8/18/2019 2_valores_propios

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Balotario Semana 2

Serie de Fourier. Funciones ortogonales. Operadores. Funciones propias yvalores propios. Función de Heaviside. Función delta de Dirac

1. Desarrolle en la serie de Fourier las siguientes funciones:

a)

f (x) =   A   0 < x < 0   < x

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5. Calcule  Â B̂  y  B̂ Â si:

   =  ∂ 

∂x,   B̂   =

  1

x

   =   x +  ∂ 

∂x,   B̂   =

  ∂ 

∂x

   =   1 + x ∂ 

∂x,   B̂   =   1 +

  ∂ 

∂x

   =  1

x +

  ∂ 

∂x,   B̂   =

  1

x

   =  ∂ 

∂x,   B̂   =   x

 ∂ 

∂x

6. Encuentre el resultado de la acción de los operadores:

d2

dx2x2

 d

dxx

2sobre las funciones:

cos x ex

7. Encuentre el valor propio del operador  Â  de la correspondiente función propia  ψA,si:

 = −   d2

dx2,  ψA = sen 2x.

 = −   d2

dx2 + x2,  ψA  =  e

−x2/2.

 = −   d2

dx2 +

 2

x

d

dx,  ψA  =

 sen αx

x  .

8. Analice los siguientes operadores en L2(−∞, +∞)Reflejo  Îψ(x) = ψ(−x).Traslación  T̂ aψ(x) = ψ(x − a)Escala  M̂ cψ(x) =

√ cψ(cx),  c > 0

Conjugada compleja  K̂ψ(x) = ψ∗(x).

Determine si son lineales y encuentre sus conjugada hermítica y su inversa.

9. Sean los operadores hermíticos  Â,  B̂   y  L̂  un operador lineal cualquiera. Determinesi los siguientes operadores son hemíticos:

a) L̂+L̂,   L̂L̂+ b) L̂ + L̂+ c) i(L̂ −  L̂+)d) L̂ ÂL̂+, e)  Â B̂ +  B̂  Â e) i( Â B̂ −  B̂ Â)

10. Muestre que cualquier operador L̂  se puede representa en la forma:

L̂ =  Â + i B̂

donde  Â,  B̂   son operadores hermíticos.

11. Exprese los conmutadores:

[ ˆA,

 ˆB

 ˆC ],   [

 ˆA

 ˆB,

 ˆC ]

por  [ Â,  B̂], [ Â,  Ĉ ],  [ B̂,  Ĉ ].

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12. Considerando que el parámetro  λ   es pequeño, encuentre el desarrollo del operador( Â − λ B̂)−1 en las potencias de λ.

13. Sea el operador:

L̂ = −   1ρ(x)

d

dx

 p(x)

  d

dx

+ q (x)

donde x ∈ (a, b)  y  p(a) = p(b) = 0. Demuestre que las funciones propias son ortogo-nales en L2ρ(a, b).

14. Encuentre los valores propios y funciones propias del operador

−  d2

dx2

para 0 < x <  si:

a)   y(0) = y() = 0

b)   y(0) = y () = 0

c)   y(0) = y () = 0

d)   y(0) = y() = 0

15. Demuestre la siguiente formula:

1

x ± i0 = P 1

x ∓ iπδ (x)

16. Demuestre que las funciones:

a)  1

2√ 

πεe−x

2/4ε b)  1

π

ε

x2 + ε2

tienden a δ (x)  cuando ε → +0.17. Demuestre que:

1

2π

+∞k=−∞

eikx =+∞

k=−∞

δ (x − 2kπ)

18. Demuestre que:

δ (f (x)) =k

δ (x − xk)|f (xk)|

donde xk  son los ceros de la función f (x).

19. Compruebe que la función E 

(t) =  h(t)Z (t)  donde la función  Z (t)  es solución de laecuación:

L̂Z (t) = Z (m) + a1Z (m−1) + a2Z 

(m−2) + ... + am−1Z  + amZ  = 0

con las condiciones iniciales: Z (0) = Z (0) = ...  =  Z (m−2) = Z (m−1) = 0,  Z (m) = 1  es

solución de la ecuación  L̂E (t) = δ (t).

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