Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemáticas

Geometría Analítica I Y su Tratamiento Metodológico

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN LEÓN

Unidad #II: La línea Recta Modulo: #7

Actividad1.1: Resuelvo mi bloque de ejercicios Tipo: Individual

Tutor: Msc. Tomás Guido Fecha de envió: 24/09/15

Dinamizadora: Yeraldin Calderón Castilla

Estudiante: José Orontes Pérez Mayorquín

Introducción:

En esta oportunidad resolveré ejercicios asignados en mi bloque de ejercicios de la unidad II

Los indicadores de logro de esta actividad son:

Plantea y resuelve ejercicios y problemas aplicados utilizando las ecuaciones de la recta.

Desarrollo:

I. Analiza las siguientes ecuaciones y encuentra las intersecciones con los ejes,

simetría, extensión, asíntotas y traza la gráfica.

17) y2 + xy - x

2 = 0 (1)

Intersección con los ejes.

Con respecto al eje “x” (y =0)

y2 + xy - x

2 = 0

(0)2 + x(0) –x

2 = 0

-x2= 0

X = ± √0

X = 0

∴ La curva corta al eje “x” en 0

Con respecto al eje “y” (x=0)

y2 + xy - x

2 = 0

y2 + (0)y –(0)

2 = 0

y2= 0

y= ± √0

y = 0

∴ La curva corta al eje “y” en 0

Simetría

Con respecto al eje “x” ( y por –y )

y2 + xy - x

2 = 0

(- y)2 + x(-y) - x

2 = 0

y2 -xy - x

2 = 0 (2)

∴ Como 1 ≠ 2 la curva no es simétrica con respecto al eje “x”

Con respecto al eje “y” ( x por –x )

y2 + xy - x

2 = 0

y2 + (-x)y- (-x)

2 = 0

y2 -xy - x

2 = 0 (3)

∴ Como 1 ≠ 3 la curva no es simétrica con respecto al eje “y”

Con respecto al origen ( x por –x ) ∧ ( y por –y )

y2 + xy - x

2 = 0

(-y)2 +(- x)(-y) –(- x)

2 = 0

y2 + xy - x

2 = 0 (4)

∴ Como 1 = 4 la curva es simétrica con respecto al origen.

Extensión

Se despeja la ecuación (1) para “x”:

y2 + xy - x

2 = 0

xy – x2 = - y

2

x(y-x) = - y2

x = −𝑦2

𝑦−𝑥

Se despeja la ecuación (1) para “y”:

y2 + xy - x

2 = 0

y2 = -xy + x

2

y2 = -x(y-x)

y = ± √−x(y − x)

Asíntotas:

No hay asíntotas ni verticales ni horizontales

Gráfico:

En el espacio

En el plano

II. Resuelve los siguiente ejercicios

8) Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan

de los puntos (- 2, 4) y (- 6, 2).

Solución:

La condición es que la distancia del punto (x,y) a los puntos A = (-2,4) y B=(-6,2) sea

siempre la misma, es decir , 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝐵𝑃̅̅ ̅̅

Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos:

𝐴𝑃̅̅ ̅̅ = 𝐵𝑃̅̅ ̅̅

√(𝑥 − (−2))2

+ (𝑦 − 4)2 = √(𝑥 − (−6))2

+ (𝑦 − 2)2

√(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = √(𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 2)2

(√(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2)2

= (√(𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 2)2)2

(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 4)2 = (𝑥 + 6)2 + (𝑦 − 2)2

X2 + 4x + 4 + y

2 - 8y + 16 = x

2 +12x +36 + y

2 - 4 y +4 (ley de la cancelación)

4x -8y +16 = 12x +36 -4y (Lqqd)

4x -8y +16 -12x -36 +4y = 0 (igualando a cero la ecuación)

-8x – 4y -20 = 0 (Simplificando términos semejantes)

(-1) -8x – 4y -20 = 0 (multiplicando por (-1) la ecuación

8𝑥

4 +

4𝑦

4 +

20

4 = 0 (Dividiendo por cuatro la ecuación)

La ecuación del lugar geométrico es : 2x + y + 5 = 0 (Lqqd)

Gráfico:

III. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto indicado y de pendiente dada

7) (0, 0) y m = 4/3

Ecuación Punto-Pendiente

y - y1 = m(x - x1)

𝑌 − 0 =4

3(𝑋 − 0)

𝑌 =4

3 𝑥

3y = 4x

4x -3y = 0

IV. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos

14) (3, 7), (- 4, 3)

Ecuación Forma Punto-Punto

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 7 = 3 − 7

−4 − 3(𝑥 − 3)

𝑦 − 7 = −4

−7(𝑥 − 3)

𝑦 − 7 = 4

7(𝑥 − 3)

7(𝑦 − 7) = 4(𝑥 − 3)

7𝑦 − 49 = 4𝑥 − 12

4x -12 + 49 -7y = 0

4x – 7y + 37 = 0

V. Obtener la ecuación en las formas simétrica y pendiente – ordenada al origen de

cada una de las rectas descritas y trazar sus gráficas.

13) Pasa por (5, 6) y es paralela a la recta que pasa por (- 4, 0 ) y (1, -6)

Solución:

L1 : Recta conocida C = (-4,0) y D = (1,-6)

L2 : Recta solicitada M = (5,-6)

Calculamos la pendiente de L1 : m = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

−6−0

1−(−4)=

−6

5

Para que dos rectas sean párlelas se debe cumplir la condición : L1 //L2 ⟺ 𝑚1 = 𝑚2

Aplicando el modelo punto-pendiente en L2 para encontrar la recta solicitada:

y – y1 = m(x - x1)

y – (-6) = −6

5(x - 5)

y + 6= −6

5x +

6

5 *5)

y + 6 = −6

5x + 6

y + 6

5𝑥 = 0

Analicemos su forma simétrica:

Sea a ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0 los segmentos de una recta

L1 : C = (-4,0) y D = (1,-6)

a = - 4 y b = -6

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1, 𝑐𝑜𝑛 a ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0

𝑥

−4+

𝑦

−6= 1

(-12)( 𝑥

−4+

𝑦

−6= 1)

−12𝑥

−4+

−12𝑦

−6= −12

3x + 2y = -12

L2 : Recta solicitada D(5,-6)

Y = −6

5𝑥

Encontrando los intersectos:

Si x = 0 ⟹ 𝑦 = 0 ∴ 𝑃 = (0, 0)

Si y = 0 ⟹ 𝑥 = 0 ∴ K = ( 0, 0 )

A = (0,0) y B = (0, 0 )

a = 0 y b = 0

𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1, 𝑐𝑜𝑛 a ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0

𝑥

0+

𝑦

0= 1

En este caso la forma simétrica no puede usarse solo se conoce un punto, el origen, lo cual

no es suficiente para determinar la ecuación de una recta. ya que a = 0 y b = 0

Comprobemos con GeoGebra los cálculos en la gráfica.

VI. Resolver los siguientes Problemas, grafique e intérprete su resultado.

6) La velocidad de una partícula en un tiempo de 2 segundos es de 5 m/s y para un

tiempo de 8 segundos se mueve a razón de 14 m/s. Determinar la ecuación que

relaciona la velocidad de la partícula en función del tiempo.

Veamos os datos del problema:

𝑡0 = 2𝑠 ∧ 𝑡𝑓 = 8𝑠

𝑣0 =5𝑚

𝑠 ∧ 𝑣𝑓 =

14𝑚

𝑠

Calculando la aceleración en ese intervalo de tiempo:

𝑎 = △𝑣

△𝑡 =

𝑣𝑓−𝑣0

𝑡𝑓−𝑡0

𝑎 = 14𝑚/𝑠−5𝑚/𝑠

8𝑠−2𝑠

𝑎 = 9𝑚/𝑠

6𝑠

𝑎 = 3

2 𝑚/𝑠2

Expresando la ecuación que relaciona la velocidad de la partícula en función del

tiempo:

V = 𝑣0 + 𝑎𝑡

V = 5m/s + (3

2𝑚/𝑠2) 𝑡

V = 5 + 3

2 𝑡 [

𝑚

𝑠]

AUTORREFLEXION

Me gusto realizar los ejercicios de esta actividad, me ayudo a profundizar mejor

mis conocimientos en cuanto a las formas diferentes de obtener una ecuación de la

recta. También me disculpo por la entrega a trazada de esta actividad, debido a

situaciones tragicas que no puedo controlar…gracias por su apoyo y comprensión.

BIBLIOGRAFIA

o Matemática Introductoria./Carlos J Walsh M

o Algebra y trigonometría con geometría Analíticas /Carl W SWOKOWWSKI

o www. MatemáticaBasica.com

o Módulo de Geometría Analítica I y su tratamiento metodológico

o Matemáticas Simplificadas.