienen algo en común. La primera lógica de vague-

dades fue desarrollada en 1920 por el filósofo Jan Lukasiewicz, visualizó los conjuntos

con un posible grado de pertenencia con valores de 0 y 1, después los extendió a un

número infinito de valores entre 0 y 1. En los años sesentas, Lofti Zadeh inventó la

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177

lógica difusa, que combina los conceptos de la lógica y de los conjuntos de Lukasiewicz

mediante la definición de grados de pertenencia.

3. Conceptos básicos de Lógica Difusa

Conjuntos difusos.

La mayoría de los fenómenos que encontramos cada día son imprecisos, es de-

cir, tienen implícito un cierto grado de difusidad en la descripción de su naturaleza.

Esta imprecisión puede estar asociada con su forma, posición, momento, color, textu-

ra, o incluso en la semántica que describe lo que son. En muchos casos el mismo con-

cepto puede tener diferentes grados de imprecisión en diferentes contextos o tiempo.

Un día cálido en invierno no es exactamente lo mismo que un día cálido en primavera.

La definición exacta de cuando la temperatura va de templada a caliente es imprecisa -

no podemos identificar un punto simple de templado, así que emigramos a un simple

grado, la temperatura es ahora considerada caliente. Este tipo de imprecisión o difusi-

dad asociado continuamente a los fenómenos es común en todos los campos de estu-

dio: sociología, física, biología, finanzas, ingeniería, oceanografía, psicología, etc.

Conceptos imprecisos.

Aceptamos la imprecisión como una consecuencia natural de ''la forma de las

cosas en el mundo''. La dicotomía entre el rigor y la precisión del modelado matemáti-

co en todo los campos y la intrínseca incertidumbre de ''el mundo real'' no es general-

mente aceptada por los científicos, filósofos y analistas de negocios. Nosotros simple-

mente aproximamos estos eventos a funciones numéricas y escogemos un resultado

en lugar de hacer un análisis del conocimiento empírico. Sin embargo procesamos y

entendemos de manera implícita la imprecisión de la información fácilmente. Estamos

capacitados para formular planes, tomar decisiones y reconocer conceptos compatibles

con altos niveles de vaguedad y ambigüedad. considere las siguientes sentencias:

• La temperatura está caliente

• La inflación actual aumenta rápidamente

• Los grandes proyectos generalmente tardan mucho

• Nuestros precios están por abajo de los precios de la competencia

• IBM es una compañía grande y agresiva

• Alejandro es alto pero Ana no es bajita

Estas p roposiciones f orman e l núcleo de nuestras relaciones con ' 'la fo rma de

las cosas en el mundo''. Sin embargo, son incompatibles con el modelado tradicional y

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178

el diseño de sistemas de información. Si podemos incorporar estos conceptos logramos

que los sistemas sean potentes y se aproximen más a la realidad.

Pero, es la imprecisión un concepto artificial utilizado para aumentar o disminuir

en uno o m ás las propiedades de los fenómenos? o es una parte intrínseca del fenó-

meno en sí mismo?.

Esta es una pregunta importante ya que es la parte fundamental de las medidas

de la teoría difusa. Como veremos la fusificación es independiente de cualquier capaci-

dad para medir, ya que un conjunto d ifuso es un conjunto que no t iene l ímites b ien

definidos.

Un conjunto difuso t iene muchas propiedades intrínsecas que afectan la forma

del conjunto, su uso y como participa en un modelo. Las propiedades más importantes

de un conjunto difuso son las concernientes a las dimensiones verticales del conjunto

difuso (altura y normalización) y las dimensiones horizontales (conjunto soporte y cor-

tes "alpha").

La altura de un conjunto difuso es como máximo un grado de pertenencia y es

una cota cercana a l concepto de normalización. La superficie de la región de un con-

junto difuso es el universo de valores. Todos estos conceptos se tratarán más adelan-

te.

Es decir un conjunto difuso A se considera como un conjunto de pares ordena-

dos, en los que el primer componente es un número en el rango [0,1] que denota el

grado de pertenencia de un elemento u de U en A, y el segundo componente especifica

precisamente quién es ése elemento de u . En general l os grados de pertenencia son

subjetivos en el sentido de que su especificación es una cuestión objetiva. Se debe

aclarar que aunque puede interpretarse como el grado de verdad de que la expresión

''u A'' sea cierta, es más natural considerarlo simplemente como un grado de perte-

nencia.

Puede notarse además que:

a) Mientras más próximo está (u) a el valor 1, se dice que u pertenece más a A

(de modo que 0 y 1 denotan la no pertenencia y la pertenencia completa, respectiva-

mente).

b) Un conjunto en el sentido usual es también difuso pues su función caracterís-

tica u es también una función u [0,1]; o sea que los conjuntos difusos son una genera-

lización de los conjuntos usuales.

Ejemplo: Sea U = 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, entonces los conjuntos definidos a

continuación son difusos:

• POCOS = (.4/1, .8/2, 1/3, .4/4)

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179

• VARIOS = (.5/3, .8/4, 1/5, 1/6, .8/7, .5,8)

• MUCHOS =(.4/6, .6/7, .8/8, .9/9,1/10)

Note que el elemento 4 pertenece en grado .4 al conjunto POCOS, en grado .8

al conjunto VARIOS y en grado .0 a MUCHOS. Zadeh ha hecho algunas extensiones a

los conceptos de conjuntos difusos ordinarios que se han explicado; por ejemplo los

conjuntos difusos de nivel-m y los conjuntos difusos tipo-n. Para un conjunto difuso de

nivel-m se considera como su universo de d iscusión al conjunto de conjuntos difusos

de n ivel-(m-1), sobreentendiendo que los conjuntos d ifusos de n ivel-1 son conjuntos

difusos ordinarios. Para los conjuntos difusos tipo-n, los valores de las funciones de

pertenencia son conjuntos difusos de tipo-(n-1) del intervalo [0,1] (en lugar de ser

puntos de [0,1]). También los conjuntos difusos tipo-1 son equivalentes a los conjun-

tos difusos ordinarios.

Operaciones.

En la lógica Booleana tradicional, los conjuntos son considerados como sistemas

bivalentes con sus estados alternando entre inclusión y exclusión. La característica de

la función discriminante refleja este espacio bivaluado

Esto indica que la función de pertenencia para el conjunto A es cero si x no es

un elemento en A y la función de pertenencia es si x es un elemento en A. Dado que

existen solamente dos estados, la transición entre estos dos estados es siempre inme-

diata. La pertenencia de estos conjuntos está siempre totalmente categorizada y no

existe ambigüedad o dicotomía acerca de la pertenencia. Existen 4 operaciones básicas

de conjuntos en esta lógica: unión, intersección, complemento y unión exclusiva.

Al igual que en los conjuntos convencionales, existen definiciones específicas

para combinar y especificar nuevos conjuntos difusos. Este conjunto de funciones teó-

ricas provee las herramientas fundamentales de la lógica.

En el caso usual, con las operaciones comunes de intersección, unión y com-

plemento, el conjunto de conjuntos de U forman un álgebra booleana, es decir se

cumplen las condiciones de asociatividad, conmutatividad, elementos neutros, ídem

potencia, absorción, distributividad, complemento y las leyes de Morgan.

Las tres operaciones mencionadas se pueden extender de varias formas a con-

juntos difusos, de modo que al restringirlas a los conjuntos usuales, coincidan con las

comunes. Estas extensiones resultantes satisfacen en forma general sólo a algunas de

las condiciones listadas anteriormente, y para mantener la vigencia de alguna, será

obligatorio sacrificar a otras. En el sistema se optó por extender las operaciones en el

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180

sentido clásico, es decir, dados dos conjuntos difusos A y B, se definen las operaciones

extendidas de la siguiente forma

Dado que los conjuntos difusos no se particionan en el mismo sentido que los

conjuntos Booleanos, estas operaciones son aplicadas al nivel de pertenencia, como

una consecuencia de los conjuntos difusos. Decidir si un valor es o n o es miembro de

cualquier conjunto difuso en particular, requiere algunas nociones de cómo esta cons-

truido el conjunto, del universo y de los límites de éste.

Las etiquetas lingüísticas y operadores.

El centro de las técnicas de modelado d ifuso es la idea de variable lingüística.

Desde su raíz, una variable lingüística es el nombre de un conjunto difuso. Si tenemos

un conjunto difuso llamado ''largo'' éste es una simple variable lingüística y puede ser

empleada como una regla-base en un sistema basado en la longitud de un proyecto en

particular

Si du ración-proyecto e s l argo e ntonces l a-terminación-de-tareas e s

DECRECIENTE; Una variable lingüística encapsula las propiedades de aproximación o

conceptos de imprecisión en un sistema y da una forma de computar adecuada. Esto

reduce la aparente complejidad de describir un sistema que debe concordar con su

semántica. Una variable lingüística siempre representa un espacio difuso.

Lo importante del concepto de variable lingüística es su estimación de variable

de alto orden más que una variable difusa. En el sentido de que una variable lingüística

toma variables difusas como sus valores.

En el campo de la semántica difusa cuantitativa al significado de un término "x"

se le representa como un conjunto difuso M(x) del universo de discusión. Desde este

punto de vista, uno de los problemas básicos en semántica es que se desea calcular el

significado de un término compuesto x=x, x ,...,x partiendo del conocimiento del sig-

nificado de sus componentes atómicos x .

La idea básica sugerida por Zadeh es que una etiqueta lingüística tal como

''muy'', ''más o menos'', ''ligeramente'', etc... puede considerarse como un operador

que actúa sobre un conjunto difuso asociado al significado de su operando. Por ejem-

plo en e l ca so de un t érmino compuesto ' 'muy a lto'', e l operador ' 'muy'' a ctúa en e l

conjunto difuso asociado al significado del operando ''alto''. Una representación

aproximada para una etiqueta lingüística se puede lograr en términos de combinacio-

nes o composiciones de l as operaciones básicas explicadas en l a sección anterior. Es

importante aclarar que se hará mayor énfasis en que estas representaciones se propo-

nen principalmente para ilustrar el enfoque, más que para proporcionar una definición

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181

exacta de las etiquetas lingüísticas. Zadeh también considera que las etiquetas lingüís-

ticas pueden clasificarse en dos categorías que informalmente se definen como sigue:

• Tipo I: las que pueden representarse como operadores que actúan en un con-

junto difuso: ''muy'', ''más o menos'', ''mucho'', ''ligeramente'', ''altamente'',

''bastante'', etc. y,

• Tipo II: las que requieren una descripción de cómo actúan en los componentes

del conjunto difuso (operando): ''esencialmente'', ''técnicamente'', ''estricta-

mente'', ''prácticamente'', ''virtualmente'', etc...

En otras palabras, las etiquetas lingüísticas pueden ser caracterizadas cómo

operadores más que construcciones complicadas sobre las operaciones primitivas de

conjuntos difusos.

Ejemplos de etiquetas tipo I.

De acuerdo a éste punto de vista y sabiendo que el lenguaje natural es muy rico

y complejo, tomamos el operador ''muy'' que podemos caracterizar con un significado

de que aún cuando no tenga validez universal sea sólo una aproximación. Asumimos

que si el significado de un término x es un conjunto difuso A, entonces el significado de

muy X.

Más y menos

Se pueden definir etiquetas lingüísticas artificiales, por ejemplo: más, menos,

que son instancias de lo que puede llamarse acentuador y desacentuador respectiva-

mente, cuya función es proporcionar l igeras variantes de la concentración y la dilata-

ción.

Los exponentes se eligen de modo que se de la igualdad aproximada: mas mas x =

menos muy x, y que, además, se pueden utilizar para definir etiquetas lingüísticas cu-

yo significado difiere ligeramente de otras, ejemplo:

Mas o menos

Otra etiqueta lingüística interesante es ''más o menos'' que en sus usos más

comunes como ' 'más o menos i nteligente'', ' 'más o menos rectangular'' etc, juega el

papel de difusificador.

Ligeramente

Su efecto es dependiente de la definición de proximidad u ordenamientos en el

dominio del operando. Existen casos, sin embargo, en los que su significado puede

definirse en términos de etiquetas l ingüísticas tipo I, bajo la suposición de que el do-

minio del operando es un conjunto ordenado linealmente.

Clase de

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Es una etiqueta lingüística que tiene el efecto de reducir el grado de pertenencia

de los elementos que están en el ''centro'' (grados de pertenencia grandes) de una

clase x e incrementa el de aquellos que están en su periferia (grados de pertenencia

pequeños).

Regular

Es una etiqueta que tiene el efecto de reducir el grado de pertenencia de aque-

llos elementos que tienen tanto un alto grado de pertenencia al conjunto como de

aquellos que lo ti enen pequeño, y sólo aumenta e l grado de pertenencia de aquellos

elementos que tienen un grado de pertenencia cercano al .

Etiquetas tipo II.

Su caracterización envuelve una descripción de forma que afectan a los compo-

nentes del operando, y por lo tanto es más compleja que las del tipo I. En general, la

definición de una etiqueta de este tipo debe formularse como un algoritmo difuso que

envuelve etiquetas tipo I. Su efecto puede describirse aproximadamente como una

modificación de los coeficientes de ponderación de una combinación convexa. Como la

magnitud de las ponderaciones es una medida del atributo asociado, intuitivamente

una etiqueta de este tipo tiene el efecto de aumentar las ponderaciones de los atribu-

tos importantes y disminuir los que relativamente no lo son.

4. ¿Que es la Lógica Difusa?

Un tipo de lógica que reconoce más que simples valores verdaderos y falsos.

Con lógica difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de veracidad

o falsedad. Por ejemplo, la sentencia "hoy es un día soleado", puede ser 100% verdad

si no hay nubes, 80% verdad si hay pocas nubes, 50% verdad si existe neblina y 0% si

llueve todo el día.

La Lógica Difusa ha sido probada para ser particularmente útil en sistemas ex-

pertos y otras aplicaciones de inteligencia artificial. Es también utilizada en algunos

correctores de voz para sugerir una lista de probables palabras a reemplazar en una

mal dicha.

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183

La Lógica Difusa, que hoy en día se encuentra en constante evolución, nació en

los años 60 como la lógica del razonamiento aproximado, y en ese sentido podía consi-

derarse una extensión de la Lógica Multivaluada. La Lógica Difusa actualmente está

relacionada y fundamentada en la teoría de los Conjuntos Difusos. Según esta teoría,

el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto va a venir determinado por una

función de pertenencia, que puede tomar todos los valores reales comprendidos en el

intervalo [0,1]. La representación de l a función de pertenencia de un e lemento a un

Conjunto Difuso se representa según la figura 1.

Ejemplo de una función de pertenencia a un Conjunto Difuso.

La Lógica Difusa (llamada también Lógica Borrosa por otros autores) o Fuzzy

Logic es básicamente una lógica con múltiples valores, que permite definir valores en

las áreas oscuras entre las evaluaciones convencionales de la lógica precisa: Si / No,

Cierto / Falso, Blanco / Negro, etc. Se considera un súper conjunto de la Lógica Boo-

leana. Con la Lógica Difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de

certeza o falsedad. La lógica tradicional de las computadoras opera con ecuaciones

muy precisas y dos respuestas: Si o no, uno o cero. Ahora, para aplicaciones de

computadores muy mal definidas o sistemas vagos se emplea la Lógica Difusa.

Por medio de la Lógica Difusa pueden formularse matemáticamente nociones

como un poco caliente o muy frío, para que sean procesadas por computadoras y

cuantificar expresiones humanas vagas, tales como "Muy alto" o "luz brillante". De

esa forma, es un intento de aplicar la forma de pensar humana a la programación de

los computadores. Permite también cuantificar aquellas descripciones imprecisas que

se usan en el lenguaje y las transiciones graduales en electrodomésticos como ir de

agua sucia a agua limpia en una lavadora, lo que permite ajustar los ciclos de lavado a

través de sensores.

La habilidad de la Lógica Difusa para procesar valores parciales de verdad ha si-

do de gran ayuda para la ingeniería. En general, se ha aplicado a:

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184

Los operadores lógicos que se utilizarán en Lógica Difusa (AND, OR, etc.) se de-

finen también usando tablas de verdad, pero mediante un "principio de extensión" por

el cual g ran parte del aparato matemático c lásico existente puede ser adaptado a l a

manipulación de los Conjuntos Difusos y, por tanto, a la de las variables lingüísticas.

La operación más importante para el desarrollo y creación de Reglas Lógicas es

la implicación, simbolizada por "→ " que representa el "Entonces" de las reglas heurís-

ticas: Si (...) Entonces (→ ) (...).

Así, en la Lógica Difusa hay muchas maneras de definir la implicación. Se puede

elegir una "función (matemática) de implicación" distinta en cada caso para represen-

tar a la implicación.

La última característica de los sistemas lógicos es el procedimiento de razona-

miento, que permite i nferir resultados l ógicos a partir de una serie de antecedentes.

Generalmente, el razonamiento lógico se basa en silogismos, en los que los anteceden-

tes son por un lado las proposiciones condicionales (nuestras reglas), y las observacio-

nes presentes por otro (serán las premisas de cada regla).

Los esquemas d e ra zonamiento u tilizados s on " esquemas d e razonamiento

aproximado", que intentan reproducir los esquemas mentales del cerebro humano en

el proceso de razonamiento. Estos esquemas consistirán en una generalización de los

esquemas básicos de inferencia en Lógica Binaria (silogismo clásico).

Tan importante será la selección de un esquema de razonamiento como su re-

presentación material, ya que e l ob jetivo f inal es poder desarrollar un p rocedimiento

analítico concreto para el diseño de controladores d ifusos y la toma de decisiones en

general.

Una vez que dispongamos de representaciones analíticas de cada uno de los

elementos lógicos que acabamos de enumerar, estaremos en disposición de desarrollar

formalmente un controlador "heurístico" que nos permita inferir el control adecuado de

un determinado proceso en función de un conjunto de reglas " lingüísticas", definidas

de antemano tras la observación de la salida y normas de funcionamiento de éste.

5. Conjuntos Difusos: Lógica Difusa.

Predicados Vagos y Conjuntos Difusos.

Sistemas expertos.

Verificadores de ortografía, los cuales sugieren una l ista de palabras probables

para reemplazar una palabra mal escrita.

Control de sistemas de trenes subterráneos.

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185

Los conjuntos clásicos se definen mediante un predicado que da lugar a una cla-

ra división del Universo de Discurso X en los valores "Verdadero" y "Falso". Sin embar-

go, el razonamiento humano utiliza frecuentemente predicados que no se pueden re-

ducir a este tipo de división: son los denominados predicados vagos.

Por ejemplo, tomando el Universo de D iscurso formado por t odas l as posibles

temperaturas ambientales en la ciudad de Huelva, se puede definir en dicho universo

el conjunto A como aquél formado por las temperaturas "cálidas".

Por supuesto, es imposible dar a A una definición clásica, ya que su correspon-

diente predicado no divide el universo X en dos partes claramente diferenciadas. No

podemos afirmar con rotundidad que una temperatura es "cálida" o no lo es. E l pro-

blema podría resolverse en parte considerando que una temperatura es "cálida" cuan-

do su valor supera cierto umbral fijado de antemano. Se dice que el problema tan sólo

se resuelve en parte, y de manera no muy convincente, por dos motivos: de una parte

el umbral mencionado se establece de una manera a rbitraria, y por otro l ado podría

darse el caso de que dos temperaturas con valores muy diferentes fuesen consideradas

ambas como "cálidas". Evidentemente, el concepto "calor" así definido nos daría una

información muy pobre sobre la temperatura ambiental.

La manera más apropiada de dar solución a este problema es considerar que la

pertenencia o no pertenencia de un elemento x al conjunto A no es absoluta sino gra-

dual. En definitiva, definiremos A como un Conjunto Difuso. Su función de pertenencia

ya no adoptará valores en el conjunto discreto {0,1} (lógica booleana), sino en el in-

tervalo cerrado [0,1]. En conclusión podemos observar que los Conjuntos Difusos son

una generalización de los conjuntos clásicos.

Mediante notación matemática se define un Conjunto Difuso B como:

B = { ( x , µ B( x ) ) / x ∑ X }

µ B: X→ [0,1]

La función de pertenencia se establece de una manera arbitraria, lo cual es uno

de los aspectos más flexibles de los Conjuntos Difusos. Por ejemplo, se puede convenir

que el grado de pertenencia de una temperatura de "45ºC" al conjunto A es 1, el de

"25ºC" es 0.4 , el de "6ºC" es 0, etc.: cuanto mayor es el valor de una temperatura,

mayor es su grado de pertenencia al conjunto B.

Para operar en la práctica con los Conjuntos Difusos se suelen emplear funcio-

nes de pertenencia del tipo representado en la figura 2:

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186

Tipos de funciones de pertenencia.

En la figura se pueden observar dos tipos de funciones de pertenencia de todos

los posibles: e l t ipo t riangular, que puede ser un caso concreto del t rapezoidal en e l

que los dos valores centrales son iguales, y el de forma de campana gaussiana.

Tómese ahora el Universo de D iscurso de l a edad. E l Conjunto D ifuso "Joven"

representa el grado de pertenencia respecto al parámetro juventud que tendrían los

individuos de cada edad. Es decir, el conjunto expresa la posibilidad de que un indivi-

duo sea considerado joven. Un Conjunto Difuso podría ser considerado como una dis-

tribución de posibilidad, que es diferente a una distribución de probabilidad.

Se puede observar que los Conjuntos Difusos de la figura 3 se superponen, por

lo que un individuo xl podría tener distintos grados de pertenencia en dos conjuntos al

mismo tiempo: "Joven" y "Maduro". Esto indica que posee cualidades asociadas con

ambos conjuntos. El grado de pertenencia de x en A, µcomo ya se ha señalado ante-

riormente, se representa por A(x). El Conjunto Difuso A es la unión de los grados de

pertenencia para t odos l os puntos en e l Universo de D iscurso X , que también puede

expresarse como:

Bajo la notación de los Conjuntos Difusos, µA(x)/x es un elemento ∫del conjunto

A. La operación x representa la unión de los elementos difusos µA(x)/x. Los Universos

de Discurso con elementos discretos " para representar la operación unión.Σutilizan

los símbolos "+" y "

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187

Veamos un ejemplo:

Ejemplo de Conjuntos Difusos en el universo de la edad.

Tómese un individuo x cuya edad sea de 20 años. Como se puede observar en

la figura, pertenece al Conjunto Difuso "Joven" y al Conjunto Difuso "Maduro". Se pue-

de observar que posee un grado de pertenencia µA(x) de 0.6 para el Conjunto Difuso

"Joven" y un grado de 0.4 para el Conjunto Difuso "Maduro"; también posee un grado

de 0 para "Viejo". De este ejemplo se puede deducir que un elemento puede pertene-

cer a varios Conjuntos Difusos a la vez aunque con distinto grado. Así, nuestro indivi-

duo x tiene un grado de pertenencia mayor al conjunto "Joven " que al conjunto "Ma-

duro"(0.6 > 0.4), pero no se puede decir, tratándose de Conjuntos Difusos, que x es

joven o que x es maduro de manera rotunda.

6. Operaciones entre Conjuntos Difusos.

Los Conjuntos Difusos se pueden operar entre sí del mismo modo que los con-

juntos clásicos. Puesto que los primeros son una generalización de los segundos, es

posible definir las operaciones de intersección, unión y complemento haciendo uso de

las mismas funciones de pertenencia:

µ B∩A (x) = minµA(x), µB(x) )

µ∪A B (x) = max ( µA(x), µB(x) )

¬µ A (x) = 1 - µA(x)

En realidad, estas expresiones son bastante arbitrarias y podrían haberse defi-

nido de muchas otras maneras. Esto obliga a considerar otras definiciones más genera-

les para las operaciones entre los Conjuntos Difusos. En la actualidad se considera co-

rrecto definir el operador intersección mediante cualquier aplicación t-norma y el ope-

rador unión mediante cualquier aplicación s-norma.

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Variables Lingüísticas

La Teoría de Conjuntos Difusos puede utilizarse para representar expresiones

lingüísticas que se utilizan para describir conjuntos o algoritmos. Los Conjuntos Difusos

son capaces de captar por sí mismos la vaguedad lingüística de palabras y frases

comúnmente aceptadas, como "gato pardo" o "ligero cambio". La habilidad humana de

comunicarse mediante definiciones vagas o inciertas es un atributo importante de la

inteligencia.

Una Variable L ingüística es aquella variable cuyos valores son palabras o sen-

tencias que van a enmarcarse en un lenguaje predeterminado. Para estas variables

lingüísticas se utilizará un nombre y un valor lingüístico sobre un Universo de Discurso.

Además, podrán dar lugar a sentencias generadas por reglas sintácticas, a las que se

les podrá dar un significado mediante distintas reglas semánticas.

Los Conjuntos Difusos pueden utilizarse para representar expresiones tales co-

mo:

o X es PEQUEÑO.

o La velocidad es RÁPIDA.

o El ganso es CLARO.

Las expresiones a nteriores pueden dar lugar a expresiones lingüísticas más

complejas como:

o X no es PEQUEÑO.

o La velocidad es RÁPIDA pero no muy RÁPIDA.

o El ganso es CLARO y muy ALEGRE.

Así, se pueden ir complicando las expresiones. Por ejemplo, la expresión "x no

es PEQUEÑO" puede calcularse a partir de la original calculando el complemento de la

siguiente forma:

µ_no_PEQUEÑA (x) = 1- µ_PEQUEÑO (x)

Tratando d e e sta f orma l os d istintos m odificadores l ingüísticos (m uy, p oco,

rápido, lento...) pueden ir calculándose todas las expresiones anteriores.

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LECTURA 13.

LA PREDICCIÓN Y LA TEORÍA DEL CAOS Por Juan de Dios Ruano Gómez

Profesor de Técnicas de Investigación Social en la Facultad de

Sociología de la Universidad de A Coruña.

La capacidad de predecir con certeza y precisión el comportamiento futuro de un sis-

tema, bien sea físico, biológico o social se ha situado como una de las máximas aspira-

ciones de la ciencia clásica. No obstante, desarrollos recientes físico-matemáticos co-

mienzan a acabar con esta ilusión en términos absolutos, para mostrarse únicamente

posible la predicción en sistemas de gran simpleza. En el centro del debate se encuen-

tra la conocida como Teoría del Caos, que aporta un plus de cientificidad a las aproxi-

maciones sociológicas a su objeto de estudio.

Palabras clave: Sociología, predicción, teoría del caos.

Para la ciencia clásica, que ha tenido como referente genérico a la física –y de-

ntro de ésta a la dinámica–, el conocimiento y comprensión total de su objeto de in-

vestigación suponía la capacidad del científico de predecir con certeza y precisión la

situación de su objeto tanto en el pasado como en el futuro, con sólo conocer la defini-

ción de uno de los estados del objeto considerado y la ley que rige su evolución. No

muy lejana a esta concepción, en el ámbito concreto de la reflexión sociológica, la es-

tructura social como vertiente descriptiva de una sociedad y el cambio social como

búsqueda de las leyes que dirigen su evolución, se muestran deudoras de esta particu-

lar epistemología vertebradora de los últimos siglos de la historia de la ciencia. Sin

embargo, esta estrategia global que preside la ciencia clásica, y que puede encuadrar-

se en el principio de razón suficiente, ha significado varias cosas: En primer lugar, la

independencia del objeto respecto de quien le observa; y, en segundo lugar, la igual-

dad entre causa y efecto, lo que implicaba que nada pertinente para la definición del

objeto y su posterior comportamiento o e volución, escaparía a la observación científi-

ca.

Ambas características han cuestionado –en mayor o menor medida– la cientifi-

cidad clásica de las aproximaciones sociológicas a su objeto de estudio. Ahora bien,

tanto la noción de inestabilidad –que se encuentra en la base de los comportamientos

caóticos– como la noción de suceso –originaria de la mecánica cuántica– han constitui-

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190

do un revulsivo trascendental para las descripciones efectuadas en términos c lásicos,

los cuales dejarán de representar, en adelante, e l ideal de conocimiento para el con-

junto de la ciencia. Así, la noción de suceso puso en cuestión la separación suje-

to/objeto en el ámbito de la física cuántica, mientras que los denominados comporta-

mientos caóticos han desarbolado el principio de razón suficiente por cuanto que han

permitido descubrir que, descripciones tan precisas como se quieran, no garantizan –

en modo alguno– la certeza en la predicción de la situación futura del objeto de inves-

tigación.

Desde la perspectiva de la sociología, lo importante del camino recorrido por la

ciencia clásica no es tan sólo el hecho de que la física haya llegado a reconocer límites

intrínsecos a su modo de conocer desde los presupuestos epistemológicos subyacentes

al principio de razón suficiente, sino que –sobre todo y más ampliamente– nos ha des-

cubierto que se está produciendo un acercamiento a aquellos aspectos tradicionalmen-

te más vinculados y distintivos de las ciencias sociales y humanas: la historia y la

complejidad. A este respecto, puede decirse que la ciencia que asume la complejidad y

la historia como propiedades intrínsecas a su objeto de estudio es completamente dife-

rente de la que encontramos reflejada en los postulados de la ciencia clásica.1

Con todo, ambas nociones –historia y complejidad– no sólo han sido margina-

das en las ciencias físicas, sino que han sido apartadas, igualmente, en todas las disci-

plinas que han seguido los supuestos epistemológicos de la ciencia clásica. En este

sentido, incluimos también a las corrientes teóricas tradicionalmente dominantes en la

sociología. Así, conviene señalar lo reciente que es la reivindicación del estudio de los

fenómenos alejados de la «normalidad» desde planteamientos que no estigmaticen a

estos sucesos en tanto que desviaciones desintegradoras y/o caóticas respecto a l or-

den social vigente en el momento. Este hecho ha acercado a algunos sociólogos a es-

tudiar fenómenos tales como la difusión de las innovaciones sociales, el cambio de va-

lores o las situaciones de crisis, de un modo potencialmente integrador, siguiendo así

una perspectiva más abierta y representada en f ísica por Prigogine y sus colaborado-

res.2

Ello no obstante, se presentan en la actualidad nuevas aportaciones y reflexio-

nes científicas en torno al estudio de fenómenos difícilmente abordables desde concep-

ciones clásicas, que manifiestan una ambigüedad entre los supuestos epistemológicos

que constituyen las perspectivas complejas de investigación científica y las considera-

das como visiones clásicas de la ciencia. Entre ellas, la denominada Teoría del Caos

resalta por mostrarse como el dios Jano, con un doble rostro que observaría, de un

lado las aproximaciones clásicas, y de otro las perspectivas complejas de investigación.

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191

Por su carácter i lustrativo y por la resonancia que esta teoría está desempeñando en

nuestros d ías en el estudio de fenómenos inestables, conviene aclarar algunas de las

características que hacen de la Teoría del Caos un campo de controversia entre los

seguidores de unos y otros supuestos epistemológicos.

Para iniciar una somera exposición sobre la Teoría del Caos, nada como hacerlo

a partir de la imagen que más ha contribuido a difundir esta teoría. Nos estamos refi-

riendo, naturalmente, al conocido como efecto mariposa. Este efecto ha sido expuesto

por el meteorólogo Edward Lorenz y está siendo desarrollado con el nombre técnico de

dependencia sensible de las condiciones iniciales3 . La expresión hace referencia y vie-

ne a explicar cómo es que una pequeña perturbación del estado inicial de un sistema

puede traducirse, en un breve lapso de tiempo, en un cambio importante en el estado

final del mismo. Volviendo al popular efecto de la mariposa, éste vendría a decir muy

sintéticamente que «...si agita hoy, con su aleteo, el aire de Pekín, una mariposa pue-

de modificar los sistemas climáticos de Nueva York el mes que viene.» (Gleick, 1988:

16).

Es esta dependencia sensible de las condiciones iniciales del sistema la que

hace, por tanto, que la más mínima diferencia en la descripción del estado del sistema

provoque cambios que hace distintos a sistemas complejos que, originariamente, eran

tan parecidos como se les quiera suponer. En el campo de l os sistemas políticos y/o

sociales altamente inestables, esta característica significaría que la comparación del

comportamiento de uno de esos sistemas inestables con otro de iguales características

–por muy parecidos que el investigador crea que ambos sistemas son entre sí– no

permitiría al científico social garantizar una predicción, respecto a la evolución del sis-

tema, equivalente a otra ya ocurrida en otro sistema político o s ocial de similares ca-

racterísticas.

En cl ara conexión con la dependencia sensible de l as condiciones iniciales que

comparten todos los sistemas caóticos, encontramos una segunda característica gene-

ral que sería la no-linealidad. Como hemos visto, para la ciencia clásica, causa y efecto

se corresponden t otalmente y –aún más– se relacionan p roporcionalmente. Es decir,

en el ideal clásico, una buena teoría científica debería identificar y asociar plenamente

un efecto –o fenómeno– con una causa; además, debería contemplar que una varia-

ción en la causa habría de provocar, igualmente, una variación proporcional en el efec-

to que se sigue de esa causa. Tal vez para los sociólogos, la implicación del supuesto

matemático de linealidad pueda ser mejor entendido con esta frase: «Una teoría lineal

os da la totalidad desde las partes. Sumad las partes y tendréis la totalidad. (...). Una

teoría no lineal no da el todo desde las partes. La suma de las partes no da la totali-

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192

dad. Esta es la no linealidad. Los grupos no se portan como sus miembros.» (Kosko,

1995: 110-111).

Una tercera ca racterística de l os sistemas caóticos v iene dada por sus formas

complejas, circunstancia ésta que implica una problematización de la escala en la que

se efectúe la eventual medición del sistema. Como afirma Katherine Hayles: «En la

física clásica se considera que los objetos son independientes de la escala elegida para

medirlos. Se supone que un círculo tiene una determinada circunferencia, ya sea que

se lo mida con un metro o con una regla de una pulgada.» (1993: 32). Ciertamente se

supone que el cambio de escala puede aumentar la precisión, pero ello no afecta a la

creencia en la existencia de una medida exacta que podría asociarse a la identidad del

objeto. Pues bien, ambos supuestos (cambio de escala asociado a la precisión y posibi-

lidad de relacionar a un objeto con su medida exacta) funcionan a la perfección con las

formas regulares –círculos, rectángulos, triángulos, etc.–, no así con las formas irregu-

lares complejas tales como aquellas que podemos observar distraídamente en la natu-

raleza: costas marítimas, paisajes montañosos, movimientos de partículas de polvo en

el aire o, sencillamente, nubes.

De esta tercera característica se derivan dos instrumentos analíticos cualitativos

de la máxima actualidad. Nos estamos refiriendo a la geometría fractal (o teoría ge-

ométrica de la medida) y a la llamada lógica borrosa o más propiamente teoría de con-

juntos borrosos. Sendas teorías se pronuncian respecto a la medición de las formas

complejas en un mismo sentido: A mayor información sobre el objeto, mayor impreci-

sión sobre el mismo. Sorprendente ¿no? Y sin embargo, los científicos sociales suelen

estar acostumbrados a este tipo de impresiones. Como escribiera en 1972 el autor de

la teoría de conjuntos borrosos: «A medida que aumenta la complejidad de un siste-

ma, nuestra capacidad de hacer enunciados precisos y significantes sobre su compor-

tamiento decrece hasta un umbral más allá del cual la precisión y la significatividad (o

pertinencia) se vuelven casi características mutuamente excluyentes. ...A modo de

corolario hay un principio que se puede enunciar sucintamente así: «Cuanto más de

cerca se mira un problema del mundo real, tanto más borrosa se vuelve su solución».»

(Kosko, 1995: 147).

Si la precisión de la medida aumenta el grado de indefinición del objeto de in-

vestigación ¿cómo a frontar e l estudio de l os s istemas complejos i nestables? La solu-

ción forma parte de un cambio de enfoque. En efecto, no se trata tanto de considerar

el nivel de los elementos que forman el sistema como de fijarse y establecer las si-

metrías recursivas entre niveles de escala. Para exponer esta idea en términos socioló-

gicos, diremos que esta operación —por ejemplo– fue la que el autor de este artículo,

Universidad Nacional Abierta

193

junto con Andrés García (sociólogo del Centro Europeo de Información a la población

en Situaciones de Emergencia), puso en marcha para analizar la lamentación, multipli-

cación, caza de chivo expiatorio y guerra contra las autoridades, que el colectivo de

taxistas madrileños inició a finales del año 1994 tras anunciarse el homicidio de dos de

ellos. La escala no era más que una «escalada de violencia» que terminó colapsando

una conocida plaza madrileña; la simetría recursiva se constituía en la forma social que

Canetti, en su conocida obra Masa y Poder, describió como muta, esto es, un grupo de

personas excitadas que nada desean con mayor vehemencia que ser más.

El análisis concluía en la sucesiva mutación de una c lase de muta en ot ra. Es

decir, en el paso de una muta de lamentación (grupo de personas que se reúnen para

sentir duelo por la muerte de un semejante, de un próximo, de un igual –coincide con

los momentos en los que se componen los primeros grupos de taxistas para conocer y

condolerse mutuamente de las trágicas circunstancias en las que murieron dos de sus

compañeros–) para, al ir aumentando en número de miembros, convertirse en una

muta de multiplicación que, posteriormente (una vez conocidas las características físi-

cas de los presuntos asesinos), se transforma en una muta de caza en busca de ven-

ganza, que concluye (tras no encontrar a sus potenciales víctimas) en una muta de

guerra que descargó sus iras frente a todo poder instituido que se puso a su alcance –

incluidos, por supuesto, sus propios representantes gremiales.

Lo que exponemos a continuación sería, s in embargo, un e jemplo de s imetría

recursiva entre niveles de escala extraído de la física: «(...) el flujo turbulento se pue-

de representar con el modelo de pequeños torbellinos dentro de torbellinos mayores,

albergados a su vez dentro de torbellinos aún mayores. En vez de tratar de seguir una

molécula individual, como se haría en los flujos laminares, este método representa la

turbulencia por medio de simetrías que se repiten en muchos niveles de escala. Se

considera que los diferentes niveles están conectados a través de puntos de acopla-

miento. En cualquiera de estos puntos de acoplamiento las fluctuaciones pequeñas

pueden causar que el flujo evolucione de manera diferente, de modo que sea imposible

predecir cómo se comportará el sistema.» (Hayles, 1993: 33).

Por lo demás, esta cita nos lleva a las orillas del problema que se plantea en re-

lación con la Teoría del Caos y su bifronte rostro epistemológico, esto es, respecto al

motivo de la controversia entre enfoques científicos clásicos y perspectivas complejas

de investigación. Y esta cuestión no es otra que la del determinismo y la predicción. En

efecto, tradicionalmente para la ciencia clásica, si podemos determinar –en un instan-

te– uno de los estados del sistema que queramos investigar y conocer la ley que rige

la evolución de ese mismo sistema podremos entonces predecir el comportamiento, la

Universidad Nacional Abierta

194

posición futura de ese sistema, así como retrodecir cualesquiera de sus anteriores po-

siciones en el pasado. Ibáñez solía exponer con el ejemplo de las encuestas electorales

la conexión que se producía entre determinismo y predicción, decía así: «Para valorar

las encuestas electorales debemos hacer dos preguntas: ¿en qué medida prevén el

comportamiento electoral?, y ¿en qué medida lo determinan? La respuesta, como ve-

remos, será única: la medida en que prevén el comportamiento electoral es la medida

en que lo determinan (pues sólo es previsible lo que está determinado).» (1997: 108).

En la actualidad, no obstante, ni siquiera acerca de lo que está determinado puede

garantizarse l a posibilidad de que sea previsible. La Teoría del Caos ha acabado con

esa conexión, los sistemas caóticos son deterministas (y en este sentido, son clásicos),

conocemos –tan precisamente como queramos– la secuencia que les da origen, la ley

que rige su evolución y, sin embargo, son impredecibles dada su dependencia sensible

de las condiciones iniciales (y en este aspecto, mostrarían su carácter complejo).

Ibáñez apuntaba en ese mismo contexto a la reflexividad del sujeto social como

explicación de la dificultad de predicción en los sistemas sociales, la Teoría del Caos –

por su parte– incorpora mediante el concepto de dependencia sensible de las condicio-

nes iniciales esa reflexividad. Por esto, a la dependencia sensible de las condiciones

iniciales cabría conceptualizarla en sus consecuencias como la reflexividad de los sis-

temas inestables, sean estos del tipo que sean. De su mano, historia y complejidad se

integran en la matemática y en la física de nuestros días. De tal manera que la unión

entre determinismo y predicción no es ya sino un caso particular dentro de una incerti-

dumbre generalizada a medio y largo plazo. Para los científicos sociales, este hecho

confirma –desde los últimos desarrollos de la física y de la matemática– que la batalla

por la c ientificidad no debe buscarse en la precisión, como antesala tradicionalmente

necesaria para la predicción. Sólo en los sistemas simples esto es así, es decir, que la

precisión ayuda a la predicción. Por el contrario, en los sistemas complejos, y toda so-

ciedad lo es, la precisión puede llegar a hacer más borrosa la comprensión del futuro.

Si tomamos como ejemplo el caso de un sistema social o político en situación de

inestabilidad, lo anterior es tanto más cierto cuanto que el propio sistema está a ex-

pensas de que una perturbación, por insignificante y local que en los tiempos de calma

pueda parecernos, se amplifique (efecto mariposa) hasta el punto de dejar de ser una

perturbación del orden social y constituirse en el comportamiento que, finalmente,

termine estructurando el sistema en su globalidad. El conocimiento preciso de las per-

turbaciones susceptibles de alcanzar una importancia significativa en la evolución del

sistema social o político inestable implicaría someter a los centros reguladores del sis-

tema a una crisis aún más aguda4. Como ha señalado Atlan, una crisis no supone me-

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195

ramente la destrucción de información, sino el hecho de la creación de ruido a partir de

la información producida en el sistema mismo. En este contexto, la búsqueda de la

precisión en la información acerca de las perturbaciones que afectan al sistema inesta-

ble, termina desencadenando una crisis en el n ivel de interpretación de esa informa-

ción5 . ¿Qué clase de información y en qué cantidad será necesario disponer para cal-

cular el comportamiento futuro de un sistema inestable? Como ha puesto de manifiesto

Balandier, tal vez lo que debemos aceptar es que: «La imprevisibilidad no es necesa-

riamente el signo de un conocimiento falso o imperfecto; es el resultado de la natura-

leza de las cosas, es necesario dejarle su lugar y su cualidad.» (1989: 63).

BIBLIOGRAFÍA

Atlan, H. (1990): Entre el cristal y el humo: Ensayo sobre la organización de lo vivo,

Madrid, Debate.

Balandier, G. (1989): El desorden. La teoría del caos y las ciencias sociales. Elogio de

la fecundidad del movimiento, Barcelona, Gedisa.

Canetti, E. (1994): Masa y poder, Barcelona, Muchnik Editores.

Dobry, M. (1988): Sociología de las crisis políticas, Madrid, Centro de Investigaciones

Sociológicas.

Gleick, J. (1988): Caos: La creación de una ciencia, Barcelona, Seix Barral.

Hayles, N. K. (1993): La evolución del caos: El orden dentro del desorden en las cien-

cias contemporáneas, Barcelona, Gedisa.

Ibáñez, J. (1997): A contracorriente, Madrid, Fundamentos.

Kosko, B. (1995): Pensamiento borroso: La nueva ciencia de la lógica borrosa, Barce-

lona, Grijalbo/Mondadori.

Lorenz, E. N. (1995): La esencia del caos, Madrid, Debate.

Prigogine, I. (1988): ¿Tan solo una ilusión? Una exploración del caos al orden, Barce-

lona, Tusquets.

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196

LECTURA 14

Borrosidad y Educación1

Julio Mosquera

Esta ponencia está dedicada a una discusión en torno a la relación entre borrosi-

dad y educación. En la primera parte de la ponencia presento una breve introducción

a la teoría de los conjuntos borrosos o difusos. En la segunda parte entro en detalles

sobre el tema central de la ponencia. En esta parte, las relaciones entre la borrosidad

y la educación son categorizadas en tres grupos como sigue: Enseñanza de la borrosi-

dad, la borrosidad en la enseñanza y uso de la borrosidad en la investigación educati-

va. El primero se refiere a la introducción de la teoría de conjuntos y la lógica borrosa

como contenidos en el curriculum tanto de la educación media como en la educación

universitaria. E n este caso, hago especial énfasis en l a enseñanza de esta teoría de

conjuntos a los docentes de matemáticas en formación y en servicio que trabajan en la

Tercera Etapa de la Educación Básica y en la Educación Media Diversificada y Profesio-

nal. El segundo punto refiere al tratamiento, desde la perspectiva de la borrosidad, de

temas que tradicionalmente han sido estudiados en la escuela o en algunas profesio-

nes. Es decir, la reconceptualización de ciertos contenidos tomando como base la teor-

ía de conjuntos borrosos. Por último, tenemos el uso de esta teoría como herramienta

en la investigación en educación matemática.

Antes de continuar me detendré un momento para hablar sobre el problema de

traducción. Algunos autores traducen fuzzy como difuso y otros como borroso. Yo

particularmente he escogido usar, desde hace varios años, el término borroso. Me

parece que es e l término más adecuado y que permite mantener c ierta coherencia a

medida que se avanza en el estudio de los conjuntos fuzzy. Algunos autores usan bo-

rroso y difuso como sinónimos, mientras que otros no lo traducen y adoptan el mismo

término fuzzy ta l cual. Dejo t odavía abierto este asunto y en l o que s igue utilizaré,

provisionalmente, borroso y difuso como sinónimos.

1 Conferencia presentada en Seminario Matemática, Borrosidad e Interdisciplinariedad, 07 y 21 de Noviembre de 2000, Comisión de Estudios Interdisciplinarios, Universidad Central de Venezuela, Caracas

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197

Breve Introducción a los Conjuntos Borrosos

La idea de “vaguedad”, de la falta de precisión incluso en el lenguaje c ientífico,

ha estado en la mente de los académicos desde hace varios años atrás. La referencia

más antigua que he conseguido sobre este asunto es el trabajo de Max Black publicado

en 1937. Luego, veintiocho años más tarde apareció el artículo de Zadeh (1965) don-

de presentaba por primera vez en un documento público el concepto de conjunto bo-

rroso. La primera aplicación de los sistemas borrosos a la producción industrial fue

puesta en funcionamiento para el control de un horno de cemento en Dinamarca en

1980. Las aplicaciones más exitosas de los sistemas borrosos en productos comercia-

les se i niciaron en Japón, donde fueron creados dos l aboratorios nacionales especial-

mente para realizar investigaciones puras y aplicadas sobre sistemas borrosos. El pri-

mer libro en español sobre la teoría de conjuntos borrosos apareció en 1982. Este fue

una traducción del libro clásico de Kaufmann titulado Introduction to the Theory of

Fuzzy Subsets.

Asumo que la mayoría de los asistentes a esta conferencia no conocen la teoría

de l os conjuntos borrosos. P or l o t anto, antes de entrar en l a materia central de l a

conferencia, presentaré algunas ideas básicas de esta teoría.

Señala Lofti Zadeh (1965) que un conjunto borroso es una “clase” con un conti-

nuo de grados de pertenencia. Veamos que significa esta afirmación. En la teoría

clásica de conjuntos, dado un conjunto A definimos una función f de pertenencia la

cual asignará valores 1 y 0 a cada elemento del universo según la regla siguiente: (a)

f(x) = 1, si x pertenece al conjunto A y (b) f(x) = 0, si x no pertenece al conjunto A.

En la teoría de conjuntos borrosos la función de pertenencia asociada a un conjunto

borroso A toma valores en el intervalo [0, 1], en un continuo. Esta manera de definir

las funciones de pertenencia resulta de mucha utilidad para tratar situaciones como las

que encontramos en la vida diaria. Situaciones en las que no manejamos información

precisa.

Veamos a continuación la definición ofrecida por Zadeh (1965) en su artículo ori-

ginal:

Un conjunto (clase) borroso A en X es caracterizado por una función de

pertenencia ( característica) f A(x) l a cual asocia a cada punto en x en

un número real en el intervalo [ 0, 1], el valor de fA (x) en x repre-

senta el “grado de pertenencia” de x en A. Entonces, mientras más

cerca el valor de fA(x) de la unidad, mayor el grado de pertenencia de

x en A. (traducción de Mosquera, p. 339)

Universidad Nacional Abierta

198

Una vez of recida esta definición, Zadeh, en l a ob ra citada, p resenta e l e jemplo

siguiente:

Ejemplo: Sea X la recta real R y sea A el conjunto borroso de los números que

son muy mayores que 1. E ntonces, uno puede dar una caracterización precisa, aun-

que subjetiva de A especificando fA(x) como una función sobre R. Valores representa-

tivos de tal función podrían ser: fA(0) = 0; fA(1) = 0; fA (5) = 0,01; FA(10) = 0,2; fA

(100) = 0,95; fA (500) =1. (traducción de Mosquera, p. 340).

Unas palabras sobre la elección del intervalo [0, 1] son necesarias antes de con-

tinuar. Realmente podría seleccionarse otro intervalo, esta elección en particular se

hace por conveniencia. C omo señala Ñopo (2000), una de las razones para la esco-

gencia de un intervalo único es la de homogeneizar el discurso. Otra razón es que al

escoger este intervalo podemos ver a los conjuntos borrosos como una extensión “na-

tural” de los conjuntos clásicos cuya función característica es binaria, toma solamente

valores 0 y 1.

Una vez definidos los conjuntos borrosos debemos pasar a definir un conjunto

borroso vacío, la igualdad de conjuntos borrosos y las operaciones entre estos conjun-

tos, así como otras operaciones propias de los conjuntos borrosos. No entraré aquí en

esa materia. Para aprender más sobre conjuntos y lógica borrosas, les recomiendo

trabajos disponibles en Español como los de Orellana (1999), Kosko e Isaura (1993),

Medina (2000) y Ñopo (2000). L a referencia más importante en Español, en la cate-

goría de divulgación y discusión sobre implicaciones de la adopción del enfoque borro-

so, es el libro de Bart Kosko (1995).

Enseñanza de la Borrosidad

Hace varios años escribí sobre la introducción de la teoría de conjuntos borrosos

en la formación matemática de los profesores de esta disciplina (Mosquera, 1992).

Argumentaba que la idea básica sobre la que se construye esta teoría de conjuntos

borrosos en la formación de profesores nos permite, entre ot ras cosas, mostrar: ( a)

que las matemáticas están vivas y en constante desarrollo, (b) una teoría matemática

que es aplicada en la resolución de muchos problemas prácticos, (c) un caso de teoría

matemática que nos ayuda a interpretar ciertos fenómenos y (d) la influencia de fuer-

zas sociales en la producción de nuevos conocimientos matemáticos.

La mayoría de la población, incluidos muchos de los profesores de matemáticas,

piensan que las matemáticas son cosa del pasado y que estas están petrificadas. La

introducción del tema de los conjuntos borrosos nos permitiría mostrar una teoría ma-

temática que fue creada en los años sesenta y que está en pleno desarrollo.

Universidad Nacional Abierta

199

Los conjuntos y la lógica borrosa nos permiten mostrar un caso de ideas ma-

temáticas con enormes aplicaciones prácticas. Hace unos meses me refería anecdóti-

camente, en el acto de premiación de la Vigésima Quinta (25) Olimpíada Venezolana

de Matemáticas, a que estas ideas se han convertido en necesarias para ser un buen

consumidor. Fui a comprar una lavadora y encontré que en el mercado venezolano se

estaban comercializando modelos de lavadoras electrónicas controladas con lógica bo-

rrosa. Parte de la publicidad se centraba en que el lavado era como “lavado a mano”.

Es decir, que la forma de lavar la máquina se parecía a la forma de lavar un ser huma-

no. Aquí está uno de los puntos clave de los sistemas borrosos: h acer que sistemas

artificiales funcionen de manera más próxima a como funcionaría si la manejara un

humano. L a lista de aplicaciones de la lógica borrosa en a paratos domésticos es

enorme y no viene al caso detallarla. T ambién, obviamente están las aplicaciones en

el campo militar y de inteligencia artificial.

Sería i nteresante explorar l as semejanzas entre l os orígenes y el desarrollo del

cálculo diferencial e integral y el caso de los conjuntos borrosos. Sabemos que el caso

del primero el éxito de las aplicaciones prácticas hizo que los científicos no se ocuparan

de desarrollar con rigor su trabajo con el cálculo. Pero, eso sería asunto de otra confe-

rencia.

La importancia de la teoría de conjuntos borrosos no se limita a sus aplicaciones

tecnológicas. H ay otro aspecto de mucha importancia para la educación, se trata de

un cambio de paradigma o de manera de pensar. Por ejemplo, en el caso del estudio

de la cognición, la adopción de una perspectiva borrosa s ignifica abandonar la lógica

aristotélica como guía normativa para el movimiento del pensamiento. Esto significa

abandonar la idea de que las personas necesariamente tiene que establecer o basar

sus razonamientos en dicotomías. R ecordemos que las leyes de la contradicción y la

del excluido no son válidas para los conjuntos borrosos.

Las investigaciones que llevaron a la creación de la teoría de conjuntos borrosos

fueron financiados principalmente por fondos provenientes de la Marina, el Ejercito y la

Fuerza Aérea Norteamericana y de compañías privadas de la industria armamentista.

Los problemas planteados y el interés en resolverlos estaban relacionados con asuntos

propuestos por los militares. Tenemos entonces aquí un buen ejemplo de un conoci-

miento matemático que fue producido en conexión con las necesidades específicas de

una industria. Una industria influenciada por los intereses hegemónicos y las decisio-

nes políticas del gobierno de los Estados Unidos. Con este ejemplo, podríamos iniciar

una discusión sobre el papel de las fuerzas sociales, políticas, económicas y tecnológi-

cas en la promoción de la creación de nuevos conocimientos matemáticos.

Universidad Nacional Abierta

200

Antes de continuar me gustaría hacer un comentario al respecto de la relación

entre borrosidad y probabilidad. En el contexto de la enseñanza de la teoría de los

conjuntos borrosos surge con frecuencia esta pregunta. Seguramente que estaría mo-

tivada por el hecho que la función de pertenencia le asigna a cada elemento del uni-

verso valores en el intervalo [0, 1]. Intervalo donde también se encuentran las proba-

bilidades asignadas a un evento. Ilustraré con un ejemplo, tomado de Ansari (1992) la

diferencia entre borrosidad y probabilidad. Consideremos dos aparatos electrónicos A

y B, A tiene una probabilidad de 0,09 libre de error y a B se le asigna el valor de per-

tenencia 0,09 al conjunto “libre de error”. El primero significa que de cada 100 pues-

tas en funcionamiento, en promedio, el aparato fallará 10 veces, es decir funciona “li-

bre de error” el 90% de las puestas en funcionamiento. Mientras que el valor de per-

tenencia 0,09 significa que el aparato es razonablemente similar a un aparato libre de

error. S upongamos ahora que ambos t ienen asignado un valor de 0,05 de probabili-

dad y de pertenencia respectivamente. Obviamente que el primero es preferible por-

que la información nos dice que funcionará un 50% de las veces mientras que la se-

gunda nos indica que el aparato B es de bastante mala calidad (Ansari, 1998).

Sobre el asunto planteado anteriormente, el propio Zadeh (1965) comentó lo

siguiente:

Debemos notar que, aunque la función de pertenencia de un conjunto

borroso tiene alguna semejanza con una función de probabilidad cuando

X es un conjunto contable (o una función de densidad de probabilidad

cuando X es continuo), hay diferencias esenciales entre estos conceptos

las cuales X es continuo), hay diferencias esenciales entre estos concep-

tos las cuales se harán más claras en lo que s igue una vez que las re-

glas de combinación de las funciones de pertenencia y sus propiedades

básicas hayan sido establecidas. En efecto, la noción de conjunto

borroso es completamente no estadística en naturaleza. ( énfasis

añadido, traducción de Mosquera, p. 340)

En conclusión, estudiar la teoría de conjuntos borrosos a un nivel elemental y la

historia de su desarrollo, el cual es muy reciente, nos permitiría hacer que el docente

reflexione sobre las matemáticas y su naturaleza. N os serviría para mostrar que las

matemáticas están en constante evolución, que las matemáticas tienen una diversidad

de efectos y aplicaciones, y que las matemáticas no son producidas en el vacío, fuera

de la influencia de fuerzas sociales, políticas y económicas.

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201

La Borrosidad en la Enseñanza

En esta sección, como dije en la introducción, presentaré un ejemplo de cómo la

adopción de la perspectiva de la borrosidad afecta la enseñanza de ciertos temas. Este

asunto está estrechamente ligado con uno señalado anteriormente, el cambio de para-

digma.

Describiré brevemente un ejemplo tomado de la enseñanza de nutrición. Los

ejemplos y los gráficos mostrados en esta sección son tomados de Wirsam (1996). La

aceptación del consumo de grasa desde el punto de vista de un nutricionista sin expe-

riencia es rígida, con fronteras precisas. Los l ímites establecidos para el consumo de

grasa por este tipo de nutricionista es representado en el gráfico siguiente.

Figura 1. El pico ilustra la aceptación de consumo de grasa por parte de un educador

en nutrición sin experiencia (Tomado de Wirsam, 1996, p. 2)

Solamente es permitido un consumo de grasa del 25 al 30% de energía. De esta ma-

nera sólo existe la pertenencia 1 para el área permitida y 0 pertenencia para el resto.

Aquí vemos reflejado un tipo de razonamiento basado en la lógica bivalente, aristotéli-

ca.

Un profesor de nutrición experimentado tendría un punto de vista diferente rela-

cionado con el consumo de grasa. La curva suave ilustra la aceptación de consumo de

grasa desde el punto de vista de un profesor de nutrición experimentado.

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202

Figura 2 Este gráfico es conocido como la curva característica de un conjunto borroso

de tipo I. (Tomado de Wirsam, 1996, p. 3)

Ahora, según esta interpretación borrosa, el consumo de grasa de 25 a 30% de energ-

ía es op timo, pero hay á reas cercanas a l óptimo donde el consumo de grasa es aún

aceptable. La aceptación (valores de la función de pertenencia) disminuye a medida

que aumenta la distancia desde el óptimo.

Una manera de representar la relación entre el grado de salud y el consumo de

un nutriente cuando el resto de la dieta se mantiene constante se muestra en la figura

siguiente. Podemos observar que existe un área de muy bajo consumo, región oscura

a la derecha, que es muy peligroso para el individuo; un área de enfermedad de defi-

ciencia del nutriente; un área marginal y un área de mayor rango de estado óptimo.

Figura 3: Gráfica del consumo de un nutriente. (Tomado de Wirsam, 1996, p. 7)

Siguiendo con la figura anterior, tenemos que al movernos hacia la derecha encontra-

mos otra vez un área marginal, un área de alto consumo, la cual es un área tóxica y al

final otra área muy peligrosa.

De la gráfica se deriva que la salud no mejora ni empeora de la misma manera

ante variaciones del consumo de un determinado nutriente. Esta gráfica puede ser

interpretada como una curva que describe el "consumo óptimo". A partir de ella po-

demos definir un conjunto borroso "consumo óptimo", denotado por Ai. En este caso

μ(xi) es denominado como el valor de la función de pertenencia o grado de pertenencia

del consumo xi en el conjunto borroso Ai.

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203

Figura 4: El conjunto borroso "consumo óptimo" de un nutriente. (Tomado de Wir-

sam, 1996, p. 7)

Como ya sabemos, los valores de la función de pertenencia varían desde 0 hasta

1. Todos los valores, agrupados convenientemente, pueden ser descritos verbalmente.

En el contexto de uso de la lógica borrosa precisamente ese es el uso que le damos a

las variables lingüísticas. Estas variables, como su nombre lo indica, no son variables

numéricas sino palabras o expresiones en un lenguaje natural. En nuestro caso se

trata de expresiones en Español. E n la figura 5 muestro la función de pertenencia μ

para las variables lingüísticas de la a a la j cuyos significados aparecen en la tabla 1.

Figura 5: Función de pertenencia μ para algunas variables lingüísticas. (Tomado de

Wirsam, 1996, p. 7)

La función de pertenencia para los diferentes términos lingüísticas pueden ser

escogidos como se muestra en la tabla siguiente y con la información de la Figura 5.

a. Amenaza a la vida f. Deficiente latente

b. Defectos físicos irreversibles g. Cambios químicos

c. Cambios anatómicos h. Suministro bien balanceado

d. Síntomas específicos i. Suministro bien balanceado, reservorio

lleno

e. Síntomas específicos j. Reservorio de nutrientes en estado óptimo

Tabla 1. Variables lingüísticas. (Tomado de Wirsam, 1996, p. 8)

Este ejemplo, aunque breve, ilustra una diferencia entre un razonamiento profe-

sional basado en la lógica bivalente y uno basado en la teoría de conjuntos borrosos.

La adopción de la borrosidad nos permite montar sistemas para la toma de decisiones

más inteligentes.

Uso de la Borrosidad en la Investigación Educativa

Entraremos ahora en la presentación de un ejemplo de uso de la borrosidad en

investigación en educación. E n particular, este ejemplo trata el uso de la borrosidad

Universidad Nacional Abierta

204

en una investigación en el campo de la educación matemática. Se trata de la propues-

ta Perdikaris (1996) sobre el uso de conjuntos y variables borrosas en la matematiza-

ción de l os n iveles de pensamiento geométrico de van Hiele basada en e l t rabajo de

Gutiérrez, Jaime y Fortuny (1991).

Gutiérrez et al. (1991) argumentan que, si bien, la mayoría de los estudiantes

muestran un nivel de pensamiento dominante al responder preguntas abiertas, un

gran número de ellos reflejan claramente en sus respuestas la presencia de otros nive-

les. Y aún más, hay algunos estudiantes cuya respuestas muestran simultáneamente

el predominio de dos niveles consecutivos de razonamiento. D ados estos resultados,

los autores mencionados concluyen que los niveles de van Hiele no son discretos. Por

lo tanto, ellos sostienen que la adquisición de un nivel determinado no sucede de ma-

nera instantánea o rápidamente sino que puede tomar meses o años.

Adquisición

nula

Adquisición

Baja

Adquisición

intermedia

Adquisición

alta

Adquisición

completa

0 15 40 60 85 100

Figura 6: Grados de adquisición de un nivel de van Hiele (Gutiérrez et al., 1991, p.

239)

Esta caracterización de los niveles de van Hiele hecha por Gutiérrez et al. (1991)

prepara a este modelo para su matematización en términos de los conjuntos borrosos.

En esa caracterización las fronteras entre los niveles son vagas y las transición de un

período al siguientes es gradual en lugar de abrupta, tal cual como se mostró en la

figura 3.

Como ya señalé, basándose en el trabajo original de Gutiérrez et al. (1991), Per-

dikaris (1996) elaboró una matematización de los niveles de van Hiele en términos de

conjuntos y variable borrosas. Comienza este autor tomando como variable lingüística

el “nivel de adquisición”. A partir de esta variable lingüística se definen los estados

que la caracterizan como etiquetas lingüísticas son: adquisición nula, adquisición baja,

adquisición intermedia, adquisición alta y adquisición completa. Estos estados repre-

sentan conjuntos borrosos porque no existen fronteras claras que limiten al conjunto

de valores asignados al intervalo de referencia. A continuación presento con más de-

talles la propuesta Perdikaris.

Este autor, siguiendo resultados obtenidos en otras investigaciones sobre los ni-

veles de van Hiele, toma en consideración solamente los tres primeros niveles. Deno-

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205

temos h1(t), h2(t) y h3(t) a los niveles de van Hiele (variables borrosas) y por las le-

tras

A = adquisición nula

B = adquisición baja

C = adquisición intermedia

D = adquisición alta

E = adquisición completa

Los cinco estados (conjuntos borrosos) de cada nivel de van Hiele. Las observa-

ciones hecha en cada grupo, tres en el estudio original de Gutiérrez et. al., son identifi-

cadas con la letra t la cual toma valores 1, 2 y 3. Estos grupos tenían 20, 21 y 9 estu-

diantes respectivamente. C ada observación consiste de t res quíntuplas de números,

uno para cada nivel de van Hiele. Por ejemplo h1(t) = (0, 0, 0, 0, 1), h2(t) = (0, 0,

1/21, 2/21, 18/21), h3(t) = (0, 2/9, 4/9, 2/9, 1/9). Esto significa, por ejemplo, que

en el segundo grupo sólo 18 de los 21 estudiantes han alcanzado completamente el

nivel 2 de van Hiele. Estos números representan los grados de pertenencia de los va-

lores observados de cada atributo de l os c inco conjuntos borrosos correspondiente a

las etiquetas a, b, c, d y e respectivamente. Los datos fueron tomados del estudio

original de Gutiérrez et. al

Según lo anterior tenemos que al multiplicar el grado de pertenencia del estado

en un nivel por el número de estudiantes en el grupo obtenemos el número de estu-

diantes en ese nivel. Luego Perdikaris (1996) introduce el cálculo de la posibilidad

r(s), el cual es calculado mediante la división de la pseudofrecuencia del estado por el

valor máximo de todas las pseudofrecuencias. La psudofrecuencia del estado es la

suma de los valores de pertenencia para cada estado en los respectivos grupos.

Conclusiones

He presentado brevemente tres manifestaciones de la relación entre borrosidad y

educación. Fundamentalmente, las tres están ligadas a un punto importante la adop-

ción de una lógica diferente de la aristotélica. La adopción de esta lógica trae implica-

ciones que van más allá de un mero ejercicio académico. Nuestra manera de concebir

y de tratar los problemas en diversos contextos tiene que cambiar. Es importante, que

la perspectiva de la borrosidad, o el pensamiento borroso, sea introducido en los pro-

gramas de formación de profesores para la Educación Media, Más aún, dadas la enor-

mes aplicaciones tecnológicas de los sistemas borrosos, su estudio debería incluirse en

los planes de formación de ingenieros, técnico y de otros profesionales.

Universidad Nacional Abierta

206

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LECTURA 15

Diagrama de Voronoy