5.3 Derivadas parciales de orden superior. Matriz hessiana.

5.3.1 Derivadas parciales de orden superior.

Comenzamos definiendo las derivadas parciales de orden superior para una función de dos variables:

Sea → y sea ( ) ( )

Las derivadas parciales

( ) y

( ) se llaman derivadas parciales de primer orden o derivadas

parciales primeras. Estas derivadas parciales son, a su vez, funciones de dos variables. A partir de

( ) se

pueden construir dos nuevas funciones tomando las derivadas parciales con respecto a x e y. De la misma manera se

puede hacer con

( ). Las cuatro funciones así obtenidas se llaman derivadas parciales de segundo orden o

derivadas parciales segundas, de ( ) y se denotan:

( )

{

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

( )

{

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

Nota: Para funciones de más de dos variables las derivadas de segundo orden se definen de forma análoga, en general

se define

(

) ( )

Ejercicio: Dada ( ) , calcular las derivadas parciales de segundo orden en el punto ( )

1

( ) {

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) {

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

En el ejemplo vemos que las derivadas parciales cruzadas

y

coinciden, esto no es casualidad:

( ) (

)

Nota: La 1ª, 2ª y 3ª columnas son respectivamente:

2

Teorema de schwarz: Sea → y ( ) tales que

( )

( )

( ) existen en

( ) y

( ) es continua en entonces existe

( ) y se verifica:

( )

( )

Nota: (sobre la notación), sea por ejemplo →

Si queremos derivar primero respecto a la tercera variable y después respecto a la primera, se puede denotar:

( ) ( )

5.3.2 Matriz hessiana.

Sea → y ( ) tal que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en ,

definimos matriz hessiana de f en como:

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ))

(

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

)

2

Ejercicio: Obtener la matriz hessiana de ( )

Solución

( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )