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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnologíapara la Educación SecundariaPROPUESTA HIDALGO

1ergrado

Ma. Guadalupe Flores BarreraAndrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Enseñanza de las Matemáticascon Tecnologíapara la Educación SecundariaPROPUESTA HIDALGO1er. grado

Revisión: Ramón Guerrero LeyvaFormación y diseño: Ana Garza

© EMAT Hidalgo 2008© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011 Campanario 26 SanPedroMártir,Tlalpan México, D.F. 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com

Primera edición: agosto de 2011Segunda edición: agosto de 2012

ISBN 978-607-9151-06-5

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608

Impreso en México

Coordinadores de Zona Escolar EMAT-HidAlgo

EstematerialseutilizaenlasescuelassecundariasGenerales,TécnicasyTelesecundarias del Estado de Hidalgo con apoyo de las Direcciones, Su-pervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo de los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.

Alfaro Vera Gonzalo

Ángeles Ruiz Alfonso

Arroyo Rendón Martha Patricia

Arteaga Romero Damián

Azuara Sánchez Arturo

Badillo Ordóñez Filiberto

BautistaMontañoMaximino

BibianoSantiagoEdgar

Calva Badillo Jacobo

Castañeda Ahumada Héctor Hugo

Colín Pretel Alfonso

Cruz Bustos Marina

de la Cruz Reyes Rodrigo

Delgado Granados Nicasio

Díaz Badillo Ma. del Carmen

Espinoza Soto Juan Carlos

Flores Barrera Joel

Franco Moedano Aniceto Alejo

García Callejas Maricela Ma. del Carmen

García Mayorga Víctor

González Funes Cecilia Iliana

Hernández Ángeles Juan

Hernández Hernández Honorio

Hernández Hernández José Luis

Hernández Hidalgo Magdiel

Hernández Reyes Ernesto

Herrera Tapia Andrey

Islas Arciniega Silvia

Juárez Rojas Iván Ramsés

López Castellanos Verónica

López Lugo Silvia

López Miranda Rigoberto

Lozano Mendoza Rubén

Maqueda Lora Oscar Daniel

Mayorga Hernández Raúl =Mendoza Paredes Maximino

Mendoza Ruiz Francisco

Meza Arellanos Ma. del Refugio

MoraMartínTeresa

Moreno Alcántara Alfonso

MorenoMartínezErickaSofía

Mota Aguilar Gloria

Naranjo Calderón Josué Arturo

Noble Monterrubio Guillermo

Nolasco Orta Edgar Arturo

Paredes Larios Hugo Alberto

Pedraza Sánchez Jaén Maximiliano

Pérez Pacheco Set Isaí

Pérez Salas Jesús Enrique

Recéndiz Medina Juan Carlos

Robles Feregrino María Teresa

Rodríguez Escudero María Teresa

Trejo Reyes Jesús

Ugarte Morán Sergio

Vargas Rivera Rafael

Vázquez Hernández Juan Andrés

Veloz Vega María Esther

Ma. Guadalupe Flores [email protected]

Andrés Rivera Dí[email protected]

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCIT-Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del Centrode InvestigaciónyEstudiosAvanzadosdel InstitutoPolitécnicoNacional,particularmentedelDepartamentodeMatemáticaEducativa,del cual surgió la propuesta nacional.

Autores de EMAT-Hidalgo

Introducción ............................................................................................. 5

Organización del texto EMAT-Hidalgo ...................................................... 7

Programación del Primer Grado .............................................................. 9

SeptiembreRepresentaciónanalíticaygráficadefraccionesydecimales ............... 13Representación de fracciones y decimales en la recta numérica .......... 15Problemas con suma y resta de fracciones ............................................ 17Generación de sucesiones de números .................................................. 18

octubrePerímetro y área ..................................................................................... 20Construcción de triángulos .................................................................... 22Líneas importantes del triángulo ............................................................ 24Reparto proporcional ............................................................................. 25Eventos probables en un juego de azar .................................................. 27

NoviembreCriterios de divisibilidad ......................................................................... 29Cálculo del MCD y el mcm ..................................................................... 31Problemasaditivos ................................................................................. 33Multiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios ............................... 34

diciembrePropiedades de la mediatriz y la bisectriz .............................................. 37Perímetro y área de polígonos regulares................................................ 39Proporcionalidad directa ........................................................................ 42

EneroMultiplicacióndenúmerosdecimales ................................................... 43División de números decimales .............................................................. 44Ecuaciones de primer grado ................................................................... 45

Contenido

FebreroEcuaciones de primer grado ................................................................... 45Construcción de polígonos regulares ..................................................... 47Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares ............................ 49Constante de proporcionalidad .............................................................. 51

Marzo y AbrilNúmeros con signo ................................................................................. 52Construcción de círculos ........................................................................ 55Lacircunferenciayelnúmero∏ ............................................................ 59Análisis de la regla de tres simple .......................................................... 63Problemas de proporcionalidad inversa ................................................. 66Problemas de conteo ............................................................................. 68

MayoOperaciones con números enteros ........................................................ 70Potencia de números .............................................................................. 72Notacióncientífica(1) ............................................................................ 76Notacióncientífica(2) ............................................................................ 78

JunioSucesionesconprogresiónaritmética .................................................... 80Perímetro y área del círculo .................................................................. 82Proporcionalidadmúltiple ..................................................................... 84Problemasdeproporcionalidadmúltiple ............................................... 85

Bibliografía ............................................................................................. 86

EMAT-Hidalgo

Las Herramientas Computacionales (HC) constituyen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.

En el ámbito educativo, las HC constituyen una valiosa ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.

En definitiva podemos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían caracterizar:

1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tiene que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes.

2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo.

3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral.

4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tiene como función rectora orientar al alumno en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso.

5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollan sus actividades con el apoyo de la tecnología, economizando tiempo y energía.

Introducción

5

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido con el de otras asignaturas, particularmente el de las ciencias, contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes.

Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller, programado un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten ciencias en sus zonas correspondientes.

Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y elaborado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria.

Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros alumnos.

Profr. Joel Guerrero JuárezSecretario de Educación Pública

SEPH

6

PRESENTACiÓN

El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de lecciones que hacen uso de cuatro herramientas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría, álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria).

En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.

La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado a equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.

En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas; lenguaje de programación LOGO para la programación con representación geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.

En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las actividades programadas semanalmente en el texto.

Cómoestá organizadoestelibro

7

Con las lecciones contenidas en el libro se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las lecciones se hace como en el siguiente ejemplo:

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:• Explorar• Formular y validar hipótesis• Expresar y debatir ideas• Aprender mediante el análisis de sus propios errores

Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de lecciones en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas lecciones ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.

Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera DíazCoordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

JUNioSemana Eje lecciones del Bloque CiNCo Herramienta Pág.

1 SNPA Sucesionesconprogresiónaritmética. Geometría dinámica 80

2 FEM Perímetro y área del círculo. Geometría dinámica 82

8

SEPTiEMBRESemana Eje lecciones del Bloque UNo Herramienta Pág.

1

SNPA

Representaciónanalíticaygráficadefraccionesydecimales. Geometría dinámica 13

2Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Geometría dinámica 15

3 Problemas con suma y resta de fracciones. Hoja de cálculo 17

4 Generación de sucesiones de números. Hoja de cálculo 18

oCTUBRESemana Eje lecciones del Bloque UNo Herramienta Pág.

1

FEM

Perímetro y área. Geometría dinámica 20

2 Construcción de triángulos. Geometría dinámica 22

3 Líneas importantes del triángulo. Geometría dinámica 24

4

SNPA Reparto proporcional. Hoja de cálculo 25

MI Eventos probables en un juego de azar. Hoja de cálculo 27

NoViEMBRESemana Eje lecciones del Bloque doS Herramienta Pág.

1

SNPA

Criterios de divisibilidad. Hoja de cálculo 29

2 Cálculo del MCD y el mcm. Hoja de cálculo 31

3 Problemasaditivos.Hoja de cálculo y

calculadora33

4 Multiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios. Geometría dinámica 34

Programación Primer gradoEMAT-HidAlgo

9

diCiEMBRESemana Eje lecciones del Bloque doS Herramienta Pág.

1

FEM

Propiedades de la mediatriz y la bisectriz. Geometría dinámica 37

2 Perímetro y área de polígonos regulares. Geometría dinámica 39

3 SNPA Proporcionalidad directa.Hoja de cálculo y

calculadora42

ENERoSemana Eje lecciones del Bloque TRES Herramienta Pág.

1

SNPA

Multiplicacióndenúmerosdecimales. Hoja de cálculo 43

2 División de números decimales. Hoja de cálculo 44

3 Ecuaciones de primer grado. Calculadora 45

FEBRERoSemana Eje lecciones del Bloque TRES Herramienta Pág.

1 SNPA Ecuaciones de primer grado. Calculadora 45

2

FEM

Construcción de polígonos regulares. Geometría dinámica 47

3 Cálculo del perímetro y área de polígonos regulares. Geometría dinámica 49

4 SNPA Constante de proporcionalidad. Hoja de cálculo 51

10

Programación Primer gradoEMAT-HidAlgo

MARZo Y ABRilSemana Eje lacciones del Bloque CUATRo Herramienta Pág.

1 SNPA Números con signo.Calculadora y

Geometría dinámica52

2

FEM

Construcción de círculos. Geometría dinámica 55

3 La circunferencia y el número π. Geometría dinámica 59

4

MI

Análisis de la regla de tres simple. Hoja de cálculo 63

5 Problemas de proporcionalidad inversa. Hoja de cálculo 66

6 Problemas de conteo. Hoja de cálculo 68

MAYoSemana Eje lecciones del Bloque CiNCo Herramienta Pág.

1

SNPA

Operaciones con números enteros.Calculadora y

Hoja de cálculo70

2 Potencia de números.Calculadora y


3 Notacióncientífica(1).Calculadora y

Hoja de cálculo76

4 Notacióncientífica(2).Calculadora y

Hoja de cálculo78

JUNioSemana Eje lecciones del Bloque CiNCo Herramienta Pág.

1 SNPA Sucesionesconprogresiónaritmética. Geometría dinámica 80

2 FEM Perímetro y área del círculo. Geometría dinámica 82

3MI

Proporcionalidadmúltiple.Hoja de cálculo y


4 Problemasdeproporcionalidadmúltiple.Hoja de cálculo y


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LECCIÓN 1

NombredeArchivo

Al inicio de cada lección aparece, a la derecha del título, un elemento que muestra el nombre del archivo a utilizar y a la izquierda el icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse.

Significa que para esta lección se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Quiere decir que para esta lección se necesita la calculadora.

Significa que en esta lección se requiere el uso de un software de geometría dinámica.

Iconos

Los iconos y su significado son los siguientes:

12

Sentidonuméricoypensamientoalgebraico

LECCIÓN 1

ReanagrafradecRepresentaciónanalíticaygráficadefraccionesydecimales

BloqueUno

Para comparar números racionales, también llamados fracciones, abre el archivo Reanagrafradec.

Recuerda que una fracción propia es aquella en la que el numerador es menor que el denominador, una fracción impropia es la que tiene el numerador mayor que el denominador, y un número mixto es el que consiste de un número entero más una fracción propia.

En la recta siguiente, -2 está a la izquierda de -1 12

; - 58

está a la izquierda de - 18

; y 1 78

está a la

derecha de 1 18

.

En la recta numérica el orden es creciente de izquierda a derecha, es decir, dados dos números, el que esté a la izquierda es menor que (<) el de la derecha y, análogamente, el que está a la derecha es mayor que (>) el de la izquierda, la relación de orden de los números anteriores se indica así:

-2 < -1 12

- 58

< - 18

1 78

> 1 18

Para localizar en la recta numérica fracciones impropias, es conveniente primero convertirlas a un número entero más una fracción propia, es decir, a un número mixto. Para hacer esto, dividimos el numerador entre el denominador para encontrar el cociente entero y el residuo (fracción propia).

Por ejemplo, para representar 108

en la recta numérica, primero dividimos 10 ÷ 8, y vemos que el

cociente es 1 y el residuo es 2, por lo que el resultado es 1 28

(número mixto). Ahora en la recta

numérica dividimos los enteros en 8 partes iguales, puesto que así lo indica la fracción, y se

cuentan diez octavos o simplemente se ubica un entero más dos octavos.

En la recta se ha marcado 108

con una flecha azul, que equivale a 1 28

1. Ubica en la recta numérica las fracciones que se indican en cada caso:

-2 -1 0 1 2

-1 12 - 5

8 - 18 1 1

8 1 78

10

18

28

38

48

58

68

78

88

98

108

118

128

7 2

23 7

15 4 13

Bloque Uno EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria 1er grado

2. Escribe dentro del círculo la fracción que señala la flecha:

Representación analítica y gráfica de números decimales

Para encontrar el número intermedio entre dos números decimales, se suman los dos números y el resultado se divide entre 2; para localizar fácilmente el nuevo número en la recta numérica, es muy útil hacer subdivisiones de los números marcados en ella.Ejemplo.

Encontrar el número decimal que está entre 0.4 y 0.5.Se suma 0.4 + 0.5 = 0.9, luego se divide 0.9 ÷ 2 = 0.45Así que el número que está entre 0.4 y 0.5 es el 0.45

En la recta numérica:

Al realizar su representación gráfica en el ambiente de Geometría dinámica, con el archivo Reanagradec, verás que se puede verificar la propiedad de densidad de los números racionales, es decir, entre dos números racionales siempre hay otro número racional.

1. Señala con una flecha en la recta numérica los números que se indican.

2. Utilizando el procedimiento del ejemplo anterior, encuentra y ubica en la recta un número que esté entre los siguientes.

Procedimiento numérico.

a) 1.5 y 1.6

b) 2.7 y 2.8

100 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4

0 1 2

0 1 2 3

0 0.4

0.45

0.5 1

0 21 4 53 6

0.9 2.50 5.20 1.70 0.5 3

14


LECCIÓN 2

Refradec

En esta lección aprenderás a ubicar números fraccionarios y decimales en la recta numérica y determinar el orden de las fracciones.

Las fracciones pueden ubicarse en una recta, dividiendo a la unidad en tantas partes iguales como indique el denominador, mientras que los decimales pueden situarse dividiendo la unidad siempre en 10 partes iguales.Ejemplo:

Representacióndefraccionesydecimalesenlarectanumérica

Abre el archivo Refradec y manipula los valores correspondientes para realizar las siguientes actividades.

1. En cada pareja, encierra en un círculo el número mayor.

12

y

18

23

y

32 0.01 y

1

1034

y

13

35

y 0.2

0.1 y

38

47

y

35

15

y 0.325

y

24

25

y

512

2. Ordena en el recuadro de abajo, de menor a mayor, los números que se muestran.

12 ,

13 ,

14 , 0.2

23 , 0.2,

52 , 1 0.01,

110 ,

15 , 0.3

3. Colorea los números decimales que sí están correctamente ubicados en la recta:

0 0.5 1

12

7 8

7.47 7.69 7.917.237.06

7.10 7.32 7.54 7.83 8.0

15


4. Ubica en la recta los números decimales indicados.

3.6 y 3.7

3 4

8.5 y 8.6

8 9

0.7 y 0.8

0 1

5. Sitúa en la recta los siguientes números señalándolos con una flecha.

4.02 4.13 4.28 4.33 4.40 4.570 4.600 4.720 4.85 4.99

4 5

16


LECCIÓN 3

ProsuresfraProblemasconsuma yrestadefracciones

En cada ejercicio analiza qué operación tienes que hacer para resolverlo y utiliza el archivo Prosuresfra.

1. Resuelve los siguientes ejercicios.

a) Un obrero fabricó el lunes 14 12

docenas de piezas metálicas; el martes 15 23

docenas, y el

miércoles 16 34

docenas. ¿Cuántas docenas de piezas fabricó en los tres días? ¿Cuántas

piezas fueron en total?

b) Si a 34

de tonelada de azúcar agrego 12

tonelada, ¿cuánto tengo?

c) Si Javier ve que su reloj marca las 6 12

y después de un rato el reloj avanzó 34

de hora,

¿Qué hora marca el reloj?

d) A 25

partes de los alumnos del grupo 1º A, les gusta jugar futbol, a 14

parte le gusta jugar

basquetbol, a 13

parte le gusta jugar volibol, y a los demás no les gusta practicar deporte.

¿A cuántos alumnos no les gusta practicar deporte?

e) Para hacer una blusa, la mamá de Martha compró 85 de metro de tela, de los cuales utilizó

34 de metro. ¿Cuántos metros de tela le sobraron?

f) Si en un restaurante tenían 712 kilogramos de café por la mañana y se vendieron 7

14

kilogramos durante el día, ¿cuánto café quedó al final del día?

17


LECCIÓN 4

genSucesionesGeneraciónde sucesionesdenúmeros

En el ambiente de hoja de cálculo realiza lo siguiente.Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse como sigue:

A B C

1 4

2 5

3

4

En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1.En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1.

Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la de la hoja.

Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué sucesión obtienes

ahora en la columna A?

¿Qué harías para obtener la sucesión 100, 101, 102, 103… en la columna A?

Hazlo en la hoja de cálculo.En seguida escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que dé como resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B la sucesión 100, 99, 98, 97… Tu hoja debe verse así:

A B C

1 100 100

2 101 99

3 102 98

4 103 97

Construye en la columna C la sucesión 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes poner el primer número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después copiarla hacia abajo.

18


Ahora construye las siguientes sucesiones:En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna G: 5, -5, 5, -5, 5…

Piensa en el siguiente problema: tu papá te ofrece dos opciones para darte tu gasto. En la primera, te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100 pesos a la cantidad inicial. En la segunda opción, te dará un centavo para empezar, aunque promete que cada semana te dará el doble de la semana anterior. ¿Cuál de las dos opciones escogerías?

Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usando fórmulas en la fila 3 para generar las tres sucesiones.

A B C

1 SEMANA 1a oPCiÓN 2a oPCiÓN

2 1 100 0.01

3 2 200 0.02

4 3 300 0.04

Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas.

¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?

¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (medio año) si hubieras escogido la segunda

opción?

¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?

¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?

En una sucesión aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el siguiente. En una sucesión geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo para obtener el siguiente.

¿Cuál de las sucesiones de arriba es geométrica y cuál es aritmética?

Clasifica las sucesiones de la lección Generación de sucesiones de números como aritméticas o geométricas.

Aritméticas:

Geométricas:

19


LECCIÓN 5

CalcuPeriArea

Nombre Figura Perímetro Área

Triángulo b

a

h cP = suma de los lados

P = a + b + cA = b • h

2

Cuadradol

P = 4 • l A = l2

Rectángulob

a P = 2(b + a) A = b • a

Romboa

dd

P = 4 • a A = D • d2

Romboide h

b

a P = 2(b + a) A = b • h

Trapecio h

bc d

BP = B + c + b + d A = B + b

2 • h

Trapezoidea

bd

c

P = a + b + c + dA = Suma de las áreas de

los dos triángulos

Polígono regulara

l

P = nl A = P • a2

Perímetroyárea

El perímetro y el área son medidas de uso común en diseños, edificaciones, estudio de estructuras, comparación de figuras de formas diversas, etcétera. Por esta razón es importante su estudio en el ambiente de Geometría dinámica.

Se le llama perímetro tanto al contorno de una figura como a la medida de éste, mientras que el área comprende la región interior de una figura y es su medida.

Área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

Abre cada archivo de acuerdo al nombre del polígono y comprueba las fórmulas del perímetro y del área de cada figura.

20

Forma, espacio y medida

Figura Perímetro Área

1. Abre el archivo CalcuPeriArea y calcula el perímetro y área de las siguientes figuras, midiendo los lados y alturas con las herramientas adecuadas.

21


LECCIÓN 6

CalcuPeriArea

Pasos para construir un triángulo con regla y compás

1. Con base en el procedimiento anterior y con herramientas de geometría dinámica, traza cuatro triángulos con las siguientes medidas.a) 6, 3 y 4 cm b) 4, 4.5 y 3 cm c) 3.5, 4.5 y 4.5 cm d) 6, 6 y 6 cm

1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

4. Se unen los extremos del segmento con el punto dondesecortanlosarcosyseobtieneeltriángulopedido.

Construcción detriángulos

22


Construcción de cuadriláteros.

Un cuadrilátero es una figura plana formada por cuatro lados que se cortan dos a dos. Según la disposición de los lados y los ángulos que forman, se clasifican como sigue.

Tipos de cuadriláteros.

Cuando los lados son paralelos dos a dos, el cuadrilátero se llama paralelogramo

Cuando solamente son dos los lados paralelos, el cuadrilátero se llama trapecio

Caundo no existe ningún lado paralelo a otro, el cuadrilátero se llama trapezoide

Diagonal es la recta que une un vértice con otro no inmediato.

Para construir un cuadrado conociendo su diagonal d, se siguen estos pasos:d

s

r

d C

A B

• Sobre un punto A cualquiera se trazan dos rectas perpendiculares entre sí: recta r y recta s.

• Se traza la bisectriz a del ángulo formado por las rectas r y s.• Con el compás se lleva d a la bisectriz, haciendo centro en A y

marcando el extremo con C .• Desde ese punto C se trazan paralelas Cd y CB a las rectas r y s.• Utilizando los puntos A, B, C y D se construye el cuadrado.

1. Construye los siguientes cuadriláteros:a) Cuadrado cuyas diagonales midan 4.6 cmb) Cuadrados cuyas diagonales midan 5.2 cm y 6.9 cm, respectivamente

Para construir un rombo a partir de una diagonal d y su lado a:• Se coloca la diagonal sobre una recta r cualquiera. Se obtienen los

puntos A y C.• Con el lado a como radio, se trazan dos arcos desde A y C.

Obtenemos los puntos B y d.• Se unen los extremos A y C de la diagonal con los puntos B y d y

se obtiene el rombo. 2. Dibuja dos rombos cuyas diagonales midan:

a) 4 cm y 3 cmb) 5 cm y 7 cm

A

da

ra

d

C

B

23


LECCIÓN 7

linTrianLíneasimportantes deltriángulo

Bisectriz (l)

l

Mediatriz (m)

Mediana (n)

Altura (r)

r mn

La siguiente figura muestra la bisectriz, la altura y la mediana, trazadas desde un vértice del triángulo; aparece también la mediatriz en el lado opuesto al vértice considerado.

Reproduce este trazo en el ambiente de Geometría dinámica.Anota los pasos que seguiste para realizarlo.

Mueve los vértices del triángulo y verifica que las propiedades de cada una de las rectas se conservan.

Si sigues moviendo los vértices, ¿habrá un momento en que concurran las cuatro rectas?

¿En qué tipo de triángulo coinciden las cuatro rectas?

En otro triángulo traza todas las:a) bisectrices b) alturas c) medianas d) mediatrices

Elpropósitodeestalecciónesreafirmarlosconceptos de bisectriz, altura, mediana y mediatriz de un triángulo cualquiera.

24


LECCIÓN 8

ReparPropor Repartoproporcional

Una forma de resolver los problemas de reparto proporcional consiste en determinar la cantidad total y las partes en las que se va a llevar a cabo dicho reparto. Otra forma de resolverlos es encontrar el valor unitario de las partes a repartir.

Ejemplo.Los chicos de la escuela organizaron una visita a los museos de la Ciudad de México. Para reunir fondos vendieron playeras. Después de cubrir los pagos que debían hacer (comida, transporte y otros) notaron que tenían un sobrante de $2 000. ¿Cómo podrían dividir esta cantidad de una manera justa? ¿Qué datos necesitas para hacer el reparto?

La estrategia que usaron para hacer el reparto fue la siguiente.a. Anotaron en una tabla el número de playeras que vendió cada uno.

Nombre Playeras vendidas

Karina 15

Carmen 25

Emilio 30

María 10

Mauricio 20

Total 100

b. Después de construir la tabla, repartieron el monto total en proporción a esos datos. Como son $2 000 a repartir y vendieron 100 playeras, el valor unitario es 2 000 ÷ 100 = 20, así que por cada playera vendida se deben dar $20.

Nombre Playeras vendidas operación Cantidad a recibir

Karina 15 15 x 20 $300

Carmen 25 25 x 20 $500

Emilio 30 30 x 20 $600

María 10 10 x 20 $200

Mauricio 20 20 x 20 $400

Total 100 $2 000

25


Problemas de reparto proporcional

1. Un abuelo desea repartir $18 000 proporcionalmente al número de nietos que le han dado sus tres hijos: Juan tiene 3 hijos, Carmen 1 y Eduardo 2. Calcula cuánto recibirán cada uno de los nietos.

2. Hugo, Paco y Luis compraron un billete de lotería con un costo de $80. Hugo puso $15, Paco $45 y Luis $20. Si ganaron un premio de $120 000 y deciden repartirlo en partes proporcionales de acuerdo con su aportación para comprar el billete, ¿qué cantidad le corresponde a cada uno?

3. Marifer, Tania, Dominique y Paulina hicieron panecillos y los vendieron durante una semana. Marifer trabajó solo el lunes y miércoles; Tania trabajó martes, miércoles, viernes y sábado; Dominique trabajó lunes, martes, jueves, viernes y domingo; Paulina trabajó martes, jueves y sábado. Si obtuvieron $800 de ganancia por la venta de los panecillos, ¿cuánto dinero le tocará a cada una si lo reparten de manera proporcional a los días que trabajó cada una?

4. En la empresa “Patito”, el dueño desea repartir las ganancias de todo un año entre sus empleados, para motivarlos. Las ganancias ascienden a $350 000. Si José trabajó 7 meses, Mauricio 9 meses, Martín 12 meses, Mario 5 meses y Orlando 6 meses, ¿cuánto dinero le tocará a cada uno si se reparte de manera proporcional de acuerdo al número de meses que trabajaron?

PararesolverlostienesqueabrirelarchivoReparPropor y completar las tablas con las fórmulas apropiadas.

26

Manejo de la información

LECCIÓN

JuegoJusto

9Eventosprobables enunjuegodeazar

Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer que:

En cada turno o partida todos los jugadores tengan la misma probabilidad de ganar.

Si las probabilidades de los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el número con menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar.

Las reglas del juego no favorezcan a ninguno de los jugadores.

Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, la probabilidad de que salga 1 es 16

y es exactamente

la misma para que salga 2, 3, 4, 5 o 6. Recuerda que la fórmula para calcular la probabilidad es

la siguiente:

Probabilidad de un evento = número de eventos favorablesnúmero de eventos posibles

En este caso, existen 6 eventos posibles, porque un dado tiene 6 caras y el número de eventos favorables es 1 porque sólo una cara queda hacia arriba, aunque puede ser cualquiera de las 6.Por lo tanto, los 6 eventos en un dado son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Con el lanzamiento de una moneda pasa lo mismo:

La probabilidad de que "salga" águila es 12

, porque sólo puede caer una vez águila entre los 2

eventos posibles (águila o sol) al lanzar una vez la moneda, y la probabilidad de que caiga sol

también es 12

; por lo tanto, los eventos águila y sol son equiprobables.

El conjunto de todos los eventos posibles se denomina espacio muestral.Abre el archivo JuegoJusto y explora los dos ejemplos anteriores.

3

27


Eventos no equiprobables en un juego de azar

Cuando lanzamos dos dados cambian las condiciones; para verlo abre el archivo SumaDosDados.

1. Completa el espacio muestral en el lanzamiento de dos dados:

¿Serán eventos equiprobables que la suma de los dos

dados sea 4 o que sea 5?

Los eventos con los que la suma nos da 4 son:1–3, 2–2 y 3–1, aclarando que el primer número es del dado 1 y el segundo corresponde al dado 2.Entonces tenemos 3 resultados de los 36 posibles que conforman el espacio muestral, es decir, la probabilidad de que la suma sea 4 es:

P(suma 4) = 336

= 0.083; es decir, 8.3%

Ahora, los eventos con los que la suma nos da 5 son: 1–4, 2–3, 3–2 y 4–1, es decir, la probabilidadde que la suma sea 5 es:

P(suma 5) = 436

= 0.111; que es 11.1%.

En base a estos resultados, podemos concluir que los eventos suma = 4 y suma = 5 no son equiprobables, porque su probabilidad es diferente.

2. Resuelve los siguientes ejercicios haciendo en tu cuaderno las operaciones necesarias para justificar tu respuesta

a) P(suma 6) y P(suma 7) P(suma 6) = P(suma 7) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? b) P(suma 4) y P(suma 10) P(suma 4) = P(suma 10) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? c) P(suma 8) y P(suma 9) P(suma 8) = P(suma 9) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? e) P(suma par) y P(suma impar) P(suma par) = P(suma impar) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué? f) P(suma mayor que 6) y P(suma menor que 8)

P(suma mayor que 6) = P(suma menor que 8) =

¿Son equiprobables? ¿Por qué?

dado 1 dado 2 Suma

1

123 1 + 3 = 44 1 + 4 = 556

2

12 2 + 2 = 43 2 + 3 = 5456

3

1 3 + 1 = 42 3 + 2 = 53456

4

1 4 + 1 = 523456

5

123456

6

123456

28


LECCIÓN 1

Criteriodivis Criteriosdedivisibilidad

BloqueDos

En esta lección es importante que se comprendan los criterios de divisibilidad y, comprobarlos con el archivo CriterioDivis.

Divisibilidad por dosTodo número que termina en un dígito par o en cero, es divisible por dos.

Divisibilidad por tresTodo número es divisible por tres cuando la suma de sus dígitos es divisible por tres.

Divisibilidad por cinco Todo número es divisible por cinco si termina en cero o cinco.

Divisibilidad por sieteUn número es divisible por siete cuando el doble de la primera cifra de la derecha, restado de lo que queda a la izquierda,daceroounmúltiplodesiete.

Divisibilidad por once

Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar impar y la suma de los valores absolutos de sus cifras de lugar par, de derechaaizquierda,esceroomúltiplode11.

Divisibilidad por treceUn número es divisible por trece cuando el producto de la primera cifra de la derecha por 9, restado de lo que queda a laizquierda,es0omúltiplode13.

1. Haciendo uso del archivo FacPrim, escribe todos los divisores de:

a) 50 b) 81 c) 36

2. Escribe cinco números de dos cifras, que sean divisibles entre:

a) 2 y 3 b) 2 y 5 c) 2 y 9 d) 3 y 5

3. Escribe tres parejas de números primos entre sí.

4. En 14 sustituye cada espacio por una cifra, de forma que el número que resulte sea divisible por 2, 3 y 5 a la vez. Halla tres soluciones.

a) b) c)

29

Bloque dos EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria 1er grado

5. Explica cuáles de estos números son múltiplos de 11, aplicando el criterio de divisibilidad:4709 990 1342 99385 5071 1995 770066 74017

6. Encuentra un múltiplo de 26 comprendido entre 300 y 350.

7. Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 151 y 200.

8. ¿Es 15 múltiplo de sí mismo? ¿Es 15 múltiplo de 1?

9. ¿Cuáles son los números comprendidos entre 200 y 400 que son divisibles por 4 y 5?

10. ¿Cuáles son los números inferiores a 100 divisibles a la vez por 2, 3 y 4?

11. Con el archivo MultiploVSDivisor, escribe en los espacios la palabra múltiplo o divisor, según corresponda.

a) 25 es de 5 b) 60 es de 120

c)16 es de 8 d) 11 es de 33

e) 100 es de 25 f) 7 es de 63

g) 333 es de 4 h) 343 es de 7

12. De los siguientes números: 9, 25, 15, 20, 4, 8, 100, 45, 5, 2, 22, 3. Elige cuatro parejas que cumplan entre sí la relación de divisibilidad.

30


LECCIÓN

CalcMCdmcm

2 CálculodelMCDyelmcm

Mediante el archivo EUCLIDES, calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números.

a) 140, 350 b) 30, 45 c) 72, 108 d) 270,234 e) 560,588 f) 210, 315g) 18, 24 h) 12, 40 i) 220, 150 j) 300, 500 k) 80, 100 l) 21, 35

Haciendo uso de EUCLIDES, analiza y resuelve los siguientes problemas.

1. Una fuente situada en una plaza cambia de programa cada 450 segundos, y otra situada en una plaza cercana cambia cada 250 segundos. Si a las 9 de la mañana coinciden las dos fuentes con el mismo programa, ¿a qué hora volverán a coincidir?

2. Se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros, y se quiere envasar el vino en garrafas iguales sin mezclarlo, pero de forma que el número de garrafas sea el mínimo. ¿Qué capacidad debe tener cada garrafa?

El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es elmenormúltiploquetenganencomún.

divisores: los divisores de un número son todos los números que dividen a dicho número, dando residuo cero.

Ejemplo: los divisores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20

Números primos: sonlosnúmerosquesólotienendosdivisores, el 1 y ellos mismos.

Son primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... En el archivo FacPrim tienes los números primos menores que 100.

Máximo común divisor (MCd): El MCD de dos o más números es el número más grande posible que divide a esos números.

Para calcular el MCD de dos números se colocan uno debajo del otro, se obtienen todos los divisores de ambos y el mayor divisor que se repita es el MCD.

31


3. Una hoja de papel de 18 cm de largo y 24 cm de ancho se quiere dividir en cuadritos iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuántos cuadritos se pueden obtener?

4. Dos cometas se acercan al Sol, uno cada 100 años y otro cada 75 años. Si se aproximaron juntos al Sol en 1990, ¿cuándo se volverán a encontrar?

5. José y María van a casa de su abuelo, el primero cada 12 días y la segunda cada 16 días. ¿Cada cuántos días coinciden?

6. En el maratón de la ciudad de Pachuca, Adriana corrió los primeros 10 km en 28.32 minutos, los siguientes 10 km en 33.48 minutos, los siguientes 10 km en 41.34 minutos y los últimos 12.195 km en 56.36 minutos. ¿En cuántos minutos corrió Adriana toda la carrera?

7. En una bodega, hay 3 bultos de frijol que pesan respectivamente 47.6, 53.257 y 49.345 kg. ¿Cuántos kilogramos de frijol hay en la bodega?

8. Para hacer una carne asada, Martín fue a la carnicería y compró 3.5 kg de chorizo, 2.75 kg de bistec, 1.250 kg de queso y 2.500 kg de tortillas. ¿Cuál fue el peso total de sus compras?

9. Sonia ahorró durante una semana $12.5, $25.8, $8.75, $18.35 y $7.2. ¿Cuánto dinero tiene al final de la semana?

10. Para construir una casa, don Roque, el albañil, recibió 18.75 toneladas de cemento y sólo utilizó 15.865 toneladas. ¿Cuánto cemento le sobró?

11. De un pedazo de tela de 25 metros, doña Beatriz, la costurera, utilizó 4.5 m para una blusa, 8.75 m para un pantalón y 6.25 m para una falda. ¿Cuánta tela queda?

12. Si Bertha tenía $275 el domingo y en el supermercado compró unos tenis de $135.75, una blusa de $95.35 y unos guantes de $24.35, ¿cuánto dinero le quedó?

13. Cinco timbres tocan simultáneamente y volverán a tocar cada 6, 7, 8, 9 y 10 segundos, respectivamente. Si coinciden a las 11 de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir?

14. Una caja contiene entre 70 y 100 naranjas: Si las contamos de cuatro en cuatro o de siete en siete no sobra ninguna. ¿Cuántas naranjas hay?

32


LECCIÓN

SolProbFracdec

3 Problemasaditivos

Para resolver los problemas de esta actividad, debe determinarse si es suficiente una estimación del resultado o si es necesario obtenerlo exacto; también se debe decidir si conviene trabajar con fracciones o con números decimales y realizar las conversiones necesarias. Se aprovechará el proceso de resolución de problemas para revisar las nociones de números fraccionarios y decimales, sus usos y fortalecer las técnicas para operar con este tipo de números.

Para resolver los problemas se usa el archivo SolProbFracDec.

1. Si una sandía pesó 6 12

kg y un melón 1.75 kg, ¿qué diferencia de peso tienen?

a) 4 34

kg b) 3 12

kg c) 2 34

kg d) 1 12

kg

2. Si una papaya pesa 2 34

kg, un melón 1.5 kg y una jícama 34

kg, las tres frutas juntas pesan:

a) 6 kg b) 5 kg c) 4 12

kg d) 4 36

kg

3. Si el basquetbolista Michael Jordan anotaba en promedio 64 puntos cada 2 partidos, ¿cuántos puntos habrá anotado al final de una temporada de 85 partidos?a) 2 700 b) 5 440 c) 3 000 d) 2 720

4. La altura de cada uno de los diecinueve pisos de una torre es de 3 14

m. ¿Cuál es su altura total?a) 62 m b) 61.75 m c) 61.57 m d) 62.75 m

5. Un deportista bebe 2.5 litros de agua el sábado y 1 34

el domingo. ¿Cuánta agua tomó en total?

a) 174

b) 173

c) 172

d) 176

6. Una puerta mide 3.5 m de alto y 1710

m de ancho. El área de esta puerta es:a) 4.9 m b) 5.9 m c) 6.9 m d) 2.9 m

7. Si en un examen con 20 aciertos se obtiene un 5 de calificación, ¿cuánto vale cada acierto?a) 4 b) 2 c) 0.25 d) 0.4

8. Para trazar un pentágono inscrito en una circunferencia, hay que trazar ángulos de:a) 60º b) 72º c) 45º d) 90º

9. De un pedazo de tela de 15 metros, doña Martha utilizó 2.7 m para una blusa, 4 14

m para un

pantalón y 3310

m para una falda. ¿Cuánta tela le queda?a) 4.85 m b) 4.7 m c) 4.5 m d) 4.75 m

33


LECCIÓN 4

MultiNumFracMultiplicaciónydivisióndenúmerosfraccionarios

Para la multiplicación de fracciones se necesita tomar en cuenta las opciones que se muestran en el siguiente diagrama.

Multiplicación de fracciones

Al entero se le pone un 1 como denominadorysemultiplican

las dos fracciones

Semultiplicandemaneralineal, es decir, numerador

por numerador y denominador por denominador

El número mixto se convierte en fracción común y se

multiplicanlasdosfracciones

2 23

× 45

= 83

× 45

= 3215

74

× 3 = 74

× 31

= 214

32

× 57

= 1514

Una fracción por un número entero

dos o más fracciones

Un número mixto por una fracción

Para las actividades siguientes abre el archivo MultiNumFrac, en donde verás tanto la representación analítica como la geométrica.

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones, simplifica y obtén enteros si es necesario.

a) 35

× 67

= b) 43

× 6 = c) 38

× 2 25

=

d) 23

× 84

= e) 5 × 65

= f) 4 13

× 29

=

Resuelve los siguientes ejercicios de multiplicaciones de fracciones.

Ejemplo: si en una escuela de 462 alumnos, las dos terceras partes son hombres, ¿cuántos hombres hay?

462 × 23

= 4621

× 23

= 9243

= 308

R = En la escuela hay 308 hombres

34


1 kg de pescado en trozos12 taza de leche (125 mililitros)Un bolillo frío (70 g)3

4 de taza de aceite (187.5 mililitros)6 cucharas de mayonesa (60g)12 cebolla (100g)

2 dientes de ajo (4 g)Hierbas de olor al gustoSal y pimienta al gusto

2. De 5 galones de pintura, don Lucho gastó la cuarta parte para pintar la sala. ¿Cuánta pintura gastó?

3. Si el metro de tubo de cobre cuesta $125, ¿cuánto me costarán 45

de metro?

4. La longitud de una pista de atletismo es 25

de km. Si Miguel dio 5 vueltas a la pista, ¿qué

distancia recorrió?

5. Sobre una báscula se han colocado 8 bolsas. Si cada bolsa pesa 1 12

kg, ¿cuál será la lectura

que registra la báscula? Expresa el resultado en fracciones de kg.

6. Alejandra llenó una botella de 34

de litro con agua y vació su contenido en una jarra que estaba

vacía. Esta acción la realizó en 6 ocasiones. ¿Qué cantidad de agua hay dentro de la jarra?

7. La siguiente es una lista de ingredientes para elaborar tortitas de pescado (6 porciones).

a) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para hacer 12 porciones de tortitas de pescado:

b) Calcula la cantidad de ingredientes necesarios para elaborar 9 porcio-nes de tortitas de pescado:

8. Si 38

partes de un número son 24. ¿cuál es el número?

9. Un cuadrado aumenta una décima parte en cada uno de sus lados. ¿Cuánto aumenta su área?

tortitas de pescado

35


Problemas que requieren la división de números fraccionarios

Al dividir fracciones se pueden presentar las siguientes posibilidades, como se muestra en este diagrama.

división de fracciones

Al entero se le pone un 1 como denominador y

semultiplicanlasfracciones en forma cruzada

Semultiplican numeradores y

denominadores de forma cruzada

El número mixto se convierte en fracción común y

semultiplicanlasfracciones en forma cruzada

2 23

÷ 34

= 83

÷ 34

= 329

= 3 59

8 × 4 = 323 × 3 = 9

35

÷ 2 = 35

÷ 21

=

310

3 × 1 = 35 × 2 = 10

34

÷ 56

= 1820

=

910

3 × 6 = 184 × 5 = 20

Una fracción entre un número entero

dos o más fracciones

Un número mixto entre una fracción

Para las actividades siguientes abre el archivo ProbDivicFrac, en donde tendrás tanto la representación analítica como la geométrica.

1. Realiza las siguientes divisiones, simplifica y obtén enteros si es posible.

a) 47

÷ 65

= b) 25

÷ 3 = c) 38

÷ 2 26

=

d) 4 ÷ 59

= e) 3 14

÷ 45

= f) 95

÷ 36

=

g) 4 23

÷ 3 57

= h) 85

÷ 34

= i) 711

÷ 5 =

Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Hay seis cajas iguales de mercancía. Entre todas las cajas pesan 25 35

kg. ¿Cuánto pesa cada caja?

2. Si para hacer una camisa se necesita 1.5 m de tela, ¿cuántas camisas se podrán hacer con una pieza de tela dts?

3. Si tenemos un saco con 50 kg de azúcar, ¿cuántas bolsas de 2 12

kg podemos llenar?

36


LECCIÓN 5

MediatBisecPropiedadesdela mediatrizylabisectriz

Mediatriz

La mediatriz de un segmento de recta es la recta que lo divide en dos partes iguales y es perpendicular a ese segmento.

Para trazar la mediatriz sigue estos pasos:

1. Traza un segmento de recta y desígnalo como AB.

2. Tomando como centro el punto A, abre tu compás más de la mitad del segmento de recta.

3. Traza una circunferencia.

4. Ahora, desde el punto B se traza una circunferencia de igual radio que la anterior.

5. Traza una recta donde por los puntos donde se cruzan las dos circunferencias.

A esta recta se le conoce como mediatriz (M).

1. Con el uso de Geometría dinámica, traza la mediatriz del segmento AB cuya longitud es igual a:

a) 4 cm b) 7 cm

A B

A

B

A B

A

B

A

B

c) 8 cm d) 9 cm

37


Bisectriz

La bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos ángulos de la misma medida, es decir, la bisectriz es el eje de simetría del ángulo.

Para trazar la bisectriz sigue estos pasos:

50°

150°

a) b)

1. Dibuja el ángulo sobre el cual trazarás la bisectriz.

2. Apoyándote en el vértice del ángulo, abre el compás a

cualquier medida para trazar dos arcos que corten a los lados

del ángulo en A y B.

3. Ahora, apoyándote en el punto A y el punto B traza dos arcos del mismo radio que se corten

en un punto Q.

4. Por último, traza una recta desde el vértice del ángulo y la intersección de estos dos últimos

arcos.

Esta es la bisectriz.

1. Con el uso de Geometría dinámica, traza la bisectriz de los siguientes ángulos y halla la medida de cada nuevo ángulo:

40°

120°

Bisectriz

A Q

B

c) d)

38


LECCIÓN 6

PoligonoRegularPerímetroyáreadepolígonosregulares

Polígonos regulares

Completa la siguiente definición:

Un polígono regular es aquel cuyos lados son y cuyos ángulos son

Abre el archivo PoligonoRegular en el ambiente de Geometría dinámica e interactúa con las herramientas de construcción geométrica.

En la escena de la derecha de la pantalla puedes visualizar los distintos elementos de un polígono regular. Selecciona el número de lados del polígono y desde el menú escoge los distintos elementos para ver su definición. Define:

Radio:

Diagonal:

Apotema:

Activa la herramienta para ver la medida de los ángulos de un polígono regular.

Modifica el número de lados del polígono y observa cómo se calcula el valor de los ángulos central e interior.

Calcula el valor de los ángulos central e interior de un polígono de 30 lados:

Ángulo central: Ángulo interior:

Calcula el valor de los ángulos central e interior de un polígono de n lados:

Ángulo central: Ángulo interior:

Completa la tabla abriendo el archivo PoliEjesSimetria:

Polígono regular Número de ejes de simetría

Triángulo equilátero

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

39


Observa las similitudes y diferencias, respecto a los ejes de simetría, que muestran los polígonos según tengan un número par o impar de lados:

1. Calcula el valor de los ángulos central, interior y exterior de un pentágono regular y de un hexágono regular.

2. Dibuja los ejes de simetría de un triángulo equilátero, un cuadrado, un heptágono regular y un octógono regular.

Realiza los siguientes ejercicios con Geometría dinámica.

1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos regulares expresando el resultado en decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros.

¿Cuántos cm2 son 40 m2? ¿Cuántos m2 son 500 mm2?

¿Cuántos dm2 son 7 km2? ¿Cuántos hm2 son 24 dam2?

¿Cuántos mm2 son 0.125 hm2?

Ángulo central:

Ángulo interior:

Ángulo exterior:

Lado: 5 cm Lado: 8 m Lado: 2 dm Lado: 4 mm

Ángulo central:

Ángulo interior:

Ángulo exterior:

Ángulo exterior

Ángulo central Ángulo interior Ángulo interior

Ángulo exterior

Ángulo central

40


Área de polígonos regulares

Abre el archivo AreaPoliReg y observa cómo se calcula el área de un polígono regular. Sigue el razonamiento con los deslizadores de avance y retroceso.

Escribe la fórmula:

Activa la herramienta para hacer unos ejercicios de cálculo de áreas.

Completa la siguiente tabla con los datos de los polígonos regulares que aparecen en la escena y calcula el área. Presta atención a las unidades.

Valor del deslizador No. de lados lado Perímetro Apotema Área

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5

Área del polígono regular =

41


LECCIÓN

CanchaFutbolProbleProporci

7 Proporcionalidaddirecta

El factor constante de proporcionalidad es el cociente de la comparación entre dos conjuntos de cantidades, y puede ser un decimal o una fracción. Si al aumentar o disminuir una de las cantidades la otra también aumenta o disminuye en la misma proporción, se dice que entre estas dos cantidades existe una relación de proporcionalidad directa.

La constante de proporcionalidad es la cantidad por la que se deben multiplicar o dividir los valores de una columna para obtener los de otra columna.

Las medidas reales de una cancha de futbol aparecen en el archivo CanchaFutbol y son las siguientes:

Medidas de la cancha Medida del dibujo (cm) Medida real (m)

Largo total 6.6 120

Ancho total 90

Ancho del área chica o de meta 5.5

Largo del área chica o de meta 18.32

Largo de la portería 7.32

Anchodeláreagrandeodecastigo 16.5 m

Largodeláreagrandeodecastigo 40.32 m

Radio del círculo central 9.15 m

Resuelve los siguientes ejercicios, manipulando el archivo ProbleProporci.

1. Si con la llave del agua abierta por 10 minutos el depósito subió 35 centímetros, ¿cuánto tiempo más debe permanecer abierta la llave para que el nivel suba a 70 centímetros?a) ¿Qué nivel alcanzará en el minuto 28?

2. Adriana pintó una pared de 3m2 con una mezcla de un litro de pintura azul y 12

litro de pintura rosa. Si ahora quiere pintar una pared de 1m2, ¿cuánta pintura azul y cuánta pintura rosa necesita para que le queden ambas paredes del mismo color?

18.32m

2.44m

120-90m

9.15m

16.5m

40.32m90-45m

Línea de medio campoLínea de banda

5.5m16.5m

Portería

Punto de penalty

Área de castigo

Con base a esta información, completa la siguiente tabla; encuentra el factor de proporcionalidad activando en el archivo la casilla de control de escala.

Línea de meta

7.32m

Área de meta

42


LECCIÓN 1

MultidecimalesMultiplicacióndenúmerosdecimales

Cuando se multiplica un número entero por un decimal:

BloqueTres

Cuando se multiplica un número decimal por 10 o alguno de sus múltiplos (100, 1 000, 10 000, etcétera), se hace lo contrario que en la división, porque ahora el punto decimal se recorre a la derecha tantas posiciones como número de ceros tenga el múltiplo de 10.Ejemplo.Al multiplicar 46.53 × 1 000, como el segundo factor tiene tres ceros, el punto decimal se recorre tres lugares a la derecha, y como ya no hay números después de la última cifra significativa (que en este caso es el 3) se agrega un cero a la derecha.

Para interactuar y resolver los siguientes ejercicios, abre el archivo MultiDecimales.

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.a) 405.43 × 31 b) 87 × 0.02 c) 101 × 0.101d) 379.4 × 28 e) 562 × 2.34 f) 254 × 38.5

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones con sólo recorrer el punto decimal.

a) 41.5 × 10 = b) 245.38 × 10 000 =

c) 34.51 × 100 = d) 12.38 × 100 000 =

e) 4.65 × 1 000 = f) 19.8742 × 1 000 000 =

Problemas.3. Lupita vendió 25 lápices a $3.5 cada uno. ¿Cuánto obtuvo por la venta? 4. Carlos compró 1.25 kg de bistec con un precio de $58.60 por kilogramo. ¿Cuánto pagó?5. Manuel pagó $5.00 por 20 copias. Al día siguiente sacará 28 copias. ¿Cuánto deberá pagar?

6× 0. 5

3. 0

1 2× 0. 8

9. 6

1 5× 0. 71 0. 5

El punto se recorre un lugar hacia la izquierda porque se

multiplicópordécimos

2 3× .3 51 1 56 98. 0 5

3 8 6× .5 2

7 7 21 9 3 02 0 0. 7 2

El punto se recorre dos lugares a la izquierda porque se multiplicóporcentésimos

4 7× .2 6 8

3 7 62 8 29 4

1 2. 5 9 6

8 9× .7 5 6

5 3 44 4 5

6 2 36 7. 2 8 4

El punto se recorre tres lugares a la izquierda porque se multiplicópormilésimos

46.53 × 1 000 = 46 530

43

Bloque Tres EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria 1er grado

LECCIÓN 2

dividecimalesDivisiónde númerosdecimales

Abre el archivo DiviDecimales.

1. Realiza las siguientes divisiones (el cociente con 2 decimales).a) 0.76 ÷ 8 b) 85 ÷ 1.35 c) 87.15 ÷ 4.5d) 2.55 ÷ 15 e) 78 ÷ 3.3 f) 246.54 ÷ 8.2

Problemas.2. Si una docena de lápices cuesta $50.75, ¿cuánto cuesta cada lápiz?

3. ¿Cuántos vasos de 0.250 ml se pueden servir de un refresco de 3 litros?

4. ¿Cuántos sobres de 0.035 kg se pueden hacer con 2.75 kg de azúcar?

5. Si una caja con 12 paquetes de 100 hojas cuesta $875.58, ¿cuánto cuesta cada hoja?

6. Para hacer 8 cajas se utilizaron 2.68 m2 de cartulina. ¿Cuánta cartulina se utilizó en cada caja?

división de números decimales

Se recorre el punto decimal del divisor hasta la derecha y se

agregan tantos ceros al dividendo como lugares se haya recorrido el

punto

Un entero entre un decimal

Se realiza la división como si fueran dos números enteros, y

sólo se sube el punto al cociente desde el mismo lugar donde se

encuentre el dividendo

Un decimal entre un entero

Se recorre el punto decimal del divisor hasta la derecha y también

se recorre el punto decimal del dividendo el mismo número de

lugares

Un decimal entre un decimal

2. 8 88 2 3. 0 4

7 06 4

0

3. 8 9 3. 4 82 4. 6

3 8. 9 3 4. 81 7 4

2 2 80

2 5 1 5 3 56 1 4

2 5 1 5 3 5 03 5

1 0 0

44


LECCIÓN 3

EcuacionPrimeraEcuacionesde primergrado

Una ecuación es una igualdad algebraica donde hay por lo menos un valor desconocido, llamado incógnita (generalmente designado con la letra x), que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (que no se escribe).

Para resolver una ecuación de primer grado, es decir, para encontrar el valor de la incógnita que hace cierta a la igualdad, se siguen los siguientes pasos.

a. Se reducen los términos semejantes, cuando los haya.b. Si es necesario se reubican los términos, los que contengan la incógnita se ubican en el

miembro izquierdo de la igualdad, y los que carezcan de ella en el derecho. A los términos que cambien de un lado a otro se les debe cambiar el signo.

c. Se reducen términos semejantes, si los hay.d. Se aísla o despeja la incógnita. Si tiene coeficiente, se dividen entre él ambos miembros de

la ecuación, y se simplifica.

Abre el archivo EcuacionPrimera y examina los ejemplos.

Ejemplo 1: resolver la ecuación x - 6 = 60

Para dejar la x sola en el primer miembro, trasladamos el 6 al segundo miembro con la operación inversa es decir, si está restado, se cancela sumándolo y viceversa. La operación debe hacerse en ambos miembros de la igualdad, para conservar su relación original.

x - 6 + 6 = 60 + 6x = 66

En álgebra se utilizan los paréntesis para indicar la multiplicación en lugar del signo ×, para que no se confunda con la incógnita.

Ejemplo 2: resolver la ecuación 0.5x = 3.5

En este caso la incógnita está multiplicada por un coeficiente, así que para despejarla debemos hacer la operación inversa, es decir, dividir ambos miembros entre dicho coeficiente.

0.5x0.5

= 3.50.5

al hacer la operación aritmética tenemos que x = 7.

Segundo miembro

Segundo miembro

45


Resuelve los siguientes ejercicios, usando la calculadora y el archivo Ecu1erGrado.1. Comprueba si:

a) x = 4 es solución de la ecuación x + 3 = 7

b) x = 1 es solución de la ecuación x + 8 = 10

c) x = 3 es solución de 4x = 12

d) x = 3 es solución de x - 2 = 1

e) x = 2 es solución de x + 7 = 3

f) x = 8 es solución de 5 + x = 14

g) x = 9 es solución de 7 + x = 16

2. Encuentra el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones y comprueba el resultado.

a) 2x = 6

b) 2x - 3 = 6 + x

c) 2(2x - 3) = 6 + x

d) 4(x – 10) = -6(2 - x) - 6x

e) x - 16 - x - 3

2 = -1

f) 2(x + 1) - 3(x - 2) = x + 6

g) x - 14 - x - 5

36 = x + 59

46


LECCIÓN 4

PoliReggralConstruccióndepolígonosregulares

La palabra polígono proviene del griego poli (muchos) y gonía (ángulo). Los polígonos tienen lados, vértices, ángulos interiores y exteriores, y diagonales.

Un polígono es regular cuando todos sus lados tiene la misma longitud y todos sus ángulos interiores son iguales (es equilátero y equiangular). Se le denomina cíclico si todos sus vértices están sobre una circunferencia.

En el ambiente de Geometría dinámica, usa la herramienta para construir polígonos regulares, y las herramientas y para medir sus lados y ángulos interiores, respectivamente.

Si se trazan dos ejes de simetría en un polígono regular, el punto donde se cortan es el centro del polígono.Por ejemplo:

1. Encuentra el centro de los siguientes polígonos:

Centro del polígono

Diagonales Vértices

Ángulosexteriores

A FB

Lados

D

E C

47


Figura Núm. de lados Núm. de ángulos centrales

Medida de cada ángulo central

Número de lados × ángulo central

Triángulo equilátero 3 3 120° 3 × 120 = 360°

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

Nonágono

Decágono

En el ejemplo del triángulo equilátero, dividimos 3603

, por lo que cada ángulo central mide 120º.

Con el siguiente procedimiento traza un pentágono regular inscrito en una circunferencia:

• Traza una circunferencia con cualquier radio.

• En la circunferencia traza cuatro radios con 72° de separación (72 se obtiene de 3605

).

• Une los puntos de intersección de los radios con la circunferencia para formar el polígono.

Abre el archivo PoliRegGral y con la herramienta deslizador traza seis circunferencias de 4 cm de radio e inscribe en ellas cinco polígonos regulares distintos.

Los ángulos centrales de un polígono son los que tienen su vértice en el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos.

2. Traza los ángulos centrales de los siguientes polígonos regulares, y luego mide y anota la medida de cada uno en la tabla de abajo. Guíate con el ejemplo.


Heptágono

Cuadrilátero

Octágono

Pentágono

Nonágono

Hexágono

Decágono

120°120°

120°

Ángulo central

48


LECCIÓN 5

CalPeriAreaCálculodelperímetroy áreadepolígonosregulares

1. Traza la diagonal y calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.


h10 cm

Trapecio rectángulo

6 cm

2 cm

8 cm

Trapecio isóceles

5 cm

10 cm

4 cm

2. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.

Cuadrado

5 cm

Pentágono regular

a

6 cm

5 cm3 cm

Rectángulo

5 cm

10 cm

49


3. Halla el área de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

4. Halla el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.

5. Calcula el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.

6. Determina el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.

7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en éste, otro círculo. Halla el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

8. El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m, respectivamente. Calcula la medida de los lados no paralelos y el área.

9. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, se forma un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcula el área del trapecio.

10. El área de un cuadrado es 2 304 cm². Calcula el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

11. En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de éste y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Halla el área de la estrella así formada.

12. A un hexágono regular de 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Halla el área de la corona circular formada.

13. En una circunferencia, una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcula el área del círculo.

14. Los lados que forman el ángulo de 90° de un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia, miden 22.2 cm y 29.6 cm, respectivamente. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

15. Calcula el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

16. En un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Halla el área del sector circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

17. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, halla el área de uno de los sectores determinados por la circunferencia circunscrita y por dos de los radios que pasan por los vértices.

50


Abre el archivo ConstanteProp y resuelve los siguientes problemas.

1. Una fotografía se reduce con una escala de 1 a 4, es decir, tanto el ancho como el largo de la fotografía se reducen a la cuarta parte. Enseguida se reduce nuevamente con una escala de 1 a 4. Si las medidas de la fotografía original son 48 centímetros de largo por 32 centímetros de ancho:a) ¿Cuánto mide el largo de la fotografía después de hacerle las dos reducciones?b) ¿Cuánto mide el ancho de la fotografía después de hacerle las dos reducciones?c) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite pasar directamente de las medidas

originales de la fotografía a las medidas de la reducción final?

2. El recuadro contiene una receta para elaborar sopa de arroz rojo (rinde 8 porciones).

14 kilo de arroz

3 jitomates1 pedazo de cebolla2 dientes de ajo

1 cucharada de consoméAceite al gusto

2 tazas de agua por cada taza de arroz

a) Para preparar 12 porciones de sopa de arroz, ¿qué cantidades de cada ingrediente se necesitan?

b) Para preparar 18 porciones de sopa de arroz, ¿qué cantidades de cada ingrediente se necesitan?

3. Una cámara fotográfica cuenta con 2 lentes para tener un mejor alcance. La primera lente hace una ampliación de 3.5 megapixeles por cada centímetro que mide el objeto. La segunda lente hace una ampliación de 4.3 megapixeles por cada centímetro que mide el objeto. Si toma las siguientes fotografías, calcula el tamaño en megapixeles.

Medida del objeto Reducción con la lente 1 Reducción con la lente 2

3.5 cm

4.2 cm

6.4 cm

2.5 cm

4. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad que se tiene que aplicar a cualquier objeto al usar las

dos lentes? ¿Cómo lo obtuviste?

LECCIÓN 6

ConstantePropConstantedeproporcionalidad

Arroz rojo

51

Bloque Cuatro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria 1er Grado

LECCIÓN

RectaNumerica

1 Números con signo

Debido a que los números naturales, es decir, 1, 2, 3, 4, 5,… no contienen al cero y en la medición de la temperatura no permiten expresar los grados bajo cero, fue necesario incorporar los números negativos y al cero en la escala de medida. El cero es el punto de referencia, ya que antes del cero ubicamos a los negativos y después del cero a los positivos.Los números negativos se distinguen de los positivos por el signo menos (–) que les antecede, mientras que por lo general a los positivos no se acostumbra asignarles el signo más (+).

Representación de números en la recta

Los números negativos y positivos pueden ubicarse en la recta numérica para observar su orden y posición.

Bloque Cuatro

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

A la izquierda del cero ubicamos los

números negativos

A la derecha del cero ubicamos los números positivos

El número de referencia es

el cero

En la recta, los números están ordenados de menor a mayor. Por ello, al comparar dos números siempre será mayor el que esté a la derecha.

Para ubicar números con signo en la recta numérica en el ambiente de Geometría dinámica, abre el archivo RectaNumerica y con el deslizador que controla el número a localizar corrobora las siguientes afirmaciones.

a) Se ubica al cero como número de referencia u origen.b) A la izquierda del cero se ubican los números negativos, es decir, los números menores que

0, a los que identificamos con el signo menos (–).c) A la derecha del cero se ubican los números positivos, es decir, los números mayores que

0, a los que identificamos con el signo más (+).

52

Sentido numérico y pensamiento algebraico

También podemos ubicar fracciones y decimales con signo en la recta numérica.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 173

– 32

+ 32

–4.1 +4.3 +6.7

–1 y 1 no son iguales, ya que 1 está a la derecha de –1. Por lo tanto, –1 < 1.

+ 32

es mayor que – 32

porque está a la derecha de – 32

. Por lo tanto, – 32

< + 32

.

Entre –3 y –2, es mayor –2 porque está a la derecha de –3 y más cerca de cero. Por lo tanto –3 < –2.

Inverso aditivo (simétrico)

Observa que el 1 y el –1 están a la misma distancia del cero, al igual que el 2 y el –2, el 3 y el –3, etcétera. Cada una de estas parejas tiene el mismo número, pero con signos opuestos o contrarios. Por tanto, el –5 se llama el número opuesto de 5, y 3 es el opuesto de –3. Los números que están en lados opuestos del 0, pero a la misma distancia de éste, se llaman inversos aditivos o simétricos.

Valor absoluto

En la recta numérica el cero es el punto de referencia, el origen. Independientemente de en qué lado del cero se encuentre un número, su distancia al cero se llama valor absoluto del número y siempre es positivo, ya que la distancia tiene esa característica.

Por ejemplo, aunque –5 está a la izquierda del 0, su distancia a éste es 5 y entonces su valor absoluto es 5.

El valor absoluto se indica de varias formas, la más usual es mediante el empleo de dos barras verticales que encierran al número, como se muestra a continuación.

Ejemplos:

│ –3 │ = 3, se lee como el valor absoluto de –3 es 3.│ –5 │ = 5, se lee como el valor absoluto de –5 es 5.│ 7 │ = 7, se lee como el valor absoluto de 7 es 7.

53


Ejercicios.

1. Localiza los números 0, 2, –4, –5, 4 en la recta numérica e indícalos con una flecha.

2. Ubica en la recta numérica a los números: + 34

, – 25

, –3 22

, 83

, señalándolos con una flecha.

3. Ubica en la recta numérica los números que faltan entre los dos números marcados.

4. Completa las siguientes tablas.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

0 5 -7 -2

Número Inverso aditivo (simétrico)

–6

+8

–7.3

+5.1

–4.2

+3.8

+11.75

–13.4

Número Valor absoluto

│ –9 │

│ +6 │

│ –8.3 │

│ +7.8 │

2

1.5

2.3

6.8

54


LECCIÓN 2

CentroCircunf Construcción de círculos

En el ambiente de Geometría dinámica, traza una circunferencia con la herramienta y posteriormente todos los elementos que a continuación se describen.

Una circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto interior llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

C

D

2. Para trazar una circunferencia que pase por dos puntos.

Tomamos dos puntos C y D, se encuentra el punto medio entre ellos y se toma como centro. Se coloca el compás en el centro y se abre hasta cualquiera de los puntos, C o D y se traza la circunferencia. Podemos calcular el valor del radio midiendo la distancia entre C y D y dividiéndola entre dos, o bien, trazando la mediatriz entre estos dos puntos.

Trazamos la mediatriz entre los puntos C y D:

Ya que tenemos la mediatriz, hacemos centro en E y abrimos el compás con radio EC o ED y trazamos la circunferencia.

1. Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

El diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Círculo es el área que está contenida en una

circunferencia.

Diámetro Radio

CuerdaCentro

Si trazamos un segmento que mida 3.8 cm, tenemos

el valor del diámetro, por lo que el radio será la

mitad: 3.82

= 1.9 cm.

E

D

C

E

D

C

55


Abre el archivo CentroCircunf01 y explora las siguientes descripciones.

Para encontrar el centro de la circunferencia

Dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatrices trazadas es el centro de la circunferencia.

Dadas dos paralelas, se traza la mediatriz a una de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz y se obtiene el punto medio del diámetro, el cual es el centro de la circunferencia.

Para encontrar el centro de la circunferencia, abre el archivo CentroCircunf02 y explora las siguientes descripciones:

Caso 1: Dados tres puntos que no son colineales (que no están sobre la misma recta) siempre se puede trazar una circunferencia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de intersección de las mediatrices de los segmentos que unen los tres puntos.

Caso 2: Cuando los tres puntos son colineales (están sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.

Diámetro

Cuerda

Cuerda

Mediatriz

CentroCC

CuerdasCuerdas

MediatricesMediatrices

Caso 1C

B

A

Caso 2

No se puede trazar la circunferencia

F

E

D

56


Abre el archivo CentroCircunf03 y realiza los siguientes ejercicios.

1. Para cada pareja de puntos, construye la mediatriz, encuentra el centro y traza la circunferencia. Mide también el radio y el diámetro.

Radio: Diámetro:

Radio: Diámetro:

Radio: Diámetro:

Radio: Diámetro:

B

F

C

C

A

E

D

G

57


2. Encuentra el centro de la circunferencia dadas las siguientes cuerdas:

3. Encuentra el centro de la circunferencia dados los siguientes puntos:

B

C

A

E

F

D

58


LECCIÓN 3

NumeroPiLa circunferencia y el número π Determinación del número Pi

El número que se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia (o perímetro de un círculo) entre la longitud de su diámetro siempre es el mismo, se llama pi y se simboliza con la letra griega π. Una aproximación a ese número es 3.1416, o bien, un valor más práctico es 3.14.

1. Completa la siguiente tabla. Auxíliate del archivo NumeroPi y de los deslizadores, ya sea que se conozca el perímetro o el diámetro. Sigue los ejemplos.

Perímetro del círculo (cm) Diámetro de la circunferencia (cm) Perímetro/diámetro

6.2832 2 6.2832 / 2 = 3.1416

9.4242 = 3.1416

18.8496 6

31.416 = 3.1416

47.124 15

62.832 = 3.1416

30 = 3.1416

157.08 50

El diámetro es directamente proporcional al perímetro del círculo, es decir, en la misma proporción en que aumenta o disminuye el diámetro, aumenta o disminuye el perímetro del círculo. La constante de proporcionalidad es el número π.

Las ruedas de las bicicletas tienen diferentes tamaños según el tipo de persona que las vaya a utilizar. En la siguiente tabla se especifica la rodada en pulgadas (recuerda que 1 pulgada = 2.54 cm).

2. Completa la tabla. Guíate con el ejemplo y apóyate en el archivo RuedasBici.

Usuario Rodada (pulgadas)

Perímetro de la rueda (cm)

Diámetro de la rueda (cm)

Perímetro entre diámetro

Infantes 12 30.48 × π = 95.7072 12 × 2.54 = 30.48 95.7072 ÷ 30.48 = 3.14

Niños 14

Adolescentes 24

Adultos 28

59


Perímetro del círculo

El perímetro de un círculo se calcula multiplicando la medida de su diámetro por el número π. El perímetro equivale a darle toda la vuelta a la circunferencia.

Por ejemplo, para calcular el perímetro de una circunferencia de diámetro 4.5 cm y tomando 3.14 como valor aproximado de π, tenemos:

Diámetro = 4.5 cm

Perímetro = 14.13 cm

Perímetro = 4.5 cm × 3.14 = 14.13 cmEs decir, podemos obtener el perímetro de cualquier círculo con la fórmula:

Perímetro = π por diámetroSi se llama P al perímetro y d al diámetro, entonces puede escribirse:

P = π × d, o bien, P = πd

1. Abre el archivo PeriCircunf, mide el diámetro de las siguientes circunferencias y calcula su perímetro.

Diámetro: cm

P = πd

Perímetro = × = cm

Diámetro: cm

P = πd


Diámetro: cm

P = πd


Diámetro: cm

P = πd


60


2. Utiliza el archivo PeriCircunf y con los datos del ejercicio de las ruedas de las bicicletas, completa la siguiente tabla para ver cuántas vueltas daría la llanta delantera en cada distancia. Guíate con el ejemplo.

Usuario Rodada (pulgadas)

Perímetro de la rueda (cm)

Diámetro de la rueda (cm)

Número de vueltas en 10 m (1 000 cm)

Número de vueltas en 50 m (5 000 cm)

Infantes 12 30.48 × π = 95.7072 12 × 2.54 = 30.48 1000 ÷ 95.7072 = 10.45 5000 ÷ 95.7072 = 52.25

Niños 14

Adolescentes 24

Adultos 28

3. Se quiere poner una cerca o barandal de madera a un ruedo de 25 m de radio, para la monta de caballos y toros salvajes en un rodeo. El ruedo es de forma circular. Cada metro de barandal cuesta $120.a) ¿Cuánto costará el primer nivel de barandal?b) ¿Cuántos niveles se podrán poner con $50 000?c) Si en total se pagaron $75 350, ¿cuántos niveles de barandal se pusieron?

Realiza tus operaciones y contesta.a) b) c)

Área del círculo

El área de un círculo puede ser aproximada con la fórmula del área de un polígono regular, debido a que al inscribir polígonos dentro de una circunferencia, entre más lados tenga el polígono más se parecerá a una circunferencia:

Área de un polígono regular = perímetro × apotema2

Como el perímetro del círculo es π por diámetro y la apotema, cuando el número de lados aumenta, coincide con el radio, entonces:

Área de un círculo = π × diámetro × radio2

Y como el diámetro es 2 veces el radio:

Área de un círculo = π × 2 × radio × radio2Simplificando:

Área de un círculo = π × radio × radio

Si se llama A al área y r al radio, entonces puede escribirse: A = π r2

Explora el archivo AreaCirculo y comprobarás el resultado anterior.61


1. En el archivo DiametroArea mide el diámetro de las siguientes circunferencias y calcula su área.

Diámetro: cm Radio: cm

A = πr2

Área = × ( )2 = cm2


A = πr2

Área = × ( )2 = cm2


A = πr2

Área = × ( )2 = cm2


A = πr2

Área = × ( )2 = cm2

2. Un DVD tiene las siguientes medidas: El disco tiene un radio de 5.95 cm, y el área de color azul es donde

se graban los datos, ¿cuántos cm2 de área tiene para grabar? El área gris (r = 0.75 cm) es el orificio para insertar el DVD en el

lector. ¿Cuál es su área?

3. Calcular el área y el perímetro de la región azul.

5.95 cm

0.75 cm1.5 cm

20 cm

20 cm

62


LECCIÓN 4

ReglaTreSimpleAnálisis de la regla de tres simple

Si dos conjuntos de cantidades varían de forma directamente proporcional, se relacionan mediante el factor constante de proporcionalidad.

Si se multiplica una cantidad de un conjunto por la constante de proporcionalidad, se obtiene la cantidad correspondiente del otro conjunto.

Abre el archivo ReglaTreSimple y resuelve y comprueba los problemas siguientes.Ejemplo.Si un coche recorre 80 km en 2 horas, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas viajando a la misma velocidad?

Para resolver este problema, debemos encontrar la constante de proporcionalidad o valor unitario, es decir cuántos kilómetros recorre el coche en una hora. Para ello utilizamos la famosa regla de tres, en la que es importante colocar adecuadamente los datos:

80 kilómetros 2 horasx kilómetros 1 hora

Para resolver la regla de tres tenemos que ubicar lo que nos falta (x kilómetros), y para calcularlo nos colocamos en el dato que está arriba de la incógnita, lo multiplicamos cruzado y el resultado se divide por el otro dato:

80 kilómetros 2 horasx kilómetros 1 hora

Esto es, se multiplica 80 × 1 y se divide entre 2:80 × 1 = 80, 80 ÷ 2 = 40

Así que en una hora el auto recorre 40 kilómetros.

Otra forma de representar la regla de tres es con razones: 80 km2 horas

= x km1 hora

Y aplicamos la regla de los productos cruzados ab

= cd

a × d = b × c

si queremos despejar c, dividimos todo entre la b que está multiplicándola.

c = a × db

, esto es, x km = 80 km × 1 hora2 horas

= 802

= 40 km en 1 hora (factor unitario)

× ÷

Incógnita

63


Como ya sabemos que recorre 40 km en 1 hora, podemos calcular cuántos recorre en 5 horas multiplicando los 40 km por 5 horas: 40 × 5 = 200 km en 5 horas.

Si ahora queremos saber cuántos kilómetros recorre en 3, 6 u 8 horas, multiplicamos cada uno de estos tiempos por el factor unitario:3 horas × 40 kilómetros = 120 km en 3 horas6 horas × 40 kilómetros = 240 km en 6 horas8 horas × 40 kilómetros = 320 km en 8 horas

Y podemos completar una tabla como la siguiente multiplicando o dividiendo el tiempo por el factor unitario (40):

Kilómetros recorridos Tiempo (horas)

40 1

80 2

120 3

4

200

240 6

7

320 8

360

400

Kilómetros recorridos Tiempo (horas)

40 1

80 2

120 3

4

200

240 6

7

320 8

360

400

Pasteles Manzanas

1

2

3 12

16

5

7

40

Ejercicios

1. Para preparar 3 pasteles de manzana, se necesitan 12 manzanas.

a) ¿Cuántas manzanas se necesitan para preparar 7 pasteles?

Plantea la regla de tres

b) ¿Cuántas manzanas se necesitan para preparar 1 pastel? c) Completa la siguiente tabla:

64


Aciertos Calificación

1

2

1.5

4

5

3.0

7

4.0

4.5

10

Aciertos Calificación

1

2

1.5

4

5

3.0

7

4.0

4.5

10

2. Si en un examen con 10 aciertos se obtiene un 5 de calificación, ¿cuánto vale cada acierto?

a) Plantea la regla de tres

b) ¿Cuántos aciertos se necesitan para sacar 10 de calificación? c) Completa las tablas.

3. Si Jazmín ahorra $350 de sus domingos en 7 semanas, ¿cuánto le dan de domingo?

a) Plantea la regla de tres b) Completa la tabla.

Semanas Domingo ($)

1

150

5

7 350

10

1 250

52 (1 año)

65


LECCIÓN 5

ReglaInversaProblemas de proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción. Por ejemplo, al aumentar una cantidad al doble, la otra disminuye a la mitad; al aumentar una cantidad al triple, la otra disminuye a la tercera parte, y así sucesivamente.

Regla de tres simple inversa

Dadas dos magnitudes, se conoce la equivalencia entre el valor de una y el valor de la otra. Entonces, para cada nuevo valor que se dé a la primera magnitud, calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud. Abre el archivo ReglaInversa y corrobora los ejemplos siguientes.

1. En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿en cuánto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

2. Un coche que circula a 50 km/h invierte 11 horas en cubrir la distancia que separa dos ciudades. Si de regreso solamente emplea 5 horas ¿a qué velocidad circula de regreso?

3. Una cuadrilla formada por 3 obreros construye un muro de una nave industrial en 4 días. ¿Cuántos obreros debe haber en la cuadrilla para hacer el mismo trabajo en 6 días?

4. Tres grifos vierten agua de forma constante y llenan un depósito en 8 horas, si usamos 12 grifos para llenar ese depósito ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarlo?

Gallinas Días300 20400 x

Obreros Días3 4x 6

50 11x 5

3 812 x

300400

= x20

x = 20 × 300400

= 600400

x = 15 días

x50

= 115

x = 50 × 115

= 55011

x = 110 km/h

312

= x8

x = 3 × 812

= 2412

x = 2 horas

x3

= 46

x = 3 × 46

= 126

x = 2 obreros

Velocidad (km/h) Tiempo (horas)

Grifos Tiempo (horas)

66


Realiza los siguientes ejercicios planteando la regla de tres inversa y resolviendo con el procedi-miento utilizado en los ejemplos.

a) En un establo 22 caballos consumen un camión de heno en 6 días. Si llegan 11 nuevos caballos ¿en cuántos días se comen el camión de heno?

b) Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobús a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 26 alumnos siendo el precio por persona de 9 pesos. Si finalmente hacen el viaje 18 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno?

c) Seis obreros descargan un camión en tres horas. ¿ Cuánto tardarán en descargar el mismo camión cuatro obreros?

d) Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en 14 días. ¿ Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras?

67


LECCIÓN 6

ProbleConteo Problemas de conteo

Un diagrama de árbol es un recurso que permite visualizar y enumerar los resultados de un problema de conteo. Los diagramas de árbol están compuestos por niveles y ramas. El número de ramas de cada nivel se determina por la cantidad de elementos de cada característica.

Con frecuencia no se conoce un fenómeno lo suficiente como para construir un modelo matemático y utilizarlo para inferir fórmulas; sin embargo, es posible tener datos que permitan entender su comportamiento. En estos casos, lo que procede es hacer observaciones y construir una tabla o un diagrama para explorar las relaciones entre los las variables.

Con el archivo ProbleConteo analiza el número de combinaciones posibles que se generan en cada caso.

Cinco alumnos –Ángel, Beto, Carlos, Daniel y Enrique– van a participar en una competencia que consiste en realizar carreras uno contra uno. Cada uno de los alumnos deberá correr contra todos los demás. El siguiente diagrama representa las carreras que se realizarán en la competencia: Las carreras son:

Ángel

Beto Ángel Beto

Carlos Ángel Carlos

Daniel Ángel Daniel

Enrique Ángel Enrique

Carlos Beto Carlos

Daniel Beto Daniel

Enrique Beto Enrique

Daniel Carlos Daniel

Enrique Carlos Enrique

Enrique Daniel Enrique

Beto

Daniel

Carlos

10 combinaciones de carreras de parejas

68


Esta misma información se puede representar también mediante una tabla, que es un arreglo rectangular de datos dispuestos en filas (horizontal) y columnas (vertical), de manera que se pueden visualizar rápidamente las relaciones que existen entre las variables. Para el mismo ejemplo, la tabla queda conformada de la siguiente manera:

En el grupo 1º C se quiere elegir, de entre 5 candidatos (Omar, Julio, Perla, Mariana y Karina), al jefe y subjefe de grupo. ¿Cuáles son las combinaciones que se pueden hacer?

Martha va a comprar un pastel y en la pastelería le muestran las siguientes opciones: Puede ser de dos formas: rectangular (r) o circular (c). Existen 3 sabores: chocolate (ch), tres leches (3l) y vainilla (v). El relleno puede ser con fresas (f) o duraznos (d). El decorado puede ser con crema chantilly (c), betún (b) o mantequilla (m).

¿Cuáles son las posibles combinaciones que puede tener Martha para escoger un pastel?

3. Para un baile, decidieron participar Luisa (L), Andrea (A), María (M), Fernanda (F) y Lupita (L), además de Ricardo (R), Tomás (T), Jaime (J) y Omar (O). ¿Cuántas parejas diferentes de baile se pueden formar? Completa la tabla.

Luisa Andrea María Fernanda Lupita

Ricardo

Tomás

Jaime

Omar

Ángel (A)

Beto (B)

Carlos (C)

Daniel (D)

Enrique (E)

Ángel (A) A, B A, C A, D A, E

Beto (B) B, A B, C B, D B, E

Carlos (C) C, A C, B C, D C, E

Daniel (D) D, A D, B D, C D, E

Enrique (E) E, A E, B E, C E, D

10 combinaciones de carreras de parejas

69

Bloque Cinco Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria 1er Grado

Operaciones con números enteros

Bloque Cinco

Operaciones de números con signo

Cuando estudiamos Matemáticas, frecuentemente tenemos que resolver problemas, ecuaciones, etcétera, que involucran operaciones con números positivos y negativos, por lo cual es importante conocer las reglas que rigen las operaciones entre dichos números.

Reglas para sumar y restar números con signo

1. Cuando se suman dos números que tienen el mismo signo, es decir, ambos positivos o ambos negativos, el resultado de la suma conserva el signo de los sumandos. Por ejemplo:

a) 3 + 4 = 7b) -5 + -8 = -13, que también se puede escribir (-5) + (-8) = -13, o bien -5 + (-8) = -13

Recuerda que cuando un número no tiene especificado el signo, se considera positivo, pero en el caso de un número negativo, es obligatorio anexarle el signo, por ejemplo, el 2 negativo se debe escribir –2, o -2, o bien (-2). 2. Cuando se suman dos números que tienen signos diferentes, se obtiene el valor absoluto de

ambos, al mayor se le resta el menor y el signo del resultado deberá ser el mismo que tenga el sumando de mayor valor absoluto. Por ejemplo:

a) 3 + -7 = -4 (el valor absoluto de -7 es 7, mayor que el de 3, por lo tanto, al 7 se le resta 3 y al resultado se le pone el signo -).

b) -8 + 12 = +4 = 4 (el valor absoluto de -8 es 8, menor que el de 12, por lo tanto, al 12 se le resta 8 y al resultado se le pone el signo +, que se puede omitir).

3. Otra manera de sumar dos números es ubicándolos en la recta numérica: a partir de la posición del primer sumando nos desplazamos tantas unidades como indique el segundo, hacia la derecha si éste es positivo o hacia la izquierda si es negativo.

Verifica los ejemplos anteriores trazando (o imaginando) la recta numérica.

LECCIÓN 1

OperNumEnt

70


Para restar dos números basta agregar el signo + entre ellos y sumarlos de acuerdo a la regla 3. Por ejemplo:

a) 8 – 3 = 8 + (-3) = 5b) 3 – 8 = 3 + (-8) = -5c) -7 – 4 = -7 + (-4) = -11d) 9 – (-2) = 9 + (-(-2)) = 9 + 2 = 11, porque el inverso de -2 es 2.e) -5 – (-12) = -5 + (-(-12)) = -5 + 12 = 7, porque el inverso de -12 es 12.

Problemas de números enteros

1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió?

2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué distancia se desplaza el petróleo?

3. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

4. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0 °C, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

6. Completa el siguiente cuadrado mágico escribiendo en cada espacio uno de los siguientes números:

-7, -9, -11, -2, -6, 3, 1, -1.

La condición que debe cumplir el cuadrado mágico es que cualesquiera tres números colocados en línea recta, deben sumar lo mismo.

–1

71


Potencia de números

La potencia de un número dado es el resultado de la multiplicación sucesiva de ese número por sí mismo.

La expresión de la potencia de un número consta de dos partes:a) La base es el número que se multiplica por sí mismo.b) El exponente es el número de veces que la base se tiene que multiplicar por sí misma.

Sus elementos son:

54 = 625

54 significa que el 5 se va a multiplicar 4 veces por sí mismo, es decir, 5 × 5 × 5 × 5 = 625.

Por lo tanto, una potencia es un modo abreviado de escribir el producto de un número por sí mismo.

Por ejemplo:36 indica que el 3 se va a multiplicar 6 veces por sí mismo, es decir, 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729Por lo tanto, 36 = 729

1. Con el uso de la calculadora virtual, resuelve las siguientes potencias. Guíate con los ejemplos:

Expresión Notación desarrollada Operaciones Resultado

45 4 × 4 × 4 × 4 × 4

4 × 4 = 16 16 × 4 = 64

64 × 4 = 256 256 × 4 = 1 024

45 = 1 024

2.24 2.2 × 2.2 × 2.2 × 2.22.2 × 2.2 = 4.84

4.84 × 2.2 = 10.648 10.648 × 2.2 = 23.4256

2.24 = 23.4256

( 23 )3 2

3 ×

23

× 23

23

×

23

= 49

49

×

23

× 827

( 23 )3

= 8

27

Potencia

Base

Exponente

LECCIÓN 2

PotenNum

72


Expresión Notación desarrollada Operaciones Resultado

96

3.45

( 45 )6

74

6.63

( 67 )4

125

9.36

( 58 )3

73


Raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación contraria de elevar un número al cuadrado. En general, la raíz cuadrada de un número A es el número que multiplicado por él mismo da A. Esta operación se representa con el símbolo √ . Los elementos de la raíz cuadrada son:

√25 = 5

Geométricamente, la operación de la raíz cuadrada de un número equivale a calcular la longitud del lado de un cuadrado cuya área es igual al número dado. Esto se debe a que el área del cuadrado es lado × lado = lado2.Así escribimos√25 = 5 porque 52 = 25√49 = 7 porque 72 = 49

1. Completa la siguiente tabla. Guíate con los ejemplos. Puedes ayudarte con la calculadora virtual.

Número (x) Cuadrado del número (x2) Notación desarrollada Raíz cuadrada de x2

1 1 1 × 1 √1 = 1

2 4 2 × 2 √4 = 2

3

4 4 × 4

5

6 36

7

8 64

9 √81 = 9

10

11

12 144

13

14

15 15 × 15

16

17 √289 = 17

18

19

20

Raíz

RadicandoSímbolo de la raíz

Radical 2

74


2. De acuerdo con la tabla anterior, ¿entre qué números está la raíz cuadrada de 50? Como 72 = 49 y 82 = 64, el 50 está entre el 49 y el 64, por lo tanto, la raíz cuadrada será un

número que está entre 7 y 8.

a) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 10?

¿Por qué?

b) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 30?

¿Por qué?

c) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 40?

¿Por qué?

d) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 75?

¿Por qué?

e) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 150?

¿Por qué?

f) ¿Entre qué números está la raíz cuadrada de 220?

¿Por qué?

Procedimiento para calcular la raíz cuadrada aproximada de un número.

Esto lo hacemos mediante el método Babilónico en el ambiente de Geometría dinámica con el archivo RaizBabilonicoPor ejemplo, calcular √20

Calcula la raíz cuadrada de los siguientes números usando el archivo anterior.a) 250 b) 1000 c) 1024 d) 2.25 e) 289

75


Notación científica (1)

Cuando tenemos que expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas es muy útil emplear una técnica que se denomina notación científica.

Esta notación consiste en escribir cualquier número como producto de un decimal por una potencia de diez. El decimal debe tener sólo una cifra antes del punto, y esa cifra no debe ser cero. Puede haber potencias de exponente positivo y potencias de exponente negativo, para valores inferiores a la unidad.

Están bien escritos en notación científica los números:2.5 × 102 3.45 × 1012 -6.03 × 10-2 1.002 × 10-3

Están mal escritos en notación científica los números:0.5 × 104 23.87 × 105 -0.03 × 10-8 154.2 × 10-3

La notación científica es muy práctica para comparar números muy grandes o muy pequeños, bastará comparar el decimal si los exponentes coinciden, y bastará comparar los exponentes si éstos no coinciden.

2.5 × 102 < 4.5 × 102 < 8.25 × 102 < 6.4 × 103 < 1.15 × 105

Utilizando la calculadora virtual resuelve y comprueba los procedimientos que contienen los

Problemas de aplicación de la notación científica

1. El diámetro de un virus es de 5 × 10-4 mm. ¿Cuántos de esos virus son necesarios para rodear la Tierra? Radio medio de la Tierra: 6 370 km.

Expresamos el diámetro terrestre en mm:

R = 6 370 km × 106 mm1 km

= 6.37 × 109 mm

Cálculo de la longitud de la circunferencia terrestre:

Lt = 2πR = 2 × π × 6.37 × 109 mm = 4 × 1010 mm

El número de virus para rodearla:LTERRESTRE

LVIRUS = 4 × 1010 mm

5 × 10-4 mm = 8 × 1013 virus

LECCIÓN 3

NotaCient

76


2. La velocidad de la luz es 3 × 108 m/sa) ¿Qué distancia recorre la luz en un año?b) ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Plutón? (Distancia del Sol a Plutón es 5.91 × 106 km)

El número de segundos que tiene un año:

Un año × 365 días1 año

× 24 h1 día

× 60 min1 h

× 60 s1 min

= 31 536 000 s = 3.15 × 107 s

La distancia que recorre la luz en un año:

D = 3 × 108 ms

× 3.15 × 107 s = 9.45 × 1015 m = 9.45 × 1012 km

El tiempo que tarda la luz del Sol en llegar a Plutón:

t = 5.91 × 106 km3 × 105 km/s

= 19.7 s

3. La estrella Alfa-Centauro está a 4.3 años-luz de la Tierra. Expresa en km esa distancia.

El año luz es la distancia que recorre la luz en un año:

Daño = 3 × 108 ms

× 3.15 × 107 s = 9.45 × 1015 m = 9.45 × 1012 km

La estrella está:

D = 9.45 × 1012 kmaño-luz

× 4.3 años-luz = 4.07 × 1013 km

4. Teniendo en cuenta que el volumen de la Luna es 2.19 × 1010 km3 y su masa es 7 × 1022 kg:a) Calcula la densidad media de la Luna, expresándola en kg/m3.b) Compara su densidad con la de la Tierra (5.517 g/cm3).

El volumen de la Luna expresado en unidades del Sistema Internacional:

V = 2.19 × 1010 km3 × 109 m3

1 km3 = 2.19 × 1019 m3

La densidad de la Luna:

rLuna = MLUNA

VLUNA = 7 × 1022 kg

2.19 × 1019m3 = 3 196.3 kgm3

Escribiendo la densidad de la Tierra en el Sistema Internacional:

5.517 gcm3

× 1 kg103 g

× 106 cm3

1 m3 = 5 517 kgm3

Comparando la densidad del Tierra con la de la Luna:

rTIERRA

rLUNA = 5 517 kg/m3

3 196 kg/m3 = 1.73

77


1. Calcula tu edad en segundos utilizando la notación científica. ¿Cuál es el orden de magnitud?

En primer lugar calculamos los segundos que tiene un año:

1 año = 365 días

= 365 × 24 h = 8 760 h

= 8 760 × 3600 s = 31 536 000

= 3.15 × 107 s

En segundo lugar calculamos los segundos de vida para un alumno de 15 años de edad:

15 × 3.15 × 107 s = 4.73 × 108 s

2. Si una persona tiene 5 litros de sangre y aproximadamente 4 500 000 glóbulos rojos en cada mm3 de ésta, calcula en notación científica su número aproximado de glóbulos rojos.

En los 5 litros de sangre hay:

Número de glóbulos = 5 l × 1 dm3

1 l × 106 mm3

1 dm3 × 4 500 000 glóbulos1 mm3 = 2.25 × 1013 glóbulos rojos.

3. La masa de la Luna es de 7.34 × 1023 kg y la de la Tierra es de 5.98 × 1024 kg. ¿A cuántas lunas equivale la masa de la Tierra?

Núm. de lunas = 5.98 × 1024 kg7.34 × 1023 kg

= 8.147 lunas (aproximadamente 8 lunas)

4. La distancia entre la Tierra y la Luna es 3.8 × 105 km. Calcula el tiempo que tarda en llegar a la Luna una nave que lleva una velocidad de 200 m/s.

El tiempo que tarda es:

t(s) = 3.8 × 108 m2 × 102 m/s

= 1.9 × 106 s

Si lo convertimos a días:

t(s) = 1.9 × 106 s × 1 h3 600 s

× 1 día24 h

= 21.99 días = 21 días 23 h 46 m 40 s

Notación científica (2)

LECCIÓN 4

NotaCient

78


5. Una molécula de hidrógeno pesa 3.3 × 10-24 g. ¿Cuántas moléculas hay en un gramo de hidrógeno?

Núm. de moléculas = 1 g3.3 × 10-24 g

= 3 × 1023 moléculas

6. La velocidad de la luz es 300 000 km/s, y la distancia entre el Sol y Júpiter es 7.7 × 108 km. ¿Cuánto tiempo tarda la luz en llegar desde el Sol a Júpiter?

El tiempo que tarda en segundos:

t(s) = 7.7 × 108 km3 × 105 km/s

= 2 567 s = 42 min 47 s

7. La tabla muestra las distancias medias al Sol, en km, de los planetas del Sistema Solar:

PlanetaDistancia al Sol

(km)

Júpiter 3.7 × 108

Marte 2.3 × 108

Mercurio 5.8 × 107

Neptuno 4.5 × 108

Saturno 1.4 × 108

Tierra 1.5 × 108

Urano 2.9 × 108

Venus 1.1 × 108

a) ¿Cuál es el planeta más cercano al Sol?

b) ¿Cuál es el planeta más lejano al Sol?

c) ¿Qué planeta está más cerca del Sol, la Tierra o Urano?

d) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de la Tierra al Sol que la de Mercurio al Sol?

e) ¿Cuántas veces es mayor la distancia de Neptuno al Sol que de la Tierra al Sol?

79


LECCIÓN 5

ReglaSucesionesSucesiones con progresión aritmética

Una sucesión de figuras es un conjunto de figuras con la propiedad de que hay una regla de crecimiento que permite obtener todas las figuras del conjunto, empezando por la que ocupa el primer lugar de la sucesión, luego la que ocupa el segundo, luego la del tercero y así sucesivamente. Cuando observamos algunas configuraciones geométricas, se pueden encontrar regularidades numéricas.

En el ambiente de Geometría dinámica abre el archivo ReglaSucesiones.

Escribe en las celdas correspondientes de la hoja de cálculo la cantidad de puntos que se muestran en cada figura. Después en otra columna anota la regla para obtener cualquier elemento de la sucesión. Calcula cuántos puntos tendrían los términos 10, 20, 50 y 100. Sigue el ejemplo.

Figura 1

El primer término es 2(1) = 2 Término 10 = 2(10) = 20 puntosEl segundo término es 2(2) = 4 Término 20 = 2(20) = 40 puntosEl tercer término es 2(3) = 6 Término 50 = 2(50) = 100 puntosEl cuarto término es 2(4) = 8 Término 100 = 2(100) = 200 puntos

Regla: 2n

21 3 4

80


Figura 2

Regla:

Término 10:

Término 20:

Término 50:

Término 100:

Figura 3

Regla:

Término 10:

Término 20:

Término 50:

Término 100:

Los siguientes términos serán 7, 9, 11, 13, 15, etcétera.El primer término es 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1 cuboEl segundo término es 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 cubosEl tercer término es 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5 cubos.

1 2 3

81


LECCIÓN 6

PeriAreaCirPerímetro y área del círculo

Abre el archivo PeriAreaCir de geometría dinámica y realiza los siguientes ejercicios de construcción, además calcula el perímetro y el área usando las fórmulas en las celdas de la hoja de cálculo.

1. Dados los siguientes 2 puntos, construye la mediatriz, encuentra el centro y traza las circunferencias. Mide también el radio y el diámetro.

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

B

CA

D

F

C

E

G

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

82


2. Encuentra el centro de la circunferencia dadas las cuerdas.

B

C

A

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

E

F

D

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

Perímetro: Área:

Radio: Diámetro:

3. Encuentra el centro de la circunferencia dados los siguientes puntos.

83


Proporcionalidad múltiple

Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales.a : b = c : d = e : f se puede expresar como una proporción múltiple:

a : c : e = b : d : f En la proporción formada por dos razones iguales, a : b = c : d, hay cuatro términos: a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios.

En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Abre el archivo ProporMultiple, corrobora y resuelve las siguientes situaciones:

1. Dos albañiles construyen un muro de 12 metros de área en 3 horas. ¿Qué área construirán 5 albañiles en 4 horas?

Hay dos parámetros que influyen en el área construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todas las personas tienen la misma eficacia en el trabajo (son intercambiables); y afirmar que el área del muro es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Albañiles Tiempo (horas9 Superficie (metros2)

2 3 12

2 4 16

5 4 40

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia:

¿qué área construirían dos albañiles en cuatro horas? El parámetro Albañiles tiene un valor fijo,

luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (parte gris de la tabla). El área construida será

multiplicada por 43

. Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando el número de

obreros de 2 a 5, el área será multiplicada por 52

(la parte azul de la tabla es proporcional).

El resultado final es 12 × 43

× 52

= 40 metros cuadrados.

52

×

× 43

× 52

LECCIÓN 7

ProporMultiple

84


Problemas de proporcionalidad múltiple

1. 35 gallinas consumen 96 kilos de alimento cada 4 días. ¿Cuántos kilos de alimento consumirán 60 gallinas en 2 días?

Gallinas Alimento Días Comentario

35 96 4 Vamos a intentar que el valor correspondiente a las columnas gallinas y días valga 1. Para ello usamos ideas de proporcionalidad directa e inversa.Observa que estas columnas son las que están llenas en la última fila de la tabla. Lo hacemos en dos pasos.

1 96/35 = 2.742 4

1 2.742/4 = 0.685 1

60 60 × 0.685 = 41.14 1 Ahora intentamos que en la columna gallinas y en la columna días aparezcan los mismos datos de la última fila. Lo hacemos también paso a paso y usando la proporcionalidad directa o la inversa, según sea el caso.

60 41.14 × 2 = 82.28 2

60 82.28 2

Usa el mismo procedimientos para resolver los problemas que siguen.

2. 14 hombres pavimentan 140 m de un camino en 10 días, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar 20 hombres para pavimentar 180 m en 15 días?

3. Diez trabajadores siembran un terreno de 10 000 m2 en 9 días. ¿En cuántos días sembrarán 15 000 m2 doce trabajadores?

4. 20 focos originan un gasto de $50 al mes, estando encendidos 6 horas diarias. ¿Qué gasto originarán 5 focos en 45 días, encendidos durante 8 horas diarias?

5. Una persona recorre 54 km caminando 4 horas diarias durante 6 días. ¿Cuántas horas diarias tendrá que caminar para recorrer 140 km en 14 días?

6. Completa la siguiente tabla, basada en el trabajo efectuado para abrir una zanja, en las mismas condiciones de trabajo.

No. de trabajadores Metros de la zanja Horas diarias de trabajo Días de trabajo

10 140 8 14

180 6 12

16 6 20

14 250 7

6 80 16

LECCIÓN 8

ProporMultiple

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enseñanza de las matemáticas con tecnología - sephdte.seph.gob.mx/emaycit/emaycit libros/emat...

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