3 operaciones algebraicas
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apuntes para la materia deálgebraEscuela Preparatoria Lázaro CárdenasUniversidad Michoacana de San Nicolás de HidalgoUruapan, Michoacan MexicoTRANSCRIPT
3. OPERACIONES ALGEBRAICAS. 3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios. 3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación. 3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. 3.4. Multiplicación por polinomios. 3.5. Definición de producto y producto notable.
3.5.1. Cuadrado de un binomio. 3.5.2. Binomios conjugados. 3.5.3. Binomio con un término común. 3.5.4. Cubo de un binomio. 3.5.5. Teorema del binomio. 3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos 3.5.7. Cuadrado de un trinomio.
3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división. 3.7. División de polinomios. 3.8. División sintética. 3.9. Factorización.
3.9.1. Factor común. 3.9.2. Diferencia de cuadrados. 3.9.3. Trinomios con término de segundo grado. 3.9.4. Suma y diferencia de cubos. 3.9.5. Por agrupación.
Así como la aritmética surgió la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.
Los primeros vestigios históricos sobre el desarrollo del álgebra en la antigüedad han sido encontrados en Egipto. Los egipcios desarrollaron muchísimos las matemáticas como consecuencia de la creación de las pirámides y otros monumentos y de las inundaciones del Nilo que contribuyeron a desarrollar la agrimensura y con ella la geometría. En los documentos escritos hallados se han encontrado ingeniosos métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado, lo cual pone de manifiesto la familiaridad de los egipcios con el álgebra
Operaciones Algebraicas
Capitulo 3
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 2
3.1. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES
ENTEROS Y FRACCIONARIOS.
SUMA
La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.
E J E M P L O :
Supongamos que se desea sumar 373 2 xx y 925 2 xx ; es decir deseamos encontrar
925373 22 xxxx
Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva podemos escribir:
658
932753
932753925373
2
2
2222
xx
xx
xxxxxxxx
E J E M P L O :
De manera semejante, la suma de 327
34 23 xxx y 9
7
16 23 xx , se escribe como:
1227
210
9327
1
7
3649
7
1632
7
34
23
22332323
xxx
xxxxxxxxxx
E J E M P L O :
Para sumar 273 2 xx y xx 534 2 ; primero escribimos ambos polinomios en orden
descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos
5 2 3
5 2 3
325347354237
2
2
2222
xx
xx
xxxxxxxx
E J E M P L O :
Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.
Por ejemplo, para sumar los polinomios 37 2 xx , xx 286 2 y 53 2 xx , escribimos
cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y
sumamos:
626
626
5833276
53826375328637
2
2
222
222222
xx
xx
xxxxxx
xxxxxxxxxxxx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 3
RESTA
Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c
Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta)
debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que
multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.
E J E M P L O :
Efectuar la operación 254123 22 xxxx
SOLUCIÓN:
17
17
215243
254123254123
2
2
22
2222
xx
xx
xxxx
xxxxxxxx
E J E M P L O :
Resolver 2 22 3
5 10x y x y
SOLUCIÓN: 2 2 2 2 2 22 3 2 3 4 3 7
5 10 5 10 10 10x y x y x y x y x y x y
E J E M P L O :
Restar 4 3 2 28 5 3x x y x y y 4 3 2 24 2 5x x y x y
SOLUCIÓN:2223344
2253244223354822532442233548
yxyxx
yxyxxyxyxxyxyxxyxyxx
E J E M P L O :
Restar 2 2 31 1 1
3 4 6x y xy x y 2 2 31 1 1
6 3 4x y xy x
SOLUCIÓN:
3 2 2
3 2 2
3 2 21 7
12 12
1 1 1
6 3 4
1 1 1
4 6 3
1
6
x x y xy
x x y xy
x x y xy
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3 - 4
E J E R C I C I O S 3 .1 :
Resolver los ejercicios siguientes:
1.- 12612 22 yyyy
2.- 15134 22 xxxx
3.- 1214 22 zzzz
4.- 3453 22 yyyy
5.- xxyxxyxy 262 2
6.- 32435 22 axaxax
7.- zyxzyxzyxzyx 43222
8.- cbacbacbacba
9.- khgkhgkhgkhg 32223232
10.- zyxzyxzyxzyx 5423222
11.- 2 2 2 23 2 1 1 1 1
4 3 3 9 6 3a b ab b ab b
12.- 2 2 2 2 29 25 1 1 5 7 1 715 30 3
17 34 4 2 17 34 4 34m n mn n m m mn
13.- 2 2 2 21 3 3 1 1 1 3 12 6 4 2
2 5 4 10 4 25 5 8b m cn b m cn b m cn cn b m
14.- 2 25 3 5
6 8 6a a a
15.- 1 3
8 6 52 5
a b a b
16.- 3 2 4 4 3 2 2 3 42 3 1 7 1 2 17
9 7 8 8 14 3 3x y xy x y x y x y xy
17.- 6 6 4 2 2 4 4 2 2 4 62 1 7 5 3 3 3 5
13 3 20 14 5 10 7 9m n m n m n m n m n n
18.- 3 2 2 25 7 5 1 16
6 8 8 4 3a ab a b ab
19.- 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 20.2 0.4 0.5 0.8 0.6 0.3 0.4 6 0.8 0.2 0.9 1.5a ab a b b ab a b a a b a b a b
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3 - 5
3.2 INTRODUCCIÓN Y SUPRESIÓN DE SIGNOS DE AGRUPACIÓN
En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por
ejemplo, para combinar términos semejantes en 2253 xx tenemos que suprimir los
paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún signo) enfrente de los paréntesis,
podemos simplemente eliminar; esto es,
baba
baba
E J E M P L O :
35
2523
2523
22532253
x
xx
xx
xxxx
La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la manera siguiente:
E J E M P L O :
15
3228
228
32283128
x
xxx
xxx
xxxxxx
En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión,
utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este modo, por lo general no escribimos
35 x , sino 35 x . Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los
símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.
E J E M P L O :
132
5342
5342
332521332521
2
22
22
2222
xx
xxxx
xxxx
xxxxxxxx
Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:
acabcba
La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números dentro de los
paréntesis. Por tanto adacabdcba . Además cabaacb
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3 - 6
3.3 LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA MULTIPLICACIÓN
Los exponentes se han utilizado para indicar el número de veces que se repite un factor en
un producto. Por ejemplo, xxxx 3. La notación exponencial proporciona un modo
sencillo para multiplicar expresiones que contienen potencias de la misma base.
PRIMERA LEY DE LOS EXPONENTES.
Los exponentes se suman para multiplicar dos potencias de la misma base.
Considera que m y n son enteros positivos: nmnm xxx
Esta regla significa que para multiplicar expresiones con la misma base, mantenemos la
base y sumamos los exponentes. Antes de aplicar la regla del producto, hay que
asegurarnos de que las bases sean las mismas.
Por supuesto algunas expresiones pueden tener coeficientes de 1. Por ejemplo, la expresión 23x tiene coeficiente numérico de 3. De manera similar, el coeficiente numérico de
35x es 5.
Si decidimos multiplicar 23x por
35x , solo multiplicamos números por números (coeficientes)
y letras por letras. Este procedimiento es posible debido a las propiedades conmutativa y
asociativa de la multiplicación. Luego de aplicar estas dos propiedades, escribimos:
E J E M P L O :
5323232 15155353 xxxxxx
E J E M P L O :
683215123522 64248248 yxyyyxxxyxxyyx
SEGUNDA LEY DE LOS EXPONENTES.
Los exponentes se multiplican par elevar una potencia a otra potencia.
Si m y n son enteros positivos: nmnm xx
Cuando se eleva una potencia a una potencia, mantenemos las bases y multiplicamos los
exponentes.
Considera la expresión 34x , que significa que 4x está elevado al cubo. Esta expresión
puede simplificarse como se muestra enseguida:
1244444434 xxxxxx
En forma parecida 10222222222252 yyyyyyyy
Debido a que la multiplicación es en realidad una suma que se repite, es posible obtener los
mismos resultados en los ejemplos anteriores al multiplicar entre sí los exponentes.
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3 - 7
E J E M P L O :
186363 555
E J E M P L O :
96
3332
3332
333222
323232332
yx
yx
yx
yyyxxx
yxyxyxyx
TERCERA LEY DE LOS EXPONENTES.
Mediante las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación es posible escribir
Una potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los
factores.
Simbólicamente: nnnbaab
E J E M P L O :
3
33
3
8
2
222
2222
x
x
xxx
xxxx
E J E M P L O :
84424442 8133 yxyxxy
E J E M P L O :
9633323332 822 yxyxyx
Ene general se cumple:
nnxx Si n es número par nn
xx Si n es número impar
E J E M P L O :
1622 44 3222 55
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 8
3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS
La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una
cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de
modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el
multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador
reciben el nombre de factores del producto.
La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres
polinomios cualesquiera zyx , , se cumplirá que yzxzxy . Esta ley acostumbra a
enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.
Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir,
que dados los polinomios cualesquiera yx , , se cumplirá que yxxy . Esta ley acostumbra
a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.
Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro
puntos siguientes:
a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo
positivo. xyyx
b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el
producto tendrá signo negativo. xyyx
c) Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el
producto tendrá signo negativo. xyyx
d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo
positivo. xyyx
Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:
+ + = +
+ - = -
- + = -
- - = +
En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:
a) Multiplicación de monomios.
b) Multiplicación de un polinomio por un monomio
c) Multiplicación de polinomios
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.
Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las
letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a
la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el
que le corresponda al aplicar la regla de los signos.
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3 - 9
E J E M P L O :
Multiplicar 43 53 xx
SOLUCIÓN: 74343 155353 xxxx
E J E M P L O :
Multiplicar cbaab 222 38
Solución: cbacbacbaab 4312221222 243838
E J E M P L O :
Multiplicar yxyxx 223 254
SOLUCIÓN: 3612231223 40254254 yxyxyxyxx
E J E M P L O :
Multiplicar 22223 6542 ababccbabca
SOLUCIÓN:
467
1212121112322223
240
65426542
cba
cbaababccbabca
El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.
MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del
polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los
productos parciales así obtenidos.
E J E M P L O :
Multiplicar aaa 3453 23
SOLUCIÓN:
aaa
aaaaaaaa
12159
3435333453
34
2323
E J E M P L O :
Multiplicar: xyyxyyxx 233 3223
SOLUCIÓN:
332234
32233223
2662
2 2 3 23 2 233
xyyxyxyx
xyyxyxyxyyxxyxxyyxyyxx
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3 - 10
E J E M P L O :
Multiplicar:
2543223
2
1
5
2
6
5
4
1
3
2abbabbaba
SOLUCIÓN:
7625344
2524232223
2543223
5
1
12
5
8
1
3
1
2
1
5
2
2
1
6
5
2
1
4
1
2
1
3
2
2
1
5
2
6
5
4
1
3
2
abbababa
abbabababbaabba
abbabbaba
E J E M P L O :
Multiplicar: 4 2 2 4 62 3 5
3 5 6x y x y y por
2 3 22
9a x y
SOLUCIÓN:
4 2 2 4 6
2 3 2
2 7 4 2 5 6 2 3 8
2 3 5
3 5 6
2
9
4 2 5
27 15 27
x y x y y
a x y
a x y a x y a x y
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por
cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a
continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.
E J E M P L O :
Multiplicar: 223223 5432432 babababbaa
54322345
543223
432234
322345
22
3223
10 28 25 10 6a
10 20 15 10
8 16 12 8
6 12 9 6a
5 4 3
2 4 3 2
babbababa
babbaba
abbababa
bababa
baba
babbaa
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E J E M P L O :
Multiplicar: 432224123 222 xxxxxx
SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos
2 6 2 2 12
2 4 6
2 4 6
4 8 12
2 2 4
1 2 3
234
2
23
234
2
2
xxxx
xx
xxx
xxx
xx
xx
A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.
8 3030 26 8332 -24
8 248 8 48
6 18 6 6 36
4 12 4 4 - 24
4 3 2
2 6 2 2 12
23456
234
2345
23456
2
234
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
xx
xxxx
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3 - 12
E J E R C I C I O S 3 .2 :
Resolver los ejercicios siguientes:
1.- 532 32 xyyx
2.- 422 54 yxxy
3.- cbaa 22
4.- 222232 4523 yxxyyxyx
5.- baba 232
6.- 3232 234 xxxx
7.- 11 aa
8.- 242 32 bcaab
9.- cabcb 332 83
10.- 2332 42 yxyzx
11.- 21 2 2
2 3 5a b a
12.- 6 4 2 2 4 6 3 4 32 1 3 1 5
5 3 5 10 7x x y x y y a x y
13.- 2 333 5 6
10a b c a x
14.- 4 2 2 4 3 42 1 3
9 3 7x x y y x y
15.- 32 3 2
3 4 3a b a b
16.- 3 2 2 3 2 23 1 2 1 2 5 2
4 2 5 4 3 2 3m m n mn n m n mn
17.- 2 3 21 1 1 1 3 1 1
2 3 4 4 2 5 10x x x x x
18.- 1 1 1 1
2 3 3 2a b a b
19.- 2 21 2 1 3
4 3 4 2a ab b a b
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3 - 13
3.5. DEFINICIÓN DE PRODUCTO Y PRODUCTO NOTABLE
Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se
multiplican se llaman factores o divisores del producto. Se llaman productos notables (o
productos especiales) a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede
ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
3.5.1. Cuadrado de un binomio
El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primer número, más el
doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del
segundo.
Consideremos que 2yx . Tendremos que yxyxyx
2. Por tanto
2 2 2 22x y x y x xy xy y x xy y
Es decir 2222 yxyxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 22x
SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 2x
El doble del producto del primer número por el segundo: xx 422
El cuadrado del segundo número: 422
Así pues 442 22 xxx
E J E M P L O :
Al desarrollar 223 yx
SOLUCIÓN: Tendremos que el cuadrado del primer número: 2293 xx
El doble del producto del primer número por el segundo: xyyx 12232
El cuadrado del segundo número: 2242 yy
Así pues 222412923 yxyxyx
E J E M P L O :
Al desarrollar 232 34 yx
SOLUCIÓN:
6324
233222232
92416
3342434
yyxx
yyxxyx
El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primer número menos
el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del
segundo número.
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3 - 14
Consideremos que 2yx .
Tendremos que yxyxyx 2
.
Por tanto 2 2 2 22x y x y x xy xy y x xy y
Es decir 2222 yxyxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 23x
SOLUCIÓN:
96
3323
2
222
xx
xxx
E J E M P L O :
Desarrollar 242 yx
SOLUCIÓN:
22
222
16164
4422242
yxyx
yyxxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 223 52 yx
SOLUCIÓN:
4236
222323223
25204
5522252
yyxx
yyxxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 2
2 34 3a b
SOLUCIÓN: 2 22
2 3 2 2 3 3
4 2 3 6
4 3 4 2(4 ) 3 3
16 24 9
a b a a b b
a a b b
3.5.2 Binomios conjugados
El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos
el cuadrado del segundo número.
Consideremos el producto: yxyx
2 2 2 2x y x y x xy xy y x y
Es decir 22 yxyxyx
E J E M P L O :
Multiplicar 44 xx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
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SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 22xx
Cuadrado del segundo número: 1642
Así pues, 1644 2 xxx
E J E M P L O :
Multiplicar yxyx 2525
SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 22255 xx
Cuadrado del segundo número: 2242 yy
Así pues, 22 4252525 yxyxyx
E J E M P L O :
Multiplicar 3232 3535 yxyx
SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número: 422 255 xx
Cuadrado del segundo número: 623 93 yy
Así pues, 643232 9252525 yxyxyx
E J E M P L O :
Multiplicar 3883 xx
SOLUCIÓN: Cuadrado del primer número de la diferencia: 932
Cuadrado del segundo número de la diferencia: 22648 xx
Así pues, 26493883 xxx
3.5.3. Binomio con un término común
El producto de dos binomios del tipo bxax es igual al cuadrado del primer término,
más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el
producto de los segundos términos.
Se trata de demostrar que abxbaxbxax 2.
Tendremos que: 2 2x a x b x ax bx ab x a b x ab
Es decir abxbaxbxax 2, tal como queríamos demostrar.
E J E M P L O :
Comprobar que 545454 2 xxxx .
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 16
SOLUCIÓN: Tendremos
2
2
4 5
4 5 4 5
9 20
x x
x x
x x
.
E J E M P L O :
Comprobar que 323232 2 xxxx
SOLUCIÓN: Tendremos 2
2
2 3 2 3 2 3
6
x x x x
x x
.
E J E M P L O :
Comprobar que 464646 2 xxxx .
SOLUCIÓN: Tendremos 2
2
6 4 6 4 6 4
2 24
x x x x
x x
.
E J E M P L O :
Comprobar que 353535 2 xxxx .
SOLUCIÓN: Tendremos 2
2
5 3 5 3 5 3
8 15
x x x x
x x
.
3.5.4. Cubo de un binomio
El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del
producto del cuadrado del primer número por el segundo, más el triple del producto del
primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
Consideremos yxyxyxyxyxyxyxyxyx 22232 , por lo
tanto
3222
322
222
22
3 3
2
2
2
yxyyxx
yxyyx
xyyxx
yx
yxy x
Es decir 3222333 yxyyxxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 32x
SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33xx
Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 22623 xx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 17
Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: xx 12232
Cubo del segundo número: 823
Así pues 81262 233 xxxx
E J E M P L O :
Desarrollar 323 yx
SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33273 xx
Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: yxyx 2254233
Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: 2236233 xyyx
Cubo del segundo número: 3382 yy
Así pues 32233836542723 yxyyxxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 332 23 ba
SOLUCIÓN:
662346
3323232232332
8365427
2233233323
bbabaa
bbabaaba
El cubo de la diferencia de dos números es igual al cubo del primer número, menos el triple
del producto del cuadrado del primer número por el segundo más el triple del producto del
primer número por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo número.
Consideremos yxyxyxyxyxyxyxyxyx 22232 , por lo
tanto
3222
322
222
22
3 3
2
2
2
yxyyxx
yxyyx
xyyxx
yx
yxy x
Es decir 3222333 yxyyxxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 33x
SOLUCIÓN: Cubo del primer número: 33xx
Triple del producto del cuadrado del primer número por el segundo: 22933 xx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 18
Triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo: xx 27332
Cubo del segundo número: 2733
Así pues 272793 233 xxxx
E J E M P L O :
Desarrollar 332 yx
SOLUCIÓN:
3223
32233
27546368
3323323232
yxyyxx
yyxyxxyx
E J E M P L O :
Desarrollar 332 24 ba
SOLUCIÓN:
662346
3323232232332
8489664
2243243424
bbabaa
bbabaaba
3.5.5. Teorema del binomio
El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del binomio) con
la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de una potencia entera y
positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la estructura del desarrollo de n
a b :
Por multiplicación directa podemos obtener
1
a b a b
2 2 22a b a ab b
3 3 2 2 33 3a b a a b ab b
4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b
5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5a b a a b a b a b ab b
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que siguen en
su formación:
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de n
a b empieza con na y termina con
nb . En
cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al siguiente. La b
aparece por primera vez en el segundo término con exponente 1 que aumenta de 1
en 1. El exponente de b siempre es una unidad menor que el número de orden del
término.
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 19
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene
multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y dividiendo
ese producto entre el número de términos anteriores al que se trata de formar.
Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta simetría se
puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que se conoce como
Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en el desarrollo de n
a b .
1721353521717
1 6 15 20 15 6 1 6
1 5 10 10 5 1 5
1 4 6 4 1 4
1 3 3 1 3
1 2 1 2
1 1 1
1 0
n
n
n
n
n
n
n
n
A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada renglón se
observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes del primer y último
término son iguales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su izquierda
y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6 es la suma de los
elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en el renglón superior; el tercer
coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 10 del
renglón superior, y así sucesivamente.
E J E M P L O :
Desarrollar por el teorema del binomio: 4
2a b
SOLUCIÓN:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias
correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,
4 3 1 2 2 1 3 44
2 1 4 2 6 2 4 2 1 2a b a a b a b a b b
efectuando las potencias, se tiene:
4 4 3 2 2 3 42 1 4 2 6 4 4 8 1 16a b a a b a b a b b
efectuando los productos:
4 4 3 2 2 3 42 8 24 32 16a b a a b a b ab b
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 20
E J E M P L O :
Desarrollar por el teorema del binomio: 4
3 2a b
SOLUCIÓN: Procediendo de manera semejante a la anterior, se tiene:
4 3 1 2 2 1 3 44
3 2 1 3 4 3 2 6 3 2 4 3 2 1 2a b a a b a b a b b
efectuando las potencias:
4 4 3 2 2 3 43 2 1 81 4 27 2 6 9 4 4 3 8 1 16a b a a b a b a b b
efectuando los productos: 4 4 3 2 2 3 43 2 81 216 216 96 16a b a a b a b ab b
3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia
de cubos.
La suma algebraica de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer
término menos el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la
suma de los cubos de los dos términos algebraicos.
Se trata de demostrar que 2233 yxyxyxyx .
Tendremos:
33
322
223
22
yx
yxyyx
xyyxx
yx
yxy x
Es decir 3322 yxyxyxyx , tal como queríamos demostrar.
E J E M P L O :
Comprobar que 111 23 xxxx
SOLUCIÓN: 2 3 2 2
3
1 1 1
1
x x x x x x x x
x
E J E M P L O :
Comprobar que 2233 46923827 yxyxyxyx
SOLUCIÓN: 2 2 3 2 2 2 2 3
3 3
3 2 9 6 4 27 18 12 18 12 8
27 8
x y x xy y x x y xy x y xy y
x y
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 21
E J E M P L O :
Comprobar que 224236 91216342764 ccbbcbcb
SOLUCIÓN: 2 4 2 2 6 2 2 2 2 2 2 3
6 3
4 3 16 12 9 64 48 36 48 36 27
64 27
b c b b c c b b c b c b c b c c
b c
La diferencia de dos términos, por un trinomio que consta del cuadrado del primer término
más el producto de los dos, más el cuadrado del segundo término, es igual a la diferencia de
los cubos de los dos términos algebraicos.
Se trata de demostrar que 2233 yxyxyxyx .
Tendremos: 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3x y x xy y x x y xy x y xy y x y
Es decir 3322 yxyxyxyx , tal como queríamos demostrar.
E J E M P L O :
Comprobar que 4228 23 xxxx
SOLUCIÓN: 2 3
3
2 2 4 2 4 2 4 8
8
x x x x x x x x
x
E J E M P L O :
Comprobar que 2233 91216342764 yxyxyxyx
SOLUCIÓN: 2 2 3 3
3 3
4 3 16 12 9 64 48 36 48 36 27
64 27
x y x xy y x x xy x xy y
x y
E J E M P L O :
Comprobar que 63243296 96432278 bbaababa
SOLUCIÓN: 2 3 4 2 3 6 6 4 3 2 6 4 3 2 6 9
6 9
2 3 4 6 9 8 12 18 12 18 27
8 27
a b a a b b a a b a b a b a b b
a b
3.5.7. Cuadrado de un trinomio
El cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los
términos, más el doble producto de cada término por los que le siguen tomados de dos en
dos.
bcacabcbacba 2222222
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 22
E J E M P L O :
Efectuar 2
2 3 5x y z
SOLUCIÓN:
yzxzxyzyx
zyzxyxzyxzyx
3020122594
532522322532532
222
2222
E J E M P L O :
Efectuar
21 2
3 5x y z
SOLUCIÓN:
yzxzxyzyx
zyzxyxzyxzyx
5
4
3
2
15
4
25
4
9
1
5
22
3
12
5
2
3
12
5
2
3
1
5
2
3
1
222
2
222
E J E M P L O :
Efectuar 2
2 3a b c
SOLUCIÓN:
bcacabcba
cbcabacbacba
126494
32232223232
222
2222
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 23
E J E R C I C I O S 3 .3 :
Desarrollar los siguientes productos notables:
1. 2
2x
2. 2
3 a
3. 2
2 yx
4. 2
53 y
5. 2
32a
6. 2
32 ba
7. 2242 a
8. 2
43 ba
9. 23 62 bx
10. 223 32 yx
11. 234 23 yx
12. 2323 zyx
13. 23232 34 dcya
14. 2332 42 mnyx
15. 265 43 yx
16. 2
3x
17. 2
42a
18. 2
24 x
19. 2
23 yx
20. 2
35 yx
21. 222 yx
22. 222 32 yx
23. 22 42a
24. 223 42 ba
25. 234 2yx
26. 223 23 yx
27. 245 34 ba
28. x y x y
29. m n m n
30. a x x a
31. 2 2 2 2x a x a
32. 2 1 1 2a a
33. 1 1n n
34. 1 3 3 1ax ax
35. 2 9 2 9m m
36. 3 2 3 2a b a b
37. 2 23 3y y y y
38. 1 8 8 1xy xy
39. 2 2 2 26 6x m x x m x
40. m n m na b a b
41. 3 5 5 3a m m ax y y x
42. 1 1 1 12 2x x x xa b b a
43. baba 22
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 24
44. yxyx 3232
45. aa 2424
46. 2222 3232 nmnm
47. 2323 xx
48. 4242 xx
49. yy 4242
50. 5353 xx
51. 2323 22 yxyx
52. xxxx 3232 22
53. abab 4343
54. 43 xx
55. 25 aa
56. 83 aa
57. 32 xx
58. 26 aa
59. 54 aa
60. 41 aa
61. 32 aa
62. 87 xx
63. 43 22 xx
64. 53 22 aa
65. 72 22 xx
66. 45 33 xx
67. 415 33 aa
68. 23 44 xx
69. 64 55 xx
70. 84 66 xx
71. 23 xyxy
72. 64 abab
73. 52 2222 yxyx
74. 45 33 baba
75. 63 aa
76. 3
2a
77. 3
1x
78. 3
3m
79. 3
4n
80. 3
12x
81. 3
31 y
82. 322 y
83. 3
21 n
84. 3
34n
85. 32 2ba
86. 3
32 yx
87. 321 a
88. 333 23 ya
89. 3
25 x
90. 3
5x
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 25
3.6. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS PARA LA DIVISIÓN
Lo siguiente indica una regla para simplificar expresiones de la forma n
m
a
a
3
2
5
333333
33333
3
3
Se puede apreciar que podemos restar los exponentes para encontrar el exponente del
cociente. Por lo que para cualquier número real a excepto el 0 (cero), y para cualquier par
de números completos m y n
nmaa
a nm
n
m
con
E J E M P L O :
Al simplificar las siguientes expresiones tenemos:
3325
2
5
444
44444 porque 44
4
4
4426
2
6
porque xxx
xxxxxxxx
x
x
235725
52
75
qpqpqp
qp
Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es mayor que m
entonces:
mnaa
anmn
m
1
E J E M P L O :
35
2 1
xxxxxx
xx
x
x
o bien
3255
2 11
xxx
x
E J E M P L O :
2
2
4
23 3
2
32
2
6
y
x
yyyyx
yyxxx
xy
yx
o bien
2
2
24
13
4
23 33
2
6
y
x
y
x
xy
yx
Tenemos que para todo número real a excepto el 0, y para todo número completo m
m
m
aa
1
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 26
E J E M P L O :
Como en el caso:2
2
4
14
3
3 1
mm
b
a
baab
1
1 1 Ya que el exponente solo afecta a b
Sabemos que cualquier número diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1. Por
ejemplo 12
2
a
a. Si utilizamos la regla anterior, encontramos que 1022
2
2
aaa
a
Podemos establecer la siguiente definición: a0=1, para cualquier número real excepto el
cero.
p0=1 30=1
3.7. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un
producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el
producto de ambos factores llamado dividendo.
De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor
por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos 428 xyxy , se cumplirá que xyxy 824
cocientedividendodivisor cociente
divisor
dividendo
Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:
divisor
residuocociente
divisor
dividendo
Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes
y los coeficientes de las cantidades que se dividen.
(+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=–
DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO
Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del
divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada
letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el
exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar
la regla de los signos.
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 27
E J E M P L O :
Dividir 46 48 xx
SOLUCIÓN: 2464646 24:84:848 xxxxxx
E J E M P L O :
Dividir xy
zyx
3
12 23
SOLUCIÓN: yzxzyxxy
zyx 201121323
43:123
12
E J E M P L O :
Dividir 223
243
6
18
cba
cba
SOLUCIÓN: 2222433
223
243
36:186
18bcba
cba
cba
En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división
propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:
a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada
dicha letra en el divisor.
b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.
E J E M P L O :
Dividir abcddcba
cba
3
2
18
12243
32
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO
Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del
polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los
cocientes parciales así obtenidos.
E J E M P L O :
Dividir xxxx 2864 23
SOLUCIÓN:
432
2826242864
2
2323
xx
xxxxxxxxxx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 28
E J E M P L O :
Dividirxy
xyyxyxyx
3
61296 432234
SOLUCIÓN:
3223
432234432234
2432
3
6
3
12
3
9
3
6
3
61296
yxyyxx
xy
xy
xy
yx
xy
yx
xy
yx
xy
xyyxyxyx
E J E M P L O :
Dividiryx
xyyxyx2
2223
4
653
SOLUCIÓN:
x
yxy
yx
xy
yx
yx
yx
yx
yx
xyyxyx
2
3
4
5
4
3
4
6
4
5
4
3
4
6532
2
2
2
2
23
2
2223
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.
Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor,
obteniéndose así el primer término del cociente
3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe
cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto
no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el
lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.
4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,
obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.
5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así
obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y
se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
E J E M P L O :
Dividir: 43223422 376 7 1535 yxyyxyxxyxyx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 29
0
3 5
3 5
62 10
373 10
9 3 15
23
376 7 1535
4322
4322
3223
43223
2234
22
43223422
yxyyx
yxyyx
xyyxyx
yxyyxyx
yxyxx
yxyx
yxyyxyxxyxyx
Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:
En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a
la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.
A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, 415x , entre el primer
término del divisor, 25x , obteniéndose
23x , por cada uno de los términos del divisor,
obteniéndose como resultado 2234 9- 3 15 yxyxx , que se escribe debajo de los
términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos
semejantes, obteniéndose como primer resto 43223 373 10 yxyyxyx .
Después se ha dividido yx310 entre 25x obteniéndose como cociente xy2 , que es el
segundo término del cociente. Multiplicando xy2 por todos los términos del divisor que
se obtiene como resultado 3223 62 10 xyyxyx , que se escribe debajo de los
términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para
efectuar la resta.
A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,
obteniéndose como segundo resto 4322 3 5 yxyyx
Finalmente se ha dividido 225 yx entre
25x , obteniéndose como cociente 2y .
Multiplicando 2y por todos los términos del divisor se obtiene como producto
4322 3 5 yxyyx , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto
cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha
procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer
resto 0, con lo cual queda acabada la división.
E J E M P L O :
Dividir: 33612115 2234 xxxxxx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 30
SOLUCIÓN:
0
662-
662
662
61282
3 3-
22
61211533
2
2
23
23
234
2
2342
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxxx
E J E M P L O :
Dividir: 225 213- 1 aaaaa
SOLUCIÓN:
0
12
12
363
1 53
242
1 3 2
2
1323
1 3 12
2
2
23
23
234
234
345
23
252
aa
aa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaa
aaa
aaaaa
E J E M P L O :
Dividir: 2256336 324218 yxxyxyxyxy
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 31
SOLUCIÓN:
65
6542
6542
54233
654233
423324
653324
33245
6533245
2456
432234
6533622
126336
118354118
8 18 118
42 12642
8 24 8 42
8 24 8
8 24 18 8
3 93
8 24 21 3
3
1184283
8 24 21 3
yxy
yxyyx
yxyyx
xyyxyx
yxyyxyx
yxyxyx
yxyyxyx
yxyxyx
yxyyxyxyx
yxyxx
yxyyxyxx
yxyyxxyxyx
Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:
a) Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es
divisible entre el primer término del divisor.
b) Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del divisor.
c) Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor
exponente que en el primer término del divisor.
3.8. DIVISIÓN SINTÉTICA
La división sintética es un procedimiento práctico para hallar el cociente y el residuo de la
división de un polinomio entero en x por x-a.
Dividamos 1435 23 xxx entre 3x
32
5
9 3
143
62
1432
3
1435 3
2
2
2
23
23
xx
x
x
xx
xx
xx
xxxx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 32
Podemos apreciar que el cociente 322 xx es un polinomio en x de un grado menor
que el del dividendo; que el coeficiente del primer término del cociente es igual al
coeficiente del primer término del dividendo y que el residuo es 5.
Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla
práctica:
1) El cociente de un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del
dividendo.
2) El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer
término del dividendo.
3) El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el
coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor,
cambiando el signo y sumando este producto con el coeficiente del término que
ocupa el mismo lugar en el dividendo.
4) El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del divisor,
cambiando de signo y sumando este producto con el término independiente del
dividendo.
E J E M P L O :
Dividamos 1435 23 xxx entre 3x
SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor
1
3x
3 31
5
5 2
x
632
3
3
x
933
14
14
3
3
x
1 -2 -3 +5
Resultado 322 xx residuo: 5
E J E M P L O :
Efectuar por división sintética 4
8752 23
x
xxx
SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor
68 19 3 2
76419 1243 842
8 7 5 2
4
4
x
Resultado 1932 2 xx residuo: 68
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 33
E J E M P L O :
Efectuar por división sintética 2582 xxx
SOLUCIÓN:
Dividendo Divisor
25 10- 1
20210 221
5 8 1
2
2
x
Resultado 10x residuo: 25
E J E M P L O :
Efectuar por división sintética 8120216 35 xxx entre 4x
SOLUCIÓN:
Como este polinomio es incompleto, pues le faltan los términos 4x y
2x , al escribir los
coeficientes ponemos 0 en los lugares que debían ocupar los coeficientes de estos
términos.
Dividendo Divisor
727 202- 0 0 4 1
808 0 0 16 4
81 202- 0 16- 0 1
4
4
x
Como el dividendo es de 5° grado, el cociente es de 4° grado los coeficientes del cociente
son 1, 4, 0, 0 y -202, el cociente es 2024 34 xx y el residuo es -727
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 34
3.9. FACTORIZACIÓN
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a
la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la
factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que
multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Factorización
21224
3824
6424
43224
322224
Multiplicación
Al factorizar una expresión, escribimos la expresión como un producto de sus factores.
Supongamos que tenemos dos números 3 y 5 y se pide que los multipliquemos,
escribiremos 1553 . En el proceso inverso, tenemos el producto 15 y se nos pide que
lo factoricemos; entonces tendremos 5315
Al factorizar el número 20, tendremos 5420 o 21020 .
Advierte que 5420 y 21020 no están factorizados por completo. Contienen
factores que no son números primos. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Puesto que ninguna de esas factorizaciones está completa, notamos que en la primera
factorización 224 , de modo que 52220 mientras que la segunda
factorización 5210 , de modo que 25220 , en cualquier caso la factorización
completa para 20 es 522 .
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un número, queremos decir factorizarlo
por completo. Además se supone que los factores numéricos son números primos. De
esta manera no factorizamos 20 como 804
120 .
Con estos preliminares fuera del camino, ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas.
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 35
3.9.1. Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos
descubrir un patrón.
baaaba
xxxx
baba
yxyx
2363
3262
25105
444
2
2
Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: acabcba .
Cuando factorizamos cbaacab .
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a
todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es
seleccionar el máximo factor común, nax . Aquí tenemos como hacerlo:
Máximo factor común (MFC).- El término nax , es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
De este modo para factorizar 23 186 xx , podríamos escribir xxxxx 623186 223
Pero no está factorizado por completo por que xx 62 2 puede factorizarse aún más.
Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los
términos es 2x . De esta manera la factorización completa es 36186 223 xxxx .
Donde 26x es el MFC.
E J E M P L O :
Factorizar 38
388248
x
xx
E J E M P L O :
Factorizar 26
266126
y
yy
E J E M P L O :
Factorizar xx
xxxxx
525
55252510
2
2232
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 36
E J E M P L O :
Factorizar 326
3626618126
2
223
xxx
xxxxxxxx
E J E M P L O :
Factorizar 64325
6545352530201510
2342
22232422456
xxxx
xxxxxxxxxxx
E J E M P L O :
Factorizar 233
2333543
4212
422212842
xxx
xxxxxxxx
E J E M P L O :
Factorizar
534
1
54
1
4
13
4
1
4
5
4
1
4
3
2
22
xx
xxxx
3.9.2. Diferencia de cuadrados.
Aquí tenemos un producto notable 22 BABABA podemos utilizar esta
relación para factorizar una diferencia de cuadrados. BABABA 22
E J E M P L O :
Factorizar 22
24 222
xx
xx
E J E M P L O :
Factorizar 525252254222 xxxx
E J E M P L O :
Factorizar 737373499 2424222448 babababa
3.9.3. Trinomios con término de segundo grado.
Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un
trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 37
963
963
22
22
xxx
xxx
Los trinomios 96 ,96 22 xxxx , son trinomios cuadrados porque son cuadrados
de un binomio.
Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.
A. Dos de los términos deben de ser cuadrados 2A y
2B
B. No debe haber signo de menos en 2A o en
2B
C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término 2AB
o su inverso aditivo -2AB.
¿Es 1162 xx un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al
cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número.
Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:
222
222
)(2
)(2
BABABA
BABABA
Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible.
E J E R C I C I O S 3 .4 :
1.- 49142 xx
2.- 962 xx
3.- 22 495616 yxyx
4.- 22 9189 yxyx
5.- 22 164836 nmnm
6.- 254016 2 xx
7.- 22 44 yxyx
8.- 122 xx
3.9.4. Suma y diferencia de cubos.
Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las
siguientes fórmulas de factorización para la suma y la diferencia de dos cubos.
2233
2233
BABABABA
BABABABA
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 38
E J E M P L O :
Factorizar 273 y , observemos primero que se puede escribir en otra forma: 33 3y
Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de
factorización y usamos los siguientes valores A=y, y B=3, obtenemos:
933327 2333 yyyyy
E J E M P L O :
Factorizar 9643232278 2333 xxxxx
E J E M P L O :
Factorizar 111 23 tttt
3.9.5. Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro
términos. Consideremos 2223 xxx . No hay ningún factor diferente de 1. Sin
embargo podemos factorizar a 23 xx y 22 x por separado:
1223 xxxx 1222 xx
Por lo tanto 12122 223 xxxxxx . Podemos utilizar la propiedad
distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1
22 21121 xxxxx
Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las
expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
E J E M P L O :
2332
322323
64966496
2
2
2323
xx
xxx
xxxxxx
E J E M P L O :
Factorizar
11
111
11
2
2
2323
xx
xxx
xxxxxx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 39
E J E M P L O :
Factorizar
112
12
212
212
2222
2
2
2
2323
xxx
xx
xxx
xxx
xxxxxx
E J E M P L O :
Factorizar
byax
axbaxybxabayyx
22
2222222
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 40
R E S P U E S T A D E L E J E R C I C I O 3 .1 :
1.- 12612 22 yyyy
2.- 15134 22 xxxx
3.- 1214 22 zzzz
4.- 3453 22 yyyy
5.- xxyxxyxy 262 2
6.- 32435 22 axaxax
7.- zyxzyxzyxzyx 43222
8.- cbacbacbacba
9.- khgkhgkhgkhg 32223232
10.- zyxzyxzyxzyx 5423222
R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 3 .2 :
1.- 83532 632 yxxyyx
2.- 63422 2054 yxyxxy
3.- acabacabaaacbaa 2222222 322
4.-
343335
22222232222232
12156
4353234523
yxyxyx
yxyxxyyxyxyxyxxyyxyx
5.- 22 26232 babababa
6.- 9636743232 23456234 xxxxxxxxxx
7.- 532321111
aaaa
8.- 235242 632 cbabcaab
9.- 45332 2483 cabcabcb
10.- 3352332 842 zyxyxyzx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 41
R E S U L T A D O S D E L E J E R C I C I O 3 .3 :
1.- 442 22 xxx
2.- 22693 aaa
3.- 222442 yxyxyx
4.- 222530953 yyy
5.- 912432 22 aaa
6.- 222912432 bababa
7.- 4222 1616442 aaa
8.- 2221624943 bababa
9.- 23623 3624462 bbxxbx
10.- 4236223 912432 yyxxyx
11.- 6348234 412923 yyxxyx
12.- 63224232 693 zyzxyxzyx
13.- 6432326423232 9241634 dcdcyayadcya
14.- 62332642332 1616442 nmmnyxyxmnyx
15.- 126510265 1612943 yyxxyx
16.- 963 22 xxx
17.- 1616442 22 aaa
18.- 224161624 xxx
19.- 222412923 yxyxyx
20.- 2229302535 yxyxyx
21.- 4224222 2 yyxxyx
22.- 4224222 96432 yyxxyx
23.- 1616442 2422 aaa
24.- 4236223 1616442 bbaaba
25.- 6348234 442 yyxxyx
26.- 4236223 412923 yyxxyx
27.- 84510245 9121634 bbaaba
28.- 2 2x y x y x y
29.- 2 2m n m n m n
30.- 2 2a x x a a x
31.- 2 2 2 2 4 4x a x a x a
32.- 22 1 1 2 4 1a a a
33.- 21 1 1n n n
34.- 2 21 3 3 1 1 9ax ax a x
35.- 22 9 2 9 4 81m m m
36.- 3 2 3 2 6 4a b a b a b
37.- 2 2 4 23 3 9y y y y y y
38.- 2 21 8 8 1 1 64xy xy x y
39.- 2 2 2 2 4 4 26 6 36x m x x m x x m x
40.- 2 2m n m n m na b a b a b
41.- 2 23 5 5 3 9 25a m m a a mx y y x x y
42.- 1 1 1 1 2 2 2 22 2 4x x x x x xa b b a a b
43.- 22422 bababa
44.- 22 943232 yxyxyx
45.- 24162424 aaa
46.- 442222 943232 nmnmnm
47.- 492323 2 xxx
48.- 1644242 2 xxx
49.- 21644242 yyy
50.- 2595353 2 xxx
51.- 462323 422 yxyxyx
52.- 2422 943232 xxxxxx
53.- 221694343 baabab
54.- 12743 2 xxxx
55.- 10725 2 aaaa
56.- 24583 2 aaaa
57.- 6532 2 xxxx
O P E R A C I O N E S A L G E B R A I C A S
3 - 42
58.- 12426 2 aaaa
59.- 2054 2 aaaa
60.- 4541 2 aaaa
61.- 632 2 aaaa
62.- 5687 2 xxxx
63.- 1243 2422 xxxx
64.- 15853 422 aaaa
65.- 14572 2422 xxxx
66.- 2045 3633 xxxx
67.- 6011415 3633 aaaa
68.- 623 4844 xxxx
69.- 24264 51055 xxxx
70.- 32484 61266 xxxx
71.- 623 22 xyyxxyxy
72.- 24264 22 abbaabab
73.- 10352 22442222 yxyxyxyx
74.- 2045 32633 babababa
75.- 18963 2 aaaa
76.- 3 3 22 6 12 8a a a a
77.- 3 3 21 3 3 1x x x x
78.- 3 3 23 9 27 27m m m m
79.- 3 3 24 12 48 64n n n n
80.- 3 3 22 1 8 12 6 1x a x x
81.- 3 2 31 3 1 9 27 27y y y y
82.- 3
2 2 4 62 8 12 6y y y y
83.- 3 2 31 2 1 6 12 8n n n n
84.- 3 3 24 3 64 144 108 9n n n n
85.- 3
2 6 4 2 2 32 6 12 8a b a a b a b b
86.- 3 3 2 2 32 3 8 36 54 27x y x x y xy y
87.- 3
2 2 4 61 1 3 3a a a a
88.- 3 3 9 6 3 3 6 93 2 27 54 36 8a y a a y a y y
89.- 3 2 35 2 125 150 60 8x x x x
90.- 3 3 25 15 75 125x x x x
R E S P U E S T A D E L E J E R C I C I O S 3 .4 :
1.- 22 74914 xxx
2.- 22 396 xxx
3.- 222 74495616 yxyxyx
4.- 222 339189 yxyxyx
5.- 222 46164836 nmnmnm
6.- 22 54254016 xxx
7.- 222 244 yxyxyx
8.- 22 112 xxx