5.4 metodo fibonacci
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE MERIDA
DEPTO DE QUIMICA-BIOQUIMICADISEÑO DE PROCESOS 1
«5.4 METODO FIBONACCI»EJEMPLO 5.2 APLICACIÓN DEL METODO DE
FIBONACCI
PROFESOR(A): DR. MARTHA HELENA AYORA CAMARAALUMNO: AGUILAR BENITES JULIAN ROBERTO
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EJEMPLO 5.2 APLICACIÓN DEL METODO DE FIBONACCI
PROBLEMAMinimizar la función f(x)=(x-4)2
haciendo una búsqueda en el intervalo [0,9]. Usar 2 iteraciones.
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SOLUCIONPara n-2 iteraciones se requiere de n-4
evaluaciones de función. Sabemos que τn-2 = τ2 = 1/2, a partir de lo cual se construye la secuencia valores de τi que se van a usar en cada iteración i:
Comencemos colocando los primeros puntos.
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SOLUCIONIteración 0. Colocación de los puntos iniciales
La evaluación de la función en estos puntos resulta en
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SOLUCIONSuponiendo que la
función es unimodal, rechazamos la región comprendida al lado derecho del punto r0, como se muestra esquemáticamente en seguida:
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SOLUCIONIteración 1
El intervalo reducido y el valor de τ a usarse en esta iteración son:
El punto que quedo sin eliminar en la iteración anterior, que era punto izquierdo, se transforma en el punto derecho para esta iteración:
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SOLUCIONEl nuevo punto izquierdo es
Y la función en este punto es,
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SOLUCIONEl siguiente esquema muestra el resultado
para esta iteración:
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SOLUCIONIteración 2
Esta es la ultima iteración que se ha fijado, en la cual el intervalo remanente es
con
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SOLUCIONComo se trata de la ultima iteración, el nuevo
punto de colocación r2 debe coincidir con el punto l2 + ε, donde ε es un numero suficiente pequeño. Tomando ε=0.001,
Debido a que la función disminuye hacia el lado derecho del punto final y tenemos un problema de minimización, entonces se rechaza la región del lado izquierdo de ese punto.
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SOLUCIONLa aplicación del método
de Fibonacci con 2 iteraciones termina con una aproximación del optimo x* = 3.6. Se detecta que el optimo esta comprendido entre 3.6 y 5.4 . La solución exacta implica x*=4. como ejercicio, repetir el problema considerando 4 iteraciones.