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Espacios Vectoriales

Julio César Barraza Bernaola.

Universidad Nacional de Ingeniería (UNI)Lima - Perú

Enero 2013

César Barraza (Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Lima - Perú)

Espacios Vectoriales Enero 2013 1 / 14

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Definición de subespacio vectorial

DefiniciónUn subconjunto W de un espacio vectorial V esllamado un subespacio vectorial de V si W estambien un espacio vectorial bajo la suma y

multiplicación por un escalar definido en V

ésar Barraza (Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Lima - Perú)


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Definición de subespacio vectorial

DefiniciónUn subconjunto W de un espacio vectorial V esllamado un subespacio vectorial de V si W estambien un espacio vectorial bajo la suma y

multiplicación por un escalar definido en V

TeoremaUn subconjunto no vacio W de un espacio vectorial V es un subespacio si y solo si

u + v 2 W

λu 2 W

para todo u, v 2 W y para todo λ 2 F

ésar Barraza (Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Lima - Perú)


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Combinación lineal

Definición

Sean v1, v2, , vm vectores de un espacio vectorial V sobre el campo F.

Entonces cualquier vector de la forma

α1v1 + α2v2 + + αmvm

donde α1, α2, , αm 2 F se denomina combinación lineal de v1, v2, , vm

ésar Barraza (Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) Lima - Perú) Espacios Vectoriales Enero 2013 3 / 14

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Espacio generado

Definición

Sea S V un subconjunto del espacio vectorial V , el espacio generado por Ses definido como el conjunto de todas las combinaciones lineales de los

vectores de S, se suele denotar como[S] = span (S) = gen (S)

Si S = fv1, v2, , vmg entonces

[S] = fα1v1 + α2v2 + + αmvm : αi 2 F, i = 1 ng


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Espacio generado

Lema

En un espacio vectorial V, el espacio generado por un subconjunto S de V es unespacio vectorial (subespacio)


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Vectores linealmente dependiente e independiente

DefiniciónDado los vectores v1, v2, , vm 2 V se dice que son linealmentedependientes si y solo si existen escalares no todos iguales a cero talque

λ1v1 + λ2v2 + λmvm = 0 (1)


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Vectores linealmente dependiente e independiente

DefiniciónDado los vectores v1, v2, , vm 2 V se dice que son linealmentedependientes si y solo si existen escalares no todos iguales a cero talque

λ1v1 + λ2v2 + λmvm = 0 (1)

Definición

Los vectores v1, v2, , vm 2 V se dice que son linealmente independientes si

ellos no son linealmente dependientes


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Dimension de un espacio vectorial

Definición

El número mas grande de vectores linealmente independientes en un espaciovectorial V es llamado la dimensión de V y se denota dim V .


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Base de un espacio vectorial

Definición

Sea S un conjunto de vectores incluido en el espacio vectorial V , S es una base

de V si y solo si1 Los vectores en S son linealmente independientes

2 El conjunto generado por S es V , esto es, [S] = span (S) = V


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Propiedades de una base

Teorema

Sea S = fv1, v2, , vng una base de un espacio vectorial V , entonces cada vector v

que pertenece a V, es expresado de manera única como combinación lineal de losvectores de S. Esto es existen escalares únicos α1, α2, , αn, tal que

v = α1v1 + α2v2 + + αnvn


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Propiedades de una base

Teorema

Si una base de un espacio vectorial tiene n vectores, entonces cualquier otra basetambién tiene n vectores.


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Suma e intersección de subespacios

Definición

Sean U y W dos subespacios de V .La intersección de estos subespacios se define como

U \ W = fv 2 V tal que v 2 U y v 2 W g

y la suma de estos subespacios se define como

U + W = fu + w tal que u 2 U y w 2 W g


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TeoremaSean U y W dos subespacios de V , entonces U \ W y U + W son subespaciosvectoriales de V


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TeoremaSean U y W dos subespacios de V , entonces U \ W y U + W son subespaciosvectoriales de V

TeoremaSi U y W son subespacios de dimensión finita del espacio vectorial V entoncesU + W es de dimensión finita y

dim U + dim W = dim (U + W ) + dim (U \ W )


C d d d

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Coordenadas de un vector

Definición

Sea B = fv1, v2, , vng una base del espacio vectorial de dimensión finita ny que el vector x 2 V , las coordenadas de x relativas a la base B son losescalares c1, c2, , cn tal que

x = c1v1 + c2v2 + cnvn

esto es

[x]B =

2

6664

c1

c2

...cn

3

7775


C bi d B

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Cambio de Base

Definición

Sean B1 = fu1, u2, , ung , B2 = fv1, v2, , vng dos bases de un espaciovectorial V se define la matriz A como la matriz de transición de la base B

1 a

la base B2 como

A =[u1]B2

, [u2]B2, , [un]B2

donde [ui]B2son las coordenadas del vector ui en la base B2 para i = 1 : n


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