2º medio - raíces

8/17/2019 2º Medio - Raíces

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Centro educacional Fernando de AragónDepartamento de Matemática 2016Profesor Héctor il!a

DESCOMPOSICIÓN DE RAÍCES EN FACTORES PRIMOS.

"odo n#mero puede ser e$presado como un producto entre factores primos%De la misma forma& una ra'( puede ser e$presada en su forma más simple al

descomponer su cantidad su)radical como un producto entre otrosn#meros%

EJEMPLO 1: √ 20=√ 4 ∙5=2√ 5

EJEMPLO 2: √ 45=√ 9∙5=3√ 5

*tra forma de +acerlo, √ 45=√ 15 ∙3=√ 5 ∙3 ∙3=√ 5 ∙32=3√ 5

EJEMPLO 3:3√ 54=

3√ 27 ∙2=3

3√ 2

*tra forma de +acerlo,3√ 54=

3√ 27 ∙2=

3√ 3 ∙9∙2=

3√ 3 ∙3∙3 ∙2=

3√ 33∙2=3 3√ 2

EJEMPLO 4:3√ 16=

3√ 8 ∙2=2

3√ 2

*tra forma de +acerlo,3√ 16=

3√ 2 ∙2 ∙2∙2=

3

√ 23∙2=2 3√ 2

EJERCICIOS: -$presa cada una de las siguientes ra'ces en su forma más

simple%

1% √ 12=¿ 2% √ 80=¿

.%3√ 81=¿ /% √ 150=¿

% 3√ 250=¿ 6% √ 75=¿

% √ 90=¿ %3√ 24=¿

3%3√ 128=¿ 10% √ 108=¿

REDUCCIÓN DE RAÍCES SEMEJANTES

Dos o más ra'ces son seme4antes si tienen igual 'ndice e igual cantidadsu)radical%

EJEMPLO 1: √ 3 & −2√ 3 & 5√ 3 on seme4antes%

EJEMPLO 2: 3√ 10 & 5

3√ 10 & −6

3√ 10 &

−34

3√ 10 on seme4antes%

EJEMPLO 3: 5son seme4antes los e$presiones √ 3 √ 27 7


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Para poder esta)lecer si lo son o no& de)eremos e$presar cada una de ellas

en su forma más simple% -n este caso& √ 3 a no puede ser e$presada de

forma más sencilla& por lo tanto& solo nos 8ueda tra)a4ar con √ 27 %

*)ser!emos 8ue,

√ 27=√ 9 ∙3=3√ 3

Por lo tanto& √ 3 √ 27 si son seme4antes%

EJEMPLO 4: 59as e$presiones √ 8 √ 32 son seme4antes7

Primero& e$presamos cada ra'( en su forma más simple,

√ 8=√ 4 ∙2=2√ 2

√ 32=√ 16 ∙2=4 √ 2

Como el 'ndice de las ra'ces las cantidades su)radicales son igualespodemos decir 8ue am)as ra'ces son seme4antes%

i las ra'ces son seme4antes& entonces podemos reducirlas operándolas

entre s' de la misma forma 8ue a los términos seme4antes%

EJEMPLO 1: √ 3+√ 3+√ 3+√ 3=4 √ 3

EJEMPLO 2: √ 5−3√ 2+2√ 5−9√ 2=3√ 5−12√ 2

EJEMPLO 3:3√ 3−

4√ 6−8

4√ 6+5

3√ 3=6

3√ 3−9

4√ 6

EJEMPLO 4: √ 72+4√ 8−6√ 32=¿

9o primero es e$presar cada ra'( en su forma más sencilla,

√ 72=√ 36 ∙2=6√ 2

4 √ 8=4 √ 4 ∙2=4 ∙2√ 2=8√ 2

−6 √ 32=−6√ 16 ∙2=−6 ∙4√ 2=−24√ 2

Por lo tanto,

√ 72+4√ 8−6√ 32=6√ 2+8√ 2−24√ 2=−10√ 2


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EJERCICIOS: :esuel!e los siguientes e4ercicios reduciendo ra'cesseme4antes,

1%7=¿

4 √ 7−9√ 7+6√ 7−4√ ¿2%

10√ 11−5√ 13+17√ 11−4√ 11+8√ 13=¿

.% 3√ 8−4√ 2+5√ 18=¿ /% 3√ 12−5√ 27+9√ 3=¿

% √ 50−3√ 72−√ 2 ; 6% 3√ 27−4√ 12+12√ 75−13√ 3=¿

%

√ 175+√ 243−√ 63−2√ 75=¿%

3√ 81+4

3√ 24−3√ 18+5√ 32=¿

3%

3√ 24+√ 28−3√ 63−2√ 54=¿10% 4 √ 32−3√ 50+7√ 72=¿

PROPIEDADES DE LAS RAICES

-$iste una relación estrec+a entre ra'ces potencias% De +ec+o& una ra'(corresponde a una potencia en la cual& el e$ponente corresponde a un

n#mero racional%

EJEMPLO 1: √ 5=51

2

EJEMPLO 2: 4√ 3=31

4

EJEMPLO 3: 4√ 136=13

6

4=13

3

2

EJEMPLO 4: 12 y

√ (17+ x)4 py=(17+ x)

4 py

12 y=(17+ x ) p

3

OBSERVACION: i el e$ponente de la potencia resultante es una fracción

8ue puede ser simpli


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Ejercc!": "ransforma a ra'( cada una de las siguientes potencias de

e$ponente racional simpli


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EJEMPLO 2:4√ 6 ∙

4

√ 5

8∙ 4

√2

3=

4

√6 ∙5

8∙2

3=

4

√60

24=

4

√5

2

EJEMPLO 3:7√ 5 x2 m∙

7√ 3 x3 mp∙

7√ 2m3 x=

7√ 30 x6 m5 p

EJEMPLO 4:3

√ x−3 x+2

∙ 3√ x2 ∙ 3√

1

x−3= 3√

x−3 x+2

∙ x2

∙ 1

x−3=

3

√ ( x−3) ∙ x2∙1( x+2) ∙ ( x−3 )

= 3

√ x

2

x+2

OBSERVACION: Podemos simpli


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Al igual 8ue en el caso de la multiplicación& al di!idir dos ra'ces de igual

'ndice se conser!ara dic+o 'ndice se di!idirán las cantidades su)radicales%

EJEMPLO 1:√ 48

√ 8=√

48

8=√ 6

EJEMPLO 2:

6

√3

5

6

√4

6

= 6

√ 3

5

4

6

=6

√3

5∙6

4=

6

√18

20=

6

√ 9

10

EJEMPLO 3:

8

√ 9 x y2

8

√ 27 x2 y= 8√

9 x y2

27 x2 y=8√

3 y

9 x

EJEMPLO 4:

11

√ p

6

2 ( q−4 )

11

√ 3 p

q2−16

=11

√ p

6

2 (q−4 )3 p

q2−16

=11

√ p

6

2 (q−4 ) ∙

q2−163 p

=11

√ p

6

2 (q−4 ) ∙ (q−4 )∙(q+4 )

3 p =

11

√ p

5 ( q+4 )6

OBSERVACIÓN: Podemos simpli


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.%

4√ 1624√ 3

=¿

/%

5

√ 9

12

5

√ 2

11

=¿

%√ 27

√ 3=¿ 6%

3√ 163√ 2

=¿

%

20

√ 9 x a2b20

√ 12 x2 a b2=¿

%

6

√12 x

25

6

√ 3

12 x

=¿

3%

15

√ (4+ x2 )15

√ (8+2 x2)=¿

10%

3√ 14 ab

3√ 7 a

3√ 6b

=¿

11%

12

√24 ( x−3 )28( x+5 )

12

√7 ( x−3 )6 ( x+5 )

=¿12%

28

√ ( x−9 ) ( x−8 )28

√ ( x2−13 x+36 )=¿

1.%

25

√ 1

( x−8 )25

√ x425

√ x2−64

=¿

1/%

7

√ x2+8 x+157

√ x2+7 x+12=¿

INTRODUCCIÓN O E%TRACCIÓN DE UN T&RMINO EN UNA RAÍ'

i un n#mero se encuentra multiplicando o di!idiendo a una ra'( puede ser

ingresado en la misma ele!ándolo al 'ndice de dic+a ra'(%

EJEMPLO 1: 2√ 5=√ 22

∙5=√ 4 ∙5=√ 20

EJEMPLO 2: 34√ 10=

4

√ 34 ∙10=4√ 81 ∙10=4√ 810

EJEMPLO 3:

3

√ 2

4=3√

2

43= 3√

2

64= 3√

1

32

EJEMPLO 4:4 x

5∙ 4

√ 5=4

√(4 x

5 )4

∙5=4

√(4 x )

4

54

∙5=4

√ 256 x

4

625∙5=

4

√1280 x

4

625=

4

√ 256 x

4

125


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Ejercc!": e$presa cada uno de los siguientes e4ercicios como una #nica

ra'(%

1% 103√ 5 x

2%12

8

5

√ 9

.%12

15

3

√5 x

3

4

/% 9√ 34√ 4

%

3

√ 24 a3 b4a 6%

11 x√ 8

55 x

%3 y

2 x

4

√ 2 x

3

9 y2

% 2 xa √ 3

√ 10ayp

3% 2 y

3

√ x 4

√ 3+ x10%

2 x

y

5

√ x

√ x+

y

y

11% ( x−5 ) 3

√√ 1

( x−5)2=¿ 12% ( x

2−9 ) 4√√ 1

( x+3 ) ( x−3 ) =¿

RAI' DE UNA RAI'

-l calcular la ra'( de una ra'( es e8ui!alente a calcular una #nica ra'( cua

cantidad su)radical es la misma cuo 'ndice es igual al producto entre los

'ndices de las ra'ces originales%

EJEMPLO 1: √ √ 28=2 ∙2√ 28=

4√ 28

EJEMPLO 2:3

√4

√56 x

9=3∙ 4√

56 x

9=12√

56 x

9

EJEMPLO 3:3

√7

√5

√99 xyz x−8

=3∙ 7 ∙5

√99 xyz x−8

=105

√99 xyz x−8

EJEMPLO 4: x

√ 3 y

√ 4 z√ 9ab=

x ∙3 y ∙4 z√ 9ab=

12 xyz√ 9ab


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RACIONALI'ACIÓN:

:acionali(ar una e$presión fraccionaria consiste en encontrar otra fracción

e8ui!alente a la original pero 8ue no tenga ra'ces en el denominador%

EJEMPLO 1: :acionali(ar 7

√ 5

Para eliminar √ 5 del denominador es

necesario encontrar un n#mero 8ue al

multiplicarlo por este dé como resultado un

n#mero natural% Dic+o n#mero es la

misma √ 5 % Pues √ 5∙√ 5=√ 25=5 % Por lo

tanto& se de)e ampli


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Para racionali(ar esta fracción de)emos encontrar a8uel n#mero 8ue al

multiplicarlo por4√ 6 dé como resultado un n#mero natural% -n este caso&

de)emos +acer 8ue el e$ponente de la cantidad su)radical sea igual al

'ndice de la ra'(% Por ello& podemos amplios


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3 x

2 p

54

√ 6 x2 p∙

4

√ 63 x2 p3

4

√ 63 x2 p3=

3 x2 p∙

4

√ 63 x2 p3

54

√ 6 x2 p ∙ 4

√ 63 x2 p3=3 x

2 p

4

√ 63 x2 p3

54

√ 64 x4 p4=3 x

2 p

4

√ 63 x2 p3

5 ∙6 ∙ x ∙ p∙

¿

3 x2 p

4

√ 63 x2 p3

30 xp ∙ =

x 4

√ 63 x2 p3

10

Ejercc!": :acionali(a cada uno de los siguientes e4ercicios%

1%8

√ 24 2%−15

√ 5

.%

7

5

√ 42 /%

−206

√ 16

%5√ 5

√ 12 6%7

3

√ 9

3 3

√ 7

%

4√ 274√ 3

%36 b√ ap

√ 6 a

3%19b

√ 10ab 10%14 xy

44

√ √ xy

11%12a

2

b5

√ 3a b4 c3=¿ 12% −5+2 x3√ (2 x−5 )

RACIONALI'ACIÓN CON DOS T&RMINOS EN EL DENOMINADOR

Para racionali(ar una fracción en cuo denominador +a dos términos

de)eremos ampli


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5

√ 5−√ 3∙√ 5+√ 3

√ 5+√ 3=

5 (√ 5+√ 3 )(√ 5−√ 3 ) (√ 5+√ 3 )

-n el denominador& se forma el producto nota)le de suma por su diferencia%

Por lo tanto& o)tenemos,

5 (√ 5+√ 3 )(√ 5−√ 3 ) (√ 5+√ 3 )

= 5 (√ 5+√ 3)

(√ 5 )2

−(√ 3 )2=

5√ 5+5√ 35−3

=5√ 5+5√ 3

2

EJEMPLO 2: :acionali(ar7

√ 8−11

Ampli


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11%1

√ 3−√ 12=¿ 12%

12

10−√ 88=¿

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