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Unidad 2: Razones trigonométricas

Juego y recuerdo 20

Tema 1: Ángulos trigonométricos 21

Tema 2: Longitud de arco 22

Tema 3: RT en el triángulo rectángulo 24

Tema 4: RT de ángulos en posición normal 25

Tema 5: Funciones trigonométricas 27

Tema 6: Reducción al primer cuadrante 28

De todo un poco Relaciónalo con… Pruebas internacionales: Pisa, Timss Historia de la Matemática 30

Autoevaluación - Evaluación 31

Razonamiento Matemático 31

Álgebra

Valor absoluto 52

Funciones I 53

Funciones II 54

Sucesiones 55

Series 56

Exponentes, radicales y ecuaciones exponenciales 57

Logaritmos I 58

Logaritmos II 59

Aritmética

Teoría de conjuntos I 32

Teoría de conjuntos II 33

Numeración 34

Cuatro operaciones 35

Potenciación y radicación 36

Fracciones 37

Múltiplos y divisores 38

Criterios de divisibilidad 39

Números primos y compuestos 40

MCD y MCM 41

Razones, proporciones y promedio 42

Magnitudes proporcionales 43

Reparto proporcional 44

Regla de tres simple 45

Regla de tres compuesta 46

Tanto por ciento 47

Interés, descuento y mezcla 48

Estadística 49

Combinatoria y probabilidades 50

Claves 51

Evaluación inicial 19

Programación según DCN 2009 10

Índice

Presentación 2

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Polinomios 60

Productos notables 61

Factorización 62

Ecuaciones I 63

Ecuaciones II 64

Sistemas de ecuaciones 65

Determinantes 66

Matrices 67

Desigualdades e inecuaciones 68

Números complejos 69

Programación lineal 70

Claves 71

Geometría

Segmentos 72

Ángulos 73

Triángulos 74

Puntos notables 75

Semejanza de triángulos 76

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 77

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo 78

Segmentos proporcionales 79

Cuadriláteros 80

Polígonos 81

Circunferencia 82

Relaciones métricas en la circunferencia 83

Áreas de regiones poligonales 84

Introducción a la geometría del espacio 85

Poliedros regulares 86

Prisma y pirámide 87

Cilindro, cono y esfera 88

Claves 89

Trigonometría

Ángulo trigonométrico 90

Sistemas de medidas angulares 91

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo 92

Razones trigonométricas de ángulos en posición normal 93

Circunferencia trigonométrica 94

Reducción al primer cuadrante 95

Funciones trigonométricas 96

Identidades de ángulos simples 97

Identidades de ángulos compuestos 98

Identidades de ángulos múltiples 99

Transformaciones trigonométricos 100

Ecuaciones trigonométricas 101

Ecuación de la recta 102

Claves 103

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Presentación

El área Lógico-MatemáticaSirvan estas líneas para introducir a los docentes de matemática en el uso del libro de texto como una herramienta de

apoyo que el Grupo Editorial Norma ha diseñado.

Actualmente, el saber matemático forma parte del quehacer diario, por ello es necesario desarrollar en los y las estu-

diantes no solo conocimientos sino también, habilidades matemáticas que sean herramientas para seguir aprendiendo

y afrontar exitosamente diversas situaciones en la vida. Esto significa generar espacios de aprendizaje que estimulen el

pensamiento lógico-matemático y promuevan la participación activa en la construcción del conocimiento matemático,

tomando como base actividades prácticas que puedan ser desarrolladas en el aula y que adquieran significatividad

para el estudiante.

Se aprende matemática haciendo y creando matemática, es decir generando conocimiento, descubriendo, innovando

y resolviendo creativamente situaciones problemáticas que permitan identificar, comprender, interpretar y representar el

mundo con asombro y curiosidad, observando sistemáticamente, elaborando conjeturas, comunicando las intuiciones,

buscando estrategias de solución individualmente y en equipo, ejecutando las mismas, verificando los resultados y re-

gresando a la parte inicial del ciclo frente a una nueva situación, pero ahora a partir de lo ya aprendido. Así, comunicar,

razonar, presentar objeciones y plantear un nuevo camino, serán procesos muy familiares que no tendrán que ser ense-

ñados pues serán vividos y experimentados por los docentes y estudiantes que, en actuación constante, ejercitan sus

habilidades y hacen suyo un conocimiento que ya existe, o presentan uno nuevo al mundo.

Desde el tercer ciclo de educación primaria hasta la educación secundaria se busca la afirmación de las capacidades

básicas y la formación de las estructuras de los conocimientos y conceptos fundamentales, que serán la base de los

aprendizajes posteriores. De esta forma, desde los seis años, se permite a los y las estudiantes razonar y comunicarse

matemáticamente, sentirse seguros de su capacidad para resolver problemas matemáticos, valorar la matemática (en-

tender y apreciar el papel que cumple en los asuntos humanos) y desarrollar hábitos mentales matemáticos.

La institución educativa puede atender estas necesidades promoviendo el desarrollo de competencias y capacidades

matemáticas, a través de los conocimientos matemáticos distribuidos en tres componentes: Número, relaciones y funcio-

nes; Geometría y medición; y Estadística y probabilidad

Propuesta: Lógicamente

Nuestra propuesta tiene como objetivo principal el desarrollo integral de los estudiantes. En este marco, el área especí-

ficamente busca la potenciación de las habilidades matemáticas con el fin de lograr que los y las estudiantes puedan

razonar lógicamente, haciendo uso de herramientas matemáticas y estando concientes de los procesos que realizan o

que han logrado automatizar.

Para ello se ha considerado lo siguiente:

1. Los temas transversales. Señalados en el Diseño Curricular Nacional 2009, constituyen una respuesta a los problemas

actuales de trascendencia que afectan a la sociedad y que demandan a la Educación una atención prioritaria.

Tienen como finalidad promover el análisis y reflexión de los problemas sociales, ecológicos o ambientales y de rela-

ción personal con la realidad local, regional, nacional y mundial, para que los estudiantes identifiquen las causas; así

como los obstáculos que impiden la solución justa de estos problemas. Los temas transversales se plasman funda-

mentalmente en valores y actitudes.

Mediante el desarrollo de valores y actitudes, se espera que los estudiantes reflexionen y elaboren sus propios juicios

ante dichos problemas y sean capaces de adoptar frente a ellos, comportamientos basados en valores, racional y

libremente asumidos. De esta manera, el trabajo con los temas transversales contribuirá a la formación de personas

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autónomas, capaces de enjuiciar críticamente la realidad y participar en su mejoramiento y transformación.

Los lineamientos asumidos en el desarrollo de estos son:

Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía.

Educación en y para los derechos humanos.

Educación en valores o formación ética.

Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.

Educación para la equidad de género.

A continuación presentamos los contenidos transversales trabajados en el texto de secundaria:

Adolescencia y cambio generacional

Conciencia tributaria

Seguridad y participación ciudadana

Promoción humana y derechos humanos

Trabajo y producción

Ética y cultura de paz

Conciencia ambiental y calidad de vida

Tecnología y medios de comunicación

Identidad y equidad de género

2. Los valores. Pues hoy es un imperativo ético formar, desde el hogar y la institución educativa, ciudadanos, personas

capaces de diferenciar lo justo de lo injusto, de ponerse en el lugar del otro para reconocer su dignidad como ser

humano, y de elegir el mejor curso de acción a seguir en situaciones potenciales de conflicto. Por ello, el desarrollo

moral de los estudiantes debe darse no solo en las aulas sino también fuera de ellas, lo que demanda referentes cla-

ros, una preparación específica en el tema y un compromiso de todos los actores e instituciones del país.

Los valores cuyo desarrollo se promueve en la educación básica regular son:

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Justicia: Disposición de dar a cada quién lo que le corresponde. Implica los conceptos de igual-

dad y equidad (según corresponda, dar a todos por igual, dar más al que se lo merece o dar

más al que necesita más).

Libertad y autonomía: Capacidad que permite discernir, decidir y optar por algo sin presiones

ni coacciones, para desarrollarse como ser humano en todo su potencial, sin afectar la propia

dignidad ni la de los demás.

Respeto y tolerancia: Reconocimiento de la dignidad de todo ser humano y de su derecho a

ser diferente. Esto permite que la persona interactúe con los demás en un clima de equidad e

inclusión, con interés por conocer al otro y lograr un enriquecimiento mutuo.

Solidaridad: Decisión libre y responsable de dar de uno mismo a otras personas, para su bien,

y sin esperar recompensa. Implica la noción de comunidad, y el saberse y sentirse miembro de

ella.

3. La enseñanza para lograr el entendimiento: Esto quiere decir que, para cada desempeño del estudiante, el docente

proporciona los medios necesarios para que el proceso de aprendizaje sea exitoso. Así, el docente, mediador del

aprendizaje, considerando al texto como herramienta, diseña el encuentro educativo como el arquitecto planea el

ambiente ideal para cada uno de los grupos con los que trabaja (pedagogía diferencial). En este planteamiento

tenemos como fundamentos pedagógicos: la teoría del aprendizaje significativo de David Ausubel, el aprendizaje

por descubrimiento de Bruner, la teoría sociocultural del aprendizaje de Vygotsky, el aprendizaje social de Rogers, la

resolución de problemas, así como los aportes, de Van Hiele, Miguel De Guzmán, Schoenfeld y Freundenthal.

La planificación del proceso de enseñanza - aprendizaje presentado en el libro de texto comprende cinco aspec-

tos:

a. Metas secuenciales para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Estas comprenden el análisis detallado

de las competencias a lograr y el establecimiento de la secuencia de capacidades y contenidos en cada grado

y actividad dentro del grado, cubriendo lo sugerido por el diseño curricular nacional, a la vez que incorporando

los temas que se solicitan en las instituciones de educación superior en Perú, además de algunas innovaciones

presentadas a nivel internacional.

b. Metodología activa para lograr el entendimiento. Busca promover la participación de los estudiantes en las situa-

ciones planteadas al inicio de cada sesión de forma que se estimule el diálogo, las propuestas creativas y dife-

rentes, y la evolución y consenso de lo desarrollado en clase. Se destacan en la planificación los ciclos de inicio,

proceso y cierre, en cada una de las etapas del proceso de enseñanza - aprendizaje: motivación, adquisición,

transferencia y evaluación, en función a los procesos generales matemáticos.

c. La selección de habilidades. Implica la planificación minuciosa de cada una de las actividades y su respectiva

relación con las habilidades matemáticas cuyo ejercicio predomina en la resolución de la misma.

d. La evaluación continua. Enfatizamos la posibilidad inmediata de retroalimentación, pues nuestras actividades es-

tán organizadas en función a las capacidades y hacen referencia a las habilidades que involucran, por lo tanto el

docente puede evidenciar dónde se producen dificultades y esto facilita la interpretación de lo que ocurre con el

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estudiante, así como la posible orientación que debe recibir.

e. Las conexiones con otras áreas. Es decir el vínculo permanente con el entorno, así se aplica lo aprendido a otras

áreas, pero también las otras áreas nos proveen de situaciones problemáticas en las que el conocimiento mate-

mático puede ser desarrollado y aprendido.

4. Procesos transversales en el área de matemática

(De la adaptación realizada por UMC, para EN 2004 y de los criterios de evaluación mostrados por el Ministerio de

Educación en el año 2003).

Razonamiento y demostración: Identificada con color verde en el libro Lógica.mente, se refiere a la capacidad de

elaborar procesos lógicos justificados que se basan en el análisis. Su desarrollo nos sirve para formular e investigar

conjeturas matemáticas, desarrollar y evaluar argumentos, comprobar demostraciones matemáticas y, elegir y utilizar

varios tipos de razonamiento y métodos de demostración para que el estudiante pueda reconocer estos procesos

como aspectos fundamentales de la matemática.

En ella consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Definir: Consiste en establecer las características necesarias y suficientes de un objeto.

2. Demostrar: Abarca desde la justificación o fundamentación de un resultado, o proposición, utilizando argumentos

lógicos o matemáticos hasta establecer una sucesión finita de pasos para fundamentar la veracidad de una pro-

posición o su refutación (la demostración matemática es una cadena de justificaciones).

3. Argumentar o justificar: Aducir, alegar, dejar en claro un dato o hecho a partir de su deducción como consecuen-

cia natural de otras.

4. Ejemplificar: Mostrar un caso particular a partir de un enunciado o mostrar un caso particular que contradice un

enunciado (contraejemplo).

5. Analizar: Diferenciar y separar las partes de un todo, para conocer sus elementos, las formas de relacionarse, y

reconocer las razones para realizar una acción.

6. Evaluar/Verificar: Comprobar la veracidad de algo.

Comunicación matemática: Identificada en el texto con el color anaranjado, se refiere a la capacidad de expresar

ideas matemáticas de forma oral, escrita o mediante dibujos. Implica también la comprensión de conceptos, situa-

ciones, la lectura y el uso de terminología y notación matemática. La comunicación matemática permite organizar y

comunicar el pensamiento matemático con coherencia y claridad, para expresar ideas matemáticas con precisión,

reconocer conexiones entre conceptos matemáticos y la realidad, y aplicarlos a situaciones problemáticas reales.

En esta capacidad consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Interpretar: Es atribuir significado a las expresiones matemáticas, de modo que estas adquieran sentido en función al

propio objeto matemático o en función al fenómeno o problemática real que se trate. Implica tanto el codificar como

el decodificar una situación problemática.

2. Identificar: Es diferenciar los rasgos distintivos del objeto matemático en estudio. Determinar si un objeto pertenece a

una clase que presenta ciertas características comunes (no necesariamente claramente definidas).

3. Recodificar: Es transferir la denominación de un mismo objeto, de un lenguaje matemático a otro. Expresar el mismo

tipo de objeto de diferente forma, lo que implica la utilización de signos diferentes para un mismo modelo.

4. Representar: Es seleccionar, crear y utilizar símbolos, gráficos, diagramas, marcas, etc., para organizar, registrar y expre-

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sar ideas matemáticas con claridad y precisión. Lo creado o utilizado en la comunicación puede ser convencional o

arbitrario.

Formulación y resolución de problemas: Identificada con color azul en el texto, hace referencia a la capacidad de ge-

neralizar estrategias y crear conocimientos a través de la elaboración de propuestas para solucionar una situación. De

esta forma, su desarrollo sirve para construir nuevos conocimientos resolviendo problemas de contextos reales o mate-

máticos, en los que el estudiante tenga la oportunidad de aplicar y adaptar diversas estrategias en diferentes contextos,

y para que, al controlar el proceso de resolución, reflexione sobre este y sus resultados. La capacidad para plantear y

resolver problemas, dado el carácter integrador de este proceso, posibilita la interacción con las demás áreas curricu-

lares, coadyuvando al desarrollo de otras capacidades; asimismo, posibilita la conexión de las ideas matemáticas con

intereses y experiencias particulares del estudiante.

En ella consideramos el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Modelar: Es asociar a un objeto no matemático un objeto matemático que representa determinados comportamien-

tos, relaciones o características consideradas relevantes para la solución del problema.

2. Resolver: Es encontrar un método que conduzca a la solución de una situación problema (en matemática).

3. Optimizar: Es encontrar el objeto (valor numérico, función, conjunto, etc.) que maximiza o minimiza la clase de objetos

a la que pertenece, o bien, el método óptimo de resolución de determinado problema, cuando existe más de una

forma posible, y de acuerdo con los conocimientos disponibles.

Manejo de algoritmos: Identificada con color rojo, hace referencia a la capacidad de recordar, seguir, mejorar y verificar

procesos. Si bien ella puede ser incorporada dentro de los tres procesos previamente trabajados, nuestra propuesta opta

por mostrarla de manera diferenciada, con el propósito de evidenciar la automatización de procesos y la aplicación

rutinaria –indispensables en el área- de forma separada. Así, un docente puede notar que un estudiante aplica un pro-

ceso de forma memorística pero no razonada, estableciendo con claridad que hace falta trabajar sobre el significado

de una determinada operación y las razones para efectuarlas de esa forma. En el manejo de algoritmos consideramos

el desarrollo de las siguientes habilidades:

1. Calcular: Es aplicar un algoritmo, previamente establecido por consenso, de forma manual, mental, con tablas, cal-

culadoras, etc.

2. Aplicar: Es emplear, administrar o poner en práctica un conocimiento, medida o principio, a fin de obtener un deter-

minado efecto o rendimiento en algo.

3. Algoritmizar: Es formular un algoritmo, es decir, una sucesión finita y estricta de operaciones matemáticas que des-

criban un procedimiento conducente a la solución de un problema. Se incluye aquí la habilidad para modificar o

abreviar pasos en un determinado algoritmo.

4. Comparar: Es establecer una relación entre lo cuantitativo o lo cualitativo que hay entre dos entes matemáticos de

un mismo conjunto o clase.

5. Aproximar: Es aplicar una serie de reglas con el fin de obtener un valor cercano al real para una determinada opera-

ción matemática.

6. Estimar: Es tanto, pronosticar el orden de magnitud de un valor o de un resultado numérico, como cuantificar, aproxi-

madamente, alguna característica medible de un sujeto o suceso. En ella cumple un rol importante la intuición, pues

se realiza esencialmente con nociones ya adquiridas.

7. Graficar: En este caso es un algoritmo que, si se sigue estrictamente, nos da la técnica necesaria para elaborar un

gráfico determinado. En este caso se busca elaborar un gráfico o dibujo con precisión.

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Estructura de la guía Lógica.mente secundaria

Brinda información y actividades relacionadas con las páginas del texto. Tiene las siguientes secciones:

1. Presentación: Recoge el enfoque del área, los lineamientos considerados, la estructura, así como las recomendacio-

nes para el uso de los mismos.

2. Programación anual: Según los contenidos de las unidades del texto y de acuerdo al DCN 2009.

3. Unidades:

Presentación de la unidad: Considera la motivación trabajada a partir de un texto que recrea la imagen mostrada

en la presentación de la unidad. Por medio de un listado de comentarios o preguntas, observando la ilustración de

la presentación, puede extender el proceso iniciado con el manejo del texto, así como propiciar apuntes sobre el

tratamiento del tema transversal desarrollado en la unidad.

Juego y recuerdo: Presenta la finalidad didáctica de esta sección, además de las observaciones que le pueden

ayudar para el desarrollo del tema.

Lo vimos antes: Presenta la intención pedagógica del mismo, destacando el punto de partida indispensable para

el desarrollo de la unidad.

Sesiones por tema:

Δ Inicio: Brinda sugerencias para el tratamiento inicial o la motivación del tema a trabajar, haciendo hincapié en

los aspectos que debe resaltar.

Δ Proceso: Destaca la información que se debe comunicar con precisión, o los acuerdos que son indispensables

en el desarrollo de un tema; asimismo, brinda orientaciones sobre la secuencia en el tratamiento de los ejercicios

planteados en el texto.

Δ Salida: Presenta una o dos actividades para finalizar el desarrollo del tema.

Δ Lo mínimo para empezar: Muestra un listado de conceptos y habilidades previas al desarrollo de un tema.

Δ Dificultades o errores frecuentes y como superarlos: Presenta posibles dificultades que puedan tener los estu-

diantes, así como formas de interpretarlas y superarlas.

Δ Curiosidades: Se encuentran en conexión con los temas trabajados.

Δ Evaluación: Brinda pautas para la adecuada realización de los procesos de metacognición, heteroevaluación

y coevaluación.

Δ Materiales de consulta: Brinda información sobre libros y páginas Web que permiten la ampliación de lo trata-

do.

4. Secciones de extensión al final de la unidad: Ofrece datos adicionales para relacionar lo trabajado con otras áreas,

exámenes internacionales, historia de la matemática, una evaluación de toda la unidad y el solucionario de algunos

ejercicios de la unidad.

Además, cuenta con:

Fichas de trabajo: Su objetivo es reforzar los aprendizajes previos, los contenidos etapa por etapa, y brindar mate-

rial de extensión (tipo examen de admisión). El soporte está en formato PDF.

Fichas de evaluación: Cuenta con pruebas por unidad.

©Grupo Editorial Norma S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822

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Grado: Quinto de secundaria Área: Matemática

Unidad 1: Lógica y funcionesValores: Tolerancia y respeto

Competencias

Números, relaciones y funciones

Resuelve problemas de programación lineal y funciones; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.

Capacidades Conocimientos Indicadores de logro por procesos

Razonamiento y demostración

Comunicación matemática

elemental.

Resolución de problemas

implican la organización de datos a partir de inferencias

Funciones

Relaciones lógicas y conjuntos

compuestas.

relaciones lógicas.


fórmulas lógicas.

aplicando leyes lógicas.Caracteriza y relaciona

algunas funciones como inversas a partir de su


variable real.


funciones.

proposiciones verdaderas o falsas.

funciones.

se practica el dipalogo, la discrepancia y la

postura.

Actitudes

Programación

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Unidad 2: Razones trigonométricasValores: Justicia

Competencias

solución y resultados utilizando lenguaje matemático.





de ángulos agudos, notables y complementarios.

de ángulos en posición normal y ángulos negativos.

agudos, notables y complementarios.

posición normal: 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.

negativos.

cuadrante.


triángulo rectángulo notable o en posición normal.

angular a otro a partir de la fórmula general.


posición normal y las funciones trigonométricas.


y a otro sistema.

de la longitud de arco y las propiedades de los

discos de engranaje.

conversiones de medidas angulares.

impuestos detacando las obras de bien común.

Actitudes


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Unidad 3: Igualdades trigonométricasValores: Tolerancia y respeto

Competencias




de suma de ángulos, diferencia de ángulos, ángulo

trigonométricas.


posee.


de ángulos agudos, notables y complementarios.

de ángulos en posición normal y ángulos negativos.

diferencia de ángulos, ángulo doble,

ángulo mitad, etc.


trigonométricas.

tangente de la suma o diferencia de dos ángulos,

del ángulo doble, mitad o triple a partir de

fórmulas antes estudiadas.

a los ángulos compuestos y múltiples.



la suma,diferencia, el doble, mitad o triple de

ángulos notables.

en suma o diferencia a producto o viceversa.

trigonométrica.

trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.

y profesores.

Actitudes

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Unidad 4: Resolución de triángulos

Competencias






involucran las leyes de senos, cosenos y tangentes.

senos, cosenos y tangentes.


tangente.

fundamentales en la resolución de triángulos

oblicuángulos.


rectángulos.

involucren resolución de triángulos.


triangular.

oblicuángulos.

aplicando los casos de resolución de triángulos

rectángulos.

aplicando los teoremas fundamentales de

resolución de triángulos oblicuángulos.

establece criterios para evaluarlo.

Actitudes


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Valores: Solidaridad

Competencias

Números, relaciones y funciones

Resuelve problemas de programación lineal y funciones; argumenta y comunica los procesos de solución y resultados utilizando lenguaje matemático.





implican la organización de datos a partir de inferencias

Álgebra Razonamiento y demostración


verbal y viceversa.

dos incógnitas.

determinado por una recta y determina

inecuación.


de un sistema de inecuaciones lineales.

un sistema de inecuaciones lineales con una

incógnita.

inecuaciones lineales con dos incógnitas.

reconoce como valiosas para la sociedad.

solución.

Actitudes

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Unidad 6: Análisis combinatorioValores: Justicia

Competencias




factoriales o números combinatorios.


combinaciones.


variaciones y combinaciones.

principios de conteo.

Combinatoria

para la realización de conteos.

variaciones y combinaciones.


se trata de una permutación o combinación.

referidas a números combinatorios o desarrollo de

binomios.


haciendo uso de diagrama del árbol.

combinatorios y el Binomio de Newton.


números combinatorios y el Binomio de Newton.

principios del conteo.

combinaciones.

aplicando análisis combinatorio.

minimizar las diferencias entre las relaciones

interpersonales, las cuales contribuyan a una

convivencia armoniosa.

Actitudes


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Valores: Justicia

Competencias





condicional.


probabilidad condicional.

determinación.

Azar

Combinatoria


conceptos de punto, recta y plano.


de poliedros.


los elementos de un poliedro.

de revolución.

propiedades de los poliedros y sólidos.

con responsabilidad y respeto hacia los demás.

Actitudes


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Valores: Solidaridad

Competencias




volúmenes.



planos en el espacio.

áreas de un cono de revolución y de un tronco de cono.

espacio.

de revolución

de cono.


pueden determinar cierto número de puntos y /o

rectas en el espacio.


en el espacio, ángulos diedro y triedro.


usando del teorema de las tres perpendiculares.

un poliedro formado por un determinado número

geométricos.

propiedades de poliedros y sólidos de revolución.

Actitudes


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Competencias






circunferencia.

circunferencia.

circunferencias no concéntricas.

parábola.

no concéntricas.


circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.


los elementos de la ecuación de una recta,

circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.

corresponden a rectas, circunferencias, parábolas,

elipses o hipérbolas.

hipérbolas, a partir de su ecuación.


coordenadas de un punto y los diversos elementos

de un lugar geométrico.

de rectas, circunferencias, parábolas, elipse e

hipérbolas.

tecnológico los cuales favorecen al desarrollo del

conocimiento.

Actitudes

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Sugerencias metodológicasy fichas

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Apertura

Juego y recuerdo

Lo vimos antes

Solicite a los estudiantes que observen las imágenes de

la apertura e identifiquen los tipos de construcciones y

la presencia de la trigonometría en ellas.

Comente a los estudiantes que en la construcción de

edificios para vivienda y puentes de servicio público, los

ingenieros realizan cálculos trigonométricos para hacer

mediciones. Propicie un conversatorio acerca de la apli-

cación de la trigonometría en la construcción.

Aproveche el coloquio para comentar sobre los debe-

res y derechos de los contribuyentes de una sociedad.

Pregunte: “¿Todos tenemos el deber de contribuir? ¿To-

dos debemos contribuir en la misma proporción? ¿Por

qué?”.

Afiance el valor del Respeto y la Responsabilidad. Co-

mente que las personas debemos ser responsables al

momento de tributar, ya que ello permite que la socie-

dad conquiste su bienestar a través de obras, como por

ejemplo los nuevos edificios de instituciones y viviendas.

En este momento es conveniente que lea con los estu-

diantes el texto proporcionado en el círculo. Resalte las

expresiones “pago de impuestos” y “construcción de

obras públicas”. Pida a los estudiantes que opinen res-

pecto a ambas expresiones y que planteen alternativas

para lograr el deber de pagar los impuestos y el derecho

a contar con obras públicas nuevas.

Escriba en la pizarra: “Todo pago de impuesto que reali-

ce el contribuyente es en beneficio de la sociedad”. Se-

guidamente pregunte: “¿Será solo la sociedad quien se

beneficia con los impuestos que recauda el estado?”.

Enfatice las expresiones del círculo “conocimientos más

amplios que la geometría” y “la trigonometría provee

mayores recursos”. Propicie una lluvia de ideas respecto

a estas expresiones. Remarque que la trigonometría pue-

de llegar a beneficiar a la sociedad.

Finalidad didáctica del juegoFamiliarizar al estudiante con el uso de las razones tri-

gonométricas de ángulos en posición normal.

Al momento de jugar, observe…Cómo los jugadores eligen los números que deben ser colo-

cados en el esquema con círculos.

Para ello solicite a los estudiantes que apliquen una secuen-

cia de pasos para llegar a la solución:

Que determinen los valores de las 9 razones trigonomé-

tricas propuestas, utilizando la tabla trigonométrica o la

calculadora científica.

Que coloquen los valores en los vértices del triángulo, con-

siderando que la suma de los valores en cada lado es

igual a 2. Por ejemplo:

Si se coloca tg 50°…

porque tg 50° + tg 62°36´ = 1,91 + 1,88 = 3,79 > 2.

Una vez colocado los valores en los vértices, considerando

la indicación de que la suma debe dar exactamente 2,

que realicen otras aproximaciones.

Que al sumar deben respetar la ley de signos de la adición

y los signos de las razones trigonométricas dadas.

Que realicen cálculos mentales para probar posibles va-

lores.

La intención pedagógica es que los estudiantes…

1. Identifiquen y relacionen ángulos en distintos sistemas de

medida angular.

2. Calculen las razones trigonométricas de un ángulo en un

triángulo rectángulo notable.

3. Analicen la pertenencia a un determinado cuadrante de

un ángulo en posición normal.

4. Resuelvan una situación problemática a partir de la infor-

mación de las RT de ángulos agudos.

Unidad

2Razones trigonométricas

no se podría

colocar

tg 62º36',

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21

Tema 1

SesiónInicio

Indique a los estudiantes que observen la imagen de la situa-

ción y pregunte si saben qué puede medir un teodolito. Men-

cione que, por ejemplo, puede medir las dimensiones de un

terreno.

Pegue en la pizarra un dibujo de tres edificios de diferentes ta-

maños y remarque un punto fijo en la horizontal (nivel de refe-

rencia) y una línea desde dicho punto a la parte más alta de

cada edificio. Pregunte: “¿El ángulo generado depende de la

altura del edificio?”.

Solicite que estimen las posibles medidas de los ángulos que

corresponderían a cada edificio. Indique a los estudiantes que

realicen dibujos de diferentes tamaños de edificios. Trabaje con

el transportador para determinar la medida de cada ángulo y

señale que dichos ángulos son llamados trigonométricos.

Proceso

Formalice la noción de ángulo trigonométrico. Remarque los

sentidos y sus respectivos signos y resuelva el ejemplo 1.

Pida a los estudiantes que lean el cuadro de la clasificación de

los ángulos trigonométricos. Luego indique que confeccionen

un esquema con las características de dichos ángulos. Resalte

que los ángulos cuadrantales como los referenciales, necesa-

riamente deben encontrarse en posición normal.

Afiance lo aprendido, desarrollando el ejemplo 2 y los ejercicios

2 y 4 de la Práctica Nivel 1.

Explique cómo calcular la medida del ángulo referencial. Pro-

porcione ejemplos a ser desarrollados por los estudiantes. Cite

el Importante del margen de la página 66 para informar sobre

los ángulos mayores de una vuelta.

Indique que realicen los ejercicios 1; 3; 5 y 6 de la Práctica Nivel

1 a manera individual y que comparen sus respuestas en pare-

jas a modo de coevaluación.

Presente los diferentes sistemas de medida angular. Deduzca la

fórmula de conversión de medidas angulares de un sistema a

otro.

Proponga diversos ejercicios de conversión para afianzar el

aprendizaje. Previamente, desarrolle los ejemplos 4; 5 y 6. Indi-

que que desarrollen los ejercicios 7 y 8 de la Práctica Nivel 1.

Invite a los estudiantes a que salgan a la pizarra a realizar los

procesos necesarios y los expliquen al pleno de la clase.

Salida

Forme equipos de trabajo para que resuelvan los ejercicios pro-

puestos en la Práctica Nivel 2.

Lo mínimo para empezar

que concurren en un punto común llamado vértice.

Sentido horario Sentido antihorario

Una de las dificultades de los estudiantes está al momento

de realizar conversiones de un sistema sexagesimal o centesi-

mal a grados, minutos y segundos o viceversa.

Por ejemplo:

Convertir 64, 41° a grados, minutos y segundos.

Convertir 64°24´36´´ a grados.

Una forma de superar esta dificultad es teniendo bien defini-

das las equivalencias de cada sistema.

Para el primer caso, pida que apliquen una regla de tres sim-

ple o que, directamente, multipliquen (por 60´ ó 100m).

64,41° = 64° + 0,41° 1° ----- 60´

0,41°---- x

Para el segundo caso, pida que apliquen una regla de tres o

que, directamente, dividan (por 60´ o 100m).

64°24´36´´ 1° ------ 60´

x ------- 24´

0,41º × 60'

1º× = = 24,6'

× = = 24,6'24' × 1º

60'

Ángulos trigonométricos

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y cómo superarlos

12

65

4

39

11

7

8

2

1

10

12

65

4

39

11

7

8

2

1

10

Curiosidades

Paralaje trigonométrica

Es el ángulo bajo el cual se ve el radio de la órbita de la Tie-

rra desde una estrella a una distancia normalizada de una

unidad astronómica. Se expresa en segundos de arco. La dis-

tancia a la estrella es el inverso de la paralaje trigonométrica

expresada en pársec; es decir que cuando se dice que la

paralaje de Antares es de 0"019, esta se encuentra a 52,632

pársec ó 171,66 años luz de distancia.

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Metacognición

Se pueden plantear diversas preguntas como:

un ángulo geométrico?

-

gonométrico para ser considerado un ángulo en

posición normal?

-

nales puede tener?

Se puede proponer un organizador visual incompleto

para que el estudiante observe sus logros:

Evaluación

Heteroevaluación y/o coevaluación

Puede evaluar el aprendizaje del estudiante sobre la

base del siguiente listado de actividades:

SÍ NO

Reconoce y ubica los dife-rentes ángulos en su cua-drante correctamente.

Determina adecuada-mente los signos.

Reconoce y aplica las pro-piedades y equivalencias de cada sistema.

Utiliza adecuadamente la relación entre sistemas para las conversiones.

Plantea diferentes estrate-gias para la solución de problemas.

trigonométrico

Signo

Coterminal ReferencialEn posición normal

puede ser

tiene se mide en

SesiónInicio


ción y que a partir de ella mencionen los otros sectores forma-

dos por diferentes colores en el CD y comparen si son más gran-

des o más pequeños que el sector azul.

Solicite a los estudiantes que dibujen en un papelote un círculo

grande, lo dividan por sectores que representen algunas ca-

racterísticas del aula (por ejemplo, el número mujeres, de muje-

res con anteojos, etc.) y se pegue en la pizarra. Resalte en cada

sector la medida del ángulo que forma y la medida del radio.

Explique que teniendo el valor del ángulo y del radio se puede

calcular la longitud del arco de cada sector.

Proceso

Afiance la noción de longitud de arco a partir del ejemplo 1.

Solicite que lean la información del recuadro y anote la simbo-

logía respectiva del radio, del ángulo central y de la longitud

del arco.

Explique la forma de calcular el número de vueltas que realiza

una rueda según la teoría presentada en el texto. Afiance lo

anterior resolviendo el ejemplo 2.

Desarrolle el ejemplo 3 para explicar la relación que se da entre

el número de dientes de dos ruedas engranadas y sus velocida-

des angulares correspondientes.

Consolide lo estudiado hasta el momento, resolviendo los ejer-

cicios 1; 2; 3 y 6 de la Práctica Nivel 1.

Escriba las fórmulas del área de un sector circular con su res-

pectivo gráfico y analice con los estudiantes formas de obtener

una fórmula a partir de las otras.

Resuelva con los estudiantes los ejercicios del ejemplo 4 para

afianzar la aplicación de las fórmulas anteriores.

Indique a los estudiantes que resuelvan el ejercicio 4 de la Prác-

tica Nivel 1 en parejas, para luego comparar respuestas entre

los miembros de las mismas y con otras parejas.

Analice y desarrolle con los estudiantes los ejercicios del ejem-

plo 5 para afianzar la noción de un trapecio circular y aplicar

la fórmula respectiva según los datos de cada situación proble-

mática.

Indique a los estudiantes que resuelvan las actividades 5 y 7 de

la Práctica Nivel 1 de manera individual y que comparen sus

respuestas en parejas a modo de coevaluación.

Salida

Forme grupos de trabajo para que resuelvan los ejercicios pro-


Longitud de arco

Material de consulta

Bibliografía

Geometría plana y del espacio con una

introducción a la trigonometría. -

Páginas Web

Tema 2

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a otro punto llamado centro es siempre la misma.

-

rencia.

Circunferencia Círculo

Una de las dificultades que se observa en los estudiantes es

plantear un problema de área del sector circular o del trape-

cio circular. Una forma de superar esta dificultad es trabajan-

do con material concreto.

Solicite a los estudiantes que elaboren en cartulinas de co-

lores, figuras de diferentes sectores circulares (un par con el

mismo ángulo).

Luego deben tomar las dimensiones de los radios y del ángu-

lo respectivo y anotarlas en cada figura.

Seguidamente, que calculen el área de cada sector circular

elaborado y que anoten los resultados.

Finalmente, que tomen dos sectores circulares de igual ángu-

lo pero de diferente tamaño y los sobrepongan para calcular

el área del trapecio circular que se forma.

Pida que trabajen de la misma forma con todas las demás

figuras.


Metacognición





Bibliografía

Trigonometría

Páginas Web

Evaluación

Curiosidades

Erastótenes de Cirene (siglo III a. de J.C.) calculó por primera

vez el radio de la Tierra. Él dijo: “Si se toman dos puntos, A y S,

sobre un mismo meridiano, y se mide el ángulo A y la distan-

cia L medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los

dos puntos, con una regla de tres se calculará el radio de la

Tierra”. Eligió, como punto S, una ciudad del sur de Egipto, Sie-

na, y el punto A era Alejandría. Utilizando probablemente el

tiempo de viaje de una caravana, determinó que la distancia

entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto, el radio de

la Tierra debía ser bastante aproximado a los 6 378 km, como

han confirmado las mediciones más modernas.


circular es mayor si el radio es menor y viceversa?

ellas da más vueltas?

-

dad angular de una rueda es mayor?

del sector circular?

y el trapecio circular?

¿Qué dificultades encontraste en el tema?

¿Qué aprendiste en este tema?

S

180º

C

200g

R

SÍ NO

Aplica correctamente la formula de longitud de arco.

Determina el número de vueltas de cualquier cuer-po circular sin dificultad.

Plantea diferentes estrate-gias para encontrar res-puestas.

Discute, cuestiona y ela-bora conjeturas respecto a una situación.

Integra los contenidos con otras áreas.

Investiga o pregunta acer-ca de sus dudas sobre el tema tratado.

= =

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24


-

des por su cociente.

(Hipotenusa)2 = (Cateto opuesto)2 + (Cateto adyacente)2

Curiosidades

Hiparco de Nicea es considerado el padre de la trigonome-

tría y pese a que quizás no se pueda probar con total se-

guridad ello, se sabe que realizó grandes contribuciones a

este campo matemático. Una de las más importantes y que

revolucionó al mundo, fue que dividió el círculo en 360º y

proporcionó un método para resolver triángulos. Su segunda

gran aportación fue la de rechazar la teoría heliocentrista de

Aristarco de Samos y ser así no el precursor de los trabajos

geocentristas de Ptolomeo, sino el mismísimo creador de di-

cha teoría.

SesiónInicio


ción y que a partir de ella formulen otras situaciones (por ejem-

plo, la distancia de ellas al farol que sea 10 m y que el ángulo

de elevación sea de 45°, etc.).

-

lo rectángulo formado y sus elementos: el ángulo de elevación

y los lados. Mencione que dichos elementos se pueden relacio-

nar mediante una razón trigonométrica.

Proceso

Trabaje con los estudiantes la forma de denotar una razón tri-

gonométrica y resalte que estas son seis y provienen de la rela-

ción que se establece con los lados y los ángulos agudos de

un triángulo rectángulo. Analice con ellos la tabla que muestra

las razones trigonométricas, graficando el triángulo rectángulo

correspondiente.

Afiance lo anterior desarrollando los ejemplos 1; 2 y 3. Consolide

lo estudiado hasta el momento, solicitando a los estudiantes

que realicen los ejercicios del 1 al 4 de la Práctica Nivel 1 de

manera individual y que comparen sus respuestas en parejas a

modo de coevaluación.

Explique la noción de razones recíprocas resaltando que su pro-

ducto es igual a la unidad. Afiance su explicación resolviendo

los ejemplos 4 y 5.

Trabaje con los estudiantes la noción de RT para ángulos com-

mostrado en el texto y agregue a dicha figura los ángulos (en

el vértice A) y (en el vértice B).

Afiance lo anterior desarrollando los ejemplos 6 y 7. Consolide lo

trabajado hasta el momento, realizando los ejercicios 5 y 6 de la

Práctica Nivel 1.

Utilizando la información del recuadro Anota, resuelva con los

estudiantes los ejercicios del ejemplo 8 para identificar las RT

de ángulos notables. Afiance lo anterior realizando los ejercicios

del 7 al 9 de la Práctica Nivel 1.

Defina triángulos pitagóricos y muestre la forma que presentan.

Solicite que observen algunos triángulos pitagóricos en la infor-

mación del cuadro Importante.

Refuerce lo anterior resolviendo con los estudiantes el ejemplo

9 y los ejercicios 10 y 11 de la Práctica Nivel 1.

Salida

Proponga la Práctica Nivel 2 para ser desarrollada en equipos.

Solicite a los estudiantes que, en grupos, resuelvan las activida-

des propuestas en el Construyamos en equipo.

RT en el triángulo rectánguloTema 3

HipotenusaCateto opuesto a

Cateto adyacente a

Una de las dificultades que se observa en los estudiantes es

distinguir un ejercicio de razones recíprocas o de RT para án-

gulos complementarios.

Por ejemplo:

Diferencia ctg = de ctg = tg .

Una forma de superar esta dificultad es pedir a los estudian-

tes que muestren todas las formas posibles de representar las

funciones recíprocas y complementarias.

Recalque que en recíprocas los ángulos son los mismos para

las dos razones y en complementarias los ángulos son distin-

tos y suman 90°.

Trabaje, en grupos, ejercicios parecidos a las representacio-

nes anteriormente indicadas.

Algunas dificultades y/o errores frecuentes y como superarlos

S

tg

1

ctg

Recíprocas

ctg = 1

=

Complementarias

= ctg

– ctg = 0

ctg – 1 = 0

tg

ctg

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SesiónInicio


ción y que a partir de ella mencionen los elementos del círcu-

lo trigonométrico que se pueden distinguir en la pantalla (por

ejemplo, un ángulo trigonométrico, arcos, ángulos, ejes de co-

ordenadas, origen, etc.).

Analice con los estudiantes la situación de inicio y responda

con ellos a las preguntas planteadas. Elabore una gráfica para

ilustrar la situación y remarque en ella la orientación de los án-

gulos respectivos.

Proceso

Defina circunferencia trigonométrica y represéntela gráfica-

mente indicando sus elementos. Complemente su explicación

con la información del Recuerda del margen.

Represente gráficamente las líneas seno y coseno en la pizarra.

Analice las variaciones de dichas líneas en cada cuadrante.

Afiance lo aprendido, resolviendo los ejemplos 1 y 2 y los ejerci-

cios del 1 al 3 de la Práctica Nivel 1.

Muestre en la pizarra la gráfica de las líneas tangente y cotan-

gente y analice sus variaciones en cada cuadrante. Desarrolle

el ejemplo 3 y solicite a los estudiantes que resuelvan el ejerci-

cio 4 de la Práctica Nivel 1.

Represente gráficamente las líneas secante y cosecante en la

pizarra. Analice las variaciones de dichas líneas en cada cua-

drante. Afiance lo aprendido, resolviendo el ejemplo 4 y los ejer-

cicios 5 y 6 de la Práctica Nivel 1.

Trabaje con los estudiantes las razones trigonométricas de án-

gulos en posición normal y resalte que el radio vector (r) siem-

pre es positivo. Desarrolle los ejemplos 5; 6 y 7.

Solicite a los estudiantes que observen la tabla de signos de

las RT y la mostrada en el recuadro Anota. Utilice la información

anterior para resolver los ejemplos 8 y 9.

Indique a los estudiantes que realicen, en parejas, los ejercicios

del 7 al 11 de la Práctica Nivel 1. Luego, que comparen entre

ellos y con otras parejas sus resultados.

Explique la noción de ángulo cuadrantal y luego analice con

los estudiantes la tabla y gráfica mostradas. Pida que lean la

información del recuadro Anota. Utilice lo anterior para resolver

el ejemplo 10.

Afiance lo aprendido, solicitando a los estudiantes que resuel-

van el ejercicio 12 de la Práctica Nivel 1.

Salida

Proponga a los estudiantes la Práctica Nivel 2 para ser desarro-

llada en equipos.

RT de ángulos en posición normal

Metacognición


que al multiplicarse el producto dé la unidad?

debe cumplir?

Se puede proponer un organizador visual para que el

alumno observe sus logros en el aprendizaje del tema.


Bibliografía

Trigonometría

Páginas Web

Evaluación

Tema 4

Aplico propiedades de las RT comple-

mentarias.




Procesos empleados en la enseñanza

SiempreCon

frecuenciaPocas veces

Reconoce las RT de los án-gulos agudos.

Reconoce y aplica la pro-piedad de las RT recíprocas.

Reconoce y aplica la pro-piedad de las RT para án-gulos complementarios.

Integra los contenidos con otras áreas.

Plantea diferentes estrate-gias para la solución de problemas.

Efectúo más ejemplos.

Efectúo más ejercicios.

Aplico RT de triángu-los pitagóricos.

Identifico RT de ángulos agudos.

Aplico propie-dades de las RT

recíprocas.

Analizo más ejemplos.

Paso al siguiente tema

Sí No

No

Si

Si

Si

No

Efectúo más ejemplos.

No

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EvaluaciónLo mínimo para empezar

-

ricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un

punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas

(x), y la vertical, eje de las ordenadas (y); el punto donde

se cortan recibe el nombre de origen.

Los alumnos tienen dificultades al momento de determinar

las variaciones de cada gráfica de las líneas trigonométricas.

Una forma de superar esta dificultad es trabajar cada línea

trigonométrica más detalladamente.

Por ejemplo:

Determina la línea coseno.

Grafica la línea coseno en cada cuadrante.


Curiosidades

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3 000 años) fue-

ron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las ra-

zones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura

y para la construcción de pirámides. También se avanzaron

los primeros esfuerzos para el estudio de la Astronomía me-

diante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos

celestes, a fin de mejorar la exactitud en la navegación y en

el cálculo del tiempo y los calendarios.

Metacognición


un punto P que pasa por la circunferencia?

Se puede proponer un organizador visual para que

el estudiante observe sus logros en el aprendizaje del

tema.


Bibliografía

Trigonometría

Páginas Web

-





SiempreCon


Identifica la circunferencia trigonométrica y sus ele-mentos.

Identifica las líneas trigo-nométricas.

Analiza y determina las va-riaciones de cada función trigonométrica.

Aplica las estrategias ade-cuadas en problemas de ángulos en posición nor-mal.

Identifica las RT de los án-gulos cuadrantales.

Muestra orden y claridad en su proceso de resolu-ción.

Y

X

AO

Ry

x P(x; y)

OP = radio = 1

PR = x = Línea caseno

DECRECEDECRECE

CRECECRECE

0

0

1–1

Circunferencia trigonométrica

Líneastrigonométricas

Razonestrigonométricas

normal

Tangente y cotangente

Secante y cosecante

en ella se representan

se establecen sus

Senoy coseno

son

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El concepto de función

Dados dos conjuntos X e Y, una función de X en Y es una co-

rrespondencia matemática denotada por f: X Y, que cum-

ple con las siguientes dos condiciones:

relacionados con elementos de Y.

-

nado con un único elemento de Y.

SesiónInicio

-

cionar que corresponde a dicha función) e indique a los estu-

diantes que observen la imagen de la situación y lean el texto

presentado. Solicite que comparen el gráfico del ritmo cardiaco

y el de la pizarra y establezcan semejanzas y diferencias entre

ellos.

Pregunte a los estudiantes si el gráfico pegado en la pizarra

puede ser o no una función. Señale las características propias

de esta y mencione que a las funciones matemáticas que per-

miten describir los ritmos biológicos se les denomina funciones

trigonométricas.

Proceso

Defina la función seno y la función coseno. Resalte en ambos

casos la forma de su gráfica y sus características. Trace la grá-

fica de cada función en la pizarra e indique en ellas cada una

de las características mencionadas. Complemente la explica-

ción con la información del recuadro Anota.

Solicite a los estudiantes que resuelvan los ejemplos 1 y 2 y los

ejercicios 1; 2; 4 y 5 de la Práctica Nivel 1 para reforzar lo estudia-

do anteriormente.

Defina la función tangente y la función cotangente. Trace la grá-


de sus características. Luego, resuelva con los estudiantes los

ejemplos 3 y 4 para reforzar lo aprendido.

Defina la función secante y la función cosecante. Trace la grá-


de sus características. Seguidamente, resuelva el ejemplo 5

para reforzar lo anterior.

Consolide lo estudiado hasta el momento, resolviendo los ejer-

cicios 3 y del 6 al 11 de la Práctica Nivel 1.

Explique de qué forma una función trigonométrica puede tener

inversa aun sabiendo que es una función periódica. Comple-

mente la explicación con la información (en el margen) acerca

del concepto de función inyectiva.

-

vas funciones inversas. Realice un análisis comparativo entre

ellas e indique sus características. Resalte la notación de cada

función inversa.

Desarrolle con los estudiantes los ejemplos 6 y 7.

Salida



Funciones trigonométricasTema 5

Los alumnos tiene dificultades y cometen errores cuando se

trata de realizar la construcción de las inversas de las funcio-

nes trigonométricas, que no son funciones inyectivas.

Una forma de superar esta dificultad es haciendo restriccio-

nes en el dominio de dichas funciones y, dirigiendo una diná-

mica, presentarles la gráfica de las funciones trigonométricas

en la pizarra.

-

gido de cada función presentada.

-

ción inversa de cada función trigonométrica.


Curiosidades

El Canadarm 2 es un brazo mani-

pulador robótico gigantesco de

la Estación Espacial Internacional.

Este manipulador es operado con-

trolando los ángulos de sus articu-

laciones. Calcular la posición final

del astronauta en el extremo del brazo requiere un uso repeti-

do de las funciones trigonométricas de esos ángulos, que se

van formando por los varios movimientos que se realizan.

3

2

2 4 6 8

1

0

–1

–2

–2

–3

3

2

0,5 1,5 2,521 3

1

0

–1

–2

–3

x

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SesiónInicio


ción y que a partir de ella mencionen la cantidad de ángulos

que se puedan observar, señalando la clase de ángulo a la

que pertenecen según su medida aproximada. Pregunte si son

ángulos en posición normal.

cartesiano y resalte los ángulos observados en el texto. Explique

que las razones trigonométricas de los dos ángulos se pueden

hallar teniendo en cuenta su signo y el cuadrante en que se

encuentran. Formalice el concepto de reducción al primer cua-

drante a partir de lo indicado en el recuadro con la idea cen-

tral del tema.

Proceso

Afiance la noción de ángulos negativos y sus respectivas razo-

nes trigonométricas, a partir del ejemplo 1. Solicite que lean la

información del recuadro del margen. Recuerde cómo se gene-

ran los ángulos negativos (giro horario).

Consolide lo estudiado hasta el momento, solicitando a los es-

tudiantes que resuelvan los ejercicios 1 y 2 de la Práctica Nivel 1

de manera individual y que comparen sus respuestas en pare-

jas a modo de coevaluación.

Analice con los estudiantes todas las estrategias para trabajar

con ángulos mayores que 90°, incluyendo los ángulos mayores

a una vuelta (360°), enfatizando que dichos procesos son de-

nominados reducción al primer cuadrante.

Pida a los estudiantes que observen las características de estos

procesos de reducción, para poder aplicarlos según la situa-

ción dada.

Afiance cada caso de reducción de un ángulo al primer cua-

drante (cuando el ángulo se encuentre en el segundo cuadran-

te, tercer cuadrante, cuarto cuadrante o cuando sea mayor a

360°), realizando los ejercicios de los ejemplos 2; 3; 4; 5 y 6.

Resalte la información del recuadro Anota en el proceso de re-

ducción al primer cuadrante, la determinación del ángulo refe-

rencial y el signo de la razón trigonométrica.

Solicite a los estudiantes que resuelvan en parejas los ejercicios

del 3 al 12 de la Práctica Nivel 1. Luego, que comparen respues-

tas entre ellos y, finalmente, con otras parejas.

Salida


puestos de la Práctica Nivel 2 y seleccione algunos del De todo

un poco Nivel 2 y Nivel 3.

Reducción al primer cuadrante

Metacognición


decreciente?

-

ción inversa?

Se puede proponer un organizador visual para que el es-

tudiante observe sus logros en el aprendizaje del tema.


Bibliografía

Trigonometría

Páginas Web

-

Evaluación

Tema 6





SiempreCon


Identifica la función trigo-nométrica y su respectiva gráfica.

Reconoce cuándo una fun-ción es creciente y cuándo es función decreciente.

Calcula adecuadamente la amplitud de una fun-ción trigonométrica.

Identifica si una función trigonométrica es periódi-ca o no.

Analiza gráficas de las funciones trigonométricas inversas.


Muestra orden y claridad en su proceso de resolución.

Funciones trigonométricas inversas (restringiendo el dominio)

Funcionestrigonométricas

Seno Coseno Tangente Cotangente Cosecante Secante

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EvaluaciónLo mínimo para empezar

sentido horario, el ángulo que se obtiene es negativo. Si,

por el contrario, dicho giro es en sentido antihorario, el án-

gulo que se obtienen es positivo.

-

mas:

Tienen dificultades los estudiantes cuando se trata de reducir

al primer cuadrante ángulos cuya amplitud supera los 360°.

Tomemos como ejemplo cos (−1 560°).

El problema se da cuando

olvidan analizar el cuadrante

y el signo de RT.

Una forma de superar esta

dificultad es realizando un

juego: “Hallando el residuo”.

a 360°.

-

nar en qué cuadrante se encuentra y el signo de la RT

respectiva; de lo contrario, pierde.

-

ticipado.


Curiosidades

Las unidades de medida de ángulos más conocidas son los

grados, minutos y segundos sexagesimales, basadas en la

división en partes iguales de una circunferencia:

360º = 1 giro completo

180º = 1/2 vuelta

90º = 1/4 de vuelta

1º = 1/360 de vuelta

También se puede definir otra unidad angular, el radian, que

en las aplicaciones físicas es mucho más práctico y directo

respecto a los grados sexagesimales.

Metacognición


-

vos generan razones positivas?

¿qué estrategia empleas para reducirlo al primer

cuadrante?

Se puede proponer un organizador visual para que el es-

tudiante observe sus logros en el aprendizaje del tema:


Bibliografía

Trigonometría

Páginas Web

-

-





SiempreCon


Aplica correctamente las RT de ángulos negativos.

Determina correctamente los signos de las RT.

Reconoce correctamente cada caso de reducción de ángulos.

Plantea la estrategia co-rrecta en situaciones pro-blemáticas.

Discute, cuestiona y ela-bora conjeturas respecto a una situación.


Muestra orden y claridad en su proceso de resolución.

Horario (–)

4= 45º

3= 60º

2

3= 120º

5= 36º

1° cos(−1 560°) = −cos1 560°

2° 1 560 360

1 440 4

– 120

225º 90º45º

–60º–90º

300º

Reducción al primer cuadrante

De un ángulo que pertenece alIIC , IIIC , IV C o es mayor que 360°.

Antihorario (+)

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. P

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822

30

Evaluación

Comunicación matemática1. Observa la figura y a partir de ella indica cuál de las

proposiciones no corresponde.

a. En el I C el coseno decrece de 1 a 0.

b. En el II C el coseno decrece de 1 a 0.

c. En el III C el coseno crece de – 1 a 0.

d. En el IV C el coseno crece de 0 a 1.

Manejo de algoritmos2. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en A, se sabe

que tg C = 1,66...

Calcula los valores de:

a. Sen C

b. Cos B

c. Csc B

Razonamiento y demostración3. Sea P el punto final de un arco A en posición normal

de la circunferencia trigonométrica ubicada en el IV

C. Analiza y deduce el valor de verdad de las siguien-

tes proposiciones:

a. Sen A = −y ( )

b. Cos A = x ( )

c. Sen A = x ( )

d. Cos A = −y ( )

Resolución de problemas4. Determina la altura de un árbol, sabiendo que desde

un punto del terreno se observa su copa bajo un án-

gulo de 30° y, si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo

de 60°.

Relaciónalo con…

ELECTRÓNICALa corriente sinusoidal

La más importante de las corrientes alternas periódicas es la

llamada corriente sinusoidal o senoidal, porque es la única

capaz de pasar a través de resistencias, bobinas y conden-

sadores sin deformarse. Se llama sinusoidal porque sigue la

forma de la función matemática seno.

Corriente 1 = 10 sen k t

Histor ia de la matemática

Regiomontanus, en 1461 (a los 25 años), fue nombrado profe-

sor de Astronomía en la universidad de Viena en Austria; reem-

plazó a Peuerbach, quien había dejado el puesto por motivos

de salud. El gusto de dar clase en una universidad tan famosa

le duró solo siete años, pues en 1468 (a los 32 años) Regio-

montanus fue nombrado astrónomo real de la corte del rey

Matthias Corvinus de Hungría.

Regiomontanus murió de una forma espantosa, lleno de dolor

y bañado en vómitos de sangre; hay quienes dicen que fue

envenenado por sus enemigos y hay quienes piensan que fue

víctima de la peste bubónica. De cualquier forma, fue una tra-

gedia para la Matemática una muerte tan temprana.

El gráfico muestras cómo varía la velocidad de un auto de carrera

a lo largo de una pista plana de 3 km durante la segunda vuelta.

-

da vuelta?

hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista?

Adaptación. M159Q01 - 02 PISA 2006

Pruebas internacionales

Serie 1

010,50

10

–5

5

10

1,50 2,50 3,50 4,50 5,502 3 4 5 6 6,50 7,50 8,50 9,507 8 9 10

0.20

20

0

40

60

80

100

120

140

160

180

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

0.5 1.5 2.5

Velocidad de un auto de carrera a lo largode una pista de 3 km

(segunda vuelta)Velocidad

(km/h)

Línea de partida

Distancia recorrida en la pista (km)

90º

270º

0º360º

180º

B

CA

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31

SOLUCIONARIO

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

..................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

2 3 1 3 4 3

2 5 1 6 3 2 4 2

1 6 5 4 1 3 2 5

2 4 6 2 5 1 3 3

4 2 3 5 6 4 1 3

5 1 2 3 4 6 5 2

4 3 4 1 2 5 6 1

3 2 4 3 2 1

3 2 3 3 1

3 2 4 3 1 5 1

2 1 5 4 2 3 3

2 4 3 1 5 2 2

1 5 1 2 3 4 2

2 3 2 5 4 1 3

2 3 1 2 3

2 1 3 3 2

2 4 5 3 2 1 4

3 3 2 1 4 5 1

1 5 1 4 3 2 4

3 2 3 5 1 4 2

3 1 4 2 5 3 2

3 2 2 1 3

3

2 4 3 1

1 2 4 3

2 3 1 2 4

4 3 1 2

2 3 2

2

3 4 2 1

1 3 4 2

1 4 2 1 3 2

3 2 1 3 4

2

3 1 2 3

2 1 4 3 2 3

2 2 1 4 3 2

1 4 3 3 1 4

2 3 2 1 4 1

2 3 3 1

2 1 2

2 1 3 2 2

1 3 2 1 3

2 2 1 3 1

2 3 1

1

3 1 2 2

2 3 1

3 1 2 3

32

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ARITMÉTICA Teoría de Conjuntos I

9. Dados los conjuntos:

A = {x2 – x/x x < 5}

B = {2x/x x ≤ 3}

C = {x2 + x/x x < 3}

D = {4x – 2/x x ≤ 2}

Determina la afirmación incorrecta:

A. A y B no son conjuntos equivalentes

B. B y C son conjuntos comparables

C. C y D no son conjuntos iguales

D. D y A no son conjuntos disjuntos

E. B y D son conjuntos comparables

10. Se dispone de cinco tipos de insecticidas diferen-

tes, los cuales se combinan para obtener insectici-

das más eficientes, distintos a los que ya se tienen.

¿Cuántos insecticidas más se podrán obtener?

A. 24 B. 27 C. 25 D. 28 E. 26

11. Con cinco tipos diferentes de rosas se desean rea-

lizar injertos. Determinar con cuántos tipos de rosas

en total se podría contar al final.

A. 32 B. 63 C. 64 D. 31 E. 27

12. Sean dos conjuntos A y B, tales que:

n[P(A Δ B)] = 1 024

n[P(A B)] = 8

Determina n[P(A B)].

A. 2 048 C. 4 096 E. 6 472

B. 9 464 D. 8 192

13. Si A’Δ B’ = , determina la validez lógica de las si-

guientes proposiciones:

I. [A (A B’)] – [B’ (A B’)] =

II. (A B) – B =

III. (A – C) (B – C)’ = A – B

A. VVF B. FVV C. VFV D. VVV E. FFV

14. Simplifica:

[(A’ B)’ (A B’)’]’Δ A

A. B. C. A D. B E. A’

15. Determina la suma de los elementos del conjunto A:

A = {5 – (2 – x)2/x B};

B = {(x – 1)2 – 1/x , –1 ≤ x < 4}

A. 4 B. 5 C. 3 D. 1 E. 2

1. Sea el conjunto

El elemento de A que se encuentra en la posición 40

es:

A. 1 603 B. 1 524 C. 1 521 D. 1 600 E. 1 544

2. Al simplificar

Se obtiene:

A. C B. A C. A – C D. B E. A B

3. Dados los conjuntos A, B, y C en U, simplifica la

expresión:

A. A B B. A B C. A D. B E.

4. Determina el conjunto

por extensión y da como respuesta la suma de sus

elementos.

A. 339 B. 336 C. 333 D. 330 E. 327

5. Simplifica la siguiente expresión:

(A – B) (B – C) (B C)

A. A B C. A B C. C – A

B. C B D. C B

6. Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2n

subconjuntos. La intersección de P y Q tiene 128 sub-

conjuntos; la diferencia de P respecto a Q tiene 64

subconjuntos. El producto cartesiano P Q presenta

182 pares. Luego podemos afirmar que Q – P tiene:

A. 6 elementos

B. 4 subconjuntos

C. 63 subconjuntos propios

D. 4 elementos

E. 128 subconjuntos

7. Se sabe que los conjuntos A y C son disjuntos, y los

conjuntos B y C también. La intersección de los con-

juntos potencias de A y B tiene 16 elementos. Los

conjuntos (A – C) y (B – C) tienen cada uno 13 ele-

mentos. En total (A B C) presenta 32 elementos.

¿Cuántos elementos tiene C?

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10

8. Determina la relación equivalente a:

{[(A Δ B) (A – B)] A} – (A’ B’).

A. B. A B C. A B D. B – A E. A – B

A x x/ 3

A B B C A B Cc c c c

A B A Cc c B C .

A x xnn

n n/ ; ;3 1

10 10

(Tipo UNI 2001 – I)



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33

ARITMÉTICA Teoría de Conjuntos II

6. En un congreso odontológico se observó que parti-

ciparon 150 odontólogos:

85 odontólogos eran peruanos.

70 odontólogos eran hombres.

25 odontólogos varones usaban bigotes y tenían reloj.

Los odontólogos extranjeros que tienen reloj y no

usan bigotes son tantos como los que son extranje-

ros que no tienen reloj ni usan bigotes.

Hay 5 mujeres extranjeras con minifalda y sin reloj,

ellas son la cuarta parte de las mujeres peruanas

con la misma característica y la mitad de las perua-

nas sin minifalda y sin reloj.

2 extranjeros usan bigotes pero no tienen reloj.

Hay 40 odontólogos varones que son peruanos.

La diferencia entre las mujeres con minifalda y sin

reloj que son peruanas con los peruanos con reloj

y bigote es 7.

¿Cuántos hombres extranjeros no usan bigotes?

A. 16 B. 13 C. 12 D. 15 E. 19

7. El registro de una universidad proporciona los si-

guientes datos con respecto a un grupo de 200

alumnos del primer ciclo: 105 están inscritos en Ma-

temática Básica I; 115 en Análisis Matemático I y 75

en Física; 65 Matemática Básica I y Análisis Matemá-

tico I; 35 Física I y Matemática Básica I; 30 en Análisis

Matemático I y Física; y 20 están inscritos en los tres

cursos. Determina el número de alumnos que están

inscritos en Matemática Básica I pero no en Física.

A. 70 B. 80 C. 95 D. 15 E. 40

8. En un corral donde se encuentra 90 pollos se obser-

va que:

Los que comen maíz son el doble de los que comen

sólo trigo. Los que comen maíz y trigo son la tercera

parte de los que comen sólo maíz. ¿Cuántos pollos

comen uno solo de estos alimentos?

A. 30 B. 75 C. 60 D. 45 E. 20

9. En un colegio 95 alumnos han rendido 3 exámenes,

de ellos 30 aprobaron el primero, 45 el segundo y 40

el tercero; 5 aprobaron los 3 exámenes, 20 no apro-

baron ningún examen, 10 aprobaron el primero y el

segundo pero no el tercero; 15 no aprobaron ni el

primero ni el tercero pero si el segundo; 15 no apro-

baron el primero ni el segundo pero sí el tercero. De-

termina cuántos alumnos aprobaron por lo menos

dos cursos

A. 20 B. 35 C. 25 D. 40 E. 30

1. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 48

mujeres van a Arequipa, 45 hombres van a Iquitos, 36

casados van a Arequipa y 53 solteros van a Iquitos.

Si se sabe que hay 50 hombres casados y 26 muje-

res solteras van a Arequipa, determina el número de

mujeres solteras.

A. 70 B. 44 C. 60 D. 54 E. 66

2. Jorge debe comer carne de res o verduras (o am-

bos) en su almuerzo de cada día del mes de abril. Si

en su almuerzo durante 22 días hubo carne de res y

durante 17 días hubo verduras, entonces, el número

de días que almorzó carne de res y verduras es:

A. 18 B. 8 C. 9 D. 11 E. 7

3. En el departamento de control de calidad de una

fábrica de micro chips, se consideran tres defectos

A, B y C como las más importantes, se analizan 200

productos y arrojo el siguiente resultado:

¿Qué porcentaje de productos presentan exacta-

mente dos defectos entre los que presentan al me-

nos un defecto?

A. 20% B. 40% C. 60% D. 26,6% E. 72,3%

4. En un salón de clases, 35 alumnos aprobaron ma-

temáticas, 35 alumnos aprobaron comunicación y

43 aprobaron historia. ¿Cuántos alumnos hay en el

aula de clase si 20 alumnos aprobaron los tres cur-

sos y no hay alumnos, que hayan aprobado exacta-

mente dos cursos y que hayan sido desaprobados

en los tres cursos?

A. 73 B. 70 C. 65 D. 60 E. 55

5. En un aeropuerto hay 105 personas entre hombres,

mujeres y niños, se observa que hay:

Determina en cuánto excede la cantidad de hom-

bres extranjeros a la de los peruanos.

A. 15 B. 25 C. 20 D. 5 E. 10

(Tipo UNI 2000 – II)


34

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ARITMÉTICA Numeración

7. ¿Cuál es el quinto término de la siguiente sucesión?

11(4); 21(5); 40(6); 102(7); ..........

A. 152(8)

B. 154(8)

C. 162(8)

D. 156(8)

E. 142(8)

8. En base b se cumple que AAA F 1776, entonces,

el valor mínimo de b, para que se cumpla la condi-

ción anterior es:

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. No existe

9. De la igualdad a1b(8) a61(n), calcula el valor de

a + b + n.

A. 18 B. 16 C. 15 D. 14 E. 13

10. Convertir 3/5 al sistema de base 8.

A. 0,46314631......(8)

B. 0,463463463......(8)

C. 0,46214621......(8)

D. 0,462462462......(8)

E. 0,46414641......(8)

11. En el número 16p61(n), p es 11; entonces la raíz cua-

drada en base n es:

A. 113 B. 123 C. 130 D. 131 E. 132

12. Sabiendo que aaa0(7) xyz6, determina el valor de

a + x + y + z.

A. 16 B. 18 C. 19 D. 21 E. 23

13. ¿Cuántas cifras cero tiene la expresión 217 28 24

2 1 al representarse en el sistema binario?

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 E. 16

14. Si aabb 13 a bb, calcula (a b).

A. 12 B. 17 C. 10 D. 8 E. 5

15. Un número de dos dígitos es "n" veces la suma de sus

cifras. El número que se obtiene al intercambiar los

dígitos resulta el producto de la suma de sus cifras

multiplicado por:

A. 11 n

B. 11− n

C. 7 n

D. 7 − n

E. 2n

1. En cierta base b un número N tiene la forma 11111(b);

en la base (b − 1) dicho número tiene la forma

15ABC(b − 1) donde las tres letras son dígitos. Entonces

el valor de b es:

A. 6

B. 8

C. 10

D. 11

E. mayor que 11

2. Si al número 2332 dado en base n, lo pasamos a la

base (n 1), entonces la suma de sus cifras en la

base (n 1) es:

A. 6 B. 5 C. n 1 D. n 2 E. 2n

3. La suma S 0,12(4) 0,23(6) 0,34(8) expresada

como una fracción de números en base 5, es igual a:

A. C. E.

B. D.

4. Si el número xax(7) se expresa en base a es 5y0 ¿Cómo

se expresa en el sistema ternario?

A. 21 001

B. 21 110

C. 12 110

D. 21 010

E. 12 210

5. Un número de la forma ab representa la edad de

una persona que aún no alcanza la mayoría de

edad. Si en una base n (menor que b) dicho número

es capicúa, hallar la suma de todos los números ab

que cumplen lo anterior.

A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 E. 48

6. Las computadoras almacenan información digital

en registros. Un registro es un grupo de celdas bina-

rias. Si al digitar un número sobre el teclado se gene-

ra el registro:

¿Cuál es el triple del número que se digitó en base

10?

A. 44,5 B. 89 C. 133,5 D. 60,5 E. 121

Tipo UNI 2001 – I Tipo UNI 2005 – II

Tipo UNI 2006 – I

Tipo UNI 2006 – II


UNI 2007 – II





UNI 2005 – I


241(5)

134(5)

124(5)

134(5)

244(5)

133(5)

211(5)

113(5)

214(5)

143(5)

1 0 1 1 0 0 , 1

35

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ARITMÉTICA Cuatro operaciones

8. Halla la suma de los elementos del conjunto

b(a + 5) (a/2)(3b); tal que a es entero positivo .

A. 12 686 C. 8 778 E. 8 148

B. 16 926 D. 14 668

9. Determina el valor de a + b + c + d si se sabe que

abcd (7) + dcba (7) = 3 544.

A. 17 B. 20 C. 14 D. 15 E. 13

10. El producto de un número por a es 864 y por b es

2 016. Si a y b son cifras, calcula el producto de este

número por el mayor número capicúa de 4 cifras

que se puede formar con a y b.

A. 1 086 624 C. 2 113 056 E. 2 243 076

B. 2 143 066 D. 2 239 776

11. Sea U(N) la última cifra del entero no negativo N. Si

X=U(A+B), entonces de las expresiones:

I. X=U(A)+U(B)

II. X=U(A+U(B))

III. X=U(U(A)+U(B))

Son correctas:

A. Solo III B. I y II C. I y III D. Solo I E. II y III

12. Sean los números a, b y r enteros positivos. Al dividir

(a+b) entre b, se obtiene como cociente 5r y como

residuo r. Si a ≥ 45r y b es primo, ¿Cuál es el menor

valor de b?

A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 E. 17

13. Obtenga la suma de los n primeros números natu-

rales que tengan todas sus cifras iguales a 4, más la

suma de los n primeros números naturales que ten-

gan todas sus cifras iguales a 3.

A. 7

81(10

n+1 − 9n − 10) D.

7

81(10

n+1 − 10n − 10)

B. 7

81(10

n+1 − 9n − 9) E. 7

81(10

n+1 − 9n − 1)

C. 7

9(10

n+1 − 9n − 10)

14. La suma de 13 números impares consecutivos está

comprendida entre 430 y 480. Si el término central es ab , halla el valor de:

1 + 2 + 3 + 4 + ………….... + ab

A. 520 C. 630 E. 720

B. 580 D. 650

1. Sea N un número de cinco cifras todas diferentes. N

es igual a la suma de todos los números de tres cifras

todas diferentes que puede formarse con las cinco

cifras de N. Halla la suma de las cifras de N.

A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 E. 24

2. Sean x, y, z números naturales menores que 11, don-

de x

3 +

y

9 +

z

27 = 1,518. ¿Cuántas ternas (x; y; z) solu-

ción se obtienen, en las cuales z = 8?

A. ninguna B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

3. Sea A × B = 53 361 el producto de dos números en-

teros positivos, donde A tiene dos cifras, B tiene tres

cifras y es divisible entre 3, entonces el valor de B es:

A. 231 B. 539 C. 639 D. 693 E. 837

4. Sean x, z, N enteros no negativos. La cantidad de nú-

meros N tales que 15 < N < 40, que no se pueden

expresar en la forma N = 7x + 9z es igual a:

A. 23 B. 11 C. 24 D. 14 E. 10

5. Si las dos siguientes sumas están expresadas en una

base p:

205(p) +

ABC(p)

403(p)

A + B + C =15(p)

Entonces el producto ABC, expresado en la base p,

es igual a:

A. 30 B. 34 C. 36 D. 42 E. 48

6. El siguiente producto está expresado en cierta base

b: 7 × 987789 = z80z613 donde z es un dígito, enton-

ces determina el valor de z.

A. 5 B. 7 C. 9 D. 8 E. 6

7. La cantidad de cifras de los números A, B y C son nú-

meros impares consecutivos crecientes. Si el produc-

to A3B4C5 tiene por lo menos 148 cifras, entonces la

cantidad máxima de cifras que puede tener dicho

producto es:

A. 150 B. 162 C. 164 D. 168 E. 170

Tipo UNI 2000 – I



UNI 2004 – II


Tipo UNI 2007 – I

Tipo UNI 2004 – I

Tipo UNI 2001 – I

Tipo UNI 2001 – I

UNI 2001 – I



Tipo UNI 2003 – I

36

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822

ARITMÉTICA Potenciación y Radicación

9. Halla un cuadrado perfecto de 5 cifras cuyas cifras

son: 2; 0; 8; 5 y 7. Indica la suma de las cifras de la raíz.

A. 12 B. 14 C. 15 D. 16 E. 17

10. Si abc0 es un cuadrado perfecto, siendo:

a b c 10, el valor de a − b es:

A. Mayor que 3

B. Múltiplo de 3

C. Menor que 4

D. Número impar

E. Cubo perfecto

11. Calcula a b c si 7abc00 es un cubo perfecto.

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12

12. ¿Cuál es el menor número por el cual es necesario

multiplicar a 12 para que el número resultante sea

un cuadrado perfecto?

A. 21 B. 33 C. 77 D. 231 E. 462

13. Halla el menor número múltiplo de 15 sabiendo que

al sumarle su onceava parte el número resultante es

un cubo perfecto. Da como respuesta la suma de las

cifras del número calculado.

A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 E. 27

14. Halla un número de la forma abab sabiendo que

su raíz cuadrada por defecto es el doble de ab y su

residuo ab. Da como respuesta b − a.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

15. Se quiere cercar un terreno de forma cuadrada cuya

superficie es de 15 625 m2, con cerca de tres hileras

de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la

obra si el metro de alambre cuesta S/. 15,50 y la mano

de obra total S/. 4 225.

A. S/.11 975

B. S/.23 250

C. S/.26 925

D. S/.27 675

E. S/.27 475

16. ¿Cuántos cuadrados perfectos 13 4 hay entre 924

y 5 920?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9

17. ¿Cuántos números de la forma ab25 k2 existen?

A. 1 B. 3 C. 7 D. 8 E. 4

1. Sea abab un número de 4 cifras, determina el me-

nor número m tal que abab − m sea un cuadrado

perfecto.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D. 5

2. Si el número aabb es un cuadrado perfecto, enton-

ces la suma de los dígitos de dicho número es:

A. 12 B. 14 C. 18 D. 22 E. 26

3. Sea N un número cuadrado perfecto impar. SI N + 23

es divisor de 136R, siendo R primo, halla el menor nú-

mero N que cumpla lo anterior.

A. 9

B. 25

C. 49

D. 81

E. 121

4. El número 1aaa es un cuadrado perfecto y la raíz

cuadrada correspondiente es un número de la for-

ma xy. Calcula a x y.

A. 11 B. 15 C. 17 D. 19 E. 10

5. Al extraer la raíz cuadrada de un número se tomó

por error al residuo como raíz y a esta como residuo,

resultando un número que es inferior en 890 unida-

des que el original. Si la raíz excede al residuo en 10,

calcula el número original.

A. 2 560

B. 2 650

C. 2 610

D. 2 580

E. 2 540

6. Halla el valor de a b c d si al extraer la raíz

cuadrada de 14abcd64 se obtiene abcd.

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 E. 21

7. ¿Cuántos números de cuatro cifras tienen la raíz

cuadrada y la raíz cúbica con el mismo residuo no

nulo?

A. 1 B. 64 C. 63 D. 128 E. 129

8. Se da un número positivo que no tiene raíz cúbica

exacta. Si a este número se le disminuye 469, enton-

ces su raíz cúbica disminuye en una unidad, pero el

residuo no se altera. Determina la suma de las cifras

de la diferencia entre el número y el residuo.

A. 19 B. 21 C. 17 D. 15 E. 23

UNI 2000 – II

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UNI 2001 – II



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FactorizaciónALGEBRAARITMÉTICA Fracciones

1. Un reservorio puede ser llenado por dos grifos A y B. El

grifo A llena el reservorio en 10 horas, mientras que B lo

hace en 9 horas más que empleando los dos grifos A

y B. ¿En cuánto tiempo se llena el reservorio utilizando

solo el grifo B?

A. 6 h B. 9 h C. 12 h D. 15 h E. 10 h

2. Halla la suma de los términos de una fracción irreduc-

tible en la cual el denominador excede al numerador

en 10 878, sabiendo que reducida a decimal da un

periódico mixto que tiene tres cifras en la parte no pe-

riódica y seis en la periódica.

A. 18 872 C. 22 872 E. 23 872

B. 24 872 D. 25 782

3. Sean los números a y b tales que

¿Cuántos pares ordenados (a; b) son soluciones?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

4. Halla el menor número entero positivo n tal que las 67

fracciones:

, sean todas

irreductibles.

A. 83 B. 73 C. 89 D. 79 E. 97

5. ¿De cuántas fracciones equivalentes a 161/253 el

producto de sus términos es un número de 3 cifras?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

6. Dados los números 0,abbb...... = y

0,baaa.....= . Calcula la suma de dichos

números.

A. 0,5 B. 2/3 C. 7/9 D. 1 E. 1,5

7. Si se cumple que

0,aabbb..... + 0,bbaaa..... = 1,666.....,

determina el valor de a+b.

A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 E. 11

0,1(3a) + 0,b(12) = (2,0111...(4))(0,1(3)),

, , ,................,13

n + 17

14

n + 18

15

n + 19

79

n + 83

a + b + 2

302a + 2b + 1

30

Tipo UNI 2000 - I

Tipo UNI 2008 - I

UNI 2002 - I

UNI 2003 - I

Tipo UNI 2003 - II

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2006 - I

Tipo UNI 2007 - I

8. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 9/13 tienen como

numerador un número de tres cifras y como denomi-

nador un número de 4 cifras?

A. 33 B. 34 C. 35 D. 77 E. 111

9. ¿Cuántas fracciones propias de la forma son irre-

ductibles?

A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 E. 50

10.El MCD del numerador y denominador de una frac-

ción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es esta frac-

ción?

A. 180/234 C. 52/65 E. 26/117

B. 65/117 D. 26/39

11.Si a los dos términos de una fracción irreductible, se

le suma el triple del denominador y al resultado se le

resta la fracción, resulta la misma fracción, ¿cuánto

suman los términos de la fracción original?

A. 11 B. 8 C. 3 D. 13 E. 10

12.Al dividir un terreno en dos partes, resulta que los 2/5

de la primera parte miden lo mismo que los 3/7 de la

segunda. Si el terreno mide 11600 m2, ¿cuánto mide

la parte mayor?

A. 6 000 m2 C. 7 500 m2 E. 6 200 m2

B. 7 800 m2 D. 6 050 m2

13.Una pelota pierde las 2/5 partes de su altura en cada

rebote que da. Si se le deja caer desde un metro de

altura, ¿qué altura alcanzará después del tercer rebo-

te?

A. 51,20 cm C. 21,60 cm E. 36,00 cm

B. 12,96 cm D. 6,40 cm

14.Se divide un tubo en cuatro partes desiguales. La pri-

mera es 1/3 de la longitud total del tubo; la segunda

parte es 1/4, y la tercera parte es 2/7 de la longitud

del tubo. Si la cuarta parte mide 11/14 de metro,

¿cuál es la longitud del tubo?

A. 28 metros C. 6 metros E. 12 metros

B. 5 metros D. 7 metros

15.Una fracción sumada con su inversa resulta 50 veces

el valor de la fracción original. Si el producto de los

términos de la fracción es 50 575, señala la diferencia

de los números

A. 105 B. 150 C. 220 D. 300 E. 510

ab

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38

ARITMÉTICA Múltiplos y Divisores

9. De una baraja de 52 cartas se extrae un grupo de

cartas (menos de 52) tal que la cuarta parte son

corazones y los dos quintos son espadas. Obtén la

suma de las cantidades de los posibles tréboles ex-

traídos, sabiendo que el número de diamantes coin-

cide con el de corazones.

A. 2 B. 4 C. 6 D. 7 E. 8

10. En una reunión hay 156 personas, la mayor parte son

mujeres. Si la novena parte de las mujeres son abo-

gadas y la octava parte de los hombres son ingenie-

ros, ¿cuántas mujeres no son abogadas?

A. 12 B. 96 C. 108 D. 4 E. 32

11. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas,

1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos

azules. Si el número de damas es un número de tres

cifras menor que 150, ¿cuántas no son morenas ni

tienen ojos azules?

A. 12 B. 24 C. 36 D. 28 E. 35

12. Del 2 000 al 3 000, ¿cuántos números son múltiplos

de 7 pero no son múltiplos de 13?

A. 132 B. 127 C. 125 D. 115 E. 121

13. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 8 y

terminan en cifra 4?

A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 E. 24

14. En una fiesta habían 120 personas entre damas, ca-

balleros y niños. El número de caballeros que no bai-

laban en un momento era igual a la tercera parte

del número de damas; el número de niños era igual

a la quinta parte del número de damas y la cuarta

parte del número de damas fue con vestido blanco.

¿Cuántas damas no bailaban en ese momento?

A. 48 B. 32 C. 60 D. 28 E. 45

15. Dada la siguiente secuencia:

23 13; 23 14; 23 15; ......; 23 200

¿Cuántos términos de esta secuencia son múltiplos

de 7, más 2?

A. 24 B. 26 C. 27 D. 29 E. 30

16. Determina el mayor de los números de 5 cifras de la

forma ab0cd sabiendo que es divisible por 37 y que

cd = ab + 1. Da como respuesta a + b + c + d.

A. 17 B. 23 C. 21 D. 9 E. 13

1. Halla un número de 4 cifras abcd que sea divisible

por 19 y tal que ab – cd = 4. Da como respuesta el

número de soluciones.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

2. Si n es un entero positivo, determina el residuo que se

obtiene al dividir 35n + 3 + 310n + 2 + 34 entre 11.

A. 1 B. 4 C. 7 D. 3 E. 6

3. Si a y b son reales positivos, determina el menor pro-

ducto de a y b tales que a + b y a2 + b2 sean enteros,

pero a4 + b4 no lo sea.

A. 0,25 B. 1/3 C. 2/3 D. 0,45 E. 0,5

4. Determina el valor de n si el número

R = n00.......00 = 11 + 8

2n+1 cifras

A. 8 B. 6 C. 5 D. 7 E. 3

5. Si el número 5abc se divide entre 43, se obtiene 34

de residuo. ¿Qué residuo se obtiene al dividir abc4

entre 43?

A. 12 B. 9 C. 6 D. 24 E. 16

6. El número de alumnos de una sección es menor que

70 entre hombres y mujeres. Si el número de hombres

es mayor que el triple de mujeres y, además, ambos

son múltiplos de 12, determina el número de hom-

bres.

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 E. 60

7. Calcula todos los restos posibles de la división del

cuadrado de un número entero entre 9.

A. 1; 4; 7

B. 0; 1; 4

C. 0; 1; 4; 7

D. 0; 1; 7

E. 0; 1; 4; 6

8. Un número N de la forma N = ab0ab0; a ≠ 0 es siem-

pre divisible por:

A. 2; 5; 7; 11; 13

B. 2; 5; 7; 11

C. 2; 5; 7; 13

D. 2; 5; 11; 13

E. 2; 3; 5; 7; 11



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ARITMÉTICA Criterios de Divisibilidad

10. Sabiendo que el número 4abc = 23 + 8, ¿cuál es el

menor número que se le debe sumar a abc4 para

que sea múltiplo de 23?

A. 10 C. 12 E. 14

B. 11 D. 13

11. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 7

pero no de 5?

A. 104 C.101 E. 100

B. 103 D. 102

12. Se conoce que 6a09 es múltiplo de 17, halla el valor

de a.

A. 2 C. 5 E. 4

B. 1 D. 8

13. Halla a b, si 6ab49c es múltiplo de 504.

A. 18 C. 14 E. 10

B. 16 D. 12

14. Si el número abccba es múltiplo de 7 y c > a, halla el

residuo que se obtiene al dividir acacacac entre 11.

A. 6 C. 4 E. 10

B. 5 D. 2

15. Se conoce que 3a43 es múltiplo de 19, halla el valor

de a.

A. 2 C. 5 E. 7

B. 1 D. 8

16. Se conoce que a2bb94c es múltiplo de 8; 11 y 7, ha-

lla el valor de a.

A. 5 C. 2 E. 4

B. 6 D. 9

17. Si el número abcd es múltiplo de 43, y cd – ab = 15,

halla el valor de a + b + c + d.

A. 12 C. 15 E. 14

B. 18 D. 8

18. ¿Cuál es el tercer menor valor de n para que el

número 1234444………4 de n + 3 cifras sea múltiplo

de 9?

A. 3 C. 21 E. 24

B. 12 D. 18

19. Un número de tres cifras es divisible por 9; si se invierte el

orden de sus cifras es múltiplo de 5 y el número formado

por sus dos primeras cifras es múltiplo de 8. Halla la suma

de la cifra del primer orden con la de tercer orden.

A. 11 C. 13 E. 9

B. 12 D. 14

1. Determina un número de la forma 1a8bb tal que di-

vidido entre 7 o entre 11 no deje residuo. Da como

respuesta la suma de las cifras de dicho número.

A. 28 B. 30 C. 25 D. 15 E. 36

2. Dado el número 1a11a111a1111a… de 65 cifras.

Determina el valor del dígito a, de modo que dicho

número sea divisible por 9.

A. 4 B. 7 C. 5 D. 8 E. 6

3. El número 1a39b es múltiplo de 11. Determina la

suma del mayor y el menor valor que puede tomar

dicho número.

A. 29 788 C. 28 788 E. 29 988

B. 29 798 D. 28 998

4. Halla la suma de las cifras del mayor número de la

forma abaac que es múltiplo de 24.

A. 2 B. 30 C. 33 D. 42 E. 36

5. A la derecha del número 347 se colocan x cifras 5.

Halla el menor valor de x si además es mayor que 15

y el número resultante es múltiplo de 9.

A. 16 C. 18 E. 20

B. 17 D. 19

6. Calcula el valor de “a” sabiendo que a643nn es múl-

tiplo de 72.

A. 6 C. 7 E. 4

B. 5 D. 8

7. El complemento aritmético de un número de 4 cifras

iguales es múltiplo de 7. Halla la suma de las cifras

del número.

A. 8 C. 16 E. 24

B. 12 D. 20

8. Da la suma de las 4 cifras de aquel número tal que

dividido entre 4; 9; 11 y 25 deja como residuos 1; 5; 1

y 14 respectivamente.

A. 20 C. 24 E. 26

B. 23 D. 25

9. Determina un numeral de 4 cifras diferentes divisible

por 7 y tal que si se le suma 1 se convierte en múltiplo

de 8 y si se le suma 1 más se convierte en múltiplo de

9 y si se le suma 1 más se convierte en múltiplo de 10.

Da como respuesta su cifra de decenas.

A. 2 C. 5 E. 7

B. 4 D. 6

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ARITMÉTICA Números Primos y Compuestos

10. Sea “n” la cantidad de divisores de 21 600. Halla la

cantidad de divisores de “n”.

A. 72 B. 48 C. 36 D. 24 E. 12

11. Sabiendo que 12 45n tiene 150 divisores, halla la

cantidad de divisores que posee 45 60n

A. 378 B. 616 C. 420 D. 360 E. 486

12. Sea “m” la cantidad de divisores múltiplos de 12 que

posee el número 18 000 y sea “n” la cantidad de di-

visores múltiplos de 15 que posee el número 24 000.

Halla la cantidad de divisores que posee el número

(m + n)m – n

A. 28 B. 35 C. 40 D. 60 E. 72

13. Si el número 12n 28 tiene 152 divisores compuestos,

halla el valor de “n”

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

14. ¿Cuántas cifras 0 (cero) es necesario escribir a la

derecha de 27 para que el número así formado po-

sea 144 divisores?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

15. Si A = 8k + 82 + k tiene 84 divisores compuestos, ¿cuán-

tos divisores tiene B = 6k + 1 + 6k + 2?

A. 300 B. 200 C. 128 D. 162 E. 968

16. Sea A el menor número natural que tiene 12 diviso-

res. ¿Cuántos divisores divisibles por 6 tiene A2?

A. 33 B. 30 C. 18 D. 24 E. 36

17. Determina el menor número natural que sólo admita

3 divisores primos que suman 16 y además posea 30

divisores. Da como respuesta la cantidad de diviso-

res del número que resulta de invertir el orden de las

cifras del número original.

A. 18 B. 21 C. 24 D. 30 E. 36

18. Halla (a + b), si el número N = 3a 2b tiene 28 diviso-

res múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 4.

A. 11 B. 12 C. 13 D. 10 E. 9

19. Si el número abcabc tiene 40 divisores, ¿cuántos di-

visores tiene abca?

A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 E. 24

1. Se sabe que la descomposición canónica de un nú-

mero entero positivo N es N ab acc b

= ( ) ( ) y que tiene

32 divisores. Entonces el menor valor posible de (a +

b + c) es:

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14

2. Si 20 < p + q < 30 y p2 + q2 = 2r2, donde p, q y r son

números primos todos diferentes, entonces p + q + r

es igual a:

A. 28 B. 30 C. 33 D. 35 E. 37

3. Si 150! simboliza al producto 1 2 3...... 150, y ter-

mina en n ceros, determina el valor de n.

A. 37 B. 30 C. 36 D. 39 E. 31

4. Sean p y q el menor y el mayor factor primo del nú-

mero 1 004 006 004 001. Si q – p = 6, entonces la

suma q + p es:

A. 16 B. 20 C. 32 D. 40 E. 52

5. Si p, q, r, s son números primos, diferentes entre sí, ta-

les que 20 < p + q < 30; 20 < r + s < 30; p2 + q2 = r2 + s2,

entonces, la suma p + q + r + s es igual a:

A. 50 B. 54 C. 58 D. 62 E. 66

6. Si el producto 1 2 3 4 ...... 180 se descompo-

ne en el producto de sus factores primos, calcula la

suma de los exponentes de los factores primos 2 y 5.

A. 176 B. 44 C. 220 D. 210 E. 195

7. Sean aa, bc y (b + 1)(c – 2) tres números primos, ta-

les que el primero divide a la suma de los otros dos.

Si r1 y r2 son los restos de dividir el segundo entre el

primero y el tercero entre el primero, respectivamen-

te, entonces r1 – r2 es igual a:

A. 8 B. 3 C. 1 D. –3 E. –8

8. ¿Cuántos divisores primos tiene 189 189?

A. 48 B. 44 C. 43 D. 4 E. 5

9. Si N2 tiene 35 divisores y N3 tiene 70 divisores, ¿cuán-

tos divisores tiene N4?

A. 117 B. 105 C. 90 D. 96 E. 120

UNI 2000 – II

UNI 2001 – I


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41

FactorizaciónALGEBRAARITMÉTICA MCD Y MCM

1. Se trata de formar un cubo sólido con ladrillos cuyas

dimensiones son 10 cm, 15 cm y 24 cm. Determina

el número de ladrillos que se necesita para formar el

cubo más pequeño, colocados todos en una posi-

ción uniforme.

A. 240 B. 480 C. 360 D. 600 E. 300

2. Sean los números P = 2546, Q = 3363, R = 7182, su escritura

en orden creciente es:

A. R, Q, P C. P, Q, R E. P, R, Q

B. Q, R, P D. R, P, Q

3. Calcula la suma de las cifras del MCM de 28 – 1 y 212 – 1.

A. 22 B. 32 C. 27 D. 30 E. 33

4. Al descomponer en sus factores primos, los números A

y B se expresan como A = 3 b2; B = 3 a, con y conse-

cutivos. Sabiendo que su mínimo común múltiplo y su

máximo común divisor son 675 y 45 respectivamente,

halla el valor más pequeño de A + B.

A. 360 B. 368 C. 456 D. 720 E. 810

5. Si se sabe que:

MCD(aac; (a – 1)(a – 1) b) = 15

MCD(aac; da(a – 1)) = 66

Determina la suma de todos los posibles valores de

a + b + c + d.

A. 23 B. 24 C. 25 D. 15 E. 9

6. Determina el valor de n sabiendo que el máximo co-

mún divisor de 120n × 45 y 80n × 60 tiene 156 divisores.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

7. ¿Cuántos pares de números comprendidos entre 600

y 900 tienen como máximo común divisor a 48?

A. 10 B. 11 C. 12 D. 2 E. 4

8. La suma de dos números es 300, al dividir su MCM

entre su MCD se obtiene 24 de cociente. ¿Cuál es el

mayor de los números?

A. 288 B. 144 C. 96 D. 240 E. 196

Tipo UNI 2001 - II

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Tipo UNI 2002 - II

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Tipo UNI 2007 - II

11. Un cerrajero cuenta las llaves que tiene por dece-

nas, docenas y quincenas, y en cada caso le sobran

siempre 7 llaves. Si vende a razón de S/.1 cada una,

recauda entre S/. 500 y S/. 600. ¿Cuántas llaves tenía

el cerrajero?

A. 541 B. 543 C. 545 D. 547 E. 555

10.Se tiene 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y

408 unidades; desea venderse en paquetes peque-

ños de igual cantidad, que estén contenidas exacta-

mente en cada una de las cajas. ¿Cuál es el menor

número de paquetes que se obtiene, sin desperdiciar

galletas?

A. 24 B. 32 C. 44 D. 47 E. 50

11.Se requiere formar un cubo con ladrillos de dimensio-

nes 54; 36; 48 cm3 colocándolos en una posición uni-

forme y sin romper ningún ladrillo. ¿Cuántos ladrillos

serán necesarios para formar el cubo más pequeño

posible?

A. 215 B. 325 C. 452 D. 864 E. 658

12.Un libro tiene 256 páginas, otro tiene 160 páginas. Si

se sabe que los dos están formados por cuadernillos

con el mismo número de páginas y que éste es su-

perior a 20, ¿cuántos cuadernillos tienen en total los

2 libros.

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14

13. Tres coches salen un mismo día y al mismo tiempo

de una población para hacer el recorrido de 3 líneas

distintas. El primero tarda 7 horas en volver al punto

de partida y se detiene en éste 1 hora, el segundo

tarda 10 horas y se detiene 2, y el tercero tarda 12

horas y se detiene 3. ¿Cada cuánto tiempo saldrán a

la vez los tres coches de dicha población?

A. 60 horas C. 72 horas E. 240 horas

B. 120 horas D. 24 horas

14.En una empresa en la que trabajan 150 empleados,

salen de vacaciones un cierto número de ellos. Si se

agrupan los que quedan, de a 10, de a 12, de a 15 ó

de a 20, siempre sobran 6 empleados, pero agrupán-

dolos de a 18, no sobran ninguno. ¿Cuántos emplea-

dos hay de vacaciones?

A. 18 B. 24 C. 54 D. 32 E. 66

15.¿Cuál es la última cifra del MCD de 7120 – 1 y 772 – 1?

A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. 6

42

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ARITMÉTICA Razones y Proporciones

B.

C.

D.

E.

7. Si el promedio de 15 números de entre los 50 primeros

números pares positivos es 46,4; el promedio de los 35

números restantes es aproximadamente:

A. 50 B. 51 C. 55 D. 54 E. 53

8. Cuatro atletas dan una vuelta a una pista atlética en

120; 160; 200 y 300 segundos respectivamente, dando

pasos de distinta longitud, pero los cuatro, cada paso

en el mismo tiempo. Calcula la razón de la longitud

de cada paso del atleta más veloz con la suma de

las longitudes de los pasos de los otros atletas.

A. 4/7 B. 5/7 C. 3/8 D. 5/8 E. 1/3

9. La suma de las razones geométricas que se pueden

formar con dos cantidades es 7. Determina la rela-

ción entre la media geométrica y la media armóni-

ca de esas dos cantidades.

A. 2 B. 2,5 C. 1,5 D. 1,2 E. 3

10. En un taller de confecciones se hacen 8 docenas

de pantalones por semana, en otro taller hacen 3

decenas de camisas por día. Cuando en el primer

taller hacen 12 docenas de pantalones, ¿cuántas

camisas habrán hecho en el segundo taller?

A. 270 B. 345 C. 450 D. 360 E. 315

11. Si a y b son números enteros mayores que 150 tales

que a + b = 360, ¿cuál de las siguientes alternativas

es la razón exacta de a/b?

A. 3/7 B. 5/7 C. 4/5 D. 3/5 E. 4/11

12. Si a, b, c son números positivos tales que

, entonces c − k es igual a:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

13. Sean a, b, c, d números naturales tales que:

I.

II. d − c 39

Entonces el valor de d − b es:

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 11

1. Cuatro números enteros positivos a, b, c, d están re-

lacionados de la siguiente forma:

Si b ka, entonces a b c d es igual a:

A. k3 k2 k − 1

B. k3 − k 1

C. k3 − k2 k 1

D. k3 k2 − k − 1

E. k3 k − 1

2. Se tiene cuatro números. Al añadir el promedio de

tres de ellos al número restante, se obtienen los nú-

meros 67; 57; 51 y 47. Entonces, la suma de los cuatro

números es igual a:

A. 121 B. 145 C. 180 D. 167 E. 120

3. En una fiesta, el número de hombres y el número de

mujeres asistentes están en la relación de 5 a 2. Des-

pués de 5 horas se retiran 30 parejas y ocurre que la

nueva relación de hombres a mujeres es de 10 a 3.

Entonces, el número original de asistentes a la fiesta

fue de:

A. 280 B. 294 C. 42 D. 350 E. 210

4. Sabiendo que y además

(A a)(B b)(C c)(D d) k4, calcula

A. k B. k4 C. k2 D. k E. k

5. Cuatro atletas deben recorrer 1 000 m planos en

una competencia con relevos cada 250 m. Si las

velocidades de los tres primeros relevos fueron 8; 9;

10 m/s, ¿qué velocidad debe tener el cuarto relevo

para igualar el récord establecido con un promedio

de 9,6 m/s?

A. 12 m/s C. 12,6 m/s E. 11,8 m/s

B. 11,9 m/s D. 12,4 m/s

6. En un partido de fútbol entre los equipos M y W, la

relación de hinchas al iniciar el encuentro es como

A es a B (A > B) a favor del equipo W. Sin embargo,

luego de un gol del equipo M la relación inicial se

invierte. Sabiendo que el encuentro se inició con h

espectadores, resulta que el número de espectado-

res que se cambiaron al equipo M es:

A.

UNI 2000 – II

Tipo UNI 2003 – I


Tipo UNI 2004 – I

Tipo UNI 2005 – I


UNI 2006 – I

UNI 2006 – II




Tipo UNI 2002 – I

UNI 2002 – II

a2

b

b

c2

a2 b

a b cd

A

a

B

b

C

c

D

d

B bACD

B34

acd

b34

4

Ah

A B

b6

c2

a2

b6

a2 b6

a b6 3ck

b

c

a

b

a c

dk ; k − 1 ; 2

Bh

A B

(A − B)h

A B

ABh

A2 B2

(A B)h

A − B

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43

ARITMÉTICA Magnitudes Proporcionales

8. El peso de un eje varía proporcionalmente a su lon-

gitud y su sección transversal. Si un metro de hierro

forjado de un centímetro de diámetro pesa 0,6 kg,

calcula el peso de un eje de 5 m de largo y 5 cm

diámetro.

A. 60 kg C. 75 kg E. 90 kg

B. 105 kg D. 120 kg

9. El precio de un diamante es DP al cuadrado de su

peso. Un diamante se divide en 3 partes que son DP

a 2; 3 y 5. Si la diferencia en precios de la mayor y la

menor de las partes es S/. 42 000, determina el pre-

cio del diamante entero.

A. S/.120 000 C. S/. 420 000 E. S/. 210 000

B. S/. 200 000 D. S/. 180 000

10. Sea V el volumen de un paralelepípedo rectangular

de ancho “a”, largo “b”, altura “h”, las cuales son va-

riables, h es independiente del valor de a; b es inver-

samente proporcional al valor de a. Entonces:

A. V es directamente proporcional a “a”.

B. V es inversamente proporcional a “a”.

C. V es directamente proporcional a “b”.

D. V es inversamente proporcional a “b”.

E. V es directamente proporcional a “h”.

11. Se sabe que una magnitud “A” es DP a la raíz cua-

drada de “B” para valores de “B” menores o iguales

a 45 y que “A” es IP al cuadrado de “B” para valores

de “B” mayores o iguales a 45. Nótese que B = 45 es

un punto de enlace. Si cuando B = 5, A = 12, halla “A”

cuando B = 90.

A. 8 B. 27 C. 9 D. 3 E. 81

12. Se sabe que el caudal es la constante de propor-

cionalidad para el área de la sección transversal de

una tubería y la velocidad del agua que circula a

través de ella, y éstas magnitudes son IP en una tu-

bería de 2 sectores uno más angosto que el otro, los

radios están en la relación de 2 es a 3. Si la veloci-

dad en el sector de mayor radio es 12 m/s, calcula

la velocidad en el otro sector.

A. 24 m/s C. 27 m/s E. 32 m/s

B. 45 m/s D. 23 m/s

13. Si A es directamente proporcional con C, y C es inver-

samente proporcional con B; cuando A es 6, B es 40.

Determina A cuando B es 25.

A. 9,2 B. 9,6 C. 9,8 D. 8,6 E. 4,8

1. Un equipo de 9 alumnos resuelve en 4 horas una ta-

rea consistente en 8 problemas de igual dificultad.

La siguiente tarea consiste en resolver 6 problemas

cuya dificultad es el doble que la de los anteriores. Si

no se presentan 3 integrantes del equipo, entonces

los restantes alumnos harán la tarea en:

A. 6 h B. 8 h C. 10 h D. 5 h E. 9 h

2. Supongamos que A varía directamente proporcio-

nal a B, e inversamente proporcional a C y D. Si A =

20 cuando B = 30, C = 12 y D = 1 0. Determina el valor

de A cuando B = 48, C = 8 y D = 15.

A. 30 B. 32 C. 36 D. 48 E. 54

3. Si M es directamente proporcional con P2 e inversa-

mente proporcional con N/2, cuando M = 18, P = 3 y

N = 8. Halla N cuando P es 6 y M es 45.

A. 6,4 B. 7,2 C. 8,4 D. 10,5 E. 12,8

4. En una empresa el sueldo de un empleado es pro-

porcional al cuadrado del número de años de su

servicio. Un empleado tiene actualmente 18 años de

servicio. ¿Dentro de cuántos años cuadruplicará su

sueldo?

A. 18 B. 36 C. 54 D. 20 E. 25

5. El peso de un disco es DP al cuadrado de su radio

y a su espesor, 2 discos tienen sus espesores en la

razón de 8 a 9 y el peso del segundo es la mitad del

peso del primero. ¿Cuál es la razón de sus radios?

A. 8/9 B. 8/5 C. 3/2 D. 1/4 E. 1/5

6. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda

B de 50 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 15

dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes.

Si A da 120 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará

la rueda D?

A. 70 B. 72 C. 60 D. 90 E. 96

7. Se sabe que “A” es DP con “B” y que “B” es DP con

“C”. Si cuando A aumenta 15 unidades “B” varía en

un 20%, ¿qué pasa con C cuando A disminuye 50

unidades?

A. Se duplica.

B. Se reduce a la mitad.

C. Se triplica.

D. Se reduce a la tercera parte.

E. Se cuadruplica.

Tipo UNI 2000 – I

Tipo UNI 2007 – I

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ARITMÉTICA Reparto Proporcional

6. Se reparte una herencia en partes inversamente pro-

porcionales a las edades de tres hermanos y reciben

$ 32 640, $16 320 y $12 240. ¿Cuánto hubiera recibido

el hermano de menor edad si el reparto se hubiera

hecho directamente proporcional a las edades?

A. $ 21 600 C. $ 10 800 E. $ 28 800

B. $ 14 400 D. $ 9 600

7. Un padre deja una herencia a sus tres hijos. La reparte

en partes inversamente proporcionales a los números

8; 6 y 3 empezando por el hijo mayor, respectivamen-

te. Si el valor de la herencia asciende a $ 135 000,

¿cuánto le corresponde al hijo menor?

A. $ 27 000 C. $ 36 000 E. $ 72 000

B. $ 54 000 D $ 45 000

8. Un grupo de 12 albañiles ha trabajado en una

obra 15 días a razón de 8 horas diarias; un segundo

grupo de 18 albañiles ha trabajado en la misma

obra 10 días a razón de 9 horas diarias. Si en total

recibieron S/. 10 200, entonces el primer grupo de

albañiles recibe:

A. S/. 5 400 C. S/. 4 800 E. S/. 6 000

B. S/. 7 200 D. S/. 3 000

9. En una barra de madera de 30 cm se realizan n cor-

tes tal que las partes obtenidas sean proporcionales

a los números 1; 2; 3;…; n. La media aritmética de las

inversas de la menor y mayor de las partes es:

A.

B.

C.

D.

E.

10. Un padre de familia dejó ordenado hacer el repar-

to de su herencia en forma DP a las edades de sus

hijos de 24 y 16 años. El reparto se hace luego de

dos años, recibiendo entonces uno de ellos $ 50 más

que si el reparto se hubiese hecho inmediatamente.

Calcula el monto de la herencia.

A. $ 5 500 C. $ 5 000 E. $ 4 500

B. $ 4 000 D. $ 6 000

1. Cuatro hermanos reciben una herencia que la re-

parten en cantidades iguales a sus edades (en

miles de soles); pero luego piensa el menor: si yo

tuviera la tercera parte y mis hermanos la cuarta, la

quinta y la octava parte de lo que nos ha tocado,

entonces todos tendríamos cantidades iguales y

aún sobraría 64 mil nuevos soles. Halla la edad del

menor de los hermanos.

A. 10 años C. 12 años E. 15 años

B. 16 años D. 20 años

2. Un hombre muere dejando a su esposa embaraza-

da una herencia de $180 000 que se repartirá de la

siguiente forma:

Pero sucede que la señora da a luz un varón y una

niña. Entonces, lo que le toca a la niña es:

A. $ 36 000 C. $ 100 000 E. $ 30 000

B. $ 50 000 D. $ 48 000

3. Tres socios reúnen $9 600 para hacer una inversión,

donde el primer socio obtiene una ganancia de

$ 3 600, el segundo $ 8 400 y el tercero $ 12 000.

¿Cuánto aportó el primer socio?

A. $ 1 440 C. $ 4 800 E. $ 2 400

B. $ 3 360 D. $ 1 840

4. Dos amigas compran a y b papayas (a > b), res-

pectivamente; en el camino se encuentran con un

amigo y deciden compartir entre los tres las papa-

yas, en partes iguales. Si el amigo pagó P nuevos

soles por su parte, entonces la cantidad de dinero

que recibe la primera de las amigas es:

A. C. E.

B. D.

5. Cuatro amigos deciden ir a un concierto, pero uno

de ellos no tiene dinero para pagar la entrada, en-

tonces los tres primeros hacen un pozo para pagar

la entrada de su amigo; aportan respectivamente

S/. 60, S/. 105 y S/. 135. Luego del concierto el ami-

go, en agradecimiento les da 40 CDs para que se lo

repartan los tres primeros. ¿Cuántos CDs le corres-

ponde a cada uno, respectivamente?

A. 5; 15; 20 C. 8; 12; 20 E. 6; 12; 22

B. 6; 14; 20 D. 8; 14; 18

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Tipo UNI 2004 – I

Tipo UNI 2005 – I

Tipo UNI 2006 – I

UNI 2006 – II



UNI 2003 – I

120

n 2

120

(n 1)2

60

(n 2)2

(n 2)2

120(a − b)P

a b

(2a − b)P

a b

(b − 2a)P

a b

2aP

a b

aP

a b

(n 1)2

120

45

FactorizaciónALGEBRAARITMÉTICA Regla de Tres Simple

8. Una obra pueden terminarla 63 obreros en 18 días,

pero deseando terminarla 5 días antes, a los 4 días de

trabajo se les une cierto número de obreros de otro

grupo. ¿Cuántos obreros se les unieron?

A. 30 B. 35 C. 42 D. 49 E. 60

9. Un ingeniero puede construir un tramo de autopista

en 3 días con cierta cantidad de máquinas; pero em-

plearía un día menos si le dieran 6 máquinas más. ¿En

cuántos días podrá ejecutar el mismo tramo con una

sola máquina?

A. 36 B. 42 C. 48 D. 30 E. 54

10. En la construcción de un túnel de desagüe, se emplea-

ron 8 obreros, que pueden terminar la obra en 28 días;

7 días después de empezado la obra se aumentaron

cuatro obreros. Calcula los días que habrá durado la

obra.

A. 20 días C. 21 días E. 22 días

B. 23 días D. 24 días

11. Si una persona puede hacer el 20% de una obra en

8 días trabajando 6 horas diarias, ¿qué porcentaje de

la misma obra podrá hacer en 18 días, trabajando 10

horas diarias?

A. 48% B. 50% C. 56% D. 64% E. 75%

12. Doce albañiles y catorce peones se comprometen

en hacer una obra en 30 días. Al cabo del quinto día

se despiden a cuatro albañiles y ocho peones debi-

do a que se les dio 20 días más de plazo para con-

cluir la obra. Determina la relación de las eficiencias

(Albañil/Peón).

A. 2/3 B. 3/2 C. 3/4 D. 4/3 E. 5/4

13. Un grupo de obreros promete hacer una obra en 15

días, pero cuando ya habían trabajado 5 días, contra-

tan 9 obreros más con los que terminaron el trabajo 2

días antes. ¿Cuántos obreros había en el grupo inicial-

mente?

A. 45 B. 39 C. 36 D. 27 E. 18

14. Un reloj que se adelanta 3 minutos cada media hora;

actualmente marca la hora exacta, es decir 18:00.

¿Qué hora marcará mas tarde, cuando la hora exacta

sea 21:50?

A. 22:13 C. 22:23 E. 21:40

B. 22:30 D. 22:35

1. Un contratista dice que puede terminar un tramo de

una autopista en a días si le proporcionan un cierto tipo

de máquinas, pero con c máquinas adicionales de di-

cho tipo, puede hacer el trabajo en b días (a – b = 1). Si

el rendimiento de las máquinas es el mismo, entonces el

número de días que empleará una máquina para ha-

cer el trabajo es:

A. a2bc B. ab2c C. abc2 D. abc E. (a + b)c

2. En una obra se observa que faltando 48 días para su

culminación fueron despedidos 15 obreros. ¿Cuán-

tos obreros adicionales se deben contratar a 18 días

para la culminación para así cumplir con el plazo es-

tipulado?

A. 36 B. 40 C. 32 D. 30 E. 48

3. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanza-

ban para 65 días, pero al término de 20 días se reti-

raron 200 soldados por lo que los alimentos duraron

para 15 días más de lo calculado. ¿Cuántos eran los

soldados inicialmente?

A. 400 B. 480 C. 550 D. 600 E. 800

4. La cantidad de granos de maíz que entran en un ba-

lón esférico de 3 dm de diámetro es 120. ¿Cuántos

granos entrarán en un balón de 6 dm de diámetro?

A. 480 B. 600 C. 960 D. 1 440 E. 840

5. Una guarnición de 2 250 hombres tienen provisiones

para 70 días. Al terminar el día 29 salen 200 hombres.

¿Cuánto tiempo podrán durar las provisiones que

quedan, al resto de la guarnición?

A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 E. 48

6. Si 40 Kg de agua salada contiene 3 1/2 Kg de sal,

¿qué cantidad de agua debe dejarse evaporar para

que 18 kg de la nueva mezcla contenga 3 kg de sal?

A. 18 kg B. 19 kg C. 20 kg D. 21 kg E. 22 kg

7. Sabiendo que la eficiencia de A es de 75%, que la

eficiencia de B es de 60% y además B puede hacer

una obra en 18 días. ¿En cuántos días podrán hacer

juntos la obra?

A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 E. 12

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46

ARITMÉTICA Regla de Tres Compuesta

7. Se contrató a un grupo de obreros para que una obra

sea terminada en 21 días, con 25 obreros trabajando 8

horas; luego de 6 días de trabajo se acordó que la obra

quede terminada 5 días antes del plazo establecido.

¿Cuántos obreros más se tuvieron que contratar, sabien-

do que se incremento en 2 horas el trabajo diario?

A. 8 C. 5 E. 12

B. 30 D. 15

8. 16 obreros pueden hace un canal de 40 m de largo,

10 m de ancho y 4 m de profundidad, en 5 días tra-

bajando 10 horas. Calcula la longitud que tendrá otro

canal de 8 m de ancho y 3 m de profundidad que ha

sido construido por 12 obreros que laboran durante 40

días a 8 horas con un esfuerzo 25% mayor, con una ac-

tividad 50% mayor, que los primeros, respectivamente, y

en un terreno cuya resistencia es el doble del primero.

A. 300 m C. 200 m E. 140 m

B. 150 m D. 100 m

9. 8 costureras trabajando con un rendimiento del 60%

c/u, han hecho en 20 días de 8 horas, 200 pantalones

para niños con triple costura. ¿Cuántas costureras de

80% de rendimiento c/u, harán en 24 días de 10 ho-

ras, 450 pantalones para adulto con doble costura? Si

además se sabe que a igual numero de costuras los

pantalones para adultos ofrecen una dificultad que

es 1/3 más que la que ofrece los pantalones para ni-

ños.

A. 6 C. 7 E. 8

B. 9 D. 10

10. Para enlosar el piso de una sala de 5 m de largo y 4 m

de ancho, se han empleado tres operarios, durante 2

días, trabajando 10 horas diarias. ¿Cuántos operarios

harán falta para enlosar en 3 días, trabajando 8 horas

diarias, otro piso de 8 m de largo y 5 m de ancho?

A. 9 C. 8 E. 7

B. 6 D. 5

11. El trabajo que un operario lo hace en 7 días, lo hace

un segundo operario en 6 días; el que hace este en 9

días lo hace un tercero en 8 días y el que hace este

en 12 días lo hace un cuarto en 14 días. Si el primer

operario tarda 27 días en hacer una obra, ¿cuántos

días tardará el cuarto?

A. 20 C. 22 E. 24

B. 28 D. 32

1. Un equipo de 9 alumnos resuelve en 4 horas una ta-

rea consistente en 8 problemas de igual dificultad. La

siguiente tarea consiste en resolver 6 problemas cuya

dificultad es el doble que la de los anteriores. Si no se

presentan 3 integrantes del equipo, entonces los res-

tantes alumnos harán la tarea en:

A. 6 h B. 8 h C. 10 h D. 5 h E. 9 h

2. Para cumplir con el pedido de un lote de artículos de

exportación se trabajó durante 10 días de la siguiente

manera: el primer día trabajaron 6 obreros, el segun-

do 9 obreros, el tercero 12 obreros y así sucesivamente.

Si todos los días se hubiese trabajado con 25 obreros,

30% más eficientes, entonces el número de días en

que se habría cumplido con el pedido es:

A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 E. 12

3. Para construir una pista de 1200 m se ha contratado

24 obreros para trabajar 15 días en jornadas de 8 ho-

ras. Pero por conveniencia la pista debe ser de 1 500 m,

para ello se contrata 16 obreros más. ¿En cuántos días

se construirá la pista con los 40 obreros en jornadas de

10 horas diarias?

A. 15 B. 10 C. 8 D. 9 E. 12

4. Se contrató 15 obreros para terminar una obra en 40

días trabajando 8 horas pero al término de 5 días se

retiran 5 obreros y los restantes continúan trabajando

15 días a razón de 7 horas. ¿Qué fracción de la obra

falta terminar?

A. 27/96 C. 37/96 E. 25/96

B. 35/96 D. 21/32

5. Para regar un terreno se han contratado 50 peones.

Al cabo de 24 días han hecho 1/6 de su trabajo; si

en el mismo tiempo 42 peones de otro grupo pueden

hacer 4/11, ¿cuántos peones del segundo grupo de-

berán pasar al primero, para que puedan terminar su

trabajo en 56 días mas?

A. 62 B. 72 C. 42 D. 32 E. 22

6. Quince albañiles trabajando 12 horas, durante 16

días, pueden hacer una zanja de 4 m de largo, 2 m de

ancho y 1,5 m de profundidad. Si 20 albañiles traba-

jando x horas diarias, durante 18 días, pueden hacer

una zanja de 3 m de largo 1,5 m de ancho y 2 m de

profundidad, calcula "x".

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12

Tipo UNI 2000 - I

Tipo UNI 2003 - I

Tipo UNI 2004 - II

47

FactorizaciónALGEBRAARITMÉTICA Tanto por Ciento

6. Un empleado distribuye su sueldo de la siguiente ma-

nera: el 40% los gasta en alimentos, una cantidad igual

al 50% del gasto anterior en movilidad, otra cantidad

igual al 60% del gasto anterior en comprar ropa y una

cantidad igual al 70% del gasto anterior en diversio-

nes, si el resto es S/. 147 lo ahorra. ¿Cuánto ahorraría

en un determinado mes si no se compra ropa y se

abstiene de diversiones?

A. 200 B. 250 C. 300 D. 350 E. 400

7. Se tiene una piscina circular, si se incrementa su altura

en un 60%. Calcula que porcentaje hay que aumentar

al radio de la piscina, para que su volumen aumente

en un 150%.

A. 50% C. 18% E. 32%

B. 94% D. 25%

8. En el 2007 la razón del número de alumnos al número

de alumnas, en cierta universidad era 3/2. Al 2008 el in-

cremento total de alumnos (hombres y mujeres) fue el

20%. Si el número de alumnos aumentó en 30%, ¿cuál

fue en el último año, la razón del número de alumnos

al número de alumnas?

A. 13/7 B. 13/8 D. 13/9 D. 17/8 E. 17/9

9. Un fabricante reduce en 4% el precio de venta de los

artículos que fabrica para que aumente en 8% la cifra

total de sus ingresos. ¿En cuánto tendrá que aumentar

sus ventas?

A. 11,5% B. 12% C. 12,5% D. 10% E.15%

10. Una persona "A" da a vender a otra "B" una cinta de

acero; esta a su vez se le da a otra "C". Efectuada la

venta "C" toma el 10% y le entrega el resto a "B"; "B"

toma el 5%, y le entrega al primero S/. 3 933. ¿En cuán-

to se vendió la cinta?

A. S/. 5 400 C. S/. 5 200 E. S/. 5 000

B. S/. 4 800 D. S/. 4 600

11. A una persona se le aumenta el sueldo de la siguiente

manera: 20% sobre el 20% de su sueldo; el 20% sobre el

30% de su sueldo aumentado. Si su sueldo final equi-

vale a S/. 110 240, ¿cuál es el sueldo original?

A. S/. 100 000

B. S/. 90 000

C. S/. 90 500

D. S/. 80 500

E. S/. 80 000

1. Dos recipientes contienen vino. El primero tiene vino

hasta los dos tercios de su volumen y el segundo has-

ta tres cuartos de su volumen. Se completan estos reci-

pientes con agua, vertiéndose las mezclas a un tercer

recipiente. Sabiendo que la capacidad del segundo

recipiente es el doble que la del primero, entonces el

porcentaje de vino que contiene el tercer recipiente

es:

A. 70% C. 75,5% E. 72,2%

B. 60% D. 60,4%

2. En una universidad la población estudiantil creció a

razón del 25% anual durante los tres primeros años.

Al final del tercer año la población es P3. Al final del

cuarto año, la población P4 se ajusta a la siguiente

proporción .

.Si la población inicial fue de 6 400 alumnos,

entonces P4 es:

A. 16 000 C. 18 000 E. 16 200

B. 14 400 D. 12 600

3. Un representante de ventas gana por comisión el 11%

de las ventas. ¿Cuánto recibirá por comisión, si ejecu-

tada la cobranza y deducida dicha comisión, entre-

ga a la casa comercial la suma de $ 3 916?

A. $ 431 B. $ 430 C. $ 484 D. $ 480 E. $ 464

4. Un inversionista compra acciones, el 25% son acciones

del tipo A que se cotizan a $ 6; el 35% son acciones

del tipo B que se cotizan a $ 8, y el 40% son acciones

del tipo C que se cotizan a $ 10. Si las cotizaciones de

estas acciones se han incrementado en 40%, 60% y

80% respectivamente, entonces la cotización prome-

dio, en porcentaje, de sus acciones se ha incrementa-

do en:

A. 13,8% B. 90% C. 60% D. 66% E. 70%

5. Una tienda vende un producto haciendo descuentos,

primero uno de 25% y luego otro de 16%. Una segun-

da tienda, que tiene el mismo producto y al mismo

precio de lista, realiza un descuento del 41%. ¿Cuánto

de descuento o de incremento, en porcentaje, debe

efectuar la segunda tienda a su precio de lista para

que en ambas tiendas el producto tenga el mismo

precio final?

A. Incremento del 6,8%

B. Incremento del 7%

C. Incremento del 7,2%

D. Descuento del 6,8%

E. Descuento del 7,2%

Tipo UNI 2000 - II

Tipo UNI 2003 - II

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2004 - II

Tipo UNI 2007 - I

P3

5

P4

6,4=

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48

1. Una persona recibe un préstamo y paga por ella

0,8% mensual de interés simple. Si devolvió el dine-

ro a los 80 días y tuvo que pagar S/. 240 de interés,

¿cuál fue la suma prestada?

A. S/. 11 250 C. S/. 22 500 E. S/.14 400

B. S/. 9 600 D. S/. 13 500

2. Un comerciante debe pagar en 5 meses una letra

de S/. 20 000 al 12% de descuento anual. Si renego-

cia pagando S/. 12 000 y firma una letra pagadera

en 10 meses al 15% de descuento anual, entonces el

valor nominal de la letra es:

A. S/. 70 000 C. S/. 7 500 E. S/. 8 000

B. S/. 9 000 D. S/. 8 400

3. Un joyero tiene un lingote de oro de ley 0,800 que

pesa 1 800 g. ¿Qué cantidad de oro puro, en gra-

mos, tendrá que añadir al lingote para elevar su ley

a 0,950?

A. 1 800 B. 3 000 C. 4 800 D. 5 400 E. 3 600

4. Una cantidad de $A se divide en dos partes, de tal

modo que al ser invertida una de las partes al (a – 2)%

anual y la otra al (a + 2)% anual, ambas al mismo

tiempo, generan igual interés. Entonces una de di-

chas partes es:

A. (a + 2)A_________

2a C.

(a + 1)A_________2a

E. (2a – 1)A__________

2a

B. (a – 1)A_________

2a D.

(a + 2)A_________3a

5. Se tienen dos aleaciones de plata y cobre de distinta

ley; mezclándolos con doble peso del primero que

del segundo se obtiene una aleación de ley 0,920; y

mezclándolos con doble peso del segundo que del

primero se obtiene otra de ley 0,880. ¿Cuál es la ley

original de una de las aleaciones?

A. 0,900 B. 0,940 C. 0,860 D. 0,925 E. 0,840

6. Halla el valor nominal de una letra negociada al

0,8% mensual por 4 meses, sabiendo que la diferen-

cia entre el descuento comercial y el racional es de

S/. 4

A. S/. 4 031,25 C. S/. 4 020 E. S/.4 000

B. S/. 8 062,50 D. S/. 8 000

Interés, Descuento y Mezcla

7. Si la diferencia entre el descuento comercial y el des-

cuento racional de una letra de cambio de $ 1 200

descontando 75 días antes de su vencimiento es de

$ 2, entonces el valor de la tasa de descuento es:

A. 12% B. 15% C. 18% D. 20% E. 24%

8. Una persona invierte $ 30 000 a una tasa del 18% de

interés simple anual. Al cabo de 4 años invierte la

utilidad a una tasa del 2% de interés simple mensual.

Si luego de transcurrido un tiempo t la utilidad de la

segunda inversión es el 60% de la utilidad de la pri-

mera (en los 4 años), y si no ha retirado la inversión

inicial, ¿a cuánto asciende el monto total?

A. $ 65 100 C. $ 78 060 E. $ 64 560

B. $ 56 460 D. $ 70 860

9. Se tiene dos pagarés, uno al 10% de descuento

anual pagadero en 48 días y el otro al 8% de des-

cuento anual pagadero en 60 días. Si el valor actual

de los dos pagarés suma $ 3 700, entonces la suma

de los valores nominales es:

A. $ 3 900 C. $ 3 820 E. $ 3 750

B. $ 3 950 D. $ 3 850

10. Se prestó un capital durante 20 meses, el interés re-

sultó el 15% del monto. ¿Qué porcentaje del monto

se producirá en 40 meses?

A. 57,1 B. 30 C. 55 D. 61,3 E. 33,3

11. ¿Durante cuánto tiempo estuvo depositado un capi-

tal al 9% anual, si los intereses producidos alcanzan

al 60% del capital?

A. 6 años C. 6 años 4 meses E. 6 años 8 meses

B. 7 años D. 7 años 2 meses

12. Se quiere preparar 60 litros de vino para venderlo a

S/.55 el litro, ganando S/.5 por cada litro; para ello,

se hace una mezcla con vinos de S/.20; S/.30; S/.60

y S/.70 el litro. Si la mezcla debe tener 10 litros del

vino de S/.30, la mayor cantidad posible de vino de

S/.70 y por lo menos un litro de cada tipo de vino,

¿cuántos litros de vino de S/.70 el litro se necesita, sa-

biendo que los volúmenes de las cuatro calidades

son números enteros de litros?

A. 30 B. 34 C. 32 D. 28 E. 26

Tipo UNI 2002 - II

Tipo UNI 2003 - I

Tipo UNI 2004 - II

Tipo UNI 2005 - I

Tipo UNI 2005 - II

Tipo UNI 2000 - I

Tipo UNI 2000 - II

Tipo UNI 2001 - I

Tipo UNI 2001 - II

Tipo UNI 2002 - I

ARITMÉTICA

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49

1. A 80 alumnos se aplicó un examen de Matemática

y se anotó el tiempo en minutos que empleó cada

uno en resolver el examen. Los tiempos se ordenaron

en una tabla de frecuencias con amplitudes iguales.

He aquí algunos resultados.

Determina el número de alumnos que terminaron el

examen en más de una hora.

A. 52 B. 19 C. 43 D. 51 E. 48

2. En una planta de ensamblaje de computadoras, el

jefe de producción ha puesto a prueba a 50 obreros

para estudiar el tiempo de ensamble de un nuevo

equipo, obteniendo los resultados siguientes:

Se puede concluir que:

I. El 14% de los obreros ensambla la computadora

en menos de 40 minutos.

II. El 36% de los obreros ensambla la computadora

en por lo menos 50 minutos.

III. El 25% de los obreros necesita de 40 a 50 minutos

para ensamblar la computadora.

A. VVV B. VFF C. FVF D. VVF E. FVV

3. Las notas de un examen de Matemática están distri-

buidas en el siguiente histograma de frecuencias:

¿Cuál es la nota promedio del examen?

A. 12 B. 12,8 C. 13 D. 12,6 E. 13,2

4. De una muestra de números enteros, se tiene que el

mayor de ellos aparece 8 veces y su frecuencia rela-

tiva es 1/175 del total de números impares. Si el total

de impares excede en 6 unidades al total de pares,

entonces el número de datos de la muestra es:

A. 28 B. 22 C. 48 D. 54 E. 50

5. En una tabla de distribución de frecuencias con 6

intervalos de igual amplitud, el valor mínimo es 500 y

el valor máximo 1 700. Si la característica medida es

el ingreso en soles de un grupo de trabajadores y se

sabe además que:

f4 = 1__2 f3; H5 = 0,95; f6 = 10; h3 = 0,25

Donde:

f = frecuencia absoluta simple

h = frecuencia relativa simple

H = frecuencia relativa acumulada

¿Qué porcentaje de trabajadores ganan como mí-

nimo 900 soles y como máximo 1 300 soles?

A. 75 B. 37,5 C. 35 D. 30 E. 62,5

6. En una distribución simétrica con 5 intervalos y de

igual ancho de clase, se conoce los siguientes da-

tos:

f5 = 15; h4 = 0,24; H2 = 0,3; x2 + x4 + f 3 = 260

Calcula el valor de la media.

A. 47 B. 50 C. 55 D. 60 E. 80

Tipo UNI 2001 - I

Tipo UNI 2001 - II

Tipo UNI 2002 - II

Tipo UNI 2000 - I

Tipo UNI 2000 - II

EstadísticaARITMÉTICA

Tiempo(minutos)

mi fi Fi %i

< ; ] 45 15

< ; ] 16

< ; ] 65

< ; ] 71 30

< ; ]

Total

Tiempo(minutos)

Número de obreros

[35; 40> 7

[40; 45> 11

[45; 50> 14

[50; 55> 12

[55; 60] 6

Total 50

25

20

15

10

5

0Notas

8

15

20

16

11

5 - 18

8 - 11

11 - 14

14 - 17

17 - 20

50

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7. Se tienen 8 números positivos y 6 números negativos,

se elijen al azar 3 números y se multiplican. ¿Cuántos

de dichos productos resultarán negativos?

A. 168 B. 20 C. 48 D. 188 E. 156

8. Se reúnen alumnos de tres universidades: 2 de la UNI,

3 de la USMP y 4 de la UL. ¿De cuántas formas di-

ferentes podrán acomodarse en una fila, de modo

que los alumnos de la UNI se encuentren siempre

juntos?

A. 80 640 C. 17 280 E. 362 880

B. 40 320 D. 34 560

9. Para elaborar un examen de 8 problemas se dispo-

ne de un banco de 6 problemas de aritmética, 5 de

álgebra y 4 de geometría. ¿De cuántas formas pue-

de elaborarse dicho examen si el número de proble-

mas de aritmética debe ser mayor que el número

de problemas de álgebra y éste a su vez mayor que

el número de problemas de geometría? El examen

debe tener problemas de los tres cursos menciona-

dos.

A. 240 B. 840 C. 600 D. 720 E. 960

10. Sean los conjuntos Z = {N, O, R, M, A},

R = {2; 3; 5; 6; 8; 9}. Se desea elaborar placas para au-

tos de la forma z1z2r1r2r3r4 donde zi Z; rj R, de ma-

nera que no existan símbolos repetidos. Determina

el número total de placas diferentes que se pueden

elaborar.

A. 3 600 C. 32 400 E. 14 400

B. 2 400 D. 7 200

11. En una carrera de caballos participan 7 ejemplares;

un boleto de apuesta tendrá premio si acierta por lo

menos dos de las tres primeras posiciones. Halla la

probabilidad de tener premio en dicha carrera.

A. 2/35 B. 13/210 C. 4/7 D. 4/210 E. 11/210

12. Se desea formar un comité universitario, de 6 miem-

bros, están disponibles 7 estudiantes de ciencias y 8

de humanidades. ¿De cuántas maneras diferentes

puede formarse dicho comité que incluya por lo me-

nos a dos estudiantes de humanidades?

A. 5 040 B. 3 480 C. 4 380 D. 4 600 E. 483

1. En un club se desea elegir un presidente, un vice-

presidente, un tesorero y un secretario. La condición

es que el tesorero sea un varón y el secretario una

dama y que nadie puede ocupar más de un cargo.

Si son elegibles 15 varones y 12 damas, ¿de cuántas

maneras puede elegirse ese grupo directivo?

A. 180 000 C. 108 000 E. 421 200

B. 54 000 D. 90 000

2. Un examen consta de 15 problemas de los cuales

el estudiante debe contestar 12. Si de los 9 primeros

problemas debe resolver por lo menos 7, ¿cuántas

posibilidades de elegir 12 problemas tiene el estu-

diante?

A. 455 B. 351 C. 236 D. 371 E. 216

3. ¿Cuántas palabras de 5 letras, que contengan tres

vocales diferentes y dos consonantes diferentes, se

pueden formar con 4 vocales incluyendo la “a” y 5

consonantes incluyendo la “m”, de manera que em-

piecen con “a” y contengan a “m”?

A. 288 B. 144 C. 12 D. 72 E. 576

4. En un concurso, una dama debe adivinar el precio

de cierto producto. El animador le dice: El precio tie-

ne tres dígitos enteros y dos decimales, los dígitos en-

teros pueden ser 1; 2; 3; 7; 8 y los dígitos decimales 6;

9, además el precio es mayor que 300. ¿De cuántas

maneras se puede dar el precio, si se permite la re-

petición solo de los dígitos 1 y 2?

A. 24 B. 48 C. 56 D. 84 E. 33

5. ¿De cuántas maneras 3 peruanos, 3 chilenos, 3 ar-

gentinos y 3 paraguayos pueden sentarse, ordena-

damente, en una mesa circular de modo que los de

la misma nacionalidad se sienten juntos?

A. 7 766 B. 3 888 C. 7 776 D. 2 592 E. 15 552

6. En un examen, un estudiante debe resolver 12 pro-

blemas de los 15 dados. Si se tiene que resolver ne-

cesariamente por lo menos 4 de entre los 6 primeros,

entonces el número de maneras en que puede ele-

gir los 12 problemas es:

A. 135 B. 216 C. 84 D. 435 E. 351

Tipo UNI 2 000 - I

Tipo UNI 2 000 - II

Tipo UNI 2 000 - II

Tipo UNI 2 002 - I

Tipo UNI 2 002 - II

Tipo UNI 2 003 - II

Tipo UNI 2 004 - I

Tipo UNI 2 004 - II

Tipo UNI 2 005 - I

Tipo UNI 2 005 - II

Tipo UNI 2 007 - I

Combinatoria y ProbabilidadesARITMÉTICA

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ÁLGEBRA Valor absoluto

7. Determina el conjunto solución de la inecuación

x4 − 10 x2 2 8x2

A. −∞; −1 1; ∞ D. −∞; −1

B. E. 1; ∞

C.

8. Al resolver la inecuación, el conjunto solución es

A a; ∞ , entonces el valor de “a” es:

A. −5 B. −1 C. 0 D. 2 E. 4

9. Si x 3 entonces, , luego de

“m” se puede afirmar:

A. m 1 C. m 3/7 E. m 1

B. m 1/2 D. 0 m 1

10. Dados los siguientes enunciados

p x2 − 3x 1 2x2 − 4x 2 −x2 3x − 1

q 4x2 4x 1 0 tiene 2 soluciones reales.

r: Si x 0 la ecuación 1 no tiene solución

real. Cuál(es) son correctos.

A. Solo I C. I y III E. I, II y III

B. Solo II D. II y III

11. Si se cumple que 2x b y − b 3 b − 2 0

x, y, b , determina T (x y 3b 2)0,5

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 7

12. Determina la suma de los elementos del conjunto:

M x / x − 1 2 3 2x − 5 3 x − 1 1 − x 2x − 5

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

13. Resuelve x 1 − x 3 − 2 − x (I)

x x 1 (II)

A. x I C. x −I E. x −I/2

B. x I D. x −I

14. Calcula , si a ]−1; 2 [

A. a 1 B. a − 3 C. 1 D. −1 E. a

1. Determina el conjunto solución de la inecuación

x − 2 − 3 x 21 0

A. −∞; −32,5 −15,25; ∞

B. −∞; −11,5 −4,5; ∞

C. −115; −4,5

D. −32,5; −15,25

E. −∞; −32,5 −4,5; ∞

2. Siendo X x / x2 − 5x 4 e

Y x / x2 6 2 entonces X Y es:

A. D.

B. −∞; −1 4; ∞ E.

C. 1; 4

3. Si el conjunto A x / x2 − 1− x − 1 0 ,

entonces el conjunto − A está dado por:

A. B. −2; 2 C. −2; 2 D. −2; 1 E. −2; 1

4. Determina el conjunto solución de la siguiente

desigualdad: 1 − x 1 x x

A. C. E. −1; 1

B. D. −1; 1

5. Señala la alternativa que tiene la secuencia correc-

ta, después de determinar la verdad (V) o falsedad

(F) de las siguientes proposiciones:

I. a 0; 1 0; ∞

II. 1 x 2 0

II. −2 x −1 4 2 8

A. VVV B. VVF C. VFF D. FFV E. FFF

6. Dada la ecuación algebraica

Determina el número de raíces reales que posee di-

cha ecuación.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

UNI 2005 – I

UNI 2007 – II

UNI 2007 – I

UNI 2001 – II

UNI 2007 – II

UNI 2005 – I

5

2

5

2

41

2

41

2− ;

5

2

5

2

41

2

41

2− ; 1

4

5

4

5;−

4

5

4

5−−1; ;1

4

5−−1;

x

x2

x2

x

a

1 − a

2 − x

2x

2

2

x2 −1

x 1

x2 − 4

x 3

3

2x

2 − 2 − x − x

x − x2 − 20

1

m 6m

1

4 − x

2a − 5 3a 5

a − 12 − 22

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53

ÁLGEBRA Funciones I

8. Para la función Gx

x

x

xx

2

3

3

24; /

Determina el valor donde no está definida la función:

A. 0,84 B. 0,86 C. 0,88 D. 0,9 E. 0,99

9. Un avión realiza una maniobra a velocidad supersó-

nica, según la trayectoria 2y2 – x2 = 48. Halla la menor

distancia de la trayectoria al punto (6; 0).

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 E. 5

10. El rango de la función f: – {0} definida por

f(x) = x + , es:

A. – ]–2; 2[ C. – ]–1; 1[ E. – {0}

B. – [–2; 2[ D. – [–1; 1]

11. La entrada a un edificio tiene la forma de un arco

parabólico y mide 9 metros de alto en el centro y 6

metros en el ancho de la base. Si hay que introducir

un objeto de 8 metros de alto. ¿Cuál es el ancho

máximo que puede tener dicho objeto?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

12. La función h(t) = 2a2t2 – t4 + b – a4, con b – a4 > 0

representa la fórmula de crecimiento de una pobla-

ción de conejos en un ambiente con recursos limita-

dos, en función del tiempo t en años (a > 0). Calcula

el valor de t para que la población sea máxima.

A. t = 1 C. t = a2 E. t = b

B. t = a D. t = b – a

13. Sean las funciones f y g definidas por

f(x) = |x + 2| + |x – 4| y g(x) = 10 – |2x – 3|.

Entonces, el área de las regiones que encierran sus

gráficas es:

A. 8 B. 6 C. 15 D. 16 E. 10

14. En la figura se muestran las gráficas de las funciones

f(x) = y g(x) = –x – m.

Determina el valor de m2.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 E. –2

1. Sea f x xx

22

11 una función definida para los ‘x’

que cumplen la relación x2 1 3, halla el interva-

lo donde varía f(x).

A. ]–2; –1] C. [2; 5] E. [3; 5,25[

B. [1; 2,25[ D. [2; 5,25[

2. Si el conjunto:

G = {(1; 5m – n); (0; 27); (1; 8); (0; 2m + 3n); (mn; m + n)}

representa a una función, calcula (mn + 1).

A. 44 B. 33 C. 24 D. 30 E. 22

3. El valor mínimo de la función h(x) = √x2 + x + 1 es ‘m’

y el valor máximo de la función f(x) = –3x2 + 6x – 1 es

‘n’. Entonces n

m

2

es:

A. B. C. D. E.

4. El rango de f xx

xx x

21 2 es:

A. –[–1; 1] C. ]0; ∞[ E. ]–1; ∞[

B. –]–1; 1[ D. ]–∞; 0[

5. Determina el conjunto de los valores del número real

‘r’, tal que la función f(x) = (rx2 – 2rx + 1)–1este defini-

da en [0; 1].

A. ]–8; 0] C. [1; ∞[ E. ]0; ∞[

B. [1; 0[ D. ]–∞; 1[

6. La población de venados de una región esta dado

por la función v t) = –t4 + 21t2 + 100, donde t es el

tiempo en años. Entonces, el intervalo de tiempo

donde ocurre la población máxima de venados es:

A. [0; 1] C. [4; 5] E. [3; 4]

B. [2; 3] D. [1; 2]

7. Si G se define por: g xx x4 2 22x2; ;

x x1 2;

Entonces la suma de los elementos del rango de g,

es:

A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 E. 35

UNI 2001 – II

UNI 2002 – II

UNI 2007 – II

UNI 2002 – II

UNI 2004 – I

UNI 2003 – I

3

4

16

3

3

16

4

3

1

x

x2

8

8

3

y

f

g0

54

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Funciones II

7. Sea la función f(x) = 4 + 3

4 − 3sen x , definida en el

intervalo ]270°; 360°]. Entonces los valores mínimos y

máximos de la función son respectivamente:

A. −1 y 5 C. 37/11 y 5 E. 53/11 Y 5

B. −1 y 0 D. 5 y 7

8. Dada la siguiente función:

f(x) = 4√x − x; x [0;1]. Halla la función inversa f−1.

A. f−1(x) = (2 − √4 − x)2 D. f−1(x) = (3 + √4 − x)2

B. f−1(x) = (3 − √4 − x)2 E. f−1(x) = (4 − √4 − x)2

C. f−1(x) = (2 + √4 − x)2

9. Halla la función inversa de f(x) = √x + x; x ≥ 4.

A. f−1(x) = 2x − 1 − √1 + 3x

2 , x ≥ 6

B. f−1(x) = 2x − 1 + √1 + 3x

2 , x ≥ 4

C. f−1(x) = 2x + 1 − √1 + 4x

2 , x ≥ 6

D. f−1(x) = 2x + 1 + √1 + 4x

2 , x ≤ 6

E. f−1(x) = 2x + 1 − √1 + 3x

2 , x ≥ 8

10. Dada la función f, definida por:

f(x) = (|x − 5| + 1 + x)√5 − x

Determina la función inversa de f.

A. f−1(x) = 1

36(180 − x2); x ≥ 0

B. f−1(x) = 1

25(130 − x2); x ≥ 0

C. f−1(x) = 1

16(100 − x2); x ≥ 0

D. f−1(x) = 1

4(150 − x2); x ≥ 0

E. f−1(x) = 1

3(85 − x2); x ≥ 0

1. Sea h(t) = 1; t ≥ 0

0; t < 0

Si definimos g(t) = h(t + 2) – h(t − 2), entonces se

cumple que:

A. g(t) = 1; t < 1

1; 1 < t < 2

0; t > 2

D. g(t) = 0; t ≤ 1

1; 1 < t < 2

0; t ≥ 2

B. g(t) = 0; t < 1

1; 1 ≤ t < 2

0; t ≥ 2

E. g(t) = 0; t ≤ −2

1; −2 < t < 2

0; t ≥ 2

C. g(t) = 0; t < −2

1; −2 ≤ t < 2

0; t ≥ 2

2. Sea la función f: 1; , tal que f(x): números

primos menores o iguales a “x”.

Si g(x) = x2 ∙ f(√2) + 3f(8)

x + f(f(f(23))) , entonces f(g(4)) es igual a:

A. 0 B. 1 C. 17/7 D. 13/5 E. 3

3. Si f y g son dos funciones afines tales que f(2) = 8,

g(1) = 2 y f(g(2)) = 14, determina el valor de

(f o g)/(3).

A. 10 B. 14 C. 16 D. 18 E. 20

4. Determina el valor de verdad de las afirmaciones:

I. Si x1 = x2 f(x1) = f(x2) para toda función f.

II. Si f(x) = 3

ax − 4; x [−2; 4], entonces f es una fun-

ción sobreyectiva sobre x [−2; 2[.

III. Toda función par es univalente.

A. VVV B. VVF C. FVF D. FFV E. VFF

5. Halla una función f: <a; b> <0; 1>, a < b, que sea

biyectiva y decreciente.

A. f(x) = x − a

b − aC. f(x) =

b − x

b − aE. f(x) = 1 +

x − a

b − a

B. f(x) = x + b

a + bD. f(x) =

x − b

b − a

6. Se define la función f de la siguiente forma:

f(x) = − x; x < 0

− x2; x ≥ 0

Halla el valor de E = f −1(−4) + f −1(4)

A. 0 B. 2 C. −2 D. 3 E. −3

UNI 2003 - l

UNI 2003 - Il

UNI 2005 - Il

UNI 2002 - Il

UNI 2004 - I

55

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orm

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.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Sucesiones

6. Sea {xn}n≥1

una sucesión definida por

para todo n ≥ 2.

Determina el valor de .

7. Determina el valor de convergencia de la sucesión

8. Sea la sucesión .

¿A partir de qué término de la sucesión, la diferencia

de dos términos consecutivos es menor que ?

A. a3 B. a4 C. a5 D. a6 E. a7

9. Sea la sucesión {an}, de la que se muestra los cuatro

primeros términos:

¿A partir de qué lugar, los términos de la sucesión,

son menores que 0,81?

A. a20 B. a21 C. a22 D. a18 E. a19

10. Determina el valor de verdad de las siguientes afir-

maciones:

A. FVV B. FFV C. VFF D. VVV E. FFF

11. Sean las sucesiones de igual valor de

convergencia:

Determina el valor de

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

1. Sea la sucesión S0; S1; S2; …; Sk; …, donde S0 = 49;

Luego, la suma de las cifras del producto de los tér-

minos de todos los términos de la ecuación será

igual a:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

2. Sea la sucesión de números reales

Se sabe que x5 = 4,5; entonces x105 será igual a:

A. 4,5 C. 4,55 E. 4,555

B. 4,5555 D. 4,555555

3. Asume que la función f dada por:

(Los puntos suspensivos indican un proceso infini-

to).

Entonces, también se puede escribir:

4. Sean las sucesiones S y P, donde:

Entonces los límites a los que convergen las sucesio-

nes S y P, son respectivamente:

A. 0; 0 B. 0; 1 C. ; 1 D. 0; E. ;

5. Sean a y b números reales. Se cumple que

UNI 2003 – I

UNI 2004 – II

UNI 2007 – I

UNI 2008 – I

UNI 2003 – I

S = 7; S = 7;...; Sk = , para k 2. 1 2 7

1

1k k

20 251

2

kxx, kk

xk2, para k = 0; 1; 2; 3; ...

f x x a x a x2 21 2 1 2 1 2

2 2

2 2 2

2 2A f x a x D f x a x

B f x a a x E f x a a

. .

. . xx

C f x a a x. 2

S S S S Sk

S kk k; ; ; ; ...; ; ;0 1 2 3 2 1 21 0 01

2

10 2

PP P P P Pk

P kk k0 1 2 3 2 1 21 7 01

2

11 2; ; ; ; ...; ; ;

x ax b nn n1 0; ;; ; ; ; ...1 2 3

. , ,11

110 0A x n x b si a y x a x

a

ab si an n

nn

BB x x nb si a y x a xa

ab si a

C x nx b

n nn

n

nn

. , ,

. ,

0 0

0

11

11

ssi a y x a xa

ab si a

D x n x b si a y x a

nn

n

n n

11

11

1

0

0

,

. , xxa

ab si a

n

0

1

11,

x n x nb si a y x a xn n0 01 1 11

,a

ab si a

n

11,E.

x m m y x x nn n1 1 2 1

Am m

C m E m

B m D m

1

22 1

1

. . .

. .

5nn n n

n n

2 2 63

2

2 3 27

5 3 2

an n 11

1

2 3, .a

n

nn

1

100

A C E

B D

1

3

3

51

2

3

2

5

. . .

. .

x m

5

5

9

10

13

15

17

20; ; ; ;

2

1

2 1.I

n

n

n

n

n

n

IIn

nes creciente

III es

1

21

1

1

1 1

es acotada.

. .

. ccons tetan .

n a

ny

n

n

n a

n

bn

1

3

2

3

1 n 1

ab

3.

esta bien definida.

56

ÁLGEBRA Series

8. Una pelota cae de una altura de 30 m y rebota de

la distancia desde la cual cae. Si continúa cayendo

y rebotando de manera similar hasta quedar en re-

poso. ¿Cuál es la distancia (en metros), aproximada

que recorre la pelota?

A. 96 B. 108 C. 117 D. 120 E. 144

9. Consideremos un cuadrado de lado igual a la uni-

dad si se unen los puntos medios de sus lados (por

segmentos) se obtiene otro cuadrado si a continua-

ción se unen los puntos medios e este cuadrado se

obtiene un segundo cuadrado y el procedimiento

puede continuar. ¿Cuántas veces, como mínimo se

deben unir los puntos medios de un cuadrado para

que los cuadrados obtenidos sean de área menor o

igual a .

A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 E. 26

10. La suma finita Sk

1

5 12

1

12 19

1

19 26( ) ( ) ( )...

tiene k sumandos. Entonces Sk es igual a:

A.

B.

C.

D.

E.

11. Si1

0e

!

11

1

1

2

1

3

1

4! ! ! !... calcula:

3

1

4

2

5

3

6

4

7

5( )

! ! ! ! !...F e

A. 3e – 4 C. 3e – 2 E. 3e

B. 3e – 3 D. 3e – 1

12. Halla el menor valor entero positivo para k tal que

T=1( )!

n

nn k

1

500

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 E. 9

13. Sea an = 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n halla el valor de .

A. 9 131 C. 9 915 E. 9 925

B. 9 320 D. 9 920

35

188

k

k

1

7

1

5

2

7 5

1

7

1

5

2

2 5

1

7

1

5

3

2 5

1

7

1

5

1

7 5

k

k

1

7

1

5

1

2 5k

1

30

S ann

.

1. El valor de la expresión D1

2

2

3

1

4

2

9

1

8

2

27...

es:

A. –1 B. –1/6 C. 0 D. 1/6 E. 1

2. La suma de la serie k

1

3

1

8

1

15

1

12... ... tiende a:

A. ∞ B. 1/4 C. 3/4 D. 1/2 E. 1

3. Sean (a1; a2; a3) y (b1; b2; b3) los tres primeros térmi-

nos de una sucesión aritmética y una geométrica

respectivamente, tales que a2 – b2 = |a3 – b3| = 0,4

Si la razón aritmética es 2 y la razón geométrica es

1/2 entonces el valor de b1 asociado al menor valor

posible de a1 es:

A. –4,8 B. –8 C. –11,2 D. –14,4 E. –17,6

4. Se tienen cuatro números, tales que los tres primeros

están en progresión geométrica y los tres últimos en

progresión aritmética de razón seis, siendo el primer

número igual al cuarto. La suma de los cuatro nú-

meros es:

A. 22 B. 18 C. 14 D. 16 E. 20

5. Dada la sucesión de término general Sn = √n + 1 – √n

entonces se puede decir que:

A. Sn converge a 0

B. Sn converge a 2

C. Sn diverge

D. Sn converge a 1

E. Sn converge a “n”

6. Determina el valor de S nk

2

4 12( )

1

2 11 nk

n.

A. C. E.

B. D.

7. Para la sucesión definida por 1

2 11

2Sk kn

k,, k 1

se puede afirmar que:

A. 1 Sk

B. 1/4 Sk < 1/2

C.1/8 Sk < 1/2

D. 1/2 Sk < 1

E. 1/2 < Sk 1

n 2n + 1

2n 3n + 1

3n 2n + 1

2n – 1 2n + 1

n + 1 2n + 1

UNI 2001 - I

UNI 2001 - II

UNI 2002 - I

UNI 2003 - II

UNI 2004 - II

UNI 2005 - I

UNI 2006 - II

57

FactorizaciónALGEBRAÁLGEBRA Exponente, radicales y ecuaciones exponenciales

1. Si se sabe que:

A = {(X1)2}4

∙ {(X2)4}8

∙ {(X3)6}12

... n factores.

B = {(X1)3}9

∙ {(X2)6}18

∙ {(X3)9}27

... n factores, con x > 0.

Entonces, se puede afirmar:

A. A2 = B2 C. 4 A = 4 B E. 27 A = 9 B

B. A4 = B9 D. A27 = B9

2. Si se sabe que (m + n = m ∙ n)/m n ,

calcula x, si x–x m

= m2n 2

n4

A. 2–1 C. 2/2 E. 2 2

B. 4 D. ( 2/2) 3/2

3. ¿Cuántos radicales debemos tomar en la expresión

x3! 3 x4! 4 x5!... (n + 1)

x(n + 2)! de modo que el exponente

final de x sea 297? x – {1}

A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 D. 24

4. Simplifica: 2 x 2 + 1 2 x3 – 2 2 x1 – 5 2 2 x8 – 2

A. 2x B. x2 C. 0 D. 2 E. x

5. Si x + y + z = xyz, calcula el valor de:

R =

A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/4 E. 4

6. Calcula el valor de A, si:

A =

A. –1 B. 3 C. –3 D. 1/3 E. –1/3

7. Simplifica:

N =

A. 8m B. 1/8 C. 2 D. 4 E. 8

8. Indica el valor de w2 – w + 1 luego de resolver:

81[16 ]

= 4 34 2w + 3

A. 13 B. 5 C. –7 D. 9 E. –11

9. Calcula el valor de ‘x’ en (2x – 3) ∙ 2(2x – 3) = 26.

A. B. C. D. E.

10. Si a3/2 = 16 y b = 8, calcula:

P =

A. 4 B. 2 C. 8 D. 1 E. 16

11. Si se sabe que:

m = ( 3 x2 3

x2... )( 4 x3 4

x3... )...( m + 2 xm + 1 m + 2

xm + 1... )

Calcula el valor aproximado de ‘x’ en función de ‘m’.

A. m B. mm C. m D. 1/m E. m2

12. Determina el valor de –x–x–x + xx ∙ , cuando

x = 2–100.

A. 0 B. 1 C. –1 D. 1/64 E. 2–200

13. Sabiendo que x e y verifican la igualdad xy + x + y = 1,

calcula el valor de:

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 E. 8

14. Al simplificar M = , es

equivalente a:

A. n2 B. 2n n C. nn n D. n E. 1

15. Si x x = 3, calcula P = x

1/2

xx.

A. 3 B. 9 C. 1 D. 18 E. 16

√

√

√

√ √

√

√ √

√ √√

x 2y + z +

y 2x + z +

z 2y + x

2xy + 2yz + 2xz

√ √√

m – 18m + 8m

8m – 1 + m – 1

8

√

√

(–9–2–1

)(–243–0,2)–1

(81–4–2–1

)(–( )–3–1)1

27

w + 1

2

√√

1

2

3

2

5

2

7

2

1m

9

2

a–23 ∙ b3–2

a–32 ∙ b–239

√ √ √

x–xx+ xx–x

x–x–x+ xxx[ ]

(x –y)–1

3 –xy( )y + 1

4x + 1

x + 1 4y + 1

√

√( )

√

√n n nn n ∙ n nn n

nn∙

nnn2 – 1

√

√√

√

√

58

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Logaritmo I

9. Sea a > 0, x > 0 y, además,

( ) ( ) ,log log

7 5 07 5

x xa a determina el valor de ‘x’.

A C E

B D

. . .

. .

1

37

1

27

1

25

1

35

1

36

10. Determina el valor de ‘x’ en:

log ( ) log ( )31

311 2 1x x

A. 2 C. 6 E. 8

B. 4 D. 7

11. Sea la ecuación:

Determina el o los valores que debe tomar ‘n’ para

que solo exista una raíz real.

A. 10 000 D. 45 000

B. 20 000 E. 60 000

C. 15 000

12. Calcula el valor de ‘x’ en la siguiente ecuación:

A e C e E e

B e D e

. . .

. .

11

9

11

3

11

9

3

11

9

11

13. Resuelve el siguiente sistema:

El valor de x es:

A. e C. 2e E. e–1

B. e2 D. 3e

14. Resuelve el siguiente sistema:

El valor de x es:

A. e2 C. 3e E. e–3

B. e–6 D. e3

1. Halla el número de raíces que tiene la ecuación

log22 5 0x x . Tipo UNI 2003 – I

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

2. Las soluciones reales de la ecuación

log52 20 3x x , son: Tipo UNI 2003 – II

A. No existen. D. Únicamente x = 25

B. Únicamente x = 5 E. x1 = 5 y x2 = 25

C. x1 = −5 y x2 = 25

3. Dada la ecuación:

log loglog

2 1 110

x x nn n

Halla ‘x’, sabiendo que ‘n’ es cualquier entero positi-

vo y ‘log’ es el logaritmo en base 10.

Tipo UNI 2004 – I

A. 6 C. 4 E. 3/2

B. 3 D. 2

4. Determina la base “a” tal que loga 271

2.


A B C D E. . . . .1

243

1

81

1

27

1

9

1

3

5. Al resolver la ecuación

x xxlog log log1424 1424 14241 2 712 72

se puede decir que el número de soluciones es:


A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

6. La suma de los cuadrados de dos números es 29 y

la suma de sus logaritmos (en base 10) es 1. Dichos

números son: Tipo UNI 2007 – II

A. −2 y 5 C. 4 y 5 E. 2 y 5

B. 2 y −5 D. 3 y 20

7. Si log56 = a y log123 = b, calcula log53.

Aab

aC

ab

aE

ab

b

Bab

bD

b

ab

. . .

. .

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

8. Los valores de ‘x’ que satisfacen a la ecuación

2 4 801x x , son:

A y C Solo E Solo

B Solo D y

.log

.log

. –

. .lo

31

2

1

23

3 31

gg 2

59

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Logaritmo II

8. Dada la función , determina el

valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

I. La función f es creciente.

II. [0; 1] Dom (f)

III. No existe la función f.

A. FVF B. VFF C. FFV D. VVV E. FFF

9. El sistema se verifica para todo x

perteneciente a:

A C E

B D

. ; . ; . ;

. ; . ;

1

20

1

21 1 1

2 0 2 2

10. Determina la gráfica de f x co x( ) log ( )1

2 22 .

A. D.

B. E.

C.

11. Resuelve la inecuación .

A. C. <11; +∞> E. <12; +∞>

B. <–∞; –12> D. <–12; +∞>

12. Determina el conjunto solución de la siguiente ine-

cuación:

A C E

B D

. log ( / ); . log / ; .

. ; . ;

2 29 4 2 3 2 4

2 8 2 5

1. El conjunto solución de la inecuación

es:

A D

B

. ; . ;

. ;

3

23

3

23

3

23 E

C

.

. ;3

23

2. Al resolver la desigualdad

determina la suma de todos los números x enteros

que la satisfacen.

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

3. El conjunto de los números reales que satisface la

inecuación log6 3 3 1 1x x es:

A x x D x x

B x x x x

. / . /

. / /

1 0 0 3

3 15 30 E x x

C x x x x

. /

. / /

1 15

1 0 3 15

4. Se define la función f por f x x xlog724 2 8 1 .

Determina el dominio maximal.

A. <–∞, –3] D. <–∞; –3] [5; ∞>

B. <5; ∞> E. <–∞; –2> <4; ∞>

C. [–3; 5]

5. Si el conjunto solución de la inecuación

log log x1

2

112 5 0( ( )) tiene la forma

a b b a; ; , determina (a + b2).

A. 1 C. 3 E. 5

B. 2 D. 4

6. Sea A x og x og x/ ( ) ( )1

2

1

2

3 2

Entonces:

A. x < 1 C. x < 3 E. x > 6

B. x > 4 D. x > 3

7. Resuelve la inecuación logarítmica log x log x3 33 4 2 1 1( ) ( ) .

Si <a; b> es el conjunto solución de la inecuación,

entonces 2a + 3b, es:

A. 7 C. 9 E. 12

B. 8 D. 10

Tipo UNI 2005 – I

log3 3 4 2x

Tipo UNI 2006 – I


f x log xx( ) ( )2 9 4 1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x / log (x – 3) ≥ log (x – 2)1

2

1

2

60

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Polinomios

8. Si el polinomio

es homogéneo y ordenado respecto a ‘x’, calcula el

valor de a + b a b .

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 E. 6

9. Sean las funciones F(x) = x4 + 6x2 + 10 y

F(G(x)) = x6 – 8x3 + 17 definidas x ≤ 1.

Calcula G(–2).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

10. Si se cumple que F(y) = 1 + y + y2 + y3 + ..., además

y ]0; 1[, calcula F(1 – y).

A. 2y–1 B. 2y C. 3y D. 2 – y E. 1/y

11. Si F(x) = x – 2a y G(x) = 2x + a, además

F(G(x)) – G(F(x)) = F(G(a)) + 14, calcula el valor

de ‘a’.

A. 2 B. 6 C. 7 D. 12 E. 14

12. Sabiendo que

F(1) es:

A. Múltiplo de 13. D. Múltiplo de 17.

B. Múltiplo de 7. E. Un número primo.

C. Un número perfecto.

13.

calcula Q(P(–2)).

A. 0 C. −1 E. Depende de n.

B. 1 D. 2

14. determina

P(4) + P(5) + P(7) + P(11) + ...

A. 2 B. 4 C. 1/2 D. 1/4 E. ∞

15. Si F(x) = ex + x y F(3) = 1, calcula .

A. 1/e B. e C. –e D. (e )–3 E. –2

1. Si f(5x – 1) = 1 + 5x + 9x2 + 13x3 + ..., determina f(1,5).

A. 1 B. 1__2 C. 3__

2 D. 10 E. 1___

10

2. Se tiene los siguientes polinomios:

F(x) = ax3 + bx2 + cx + 3

Q(x) = 3x3 + cx2 + bx + a

donde se cumple que F(x + 2) + Q(x – 1) = 54 + 6x.

Según estas condiciones determina el valor de

T = 3(3a + b + c)

A. –54 B. 54 C. 18 D. –18 E. 3

3. Se define la expresión algebraica “g” en los enteros

con las siguientes propiedades:

I. g(0) ≠ 0

II. g(1) = 3

III. g(x) · g(y) = g(x + y) + g(x – y); x; y

Determina g(5).

A. 816 B. 815 C. 814 D. 813 E. 123

4.

calcula m + n, si {a; b; c; m; n}

A. 2 B. −3 C. 3 D. −4 E. 4

5.

A. 115 B. 13___5 C. 16___

5 D. 17___

5 E. 18___

5

6. El término independiente y el coeficiente principal

del polinomio

con a > 1, son iguales. Calcula el grado de P(x).

A. 13 B. 10 C. 16 D. 12 E. 15

7. Si el polinomio

es homogéneo, calcula

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Si x x x x ax bx c mx n4 12 13 24 3 2 22

,

Si G x G x G x G calcula G2 1 0 2 4; , ; ( ).

P x x x x x a x x a

x

a

a

3 2 7 5 2 7 2

8

2 3 2

2 224

7

P x y z x y za b c b c a c a b; ; 5 7 132 2 2 2 2 2

Fa b b c

c a

n n

n.

Si Px

x2

3 ,

P x y x y x y x y y esa b b ca

; 4 2 4 1 62 7 51

F x F x F x x x entonces1 1 42 186 1032 ,

Si P x x x x y

Q x x xn n

3 5 2 8

2 1 5 1

3 2

22 1

x x x

x x

n

n

9 1

2 9 1

F

F F

1

4 73

61

ÁLGEBRA Productos notables

1. Calcula el valor numérico de:

Para x = 31 + 5; y = 31 – 5.

A. 374,4 C. 764,8 E. 316,8

B. 75,25 D. 79,55

2. Reduce:

(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) –

A. C. E.

B. D.

3. Calcula E = (xm + m x–1)(m x + x–m), si

m + m–1 = 0.

A. 6 B. 4 C. 7 D. 3 E. 1

4. Si x + y + z = 1, halla el valor de:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 1/2 E. 1/3

5. Reduce:

T = [(x + 2)2 – 50]2 – [(x + 10)(x + 8)(x – 6)(x – 4)]

A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 E. 8

6. Si + + = 2 10, calcula:

K = + + + 30

A. 60 B. 80 C. 50 D. 70 E. 30

7. Si + = 2, calcula:

C =

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

8. Sea {a; b} , y (a + b)2 = 4(a – 3) – (b + 2)(b – 2).

Calcula:

E =

A. B. 4 C. –4 D. – E. 8

9. Calcula E = A + B + C, si x + y + z = 33, además:

A = (z2 – x2 – y2)

B = (x2 – y2 – z2)

C = (y2 – x2 – z2)

A. 33 B. 11 C. –66 D. –11 E. 66

10. Calcula K = xyz–1 + xzy–1 + yzx–1, si:

x3y3 + x3z3 + y3z3 = 30

xy + xz + yz = 3

xyz = 4

A. B. – C. D. E.

11. Calcula K = si:

=

= ; ab < 0 bc < 0

A. C. E.

B. D.

12. Efectúa:

y = (a + b + c)2 + (a + b – c)2 + (b + c – a)2 + (c + a – b)2

A. 2(a2 + b2 + c2) D. 4(a2 + b2 + c2)

B. a2 + b2 + c2 E. a3 + b3 + c3

C. 3(a2 + b2 + c2)

13. Si x y su inverso multiplicativo suman 3, calcula:

E = xx +

1/x

x1/x +

x

A. 10 B. 15 C. 40 D. 20 E. 60

[(a + b)3 – (a – b)3]b7

(6a2 + 2b2)(b – a)

ab

a + b

√ √

+ b – b

a(a + b)

c

3

c

3

√ √

b8

a – b

a8

b – a

b8

b – a

a8

a – b

b8

a + b

x3 + y3 + z3 + 3(xy + xz + yz) – 1

xyz

+ – 4x

x + y

y

x – y+

2x

x + y

y

x – y–

2x

(x + y)2

y

(x – y)2–

2 2

x + y

xy

y + z

yz

x + z

xz

1

x – y

1

y – z

1

z – x

(a + c)(b2 + c2)(a3 + b3)

(a2 + b2)

1

4

1

4

2

3

1

4

1

2

1

4

3

4

√

a + 3b

c – 5a

c – 5a

a + 3b

1

x – y

21

y – z

21

z – x

2

a5 + 32b5

2

a + 2b

2

5

168

1 331

168

131

188

1 331

186

1 331

188

131

1

x

1

x

8b3 + 1 331c3

2

2b + 11c

2

3

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o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

62

ÁLGEBRA Factorización

Halla la suma de sus factores primos.

A. 6x + 1 C. 6x + 2 E. 6x + 5

B. 6x D. 6x – 5

9. Si G(x) es un factor primo de P(x) = (x2 – 2x)2 + x2 – 2x – 2

tal que x , G(x) +, halla G(–1).

A. 1 B. 0 C. 7 D. 6 E. 5

10. ¿Cuántos factores primos presenta el polinomio

F(x; y) = x128 – y128?

A. 1 B. 6 C. 7 D. 8 E. más de 8.

11. Luego de factorizar P(y) = 1 + y + y2 + y3 + y4 +...+ y80,

determina el número de factores primos.

A. 3 B. 5 C. 7 D. 4 E. 6

12. Factoriza F(x) = x7 + x5 + x3 + x2 – 1 e indica uno de los

factores primos:

A. x4 + x + 1 C. x3 – x + 1 E. x3 – x – 1

B. x3 + x + 1 D. x4 – x + 1

13. Determina ‘m’ si los polinomios x3 + mx2 – 5x – 6 y

x3 + (m – 3)x2 – 17x – 15 tienen factores comunes.

A. –3 B. –1 C. 2 D. –3 y –1 E. –1 y 2

14. Factoriza 3x2(x – 1) + xy (3y – 2x + 4) – 2y3 – 3x2. Luego,

indica uno de sus factores:

A. 2y + 3x C. 3y + 2x E. x2 + y2 – 2x

B. (x2 + y2)2 D. x2 + y2 + 2x

15. Luego de factorizar (x – 1)4 + (x + 1)2 – 4x + 1, señala

la suma de sus factores primos.

A. 2x2 – 4 C. 2x2 + x + 2 E. 2x2 + 2

B. 2x2 – 4x + 4 D. 2x2 – x + 1

16. Si la suma de los factores primos de

A(x) = (x2 – 5x + 3)2 + 4x2 – 20x + 15 es m, calcula

(m2 – 19)0,5.

A. 9 B. 6 C. 5 D. 3 E. 2

1. Si f1 y f2 son los factores primos del polinomio

P(x) = x4 + 2x3 + 6x2 + 5x + 6, además f1 > f2, x ,

¿qué se puede afirmar acerca de 2f1 – f2?

A. Es un polinomio primo.

B. No es primo.

C.Es un monomio.

D. Tiene raíz cuadrada exacta.

E. Es negativo.

2. Indica la suma de coeficientes de un factor primo

del polinomio P(x) = (x – 1)3 –9(x – 1)2 –9x – 1.

A. 3 B. 2 C. –3 D. –10 E. –9

3. Indica el número de factores primos lineales del po-

linomio F(a; b) = 2a2b2 – a2 + 2b2 – 1sobre el campo

de los reales.

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. Ninguno

4. Si –2 es una raíz del polinomio G(x) = 2x3 + x2 + mx + 2 y

S(x) = ax + b es la suma de los factores primos, cal-

cula el valor de S(2).

A. 8 B. 6 C. 4 D. –6 E. 10

5. Indica un factor primo del polinomio

F(a; b) = (a2 + b2 – 4)2 – (a2 + b2)2 + (a2 – b2)2.

A. a + b + 2 C. a – b – 1 E. a – 2b + 2

B. a – b + 1 D. a + b – 3

6. Si el polinomio cuadrático P(x) = Ax2 + Bx + A se fac-

toriza sobre el conjunto de los enteros en la forma

P(x) = (2x – m)(x – n).

Calcula el mayor valor de B.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

7. La suma de coeficientes de un factor primo del poli-

nomio:

P(x; y) = ax2 + by2 + (a + b)xy + (a2 – b)x + (a – 1)by – ab

con ab ≠ 0, es:

A. a + b C. b + 2 E. b

B. 2 + a + b D. a

8. El polinomio P(x) = 6x2 – ax2 – 3x – 2, sobre el conjunto

de los enteros, tiene raíces: – ; b y c1

2

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o E

dito

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orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

63

ÁLGEBRA Ecuaciones I

8. El producto de las raíces reales de la ecuación

√x2 + 3x + 6 – 3x = x2 + 4 es:

A. –1 B. –2 C. 1 D. 2 E. 3

9. Las raíces de la ecuación x + √x – 2 = 4 son:

A. Solo x = 6 D. x = 60,5; x = 3

B. Solo x = 3 E. No existen soluciones

C. x = 3; x = 6

10. Si a y b son las raíces de x2 – 100x = –1, determina el

valor de T = √a + √b

A.√101 B. √102 C. √103 D. √104 E. √105

11. Si x1, x2 son raíces de la ecuación:

(a4 – b4)x2 + (b4 – c4)x = a4 – c4, a ≠ ±b; a, b, c ,

calcula el valor de P = x1x2 + x2

x1 – x1x2

A. a2 + b2 + c2 C. a2 b2 c2 E. 1

B. ab + ac + bc D. 0

12. Luego de resolver la ecuación:

(x + a + b + 2c)–1 – x–1 = (a + c)–1 + (b + c)–1 una de

sus raíces es:

A. 2a – c C. –a –c E. a – b + c

B. 2c – a2 D. –b +c

13. Si x1 y x2 son las raíces de x2 – x + 12 = 0, determina

Ex

x

x

x

x

x

x

x1

2

2

1

2

1

1

2

5

A. 1/2 B. 5/3 C. 3/2 D. 5 E. 0

14. Determina la suma de los cuadrados de las raíces

de la ecuación (2k + 2)x2 + (4 – k)x + k – 2 = 0, sabien-

do que las raíces son recíprocas.

A. – B. – C. D. E.

15. Calcula el mínimo valor de “n”, para el cual una de

las raíces de la ecuación nx2 – (n2 + 1)x + n = 0, es el

cuádruplo de la otra raíz.

A. 1 B. –1/2 C. –2 D. 2 E. 1/2

16. Determina el conjunto S definido mediante:

S xx

x

5 6

25 22 2 24

5 18

12 30

1

6

4 5

20 8

x

x x x

x

x x

A. {–1} B. 7

11C.

5

11D. 2

11E. 3

11

1. Calcula el valor de “x” que verifica:

14 14 43 3x x

A. 179 B.165 C. 170 D.169 E.150

2. Despeja “x”: 0x x ax

x xx x x;

A. 2 2

2 2

2 2

xa a

a D. x = (a + 1)2 + 1

B. 2

xa 2 2

2 2

2a

a E. x =

C. x = (a – 1)2 + 1

3. Determina el valor de “x” que satisface:

31 21 13 7 3 6x

y también satisface la igualdad:4 2

11

21

xx x

A. 0 D. No existe tal valor.

B. 2 E. Cualquier número diferente de 1.

C. 1

4. La ecuación: 13

xx

x 552

2 11

5 6

2

2xx x

x xA. Admite como solución x = 3.

B. Admite como solución x = 1.

C. Admite como solución x = 2.

D. Admite múltiples soluciones.

E. No admite solución.

5. Calcula el valor de “x” de la siguiente ecuación:

10(a + b)(b + x)(a + x) + ab = 10(a + b + x)(ab + ax + bx)

A. 0,1 B. 10 C.ab D. a + b E. –10

6. Los valores de “x” que satisfacen la ecuación:

√2x + 13 = √x + 3 + √x + 6, tienen la propiedad que

su suma es:

A. –14 B. –7 C. –9 D. –2 E. 7

7. Al resolver la siguiente ecuación: 2

89

2x x

x, el

cuadrado de una de sus raíces es:

A. B. C. 2 500 D. 5 184 E. 5 190


Tipo UNI 2007 – I

a + 1

a – 1

9

4

81

4

2

9

4

98

9

34

9

40

9

/

64

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orm

a S

.A.C

. P

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toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Ecuaciones II

8. Determina la mayor solución real de las ecuaciones

bicuadradas:

ax4 – bx2 – c = 0

bx4 – cx2 – a = 0

sabiendo que son equivalentes (tienen las mismas

soluciones).

A C E

B D

. . .

. .

4 2 51

22 2 5

1

21 5

1

22 2 5 2 2 3

9. Dada la ecuación bicuadrática:

(5m2 + 2)x4 – (4m4 + 9)x2 + 3(m2 + 2) = 0, si el pro-

ducto de sus cuatro raíces es 1, entonces la raíz de

mayor valor absoluto es:

A B C D E. . . . .1

3

2

3

3

3

4

3

6

3

10. Una de las soluciones de una ecuación bicuadrada

es 2, construir dicha ecuación, si el producto de sus

raíces es 64, sabiendo además que todas sus raíces

pertenecen a los enteros.

A. x4 + 20x2 + 64 = 0 D. x4 – 20x2 – 64 = 0

B. x4 + 20x2 – 64 = 0 E. x4 – 20x2 + 64 = 0

C. x4 – 25x2 + 60 = 0

11. Si la ecuación ax3 – 7x2 + 7x – a = 0 tiene dos raí-

ces enteras consecutivas, entonces el valor de

a2 + a + 3 es:

A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11

12. Sea la ecuación:

12x4 + 4x3 – 41x2 + 4x + 12 = 0

da como respuesta el producto de la mayor y de la

menor raíz.

A. –3 C. 2 E .3

B. –1 D. –2

13. Sea la ecuación bicuadrada:

x4 – ax2 + (a – 1) = 0(*) y el conjunto P = {a/(*) tiene

sólo raíces reales}, entonces P es igual a:

A. <1; 2> C. [1; +∞> E.

B. [2; +∞> D. <–∞; 2>

14. En la ecuación bicuadrada:

x4 – (m – 5)x2 + 9 = 0 el producto de tres de sus raíces

es 3, entonces el valor de m2 – 15m + 5 es:

A. 3 C. 5 E. 7

B. 4 D. 6

15. Si A = {x /12x4 + 91x3 + 194x2 + 91x + 12 = 0} halla

el número de elementos de este conjunto.

A. 1 C. 3 E. 5

B. 2 D. 4

1. La función polinomial , con

a + y tal que P(1) < 4 tiene dos raíces positivas

iguales, entonces un valor de a – b es:UNI 2001 – II

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

2. Dados los siguientes polinomios:

P(x) de grado 2 y término independiente 1; y

Q(x) = (x – 1) P(x) + 3x + 1

Si Q(2) = 7 y P(1) = 2, determina la suma de raíces

de Q(x). UNI 2004 – II

A. 0 B. 8/3 C. 10/3 D. 4 E. 5

3. Determina la verdad o falsedad de los siguientes

enunciados:

I. Sea P(x)=ax3 + bx2 +cx + d, a ≠ 0, d ≠ 0, si P tiene tres raí-

ces reales, entonces P(1/x) tendrá las mismas raíces.

II. Todo polinomio completo siempre tiene raíces

complejas y sus respectivas conjugadas.

III. Si la suma de las raíces de un polinomio es ra-

cional, entonces cada una de ellas también es

racional.

A. FFF B. FVV C. VFV D. VVF E. VVV

4. Sea P(x) = ax2 + bx + c, tal que P(1) = −2 , P(2) = 3 y

P(5) = 34, determina un valor de x* de modo que

P(x*) = 0. UNI 2007 – I

A C

B D

. .

. .

3 34

8

3 17

8

3 217

8

217 3

8

5. Luego de resolver la ecuación:

6x4 – 25x3 + 12x2 + 25x + 6 = 0

determina el valor de verdad de las siguientes pro-

posiciones:

I. Las raíces son recíprocas.

II. Las raíces no son recíprocas.

III. Dos de sus raíces suman 5/2.

IV. Todas sus raíces son reales.

A. FVVV B. FFVV C. VVFF D. VVVF E. FFFV

6. Si y xx

1, entonces la ecuación:

x4 + x3 – 4x2 + x + 1 = 0, se transforma en:

A. y2 – 2y + 6 = 0 D. x2(y2 + y – 6) = 0

B. y2 – y – 6 = 0 E. x2(y2 – y + 6) = 0

C. x2(y2 + 2y + 6) = 0

7. Dada la ecuación bicuadrada mx4 + nx2 + 36 = 0 de

raíces 3 y(n + 15), calcula el menor valor que toma n.

A. 17 B. –16,7 C. 15 D. –4,3 E. –13

P ax bx b ax( )3 2

E.217 3

8

65

ÁLGEBRA©

Gru

po

Ed

itoria

l Nor

ma

S.A

.C.

Pro

hib

ido

foto

cop

iar.

D.L

. 82

2

7. Determina el valor de ‘a’ para que el sistema tenga

solución única.

A. a – {±2} D. a – {±3}

B. a – {±1} E. a = ±2

C.

8. Dado el sistema:

¿Para qué valor del parámetro el sistema en x e y

es compatible indeterminado?

A. Únicamente si = –1 D. Solo si = 0

B. Únicamente si = 1 y = –1 E. Si = –1 y = 0

C. Solo cuando = 1

9. Al resolver el sistema

se determina que el valor de x excede a ‘y’ en 3

unidades. Entonces, el valor de ‘m’ es:

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

10. ¿Para qué valor de ‘a’, el sistema es

inconsistente?

A. –2 B. – 3__2 C. –1 D. 0 E. 1

11. Si x, y, z son los valores que satisfacen el sistema

halla el valor de x2z2 + y2.

A. 3 B. 3__4 C. 4__

3 D. 1__

3 E. 4

12. Al resolver el sistema

da el número de soluciones reales.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

1. Dado el sistema

Si 2y > x, entonces el valor de x__y es:

A. 1 B. 1,5 C. 2 D. E. 3

2. Del sistema siguiente:

halla log yx.

A. 1__2 B. 2__

3 C. 3__

2 D. 2 E. 4

3. El conjunto de soluciones del siguiente sistema:

para r > 0, es:

A.

B. Un conjunto unitario.

C. Un conjunto con dos elementos.

D. Un conjunto con tres elementos.

E. Un conjunto con cuatro elementos.

4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

A. (−4; 2) y (−2; 4) D. (4; 2) y (−2; 4)

B. (−4; −2) y (−2; 4) E. (4; −2) y (−4; −2)

C. (4; 2) y (−4; −2)

5. Si xy_______

5x + 4y = 6; xz_______

3x + 2z = 8;

yz_______3y + 5z

= 6; determina

el valor de E = y_____

x – z .

A. 5 B. 15___2 C. 10 D. 25___

2 E. 25

6. Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

El valor de x + y es igual a:

A. −1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3

UNI 2001 - 1

UNI 2002 - I

UNI 2003 - II

UNI 2004 - I

UNI 2004 - II

UNI 2007 - II

Sistemas de ecuaciones

x y

x y

2 24 25

2 7

3 2 11

3 2 41

1

1

x y

x y

x y r

x y r

2 2 2

2 5 18 0

12 0

2 2

2

x xy y

xy y

4

1

5

2 3

5

2

3

1

1

2 3

7

5

x y x y

x y x y

ax y

x ay

4 2

4

x y

x y

12

3 5

2 3 3 1

x y m

x y m

x ay a

x y2 3 1

1

1

1

1

1

14

1

1

1

1

1

12

2

1

1

2

2

2

x y z

x y z

x y 11

2

19

z

x x y y

x xy y

3 3 3 3 17

5

8

3

66

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Determinantes

Indica cuál(es) de los siguientes enunciados son co-

rrectos:

I. II. III.

A. Solo I B. I y II C. Solo II D. I y III E. I, II y III

8. Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyo deter-

minante es d (d ≠ 0). Si B = An y la matriz C se obtiene

multiplicando por d a la tercera y cuarta fila de la

matriz B, calcula el valor del det(ABC).

A. dn B. dn + 2 C. d2n + 3 D. dn(n + 2) E. d2n(n + 2)

9. Calcula An n si

A. n! C. (–1)nn! E. (–1)n – 1n!

B. (–1)n(n + 1)! D. 0

10. Sea B la matriz definida por:

Calcula B .

A. −189 B. −180 C. 180 D. 189 E. 200

11. Sea A la matriz definida por:

Entonces, el valor de det(A) es:

A. x3y B. xy3 C. x3y3 D. 8x3y E. 16xy3

12. Se definen las matrices:

Determina el valor de ‘x’, tal que

2A – B = 8x2 – 20x – 4

A. 2 B. 1 C. −2 D. 3 E. −3

1. Sean a y b números enteros positivos pares; con es-

tos números se forma la matriz:

Si det(A + 1) = 12 (I: matriz identidad),

halla el determinante de la matriz .

A. −12 B. −10 C. 10 D. 12 E. 16

2. El valor del determinante de es:

A. (a – b)(b – c)(c – a) D. (a – b)(c – b)(c + a)

B. (b – a)(b + c)(a – c) E. (a + b)(b – c)(a – c)

C. (a – b)(b – c)(a – c)

3. Dada la matriz ,

calcula F(1) + F(2) + F(3) + … + F(20).

A. 155 B. 205 C. 570 D. 1 050 E. 1 070

4. Sean A y B dos matrices de orden 3 × 3,

donde A = 5 y B = 2. Determina el valor de:

A. 250 000 C. 256 000 E. 100 000

B. 120 000 D. 300 000

5. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 × 4,

con A = 2. Determina el valor de

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32

6. Determina el mayor valor que debe tomar ‘k’ para

que la matriz no tenga inversa.

A. 1 – √__5 C. 1 – √

__3 E. 1 + √

__2

B. 1 + √__3 D. 1 + √

__5

7. Los polinomios P(x) = ax2 + bx + c; a; b;

c Q(x) = x3 – 1 tienen una raíz común.

Tipo UNI 2002 - II

Tipo UNI 2004 - II

A

a b a

b

0 1 2

1 1

a b

b b

22

F

a a

b b

c c

2

2

2

1

1

1

F xx

x

x

x x

1

3 1

4

1

EA B A

AB

T T T2

A A AT T12 .

A

k

k

k

1 1

0 2

4 0

a b c

b c a

c a b

a b c

a c b

a a a

0 0

A a ai i j

n i j nij ij/;

; ;

B

1 2 3 4

1 2 0 1

4 6 0 3

2 1 0 5

A

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y x y

x y x yy x y x y

A x

x

B x

1 2 1

1 0

0 2 1

1 2 0

1 2 1

3 2 1

a b c

b a c

c b c

= 0

67

ÁLGEBRA Matrices

A.

B.

C.

D.

E.

6. Sean las matrices 1 1

1 3A y B

a b

c d, tal que

1 0

0 1AB . Entonces el valor de a + b + c + d es:

A. –1 B. 0 C. –2 D. 1 E. 2

7. Similarmente al caso de los números reales, se dice

que la matriz M es la raíz cuadrada de la matriz N, si

M2 = N. Entonces, el valor de ‘x’ para el cual la matriz 7 16

7xes la raíz cuadrada de

1 0

0 1.

A. 0 B. 3 C. –16 D. 16 E.

8. Sean las matrices 2 1

3 1A y

1

5B

a

c, tal que

AB = BA. Calcula el valor de (a + c).

A. 1/4 B. 1/2 C. 1 D. 2 E. 3

9. Sea Y un número real no nulo. Calcula (E + L) – (T + U)

si E, L, T y U, satisfacen: 0Y

T U

E L

T U

Y

E L

0.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

10. Sea la matriz A

1 5 1

0 2 7

0 0 3

, entonces la suma de los

elementos de la diagonal de A10 es:

A. 40 230 B. 66 C. 60 014 D. 60 074 E. 106

1. Dadas las matrices C1 0

1 1 y D

1 1

0 1, se pue-

de afirmar que C8D9 es:

A. 1 8

9 7 C.

1 8

9 71 E.

1 8

9 72

B. 1 9

8 73 D.

1 9

88 71

2. Dada la matriz Msen

sen sen

2 2

2 2

2

2

cos, entonces la

matriz M3 es igual a:

A. M B. 2M C. 3M D. 4M E. 8M

3. Sea A

1 0 0

1 1 0

1 1 1

una matriz, entonces la matriz A49

esta representada por:

A.

1 0 0

49 11 0

989 49 1

D.

1 0 0

49 1 0

1127 49 1

B.

1 0 0

49 1 0

1 080 49 1

E.

1 0 0

49 1 0

1274 49 1

C.

1 0 0

49 1 0

1225 49 1

4. Sean las matrices:

UU V Q U V

dond

1 2 1

2 4 2

1 2 1

1 0 1

0 0 0

1 0 1

, ,

ee y

Los valores y para los cuales existen los números

p y q, tales que, simultáneamente, se cumpla

Q p Q q

1

2

1

1

2

1

1

0

1

1

0

1

, , son:

A. Solamente = = 0

B. Solamente = 0 y arbitrario.

C. Solamente = 0 y arbitrario.

D. No existen tales números.

E. y son arbitrarios.

5. El valor de

1 3 0 0

0 1 2 1 2

0 0 1 2

1000

es:



UNI 2006 – I

Tipo UNI 2004 – I

UNI 2005 – II

UNI 2005 – I


UNI 2002 – II

UNI 2003 – I

.

1 3 0 0

0 1 2 1 2

0 0 1 2

1 3 0 0

0 1 2 1000 1 2

1 000

1000

1000 11000

10000 0 1 2

1 3 0 0

0 500 500

0 0 1 2

1000 3 0 00

0 1 2 1000 2

0 0 1 2

1000 3 0 0

0 500 500

0 0

1 000 1000

1 000

5500

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.A.C

. P

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.L.

822

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o E

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rial N

orm

a S

.A.C

. P

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o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

68

ÁLGEBRA Desigualdades e inecuaciones

7. Sea el intervalo cerrado [a; b] el complemento del con-

junto solución de la desigualdad x2 – (√2 + √2)x + 2 > 0.

Sea también |w – a6| 3 y |z –b6| 5. Entonces la

longitud del intervalo que recorre la variable real

(w + z) es:

A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 E. 16

8. Halla la intersección de los conjuntos

P = { x /x2 – 2x + a 0 } y

Q = { x /x2 – ax – 2a2 0 }, donde a < 1.

A. [–a; 1 – √1 – a] [1 + √1 – a; 2a]

B. ]–∞; 1 – √1 – a]

C. ]–a; 1 – √1 – a]

D. ]1 + √1 – a; ∞]

E. Ø

9. Luego de resolver la inecuación

x4 + 35x2 + 24 > 10x3 + 50x, determina la suma de los

valores enteros del complemento de A, si A es el con-

junto solución de la inecuación.

A. 8 B. 11 C. 12 D. 10 E. 9

10. Siendo a < 0 < b, indica la verdad (V) o falsedad (F)

de cada una de las siguientes proposiciones:

I. a b

ab0

II. a b

b a0

2

III. a b ab a b33 3

A. VVF B. VFV C. FVF D. FVV E. VVV

11. Si x e y se cumple x2 + y2 = 1. Entonces, de

T x y1

2se afirma:

I. T 0 2;

II. T2

42;

III. T2

2

2

2;

¿Cuáles de las afirmaciones son ciertas?

A. Solo I C. Solo III E. Solo II y III

B. Solo II D. Solo I y II

1. Determina el valor de verdad de las proposiciones

siguientes:

( ) Sea .

( ) Sea : .

( ) Si mínimo

.

A. VVV B. VVF C. FFV D. FVV E. FFF

2. Si a; b; c son números reales positivos tal que: a

a

b

b

c

c a b c

1

2

1

2

1

2

1 1 1, calcula

T = a2 + b2 + c2

A. 12 B. 3 C. 6 D. 27 E. 8

3. Si la inecuación x4 2xx

x xt

2

2 1 se verifica para todo

valor real de ‘x’, determina el intervalo al cual perte-

nece ‘t’.

A. ]5; ∞[ C. ]– ∞; 3[ E. ]3; 9[

B. ]3; ∞[ D. ]– ∞; 2[

4. Dadas las siguientes proposiciones, ¿cuáles son ver-

daderas?

I. Si a; b /a > 0 b < 1 ab + a + 1) es siempre

mayor que 1.

II. Si a; b + el máximo valor que toma ab

a b ab2 2

5

3es 1.

III.Si 3 + a2 – a4 < M, a entonces el menor valor

entero de M es 3.

A. FFF B. VFF C. FVF D. VVF E. VVV

5. Calcula el conjunto solución de la inecuación:

x x2 22 4 2 0.

A. C. E.

B. D.

6. Determina el valor de verdad de la afirmaciones:

I. Si

II. Si

III.Si

A. FVV B. FVF C. FFV D. FFF E. VVV

UNI 2005 – II

UNI 2006 – I

UNI 2007 – II

UNI 2005 – II

UNI 2002 – II

a b c; ;

a b c; ; a b c ab ac bc2 2 2

a b c2 3 2

a b c2

7; ;

de a b c es2 2 2

a b cabc

33

13

4

3

4

11

;

44

3

4;

9

4

3

4

13

4

5

4

;

;

11

4

5

4;

1;x 553

2 50 1

0 416

21 0

1

33

x

xx

x

xx

xx x

;

;

35

6

34

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dito

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orm

a S

.A.C

. P

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pia

r. D

.L.

822

69

ÁLGEBRA Complejos

A. Un círculo

B. Una circunferencia

C. Una elipse

D. Una parábola

E. Una hipérbola

8. Si n = 8k y k +, calcula el valor de

R i in n

1

2

1

2

1

2

1

2.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

9. Sea z un número complejo. Resuelve la ecuación

z2 + z – 2 = –2 y señala la suma de los módulos de

todas las raíces (lm(z) ≠ 0).

A. B. C. 1 D. 2 E. 3

10. Si z es un número complejo cuyo módulo es √5, tal

que al multiplicar z por el cubo de (2 + i)se obtienen

un imaginario puro y negativo, entonces el complejo

z es:

A. C. E.

B. D.

11. Determina (x – y) en:

1 2 1 2i i x i i i y i con x e y,

A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2

12. Dado el complejo 1

zx i

xix, , determina x si el

afijo de z está en la bisectriz del 3er cuadrante.

A. √2 + 1 C. 1 – √2 E. 2 – √2

B. √2 – 1 D. –1 – √2

13. Sea z446 4

1 9 1 5

61 65

65 61

3i

i i

i

i.

Determina el valor de verdad de los enunciados si-

guiente:

I.

II.

III.

A. VVV C. VFV E. VVF

B. VFF D. FFV

1. Si z1 y z2 son las raíces cuadradas del número com-

plejo z distinto de cero, entonces el valor de (z1 +z2)3

es:

A. z1 · z2 B. z1 · z2 · 2 C. 0 D. 1 E. z3

2. Al resolver, en el conjunto de los números complejos,

el sistema 1 1

2 1

i z w i

iz i w i el valor de

z

wes:

A. 1

2 6

i C. 1

2 6

iE. 1

2

i

66

B. 1

2 6

i D. 1

6 2

i

3. Si 4 12

z i Arg z i, , entonces el número com-

plejo z en su forma polar es:

A.

B.

C.

D.

E.

4. Halla la suma A de números complejos:

A i i i i n n1 2 3 4 4 12 3 4 4

A. n(2n + 1) C. 0 E. 2n(4n – 1)

B. 2n(4n + 1) D. n(4n + 1)

5. El número complejo zi tg1

7

coss s n7 7i ees igual a:

A. cos2( ) C. cos(7 ) E. sec7( )

B. cos7

D. tg7( )

6. Sea la región: / 2 3 2 3A z z i z i

Halla z1 y z2 en A, tal que|z1 – z2| sea el valor máximo.

Da como respuesta z1 · z2.

A. –29 B. –28 C. –26 D. –20 E. –18

7. Determina el lugar geométrico de todos los puntos

del plano complejo que satisfacen:

|z – 1| 6 – |z + 1|

Tipo UNI 2001 – I

Tipo UNI 2002 – IITipo UNI 2007 – I

UNI 2003 – I

UNI 2004 – I

44 4

24 4

isen

isen

cos

cos

cos

cos

cos

4 4

4 4

24 4

isen

isen

isen

1

4

1

2

i

i

2

52

5

3

2

i

i

12

511

5

11

5

2

55i

3

4

8

121

Arg z

z z

z 228

14 cos

70

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

ÁLGEBRA Programación lineal

6. Halla la suma del máximo y mínimo valor de la fun-

ción f(x; y) = 4x + 3y, sujeto a las restricciones:

x + y ≤ 80; 30x + 20y ≤ 1 800; x ≥ 0; y ≥ 0.

A. 220 B. 230 C. 240 D. 250 E. 260

7. Un sastre tiene a su disposición 16 m2 de algodón,

11 m2 de seda y 15 m2 de lana. Un traje requiere lo

siguiente: 2 m2 de algodón, 1 m

2 de seda y 1 m

2 de

lana. Una túnica requiere lo siguiente: 1m2 de algo-

dón, 2m2 de seda y 3m

2 de lana. Si el traje se vende

por $ 30 y una túnica por $ 50, ¿cuántas prendas de

cada confección debe hacer el sastre para obtener

la máxima cantidad de dinero?

A. 8 trajes, 0 túnicas D. 4 trajes, 3 túnicas

B. 7 trajes, 2 túnicas E. 3 trajes, 4 túnicas

C. 0 trajes, 5 túnicas

8. Una compañía fabrica mesas y sillas. Por cada silla

se necesitan 20 pies de madera y 4 horas de mano

de obra. Por cada mesa se necesitan 50 pies de

madera y 3 horas de mano de obra. El fabricante

dispone de 3 300 pies de madera y de 380 horas de

mano de obra. El fabricante obtiene una utilidad de

3 dólares por cada silla y 6 dólares por cada mesa.

¿Cuántas mesas debe fabricar para maximizar su

ganancia?

A. 18 B. 30 C. 40 D. 44 E. 56

9. Un fabricante de radios de banda civil obtiene una

utilidad de $ 25 en un modelo de lujo y $ 30 en un

modelo estándar. La compañía desea producir por

lo menos 80 modelos de lujo y 100 modelos estándar

por día. A fin de conservar alta la calidad, la produc-

ción total diaria, no debe ser mayor de 200 radios.

¿Cuántos de cada tipo han de producir diariamente

a fin de llevar al máximo la utilidad? Da como res-

puesta (en dólares) la máxima utilidad.

A. 4 800 B. 5 000 C. 5 500 D. 5 600 E. 5 700

10. El administrador del sistema de suministro de agua

de cierta ciudad debe hallar la manera de pro-

porcionar por lo menos 10 millones de galones de

agua por día (mgd). El agua se debe tomar de los

depósitos locales o de una tubería. Los depósitos lo-

cales pueden suministrar 5 mgd, cantidad que no

puede ser excedida. La tubería puede suministrar un

máximo de 10 mgd, además por una cláusula debe

bombear por lo menos 6 mgd. El costo de agua de

depósito es $ 300 por 1 millón de galones y el costo

del agua de la tubería es $ 500 por 1 millón de ga-

lones. ¿En qué forma puede el administrador minimi-

zar el costo diario del agua, ósea cuántos mgd del

depósito y la tubería se debe tomar?

A. (2; 5) B. (4; 6) C. (4; 7) D. (2; 7) E. (5; 2)

1. Calcula el área de la región limitada por:

2. Determina el número de puntos, de coordenadas

enteras, que se encuentran en el conjunto solución

del sistema:

A. 20 B. 24 C. 25 D. 30 E. 34

3. Calcula el valor del área de la región definida por el

siguiente sistema de inecuaciones:

4. En relación al siguiente problema, maximizar

z = x1 + 1,5x2, sujeto a las restricciones:

Indica la secuencia correcta después de determinar

la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes propo-

siciones:

I. No existe región admisible.

II. El óptimo es el punto (60; 20).

III. Una solución admisible es el punto (40; 40).

A. VVV B. FFV C. VFV D. VVF E. VFF

5. Considera el problema, maximizar z = 30x1 = 20x2, su-

jeto a las restricciones:

Dadas las proposiciones referidas al problema.

I. No existe región admisible.

II. El óptimo se da en el punto (60; 0).

III. Una solución factible es el punto (0; 75).

Son correctas:

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. II y III


Tipo UNI 2007 – I

A u B u C u D u E u1

22 1

3

232 2 2 2 2. . . . .

y x

y x

x

y

1

1

1 1

0 1

x yy

x y

x y

x y

3

3

3

3

A u B31

42. .. . . .

49

420

91

4302 2 2 2u C u D u E u

y x

x y

x y

3

4

0 0;

;2 2 1601 2x x x

0 01 2x x;

;2 120 4 2 282 1 2x x x 00

60

75

10 8 800

0 0

1

2

1 2

1 2

x

x

x x

x x;

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ClavesClaves

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GEOMETRÍA Segmentos

Calcula a + k + b.

A. 12 B. 14 C. 8 D. 10 E. 9

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B y C y luego M que es el punto medio de ___BD. Cal-

cula AM si:

AB AC + BC2____

4 = 529

A. 9 B. 23 C. 17 D. 16 E. 13

9. Se tienen los puntos consecutivos A, B, M y C tal que

M es el punto medio de ___BC.

Calcula AM2 + BM2 si AB2 + AC2 = 24.

A. 12 B. 18 C. 6 D. 10 E. 24

10. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B,

C y D tal que AB AD = 3BC CD.

Calcula AB si 4____AC

+ 1____CD

= 3√__3 .

A. √__3 C.

√__3 ___2 E. 2√

__3

B. √

__3 ___4

D. √

__3 ___3

11. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B,

C y D tal que (AB – CD)(BC + AD) = 36 y BD = 6√__3 .

Calcula la longitud de AC.

A. 14 B. 16 C. 12 D. 18 E. 15


C y D. Calcula la longitud del segmento que une los

puntos medios de ___AB y

____CD si se cumple que

AC + BD = 12.

A. 9 B. 6 C. 3 D. 4 E. 10

13. Los puntos A, B, C y D se toman de manera conse-

cutiva en una recta L tal que la longitud de ___AD es el

triple de la longitud de ___AB. Halla la longitud de CD

si:

1____AD

+ AC____2AB

= 3__2

A. 1__3 C. 2__

3 E. 5__

2

B. 2__5

D. 3__2


C y D tal que AC = CD____4

.

Calcula la medida de BC si: BD – 4AB = 40.

A. 4 B. 5 C. 8 D. 6 E. 10


C, D, E y F, tal que se cumple que:

AC + BD + CE + DF = 108 y además se sabe que

BE = 5__7 AF. ¿Cuál será la longitud del segmento AF?

A. 56 B. 48 C. 63 D. 72 E. 54

3. Manuel corta una soga en tres partes cuyas

longitudes son directamente proporcionales a 1__3 ; 1__

4

y 1__2 , hecho esto se tienen tres segmentos, siendo la

longitud del segundo igual a 15. Calcula la suma de

las longitudes del segundo y tercer segmento.

A. 45 B. 48 C. 42 D. 52 E. 60

4. En una recta se tienen ubicados los puntos

consecutivos A, M, B y N tal que AM____BM

= AN____BN

.

Calcula la longitud del segmento de recta AB

Si 1____AM

+ 1____AN

= 1__6

A. 18 B. 16 C. 24 D. 12 E. 15


C, D y E tal que AD DE = AB BE. ¿Cuál de las si-

guientes alternativas es la correcta?

A. AC = CE C. BE = AD E. AD = 2BC

B. BC = CD D. AB = DE

6. Se tienen los puntos A, B, M, C y D ubicados de mane-

ra consecutiva, en una misma recta de tal manera

que M es el punto medio de ___AD. Calcula la relación

en que están los segmentos AB y CD si AB + CD_________BM – CM

= 4__3 .

A. 1__2 B. 1__

4 C. 1__

5 D. 1__

6 E. 1__

7

7. Dado los puntos consecutivos y equidistantes entre

sí A, B, C y D ubicados sobre una recta, se sabe que:

AB · CD(2k – 3) = AD · BC y además se cumple:

2a + 2_______AC

= 3k – 6______AB

– 3b – 9_______AD

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1. Se tienen los ángulos consecutivos AOC, COB y BOD.

Se trazan los rayos OX y OY que son las bisectrices

de los ángulos AOC y BOD respectivamente. Calcula

la medida del ángulo AOB si los ángulos COD y XOY

miden 99° y 90° respectivamente.

A. 99° B. 108° C. 81° D. 88° E. 75°

2. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD

tal que la suma de las medidas de los ángulos BOD

y AOC es 110°. En el interior del ángulo BOC se toma

el punto F y se trazan los rayos FX, FY, FZ y FW los cua-

les son perpendiculares a los rayos OA, OB, OC y OD

respectivamente. Halla la medida del ángulo que

forman las bisectrices de los ángulos XFY y ZFW.

A. 120° B. 118° C. 125° D. 130° E. 115°

3. La suma de las medidas de un par de ángulos es

80° y el complemento de la medida del primero de

ellos es el doble de lo que mide el segundo. Calcula

la razón aritmética de las medidas de dichos ángu-

los.

A. 60° B. 65° C. 75° D. 70° E. 50°

4. Calcula la medida del ángulo si se sabe que la ter-

cera parte de la mitad del complemento del suple-

mento de su medida, excede en 8° a los tres quintos

del complemento de la mitad de la medida de di-

cho ángulo.

A. 110° B. 120° C.165° D. 140° E. 145°

5. Si a uno de dos ángulos suplementarios se le dismi-

nuye 38° para agregárselos al otro, este ángulo resul-

ta ser cinco veces lo que queda del primero. Calcula

la medida del menor de dichos ángulos.

A. 70° B. 60° C. 58° D. 55° E. 68°

6. El suplemento del complemento de un ángulo es

igual al suplemento de la suma del complemento

y suplemento de su ángulo doble y triple respectiva-

mente. Calcula la medida de dicho ángulo.

A. 50° B. 42° C. 36° D. 45° E. 40°

7. Se tienen tres ángulos consecutivos AOB, BOC y COD

cuyas medidas están en orden descendente tal que

la medida del ángulo AOB es igual a lo que mide el

ángulo COD más 40°. Calcula la medida del ángu-

lo formado por las bisectrices de los ángulos AOD y

BOC.

A. 30° B. 32° C. 36° D. 20° E. 28°

8. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD,

DOE y EOF tal que la suma de sus medidas es 180°.

Calcula la medida del ángulo COD si los ángulos

BOC y DOE son congruentes, m AOB = m EOF y

m AOC = 80°.

A. 15° B. 10° C. 20° D. 18° E. 25°

9. En la figura, calcula “y” cuando “x” tome su máximo

valor entero.

A. 52°

B. 48°

C. 45°

D. 47°

E. 56°

10. En la figura, calcula x + y + z, si las rectas M y R son

paralelas, los ángulos LDA, ADB y BDR son congruen-

tes al igual que los ángulos DLB, BLA y ALM.

A. 300°

B. 280°

C. 350°

D. 270°

E. 320°

11. En la figura, calcula x, si las rectas M y R son paralelas

lo mismo que las rectas P y Q.

A. 80°

B. 70°

C. 75°

D. 60°

E. 30°

12. En la figura, las rectas M y R son paralelas. Calcula x si

m ACB = x__4 y los ángulos BPC y AQB son rectos.

A. 55°

B. 50°

C. 48°

D. 60°

E. 42°

13. En la figura, las rectas M y R son paralelas. Calcula x.

A. 25°

B. 30°

C. 40°

D. 35°

E. 20°

ÁngulosGEOMETRÍA

x + y

2x – y x – y

L

yx

z

A

B

D

M

R

2yM

R

P

50°

x13y

3y

M

R

L x

z3y

3zy

B

Q

C

P

A

R

2x 3x

x M

Q

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GEOMETRÍA Triángulos

Calcula x.

A. 110°

B. 115°

C. 105°

D. 125°

E. 120°

8. Se tiene el triángulo rectángulo ABC en el cual el

ángulo ABC mide 100°. Exterior a dicho triángulo e

interior al ángulo ABC se toma el punto P tal que

AP = AB. Calcula la medida del ángulo CAP si

m BAP = 60° y m APC = 160°.

A. 18° B.15° C. 10° D. 12° E. 14°

9. En un triángulo ABC se toma exteriormente y

relativo al lado ___BC se toma el punto D tal que

m CAD = m BCA = m BCD = 15°.

Calcula la longitud de si AB = 4.

A. 4√__2 B. √

__2 C. 2√

__2 D. 3√

__2 E. 2

10. En un triángulo isósceles ABC, de lados ___AB y

___BC

congruentes, se ubica el punto exterior D, relativo a ___BC. Calcula la medida del ángulo ABC si AD = BD,

m DCB = 30°, m CBD = 3 z y m ABC = 4 z.

A. 18° B. 20° C. 24° D. 12° E. 26°

11. En un triángulo ABC se toma el punto medio M del

lado___AC. Calcula la medida del ángulo MBC si los

ángulos BAC y BCA miden 30° y 15° respectivamente.

A. 30° B. 20° C. 15° D. 18° E. 24°

12. En la figura, z – y = 12°. Calcula x si el ángulo ABC

mide 90°.

A. 8°

B. 32°

C. 12°

D. 18°

E. 6°

13. Se tiene el triángulo equilátero ABC en el cual exte-

riormente y relativo al lado ___AC se ubica el punto D de

tal manera que el ángulo CDA es obtuso. Calcula el

mayor valor entero del perímetro del triángulo ABC

tal que AD = 7 y CD = 13.

A. 55 B.56 C. 57 D. 59 E. 58

1. En la figura, las rectas M y R son paralelas. Calcula x.

A. 32°

B. 38°

C. 45°

D. 30°

E. 36°

2. En la figura, AB = AP, BC = BL y AC = CQ. Halla la re-

lación en que se encuentran los perímetros de los

triángulos ABC y LPQ.

A. Igual 3

B. Mayor que 1__6

C. Mayor que 1__3

D. Menor que 3

E. Mayor que 3

3. Exteriormente a un triángulo isósceles ABC, de lados ___AB y

___BC congruentes, se toma el punto F, tal que

BC = BF. Calcula la medida del ángulo AFC si el án-

gulo ABC mide w.

A. w B. 2w___3 C. 3w___

2 D. w__

3 E. w__

2

4. En la prolongación del lado ___CA de un triángulo ABC,

obtuso en A, se toma el punto M tal que m BMC = 90°.

Calcula el máximo valor entero de ____AM, si AC = 10 y la

relación en que están ___BC y

___AB es de 3 a 2.

A. 21 B. 18 C. 20 D. 19 E. 16

5. Se tiene un triángulo ABC en el cual el ángulo C

mide el doble que el ángulo B. Se traza la bisectriz

interior ____CD y luego por D una paralela a

___CA la cual

interseca en M a ___BC tal que AM = AD. Calcula la

medida del ángulo ABC.

A. 20° B.15° C. 24° D. 22° E. 18°

6. En un triángulo ABC, el ángulo A mide el doble que

el ángulo C. Calcula el menor valor de ___BC, si es un

número entero y además AB = 6.

A. 4 B. 6 C. 8 D. 5 E. 7

7. En la figura, AM = MC y el ángulo ABC mide 135°.

2x

2x

x M

R

L

P

Q

B

AC

B

A CM

z x

z

A

B

C

w w

x z y

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GEOMETRÍA Puntos notables

8. En un triángulo ABC se traza la mediana CM y se de-

termina su baricentro Q. Sea P punto medio de AQ ;

MQ y BP se intersecan en R. Calcula CM, si MR = 3 cm.

A. 24 cm C. 36 cm E. 27 cm

B. 30 cm D. 21 cm

9. En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H, la

recta de Euler interseca al lado AC en el punto F. Cal-

cula la medida del ángulo AFH, si AF = 2FC = 2HB.

A. 30° B. 45° C. 37° D. 60° E. 53°

10. Se tiene un triángulo ABC en el cual E y F son los ex-

centros relativos a los lados AB y BC respectivamente

mientras que M es el medio de FE. Calcula la medi-

da del ángulo AMC si el ángulo ABC mide 48°.

A. 40° B. 46° C. 50° D. 48° E. 44°

11. En un triángulo ABC de circuncentro O, se trazan los

segmentos OA, OB y OC. Si P, M y N son los circun-

centros de los triángulos AOB, BOC y AOC, respec-

tivamente, ¿qué punto notable es O en el triángulo

MPN?

A. Ortocentro

B. Circuncentro

C. Baricentro

D. Incentro

E. Un punto cualquiera

12. En la figura, m AGC = 90° + x. ¿Qué punto notable es

G en el triángulo ABC?

A. Baricentro

B. Ortocentro

C. Circuncentro

D. Incentro

E. Un punto cualquiera

13. En la figura, se tiene el cuadrilátero ABCD y su diago-

nal es bisectriz. Calcula x.

A. 28°

B. 18°

C. 36°

D. 12°

E. 24°

1. En los lados AC y BC de un triángulo acutángulo

ABC se toman los puntos D y E respectivamente tal

que AD = BD = BE y los ángulos ABC y DEB son con-

gruentes. Si las bisectrices de los ángulos BAC y ACB

se intersecan en P y el ángulo EDC mide 60°, enton-

ces el ángulo CPA mide :

A. 128° B. 136° C. 132° D. 126° E. 134°

2. En un triángulo ABC, el ángulo ABC mide el triple que

el ángulo BAC. Se traza la bisectriz exterior CE tal que

AC = BE. Calcula la medida del ángulo BAC.

A. 30° B. 36° C. 32° D. 26° E. 37°

3. En un triángulo ABC, obtuso en C, la diferencia de las

medidas de los ángulos C y A es igual a 28°. Calcula

la medida del ángulo formado por la bisectriz exte-

rior BG y la altura BH .

A. 80° B. 66° C. 70° D. 76° E. 74°

4. En un triángulo isósceles ABC, el ángulo ABC mide

136°. Calcula la medida del ángulo IAO si I es el in-

centro y O es el ortocentro de dicho triángulo.

A. 60° B. 62° C. 57° D. 54° E. 50°

5. En un triángulo ABC el ángulo ABC mide 40° y el

punto O es su circuncentro. Las mediatrices de OA

y OC intersecan a los lados AB y BC en los puntos F

y G respectivamente. Calcula la medida del ángulo

FOG.

A. 120° B. 130° C. 140° D. 110° E. 150°

6. En un triángulo ABC, por su incentro I se traza una

paralela a BC la cual interseca en M y N a los lados

AB y BC. ¿Cuál es la longitud de MN?

A. AB + AC

2C. AB + BC

2E. CN + BM

B. 2CN + BM

2D. AB + AC

3

7. En la figura, G es el incentro del triángulo ABC,

m BAC = 30°, E es la intersección de CG y DF,

m ADB = 90°, AB = 20 cm y la distancia de E a BC

es 3 cm. Calcula DE.

A. 4 cm D. 1 cm

B. 2 cm E. 2,5 cm

C. 3 cm

B

A C

GD

E

B

A

G

C

X X

B

A C

D

3x

2x

4xx

x

F M

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GEOMETRÍA Semejanza

Calcula AC____EG

si k = OB____OP

A. (k – 1) B. k C. k + 1 D. 2k E. 2k − 1

6. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se inscribe

una circunferencia y se traza la tangente ___DE a la cir-

cunferencia y paralela a ___AC (D en

___AB y E en

___BC)

siendo F y G los puntos de tangencia en ___AB y

___BC

respectivamente. Calcula DF si BG = a y AC = b.

A. ab______a + b

C. b______a + b

E. a2_________2(a + b)

B. b2______a + b

D. ab______b –a

7. En la figura, se tiene el paralelogramo ABCD.

Si AB = a, BC = b y FM = c. Calcula ME.

A. ab___c

D.

B. a___bc

E. ab___c

C. b___ac

8. En una circunferencia de radio R se toma el punto

P y con centro en P se traza una circunferencia de

radio r ( R > r). En la circunferencia mayor se traza la

cuerda ___AB que es tangente a la otra circunferencia.

Calcula PA PB

A. 2Rr B. 4Rr C. Rr D. 3 Rr E. Rr___2

9. Un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tal

que la recta que contiene a la bisectriz exterior del

ángulo B, intercepta en F a la prolongación de ___AC y

en M a la circunferencia mencionada. Calcula AB si

CF = BC = 3 m, BF = 9 m y MB = 4 m.

A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m E. 9 m

10. En un romboide ABCD se traza una recta que pasa

por D y corta en R, Q y P a ___AC,

___BC y a la prolonga-

ción de ___AB respectivamente.

Calcula PQ si RQ = 3 m y DR = 4 m.

A. 2__3 m C. 7__

3 m E. 5__

3 m

B. 1__3 m D. 4__

3 m

1. En la figura, AE = 4 m, EB = 3 m, BF = 5 m, CF = 2 m y

CD = 1 m. Calcula AD.

A. 5__3 m D. 10___

3 m

B. 7__3 m E. 8__

3 m

C. 3 m

2. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6,

BM = MC, A es el centro de la circunferencia a la que

pertenece el arco BD, G es el punto de intersección

de____MD y

___AC y R es el punto donde se intersecan el

arco BD y ___AC. Calcula GR.

A. 3 – 2√__2

B. 2(3 – 2√__2 )

C. 3(2 – √__2 )

D. 4(3 – 2√__2 )

E. 2(3 – √__2 )

3. En la figura, los lados del triángulo miden 3; 4 y 5. Cal-

cula la longitud del radio de las dos circunferencias

congruentes que se muestran en la figura y que son

tangentes entre si y tangentes a los lados del trián-

gulo.

A. 4__5 D. 5__

7

B. 4__7 E. 3__

7

C. 3__5

4. En la figura, ___RG es el diámetro de la semicircunferen-

cia. Calcula AC si BM = 3 cm y MC = 2 cm.

A. 1,5 cm

B. 4 cm

C. 5 cm

D. 3 cm

E. 2 cm

5. Por un punto O interior a un triángulo ABC se trazan

las paralelas ___DE a

___BC y

____ FG a

___AB (D en

___AB, E en

___AC, F

en____ BC y G en

___AC) y

___BP es una ceviana que pasa por

O.

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2004 - II

Tipo UNI 2006 - I

Tipo UNI 2008 - I

E

B CM

A FD

B

E

F

A C D

B

A D

G R

M C

B

A C

B

M

R A

C

G

bca

77

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

GEOMETRÍA Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

6. En la figura, ABCD es un cuadrado, AB es diámetro y

D es el centro de la circunferencia que contiene al

arco AC. Halla el producto de las longitudes BC y DR

de si AM = 6 u.

A. 16 u2

B. 36 u2

C. 24 u2

D. 18 u2

E. 45 u2

7. O y G son los centros de las circunferencias mostra-

das, A es punto de tangencia. Calcula LM, si FM = 6 u

y OM = 2 u.

A. 1 u

B. 3 u

C. 2 u

D. 1,5 u

E. 2,5 u

8. Un cuadrilátero ABCD se encuentra inscrito en una

circunferencia y circunscrito a otra de centro O y ra-

dio x. Calcula x, si AO = a y OC = b.

A. 2b

√a2 + b2

C. 2a

√a2 + b2

E. 2ab

√a2 + b2

B. ab

√a2 + b2

D. ab

2√a2 + b2

9. En la figura, BD = 1 u y CD = 2 u. Calcula FH.

A. √6

3 u D.

√6

2 u

B. 2√6

3 u E. 3√6

2 u

C. √6

4 u

10. Se tiene un trapecio isósceles donde la base menor

mide 7 u. Las diagonales de este trapecio tienen por

longitud 20 u y son perpendiculares a los lados no

paralelos. Calcula la longitud de la base mayor de

dicho trapecio.

A. 22 u B. 30 u C. 32 u D. 28 u E. 25 u

1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, cuyo

inradio es r y cuyo incentro es I. Se traza la altura BM.

Calcula la distancia de I a BM si AC = b y AB = c.

A. c(b − c)

b − r C. b(b + c)

c + r E. c(b − c)

c + r

B. b(b − c)

c + r D. b(b − c)

c − r

2. En la figura, se tienen tres semicircunferencias siendo

las longitudes de los radios de las menores, 8 u y 2 u.

Calcula la longitud de MR.

A. 12 u

B. 10 u

C. 8 u

D. 16 u

E. 14 u

3. En la figura, A, B y F son puntos de tangencia y AF = 3 FB.

Halla la relación que existe entre las medidas de los

radios R y r de dichas circunferencias.

A. 3

B. 6

C. 4

D. 12

E. 9

4. En la figura, AC = 2r es diámetro, la cuerda BC = √7,

AM es el segmento áureo de AB y la relación de r a

AB es como 2 a 3. Calcula AM.

A. (√5 − 1)

2D. (√5 − 1)

4

B. (√5 − 1)

3E. 5(√5 − 1)

2

C. 3(√5 − 1)

2

5. En la figura, calcula ED si (BE × BD × AC) = 27u3

A. 3 u

B. 4 u

C. 5 u

D. 6 u

E. 9 u

BRA

M

A B

R F

r

A

B

D

H

E

C

B C

D

M R

A

A

MO

G F

A

B

D

H C

Tipo UNI 2005 - II

Tipo UNI 2006 - II

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2008 - I

A

BC

M

L

F

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

78

Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo

1. Se tiene un triángulo rectángulo ABC en el cual la

hipotenusa AC = 12 m. Calcula la suma de los cua-

drados de las longitudes de las medianas relativas

a los catetos.

A. 180 m2 C. 150 m2 E. 168 m2

B. 192 m2 D. 174 m2

2. En un triángulo ABC, m ABC = 120°. Calcula la longi-

tud de la bisectriz interior BF si AF = 1 m y FC = 3 m.

A. 3√11

11 m C. √11

11 m E. 3√13

13 m

B. √13

13 m D. 2√13

13 m

3. En la figura, O es el centro de la semicircunferencia,

M es el punto medio de EC y el triángulo ABC es

equilátero cuyo lado mide 4 cm. Calcula OM si

CF = 5 cm.

A. √3

2 cm D. √13

2 m

B. √5

2 cm E. √7

2 cm

C. √11

2 cm

4. En un triángulo ABC, el ángulo A es el menor y el án-

gulo C es el mayor. Se traza la mediana BM y O es el

circuncentro del triángulo CBM. Calcula AC si

OB = 5 cm y OA = 13 cm.

A. 12√2 cm C. 6√2 cm E. 12√3 cm

B. 6√3 cm D. 10√2 cm

5. En un trapezoide ABCD, M y N son los puntos medios

de los lados AB y CD respectivamente. Calcula MN

si AB2 + CD2 = 16 cm2 y AN2 + BN2 + CM2 + DM2 = 80 cm2.

A. 2√2 cm B. 6√2 cm C. 2√3 cm

B. 6√3 cm D. 3√2 cm

6. Se tiene el triángulo acutángulo ABC en el cual se

trazan las alturas BH y CM. Se toma R punto medio

del lado BC, calcula la distancia del punto H al seg-

mento que une los puntos M y R, si MH = 4 m,

BC = 10 m y K = √21

5.

A. 2k B. 3k C. 5k D. 6k E. 4k

7. En la figura, AM = CM, CN = 2(BN), AR = RN.

Calcula MR, si AB = 6 u, AC = 10 u y BR = 23

3.

A. 2u

B. 3u

C. 4u

D. 1u

E. 3

2

u

8. En la figura, AC = 4 u, AB es diámetro de la semicir-

cunferencia, se cumple EB2 – BC2 = 8 u y EM = 1 u.

Halla la longitud de AE.

A. √2 u

B. 2√2 u

C.√2

2 u

D. √3 u

E. 2√2 u

9. La longitud de los radios de dos circunferencias orto-

gonales son 3 u y 4 u. Calcula la longitud del radio

de la circunferencia que es tangente a ambas cir-

cunferencias y tangente, además, al segmento que

une los centros de dichas circunferencias.

A. 7

8 u B. 17

30 u C. 17

20 u D. 3

4 u E. 7

20 u

10. En la figura, ABCD es un paralelogramo y F es un

punto de su interior. Si AF = 4 u, BF = 2 u, CF = 6 u y

DF = 3 u. Calcula AC2 − BD2.

A. 68 u2

B. 74 u2

C. 72 u2

D. 78 u2

E. 82 u2

11. En la figura, se tiene el trapezoide ABCD, BC = CD,

m BAC = m CBD y AM = MB.

Calcula CM si AB = 2 k y AD = m.

A. 2k2 − m2

2

B. 2m2 − k2

2

C. m2 − k2

2

D. m2 − 2k2

2

E. m2 + 2k2

2

GEOMETRÍA

Tipo UNI 2005 - II

A

B

M

OE

C

A

B

M

R

N

C

A

B

E

C

A

B

D

F

C

A D

B

M

C

M

79

Segmentos Proporcionales

1. En la figura, calcula la medida del ángulo AFC.

A. 105°

B. 110°

C. 120°

D. 115°

E. 125°

2. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la

bisectriz interior BD cuya longitud se desea calcular

sabiendo que BC = 6 cm y AB = 4 cm.

A. 2√2 cm C. 12

5√2 cm E. 2√3 cm

B. 3√2 cm D. 4√2 cm

3. En la figura, los ángulos ABF y FBC son congruentes.

Calcula el perímetro del triángulo BFM si AF = 30 m y

FC = 40 m.

A. 6(6 + 4√2 ) m

B. 2(6 + 4√2 ) m

C. 4(6 + 4√2 ) m

D. 3(6 + 4√2 ) m

E. 5(6 + 4√2 ) m

4. En la figura, calcula la longitud de AB, si BC = 5(FC);

AE = 5 m y FC = 3 m.

A. 12 m

B. 14 m

C. 18 m

D. 16 m

E. 20 m

5. En la figura, la recta FM es la mediatriz de AC. Calcu-

la EB si AB = 12 m y FC = 6BF.

A. 2 m

B. 3 m

C. 2,4 m

D. 1,6 m

E. 3,5 m

6. En un triángulo ABC las bisectrices de los ángulos A

y C intersecan a la mediana BM en los puntos E y F,

estando E en BF. Calcula EF si FM = 2 m, BE = 3 m y

2(AB + BC) = 3AC.

A. 1 m B. 2,5 m C. 0,5 m D. 2 m E. 3 m

7. En la figura, los segmentos AC y BD son paralelos al

igual que los segmentos BC y DE. Halla la longitud

de OB si AE = 9 m y OA = 3 m.

A. 4 m

B. 8 m

C. 6 m

D. 7 m

E. 5 m

8. En la figura, MR es diámetro de la semicircunferencia

y H es punto de tangencia. Calcula HP si MH = 7 cm,

MR = 10 cm y el radio de la circunferencia mide 2 cm.

A. 2,8 cm

B. 1,2 cm

C.1,4 cm

D. 2,4 cm

E. 1,8 cm

9. En un triángulo isósceles ABC, AB = BC = 15 m y

AC = 18 m. Calcula la longitud del radio de la circun-

ferencia inscrita en dicho triángulo.

A. 3 m B. 2 m C. 5 m D. 4,5 m E. 4 m

10. En la figura, los ángulos AQM y NMQ son congruen-

tes, BC = 28 m, MQ = 3(BQ) y AM = MC. Calcula la

longitud de CP.

A. 20 m

B. 28 m

C. 24 m

D. 26 m

E. 25 m

11. En la figura, OM//AB y ON//CD . Calcula la longitud

ND si AM = 4 m, MN = 3 m y BC//AD.

A. 2 m

B. 3 m

C. 2,5 m

D. 4,5 m

E. 4 m

GEOMETRÍA

Tipo UNI 2007 - I

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2008 - I

A

B 65º

65ºM

NFzz

OC

MB

A CF

A

B

F

D

E

xx y

y

zz

C

A

B

F

M

E

C

A BO

C

D

E

M

H

R

P

A M C

B

P

NQ

A M

CB

O

DN

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

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o fo

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pia

r. D

.L.

822

80

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

GEOMETRÍA Cuadriláteros

5. En un rombo ABCD se construye exteriormente el

triángulo equilátero BEC. Calcula la medida del án-

gulo AED.

A. 30° B. 20° C. 35° D. 25° E. 36°

6. En la figura, ABCD es un trapezoide y los ángulos A y

D son complementarios. Calcula x.

A. 30°

B. 35°

C. 40°

D. 45°

E. 50°

7. Las diagonales de un trapecio tienen por longitudes

9 m y 13 m. Calcula el máximo valor entero que pue-

de tener la mediana del trapecio.

A. 6 m B. 8 m C. 10 m D. 9 m E. 12 m

8. En la figura, se tiene el triángulo ABC siendo los pun-

tos medios de sus lados F, G y Q.

Calcula GM si FP = 1 m y CQ = 4 m.

A. 6 m

B. 7 m

C. 10 m

D. 9 m

E. 8 m

9. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles siendo la

longitud de su mediana, igual a 4 m y su altura mide

3 m. Calcula x.

A. 30°

B. 37°

C. 53°

D. 45°

E. 60°

10. En la figura, ABCD es un paralelogramo y los triángu-

los ABQ y BCF son triángulos equiláteros. Calcula x.

A. 75°

B. 45°

C.60°

D. 80°

E. 50°

1. En un trapecio ABCD de base mayor ___AD, por el punto

de intersección de sus diagonales se traza una recta

R que interseca en los puntos P y Q a los lados ___AB y ____

CD respectivamente, dichos puntos se encuentran

en el mismo semiplano con respecto a la recta que

contiene a la mediana del trapecio. Si las sumas de

las distancias de los vértices A y D a la recta R es 12 m

y la suma de las distancias de los vértices B y C a la

misma recta es 4 m, calcula la distancia del punto

medio de la mediana del trapecio a la recta R.

A. 1 m B. 1,5 m C. 2 m D. 2,5 m E. 3 m

2. Se desea establecer si el perímetro de un cuadrado

C es mayor que el perímetro de un triángulo equilá-

tero T. Información:

I. La razón del lado de C, al lado de T es 4 a 5.

II. La suma de las longitudes de un lado de C y un

lado de T es 18.

Para resolver el problema es necesario:

A. Sólo la información I

B. Sólo la información II

C. Ambas informaciones a la vez

D. Cada una de las informaciones por separado.

E. La información brindada es insuficiente.

3. En la figura, ABCD es un trapecio, Q y F son los puntos

medios de sus bases. Calcula QF si la suma de las

medidas de los ángulos w y x es .

A. AD – BC________2

D. AB + CD_________2

B. CD – AB________2

E. AD + BC_________2

C. AD – BC________4

4. Analiza e identifica la información suficiente para

responder la siguiente pregunta: La figura ABCD, ¿es

un cuadrado?

I. z = 45°

II. Medida del

ángulo ADC = 90°

A. Sólo la información I es suficiente

B. Sólo la información II es suficiente

C. Es necesario emplear ambas informaciones

D. Cada una de las informaciones por separado, es

suficiente

E. La información brindada es insuficiente

Tipo UNI 2005 - II

Tipo UNI 2006 - I

Tipo UNI 2006 - I

Tipo UNI 2007 - II

3

2

B Q C

A F D

w x

D Cz

A B

Bz

z

x

rr

C

A D

B

QF M

A G C

P30°

B C

Ax

D

B C

A DF

x

Q

81

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

GEOMETRÍA Polígonos

1. En un cuadrado se inscribe un octógono regular.

Calcula la relación entre el perímetro del cuadrado

y el perímetro de dicho octógono. UNI 2004 - I

A C E

B D

. . .

. .

2 1

2

2 2 1

2

2 1

2

2 2 1

22 2 1

2. En un polígono convexo, la suma de seis ángulos in-

ternos es 840°. Calcula la suma de las medidas de

los ángulos externos correspondientes a los vértices

restantes.Tipo UNI 2006 - II

A. 250° C. 150° E. 120°

B. 240° D. 260°

3. Se tienen dos polígonos regulares convexos en los

cuales su número de diagonales se diferencian en

cuatro, estando sus ángulos centrales en la rela-

ción de cinco a seis. Calcula la diferencia que hay

entre la medida del ángulo interior del polígono re-

gular convexo que tiene menos lados y la medida

del ángulo exterior del polígono de mayor número

de lados. Tipo UNI 2008 - I

A. 60° C. 120° E. 105°

B. 48° D. 80°

4. En la figura, el hexágono ABCDEF es regular. Si P, M y

N son puntos de tangencia, además ED = 6 m, deter-

mina la medida de MN .

A. 4 m C. 5 m E. 3,5 m

B. 3 m D. 2,5 m

5. La diferencia entre la medida del ángulo interior de

un polígono regular y su ángulo interior convexo de

su correspondiente estrella es 36º, ¿cuántas diago-

nales medias tiene dicho polígono?

A. 40 C. 48 E. 42

B. 45 D. 50

6. En un hexágono regular de 12 3 m de perímetro.

Calcula el perímetro del polígono que tiene como

vértices los puntos de intersección que resultan de

trazar las diagonales de menor longitud en dicho

hexágono.

A. 6 m C. 12 m E. 9 m

B. 6 3 m D. 12 3 m

7. Halla el número de lados que tienen un polígono si

desde los primeros (n − 4) vértices se han logrado

trazar como máximo 3(n − 1) diagonales.

A. 9 C. 11 E. 13

B. 10 D. 12

8. ¿Cuántos lados tiene un polígono, si su número de

diagonales se multiplica por 6 cuando se duplica su

número de lados?

A. 9 C. 7 E. 5

B. 8 D. 6

9. Calcula el número de lados de un polígono en don-

de el máximo número de diagonales que se pueden

trazar es igual a la suma del número de lados au-

mentado en dos.

A. 6 C. 10 E. 14

B. 8 D. 12

10. Cuando el número de lados de un polígono regu-

lar aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono

es 3º mayor que cada ángulo del polígono original.

Calcula el número de lados del nuevo polígono.

A. 20 C. 40 E. 60

B. 30 D. 50

11. En cierto polígono al aumentar el número de la-

dos en a, el número de diagonales aumenta en

6a. ¿Cuántos polígonos cumplen con estas condi-

ciones?

A. 2 C. 5 E. 8

B. 4 D. 6

F C

A B

E D

M N

P

O

82

©G

rup

o E

dito

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orm

a S

.A.C

. P

rohi

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o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

GEOMETRÍA Circunferencia

7. En la figura, CD es tangente a la circunferencia que

está inscrita en el triángulo ABC. Calcula el perímetro

del triángulo FBE si AB = 10, BC = 12 y AC = 8.

A. 7

B. 12

C. 14

D. 16

E. 15

8. Sabiendo que P, Q, R, S y T son puntos de tangencia,

calcula la medida del PAT.

A. 20º

B. 70º

C. 40º

D. 50º

E. 60º

9. En la figura, BC = CD, EH = 6 m y CH – HD = 8 m. Calcu-

la la longitud del radio de la circunferencia inscrita

en el triángulo BAE.

A. 3 m

B. 2 m

C. 2,5 m

D. 4 m

E. 4,5 m

10. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, F, H y E

son puntos de tangencia. Calcula x si el ángulo FME

mide 64°.

A. 60°

B. 45°

C. 64°

D. 74°

E. 46°

11. En la figura, O es centro y BC = CD = DE. Halla el valor

de x.

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° E. 80°

1. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y la medi-

da del ángulo w es 110°. Calcula el valor de x.

A. 12°

B. 18°

C. 10°

D. 20°

E. 15°

2. En un triángulo ABC se traza la altura BH y luego se

trazan HP y HQ perpendiculares a los lados AB y

BC respectivamente. Halla la medida del PCQ si el

BAQ mide 48°.

A. 36° B. 48° C. 60° D. 24° E. 30°

3. En un triángulo ABC, AB = BC = 10 cm y AC = 12 cm.

Calcula la longitud de la circunferencia que pasa

por los puntos A y C, sabiendo que los lados AB y BC

son tangentes a dicha circunferencia.

A. 15 cm C. 25 cm E. 25 cm

B. 30 cm D. 20 cm

4. En una circunferencia se trazan los diámetros per-

pendiculares, AB y CD. Por C se traza una recta L la

cual es tangente a la circunferencia.

En el arco BD se elige el punto E de manera que E, B y

G son colineales (G en la recta L). Calcula la medida

del AFG si el arco BE mide 80° y AE CD = { F }.

A. 90° B. 105° C. 85° D. 100° E. 95°

5. Las longitudes de dos circunferencias coplanares

están en la relación de 5 a 2 y su suma es igual a 14 .

Si se sabe que la distancia entre sus centros es igual

a dos veces la diferencia de sus radios, entonces las

circunferencias son:

A. Secantes D. Tangentes exteriores

B. Disjuntas E. Tangentes interiores

C. Concéntricas

6. ABCD es un cuadrado de lado k; A y B son centros

de los arcos. ¿Para qué valor de x el perímetro de la

región coloreada es x( + 3)?

A. k/4

B. k/6

C. k/3

D. k/2

E. k/8

Tipo UNI 2 004 - I

Tipo UNI 2 006 - II

Tipo UNI 2 004 - II

Tipo UNI 2 005 - I

Tipo UNI 2 005 - II

Tipo UNI 2 005 - II

Tipo UNI 2 006 - I

B

x

w

A C

D

B

A

C

D

B

A C

E

F

AP

S

Q

RT

7k

40˚2k

B

A

C

DE

H

x

M

A

B C

D

EF

B

A E

C

x

100˚

O

D

83

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

Relaciones métricas en la circunferenciaGEOMETRÍA

6. El lado del cuadrado ABCD mide k. Calcula la medi-

da de MN, siendo M y N puntos de tangencia.

7. En la figura, AB y BC son diámetros. Calcula FM Si

AF FD = 64 m2.

A. 6 m

B. 4 m

C. 10 m

D. 5 m

E. 8 m

8. En la figura, AB es diámetro y F es punto de tangen-

cia. Calcula AB si MD = 2 m y BD = 6 m.

A. 8 m

B. 4 m

C. 6 m

D. 10 m

E. 12 m

9. En una circunferencia, el diámetro AB y la cuerda EF

se intersecan perpendicularmente en L. Se traza una

circunferencia tangente al menor arco EF y a la cuer-

da EF. Calcula la longitud de la tangente AM (M es

punto de tangencia de la circunferencia interior) si

AB AL = 100 m2.

A. 12 m C. 9 m E. 10 m

B. 5 m D. 8 m

10. En la figura, A y B son puntos de tangencia. Calcula

FD si EM = 2 m y MD = 1m.

A. 2 m

B. 5 m

C. 3 m

D. 4 m

E. 6 m

1. En la figura, AD es diámetro de la semicircunferencia.

Calcula la medida de BC, si AB = 7 cm, CD = 4 cm y

MC = 6 m.

2. En un polígono regular ABCDEF…., se cumple que:

A. AC2 – AB

2 = AD – BC

B. AC2 + AB

2 = AD – BC

C. AC2

AB2 = AD BC

D. AC2 + AB

2 = AD BC

E. AC2 – AB

2 = AD BC

3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto

en B; con centro en C y radio CD (D en BC) se tra-

za una circunferencia que interseca en E a AC. En

la prolongación de ED se toma el punto F ,tal que

BF = BC, y por el se traza la tangente BG a la circun-

ferencia. Calcula BF si CD = 4 m y FG =

A. 3 m C. 4 m E. 5 m

B. 3,5 m D. 4,5 m

4. En la figura, AM es diámetro, AD = 4 m y CD = 5 m.

Calcula la longitud de la cuerda AB.

A. 6 m

B. 3 m

C. 4m

D. 5 m

E. 8 m

5. En la figura, M y B son puntos de tangencia. Calcula

BM si AB = 2 m y BC = 8 m.

A. 2 m

B. 4 m

C. 3 m

D. 5 m

E. 6 m

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2004 - I

A cm

B cm

C cm

D cm

E cm

.

.

.

.

.

3 3

29

31

3 2

30

Tipo UNI 2005 - II

m.4 3

Ak

Dk

Bk

Ek

Ck

. .

. .

.

5

5

4

3

3

3

6

3

M

B

A D

C

A M

B

D

C

A

B

M

C

C

DF

M

A B

F

M

D

CBA

w

w

A

M

E

B

D F

A

D

B

C

N

M

84

GEOMETRÍA

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

6. Exteriormente a un triángulo rectángulo ABC, recto en B,

se construyen los triángulos equiláteros AEB y BFC. Cal-

cula el área de la región triangular EBF si el área de la

región triangular ABC es 36 m2.

A. 14 m2

C. 18 m2

E. 36 m2

B. 24 m2

D. 12 m2

7. En la figura mostrada, O es el centro del semicír-

culo. Calcula el área de la región sombreada si

AB BM = 36 m2.

A. 12 m2

B. 16 m2

C. 18 m2

D. 20 m2

E. 24 m2

8. En la figura, O es centro del semicírculo. Calcula la rela-

ción entre las áreas de las regiones triangulares MBC y

HBC si BM = 5 m y FM = 12 m.

9. En la figura, ABCD es un cuadrado cuyo lado tiene

por longitud m. CD es el diámetro de la semicir-

cunferencia y M es un punto de tangencia. Halla el

área de la región coloreada.

10. En la figura, M y H son puntos de tangencia y A con O

son centros de las circunferencias ortogonales. Halla

el área de la región sombreada si MH = 4 m.

A. 4 m2

B. 8 m2

C. 5 m2

D. 6 m2

E. 12 m2

Áreas

1. En la figura, halla el área de la región sombreada si

las áreas de las regiones triangulares AFM, AEF, EFB y

FDC son 35 u2, 30 u

2, 40 u

2 y 84 u

2.

A. 36 u2

B. 56 u2

C. 48 u2

D. 60 u2

E. 64 u2

2. Con base en una de dos rectas paralelas se cons-

truye el triángulo ABC de base AC. En AB se toma el

punto Q y por el se traza una paralela a las rectas

determinándose en BC el punto R tal BR y RC están

en la relación de 1 a 3. Calcula el área de la región

triangular RBQ si el área de la región triangular ABC

es 288 u2.

A. 16 u2

B. 20 u2

C. 22 u2

D. 18 u2

E. 14 u2

3. En la figura, A, F y B son puntos de tangencia, FP es

tangente común. Calcula el área de la región trian-

gular AFP si FP = 10 m y la diferencia de longitudes de

AB y AC es 4 m.

A. 54 m2

B. 36 m2

C. 48 m2

D. 50 m2

E. 42 m2

4. En la figura, AD = DE = EC, AM = 2MB, BF = 2FC. Cal-

cula el área de la región coloreada si el área de la

región triangular ABC es 90 m2.

A. 12 m2

B. 10 m2

C. 6 m2

D. 9 m2

E. 15 m2

5. En un triángulo ABC de lados a, b y c, se cumple lo

siguiente:

I. a < b < c

II. a, b y c forman una progresión aritmética

Si R es el circunradio de dicho triángulo y r es su inra-

dio, calcula R r.

Tipo UNI 2005 - I

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2007 - I

Tipo UNI 2008 - I

Aac

Ba c

Ca b

Dab

Ebc

. . . . .6 6 6 6 6

+ +

A D

B E

C

. .

. .

.

7

13

6

13

17

13

5

13

8

13

A m

B m

C m

D m

E m

.

.

.

.

.

6

13

2

4

7

2

3

2

2

2

2

2

10

Tipo UNI 2 008 - IB

E

MA C

F

D

A P B

FR

r

B

M

A C

F

D E

P

MH

B

A CO

B

M

A FO

C

H

B

A

C

D

M

M

H

B

OA

85

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

GEOMETRÍA Introducción a la Geometría del espacio

6. Se tienen dos regiones rectangulares congruentes

ABCD y ABC1D1 las cuales se encuentran formando

un ángulo diedro de 60°. Calcula la medida del án-

gulo que forman las rectas AC1 y BD.

7. Por vértice O de un triángulo rectángulo AOB,

recto en O, se levanta la perpendicular al plano

que contiene a dicho triángulo. Calcula OM si

AB = 2(AO) = 8 u y la medida del diedro formado

por los planos AOB y AMB es de 60°.

A. 4 u B. 8 u C. 6 u D. 9 u E. 12 u

8. Se tienen las rectas P y Q que se cruzan en el espacio

formando un ángulo de 90°, AB es un segmento per-

pendicular a las dos rectas (A P y B Q). En al recta

P se toma el punto C y en la recta Q el punto D, calcula

CD sabiendo que AC2 + BD

2 + AD

2 + BC

2 = 72 cm

2.

A. 3 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 6 cm E. 8 cm

9. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC = 13 u),

AC = 10 u, se traza la altura BH y se construye el cua-

drado BHEF perpendicular al plano del triángulo. Ha-

lla el área del triángulo AHF.

10. El ángulo CAB = 60° está contenido en el plano P. El

punto Q exterior al plano, dista 25u de A, 7 u del lado

AB y 20 u del lado AC. Calcula la distancia del punto

Q al plano P.

11. En un plano Z se encuentra contenido el triángulo

ABC. Por B y C se levantan las perpendiculares BB' y

CC' al plano Z de tal manera que B'C' no interseca

a dicho plano. Calcula el área del triángulo AB'C' si

CC’= 1 cm y

el ángulo BAB’ mide 30°.

1. Se tienen el plano P y la recta L paralela a dicho pla-

no. Se toman los puntos Q L y A P de forma tal

que la proyección de AQ sobre el plano mide 8 u;

luego se toma el punto R P, de forma tal que la

proyección de RQ sobre el plano es el segmento RH

de longitud igual a 4 u. Calcula AQ si m AHR = y el

perímetro del triángulo ARQ es

2. Se tiene un ángulo diedro en el cual se cumple que

las distancias de un punto de su interior a las caras y

a la arista miden 4 u, y 8 u respectivamente.

Calcule la medida de dicho ángulo diedro.

A. 45° B. 53° C. 75° D. 60° E. 30°

3. El área de la proyección de un cuadrado sobre un

plano que pasa por una de sus diagonales es 24 cm2

y el ángulo formado por dichas superficies mide 53°.

Calcula el área del cuadrado.

A. 30 cm2

C. 60 cm2

E. 38 cm2

B. 45 cm2

D. 40 cm2

4. Se tiene el triedro O - ABC cuyas caras miden:

AOB = AOC = 60° y BOC = 90°. En la arista OA se

toma el punto F tal que OF = 2 m. Calcula la medida

del ángulo formado por OF y el plano OBC.

A. 30° B. 53° C. 75° D. 45° E. 60°

5. De las siguientes proposiciones:

I. Cuando dos planos son paralelos a una misma

recta, entonces son paralelos entre si.

II. Si se tienen dos rectas que se cruzan en el espa-

cio, entonces siempre existe una recta que es per-

pendicular a las dos.

III. Una recta que interseca de manera perpendicu-

lar a una de dos rectas que se cruzan siempre

interseca a la otra.

¿Cuáles son verdaderas?

A. Sólo I C. Sólo II E. Sólo III

B. I y II D. I y III

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2005 - II

Tipo UNI 2005 - I

Tipo UNI 2006 - II

Tipo UNI 2007 - I

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2008 - II

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2004 - II

Tipo UNI 2005 - I

Tipo UNI 2005 - I

3

4 2 u

2 3 5 3 4 3

3 3 6 3

A u C u E u

B u D u

. . .

. .

12 3 u.

A arc D arc

B arc E arc

. cos . cos

. cos . cos

1

5

3

5

4

5

2

5

C arc. cos1

4

15 2 20 2 30 22 2 2A u C u E u

B

. . .

. 335 2 25 22 2u D u.

A B C D E. . . . .17 37 21 35 31

17 14 3AC cm BC cm BB cm, , ’ ,

9 18 122 2 2A cm C cm E cm

B

. . .

.. .9 3 18 32 2cm D cm

©G

rup

o E

dito

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orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

86

1. Se tiene el tetraedro regular O-ABC. Calcula la medi-

da del ángulo diedro formado por los planos ABC y

BMC, siendo M el punto medio de ____OA.

A. sen–1√__2 ___4 C. sen–1√

__2 ___3

E. sen–1√__3 ___3

B. sen–1√__3 ___4 D. sen–1√

__1 ___4

2. Al unir los centros de todas las caras de un tetrae-

dro regular se forma otro tetraedro regular. Si S1 es el

área del primer tetraedro y S2 el área del segundo

tetraedro, entonces, en que relación están S2 y S1.

A. 1__3 B. 1__

2 C. 1__

6 D. 1___

12 E. 1__

9

3. Por cada cara de un dodecaedro regular se levanta

una pirámide, formándose de está manera un nuevo

poliedro. Si en este nuevo poliedro se cumple que:

V1 = número de vértices

A1 = número de aristas

C1 = número de caras

Calcula: V1 − A1 + C1

A. 4 B. 2 C. 3 D.6 E. 5

4. Se tiene un poliedro convexo que se encuentra for-

mado por 10 triángulos, 16 cuadriláteros, 24 pentá-

gonos y 13 hexágonos. Calcula su número de vérti-

ces.

A. 85 B. 84 C. 86 D. 87 E. 83

5. La arista de un octaedro regular mide 4. Calcula el

área de la proyección del octaedro sobre un plano

perpendicular a una arista de la base.

A. 8√__3 B. 8 C. 8√

__2 D. 16√

__2 E. 16

6. Se tiene el octaedro regular O-ABCD-M. Se toman

los puntos E y F en las aristas ___OB y

____OD tal que

___EF//

___BD. En

____CM y

____AM se toman los puntos medios G y

H respectivamente. Halla la medida del ángulo que

forman ___EF y

____HG.

A. 60° B: 30° C. 45° D. 90° E. 75°

7. Se tiene una pirámide regular triangular de aristas

congruentes cuya área de la superficie lateral es 3√__3 .

¿Cuánto mide la arista?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

Poliedros Regulares

8. En un tetraedro, se traza un plano a una de las ca-

ras, siendo el área de la sección que se determina

igual a S. El producto de dos lados contiguos de di-

cha sección es 40 m2 y forman un ángulo de 30°.

Calcula S.

A. 10 m2 C. 20 m2 E. 30 m2

B. 16 m2 D. 24 m2

9. Se tiene el tetraedro regular P -ABC, siendo G el bari-

centro de la cara CPB. Calcula la distancia de G a la

cara ABC, si la arista del tetraedro tiene por longitud

12 m.

A. 4√

__6 ____

3 m C.

2√__6 ____

3 m E.

4√__3 ____

3 m

B. 2√__6 m D. 4√

__3 m

10. En la figura, se tiene un tetraedro regular de arista 9

m. Calcula el área del rectángulo coloreado si F es

el baricentro de la cara BDC.

A. 2√

__3 ____

3 m2

B. √

__8 ___3 m2

C. 9√__2 m2

D. 9√

__3 ____

4 m2

E. 3√

__3 ____

4 m2

11. En un hexaedro regular ABCD-EFGH de aristas latera-

les___AE,

___BF,

____CG y

____DH, calcula la distancia del vértice B

al segmento EC, si la arista del hexaedro mide 4 m.

A. 2√

__6 ____

3 m C.

√__6 ___3 m E.

4√__6 ____

3 m

B. 3√

__6 ____

2 m D.

5√__6 ____

2 m

12. Se tiene un tetraedro regular ABCD en el cual se tra-

za la altura ___AH y luego se toman los puntos medios

M y N de ___BC y

___AC respectivamente. En

___BH se toma el

punto E y en ___AD se toma el punto F tal que BE = 3HE

y DF = 3AF.

Calcula la medida del ángulo que forman las rectas

que contienen a los segmentos NF y ME.

A. 60° B. 30° C. 45° D. 37° E. 53°

Tipo UNI 2005 - I

Tipo UNI 2006 - II

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2008 - I

GEOMETRÍA

D

A C

B

M

F

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

87

1. En la figura se muestra un prisma hexagonal regular

donde la longitud de la diagonal mayor es 2 √__2 m y

en donde la arista lateral mide el doble que la arista

básica. Calcula el volumen de dicho prisma.

A. 2√__3 m3

B. 2√__6 m3

C. 3√__3 m3

D. 4√__3 m3

E. 6√__6 m3

2. En un paralelepípedo rectangular sus tres dimensio-

nes suman 14 m. Si una de las aristas tiene por longi-

tud el doble de la otra y el área total de dicho prisma

es máxima, calcula la tercera dimensión del prisma.

A. 3 m B. 5 m C. 4 m D. 7 m E. 6 m

3. Se tiene una pirámide triangular regular en el cual

la arista básica mide k. Calcula el volumen de la pi-

rámide si la distancia de un vértice de la base a la

cara lateral opuesta mide z.

A. k3z_________√_______2z2 – k2

D. 2k3z_________√_______2k2 – z2

B. k3z___________

4√_________3k2 – 4z2

E. k3z__________

3√_______2z2 – k2

C. 9 k3z_________√_______2k2 – z2

4. Se tiene un tronco de pirámide cuadrangular regu-

lar circunscrita a una esfera. Calcula el área de su

superficie lateral si el área de las bases de dicho

tronco son 16 m2 y 36 m2.

A. 110 m2 C. 120 m2 E.160 m2

B. 100 m2 D. 160 m2

5. La altura de un prisma triangular regular mide

√______√

__3 – 1 ________

√______2 – √

__3

k qué, siendo K la longitud de una arista

básica y W el ángulo formado por las diagonales de

dos caras laterales que parten de un mismo vértice.

Calcula W.

A. 36° B. 45° C. 30° D. 75° E. 60°

6. Calcula el volumen de un tronco de pirámide cua-

drangular regular si las áreas de sus bases son 4 m2

y 36 m2 mientras que su apotema mide 4 m.

A. 52√

__3 _____

3 m2 C.

84√__3 _____

3 m2 E.

104√__3 _______

3 m2

B. 172√

__3 _______

3 m2 D.

94√__3 _____

3 m2

7. En un prisma triangular recto de bases ABC y DEF y

de aristas laterales ___AD,

___BE y

___CF, BC = 8 u y AD = 6 u y

su volumen es 108 u3. Calcula el área de la región

triangular BDC.

A. 30 u2 C. 24 u2 E. 20 u2

B. 40 u2 D. 50 u2

8. Se tiene un tronco de pirámide pentagonal regular

cuyos perímetros de sus bases son 45 u y 15 u. Cal-

cula la apotema de dicho sólido si la longitud de su

arista lateral es 5 u.

A. 3 u B. 6 u C. 5 u D. 4 u E. 8 u

9. En la figura, se pide calcular el volumen del prisma si

m ADC = 90°, CD = CH = 2DE y AD = 8, BD = 1.

A. 36

B. 48

C. 54

D. 64

E. 72

10. La base de un prisma pentagonal regular tiene por

longitud de su diagonal (√__5 + 1) m. Calcula el área

de la superficie lateral de dicho prisma si su altura

mide 8 m.

A. 90 m2 C. 60 m2 E. 70 m2

B. 80 m2 D. 10 m2

11. En una pirámide triangular regular las áreas de las

superficies lateral y total son 18 m2 y 27 m2. Calcula

la medida del ángulo diedro que se encuentra for-

mado por las caras laterales de la pirámide con el

plano que contiene a su base.

A. 45° B. 30° C. 53° D. 60° E. 75°

12. Si una pirámide tiene 43 caras, ¿cuántas aristas

tiene?

A. 82 B. 86 C. 84 D. 88 E. 80

Prisma y PirámideGEOMETRÍA

Tipo UNI 2007 - I

Tipo UNI 2007 - I

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2008 - I

Tipo UNI 2008 - I

Tipo UNI 2008 - II

Tipo UNI 2008 - II

FH

AC

DE B

M

88

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

7. Las bases de un tronco de cilindro oblicuo determi-

nan un ángulo diedro de 90° y la distancia entre sus

centros bases es 16 m. La proyección ortogonal de

las bases sobre un plano perpendicular a la genera-

triz es un círculo de radio 2 m. Calcula el volumen de

dicho tronco si la generatriz hace un ángulo de 45°

con las caras del diedro.

A. 75 m3 C. 30 m3 E. 45 m3

B. 64 m3 D. 35 m3

8. Un cono recto está inscrito en un tetraedro regular

de arista 3√__6 (la base del cono está inscrita en una

cara del tetraedro y su vértice, es el vértice opuesto

a dicha cara). Un plano corta paralelamente a su

base tal que el volumen del cono deficiente es la

octava parte del cono total. Calcula el volumen del

tronco de cono resultante.

A. 53___8 B. 57___

8 C. 63___

8 D. 4___

15 E. 42___

89

9. Calcula el volumen del sólido que se genera al girar

un cubo de arista 1 m, 360°, alrededor de una de sus

aristas.

A. 4 m3 B. 6 m3 C. 3 m3 D. 2 m3 E. 5 m3

10. Una esfera está inscrita en un cono de revolución

en el cual dos generatrices opuestas forman un án-

gulo de 60° mientras que el diámetro de su base

mide 6√__3 m. Calcula el volumen de la esfera.

A. 9 B. 24 C. 36 D. 8 E. 108

11. Se tiene una esfera inscrita en un tronco de cilindro

de revolución. Calcula el radio de la esfera si el volu-

men de la región encerrada por el tronco es

8(√__2 + 1) u3 y el ángulo que forma la base superior

del tronco con su máxima generatriz es de 45°.

A. 4 u B. 3 u C. 2 u D. 5 u E. 6 u

12. En la figura, se observa un cilindro de revolución ins-

crito en un cono recto. El volumen del cono parcial

de vértice A es equivalente al volumen del cilindro.

¿Qué fracción del volumen del cono total es el volu-

men de la región comprendida entre el cilindro y el

tronco de cono?

A. 5___64

D. 9___32

B. 1__4

E. 5___32

C. 7___32

1. Se tiene una esfera de centro O y radio de longitud

10 m. A8 m de O, se traza un plano P que interseca a

la esfera y determina una circunferencia C. Calcula

el volumen del cono de vértice O y base limitada por

C.

A. 48 m3 C. 72 m3 E. 96 m3

B. 84 m3 D. 60 m3

2. En un cono de revolución se encuentra inscrita una

esfera, siendo el área de la superficie esférica igual

al área de la base del cono. ¿En qué relación están

el área lateral del cono que tiene como base el cír-

culo limitado por la circunferencia de tangencia pro-

ducida por la esfera en el cono y la superficie lateral

del primer cono?

A. 4___15

B. 9___25

C. 8___15

D. 4___25

E. 4___21

3. Se tiene un cono recto cuya altura mide 16 m y radio

de la base igual a 9 m. Se inscribe en dicho cono un

cilindro recto de máximo volumen. Calcula el radio

de dicho cilindro si es un número entero.

A. 6 m B. 8 m C. 5 m D. 4 m E. 7 m

4. Una esfera cuyo radio mide 6 u se encuentra inscrita

en un cono recto. Se traza un plano tangente a la

esfera y perpendicular a una de las generatrices del

cono. Calcula el área de la superficie total del cono

si el plano dista 2 u del vértice del cono.

A. 96 u3 C. 197 u3 E. 384 u3

B. 234 u3 D. 284 u3

5. En la figura, se tiene un cilindro recto cuyo volumen

se desea hallar. Si AM = 2MC = 6 m y BC = CD, ___AB es

diámetro de la base.

A. 72√__3 m3

B. 81√__3 m3

C. 48√__3 m3

D. 60√__3 m3

E. 54√__3 m3

6. Un cono equilátero se inscribe en una esfera, la ge-

neratriz del cono mide 2√__3 u3. Calcula el área de la

superficie esférica.

A. 16 u3 C. 15 u3 E. 6 u3

B. 212 u3 D. 9 u3

Tipo UNI 2 004 - I

Tipo UNI 2 004 - I

Tipo UNI 2 004 - II

Tipo UNI 2 004 - II

Tipo UNI 2 004 - II

Tipo UNI 2 006 - I

Tipo UNI 2 006 - II

Tipo UNI 2 008 - I

Tipo UNI 2 008 - I

Tipo UNI 2 008 - II

Tipo UNI 2 008 - II

Cilindro, cono y esferaGEOMETRÍA

D

C

BA

M

A

89

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

Claves Claves

Página 72

Página 73

Página 74

Página 75

Página 76

Página 77

Página 78

Página 79

Página 80

Página 81

Página 82

Página 83

Página 84

Página 85

Página 86

Página 87

Página 88

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

90

TRIGONOMETRÍA Ángulo trigonométrico

6. En el gráfico, calcula el valor de x.

A. 30 B. 32 C. 40 D. 36 E. 42

7. De la figura, calcula el valor de a.

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 9

8. Indica la relación correcta entre los ángulos.

A. > >

B. > >

C. > >

D. > >

E. > >

9. En el gráfico, calcula el área de la región sombreada.

A. 18

B. 21

C. 24

D. 27

E. 25

10. Observa la figura.

Calcula .

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

11. Halla la longitud de arco de un sector circular, cuyo

ángulo central mide 45º, si se sabe que la longitud

de la circunferencia es de 600 m.

A. 75 m B. 70 m C. 65 m D. 60 m E. 55 m

1. En la figura, halla el valor de x.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

2. En la figura, halla el valor de .

A. –10º B. –40º C. –20º D. –50º E. –30º

3. Si | | + | |, el suplemento de es igual a 60º, halla x.

A. 20 B. 30 C. 40 D. 60 E. 80

4. Halla si = –35º.

A. 55º B. –45º C. 45º D. –55º E. –28º

5. De la figura, halla x si el complemento de es

A. –125º B. –115º C. –105º D. –100º E. –95º

(5 – 11x)g

27xº

260º

–

x

P(–x; y)

Y

X

x

9rad.

30º

10(10 – x)g

xº

3rad

1aao

aog

2 3 1 3

12

AL L L L

L.

2

2

129

L1 L2 L3

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

91

TRIGONOMETRÍA Sistemas de medidas angulares

6. ¿Cuánto mide el ángulo en el cual se ha cometido

un error de 0,0092 rad al escribir x’ en lugar de xm

?

A. 206m C. 196m E. 212m

B. 216m D. 126m

7. La media aritmética de las medidas en grados C

y grados S de un mismo ángulo es a su diferencia

como 76 veces su medida en radianes es a 10 .

Calcula el número que expresa su medida en ra-

dianes.

8. Halla la medida del ángulo, en el sistema circular,

que cumpla lo siguiente:

2C – S = 22

9. Dados los números de grados sexagesimales (S) y

centesimales (C), tal que:

S = x + 4

C = x + 5

Halla R.

10. Si los números que representan la medida de un án-

gulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son

números pares consecutivos, el valor del comple-

mento del ángulo, expresado en radianes es:

11. Calcula .

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

12.

A. 121 B. 151 C. 131 D. 161 E. 141

1. La medida de los ángulos internos de un triángulo

son: 2xg; (x + 2)g; (x – 2)g. Calcula el menor ángulo

expresado en el sistema sexagesimal.

A. 216º C. 216º/5 E. 80g

B. 81g D. 216g

2. Sabiendo que , halla la medida del

ángulo en radianes, si además R, S y C son la medi-

da radial, sexagesimal y centesimal, respectivamen-

te, de un mismo ángulo.

3. Se tiene 3 ángulos tal que la suma del primero con el

segundo es 20º; la suma del segundo con el tercero

es 40g; y la suma del primero con el tercero es .

Halla el mayor de dichos ángulos en grados sexa-

gesimales.

A. 45º C. 56º E. 48º

B. 69º D. 58º

4. En la figura mostrada, halla (y – x) en radianes.

5. Se tiene un nuevo sistema de medición angular “N”,

donde 16 grados N equivalen a 18º. ¿Qué error se

comete cuando medimos un ángulo, cuyo resultado

da 24 grados N que por error se cambió el sistema

sexagesimal por el sistema N? Da la repuesta en ra-

dianes.

R

R

C S

C S

A rad C rad E rad

B rad D ra

. . .

. .

5

9

21

9

10

921

20

20

19dd

A rad C rad E rad

B rad D rad

5

9

3

4

7

82

5

2

3

. . .

. .

A rad C20

. .15 24

30 60

rad E rad

B rad D rad

.

. .

rad5

9

A rad C rad E rad

B rad D rad

. . .

. .

5

4

3

4 3

4

2

3

A rad C rad E. . .10 4 20

rrad

B rad D rad. .5 15

A rad C rad E rad

B rad D rad

. . .

. .

9 20 4

10 18

A.. . .

. .

5

9

10

9

2

521

9

21

20

rad C rad E rad

B rad D rad

8C S

C S

C S

C SS3

Calculax y x

x y

x y y

x y

g m

m

º ’

’.

x

y

80º

92

©G

rup

o E

dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

RT en el triángulo rectángulo

1.

2. El seno del menor ángulo de un triángulo rectángulo

es , si el cateto adyacente a dicho ángulo mide

Calcula la medida de la hipotenusa.

A. 6 m B. 8 m C. 12 m D. 15 m E. 18 m

3. El perímetro de un triángulo rectángulo es 90 m, si la

secante de su mayor ángulo es 2,6. Calcula el área

del triángulo.

A. 120 m2

C. 150 m2

E. 270 m2

B. 210 m2

D. 180 m2

4. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en C,

cuyos catetos miden 2 cm y 3 cm, respectivamente.

Halla sec A + sec B. (A < B)

5. En un triángulo ABC, recto en C la hipotenusa mide

10 cm y uno de los catetos, 8 cm. Si A es el menor de

los ángulos, halla el valor de:

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, halla el

valor de:

F = csc2 A – ctg

2 A

7. determina el valor de M, si:

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 E. 2

8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se

tiene:

9. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a del producto de sus catetos.

Calcula la cotangente del ángulo mayor.

10. Del gráfico, calcula el valor de:

tg x + tg y

11. Sabiendo que es un ángulo agudo, tal que

csc = 1,45, calcula:

12. Si x, y, z son ángulos agudos y:

sen(x + 60°) = cos (y – 37°)

ctg (z – 37°) = tg (45° + x)

csc (y – 15°) = sec (z + 30°)

Calcula x + z – y

A. 45° C. 22° E. 32°

B. 55° D. 52°

TRIGONOMETRÍA

Si sen halla R

A B C D E

23

5

2 53

53

553

13

, cos .

. . . . .

cos .

13

m10 2 .

A C E

B D

. . .

. .

136

2 136

3 136

4 136

5 136

Etg B tg A

sec A sec B

A B C D E. . . . .7

35

17

35

22

35

12

35

8

35

A B C D. . . .11

22

aa

bE

b

c.

Si ,2

3

Mg tg

csc ctg

ct2 4

senA senA senA B

Halla A

A B C D E

sen A(cos )

csc .

. . . . .87

89

57

59

1

A.87

BB C D E. . . .12

2 1 2

52

A C E

B D

. . .

. .

2 114

412

A C E

B D

. . .

. .

16

635

18

743

8355

M sec tgcsc ctg

2 3

5

yxA C

B

M

UNI 2004 – I

93

FactorizaciónALGEBRATRIGONOMETRÍA RT de ángulos en posición normal

1. Sabiendo que y son ángulos coterminales, simpli-

fica:

D = + ctg ∙ tg

A. 0 B. 1 C. −1 D. 2 E. −2

2. Si:

Además pertenece al II C, calcula tg .

A. −2 B. 4 C. −5 D. −6 E. −1

3. Calcula el valor numérico de:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

4. En la figura sen = – .

Calcula E = tg − tg + tg ( − ).

A. 3,5 B. 3,75 C. −3,5 D. −3,75 E. 4,5

5. De la figura, halla tg , si = 3

A. 3 B. −1/3 C. −3 D. 1/3 E. 3 3

6. Si P = ( –2; 3) es un punto que pertenece al lado final

de un ángulo en posición normal “ ”, calcula ‘k’ en la

siguiente expresión:

tg = + ctg

A. B. C. – D. E.

7. Sabiendo que sen = cos – 1 , calcula

A = sec (tg – 5sec ).

A. −1 B. −2 C. −3 D. −4 E. −5

8. Si el ángulo A y B son coterminales, además

A – B = 360° , halla B, si A = .

A. −240° B. 360° C. −300° D. 300° E. 60°

9. En la figura, calcula el valor de tg + ctg , si “G” es

baricentro del triángulo ABC.

A. –61/30 C. –67/30 E. –71/30

B. –73/30 D. –74/30

10. Sabiendo que y son ángulos coterminales que es-

tán en la relación de 6 a 4, y que el mayor ángulo está

comprendido entre 1 600º y 2 500º, calcula la medida

del menor ángulo.

A. 1 220º C. 1 440º E. 1 840º

B. 1 330º D. 1 560º

11. Indica el cuadrante al que pertenece el ángulo si se

cumple que:

|sen | = sen

|tg + ctg | = − tg − ctg

A. I C. III E. Es un ángulo cuadrantal

B. II D. IV

12. Si sen = y sabiendo que pertenece al segundo

cuadrante. Halla el valor de:

A = 2 ctg2 − 7 sec

A. 3 B. 10 C. 7 D. 4 E. 9

√

sen

sen(360° + )

k

cos

sen360° + sen180° + sen0° + cos180° + cos360° + cos0°

sen90° + sen270° + cos90° + cos270° + ctg90° + ctg270° + tg45°

1

1

1

√2 + 1

2sen = 1 +

2 +

2 +

7

6

√7√ 7

6

√ 3

3

√ 6

7

√

√

π

3

1517

y

x

y

P(n; m)

x

nm

√

y

B

G

C

(3; 4)

(5; –6)A

x

2

3

√

√

©G

rup

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dito

rial N

orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

94

TRIGONOMETRÍA Circunferenica trigonométricas

6. Halla la variación de , para todo de:

2 vers − vers = 0

A. [0; ] C. [ /2 ; ] E. [− /2; /2]

B. [3 /2; 2 ] D. [− /2; 0]

7. En la circunferencia unitaria mostrada, calcula MP, si

cos = .

A. D.

B. 1 E.

C.

8. Calcula el área de la región sombreada en la CT.

A.

B.

C.

D.

E.

9. En la CT de la figura mostrada, si m OBQ = , enton-

ces al calcular el área de la región triangular OAQ

se obtiene:

A. 0,1 sen2

B. 0,2 sen2

C. 0,25 sen2

D. 0,5 sen2

E. sen2

10. En la CT, de la figura mostrada, calcula el valor de la

expresión: C =

A. −1

B. –

C.

D. 1

E. 2

1. ¿Para qué valores de “n” la expresión

ex sec = , siempre existe?

A. ]−∞; +∞[ D. –∞; – ; +∞

B. –∞; – E. –∞; – ; +∞

C. ; +∞

2. Determina la extensión de “n” si se tiene que:

cos x + =

A. [3; 8] C. [4; 8] E. [5; 8]

B. [3; 7] D. [4; 7]

3. Calcula el área de la región sombreada en la CT.

A. sen

B. –cos

C. 1/2 sen

D. –1/2 cos

E. –1/2 sen cos

4. Determina el área de la región sombreada en la cir-

cunferencia trigonométrica.

A. –1/2 tg C. −1/2 cos E. 1/2

B. 1/2 sen D. −1/2 sec

5. Determina la extensión de “n” en la siguiente

igualdad: l3cos x + 1l =

A. [−1; 11] C. [−2; 11] E. [1; 11]

B. [2; 11] D. [3; 11]

2n – 5

4

5

7

3

2

5

2

3

2

3

2

5

2

5

25

7

9

7

11

7

13

7

sen

sen + cos

cos

sen + cos

sen

2(sen + cos )

cos

2(sen + cos )

2sen

sen + cos

1

2

1

2

tg ctg

sec2 – 1

1

2

n – 5

4

n – 3

2

1

0 A

C.T.

Y

X

45º

AA

M

B

B

Q P

P

A

B

Q

O

Y

X

Y

X

95

TRIGONOMETRÍA Reducción al primer cuadrante

1. Sea un ángulo del tercer cuadrante. Indica la alter-

nativa correcta al simplificar la expresión:

E = 1 + ( 1 – sen2 )cos

A. 1 + sen D. 4 + cos2

B. 2 E. 1 + cos2

C. 1 − cos2

2. Si tg2x + ctg2x = 2 y x pertenece al 2° cuadrante, halla

el valor de la expresión:

E =

A. 2 B. 4 C. −2 D. −4 E. −6

3. Simplifica:

P =

A. 1 – ctg x C. csc x E. ctg x

B. 1 + ctg x D. ctg2x – 1

4. Al simplificar la expresión:

G =

Se obtiene:

A. 2 sen2A C. −2 sen2A E. 1

B. sen2A D. cos2A

5. Simplifica:

Si se sabe que = 330°

A. D. +1

B. + 4 E.

C.

6. Si sen = ; siendo “ ” perteneciente al segundo

cuadrante. Halla el valor de:

P = 2 ctg2 − 7 sec

A. 3 C. 9 E. 4

B. 7 D. 10

7. Si – ; y sen2 = , entonces “n”, se

encuentra en el intervalo:

A. –1; D. – ;

B. ; 1 E. –1;

C. – ; 1

8. Simplifica la expresión:

F =

A. C. 1 E.

B. D. 2

9. Indica si es verdadero (V) o falso (F), cada una de

las siguientes afirmaciones.

I. sen 37 < sen 45

II. tg 45 < ctg 37

III. csc 37 < sec 53

Observación: La medida de los ángulos no está en

grados sexagesimales, está en radianes.

A. VVF C. FFV E. VFV

B. VVV D. FFF

10. Si x ; y

W = + –

Entonces la variación de W es:

A. <0; 1> C. [−1; 0> E. <−1; 0>

B. <−1; 1> D. <0; 1]

11. Al calcular:

Q = sen + sen + sen + ... + sen

Se obtiene:

A. – 3 B. −1 C. 0 D. 1 E. 3

tg81x + ctg81x + 4

ctg21x + tg7x + ctg6x

cos(450º + A) cos(630º – A)

–sen (900º – A) sen (1 080º – A)

sen(135° – a)cos(58° – a)tg(50° + a)

sen(a + 405°)tg(230° + a)sen(32° + a)

1

4

2

3

1

2

4 4

n + 1

3

1

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

4

3

4

tg(99 + x)

ctg(–x)

sen(15 – x)

cos x – 7

2

√

sec x –

csc(7 + x)

9

2

sen (–x)

senx

cos (–x)

– x2

sen

+ x2

tg

+ x2

ctg

tg (–x)

– x2

ctg

+ + +

+7

3tg +

33

2sec+

90

2sen + +

15 + 2 3

6

12 + 13

6

15 + 2 3

6

15 + 3

612 + 13

6

2

3

3

2

3

3

3

2004

3

96

©G

rup

o E

dito

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orm

a S

.A.C

. P

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o fo

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pia

r. D

.L.

822

TRIGONOMETRÍA Funciones trigonométricas

8. ¿En cuántos puntos del intervalo [– ; ], las funcio-

nes cos x cos 3x toman el mismo valor?UNI 2006 - II

A. 1 C. 3 E. 5

B. 2 D. 4

9. El valor de la expresión:

es:

UNI 2005 - II

A B C D E. . . . º . º9 5 4

40 60

10. El valor de es igual a:

UNI 2006 - I

A B C D E. . . . º . º3 5 4

56 65

11. Un valor de sec (2 arc sen )32

es:

A B C D E. . . . .2 22 3

3

2 3

32

12. Si se tiene que:

A = arc ctg [2cos (arc sen1

2)]

Calcula el valor de:

P = sen 3A + tg2 6A

A. 1 C. 2, 5 E. 3

B. 2 D. 3, 5


Ksen arc senx arccosx

cos arccosx arc Se

( )

(

2 3

2 3 nnx)

A x

xC x

xE

x

x

B D

. . .

. .

1 1

1

1 1

2 2

2

14. Resuelve el sistema:

arc tg (x + 2y) =4

arc sen (3x – y) = –6

A. 0; 0 C. 0; 1/2 E. 6/5; 1

B. 1/2; −1 D. 3; 2

15. Resuelve y da el menor valor positivo de:

cos x + cos (x + 150°) = cos ( x – 150°)

A C E

B D

. . .

. .

8 3

2

3

4 2

1. Dada la función F, definida por:

F tgx gx senx xx( ) ct cos

Halla el dominio de F. UNI 2004 - II

A k k

B k k

C k k

. ; / ,

. ; / ,

. ;

2

2 2 2

2 2 3 2

2 2 2

3 2

/ ,

. / ; ,

. ; / ,

D k k

E k k

2. Dada la función F, definida por:

Determina el rango. UNI 2004 - I

A. <−4; −3> C. <−1; 0> E. <−2; −1>

B. <−3; −2> D. <2; 3>

3. Halla el rango de la función:

F(x) = 2(cos 2x – 3)(−2 − sen2x ), x UNI 2005 - I

A. [7; 25] C. [8; 23] E. [8; 24]

B. [8; 25] D. [7;24]

4. La gráfica de F =2sen x + cos x(x) 2 3 , está desplaza-

da en el eje X, una magnitud de3

hacia la izquier-

da con respecto a la gráfica de G(x) = A sen x. La

amplitud de la gráfica de F es: UNI 2006 - II

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

5. Determina el dominio de la función, si se tiene:

ysenx

senx xcos

A. – (2n + 1)2

D. – (2n + 1)4

B. – (4n + 1)2

E. – (4n + 1)4

C. – 2n


F(x) = 2 sen ( x/2 − /6)

Si su dominio es ]2/3; 2[

A. [1; 2] C. ]1; 2[ E. ]1; 2]

B. ]0; 2[ D. [0; 2]


F(x) = sen ( cos2 x) + 1

A. {1} C. {2} E. [0; 1]

B. [0; 2] D. [1; 2]

©G

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r. D

.L.

822

97

TRIGONOMETRÍA Identidades de ángulos simples

9. Si 16cos2 a + 3 sen2 a = 7, calcula el valor de |tg a|.

A. 3/2 B. –3/2 C. 2/3 D. ±3/2 E. ±2/3

10. Calcula el valor de ‘m’ en la siguiente identidad.

1 – (sen4 – cos4 )2 = msen2 cos2

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

11. Calcula el valor de ‘k’ para que la siguiente expre-

sión sea una identidad.

cos4 – sen4 = kcos2 – 1

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

12. Calcula E = m · csc x + n · sec x, si:

sen x + sen3 x = m

cos x + cos3 x = n

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5


Ectg x x

x sen x

ctg x x

x se

2 2 2 2

2

5cos

csc

cos

csc nn x 3

A. 1 C. sen x E. tg x

B. cos x D. sec x

14. Si se cumple la identidad:

sen

tgk

1sec

cos; halla el valor de k.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

15. Si: a b senab

a bcon a bcos ;4 4 0 0

Calcula tg

A. a

bC.

a

bE.

b

a

B. b

aD. aa

b

1

16. A partir de las siguientes equivalencias:

asen – cos = 1 y bsen + cos = 1, determina la

relación correcta.

A. a = b C. ab = 2 E. ab = 1

B. a = –b D. ab = –1

1. Reduce: ctg x

x tg x

ctg x

x tg xsec sec

A. 0 B.1 C. 2 D. –2 E. –1

2. Simplifica: x sen x

tg x

cos4 4

41

A. sen4 x C. cos4 x E. sec4 x

B. csc4 x D. tg4 x

3. Si 1 sen x tg x

x ctg xk

1 cos, halla E

x x

x sen x

sec cos

csc

A.1 B. k C. k3 D. k2 E. k4

4. Si sen x = , halla el valor de sec x.

A. 169/119 C. 120/119 E. 119/120

B. 169/120 D. 119/169

5. Simplifica: PPtg a ctg a

a a

2 2

2 2

2

sec csc

A.1 C. 2 E. sen a

B. cos a D. sen2 a · cos2 a

6. Reduce la expresión:

Nctg sec csc (11 2 2sen

tg

)

A. 0 C. 1 E. ctg

B. tg D. sec

7. Reduce el valor de la siguiente expresión:

N = 2 2 2 2 2tg sencos (sec ) (csc cctg

sen sen

2

2 2

)

( cos ) ( cos )

A. 1 B. 2 C. 0 D. 1/2 E. 4

8. Simplifica:

B = 4 4sec csc sec csc

csc sec

4 4

2 2

A. 1

B. 2

C. 3

D. sen · cos

E. sen2 · cos2

119

169

98

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orm

a S

.A.C

. P

rohi

bid

o fo

toco

pia

r. D

.L.

822

TRIGONOMETRÍA Identidades de ángulos compuestos

9. Simplifica:

cos ( − ) – 2sen sen

A. cos cos D. 2 cos cos

B. cos E. cos( + )

C. cos

10. Si cos ( + ) = 3

4, halla el valor de:

M = (cos + cos )2 + (sen − sen )

2

A. 1,5 C. 2,5 E. 3,5

B. 3,0 D. 0,5

11. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado y M es

punto medio de AB. Halla tg .

A. 3

B. 1

C. 1/3

D. 4

E. 2

12. Si y = 4

, halla el valor de la expresión:

Q = tg x − sen(x + y)

cos x cos y

A. 1 C. −1 E. 2

B. tg x D. 0

13. Reduce:

G = sen(x + y)

cos x cos y + tg y

A. tg x C. ctg x E. sec x csc x

B. ctg y D. tg y

14. Reduce:

E =sen(x + y) − sen y cos x

sen(x − y) + sen y cos x

A. 1 C. tg x ctg y E. ctg x tg y

B. tg x D. ctg y

15. En la figura, calcula tg .

A. 3

B. 1/3

C. 1/2

D. 4/3

E. 3/4

1. Si sen A = 12

13 y sen B =

5

13 , calcula cos (A + B).

A. 13/25 C. −13/25 E. 1

B. 0 D. 119/169

2. Si − = 3

, calcula el valor de:

R = (cos + cos )2 + (sen + sen )2

A. 1 C. 3 E. 5

B. 2 D. 4

3. Si:

tg + tg = a .......................(1)

ctg + ctg = b .......................(2)

Reduce:

M = b(tg2 + tg2 ) – ab(tg + tg ) + 2a

A. 2a C. 0 E. –2

B. –1 D. B

4. La expresión:

E = ctg x + csc x − 1

ctg x − csc x + 1

es igual a:

A. sec x + ctg x D. csc x – ctg x

B. csc x + ctg x E. csc x – tg x

C. csc x + tg x

5. Halla aproximadamente tg 8°.

A. 11/7 C. 7/11 E. 1/4

B. 1/7 D. 7

6. Si sen x + cos x = √2

16 , determina E = sen(45º + x).

A. 2−1

B. 2−2

C. 2−3

D. 2−4

E. 2−5

7. En un triángulo ABC se cumple que:

sec A = csc B

Calcula el máximo valor que toma:

E = 2sen C + 3sen B + 4sen A

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9

8. Si tg = 1/2, calcula tg (45° + ).

A. 0,5 B. 1 C. 1,5 D. 3 E. 2,5

B

M

C

A D

B

37°

C

A D

99

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822

Identidades de ángulos múltiples

1. Simplifica:

A. 3 sen 2x ∙ csc 6x

B. 3/2 sen 2x ∙ csc 6x

C. –sen 2x ∙ csc 6x

D. –3 sen 2x ∙ csc 6x

E. –3/2 sen 2x ∙ csc 6x

2. Si tg x = 0,6

Calcula: 3 sen2x + 5 cos2x

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8

3. Halla el equivalente de:

A. tg 2x C. ctg 2x E. sec 2x

B. 2 tg 2x D. 2 ctg 2x

4. Reduce la expresión:

E = tg (45° + x) + tg(45° – x)

A. 2 sec x C. 2 csc x E. 2 tg2 x

B. 2 sec 2x D. 2 csc 2x

5. Si tg = 1/7 y tg = 2/11, calcula el valor de

tg (2 + ).

A. 0, 25 B. 1 C. 0,5 D. 1, 25 E. 0,75


A. tg x B. ctg 3x C. ctg x D. 1 E. tg 3x

7. Simplifica:

E = sen A + sen 2° + sen 3A

8. Calcula el valor de:

K = 8 cos3 40° – 6 cos 40°

A. – 1 C. –1/2 E. 0

B. 1/2 D. 1

9. Calcula el valor de:

A. 1/4 C. 1/2 E. 3/4

B. 1 D. 4/3

10. Al simplificar la expresión:

se obtiene:

A. tg x C. tg2 x E. tg

3 x

B. ctg x D. ctg2 x

11. Calcula “a + b” a partir de la siguiente igualdad

cos 3x = cos x (a cos 2x + b)

A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3

12. Simplifica

A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3

13. En un triángulo rectángulo los catetos son proporcio-

nales a los números 1 – cos 40º y sen 40º. Calcula la

medida del menor de los ángulos agudos del trián-

gulo rectángulo.

A. 10° B. 15° C. 20° D. 25 E. 30°

14. Simplifica:

A. sen 2x C. cos 2x E. sec 2x

B. csc 2x D. tg 2x

15. En el gráfico, calcula tg .

TRIGONOMETRÍA

Tipo UNI 2005 - IKsen x

sen x

x

x

3 3

3 3

1

2

cos

cos

Ex sen x

x sen x

x sen xcos

cos

cos

coss x sen x

cos cosM

sen x sen x

x x

3

3

3

3

. cosA senA A

43

2 2ccos

. cos cos

. cos

A

B senA A

A

C senA A

42

3

2

33

2 2cos

. cos cos

. cos

A

D senA A

A

E senA A

23

2

3

2

42 2

cos A

Wsen

sen

3 310 20

10 20

cos

cos

Etg x tg x

tg x tg x

3 3

3 3

senx s3 4 een x

sen x

sen sen3 3

3

3 20 4 20

3

2

Etg x

tg x2

2 45

1 45

A B7

5

5. .

22

12

5

5

12

5

13C D E. . .

2

100

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822

Transformaciones trigonométricas

9. Calcula

10. Al simplificar la expresión

11. Simplifica la expresión K.

A. cos x C. 2 E. 1

B. cos(y – 2x) D. –cosx

12. Calcula el valor de S.

S = tg 60° ∙ cos 20° – 2 sen 60° ∙ sen 70° + 1

A. 1 B. 0 C. –1 D. 1/2 E. 2

13. Reduce:

A. 2 sen235º C. 4 sen 35º E. 2 sen 35º

B. 4 cos 35º D. sen 35º

14. Transforma a producto la siguiente expresión

1 – 2 sen 20°

A. sen5° ∙ sen25° D. 2 sen5° ∙ sen25°

B. 4 sen5° ∙ cos25° E. sen5° ∙ cos25°

C. cos5º ∙ cos25°

15. En un triángulo rectángulo ABC, A – B = 60°. Cal-

cula el valor de la expresión E.

16. Factoriza:

A. cos x ∙ cos 3x D. 2cos x ∙ cos 3x

B. 4cos x ∙ cos 3x E. 2sen x ∙ sen 3x

C. 4sen x ∙ sen 3x

TRIGONOMETRÍA

1. Simplifica

A. tg C. tg 2 E. tg 3

B. cos D. sen

2. Calcula el valor de m:

A. 0 C. 2 E. sen x

B. cos y D. cos (x + y)

3. Simplifica:

R = cos 6x ∙ cosx + sen 5x ∙ sen 2x – sen 6x ∙ sen 3x

A. cos 2x C. cos x E. cos 3x

B. cos 7x cos 2x D. cos 5x cos 3x

4. Halla tg 2x, si:

sen 9x + sen 5x = a

cos 5x – cos 9x = b

A. –a/b C. b/a E. –b/a

B. a/b D. 2b/a

5. Halla el valor de M.

6. Reduce:

A. tg C. ctg E. ctg

B. tg D. tg ∙ tg

7. Transforma a suma:

A. sen x C. 1 E. 1 + sen x

B. –sen x D. 1 – sen x


A. tg 3x C. tg 5x E. tg 7x

B. ctg 3x D. ctg 5x

Tsen sen sen3 5

3 5cos cos cos

sen x y sen x y

sen

3 3

2xx sen ym x y

2cos

Mtg tg

ctgsen

20 3 160

7050 40sec csc

. . .

. .

135

1

22

1

22 2 2

2 2 4 2

A C E

B D

cos cos2 3 3E

sen 22 3 3sen

24 2 4 2

E senx x

cos

7 5E

sen x sen xx sen x

x x x

3

7 5 3cos cos cos

Ectg tg

tgctg tg

tg

A C E tg

B

52 1654

74 3822

38 2 22. cos . .

.coos

. cos3874

74 38sen

E sen

1 20 1 20Q cos cos

Esen

sense obtiene

A B C D E

17 17

31 31

4 2 2 2 3 2 2 2

cos

cos, .

. . . . .

cos cos ( )

cos cos

212

2K

y y x

x y sen22x seny

Esen A sen B

senC

2 2

A B C D E11

23

3

2

3

3. . . . .

Esen x

sen x

sen x

sen x

4

2

8

4

101

FactorizaciónALGEBRATRIGONOMETRÍA Ecuaciones trigonométricas

1. Halla el conjunto solución de:

+ x2 < 1

A. –1; 1 C. –1; 4 E. –1; 1 – {0}

B. –2; 5 D. –4; 3

2. Halla el valor de ‘x’ en la ecuación:

6(x – 1) cos(45º)cos(45º)–(x – 4)csc(30º) =

A. 9 B. 11 C. 14 D. 10 E. 12

3. Sea el sistema de ecuaciones:

tg( – 25°) = ctg( – 30°)

2 – = 35°

Calcula:

A. C. E.

B. D.

4. Resuelve:

Para x 90°; 180° [

A. 120° C. 135° E. 150°

B. 160° D. 165°

5. Cuál de las siguientes series contiene 3 soluciones de

la ecuación:

sec + 2 = 0

A. 135°; 315°; 405° D. 135°; 225°; 495°B. 225°; 450°; 510° E. 215°; 485°; 575°C. 45°; 285°; 330°

6. Halla un arco del primer cuadrante, tal que el doble de

su seno sea igual a su tangente.

A. 15° C. 45° E. 75°

B. 30° D. 60°

7. Halla el ángulo agudo ‘x’ que satisface a la ecuación:

A. B. C. D. E.

8. Indica una solución general para la ecuación:

4 cos(x)cos(2x)cos(3x) = 1

A. kπ ± , k D. kπ ± , k

B. kπ ± , k E. kπ ± , k

C. kπ ± , k

9. Dadas las ecuaciones:

sen(x – 45º)sen(x – 45º) = p

cos(x – 60º)cos(x – 60º) = q

Calcula el valor de p + q.

A. – B. 0 C. D. E.

10. Si x e y ] 0; [, además:

2sen(x)sen(y) = 1

ctg(x) + ctg(y) = 2

Halla: xy

A. B. C. D. E.

11. Resuelve el sistema

con k y n .

A. x = kπ + ; y = 2nπ ±

B. x = 2kπ + ; y = nπ ±

C. x = kπ + ; y = nπ ±

D. x = 2kπ + ; y = 2nπ ±

E. x = kπ + ; y = nπ ±

12. Halla la suma de soluciones de la ecuación trigono-

métrica:

(1 + sen x – cos x)2 = 1 – cos x (0 < x < 2π)

A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π E. 6π

sen(π – x) + sen(2π – x)

x

tg( – + 25º)

1 + cos

2tgx + 1

2tgx – 1

2tgx – 1

2tgx + 1

10

3+ =

1

1 + senx

1

1 – senx8+ =

–2 3

9

√

2 3

3

√

3 3

2

√ 3

2

√

2

3

x

2tg( )37º

2

√

con y agudos{

π

4

π

3

π

5

π

6

π

7

π

2

π

4

π

3

π

6

π

2

π

5

π2

5

π2

9

π2

12

π2

16

π2

25

1

4

1

4

1

3

1

2

sen(x) + = sen2y1

4

sen(x) + = 2cos y1

2

{(–1)kπ

6

(–1)kπ

3

(–1)kπ

3

(–1)kπ

6

(–1)kπ

2

π

3

π

6

π

6

π

2

π

4

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Tipo UNI 2006 - II

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102

TRIGONOMETRÍA Ecuación de la recta

C. (x’ – 1)2 + (y’ + 1)2 = 1

D. (x’ + 1)2 + (y’ + 1)2 = 1

E. (x’ – 1)2 + (y’)2 = 1

7. En la figura, las ecuaciones de las rectas son

M: 3x + 8y – 48 = 0, F: 3x + y − 18 = 0 y H: 3x + y – 3 = 0,

además se muestra conjunto W. Halla los puntos (x; y)

W que dan el valor máximo y mínimo para k = 2x + 3y,

cuando esta recta se desplace paralela a si misma.

A.

B.

C.

D.

E.

8. Se tiene la hipérbola de ecuación: xy = 2. Una recta

tangente a la hipérbola forma al interceptarse con los

ejes coordenados un triángulo de área S. Calcula S.

A. 10 B. 2 C. 2 2 D. 8 E. 4

9. Calcula la medida del ángulo que hacen al intercep-

tarse las rectas cuyas ecuaciones son: L: 2x – y + 1 = 0

y R: x – 2y – 1 = 0.

A. arc tg D. arc tg

B. arc tg E. arc tg

C. arc tg

10. Calcula la medida del mayor ángulo que forman al

interceptarse las asíntotas de la hipérbola cuya ecua-

ción es:

x2 – 3y2 – 8x – 18y – 14 = 0

A. 60° B. 115° C. 120° D. 135° E. 150°

11. Pedro está parado en el punto (−2; −2) y toca un pito

frente a una pared que contiene a la recta de ecua-

ción: 15x + 20y = 60. ¿Cuántos tiempo, en segundos,

tarda aproximadamente en escuchar el eco? (las uni-

dades están en metros y la velocidad del sonido es

340 m/s).

A. 0,035 B. 0,025 C. 0,030 D. 0,015 E. 0,020

1. Los vértices de un rectángulo son A(a; b), B(a; −b),

C(−a; −b) y D(−a; b). Si R(x; y) cumple que DR = 6 u, CR

= 7 u y BR = 5 u. Calcula AR.

A. 4 3 u C. 2 3 u E. 3 3 u

B. 5 3 u D. 3 u

2. Se tiene el conjunto:

W = {(x; y)/ 2x + 3y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0} y el punto P (2; 3).

¿Cuál de las siguientes rectas separa a P de W?

A. y = x + D. x – 16y + 3 = 0

B. y = x + E. y = x + 2

C. 4y – 4x + 9 = 0

3. En un plano XY se encuentran contenidas las rectas

paralelas:

L: 2x + y – 8 = 0 y M: 2x + y + 4 = 0.

Halla la ecuación de la recta que equidista de las rec-

tas L y M y que está contenida en el plano XY.

A. 10x + 5y – 2 = 0 D. 2x + y – 5 = 0

B. 2x + y – 2 = 0 E. 2x + y – 4 = 0

C. 2x + y – 1 = 0

4. En la figura, FM = 6 3 u, B es punto de tangencia y A

es centro de la circunferencia. Halla la ecuación de la

circunferencia.

A. (x + 3)2 + (y −5 3)2 = 0

B. (x – 3)2 + (y − 3 3)2 = 0

C. (x – 3)2 + (y − 5 3)2 = 0

D. (x + 3)2 + (y + 5 3)2 = 0

E. (x – 3)2 + (y + 5 3)2 = 0

5. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el

punto P(4 ; 5) y por el baricentro del triángulo cuyas

coordenadas de los vértices son A(4 ; −3), B(−4 ; 11) y

C(−6 ; 1).

A. x – 3y + 11 = 0

B. x – 3y −11 = 0

C. 3x – y + 11 = 0

D. x + 3y −11 = 0

E. 3x – y − 11 = 0

6. Encuentra la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 = 1

en un nuevo sistema trasladado X’Y’, cuyo origen está

en el punto (−1 ; −1).

A. (x’ – 1)2 + (y’ – 1)2 = 1

B. (x’ + 1)2 + (y’ – 1)2 = 1

Tipo UNI 2004 - II

Tipo UNI 2004 - I

Tipo UNI 2005 - I

Tipo UNI 2006 - I

Tipo UNI 2006 - II

Tipo UNI 2005 - II

√ √ √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

1

21

4

1

8

9

49

4

A

30°BF

O

M

Y

X

32

7

30

7( (; ; (2; 0)

22

7

30

7( (; ; (1; 0)

32

7

30

7( (; ; (0; 1)

32

7

30

7( (; ; (1; 0)

32

7

30

7( (; ; (0; 2)

5

4( ( 3

4( (

4

3( ( 4

5( (

1

4( (

W

H MFO

Y

X

Tipo UNI 2006 - II

Tipo UNI 2007 - II

Tipo UNI 2008 - I

Tipo UNI 2008 - I

Tipo UNI 2008 - II

103

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Claves Claves

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El 22 de julio de 2002, los representantes de las or-ganizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y dela sociedad civil firmaron el compromiso de trabajar,todos, para conseguir el bienestar y desarrollo delpaís. Este compromiso es el Acuerdo Nacional.El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena vo-luntad tenemos, desde el lugar que ocupemos o elrol que desempeñemos, el deber y la responsabili-dad de decidir, ejecutar, vigilar o defender los com-promisos asumidos. Estos son tan importantes queserán respetados como políticas permanentes parael futuro.Por esta razón, niños, niñas, adolescentes o adultos,ya sea como estudiantes o trabajadores, debemospromover y fortalecer acciones que garanticen elcumplimiento de esos cuatro objetivos que son los si-guientes:

1. Democracia y Estado de DerechoLa justicia, la paz y el desarrollo que necesitamoslos peruanos solo se pueden dar si conseguimosuna verdadera democracia. El compromiso delAcuerdo Nacional es garantizar una sociedad enla que los derechos son respetados y los ciudada-nos viven seguros y expresan con libertad susopiniones a partir del diálogo abierto y enrique-cedor: decidiendo lo mejor para el país.

2. Equidad y Justicia SocialPara poder construir nuestra democracia es nece-sario que cada una de las personas que confor-mamos esta sociedad, nos sintamos parte deella. Con este fin, el Acuerdo promoverá el acce-so a las oportunidades económicas, sociales, cul-turales y políticas. Todos los peruanos tenemosderecho a un empleo digno, a una educación decalidad, a una salud integral, a un lugar para vi-vir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.

3. Competitividad del paísPara afianzar la economía, el Acuerdo se com-promete a fomentar el espíritu de competitivi-dad en las empresas, es decir, mejorar la cali-dad de los productos y los servicios, asegurarel acceso a la formalización de las pequeñasempresas y sumar esfuerzos para fomentar lacolocación de nuestros productos en los merca-dos internacionales.

4. Estado Eficiente, Transparentey DescentralizadoEs de vital importancia que el Estado cumpla consus obligaciones de manera eficiente y transpa-rente para ponerse al servicio de todos los perua-nos. El Acuerdo se compromete a modernizar laadministración pública, desarrollar instrumentosque eliminen la corrupción o el uso indebido delpoder. Asimismo, descentralizar el poder y laeconomía para asegurar que el Estado sirva a to-dos los peruanos sin excepción.

Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemosa desarrollar maneras de controlar el cumplimientode estas políticas de Estado, a brindar apoyo y di-fundir constantemente sus acciones a la sociedaden general.

El Acuerdo NacionalI

La democracia y el sistema interamericanoArtículo 1Los pueblos de América tienen derecho a la democracia y sus gobiernos la obliga-ción de promoverla y defenderla. La democracia es esencial para el desarrollo so-cial, político y económico de los pueblos de las Américas.Artículo 2El ejercicio efectivo de la democracia representativa es la base del estado de dere-cho y los regímenes constitucionales de los Estados Miembros de la Organizaciónde los Estados Americanos. La democracia representativa se refuerza y profundizacon la participación permanente, ética y responsable de la ciudadanía en un marcode legalidad conforme al respectivo orden constitucional.Artículo 3Son elementos esenciales de la democracia representativa, entre otros, el respetoa los derechos humanos y las libertades fundamentales; el acceso al poder y su ejer-cicio con sujeción al estado de derecho; la celebración de elecciones periódicas, li-bres, justas y basadas en el sufragio universal y secreto como expresión de la so-beranía del pueblo; el régimen plural de partidos y organizaciones políticas; y la se-paración e independencia de los poderes públicos.Artículo 4Son componentes fundamentales del ejercicio de la democracia la transparencia delas actividades gubernamentales, la probidad, la responsabilidad de los gobiernosen la gestión pública, el respeto por los derechos sociales y la libertad de expresióny de prensa. La subordinación constitucional de todas las instituciones del Estado ala autoridad civil legalmente constituida y el respeto al estado de derecho de todaslas entidades y sectores de la sociedad son igualmente fundamentales para la de-mocracia.Artículo 5El fortalecimiento de los partidos y de otras organizaciones políticas es prioritario pa-ra la democracia. Se deberá prestar atención especial a la problemática derivada delos altos costos de las campañas electorales y al establecimiento de un régimenequilibrado y transparente de financiación de sus actividades.Artículo 6La participación de la ciudadanía en las decisiones relativas a su propio desarrolloes un derecho y una responsabilidad. Es también una condición necesaria para elpleno y efectivo ejercicio de la democracia. Promover y fomentar diversas formasde participación fortalece la democracia.

IILa democracia y los derechos humanos

Artículo 7La democracia es indispensable para el ejercicio efectivo de las libertades fundamen-tales y los derechos humanos, en su carácter universal, indivisible e interdependien-te, consagrados en las respectivas constituciones de los Estados y en los instrumen-tos interamericanos e internacionales de derechos humanos.Artículo 8Cualquier persona o grupo de personas que consideren que sus derechos humanoshan sido violados pueden interponer denuncias o peticiones ante el sistema intera-mericano de promoción y protección de los derechos humanos conforme a los pro-cedimientos establecidos en el mismo. Los Estados Miembros reafirman su inten-ción de fortalecer el sistema interamericano de protección de los derechos humanospara la consolidación de la democracia en el Hemisferio.Artículo 9La eliminación de toda forma de discriminación, especialmente la discriminación degénero, étnica y racial, y de las diversas formas de intolerancia, así como la promo-ción y protección de los derechos humanos de los pueblos indígenas y los migran-tes y el respeto a la diversidad étnica, cultural y religiosa en las Américas, contribu-yen al fortalecimiento de la democracia y la participación ciudadana.Artículo 10La promoción y el fortalecimiento de la democracia requieren el ejercicio pleno y efi-caz de los derechos de los trabajadores y la aplicación de normas laborales básicas,tal como están consagradas en la Declaración de la Organización Internacional delTrabajo (OIT) relativa a los Principios y Derechos Fundamentales en el Trabajo y suSeguimiento, adoptada en 1998, así como en otras convenciones básicas afinesde la OIT. La democracia se fortalece con el mejoramiento de las condiciones labo-rales y la calidad de vida de los trabajadores del Hemisferio.

IIIDemocracia, desarrollo integral y combate a la pobreza

Artículo 11La democracia y el desarrollo económico y social son interdependientes y se refuer-zan mutuamente.Artículo 12La pobreza, el analfabetismo y los bajos niveles de desarrollo humano son factoresque inciden negativamente en la consolidación de la democracia. Los EstadosMiembros de la OEA se comprometen a adoptar y ejecutar todas las acciones ne-cesarias para la creación de empleo productivo, la reducción de la pobreza y la erra-dicación de la pobreza extrema, teniendo en cuenta las diferentes realidades y con-diciones económicas de los países del Hemisferio. Este compromiso común frentea los problemas del desarrollo y la pobreza también destaca la importancia de man-tener los equilibrios macroeconómicos y el imperativo de fortalecer la cohesión so-cial y la democracia.Artículo 13La promoción y observancia de los derechos económicos, sociales y culturales sonconsustanciales al desarrollo integral, al crecimiento económico con equidad y a laconsolidación de la democracia en losEstados del Hemisferio.Artículo 14Los Estados Miembros acuerdan examinar periódicamente las acciones adoptadasy ejecutadas por la Organización encaminadas a fomentar el diálogo, la coopera-ción para el desarrollo integral y el combate a la pobreza en el Hemisferio, y tomarlas medidas oportunas para promover estos objetivos.Artículo 15El ejercicio de la democracia facilita la preservación y el manejo adecuado del me-dio ambiente. Es esencial que los Estados del Hemisferio implementen políticas yestrategias de protección del medio ambiente, respetando los diversos tratados yconvenciones, para lograr un desarrollo sostenible en beneficio de las futuras gene-raciones.Artículo 16La educación es clave para fortalecer las instituciones democráticas, promover el de-sarrollo del potencial humano y el alivio de la pobreza y fomentar un mayor enten-dimiento entre los pueblos. Para lograr estas metas, es esencial que una educaciónde calidad esté al alcance de todos, incluyendo a las niñas y las mujeres, los habi-tantes de las zonas rurales y las personas que pertenecen a las minorías.

IV

Fortalecimiento y preservación de la institucionalidad democráticaArtículo 17Cuando el gobierno de un Estado Miembro considere que está en riesgo su proce-so político institucional democrático o su legítimo ejercicio del poder, podrá recurriral Secretario General o al Consejo Permanente a fin de solicitar asistencia para elfortalecimiento y preservación de la institucionalidad democrática.Artículo 18Cuando en un Estado Miembro se produzcan situaciones que pudieran afectar el de-sarrollo del proceso político institucional democrático o el legítimo ejercicio del po-der, el Secretario General o el Consejo Permanente podrá, con el consentimientoprevio del gobierno afectado, disponer visitas y otras gestiones con la finalidad dehacer un análisis de la situación. El Secretario General elevará un informe al Conse-jo Permanente, y éste realizará una apreciación colectiva de la situación y, en casonecesario, podrá adoptar decisiones dirigidas a la preservación de la institucionali-dad democrática y su fortalecimiento.Artículo 19Basado en los principios de la Carta de la OEA y con sujeción a sus normas, y enconcordancia con la cláusula democrática contenida en la Declaración de la ciudadde Quebec, la ruptura del orden democrático o una alteración del orden constitucio-nal que afecte gravemente el orden democrático en un Estado Miembro constituye,mientras persista, un obstáculo insuperable para la participación de su gobierno enlas sesiones de la Asamblea General, de la Reunión de Consulta, de los Consejosde la Organización y de las conferencias especializadas, de las comisiones, gruposde trabajo y demás órganos de la Organización.Artículo 20En caso de que en un Estado Miembro se produzca una alteración del orden cons-titucional que afecte gravemente su orden democrático, cualquier Estado Miembroo el Secretario General podrá solicitar la convocatoria inmediata del Consejo Perma-nente para realizar una apreciación colectiva de la situación y adoptar las decisio-nes que estime conveniente. El Consejo Permanente, según la situación, podrá dis-poner la realización de las gestiones diplomáticas necesarias, incluidos los buenosoficios, para promover la normalización de la institucionalidad democrática. Si lasgestiones diplomáticas resultaren infructuosas o si la urgencia del caso lo aconseja-re, el Consejo Permanente convocará de inmediato un período extraordinario de se-siones de la Asamblea General para que ésta adopte las decisiones que estime apro-piadas, incluyendo gestiones diplomáticas, conforme a la Carta de la Organización,el derecho internacional y las disposiciones de la presente Carta Democrática. Du-rante el proceso se realizarán las gestiones diplomáticas necesarias, incluidos losbuenos oficios, para promover la normalización de la institucionalidad democrática.Artículo 21Cuando la Asamblea General, convocada a un período extraordinario de sesiones,constate que se ha producido la ruptura del orden democrático en un Estado Miem-bro y que las gestiones diplomáticas han sido infructuosas, conforme a la Carta dela OEA tomará la decisión de suspender a dicho Estado Miembro del ejercicio de suderecho de participación en la OEA con el voto afirmativo de los dos tercios de losEstados Miembros. La suspensión entrará en vigor de inmediato. El Estado Miem-bro que hubiera sido objeto de suspensión deberá continuar observando el cumpli-miento de sus obligaciones como miembro de la Organización, en particular en ma-teria de derechos humanos. Adoptada la decisión de suspender a un gobierno, laOrganización mantendrá sus gestiones diplomáticas para el restablecimiento de lademocracia en el Estado Miembro afectado.Artículo 22Una vez superada la situación que motivó la suspensión, cualquier Estado Miembroo el Secretario General podrá proponer a la Asamblea General el levantamiento dela suspensión. Esta decisión se adoptará por el voto de los dos tercios de los Esta-dos Miembros, de acuerdo con la Carta de la OEA.

VLa democracia y las misiones de observación electoral

Artículo 23Los Estados Miembros son los responsables de organizar, llevar a cabo y garantizarprocesos electorales libres y justos. Los Estados Miembros, en ejercicio de su sobe-ranía, podrán solicitar a la OEA asesoramiento o asistencia para el fortalecimientoy desarrollo de sus instituciones y procesos electorales, incluido el envío de misio-nes preliminares para ese propósito.Artículo 24Las misiones de observación electoral se llevarán a cabo por solicitud del EstadoMiembro interesado. Con tal finalidad, el gobierno de dicho Estado y el SecretarioGeneral celebrarán un convenio que determine el alcance y la cobertura de la mi-sión de observación electoral de que se trate. El Estado Miembro deberá garantizarlas condiciones de seguridad, libre acceso a la información y amplia cooperación conla misión de observación electoral. Las misiones de observación electoral se realiza-rán de conformidad con los principios y normas de la OEA. La Organización deberáasegurar la eficacia e independencia de estas misiones, para lo cual se las dotaráde los recursos necesarios. Las mismas se realizarán de forma objetiva, imparcial ytransparente, y con la capacidad técnica apropiada. Las misiones de observaciónelectoral presentarán oportunamente al Consejo Permanente, a través de la Secre-taría General, los informes sobre sus actividades.Artículo 25Las misiones de observación electoral deberán informar al Consejo Permanente, através de la Secretaría General, si no existiesen las condiciones necesarias para larealización de elecciones libres y justas. La OEA podrá enviar, con el acuerdo del Es-tado interesado, misiones especiales a fin de contribuir a crear o mejorar dichas con-diciones.

VIPromoción de la cultura democrática

Artículo 26La OEA continuará desarrollando programas y actividades dirigidos a promover losprincipios y prácticas democráticas y fortalecer la cultura democrática en el Hemis-ferio, considerando que la democracia es un sistema de vida fundado en la libertady el mejoramiento económico, social y cultural de los pueblos. La OEA mantendráconsultas y cooperación continua con los Estados Miembros, tomando en cuenta losaportes de organizaciones de la sociedad civil que trabajen en esos ámbitos.Artículo 27Los programas y actividades se dirigirán a promover la gobernabilidad, la buenagestión, los valores democráticos y el fortalecimiento de la institucionalidad políticay de las organizaciones de la sociedad civil. Se prestará atención especial al desa-rrollo de programas y actividades para la educación de la niñez y la juventud comoforma de asegurar la permanencia de los valores democráticos, incluidas la libertady la justicia social.Artículo 28Los Estados promoverán la plena e igualitaria participación de la mujer en las es-tructuras políticas de sus respectivos países como elemento fundamental para lapromoción y ejercicio de la cultura democrática.

Carta Democrática Interamericana

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