5.3 Funciones Especiales• Ecuación de Bessel de orden v

(1)donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel.

• Lengender’s Equation de order n(2)

donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.

0)( 222 yvxyxyx

0)1(2)1( 2 ynnyxyx

La Solución de la Ecuación de Bessel

• Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1),

(3)

0nrn

nxcy

0

2

1

22220

0

22

1

220

00

22

00

222

])[()(

])()1)([()(

)()1)((

)(

n

nn

r

n

nn

rr

n

nn

rn

nn

rr

n

rnn

n

rnn

n

rnn

n

rnn

xcxxvrncxxvrc

xcxxvrnrnrncxxvrrrc

xcvxcxrncxrnrnc

yvxyxyx

De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos

(1 + 2v)c1 = 0(k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0

ó (4)

La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos

(5)

,2,1,0,)22)(2(2

k

vkkcc k

k

)(2222

2 vnncc n

n

Así

(6)

,3,2,1,)()2)(1(!2

)1(

)3)(2)(1(3212)3(32

)2)(1(212)2(22

)1(12

20

2

60

24

6

40

22

4

20

2

nvnvvn

cc

vvvc

vcc

vvc

vcc

vcc

n

n

n

．．．．

．．．

．．

Elegimos c0 como valor específico

donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante:

(1 + ) = ()Así que podemos reducir el denominador de (6):

)1(21

0 vc v

)1()1)(2()2()2()21()1()1()11(

vvvvvvvvv

De ahí que podemos poner (6) como

,...2,1,0,)1(!2

)1(22

n

nvnc vn

n

n

Funciones de Bessel de Primera Clase

• Podemos definir Jv(x) mediante

(7)

y

(8)

En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es

y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero (9)

Fig 5.3

0

2

2)1(!)1()(

n

vnn

vx

nvnxJ

0

2

2)1(!)1()(

n

vnn

vx

nvnxJ

Fig 5.3

Ejemplo 1

• Considere la ED

Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es

0)1/4('" 22 yxxyyx

)()( 1/221/21 xJcxJcy

Funciones de Bessel de Segunda Clase

• Si v entero, entonces

(10)

y la función Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x).

• Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la función

y Jv(x) soluciones linealmente independientes de

vxJxJvxY vv

v sin)()(cos)(

)(lim)( xYxY vmvm

0)('" 222 ymxxyyx

De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es

(11)

Yv(x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).

)()( 21 xYcxJcy vv

Fig 5.4

Ejemplo 2

• Considere la ED

Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es

0)9('" 22 yxxyyx

)()( 3231 xYcxJcy

EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel

• Sea t = x, > 0, en

(12)entonces por la regla de la cadena,

0)( 2222 yvxyxyx

dtdy

dxdt

dtdy

dxdy

2

22

2

2

dtyd

dxdt

dxdy

dtd

dxyd

• Así, (12) pasa a ser

La solución de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t)Sea t = x, tenemos

y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)

0

0

222

22

222

22

2

yvtdtdyt

dtydt

yvtdtdyt

dtydt

• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v,

(14)

• Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en

Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como(15)

0)( 222 yvxyxyx

0)( 222

22 yt

dtdyt

dtydt

)()( ixJixI

• Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v entero se define como

(16)

y para cualquier v = n entero,

Puesto que Iv y Kv son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es

(17)

sin)()(

2)( xIxIxK

)(lim)( xKxKnn

)()( 21 xKcxIcy

• Consideramos otra ED importante:

(18)

La solución general de (18) es

(19)

Aquí no se especifican los detalles.

0 ,0212

2222222

pyxcpaxcby

xay c

)]()([ 21c

pc

pa bxYcbxJcxy

Ejemplo 3

Hallar la solución general de en (0, )SoluciónEscribiendo la ED como

recurriendo to (18)1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0

luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2.De (19) la solución es

093 yyyx

093 yx

yx

y

)]6()6([ 2/122

2/121

1 xYcxJcxy

Ejemplo 4

• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8

Se debe comprobar que tomando

se tiene

0 ,0 xkexm t

2/ 2 tenks

022

22 xs

dsdxs

dsxds

Ejemplo 4 (2)

La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s),

Si volvemos a sustituir

obtenemos la solución.

2/ 2 tenks

2/

022/

0122)( tt emkYce

mkJctx

Propiedades

• (1)

• (2)

• (3)

• (4)

)()1()( xJxJ mm

m

)()1()( xJxJ mm

m

0,10,0

)0(mm

Jm

)(lim

0xYmx

Ejemplo 5

Obtener la fórmula SoluciónDe la ecuación (7) se deduce

1

1

120

2

0

20

2

2)1()!1()1()(

2)1(!)1(2

2)1(!)1(

2)1(!)2()1()(

nk

n

vnn

v

n

vnn

n

vnn

n

vnn

v

xnvn

xxvJ

xnvn

nxnvn

v

xnvnvnxJx

)()()(' 1 xxJxvJxxJ vvv

Ejemplo 5 (2)

)()(2)2(!

)1()(

1

0

12

xxJxvJ

xkvk

xxvJ

vv

k

vkk

v

• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como

que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene

(20)

Se puede demostrar que(21)

Cuando y = 0, se deduce del (14) que(22)

)()()( 1 xJxJxvxJ vvv

)()]([ 1 xJxxJxdxd

vv

vv

)()]([ 1 xJxxJxdxd

vv

vv

,)()( 10 xJxJ )()( 10 xYxY

Funciones de Bessel Esféricas

• Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es,

1/2, 3/2, 5/2, …..La función de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como función de Bessel esférica :

Como (1 + ) = () y (1/2) = ½, entonces

0

2/12

2/1 2)2/11(!)1(

)(n

nn xnn

xJ

!2)!12(

211 12 n

nn n

De ahí que

y

0

12

0

2/12

12

2/1 )!12()1(2

2!2

)!12(!

)1()(n

nn

n

n

n

n

xnx

x

nnn

xJ

(24) cos2)(

(23) sin2)(

2/1

2/1

xx

xJ

xx

xJ

La Solución de Ecuación de Legendre

• Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos

Después de sustituir y simplificar, obtenemos

o en las formas siguientes:

0n

nnxcy

0)1)(()1)(2(06)2)(1(02)1(

2

31

20

jj cjnjncjjccnnccnn

Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos

6

4201

!6)5)(3)(1()2)(4(

!4)3)(1()2(

!2)1(1)(

xnnnnnn

xnnnnxnncxy

(25) ,4,3,2,)1)(2(

)1)((!3

)2)(1(!2

)1(

2

13

02

jcjjjnjnc

cnnc

cnnc

jj

Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.

(26) !7

)6)(4)(2)(1)(3)(5(!5

)4)(2)(1)(3(!3

)2)(1()(

7

5312

xnnnnnn

xnnnnxnnxcxy

Polinomios de Legendre

• Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre:

(27) )157063(81)(),33035(

81)(

3)5(21)(),13(

21)(

)(,1)(

355

24

33

22

10

xxxxPxxxP

xxxPxxP

xxPxP

Son a su vez soluciones particulares de las EDs.

(28)

Fig 5.5

0122)1(:3

062)1(:2022)1(:1

02)1(:0

2

2

2

2

yyxyxnyyxyxnyyxyxn

yxyxn

Fig 5.5

Propiedades

• (1)

• (2)

• (3)

• (4)

• (5)

)()1()( xPxP nn

n

1)1( nP

nnP )1()1(

impar ,0)0( nPn

par ,0)0(' nP n

Relación de Recurrencia

• Sin comprobación, tenemos (29)

que es válida para k = 1, 2, 3, …Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es:

(30)

0)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk

... ,2 ,1 ,0 ,)1(!2

1)( 2 nxdxd

nxP n

n

n

nn