avanza 2016...avanza sistemas din amicos, matem aticas aplicadas y l ogica matem atica coordinador:...

AVANZA

Sistemas dinamicos, matematicas aplicadas

y logica matematica

Coordinador:

Luis Loeza Chin

Vol. v

Universidad Autonoma de Ciudad Juarez


Lic. Ricardo Duarte JaquezRector

M.C. David Ramırez PereaSecretario General

Mtro. Francisco Lopez HernandezDirector del Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa

Mtro. Ramon Chavira ChaviraDirector General de Difusion Cultural

y Divulgacion Cientıfica

Comite Editorial AVANZA

Dr. Gustavo Tapia SanchezEditor uacj

Dr. Jesus Francisco Espinoza FierroEditor Unison

Dr. Angel Cano CorderoEditor unam

M. en C. Antonio Antolin FonsecaEditor uacj

C. a Dr. Luis Loeza ChinCoordinador uacj


Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa

Departamento de Fısica y Matematicas

Cuerpo Academico de Matematicas Purasy Aplicadas

AVANZA: Sistemas dinamicos, matematicasaplicadas y logica matematica

Vol. v

Con aportaciones de:

Rocıo Gonzalez, Osvaldo Osuna, Ruben Santaella (Umich)Cruz Vargas, Gabriel Villasenor, Geiser Villavicencio

(Umich, itm, uam)

Lıdice Castro, Edgar Martınez (uacj)M. Grimaldo, M. Frıas, M. Alcorta, E. Lopez (uanl, Unison, uacj)

Juan Acosta, Oscar Estrada, Luis Loeza, Boris Menderos,Gustavo Tapia (uacj)

AVANZA: Sistemas dinamicos, matematicas aplicadas y logica matematica[Recurso electronico] / Coord. Luis Loeza Chin. – Ciudad Juarez, Chihuahua:Universidad Autonoma de Ciudad Juarez. Cuerpo Academico de MatematicasPuras y Aplicadas, 2015.

v.5 (94 paginas).

ISBN Coleccion: 978-607-922-452-3ISBN V.5: 978-607-520-192-4

Contenido: On the vanishing sets of the derivative of inverse integrating factors /Gonzalez, L. Rocıo, Osuna, Osvaldo, Santaella, Ruben. – On the Dulac functions forvector fields / Osuna, Osvaldo, Vargas, Cruz, Villasenor, Gabriel, Villavicencio, Geiser.– System of non-linear partial differential equations for recursive planning and control/ Castro, Lıdice, Martınez, Edgar. – Algebrizability of vector fields in the space /Grimaldo, M., Frıas, M., Alcorta, M., Lopez, E. – Introduccion a los sistemasformales / Juan Acosta, Oscar Estrada, Luis Loeza, Boris Menderos, Gustavo Tapia.

1. Integrating factors. – 2. Inverse integrating factors. – 3. Limit cycles. –4. Bendixson-Dulac criterion. – 5. Dulac functions. – 6. Robotics. – 7. Planning.8. Navigation. – 9. 2D-infra-red data. – 10. Non-linear regression. –11. System-nonlinear-equations. – 12. Lorch differentiability. – 13. Vector fields.14. Ordinary differential equations. – 15. Logica clasica. –16. Calculo proposicional. – 17. Sistema axiomatico L.

QA159 A83 2015

Cuidado de la edicion y diagramacion: Luis Loeza Chin.Correccion: Jorge Hernandez Martınez.

Cubierta: Karla Marıa Rascon Gonzalez.

D.R. c© 2015 Luis Loeza Chinc© Universidad Autonoma de Ciudad Juarez

Av. Plutarco Elıas Calles num. 1210Fovissste Chamizal, C.P. 32310

Ciudad Juarez, Chihuahua, Mexico

Impreso en Mexico / Printed in Mexico

Agradecemos a:


Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa

Departamento de Fısica y Matematicas

Direccion General de Difusion Cultural y Divulgacion Cientıfica

Coordinacion General de Investigacion y Posgrado

Contents

Presentacion 3

Sistemas dinamicos 5

On the Vanishing Sets of the Derivative of InverseIntegrating Factors,(Gonzalez, L., Osuna, O., Santaella, R.) 7

On the Dulac Functions for Vector Fields,(Osuna, O., Vargas, C., Villasenor, G., Villavicencio, G.) 15

System of Non-linear Partial Differential Equations for RecursivePlanning and Control,(Castro, L., Martınez, E.) 27

Algebrizability of Vector Fields in the Space,(Grimaldo, M., Frıas, M., Alcorta, M., Lopez, E.) 47

Logica matematica 61

Introduccion a los sistemas formales,(Acosta, J., Estrada, O., Loeza, L., Mederos, B., Tapia, G.) 63

Presentacion

El Cuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas del Instituto de Inge-nierıa y Tecnologıa de la Universidad Autonoma de Ciudad Juarez (uacj) fuecreado en 2010 por la firme decision institucional de consolidar el mejoramientode la calidad de los academicos adscritos a la Licenciatura en Matematicas delDepartamento de Fısica y Matematicas del Instituto de Ingenierıa y Tecnologıade la uacj, mediante la incorporacion de sus miembros en actividades de inves-tigacion cientıfica colectiva y con el compromiso de transmitir esta generacionde conocimiento a toda la comunidad universitaria.

Las Lıneas de Generacion y Aplicacion del Conocimiento que cultiva elCuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas son: Algebra, Ecuacionesdiferenciales y Sistemas dinamicos, matematicas aplicadas y logica matematicay fundamentos. Sus miembros trabajan de manera colegiada para la creacionde nuevos conocimientos en estas areas y sus aplicaciones. Asimismo, se buscainvolucrar a estudiantes avanzados de la Licenciatura en Matematicas en es-tas actividades con el objetivo de acercarlos a la investigacion cientıfica, con-tribuyendo con ello a una formacion mas solida de los egresados de estalicenciatura.

El presente material es un registro de algunas de las actividades realizadaspor el Cuerpo Academico de Matematicas Puras y Aplicadas. Todos los traba-jos incluidos se han presentado en las actividades regulares del Cuerpo Academi-co o son producto de los esfuerzos colectivos de sus miembros y sus relacionesde colaboracion con investigadores de otras instituciones.

Luis Loeza Chinjunio de 2015

Sistemas dinamicos

AVANZA. Vol. v. Fm - iit, uacj (2015) 7–13. isbn: 978-607-9224-52-3

On the Vanishing Sets of the Derivative of InverseIntegrating Factors ∗

Gonzalez-Ramırez, L. Rocıo, Osuna, Osvaldo, Santaella-Forero, Ruben †

Abstract

In this work, we study the link between the zeroes of the derivative of theinverse integrating factor and the relative distribution of the limit cycles ofa planar differential system. Furthermore, we obtain criteria to rule out theexistence of limit cycles. We present examples in order to illustrate our results.

Keywords: integrating factors, inverse integrating factors, limit cycles.

1 Introduction

The qualitative theory of differential equations deals with the local and globalproperties of solutions of autonomous differential systems. The principal aimof this theory is the geometrical description of solutions of these systems. Thesecond part of the 16-Hilbert problem is dedicated to limit cycles of polynomialdifferential system in the plane. This problem asks for the maximal numberand relative position of limit cycles of polynomial differential system. Given anopen set U ⊆ R2, we consider a system given by

x1 = f1(x1, x2),x2 = f2(x1, x2),

(1)

where fi : U ⊆ R2 → R, and 1 ≤ i ≤ 2 are C1 functions. Consider the vectorfield F := f1

∂∂x1

+ f2∂∂x2

, then the system (1) can be rewritten in the form

x = F (x), x := (x1, x2) ∈ U. (2)

Inverse integrating factors (iifs) are useful tools in the study of qualita-tive properties of differential systems. In particular, the relationship of iifswith limit cycles, integrability, symmetries, center problems, bifurcations andother properties has been extensively studied (see [1-9, 11]). We now recall thedefinition of iif.

∗2010, Classifications numbers AMS. 34C05, 34C07, 34C25.†Instituto de Fısica y Matematicas, Universidad Michoacana.

8 Gonzalez, L., Osuna, O., Santaella, R.

Definition 1.1. A C1 function V : U → R is said to be an inverse integratingfactor ( iif) of the system (1) if it is not locally null and satisfies the followingpartial differential equation:

f1∂V∂x1

+ f2∂V∂x2

=

(∂f1

∂x1+∂f2

∂x2

)V. (3)

The name iif for the function V arises from the fact that 1/V is an in-tegrating factor for the vector field F , that is, F/V restricted to U\V−1(0) isdivergence-free. Note that the vector field F is tangent to the curve V(x, y) = 0,so the set V(x, y) = 0 is formed by solutions of (1).

In this paper we investigate the link between the zeroes of the derivative ofthe iif and the relative distribution of the limit cycles for a planar differentialsystem. Furthermore, we obtain criteria to rule out the existence of limit cycles.We present examples in order to illustrate our results.

2 On the distribution and non-existence of limitcycles

A useful relationship between limit cycles and iifs is established in the followingtheorem (see [10]), that relates limit cycles with the zero level curve of an iif.

Theorem 2.1. ([10], th. 9) Let V : U → R be an inverse integrating factor ofthe system (1). If γ ⊂ U is a limit cycle of (1), then γ is contained in the setV−1(0) := (x1, x2) ∈ U : V(x1, x2) = 0.

Thus, one of the most important applications of iifs is the localizationof limit cycles. An interesting question in qualitative theory of differentialequations is about the relative position of limit cycles of a system. We nowbriefly recall some definitions regarding this matter.

A configuration of limit cycles is a finite set C = C1, . . . Cn of disjointsimple closed curve of the phase such that Ci ∩ Cj = ∅, ∀i 6= j.

Given a configuration of limit cycles C = C1, . . . Cn, the curve Ci isprimary if there is no curve Cj of C contained into the bounded region limitedby Ci, ∀i 6= j.

Two configurations of limit cycles C and C ′ are (topologically) equivalentif there is a homeomorphism in R2 mapping C to C ′. Given the differentialequation (1) its associated configuration is the configuration of limit cyclesrealized by the simple closed curves of its limit cycles.

On the Vanishing Sets of the Derivative... 9

Proposition 2.2. Let U ⊂ R2 be a simply connected open set. If V : U → Ris an iif of the system (1) and γ ⊂ U is a limit cycle for such system, thenDV(x) = 0 for some x in the open region bounded by γ.

Proof. Let int(γ) be the open region bounded by γ, so the function V : int(γ)∪γ → R reaches a minimum and a maximum. If a minimum or a maximum isreached on points in int(γ), then DV(x) = 0 on these points as desired. On theother hand, if both the minimum and the maximum are reached on γ, then byTheorem 2.1 the function V is constant on int(γ)∪γ; therefore DV(x) vanishesagain and the proposition follows.

We note that Proposition 2.2 stated contra-positively yields the followingresult:

Corollary 2.3. Let U ⊂ R2 be a simply connected open set. If V : U → R isan iif of the system (1) and DV(x) 6= 0, for all x in U , then the system (1)admits no limit cycles in R2.

Remark 2.4. in the rest of this work, unless otherwise stated, we will assumethat U = R2.

Proposition 2.5. Suppose that V : R2 → R is an iif of the system (1) andDV(x) = 0 on exactly r points, then its associated configuration of limit cyclescontains at most r primary cycles.

Proof. By Proposition 2.2 we have that for any primary cycle DV vanishesat least on one point, hence the system may not have more than r primarycycles.

We now note that given a real function V : R2 → R, there are non-Hamiltonian systems having V as an iif. Indeed, by a direct computationwe obtain:

Lemma 2.6. Let V : R2 → R be a C1-function and α ∈ R, then the system x1 = V(x1, x2)f(x2)∓ α ∂V∂x2

(x1, x2),

x2 = V(x1, x2)g(x1)± α ∂V∂x1

(x1, x2)(4)

has V as an iif.


Example 2.7. Consider the system

x1 = (x31 + x5

2 + x1 − 1)(3x52 + 6x2 + 1),

x2 = (x31 + x5

2 + x1 − 1)(x31 + 3x1 − 5),

by the above lemma the function V(x1, x2) = x31 + x5

2 + x1 − 1 is an iif of thissystem. Since DV = (3x2

1 + 1, 5x42) does not vanish, then by Corollary 2.3 we

conclude that the system admits no limit cycles.

Example 2.8. Consider the predator-prey equation

x1 = αx1(a− bx2),

x2 = (cx1 − d)βx2,

where all constants are positive. We have that V(x1, x2) = αβx1x2 is an iif ofthis system. By Corollary 2.3, the predator-prey system admits no limit cyclesin R2

+, where R2+ := (x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0.


x1 = x51x2 − 5x1x2 + 5x3

2 + 5x22 + 6x2 + 3,

x2 = 2x61 − 10x2

1 + 10x22 + 10x1x2 − 3x4

1 + 3,

which has V(x1, x2) = 15(x5

1 − 5x1 + 5x22 + 5x2) as an iif. Since DV = (x4

1 −1, 2x2 +1) vanishes at two points, i.e. (±1,−1

2), so by Proposition 2.4 it followsthat the system contains at most 2 primary cycles.


x1 = (1

7x7

1 −4

5x5

1 −1

3x3

1 + 2x22 + 4x1 − x2 + 2)(x4

2 + 3x32 + 1) + 4x2 − 1,

x2 = (1

7x7

1 −4

5x5

1 −1

3x3

1 + 2x22 + 4x1 − x2 + 2)(x4

1 − x1 + 2)

+ x61 − 4x4

1 − x21 + 4,

by Lemma 2.5 the function V(x1, x2) = 17x

71− 4

5x51− 1

3x31 + 2x2

2 + 4x1−x2 + 2 isan iif of this system. Since DV = (x6

1− 4x41− x2

1 + 4, 4x2− 1) = ((x21 + 1)(x2

1−1)(x2

1 − 4), 4x2 − 1) vanishes at four points, so by Proposition 2.4 the systemcontains at most 4 primary cycles.

As a direct consequence of Proposition 2.4, we obtain the following corollary:


Corollary 2.11. Suppose that V : R2 → R is an iif of the system (1) andDV(x) = 0 on exactly one point. If the system supports more than one limitcycle, then they are nested.


x1 = x72 + x4

1x2 + 2x1x2 + 6x2 − 18x52,

x2 = (x62 + x4

1 + 2x1 + 6)(x71 + 5x1) + 12x3

1 + 6,

by Lemma 2.5 the function V(x1, x2) = x62 +x4

1 +2x1 +6 is an iif of this system.Since DV = (4x3

1 + 2, 6x52) vanishes on exactly one point by Corollary 2.10, we

conclude that the limit cycles, if they exist, are nested.


x1 = x42x1 −

4

3x3

2x1 + 3x22x1 − 6x2

2 + 3x31 − 4x1 + 3x1 − 2,

x2 = 3x52 − 2x4

2 + 9x32 − 18x2

2 + 9x21x2 − 12x1x2 − 2y3 + 2y2 − 3y + 3,

by Lemma 2.5 the function V(x1, x2) = 12x

42− 2

3x32− 3

2x22−3x2 + 3

2x21−2x1 is an

iif of this system. Since DV = (3x1− 2, 2x32− 2x2

2 + 3x2− 3) = (3x1− 2, (2x22 +

3)(x2− 1)) vanishes only on (23 , 1), by Corollary 2.10 it follows that the system

contains at most 1 primary cycle.

As a direct consequence of Corollary 2.3, we obtain the following:

Corollary 2.14. Suppose there exists V : R2 → R an iif of the system (1)with ||DV|| ≥ m for some positive constant m. Then the system (1) admits nolimit cycles in R2.


x1 = (1 + x21)(x2 + sin(x2)),

x2 = x31x2 − 2x1x2 + x2,

then V(x1, x2) = (1 + x21)x2 is an iif of this system. By the above corollary we

conclude that the system admits no limit cycles in R2.


x1 = x51x2 + x3

2 − x72 + x1x2 + 6x2 − 3x2 + 15x4

2,

x2 = −x61 − x2

2x1 + x62x1 − x2

1 − 6x1 + 15x41 + 3,

by Lemma 2.5 we have that V(x1, x2) = x51 + x2

2 − x62 + x1 + 6 is an iif of

this system. We also have that DV(x1, x2) = (5x41 + 1, 2x2 − 6x5

2), thus usingCorollary 2.13 we conclude that this system admits no limit cycles in R2.



x1 = x2 + x21,

x2 = − b3

27− b2

3x1 + bx2 + x1x2.

A simple computation gives that V(x1, x2) = b2 + 6bx1− 9x21− 18x2 is an iif of

this system and ||DV|| ≥ 4. Thus by Corollary 2.13 the system admits no limitcycles.

Example 2.18. Consider an epidemic model SIS type (with induced death)

S = −βSI + γI,

I = βSI − γI − αI,

where α, β, γ are positive constants. We have that V(S, I) = (−βS + γ)I is aniif of this system. By Corollary 2.3, the epidemic model admits no limit cyclesin R2

+.

Bibliography

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[8] Garcia, I., Grau, M. A Survey on the Inverse Integrating Factor. Qual.Theory Dyn. Syst., 9, (1-2), (2010), 115-166.

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[11] Laura-Guarachi, L., Osuna, O., Villasenor-Aguilar, G. Non-existence ofLimit Cycles Via Inverse Integrating Factors. Electronic Journal of Differ-ential Equations, V. (2011), 124, (2011), 1-6.

Gonzalez-Ramırez, L. Rocıo ([email protected]),Osuna, Osvaldo ([email protected]),Santaella-Forero, Ruben ([email protected]).Instituto de Fısica y Matematicas, Universidad Michoacana, Edif. C-3,Ciudad Universitaria, C. P. 58040. Morelia, Mich., Mexico.


On the Dulac Functions for Vector Fields ∗

Osuna, Osvaldo, Vargas-De-Leon, Cruz, Villasenor-Aguilar, Gabriel,Villavicencio-Pulido, Geiser †

Abstract

In this work, we provide some conditions on the components of a two-dimensional vector field for constructing a Dulac function for this vector field.In particular, we give sufficient conditions for the existence of Dulac functionsdepending on special functions for some vector fields. We also present someapplications for biological models.

Keywords: Bendixson-Dulac criterion, Dulac functions, limit cycles.

1 Introduction and preliminaries

A fundamental question in the qualitative theory of planar differential systemsis the determination of the number and distribution of limit cycles. We recallthat a limit cycle is a periodic solution which has an annulus-like neighborhoodfree of other periodic solutions. But, deciding whether an arbitrary differentialequation has or does not have limit cycles, and how many they might be, thereare difficult questions that remain open. There are some criteria that allow usto rule out the existence of periodic orbits in the plane; between them, we willtake particular interest in studying the Bendixson-Dulac criterion. It is wellknown that Bendixson-Dulac criterion is a very useful tool for investigation oflimit cycles (see [3], [4], [5], [7]).

For convenience, we recall the Bendixson-Dulac criterion (see [6], p. 137).

Theorem 1.1. (Bendixson-Dulac criterion) Let f1, f2, h ∈ C1(Ω,R) befunctions defined on an open simply connected domain Ω ⊂ R2, such that∂(f1h)∂x1

+ ∂(f2h)∂x2

does not change sign in Ω and vanishes at most on a set ofmeasure zero. Then the system

x1 = f1(x1, x2),x2 = f2(x1, x2), (x1, x2) ∈ Ω

(1)

∗2010, Classifications numbers AMS. 34C25, 34C07, 34A34.†Instituto de Fısica y Matematicas, Universidad Michoacana / Unidad de Medicina Ex-

perimental, Hospital General de Mexico “Dr. Eduardo Liceaga” / Instituto Tecnologico deMorelia / Division de Ciencias Biologicas y de la Salud, Universidad Autonoma Metropolitanaunidad Lerma.

16 Osuna, O., Vargas, C., Villasenor, G., Villavicencio, G.

does not have periodic orbits in Ω.

Note that the Bendixson-Dulac criterion also discards existence of polycyclesmaking it useful in establishing global stability. A function h as in the theorem iscalled a Dulac function. It is well known that Dulac functions are an importanttool in the qualitative study of differential equations, but their determinationis a difficult problem.

Our main goal is provide some conditions on the components of a vectorfield for constructing a Dulac function for this vector field, this Dulac functionallows rule out the existence of limit cycle. In particular, we give sufficientconditions for the existence of Dulac functions depending on special functionsfor some vector fields. We also present some applications for biological models.

Consider the vector field F (x1, x2) = (f1(x1, x2), f2(x1, x2)), then the sys-tem (1) can be rewritten in the form x = F (x). As usual the divergence of thevector field F is defined by div(F ) = ∂f1

∂x1+ ∂f2

∂x2.

We consider C0(Ω,R) the set of continuous functions and define the set

FΩ = f ∈ C0(Ω,R)|f doesn’t change sign and vanishes only on a measure zero set.

Also for the simply connected region Ω, we introduce the sets

D+Ω(F ) :=

h ∈ C1(Ω,R)

∣∣∣∣ k :=∂(hf1)

∂x1+∂(hf2)

∂x2≥ 0, k ∈ FΩ

and D−Ω(F ) := −D+Ω(F ). A Dulac function of (1) is an element in the set

DΩ(F ) := D+Ω(F ) ∪ D−Ω(F ).

Our results are established with the help of the techniques developed in [12]and [13] using partial differential equations; let us recall the following result:

Theorem 1.2. If there exist c ∈ FΩ, such that h is a solution of the system

f1∂h

∂x1+ f2

∂h

∂x2= h (c− div(F )) , (2)

with h ∈ FΩ, then h is a Dulac function for (1) on Ω.

On the Dulac Functions for Vector Fields 17

2 Results

Our first results produce sufficient conditions for Dulac functions for specificsystems. Let us consider the following system:

x1 = r1(x1)s1(x2),x2 = r2(x1)s2(x2).

(3)

We get the next result:

Proposition 2.1. Let Ω ⊂ R2 be a simply connected open set. If r2s′2 ∈ FΩ

and r1 6= 0 (or r′1s1 ∈ FΩ and s2 6= 0), then the system (3) has a Dulac functionon Ω.

Proof. We assume that a Dulac function has the form h = h(z), where z =z(x1, x2), then applying the chain rule the associated equation (2) becomes[

f1∂z

∂x1+ f2

∂z

∂x2

]dh

dz= h (c− div(F )) ;

we consider z = x1, so the above equation is transformed to

r1s1dh

dz= h(c− (r′1s1 + r2s

′2));

under the conditions of the proposition, we take c = r2s′2, a solution of this

partial differential equation is h = c11r1

; the result follows from Theorem 1.2.


x1 = (1 + x21)(x2 − 2x2

2),

x2 = (x21 + 2x1 − 1)2x3

2,

so by Proposition 2.1 the system does not support limit cycles.

Proposition 2.3. Let Ω ⊂ R2 be a simply connected open set. Assume thatr1 > 0 (< 0) and s′2 ∈ FΩ, then the system

x1 = r1(x1)r2(x2),x2 = s1(x1) + s2(x2)

(4)

has a Dulac function on Ω.


Proof. We proceed analogously to the proof of proposition 2.1, but now wechoose c := s′2, thus equation (2) is written as

r1r2∂h

∂x1+ (s1 + s2)

∂h

∂x2= −

(r′1r2

)h; (5)

solving (5) we get a Dulac function by Theorem 1.2.


x1 = (1 + x41)2(2x2 + 2x3

2),

x2 = x31 + x7

1 + 1 + x2,

so by Proposition 2.3 the system does not support limit cycles.

Analogously we can establish the following:

Proposition 2.5. Let Ω ⊂ R2 be a simply connected open set. Assume thatr′1 6= 0 and s2, then the system

x1 = r1(x1) + r2(x2),x2 = s1(x1)s2(x2)

(6)

has no limit cycles in Ω.

The next result gives conditions for existence of Dulac functions dependingon special functions:

Proposition 2.6. Assume that div(F ) ≥ 0 or div(F ) ≤ 0. If any of thefollowing functions belong to FΩ, then DΩ(F ) 6= ∅:

i).- fi for some i ∈ 1, 2;

ii).- x2f1 + x1f2;

iii).- f1 + f2;

iv).- f1g2g′1 + f2g1g

′2;

v).- f1g1 + f2g2;

with gi depending only on xi, for i = 1, 2.


Proof. We consider the case iii). For convenience suppose that div(F ) ≤ 0 andf1 + f2 ≥ 0. We seek a Dulac function h = h(z), where z = x1 + x2, so theequation (2) becomes

[f1 + f2]dh

dz= h (c− div(F )) ;

from Theorem 1.2 we need to find c, such that δ = c−div(F )f1+f2

is continuous

and depends on z. So consider δ(z) := −(z2 + 1) (or any continuous functionδ(z) < 0 on Ω), we have (f1 + f2)δ ≤ 0 and (f1 + f2)δ ∈ FΩ; therefore we canconsider c := (f1 + f2)δ + div(F ).


x1 = x2x21 + x3

2,

x2 = 2x1 − x1x22,

note thatdiv(F ) = 2x2x1 − 2x1x2 = 0

andx2f1 + x1f2 = x2

2x21 + x4

2 + 2x21 − x2

1x22 = x4

2 + 2x21 ≥ 0;

therefore by ii) in Proposition 2.6, DR2(F ) 6= ∅.


x1 = 2x1x2 − x21,

x2 = x21 + 2x1x2 − x2

2,

if we take g1 := x21 and g2 := x2, then g′1 = 2x1 and g′2 = 1; now div(F ) =

2x2 − 2x1 + 2x1 − 2x2 = 0 and

g2f1g′1 + g1f2g

′2 = x2(2x1x2 − x2

1)(2x1) + x21(x2

1 + 2x1x2 − x22) = 3x2

1x22 + x4

1,

so by iv) in Proposition 2.6, the system has a Dulac system.

Now we discuss some systems that come from biology.

Proposition 2.9. Let gi : R+ → R+ be continuous functions and ai ∈ R+ fori = 1, 2, then the planar system

x1 = x1(a1 − x1g1(x2)),

x2 = x2(a2 − x2g2(x1))

supports a Dulac function on R2+ := (x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0.


Proof. We apply the associated equation (2), assuming a Dulac function h =h(z) depending only on z = x1. First assume a1 ≥ a2 and taking c(x1, x2) :=a2 − a1 − 2x1g1(x2) < 0 on R2

+, then the associated equation is written as

f1∂h

∂x1= h(c− div(F )),

so we getd log h

dx1= − 2a1 − 2x1g1(x2)

x1(a1 − x1g1(x2))= − 2

x1;

solving the above equation by Theorem 1.2, we get that the system admits aDulac function on R2

+.If a2 ≥ a1, we use a similar argument and get a Dulac function.

Example 2.10. The following system is a basic model of facultative mutualism[11]:

x1 = x1

[1− x1

k1 + b12x2

]= f1(x1, x2),

x2 = x2

[1− x2

k2 + b21x1

]= f2(x1, x2);

note that satisfies the conditions of the Proposition 2.9; therefore supports aDulac function.

Consider the system x1 = x1

(r1 − x1s1

k1− ax2g(x1)

),

x2 = x2

(r2 − x2s2

k2+ g(x1).

).

(7)

Proposition 2.11. Let g : R+ → R+ be C1-function, with ∂g∂x1

> 0, beinga, ki, s1 positive constants, s2 ≥ 0 and r2 ∈ R, then the system (7) supports aDulac function on R2

+ := (x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0.

Proof. Since −div(F ) = −r1+2x1s1k1+ax2g(x1)+ax1x2

∂g∂x1−r1+2x1s2k2

−eg(x1),

by applying Theorem 1.2 with c := −x1s1k1− x1s2

k2−ax1x2

∂g∂x1

< 0, the associatedequation (2) is written as

x1(u1)∂h

∂x1+ x2(u2)

∂h

∂x2= h(−u1 − u2),

where u1 := r1− x1s1k1−ax2g(x1) and u2 := r2− x2s2

k2+g(x1); the solution of this

partial differential equation is h = 1x1x2

, then the system has a Dulac functionby Theorem 1.2.


Example 2.12. We consider the following model of two species [11]:

x1 = x1

(r1 −

r1x1

k1− ax2(1− exp(−bx1))

),

x2 = x2 (−d+ e(1− exp(−bx1))) ;

the Proposition 2.11 applies, then the system supports a Dulac function.

A seis Epidemiological Model. We consider the classical Susceptible–Exposed–Infectious–Susceptible (seis) compartmental epidemiological model.Assume that the population is divided into three disjoint classes which changewith time t. Let S(t), E(t) and I(t) be the fractions of the populations that aresusceptible, exposed and infectious, respectively. Then the differential equationsof a seis model with horizontal and vertical transmission are

dS

dt= µN − f(S, I)− pµI − qµE − µS + γE + δI,

dE

dt= f(S, I) + pµI + qµE − (ε+ µ+ γ)E, (8)

dI

dt= εE − (δ + µ)I.

The parameters are positive constants. There is no disease-related death. Thenatural death rate and birth rate are assumed to be equal, denoted by µ, andthus S + E + I = N for all time (the constant population size). A fraction0 ≤ q ≤ 1 of the offspring from exposed class and a fraction 0 ≤ p ≤ 1 ofthe offspring from infectious class are born into the exposed individuals. Thusvertical transmission gives a term pµI + qµE entering the exposed individualsand a similar reduction in the birth of susceptibles. It is assumed that thecontagious process is characterized by the non-linear incidence f(S, I). Theparameter ε is the rate at which the exposed individuals become infectious, γdenotes the rate that the exposed individuals are reverted to the susceptibleclass, and δ is the rate at which the infectious individuals recover. When γ =δ = 0, there is no recovery from the disease, and (8) reduces to the Susceptible–Exposed–Infectious (seis) compartmental epidemiological model (see [14] fordetails).

To analyze the non-existence of periodic solutions, first of all, we reduce themodel (8) to a two-dimensional model as follows. The system (8) is subject tothe restriction S +E + I = N , and using E = N − S − I in the model, we caneliminate E from the equations. This substitution gives the simpler model:


dS

dt= µN − f(S, I)− pµI − qµ(N − S − I)− µS + γ(N − S − I) + δI,

dI

dt= ε(N − S − I)− (δ + µ)I. (9)

We study this system in the following region:

Σ =

(S, I) ∈ R2+ : S ≥ 0, I ≥ 0, S + I ≤ N

,

due to biological interpretation of S and I. One can verify that Σ is positivelyinvariant for system (9).

Using the Theorem 1.2 we can get some conditions for the non-existence oflimit cycle of the system seis.

Proposition 2.13. Assume that ∂f(S,I)∂S ≥ 0, then the epidemic system (9) does

not have limit cycles in Σ.

Proof. We seek a Dulac function using the associated equation (2). Assumethat h depends only on z := I, thus the equation (2) becomes

[ε(N − S − I)− (δ + µ)I]dh

dz= h

(c− [−∂f

∂S+ (q − 1)µ− γ − ε− (δ + µ)]

).

(10)

If ∂f(S,I)∂S ≥ 0, we can choose c = − ∂f

∂S −(1−q)µ−(γ+ε)−ε(N−S−I)/I ∈ F−Σand the equation (10) reduces to

[ε(N − S − I)− (δ + µ)I]dh

dz= h (−ε(N − S − I)/I + (δ + µ)) ,

which admits a solution h ∈ FΣ; therefore a Dulac function, thus the systemhas no limit cycles in Σ.

Several different incidence rates have been proposed by authors. We nowgive examples of incidence functions for which the required condition of Proposi-tion 2.13 is satisfied, so with such incidence functions the corresponding systemshave no limit cycles in Σ.

Example 2.14. Classical bilinear incidence. Let f(S, I) = βSI, where β >0. In classical infectious disease models, the incidence rates are bilinear, i.e.proportional to the product of the number of infective individuals and thenumber of susceptible individuals.


Example 2.15. Saturated incidence rate of the form f(S, I) = βSI/(1 + αI),where β > 0 and α ≥ 0. Capasso and Serio [2] introduced a saturated incidencerate βSI/(1+αI) in an epidemic model when they studied the cholera epidemicin 1973.

Example 2.16. Saturated incidence rate of the form f(S, I) = βSI/(1 + κS),where β > 0 and κ ≥ 0. This saturation incidence was proposed by May andAnderson [10].

Example 2.17. Non-monotonic incidence rate. Let f(S, I) = βSI/(1 + αI2),where β > 0 and α ≥ 0. Xiao and Ruan [16] proposed an sirs epidemic modelwith non-monotonic incidence rate βSI/(1 + αI2).

Example 2.18. Generalized mass action law. Let f(S, I) = βSrIk, whereβ > 0, r ≥ 1 and k ≥ 1. Liu and coworkers studied the seirs models with theincidence rate βSrIk in [8, 9].

Example 2.19. General saturation incidence rate. Let f(S, I) = βIkS/(1 +αIn), where k ≥ 1, α ≥ 0 and n ≥ 1. A general saturation incidence rateβIkS/(1 + αIn) was proposed by Liu and coworkers [8] and used by a numberof authors.

Example 2.20. Generalized non-linear incidence rate. Let f(S, I) = βI(1 +αIk−1)S, where β > 0, α ≥ 0 and k ≥ 1. Van den Driessche and Watmough[15] studied an incidence rate of the form βI(1 + αIk−1)S. For low I, bilinearterm dominates but if α > 1, then for large I the higher order term dominates.

Example 2.21. Negative binomial. Let f(S, I) = κ ln(1+βI/κ)S, where β > 0and κ > 0. Briggs and Godfray [1] considered a non-linear pathogen transmis-sion of the form κ ln(1 + βI/κ)S. Small κ corresponds to highly aggregatedinfection. As κ→∞ expression reduces to βSI.

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Osuna, Osvaldo ([email protected])Instituto de Fısica y Matematicas, Universidad Michoacana.Ciudad Universitaria, C. P. 58040. Morelia, Mich., Mexico.

Vargas-De-Leon, Cruz ([email protected])Unidad de Medicina Experimental, Hospital General de Mexico“Dr. Eduardo Liceaga”, C. P. 06726, Mexico.

Villasenor-Aguilar, Gabriel ([email protected])Instituto Tecnologico de Morelia, Depto. de Ciencias Basicas, Edif. AD.Morelia, Mich., Mexico

Villavicencio-Pulido, Geiser ([email protected])Division de Ciencias Biologicas y de la Salud, Depto. de Ciencias Ambien-tales, Universidad Autonoma Metropolitana unidad Lerma. Av. HidalgoPoniente num. 46, col. La Estacion, C. P. 52006, Lerma de Villada, Edo.de Mexico, Mexico.


System of Non-linear Partial Differential Equations forRecursive Planning and Control ∗

Castro, Lıdice, Martınez-Garcıa, Edgar †

Abstract

This work presents an automated control and planning system for a mobilerobot to find a source of heat emissions. The heat emission is detected by anasynchronous dual speed wheeled robot instrumented with a home-made 2Dinfra-red vision sensor. The sensor detects a range of electromagnetic wavelengths of 5000nm to 5600nm, which respectively represent a temperature rangeof 300oC to 200oC.

From experimental data, an exponential fitting model d(I) = αeβI theoret-ically modelled the real relationship between the heat source distance d and amatrix of infra-red intensity values I. In addition, a second degree polynomialfitting model T (I) = a2I

2 + a1I + a0 theoretically describes the temperature Tas a function of the heat intensity values I arising from the visual sensor. Boththeoretical models are combined to establish a non linear closed-form sensingsolution via distance-temperature d(T ). Therefore, by using d(T ), a recursivesystem of non linear equations of the general form d2t = (xf −xt)2 +(ff −yt)2 isproposed, and a derivative-based solution is provided on-line using the Newton-Raphson method to search/find the source of heat emissions at the unknownlocation (xf , yf )>.

The planning approach is then combined with partial differential equations toproduce trigonometric repulsive ∂fα/∂x, and attractive ∂fγ/∂x vectorfields to control the robot’s mobility avoiding obstacles xα and simultaneouslyfinding the source of heat emission location xγ .

Keywords: robotics, planning, navigation, 2D-infra-red data, non-linear re-gression, system-nonlinear-equations, vector-field, divided-differences.

1 Introduction

This work presents an automated control system for a mobile robot to find asource of heat emissions. The searching/finding problem is tackled by usingan iterative variational method to solve a system of non linear equations forthe sake of motion planning. The motion planning is in connection with thedevelopment of trigonometric directional derivatives to accomplish the robot’s

∗2000, Classifications numbers AMS 93C85, 93C20, 65F10.†Laboratorio de Robotica, Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa, Universidad Autonoma de

Ciudad Juarez.

28 Castro, L., Martınez, E.

navigation control. By solely deploying infra-red images as feedback, a formula-tion was deduced to establish a mathematical relationship among the distanceof the heat radiation source. The heat radiation source is measured by a 2Dinfra-red image of intensity values which are correlated as a scale of heat. Suchrelationship allows to establish a direct and an inverse solution of the sens-ing model via distance-temperature. This model is mathematically combinedwith 2D partial differential equations to produce repulsive and attractive vec-tors fields that control the robot’s navigation to avoid existing obstacles andsimultaneously find the location of the source of heat emissions.

Section 2 discusses the artificial vision maximization algorithm and formu-lation to detect critical heat emissions in infra-red images. Section 3 formulatesthe theoretical sensing models image-temperature and image-distance by meansof fitting experimental data. Section 4 formulates the sensing model from thenon linear relationship temperature-distance obtained from visual heat images.Section 5 states the system of non linear equations that conducts the robottowards the Cartesian location of the source of heat emissions using solely thedistance-temperature sensor measurement to feedback the system of equations.Section 6 formulates two trigonometric-based partial differential equations todescribe repulsive and attractive behaviours through vector fields. Section 7establishes the control navigation function that autonomously makes the robotto search and find the source of heat emissions. Finally, the conclusions areprovided.

2 2D infra-red image model

Let us assume a 2D infra-red sensor able to measure heat radiations withina range of 200oC-300oC, and measurements obtained in filtered planar imagesIF , such that IF ∈ Rn×m×3, being raw data organized as 3-color channels(red, green, blue) [4]. Electromagnetic radiation with wave lengths surrounding5000nm-5600nm falls in the infra-red spectrum. Thus, let us discriminate thegreen and blue channels from the raw data intensity matrix, in order to separatethe red-color channel with resulting image IR ∈ Rn×m. Where

IF (i, j, 2) = 0, and IF (i, j, 3) = 0, ∀ i, j

With the red-channel only image IR, our interest is to detect values of emit-ted temperatures (i.e., 300oC) through a segmentation process of the infra-reddata IR. The segmentation model begins by obtaining the argument ls thatmaximizes IR. Hence,

System of Non-linear Partial Differential Equations... 29

ls = arg maxi,j IR(i, j). (1)

Furthermore, ls establishes the greatest boundary value of a temperaturerange of interest. Thus, let us define the top f = 5% rate beneath ls. Similarly,the least boundary limit is defined by li, such that

li = ls − (ls)f. (2)

Therefore, the following definition is stated:

Definition 2.1 (Intensity region with temperature of interest). The infra-red image IM contains segmented regions that represents the temperatures ofinterest,

IM (i, j) =

IR(i, j), li ≤ IR(i, j) ≤ ls0, otherwise.

(3)

Figure 1 illustrates the raw infra-red image (right-hand side), and the seg-mented region ranging the top 5% beneath 300oC.

Figure 1: Infra-red intensity image and 300oC region detection. Left: Sensed heatemissions image I. Right: nearly 5% of 300oC detection region.

The obtained values from infra-red image sensor were validated by theWien’s Law to classify the range of wave lengths filtered. The process startedits derivation from the Planck’s Law describing the intensity radiation per unitarea of a source emission. The spectral radiation function L(λ, T ) with physicalunits W/cm2µ sr of a black body for a specific wavelength λ, and a temperature(T ) is defined by

L(λ, T ) =C1

λ5e((C2/λT )−1),


Table 1: Radiation wavelength sensor experimental characterization.

T(oC) T(K) λ(nm)

248.76 521.91 5552.68

260.78 533.93 5427.68

270.92 544.07 5326.52

283.54 556.69 5205.77

289.56 562.71 5150.08

301.48 574.63 5043.25

where C1 = 1.91 × 104 (Wµm4/cm2sr), and C2 = 1.428 × 104 (µmK). Itfollows that the Wien’s Law of Displacement states that the maximum value ofλ that causes the peaks curve of the radiation power of a black body is inverselyproportional to its temperature [2].

λmax =b

T,

where the constant of displacement of Wien, b = 2.8977721 × 10−3m ·K, andT is the temperature (oK).

3 From experimental data to analytic models

Our interest is to set theoretical models that describe the relationship betweenthe infra-red images IR, and the distance d of the source of heat with its realtemperature T . We start by having experimental raw data which arise from thesensor observations, also known as empirical model. The empirical models areutilized to fit a theoretical function by means of regression methods (see figure2).

3.1 Temperature as a function of light intensity

The sensing model that makes a relationship between T and IM is provided bythe ideal polynomial regression model [3].

Proposition 3.1 (Model of T as function of I). The ideal polynomial modelthat correlates T and IM is

T (Ii,j) = a0 + a1Ii,j + a2I2i,j , (4)


where the coefficients a0, a1 and a2 are solved. Thus, by using the ordinaryleast squares estimation or squared residuals between the ideal model and thesensor data we have

Sr =

n∑i=1

(Ti − a0 − a1Ii − a2I2i )2; (5)

partially deriving w.r.t. each polynomial coefficient of interest,

∂Sr

∂a0= −2

n∑i=1

(Ti − a0 − a1Ii − a2I2i ) (6a)

∂Sr

∂a1= −2

n∑i=1

Ii(Ti − a0 − a1Ii − a2I2i ) (6b)

∂Sr

∂a2= −2

n∑i=1

I2i (Ti − a0 − a1Ii − a2I

2i ) (6c)

and algebraically arranging the equations,

(n)a0 +(∑

Ii

)a1 +

(∑I2i

)a2 =

∑Ti (7a)(∑

Ii

)a0 +

(∑I2i

)a1 +

(∑I3i

)a2 =

∑IiTi (7b)(∑

I2i

)a0 +

(∑I3i

)a1 +

(∑I4i

)a2 =

∑I2i Ti. (7c)

The resulting expression is expressed in the matrix form: n∑Ii

∑I2i∑

Ii∑I2i

∑I3i∑

I2i

∑I3i

∑I4i

·a0

a1

a2

=

∑Ti∑IiTi∑I2i Ti

. (8)

Lemma 3.2 (Polynomial coefficients of T (I)). The solution for the vector ofcoefficients is provided bya0

a1

a2

=

n∑Ii

∑I2i∑

Ii∑I2i

∑I3i∑

I2i

∑I3i

∑I4i

−1

·

∑Ti∑IiTi∑I2i Ti

. (9)

The family of functions obtained from experimental heat sources with theirrespective analytical curves are depicted in figure 2-left.


3.2 Distance as a function of light intensity

In addition, a theoretical equation adjusting the empirical data between theheat source distance d, and the infra-red intensity image IM was found by anexponential regression model to fit d(I) [3]. Thus, let us assume the followinggeneral functional form:

Proposition 3.3 (Model of distance in terms of intensity values).

d(Ii,j) = αeβIi,j . (10)

Thus, algebraically manipulating the expression for the sake of linearisationof the exponential model is provided by placing a logarithm of both sides of theequation,

ln(d(Ii,j)) = ln(αeβIi,j ); (11)

it becomesln(d) = ln(α) + βI. (12)

Our interest is to solve the parameters α and β. Thus, by using the ordinaryleast squares estimation,

sr =n∑i=1

(ln(d)− ln(α)− βI)2 (13)

and partially deriving the equation,

∂sr∂α

= −2

n∑i=1

[ln(di)− ln(α)− βIi] (14a)

and∂sr∂β

= 2

n∑i=1

Ii[ln(di)− ln(α)− βIi]; (14b)

algebraically arranging the set of equations,

n ln(α) + β∑

Ii =∑

ln(di) (15a)

andln(α)

∑Ii + βI2

i =∑

ln(di)Ii; (15b)

from equation (14a), the value of ln(α) is obtained and substituted into eq.(14b)in order to produce β; thus

ln(α) =

∑ln(di)− β

∑Ii

n(16a)

and


Lemma 3.4 (Parameter of distance as function of intensity).

β =n∑

ln(di)Ii −∑

ln(di)∑Ii

n∑I2i − (

∑Ii)

2 . (16b)

Figure 2 depicts previous empirical-theoretical models T and d, which vali-dates their approach.

Figure 2: Theoretical-empirical infra-red sensing models. (a) Infra-red intensity imageas a function of the heat source distance I(d). (b) Infra-red intensity image as a functionof temperature I(T ).

4 Closed-form non linear sensing model

From previous section, hereafter a non linear sensing model as function of Tand d is deduced. The distance d(Ii,j) and the temperature T (Ij,j) equationsare both arising from a common sensor data I [4]. Therefore,

d(Ii,j) = α · eβIi,j (17)

andT (Ii,j) = a0 + a1Ii,j + a2I

2i,j ; (18)

dropping-off Ii,j in both equations,

Ii,j =ln(

d(Ii,j)α )

β(19)


and

Ii,j =−a1 ± 2

√a2

1 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)]

2a2, (20)

and by equalling both resulting equations, distance and temperature are func-tions of each other,

ln(d(Ii,j)α )

β=−a1 ± 2

√a2

1 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)]

2a2. (21)

Hence, to calculate T as a function of d, both sides of the equation are multipliedby the term (2 a2), and raised to the second power,

ln(d(Ii,j)α )

β· 2a2 = ± 2

√a2

1 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)], (22)

thus, (ln(

d(Ii,j)α ) · 2a2

β+ a1

)2

=

(± 2

√a2

1 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)]

)2

; (23)

we substitute constant terms by A in order to simplify the algebraic process,

A =2a2

β(24)

and (A ln(

d(Ii,j)

α) + a1

)2

=

(± 2

√a2

1 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)]

)2

, (25)

it follows that (A ln(

d(Ii,j)

α) + a1

)2

= a21 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)]. (26)

Finally, T is dropped-off and defined by

T (d(Ii,j)) =

(A ln(

d(Ii,j)α ) + a1

)2− a2

1

4 a2+ a0 (27)

by replacing the value of A.

Proposition 4.1 (Temperature as function of distance). The temperature T isobtained by the family of distances d as functions of intensity values I.

T (d(Ii,j)) =

(ln(

d(Ii,j)

α)·2a2

β + a1

)2

− a21

4 a2+ a0. (28)


Similarly, to find its inverse solution d(T ), we compute d that depends uponT , starting from eq.(21). Thus, multiplying both sides of the equation by β,

ln(d(Ii,j)

α) =−a1 ± 2

√a2

1 − 4 a2[a0 − T (Ii,j)]

2a2· β (29)

and applying the exponential product to both sides of the equation,

d(Ii,j)

α= e

−a1±2√a21−4 a2[a0−T (Ii,j)]

2a2·β. (30)

Proposition 4.2 (Distance as function of temperature). The distance d isobtained by the family of temperatures T in terms of intensity values I.

d(T (Ii,j)) = e−a1±

2√a21−4 a2[a0−T (Ii,j)]

2a2·β · α (31)

The sensing model equations provide the robot the ability to discriminatetemperatures of interest, and infer approximated distances to the source of heatemissions location.

5 System of non-linear equations

A planning model with foundations on figure 3 is proposed [6, 7], where therobot updates its Cartesian position from location (x1, y1) towards location(x2, y2) in a period of time ∆t = t2 − t1. At each position the robot infers ap-proximated distances d1 and d2 by using the model eq.(31). However, reachingthe source of heat at unknown (xf , yf ) requires a planning formulation.

a) b)

Figure 3: a) In time ∆t = t2− t1 the robot moves from (x1, y1) to (x2, y2) at observeddistances d1,2 eq.(31), which is the distance from the source of heat located at unknownposition (xf , yf ). b) Robot’s kinematic structure.


Figure 3-b) depicts the robot’s kinematic structure deployed experimentally,which will be involved in subsequent sections. Therefore, the robot’s planningfocused on search/find is denoted by the next general equation:

x2t + y2

t = d2t (T (I)). (32)

Thus, it is spanned into a system of non linear equations that describe themotion between two states. In time t1 the expression f1(x, y) is established,

f1(x, y) = (x1 − xf )2 + (y1 − yf )2 − d21 = 0 (33a)

and in time t2 the expression f2(x, y) is stated by

f2(x, y) = (x2 − xf )2 + (y2 − yf )2 − d22 = 0. (33b)

The Newton-Raphson method is then used to approach an online numericalsolution for a multivariate system of non linear equations by the next statementequation,

fi(x + δx) = fi(x) +N∑j=1

∂fi∂xj

δxj ; (34)

separating the vector components into two equations,

f1(x, y)t+1 = f1(x, y) + (xt+1 − xt)∂f1(x, y)

∂x+ (yt+1 − yt)

∂f1(x, y)

∂y(35)

and

f2(x, y)t+1 = f2(x, y) + (xt+1 − xt)∂f2(x, y)

∂x+ (yt+1 − yt)

∂f2(x, y)

∂y. (36)

Therefore, our purpose is to iteratively reach a zero value for each predictionfunction f1(x, y)t+1 and f2(x, y)t+1, as they are the real roots. Thus,

f1(x, y) + (xt+1 − xt)∂f1(x, y)

∂x+ (yt+1 − yt)

∂f1(x, y)

∂y= 0 (37)

and

f2(x, y) + (xt+1 − xt)∂f2(x, y)

∂x+ (yt+1 − yt)

∂f2(x, y)

∂y= 0. (38)

By reorganizing algebraically,

xt+1∂f1(x, y)

∂x+ yt+1

∂f1(x, y)

∂y= −f1(x, y) + xt

∂f1(x, y)

∂x+ yt

∂f1(x, y)

∂y. (39)


In its matrix form x = (x, y)>, and f = (f1, f2)>,

fi(xt) + J(xt+1 − xt) = 0; (40)

hence the next Cartesian components calculation is provided by

xt+1 = xt − J−1 · fi(xt), (41)

where the Jacobian matrix is defined by

J = 2

((x1 − xf ) (y1 − yf )(x2 − xf ) (y2 − yf )

); (42)

likewise, its inverse solution is stated by

J−1 =2

|J|·(

(y2 − yf ) −(y1 − yf )−(x2 − xf ) (x1 − xf )

). (43)

By substitution the Jacobian in order to predict the next Cartesian components,(xt+1

yt+1

)=

(xtyt

)− 2

|J|·(

(y2 − yf ) −(y1 − yf )−(x2 − xf ) (x1 − xf )

)·(f1(xt, yt)f2(xt, yt)

), (44)

developing the dot product,(xt+1

yt+1

)=

(xtyt

)− 2

|J|·(f1(xt, yt)(y2 − yf )− f2(xt, yt)(y1 − yf )f2(xt, yt)(x1 − xf )− f1(xt, yt)(x2 − xf )

). (45)

Therefore, the determinant of the Jacobian matrix,

|J| = ∂f1

∂x· ∂f2

∂y− ∂f2

∂x· ∂f1

∂y, (46)

thus, by algebraically obtaining the determinant of the Jacobian matrix,

|J| = 4(x1 − xf )(y2 − yf )− 4(x2 − xf )(y1 − yf ) (47)

|J| = 4(x1y2 − x1yf − xfy2 + xfyf )− 4(x2y1 − x2yf − xfy1 + xfyf ) (48)

|J| = 4(x1y2 − x1yf − xfy2 + xfyf − x2y1 + x2yf + xfy1 − xfyf ) (49)

|J| = 4(x1y2 − x1yf − xfy2 − x2y1 + x2yf + xfy1); (50)

subsequently, after developing the algebraic process, the determinant of theJacobian is

|J| = 4[x1y2 − x2y1 + xf (y1 − y2) + yf (x2 − x1)]. (51)


Proposition 5.1. (The non-linear planning solution). The recursive solutionfor (xi+1, yi+1) is provided by

xt+1 = xt −1

2

(f1(xt, yt)(y2 − yf )− f2(xt, yt)(y1 − yf )

x1y2 + x2y1 + xf (y1 − y2) + yf (x2 − x1)

)(52)

and

yt+1 = yt −1

2

(f2(xt, yt)(x1 − xf )− f1(xt, yt)(x2 − xf )

x1y2 + x2y1 + xf (y1 − y2) + yf (x2 − x1)

). (53)

The coordinates (xt, yt) in its recursive are expected to gradually reach thevalue (xf , yf ), which as a matter of fact is the best estimated position valuewhere the source of heat emission is located. Therefore, the following remarkis stated:

Remark 5.2 (Convergence criterion). The condition criterion for sufficient con-vergence is defined by the next inequalities expression:

2( |x1 − xf |+ |x2 − xf | ) < 1 ∩ 2( |y1 − yf |+ |y2 − yf | ) < 1.

6 Control by directional derivatives

This section presents an approach on vector fields produced from partial deriva-tives of trigonometric functions. The trigonometric functions perform two typesof geometric motion behavior. An attractive function fγ is given by a sine be-havior, where the goal destination is γ that features the source of heat emissions.Contrary to this behavior, a repulsive function fα is yielded by a cosine behav-ior, where obstacles α obstructing the robot’s motion yield acceleration vectorsavoiding collision is constrained by a territorial distance rα. The functions fγ,αare illustrated by figure 4.

The partial derivatives pose a distance parameter dl represented by eitherthe attractive rγmax distance, or by the repulsive distance rαmax . It allows toadjust the distance where the function will start to take accelerative effects.

From previous section, the Newton-Raphson method obtained the best esti-mated position iteratively until reaching the source of heat emissions (xf , yf )>.


Figure 4: Control by directional derivatives

6.1 Attractive directional fields

The attractive acceleration fγ is provided as a function of the actual position(x, y) w.r.t. the heat emission γ constantly located at (xf , yf ). The nextexpression with the gradient operator applied w.r.t. (x, y) [7] behaves asillustrated in figure 4.

Proposition 6.1 (Attractive function). The attractive acceleration fγ is afunction between the robot position (x, y) and the heat emission γ at (xf , yf ).

fγ(x, y) = −∇x,y rγ · sin(φγ(δ)), (54)

where rγ is the distance to γ that is provided as the Cartesian magnitude ob-tained by the Newton-Raphson method.

rγ = 2√x2 + y2 = 2

√(xr − xf )2 + (yr − yf )2. (55)

As illustrated in figure 4, the angle φγ has a direct trigonometric relationshipwith the sensed distance δt, which is observed by the infra-red sensor. If thedistance dl ≤ δt, the function (54) autonomously is activated with an attractivevectors field behavior.

Definition 6.2 (Attractive territorial diameter). The attractive behavior isactivated if the distance dl ≤ δt.

φγ =δπ

2dl; (56)


therefore, by substituting the functional form of the actual magnitude,

fγ(x, y) = −∇x,y 2

√(xr − xf )2 + (yr − yf )2 · sin(φγ(δ)) (57)

and by applying the gradient operator ∇x,y,

∂fγ∂x

= −1

2[(xr − xf )2 + (yr − yf )2]−

12 2 (xr − xf ) sin(φγ(δ)); (58)

likewise,

∂fγ∂y

= −1

2[(xr − xf )2 + (yr − yf )2]−

12 2(yr − yf ) sin(φγ(δ)); (59)

algebraically ordering,

∂fγ∂x

=−(xr − xf ) · sin(φγ(δ))

2√

(xr − xf )2 + (yr − yf )2(60)

and∂fγ∂y

=−(yr − yf ) · sin(φγ(δ))

2√

(xr − xf )2 + (yr − yf )2, (61)

and replacing 2√

(xr − xf )2 + (yr − yf )2 in its equivalent rγ for simplicity,

∂fγ∂x

=−(xr − xf ) · sin(φγ(δ))

rγ(62)

as well as∂fγ∂y

=−(yr − yf ) · sin(φγ(δ))

rγ. (63)

Therefore, the resulting attractive vector field function is

Lemma 6.3 (Attractive directional vector field). The acceleration vector to-wards γ in terms of Cartesian components XY is

fγ(x, y) =− sin(φγ)

rγ·(xr − xfyr − yf

). (64)


Figure 5: Attractive accelerative behavior plots. a) Effects from dl ≤ rγmax . b) Effectswhen dl > rγmax

.

6.2 Repulsive directional fields

For obstacle avoidance, a second type of sensor called RGB-D is deployed, whichis based on images to infer objects depth [1]. In order to detect near obstaclesthat might impede free route navigation, the depth sensing model is provided.It establishes the relation of a pixel (i, j) of a raw image I ∈ Rw×h with therobot’s inertial system coordinates (x, y, z). Let the x-Cartesian component bedefined by

x = (i− w/2) · fx−1 · z (65)

and the y-Cartesian component,

y = (j − h/2) · fy−1 · z, (66)

where fx and fy are the focal lengths of I expressed in pixels; z refers to thesensed depth from the RGB-D sensor. Our interest is to gather and representa local model of the environment from the 3D points cloud pi = (x, y, z)> ∈ R3

of the obstacles, as provided in the following conditions:

Definition 6.4 (3D data discriminant condition). The depth sensor’s 3D dataof interest is scoped by

pm = pi|(x > dl) ∩ (y > dl) ∩ (ds < z < di), (67)

where pm = (x, y)> ∈ R2 are the local maps compounded by the nearestpoints projected in R2 dimension, and scoped by the thresholds dl, ds and di.Therefore, from the sensor observations, the repulsive directional field [7, 8]function exerted by the obstacles α at distance rα = ‖pm‖,


Proposition 6.5 (Repulsive function). The repulsive acceleration function ex-erted by α at distance rα = ‖pm‖ is defined by

fα(x, y) = −∇x,y(k2 − rα) · cos(φα(δ)), (68)

where the term rα is equivalent to the distance,

rα = 2√x2 + y2 = 2

√(xr − xo)2 + (yr − yo)2. (69)

The angle 0 ≤ φα ≤ π/2 refers to the relation of the sensed distance δ fromthe sensor and the distance dl ≤ rαmax established as the obstacle reactiondistance.

Definition 6.6 (Territorial repulsive distance). The distance dl ≤ rαmax es-tablishes the obstacle repulsive accelerative reaction.

φα =δπ

2dl, (70)

by substituting the functional form of rα,

fα(x, y) = −∇x,y(k2 − 2√

(xr − xo)2 + (yr − yo)2) · cos(φα(δ)) (71)

and algebraically expanding,

fα(x, y) = ∇x,y[−k2 cos(φα(δ)) + 2√

(xr − xo)2 + (yr − yo)2 · cos(φα(δ)]; (72)

by applying the gradient operator ∇x,y

∂fα∂x

=1

2[(xr − xo)2 + (yr − yo)2]−

12 2(xr − xo) · cos(φα(δ)) (73)

and∂fα∂y

=1

2[(xr − xo)2 + (yr − yo)2]−

12 2(yr − yo) · cos(φα(δ)), (74)

simplifying algebraically,

∂fα∂x

=(xr − xo) · cos(φα(δ))

2√

(xr − xo)2 + (yr − yo)2(75)

∂fα∂y

=(yr − yo) · cos(φα(δ))

2√

(xr − xo)2 + (yr − yo)2; (76)


finally, by replacing 2√

(xr − xo)2 + (yr − yo)2,

∂fα∂x

=(xr − xo) · cos(φα(δ))

rα(77)

and∂fα∂y

=(yr − yo) · cos(φα(δ))

rα. (78)

Thus, the repulsive vector field is provided by the following equation:

Lemma 6.7 (Repulsive directional vector field). The acceleration vector againstα in terms of Cartesian components XY is

fα(x, y) =cos(φα)

rα·(xr − xoyr − yo

). (79)

a) b)

Figure 6: Repulsive accelerative behavior plots. a) Effects from dl ≤ rαmax. b) Effects

when dl > rαmax.

7 Control navigation function

For the robot’s position xr = (xr, yr)>, we present the sensor model from dual

asynchronous odometric measurements (see figure 3-b). The encoder measure-ment model for nt pulses with resolution of R pulses/rev for a wheel of radiusr is stated by

ϕ =2π

Rnt. (80)

Proposition 7.1 (Velocity-based control variables). Let us define the wheel’sangular instantaneous motion ϕt in terms of its first numeric derivative (central


divided differences) [5],

d

dtϕ(t) =

−ϕ(t+ 2) + 8f(t+ 1)− 8f(t− 1) + f(t− 2)

12∆t. (81)

The dual differential robot’s linear and angular velocities [8],

vt =r

2

(d

dtϕr +

d

dtϕl

)(82)

and

ωt =2r

b

(d

dtϕr −

d

dtϕl

). (83)

Thus, the robot’s instantaneous displacement st,

st = st−1 +

∫ t2

t1

vtdt. (84)

Lemma 7.2 (Recursive robot’s position). The instantaneous robot’s positionis inferred recursively by

xr = xt−1 + st cos

(∫ t2

t1

ωtdt

)(85a)

and

yr = yt−1 + st sin

(∫ t2

t1

ωtdt

). (85b)

Therefore, the final equation for autonomous navigation control [7, 8] isestablished by

Theorem 7.3 (The navigation control law). The robot’s motion equation thatleads it to γ while avoiding numerous α is defined by

fT =− sin(φγ)

rγ·(xr − xfyr − yf

)+∑α

cos(φα)

rα·(xr − xoyr − yo

). (86)

8 Conclusions

The presented empirical-theoretical sensor data was obtained in laboratorythrough characterizations experiments and computer numerical modelling. Thevision-based infra-red sensor was developed in laboratory and characterized


with the Wien’s Law of Displacement of Radiation Power. Detecting relevantheat zones in the infra-red images that are coherent with the family of curveswas established as a problem of 2D maximization. The closed-form of thesensing model T (d), or its inverse form d(T ) if used with an extended algo-rithm, may be deployed to distinguish and find distinct sources of heat emis-sions simultaneously in the same infra-red image. An analytical solution tocorrelate distance and temperature was deduced by solely sensing 2D infra-redimages, which make the process of search/find more versatile from an engi-neering point of view. In addition, although the general system of non linearequations d2

t = (xf − xt)2 + (yf − yt)2 was analytically solved in [6], we foundthat the numerical solution with the method of Newton-Raphson was simplerand computationally faster to implement online than the exact solution. As amatter of fact, by using the analytical solution requires coding more extensivealgorithms. Finally, the use of trigonometric partial differential equations re-sulted feasible online and provided robot’s navigation autonomy. Although wepresented a velocity-based (v, ω)> control system approach for an asynchronousdual speeds robot to infer the robot’s position xr, the whole formulation is ap-plied in the same way for any type of kinematic structure by only providing theposition model.

Bibliography

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Castro, L. E., Martınez-Garcıa, E. A. ([email protected])Laboratorio de Robotica, Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa, UniversidadAutonoma de Ciudad Juarez. Av. del Charro 450 norte, C. P. 32310.


Algebrizability of Vector Fields in the Space ∗

Grimaldo, M., Frıas, M., Alcorta, M., Lopez, E. †

Abstract

We consider vector fields in the space and we give conditions in order todetermine the existence of algebras with respect to whom the vector fields areLorch-differentiable, and we give the corresponding algebras.

Keywords: Lorch analyticity, vector fields, ordinary differential equations.

1 Introduction

In a paper published at the end of the 20th century, Sheffers laid a foundationfor a theory of analytic functions on algebras, see [8, 10, 12, 13]. This theoryis known as Lorch analyticity. Algebrizability (Lorch analyticity) of planarvector fields deals with the solutions of the corresponding systems of differentialequations (see [6]).

If an inverse integrating factor (which are the multiplicative inverse of in-tegrating factors [3, 7]) of a planar differential system is known, then a firstintegral (a scalar function whose level sets contain the solution curves) for thissystem can be expressed as a line integral. For algebrizable planar vector fieldsthe inverse integrating factors can be found, see [2]. Also, when a vector fieldis algebrizable, the corresponding system of two ordinary differential equationscan be written as a differential equation of a single variable over an algebra,which could be solved by the known methods for solving ordinary differentialequations of one variable, see [9].

The algebrizability of planar vector fields f = (f1, f2) is characterized in [2].A vector field f is algebrizable if and only if is on some one of the followingthree cases

I) B1 =

(1 0a −1

), B2 =

(0 1b 0

),

II) B1 =

(1 a0 −1

), B2 =

(0 01 0

),

∗2000, Classifications numbers AMS 34C05, 34C07, 34C25.†Universidad Autonoma de Nuevo Leon / Universidad de Sonora / Universidad Autonoma

de Ciudad Juarez.

48 Grimaldo, M., Frıas, M., Alcorta, M., Lopez, E.

III) B1 =

(0 10 0

), B2 =

(0 01 0

);

we have 〈Bi, Jf〉 = 0 for i = 1, 2, where 〈·, ·〉 denotes the inner product and

Jf =

(∂f1∂x

∂f1∂y

∂f2∂x

∂f2∂y

).

The corresponding algebra in each of the cases is given by

I)

· e1 e2

e1 e1 e2

e2 e2 −be1 + ae2

, II)

· e1 e2

e1 −ae1 e1

e2 e1 e2

, III)

· e1 e2

e1 e1 0e2 0 e2

.

Given a planar vector field f , conditions are given in order to determine theexistence of a scalar function α(x, y), which we call algebrante factor, in such away that αf be an algebrizable vector field. When such α(x, y) there exists, itsexpression is given and f is called quasi-algebrizable. Inverse integrating factorscan be found for quasi-algebrizable vector fields. Every Lorch-differentiablevector field has associated a set of infinitesimal Lie symmetries, which is definedby all the products of the vector field by the non zero constants of the algebra.

The knowledge of a one parameter group of Lie symmetries of a vectorfield reduces by one the dimension of the corresponding system of autonomousordinary differential equations, see [5].

The visualization of solutions of general algebrizable vector fields is dis-cussed in [4]. It is proposed another technique for obtaining solutions of thesevector fields.

In this paper we consider a vector field,

f = f1∂

∂x1+ f2

∂

∂x2+ f3

∂

∂x3(1)

defined in a region of R3. The objective is to give conditions in order to deter-mine the existence of an algebra A with respect to whom f is A-differentiableand when such algebra there exists, it is found.

2 Algebras and Lorch analyticity

2.1 Algebras

In this subsection we introduce the definition of what it means for us R-algebra,where R denotes to the real field.

Algebrizability of Vector Fields in the Space 49

Definition 2.1. A R-algebra (or simply algebra) A is a R-linear space Rn witha bilinear product A×A→ A denoted by (x, y) 7→ xy, which is associative andcommutative x(yz) = (xy)z and xy = yx for all x, y, z ∈ A, and there exists aunit e = eA ∈ A, satisfying ex = xe = x for all x ∈ A.

An element a ∈ A is called regular if there exists a−1 ∈ A called inverseof a, such that a−1 · a = a · a−1 = e. If a ∈ A is not regular, then a is calledsingular. If a, b ∈ A and b is regular, the quotient a/b means a · b−1.

If β = e1, . . . , en is the standard basis of Rn, the product between theelements of β is given by

eiej =n∑k=1

cijkek, (2)

where cijk ∈ R for i, j, k ∈ 1, 2, . . . , n are called structure constants of A.The first fundamental representation of A associated to β is the isomorphismR : A → M(n,R) (M(n,R), which denotes the space of all the matrices ofn-by-n with entries in R) defined by

R : ei 7→ Ri,

where Ri is the matrix with entry (j, k), that is cikj , for i = 1, 2, . . . , n, see [11].

2.2 Differentiability on algebras

In this subsection we define the Lorch differential.By using the first fundamental representation we can induce a norm on

every algebra A; we take the pull back of the operators norm on M(n,R).Thus, every algebra A can be considered as a Banach algebra with this norm,which we denote by | · |.

Definition 2.2. Let A be an R-algebra and f : Ω ⊂ A→ A defined in an openset Ω. We say that f is Lorch-differentiable or A-differentiable at x0 ∈ A ifthere exists an element f ′(x0) ∈ A called A-differential of f at x0 and satisfies

limh→0

|f(x0 + h)− f(x0)− f ′(x0)h||h|

= 0, (3)

where f ′(x0)h denotes the product in A of f ′(x0) with h.

If f is A-differentiable on all the points of Ω, we say that f is A-differentiableon Ω. f : Ω ⊂ Rn → Rn is A-differentiable at x0 if and only if the Jacobianmatrix of f at x0 is contained in the first fundamental representation of A, thatis Jf(x0) ∈ R(A). The Lorch-derivative satisfies the usual properties of thederivative of functions of a real or complex variable.


2.3 Generalized Cauchy-Riemann equations

In this subsection we give a characterization of the A-differentiability based inthe generalized Cauchy-Riemann equations.

Given an algebra A with structure constants cijk, the set of partial differ-ential equations

n∑i=1

ciks∂fi∂xj

=n∑i=1

cijs∂fi∂xk

(4)

appears in [8], p. 646, and is called generalized Cauchy-Riemann equations ofA. The classical Cauchy-Riemann equations of the complexes can be seen at[1]. A function f = (f1, · · · , fn) is A-differentiable at x0 if and only if f satisfy(4) at x0.

3 Algebrizability of vector fields in the space

Definition 3.1. We consider the ordinary differential equation

x = f(x), (5)

where f : Ω ⊂ R3 → R3 and Ω is an open set. Let A be the space R3 endowedof a product of R-algebra. We say that the differential equation (5) is A-algebrizable if f is A-differentiable.

A differential equation of one variable over an algebra is expressed by dξdτ =

F (ξ), where F : Ω ⊂ A → A is a function defined in Ω and dξdτ represents the

Lorch-derivative.

Now, consider the system of ordinary differential equations (5), where f :Ω ⊂ R3 → R3 is Frechet-differentiable over an open set Ω. Writing f in termsof its components, we have f = (f1, f2, f3); then the usual matrix valuatedfunction Jf : Ω ⊂ R3 →M(3,R) defined by the partial derivatives is given by

Jf =

∂f1∂x

∂f1∂y

∂f1∂z

∂f2∂x

∂f2∂y

∂f2∂z

∂f3∂x

∂f3∂y

∂f3∂z

.

The following theorem gives a criterion to determine if a vector field f is A-algebrizable and a method to construct the corresponding algebra.


Theorem 3.2. Let f : Ω ⊂ R3 → R3 be Frechet-differentiable over an open setΩ. Suppose the existence of six linearly independent matrices Bi ∈M(3,R) fori = 1, 2, 3, 4, 5, 6 of the following kinds:

B1 =

0 a b1 0 00 0 0

, B2 =

−1 c d0 1 00 0 0

, B3 =

0 e f0 0 10 0 0

,

B4 =

0 g h0 0 01 0 0

, B5 =

0 i j0 0 00 1 0

, B6 =

−1 k l0 0 00 0 1

,

which are orthogonal to the Jacobian matrix Jf(x, y, z) of f , that is

〈Bi , Jf(x, y, z)〉 = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6

for all (x, y, z) ∈ Ω. If the matrices

M1 =

0 −a −b1 −c −d0 −e −f

, M2 =

0 −b −h0 −d −j1 −f −l

are commutative, this is M1M2 = M2M1, then R3 endowed with the algebrastructure given by the following product:

I)

· e1 e2 e3

e1 e1 e2 e3

e2 e2 −ae1 − ce2 − ee3 −be1 − de2 − fe3

e3 e3 −be1 − de2 − fe3 −he1 − je2 − le3

, (6)

is an algebra A, such that f is A-differentiable.

Proof. By making the inner product of the six matrices with Jf , we have theequations:a∂f2∂x + b∂f3∂x + ∂f1

∂y = 0, −∂f1∂x + c∂f2∂x + d∂f3∂x + ∂f2

∂y = 0,

e∂f2∂x + f ∂f3∂x + ∂f3∂y = 0, g ∂f2∂x + h∂f3∂x + ∂f1

∂z = 0,

i∂f2∂x + j ∂f3∂x + ∂f2∂z = 0, −∂f1

∂x + k ∂f2∂x + l ∂f3∂x + ∂f3∂z = 0,

and we obtain that

Jf =∂f1

∂x

1 0 00 1 00 0 0

+∂f2

∂x

0 −a −g1 −c −i0 −e −k

+∂f3

∂x

0 −b −h0 −d −j1 −f −l

.


If the matrices

M1 =

0 −a −b1 −c −d0 −e −f

, M2 =

0 −b −h0 −d −j1 −f −l

are commutative, by the Theorem 2 of [13] we have that the space R3 is analgebra A, whose first fundamental representation associated to the canonicalbase of R3 is defined by

R(e1) =

1 0 00 1 00 0 0

, R(e2) =

0 −a −b1 −c −d0 −e −f

, R(e3) =

0 −b −h0 −d −j1 −f −l

.

The product given in the Table (6) corresponds to this algebra. Moreover, f isA-differentiable.

Theorem 3.3. Let f : Ω ⊂ R3 → R3 be Frechet-differentiable over an open setΩ. Suppose the existence of six linearly independent matrices B1,B2, ...,B6 ∈M(3,R) of the following kinds:

B1 =

1 0 0a −1 b0 0 0

, B2 =

0 1 0c 0 d0 0 0

, B3 =

0 0 1e 0 f0 0 0

,

B4 =

0 0 0g 0 h1 0 0

, B5 =

0 0 0i 0 j0 1 0

, B6 =

0 0 0k −1 l0 0 1

,


〈Bi , Jf(x, y, z)〉 = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6


M1 =

−a 1 −g−c 0 −i−e 0 −k

, M2 =

−b 0 −h−d 0 −j−f 1 −l


II)

· e1 e2 e3

e1 −ae1 − ce2 − ee3 e1 −be1 − de2 − fe3

e2 e1 e2 e3

e3 −be1 − de2 − fe3 e3 −he1 − je2 − le3

, (7)



Proof. By making the inner product of the six matrices with Jf , we have theequations:

∂f1∂x + a∂f1∂y −

∂f2∂y + b∂f3∂y = 0, ∂f2

∂x + c∂f1∂y + d∂f3∂y = 0,

∂f3∂x + e∂f1∂y − f

∂f2∂y = 0, g ∂f1∂y + h∂f3∂y + ∂f1

∂z = 0,

i∂f1∂y + j ∂f3∂y + ∂f2∂z = 0, k ∂f1∂y = −∂f2

∂y + l ∂f3∂y + ∂f3∂z = 0,

from which we obtain that

Jf =∂f1

∂y

−a 1 −g−c 0 −i−e 0 −k

+∂f2

∂y

1 0 00 1 10 0 0

+∂f3

∂y

−b 0 −h−d 0 −j−f 1 −l

.

By the Theorem 2 of [13], we have that the space R3 is an algebra A whosefirst fundamental representation associated to the canonical base of R3 is definedby

R(e1) =

−a 1 −b−c 0 −d−e 0 −f

, R(e2) =

1 0 00 1 10 0 0

, R(e3) =

−b 0 −h−d 0 −j−f 1 −l

.

The product given in the Table (7) corresponds to this algebra. Moreover, f isA-differentiable.

Theorem 3.4. Let f : Ω ⊂ R3 → R3 be Frechet-differentiable over an open setΩ. Suppose the existence of six linearly independent matrices B1,B2, ...,B6 ∈M(3,R) of the following kinds:

B1 =

1 0 00 0 0a b −1

, B2 =

0 1 00 0 0c d 0

, B3 =

0 0 10 0 0e f 0

,

B4 =

0 0 01 0 0g h 0

, B5 =

0 0 00 1 0i j −1

, B6 =

0 0 00 0 1k l 0

,


〈Bi , Jf(x, y, z)〉 = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6



M1 =

−a −g 1−c −i 0−e −k 0

, M2 =

−b −h 0−d −j 1−f −l 0


III)

· e1 e2 e3

e1 −ae1 − ce2 − ee3 −be1 − de2 − fe3 e1

e2 −be1 − de2 − fe3 −he1 − je2 − le3 e2

e3 e1 e2 e3

, (8)


Proof. By making the inner product of the six matrices with Jf , we have theequations:

∂f1∂x = −a∂f1∂z − b

∂f2∂z ,

∂f2∂x = −c∂f1∂z − d

∂f2∂z ,

∂f3∂x = −e∂f1∂z − f

∂f2∂z ,

∂f1∂y = −g ∂f1∂z − h

∂f1∂z ,

∂f2∂y = −i∂f1∂z − j

∂f2∂z + ∂f3

∂z ,∂f3∂y = −k ∂f1∂z − l

∂f2∂x3

;then

Jf =∂f1

∂z

−a −g 1−c −i 0−e −k 0

+∂f2

∂z

−b −h 0−d −j 1−f −l 0

+∂f3

∂z

1 0 00 1 00 0 1

.

By the Theorem 2 of [13], we have that the space R3 is an algebra A whose firstfundamental representation associated to the canonical base of R3 is defined by

R(e1) =

−a −b 1−c −d 0−e −f 0

, R(e2) =

−b −h 0−d −j 1−f −l 0

, R(e3) =

1 0 00 1 00 0 1

.

The product given in Table (8) corresponds to this algebra. Moreover, f isA-differentiable.

In the following example, we show an algebrizable vector field f for whichwe solve the differential equation dx

dt = f(x).


Example 3.5. Let f : R3 → R3 be defined by

f(x, y, z) = (x2 − 2yz, 2xy − y2 − 2yz, 2xz − 2yz − z2)

and

Jf(x, y, z) =

2x −2z −2y2y 2x− 2y − 2z −2y2z −2z 2x− 2y − 2z

.

It is easy to see that the matrices

B1 =

0 0 11 0 00 0 0

, B2 =

−1 −1 −10 1 00 0 0

, B3 =

0 0 −10 0 10 0 0

,

B4 =

0 1 00 0 01 0 0

, B5 =

0 −1 00 0 00 1 0

, B6 =

−1 −1 −10 0 00 0 1

satisfy the conditions of the Theorem 3.2 and the matrices

M1 =

0 0 −11 −1 −10 0 −1

, M2 =

0 −1 00 −1 01 −1 −1

commute. Then R3 endowed with the algebra structure given by the product

· e1 e2 e3

e1 e1 e2 e3

e2 e2 −e2 −e1 − e2 − e3

e3 e3 −e1 − e2 − e3 −e3

is an algebra A, such that f is A-differentiable. If e is the unit of A, then

f(te) = f(t, 0, 0) = (t2, 0, 0) = t2(1, 0, 0) = t2e.

Thus, f(ξ) = ξ2 and dξdτ = ξ2 is a differential equation of one variable over

A, where dξdτ represents the Lorch-derivative. By the classical methods of so-

lutions of differential equations, we have that ξ(τ) = (τ + c)−1, where c =(c1, c2, c3) and is a constant in the algebra A related to the initial condition, andτ = (t, r, s) is a parameter (time) over the algebra A. The first fundamentalrepresentation R of A is determined by

R(e1) =

1 0 00 1 00 0 1

, R(e2) =

0 0 −11 −1 −10 0 −1

, R(e3) =

0 −1 00 −1 01 −1 −1

.


The expression for ξ(τ) is equal to the pre-image under R of the matrix (t+ c1) −(s+ c3) −(r + c2)(r + c2) (t+ c1)− (r + c2)− (s+ c3) −(r + c2)(s+ c3) −(s+ c3) (t+ c1)− (r + c2)− (s+ c3)

−1

.

Thus ξ(τ) = 1|A|(g1(τ), g2(τ), g3(τ)), where

g1(τ) = (t+ c1)2)− 2(t+ c1)(r + c2)− 2(t+ c1)(s+ c3) + (r + c2)2

+ (r + c2)(s+ c3) + (s+ c3)2

g2(τ) = (s+ c3)2 − (t+ c1)(s+ c3)

g3(τ) = −(r + c2)2 + (t+ c1)(r + c2)

and

|A| = (x+ c1)3 − 2(x+ c1)2(y + c2)− 2(t+ c1)2(z + c3) + (x+ c1)(y + c2)2

+ 3(x+ c1)(y + c2)(z + c3) + (x+ c1)(z + c3)2 − (y + c2)2(z + c3)

− (y + c2)(z + c3)2.

In this way, we obtain the solution (x(t), y(t), z(t)) = ξ(t, 0, 0) of dxdt = f(x),

which is given by

x(t) =1

|A0|((t+ c1)2)− 2(t+ c1)(c2)− 2(t+ c1)(c3)

),

+ (c2)2 + (c2)(c3) + (c3)2

y(t) =1

|A0|((c3)2 − (t+ c1)(c3)

),

z(t) =1

|A0|(−(c2)2 + (t+ c1)(c2)

),

where

|A0| = (t+ c1)3 − 2(t+ c1)2(c2)− 2(t+ c1)2(c3) + (t+ c1)(c2)2

+ 3(t+ c1)(c2)(c3) + (t+ c1)(c3)2 − (c2)2(c3)− (c2)(c3)2.

4 Special cases

Now we consider the special cases of vector fields in the space which are alge-brizable, but they are not considered in the results of Theorem 2 of [13]. Let


us denote by e1, e2, e3 to the canonical base of R3. The vector field F givenin (1) can be written by

F

(3∑i=1

xiei

)=

3∑j=1

fj

(3∑i=1

xiei

)ej .

Suppose that

• the function fk depends only on the variable xl,

• the two others functions fi do not depend on xl, and

• the planar vector field G defined by

G

3∑i=1,i 6=l

xiei

=3∑

j=1,j 6=kfj

3∑i=1,i 6=l

xiei

ej

is algebrizable with respect to the algebra with product

· es etes c111es + c112et c121es + c122etet c211es + c212et c221es + c222et

,

where s 6= l and t 6= l.

Then the vector field F is algebrizable with respect to the product

· el es etel el 0 0es 0 c111es + c112et c121es + c122etet 0 c211es + c212et c221es + c222et

.

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A. Alcorta-Garcıa ([email protected])M. E. Grimaldo-Reyna (megr [email protected])Facultad de Ciencias Fısico Matematicas, Universidad Autonoma de NuevoLeon. Av. Universidad S/N, Ciudad Universitaria, San Nicolas de losGarza, N. L., C. P. 66451, Mexico.

M. E. Frıas-Armenta ([email protected])Departamento de Matematicas, Universidad de Sonora. Blvd. Rosales yLuis Encinas S/N, Col. Centro, Hermosillo Sonora, C. P. 83000, Mexico.


E. Lopez-Gonzalez ([email protected])Unidad Multidisciplinaria de la uacj en Cuauhtemoc, Universidad Autonomade Ciudad Juarez. Carretera Cuauhtemoc-Anahuac S/N, Col. EjidoAnahuac, Mpio. de Cuauhtemoc, Chih., C. P. 31600, Mexico.

Logica matematica


Introduccion a los sistemas formales ∗

Acosta, J., Estrada, O., Loeza, L., Mederos, B., Tapia, G. †

Resumen

El siguiente capıtulo de divulgacion tiene como proposito hacer una compi-lacion sobre como introducir sistemas formales y, a su vez, da como ejemplo dossistemas logicos conocidos en la literatura: el Calculo Axiomatico y el Calculode la Deduccion Natural. Una vez introducidos, se procede a describirlos for-malmente a traves de sus propiedades.

Palabras clave: logica clasica, calculo proposicional, sistema axiomatico L,sistema de deduccion natural.

1 Introduccion

En este trabajo veremos lo que es un sistema formal, para despues introducirun calculo axiomatico de la logica proposicional y finalizar con sus propiedadesformales.

2 Sistema formal

Para empezar, esto es lo que se debe entender por un sistema formal. Algunosde estos conceptos ya los hemos discutido, pero aquı los repasamos:

• Estamos interesados en la correctez de un argumento.

• Existen desventajas del Metodo de las Tablas de Verdad. Es decir, aunquecon este metodo podemos determinar la clase de cualquier forma enuncia-tiva, el problema se vuelve exponencialmente mas difıcil cuando aumen-tamos el numero de variables distintas. Esta dificultad tambien aplica auna solucion automatizada.

• Ası, al formalizar la logica clasica aristotelica entendemos lo siguiente:

– Una definicion precisa.

∗2000, Classifications numbers AMS 03B22.†Departamento de Fısica y Matematicas, Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa, Universidad

Autonoma de Ciudad Juarez.

64 Acosta, J., Estrada, O., Loeza, L., Mederos, B., Tapia, G.

– Un conjunto de reglas de deduccion para manipular sımbolos(matematica o algebra).

• Una cuestion interesante es saber si al programar en algun lenguaje deprogramacion (i.e,. Java, C, MatLab) tambien estaremos formalizando“algo”. Si intentamos caracterizar dicha accion de programar a traves delo que acabamos de describir para la logica aristotelica, tenemos:

– Una declaracion1 de variables —definicion precisa.

– Un conjunto de reglas de produccion bnf —reglas de deduccion paramanipular la informacion, algebra.

• Entonces la formalizacion de la logica clasica consiste en:

– Introducir un metodo o procedimiento para construir argumentacion,sabiendo que cada paso es valido.

– Emplear sımbolos con un comportamiento y propiedades completa-mente determinados por un conjunto de reglas para manipularlos.

– NO presuponer nada sobre propiedades (o incluso supuestos) salvolo especificado dentro del sistema formal.

Una vez que hemos platicado informalmente de las caracterısticas de unsistema formal, formalicemos entonces. ¿Suena redundante? ¡Pues mas ade-lante veremos que no lo es! En otras palabras, a continuacion formalizaremosun sistema formal en general.

Definicion 2.1 (Sistema formal). Un sistema formal S se define como sigue:

• Un vocabulario o conjunto (infinito numerable) de letras y sımbolos autilizar en S.

• Un conjunto de reglas para formar cadenas de signos llamadas formulasbien formadas (fbf o fbf ) en S.

• Un conjunto de las definiciones utilizadas.

• Un conjunto de formulas bien formadas en S llamadas axiomas.

• Un conjunto finito de reglas de inferencia y de reglas de construccion deuna deduccion en S.

1 Por declaracion, en el vocabulario de los programadores entendemos la introduccion deuna variable.

Introduccion a los sistemas formales 65

• Un conjunto de teoremas en S a partir de deducciones en S.

• Un conjunto de teoremas (posiblemente vacıo) de cualquier rama de lamatematica.

El vocabulario de un sistema formal tambien recibe el nombre de alfabeto.Al resultado de escribir signos de alfabeto uno a continuacion de otro, le lla-maremos cadenas de signos o palabras de ese formalismo.

Le llamamos axioma a una formula tan clara y obvia que se admite sinnecesidad de justificacion previa.

Una deduccion es una sucesion de formulas, construida mediante reglasprecisas que se ajustan a las reglas de construccion de una deduccion en unsistema S.

En la construccion de una deduccion empleamos reglas de inferencia. Unaregla de inferencia es una ley o esquema de razonamiento que permite, a partirde formulas ya establecidas, construir una formula nueva.

Como ejercicio se le deja al lector que formalice un subconjunto de Java ode cualquier otro lenguaje de computadora que conozca. Ademas, se le dejaque formalice un programa en dicho lenguaje.

3 Jerarquıa de lenguajes

Esta llamada jerarquıa de lenguajes se le debe en un inicio a Bertrand Russell(1922), en su intencion de evitar ciertas paradojas semanticas que surgieroncuando sus contemporaneos intentaron fundamentar las matematicas en Teorıade conjuntos y logica simbolica.

Las paradojas surgıan al querer utilizar las mismas leyes de la logica parademostrar su propia validez.

Algunos ejemplos de paradojas semanticas se muestran a continuacion:

1. El conjunto de leyes de logica que demuestran la validez de sı mismas.

2. El conjunto de todas las ideas abstractas, se puede considerar como unaidea abstracta.

3. S = A | A es un conjunto y A /∈ A. ¿Es S un conjunto?

4. En un pueblito hay un peluquero que les corta el cabello a todos loshombres, y solo a aquellos hombres que no se cortan a sı mismos. ¿Secorta el peluquero a sı mismo?


5. Si se afirmara “Esta oracion es falsa”, ¿es verdad?

La jerarquıa de lenguajes consiste, informalmente, en lo siguiente:

• Es el estudio de un lenguaje, digamos L1 llamado lenguaje objeto, expre-sando resultados en otro lenguaje L2 o metalenguaje. En otras palabras,es la metateorıa y metateoremas de L1 en L2, a lo que simplemente lellamamos teorıa y teoremas cuando esta claro por el contexto.

• Conjunto infinito de letras metalinguısticas romanas mayusculas (A, B,C, . . . ) y de letras griegas mayusculas (Γ, ∆, . . . ) para representarcualesquier fbf .

Algunos ejemplos de lenguajes objetos y metalenguajes son los siguientes,aunque tambien se pueden invertir en el sentido de que un lenguaje puede serobjeto en un contexto y metalenguaje en otro.

• Castellano vs. logica simbolica; gramatica de castellano vs. castellano.

• Sistemas de computo disenados y estructurados como capas de lenguajes.

• Organizacion del hardware vista como jerarquıa de lenguajes:

1. Hardware.

2. Nucleo o kernel.

3. Interfaz con el nucleo o llamadas al sistema.

4. Programas del sistema como shells, compiladores, dmbss.

5. Programas de aplicacion para usuarios.

• Organizacion de una computadora generica:

1. Maquina real con su lenguaje maquina.

2. Maquina virtual ii con su lenguaje maquina ii.

3. Maquina virtual iii con su lenguaje maquina iii.

4. . . .


4 El sistema axiomatico L

Este tipo de sistemas los introdujo Gottlob Frege en 1879, a quien le siguiogente como David Hilbert y Alonzo Church. En esta seccion presentaremos unsistema axiomatico sencillo introducido por Jan Lukasiexicz2 y Alfred Tarski,quienes lo formularon tomando en cuenta medidas arbitrarias de economıa demedios y de reduccion de axiomas y conectivas. Ası, este sistema se llamasimplemente “L” o tambien Sistema Lukasiewicz en honor a este personaje. Acontinuacion lo definiremos formalmente.

Definicion 4.1. El sistema formal L del calculo de enunciados esta caracteri-zado por:

1. Vocabulario: el conjunto de sımbolos infinito numerable

¬,→, (, ), p1, p2, p3, ...

2. Conjunto de fbf

(a) p1, p2, p3, ... son fbf

(b) Si A y B son fbf , entonces (¬A) y (A → B) son fbf .

(c) El conjunto de todas las fbf es el construido empleando solamentelas reglas 2a) y 2b).

3. Axiomas: dadas las fbf A, B y C, las siguientes fbf son axiomas de L.

L1 (A → (B → A)))

L2 ((A → (B → C))→ ((A → B)→ (A → C)))L3 ((¬A → ¬B)→ (B → A))

4. Reglas de inferencia: en L hay solamente una regla de inferencia, la ModusPonens (o simplemente mp), que dice: de A y (A → B), B es una conse-cuencia directa, siendo A y B fbf cualquiera de L.

A pesar de la intencion de simplicidad y de conjunto mınimo de conectivaslogicas en este lenguaje, podemos introducir mas conectivas como abreviaturas:

Definicion 4.2. Dadas las formulas fbf A y B,

(A ∧ B) es abreviatura de (¬(A → ¬B)),

2 Logico y filosofo polaco, cuyo nombre originalmente se escribe Lukasiewicz.


(A ∨ B) es abreviatura de (¬A → B),

(A ↔ B) es abreviatura de (¬((A → B)→ ¬(B → A))).

Podemos afirmar ahora que en el sistema axiomatico L:

• Los axiomas pueden comprobarse tautologıas en formas enunciativas.

• Los axiomas tambien se conocen con los siguientes nombres:

Axioma 1: Ley de Afirmacion de Consecuentes.

Axioma 2: Ley de Autodistribucion del Condicional.

Axioma 3: Ley de la Contraposicion.

• Existe un numero infinito de posibles axiomas como estos. Basta consustituir fbf de L en una de las variables metalinguısticas A, B o C. A estose le conoce como Regla de Sustitucion, que introduciremos formalmentemas adelante.

5 Deduccion formal

Habiendo definido los componentes del sistema L, ahora vamos a formalizar elcalculo (mecanismo, demostracion o procedimiento) para poder utilizarlo. Paraello, introducimos la definicion misma de lo que llamaremos deduccion.

Definicion 5.1 (Deduccion). Sea Γ un conjunto de fbf de L. Una sucesionfinita A1,A2, ...,An de fbf de L es una deduccion a partir de Γ, si para todoi ∈ 1, 2, ..., n se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. Ai es un axioma de L.

2. Ai ∈ Γ.

3. Ai se infiere inmediatamente de dos miembros anteriores de la sucesion,Aj y Ak con j < i y k < i, mediante la aplicacion de la regla mp.

El ultimo miembro An es deducible a partir de Γ, o es derivable a partir de Γ,y se denota por Γ `L An. Los elementos del conjunto Γ son las premisas y An,ls conclusion de la deduccion.

En la literatura a la deduccion tambien se le llama demostracion o pruebade An en L, y a An tambien se conoce como teorema de L. En este trabajovamos a quedarnos con la nomenclatura que definimos formalmente. A saber,la siguiente definicion cambia ligeramente lo que acabamos de comentar.


Definicion 5.2. Una demostracion en L es una deduccion en L sin premisas.Si la fbf A es el ultimo miembro de una demostracion, decimos que A es unteorema de L y escribimos `L A, que es abreviatura de ∅ `L A.

5.1 Comentarios sobre deducciones en el sistema L

Las siguientes tecnicas pueden ayudar a asimilar mejor el formalismo anteriory a realizar deducciones adecuadas.

1. Si la formula a demostrar, B, guarda identidad formal, es decir, es un casoparticular de uno de los esquemas de axiomas, la prueba esta hecha.

2. Cuando no se cumpla el primer criterio, se hara coincidir la formula ademostrar, B (mediante las oportunas sustituciones), con el consecuentede un implicador, A → B, de cualquiera de las formulas o esquemas deformulas ya probados o de esquemas de axiomas de L.

3. Finalmente, se intentara liberar ese consecuente, B, del antecedente, A,que lo condiciona mediante la aplicacion de la regla mp. Previamente,habra sido necesario obtener el antecedente, A, del implicador haciendouso, nuevamente, de las recomendaciones (1) a (3).

Veamos ahora un ejemplo que ilustra el proceso de deduccion en L.

Ejemplo 5.3. Supongamos que queremos demostrar que la fbf de L, G0 ≡(p1 → p2)→ (p1 → p1), es un teorema de L. Los pasos seran los siguientes:

1. La formula a demostrar, G0, no guarda identidad formal con ninguno delos axiomas; por lo tanto, debemos proseguir con el punto (2) de nuestrastecnicas.

2. Ahora tenemos que hacer coincidir la formula a demostrar, G0, con elconsecuente de cualquiera de las formulas ya probadas o de algun esquemade axiomas. Como la unica formula con que disponemos en este instantees G0, seleccionamos el axioma L2 y en el sustituimos A por p1; B por p2;y C tambien por p1. Ası, obtenemos la fbf ,

G1 ≡ (p1 → (p2 → p1))→ ((p1 → p2)→ (p1 → p1)),

como primera formula de nuestra demostracion.

3. El siguiente paso es liberar el consecuente de la formula G1 del antecedente,p1 → (p2 → p1), que lo condiciona mediante la aplicacion de la regla mp


de L. Puede verse con facilidad que si seleccionamos el axioma L1 y en elsustituimos A por p1 y B por p2, obtenemos la fbf ,

G2 ≡ p1 → (p2 → p1),

que es nuestra segunda formula en la demostracion y coincide con el an-tecedente de la primera. Ahora podemos aplicar la mp a las fbf G1 y G2

para obtener la siguiente formula como la ultima en la demostracion:

(p1 → p2)→ (p1 → p1).

Entonces decimos que esta formula es derivable en el sistema L.

En otra manera mas simbolica, simple y elegante, el teorema lo podemosexpresar como sigue, que es por cierto lo mas comun en la literatura.

Ejemplo 5.4. `L (p1 → p2)→ (p1 → p1) es una demostracion, porque:

1. (p1 → (p2 → p1)→ ((p1 → p2)→ (p1 → p1)) L2

2. (p1 → (p2 → p1)) L1

3. ((p1 → p2)→ (p1 → p1)) mp 1, 2.

El ejemplo que sigue, ademas de ilustrar demostraciones y teoremas, tambienmuestra las dificultades con las que podemos toparnos al seguir los pasos de estatecnica. Adicionalmente el lector podrıa encontrar que el ponerle nombres a losteoremas (i.e., Teorema de la Identidad) y el tratar de imaginar el porque delnombre, pudiera facilitar su memorizacion, aunque no parece ser el caso parael inciso 3.

Ejemplo 5.5. Lo siguiente son demostraciones y deducciones en L.

1. A, (B → (A→ C)) `L (B → C).

(1) A Premisa(2) B → (A → C) Premisa(3) (B → (A → C))→ ((B → A)→ (B → C)) L2

(4) ((B → A)→ (B → C)) mp, (2)(3)(5) (A → (B → A)) L1

(6) (B → A) mp, (1)(5)(7) (B → C) mp, (4)(6)

2. `L (A → A). (Teorema de la Identidad).


(1) (A → ((A → A)→ A))→((A → (A → A))→ (A → A)) L2

(2) A → ((A → A)→ A) L1

(3) (A → (A → A))→ (A → A) mp, (1)(2)(4) A → (A → A)(5) A → A L1,mp, (3)(4)

3. `L ¬B → (B → A). Ley de Duns Scoto.

(1) ¬B → (¬A → ¬B) L1

(2) ¬A → ¬B → B → A L3

(3) (((¬A → ¬B)→ (B → A))→(¬B → ((¬A → ¬B)→ (B → A)))) L1

(4) ¬B → ((¬A → ¬B)→ (B → A)) mp, (2)(3)(5) (¬B → ((¬A → ¬B)→ (B → A)))→

((¬B → (¬A → ¬B))→ (¬B → (B → A))) L2

(6) (¬B → (¬A → ¬B))→ (¬B → (B → A)) mp, (4)(5)(7) ¬B → (B → A) mp, (1)(6)

El lector podra empezar a notar una de las desventajas de tener tan pocosaxiomas y una sola regla de inferencia (mp), pero el leer en voz alta las fbfhaciendo las pausas y tonos correspondientes a cada nivel de parentesis, podrıaayudar a la comprension de lo que dicha formula significa. Finalmente, comotodo, al principio es difıcil, pero la practica producira mejores resultados.

5.2 Teorema de la Deduccion

A continuacion introduciremos algunas propiedades que deberan facilitar latarea de demostraciones en en lenguaje L. Esta propiedad fundamenta unatecnica muy comun en las matematicas: suponer que el antecedente se cumpley dar pasos de deduccion necesarios hasta cumplir el consecuente. Ası, seconsidera la implicacion probada.

Una tecnica comun en matematicas para trabajar en demostraciones deteoremas es simplificar el trabajo insertando una fbf , la cual ya se haya de-mostrado en L previamente. A esto se le llama citar teoremas previamentedemostrados. Otra manera es hacer uso de metateoremas generales, algunos delos cuales tendran el efecto de reglas adicionales de inferencia. A continuacionlo ilustramos con las siguientes herramientas:

Proposicion 5.6 (Teorema de la Deduccion). Sean A, B fbf de L y Γ, unconjunto (posiblemente vacıo) de fbf de L. Si Γ ∪ A `L B, entonces Γ `LA → B.


Demostracion. Por induccion sobre el numero de fbf .

Caso base (una sola fbf ): la derivacion sera una sucesion con una sola formula,que debe ser la propia formula B. Por lo tanto, B debe ser un axioma deL o una premisa, una fbf de Γ ∪ A.

Caso: B es un axioma de L. Lo siguiente es una deduccion de A → Ba partir de Γ.

(1) B Axioma(2) B → (A → B) L1

(3) A → B mp, 1, 2.

De forma que A → B es un teorema de L y por lo tanto, trivialmente,una deduccion de A → B a partir de Γ (cualquiera que sea r). Estoes, Γ `L A → B.

Caso: B ∈ Γ. Lo siguiente demuestra que Γ `L A → B.

(1) B Premisa(2) B → (A → B) L1

(3) A → B mp, 1, 2.

Por lo tanto, Γ `L A → B.

Caso: B es A. Por el Teorema de la Identidad que hemos ya demostradoarriba, tenemos que `L A → A. Ası que esto nos sirve para deducirlaa partir de Γ. En este caso, por lo tanto, tenemos que Γ `L A → B.Lo que finaliza el paso base.

Caso inductivo (mas de una fbf ): ahora suponemos que la deduccion deB a partir de Γ∪ A es una secuencia con n componentes, donde n > 1,y que la proposicion se cumple para toda fbf , C, que se puede deducir apartir de Γ∪A en una secuencia de menos de n componentes —hipotesisde induccion—. Ası, tenemos cuatro casos a considerar:

B es un axioma de L. Entonces se procede como en el Caso base.

B ∈ Γ. Se procede como en el Caso base de nuevo.

B es A. Otra vez se procede como en el Caso base.

B se obtenga de dos fbf anteriores mediante la aplicacion de la reglamp. Estas dos fbf ’ seran de la forma C y C → B, y tanto una comola otra podran deducirse a partir de Γ∪A mediante una secuenciade fbf con menos de n componentes. Tenemos que Γ ∪ A `L C yque Γ ∪ A `L C → B. Ası, si aplicamos la hipotesis de induccion,tenemos Γ `L A → C y Γ `L A → (C → B). Ahora, a deduccion


requerida, Γ `L A → B puede darse a partir de las deduccionesanteriores como sigue:

(1)...(k) A → C

Γ `L A → C

(k + 1)...(l) A → (C → B)

Γ `L A → (C → B)

(l + 1) (A → (C → B))→ ((A → C)→ (A → B)) L2

(l + 2) (A → C)→ (A → B) mp, l, l + 1(l + 3) A → B mp, l + 2, k

Por tanto, Γ `L A → B en los cuatro casos.

Ası, por el Principio de induccion matematica la proposicion se cumplecualquiera que sea el numero de fbf en la deduccion de B, a partir deΓ ∪ A.

El recıproco del Teorema de la Deduccion es mas facil de demostrar, y se ledeja al lector como ejercicio.

Proposicion 5.7 (Recıproco del Teorema de la Deduccion). Sean A y B fbf deL y Γ, un conjunto de fbf de L (posiblemente vacıo). Si Γ `L A → B, entoncesΓ ∪ A `L B.

Demostracion. Se le deja al lector como ejercicio.

A continuacion ilustramos el uso del Teorema de la Deduccion para intro-ducir una nueva regla de inferencia, ademas de la Modus Ponens. Vale la penanotar que si no tuvieramos el Teorema de la Deduccion, tambien podrıamos de-mostrarlo, pero en un numero mayor de pasos. A esta regla se le conoce comoSilogismo Hipotetico y se puede entender como sigue: si se pueden deducirA → B y B → C, inmediatamente se puede inferir tambien A → C.

Corolario 5.8 (Silogismo Hipotetico, sh). Sean A, B y C fbf de L. A →B,B → C `L A → C.

Demostracion. Introducimos la siguiente deduccion:


(1) A → B Premisa(2) B → C Premisa(3) A Hipotesis(4) B mp, 1, 3(5) C mp, 2, 4

Demuestra queA → B,B → C,A `L C, (1)

es decir,A → B,B → C ∪ A `L C.

Ası que aplicando el Teorema de la Deduccion, tenemos:

A → B), (B → C `L A → C.

como se requiere.

Hay que notar que en el paso (3) de esta demostracion supusimos A comouna hipotesis y dimos los pasos necesarios hasta llegar a la meta deseada.Tambien notar que tenemos varias maneras de aplicar el Teorema de la De-duccion, a partir de (1), para deducir cada una de las siguientes fbf :

B → C,A `L (A → B)→ CA → B,A `L (B → C)→ C

Incluso si aplicamos reiteradamente el Teorema de la Deduccion al Corolario 5.8llegamos al siguiente teorema de L:

`L (A → B)→ ((B → C)→ (A → C)).

Para ejemplificar la manera en la que estos metateoremas pueden ayudarnosa salvar las dificultades que encontramos cuando realizamos deducciones en L,a continuacion introducimos una proposicion con una serie de teoremas queseran de utilidad en adelante. Vale la pena mencionar que en el inciso 1reescribimos la demostracion que ya habıamos realizado en el ejemplo 5.5, 3,Ley de Duns Scoto, pero ahora simplificamos su demostracion al usar la nuevaregla de inferencia, sh.

Proposicion 5.9. Para cualesquiera fbf A y B, los siguientes son teoremas enL:

1. ¬B → (B → A).

2. ¬¬A → A [Teorema de la Doble Negacion].


3. A → ¬¬A [Teorema de la Identidad].

4. (¬A → A)→ A.

Demostracion. Para (1):

(1) ¬B → (¬A → ¬B) L1

(2) (¬A → ¬B)→ (B → A) L3

(3) ¬B → (B → A) sh, 1, 2.

Para (2):

(1) ¬¬A Hipotesis(2) ¬¬A → (¬A → ¬¬¬A) Proposicion 5.9(1)(3) (¬A → ¬¬¬A) mp, 1, 2(4) (¬A → ¬¬¬A)→ (¬¬A → A) L3

(5) ¬¬A → A mp, 3, 4(6) A mp, 1, 5

Por tanto, ¬¬A `L A, y por el Teorema de la Deduccion, `L ¬¬A → A.Para (3):

(1) ¬¬¬A → ¬A Proposicion 5.9(2)(2) (¬¬¬A → ¬A)→ (A → ¬¬A) L3

(3) A → ¬¬A mp, 1, 2.

Para (4):

(1) ¬A → A Aseveracion(2) ¬A → (¬¬(¬A → A)→ ¬A) L1

(3) ¬¬(¬A → A)→ ¬A → (A → ¬(¬A → A) L3

(4) ¬A → (A → ¬(¬A → A)) sh, 2, 3(5) (¬A → (A → ¬(¬A → A)))→

((¬A → A)→ (¬A → ¬(¬A → A))) L2

(6) (¬A → A)→ (¬A → ¬(¬A → A)) mp, 4, 5(7) ¬A → ¬(¬A → A)(8) (¬A → ¬(¬A → A))→ ((¬A → A)→ A) L3

(9) (¬A → A)→ A mp, 7, 8(10) A mp, 1, 9

Por tanto, ¬A → A `L A; ası, por el Teorema de la Deduccion, `L (¬A →A → A.

6 Propiedades de la logica proposicional

En el contexto de la logica matematica nos interesa resolver cuatro meta-cuestiones para un sistema formal cualquiera. Ası, dado un sistema S,


deberemos determinar si es correcto, consistente, completo y decidible. Lascuatro propiedades fundamentales las describimos como sigue:

Correctez : todo teorema en el sistema es verdadero. Esta propiedad tambiense conoce en la literatura como correctitud.

Consistencia: el sistema no es contradictorio.

Completez : toda formula verdadera es un teorema. Esta propiedad tambiense conoce en la literatura como completitud.

Decidibilidad : existe un procedimiento para decidir si una formula es de-ducible o no en el sistema.

En esta seccion demostraremos que el sistema L cumple estas cuatropropiedades.

6.1 Correctez

Esta propiedad tambien se conoce en la literatura como correccion o correctitud3

y tiene que ver con el proceso de interpretacion o valoracion de las fbf .En este sentido veremos que:

1. Una tautologıa es una fbf que resulta verdadera para toda valoracion.

2. Todo teorema del sistema L es una tautologıa:

(a) Los axiomas se demuestran tautologıas mediante tablas de verdad.

(b) Los teoremas que no son axiomas de L, se demuestran mediante launica regla de inferencia, Modus Ponens.

En otras palabras, el punto 2 anterior quiere decir que es facil demostrar quelos axiomas son tautologıas mediante tablas de verdad, porque el numero devariables de cada uno de ellos es reducido y por tanto, el numero de com-binaciones de valores de verdad para cada variable tambien sera reducido.En cambio, demostrar tautologıas en teoremas que no sean axiomas resultainviable, ya que el numero de combinaciones crece exponencialmente al numerode variables. Ası que estos teoremas que no son axiomas se demuestran tau-tologıas mediante Modus Ponens y los propios axiomas, ya que mp transfierela tautologicidad de estos ultimos, como introduciremos en otra entrega de estetema, ademas de ser mas practico en general que usar las tablas de verdad.

3 En la literatura en ingles se le conoce como soundness.


El siguiente teorema formaliza estos puntos, pero antes necesitamos un parde definiciones.

Definicion 6.1 (Valoracion). Una valoracion de L es una funcion v cuyo do-minio es el conjunto de fbf de L y cuyo condominio es el conjunto >,⊥, talque, para algunas fbf A, B de L,

i) v(A) 6= v(¬A), y

ii) v(A → B) = ⊥ si y solo si v(A) = > y v(B) = ⊥.

Definicion 6.2 (Tautologıa). Se dice que una fbf A es una tautologıa si paracada valoracion v, v(A) = >.

La siguiente proposicion muestra un resultado interesante, que la tautologi-cidad de dos formulas se puede “transmitir” a una fbf . Ası, tambien se fundala unica regla de inferencia del sistema L; Modus Ponens.

Proposicion 6.3. Si A y A → B son tautologıas, entonces B es una tautologıa.

Demostracion. Supongamos que A y A → B son tautologıas y que B no lo es.Entonces existe una valoracion v(B) = ⊥. Pero para esta misma valoracion,v(A) = >, ya que A es una tautologıa. Como resultado, v(A → B) = ⊥, lo quecontradice la suposicion de que A → B es una tautologıa. Por lo tanto, B debeser una tautologıa.

Ahora sı podemos demostrar que una fbf es un teorema de L si y solo si esuna tautologıa.

¿Como podremos demostrar que todo teorema del sistema L es una tau-tologıa? Informalmente, si se trata de un axioma lo demostramos con tablasde verdad. En caso contrario, aplicando la regla de inferencia mp reiterada-mente hasta llegar al objetivo. Esto es de lo que nos habla formalmente lademostracion.

Teorema 6.4 (Teorema de la Correctez). Dada una fbf, A, de L, si `L A,entonces A es una tautologıa.

Demostracion. La prueba es por induccion sobre el numero n de pasos de lademostraccion de A en L.

Caso base: (n = 1). La demostracion consta de una unica formula, la propiaA, que debe ser un axioma de L. Puede comprobarse mediante el pro-cedimiento de las tablas de verdad (se deja como ejercicio para el lector)que todos los axiomas de L son tautologıas, con lo que el caso base quedademostrado.


Caso inductivo: (n > 1). Hipotesis de induccion: la proposicion se verificapara todas las demostraciones `L C con longitud menor de n fbf , que sontautologıas. Es decir, si la longitud de la demostracion de C en L es menorque n, entonces C es una tautologıa. Ası, existen dos posibilidades:

1. A es un axioma de L, con lo cual A es una tautologıa.

2. A se obtiene de dos fbf anteriores mediante la aplicacion de mp.Estas dos fbf seran necesariamente de la forma B y B → A, y tantouna como la otra son teoremas y podran demostrarse en menos de npasos, ya que sus demostraciones son partes de la demostracion de Adespues de truncarla convenientemente. Por consiguiente, aplicandola hipotesis de induccion, tanto B como B → A son tautologıas.Ahora, aplicando la Proposicion 6.3, A es una tautologıa.

Ası, por el Principio de induccion matematica, la proposicion se verificacualquiera que sea el numero de pasos de la demostracion de A en L y podemosafirmar que todo teorema de L es una tautologıa.

Observacion 1. En la prueba de esta proposicion se ha utilizado la conocidatecnica de demostracion por contradiccion o reduccion al absurdo, que consisteen negar el enunciado que se pretende demostrar y deducir, a partir de esanegacion y de las hipotesis, una contradiccion. Obtener una contradiccion (unabsurdo en el que se afirma y se niega un enunciado) nos permite afirmar elenunciado que se quiere demostrar (para neutralizar el absurdo).

Aquı terminamos esta seccion de una de las cuatro metacuestiones acercadel sistema L y podemos afirmar que sı es correcto. Sigamos entonces con elresto.

6.2 Consistencia

Esta propiedad de los conjuntos de fbf no debe permitir deducir cualquierformula a partir de un conjunto dado. Hilbert caracterizaba esta propiedadcomo la imposibilidad de deducir una fbf y su negacion. Cuando esto sucede,tal conjunto es inconsistente y se rechaza.

Definicion 6.5. Dado un conjunto de fbf , Γ,

1. Γ es inconsistente si y solo si cualquier fbf de L es deducible a patir de Γ.

2. Γ es consistente si y solo si no es inconsistente. Esto es, existe alguna fbfde L que no puede deducirse a partir de Γ.


La siguiente proposicion establece que las partes de un conjunto consistenteson tambien conjuntos consistentes. Por el contrario, todo conjunto que con-tenga uno inconsistente es, a su vez, inconsistente.

Proposicion 6.6. Sean Γ y ∆ conjuntos de fbf.

1. Si Γ es consistente y ∆ ⊂ Γ, entonces Γ es consistente.

2. Si Γ es inconsistente y Γ ⊂ ∆, entonces ∆ es inconsistente.

Los siguientes resultados proporcionan diversas caracterizaciones de la con-sistencia.

Proposicion 6.7 (Consistencia). Sea Γ un conjunto de fbf. Γ es consistentesi y solo si no existe una fbf A de L, tal que Γ `L A y Γ `L ¬A.

Demostracion. Para la condicion necesaria para la consistencia de Γ,supongamos que Γ es consistente y que existe una fbf A de L, tal que Γ `L A yΓ `L ¬A. En este caso podemos construir la siguiente deduccion de B a partirde Γ, donde B es cualquier fbf de L:

(1)...(k) A

Γ `L A

(k + 1)...(l) ¬A

Γ `L ¬A

(l + 1) ¬A → (A → B) Proposicion 5.9(1)(l + 2) A → B mp, l, l + 1(l + 3) B mp, l + 2, k

Para la condicion suficiente, supongamos que no existe una fbf A de L, talque Γ `L A y Γ `L ¬A. Por lo tanto, si Γ `L A, Γ 6`L ¬A. Ası que existeuna fbf , ¬A, que no puede deducirse a partir de Γ y, por consiguiente, Γ esconsistente por la definicion 6.5.

Proposicion 6.8 (Inconsistencia). Sea Γ un conjunto de fbf.

1. Γ es inconsistente si y solo si existe una fbf A de L, tal que Γ `L A yΓ `L ¬A.

2. Γ es inconsistente si y solo si existe una fbf A de L, tal que Γ `L (A∧¬A).

Demostracion. 1. Esta parte es la contraposicion de la proposicion 6.7.


2. Condicion necesaria: si Γ es inconsistente, por definicion cualquier fbfde L es derivable a partir de Γ. En particular, la fbf A ∧ ¬A seraderivable a partir de Γ.

Condicion suficiente: dado que A∧¬A es una abreviatura de ¬(A →¬¬A, si `L A ∧ ¬A, podemos construir la siguiente derivacion:

(1)...(l) ¬(A → ¬¬A)

Γ `L A ∧ ¬A

(l + 1) ¬(A → ¬¬A)→ ((A → ¬¬A)→ B) Proposicion 5.9(1)(l + 2) (A → ¬¬A)→ B mp, l, l + 1(l + 3) A → ¬¬A Proposicion 5.9(3)(l + 4) B mp, l + 2, l + 3

B es una fbf cualquiera de L. Por lo tanto cualquier fbf de L puedededucirse a partir de Γ, con lo que Γ es inconsistente.

Finalmente, terminamos generalizando que el propio sistema L es consis-tente, es decir, que no existe una fbf A de L, tal que `L A y `L ¬A. Lademostracion de esta propiedad juega un papel determinante en el Teorema dela Correctez.

Proposicion 6.9. El sistema L es consistente.

Demostracion. Supongamos que L no fuese consistente, es decir, que existieseuna fbf A de L, tal que `L A y `L ¬A. Entonces, por el Teorema de la Correctez(Teorema 6.4) tanto A como ¬A serıan tautologıas. Esto es imposible, ya quesi A es una tautologıa, para cualquier valoracion v(¬A) = > y v(A) = ⊥.Entonces A es una contradiccion, lo que entra en conflicto con la afirmacion deque A era una tautologıa. Por consiguiente, L debe ser consistente.

Con esto completamos dos de las cuatro propiedades del sistema L, queademas son deseables en todo sistema logico. Continuamos ahora con completezo completitud y decidibilidad.

6.3 Completez

Esta propiedad tambien se conoce como completitud y es una contraposicion dela propiedad de correctez, que introdujimos con anterioridad. Es decir, mientrasque la correctez nos habla de que todo teorema es una tautologıa, la completeznos habla de que toda tautologıa es un teorema en el sistema L. Entonces es


necesario que toda tautologıa sea formalmente deducible, y se verifica formal-mente con el siguiente teorema:

Teorema 6.10 (Completez). Dada una fbf de L, si A es una tautologıa, en-tonces `L A.

Demostracion. [Bosquejo de Demostracion] Supongamos que A es una fbf deL y una tautologıa, y que A no es un teorema de L. Entonces la extension L∗,que se obtiene anadiendo ¬A como un nuevo axioma, es consistente. Por tanto,existe una funcion de valuacion v que da a cada teorema de L∗ el valor de > yen particular, v(¬A) = >. Pero v(A) = > porque A es una tautologıa, y ahıtenemos la contradiccion. Por lo tanto, A es un teorema de L.

Este teorema nos da la seguridad de que el sistema L tiene capacidad deduc-tiva necesaria para demostrar toda conclusion tautologica de el. Ademas, nosestablece una equivalencia entre la semantica (tautologıa) y la sintaxis (prueba).Ası se comprueba la equivalencia entre ambos conceptos: deducibilidad vs con-secuencia logica.

En general el, concepto de deducibilidad (o derivabilidad) se puede definircomo una relacion de consecuencia que satisface inclusion, monotonıa y corte,donde Γ y ∆ son conjuntos de formulas de L, y A, y C son formulas de L:

Inclusion: si A ∈ Γ, entonces Γ ` A.

Monotonıa: si Γ ` A, entonces Γ ∪∆ ` A.

Corte: si Γ ` C y ∆ ∪ C ` A, entonces ∆ ∪ Γ ` A.

El lector debera notar que ahora hemos usado la relacion ` para cualquierlenguaje L y no solo para el sistema L.

6.4 Decidibilidad

Por ultimo tenemos la cuarta metacuestion deseada de todo sistema formalllamada decidibilidad, que no se debe confundir con deducibilidad. Tiene susorıgenes con la lista de problemas no resueltos de Hilbert (cerca de 1900), donde,a grandes rasgos, uno de ellos menciona la imposibilidad de encontrar un algo-ritmo para decidir si toda ecuacion polinomica arbitraria tiene solucion entera.A este problema sin solucion se le conoce como insoluble o indecidible.

Formalmente definimos un algoritmo como sigue:


Definicion 6.11 (Algoritmo). Un algoritmo es un conjunto de instruccionesexplıcito que permite realizar una tarea de computo (no necesariamentenumerico), que puede usarse para encontrar la respuesta de cualquier preguntade entre las de una clase.

Ası, la pregunta que esperarıamos resolver es la siguiente metacuestion: ¿esA un teorema del sistema formal L, donde A es una fbf de L. Formalmente,

Definicion 6.12 (Indecidibilidad). Un sistema formal S es (recursivamente)indecidible si y solo si no existe ningun algoritmo que pueda responder preguntasde la clase: ¿es A un teorema de S?, donde A es una fbf de S. En caso contrariodiremos que el sistema es decidible.

Con el siguiente teorema respondemos formalmente la metacuestion; asıterminamos las cuatro metacuestiones deseables para el sistema L.

Proposicion 6.13. El sistema L es decidible.

Demostracion. Por los teoremas de correctez y completez, la tautologicidad escondicion necesaria y suficiente para la deducibilidad. Como las tablas de ver-dad son procedimientos algorıtmicos que existen para establecer tautologicidad,el sistema L es decidible.

En otra entrega veremos que el calculo de predicados no satisface estapropiedad en general. Sin embargo, para el sistema L esta propiedad permiteconsiderar una fbf A, para la cual construimos su tabla de verdad para respon-der la pregunta de si A es un teorema o no. La respuesta puede automatizarse,con lo que tambien introducimos informalmente el concepto de un demostradorautomatico de teoremas.

Para concluir podemos afirmar que el calculo proposicional es decidible,aunque ineficiente por la explosion combinatoria exponencial del calculo detablas de verdad, que formalizaremos en otra entrega.

7 Deduccion natural

Otra de las maneras de construir el calculo proposicional es mediante la de-duccion natural. Al parecer, la primera persona en expresar la idea de construirun sistema de deduccion natural fue el matematico polaco Jan Lukasiewicz en1926. Los sistemas logicos de deduccion tipo Hilbert, a pesar de ser atractivosdesde un punto de vista mecanico, no reflejan la verdadera naturaleza de losrazonamientos informales. Para hacer deducciones, uno no parte de un con-junto de axiomas y con la ayuda de ciertas reglas de inferencia, se obtiene la


conclusion deseada. En el razonamiento informal se hacen ciertas suposicionesy se realizan inferencias a partir de ellas. Lukasiewicz sugirio que se debıa for-malizar este tipo de razonamiento y en 1929 Stanis law Jaskowski presento susistema de deduccion en el Primer Congreso Polaco de Matematicas.

En contraste con los sistemas axiomaticos tipo Hilbert, en un sistema dededuccion natural no se tiene un conjunto de formulas llamadas axiomas, a par-tir de las cuales hacer deducciones mediante algunas reglas de inferencia, sinoque se tiene solo un conjunto de reglas de inferencia (sin axiomas) y a partir deellas se hacen inferencias.

La derivacion en deduccion natural se lleva a cabo mediante un procesosencillo. Una regla de inferencia, informalmente, establecera que “de ϕ y deϕ→ ψ se concluye ψ” y escribiremos:

ϕ ϕ→ ψ

ψ

Las proposiciones sobre la lınea son llamadas premisas y la que esta debajoes llamada la conclusion. Informalmente, para esta regla, estamos afirmandoque si tenemos las formulas ϕ y ϕ→ ψ, entonces podemos eliminar el conectivo→ y quedarnos con ψ. En el ejemplo mostrado se elimino el conectivo →, perode la misma manera se pueden introducir conectivos.

Reglas de introduccion de conectivos:

ϕ ψ(∧I)

ϕ ∧ ψ

[ϕ]

...ψ

(→ I)ϕ→ ψ

Reglas de eliminacion de conectivos:

ϕ ∧ ψ(∧E)ϕ

ϕ ∧ ψ(∧E)

ψ

ϕ ϕ→ ψ(→ E)

ψ

Para la constante logica ⊥ se tienen dos reglas: en ambas se elimina ⊥, perose introducen nuevas formulas.

Reglas para ⊥:

⊥ (⊥)ϕ

[¬ϕ]

...⊥ (RAA)ϕ


Recordemos que usamos ¬ϕ como una abreviacion de ϕ→ ⊥.

Como ya se menciono, algunas de las reglas de deduccion natural son intuiti-vas, por ejemplo, la introduccion de la conjuncion de dos formulas ψ y ϕ, (∧I):si hemos obtenido las formulas ψ y ϕ, entonces podemos afirmar que tenemosψ ∧ ϕ. Pero tal vez no quede tan clara la regla de introduccion de la impli-cacion. En palabras, la regla establece que si podemos deducir la formula ψutilizando ϕ como hipotesis, entonces podemos concluir que ϕ→ ψ sin necesi-dad de la hipotesis (ese es el significado de los corchetes alrededor de ϕ). Estoes consistente con el significado de ϕ → ψ: “la formula ψ se sigue de ϕ”. Talvez parezca un tanto extrano el hecho de eliminar la hipotesis en la deduccion,pero no debemos olvidar que es algo que hacemos frecuentemente en las de-mostraciones en matematicas; por ejemplo, en la Teorıa de Numeros considereel llamado Pequeno Teorema de Fermat: Si p no divide a a, entonces ap−1 ≡ 1(mod p). Esta es una afirmacion del tipo “ϕ → ψ” y se quiere establecer suvalidez. La demostracion de este teorema comenzarıa diciendo: “Supongamosque p no divide a a, entonces. . .” (es decir, comenzamos suponiendo ϕ) y con-tinuarıamos con una cadena de razonamientos hasta finalmente llegar a: “ası,tenemos que ap−1 ≡ 1 (mod p)” (es decir, concluimos con ψ). Hecho esto, afir-mamos que la implicacion “Si p no divide a a, entonces ap−1 ≡ 1 (mod p)” esvalida. Ahora bien, ¿es necesaria la hipotesis inicial ϕ cada vez que afirmemosla validez de ϕ → ψ? Por supuesto que no, ya que de cierta forma hemosincluido esa hipotesis en la misma formula.

La regla (⊥), para la constante logica ⊥, simplemente nos indica que apartir de haber obtenido una contradiccion podemos obtener cualquier con-clusion; en otras palabras, expresa el conocido principio logico Ex falso se-quitur quodlibet. La regla (raa), Reductio ad absurdum, es la formulacion delmetodo de demostracion por contradiccion: si uno obtiene una contradicciona partir de suponer ¬ϕ, entonces se debe tener en realidad la formula ϕ.

La mejor manera de dominar la tecnica de deduccion natural es realizaralgunos ejercicios. Ası que veamos algunos ejemplos concretos de demostracionutilizando las reglas de deduccion natural.

Ejemplo 7.1. Mostrar que ` ϕ ∧ ψ → ψ ∧ ϕ.


[ϕ ∧ ψ]1∧E

ψ[ϕ ∧ ψ]1

∧Eϕ∧I

ψ ∧ ϕ→I1

ϕ ∧ ψ → ψ ∧ ϕ

Es necesario hacer algunas observaciones en relacion con la demostracionanterior. Primero, recuerde que la aplicacion de cada regla de inferencia estaindicada mediante una raya horizontal; mas aun, hemos escrito el nombre de laregla de inferencia al lado derecho de la raya horizontal. Ahora bien, comen-zamos suponiendo la formula ϕ ∧ ψ, lo cual indicamos colocandola entre llavescuadradas y colocando un superındice para identificar esta hipotesis (en esteejemplo nomas tenemos una sola hipotesis, pero puede haber mas). Ası, comen-zamos a “leer” la demostracion de arriba hacia abajo. De la suposicion ϕ ∧ ψ,usando la regla de inferencia ∧E, obtenemos ψ. De la misma manera obtenemosϕ. Ahora bien, una vez que tenemos ψ y ϕ (en el segundo renglon), mediante laregla de inferencia ∧I obtenemos ψ ∧ ϕ. Por lo tanto, tomando como hipotesisa ϕ∧ψ hemos obtenido ψ∧ϕ; entonces mediante la aplicacion de la regla→ I1

(note que usamos el subındice para indicar cual hipotesis se cancela al usar estaregla), obtenemos ϕ ∧ ψ → ψ ∧ ϕ.

Ejemplo 7.2. Mostrar que ` ϕ→ ¬¬ϕ.

[ϕ]2 [¬ϕ]1→E⊥ →I1¬¬ϕ

→I2ϕ→ ¬¬ϕ

Aquı hemos utilizado la convencion de que ¬ϕ = ϕ → ⊥. Ademas, de loanterior obtenemos que ¬¬ϕ = ¬ϕ→ ⊥.

Ejemplo 7.3. Mostrar que ` ϕ→ (¬ϕ→ ψ).

[ϕ]2 [¬ϕ]1→E⊥ ⊥

ψ→I1¬ϕ→ ψ→I2

ϕ→ (¬ϕ→ ψ)

Nuevamente hemos utilizado que ¬ϕ = ϕ→ ⊥.

Ejemplo 7.4. Mostrar que ` ¬¬ϕ→ ϕ.


[¬ϕ]1 [¬¬ϕ]2→E⊥

RAA1ϕ→I2¬¬ϕ→ ϕ

Ejemplo 7.5. Mostrar que ` (ϕ→ ψ)→ ((ψ → σ)→ (ϕ→ σ))

[ϕ]1 [ϕ→ ψ]3→E

ψ [ψ → σ]2→Eσ →I1ϕ→ σ

→I2(ψ → σ)→ (ϕ→ σ)

→I3(ϕ→ ψ)→ ((ψ → σ)→ (ϕ→ σ))

Veamos ahora lo que entenderemos por derivacion en general, pero primero

un poco de notacion: si Dϕ

yD′ϕ′

son derivaciones con conclusiones ϕ, ϕ′,

entoncesDϕ

ψyDϕ

D′ϕ′

ψ

son derivaciones obtenidas aplicando alguna regla

de derivacion a ϕ (de igual manera a ϕ y ϕ′).

Indicaremos la cancelacion de una hipotesis de la siguiente manera: siψ

Dϕ

es una derivacion con la hipotesis ψ, entonces

[ψ]

Dϕσ

es la derivacion con la

hipotesis ψ cancelada.De la misma manera en que antes tenıamos que especificar cuando una ca-

dena de sımbolos era una formula bien formada, ahora tenemos que decir enque casos tenemos una derivacion.

Definicion 7.6. El conjunto de derivaciones es el conjunto mas pequeno X,tal que:

1. El arbol de un elemento ϕ pertenece a X para toda ϕ ∈PROP.

2. (∧) Si Dϕ

,D’ϕ’∈ X, entonces

Dϕ

D’ϕ’

ϕ ∧ ϕ’

∈ X

SiD

ϕ ∧ ψ ∈ X, entoncesD

ϕ ∧ ψϕ

,D

ϕ ∧ ψψ

∈ X


(→) Si

ϕ

Dψ∈ X, entonces

[ϕ]

Dψ

ϕ→ ψ

∈ X

Si Dϕ

,D’

ϕ→ ψ∈ X, entonces

Dϕ

D’ϕ→ ψ

ψ

∈ X

(⊥) SiD⊥ ∈ X, entonces

D⊥ϕ∈ X

Si

¬ϕD⊥∈ X, entonces

[ϕ]

D⊥ϕ

∈ X

Debido a que las derivaciones estan definidas de manera inductiva, se puedeestablecer un Principio de Induccion similar al que fue definido en seccionesanteriores: sea A una propiedad y suponga que A(D) se cumple para las deriva-ciones de un solo elemento, y que, ademas, la propiedad A se conserva bajo lasreglas (2∧), (2→), (2⊥), entonces A(D) se cumple para todas las derivaciones.

Definicion 7.7. La relacion entre el conjunto de proposiciones (Γ) y las proposi-ciones (ϕ) esta dada por Γ ` ϕ, es decir, hay una derivacion con una conclusionϕ y con todas las hipotesis (sin cancelar) en Γ.

En este caso, Γ ` ϕ se lee como“ϕ es derivable de Γ ”; al ser Γ un conjuntode proposiciones, por definicion, puede contener “hipotesis superfluas”. En elcaso en que Γ = ∅, escribimos ` ϕ y decimos que ϕ es un teorema.

El sistema que se ha descrito en esta seccion se llama “calculo de deduccionnatural” por una buena razon: la manera de hacer inferencias corresponde a laforma en que intuitivamente razonamos. Las reglas de inferencia nos permitenunir o separar formulas, de manera que una derivacion (un razonamiento) seconvierta en una manipulacion de las reglas, cuyo uso esta sugerido por la formade la formula que se quiere probar. Por ejemplo, para probar que ` (ϕ →¬ϕ)→ ¬ϕ, primero deberıamos probar (o asumir) ϕ→ ¬ϕ y despues concluir¬ϕ. Ahora bien, si asumimos ϕ → ¬ϕ y ϕ, entonces por la regla (→ E),obtenemos ¬ϕ. Pero tenemos entonces ϕ y ¬ϕ, y nuevamente por la regla(→ E) obtenemos ⊥. Ası, por la regla (→ I) se tiene (eliminando la hipotesis)ϕ) ¬ϕ. Ası, finalmente, por la regla (→ I) obtenemos (ϕ→ ¬ϕ)→ ¬ϕ. Por lotanto, obtenemos la siguiente derivacion:


[ϕ→ ¬ϕ]1 [ϕ]2→E¬ϕ [ϕ]2

→E⊥ →I2¬ϕ→I1

(ϕ→ ¬ϕ)→ ¬ϕ

Note que hemos utilizado la definicion ¬ϕ = ϕ→ ⊥. Ademas, recordemos que> es una abreviacion de ¬⊥.

7.1 Completitud en deduccion natural

Al igual que antes, tambien en el calculo de deduccion natural se puede de-mostrar la equivalencia entre el conjunto de proposiciones que son “verdaderas”y el conjunto de proposiciones que son “derivables”. Es decir, podemos afir-mar que si una formula es una tautologıa, entonces existe una derivacion en elcalculo de deduccion natural y viceversa.

Lema 7.8. Si Γ ` ϕ, entonces Γ |= ϕ.

Demostracion. Por la definicion 7.7, tenemos que Γ ` ϕ implica que existe unaderivacion D con todas sus hipotesis en Γ, y por tanto basta con mostrar quepara cada derivacion D con conclusion ϕ e hipotesis en Γ, se tiene que Γ |= ϕ.Se utilizara induccion sobre D.

Caso base. Si la derivacion D tiene un solo elemento, entonces se tiene queϕ ∈ Γ y por lo tanto, Γ |= ϕ.

Analicemos ahora la hipotesis de induccion para cada uno de los casos quese presentan:

(∧I) Supongamos que Dϕ

y D′ϕ

son derivaciones, y que para cada Γ,Γ′ que

contienen las hipotesis de D,D′, respectivamente, se tiene que Γ |= ϕ yΓ′ |= ϕ′.

Ahora bien, escoja Γ′′ de manera que contenga las hipotesis deDϕ

D’ϕ’

ϕ ∧ ϕ’Tomando Γ′′ como el conjunto de hipotesis de D y D′, se tiene queΓ′′ ⊇ Γ ∪ Γ′. Por lo tanto, Γ′′ |= ϕ y Γ′′ |= ϕ′.

Sea v una valuacion para la cual v(ψ) = 1 para toda ψ ∈ Γ′′; por lo tanto,v(ϕ) = v(ϕ′) = 1, de donde v(ϕ∧ϕ′) = 1. Ası, tenemos que Γ′′ |= ϕ∧ϕ′.


(∧E) Supongamos que para cualquier Γ que contenga las hipotesis deD

ϕ ∧ ψ

se tiene Γ |= ϕ∧ψ. Suponga que Γ contiene todas las hipotesis deD

ϕ ∧ ψϕ

yD

ϕ ∧ ψψ

. Dado lo anterior, no es difıcil mostrar que Γ |= ϕ y que Γ |= ψ.

(→ I) Supongamos que para cualquier Γ que contenga todas las hipotesis deϕ

Dψ

, tenemos que Γ |= ψ. Suponga que Γ′ contiene todas las hipotesis

de

[ϕ]

Dψ

ϕ→ ψ

. Ahora bien, Γ ∪ ϕ contiene todas las hipotesis de

ϕ

Dψ

y

por tanto, si v es una valuacion, tal que v(ϕ) = 1 y v(φ) = 1 para todaφ ∈ Γ′, entonces v(ψ) = 1. Ahora bien, de acuerdo con la definicion delconectivo →, tenemos que v(ϕ→ ψ) = 1 si todas las proposiciones en Γ′

son evaluadas a 1. Por lo tanto, Γ′ |= ϕ→ ψ.

(→ E) Esta demostracion se deja como ejercicio para el lector.

(⊥) Supongamos que para cada Γ que contenga las hipotesis deD⊥ , se

tiene Γ |= ⊥. Dado que para cualquier valuacion v se tiene v(⊥) = 0,entonces no existe alguna valuacion, tal que v(ψ) = 1 para toda ψ ∈ Γ.

Suponga que Γ′ contiene todas las hipotesis deD⊥ϕ

y que Γ′ 6|= ϕ, entonces

tenemos que para alguna valuacion v, v(ψ) = 1 para toda ψ ∈ Γ′ yv(⊥) = 0. Ahora bien, dado que Γ′ contiene todas las hipotesis de laprimera derivacion, entonces llegamos a una contradiccion.

(RAA) Supongamos que para cualquier Γ que contenga las hipotesis de

¬ϕD⊥

tenemos que Γ |= ⊥. Suponga que Γ′ contiene todas las hipotesis de[¬ϕ]

D⊥ϕ

y que Γ′ 6|= ϕ. Por tanto, existe una valuacion v, tal que v(ψ) = 1

para toda ψ ∈ Γ′ y v(ϕ) = 0, es decir, v(¬ϕ) = 1. Note que el conjuntoΓ′′ = Γ′ ∪ ¬ϕ contiene todas las hipotesis de la primera derivacion y


demas v(ψ) = 1 para toda ψ ∈ Γ′′. Esto es imposible ya que Γ′′ |= ⊥. Porlo tanto, Γ′ |= ϕ.

8 Conclusiones

Dado un sistema S, nos interesa resolver cuatro metacuestiones:

¿Es correcto? Si todo teorema es verdadero.

¿Es consistente? (o no contradictorio) Si no lleva a contradicciones.

¿Es completo? Si toda formula verdadera es un teorema.

¿Es decidible? Si existe un procedimiento para decidir si una formula es de-ducible o no en el sistema.

Hemos demostrado formalmente que el sistema L cumple estas cuatropropiedades. Informalmente, dado que dicho sistema es equivalente al de de-duccion natural, este ultimo hereda las propiedades del primero. La equivalen-cia entre ambos la abordaremos en entregas posteriores.

Referencias

[1] Iranzo, P. Logica simbolica para informaticos. Ra-Ma, (2004).

[2] Hamilton, A. Logic for Mathematicians. Cambridge University Press,(1988).

[3] Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic. Taylor & Francis,(2009).

[4] van Dalen, D. Intuitionistic logic. In L. Goble, editor. Handbook of Philo-sophical Logic, 1, 224–257. Blackwell, Oxford, revised edition, (2001).

[5] van Dalen, D. Logic and Structure (2d. ed.). Universitext. Springer, (1989).


Juan C. Acosta Guadarrama ([email protected])Oscar H. Estrada Estrada ([email protected])Luis G. Loeza Chin ([email protected])Boris J. Menderos Madrazo ([email protected])Gustavo Tapia Sanchez ([email protected])

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