300 uni-fia mih anexo c 4 generac q fisher 26 de may 2012

SECCIÓN DE POSGRADO

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

MAESTRÍA EN INGENIERÍA HIDRÁULICA

HIDROLOGÍA AVANZADA. Ciclo 2012 � I.

Clase 6: 26 de Mayo de 2012. UNI � Lima � Perú. wol.

58

ANEXO

CAPITULO 4

ESCORRENTIA SUPERFICIAL

GENERACION

DE CAUDALES MEDIOS MENSUALES

MARCO TEORICO

DEL MODELO LUTZ - SCHULTZ

BALANCE HIDRICO DE FISHER

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INDICE

1.- MARCO TEORICO DEL MODELO DE BALANCE HIDRICO DE FISHER 1.1.- INTRODUCCION

1.2.- ECUACION GENERAL DEL MODELO DE BALANCE HIDRICO

1.3.- PRECIPITACION EFECTIVA

1.4.- ANALISIS DE LA RETENCION DE LA CUENCA

1.5.- RELACION ENTRE DESARGAS Y RETENCION

1.6.- COEFICIENTE DE AGOTAMIENTO

1.7.- ALMACENAMIENTO HIDRICO

1.8.- ABASTECIMIENTO DE LA RETENCION

1.9.- DISEÑO DEL MODELO MATEMÁTICO PARA GENERAR CAUDALES

INDICE DE CUADROS

1.- Coeficientes de cálculo de la precipitación efectiva (PE)

INDICE DE GRAFICOS

1.- Precipitación efectiva, Método del US Bureau of Reclamation






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1.- MARCO TEORICO DEL MODELO DE BALANCE HIDRICO DE FISHER

1.1.- INTRODUCCION

Se presenta el marco teórico del Balance Hídrico de Fisher, en el cual se sustenta el

modelo precipitación escorrentía para la generación de caudales medios mensuales de Lutz

- Schultz, con el fin de establecer modelos parciales, sean éstos determinísticos o

estocásticos para regionalizar los parámetros que describen el caudal mensual. El Manual de Uso del Modelo de Lutz � Schultz (Referencia Bibliográfica N° 5),

constituyó la base para la elaboración de este Anexo. 1.2.- ECUACION GENERAL DEL MODELO DE BALANCE HIDRICO

Para la obtención de los parámetros de escorrentía del año promedio en la cuenca de

interés, se aplica el método propuesto por Fisher denominado Balance Hídrico Mensual

expresado en mm/mes, el cual tiene la siguiente forma :

Qm = Pi - Di + Gi - Ai (1) Donde :

Qm = Caudal mensual en mm/mes, lámina media del flujo (mm/mes)

Pi = Precipitación total mensual (mm/mes) Di = Déficit de escorrentía (mm/mes)

Gi = Gasto de la retención (mm/mes) Ai = Abastecimiento de la retención (mm/mes) Se admite que para períodos largos el gasto y el abastecimiento son iguales, o sea que la

retención de la cuenca no cambia y que para el año promedio una parte fija de la

precipitación se pierde por evaporación y otra parte es retenida por la vegetación por lo que

el término (Pi - Di) se puede sustituir por f(P) denominada Precipitación Efectiva (PE).

De esta manera la ecuación (1) se convierte en :

Qm = PE + Gi - Ai (2)






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1.3.- PRECIPITACION EFECTIVA Suponiendo que los caudales promedio observados pertenezcan a un estado de equilibrio entre gasto y abastecimiento de la retención de la cuenca respectiva, se calcula la

precipitación efectiva para el coeficiente de escurrimiento promedio de manera que la relación entre la precipitación efectiva y total sea igual al coeficiente de escurrimiento. Para este cálculo se adopta el método del United States Bureau of Reclamation (USBR)

para la determinación de la porción de lluvias que es aprovechable para cultivos. El USBR llama a esta cantidad la precipitación efectiva de los cultivos que en realidad es

la antítesis de la precipitación de escorrentía anteriormente mencionada. Este método estudiado por el USBR, se basa en el principio que cuando aumenta la precipitación total mensual, se toma un porcentaje disminuyendo del incremento de la

lluvia - o en forma inversa a dicho incremento - como aumento de la precipitación efectiva

de manera tal que a partir de un cierto límite superior la precipitación efectiva para los

cultivos tiende a mantenerse constante. En Hidrología, se toma como precipitación efectiva esta parte de la precipitación total

mensual que sale como déficit según el método original del USBR. Para facilitar el cálculo de la precipitación efectiva se determinó un polinomio de quinto

grado :

PE = a0 + a1*P + a2*P2 + a3*P

3 + a4*P

4 + a5*P

5 (3)

Donde :

PE = Precipitación efectiva (mm/mes)

P = Precipitación total mensual (mm/mes)

ai = Coeficientes del polinomio (a0 .. a5) obtenidos experimentalmente.

En el Cuadro N° 1 se presentan tres juegos de los coeficientes ai que permiten alcanzar cada valor del coeficiente de escurrimiento C predeterminado entre 0,15 y 0,.45 por interpolación; el Gráfico N° 1 muestra las curvas características utilizadas para el cálculo

de las precipitaciones efectivas para diversos valores de escorrentía. De este modo es posible llegar a la relación entre la precipitación efectiva y total de

manera que el volumen anual de la precipitación efectiva sea igual al caudal anual de la

cuenca respectiva.






62

Para períodos largos (año promedio de los registros históricos) :

i = 12

C = Q / P = Ó PEi / P (4) i = 1

Donde:

Gi = Gasto mensual de la retención (mm/mes)

R = Retención de la cuenca (mm/mes) i = 12 Ó PEi = Suma de la precipitación efectiva mensual i = 1 Por lo general, se debe ajustar la suma PEi entre dos valores PE determinados por los coeficientes del Cuadro N° 1, o según la Curva I y II o Curva II y III del Gráfico N° 1. 1.4.- RETENCION DE LA CUENCA Suponiendo que para el año promedio exista un equilibrio entre el gasto y el

abastecimiento de la reserva de la cuenca y admitiendo, además, que el caudal total sea

igual a la precipitación efectiva anual, se puede calcular la contribución de la reserva

hídrica al caudal según las fórmulas:

Ri = Qm - PEi (5)

Qm = PEi + Gi - Ai (6)

Donde: Qm = Caudal mensual (mm/mes) PE = Precipitación efectiva mensual (mm/mes) Ri = Retención de la cuenca (mm/mes) Gi = Gasto de la retención (mm/mes) Ai = Abastecimiento de la retención (mm/mes)






63

Ri = Gi, para valores mayores de cero (mm/mes) Ri = Ai, para valores menores de cero (mm/mes) Sumando todos los valores G o A respectivamente, se halla la retención total R de la

cuenca durante el año promedio en la dimensión de mm/año.

1.5.- RELACION ENTRE DESARGAS Y RETENCION

Durante la estación seca, el gasto de la retención alimenta los ríos y mantiene la descarga

básica. La reserva de la cuenca se agota al final de la estación seca y durante este tiempo

se puede indicar la descarga actual por la descarga del mes anterior y el coeficiente de agotamiento según la fórmula:

Qt = Qo * e -a * t

(7) Donde: Qt = Descarga en el tiempo t Qo = Descarga inicial a = Coeficiente de agotamiento t = Tiempo Al principio de la estación lluviosa, el proceso de agotamiento de la reserva termina y

parte de las lluvias más abundantes entra en los almacenes hídricos. El proceso de abastecimiento se muestra por un déficit de la precipitación efectiva y el

caudal real. El análisis de hidrogramas de la contribución de la retención a los caudales, constata que el

abastecimiento es más fuerte al principio de la estación lluviosa y cuando los almacenes naturales - lagunas, pantanos, nevados y los acuíferos - ya están recargados parcialmente,

la restitución acaba poco a poco. La ecuación (7) indica que los caudales durante la estación seca están relacionados a los

del mes anterior por la relación siguiente cuando se cuenta el mes por treinta días:

b0 = e -a * t

(8)






64

b0 = e -a * 30

Donde: b0 = Relación entre la descarga del mes actual y del mes anterior a = Coeficiente de agotamiento Durante la estación seca de m meses de duración, el caudal disminuye en la relación:

Qj / Q0 = b0j (9)

Donde: Qj = Descarga del mes j Q0 = Descarga inicial b0

j = Relación entre las descargas Qj y Qo La suma de los factores mensuales b0

i durante la estación seca de m - meses: m

bm = Ó b0i (10)

i = 1

Corresponde al gasto total durante el período de m meses secos o el agotamiento total de la

reserva hídrica de la cuenca. En consecuencia, la contribución mensual de la retención durante la estación seca se puede

indicar por la relación siguiente:

b0i

Gi = R * ------ (11) i = m

Ó b0i

i = 1

Donde: Gi = Gasto mensual de la retención (mm/mes) R = Retención de la cuenca (mm/mes)






65

b0 = Relación entre el caudal del mes actual y anterior b0

i = Relación del caudal del mes actual i y el caudal inicial o anterior.

1.6.- COEFICIENTE DE AGOTAMIENTO Aplicando la fórmula (7), se puede calcular el coeficiente de agotamiento "a" sobre la base

de datos hidrométricos. Se constata que el coeficiente "a" no es constante durante toda la estación seca sino que disminuye poco a poco. Además "a" tampoco es constante para

todos los años, sino que oscila alrededor de un promedio. Para el cálculo práctico, estos fenómenos no son decisivos y se puede despreciar la variación del coeficiente "a" durante la estación seca empleando un valor promedio del

coeficiente. De mayor importancia es la dependencia conocida del coeficiente de agotamiento del área

de la cuenca (A), de la forma logarítmica:

A = f (Ln A) (12)

Investigaciones realizadas muestran además cierta influencia del clima, de la geología y de

la cobertura vegetal. Lutz formuló un juego de cuatro ecuaciones para determinar el coeficiente "a" para cuatro

clases de cuencas: - Agotamiento muy rápido por temperatura elevada mayor de 10C y retención

reducida (50 mm/año) hasta retención mediana (80 mm/año).

a = - 0.00250 Ln A + 0.034 (13)

- Agotamiento rápido por retención entre 50 y 80 mm/año y vegetación poco

desarrollada.

a = - 0.00252 Ln A + 0.030 (14)

- Agotamiento mediano por retención mediana (alrededor de 80 mm/año) y

vegetación mezclada (pastos, bosques y terrenos cultivados).

a = - 0.00252 Ln A + 0.026 (15)






66

- Agotamiento reducido por alta retención (más de 100 mm/año) y vegetación

mezclada.

a = - 0.00252 Ln A + 0.023 (16)

Donde: a = Coeficiente de agotamiento por día

A = Área de la cuenca en km2. Se puede determinar el coeficiente de agotamiento real mediante varios aforos en el río

durante la estación seca; pero cuando no exista ningún aforo o solamente una observación,

se utiliza una de las ecuaciones empíricas (desde la 13 hasta 16), según la predominancia

de los criterios anteriormente mencionados. En caso de poseer registros de caudales, el coeficiente de agotamiento promedio para la estación seca está dado por la expresión:

a = - Ln (Qt / Q0) / T (17) Donde: a = Coeficiente de agotamiento Qt = Retención mensual del último mes seco Q0 = Retención del primer mes seco T = Tiempo en días del período seco 1.7.- ALMACENAMIENTO HIDRICO Entre los almacenes naturales que producen el efecto de la retención de la cuenca o

almacenamiento hídrico, se puede distinguir tres tipos con mayor importancia: - Acuíferos - Lagunas y pantanos - Nevados Sobre la base de las observaciones disponibles, se puede indicar que la lámina de agua �L�

que cada tipo almacena durante el año promedio:






67

Acuíferos en función de la pendiente del desagüe:

LA = - 750 * I + 315 (mm/año)

Donde: LA = lámina específica de acuíferos I = pendiente del desague; I <= 15% Lagunas y pantanos:

LL = 500 (mm/año) LL = lámina específica de lagunas y pantanos Nevados:

LN = 500 (mm/año) LN = lámina específica de nevados. La extensión de cada tipo de almacén en la cuenca se puede medir con precisión en las

cartas nacionales de escala 1:100,000. Además, se puede tomar como referencia

fotografías aéreas en caso de estar disponibles; este procedimiento vale también para la

estimación de la extensión de los acuíferos potenciales. El almacenamiento a corto plazo - intercepción - no se toma en consideración estacionaria

de valores mensuales, sino que ya está incluido en la precipitación efectiva.

1.8.- ABASTECIMIENTO DE LA RETENCION Siempre que se pueda describir el gasto de la retención R durante la estación seca mediante

una ecuación sencilla (7) no existe una fórmula similar para la descripción durante la

estación lluviosa. No se puede emplear el modelo de Horton u otros modelos similares para la infiltración

porque estos métodos han sido establecidos para calcular infiltraciones altas (rango mm/hora), durante lluvias fuertes. La suma de los valores relativos del abastecimiento "ai" es igual a 100% correspondiente a la restitución total de la retención R de la cuenca.






68

La lámina de agua Ai que entra en la reserva de la cuenca se muestra en forma de déficit

mensual de la precipitación efectiva mensual PEi; se calcula mediante la ecuación:

Ai = ai * (R / 100) (18)

Donde: Ai = Abastecimiento mensual, déficit de la precipitación efectiva (mm/mes) ai = Coeficiente de abastecimiento (mm/mes) R = Retención de la cuenca (mm/año) No existe una fórmula para el cálculo del coeficiente de abastecimiento, por lo que se debe

estimar en base a los resultados de observaciones de eventos hidrometeorológicos de la

cuenca, o de cuencas vecinas en caso de carecer de información. 1.9.- DISEÑO DEL MODELO MATEMÁTICO PARA GENERAR CAUDALES

El modelo hidrológico propuesto, permite determinar los caudales mensuales del año

promedio con una precisión satisfactoria. El método para la generación de caudales toma

como base el año promedio y es una combinación de un proceso markoviano de primer

orden, según la ecuación (19) con una variable de impulso, que para el problema presente es la PE en la ecuación (20):

Qt = f (Q(t - 1)) (19)

Q = g ( PEt ) (20)

Para aumentar el rango de los valores generados y obtener una aproximación óptima a la

realidad, se utiliza además una variable aleatoria, aplicando el mismo criterio que el mencionado anteriormente para la generación de la precipitación:

Z = 2 * S * å * ( 1 - r2 ) 2

(21)

La ecuación integral para la generación de caudales mensuales combinando las

componentes antes mencionadas se escribe:

Qt = B1 + B2*Qt-1 + B3*PEt + 2*S*å*(1 - r2)2 (22)

Donde:

Q = caudal del mes t






69

Qt-1 = caudal del mes anterior PEt = precipitación efectiva del mes t

å = valor aleatorio S = desviación standard r = coeficiente de regresión B1 = factor constante = caudal básico

Se calculan los parámetros B1, B2, B3, r, y S sobre la base de los resultados del modelo para el año promedio por un cálculo de regresión múltiple con Qt como valor dependiente y Qt-1 y PEt como valores independientes. å = valor aleatorio utilizado para generar precipitaciones - 1 å 1

Ó å = 0

Varianza de å = 1 Con la aplicación de esta expresión podemos obtener el caudal del mes deseado con una

confianza del 95%. La ventaja del modelo es que todos los cálculos se pueden ejecutar en la computadora

utilizando hojas de cálculo y en forma de cuadros; en lo que se refiere a los valores

aleatorios, se pueden emplear los valores publicados en tablas.

Existen varias posibilidades para elegir el valor inicial del proceso de generación: Empezar el cálculo en el mes para el cual se dispone de un aforo, Empezar con el caudal promedio de cualquier mes, o Empezar con el caudal de cero, calcular un año y tomar el último valor como

Q0, sin considerar estos valores en el cálculo de los parámetros estadísticos del

período generado.






70

1,- a0 -0,018000 -0,021000 -0,028000

2,- a1 -0,018500 0,135800 0,275600

3,- a2 0,001105 0,002296 -0,004103

4,- a3 -1204 E - 8 4349 E - 8 5534 E - 8

5,- a4 144 E - 9 -89,0 E - 9 124 E - 9

6,- a5 285 E - 12 -879 E - 13 -142 E - 11

FUENTE : Cuadro N° 3,3,3, Lutz (Referencia Bibliográfica N° 6)

PE = a0 + a1 * P + a2 * P^2 + a3 * P^3 + a4 * P^4 + a5 * P^5

Curva II

CURVA II : PE = P - 86,4 para P >= 152,4 mm / mes

CURVA III : PE = P - 59,7 para P >= 127,0 mm / mes

Se aplica los coeficientes a0 - a5 en el polinomio de quinto grado :

Límite Superior para la Precipitación Efectiva (PE)

CURVA I : PE = P - 120,6 para P >= 177,8 mm / mes

Coeficientes Valores de a0 - a5

Curva I Curva III

CUADRO N° 1

MODELO DEL BALANCE HIDRICO DE FISHER

COEFICIENTES DE CALCULO DE LA PRECIPITACION EFECTIVA (PE)






71

GRAFICO N° 1

PORCION DE LA PRECIPITACION EFECTIVA QUE PRODUCE ESCURRIMIENTO

SEGUN EL METODO DEL U.S. BUREAU OF RECLAMATION

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

140,0

0,0 25,4 50,8 76,2 101,6 127,0 152,4 177,8

Precipitación Total Mensual, Pp (mm / mes)

Pre

cip

itació

n E

fectiva, PE (

mm

/ m

es)

Curva I : C = 0,15

Curva II : C = 0,30

Curva III : C =0,45

Fuente : Gráfico N° 3,2 : Manual Modelo de Luttz (Referencia Bibliográfica N° 5)

300 uni-fia mih anexo c 4 generac q fisher 26 de may 2012

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