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Tema 3 Funciones Elementales. Curso 2019/20

3 FUNCIONES ELEMENTALES

En este Tema, estudiaremos algunas propiedades de la funciones complejas elementales.

3.1 Funciones polinómicas.

Denición 3.1. Una función polinómica es toda aquella función de la forma

p(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn,

donde los ai ∈ C (1 ≤ i ≤ n).

Una raíz o cero de un polinomio p(z) es un valor complejo z0 tal que p(z0) = 0.

El grado de p(z) es n ∈ N, es decir, el orden de la mayor potencia no nula. El grado del polinomio

nulo p(z) = 0 no se suele denir, (aunque algunos autores lo denen como −1 o −∞) y el grado de

cualquier polinomio constante no nulo p(z) = c con c 6= 0 es 0.

Recordemos que z0 ∈ C es una raíz de p(z) si y sólo si p(z) = (z − z0)q(z), donde q(z) es un

polinomio cuyo grado es uno menos que el de p(z). De hecho, se sabe que todo polinomio complejo

de grado n tiene exactamente n raíces que pueden repetirse. El número de veces que se repite una

determinada raíz se llama multiplicidad. La suma de las multiplicidades de las raíces debe ser igual a

n.

Proposición 3.2. Sea p(z) un polinomio de grado n. Una raíz z0 tiene multiplicidad k si y solo si

p(z) = (z − z0)kq(z),

donde q(z) es un polinomio de grado n− k tal que q(z0) 6= 0.

Proposición 3.3. Toda función polinómica es entera.

3.2 Funciones racionales.

Denición 3.4. Una función racional es el cociente entre dos polinomios, es decir,

R(z) =a0 + a1z + · · ·+ amz

m

b0 + b1z + · · ·+ bnzn.

Departamento de Análisis Matemático 1 Asignatura: Métodos Matemáticos I


Podemos suponer que toda función racional se escribe de la forma

R(z) =a0(z − z1)(z − z2) · · · (z − zm)

b0(z − w1)(z − w2) · · · (z − wn)

donde los ceros del numerador zi no son ceros del denominador, es decir, no hay raíces comunes. En

estas condiciones, podemos dar la siguiente denición.

Denición 3.5. En las condiciones anteriores, los valores zi son los ceros de la función racional y los

wj se llaman polos de la función racional.

La multiplicidad de un polo wj es su multiplicidad como cero del denominador.

Teorema 3.6. Sea R(z) =p(z)

bn(z − w1)d1 · · · (z − wr)druna función racional tal que el grado del nu-

merador es menor (estricto) que el grado del denominador y que numerador y denominador no tienen

raíces comunes. Entonces

R(z) =

d1∑j=1

A1,j

(z − w1)j+ · · ·+

dr∑j=1

Ar,j(z − w1)j

=

(A1,1

z − w1+

A1,2

(z − w1)2+ · · ·+ A1,1

(z − w1)d1

)+ · · ·+

(Ar,1z − wr

+Ar,2

(z − wr)2+ · · ·+ Ar,1

(z − wr)dr

).

Como consecuencia del teorema anterior toda función racional se puede escribir como suma de un

polinomio y de fracciones simples, cada una de ellas con un único polo.

En efecto, si R(z) = p(z)/q(z) es una función racional donde el polinomio del numerador tiene

mayor o igual grado que el denominador, entonces mediante el algoritmo de la división de polinomios,

existen polinomios c(z) y r(z) tales que

p(z) = c(z)q(z) + r(z)

con r(z) polinomio de grado menor que q(z), por lo tanto

p(z)

q(z)= c(z) +

r(z)

q(z)

de modo que en este caso la función racional inicial es suma de un polinomio con una función racional

en las condiciones descritas en el teorema anterior.

Proposición 3.7. Toda función racional es holomorfa en el abierto Ω := C \ polos.



3.2.1 Transformadas de Möbius.

Un caso particular de funciones racionales son las transformaciones de Möbius o transformaciones

bilineales.

Denición 3.8. Una Trasformada de Möbius es una función racional de la forma T (z) :=az + b

cz + d, con

a, b, c, d ∈ C y ad− bc 6= 0.

La condición ad− bc 6= 0 garantiza tanto que el denominador no se anule como que la transformada

de Möbius no sea constante. El caso T (z) = az+ b y T (z) =1

cz + d(con a 6= 0 en la primera y cd 6= 0

en la segunda) sí están permitidos.

Es fácil entender una transformada de Möbius w =az + b

cz + dcomo una función continua de C∞ en sí

mismo. Para ello, basta denir w =∞ en z = −d/c y w = a/c en z =∞, si c 6= 0; y w =∞ en z =∞

si c = 0.

Cada trasformada de Möbius T (z) =az + b

cz + destá determinada por una matriz A =

a b

c d

que

es invertible (det(A) = ad− bc 6= 0). Además, si las matrices A y B representan a dos transformadas

T y S, entonces la matriz A · B representará a la trasnformada T S y A−1 representará a la inversa

T−1. De esta forma, resulta que el conjunto de las Transformadas de Möbius forman un grupo para la

composición de funciones.

A continuación enumeramos algunas propiedades sobre las Transformadas de Möbius.

Propiedades 3.9.

(a) Un transformada de Möbius que deja 3 puntos jos, debe ser la identidad.

(b) Una transformada de Möbius queda determinada por la imagen de 3 puntos distintos.

(c) Una transformada de Möbius transforma rectas y circunferencias en rectas o circunferencias.

3.2.2 La inversión.

Un caso particular de transformada de Möbius es la inversión.

Denición 3.10. La función f(z) =1

zse llama inversión y está denida para z 6= 0. Si usamos la

forma polar, z = reit, entonces, f(z) =1

re−it. Así pues, el módulo de f(z) es el inverso del módulo de

z y su argumento es el opuesto.



Según esta denición, si z se mueve cerca del origen, f(z) se mueve lejos. Si z se mueve en sentido

horario alrededor del origen, f(z) se mueve en sentido antihorario.

Además, la inversión transforma el disco unidad D := z ∈ , |z| < 1 en su exterior z ∈ C : |z| > 1

y recíprocamente; y la circunferencia unidad T := z ∈ C : |z| = 1 la deja invariante.

Geométricamente, para hallar el transformado de z debemos

invertir z respecto del círculo unidad.(a) reejar el resultado sobre el eje real.(b)

Como cualquier transformada de Möbius, la inversión transfomra rectas y circunferencias en rectas

o circunferencias, pero en este caso, podemos ser algo más precisos.

Proposición 3.11. La inversión realiza las siguientes trasformaciones:

(a) Las circunferencias que no pasan por el origen se transforman en circunferencias que no pasan por

el origen.

(b) Las circunferencias que sí pasan por el origen se transforman en rectas que no pasan por el origen.

(c) Las rectas que sí pasan por el origen se transforman en rectas que sí pasan por el origen.

(d) Las rectas que no pasan por el origen se transforman en circunferencias que sí pasan por el origen.

3.3 Función exponencial.

La función exponencial es la función entera y trascendente (es decir, no polinómica) más importante.

Denición 3.12. La función exponencial es la aplicación que a cada z = x+ iy le hace corresponder

ez = Exp(z) = ex(

cos y + i sen y).

Es claro que Re(ez) = ex cos y y que Im(ez) = ex sen y. Además, |ez| = ex y arg(ez) = y + 2kπ con

k ∈ Z.

Proposición 3.13. La función exponencial es entera y cumple qued

dz(ez) = ez para cada z ∈ C.

A continuación enumeramos algunas propiedades (algunas ya vistas en el Tema 1) de la función

exponencial

Propiedades 3.14 (Propiedades de la función exponencial).



(a) La ecuación ez = 1 sólo se cumple para z = 2kπi, con k ∈ Z.

(b) La ecuación ez1 = ez2 se cumple si y solo si z1 = z2 + 2kπi.

(c) La función exponencial es periódica de periodo 2πi, es decir, ez = ez+2πi para todo z ∈ C.

(d) El rango de la función exponencial compleja es C \ 0.

(e) La función exponencial transforma rectas horizontales en semirrectas (abiertas) con origen en z = 0

y transforma segmentos verticales de longitud 2π en circunferencias centradas en el origen.

Fig. 1: Transformación de rectas horizontales y verticales por la función exponencial.

(f) La función exponencial no es inyectiva (al ser periódica), pero si la restringimos a la banda hori-

zontal B0 := z ∈ Z : −π ≤ Im(z) < π sí que lo es. De hecho, la función exponencial es

inyectiva en cualquier banda horizontal de amplitud 2π, es decir, en cualquier conjunto de la forma

Bα := z ∈ Z : α− π ≤ Im(z) < α+ π con α ∈ R.

Fig. 2: Transformación de la banda Bα por la función exponencial.

(g) Más aún, la función exponencial transforma biunívocamente la banda horizontal z ∈ C : α <

Im(z) < α+ h (con α ∈ R y 0 < h < 2π) en el ángulo z ∈ C : α < arg z < α+ h.



Fig. 3: Transformación de una banda horizontal de amplitud h en un ángulo.

3.4 Funciones trigonométricas e hiperbólicas.

Denición 3.15. Se denen las funciones seno y coseno complejos de la siguiente forma:

f(z) = sen z =eiz − e−iz

2ig(z) = cos(z) =

eiz + e−iz

2

Estas funciones son enteras y, como en el caso real, se cumple que

d

dzsen z = cos z, y

d

dzcos z = − sen z,

para cada z ∈ C.

Además tenemos la siguiente lista de propiedades válidas para todo z, z1, z2 ∈ C:

Propiedades 3.16 (Propiedades de las funciones seno y coseno).

(a) Son periódicas de periodo 2π, es decir, sen(z + 2π) = sen z y cos(z + 2π) = cos z.

(b) sen(−z) = − sen z y cos(−z) = cos z.

(c) sen2 z + cos2 z = 1.

(d) sen(z1 ± z2) = sen z1 cos z2 ± cos z1 sen z2.

(e) cos(z1 ± z2) = cos z1 cos z2 ∓ sen z1 sen z2.

(f) sen z = 0 si y solo si z = kπ con k ∈ Z.

(g) cos z = 0 si y solo si z = π/2 + kπ con k ∈ Z.



Los campos escalares componentes de las funciones sen(z) y cos z son los siguientes

sen z = senx cosh y + i cosx senh y.

cos z = cosx cosh y − i senx senh y.

De lo anterior se pueden deducir las siguientes propiedades:

Propiedades 3.17. Para cada z = x+ iy, se cumple lo siguiente:

(a) sen(z) = sen z.

(b) cos(z) = cos z.

(c) | sen z|2 = sen2 x+ senh2 y.

(d) | cos z|2 = cos2 x+ senh2 y.

También podemos denir las funciones trigonométricas asociadas.

Denición 3.18. Se denen la tangente y la cotangente compleja como

tan z =sen z

cos z, cot z =

cos z

sen z

y las funciones secante y cosecante complejas como

sec z =1

cos z, cosec z =

1

sen z.

Mediante la transformación w = sen z, las rectas verticales x = ±a, −π/2 < a < π/2, a 6= 0 se

transforman en las hipérbolas (u/ sen a)2 − (v/ cos a)2 = 1. En concreto, la recta x = a se transforma

en la rama de la hipérbola que contiene al punto (sen a, 0) y la recta x = −a en la rama de la hipérbola

que contiene al punto (− sen a, 0). La recta x = −π/2 se transforma en u ≤ −1 en el eje negativo

real, la recta x = π/2 en u ≥ 1 en el eje positivo real y x = 0 en el eje imaginario u = 0. La banda

−π/2 ≤ x ≤ π/2 se transforma en el plano entero.

De forma análoga se puede comprobar que las rectas horizontales y = b, −π/2 < x < π/2, se

transforman en las elipses de la Fig. 4.



Fig. 4: Transformación de la función seno.

Las funciones hiperbólicas se denen de la siguiente forma:

Denición 3.19. Las funciones seno y coseno hiperbólico se denen como

senh z =ez − e−z

2, cosh z =

ez + e−z

2.

Al igual que las trigonométricas, las funciones hiperbólicas son funciones enteras y cumplen que

d

dzsenh z = cosh z y

d

dzcosh z = senh z.

Tenemos la siguiente lista de propiedades válidas para todo z ∈ C:

Propiedades 3.20 (Propiedades de las funciones hiperbólicas).

(a) sen(iz) = i senh z, senh(iz) = i sen z.

(b) cos(iz) = cosh z, cosh(iz) = cos z.

(c) cosh2 z − senh2 z = 1

Las funciones hiperbólicas complejas que faltan son

tanh z =senh z

cosh z, coth z =

1

tanh z,

sech z =1

cosh z, cosech z =

1

senh z.



3.5 Funciones multivaluadas.

Habitualmente, una función es una aplicación que a cada elemento del origen le hace corresponder un

único elemento de la llegada. Así, por ejemplo, la ecuación x2 + y2 = 1 no representa una función real

de variable real.

En variable compleja también ocurre lo mismo, sin embargo, sí que conviene trabajar con apli-

caciones que a cada número complejo le puede asociar otros varios números complejos. En Variable

Compleja, se va a mantener el nombre de función, pero le asignaremos el apellido de multivaluada para

diferenciarlas de las tradicionales.

Denición 3.21. Sea U ⊂ C un abierto y f : U → C. Se dice que f es una función univaluada o

simplemente, función si para cada z ∈ U existe un único w ∈ C tal que f(z) = w.

En caso contrario, se dirá que f es una función multivaluada.

De hecho, ya conocemos algunas funciones multivaluadas. Un ejemplo es z ∈ C 7→ arg(z) ∈ R.

Otros ejemplos que ya hemos visto y en los que ahondaremos en esta sección son las raíces enésimas

y el logaritmo complejo. Para las funciones multivaluadas, nos interesará conocer el mayor dominio

complejo en donde sea una verdadera función.

Denición 3.22. Sea f(z) una función multivaluada denida en un dominio D ⊂ C. Diremos que

F (z) es una rama o determinación continua de f(z) en D si:

(a) F (z) está bien denida en D, es decir, a cada complejo z ∈ D le asigna un único valor.

(b) F (z) es uno de los posible valores de f(z) para cada z ∈ D.

(c) F es continua en D.

3.5.1 La función argumento.

La primera función multivaluada que hemos visto ya es el argumento. Recordemos que si z ∈ C,

entonces el argumento de z es cualquiera de los posibles ángulos que determina la semirrecta de origen

0 y que pasa por el ajo de z con el semieje real positivo. Recordemos que el argumento principal es

argp(z) := el único de restos ángulos que está en el intervalo [−π, π).



En estas condiciones, la función univaluada f(z) = argp(z) es continua en C \ (−∞, 0] y en el

semieje real negativo presenta una discontinuidad de salto. En otras palabras, la función argp(z) es

una rama de la función multivaluada arg(z) en C \ (−∞, 0].

En realidad, para cualquier τ ∈ R podemos denir la rama argτ (z) que consiste en considerar el

único ángulo en el intervalo [τ, τ + 2π). De esta forma la discontinuidad cambia a la semirrecta que

parte del origen con ángulo τ respecto del semieje real positivo.

En estas condiciones, argτ (z) es la rama del argumento denida en el dominio C \ reiτ , r ≥ 0.

En el caso particular τ = −π, resulta arg−π = argp.

3.5.2 Función logarítmica.

Denición 3.23. Para cada z 6= 0, se dene el logaritmo de z como el conjunto de números complejos

de la forma log z = ln |z|+ i arg(z), siendo arg(z) uno cualquiera de sus posibles argumentos.

Es claro por la denición, que la función logaritmo es multivaluada, pues si z = reit, el logaritmo

de z es el conjunto de números complejos de la forma:

log z = ln r + i(t+ 2kπ), k ∈ Z.

Todos ellos tienen la misma parte real y por lo tanto están en una misma línea vertical. Además, es

fácil comprobar la siguiente relación del logaritmo con la exponencial.

Propiedades 3.24.

(a) Si w es un logaritmo de z entonces ew = z.

(b) Para cada z ∈ C, se cumple que log ez = z + 2kπi con k ∈ Z.

(c) Parca cada z1, z2 ∈ C se cumple que

log(z1z2) = log z1 + log z2.(i) log(z1/z2) = log z1 − log z2.(ii)

Observación 3.25. De la propiedad (c.i) podría pensarse que, log(z2) = 2 log z, lo cual es falso.

En efecto, si z = rt entonces z2 = (r2)2t y se tiene que

log z2 = ln r2 + i(2t) + 2kπi = 2 ln r + 2it+ 2kπi

2 log z = 2(ln r + it+ 2kπi) = 2 ln r + 2it+ 4kπi.



Cada uno de los posibles valores de 2 log z es un posible valor de log z2, pero hay valores que puede

tomar log z2 (por ejemplo 2 ln r + 2it+ 2πi) que nunca los puede tomar 2 log z.

Denición 3.26. El valor principal del logaritmo es la rama del logaritmo denida como

logp z = ln |z|+ i argp(z)

y es continua en C \ (−∞, 0].

Proposición 3.27. Sean z1, z2 ∈ Z. Entonces

(a) argp(z1 · z2) = argp(z1) + argp(z2) + 2πj con j ∈ −1, 0, 1.

(b) logp(z1 · z2) = logp(z1) + logp(z2) + 2πij con j ∈ −1, 0, 1.

Teorema 3.28. Se cumple que logp(z) ∈ H(C \ (−∞, 0]) yd

dzlogp z =

1

zpara cada z ∈ C \ (−∞, 0].

Corolario 3.29. Las funciones argp(z) y ln |z| son funciones armónicas (conjugadas) en C \ (−∞, 0].

Podemos denir diferentes ramas del logaritmo usando diferentes ramas del argumento. Para cada

τ ∈ R podemos denir logτ z = ln |z| + i argτ (z) y resulta una función cuya parte imaginaria toma

valores en el intervalo [τ, τ + 2π).

Es continua en C \ Γτ (donde Γτ := reiτ : r ≥ 0, es decir, todo el plano menos la semirrecta

desde el origen de ángulo τ), cumple que elogτ (z) = z y verica también qued

dzlogτ z =

1

z.

Ninguna rama del logaritmo puede ser analítica en el origen. Se dice que el origen es un punto de

ramicación.

Ejemplo 3.30. Vamos a determinar una rama de f(z) = log(z3 − 2) que sea analítica en z = 0 y

vamos a calcular f(0) y f ′(0).

La función multivaluada f(z) es la composición del logaritmo con la función analítica g(z) = z3−2.

Por lo tanto, si conseguimos una rama del logaritmo que sea analítica en g(0) = −2 ya habremos

terminado, pues la composición f g sería analítica en z = 0.

No podemos tomar la rama principal del logaritmo, pues ésta ni siquiera es continua en los reales

negativos. Sin embargo, podemos tomar como rama del logaritmo log−π/4(z) que es analítica en

C \ Γ−π/4.

Entonces, F (z) := log−π/4(g(z)) resuelve el problema y resulta que

F (0) = log−π/4(03 − 2) = ln 2 + iπ y F ′(0) = (log−π/4)

′(g(0))g′(0) =g′(0)

g(0)= 0



En cuanto a la geometría, como la función logp(z) es inversa de la exponencial, podemos armar,

recordando las propiedades de la exponencial que w = logp z transforma

el dominio C\0, es decir, |z| > 0, en la región (u, v) ∈ R2 : −∞ < u < +∞, −π ≤ v < π.

la circunferencia |z| = r en el segmento vertical (ln r, v) : −π ≤ v < π.

el rayo arg(z) = t en la recta horizontal (u, t), −∞ < u < +∞.

la corona r1 ≤ |z| ≤ r2 en el rectángulo (u, v) : ln r1 ≤ u ≤ ln r2, −π ≤ v < π.

3.6 Potencias complejas.

La función logaritmo permite denir las potencias complejas de z.

Denición 3.31. Dado un número complejo a ∈ C y un número complejo z 6= 0, se dene za = ea log z.

Como la función za depende del logaritmo, parece que debe ser multivaluada:

za = ea log z = ea(ln |z|+i arg(z)) = ea(ln |z|+i argp(z)+2kπi) = ea(ln |z|+i argp(z)) · ea2kπi.

Esto no ocurre para todos los valores de a ∈ C. De hecho, parece natural pensar que si a = n ∈ N, la

denición de za debería coincidir con z · (n). . . · z. El siguiente resultado lo conrma.

Teorema 3.32.

(a) Si a ∈ C \Q, za toma innitos valores diferentes: za = ea(ln |z|+i argp(z)) · ea2kπi, k ∈ Z.

(b) Si a = mn ∈ Q\Z (fracción irreducible con n ≥ 2), entonces za = zm/n toma exactamente n valores

diferentes: zm/n = e(m/n) ln |z|ei(m/n)(argp(z)+2kπ), k = 0, 1, 2, · · · , n− 1.

(c) Si a = n ∈ Z, entonces zn toma un único valor, que coincide con multiplicar n veces el complejo z

(si n > 0), 1 si n = 0, ó 1/zn si n < 0.

Cada rama del logaritmo dene una rama de za. En particular, la rama principal del logaritmo

dene la llamada rama principal de za, que viene dada por la función F (z) = ea logp(z) para todo

z ∈ C \ (−∞, 0]. Por tanto se tiene que

Proposición 3.33. Si F (z) es la rama principal de za, se cumple que F ∈ H(C \ (−∞, 0]) y, además,d

dz(F (z)) =

dza

dz= aza−1, siempre que se elija la misma rama del logaritmo tanto en za como en za−1.



En el caso particular en que a = 1/n con n ≥ 2, entonces la función za = z1/n coincide con la

función n√z. Por tanto, la función raíz n-ésima también es una función multivaluada con n posibles

valores distintos y se cumple que n√z = z1/n = e

log zn . Se llama valor principal de la raíz n-ésima a

n√p z = e

logp(z)

n y, como el logaritmo, es analítica en C \ (−∞, 0].

3.7 Ramas y puntos de ramicación.

Ya hemos visto el concepto genérico de rama de una función multivaluada así como algunos ejemplos.

En esta sección vamos a profundizar un poco en ello.

Ejemplos 3.34.

(a) Consideremos la función f(z) = z2.

Esta función transforma el semiplano derecho

A =reit : r > 0,−π

2≤ t < π

2

,

en C \ 0; además, la función es inyectiva en A, por lo que podemos denir su función inversa que

no es más que la función raíz cuadrada principal z = g(w) = w1/2 = |w|1/2ei argp(z)/2,(w 6= 0).

Por otro lado, si consideramos f(z) restringida al semiplano izquierdo,

A′ =

reit : r > 0,

π

2≤ t < 3π

2

,

podemos comprobar que también es inyectiva en este conjunto y su imagen es C\0. En este caso,

su inversa es la aplicación z = h(w) = w1/2 = |w|1/2ei argp(z)+2π)/2 = |w|1/2ei argp(z)/2eiπ = −g(w),

(w 6= 0).

Tanto g como h son funciones continuas excepto en el eje real negativo. Este semieje se llama corte

de rama tanto para g como para h. Cada una de estas funciones es una determinación continua

o rama de la función multivaluada z1/2. La función g transforma C \ 0 en el semiplano de la

derecha, incluyendo el eje positivo imaginario, mientras que h lo transforma en el semiplano de la

izquierda incluyendo el semieje imaginario negativo.

(b) Consideremos la función exponencial f(z) = ez.

Esta función no es inyectiva, pero si nos restringimos a la banda G = z : −π ≤ Im(z) < π

sí que lo es y su imagen es todo C \ 0. Además, cada banda del plano complejo de anchura



2π (incluyendo una de las dos rectas frontera solamente) es un conjunto donde la exponencial es

inyectiva, y transforma cada una de estas bandas en C \ 0.

Así pues, dado w 6= 0, existen innitos valores de z de modo que ez = w; por eso la función

logaritmo es multivaluada, z = logw = log |w| + i(argp(z) + 2kπ) (k ∈ Z). La función logaritmo

tiene innitas ramas.

Observación 3.35. Consideramos la función w = f(z) =√z y sus dos ramas,w1 =

√reit/2,

w2 =√rei(t+2π)/2 = −w1.

Si partimos de una de ellas, por ejemplo w1 =√reit/2, y damos una vuelta alrededor del origen,

tenemos que la función pasa a valer√rei(t+2π)/2 = w2, es decir, nos cambiamos de rama; y s de nuevo

volvemos a rodear el origen, nos volvemos a cambiar de rama y así sucesivamente.

Además, esto mismo ocurre si tomamos damos una vuelta muy grande, es decir, si damos una vuelta

alrededor del ∞. Sin embargo, si es otro punto nito el que rodeamos, no tenemos este problema.

Este mismo hecho sucede con las funciones arg(z) o log z. Cada vez que damos una vuelta en torno

al origen o en torno al ∞, cambiamos de rama de la función. En estos dos casos, no es posible volver

a la rama original si damos vueltas siempre en el mismo sentido.

Denición 3.36. Sean f(z) es una función multivaluada y z0 es un punto de su dominio. Decimos

que z0 es un punto de ramicación de f(z) si una vuelta alrededor de z0 (y sucientemente cerca a z0)

produce un cambio de rama de la función.

Si n es el menor número natural tal que n vueltas alrededor de z0 llevan cada rama sobre sí misma,

decimos que z0 es un punto de ramicación de orden n− 1. Si nunca vuelve a la rama original, se dirá

de orden ∞.

El punto del innito ∞ es un punto de ramicación de f(z) si una vuelta alrededor de una curva

sucientemente grande provoca un cambio de rama. Equivalentemente, si ζ = 0 es un punto de

ramicación de la función f(1/ζ).

Denición 3.37. Un corte de rama es una línea (habitualmente recta) que separa dos ramas de una

misma función multivaluada. Equivalentemente, es la línea en la que una rama se hace discontinua.



Los cortes de rama son, en realidad, curvas por las que hacemos discontinuas las ramas y que impi-

den que podamos dar una vuelta completa alrededor de un punto de ramicación. Es muy importante

hacer notar que los cortes de rama no son únicos y podemos elegirlos según nos convenga.

Así cada punto de ramicación (incluido el punto del ∞) debe ser el nal de un corte de rama y

cada corte de rama debe acabar en un punto de ramicación.

Ejemplo 3.38. Consideremos la función f(z) =√

(z − a)(z − b), siendo 0 < a < b.

Veamos que z = a y z = b son puntos de ramicación.

En efecto, pongamos z − a = r1eit1 y z − b = r2e

it2 . Entonces f(z) =√r1r2e

i(t1+t2)/2. Si damos

una vuelta completa alrededor de z = a, f(z) pasa a valer

f(z) =√r1r2e

i(t1+2π+t2)/2 =√r1r2e

i(t1+t2)/2eiπ = −√r1r2e

i(t1+t2)/2.

Como vemos, cambiamos de rama, y lo mismo sucede si rodeamos solo z = b.

Sin embargo, si rodeamos ambos puntos, no cambiamos de rama pues en ese caso,

f(z) =√r1r2e

i(t1+2π+t2+2π)/2 =√r1r2e

i(t1+t2)/2.

Esto quiere decir que z =∞ no es punto de ramicación.

Fig. 5: Cortes de rama de f(z) =√

(z − a)(z − b).

Si queremos evitar el cambio de ramas, podemos poner, por ejemplo, los cortes de rama en las

semirrectas que se ven en el dibujo de arriba.



En estas condiciones, la función f(z) =√r1r2e

i(t1+t2)/2 queda unívocamente determinada en el

plano complejo.

Otro posible corte de rama es el que se ve en la siguiente gura

Fig. 6: Otro posible corte de rama de f(z) =√

(z − a)(z − b).

Ejemplo 3.39. Consideremos ahora la función f(z) = (z2)1/2 = ±√z2 = ±z. Es claro que es una

función multivaluada y los únicos posibles puntos de ramicación son 0 e ∞.

Ahora bien, si rodeamos al origen alrededor de la circunferencia centrada en el origen y de radio

R, tenemos que f(R0) =((Rei0)2

)1/2= R y f(R2π) =

((Rei2π)2

)1/2= R(ei4π)1/2 = Rei2π = R. Así

que la función no cambia de valor cuando rodeamos al origen.

Asimismo, podemos considerar que la circunferencia es un camino alrededor de ∞.

En conclusión, esta función es multivaluada, pero no tiene puntos de ramicación.

Ejemplo 3.40. Vamos a discutir los puntos de ramicación de la función f(z) = log(z2−1) y a dibujar

los posibles cortes de rama.

Tenemos que log(z2 − 1) = log(z − 1) + log(z + 1). Es fácil ver que z = ±1 son puntos de

ramicación. En efecto, si rodeamos z = −1 (sucientemente cerca para que no rodeemos también

z = 1), poniendo z+ 1 = r1eit1 y z− 1 = r2e

it2 y comenzamos a rodearlo por un punto z0, resulta que

f(z0) = ln r1 + ln r2 + i(t1 + t2). Al rodear completamente z = −1 y volver a z0, t1 pasa de su valor

inicial a valer t1 + 2π mientras que t2 no cambia (al dar la vuelta vuelve a su valor de partida t2), por

lo que el valor de la función al dar esa vuelta es

f(z0) = ln r1 + ln r2 + i(t1 + t2 + 2π).

Así que z = −1 es punto de ramicación. Y análogamente para z = 1.



Fig. 7: Puntos de ramicación de f(z) = log(z2 − 1).

En este caso, a diferencia de lo que ocurría en el Ejemplo 3.38, resulta que ∞ sí que es un punto

de ramicación.

En efecto, si hacemos z = 1/ζ, resulta que

f(1/ζ) = log

(1

ζ2− 1

)= log

1− ζ2

ζ2= log(1− ζ2)− 2 log ζ,

así que ζ = 0 es punto de ramicación de esta función, o lo que es lo mismo, z =∞ también es punto

de ramicación.

Esto mismo se podría ver de la siguiente forma. Si tomamos un camino sucientemente grande,

éste daría una vuelta alrededor de z = 1 y z = −1. Al hacer el giro, tanto t1 como t2 ampliarán en 2π

cada una, luego f(z) cambiará en 4π y habremos cambiado de rama.

Para dibujar los cortes de rama, tenemos que tener en cuenta que∞ también lo es y hay que evitar

dar una vuelta alrededor del innito. Por tanto, a diferencia de lo que ocurre en el Ejemplo 3.38, un

corte de rama no puede ser únicamente el segmento [−1, 1], pues este corte, permite girar alrededor

del innito.

En el dibujo siguiente se pueden ver algunos posibles cortes de rama para esta función.



Fig. 8: Diferentes cortes de rama de la función f(z) = log(z2 − 1).


3funciones elementales - universidad de sevilla · 2020. 2. 29. · emat 3uncionesf elementales....

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