NOCIONES BASICAS DE PROBABILIDAD

Prof. Leopoldo Bejarano Benites

1. Aplicar los conceptos de los trminos: Experimento, espacio muestral y evento.2. Conocer y aplicar la definicin y propiedades de la probabilidad de ocurrencia de un evento. 3. Aplicaciones del clculo de probabilidades en la ocurrencia de eventos biomdicos.OBJETIVOS

ExperimentoEs la observacin de un fenmeno. Ejemplo:a. Lanzamiento de un dado correcto sobre una superficie plana.b. Evaluacin del estado de salud de una persona.c. Calentar el agua a 100 C.d. Soltar un objeto.

Tipos de experimento: Experimento determinstico: En este caso la observacin del fenmeno nos conduce a un solo resultado. Ejemplos:En el experimento el nico resultado es el vapor.En el experimento (d) el nico resultado que se obtiene es que el objeto se cae.

Tipos de experimentos:EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel fenmeno que bajo las mismas condiciones experimentales se obtienen dos o ms posibles resultados diferentes

Ejemplos:1: Evaluar el estado de salud de una persona elegida al azar de una poblacin: s (sano) e (enfermo)2: Evaluar el estado de salud de tres personas elegidas al azar de una poblacin:(sss) (sse) (ses) (ess) (see) (ese) (ees) (eee)

ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXP. ALEATORIO:

ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Ejemplos:

1= {s , e}

2= {(sss), (sse), (ses), (ess), (see), (ese), (ees), (eee)}

EVENTO SUCESO : denotado por: A, B,..ES UN SUBCONJUNTO DEL ESPACIO MUESTRALEjemplo.- : Evaluar el estado de salud de tres personas elegidas al azar de una poblacin. Un espacio muestral asociado a este experimento es: : {(sss), (sse), (ses), (ess), (see), (ese), (ees), (eee)}Definamos los siguientes eventos:A: Que una persona resulte enferma A={(sse),(ses),(ess)}; n(A)= 3B: Que al menos dos personas resulten enfermas B={(see),(ese),(ees),(eee); n(B)= 4C: Que la segunda persona resulte enferma C={ (ses); (see); (ees); (eee)}; n(C)= 4

.D: Que al menos 4 personas resulten enfermas D={ } = ; n(D) = 0 (EVENTO IMPOSIBLE)

B: Ocurra a lo ms un enfermo (COMPLEMENTO DEL _ EVENTO B) _ B={(e,s,s),(s,e,s),(s,s,e),(s,s,s); n(B) = 4E: A lo ms 3 personas resulten enfermas E={(sss);(sse);(ses);(ess);(see);(ese);ees);eee)}= n(E) = n( ) = 8 (EVENTO SEGURO)F: Que las 3 personas resulten sanas F={(s,s,s)}; n(F)=1 (EVENTO ELEMENTAL)

En base a los eventos ya definidos, podemos construir otros eventos, por ejemplo:

AUC={(s,s,e);(s,e,s,);(e,s,s);(s,e,e);(e,e,s);(e,e,e)} Ocurre el evento AUB si ocurre A B ambos.AC={(s,e,s)}Ocurre el evento AC si ocurre A y COcurre el complemento del evento B (B) si no ocurre B. Los eventos B y B son COMPLEMENTARIOS si: BUB = y BB = { } = Tambin se podran generar los siguientes eventos:A-B: Que ocurra solamente el evento AB-A: Que ocurra solamente el evento BA B: Que ocurra solamente uno de los dos evento.

Conjunto PotenciaConjunto potencia. El conjunto potencia de , denotado por 2, es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos posibles de . Por ejemplo, si ={ a, b, c}, entonces el conjunto 2 consta de 8 elementos, a saber,2 ={ ,{a},{b},{c},{a ,b},{a ,},{b ,c},{a ,b ,c}}.Observe que los elementos del conjunto potencia son en si mismos conjuntos, y que en esta coleccin estn contenidos todos los eventos que podran ser de inters en un experimento aleatorio. No es difcil demostrar que #(2) = 2# Ejercicio. Sea ={a}. Cul es 2 ?

Campo SigmaUn campo sigma es una clase de eventos de talque: 1. Si A y B , entonces AUB 2. Si A y Ac donde Ac es el complemento de A

Definicin de probabilidad de la ocurrencia de un eventoProbabilidad ClsicaProbabilidad frecuentistaProbabilidad axiomtica

PROBABILIDAD DE LA OCURRENCIA DE UN EVENTO: P(A) = n(A) / n()A: Que ocurra exactamente una persona enferma. A={(sse),(ses),(ess)}; n(A) = 3B: Que ocurra al menos dos personas enfermas. B={(see),(ese),(ees), (eee)}; n(B) = 4C: Ocurra al menos 4 personas enfermas._ C={ } = ; n(C) = 0 (IMPOSIBLE)B:_ Ocurra a lo ms un enfermo _ B={(sse),(ses),(ess),(sss)} , n(B) = 4 E: Ocurra a lo ms 3 personas enfermas E={(sss),(sse),(ses),(ess), (see), (ese),(ees),(eee)} = n(E) = n( ) = 8 (SEGURO)F: Ocurra exactamente 3 personas sanas F={(sss)} ; n(F) = 1 (ELEMENTAL)EJEMPLOS:

P(A) = n(A)/n() = 3/8 = 0.375

P(B) = n(B)/ n() = 4/8 = 0.5

P(C) = n(C)/n() = 0/8 = 0 _ _P(B) = n(B)/n() = 4/8 = 0.5

P(E) = n(E)/n() = 8/8 = 1

P(F) = n(F)/n() = 1/8 = 0.125

P R O P I E D A D E S1.- 0 P(A) 1

P(A) = n(A)/n() = 3/8 = 0.375

P(B) = n(B)/ n() = 4/8 = 0.5

P(D) = n(D)/n() = 4/8 = 0.5

P(F) = n(F)/n() = 1/8 = 0.125

P(C) = n(C)/n() = 0/8 = 0 (Probabilidad de Evento Imposible)

P(E) = n(E)/n() = 8/8 = 1 (Prob. Evento Seguro)

A

2.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces, P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB)

(A B)BA

EJEMPLO .- En una comunidad, se evalu el estado de nutricin de 100 nios menores de 5 aos de edad, obtenindose los siguientes resultados: ********************************************************* SEXO ESTADO de NUTRICION Normal Malnutrido TOTAL ********************************************************* Hombres 40 15 55 Mujeres 20 25 45 ******************************************************** TOTAL 60 40 100 ******************************************************** Se elige un nio al azar, cul es la probabilidad de que: a. Sea mujer y este malnutrido? b. sea hombre o su estado de nutricin sea normal ? SOLUCION

3. Si A,B eventos excluyentes (AB=), entonces,

P(AUB) = P(A) + P(B)

EJEMPLO.-Se recolect informacin sobre el peso del recin nacido y si la madre fum o no durante el embarazo. Los datos se presentan a continuacin:

Cul es la probabilidad de que un recin nacido tenga bajo peso o sea normal?SOLUCION B1 : Tenga bajo peso al nacerB2 : Tenga peso normal

P( B1 B2 ) = P( B1 ) + P( B2 )P( B1 B2 ) = 50 / 200 + 150 / 200 = 1

FUMA CIGARRILLOSPESO R N.TOTALBAJONORMALSI301040NO20140160TOTAL50150200

_ 4.- Si A y A son complementarios, entonces, _ _P( A) = 1 - P(A) P(A) = 1 - P( A)

_AA

EJEMPLO.- En una determinada comunidad, se evalu el estado nutricional de 100 nios menores de 5 aos de edad, obtenindose los siguientes resultados: ************************************ Estado Nutricional n ************************************ Normal 60 Malnutrido 40 ************************************ TOTAL 100 ************************************ Se elige un nio al azar de esta poblacin, cul es la probabilidad de que sea malnutrido?SOLUCION N : Estado nutricional sea normal_N : Estado nutricional sea malnutrido _luego, P( N) = 1 - P( N) _ P( N) = 1 - 60/100 = 0.4 Interpretacin :Por tanto, la probabilidad de que el nio elegido al azar de dicha comunidad este malnutrido es de 0.4.

5.- Si A,B eventos cualesquiera, entonces, _ P( A B) = P( A-B) = P(A) - P(AB)

NOTA: Las probabilidades son expresadas en tanto por uno.(A B)BA __(A B)

EJEMPLO.-

Retomando el ejemplo sobre el peso del recin nacido y si la madre fum o no durante el embarazo, Cul es la probabilidad de que el RN tenga bajo peso pero la madre no fuma? SOLUCION B : Tenga bajo peso al nacer_F : La madre no fuma _P( B F) = P( B ) - P( B F ) _P( B F ) = 50 / 200 - 20 / 200 = 30/200 _P( B F ) = 0.15

EJEMPLO .-

Se clasifica a 900 adultos que han culminado sus estudios superiores segn sexo y ocupacin, y se obtienen los siguientes resultados: *************************************************************** SEXO OCUPACION _ Desempleados (D) Empleados (D) TOTAL *************************************************************** Hombres (H) 40 460 500 Mujeres (H) 260 140 400 **************************************************************** TOTAL 300 600 900 *****************************************************************Se elige un adulto al azar, cul es la probabilidad de que: a. est desempleado? b. Est desempleado y hombre? c. Est empleado o mujer?

SOLUCION

Ejemplo 1El experimento consiste en lanzar un dado y una moneda correcta sobre una superficie plana. Se pide:a. Elaborar un espacio muestral asociado al experimento ya ejecutado.b. Determinar los elementos del evento que est definido como: Que ocurra sello y nmero par.c. Calcular la probabilidad del evento definido en (b) d. Determinar la probabilidad de que resulte sello o un nmero mayor de 4

Resolver ejercicio 1 En la poblacin de nios menores de 5 aos de la comunidad Bella, un mdico est interesado en estudiar como se comporta la desnutricin y la anemia. Se tiene conocimiento de que la probabilidad de que un nio tenga al menos una de las dos enfermedades es de 0.55. La probabilidad de que solamente est desnutrido es de 0.25. La probabilidad de que un nio menor de 5 aos est desnutrido es de 0.4. Si de esta poblacin seleccionamos un nio al azar, Cul es la probabilidad de que:El nio este desnutrido y tenga anemia.Solamente tenga anemia.Solamente tenga anemia o solamente tenga desnutricin?

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