3353962.2005.parte 12
DESCRIPTION
informeTRANSCRIPT
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
191
66.. FFLLUUJJOO GGRRAADDUUAALLMMEENNTTEE VVAARRIIAADDOO YY PPEERRFFIILLEESS DDEE FFLLUUJJOO
8.1 OBJETIVOS
Aprender a identificar los diversos perfiles de flujo gradualmente variado que se pueden presentar en canales abiertos.
Verificar el establecimiento de dos o ms perfiles de flujo gradualmente variado, en un canal rectangular de pendiente regulable.
Establecer un perfil de flujo gradualmente variado (por ejemplo, M1, M2, M3, S1, S2, S3), y evaluarlo experimentalmente.
Aplicar un mtodo de clculo de flujo gradualmente variado, al perfil del flujo establecido en el objetivo anterior, y comparar sus resultados con las mediciones que se obtengan experimentalmente.
8.2 FUNDAMENTOS TERICOS
8.2.1 Definicin. El Flujo Gradualmente Variado, denotado por F.G.V., es un flujo permanente cuya profundidad vara suave o gradualmente a lo largo de la longitud del canal, para un caudal dado. Vase la Figura 8.1.
FIGURA 8.1. Variacin del perfil de flujo en un canal abierto.
La variacin de la profundidad, y, de un flujo gradualmente variado, en canales abiertos, respecto de un eje x coincidente con el fondo del canal, y para unas condiciones dadas de caudal, Q, tipo de seccin transversal del canal, pendiente longitudinal, S0, y coeficiente de rugosidad, n, recibe el nombre de perfil hidrulico o perfil de flujo.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
192
8.2.2 Hiptesis
i) Flujo permanente.
ii) La rugosidad del canal es constante (n, C, y k no varan).
iii) La distribucin de velocidades en cada seccin no presenta ninguna variacin importante con respecto a la distribucin de velocidades de una seccin vecina. Esta hiptesis implica que el
coeficiente de Coriolis, , es constante a lo largo del flujo.
iv) La pendiente longitudinal del canal es constante y pequea ( < 7).
v) No hay entrada de aire al flujo.
vi) La resistencia al flujo se debe principalmente a la friccin del agua con las fronteras slidas del canal.
vii) La distribucin de presiones en la seccin transversal del canal sigue la ley hidrosttica de presiones.
viii) Las lneas de corriente del flujo se consideran aproximadamente paralelas entre s (flujo paralelo).
ix) Las prdidas de carga por friccin, hf, se calcularn, sin introducir un error apreciable, con la ecuacin de flujo uniforme que se emplee para tal fin (ecuacin de Manning, ecuacin de Chzy o ecuacin de Darcy & Weisbach), suponiendo flujo uniforme entre dos secciones consecutivas.
8.2.3 Ecuacin general para el F.G.V. Sea el flujo en un canal de seccin transversal definida, como se muestra en la Figura 8.1. Se pretende analizar la variacin del perfil hidrulico, es decir, el cambio de la profundidad del flujo, a lo largo del eje x coincidente con el fondo del canal.
Partiendo de la ecuacin de Bernoulli:
(8.1) g2
vcosyzH
22
que, planteada en trminos del caudal, expresa lo siguiente:
(8.2) Ag2
QcosyzH
2
22
y derivando la ecuacin (8.2) con respecto a x, se tiene:
(8.3) Ag2
Q
dx
d
dx
dycos
dx
dz
dx
dH2
22
A
dx
dAA21A0
g2
Q
dx
dycos
dx
dz
A
1
dx
d
g2
Q
dx
dycos
dx
dz
dx
dH4
22
2
2
22
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
193
Adems, A = f (x, y), por lo cual, derivando A en cadena, se tiene lo siguiente:
dx
dy
dy
dA
dx
dA
y sabiendo que
Tdy
dA
se obtiene:
dx
dy
Ag
TQ
dx
dycos
dx
dz
dx
dy
dy
dA
Ag
Q
dx
dycos
dx
dz
dx
dH3
22
3
22
22
3
22 Fcos
dx
dy
Ag
TQcos
dx
dy
dx
dz
dx
dH
De donde:
(8.4) Fcos
dx
dz
dx
dH
dx
dy22
Esta es la ecuacin general para la variacin del perfil hidrulico a lo largo del canal.
Adems, se definen los siguientes trminos:
x: Eje coincidente con el fondo del canal, en el sentido del flujo.
z: Cota del fondo del canal, respecto a un plano de referencia.
: ngulo de inclinacin del fondo del canal, respecto de la horizontal (ver Figura 8.1).
: Coeficiente de Coriolis, para correccin de velocidad por energa cintica.
fSdx
dH
(slope of friction) pendiente de la lnea de energa total, y es siempre negativa.
tanSdx
dz0
pendiente longitudinal del fondo del canal; puede ser cero, positiva o negativa.
S0 = 0, en canales de fondo horizontal (Canales tipo H)
S0 < 0, en canales de pendiente favorable, es decir, aquellos canales cuya elevacin del fondo
disminuye en el sentido del flujo.(Canales Tipo M, C y S).
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
194
S0 > 0, en canales de pendiente desfavorable, es decir, aquellos canales cuyo nivel del fondo se
eleva en el sentido del flujo. En este caso, se dice que el canal es de pendiente adversa o contraria.
(Canales Tipo A).
Ahora, la ecuacin (8.4), para canales de pendiente favorable, se puede expresar de la siguiente manera:
(8.5) F.G.V. de perfiles para ldiferencia Ecuacin Fcos
SS
dx
dy22
f0
Donde F es el nmero de Froude, y se calcula as:
(8.6)
D g
v F
V: Velocidad media del flujo.
D: Profundidad hidrulica del flujo.
(8.7) T
AD
A: rea mojada de la seccin transversal del flujo. T: Ancho superficial del rea mojada.
De otro lado, para un pequeo tramo de canal, entre dos secciones separadas una pequea
distancia x, se puede aplicar, sin introducir mucho error, la frmula de Manning, vlida para flujo uniforme (flujo no variado), la cual expresa:
(8.8) SRAn
Q2/1
0
3/2
H
Haciendo S0 = Sf, como si el flujo fuese uniforme, se tiene:
(8.9) SRAn
Q2/1
f
3/2
H
De donde,
(8.10) RA
QnS
2
3/2
H
f
Por otra parte,
(8.11) h
S f21f
Donde H = hf es la prdida de carga por friccin ocurrida en la longitud x.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
195
Reemplazando la ecuacin (8.11) en la ecuacin (8.10), se tiene:
RA
Qn
x
h2
3/2
H
f
De donde,
(8.12) RA
Qnh
2
3/2
H
f
Donde:
RH : Radio hidrulico
(8.13) P
ARH
P : Permetro mojado de la seccin del flujo. A : rea mojada de la seccin del flujo.
: Constante emprica, cuyo valor depende del sistema de unidades empleado.
= 1.486 pie1/3 /s, en el Sistema Ingls
= 1.0 m1/3 /s, en el Sistema Internacional
De otro lado,
Dg
AQ
Dg
vF
222
Luego,
(8.14) ADg
QF
2
22
Sustituyendo las ecuaciones (8.10) y (8.14) en la ecuacin (8.5), se tiene:
(8.15)
ADg
Qcos
RA
QnS
dx
dy
2
22
2
32H
0
En esta ecuacin A, D y RH son funciones de la profundidad del flujo, exclusivamente, para un tipo dado de seccin transversal del canal. Por lo tanto, el miembro derecho de la ecuacin (8.15) es una funcin exclusiva de y, para unas condiciones geomtricas e hidrulicas dadas.
Adems, por tratarse de un flujo espacialmente variado, la profundidad del flujo vara con la direccin x. En consecuencia, la ecuacin (8.15) es una ecuacin diferencial ordinaria, de primer orden, no-lineal en y, de la forma:
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
196
(8.16) (x,y) dx
dy
cuya solucin analtica, en general, es imposible de obtener, excepto para los casos particulares de canales rectangulares muy anchos de fondo horizontal y canales triangulares de fondo horizontal. Slo, aplicando algn mtodo numrico, es posible hallar la solucin de la ecuacin diferencial (8.15), a partir de unas condiciones iniciales dadas, [x0, y0 = f(x0)].
El autor ha adaptado el algoritmo de Runge-Kutta, de orden 4, a la solucin numrica aproximada de la misma ecuacin (8.15), a la cual se le ha llamado el Mtodo Runge-Kutta1.
Entre los diversos mtodos numricos de integracin de la ecuacin (8.15) existentes, los tres mtodos de mayor aplicacin son: el Mtodo del Paso Directo, el Mtodo del Paso Estndar y el mtodo Runge-Kutta.
Los tres mtodos arriba citados son fcilmente aplicables, con la ayuda de programas de computador o calculadora programable, al clculo de cualquier perfil de flujo. Vanse los listados correspondientes en el Anexo A2.
En el Anexo A4 se plantean y resuelven dos problemas de clculo de perfiles de flujo, aplicando dichos mtodos.
8.2.4 Ecuaciones diferenciales particulares para el clculo de perfiles de flujo
A continuacin, se deducen las formas particulares de la ecuacin general (8.15), correspondientes a los canales tipo M, C, S, A y H. Para ello, se requiere plantear las siguientes convenciones:
1 Carl Runge (1856 1927) y G. Kutta (1867 1944), matemticos aplicados alemanes.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
197
TABLA 8.1 Convenciones para el anlisis de perfiles de flujo gradualmente variado.
PARMETRO
TIPO DE FLUJO
F. GRADUALMENTE VARIADO
FLUJO UNIFORME FLUJO CRTICO
PROFUNDIDAD y yn yc
REA MOJADA A An Ac
PERMETRO MOJADO P Pn Pc
RADIO HIDRULICO P
ARH nHR cHR
ANCHO SUPERFICIAL T Tn Tc
PROFUNDIDAD HIDRULICA T
AD Dn Dc
FACTOR DE SECCIN 21
23
T
ADAZ Zn Zc
PENDIENTE Sf So coS
FACTOR DE TRANSPORTE
32
HARn
K 32
Hnn nRA
nK
32
Hcc cRA
nK
CAUDAL
21
f
32
H SRAn
Q
21
fSKQ
21
o
32
Hn SRAn
Qn
21
on SKQ
21
o
32
Hc ccSRA
nQ
21
oc cSKQ
8.2.4.1 Ecuacin diferencial para canales con pendiente favorable (S0 < 0): Canales tipos M, C y S.
0Sdx
dz
22
f0
Fcos
SS
dx
dy
(8.17)
cos
F1
S
S1
cos
S
dx
dy
2
2
0
f
2
0
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
198
Por otro lado, de la ecuacin de Manning y de la Tabla 8.1 se deduce lo siguiente:
K
QSy
K
QS
2
n
0
2
f
Entonces,
(8.18) K
K
K
Q
K
Q
S
S2
n
2
n
2
0
f
Por otra parte,
(8.19) Z
Z
T
A
T
A
Ag
TQ
Ag
TQ
F
F
cos
F
cos
F
1
cos
F
cos
F2
c
3
c
3
c
3
c
c
2
3
2
2
c
2
2
c
2
2
2
2
2
2
Reemplazando las ecuaciones (8.18) y (8.19) en la ecuacin (8.17), se tiene:
(8.20) favorable pendiente de canales en
F.G.V. el para l diferencia Ecuacin
Z
Z 1
K
K 1
cos
S
dx
dy 2
c
2 n
2 0
8.2.4.2 Ecuacin diferencial para canales con pendiente nula (S0 = 0): Canales tipo H
Este es un caso particular de canales con pendiente favorable, en los cuales:
0dx
dzS0
y 1cos2
Luego, sustituyendo en la ecuacin (8.5), se obtiene:
2
c
2
2
f
22
f0
Z
Z1
K
Q
F1
S
Fcos
SS
dx
dy
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
199
(8.21) nula pendiente de canales en
F.G.V. el para l diferencia Ecuacin
Z
Z 1
K
Q
dx
dy 2
c
2
8.2.4.3 Ecuacin diferencial para canales con pendiente desfavorable (S0 > 0): Canales tipo A
En este caso 0Sdx
dz, que, reemplazado en la ecuacin general (8.4), produce lo siguiente:
22
f0
22
0f
Fcos
SS
Fcos
SS
dx
dy
Como se dedujo arriba,
2
fK
QS ; luego la ecuacin inmediatamente anterior queda de la
siguiente manera:
(8.22) adversa pendiente de canales en
F.G.V para ldiferencia Ecuacin
Fcos
K
QS
dx
dy22
2
0
8.2.5 Anlisis de puntos singulares
El anlisis de puntos singulares se har con base en la ecuacin diferencial para canales con pendiente favorable: ecuacin (8.20)
(8.20)
Z
Z1
K
K1
cos
S
dx
dy2
c
2
n
2
0
Caso i) y yn
0K
K11
K
KKK,RR,TT,A A,yy Si
2
nnnHHnnn n
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
200
Luego,
0
Z
Z1
0
cos
S
dx
dy2
c
2
0
(8.23) 0dx
dy
En consecuencia, cuando y yn, 0dx
dy, lo cual significa que y se vuelve constante y el flujo
tiende a ser uniforme.
Conclusin: cuando, en un perfil de flujo, la profundidad tiende o se aproxima a la profundidad normal, el flujo tambin tiende asintticamente al flujo uniforme.
a)
b)
FIGURA 8.2 Singularidades debidas al caso en que y yn
Caso ii) y yc:
0Z
Z11
Z
ZZZ,TT,AA,yy Si
2
cccccc
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
201
Por lo tanto,
0
K
K1
cos
S
dx
dy
2
n
2
0
dx
dy
Adems, en flujo subcrtico y > yc, es decir,
(8.24) dx
dyyysi c
Lo anterior, matemticamente, significa que el perfil tiende a cortar perpendicularmente el fondo del canal.
Realmente, lo que ocurre es una cada hidrulica, como se muestra en las Figuras 8.2a. y 8.3a.
De igual forma, en flujo supercrtico, y < yc, es decir,
(8.25) dx
dyyysi c
Lo anterior, matemticamente, significa que el perfil tiende a cortar perpendicularmente la lnea de profundidades crticas, L.P.C.
Y lo que realmente sucede es un resalto hidrulico, como se muestra en las Figuras 8.3b y 8.6.
a) b)
FIGURA 8.3. Singularidades debidas al caso en que y yc
Caso iii) y yn = yc: Este caso es similar al caso i), y ocurre en canales tipo C (S0 = S0c), resultando un flujo uniforme y crtico, como se muestra en la Figura 8.4.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
202
FIGURA 8.4. Singularidades debidas al caso en que y yn = yc
Caso iv) 0y : Este caso se refiere a flujos gradualmente variados con profundidades muy
pequeas, como, por ejemplo, a la salida de una compuerta.
1K
K1
0
K
K
K, 0K, 0R0, A0,y Si
2
nnnH
Adems,
1Z
Z1
0
Z
Z
Z0Z,0ySi
2
ccc
En consecuencia,
cos
S
dx
dy2
0
Fsicamente el resultado de dy/dx depende de la forma geomtrica y del tipo del canal. Por ejemplo,
para el caso de un canal rectangular muy ancho (B >> y ; RH y), segn que se emplee la ecuacin
de Bresse Manning o la de Bresse Chzy, dx
dy tendr un resultado diferente.
En efecto, empleando la ecuacin de Manning en flujo uniforme y flujo gradualmente variado, respectivamente, se tiene:
(8.26) SKSRAn
Q2/1
0n
2/1
0
3/2
Hn n
(8.27) SKSRAn
Q2/1
f
2/1
f
3/2
H
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
203
Reemplazando Kn y K en la ecuacin (8.20):
(8.20)
Z
Z1
K
K1
cos
S
dx
dy2
c
2
n
2
0
Resulta
(8.28) anchosmuy resrectangula canales en
F.G.V., para Manning-Breese Ecuacin
y
y1
y
y1
cos
S
dx
dy3
c
310
n
2
0
La ecuacin anterior se puede transformar de la siguiente manera:
yyy
yyy
cos
S
y
yy
y
yy
cos
S
y
y1
y
y1
cos
S
dx
dy3
c
3310
310
n
3103
2
0
3
3
c
3
310
310
n
310
2
0
3
c
310
n
2
0
yy
yy
y
1
cos
S
dx
dy3
c
3
310
n
310
312
0
Ahora, continuando con el caso iv),
(8.29) y
y
0
1
cos
S
dx
dy0ysi
3
c
310
n
2
0
Anlogamente, empleando la ecuacin de Chzy para los flujos uniforme y gradualmente variado, respectivamente, se tiene:
(8.30) SKSRACQ2/1
0n
2/1
0
2/1
Hn n
(8.31) SKSRACQ2/1
f
2/1
f
2/1
H
Despejando Kn y K, y reemplazndolos en la ecuacin (8.20) se llega a la siguiente ecuacin
(8.32) anchosmuy resrectangula canales en
F.G.V., paraChzy -Breese Ecuacin
y
y1
y
y1
cos
S
dx
dy3
c
3
n
2
0
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
204
La ecuacin (8.32) puede transformarse de la siguiente manera:
yy
yy
cos
S
y
yy
y
yy
cos
S
y
y1
y
y1
cos
S
dx
dy3
c
3
3
n
3
2
0
3
3
c
3
3
3
n
3
2
0
3
c
3
n
2
0
Y, continuando con el caso iv), se tiene:
(8.33) inflexin) de (Punto
y
y
cos
S
y 0
y 0
cos
S
dx
dy , 0 y si
3
c
n 2 0
3 c
3 n
2 0
Evidentemente, los resultados arrojados por las ecuaciones (8.29) y (8.33) son completamente diferentes. El primero ratifica el resultado encontrado inicialmente, y el segundo coincide bastante bien con lo evidenciado experimentalmente, segn lo cual ocurre un cambio de concavidad en el
perfil de flujo, cuando y 0, es decir, cuando la profundidad del flujo es muy pequea. Vase las Figuras 8.5 y 8.6.
FIGURA 8.5. Singularidades debidas al caso en que y 0
FIGURA 8.6. Singularidades debidas al caso en que y yc
Caso v). y : Realmente, lo que ocurre es que y toma un valor relativamente muy grande.
101K
K10
K
K
K , K, R, A,y Si
2
nnnH
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
205
101Z
Z10
Z
Z
Z,Z,D,T,ysi,Adems
2
ccc
En consecuencia, de la ecuacin (8.20), se tiene:
(8.34) cos
S
1
1
cos
S
dx
dy2
0
2
0
Conclusin: cuando, en un perfil de F.G.V., la profundidad del flujo toma un valor supremamente grande, como a la entrada de un depsito, lago o embalse, la pendiente del perfil de flujo toma el valor:
cos
S
dx
dy2
0
y, si 0 6, 1cos2
; luego:
0Sdx
dy
Esto ltimo significa que la pendiente de la superficie de agua toma el valor de la pendiente del fondo del canal, con signo contrario. Ver Figura 8.7.
FIGURA 8.7. Singularidades debidas al caso en que y
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
206
8.2.6 Clasificacin de los canales, segn su pendiente longitudinal. Definiendo el concepto de pendiente crtica, S0c , como la pendiente longitudinal de un canal que impone el establecimiento de un flujo uniforme y crtico, simultneamente, es posible clasificar los canales abiertos segn la magnitud de su pendiente longitudinal, comparada con el valor de S0c .
Se dice que un canal tiene pendiente crtica cuando su pendiente longitudinal S0 = S0c; a este canal se le conoce con el nombre de canal Tipo C (del ingls critic). Vase la Figura 8.8b.
FIGURA 8.8. Tipos de canales segn su pendiente longitudinal, y definicin de zonas para el flujo gradualmente variado.
La pendiente crtica, S0c, se puede calcular fcilmente a partir de la ecuacin de Manning, (7.27), as:
(8.35) RA
QnS
2
32
cHc
c0
donde Ac y RHc son, respectivamente, el rea mojada crtica y el radio hidrulico crtico, calculados
en funcin de la profundidad crtica, yc, para un caudal dado, Q.
Un canal Tipo H (horizontal) es aquel cuyo fondo es horizontal, es decir, su pendiente longitudinal es igual a cero (S0 = 0). Ver la Figura 8.8d.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
207
Se dice que un canal es Tipo M (del ingls mild = suave o moderada) si su pendiente longitudinal es menor que la pendiente crtica (S0 < S0c). Vase la Figura 8.8a.
Si la pendiente longitudinal del canal es mayor que la pendiente crtica, (S0 > S0c), el canal es llamado Tipo S (del ingls steep = empinada, pronunciada o fuerte). Vase la Figura 8.5c.
Por ltimo, a los canales con pendiente longitudinal positiva, esto es, cuyo fondo se eleva en el sentido de la corriente, se les llama Tipo A (del ingls adverse = adversa). Ver la Figura 8.8e.
8.2.7 Zonas para el establecimiento del flujo gradualmente variado en un canal. Para un caudal dado y unas caractersticas geomtricas del canal establecidas, siempre es posible calcular la profundidad crtica, yc, y, exceptuando los canales tipos H y A, en los cuales el flujo uniforme no puede establecerse, tambin es posible el clculo de la profundidad normal, yn. Vanse los numerales 3.2.4 y 7.3.4, y los programas correspondientes, en el Anexo A2.
Dibujadas las lneas de profundidad crtica, L.P.C., y de profundidad normal, L.P.N., paralelas al fondo del canal, y separadas de ste las distancias yc y yn , respectivamente, se definen las tres zonas siguientes: (Vase la Figura 8.8).
Zona 1 : es el espacio que est por encima de la lnea superior
Zona 2 : es el espacio comprendido entre las lneas L.P.C. y L.P.N.
Zona 3 : es el espacio comprendido entre la lnea inferior y el fondo del canal.
8.2.8 Tipos de perfiles hidrulicos en F.G.V. Los perfiles de flujo gradualmente variado se identifican con una letra, seguida de un nmero. La primera responde al tipo de canal, y el nmero indica la zona del canal (zona 1, 2 3) en que se desarrolla el perfil. Vanse las Figuras 8.9.y 8.10
Por ejemplo, M3 es el nombre que identifica al perfil de F.G.V. desarrollado en la zona 3 de un canal Tipo M, o de pendiente moderada, y H2 es la etiqueta correspondiente a un perfil hidrulico desarrollado en la zona 2, de un canal horizontal o Tipo H.
Una mejor y ms completa ilustracin de los posibles perfiles hidrulicos se presenta en las Figuras 8.9 y 8.10.
Obsrvese en la Figura 8.9 que, en un canal horizontal, la profundidad normal tiende a infinito, es decir, es indeterminada. Tambin, se indica en la misma figura, con una flecha dirigida hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, la manera de realizar el clculo de un perfil de flujo determinado.
En la misma figura, y para cada perfil de flujo, se plantea el lgebra de signos correspondiente a la variacin dy/dx.
En la Figura 8.10 se presentan ejemplos correspondientes a cada uno de los posibles perfiles de flujo gradualmente variado, que comnmente ocurren en los canales abiertos. Tambin, en esta figura se plantean las desigualdades entre y, yc y yn, los signos (+) o (-) de la variacin dy/dx, la variacin de la profundidad en el sentido de la corriente, el nombre simblico de los perfiles de flujo, el tipo de flujo y la representacin grfica del correspondiente caso ejemplar.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
208
8.2.9 Anlisis de los perfiles de F.G.V.
8.2.9.1 Perfiles tipo M
Los perfiles de F.G.V. en canales tipo M se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V., para canales de pendiente favorable, la cual es:
(8.20)
Z
Z1
K
K1
cos
S
dx
dy2
c
2
n
2
0
8.2.9.1.1 Perfil M1
El flujo es subcrtico; adems yc < yn < y
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,TT,DD,AA,yyserPor
2
ccccccc
0K
K11
K
K,KK,RR,PP,AA,yyserPor
2
nnnHnHnnn
El lgebra de signos aplicado a la ecuacin (8.20) produce:
dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
Luego, el perfil de flujo se eleva en el sentido de la corriente, es decir, y crece.
Para conocer la forma y concavidad del perfil de flujo, se deben responder a las dos preguntas siguientes:
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
0dx
dyyy:spuestaRe n
Luego, hacia aguas arriba, la pendiente del perfil de flujo tiende a cero, y el flujo tiende asintticamente al flujo uniforme.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
209
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad y, aguas abajo?
2
0
cos
S
dx
dyy:spuestaRe
Luego, hacia aguas abajo, la pendiente del perfil hidrulico toma un valor finito y positivo.
Las dos respuestas anteriores demuestran que el perfil de flujo no puede tener concavidad hacia abajo, ni ser una lnea recta, sino de concavidad hacia arriba. Vanse las Figuras 8.7 y 8.9. A este perfil, por su forma y por su suave variacin de la profundidad, se le conoce con el nombre de Curva de Remanso, y, en ingls, backwater.
8.2.9.1.2 Perfil M2
El flujo es subcrtico. Adems, yc < y < yn
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0K
K11
K
K,KK,RR,PP,AA,yyparteotraPor
2
nnnHnHnnn
En consecuencia, dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
El perfil de flujo se abate, es decir, la profundidad, y, disminuye en el sentido de la corriente.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
uniformeseratiendeflujoEl0dx
dyyy:spuestaRe n
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
Respuesta: dx
dyyy c
Se produce una cada hidrulica. Vanse las Figuras 8.3.a y 8.9.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
210
8.2.9.1.3 Perfil M3
El flujo es supercrtico. Adems, y < yc < yn
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0
K
K 1 1
K
K , K K , R R , P P , A A , y y parte, otra Por
2 n n
n H n H n n n
Luego, dx
dy
O, lo que es igual, 0dx
dy
El perfil del flujo se eleva en el sentido de la corriente, es decir, la profundidad aumenta corriente abajo.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
Respuesta:
3
c
n
2
0
y
y
cos
S
dx
dyChzy, - Bresse ecuacin la segn,0y
Es decir, se presenta un punto de inflexin, P. de I.
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
Respuesta: .dx
dyyy c Entonces, realmente ocurre un Resalto Hidrulico
como el que se muestra en las Figuras 8.3b y 8.9.
8.2.9.2 Perfiles tipo C
Los perfiles de F.G.V. en canales tipo C, al igual que los del canal tipo M, se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V. en canales de pendiente favorable, la cual es:
(8.20)
Z
Z1
K
K1
cos
S
dx
dy2
c
2
n
2
0
8.2.9.2.1 Perfil C1
El flujo es crtico. Adems, y > yc = yn
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
211
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0K
K11
K
K,KK,RR,PP,AA,yy,Adems
2
nnnHnHnnn
Luego, dx
dy
Es decir, 0dx
dy
El perfil del flujo se eleva corriente abajo, es decir, la profundidad crece en el sentido de la corriente.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad y, aguas arriba?
dx
dyyy:spuestaRe c
Realmente, debido a esta singularidad, el perfil C1 sigue al flujo uniforme de aguas arriba. Vanse las Figuras 8.4b y 8.9.
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad y, aguas abajo?
Respuesta: Este caso es similar a lo que ocurre con el perfil M1: 2
0
cos
S
dx
dyy
Ver Figura 8.9.
8.2.9.2.2 Perfil C2
Este perfil estara ubicado en la zona 2, pero esta zona es, ms bien, una lnea recta que coincide con las lneas L.P.C. y L.P.N. Por lo tanto, el perfil de flujo C2 no es gradualmente variado, sino, un flujo uniforme y crtico, a la vez. Vase la Figura 8.9.
8.2.9.2.3 Perfil C3
El flujo es supercrtico. Adems, y < yc = yn
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
212
0
K
K 1 1
K
K , K K , R R , P P , A A , y y parte, otra Por
2 n n
n H n H n n n
Luego, dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
En efecto, el perfil de flujo se eleva, es decir, la profundidad del flujo aumenta hacia aguas abajo.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
Respuesta:
3
c
n
2
0
y
y
cos
S
dx
dyChzy, - Bresse ecuacin la segn ,y,0y
O sea que se presenta un punto de inflexin, P. de I. y un cambio de concavidad asociado.
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
dx
dyyy:spuestaRe c
El perfil de flujo C3 podra ir seguido de un Resalto Hidrulico, si las condiciones de aguas abajo son de flujo subcrtico. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
8.2.9.3 Perfiles tipo S
Los perfiles de F.G.V. en canales tipo S, al igual que los perfiles M y C, se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V., en canales de pendiente favorable, la cual expresa lo siguiente:
(8.20)
Z
Z1
K
K1
cos
S
dx
dy2
c
2
n
2
0
8.2.9.3.1 Perfil S1
El flujo es subcrtico. Adems, yn < yc < y
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,TT,AA,DD,yyserPor
2
ccccccc
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
213
0
K
K 1 1
K
K , K K , R R , P P , A A , y y lado, otro De
2 n n
n H n H n n n
En consecuencia, dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
Por lo anterior, se concluye que el perfil de flujo se eleva y la profundidad aumenta en el sentido de la corriente. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
dx
dyyy:spuestaRe c
En realidad, el perfil S1 es la continuacin de un Resalto Hidrulico que ocurre aguas arriba.
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
2
0
cos
S
dx
dyy:spuestaRe
El perfil finaliza con una profundidad grande y con una pendiente finita, tal como lo es la descarga de un canal a un embalse o el rebose de un vertedero. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
8.2.9.3.2 Perfil S2
El flujo es supercrtico. Adems, yn < y < yc
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0
K
K 1 1
K
K , K K , R R , P P , A A , y y lado, otro De
2 n n
n H n H n n n
Luego, dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
214
En consecuencia, el perfil de flujo se abate en el sentido de la corriente, es decir, la profundidad disminuye corriente abajo.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
Respuesta: dx
dyyy c .
Tericamente, lo anterior significa que, aguas arriba, el perfil corta perpendicularmente a la lnea de profundidades crticas, L.P.C. Realmente, esta singularidad representa el cambio de concavidad debido al paso de un perfil de flujo subcrtico a un perfil supercrtico S2, ocasionado por un cambio de pendiente suave a pendiente fuerte. Ver Figura 8.10.
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
0dx
dyyy:spuestaRe n
El flujo se uniformiza en la seccin en la cual y = yn.
La concavidad del perfil de flujo S2 es hacia arriba. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
8.2.9.3.3 Perfil S3
Este flujo se presenta en rgimen supercrtico. Adems, y < yn < yc
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0
K
K 1 1
K
K , K K , R R , P P , A A , y y parte, otra Por
2 n n
n H n H n n n
Luego, dx
dy
Es decir, 0dx
dy. El perfil de flujo se eleva, es decir, la profundidad aumenta en el sentido de la
corriente.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
Respuesta:
3
c
n
2
0
y
y
cos
S
dx
dyChzy, - Bresse ecuacin la segn ,y,0y
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
215
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
.uniformiza se flujo de perfil El .0dx
dyyy:spuestaRe n
En consecuencia, el perfil de flujo presenta concavidad hacia abajo, y se uniformiza a partir de la seccin en la cual y = yn. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
8.2.9.4 Perfiles tipo H
Los perfiles de F.G.V. en canales tipo H se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V. para canales de fondo horizontal, la cual es:
Z
Z1
K
Q
dx
dy2
c
2
(8.21)
8.2.9.4.1 Perfil H1
Este perfil estara ubicado en la zona 1, pero sta no existe, dado que, yn , o sea, es indeterminada y, por lo tanto, no existe. Vase la Figura 8.9.
8.2.9.4.2 Perfil H2
El flujo es subcrtico y, adems, yc < y
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0K
Q,Adems
2
, para cualquier valor de y.
Resultando: dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
En consecuencia, el perfil de flujo se abate en el sentido de la corriente, es decir, la profundidad del flujo decrece.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
216
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
01
0
cos
S
dx
dyy:spuestaRe
2
0
Dado que los canales H son horizontales,
0dx
dy entonces, 0;Sy 1cos 0, 0
2
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
Respuesta: .dx
dyyy c
Se presenta una cada hidrulica. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
Adems, la concavidad del perfil H2 es hacia abajo, similar a la de los perfiles M2 y S2. Ver Figura 8.9.
8.2.9.4.3 Perfil H3
Este perfil se da en rgimen supercrtico. Adems, y < yc
0Z
Z11
Z
Z,ZZ,DD,TT,AA,yyserPor
2
ccccccc
0K
Q,Adems
2
Luego, dx
dy o, lo que es lo mismo, 0
dx
dy
En consecuencia, el perfil de flujo H3 se eleva conforme avanza la corriente, y la profundidad crece en ese sentido.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
Respuesta:
0y1
0
y
y
cos
S
dx
dyChzy, - Bresse ecuacin la segn ,y,0y
3
c
3
c
n
2
0
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
217
.dx
dyyy:spuestaRe c
El perfil de flujo es sucedido por un Resalto Hidrulico, aguas abajo. Su concavidad es hacia arriba, como se puede ver en las Figuras 8.9 y 8.10.
8.2.9.5 Perfiles tipo A
Los perfiles de F.G.V. en canales tipo A se analizarn con la ecuacin diferencial de F.G.V. para canales de pendiente desfavorable o adversa, la cual es:
Fcos
K
QS
dx
dy22
2
0
(8.22)
8.2.9.5.1 Perfil A1
Este perfil tampoco existe. La razn es que, por ser indeterminada la profundidad normal, yn, la zona 1 no puede existir. Vase la Figura 8.9.
8.2.9.5.2 Perfil A2
Este perfil se encuentra en la zona 2, en donde y > yc, por lo cual el rgimen es subcrtico.
En la ecuacin (8.22), 0S0 , 0K
Q2
; luego, 0K
QS
2
0
Por otra parte, por tratarse de un flujo subcrtico, 0Fcos22
.
Luego, el lgebra de signos conduce a lo siguiente:
dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy. En consecuencia, el perfil de flujo A2 se deprime o abate. En otras
palabras, la profundidad del flujo disminuye en el sentido de la corriente. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
218
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
Respuesta: 0K
Q,K,y
2
; luego, 0SK
QS 0
2
0
As mismo, si TA,T,A,y3
y 0T Ag
QF
3
22
Finalmente, de acuerdo con la ecuacin (8.22), resulta:
2
0
cos
S
dx
dy
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
.dx
dyyy:spuestaRe c
El perfil de flujo A2 finaliza con una cada hidrulica. La concavidad del perfil es hacia abajo. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
8.2.9.5.3 Perfil A3
Este perfil est ubicado en la zona 3, en donde y < yc y el flujo es supercrtico. Ver Figura 8.9.
Anlogamente, en la ecuacin (8.22), 0S0 , 0K
Q2
; luego, 0K
QS
2
0
Adems, por tratarse de un flujo supercrtico, 0Fcos22
.
El lgebra de signos, aplicado a la ecuacin (8.22), produce lo siguiente:
dx
dy
O, lo que es lo mismo, 0dx
dy
Luego, el perfil de flujo A3 se eleva en el sentido de la corriente; por lo tanto, la profundidad crece hacia aguas abajo.
i) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas arriba?
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
219
Respuesta:
2
K
Q,0K,0y ; luego,
2
0K
QS
As mismo, si 0TA,0T,0A,0y3
, T Ag
QF
3
22
y
22Fcos
Finalmente, de acuerdo con la ecuacin (8.22), resulta:
dx
dy
En realidad, dx
dy toma un valor relativamente grande (del orden de n x 102; donde 0.1 < n < 1, en
canales de seccin rectangular).
Lo anterior significa que se presenta un punto de inflexin, cerca del fondo del canal, asociado a un cambio de concavidad del perfil de flujo. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
ii) Hacia qu valor tiende la profundidad, y, aguas abajo?
.dx
dyyy:spuestaRe c
Por lo anterior, el perfil A3 presenta una concavidad hacia arriba y es seguido de un Resalto Hidrulico. Vanse las Figuras 8.9 y 8.10.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
220
FIGURA 8.9. Perfiles de flujo gradualmente variado en canales prismticos. Tomado de Ref. [8]
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
221
FIGURA 8.10. Cuadro resumen y ejemplos grficos de los posibles perfiles de flujo gradualmente variado en canales
prismticos. Tomado de Ref. [8]
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
222
8.2.10 Mtodos de clculo de perfiles de flujo gradualmente variado.
En los mtodos de clculo que se describen a continuacin, se precisa conocer las caractersticas geomtricas del canal, el caudal, y la profundidad del flujo y la abscisa de la seccin de partida (1), para calcular, de acuerdo a la tcnica del mtodo, la profundidad o la abscisa correspondientes a la seccin siguiente (2).
8.2.10.1 El Mtodo del Paso Directo. Este mtodo es aplicable a canales prismticos.
FIGURA 8.11. Esquema ilustrativo del Mtodo del Paso Directo.
Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre (1) y (2), se tiene:
(8.36) HHH 2211
Donde H1-2 = hf1-2 representa la prdida de carga por friccin en el tramo comprendido entre las secciones (1) y (2).
g2
vcosyzh
g2
vcosyz
2
22
22f
2
12
11 21
g2
vcosyh
g2
vcosyzz
2
22
2f
2
12
121 21
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
223
Haciendo z = z1 z2, y sabiendo que
g2
vcosyE
2
12
11
se tiene:
EhEz 2f1 21
z hEE21f21
Adems,
xSh ff 21
Luego,
zxSEE f21
Por otra parte, de la figura 8.11, es claro que:
x
zsen
de donde, sen xz
senxxSEE,Luego f21
senSxEE f21
(8.37) senS
EEx
f
21
El tramo x es la diferencia entre la abscisa de la seccin (2) y la correspondiente a la seccin (1).
Entonces,
senS
EExxx
f
2112
(8.38) senS
EExx donde, De
f
2112
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
224
demediopor,ScomocalculasesiestimadamejorquedaraS),38.8(y)37.8(ecuacioneslasEn ff
una de las dos formas siguientes:
1 Forma:
Calculada fS como un promedio aritmtico de las pendientes de la lnea de energa, 1f
S y 2f
S ,
evaluadas en las secciones (1) y (2), respectivamente:
2121 fffSS
2
1S (8.39)
A su vez, Sf1 y Sf2 se calculan con la siguiente ecuacin ya deducida:
(8.10) RA
QnS
2
3/2
H
f
2 Forma:
Calculando una profundidad media, y , como el promedio aritmtico de las profundidades
correspondientes a las secciones (1) y (2), as:
yy2
1y 21 (8.40)
y con sta se calculan los siguientes elementos geomtricos: P
AR,P,A H
Luego, se calcula fS con la misma ecuacin (8.10), as:
(8.41) RA
QnS
2
32
H
f
Finalmente, las ecuaciones (8.37) y (8.38) quedan transformadas de la siguiente manera:
(8.42) senS
EEx
f
21
(8.43) x xx 12
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
225
senS
EExx
f
2112 (8.44)
Para mayor ilustracin del presente mtodo, en el Anexo A4 se pueden ver dos ejemplos de aplicacin del mismo.
8.2.10.2 Mtodo del Paso Estndar. Este mtodo se aplica a canales prismticos y no- prismticos.
FIGURA 8.12. Esquema ilustrativo del Mtodo del Paso Estndar.
A igual que con el mtodo anterior, se parte de la ecuacin de Bernoulli, aplicada entre las secciones (1) y (2):
(8.45) hhHH ef21 21
ef
2
22
22
2
12
11 hhg2
vcosyz
g2
vcosyz
21 (8.46)
Donde he representa las prdidas de carga localizadas, y se calculan por medio de la siguiente ecuacin:
(8.47)
g 2
v v K h
2 2
2 1
e
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
226
Para canales convergentes: 0 K 0.1
Para canales divergentes: 0 K 0.2
Para contracciones y expansiones bruscas: K 0.5
Para canales prismticos y regulares: K 0
Definiendo la cota o altura piezomtrica del flujo como
(8.48) cosyzC 2p
la ecuacin (8.46) queda as:
(8.49) hhg2
vC
g2
vC ef
2
2p
2
1p 2121
Adems,
xSh2121 ff
(8.50)
longitud lay anterior, mtodo el en descritas formas dos las de una de medio por calcula se S Donde2-1f
x del tramo se fija previamente.
Conocidas las caractersticas del flujo en la seccin (1), se puede calcular la energa total en (1), H1. Luego, en la seccin (2) se supone una profundidad y2, y se calculan las dems caractersticas del
flujo, a fin de obtener los correspondientes valores de H2, 21f
h y he.
Finalmente, se debe comprobar que, para el valor supuesto de y2, se satisface la siguiente igualdad.
(8.51) HhhH 1ef2 21
En caso contrario, se ensayar con un nuevo valor supuesto de y2, hasta que se satisfaga la ecuacin (8.51).
Para ver el procedimiento de este mtodo, el lector debe remitirse al Anexo A4.
Como se pudo observar, los mtodos del Paso Directo y del Paso Estndar sirven para calcular perfiles de F.G.V., sin intervenir directamente sobre la Ecuacin Diferencial (8.5) u (8.15). No pasa lo mismo con los mtodos numricos aplicados a la integracin de dicha ecuacin diferencial, como se puede ver a continuacin.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
227
8.2.10.3 Mtodos numricos aplicados a la integracin de la ecuacin diferencial de F.G.V.
Estos mtodos, a diferencia de los dos anteriores, s se aplican directamente a la solucin de la ecuacin diferencial (8.5) u (8.15).
ayaty:.I.C;bta;y,tfdx
dy : P.V.I. el Dado (8.52)
Donde:
P.V.I.: problema del valor inicial.
C.I.: condicin inicial
El objetivo es encontrar la funcin desconocida y(t) que satisface la ecuacin diferencial (8.52).
Este problema es similar al de la ecuacin diferencial ordinaria, no lineal y de primer orden que resulta de predecir la variacin de la profundidad, y, del flujo gradualmente variado, en la direccin del flujo, es decir, la direccin x, en un canal abierto.
FIGURA 8.13. Esquema ilustrativo de la aplicacin de Mtodos Numricos al clculo de perfiles de F.G.V.
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
228
En este problema hidrulico, la ecuacin diferencial a resolver es la siguiente:
(8.53)
cosAg
TQ
SRA
Qn
dx
dy
2
3
2
0
2
2/3
H
En donde S0, n, Q, , 0 cuyo signo depende del tipo del canal, as:
S0 (-) : Para canales tipo M, C y S
S0 (+) : Para canales tipo A
S0 = 0 : Para canales tipo H
Los dems parmetros hidrulicos: A, RH y T, dependen de la profundidad, y, y sta, a su vez, depende de la posicin x. Por lo tanto, la ecuacin (8.53) se puede esquematizar anlogamente a la ecuacin (8.52), de la siguiente manera:
(8.54) yxyxxy:.I.C;xxx;y,xfdx
dy000f0
(8.55)
cosAg
TQ
SRA
Qn
yx,f Siendo2
3
2
0
2
2/3
H
Aqu, el problema hidrulico es encontrar la solucin de la ecuacin diferencial (8.53), es decir, hallar la funcin desconocida y(x). Dicha funcin no ser una expresin algebraica, sino una discretizacin numrica, de buena aproximacin.
Como quiera que la funcin desconocida (la solucin al problema de la ecuacin diferencial (8.53)), y(x), no puede obtenerse analtica o algebricamente, se recurre a un mtodo numrico de solucin. ste puede ser el mtodo de Euler, el mtodo de Heun, o el mtodo de Runge-Kutta llamados mtodos de un paso o de paso simple. Tambin, puede recurrirse a mtodos de pasos mltiples, o multipasos, tales como el mtodo de Adams Bashforth (de 2, 3, 4 5 pasos) y el mtodo de Adams Moulton (de 2, 3 4 pasos), o algn mtodo predictor corrector, como el mtodo de Adams de 4 orden o el de Milne Simpson.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
229
Cualquiera sea el mtodo designado, se trata de hallar una solucin aproximada de y(x), para valores especficos de x, as:
n , 3, 2, 1,i;xy,xy,,xy,xy,xy ni210
Siendo n el nmero de puntos o segmentos en los cuales se divide igualmente el intervalo
a x b, as:
(8.56) n
xxx
n
abx 0f
Donde:
x: es el tamao del paso.
n: nmero entero de segmentos iguales en que se divide el intervalo x0 x xf
8.2.10.3.1 Mtodo Runge Kutta de orden 4 (MRK4) aplicado al clculo de perfiles de F.G.V.
Como cualquier otro mtodo de aproximacin, el mtodo MRK4 permite encontrar una aproximacin
iw de la funcin desconocida y( t i ), es decir:
(8.57) n , 3, 2, 1, i para ,ytyw iii
Si iw es una buena aproximacin de y(t i) = yi, la suposicin de que el problema est bien planteado
implica que:
(8.58) ty,tftyw,tf iiiii
Partiendo de la condicin inicial conocida,
000 y)y(x:F.G.V. el con analoga ;w:.I.C
aX:F.G.V. el con analoga ;aten 00
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
230
el MRK4 calcula la solucin especfica en cada pasespecfica anterior, as:
; (8.59) K K 2 K 2 K
6
1 y y : analoga K K 2 K 2 K
6
1 w w 4 3 2 1 0 1 i 4 3 2 1 i 1 i
Donde:
i,i1i,i1 yxfxK:alogana;wtfhK (8.60)
2
Ky,
2
xxfxK:alogana;
2
Kw,
2
htfhK 1ii2
1ii2 (8.61)
2
Ky,
2
xxfxK:alogana;
2
Kw,
2
htfhK 2ii3
2ii3 (8.62)
3i1i43i1i4 Ky,xfxK:alogana;Kw,tfhK (8.63)
El procedimiento de clculo de un perfil de F.G.V., empleando el Mtodo Runge Kutta de orden 4, se puede ilustrar mejor por medio de un diagrama de flujo, tal como el de la Figura 8.14.
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
231
DESDE I = 1 HASTA N
TIPO DE CANAL : TC
Q, n, , g , S 0 TIPO DE SECCIN TRANSV. : ST
X 0 , Y 0 , X F , N
INICIO
X = X 0 + I DX
Y = Y 0
K1 = DX F
SIGUIENTE I
FIN
nQ
C 1 g
Q C
2 2
0
1 tan S 2 3 cos C
N
X X DX F 0
X 0 , Y 0
3 3 2
0 2
3 / 2 H
1
C A
T C
S R A C
DYDX F
Y = Y + 0.5 K1
K2 = DX F
Y = Y + 0.5 K2
K3 = DX F
Y = Y + K3
K4 = DX * F
Y = Y 0 + ( K1 + 2 K2 + 2 K3 + K4 ) / 6
3 3 2
0 2
3 / 2 H
1
C A
T C
S R A C
DYDX F
3 3 2
0 2
3 / 2 H
1
C A
T C
S R A C
DYDX F
3 3 2
0 2
3 / 2 H
1
C A
T C
S R A C
DYDX F
X , Y
SUBRUTINA ELEMENTOS
GEOMTRICOS
S
S
S
S
S
RETORNO
FIGURA 8.14. Diagrama de flujo para el algoritmo del Mtodo Runge - Kutta
-
8. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y PERFILES DE FLUJO
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
232
La codificacin del MRK4, en Lenguaje de Programacin BASIC, puede verse en el Anexo A2, (PROGRAMA P8).
Dos aplicaciones concretas del Mtodo MRK4 pueden verse en el Anexo A4.
8.3 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
8.3.1 Descripcin de la instalacin. Previo al establecimiento de un F.G.V., en el canal rectangular de pendiente regulable, se instala una placa vertedora en su extremo de aguas abajo. Vase la Figura 8.15. Con dicha placa se induce la formacin de los perfiles M1 o S1. Cuando se desee formar un perfil de flujo Tipo M2, la placa deber removerse, con el objeto de provocar una cada hidrulica en el extremo de aguas abajo del canal.
Luego, se fijar una inclinacin del fondo del canal, cuya pendiente debe medirse empleando un
flexmetro y un nivel de manguera. Recurdese que S0 = tan = z/L. Vase la Figura 8.15.
Tambin, se instalarn dos limnmetros, uno sobre el canal de pendiente regulable, y otro aguas arriba del vertedero patrn de medida. Este ltimo permitir determinar el caudal de flujo, a partir de su ecuacin de calibracin. Alternativamente, el caudal se puede determinar con el medidor magntico de flujo.
Dispuesto lo anterior, se procede a la alimentacin del canal con un flujo permanente, abriendo la vlvula destinada para tal fin. Una vez establecido un flujo gradualmente variado en el canal, se harn los ajustes necesarios y se proceder a medir profundidades del flujo a lo largo del canal. Para ello, es necesario hacer corresponder una abscisa a cada seccin, en donde se mida la profundidad del flujo. Dichas mediciones podrn hacerse, indistintamente, en el sentido de la corriente o en sentido contrario, partiendo del nivel de agua sobre el vertedero, a cuya seccin se le asignar la abscisa x0 = 0.00 m.
Como se ha hecho en las prcticas precedentes, cualquier profundidad del flujo, yi, se obtendr restando la lectura correspondiente al fondo del canal, de la lectura sobre el nivel superficial del agua. Esto es:
ii fSLiLLy (8.64)
-
MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello Prez SEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
233
FIGURA 8.15. Esquema del montaje para la prctica de flujo gradualmente variado.