53784 semana 3 matriz adjunta y sistemas de ecuaciones

CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:

CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

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FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA LINEAL: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

SEMANA N° 03: (04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I I : DETERMINANTES

TEMA 3: DETERMINANTES, MATRIZ ADJUNTA E INVERSAS DE MATRICES

OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz de los cofactores asociada a una matriz.OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular a partir de la matriz de cofactores, la matrizadjunta asociada.OBJETIVO OPERACIONAL: Calcular la matriz inversa, a partir del determinante y la matriz adjunta.

(3.1) :INTRODUCCIÓN En este tema se trata de relacionar el cálculo de las matricesinversas, mediante el uso de determinantes.

(3.2) TEOREMA: es invertible si y solo si .E − ./>E Á !`

8B8

(3.3) : TEOREMA Si invertible. Entonces E − ./> ÐE Ñ œ`

8B8" "

./>E

(3.4) :DEFINICIÓN Sea .E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ

3 4 8B8` ‘

Se llama MATRIZ DE LOS COFACTORES DE LA MATRIZ a unaEmatriz ; donde es el cofactor de la matriz F œ ÐE Ñ − Ð Ñ E 34 E

3 4 8B8 3 4` ‘

que está dado por: E œ Ð "Ñ ./>ÐQ Ñ à 3 ß 4 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 8 Þ

3 4 3 434

Es decir: F œ

E E E ÞÞÞ E ÞÞÞ E



ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "$ " 4 "8

#" ## #$ # 4 #8

$" $# $$ $ 4 $8

3 " 3 # 3 $ÞÞÞ E ÞÞÞ E

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ E

3 4 38

8" 8# 8$ 8 4 88



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(3.4.1) :EJEMPLO

Encuentre la matriz de cofactores de E œ! " # " " $! # "

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1°) donde MATRIZ DE COFACTORES ÐE Ñ E œ Ð "Ñ ./>Q34 34 34

34

E œ ./> œ & E œ ./> œ "" $ " $# " ! """ "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ $ " " " #! # # ""$ #"Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ !! # ! "! " ! ### #$Œ Œ

E œ ./> œ " E œ ./> œ #" # ! #" $ " $$" $#Œ Œ

E œ ./> œ "Þ! " " "$$ Œ

2°) Por lo tanto; la matriz de cofactores es:

F œ& " # $ ! ! " # "

Î ÑÏ Ò

(3.4.2) :EJEMPLO

Encuentre la matriz de cofactores de E œ" " $# # ! % & !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) donde MATRIZ DE COFACTORES ÐE Ñ E œ Ð "Ñ ./>Q34 34 34

34

E œ ./> œ ! E œ ./> œ ! # ! # !& ! % !"" "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ "&# # " $ % & & !"$ #"Œ Œ

E œ ./> œ "# E œ ./> œ "" $ " " % ! % &## #$Œ Œ

E œ ./> œ ' E œ ./> œ ' " $ " $ # ! # !$" $#Œ Œ

E œ ./> œ !Þ" "# #$$ Œ


F œ! ! #"& "# "' ' !

Î ÑÏ Ò



PÁG. 3



(3.4.3) :EJEMPLO

Encuentre la matriz de cofactores de E œ% & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) donde MATRIZ DE COFACTORES ÐE Ñ E œ Ð "Ñ ./>Q34 34 34

34

E œ ./> œ ' E œ ./> œ ' # $ # $ # ! # !"" "#Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ !# # & !# # # !"$ #"Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ # % ! % &# ! # ### #$Œ Œ

E œ ./> œ "& E œ ./> œ "#& ! % ! # $ # $$" $#Œ Œ

E œ ./> œ #Þ % &# #$$ Œ


F œ' ' !! ! #"& "# #

Î ÑÏ Ò

(3.5) :DEFINICIÓN Sea y definida comoE œ Ð+ Ñ − Ð Ñ F œ ÐE Ñ − Ð Ñ

3 4 8B8 3 4 8B8` ‘ ` ‘

en (3.4). Se llama MATRIZ ADJUNTA DE LA MATRIZ ; la que denotaremosEpor a la MATRIZ TRANSPUESTA DE LA MATRIZ ; es decir:+.4 ÐEÑ F

+.4 ÐEÑ œ F œ




ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E ÞÞ

>

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" "# "$ " 4 "8

#" ## #$ # 4 #8

$" $# $$ $ 4 $8

3 " 3 # 3 $Þ E ÞÞÞ E


3 4 38

8" 8# 8$ 8 4 88

>

œ

E E E ÞÞÞ E ÞÞÞ EE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ EE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ EÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞE E E ÞÞÞ E ÞÞÞ E

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

"" #" $" 3 " 8"

"# ## $# 3 # 8#

"$ #$ $$ 3 $ 8$

" 4 # 4 $ 4 3 4 8 4

"8 #8 $8 38 88




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(3.5.1) :EJEMPLO

Encuentre la matriz adjunta de E œ! " # " " $! # "

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1°) Por (3.4.1); la matriz de cofactores es:

F œ& " # $ ! ! " # "

Î ÑÏ Ò

2°) MATRIZ ADJUNTA: F œ +.4 ÐEÑ œ& $ " " ! # # ! "

>Î ÑÏ Ò

(3.5.2) :EJEMPLO

Encuentre la matriz adjunta de E œ" " $# # ! % & !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) Por (3.4.2); la matriz de cofactores es:

F œ! ! #"& "# "' ' !

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ ADJUNTA: F œ +.4 ÐEÑ œ! "& '! "# '# " !

>Î ÑÏ Ò

(3.5.3) :EJEMPLO

Encuentre la matriz adjunta de E œ% & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:1º) Por (3.4.3); la matriz de cofactores es:

F œ' ' !! ! #"& "# #

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ ADJUNTA: F œ +.4 ÐEÑ œ' ! "&' ! "#! # #

>Î ÑÏ Ò



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(3.6) : TEOREMA Si es invertible.E œ Ð+ Ñ − Ð Ñ

3 4 8B8` ‘

Entonces E œ +.4 ÐEÑ œ Þ" "./>E ./>E

+.4 ÐEÑ

(3.6.1) :EJEMPLO

Encuentre la matriz inversa de E œ! " # " " $! # "

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:

1°) Por (3.5.1); y +.4 ÐEÑ œ ./> ÐEÑ œ $& $ " " ! # # ! "

Î ÑÏ Ò

2°) MATRIZ INVERSA: E œ& $ " " ! # # ! "

" "$

Î ÑÏ Ò

(3.6.2) :EJEMPLO

Encuentre la matriz inversa de E œ" " $# # ! % & !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:

1º) Por (3.5.2); y +.4 ÐEÑ œ ./> ÐEÑ œ '! "& '! "# '# " !

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ INVERSA: E œ! "& '! "# '# " !

" "'

Î ÑÏ Ò

(3.6.3) :EJEMPLO

Encuentre la matriz inversa de E œ% & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò

SOLUCIÓN:

1º) Por (3.5.3); y +.4 ÐEÑ œ ./> ÐEÑ œ '' ! "&' ! "#! # #

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ INVERSA: E œ' ! "&' ! "#! # #

" "'

Î ÑÏ Ò



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UNIDAD I I I : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 1: DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuaciónlineal con dos incógnitas de un sistema de dos ecuaciones lin eales con dosincógnitas.

(1.1) :DEFINICIÓN Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS; a unarreglo algebraico de la forma ó )+B , C œ - à +ß ,ß - − Ð‘ ‚

tal que e son las incógnitas o variables, y son los coeficientes deB C + ,las variables o ; y es la constante.Ð+ Á ! , Á !Ñ -

(1.2) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON DOSINCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par de números reales (ocomplejos) que al ser sustituídos en las variables transforman a laecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera.

(1.3) :DEFINICIÓN Llamaremos SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOSINCÓGNITAS; a un CONJUNTO de dos ecuaciones lineales con dosincógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arregloalgebraico

+ B + B œ , + ß , − Ð 3 œ "ß # 4 œ "ß #

+ B + B œ ,"" " "# # "

#" " ## # #

ó ) con y 3 4 3

‘ ‚

tal que son las incógnitas o variables, son los coeficientes de lasB +4 3 4

variables y son constantes.,3

(1.4) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONESLINEALES CON DOS INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier par denúmeros reales que al ser sustituídos en las variables transforman a cadauna de las ecuaciones lineales del sistema en una identidad o igualdadverdadera.



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(1.5) :DEFINICIÓN Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales sonEQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.

(1.6) :DEFINICIÓNa) Se dice que un sistema es CONSISTENTE si este tiene solución.b) Se dice que un sistema es INCONSISTENTE si este no tienesolución.

(1.7) :EJEMPLO

(1.7.1) Resolver #B C œ ! Ê C œ #B

B #C œ "

Reemplazando en la otra ecuación B #Ð #BÑ œ "

Ê B œ à C œ " #& &

Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™Ð ß Ñ" #& &

(Notar que este sistema se trata de dos rectas que se intersectan)


%B #C œ !

Reemplazando en la otra ecuación %B #Ð #BÑ œ !

Ê ! œ ! Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß CÑ − ÎC œ #B‘#

(Notar que este sistema se trata de UNA SOLA ECUACIÓN, por locual tiene infinitas soluciones)


%B #C œ "

Reemplazando en la otra ecuación %B #Ð #BÑ œ " Ê ! œ " lo cual es una contradicción, es decir el sistema NO TIENESOLUCIÓN. (Notar que este sistema se trata de dos rectas paralelas)



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TEMA 2: ECUACIONES LINEALES CON INCÓGNITAS:7 8 ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN Y GAUSSIANA

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de una ecuaciónlineal con incógnitas . 8 à 8 −

OBJETIVO OPERACIONAL: Encontrar el conjunto solución de un sistema deecuaciones lineales con incógnitas .7 8 à 7 à 8 −

OBJETIVO OPERACIONAL: Analizar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, cuando la solución depende de un parámetro.OBJETIVO OPERACIONAL: Escribir la solución de un sistema de ecuacioneslineales como la suma del conjunto solución del sistema homogéneo y el conjunto dado por una solución particular.

(2.1) DEFINICIÓN: Llamaremos ECUACIÓN LINEAL CON INCÓGNITAS; a un arreglo8algebraico de la forma ó )+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ , à + ß , − Ð

3" " 3# # 3 4 4 38 8 3 3 4 3‘ ‚

es fijo 3 à 4 œ "ß #ß ÞÞÞß 8tal que son las incógnitas o variables, son los coeficientes de lasB +

4 3 4

variables; y son constantes.,3

(2.2) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL CON 8INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier - upla de números reales (o8complejos) que al ser sustituídos respectivamente en las variables8transforman a la ecuación lineal en una identidad o igualdad verdadera.

(2.2.1) :EJEMPLO Resolver #B C œ ! Ê C œ #B Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß CÑ − ÎC œ #B‘#


(2.2.2) :EJEMPLO Resolver #B C $D œ " Ê C œ " #B $D Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß C ß DÑ − ÎC œ " #B $D‘$




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(2.2.3) :EJEMPLO Resolver #B C $D A œ " Ê C œ " #B $D A Luego, el conjunto solución del sistema es ˜ ™ÐB ß C ß D ßAÑ − ÎC œ " #B $D A‘%


(2.3) :DEFINICIÓN Llamaremos SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON 7 8INCÓGNITAS; a un CONJUNTO de ecuaciones lineales con 7 8incógnitas, que usualmente denotaremos por el siguiente arregloalgebraico

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,



"" " "# # " 4 4 "8 8 "

#" " ## # # 4 4 #8 8 #

3 " " 3 # # 3 4 4 3 8 8 3

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,7" " 7# # 7$ 4 78 8 7

ó )+ ß , − Ð3 4 3

‘ ‚

con , ... , y , ... , 3 œ "ß # 7 4 œ "ß # 8

tal que son las incógnitas o variables, son los coeficientes de lasB +4 3 4

variables y son constantes.,3

(2.4) :DEFINICIÓN Llamaremos SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES7LINEALES CON INCÓGNITAS (si esta existe); a cualquier - upla de8 8números reales (o complejos) que al ser sustituídos en las variablestransforman a cada una de las ecuaciones lineales del sistema en unaidentidad o igualdad verdadera.

(2.5) :DEFINICIÓN Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales sonEQUIVALENTES; si estos tienen el mismo conjunto solución.



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(2.6) MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS - JORDAN PARA RESOLVERUN SISTEMA DE ECUACIONES CON INCÓGNITAS:7 8 Consideremos el sistema de ecuaciones como en (2.3):

1°) Intercambiar si corresponde en el sistema una ecuación concoeficiente de la primera variable distinta de cero, obteniéndose unB

"

sistema equivalente; de tal manera que + Á !Þ""

2°) Cambiamos cada una de las ecuaciones; posteriores a la primerapor: para , obteniéndose el siguienteI3 Ä + I" + I3 à 3 Á "

3 " ""

sistema equivalente:


+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

"" " "# # " 4 4 "8 8 "

## # 4 #8 ## 4 8

3 # 3 4 3 8 3# 4 8

‡

‡ ‡ ‡ ‡

‡ ‡ ‡ ‡

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,7# 7$ 78 7# 4 8

‡ ‡ ‡ ‡

3°) De la segunda ecuación en adelante, se elige la que tenga la variablepara el menor subíndice y se coloca como segunda ecuación.4Supongamos que en el sistema anterior + Á !Þ

##

‡

Cambiamos las filas restantes a la segunda por: para ,I3 Ä + I# + I3 à 3 Á #

3 ##2

‡

obteniéndose el siguiente sistema equivalente:

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,"" " 4 "8 "" 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,## # 4 #8 ## 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

+ B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,$$

$ 4 8$4 $8 $

‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

3 $ 3 4 38 3$ 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ ,

7$ 7$ 78 7$ 4 8‡‡ ‡‡ ‡‡ ‡‡



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4°) Así sucesivamente; se procede en forma análoga; hasta obtener unsistema equivalente de la forma:

+ B œ ,"" ""

+ B œ ,## ##

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ ,

34 34

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ + B œ ,

78 78

en el cual se observan las variables "casi" despejadas.

(2.7) :OBSERVACIÓN En la solución de un sistema de ecuaciones, se puede tener algunode los siguientes tres casos:a) tiene solución única. b) no tiene solución. c) tiene infinitas soluciones.

(2.8) :DEFINICIÓN Se dice que el sistema de ecuaciones como en (2.3), es un SISTEMAHOMOGENEO cuando las constantes ; para todo , œ ! 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß7 Þ

3

Es decir, es de la forma: + B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !

"" " "# # " 4 4 "8 8

#" " ## # # 4 4 #8 8

3 " " 3 # # 3 4 4 3 8 8

+ B + B ÞÞÞ + B ÞÞÞ + B œ !7" " 7# # 7$ 4 78 8

(2.9) :OBSERVACIÓN La solución de un sistema homogeneo; se obtiene de maneraanáloga al del sistema no homogeneo de la DEFINICIÓN (2.3). Un sistema homogeneo tiene SIEMPRE solución; ya que a lo menostiene la solución trivial, es decir la - upla CERO , cuando todos los8valores de las variables son iguales a , o sea para todo! B œ !ß

4

4 œ "ß #ß ÞÞÞß7 Þ



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(2.10) REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA:

La representación matricial del sistema de ecuaciones visto en (2.3)es:

Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø

+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +

+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ ÞÞÞ +

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ + ÞÞÞ +

"" "# "4 "8

#" ## #4 #8

3" 3# 38

7" 7# 74 78

+34

Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø

BBÞÞÞB

ÞÞÞB

œ

,,ÞÞÞ,ÞÞÞ,

"

#

4

8

"

#

3

7

lo cual podemos simplificar denotando: ; y la matriz recibeE\ œ F Eel nombre de MATRIZ DE LOS COEFICIENTES se llama MATRIZ DEà \INCÓGNITAS y a se le llama MATRIZ DE CONSTANTES.F

(2.11) :DEFINICIÓN Se llama MATRIZ AUMENTADA asociada a un sistema deecuaciones, a la matriz formada por la matriz de los coeficientes Eaumentada en una columna por la matriz de las constantes F ; es decir lamatriz de la forma: ¸ ‘E F

(2.12) : OBSERVACIÓNa) El sistema tiene solución si y solo si: VERKS E œ VERKS E F ‘ ¸ ‘b) Para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales; serecomienda trabajar con la matriz aumentada y llevar la parte de la matrizE a la forma escalonada reducida por filas, ya que en este caso se tienenlas variables despejadas.

c) La solución general del sistema de ecuaciones lineales nohomogeneo se puede expresar como: E\ œ F W œ B W

1 : !˜ ™

donde: es una solución particular de .B E\ œ F:

es el conjunto solución general de W E\ œ ! Þ!

es el conjunto solución general de .W E\ œ F1

d) En un sistema de ecuaciones lineales con incògnitas,8 8expresado matricialmente en la forma se tiene que: si laE\ œ Fmatriz es invertible, este tiene una única solución dada por E \ œ E F Þ"



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(2.13) :EJEMPLO(2.13.1) Considere el sistema de ecuaciones:

B &C A œ "

#B C $D #A œ "

B #C D A œ !

%B C $D #A œ "

a) Escriba la representación matricial del sistema.SOLUCIÓN:1°) Se debe expresar en la forma ; dondeE\ œ F

E œ à \ œ à F œ

" & ! " B "# " $ # C "" # " " D !% " $ # A "

Î Ñ Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò Ï Ò

2°) La representación matricial del sistema es:

Î ÑÎ Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ ÒÏ Ò Ï Ò" & ! " B "# " $ # C "" # " " D !% " $ # A "

œ

b) Determine si el sistema tiene solución.SOLUCIÓN:1°) Verificar que se cumpla ; para loVERKS E œ VERKS E F ‘ ¸ ‘cual se debe estudiar , ya que a la vez determinamosVERKS E F ¸ ‘VERKS E ‘ y la solución del sistema de corresponder.

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò" & ! " " " & ! " "# " $ # " ! * $ ! $" # " " ! ! $ " ! "% " $ # " ! #" $ ' $

J Ð #ÑJJ Ð "ÑJJ Ð %ÑJ

Ä# "

$ "

% "

Ð Ñ"* JJ Ð &ÑJJ $JJ #"J

Ä Ê

" ! "

! " !

! ! ! ! !! ! % ' %

#

" #

$ #

% #

& #$ $" "$ $

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Por lo tanto:

VERKS E œ VERKS E F œ $ ‘ ¸ ‘

2°) Luego, el sistema tiene solución.



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c) Encuentre la solución general (SI EXISTE).W1

SOLUCIÓN:

1°) Tomando

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò" ! "

! " !

! ! ! ! !! ! % ' %

& #$ $" "$ $ de lo anterior, resta solo

J

Ð ÑJ

J Ð ÑJ

J Ð ÑJ

Ä

" ! ! "

! " ! !

! ! " "

! ! ! ! !

$%"% $

" $&$

# $"$

$#"#$#

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

2°) De donde se obtiene el siguiente sistema equivalente:

B A œ "$

#

C A œ !"

#

D A œ "$

#! œ !

y la solución general está dada por:

W œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ " Aß C œ Aß D œ " A1

˜ ™‘% $ " $# # #

d) Si corresponde; exprese c) como .W œ B W1 : !

˜ ™SOLUCIÓN:

W œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ " Aß C œ Aß D œ " A1

˜ ™‘% $ " $# # #

W œ Ð" Aß Aß " A ßAÑ Î A −1

˜ ™$ " $# # # ‘

W œ Ð" ß ! ß " ß !Ñ Ð ß ß ß "ÑA Î A −1

˜ ™$ " $# # # ‘

W œ Ð" ß ! ß " ß !Ñ Ð ß ß ß "ÑA Î A −1

˜ ™ ˜ ™$ " $# # # ‘

donde: solución particular del sistema, y˜ ™ ˜ ™Ð" ß ! ß " ß !Ñ Bœ:

˜ ™Ð ß ß ß "ÑA Î A − W$ " $# # # solución del sistema homogeneo.‘ œ

!



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(2.13.2) Considere el sistema de ecuaciones:

#B C D A œ "

B #C D %A œ #

B (C %D ""A œ &

a) Escriba la representación matricial del sistema.SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar en la forma ; dondeE\ œ F

E œ à \ œ à F œ# " " " "" # " % #" ( % "" &

BCDA

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò


2°) La representación matricial del sistema es:



# " " " "" # " % #" ( % "" &

BCDA

œ

b) Determine si el sistema tiene solución.SOLUCIÓN:

1°) Verificar que se cumpla ; para loVERKS E œ VERKS E F ‘ ¸ ‘cual se debe estudiar , ya que a la vez determinamosVERKS E F ¸ ‘VERKS E ‘ y la solución del sistema de corresponder.

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò# " " " " " # " % #" # " % # ! & $ ( $" ( % "" & ! & $ ( $

JJ Ð #ÑJJ Ð "ÑJ

Ä"#

# "

$ "

J J

JÄ ! "

" # " % #

! ! ! ! !

$ #"& #

$ ( $& & &

Î ÑÏ Ò

Por lo tanto

VERKS E œ VERKS E F œ # ‘ ¸ ‘

2°) Luego, el sistema tiene solución.



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SOLUCIÓN:

1°) Tomando Î ÑÏ Ò" # " % #

! "

! ! ! ! !

$ ( $& & & de lo anterior, resta solo

J Ð #ÑJ Ä" #

Î ÑÐ ÓÏ Ò" !

! "

! ! ! ! !

" ' %& & &$ ( $& & &


B D A œ" ' %

& & &

C D A œ$ ( $

& & &

! œ !


W œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ D A ß C œ D A1

˜ ™‘% % " ' $ $ (& & & & & &

d) Si corresponde; exprese c) como .W œ B W1 : !

˜ ™SOLUCIÓN:

W œ ÐBß Cß DßAÑ − ÎB œ D A ß C œ D A1

˜ ™‘% % " ' $ $ (& & & & & &

W œ Ð D Aß D Aß D ßAÑ Î D à A −1

˜ ™% " ' $ $ (& & & & & & ‘

W œ Ð ß ß !ß !Ñ Ð ß ß "ß !ÑD Ð ß ß !ß "ÑAÎDßA −1

˜ ™% $ " $ ' (& & & & & & ‘

W œ 1

˜ ™ ˜ ™Ð ß ß !ß !Ñ Ð ß ß "ß !ÑD Ð ß ß !ß "ÑAÎDßA −% $ " $ ' (& & & & & & ‘

donde: solución particular del sistema, y˜ ™Ð ß ß !ß !Ñ B% $& & œ ˜ ™

:

˜ ™Ð ß ß "ß !ÑD Ð ß ß !ß "ÑAÎDßA − W" $ ' (& & & & ‘ œ

!solución del sistema

homogeneo.



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(2.13.3) Considere el sistema homogeneo de ecuaciones: B %C D œ !

#B C &D œ !

a) Escriba la representación matricial del sistema.SOLUCIÓN:

1°) Se debe expresar en la forma ; dondeE\ œ F

E œ à \ œ à F œ" % "# " &

B !C !D !

Œ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

2°) La representación matricial del sistema homogeneo es:

Œ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

" % "# " &

B !C !D !œ

b) Determine si el sistema tiene solución.SOLUCIÓN: UN SISTEMA HOMOGENEO SIEMPRE TIENE SOLUCIÓN


SOLUCIÓN:

1°) Œ Œ " % " " % "# " & ! ( $

ÄJ Ð #ÑJ# "

J"( #Ä Ä" % "

! "

" !

! " Œ $

(

"*($(

J Ð %ÑJ" #


B D œ !"*

(

C D œ !$

(


W œ ÐBß Cß DÑ − ÎB œ D ß C œ D1

˜ ™‘$ "* $( (

W œ Ð Dß Dß DÑ Î D − Ð ß ß "Ñ DÎ D −1

˜ ™ ˜ ™"* $ "* $( ( ( (‘ ‘œ



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(2.13.4) Considere el sistema homogeneo de ecuaciones:

5B C D œ "

B 5C D œ "

B C 5D œ "

Determine para que el sistema en 5 B ß C ß D À− ‘

i ) tenga solución única en . ‘$

ii ) no tenga solución en ‘$ Þ iii ) tenga infinitas soluciones en .‘$

SOLUCIÓN:1°) Formar la matriz aumentada:

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò5 " " " J" 5 " " J 5J Ð5 Á !Ñ" " 5 " J J

Ä

" 5 " "

! " 5 " 5 " 5! " 5 5 " !

"#

# "

$ "

#

""5 #

""5 $

#$

" #

$ #

J

J Ð5 Á "Ñ

J

Ä Ä" 5 " " J Ð 5ÑJ " ! " 5 "! " " ! J Ð" 5ÑJ ! " " !! " 5 " " Ð5 Á "Ñ ! ! # 5 "


2°) Por lo tanto:i ) tenga solución única en ‘$: dada por 5 Á # à " W œ ˜ ™( " " "

#5 #5 #5ß ß Ñ

ii ) no tenga solución en ‘$: , ya que 5 œ # V+819ÐEÑ Á V+819ÐE àFÑ

iii ) tenga infinitas soluciones en :‘$

dada por5Þ œ " W œ ˜ ™(B ß C ß DÑÎB œ " C D à Cß D − ‘

W œ ˜ ™(" C D ß C ß DÑÎ Cß D − ‘

(W œ ˜ ™"ß !ß !Ñ Ð "ß "ß !ÑC Ð "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘

(W œ ˜ ™ ˜ ™"ß !ß !Ñ Ð "ß "ß !ÑC Ð "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘

donde: solución particular del sistema, y˜ ™("ß !ß !Ñ œ ˜ ™B:

˜ ™Ð "ß "ß !ÑC Ð "ß !ß "ÑDÎ Cß D − ‘ œ W!

solución del sistema homogeneo.



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 03: (02 HORAS EJERCICIO)

GUÍA DE ESTUDIO N° 3

1. Dadas las matrices en `8B8À E œ à

3 3 #3$3 %3 &3! 3 3

Î ÑÏ Ò

F œ à G œ à H œ! # " ! ! #3 " # $$ ! & $3 3 ! " " #( ' ! ! #3 %3 ! " #

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò;

I œ à J œ à K œ3 # , ! ! !" 3 ! ! ! -

=/8 -9= !-9= =/8 !! ! "

! + ! !

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Œ Î ÑÏ Ò


@ @

@ @

L œ à M œ

# ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

+ ! ! ! !! ! , ! !! ! ! ! -! ! ! . !! / ! ! !

Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò


(1.1) Determine el determinante de cada matriz.(1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz.(1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz.(1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa de cadamatriz.

2. Dada las siguientes ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,ß -ß .I" À #B $C œ " I# À B C D œ ! I$ À #B C D A œ # I% À +B ,C œ - I& À +B ,C -D .A œ ! Para cada una de estas ecuaciones; determine:(2.1) dos soluciones particulares.(2.2) una que NO sea solución.8?:6+(2.3) TODAS las soluciones.(2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

3.(3.1) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales para lasvariables ? à @ ÀW" À #? @ œ &, W# À +? ,@ œ + , # #

$? #@ œ (+ %, #,? +@ œ #, $+, +# #

(3.2) Dado los sistemas de ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,ß -ß .W" À +B ,C œ - W# À +B ,C œ - W$ À +B ,C œ - +B ,C œ - ,B +C œ - ,B +C œ .



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Determine las condiciones sobre:a) para que el sistema tenga SOLUCIÓN ÚNICA. + C , W"b) ; y para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES.+ , - W#c) para que el sistema NO TENGA SOLUCIÓN. + à , à - C . W$

4. Dado los siguientes sistemas de ecuaciones lineales ÀW" À #B $C œ ( W# À $B C œ ' W$ À %B #C œ & $B C œ & #B $C œ ( &B $C œ #

W% À B #B &B œ * W& À #B B #B œ ) " # $ " # $

B B $B œ # B #B $B œ *" # $ " # $

$B 'B B œ #& $B B %B œ $" # $ " # $

W' À B #B $B œ % W( À #B $B $B œ ! " # $ " # $

B $B B œ "" (B (B B œ )" # $ " # $

#B &B %B œ "$ &B B œ %" # $ # $

#B 'B #B œ ## %B B B œ #" # $ " # $

W) À B #C $D A œ $ W* À $B #B "'B &B œ ! " # $ %

$B #C D A œ ( #B "!B )B œ !# $ %

#C %D A œ " B B (B $B œ !" # $ %

B C D A œ %

W"! À #B C #D $A œ " W"" À B #C #D $A œ # $B #C D #A œ % #B %C $D %A œ & $B $C $D $A œ & &B "!C )D ""A œ "#Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine:(4.1) dos soluciones particulares si existen.(4.2) una que NO sea solución.8?:6+(4.3) TODAS las soluciones y verifíquelas.(4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

5. Dado los siguientes sistemas:W" À 5B C D œ " W# À B #C 5D œ " B 5C D œ " #B 5C )D œ $ B C 5D œ "Determine los valores de para que el sistema en 5 B ß C ß D À− ‘

(5.1) tenga solución única en . (5.2) no tenga solución en ‘ ‘$ $ Þ(5.3) tenga infinitas soluciones en .‘$

6. Determine para qué valores de +ß ,ß - − ‘ ; el sistema tiene solución(6.1) B #C $D œ + #B $C D œ + (6.2) $B C #D œ , B #C $D œ , B &C )D œ - B D œ -



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7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente elsistema de ecuaciones que corresponde:

(7.1) Hace dos años un padre era 6 veces mayor que su hijo. Hallar sus

edades actuales sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el

doble que la del hijo. R: 32 y 7 .

(7.2) Cinco cuadernos y ocho lapiceros cuestan $ 115; tres cuadernos y

cinco lapiceros cuestan $ 70. Hallar el precio de cada cuaderno y cada

lapicero. R: 15 y 5.

(7.3) Hallar tres números sabiendo que el primero es igual al segundo

más la mitad del tercero; que la suma del segundo y el tercero es igual al

primero más 1, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el

tercero el resultado es 5. R: 4 , 2 y 3

(7.4) Considere el modelo de insumo-producto de Leontief con tres

industrias: W* À B B B / œ B" " "$ # '" # $ " "

" " "% % )" # $ # #B B B / œ B

" " ""# $ '" # $ $ $B B B / œ B

donde las demandas externas son / œ "! à / œ "& à / œ $!Þ" # $

Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea igual a lademanda. (7.5) Una inversionista le informa a su corredor de bolsa que todas susacciones son de las compañías OPI, SAMU y ORT; además le avisa quehace dos días su valor bajó en $ 350, pero que ayer aumentó $ 600. Elcorredor recuerda que hace dos días el precio de las acciones de API bajó$ 1 por acción; las de SAMU bajó $ 1.50 por acción, pero el precio de lasacciones de ORT subieron $ 0.50 por acción. También recuerda que ayerel precio de las acciones de API subieron $ 1.50 por acción; las deSAMU bajó $ 0.50 por acción, pero el precio de las acciones de ORTsubieron $ 1 por acción. Demuestre que el corredor no tiene informaciónsuficiente para calcular el número de acciones de la inversionista en cadacompañía, pero que si ella informa que tiene 200 acciones de ORT; elcorredor puede calcular el número de acciones de API y SAMU queposee la inversionista.

8. Determinar el valor de 5 − ‘ para que el sistema en B ß C ß D ß A À #B C D A œ " B #C D %A œ # B (C %D ""A œ 5tenga solución en . ‘%



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SEMANA N° 03: (02 HORAS EJERCICIO)

TALLER N° 3

1. Dadas las matrices en ` ‘ ‚8B8Ð Ñ ó À E œ à

! " # " " $! # "

Î ÑÏ Ò

F œ à G œ à H œ3 #3 $3 " 3 !3 3 #3 3 ! "! 3 #3 ! " 3 " 3

" 3 !! " 3

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï ÒŒ

I œ à J œ

# ! $ " + , ! !! " % # - . ! !! ! " & ! ! + ," # $ ! ! ! - .

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

(1.1) Determine el determinante de cada matriz.(1.2) Encuentre la matriz de los cofactores para cada matriz.(1.3) Encuentre la matriz adjunta de cada matriz.(1.4) Calcule usando lo anterior y cuando corresponda la inversa de cadamatriz.

2. Dada las siguientes ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,I" À #B $C D œ " I# À #B +C ,D $A œ ! Para cada una de estas ecuaciones; determine:(2.1) dos soluciones particulares.(2.2) una que NO sea solución.8?:6+(2.3) TODAS las soluciones.(2.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales ( constantes):+ß ,ß -ß .ß /ß 0 +B ,C œ - .B /C œ 0Determine las condiciones sobre :+ß ,ß -ß .ß /ß 0(3.1) para que el sistema tenga SOLUCIÓN ÚNICA. (3.2) para que el sistema tenga INFINITAS SOLUCIONES.(3.3) para que el sistema NO TENGA SOLUCIÓN.

4. Dado los siguientes sistemas de ecuaciones lineales ÀW" À B C $D œ " W# À B œ C #D #B C #D œ " #C œ B $D " B C D œ $ D œ #C #B $ B #C $D œ "



PÁG. 23



W$ À B B B œ # W% À " # $B$ #

C D œ (

B $B #B œ "" # $B D% # #

$C œ ' $B &B $B œ %" # $

B D' % $

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W& À œ & W' À œ ! " " " # # $B C D B C D

# $ % $ " % ""B C D B C D ' œ "" œ

$ # " % # 'B C D B C D œ ' œ #

W( À B #C D @ A œ ! W) À #B %B (B %B &B œ ! " # $ % &

#B C D #@ $A œ ! *B $B #B (B B œ ! " # $ % &

$B #C D @ #A œ ! &B #B $B B $B œ ! " # $ % &

#B &C D #@ #A œ ! 'B &B %B $B #B œ ! " # $ % &

(AYUDA: En y hacer: )W& W' ß ? œ à @ œ à A œ" " "B C D

Para cada uno de estos sistemas de ecuaciones; determine:(4.1) dos soluciones particulares si existen.(4.2) una que NO sea solución.8?:6+(4.3) TODAS las soluciones.(4.4) EL CONJUNTO SOLUCIÓN.

5. Dado los siguientes sistemas:W" À B C 5D œ # W# À B $D œ $ $B %C #D œ 5 #B 5C D œ # #B $C D œ " B #C 5D œ "Determine los valores de para que el sistema en 5 B ß C ß D À− ‘

(5.1) tenga solución única en . (5.2) no tenga solución en ‘ ‘$ $ Þ(5.3) tenga infinitas soluciones en .‘$

6. Determine para qué valores de +ß ,ß - − ‘ ; el sistema tiene soluciónen . ‘$ B #C %D œ + #B $C D œ , $B C #D œ -

7. Resolver los siguientes problemas; planteando claramente elsistema de ecuaciones que corresponde:

(7.1) Un comerciante liquida sus existencias de lapiceros y gomas por

$ 1000; los primeros los vende a razón de $ 10 el conjunto de tres

lapiceros, y las segundas a $ 2 cada una. Sabiendo que vendió solamente

la mitad de los lapiceros y las dos terceras partes de las gomas;

recaudando en total $ 600. Hallar las unidades que vendió de cada uno de

los artículos citados. R: 120 y 300.

(7.2) Hallar dos números cuya suma es 28 y su diferencia es 12. R: 20 y 8.



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 3:

PROBLEMA 1: (1.1) TALLER N° 3: 1. D RESPUESTA:

Ð"Þ"Ñ Ð"Þ#Ñ # " 3 " 3 " 3 " 3 " 3 " 33 " "

Î ÑÏ Ò

Ð"Þ$Ñ +.4H œ Î ÑÏ Ò " 3 " 3 3" 3 " 3 "" 3 " " "

Ð"Þ%Ñ ./>H Á !Þ Es invertible, ya que

H œ" " 3 " 3 3" 3 " 3 "" 3 " " "

"#

Î ÑÏ Ò

(1.2) : 1. FTALLER N° 3 RESPUESTA:

Ð"Þ"Ñ Ð+. ,-ÑÐ+. ,-Ñ

Ð"Þ#Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò.Ð+. ,-Ñ -Ð+. ,-Ñ ! ! ,Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ ! !

! ! .Ð+. ,-Ñ -Ð+. ,-Ñ! ! ,Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ

Ð"Þ$Ñ

+.4J œ

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò.Ð+. ,-Ñ ,Ð+. ,-Ñ ! ! -Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ ! !

! ! .Ð+. ,-Ñ ,Ð+. ,-Ñ! ! -Ð+. ,-Ñ +Ð+. ,-Ñ



PÁG. 25



Ð"Þ%Ñ Si Entonces no es invertible../>J œ JÐ+. ,-ÑÐ+. ,-Ñ œ !.

Si Entonces es invertible y ./>J œ JÐ+. ,-ÑÐ+. ,-Ñ Á !.

J œ"


. ,+.,- +.,-- +

+.,- +.,-. ,

+.,- +.,-- +

+.,- +.,-

! !

! !

! !

! !

PROBLEMA 2: (2.1) TALLER N° 3: 4. S5 RESPUESTA: Sean ? œ à @ œ à A œ" " "

B C D

? œ # à @ œ $ à A œ ' Ê B œ à C œ à D œ" " "# $ '

Ð%Þ"Ñ Ð%Þ#Ñ no existen Ð!ß !ß !Ñ Â W

Ð%Þ$Ñ W œ Ð%Þ%Ñ W œ ˜ ™ ˜ ™Ð ß ß Ñ Ð ß ß Ñ" " " " " "# $ ' # $ '

(2.2) : 4. S8TALLER N° 3 RESPUESTA:

1º) Formar la matriz

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò# % ( % & !* $ # ( " !& # $ " $ !' & % $ # !

2º) Para obtener la matriz escalonada reducida por filas


" ! ! ! !

! " ! ! !

! ! " ! !

! ! ! " !

"*"$&""##($"#(("""##($(%#'"""##($"'(#'""

Ê B œ B à B œ B à " & # &"*"$& "#(("""##($ ""##($

B œ B à B œ B$ & % &(%#'" "'(""##($ #'""

Ð%Þ"Ñ B œ ! Ê Ð!ß !ß !ß !ß !Ñ& B œ ""##($ Ê Ð "*"$&ß "#(("ß (%#'"ß (")"ß ""##($Ñ& Ð%Þ#Ñ Ð!ß !ß !ß !ß "Ñ Â W



PÁG. 26



Ð%Þ$Ñ W œ ˜Ð B ß B ß B ß B ß B Ñ − ÎB œ B à" # $ % & " && "*"$&

""##($‘ B œ B à B œ B àB œ B# & $ & % &

"#((" (%#'" "'(""##($ ""##($ #'""

™Ð%Þ%Ñ W œ ˜Ð B ß B ß B ß B ß B Ñ − ÎB œ B à" # $ % & " &

& "*"$&""##($‘

B œ B à B œ B àB œ B# & $ & % &"#((" (%#'" "'(""##($ ""##($ #'""

™PROBLEMA 3: TALLER N° 3 : 5. S1 RESPUESTA:

1º) Formar la matriz Î ÑÏ Ò" " 5 #$ % # 5# $ " "


Î ÑÏ Ò" ! # %5 ) 5! " # $5 5 '! ! $ 5 $ 5

Ð&Þ"Ñ es la solución5 Á $ Ê Ð' $5ß % #5ß "Ñúnica del sistema para un 5 0349ÞÐ&Þ#Ñ SIEMPRE TIENE SOLUCIÓN para 5 − Þ‘ Ð&Þ$Ñ 5 œ $ Ê ÐB ß C ß D Ñ − ÎB œ & "!D à C œ $ (D W œ ˜ ™‘$

PROBLEMA 4: TALLER N° 3 : 6. RESPUESTA:

1º) Formar la matriz Î ÑÏ Ò" # % +# $ " ,$ " # -


Î ÑÐ ÓÏ Ò" ! !

! " !

! ! " + , -

(+),"!-(

(+"!,*-(

Ê W œ Ð ß ß + , - Ñ Î+ß ,ß - −˜ ™(+),"!- (+"!,*-( ( ‘

PROBLEMA 5: TALLER N° 3 : (7.1) RESPUESTA: 120 lápices y 300 gomas.



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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 17 DE ABRIL DE 2007: 12:45-14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __11PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el siguiente determinante:

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â # ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ! " # " " $! # "

Î ÑÏ Ò

PONDERACIONES: (4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE EL DESARROLLO ANALÍTICO DE CADA UNA DE SUS RESPUESTAS!!



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PAUTA CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605) SECCIÓN__ __11

PREGUNTA 4: (4.1) : (DOS FORMAS)SOLUCIÓNa) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 1 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â # ! ! (" # " %$ ! " &% # $ !

œ Ð "Ñ + ./>Q Ð "Ñ + ./>Q"" "%"" "" "% "%

œ Ð #Ñ./> (./># " % " # "! " & $ ! "# $ ! % # $

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò %

(por columna 1) (por fila 2)

œ Ð #Ñ #./> #./> " & " %$ ! " &

‘Œ Œ ( $./> ./>

# " " ## $ % #

‘Œ Œ #

œ Ð #Ñ $! # ( #% ' œ '% #"! œ #(% ‘ ‘ #O TAMBIÉN:b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â # ! ! ( " " " % " " " %" # " % # ! ! ( ! # ! ($ ! " & $ ! " & ! $ " &% # $ ! % " $ ! " % $ !

œ # œ #

"# # "# "#G à J G %

œ # œ # œ #

" " " %! # ! (! $ " &! $ % %

# ! ( ! # ($ " & " $ &$ % % % $ %

â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â J Ð "ÑJ Ð "ÑG à G% " # "#

œ # œ # œ #(%" $ & " $ &! # ( ! # ( % $ % ! "& "'

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â %

J J %J"# $ "



PÁG. 29



(4.2) : SOLUCIÓN1º) donde MATRIZ DE COFACTORES ÐE Ñ E œ Ð "Ñ ./>Q34 34 34

34

E œ ./> œ & E œ ./> œ "" $ " $# " ! """ "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ $ " " " #! # # ""$ #"Œ Œ

E œ ./> œ ! E œ ./> œ !! # ! "! " ! ### #$Œ Œ

E œ ./> œ " E œ ./> œ #" # ! #" $ " $$" $#Œ Œ

E œ ./> œ "Þ! " " "$$ Œ &

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ& " # $ ! ! " # "

Î ÑÏ Ò

2º) MATRIZ ADJUNTA:

F œ +.4 ÐEÑ œ& $ " " ! # # ! "

>Î ÑÏ Ò #



PÁG. 30



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 17 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __12PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:

(4.1) Calcule el siguiente determinante

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â( ! " #% # $ "& ! ! $! # " %

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ" " $# # ! % & !

Î ÑÏ Ò





PÁG. 31




PREGUNTA 4: (4.1) : (DOS FORMAS)SOLUCIÓNa) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por columna 2 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â( ! " #% # $ "& ! ! $! # " %

œ Ð "Ñ + ./>Q Ð "Ñ + ./>Q## %### ## %# %#

œ #./> #./>( " # ( " #& ! $ % $ "! " % & ! $



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‘Œ Œ # &./> $./>

" # ( "$ " % $

‘Œ Œ #

œ # #" $! # #& (& œ "!# #!! œ $!# ‘ ‘ #O TAMBIÉN:b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â( ! " # " ! ( # " ! ( #% # $ " $ " % " ! " #& && ! ! $ ! ! & $ ! ! & $! # " % " " ! % ! " ( '

œ # œ #

"# # "$ # " % " " % #G à G J $J àJ J "J àJ J

%

œ # œ # œ #

" ! ( #! " #& & & $! ! & $ $# ""! ! $# ""

" #& &! & $! $# ""

â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ âº º

œ #Ð&& *'Ñ œ $!# %



PÁG. 32



(4.2) : SOLUCIÓN E œ" " $# # ! % & !

Î ÑÏ Ò

1º) donde MATRIZ DE COFACTORES ÐE Ñ E œ Ð "Ñ ./>Q34 34 3434

E œ ./> œ ! E œ ./> œ ! # ! # !& ! % !"" "#Œ Œ

E œ ./> œ # E œ ./> œ "&# # " $ % & & !"$ #"Œ Œ

E œ ./> œ "# E œ ./> œ "" $ " " % ! % &## #$Œ Œ

E œ ./> œ ' E œ ./> œ ' " $ " $ # ! # !$" $#Œ Œ

E œ ./> œ !Þ" "# #$$ Œ &

Por lo tanto; la matriz de cofactores es: F œ! ! #"& "# "' ' !

Î ÑÏ Ò


F œ +.4 ÐEÑ œ! "& '! "# '# " !

>Î ÑÏ Ò #



PÁG. 33



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 19 DE ABRIL DE 2007: 11:15 - 12:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __14PROFESOR__ __CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â # ! ( "$ # % $# ! & ! " $ ( #

(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ % & !# # $# # !

Î ÑÏ Ò





PÁG. 34




PREGUNTA 4: (4.1) : (DOS FORMAS)SOLUCIÓNa) POR DESARROLLO DE COFACTORES O POR MENORES: (por fila 3 que tiene más ceros)â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â # ! ( "$ # % $# ! & ! " $ ( #

œ Ð "Ñ + ./>Q Ð "Ñ + ./>Q$" $$$" $" $$ $$

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œ # #./> $./>( " ( "( # % $

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‘Œ Œ #

œ # "% (& & #' "" œ "() (& œ #&$ ‘ ‘ #O TAMBIÉN:b) POR APLICACIÓN DE OPERACIONES ELEMENTALES:â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â # ! ( " " $ ( # " $ ( #$ # % $ $ # % $ ! "" #& $# ! & ! # ! & ! ! ' "* % " $ ( # # ! ( " ! ' ( $

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(4.2) : SOLUCIÓN E œ % & !# # $# # !

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 19 DE ABRIL DE 2007: 12:45 - 14:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __13PROFESOR__ __ERICK GONZÁLEZ GAJARDO

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 18 DE ABRIL DE 2007: 15:45 - 17:05 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__21__PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ! & %$ # #! # #

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 18 DE ABRIL DE 2007: 14:15 - 15:35 CONTROL N° 1: ÁLGEBRA LINEAL (MAT-605)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__2 __2PROFESOR__ __RENÉ ALZAMORA ANTIQUERA

(4.1) (4.2)

TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:


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(4.2) Encuentre la matriz adjunta de E œ Þ! & % # $ # # ! #

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53784 semana 3 matriz adjunta y sistemas de ecuaciones

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