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UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA (ICAI)

INGENIERO EN AUTOMTICA Y ELECTNICA

INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE CARRERA

CONTROL DE UN ROBOT PLANO PARA TAREAS

REPETITIVAS

AUTOR: Vctor Izaga Maas

MADRID, Junio de 2010

Autorizada la entrega del proyecto al alumno:

Vctor Izaga Maas

LOS DIRECTORES DEL PROYECTO

Aurelio Garca Cerrada

Fdo. Fecha:

Juan Luis Zamora Macho

Fdo. Fecha:

V B del Coordinador de Proyectos

lvaro Snchez Miralles

Fdo. Fecha:

II



INGENIERO EN AUTOMTICA Y ELECTRNICA INDUSTRIAL

A mi madre

III




AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a mis directores de proyecto, Aurelio

Garca Cerrada y Juan Luis Zamora Macho todo el apoyo

que me han dado a lo largo de este ao. Gracias por todas

las tutoras semanales que han dedicado a resolver dudas

y todas las ideas que me han ido proporcionando para

poder hacer posible este proyecto.

Gracias a Javier Roldn Prez, ya que gran parte del

trabajo realizado se ha basado en estudios anteriores

realizados por l sobre el control repetitivo. Tambin

gracias por las ilustraciones utilizadas de su proyecto,

algunas modificarlas e incluirlas en el proyecto.

Gracias a mi madre, a mi hermano y a mi familia, todo

el apoyo incondicional que me han dado, animndome y

apoyndome en el da a da.

Parte del trabajo realizado en este proyecto no habra

sido posible sin el apoyo de un gran nmero de amigos,

que me han ayudado y animado.

Por ltimo quiero agradecer a los miembros del taller,

Jos y Antonio, que me han ayudado a solucionar los

problemas mecnicos presentes en la maqueta del robot y

que siempre han estado ah para lo que fuese necesario.

IV




RESUMEN DEL PROYECTO

Debido a las exigencias de calidad y rapidez en los sistemas de

produccin, se ha generalizado el uso de robots manipuladores en muchas

aplicaciones en la industria. Para cubrir dichas exigencias es necesario que el

robot manipulador cuente con tcnicas de control ms avanzadas y precisas.

Se han utilizado muchas estrategias para el control de robots en los ltimos

aos. Los robots industriales utilizan normalmente el control clsico tipo PID.

Pero los brazos manipuladores, los cuales se componen de varias articulaciones,

poseen una dinmica altamente no lineal con un fuerte acoplamiento entre los

componentes del brazo. Estas no linealidades complican la tarea de un simple

controlador tipo PID, sobre todo, con consignas a altas velocidades.

Con el fin de mejorar estos problemas de acoplamiento y no linealidad que

presentan este tipo de modelos, se ha decidido buscar algoritmos de control que

permitan que el modelo de un robot plano de dos grado de libertad usado en el

desarrollo del proyecto, acte de la forma ms correcta posible a la hora de trazar

trayectorias circulares. Para ello se ha comenzado el proyecto implementando un

control PD convencional para el modelo no lineal y acoplado del robot.

Fig.1: Modelo del robot

Una vez realizas las pruebas pertinentes con el control PD en la maqueta

disponible (ver Fig.1), se ha procedido al diseo de un control por Par Calculado.

El control por Par Calculado se basa en tcnicas de desacoplo, que permiten que

V




los dos eslabones del robot acten de forma independiente al moverse para trazar

trayectorias y al no estar acoplados no acumulen errores de trazado.

Por ltimo y haciendo uso de los diseos anteriores se ha procedido a

disear un algoritmo de control Repetitivo que permite el seguimiento a

referencias peridicas y rechazo a perturbaciones del mismo tipo. Todos los

reguladores investigados en este proyecto se han comparado mediante simulacin

usando MATLAB-SIMULINK y experimentalmente en la maqueta con un robot

plano del que se dispone en el Laboratorio de Regulacin Automtica de la

Universidad. Esta mejora sustancial que se obtiene con el control Repetitivo,

frente a las alternativas ms clsicas, se puede comprobar comparando la Fig.2 y

la Fig.3, donde se puede apreciar que el error obtenido con el control por Par

Calculado, siendo ste de 0.07993, es mucho mayor que el obtenido al usar el

control Repetitivo que es de 0.003227 para la misma velocidad de seguimiento a

la referencia (f=0.1 Hz).

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

-0.22

-0.2

-0.18

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

X: 0.07993

Y: -0.1536

Error f=0.1

-0.01 -0.008-0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

x 10-3

X: 0.003227

Y: -0.0001167

Error f =0.1

Fig.3: Error con control Repetitivo

Fig.2: Error con Control por Par calculado

VI




PROJECT ABSTRACT

The use of robotic manipulators has become widespread in industrial

applications due to the always-increasing demands for quality and speed in

production systems. These applications and the required performance need

accurate and advanced control techniques.

Many strategies have been used for robot control in recent years.

Although, industrial robots typically use the classic PID control, manipulator

arms, which consist of several joints linked together, have a highly-nonlinear

dynamics with a strong link between their joints. These nonlinearities complicate

the task of simple PID controllers, especially in high-speed applications.

The objective of this project is to seek for control algorithms to perform

repetitive tasks accurately as fast as possible with robotic arms with several joints.

The project has focused on the plane robotic arm available in the control

laboratory of the Engineering School (see Fig.1) and drawing circular paths with

that arm has been chosen for validation and demonstration of the selected

algorithms.

Fig.1

This project has begun implementing a conventional PD control to deal

with the nonlinear and coupled model of the robot. The PD algorithm designed

uses decoupling techniques to deal with the dynamics of the torque control of the

VII




two joints, independently. The performance of the control system has been tested

by simulation and the main results have been validated in the laboratory

prototype.

Finally, a repetitive controller for the robotic arm has been designed and

tested, both, by simulation and experimentally. Repetitive controllers are very

promising when tracking periodic references or when rejecting periodic

disturbances. This work with repetitive controllers has been largely based on the

research on this type of controllers for electronic active power filters previously

carried out by some former postgraduate and final-year students. This

improvement is obtained with Repetitive control compared to conventional

alternatives, can be see comparing Fig.2 and Fig.3, where you can see that the

error obtained with the Calculated torque control, this being 0.07993, is much

greater than that obtained by using the Repetitive control is 0.003227 for the same

tracking speed to reference (f = 0.1 Hz).

:

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

-0.22

-0.2

-0.18

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

X: 0.07993

Y: -0.1536

Error f=0.1

-0.01 -0.008-0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

x 10-3

X: 0.003227

Y: -0.0001167

Error f =0.1

Fig.2: Error with Computed torque control

Fig.3: Error with Repetitive control

VIII




ndice de la memoria

Memoria 17

Captulo 1 Introduccin ................................................................................ 18

1.1 Motivacin del proyecto ............................................................................. 18

1.2 Estudio de los trabajos existentes / tecnologas existentes ......................... 19

1.3 Objetivos ..................................................................................................... 20

1.4 Metodologa / Solucin desarrollada .......................................................... 21

1.5 Recursos / herramientas empleadas ........................................................... 22

1.6 Planificacin del proyecto .......................................................................... 23

Captulo 2 Modelado del robot ..................................................................... 25

2.1 Descripcin del robot.................................................................................. 25

2.2 Ecuaciones y modelado del sistema ............................................................ 27

2.2.1 Modelado del robot .................................................................................................. 27

2.2.1.1 Modelado mediante la mecnica de Newton-Euler ............................................ 28

2.2.1.2 Modelado mediante la mecnica de Lagrange ................................................... 32

2.2.1.3 Modelado real del robot .................................................................................... 35

2.2.2 Modelo de los motores elctricos y de la electrnica ................................................. 39

2.2.3 Modelado de los sensores......................................................................................... 40

2.3 Implantacin en simulink ........................................................................... 41

2.4 Obtencin de los parmetros del modelo ................................................... 43

2.4.1 Mtodo de estimacin .............................................................................................. 43

Captulo 3 Diseo y pruebas con controles convencionales .......................... 47

3.1 Diseo de un control PD ............................................................................. 51

3.1.1 Anlisis del amortiguamiento del sistema ................................................................. 53

3.1.1.1 Anlisis del amortiguamiento del eslabn 1 ...................................................... 53

3.1.1.2 Anlisis del amortiguamiento del eslabn 2 ...................................................... 55

3.1.2 Precisin del sistema ................................................................................................ 57

IX




3.1.2.1 Precisin del eslabn 1 ..................................................................................... 57

3.1.2.2 Precisin del eslabn 2 ..................................................................................... 58

3.1.3 Rapidez del sistema ................................................................................................. 59

3.1.3.1 Rapidez del eslabn 1 ....................................................................................... 59

3.1.3.2 Rapidez del eslabn 2 ....................................................................................... 61

3.1.4 Simulacin de trayectorias con un control PD........................................................... 63

3.1.5 Ensayos realizados para un control PD ..................................................................... 66

Captulo 4 Control de Par Calculado ........................................................... 70

4.1 Introduccin ............................................................................................... 70

4.2 Simulacin del modelo en Simulink ........................................................... 75

4.3 Ensayo del control por Par Calculado ....................................................... 84

4.3.1 Ensayo con rapidez f=0.1Hz .................................................................................... 87

4.3.2 Ensayo para rapidez f=0.4 Hz .................................................................................. 90

4.3.3 Comparativa de trayectorias a distinta rapidez .......................................................... 93

Captulo 5 Control Repetitivo ....................................................................... 95

5.1 Introduccin ............................................................................................... 95

5.2 Control Repetitivo tiempo continuo ........................................................... 96

5.3 Control repetitivo en tiempo discreto ........................................................ 97

5.3.1 Bloques del control Repetitivo ............................................................................... 100

5.4 Estabilidad del control Repetitivo ............................................................ 101

5.4.1 Estudio de la estabilidad ........................................................................................ 101

5.4.2 Conclusiones de estabilidad ................................................................................... 103

5.5 Precisin del control Repetitivo ............................................................... 104

5.5.1 Funcin de transferencia del error .......................................................................... 104

5.6 Diseo del filtro Q (z) ............................................................................... 107

5.7 Eleccin de .......................................................................................... 108

5.8 Control utilizado en el regulador Repetitivo ........................................... 108

5.9 Modelo y simulacin con control repetitivo ............................................. 109

5.10 Conclusiones obtenidas al simular ........................................................... 118

5.11 Ensayo del control Repetitivo .................................................................. 118

X




Captulo 6 Conclusiones ............................................................................. 120

6.1 Introduccin ............................................................................................. 120

6.2 Resumen de los distintos apartados ......................................................... 120

6.3 Conclusiones finales.................................................................................. 121

6.4 Futuros desarrollos ................................................................................... 121

Bibliografa 123

Parte II Estudio econmico .................................................................... 126

Parte III Manual de usuario .................................................................... 129

Captulo 1 Manual de usuario del robot ..................................................... 130

Parte IV Cdigo fuente ............................................................................ 132

Captulo 1 Archivos de Matlab usados ....................................................... 133

1.1 AproxCircun.m ..................................................................................... 133

1.2 ControlPD.m ......................................................................................... 134

1.3 Trayectorias.m ...................................................................................... 135

1.4 CompTrayectorias.m ............................................................................ 137

1.5 ParCalculado. m ................................................................................... 138

1.6 Ensayo_ParCal .m ................................................................................ 140

1.7 Repetitivo .m ......................................................................................... 142

1.8 SimRepetitivo .m................................................................................... 144

Parte V Datasheets y descripcin del modelo ......................................... 147

Captulo 1 Modelo experimental ................................................................. 148

1.1 Descripcin del hardware......................................................................... 148

1.1.1 Descripcin general ............................................................................................... 148

1.1.2 Grupos motrices .................................................................................................... 148

1.1.3 Unidad Electrnica ................................................................................................ 149

1.1.4 Conexiones al ordenador ........................................................................................ 150

XI




1.2 Descripcin del software .......................................................................... 150

NDICE DE FIGURAS

XII




ndice de figuras

Figura 1. Diagrama de Gantt de la planificacin ................................................. 23

Figura 2. Esquema del brazo manipulador .......................................................... 25

Figura 3: Colocacin de ejes segn Denavit-Hartenberg. .................................... 28

Figura 4: Diagrama de cuerpo libre del robot. ..................................................... 30

Figura 5: Diagrama de cuerpo libre del robot. ..................................................... 36

Figura 6: Diagrama de bloques del robot real. ..................................................... 37

Figura 7: Velocidad del eslabn 1. ...................................................................... 38

Figura 8: Velocidad del eslabn 2. ...................................................................... 38

Figura 9: Esquema de los motores elctricos y la electrnica. ............................. 39

Figura 10: Implantacin en Simulink del sistema. ............................................... 41

Figura 11: Implantacin de modelo real del robot en Simulink............................ 42

Figura 12: Diagrama de Simulink del sistema de control del robot. ..................... 42

Figura 13: Diagrama del proceso de estimacin de los parmetros. ..................... 44

Figura 14: Aproximacin del espacio de trabajo. ................................................ 46

Figura 15: Espacio de trabajo del robot en ambas configuraciones. ..................... 46

Figura 16: Modelo para el anlisis de los datos de conversin. ........................... 48

Figura 17: Bloques de adaptacin para la conversin de los datos. ...................... 50

Figura 18: Respuesta a escaln en la referencia (eslabn 1). ............................... 52

Figura 19: Respuesta a escaln en la referencia (eslabn 2). ............................... 53

Figura 20: Diagrama de Black para el eslabn 1. ................................................ 54

Figura 21: Diagrama de Bode Magnitud eslabn 1. ............................................ 55

Figura 22: Diagrama de Black del eslabn 2. ...................................................... 56

Figura 23: Diagrama de Bode Magnitud eslabn 2. ............................................ 57

NDICE DE FIGURAS

XIII




Figura 24: Respuesta temporal eslabn 1. ........................................................... 58

Figura 25: Respuesta temporal eslabn 2. ........................................................... 59

Figura 26: Diagrama de Bode Magnitud del eslabn 1. ....................................... 60

Figura 27: Respuesta temporal del eslabn 1. ..................................................... 61

Figura 28: Diagrama de Bode Magnitud del eslabn 2. ....................................... 62

Figura 29: Respuesta temporal del eslabn 2. ..................................................... 63

Figura 30: Trayectoria rectilnea dentro del espacio de trabajo del robot. ........... 64

Figura 31: Trayectoria circular simulada de r=0.08. ............................................ 65

Figura 32: Trayectoria circular dentro del espacio de trabajo del robot. ............. 65

Figura 33: Ensayo de trayectoria circular de r= 0.08 m. ...................................... 67

Figura 34: Comprobacin del espacio de trabajo del ensayo con r=0.08 m. ......... 67

Figura 35: Modelo del Robot con control PD...................................................... 68

Figura 36: Cinemtica inversa del modelo del robot. .......................................... 69

Figura 37: Control PD. ....................................................................................... 69

Figura 38: Esquema del sistema controlado acoplado. ........................................ 71

Figura 39: Control PD desglosado del sistema acoplado. .................................... 71

Figura 40: Sistema controlado con las ecuaciones de desacoplo. ......................... 72

Figura 41: Modelo final desacoplado. ................................................................. 75

Figura 42: Modelo para simulacin del control de Par Calculado. ...................... 76

Figura 43: Desconexin del eslabn 1. ............................................................... 77

Figura 44: Comprobacin de que el eslabn 1 est a cero. .................................. 77

Figura 45: Comprobacin de que el eslabn 2 est a cero. .................................. 78

Figura 46: Comparativa Ref-salida en simulacin f=0.1 Hz. ............................... 79

Figura 47: Error de trazado con control Par-Calculado y f=0.1 Hz. ..................... 80

Figura 48: Comparativa Ref-salida en simulacin f=0.2...................................... 81


Figura 50: Comparativa Ref-salida en simulacin f=0.4 Hz. ............................... 83

NDICE DE FIGURAS

XIV





Figura 52: Modelo en Simulink con Control por Par Calculado. ......................... 85

Figura 53: Bloque ref usado en el ensayo............................................................ 86

Figura 54: Interior del bloque ref. ....................................................................... 86

Figura 55: Referencia circular usada. .................................................................. 87

Figura 56: Ensayo de trayectoria circular con referencia f= 0.1 Hz. .................... 88

Figura 57: Error cometido para f=0.1 Hz. ........................................................... 89

Figura 58: Anlisis temporal entre referencia y salida para f=0.1 Hz. ................. 89

Figura 59: Ensayo de trayectoria circular con referencia f= 0.4 Hz. .................... 91

Figura 60: Error cometido para f=0.4 Hz. ........................................................... 92

Figura 61: Anlisis temporal entre referencia y salida para f=0.4 Hz. ................. 93

Figura 62: Comparativa del error en la trayectoria. ............................................. 94

Figura 63: Comparativa error zoom. ................................................................... 94

Figura 64: Sistema de control realimentado en tiempo continuo. ........................ 96

Figura 65: Diagrama de bode-magnitud en lazo abierto con control Repetitivo. .. 97

Figura 66: Diagrama de bloques del control Repetitivo en tiempo discreto. ......... 98

Figura 67: Diagrama de bloques del ejemplo de funcionamiento del control

Repetitivo. .......................................................................................................... 98

Figura 68: Salida y mando para simulacin con P(z)=1 y onda cuadrada de un

Control repetitivo. .............................................................................................. 99

Figura 69: Error y mando con P(z)=1 y onda cuadrada de un control Repetitivo.

......................................................................................................................... 100

Figura 70: Diagrama de bloques completo del control Repetitivo. .................... 100

Figura 71: Diagrama vectorial de la condicin de estabilidad de la ecuacin

[E.50]. .............................................................................................................. 103

Figura 72: Amplitud del error para diferentes valores de . .............................. 106

Figura 73: Interpretacin del error en un control repetitivo. .............................. 106

NDICE DE FIGURAS

XV




Figura 74: Colocacin del filtro. ....................................................................... 107

Figura 75: Control Repetitivo para el eslabn 1. ............................................... 109

Figura 76: Control Repetitivo para el eslabn 2. ............................................... 110

Figura 77: Modelo de simulacin del control Repetitivo. .................................. 111

Figura 78: Comparativa Ref.-Salida en simulacin (f=0.1 Hz). ......................... 112

Figura 79: Error de trazado con f=0.1 Hz. ......................................................... 113

Figura 80: Zoom del error de trazado con f=0.1 Hz. ......................................... 113







Figura 87: Modelo para ensayar el control Repetitivo. ...................................... 119

Introduccin

16




Introduccin

17




MEMORIA

Introduccin

18




Captulo 1 INTRODUCCIN

1.1 MOTIVACIN DEL PROYECTO

Desde la primera vez que fue usada la palabra robtica, nacida con el

primer robot de la era moderna llamado Hlice la Tortura, creado por Grey

Walters en la dcada de los cuarenta, esta nueva rama de la ciencia y la tecnologa

no ha dejado de evolucionar en pro de conseguir una mejora notable en la calidad

de vida y de un mayor bienestar social.

Los robots industriales, son artilugios mecnicos y electrnicos destinados

a realizar de forma automtica determinados procesos industriales de fabricacin

o manipulacin. Hoy en da no se concibe la vida sin la interaccin de autmatas

en distintos campos, que pueden ir desde las ms simples aplicaciones de la vida

cotidiana, hasta complejas y precisas tareas que se desarrollan en muchos

procesos industriales.

El control de procesos industriales y su aplicacin en el mundo de la

robtica, presente en muchas de las etapas de estos procesos, es una de las

razones por las que se ha escogido este proyecto, ya que este campo est en

continua evolucin y me parece de gran inters por su importancia y la

repercusin que ha tenido en el mundo industrial donde es considerado como la

segunda revolucin industrial.

Introduccin

19




1.2 ESTUDIO DE LOS TRABAJOS EXISTENTES /

TECNOLOGAS EXISTENTES

Debido a las exigencias de calidad y rapidez en los sistemas de

produccin, se ha generalizado el uso de robots manipuladores en muchas

aplicaciones en la industria. Para cubrir dichas exigencias se requiere que el robot

manipulador cuente con tcnicas de control ms avanzadas.

Se han utilizado muchas estrategias para el control de robots en los ltimos

aos. Los robots industriales utilizan normalmente el control clsico tipo PID.

Pero los brazos manipuladores, los cuales se componen de varias articulaciones

unidas entre s, poseen una dinmica altamente no lineal con un fuerte

acoplamiento entre sus respectivas articulaciones. Esto complica la tarea de un

simple controlador PID as como su sintonizacin, sobre todo, con consignas a

altas velocidades o aceleraciones. Las mejores soluciones que se han conseguido,

han sido propuestas con controladores basados en el modelo del robot, los cuales

utilizan un modelo matemtico del mecanismo con el fin de compensar los

trminos dinmicos presentes.

En los brazos robotizados industriales la estrategia de control ms comn

que tiene en cuenta el modelo es el control por par computado que se ver descrita

ms adelante en el proyecto. Este control es relativamente fcil de implementar y

provee resultados satisfactorios en cuanto a errores de seguimiento y robustez.

Pero las incertidumbres presentes en el modelo, debido a parmetros mal

estimados o no modelados, dificultan el diseo de un eficaz algoritmo basado en

un modelo matemtico exacto. Por esto, otros tipos de soluciones han sido

diseados con el fin de darle al sistema la robustez deseada.

En la pasada dcada, el control predictivo se posicion como una

estrategia efectiva para un gran nmero de procesos. Muchos trabajos han

mostrado que el control predictivo es una opcin interesante para el manejo de

diversos procesos, al realizarse una optimizacin del pronstico del

Introduccin

20




comportamiento del sistema. Este control provee buenas respuestas en trminos

de rapidez, rechazo de perturbaciones y respuesta frente a errores en los

parmetros de la planta. Sin embargo, aunque un significativo nmero de

aplicaciones industriales pueden ser encontradas en procesos qumicos o de

fabricacin de alimentos, donde las dinmicas a tratar son relativamente lentas,

pocos resultados pueden encontrarse en el control de procesos no lineales y con

alta dinmica, como es el caso de los robots manipuladores, donde, adems, se

manejan rdenes de pocos milisegundos.

1.3 OBJETIVOS

El objetivo final del proyecto es el diseo de un control repetitivo para un

robot plano de dos grados de libertad y con dos articulaciones de rotacin. Para

ello partimos de un prototipo y estructura ya montados. Se analizarn distintos

controles:

Controles convencionales: Se estudiar la aplicacin de los distintos

controles con el fin de ver cmo responden en tiempo real en el

prototipo del brazo robot, comprobando el funcionamiento a la hora

de dibujar distintas trayectorias.

Control de Par Calculado: Se disear este tipo de control que

permite realizar un desacoplo del sistema no lineal, para poder

tratarlo de forma independiente.

Control Repetitivo: Se estudiar a fondo el funcionamiento y

respuesta de este tipo de reguladores, para realizar su implementacin

en tiempo real al prototipo del brazo robot, comprobando el

funcionamiento a la hora de dibujar distintas trayectorias.

Introduccin

21




En los tres puntos anteriores se usar Matlab y Simulink para el

diseo, anlisis y simulacin. Las conclusiones principales se

validarn en el prototipo del laboratorio.

1.4 METODOLOGA / SOLUCIN DESARROLLADA

La metodologa seguida para llevar a cabo el objetivo final del proyecto es la

siguiente:

o Anlisis del equipo, el cual consta de dos grupos motrices y una

unidad electrnica de alimentacin, mando, medida y acoplamiento

al ordenador.

o Anlisis del modelo implantado en Simulink.

o Estudio de varios sistemas de control convencionales que

manteniendo unas buenas cualidades de funcionamiento, se

adapten de forma adecuada al modelo del robot.

o Ensayo de los sistemas de controles convencionales en el prototipo

del robot con el fin de conocer mejor su comportamiento y manejo.

Se debe probar el buen funcionamiento bajo condiciones

desfavorables, valorando la robustez y la rapidez del prototipo.

o Diseo de un control por Par Calculado.

o Simulacin y ensayos con el control por Par Calculado.

o Anlisis del modelado y diseo de controles Repetitivos.

o Desarrollo de un control Repetitivo, que manteniendo unas buenas

cualidades de funcionamiento, se adapte de forma adecuada al

modelo del robot.

Introduccin

22




o Simulacin y ensayo con el control repetitivo.

o Documentacin del proyecto.

1.5 RECURSOS / HERRAMIENTAS EMPLEADAS

Los recursos generales utilizados para la realizacin del proyecto son:

Herramientas informticas para el diseo de los distintos controles:

Matlab versin 2009b.

Simulink.

Conocimiento en el diseo de controles convencionales en tiempo

discreto y continuo.

Prototipo del brazo robot:

Se dispone de un brazo robot plano, horizontal, de dos

grados de libertad y con 2 articulaciones de rotacin.

El Equipo est preparado, en principio, para gobierno desde

un ordenador provisto de la Tarjeta de Adquisicin de

datos PCI-6025E de National Instrument.

El modelo consta de dos grupos motrices compuestos cada

uno de ellos por: un motor de corriente continua, una

dinamo taquimtrica, un codificador incremental y un

reductor de velocidad. Las especificaciones elctricas de los

componentes se detallan en la Error! No se encuentra el

rigen de la referencia. (Pliego de condiciones).

Introduccin

23




1.6 PLANIFICACIN DEL PROYECTO

Planificacin seguida para la realizacin del proyecto:

1. Estudio del modelo del robot.

2. Diseo y pruebas con controles convencionales tipo PID.

3. Diseo de un control por Par Calculado.

4. Ensayo con el control por Par Calculado.

5. Estudio y diseo de un control Repetitivo.

6. Simulacin con el control Repetitivo.

7. Ensayo con el control Repetitivo.

8. Elaboracin de la memoria del proyecto.

A continuacin, en la Figura 1, se muestra el diagrama de panificacin:

1

2

3

4

5

6

7

8

JULIOMAYOMARZO ABRILNOVIEMBRE DICIEMBRE ENERO JUNIOFEBRERO

Figura 1. Diagrama de Gantt de la planificacin

Introduccin

24




Este proyecto se ha divido en 6 captulos. En los captulos se ha

concentrado el trabajo esencial de este proyecto, desarrollando en cada uno de

ellos nicamente lo fundamental, y llevando el cdigo de programacin a los

apartados correspondientes.

En el Captulo 1 se hace una introduccin a las tecnologas existentes, la

motivacin del proyecto y las herramientas utilizadas para llevarlo a cabo.

En el Captulo 2, se detallan las ecuaciones y el modelado del robot

mediante Newton-Euler y Lagrange.

En el Captulo 3, se estudia el control de trayectorias del robot mediante

controles convencionales tipo PID, en concreto un control PD.

En el Captulo 4, se estudia otra alternativa de control, denominado control

de Par Calculado, basado en el desacoplo del modelo.

En el Captulo 5, se estudia el control repetitivo usando para ello la

mecnica del control de Par Calculado desarrollada en el Captulo 4.

Por ltimo en el Captulo 6, se comentan las conclusiones del proyecto,

destacando lo que se ha hecho, dejando claros qu objetivos se han cubierto y

comentando en ltimo lugar los futuros desarrollos futuros que se pueden

introducir al proyecto.

Modelado del robot

25




Captulo 2 MODELADO DEL ROBOT

A la hora de realizar todos los clculos necesarios para la obtencin de la

mecnica del modelo del robot se han consultado varias referencias bibliogrficas

[5], [6] y [7] que se detallan al final de la 0 del proyecto.

2.1 DESCRIPCIN DEL ROBOT

Se dispone de un robot plano, horizontal, de 2 grados de libertad y

con dos articulaciones de rotacin tal como el de la Figura 2.

.

Figura 2. Esquema del brazo manipulador

Modelado del robot

26




El equipo consta de dos grupos motrices y una unidad electrnica de

alimentacin, mando, medida y acoplamiento a un ordenador. Cada uno de los

dos grupos est compuesto por los siguientes elementos alineados en un mismo

eje:

- Motor de corriente contina.

- Dinamo taquimtrica: da una tensin proporcional a la velocidad del motor.

- Codificador incremental: suministra un tren de impulsos que, mediante un

conversor de frecuencia-tensin, da al ordenador una nueva informacin de la

velocidad.

- Reductor de velocidad.

La unidad electrnica consta de una fuente de alimentacin general y de

dos sistemas gemelos de gobierno y medida, uno para cada eje.

Los dos motores aplican un par a travs de unos engranajes reductores

desde la bancada y el movimiento se transmite hasta los eslabones por medio de

un juego de poleas. Las rotaciones son impulsadas por motores elctricos de

corriente continua que, a su vez, son alimentados por un chopper de cuatro

cuadrantes que controla la velocidad de los motores variando la corriente que les

suministra.

La fuente de alimentacin est conectada con un PC a travs de una tarjeta

de adquisicin de datos, de la que se recoge y procesa la informacin con ayuda

del software MATLAB 2009b y Simulink.

Modelado del robot

27




2.2 ECUACIONES Y MODELADO DEL SISTEMA

Uno de los puntos primordiales a la hora de hacer el proyecto ser

conocer un modelo o aproximacin matemtica del robot y todo el

entorno de hardware que lo rodea. Este modelo es de gran importancia

para las sucesivas partes del proyecto puesto que, tanto el control dinmico

como las simulaciones para la validacin de los controles, se apoyan

directamente en l.

En la parte de modelado habremos de tener en cuenta lo siguientes

componentes del sistema completo:

Robot.

Motores elctricos.

Fuente de alimentacin (Chopper de cuatro cuadrantes).

Sensores de medida de posicin y velocidad.

2.2.1 MODELADO DEL ROBOT

El modelado del robot consiste en describir matemticamente la

parte mecnica, lo cual se puede realizar mediante varios

procedimientos. En este proyecto se muestran las dos tcnicas clsicas

de modelado, la formulacin de Newton-Euler y la teora de Lagrange.

Ambas tcnicas de modelado deben llevar a la misma solucin y a

la correcta obtencin del modelo de este robot.

Modelado del robot

28




2.2.1.1 Modelado mediante la mecnica de Newton-Euler

En primer lugar, se obtendr la cinemtica y posteriormente, haciendo uso

de sta, se calcular la dinmica, que es lo que realmente interesa. Antes de nada,

se colocarn los ejes segn las reglas de Denavit-Hartenberg obtenindose as las

matrices de rotacin y de transformacin homognea esto se puede observar en la

Figura 3.

Figura 3: Colocacin de ejes segn Denavit-Hartenberg.

Cinemtica

En principio se consideran como coordenadas los ngulos y

(ngulo relativo entre el eslabn 1 y 2), ms adelante se har el cambio

de coordenadas pertinente para pasar a las coordenadas que interesan en este

robot, y (ngulo absoluto del eslabn 2 con el sistema

fijo).

Las matrices de rotacin se pueden ver en la ecuacin [E.1].

Modelado del robot

29




[E.1]

Donde la matriz pasa un vector de ejes i a ejes j, y y

Para los siguientes desarrollos se tiene que tener en cuenta que:

: es la distancia del origen de los ejes i al centro de gravedad (c.d.g.)

del eslabn i.

: El vector de posicin del origen de los ejes i expresada en ejes i-

1.

: El vector de posicin del c.d.g. del eslabn i en ejes i.

Para el 1eslabn:

[E.2]

Se halla la aceleracin del centro de gravedad del eslabn 1:

[E.3]

Para el eslabn 2, se realizan los mismos clculos:

[E.4]

Modelado del robot

30




Se halla la aceleracin del centro de gravedad del eslabn 2:

[E.5]

Dinmica

A continuacin se tendr en cuenta que el robot es de transmisin remota,

es decir, el segundo eslabn se impulsa desde un motor solidario a la bancada,

algo que, por no ser lo habitual se describir con detalle. Se tiene en cuenta

tambin que la gravedad es paralela al eje de giro de los motores y, por tanto, no

influye.

El diagrama de cuerpo libre, se puede observar en la Figura 4:

Figura 4: Diagrama de cuerpo libre del robot.

En el diagrama de cuerpo libre se observa el efecto sobre el equilibrio de

fuerzas y momentos del hecho de mover el segundo eslabn desde la bancada y

no desde el eslabn 1.

Modelado del robot

31




En este punto se va a realizar el planteamiento de las ecuaciones de

Newton y paso a forma recursiva (fcilmente programable).

[E.6]

[E.7]

[E.8]

[E.9]

Sustituyendo [E.8] en [E.9] y siendo y se

tiene:

[E.10]

La fuerza que acta sobre el c.d.g. del eslabn 2 es:

[E.11]

De modo que la componente z del par n2 (componente motriz) tiene como

expresin:

[E.12]

Modelado del robot

32




En cuanto al eslabn 1:

[E.13]

Ahora, dado que en este robot las coordenadas angulares que se manejan

son las absolutas, se har el cambio de variable ; tanto en

[E.12] como en [E.13].

[E.14]

Todo modelo de un robot responde a la ecuacin matricial

, as que puesto de esta forma el modelo queda como sigue:

2.2.1.2 Modelado mediante la mecnica de Lagrange

Las coordenadas generalizadas que utilizaremos sern y . En

primer lugar obtenemos el trabajo virtual realizado por las fuerzas generalizadas

cuando producen desplazamientos virtuales en las coordenadas y .

[E.15]

Es decir, las fuerzas generalizadas para estas coordenadas generalizadas

son

Ya estamos en condiciones de comenzar a calcular todo lo necesario

para plantear las ecuaciones de Lagrange. En primer lugar hallamos el

Jacobiano del robot, es decir, la matriz que relaciona las derivadas con respecto al

Modelado del robot

33




tiempo de las coordenadas generalizadas con las velocidades lineal y angular del

extremo del robot.

[E.16]

Donde son las siguientes matrices jacobianas, como se ve en la

[E.17] y [E.18]:

[E.17]

[E.18]

Los tensores de inercia de cada eslabn respecto de unos ejes solidarios a ste y

centrados en el centro de gravedad son:

[E.19]

Ahora mediante la siguiente ecuacin [E.19] obtenemos el tensor de inercia del

robot, que se ve en la ecuacin [E.20]:

[E.20]

Modelado del robot

34




El siguiente paso es obtener los smbolos de Christoffel para poder

obtener los trminos debidos a la gravedad y las fuerzas centrfugas y de Coriolis.

[E.21]

Y el vector columna de pares centrfugos y de Coriolis:

[E.22]

Slo queda pasar de coordenadas generalizadas , a , mediante la

matriz [E.23] de transformacin:

[E.23]

Tensor de inercia del robot:

[E.24]

Modelado del robot

35




Vector centrfugo Coriolis, queda:

[E.25]

Vector de fuerzas generalizadas:

[E.26]

De este modo, la ecuacin del robot en forma matricial es:

Ecuacin que coincide con la obtenida en el apartado 2.2.1.1 mediante la

mecnica de Newton.

2.2.1.3 Modelado real del robot

Hasta este apartado se ha desarrollado, por un lado la mecnica ideal del

robot, es decir, sin incluir rozamientos y por otro, la dinmica del equipo

elctrico-electrnico. Pero dado que, como se ha demostrado, la dinmica del

robot es dominante sobre el resto de los componentes del sistema, se ha optado

por afinar ms el modelo realizando una estimacin de parmetros que incluya

efectos no ideales como los rozamientos.

En este robot, bsicamente existen dos tipos de rozamiento. Por un lado, el

rozamiento viscoso, proporcional a la velocidad, y por otro, el rozamiento

esttico, dependiente del signo de la velocidad. As mismo, y debido a la

particular construccin de este robot, se incluirn rozamientos viscosos y estticos

cruzados, es decir, pares de rozamientos que dependen respectivamente de la

velocidad relativa y del signo de la velocidad relativa.

Modelado del robot

36




Estos rozamientos que se han descrito se pueden observar en la Figura 5

que se muestra a continuacin.

Figura 5: Diagrama de cuerpo libre del robot.

Para introducir los pares de rozamientos en el modelo, se plantea el teorema de

los trabajos virtuales, cuya ecuacin se ve en [E.27]:

[E.27]

Donde los pares de rozamiento, se muestran en la expresin [E.28]:

[E.28]

De este modo, el sistema incluyendo los rozamientos se muestra en la Figura 6:

Modelado del robot

37




Figura 6: Diagrama de bloques del robot real.

Antes de comenzar con la estimacin de parmetros, se va a

justificar la inclusin de rozamientos en el modelo comparando los resultados

que arroja la simulacin del modelo ideal con un ensayo representativo.

Los resultados al realizar un ensayo, para comprobar la velocidad de ambos

eslabones se observan en la Figura 7 y la Figura 8.

Modelado del robot

38




Figura 7: Velocidad del eslabn 1.

Figura 8: Velocidad del eslabn 2.

Modelado del robot

39




A la vista de los resultados, merece la pena realizar una estimacin de

parmetros que permita mejorar el modelo.

2.2.2 MODELO DE LOS MOTORES ELCTRICOS Y DE LA ELECTRNICA

Los motores elctricos de corriente continua tienen un modelo de sobra

conocido que, para motores de corriente continua que trabajan a flujo constante,

se corresponde con la ecuacin , con ; donde L y

R son la induccin y resistencia del inducido, e es la fuerza contraelectromotriz y

la velocidad angular del motor.

El chopper de cuatro cuadrantes es el dispositivo de electrnica de

potencia que alimenta los motores y que acta como regulador de corriente,

recogiendo la diferencia entre la consigna de corriente y la corriente de inducido,

y proporcionando una tensin de referencia en el motor acorde con el error

detectado.

En la Figura 9, se representa el modelo del sistema que enlaza el entorno

digital (microprocesador, tarjeta de adquisicin de datos) con el robot

propiamente dicho. El modelo del chopper es el de sistema de 1 orden con

constante de tiempo mitad del periodo de conmutacin.

Figura 9: Esquema de los motores elctricos y la electrnica.

Modelado del robot

40




La corriente responde al sistema en tiempos del orden de constantes de

tiempo elctricas, es decir del orden de milisegundos, y dicha corriente es

aproximadamente la corriente de referencia. Con estos indicios, se toma la

decisin de despreciar todo el lazo de corriente y considerar que la corriente que

se exige en cada momento al motor es instantneamente idntica a la que circula

por ste.

Por tanto la relacin entre la corriente de referencia y el par aplicado a

cada eslabn es esttica e igual a , siendo la constante de

par del motor ( =85.8 mNm/A) y N, la relacin de transformacin de los

reductores (N = 43).

2.2.3 MODELADO DE LOS SENSORES

Como se mencion anteriormente en la descripcin del equipo, se

dispone de dos medidas de velocidad, la primera suministrada por una dinamo

taquimtrica y la segunda por un encoder incremental (conversin frecuencia

tensin), y una medida de posicin obtenida a partir de la medida de velocidad de

dicho encoder.

En el caso de la medida de posicin, la dinmica es despreciable y en el

caso de las medidas de velocidad, la dinmica que introducen en el sistema viene

dada por la presencia de un filtro analgico (filtro antialiasing) que en cada uno

de los dos casos tiene por funcin de transferencia:

[E.29]

Para la dinamo taquimtrica, con un retardo a la rampa de 3.6 ms.

[E.30]

Para el encoder, con un retardo a la rampa de 1.75 ms.

Modelado del robot

41




Se puede apreciar que el filtro de la dinamo es ms enrgico

y, consecuentemente, esta medida ser menos ruidosa, algo que tendr gran

importancia en la parte dedicada al control dinmico.

2.3 IMPLANTACIN EN SIMULINK

El diagrama general del sistema que se desea implantar en Simulink se observa en

la Figura 10.

Figura 10: Implantacin en Simulink del sistema.

En la Figura 11 se puede observar el diagrama de Simulink con el cual

se describe el comportamiento del robot y de los servomotores. Como se ha

explicado en el apartado 2.2.2 el funcionamiento de los motores y los chopper, se

simplifica dando lugar a un par directamente proporcional a la corriente de los

motores. Las ecuaciones del robot obtenidas en el apartado 2.2.1 se implementan

en una S-function de Matlab, y los rozamientos del sistema descritos en el

apartado 2.2.3 se implantan en el bloque denominado pares resistentes.

Modelado del robot

42




Figura 11: Implantacin de modelo real del robot en Simulink.

En la Figura 12 se observa el diagrama de Simulink del sistema de control

del robot cuando se desea seguir una determinada trayectoria. El diagrama

descrito en la Figura 11 es el bloque denominado robot, cuya entrada es el

mando referido a la corriente aplicada a cada uno de los motores, y cuyas salidas

son las velocidades de los eslabones del codificador de pulsos en rad/s y la

posicin en radianes de los eslabones.

Figura 12: Diagrama de Simulink del sistema de control del robot.

Modelado del robot

43




Las entradas son las posiciones de los eslabones, que es lo que se

desea controlar. El control proporcional, es una matriz de 2x2, cuya diagonal

principal es el control de cada una de las posiciones, y el resto de los elementos

es el control sobre la influencia que tiene la variacin de una de las entradas en

cada una de las salidas. Esto es debido al problema que existe con el

acoplamiento.

El mando que se genera es la corriente aplicada a cada uno de los motores.

La saturacin de dichos mandos se sita entre 3A. Se est trabajando con

un sistema mixto, planta en tiempo continuo y control en tiempo discreto; por

consiguiente, se pasa del mando discreto al mando continuo a travs de un

retenedor de orden cero.

El bloque denominado robot contiene las ecuaciones fsicas del robot,

como se ha explicado anteriormente. Las salidas generadas por dicho diagrama

se discretizan, y si las posiciones angulares se desean convertir en coordenadas en

el plano cartesiano se utiliza la cinemtica directa.

2.4 OBTENCIN DE LOS PARMETROS DEL MODELO

En esta seccin se explica de forma muy resumida como se obtendran los

valores ms adecuados de los parmetros del modelo descrito, ya que stos

valores de identificacin se daban a la hora de realizar el proyecto.

2.4.1 MTODO DE ESTIMACIN

La estimacin de los parmetros del modelo del sistema se realizara

mediante mnimos cuadrados no lineales, utilizando el mtodo de Gauss- Newton.

Este mtodo consiste en un ajuste por minimizacin del error cuadrtico

medio entre ensayo y simulacin, en cada iteracin se variara el valor de los

parmetros a identificar hasta conseguir que la salida real del sistema y la del

modelo coincidieran lo ms posible. El esquema se observa en la Figura 13.

Modelado del robot

44




Figura 13: Diagrama del proceso de estimacin de los parmetros.

Para poder realizar el modelado del robot, primeramente se realizara un

ensayo adecuado para las caractersticas del sistema con el cual se est

trabajando, en el cual se observe claramente la respuesta del sistema.

Una vez obtenido un ensayo adecuado y realizando otros ensayos a partir

de ste, se utilizaran programas de ajuste a la hora de obtener los parmetros del

modelo.

Modelado del robot

45




Los parmetros aportados para el proyecto obtenidos mediante

identificacin se muestran en el siguiente cuadro:

Lc1 = 0.18174

Lc2 = 0.14987

m1 = 3.6827 Kg

m2 = 2.128 Kg

Iz1 = 0.0877

Iz2 = 0.0242

b1= 0.11844

b2 = 0.06796

c1= 0. 46609

c2 = 0.17020

c21 = 0.08479

Otro punto importante una vez se ha explicado como se realizara la

identificacin de los parmetros del modelo, es el clculo del espacio de trabajo en

el que puede operar el robot a la hora de realizar los ensayos pertinentes. Estos

clculos permiten determinar los puntos que puede alcanzar el extremo del robot

teniendo en cuenta las longitudes de los eslabones y los lmites de los ngulos de

giro.

Como una primera aproximacin se ha realizado una representacin

mediante circunferencias de la trayectoria que seguira el robot, antes de realizar

el ensayo. Esta aproximacin se puede ver en la Figura 14 que se muestra a

continuacin, esta figura se ha representado mediante el archivo

AproxCircun.m que se muestra en la Parte IV del proyecto, donde se detalla

todo el cdigo usado en el proyecto.

Modelado del robot

46




Figura 14: Aproximacin del espacio de trabajo.

El espacio de trabajo del robot tanto en configuracin brazo izquierdo

como en configuracin brazo derecho una vez realizado el ensayo, se observa en

la Figura 15.

Figura 15: Espacio de trabajo del robot en ambas configuraciones.

Diseo y pruebas con controles convencionales

47




Captulo 3 DISEO Y PRUEBAS CON

CONTROLES CONVENCIONALES

En este apartado se van a implementar controles convencionales tipo PID

de forma interactiva con el fin de comprobar el correcto funcionamiento del

modelo a la hora de dibujar trayectorias rectilneas y circulares. A la hora de

realizar este capitulo se han consultado las referencias bibliogrficas [1] y [2].

La expresin de un control tipo PID de forma interactiva se muestra en la

ecuacin [E.31].

[E.31]

Hay que tener en cuenta que el robot est dotado de un equipo de medida

de las magnitudes elctricas ms relevantes y de sensores de posicin y de

velocidad. Adems dispone de un equipo de mando que suministra a los motores

del robot la corriente requerida. Por ltimo, para poder controlar el robot se

dispone de un ordenador con una tarjeta de adquisicin de datos con entradas y

salidas analgicas y digitales. El margen de tensin de las entradas analgicas es

5V y el de las salidas analgicas 10V. En ambos casos estos lmites se

corresponden con un rango de 1 en Simulink. En el caso de las entradas

digitales (medidas de posicin) las unidades que se manejan en Simulink son

nmero de bits.

El objetivo primero es desarrollar bloques de Simulink que realicen la

conversin entre los datos del ordenador y las magnitudes fsicas y, de esta forma,

facilitar el estudio del robot y el diseo de su sistema de control.


48




Se han seguido los siguientes pasos:

Se ha determinado las constantes de conversin a partir de la

documentacin del robot.

Se ha comprobado las constantes de conversin calculadas en el primer

paso, utilizando el programa p1_simula.mdl que se muestra en la Figura

16. Este programa simula la conversin de las entradas a Simulink en

magnitudes fsicas, y de los mandos en magnitudes fsicas a salidas de

Simulink.

Este programa requiere cargar previamente los siguientes ficheros de datos:

"p1_datos_ordenador.mat": datos de entrada y salida de Simulink (EA1,

EA2, ED1, ED2, SA1, SA2).

"p1_datos_fisicos.mat": datos en magnitudes fsicas (t_M_RI_I1,

t_M_RI_I2, t_ND_NC1, t_ND_NC2, t_pos1, t_pos2).

Estos datos se corresponden a un ensayo real con mandos senoidales de intensidad

para los motores de los eslabones 1 y 2.

Figura 16: Modelo para el anlisis de los datos de conversin.


49




El clculo de las constantes de conversin se ha realizado mirando la hoja

de especificaciones del equipo elctrico que se adjunta en la Parte V, donde se

detallan las hojas de especificaciones. Los clculos realizados son los siguientes:

I

RI = 8.6956 A

ND

NC

Pos -2.854e-4 rad/bit

M 10 V* 0.4 A/V= 4 A

En la Figura 17 se muestra el diagrama de bloques con las cajas donde se

introducen estos factores de conversin necesarios para el correcto

funcionamiento e interpretacin de los datos.


50




Fig

ura

17

: Blo

qu

es d

e ad

apta

cin

par

a la

con

vers

in

de

los

dat

os.


51




3.1 DISEO DE UN CONTROL PD

En este apartado se ha diseado un control PD con funcin de

transferencia igual a K*(1+Ds) mediante compensacin de la respuesta en

frecuencia de lazo abierto, se ha fijado el margen de fase a 40 para una pulsacin

de cruce determinada. Una vez realizado el diseo, se ha analizado la precisin,

rapidez y amortiguamiento del modelo para comprobar el correcto

funcionamiento a la hora de seguir trayectorias rectilneas y circulares.

En general, un robot es un ejemplo de sistema multivariable, acoplado y no

lineal. Para modelar el robot, ste se puede dividir en dos partes fundamentales.

La primera es el sistema mecnico compuesto por los eslabones con sus

articulaciones, transmisiones, etc. La segunda parte son los motores con la

electrnica de potencia que los acciona (un chopper de cuatro cuadrantes para

cada motor). El sistema de control del robot determina en cada momento el par

mecnico necesario en cada uno de los eslabones. Los servomotores son los

encargados de aplicar dicho par. Por este motivo, cada motor dispone de un

regulador PI que determina en cada momento la tensin del chopper necesaria

para ajustar su corriente (que equivale a par en el eje).

Se ha partido de un modelo identificado simplificado de la planta, con el

fin de determinar la mxima pulsacin de cruce que sera admisible utilizar en el

diseo si se desprecia la elasticidad de las correas y se supone instantneo el

control de corriente. Para ello se ha supuesto como pulsacin de cruce mxima

aquella que introduce un error de fase de 5 con respecto al modelo simplificado.

Planta simplificada del eslabn 1:

Donde K1= 2.16.

Planta simplificada del eslabn 1:

Donde K2= 4.86.


52




A la hora de realizar el diseo, en primer lugar se han calculado los

parmetros del control Y D para cada eslabn del robot denominados

( , , y ) y finalmente comprobado sus respuestas.

Los clculos del diseo del control PD se han realizado en un archivo

llamado ControlPD.m que se adjunta en la Parte IV del proyecto. Los

parmetros del control obtenidos en el diseo son los siguientes:

Parmetros del control para el eslabn 1:

Parmetros obtenidos para el eslabn 2:

Las respuestas ante escaln en la referencia para ambos eslabones se

muestran en las Figura 18 y Figura 19.

Figura 18: Respuesta a escaln en la referencia (eslabn 1).


53




Figura 19: Respuesta a escaln en la referencia (eslabn 2).

Donde la funcin de transferencia para el eslabn 1 en lazo cerrado es:

Donde la funcin de transferencia para el eslabn 2 en lazo cerrado es:

3.1.1 ANLISIS DEL AMORTIGUAMIENTO DEL SISTEMA

3.1.1.1 Anlisis del amortiguamiento del eslabn 1

En primer lugar se ha analizado el amortiguamiento del eslabn 1

comprobando para ello el margen de fase, el cual se observa en la Figura 20, el

pico de resonancia que se observa en la Figura 21 y el sobrepaso que se observa

en la Figura 18, para ver si son aceptables para el control PD que se ha diseado.


54




Figura 20: Diagrama de Black para el eslabn 1.

En la prctica, para que un sistema de control tenga un funcionamiento

adecuado, el margen de ganancia debe ser igual o superior a 6dB y el margen

de fase estar entre +30 y +60. Con estos mrgenes, queda garantizada la

estabilidad del sistema a pesar de que las constantes de tiempo de los

componentes varen dentro de ciertos lmites.


55




Figura 21: Diagrama de Bode Magnitud eslabn 1.

El pico de resonancia obtenido para el control PID es de 4.81 dB, como se

puede ver el sistema es un poco oscilante, ya que supera ligeramente los mrgenes

adecuados (1 < r < 1,4) (0db< r


56




Figura 22: Diagrama de Black del eslabn 2.

En la prctica, para que un sistema de control tenga un funcionamiento

adecuado, el margen de ganancia debe ser igual o superior a 6dB y el margen de

fase estar entre +30 y +60. Con estos mrgenes, queda garantizada la estabilidad

del sistema a pesar de que las constantes de tiempo de los componentes varen

dentro de ciertos lmites.


57




Figura 23: Diagrama de Bode Magnitud eslabn 2.

El pico de resonancia obtenido para el control PD del eslabn 2 es de 4.81

dB, como se puede ver el sistema es un poco oscilante, ya que supera ligeramente

los mrgenes adecuados (1 < r < 1,4) (0db< r


58




Figura 24: Respuesta temporal eslabn 1.

3.1.2.2 Precisin del eslabn 2

Mediante la repuesta temporal se puede apreciar cmo sigue

correctamente a la referencia, siendo por tanto el error ante escaln en referencia

nulo como se muestra en la Figura 25.


59




Figura 25: Respuesta temporal eslabn 2.

3.1.3 RAPIDEZ DEL SISTEMA

3.1.3.1 Rapidez del eslabn 1

Para analizar la rapidez del eslabn 1, se ha utilizado la frecuencia de

resonancia que es la frecuencia para la que se da el pico de resonancia. Est

ligada a la rapidez del sistema en la respuesta temporal, una elevada

implica una respuesta rpida.

La obtenida es 4.87 rad/s, se puede observar en la Figura 26.


60




Figura 26: Diagrama de Bode Magnitud del eslabn 1.

Tambin se han calculado el tiempo de pico y de establecimiento al 5% en

la respuesta temporal a escaln en la referencia con control en lazo cerrado, como

se puede observar en la Figura 27.


61




Figura 27: Respuesta temporal del eslabn 1.

3.1.3.2 Rapidez del eslabn 2

Para analizar la rapidez del eslabn 2, se ha utilizado la frecuencia de

resonancia que es la frecuencia para la que se da el pico de resonancia. Est

ligada a la rapidez del sistema en la respuesta temporal, una elevada

implica una respuesta rpida.

La obtenida es 4.87 rad/s, se puede observar en la Figura 28.


62




Figura 28: Diagrama de Bode Magnitud del eslabn 2.

Tambin se han calculado el tiempo de pico y de establecimiento al 5% en

la respuesta temporal a escaln en la referencia con control en lazo cerrado, como

se puede observar en la Figura 29.


63




Figura 29: Respuesta temporal del eslabn 2.

3.1.4 SIMULACIN DE TRAYECTORIAS CON UN CONTROL PD

Una vez comprobada el amortiguamiento, la rapidez y la precisin del

modelo para ambos eslabones, se ha calculado una trayectoria rectilnea que se

encuentre dentro del espacio de trabajo a la hora de realizar las simulaciones y

ensayos necesarios.

El programa donde se calculan estas trayectorias es Trayectorias .m que

se muestra en la Parte IV del proyecto donde se detallan todos los programas

usados en el proyecto.

A continuacin se muestra en la Figura 30, la simulacin de la trayectoria

rectilnea sobre el espacio de trabajo del robot.


64




Figura 30: Trayectoria rectilnea dentro del espacio de trabajo del robot.

Por otro lado, se ha simulado una trayectoria circular de radio r= 0.08 que

se muestra en la Figura 31 y seguidamente se ha comprobado si sta se encuentra

dentro de la zona de trabajo del robot, como se muestra en la Figura 32.

Parte de estos clculos se han realizado con el programa

CompTrayectorias.m que se detalla en la Parte IV del proyecto.

Para la prueba con la trayectoria recta y para la prueba con la trayectoria

circular, se han usado las siguientes ecuaciones:

Trayectoria rectilnea:

Trayectoria circular:


65




Figura 31: Trayectoria circular simulada de r=0.08.

Figura 32: Trayectoria circular dentro del espacio de trabajo del robot.

-0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52


66




3.1.5 ENSAYOS REALIZADOS PARA UN CONTROL PD

Despus de la comprobacin del correcto funcionamiento del modelo del

robot en simulacin, se ha procedido a realizar varia ensayos ensayo en el modelo

para comprobar el comportamiento real sobre la maqueta del robot.

Muchas de las imprecisiones que se pueden ver en el ensayo del modelo al

probar el control PD diseado y optimizado mediante el ndice ITAE, se deben a

los errores de precisin del modelo mecnico, los actuadores y sensores del

modelo del robot. Quizs, uno de los elementos que provocan mayor error a la

hora de dibujar las trayectorias sobre la lmina del modelo sea el anclaje del

bolgrafo, que cuando el modelo se mueve a una velocidad elevada produce

movimientos en el anclaje.

La trayectoria circular que se ha ensayado tiene los siguientes parmetros

de entrada:

= 0.08 m

= 0.45

=0.1 Hz

= 0

=0.1 Hz

El ensayo obtenido con estos parmetros de entrada usando el modelo de

la Figura 35 son, por un lado la trayectoria circular que se observa en la Figura 33,

y por otro la comprobacin de que el ensayo realizado esta dentro del espacio de

trabajo que se ve en la Figura 34.

Otros posibles radios que permiten dibujar una trayectoria circular dentro

del espacio de trabajo del robot son: 0.1 m y 0.03 m, entre tantas. Tambin se han

comprobado estas trayectorias en el modelo del robot, aunque no se documente

esta informacin ya que resultaba poco relevante y muy repetitiva.


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Figura 33: Ensayo de trayectoria circular de r= 0.08 m.

Figura 34: Comprobacin del espacio de trabajo del ensayo con r=0.08 m.

-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


68




Fig

ura

35

: Mod

elo

del

Rob

ot c

on c

ontr

ol P

D.


69




El bloque de cinemtica inversa y de control PD diseados en Simulink,

donde se introducen de forma automtica los valores obtenidos en los clculos de

diseo, permiten poder realizar los ensayos en el modelo del robot. El bloque de

la cinemtica inversa se muestra en la Figura 36 y el del control PD en la Figura

37.

Figura 36: Cinemtica inversa del modelo del robot.

Figura 37: Control PD.

Control de Par Calculado

70




Captulo 4 CONTROL DE PAR CALCULADO

En este captulo se explica el sistema de control de Par Calculado de

forma bastante detallada, centrndose en gran medida en el desacoplo del modelo.

4.1 INTRODUCCIN

Como ya se ha comentado, el modelo del robot es un modelo acoplado, no

lineal y multivariable. En este apartado se va a disear un control por Par

Calculado, el cual se basa en clculo matemtico para conseguir desacoplar y

linealizar el modelo, de tal manera se puedan tratar de manera independiente

cada uno de los eslabones del robot y permita por tanto realizar el diseo

independiente de los controles PD para cada uno de los eslabones del robot.

Para explicar el control de par calculado, se ha usado como referencia

bibliogrfica la documentacin de una presentacin de un profesor adjunto de la

universidad, que se menciona en la referencia bibliogrfica [3].

Inicialmente y como se ha partido a la hora de realizar el diseo del

control PD, el modelo del robot para el cual se ha diseado, simulado y ensayado

dicho control era acoplado, como se muestra en el esquema de la Figura 38.

Como se observa, la cinemtica inversa traduce la trayectoria XY en referencias

de ngulo, estos ngulos se realimentan y se busca como objetivo controlar la

trayectoria en XY.


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Figura 38: Esquema del sistema controlado acoplado.

Un sistema acoplado dificulta el diseo del control en gran medida. En la

Figura 39, se muestra cmo afecta el acoplo del modelo a los parmetros del

control PD.

Figura 39: Control PD desglosado del sistema acoplado.


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En general, las ecuaciones del control acopladas son:

[E.32]

Por lo que segn el Criterio Estabilidad de Lyapunov, las matrices D y P de la

ecuacin [E.32] tienen que ser mayores que cero (matrices definidas positivas).

El modelo del sistema desacoplado que se pretende obtener, con el fin de

tratar de forma independiente el eslabn 1 y el eslabn dos del robot se muestra en

la Figura 40.

Figura 40: Sistema controlado con las ecuaciones de desacoplo.

Para conseguir el modelo desacoplado, se ha realizado un clculo

matemtico para cada uno de los eslabones, teniendo en cuenta las inercias (I) y

rozamientos (B), de tal manera que teniendo en cuenta todos los elementos del

modelo, podemos realizar el desacoplo.

A continuacin se detallan las ecuaciones usadas dentro de los bloques de

Simulink, para el desacoplo del modelo. Inicialmente se parte de las ecuaciones

[E.33] y [E.34], que son las ecuaciones que representan cada uno de los eslabones,

donde los elementos marcados en negrita, ya son lineales y desacoplados.


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[E.33]: Ecuacin del eslabn 1.

[E.34]: Ecuacin del eslabn 2.

Detallando un poco ms el modelo, con el fin de obtener el modelo desacoplado,

sabemos:

A continuacin, se agrupan los trminos de la ecuacin [E.33] y la ecuacin

[E.34], obteniendo, las ecuaciones [E.35] y [E.36].

[E.35]: Agrupacin de trminos para ecuacin eslabn 1.

[E.36]: Agrupacin de trminos para ecuacin eslabn 2.

Al trmino recuadrado de la ecuacin [E.35], se le denominar u1, con el

fin de trabajar ms cmodamente, haciendo lo mismo para el trmino recuadrado

de la ecuacin [E.36], al que se denominar u2.


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A continuacin, se despejan los trminos u1 y u2 de la ecuacin [E.35] y

[E.36] en funcin del par. Al despejar ambas ecuaciones, se obtiene:

[E.37]: Ecuacin de par del eslabn 1.

[E.38]: Ecuacin de par del eslabn 2.

Por otro lado se despeja de la ecuacin [E.35] y la ecuacin [E.36], en

funcin de u1 y u2, los trminos y .

Sustituyendo ambos trminos, tanto en la ecuacin [E.37] como en la

ecuacin [E.38], se obtienen las ecuaciones finales usadas en bloque de desacoplo

de Simulink. Estas ecuaciones son las que se muestran a continuacin:

[E.39]

[E.40]

Con estas ecuaciones finales, conseguimos que nuestro modelo del robot se

comporte como un modelo desacoplado, como se puede ver en el esquema de la

Figura 41.


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Figura 41: Modelo final desacoplado.

4.2 SIMULACIN DEL MODELO EN SIMULINK

En este apartado se muestra el modelo diseado en Simulink con el bloque

de desacoplo, donde se comprobar si es correcto el desacoplo realizado y por

tanto ambos eslabones se mueven de forma independiente.

En la Figura 42, se muestra el modelo que se ha diseado para realizar las

simulaciones de las trayectorias, tanto rectilneas como circulares, al que habr

que aadir an la cinemtica inversa ya usada en el diseo del control PD y la

referencia.


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Figura 42: Modelo para simulacin del control de Par Calculado.

En primer lugar se ha comprobado el correcto funcionamiento del

desacoplo, para ello se ha puesto el primer eslabn a cero y se ha movido el otro

eslabn de tal forma que si este es absolutamente independiente del primero, no

debera provocar ningn tipo de movimiento en el eslabn 1. Para ello se ha

desconectado el cable que une u1, como se puede ver en la Figura 43.


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Figura 43: Desconexin del eslabn 1.

Con el eslabn 1 desconectado, simulamos con los parmetros de control

PD establecidos en el diseo. Con ello se pretende ver que al mover el eslabn 2,

el eslabn 1 permanece quieto en todo momento, como se observa en la Figura 44.

Figura 44: Comprobacin de que el eslabn 1 est a cero.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Eslabn1

Eslabn 2


78




Ahora para cerciorarnos de

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