“UN°VERS°DAD NAC°ONAL SAN AGUST°N DE AREQU°PA”

CURSO:

ECUAC°ONES D°FERENC°ALES

TRABAJO:

LEY DEL ENFR°AM°ENTO DE NEWTON, CALENTAM°ENTO Y ENFR°AM°ENTO

DE ED°F°C°OS.

PRESENTADO POR:

- Achahui Cardeña, Lucia Mercedes.- Ccorimanya Timoteo, Milagros Katherin - Torres Vasques, Randol- Panibra Cayo, Ninmer- Quispe Uchamaco, Geancarlos

1 1 1 Equation Chapter 1 Section 1

Ley del enfriamiento de Newton, calentamiento y enfriamiento de edificios.

a)Ley del enfriamiento de newton:

La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t, es proporcional a la diferencia de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante en el tiempo t. Consideremos T la temperatura del cuento en el tiempo t y a T 0 la temperatura del medio circundante

Como la variación de temperatura puede ser que aumente o disminuya.

Luego la ley de enfriamiento de Newton de expresa mediante la siguiente ecuación diferencial:

Ya sea que aumente o disminuya, donde K es el factor de proporcionalidad.

Cuya solución es:

b)Calentamiento y enfriamiento de edificios:

En el tratado de este tema, el objetivo es obtener (formular) una ecuación que nos describa la temperatura

dentro de un edificio en las 24 horas del día, como función de la temperatura exterior, el calor generado dentro del edificio y el calefactor o el aire acondicionado.

Hacemos el uso del análisis por compartimentos: Sea T (t) la temperatura dentro del edificio en el

instante t “veamos al edificio como un único compartimento”. Entonces la razón de cambio en la temperatura queda determinada por todos los factores que generan o disipan calor.

Tomaremos en cuenta tres factores principales que afectan la temperatura dentro del edificio:

H (t): depende del calor generado por las personas o maquinarias.

U (t): es el calentamiento (o enfriamiento) proporcionado por la calefacción (o el aire acondicionado). Podemos expresar las dos cantidades H(t) y U(t) en términos de temperatura por unidad de tiempo.

M (t): es el efecto de la temperatura exterior sobre la temperatura dentro del edificio. La evidencia experimental ha mostrado que este factor se puede modelar mediante la ley de enfriamiento de Newton.

La constante positiva K depende de las propiedades físicas del edificio, como la cantidad de puertas y ventanas y el tipo de aislamiento, pero K no depende de M, T o t .

- Por lo tanto, cuando la temperatura exterior es

mayor que la temperatura interior, , hay un incremento en la temperatura del edificio debido a M (t).

- Por otro lado, cuando la temperatura exterior es menor que la temperatura interior, entonces

, la temperatura del edificio disminuye.

En resumen, vemos que:

Como la ecuación (1) es lineal, se puede resolver mediante:

Dos amigos se sientan a platicar y disfrutar una taza de café. Al servir el café, el amigo impaciente agrega de inmediato una cucharada de crema a su café. El amigo relajado espera 5 minutos antes de añadir una cucharada de crema (que se ha mantenido a temperatura constante). Es entonces cuando ambos comienzan a tomar el café. ¿Quién tiene el café más caliente? Suponga que la crema está más fría que el aire y use la ley de enfriamiento de Newton.Solución:

- Para el primer amigo:Datos:

T crema=H

T cafe=T

T ambiente=T0

Para el segundo amigo:

T cafe=T

T ambiente=T0

De ambas ecuaciones nos damos cuenta que el café más caliente es la del segundo amigo, ya que solo estuvo en contacto con la temperatura del medio ambiente.

Rpta.: el café más caliente es la del segundo amigo.

Determinar la temperatura del edificio T(t) si la razón de calentamiento adicional H(t) es igual a la constante H0, no hay calentamiento ni enfriamiento (U(t) = 0) y la temperatura exterior M varía como una onda senoidal en un periodo de 24 horas, con un mínimo en t =0 (medianoche) y un máximo en t =12 (mediodía). Es decir,

M(t) = M0 - B cos t ,

donde B es una constante positiva, M0 es la temperatura exterior promedio y ω=2π/24 =π/12 radianes/hora. (Esto podría ocurrir durante la primavera o el otoño cuando no hay calefactor ni aire acondicionado).Solución:Datos: Procedimiento:

Reemplazando en la fórmula:

Hallando la constante C:

Por lo tanto tenemos:

Era el medio día en un frio día de diciembre en Tampa: 16°C. El detective Taylor llego a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que habían varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor saco un termómetro y pidió la temperatura del cuerpo: 34.5°C. Luego salió a comer. Al egresar, a la 1pm hallo que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C ¿En qué momento ocurrió el asesinato?

Solucion:

Datos:

Rpta: El asesinato se produjo aproximadamente a las 9:08am

Un sistema de calentamiento de agua mediante energía solar consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque está bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000 Btu/hora durante el día, y el tanque tiene una capacidad calórica de 2°F por mil Btu. Si el agua en el tanque está inicialmente a 110°F y la temperatura del cuarto donde está el tanque es de 80°F, ¿cuál será la temperatura en el tanque después de 12 horas de luz solar?

En este caso

Con lo que la ecuación diferencial que modeliza el fenómeno es

Con la condición inicial T(0) = 110

De donde la solución del problema de condiciones iniciales es

Al cabo de 12 horas la temperatura del agua del tanque es

Se tienen dos recipientes con soluciones a temperaturas constantes; la primera a 30 0C y la segunda a 250C; un termómetro que marca la temperatura de la primera solución es puesto en contacto con la segunda, cuatro minutos después marca 27 0C; más adelante el termómetro es puesto nuevamente en contacto con la primera solución; 10 minutos después del comienzo del experimento el termómetro indica 280C, ¿Cuándo fue llevado el termómetro del segundo al primer recipiente? (Eduardo Espinoza Ramos)

22Equation Section (Next)

Sabiendo que: Sabiendo que:

Para: : para: :

Para: :

Para:

Además:

Para: T1(t):

Rpta: 4.76 minutos.

1.- La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es de 200° C y la temperatura del aire que lo rodea es de 30°C. Después de 10 min la temperatura del motor ha bajado a 180°C. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la temperatura del motor disminuya hasta 40°C?

Resp: 3h, 46min, 18s

2.- Un recipiente con agua a una temperatura de 100°C se coloca en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de 25°C. Después de 3 min la temperatura del agua es de 90°C. Determinar la temperatura del agua después de 15 min. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura del agua sea de 40°C?

Resp: 61.67°C; 33 min, 44s

3.- Un termómetro se saca de una habitación –donde la temperatura del aire es de 70°F- al exterior donde la temperatura es de 10°F. Después de medio minuto el termómetro marca 50°F. ¿Cuánto marca el termómetro cuando t de 1 min? ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura marcada por el termómetro sea de 15°F?

Resp: 36.7 F; 3min, 4s

4.-Una taza de café caliente, inicialmente a 95°C, al estar en una habitación que tiene una temperatura constante de 21°C, se enfría hasta 80°C en 5 min. Determinar la temperatura del café después de 10 min. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el café tenga una temperatura de 50°C?

Resp: 68 C; 20min, 41s

5.- Una barra metálica, cuya temperatura inicial es de 20°C, se deja caer en un recipiente que contiene agua hirviendo (a 100°C) y su temperatura aumenta 2°C después de 1 s. Determinar la temperatura de la barra metálica después de 10 s. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la temperatura de la barra sea de 60°C?

Resp: 37.9 C; 27.38s

6.- Un termómetro que indica 70°F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la temperatura marcada por el termómetro es de 110°F después de medio minuto y de 145°F después de 1 min. ¿A qué temperatura está el horno?

Resp: 390 F

7.- Un termómetro en el que se lee 80°F se lleva al exterior. Cinco minutos más tarde el termómetro indica 60°F. Después de otros 5 min el termómetro señala 50°F. ¿Cuál es la temperatura del exterior?

Resp: 40 F

8.- Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750°C, para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una temperatura de cuando mucho 200°C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento donde se colocará este cerámico es de 5°C y que, después de 15 min, la temperatura del material es de 600°C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa de su proceso?

Resp: 1h, 29min, 22s

9.- A las 13:00 horas un termómetro que indica 10°F se retira de un congelador y se coloca en un cuarto cuya temperatura es de 66°F. A las 13:05, el termómetro indica 25°F. Más tarde, el termómetro se coloca nuevamente en el congelador. A las 13:30 el termómetro da una lectura de 32°F. ¿Cuándo se regresó el termómetro al congelador?; ¿cuál era la lectura del termómetro en ese momento?

Resp: 13:20:19; 50.22 F

10.- Luis invitó a Blanca a tomar café en la mañana. Él sirvió dos tazas de café. Blanca le agregó crema suficiente como para bajar la temperatura de su café 1°F. Después de 5 min, Luis agregó suficiente crema a su café como para disminuir su temperatura en 1°F. Por fin, tanto Luis como Blanca empezaron a tomar su café. ¿Quién tenía el café más frío?

Resp: Luis

11.- En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24°C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 35°C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas, ¿cuál será la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M.? ¿Y a las 6:00 P.M.? ¿En qué momento llegará la temperatura interior del edificio a 27°C?

Resp: 28.3 C; 32.5 C; 1:16 P.M

12.- Un sistema de calentamiento de agua mediante energía solar consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque está bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000 Btu/hora durante el día, y el tanque tiene una capacidad calórica de 2°F por mil Btu. Si el agua en el tanque está inicialmente a 110°F y la temperatura del cuarto donde está el tanque es de 80°F, ¿cuál será la temperatura en el tanque después de 12 horas de luz solar?

Resp: 148.6 F

13.- Se va a construir un almacén sin calefacción ni aire acondicionado. Según la cantidad de aislamiento, la constante de tiempo para este edificio puede variar de 1 a 5 horas. Para ilustrar el efecto del aislamiento sobre la temperatura dentro del almacén, suponga que la temperatura exterior varía como una onda senoidal, con un mínimo de 16°C a las 2:00 A.M. y un máximo de 32°C a las 2:00 P.M. Suponiendo que el término exponencial (que implica la temperatura inicial T0) se ha extinguido, ¿cuál es la temperatura

mínima dentro del edificio, si la constante de tiempo es 1 hora? ¿Y si la constante de tiempo es 5 horas? ¿Cuál es la máxima temperatura dentro del edificio si la constante de tiempo es 1 hora? ¿Y si es 5 horas?

Resp: 16.3 C; 19.1 C; 31.7 C 28.9 C

14.- Una tasas de chocolate se retira de la cocina cuando alcanza 70 C de temperatura y se pone a reposar en la mesa de una habitacion, donde la

temperatura del aire es de 10 C. Transcurrido 1 min la temperatura del chocolate es de 60 C

a)?cual sera la temperatura del chocolate dentro de 3 min?

b)?cuanto tiempo se demorara en enfriarse a 12 C?

Resp: a) T= 44.72 C

b) t= 18.9min

15.- Una pequeña barra de metal cuya temperatura inicial es de 20 C, se deja caer en un recipiente de agua hirviendo.

a) Calcule el tiempo que dicha barra demore en alcanzar los 90 C, si se sabe que su temperatura aumenta 2 C en 1 seg.

b) ?Cual sera la temperatura de la barra al cabo de 45 segundos?

c) ?Cuanto demorara la barra en alcanzar los 98 C?

Rpta: a) 83.16 seg

b) 74,4 C

c) 147, 56 seg

16.- A las nueve de la mañana un pastel a 70 F es sacado del horno y llevado a una habitacion donde la temperatura es de 15 F. Cinco minutos despues la temperatura del pastel es de 45 F. A las 9:10 a.m. se regresa al interior del horno, donde la temperatura es fija e igual a 70 F ?Cual es la temperatura del pastel a las 9:20 a.m.

Rpta: 58.5 F

17.- Durante el verano, la temperatura dentro de una camioneta llega a 550C, mientras que en el exterior es constante e igual a 350C. Cuando la conductora entra a la camioneta, enciende el aire acondicionado con el termostato en 160C. Si la constante de tiempo para la camioneta es 1/k=2 horas y para la

camioneta con el aire acondicionado es 1/k1=1/3 hora, ¿en qué momento llegara la temperatura dentro de la camioneta a los 270C?

Rpta: 30.4 minutos.

18.- Un estudio consta de dos zonas: la zona A de la planta alta y la zona B de la planta baja. La planta baja, que tiene una capacidad calorífica de (1/5)oC/1000btu (btu: unidades térmicas británicas),es calentada por un calefactor que genera 90000 btu por hora. Las constantes de tiempo de transferencia de calor son: 3 horas entre la planta baja y el exterior,1/2 hora entre la planta alta y el exterior y 1/2 hora entre las dos plantas. Si la temperatura en el exterior permanece constante a 2oC e inicialmente ambas zonas estaban a 22oC, calculemos la temperatura en la planta baja al cabo de 1 hora.

Rpta: 19.405 C.

19.- Consideremos un edificio que consta de dos zonas, A y B. La zona A es calentada con un calefactor que genera 80000 btu/hora siendo la capacidad calorífica de esta zona (1/8)oC/1000 btu. Las constantes de transferencia de calor son: 4 horas entre la zona A y el exterior, 4 horas entre la zona B y el exterior y 2 horas entre ambas zonas. Si la temperatura en el exterior permanece constante a −10oC y para el instante t=0 ambas zonas estaban a 25oC, calcular cual sería la temperatura en cada zona al cabo de 4 horas. ¿A que temperatura puede llegar (a enfriarse) la zona no calentada B?

rpta: x(4)≈1949 C, y(4)≈1154 C li°m t→∞ y(t)=6 C

20.- En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 240C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 350C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas. ¿Cuál será la temperatura dentro del edificio a las 2:00 p.m.? ¿Y a las 6:00 p.m.? ¿En qué momento llegara la temperatura interior del edificio a 270C?

Rpta:28.30C, 32.50C, 1:16p.m.

21.- Un químico desea enfriar desde 80°C hasta 60°C una sustancia conteniendo en un matras se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el cual circula agua a 15°C .Se observa que después de 2 minutos la temperatura a descendido 70°C.Estimar el tiempo de enfriamiento

Rpta:4.45min

22.- Durante el verano, la temperatura dentro de una camioneta llega a 550C, mientras que en el exterior es constante e igual a 350C. Cuando la conductora entra a la camioneta, enciende el aire acondicionado con el termostato en 160C. Si la constante de tiempo para la camioneta es 1/k=2 horas y para la camioneta con el aire acondicionado es 1/k1=1/3 hora, ¿en qué momento llegara la temperatura dentro de la camioneta a los 270C?

Rpta: 30.4 minutos.

23.- Un estudio consta de dos zonas: la zona A de la planta alta y la zona B de la planta baja. La planta baja, que tiene una capacidad calorífica de (1/5)oC/1000btu (btu: unidades térmicas británicas),es calentada por un calefactor que genera 90000 btu por hora. Las constantes de tiempo de transferencia de calor son: 3 horas entre la planta baja y el exterior,1/2 hora entre la planta alta y el exterior y 1/2 hora entre las dos plantas. Si la temperatura en el exterior permanece constante a 2oC e inicialmente ambas zonas estaban a 22oC, calculemos la temperatura en la planta baja al cabo de 1 hora. Rpta: 19.4050C.

24.- En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 240C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 350C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas. ¿Cuál será la temperatura dentro del edificio a las 2:00 p.m.? ¿Y a las 6:00 p.m.? ¿En qué momento llegara la temperatura interior del edificio a 270C?

Rpta:28.30C, 32.50C, 1:16p.m.

25.-Sabiendo que un cuerpo a 10°C se enfria desde 200°C a 100°C en 40 minutos, dígase en cuanto tiempo se enfriara desde 100°Ca 10°C en aire a 50°C

Rpta

:158min