MANUAL DE MATEMATICAS

CURSO PROPEDEUTICO PARA INGRESO A LICENCIATURA

5. GEOMETRÍA ANALÍTICA

5.1 Funciones: Definición, dominio y rango de funciones5.2 Ecuación de la recta: definición, ecuación general, grafica.5.3 Ecuación de la parábola: definición, ecuación general, grafica. 5.4 Ecuación de la hipérbola: definición, ecuación general, grafica.5.5 Ecuación de la circunferencia: definición, ecuación general,

grafica.5.6 Ecuación de la elipse: definición, ecuación general, grafica.

5.1 Funciones: Definición, dominio y rango de una función

Funciones: una función es una ecuación donde al menos hay dos variables, una llamada variable dependiente y la otra llamada variable independiente; la variable dependiente esta en función de la variable independiente

En una función los elementos de la variable independiente pertenecen al conjunto llamado dominio; los elementos que pertenecen a la variable dependiente son del conjunto llamado contradominio de la función. Puedes notar que siempre se hace corresponder los elementos del dominio con los del contradominio siguiendo una regla donde a cada término del dominio le corresponde un único elemento del contradominio, también llamado imagen. Ejemplo:

En la función y = x + 2 ó f(x) = x + 2, el dominio y la imagen son los siguientes:

El rango de una función se define como la cantidad de valores que puede tomar la función.Para graficar una función es necesario conocer algunos pares ordenados de ella, esto se obtiene tabulando la función, dando valores a la variable independiente y así obteniendo los valores de la dependiente, estos valores son los pares ordenados de la función. Estos valores se representan mediante

puntos en un plano cartesiano, y solo se unen estos puntos para obtener la grafica de la función.

5.2 Ecuación de la recta

Definición

La ecuación de la recta es una ecuación de primer grado, esto es, que los exponentes de las variables no son mayores a 1, y al menos tiene dos variables.

Para graficar una recta al menos hay que conocer dos puntos de ella, o un punto y la pendiente.

Ecuación General.

y = mx + b

donde m es la pendiente de la recta (es la tangente del ángulo con respecto a la horizontal). Si m es positiva la recta tendrá un ángulo de inclinación de 0° a 90° respecto a la horizontal y si es negativa tendrá un ángulo de 90° a 180°.b es el punto donde la recta cruza el eje de las y

Grafica

Ejemplo:

Grafique la función:

y = 4x + 3f(x) = 4x + 3

Antes de graficar, se puede observar que la grafica tiene una pendiente de m = 4 y que el punto donde la recta cruza el eje y es 3

Tabulando

f(-2) = 4 (-2) + 3 = -8 + 3 = -5f(3) = 4 (3) + 3 = 12 + 3 = 15

x F(x)- 23

-515

Grafica:

5.3 Ecuación de la parábola

Definición

Esta ecuación es de segundo grado, esto es, que su mayor exponente es 2, y tiene 2 variables.

Para hacer la grafica de una parábola ya es un poco mas difícil, ya que esta línea es una curva y por lo mismo, se necesita conocer varios valores de ella.

Ecuación General

y = ax2 + b

donde a indica la apertura que tiene la parábola. Si es positiva, la parábola se abrirá hacia arriba, y si tiene signo negativo, se abrirá hacia abajob es el punto de cruce sobre el eje y

Grafica

Ejemplo:

Grafique la función:

y = 2x2 - 10f(x) = 2x2 - 10

Para graficar esta función utilizaremos 5 valores para ver con un poco de certeza el comportamiento de esta parábola

Tabulando

f(-2) = 2 (-2)2 - 10 = 8 – 10 = - 2f(-1) = 2 (-1)2 - 10 = 2 – 10 = - 8f(0) = 2 (0)2 - 10 = 0 – 10 = - 10f(1) = 2 (1)2 - 10 = 2 – 10 = - 8f(2) = 2 (2)2 - 10 = 8 – 10 = - 2

x F(x)- 2-1012

-2-8-10-8-2

Grafica:

5.4 Ecuación de la hipérbola

Definición

Es una de las cónicas. Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica

Ecuación de la hipérbola

donde a es

Grafica

Ejemplo:

Grafique la función:

Para graficar esta ecuación hay que tabular con varios valores cercanos a donde se produce la indeterminación.

Tabulando:

x F(x)- 3-1

-0.5-0.1

00.10.513

-0.33-1-2-10

IND.1021

.33

Grafica:

5.5 Ecuación de la circunferencia

Definición

La circunferencia es un conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo.

Ecuación de la circunferencia

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

donde h y k son los puntos del centro de la circunferenciar es el radio de la circunferencia

Grafica

Ejemplo:

Grafique la función (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4

Para graficar esta función solamente hay que saber las coordenadas del centro de la circunferencia y el radio de la misma

centro = (1,2)radio =

Grafica:

5.6 Ecuación de la elipse

Definición

La elipse es el conjunto de puntos en el plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos es constante.

Ecuación de la elipse

donde el punto (h, k) representa el centro de la elipse si A = B, representa una circunferenciasi A > B, representa una elipse horizontalsi A < B, representa una elipse vertical

Grafica

Ejemplo:

Grafique la función

se tiene quea2 = 36 y b2 = 20a = 6 b = 4.47

y c2 = a2 – b2 c = 4

que es la distancia del centro a cada uno de los focos

Grafica: