5.4 integrales en_coordenadas_polares
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Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.4 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares
(Estudiar la Sección 15.4 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 21)
Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas polares, podemos considerar tres tipos diferentes de regiones: (a) Regiones de Rectángulos Polares, en las que los 4 límites son constantes, (b) Regiones Tipo I, en las que debe integrarse primero la variable r, y (c) Regiones Tipo 2, en las que debe integrarse primero la variable θ. Ambas regiones se ilustran gráficamente, y simbólicamente, en la Tabla de la página 86. Esta tabla debe estudiarse detenidamente antes de proceder a resolver los ejercicios siguientes
Diferencial de área en coordenadas polares: Recordando la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular está dada por: θrs = , tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está
dado por ( )( )θrddrdA = como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir
como θddrrdA =
Ejemplo 1: Evalúe la integral dAe
D
yx∫∫ −− 22
, en donde D es la región limitada
por el semicírculo 2
4 yx −= y el eje y , pasando a coordenadas polares.
Solución:
[ ]
( ) ( ) ( )2
1
222
1
2
1
2
1
442
2
4
2
2
2
0
2
2
2
0
2222
πππθ
θθ
π
π
π
π
π
π
−−
−
−
−
−
−
−−−
−=
−−
−=
−
=−
==
∫
∫∫ ∫∫∫ee
de
deddrredAerr
D
yx
s
θ
r s=rθ
dθ
r
dr
rdθ
dA=(rdθ)(dr)
dA=rdrdθ
-2
2
90
Ejemplo 2: Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano 0=z , y el
paraboloide 221 yxz −−= .
La curva de intersección de las superficies es:
1
1
1
01
2
22
22
21
=
=
=+
=−−
=
r
r
yx
yx
zz
( ) ( )
( )2
24
1
42
11
2
0
1
0
422
0
1
0
3
2
0
1
0
222
ππθθ
θ
ππ
π
=⋅=
−=−=
−=−−=
∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
drr
ddrrr
ddrrrdAyxV
D
Ejemplo 3: Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide 22 yxz += ,
arriba del plano xy, y dentro del cilindro xyx 222 =+
La base del volumen es:
( )( )
( ) 1;0,1
11
112
2
22
22
22
=
=+−
=++−
=+
rCcírculo
yx
yxx
xyx
Su ecuación en c. polares:
θ
θ
cos2
cos2
2
2
22
=
=
=+
r
rr
xyx
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3
2
2cos14cos4
cos164
1
4
,
2
2
2
2
2
22
2
2
42
2
cos2
0
4
2
2
cos2
0
32
2
cos2
0
2
2
2
cos2
0
22
π
θθ
θθ
θθθ
θθ
θθθ
π
π
π
π
π
π
π
π
θ
π
π
θπ
π
θ
π
π
θ
==
+==
=
=
==
+==
∫∫
∫∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫∫
−−
−−
−−
−
L
dd
ddr
ddrrddrrr
ddrryxddrrrfV
D
91
Ejemplo 4: Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dentro
de la esfera 16222 =++ zyx y fuera del cilindro 4
22 =+ yx
2
4
4
16
16
16
2
22
2
22
222
=
=
=+
−±=
=+
=++
r
r
yx
cilindroEl
rz
zr
zyx
esferaLa
( )
[ ] ( )
( ) ( ) ( ) 3323243
4212
3
2
163
2162
23
4
2
2
0
2
0
23
24
2
2
2
0
4
2
16
16
2
2
ππ
π
θθ
θθ
π π
π
===
−−=−=
===
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫−+
−−
V
drddrrV
ddrdzrrdrddzdVVr
r
Para la próxima clase estudiar las secciones 15.4 Integrales Dobles en Coordenadas Polares 15.7 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas
Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 21 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
z 2=r
216 rz −+=
x
216 rz −−=
92
Integrales Dobles en Coordenadas Polares
Región Rectangular
Polar
( )
≤≤
≤≤
βθαθ
brar,
( )
( )∫ ∫
∫ ∫=
=
=
=
=
=
=
=
br
ar
br
ar
drrdrf
rdrdrf
βθ
αθ
βθ
αθ
θθ
θθ
,
,
Región
Tipo 1
( )( ) ( )
≤≤
≤≤
βθα
θθθ 21
,hrh
r ( )( )
( )
∫ ∫=
=
=
=
βθ
αθ
θ
θ
θθ2
1
,
hr
hr
rdrdrf
Región Tipo 2
( )( ) ( )
≤≤
≤≤
bra
rgrgr
21,
θθ ( )
( )
( )
∫ ∫=
=
=
=
br
ar
rg
rg
drrdrf2
1
,
θ
θ
θθ
θ=β
θ=α
r=b
r=a
r=h1(θ)
θ=β
θ=α
r=h2(θ)
r=a
θ=g2(r) r=b
r=a θ=g1(r)
93
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 21 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares
(Sección 15.4 del Stewart 5ª Edición)
En los problemas 1 al 2 evalúe la integral doble pasando a coordenadas polares:
∫∫R
dAxyP :1 en donde R es la región del primer cuadrante que
se encuentra entre los círculos
25;42222 =+=+ yxyx
8
609:1R
( )∫∫ +
R
dAyxP22
:2 en donde R es la región limitada por las
espirales:
πθθθ 20;2; ≤≤== pararr
524:2 πR
En los problemas 3 y 4 utilice coordenadas polares para hallar el volumen del sólido dado:
P3: Debajo del paraboloide 22
yxz += y arriba del
disco 922 ≤+ yx 2
81:3
πR
P4: Arriba del cono 22
yxz += y debajo de la
esfera 1222 =++ zyx
−
2
11
3
2:4
πR
En los problemas 5 y 6 evalúe la integral iterada pasando a coordenadas polares:
∫ ∫−
+1
0
1
0
2
22
:5x
yxdydxeP ( )1
4:5 −eR
π
∫ ∫−
−−
2
0
4
4
22
2
2
:6y
y
dxdyyxP 3
4:6
πR