A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con

delegaciones en todo el norte de África. En una de estas delegaciones, en la ciudad

argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de

aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del

cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría

convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a

la cultura occidental.

Nuestro actual sistema de numeración posicional.

¿Quien fue?

Leonardo de pisa Fibonaci

Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (c. 1170 - 1250), también llamado Fibonacci,

fue un matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga

actualmente utilizado, el que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo:

el cero; y por idear la sucesión de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las

poblaciones de conejos).

El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado).

Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo

dirigía un puesto de comercio en Bugía, en el norte de África, y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo.

Allí aprendió el sistema de numeración árabe.

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus

colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en

1202, el Liber abaci, la primera suma matemática de la Edad Media.

Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:

1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

que colocó en el margen de su Líber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un

problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:

Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero

Podemos construir una serie de rectángulos

utilizando los números de esta sucesión:

Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión.

Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.

Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.

Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...

Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...

Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo áureo.

Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.

Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero. La espiral de nuestro logotipo.

Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino animal.

Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece

repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro,

(FI), también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. Está ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte. Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, (FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.

¿En donde la utilizamos?

FI en la Naturaleza

Podemos encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el

hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.

La Espiral Logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado

menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y

naturalistas. Se le llama también espiral equiángula (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de

muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantienen invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

En el Hombre

Leonardo Da Vinci realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proporcione del

matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.

En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges

de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.

Genealogía

El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la

sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.

Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se

queda en su colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.

Botánica

La serie de FIbonacci se puede encontrar también en botánica. Así, por ejemplo, ciertas flores

tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 o bien 89.

La parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las

plantas se denomina Filotaxia. En la mayoría de los casos es tal que permite a las hojas una captación uniforme de la luz y aire, siguiendo, normalmente, una trayectoria ascendente y en forma de hélice.

Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas consecutivas (supongamos que

son 'n') hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además, si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo (en el sentido contrario a las agujas del reloj, por ejemplo) el número de vueltas 'm' que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión. Pues bien, se llama "característica" o "divergencia" del tallo a la fracción m/n, y que, como muestra en la figura 2, en el olmo es 1/2, en el álamo 2/5, en el sauce llorón 3/8 y en el almendro 8/13. Si representamos por Fin el término que ocupa el lugar 'n' en la sucesión de Fibonacci (consideremos, por ejemplo: F1=1, F2=1, F3=2, F4=3, F5=5, F6=8, F7=13), en la mayoría de los casos la característica viene dada por una fracción del tipo Fn/Fn+2. Así, en el caso del sauce llorón sería F4/F6.

Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien

8/13, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.

FI en el Arte y las Construcciones

El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de

edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.

Pirámide de Keops

El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops,

que data del 2600 a.C..

Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más

aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.

El Partenón

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

En la figura se puede comprobar que AB/CD=

. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD y

CD/CA=

El Templo de Ceres

El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de

triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.

Tumba Rupestre de Mira

La Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor basa su construcción en un pentágono áureo, en el

que el cociente de la diagonal y el lado de dicho pentágono es el número áureo.

Apolo de Belvedere

Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere

están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618.

Leda Atómica

El cuadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y

simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico.

FI en nuestra vida diaria El número áureo no solo lo podemos encontrar en la naturaleza o en las antiguas construcciones

y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

Número áureo

Se denomina número áureo a = 1,61803..., o número de oro. (phi) es la inicial del

nombre del escultor griego, Fidias, que utilizó tal proporción en sus obras. La proporción áurea

surge cuando los griegos estudian la división de un segmento en dos partes de forma que la

longitud total del segmento (a+b),es a la parte mayor (a),como la parte mayor es a la menor (b),

o sea:

Operando en esta igualdad se llega a qué: y, si denominamos x al cociente ,

obtenemos la ecuación , que tiene por soluciones . La solución negativa se descarta por ser las longitudes siempre positivas.

A la raíz: se le denomina número áureo. A este número se le ha dado un carácter casi mágico, haciéndolo aparecer, de forma más o menos natural, en las proporciones de la antigua pirámide de Keops, en el Partenón, en las catedrales de Colonia o Notre Dame y dándonos a entender que los arquitectos de distintas épocas lo habían empleado en sus diseños por ser generador de una armonía casi mágica. También se dijo que es utilizado en el famoso grabado de Leonardo da Vinci sobre las proporciones humanas; la altura hasta el ombligo de una persona divide a la altura total según la sección áurea. A partir de ahí, otras muchas zonas de nuestra anatomía fueron divididas según la razón áurea: la cara, los dedos, etc. Hay opiniones que lo sitúan en la Gran Pirámide, los griegos lo usaron en las proporciones del Partenón, Leonardo da Vinci en sus dibujos, el arquitecto suizo Le Corbusier utilizó la razón áurea como base para su escala de proporciones «Modulator» y en los proyectos de edificios, como la sede de la ONU en Nueva York. Así mismo lo usa Dalí en su cuadro Leda Atómica. Además, este número presenta propiedades curiosas como, por ejemplo, que es el cociente entre la diagonal y un lado del pentágono regular, lo que lo hace aparecer «de forma mágica» en el símbolo de los seguidores de Pitágoras. La secta de los pitagóricos usaba como símbolo-contraseña la estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono regular.

Este número también está muy ligado a la famosa sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... en la que cada término se obtiene como suma de los dos anteriores. Resulta que, si vamos calculando los cocientes entre un término y el anterior, la nueva sucesión se va acercando cada vez más. Esto lo vuelve a relacionar con la belleza en cuanto a armonía, repetición y equilibrio, pues en muchas de las cosas que en la naturaleza están dispuestas en espiral, como las semillas de un girasol o las escamas de una piña, se da una propiedad que no deja de ser sorprendente. Si las observamos, presentan espirales en dos sentidos, el de las agujas del reloj y el contrario. Se cumple que, si contamos el número de espirales que hay en un sentido y las que hay en el otro, ambos números serán dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Aquí vuelve a parecer nuestro número mágico.

Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos.

En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.

Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....

Es fácil ver que cada término es la suma de los dos anteriores. Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número

áureo. =1.618039....

Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.

Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.

El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.

Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.

El rectángulo áureo

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con

uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale

por lo que la razón entre los dos lados es (el número

áureo).

Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).

El número Phi (fi) - 1.618033... lo podemos derivar de tres maneras: matemáticamente, geométricamente y por secuencia numérica.

Phi es uno de los dos grandes tesoros de la geometría. Johannes Kepler dijo que el primero es phi y el segundo es el Teorema de Pitágoras. En un triangulo, phi forma las dimensiones de la gran pirámide de Egipto. Con una regla y un compás podemos crear el rectángulo áureo. El rectángulo áureo se usa extensivamente en la arquitectura como en el Partenón griego. Phi también define las dimensiones del pentágono.

Los cinco sólidos platónicos, llamados así porque Platón fue el primero en escribir sobre ellos, tienen la característica de ser cuerpos tridimensionales que tienen caras regulares. Las caras regulares son caras o polígonos cuyos lados son iguales, como el triangulo equilátero, el pentágono y el cuadrado. Los cinco sólidos platónicos son la base de la construcción de la materia y los encontramos relacionados con nuestra conciencia a través de los cinco centros de comando. Estos son: el tetraedro (4 caras triangulares), el hexaedro o cubo (6 caras cuadradas), el

octaedro (8 caras triangulares), el icosaedro (20 caras triangulares), y el dodecaedro (12 caras pentagonales).

Además podemos relacionar cada uno de los cinco sólidos platónicos con las retículas terrestres y los Cinco Elementos de la tradición china, como sigue (de izquierda a derecha):

· Tetraedro: Fuego - Barisfera

· Hexaedro: Tierra - Litosfera

· Octaedro: Aire - Atmósfera

· Icosaedro: Agua - Hidrósfera

· Dodecaedro: Gaia, Madera - Biosfera

Los matemáticos han encontrado que la Proporción Dorada se encuentra presente en tres de estos cinco sólidos platónicos: el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

En el interior del dodecaedro y del icosaedro podemos dibujar tres rectángulos dorados. Están dispuestos de tal forma que sus esquinas tocan todos los puntos centrales de las caras pentagonales del dodecaedro y todos los vértices del icosaedro. Además, es importante mencionar que si extendemos los vértices del dodecaedro o del icosaedro obtenemos su reciproco. Es decir, si extiendo los vértices del dodecaedro obtengo un icosaedro y si continúo haciendo lo mismo obtengo un dodecaedro en una siguiente dimensión y así infinitamente hacia adentro o infinitamente hacia fuera. Este principio de recurrencia fractal nos marca la pauta de creación en el universo.

En la animación de abajo podemos ver la Estrella Madre o Estrella de Metatron. Son los cinco sólidos platónicos contenidos uno dentro de otro en un espacio de embonacion perfecto. De adentro hacia afuera podemos observar de amarillo el dodecaedro, de azul claro el icosaedro, de verde el octaedro, de rosa el tetraedro y de negro el hexaedro o cubo. Este patrón de anidacion permite a las ondas/eventos embonar hacia el centro de gravedad de la materia sin auto cancelase ni cancelar a otras ondas/eventos. En Psicogeometria utilizamos una técnica terapéutica que nos permite arreglar los eventos dolorosos de nuestra vida en un patrón similar para que el evento pueda sortearse en nuestro escenario interno de conciencia y ordenarse de tal forma que no genere

una confrontación interna. La solución del conflicto no radica únicamente en cobrar conciencia del conflicto sino en disponer este conflicto en una estructura geométrica que nos restablezca nuestra paz interna.

En esta imagen podemos notar la manera en la que la proporción dorada gobierna los trazos del pentágono. A: B como B:C como C:D a razón de 0.618033 (el inverso de Phi).

.

Geometría y su relación con PHI

Toroide Fractal

Hemos mencionado que la creación se originó en el vacío y del vacío surgió la Ley de Unidad. Esta ley de Unidad, consagrada en el tubo toroide, es creadora de nuestra conciencia cuando posicionamos en alguno de sus extremos nuestro foco atencional y creamos otro tubo toroide. En el patrón del Génesis es el segundo día de creación del que habla la Biblia y en el que se crea la luz. Es el surgimiento de la aparente dualidad y el surgimiento verdadero de la Ley de Tres Geométrica. Con este movimiento del espíritu surge la Vesica Piscis. La forma que tiene esta figura es la misma forma de todo aquello por donde entra o sale luz o energía/materia. La forma de nuestros ojos, la vagina, la uretra, etc. son ejemplo de ello. En esta figura está contenida la raíz cuadrada de 2, 3 y 5.

La espiral dorada es una de las formas que por naturaleza expresan la armonía perfecta del universo. Esta imagen está construida a partir de triángulos dorados y la podemos observar con toda claridad en la concha del Nautilus (ver más en nuestra sección de matemática). La espiral dorada es el camino que siguen las ondas (la vida) para salir o entrar hacia el punto cero: el origen de la vida, el vacío.

El Árbol de la Vida es una de las figuras geométricas más antiguas que han sido usadas por la humanidad. Geométricamente está formado por un tetraedro, un hexaedro y un dodecaedro. Los cabalistas se han dedicado a su estudio. Representa un código que nos da las pautas de evolución que se ha mantenido a voces secretas en los círculos del poder. Cada uno de los vértices en el Árbol de la Vida, simboliza para los cabalistas una Safira. Cada Safira es un atributo de Dios. En Psicogeometria estudiamos el origen y las implicaciones geométricas de esta figura. No solamente desde la perspectiva cabalista sino desde un ángulo psicológico vinculado a nuestro cuerpo por medio de tres sistemas: el digestivo, el endocrino y el nervioso. El eneagrama de la tradición sufí y derviche está contenido en esta figura.

El proceso de creación de la vida ha sido descrito a lo largo de la humanidad por diferentes culturas. Algunas han sembrado su conocimiento en una síntesis geométrica. Los trazos como los que exponemos abajo se han encontrado en todas las latitudes y en todos los tiempos.

Semilla de la Vida - Estrella Tetraedrica

La Semilla de la Vida es el principio del Génesis. El Huevo de la Vida son los trazos que surgen de dos tetraedros imbricados y nos habla de la manifestación de la Ley de Octava Geométrica. La Fruta de la Vida es la plantilla de la tercera dimensión en la que superponemos los sólidos

platónicos. La Estrella de Metatron es la estrella de vida que surge cuando imbricamos armónicamente todos los sólidos platónicos y creamos una Estrella Madre. Esta estrella contiene y es capaz de organizar la frecuencia y la velocidad de las ondas/eventos. Finalmente, como expresión última, de la extensión de los trazos de la Semilla de la Vida surge la Flor de la Vida. La Flor de la Vida es la expresión más refinada de la creación. Contiene holográmicamente todos los sólidos platónicos y todas las figuras mencionadas.

En el Curso uno de Psicogeometria trazamos estas figuras y creamos mayor interconectividad entre los hemisferios cerebrales. La Flor de la Vida nos invita a despertar nuestra visión objetiva de la realidad.

La Fruta de la Vida

El Huevo de la Vida

La Semilla de la Vida

Vida de Phidias

Phidias nació en 490 a.c y murió en 430 a.c. Además de sus trabajos como escultor, destacó también como arquitecto y pintor. La mayoría de sus obras originales han desaparecido, así que sólo se las conoce por las descripciones que de ellas han hecho escritores e historiadores de la época.

A pesar de ello, Phidias está considerado como el más fiel exponente del clasicismo heleno, caracterizado más por reflejar la belleza ideal que la real. Para ello, utilizó en muchas de sus obras la proporción de oro, y ello le valió para que el matemático americano Mark Barr utilizara la primera letra de su nombre, en griego Phi, para designar al número de oro.

Fue elegido por Pericles para supervisar todos los trabajos escultóricos y obras públicas de Atenas, por ello Phidias dirigió la construcción del Partenón y de los Propileos, la entrada de la Acrópolis. Para este edificio realizó la estatua de la diosa Atenea, que es, junto con la del dios Zeus, su obra maestra.

No se sabe con certeza si murió en el exilio o en prisión, por culpa de las intrigas de enemigos de Pericles, que le acusaron de quedarse con parte del oro destinado a la construcción de la estatua de Atenea.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es un ejemplo de un objeto con una descripción matemática sencilla pero con muchas propiedades extrañas y complicadas. Fibonacci es el sobrenombre de Leonardo de Pisa, quien introdujo en Europa el sistema de numeración árabe alrededor del año 1200.

1. Los conejos de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci aparece en su obra Líber Abaci como una solución al problema del crecimiento de una población de conejos. Supongamos que una pareja de conejos, tras haber alcanzado su madurez, produce otra pareja de conejos al mes. Supongamos también que los conejos alcanzan su madurez al cabo de dos meses. Empezando con una pareja de conejos recién nacidos, describir cuántos conejos se reproducen en meses sucesivos.

Al final del primer mes, hay una pareja. Al final del segundo mes, todavía hay una pareja, que ya ha madurado. Al final del tercer mes, la pareja ha producido una nueva pareja, de modo que ahora hay dos parejas. Al final del cuarto mes, la primera pareja ha producido otra nueva pareja mientras que la segunda pareja ha madurado, de modo que ahora ya hay tres parejas. Siguiendo de esta forma se advierte que la siguiente sucesión de números describe la reproducción de los conejos

Observemos que cada término de esta sucesión es precisamente la suma de los dos términos

anteriores. La sucesión de Fibonacci se define a partir de condiciones semilla mediante la relación de recurrencia

2. El linaje de las abejas Las abejas tienen un árbol genealógico extraño. La sucesión de Fibonacci describe el número de

antepasados de las abejas. Veamos en primer lugar algunos hechos insólitos acerca de la colmena.

Una abeja especial, la reina, es la única hembra que pone huevos, Hay muchas abejas obreras, que son hembras pero no ponen huevos, Hay algunos zánganos, que son machos y no trabajan. Los zánganos provienen de huevos sin fertilizar, por eso no tienen padre. Las hembras provienen del apareamiento de la reina con un macho, por esa razón tienen

tanto padre como madre.

Si trazamos el árbol genealógico de un zángano (1 abeja), solamente tiene una madre (1 abeja), dos abuelos que son macho y hembra (2 abejas), tres bisabuelos que son un macho y dos hembras (3 abejas), y reiterando este proceso aparece la sucesión de Fibonacci. Si trazamos el árbol genealógico de una hembra llegamos a un resultado parecido.

3. La proporción áurea Se dice los lados de un rectángulo tienen la proporción áurea si al eliminar una sección cuadrada del rectángulo, los lados del rectángulo restante están en la misma proporción.

Consideremos el rectángulo de la figura

y supongamos que sus lados tienen la proporción áurea, de modo que se verifica la relación de

proporcionalidad

Un sencillo cálculo indica que entonces la proporción áurea es la solución positiva de la

ecuación y por lo tanto

La siguiente construcción de un rectángulo áureo aparece en los Elementos de Euclides, concretamente en la proposición 2.11.

A partir del cuadrado se halla el punto medio del segmento Así

, luego , y por lo tanto los lados del rectángulo tienen la proporción áurea.

Consideremos la sucesión de los cocientes entre los términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, es decir,

Resulta que esta sucesión converge hacia la proporción áurea,

Esta propiedad, descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pone de manifiesto la íntima conexión que existe entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea.

4. Las espirales de los girasoles

La disposición regular de los órganos laterales de una planta (como las hojas en un tallo o los brotes en una flor compuesta), es un importante aspecto de la forma de las plantas conocido como filotaxia.

El área de la filotaxia está repleta de interesantes relaciones matemáticas, por ejemplo, la extraordinaria predominancia de la sucesión de Fibonacci en el número de espirales a lo largo de un patrón filotáctico.

Un modelo propuesto por H. Vogel para describir la estructura del girasol está relacionado con problemas de empaquetamiento. La clave para este modelo es el ángulo de Fibonacci

Vogel propone que el patrón de los brotes en el girasol obedece la fórmula

donde es el número de orden del brote contado desde el centro hacia afuera, es el ángulo entre una dirección de referencia y el vector de posición del brote, es la distancia del centro del girasol al centro del brote, y finalmente, es un factor de escala constante. Se sigue que el ángulo de divergencia entre dos brotes consecutivos es constante.

La raíz cuadrada que relaciona la distancia con el número de orden del brote tiene una simple explicación geométrica. Suponiendo que los brotes tienen el mismo tamaño y que el empaquetamiento es denso, el número de brotes que caben dentro de un disco de radio es

proporcional al área del disco, es decir que

Es más difícil explicar el ángulo de divergencia, que Vogel deduce a partir del supuesto de que cada brote encaja en el mayor hueco que exista entre brotes anteriores. La siguiente figura ilustra el crítico papel que desempeña el ángulo de divergencia al generar patrones filotácticos en un disco cuando

El modelo de Vogel describe correctamente la disposición de los brotes en flores reales. La característica más destacada son dos conjuntos de espirales llamadas parastiquios, que girando el uno en sentido horario y el otro en sentido antihorario, están compuestas de brotes adyacentes. El número de espirales en cada parastiquio es siempre un término de la sucesión de Fibonacci, oscilando desde y para una flor pequeña hasta y e incluso y para una flor grande. La margarita de la siguiente imagen sintética muestra espirales horarias y espirales antihorarias.

La siguiente imagen de un girasol permite discernir espirales horarias y espirales antihorarias. El número de espirales que se perciben depende del tamaño de la flor en términos del número de los brotes que la componen. Si el campo de atención se limita a un disco de

aproximadamente del tamaño de la flor, entonces el número de espirales que se pueden discernir se convierte en y .