Ejercicios Resueltos

1. Dados los siguientes vectores: a = −2 i + 3 j + k ; b = 4 i − 3 j + 3 k y

c = − j + 4 k . Determinar:

a) | a − b| b) a − 3 b + 2 c

c) ( a− 2 b )⋅3 c

d) − ( 4 b − 3 c )× 2 b

e) El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejes coordenados.

f) Un vector unitario en la dirección y sentido de c + a

g) El ángulo entre los vectores: 3 b y −2 c

h) Un vector perpendicular al plano que forman c y a + b

Solución:

a) a − b = (−2−4 ) i + [3 − (−3) ] j + (1 − 3 ) k = −6 i + 6 j − 2 k

| a − b |= √ (−6 )2 + 62 + (−2 )2 = √ 76 = 8,7

b)

a − 3 b + 2 c = (−2 i + 3 j + k ) − 3 (4 i − 3 j + 3 k + 2 (− j + 4 k ) = (−2−12 ) i + (3+9−2) j + (1−9+8) k

a − 3 b + 2 c = −14 i + 10 j

c)

( a− 2 b ) ⋅ 3 c = (−2 i + 3 j + k − 8 i + 6 j− 6 k )⋅ ( −3 j + 12 k ) = (−10 i + 9 j− 5 k )⋅(−3 i + 12 j) = (−10)( 0) + (9 )(−3 ) + (−5)(12) = −87

d) ( 4 b − 3 c ) =

4 (4 i −3 j + 3 k ) − 3 (− j + 4 k ) = 16 i − 9 j ⇒ −(4 b − 3 c ) = −16 i + 9 j

2 b = 8 i − 6 j + 6 k

− (4 b − 3 c ) × 2 b = |i j k

−16 9 08 −6 6

| = 54 i + 96 j + 24 k

e) Ángulos que forma a con los ejes coordenados

Con el eje X : cos α =

axa

= −2√14

⇒ α = 122 ,3 º

Con el eje Y : cos β =

aya

= 3√14

⇒ β = 36 ,7 º

Con el eje Z : cos γ =

aza

= 1√14

⇒ γ = 74 ,5º

f) Un vector unitario en la dirección y sentido de c + a

u = c + a

|c + a|= −2 i + 2 j + 5 k

√33= −0 ,35 i + 0 ,35 j + 0 ,87 k

g) Angulo entre los vectores 3 b y −2 c

3 b ⋅(−2 c ) = |3 b| . |−2 c| cos ϕ ⇒ −90 = √306 √68 cos ϕ ⇒ ϕ = 128 ,6 º

h) Un vector perpendicular al plano que forman c y a + b

c × ( a + b ) = |i j k0 −1 42 0 4

| = −4 i + 8 j + 2 k

2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto al semieje positivo de las x.

Solución:Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada uno de los semieje

cos300=axa de donde ax=acos300=5 cos300

⇒ax=4 .33

sen 300=a y

a de donde a y=asen 30 °=5 . sen 30 °⇒a y=2,5

3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura Solución:

Se aplica el teorema de Pitágoras

S=√32+42=√25=5⇒S=25

4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

Solución:Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

F1 y=−F1 . sen900=−(5)(1 )=−5N

F2 x=F2 . cos600=10(0 .5)=5N

F2 y=−F2 . sen600=−10(0 .8 )=−8N

F3 x=F3 . cos 450=7(0 . 7)=4 .9N

F3 y=F3 . sen 450=7(0 . 7 )=4 .9NAhora se calculan las Fx y Fy , entonces Fx=F1 x+F2 x+F3 x=0N+5N+4,9N=9,9N⇒ Fx=9 . 9N

F y=F1 y+F2 y+F3 y=−5N+ (−8N )+4,9N=−13N+4,9N=−8,1N⇒F y=−8 ;1NLuego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitágoras

FR=√F x2+F y2=√ (9,9N )2+ (−8,1N )2=√98 ,01N2+65 ,61N2=√163 ,62N2=12,7N

Calcular la dirección

α=tan g−1( F y

F x) ⇒ α=tg−1(−8,1

9,9 ) ⇒ α=39017' 21 .86 ''

Grafica de la solución

5. Dos fuerzas de 16 y 25 Kg-peso forman un ángulo de 60º. Determine la magnitud de la fuerza resultante.

SoluciónPara graficar las fuerzas se aplica el método del paralelogramo

Como se obtiene un triángulo oblicuo, para hallar la fuerza resultante se trabaja con la ley del coseno FR=√F12+F22−2 .F1 . F2 .Cosφ ⇒ F R=√ (25 )2+ (16 )2−2 (25 ) (16 ) .Cos120°

FR=√625+256−800. (−0,5 )=√1281=35 ,8 Kg−peso ⇒ F R=35 ,8 Kg−peso

6. Dos puestos de observación a y b están separados 16 Km en la costa, vigilan barcos que entran ilegalmente, en un límite de 4,8 Km. El puesto a reporta un barco en el puesto c en un ángulo bac de 37º y el puesto b reporta el mismo barco en un ángulo abc de 20º. Se pide: ¿A qué distancia esta el barco del puesto a?

Solución:Primeramente vamos a realizar la grafica de los tres puertos

Para determinar la distancia entre el barco y el puesto A aplicamos la ley de seno, entonces

acSen20°

=abSen123 º

⇒acSen20 º

=16Sen123 º

⇒ ac=16 .Sen20 ºSen123 º

=6,5 Km