Tema 4 Funciones elementales Matemticas CCSSI 1 BachilleratoTEMA 4 - FUNCIONES ELEMENTALES4.1 CONCEPTO DE FUNCINDEFINICIN : Una funcin real de variablee R enR tal que a cada valor de la variable xLo denotamos por : f : D -----> Rx -----> y = f(x)x es la variable independiente e y esSi y = f(x), tambin se dice que x = f-1(y) y se dice que x es la antiimagen de1real es una aplicacin de un subconjunto D dle hace corresponder un nico valor y.la variable dependiente o imagen de xy.DOMINIO DE UNA FUNCINAl conjunto D se le llama dominio de la funcin y lo representamospor D(f) y es elconjunto de valores que puede tomar la variable independiente xRECORRIDO O IMAGEN DE UNA FUNCINAl conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y se le llama recorrido oimagen de una funcin y se representa por Im(f) o R(f)4.2 DOMINIO DE DEFINICIN DE UNA FUNCINSe llama Dominiosimplemente, D,conjunto de valores.D(f) = {x R /de definicin de una funcin f(x) y se designa D(f), oalde x para los cuales existe la funcin, para los que hay un f(x) f(x) } = R - {x R / f(x) }El dominio de una funcin depende:- Imposible de realizar alguna operacin con ciertos valores de x: denominadores que se anulan,races cuadradas de nmeros negativos,....- Contexto real del que se ha extrado la funcin : Un pie mide un metro,...- Por voluntad de quien propone la funcin: Nmero menor que 7,...Clculo del dominio POLINOMIOS: El dominio de un polinomio es todo R : f (x) = P(x) D(f) = R FUNCIONES RACIONALES: El dominio de las funciones racionales es todoR menos lospuntos donde se anula el denominador:f (x) = g(x) / h(x)D(f) = { x R / h(x) 0} = R - { x R / h(x) = 0} FUNCIONES RADICALESf(x) = ( )ng xSi n es impar D(f) = RSi n es par D(f) = { x R / g(x) 0} = R - {x R / g(x) < 0} FUNCIONES EXPONENCIALES : f(x) = ag(x)D(f) = R FUNCIONES LOGARTMICASf(x) = logag(x)D(f) = { x R / g(x) > 0} = R - {x R / g(x) 0} FUNCIONES TRIGONOMTRICAS : Las funciones seno y coseno Dominio R El resto (tangente, secante, cosecante, cotangente) Estudiarlas como racionalesTema 4 Funciones elementales Matemticas CCSSI 1Bachillerato24.3 FUNCIONES LINEALES : y = mx + nLa funcin polinmica de primer grado o funcin lineal: y = mx + n, se representa mediante unarecta de pendiente m y que pasa por el punto (0,n). La n se llama ordenada en elorigen.Pendiente de una recta es la variacin (aumento o disminucin) que se produce en lay cuando la xaumenta una unidad. En una ecuacin lineal, la pendiente de la recta es el coeficiente de la x cuandose despeja la y.Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta: P(x1,y1), Q(x2,y2) la pendiente se calcula :m =yx=1 21 2x xy y( y = Incremento de y entre x = Incremento de x)Si de una recta conocemos un punto P(x1,y1) y su pendiente m, la ecuacin de la recta es:y y1= m.(x x1)Para representarla se dan dos valores cualesquiera a la x y se calcula el correspondiente valor de lay.4.4 INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN LINEALSi sabemos que una funcin es lineal (al menos aproximadamente) y que pasa por dospuntosA(x1,y1), B(x2,y2) podemos hallar su valor en cualquier otro punto x = x31. Hallamos la ecuacin de la funcin lineal que pasa por los puntos A y B y = mx +n2. Sustituimos el valor de x3en x y calculamos la y.Si x3 (x1,x2) estamos interpolando.Si x3 (-,x1) (x2,+) estamos extrapolando.En la extrapolacin, cuanto ms alejado est x3del intervalo (x1,x2), menos fiable es el valor queobtenemos para f(x3).Tema 4 Funciones elementales Matemticas CCSSI 14.5 OTRAS FUNCIONES ELEMENTALESBachillerato3FUNCIONES CUADRTICASLas funciones polinmicas de segundo grado o funciones cuadrticas : y = ax2+ bx + c, a 0, serepresentan mediante parbolas.- Tienen ejes paralelos al eje Y- Las formas de estas parbolas (que sus ramas estn hacia arriba o hacia abajo, que sean ms omenos anchas,...) dependen, exclusivamente del valor de a:- Si a > 0, las ramas van hacia arriba (Cnvexa)- Si a < 0, las ramas van hacia abajo (Cncava)- Cuando mayor sea |a|, ms estilizada es la parbola- La abscisa del vrtice de la parbola es : Vx= a 2bPara representarla se calcula el vrtice en la x y dos valores ms pequeos y dos valores msgrandes y se calculan las respectivas y de estos valores.FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSASe llaman funciones de proporcionalidad inversa a aquellas cuya ecuacin es y = f(x)/g(x) y susgrficas son hiprbolas. Sus asntotas son los ejes coordenados.Tambin son hiprbolas las grficas de las funciones y =d cxb ax++. Para representarlas se hacepreviamente la divisin.Representacin :- Calcular el dominio- Hallar una tabla de valores segn el dominio- Dibujarlas teniendo en cuenta las asntotas.Tema 4 Funciones elementales Matemticas CCSSI 1FUNCIONES RADICALESBachillerato4Se llaman funciones radicales a aquellas cuya ecuacin es y = ( )nf xPara representarlas:- Calcular el dominio- Hallar una tabla de valores segn el dominio. (Importante: f(x) = 0)4.6 ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONESREPRESENTACIN DE y = f(x) k APARTIR DE y = f(x)Si sumamos una constante k a la y Subimos k unidadesSi restamos una constante k a la y Bajamos k unidadesREPRESENTACIN DE y = - f(x) A PARTIR DE y = f(x)Si cambiamos de signo a la y Hacemos una simetra respecto del eje OXREPRESENTACIN DE y = f(x k) A PARTIR DE y = f(x)Si sumamos una constante k a la x Nos desplazamos k unidades hacia la izquierdaSi restamos una constante k a la x Nos desplazamos k unidades hacia la derechaTema 4 Funciones elementales Matemticas CCSSI 1REPRESENTACIN DE y = f(-x) A PARTIR DE y = f(x)Bachillerato5Si cambiamos de signo a la x Hacemos una simetra respecto del eje OY4.7 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOSSe calcula su dominio y se hace una tabla de valores para cada trozo.4.8 DOS FUNCIONES INTERESANTESFUNCIN PARTE ENTERASe llama parte entera de un nmero x al mayornmero entero menor o igual a x. A partir deesto, definimos la funcin parte entera de x,Ent(x), que hace corresponder a cada nmero xsu parte entera.FUNCIN PARTE DECIMALLa parte decimal o mantisa de un nmero xes Mant(x) = x Ent(x). A partir de esto,definimos la funcin parte decimal de x,Mant(x) que hace corresponder a cada nmerox su parte decimal.Tema 4 Funciones elementales Matemticas CCSSI 1 Bachillerato4.9 VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIN6El valor absoluto de un nmero x coincide con x si es positivo o nulo, o con su opuesto si esnegativo: |x| =