4. recta definitiva

MatDI

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño

CARRERA DE DISEÑO INDUSTRIAL

CÁTEDRA DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA Y DISEÑO:

guía teórico práctica

1. trigonometría

2. coordenadas en el plano

3. polígonos

4. ecuación de la recta 5. transformaciones en el plano

6. cónicas cerradas

7. cónicas abiertas

8. razones y proporciones

9. coordenadas en el espacio

10. poliedros

Universidad Nacional de Córdoba / Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño Cátedra: Matemática

1

I. RECTA…………………..……………………………………………………………………………………………………

La recta es un ente geométrico usualmente definido como una sucesión infinita de puntos alineados en el plano. La ecuación de la recta dada en forma explícita (I) es: 𝐲 = 𝐚𝐱 + 𝐛 En donde: a: pendiente o coeficiente angular, es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas. El ángulo que forma la recta con el eje de abscisas puede tomar valores entre 0⁰ y 180⁰. b: es la ordenada al origen, valor de la ordenada del punto donde la recta corta al eje de ordenadas. y: es la variable dependiente, su valor depende del valor de la variable “x”. x: variable independiente.

Condiciones de paralelismo: Dos rectas son paralelas entre si cuando tienen la misma pendiente. En el gráfico R1 // R2 porque a1 = a2 R1: y1 = 2x + 4 R2: y2 = 2x − 2 Condiciones de perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

En el gráfico R1 ⊥ R2 porque a1 = −1

a2

R1: y1 = 2x + 4

R2: y2 = −1

2x + 1

R1 R2

R2 R1


2

Ángulo entre rectas: El ángulo agudo que forman dos rectas entre sí es igual a la diferencia de los ángulos que dichas rectas forman con el semieje positivo de abscisas. En el gráfico: 144,47⁰ - 63,43⁰= 81,04⁰ (ángulo entre rectas) Recordar: la pendiente es el valor de la tangente expresada en porcentaje. Así, por ejemplo, para un ángulo de 50⁰: tg α = 1,191753593, o sea que su pendiente es igual al 119,1753593%. Además, según los datos, tendremos: Ecuación de la recta conocidos un punto y su pendiente (II): 𝐲 − 𝐲𝟏 = 𝐚(𝐱 − 𝐱𝟏)

Ecuación de la recta conocidos dos puntos (III): 𝐲 − 𝐲𝟏 =𝐲𝟐−𝐲𝟏

𝐱𝟐−𝐱𝟏∙ (𝐱 − 𝐱𝟏)

Ejemplo: conocidas las coordenadas de dos puntos pertenecientes a una recta: C (1,46; -2,04) y D (3,25; -0,86), se pide:

a. Graficar ambas puntos en un sistema de referencias. b. Dar la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.

Opción A:

- Generamos un triángulo rectángulo tal como se ve en la gráfica. - Calculamos la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de

abscisas, tgα =1,18

1,79 , es decir: tgα = 0,99

- Luego aplicamos la fórmula que se usa para el caso en que los datos de la recta sean un punto y su pendiente (II). En este caso a=0,99 y tomamos C (1,46; -2,04):

y − (−2,04) = 0,66(x − 1,46) y + 2,04 = 0,66x − 0,9636 y = 0,66x − 0,9636 − 2,04 y = 0,66x − 3,0036


3

Opción B: - Aplicamos directamente la fórmula de la recta conocidos dos puntos (III):

y − (−2,04) =−0,86 − (−2,04)

3,25 − 1,46∙ (x − 1,46)

y + 2,04 =1,18

1,79∙ (x − 1,46)

y = 0,66 ∙ (x − 1,46) − 2,04

y = 0,66x − 0,9636 − 2,04

y = 0,66x − 3,0036


4

II. EJERCICIOS………………………………………………………………………………………………………………

1. Dadas las siguientes funciones de la forma y = ax + b (ecuación explícita de la recta),

completar la siguiente tabla:

Función Pendiente

(a) Ángulo de inclinación

Ordenada al origen (b)

Raíz

R1 y = 8x + 5

R2 y = -4x

R3 y = 3x - 1/4

R4 y = 1/3x - 1/2

R5 y = 6

R6 y = -x + 1

2. Indicar cuáles de las rectas de la tabla anterior son ascendentes (/), descendentes (\) o

constantes (___).

3. Graficar cada una de las rectas indicando en cada caso (sobre el gráfico): ordenada al origen (b), ángulo de inclinación (respecto al semieje positivo de las “x”) y raíz.

4. Dadas las siguientes funciones de la forma Ax + By + C = 0 (ecuación implícita de la recta), dar las ecuaciones explícitas de las mismas. a) 8x + y + 5 =0 b) 3x - 1/4y + 5 = 0 c) - x - y = 0 d) 1/2 x + 1/4 y – 1/8 = 0

5. Hallar la ecuación de las rectas a partir de dos puntos conocidos de las mismas y

completar la tabla. Graficar.

Recta P1 P2 Ecuación explícita de la recta

R1 (2; -4) (6; 6)

R2 (-1; -3) (2; 5)

R3 (0; 0) (4; -1/2)

R4 (-12; -2) (6; 0)

6. Completar la tabla a partir de los datos dados (observar que se informa sobre un punto

perteneciente a cada recta, más la pendiente o algún dato que permite inferirla).


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Recta Punto Coefic. angular

(a)

Pendiente en %

Ángulo de inclinación de la recta

Ecuación explícita de la recta

R1 (3; 1) 1/2

R2 (4; -3) 133,3̂

R3 (-5/2; -1) 26⁰ 33’ 54,18’’

7. Dar la ecuación de las siguientes rectas a partir sus gráficas en las que se indican

intersecciones con ejes coordenados.

R1: R2:

R3: R4:

8. En la siguiente tabla se presentan pares de rectas a los efectos de determinar si

cumplen con las condiciones de paralelismo o perpendicularidad entre ellas. A partir del análisis de sus ecuaciones y de la condición establecida entre ellas, completar con una cruz en verdadero (V) o falso (F) según corresponda.


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V F R1 Condición R2

a y = 2x + 1 // y = -2x + 2

b y = 1/2x + 1 ⊥ y = 2x + 1

c y = -x ⊥ y = x

d y = -3/4x – 3/4 // y = -3/4

e y = 5 ⊥ y = - 1/5

f y = 5/2x // y = 2,5x

g y = 1/8 // y = -8

9. Hallar y graficar las rectas que cumplen con las siguientes condiciones:

a) R1: recta paralela a y = -4x – 5 que pasa por el punto (2; -4). b) R2: recta perpendicular a y = -4x – 5 que pasa por el punto (1; 1).

10. Hallar el punto de intersección entre las siguientes rectas y graficar:

a) R1: y = 8x + 5 con R2: y = 3x – 1/4. b) R3: 2y = 10x – 4 con R4: 2y = -x + 18.

11. En el apartado destinado a polígonos,

se abordó matemáticamente el juego didáctico diseñado por el artista cordobés Osvaldo Maero1. Se retoma este ejemplo y se asocian las figuras principales (cuadrado y octógono regular) a un sistema de coordenadas en el plano. Se sabe que las coordenadas del cuadrado son: A (0; 0), B (0; 56), C (56; 56) y D (56; 0). A partir del gráfico en el que se identifican las distintas rectas que contienen a los lados no paralelos a los ejes cartesianos del rectángulo, se pide: a) Hallar las ecuaciones explícitas de las rectas R1, R2, R3 y R4. b) Calcular las coordenada de los puntos de intersección entre:

b1) R1 y R2. b2) R2 y R3. b3) R3 y R4. b4) R4 y R1.

c) Graficar a escala las figuras (cuadrado y rectángulo) y las rectas en un sistema de coordenadas en el plano.

1 Imagen cedida gentilmente por el citado artista.


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x

y

R2

R1

R3

R4

A

B C

D

(0; 0)

12. En el año 2012, y en el marco de la Semana de Acciones de la FAUD, la Cátedra de Matemática propone la realización de una experiencia didáctica denominada “Viaje a las estrellas”. En este contexto, los alumnos Gabriela Vidinos y Pedro Scarpaci, generan un “tangram pentagonal” a partir del estudio del pentágono regular y el polígono cóncavo estrellado obtenido a partir del anterior. Se concibe así, un prisma de base pentagonal regular a modo de caja que contiene una serie de piezas que combinadas de innumerable maneras dan forma a las figuras más diversas.


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Si asociamos el pentágono regular original de lado igual a 8cm a un sistema de coordenadas cartesianas podremos obtener las ecuaciones de las distintas rectas que contienen los lados y diagonales de las figuras. Para este caso, se pide:

a) Hallar las ecuaciones de las rectas designadas como R1 y R2 en el gráfico. b) Calcular el ángulo comprendido entre dichas rectas (α).

13. La silla roja y azul fue diseñada por Gerrit Rietveld. Representa una de las primeras exploraciones del movimiento de arte De Sttijl en las tres dimensiones. La silla original tenía un acabado natural y luego fue pintada con la paleta de colores primarios del De Stijl: negro, gris y blanco. Sin embargo, más tarde fue cambiada para parecerse a las pinturas de Piet Mondrian cuando Rietveld entró en contacto con la obra del artista en 1918. Por su concepción extremadamente simplificada, este modelo fue concebido para ser fabricado en serie. La silla está expuesta actualmente en el Museo de Arte Moderno en Nueva York.2

Si asociamos una vista lateral3 de la silla a un sistema de referencias en el plano, y a partir de los datos dados, se pide:

a) Hallar ecuación de la recta. b) Calcular ángulo de inclinación de la misma.

2 Fuente consultada: http://wikipedia.org/wiki/silla_roja_y_azul 3 https://iset18.wikispaces.com/Silla+roja+y+azul

x

y R1 R2

A

D

C

E

(0; 0)

B

α


9

14. El sistema modular de Fitting-Pyramid se presentó en la Feria Internacional del Mueble en Milán en el año 2009 y resulta un equipamiento versátil de fácil montaje y crecimiento flexible.4 A partir de los datos de la figura, se pide: a) Determinar la ecuación de las rectas R1, R2, R3, R4 y R5.

4 ….http://www.decoestilo.com/articulo/pyramid-el-sistema-modular-de-fitting/

y

x 15cm

51

cm

(0; 0)

R

45⁰

y

x

R2

R1

R3

R4

R5

1,43

(0; 0)


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……………………………………………………………………………………………………………………..Respuestas 1.

Función Pendient

e (a)

Ángulo de inclinación

Ordenada al origen (b)

Raíz

R1 y = 8x + 5 8 82⁰ 52’ 29,94’’ 5 -5/8

R2 y = -4x -4 104⁰ 2’ 10,48’’ 0 0

R3 y = 3x - 1/4 3 71⁰ 33’ 54,18’’ -1/4 1/12

R4 y = 1/3x - 1/2 1/3 18⁰ 26’ 5,82’’ -1/2 3/2

R5 y = 6 0 Recta // al eje x 6 no

R6 y = -x + 1 -1 135⁰ 1 1

2. Ascendentes: R1, R3 y R4. Descendentes: R2 y R6. Constante: R5. 3. Solución gráfica. 4. a) y = -8x – 5 b) y = 12x + 20 c) y = -x d) y = -2x + ½ 5.

Recta P1 P2 Ecuación explícita de la recta

R1 (2; -4) (6; 6) y = 5/2x - 9

R2 (-1; -3) (2; 5) y = 8/3x - 1/3

R3 (0; 0) (4; -1/2) y = -1/8x

R4 (-12; -2) (6; 0) y = 1/9x – 2/3

6.

Recta Punto Coefic. angular

(a)

Pendiente en %

Ángulo de inclinación de la recta

Ecuación explícita de la recta

R1 (3; 1) 1/2 50 26⁰ 33’ 54,18’’ y = 1/2x – 1/2

R2 (4; -3) 1,33… 133,33… 53⁰ 7’ 48,37’’ y = 1,33…x – 8,33…

R3 (-5/2; -1) 1/2 50 26⁰ 33’ 54,18’’ y = 1/2x + 1/4

7. R1: y = 3/5x – 3, R2: y = -2x – 4, R3: y = 2x + 2, R4: y = -1/6x +1.


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8. a) F, b) F, c) V, d) F, e) F, f) V, g) V. 9. a) y = -4x + 4, b) y = 1/4 x + 3/4. 10. a) Pint. (-1,05; -3,4), b) Pint. (2; 8), c) Solución gráfica. 11. a) R1: y = -x + 16,40, R2: y = x + 39,60, R3: y = -x + 95,60, R4: y = x – 39,60. b) Entre b1) R1 y R2: Pint.(-11,60; 28) b2) R2 y R3: Pint.(28; 67,60) b3) R3 y R4: Pint.(67,60; 28) b4) R4 y R1: Pint.(28; -11,60).

c) Solución gráfica. 12. a) R1: y = 0,73x + 7,61 y R2: y = -3,08x+32,22. b) α = 72⁰. 13. a) y = 3,4x + 51. b) α = 106⁰ 23’ 22,3’’. 14. a) R1: y = x + 0,3575, R2: y = x – 0,3575, R3: y = x - 1,0725, R4: y = x – 1,7875, R5: y = -x + 2,5025.


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III. AUTOEVALUACIÓN……………………………………………………………………………………………………. Responder Verdadero (V) o Falso (F) justificando las respuestas. ……. La ordenada al origen es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto donde la recta corta al eje de las ordenadas. ……. En la ecuación de la recta, el coeficiente “a” es una tangente geométrica. ……. Todos los puntos que se encuentran sobre el eje de las abscisas, tienen coordenadas “x” igual a cero. ……. El valor correspondiente a la ordenada de un punto es la distancia desde dicho punto hasta el eje de las abscisas. ……. En la ecuación de la recta, las variables “x” e “y” son coordenadas de un punto del plano que cumple con la condición de pertenecer a la recta en cuestión. ……. La distancia entre un punto y una recta es siempre medido sobre una perpendicular a la recta que pasa por el punto dado. ……. Cuando el coeficiente “a” (tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas) es negativo, se dice que la recta es decreciente. ……. Cuando el ángulo α es menor de 90⁰, se sabe que el coeficiente angular será menor que cero. ……. Se dice que una recta es creciente cuando a medida que la coordenada “x” aumenta, también lo hace la coordenada “y”. ……. Cuando el coeficiente “a” (tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas) es negativo, se dice que la recta es decreciente. ……. El ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas varía entre 0⁰ y 180⁰. ……. Si tenemos una ecuación tal como y-2=3x, podemos deducir que la pendiente de la recta es igual a 3. ……. Para que una recta sea paralela a otra, basta con que tengan ambas rectas el mismo coeficiente angular.

4. recta definitiva

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