CUARTO SEMESTRE “A"

INTEGRANTES:

RIVAS BAZURTO KELVIN

ROSALES TORRES ROMMEL

Salmerón López Andrés

DOCENTE: ING. TONIO REALPE TOMALÁ

FECHA: 26 De noviembre del 2013

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES 2

TRABAJO GRUPAL #1

Tema: TEOREMA DE CASTIGLIANO

UNIVERSIDAD LAICA ELOY ALFARO DE MANABI

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INDICE.

1.0. INTRODUCCIÓN………………..………………………...…………3

2.0. OBJETIVOS………………………………………….......................…4

3.0. METODOLOGIA………………………………………………..........5

3.0. BIOGRAFÍA DE ALBERTO CASTIGLIANO……..………………...6

4.0. TEOREMA DE CASTIGLIANO…………………..................………7

4.1. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARAARMADURAS…………………..……………………………………...…9

5.0. EJERCICIOS PROPUESTOS…………....……….……………11

6.0. CONCLUSIONES…………………………………………..14

7.0. BIBLIOGRAFIA……………………………………………..15

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1. INTRODUCCIÓN

La estructura es el conjunto mecánico encargado de soportar y transmitir las cargashasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno.

Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadasentre sí.

Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a ladeformación; con exactitud a la flexión.

Existen muchos métodos de conservación de energía, los cuales sirven para el cálculode las deflexiones de una viga; el primer método de Castigliano es uno de ellos, esconocido como el más exacto para estas operaciones, ya que primero calcula el trabajorealizado por la fuerza cortante que aplica la cargas en dicha viga, y por último calculalo que se desea en realidad: cuán deformable es el material q vamos a utilizar en lafabricación de esta.

Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformación ocupan unaposición central en todo cálculo de estructuras. En este trabajo se a intentará determinarla deformación de una viga, utilizando los teoremas de Castigliano.

Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperaturaconstante, de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcularlas deflexiones producidas en una viga a causa de una determinada carga que debesoportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estássegún su resistencia y para que propósito la necesitamos.

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2. OBJETIVOS GENERAL

Estudiar y analizar el Método de Castigliano para determinar la deflexión o la pendienteen un punto determinado de una estructura.

2.1. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Investigar los dos teoremas propuestos en el Método de Castigliano para elcálculo de deflexión y pendiente en una viga, armadura o un marco.

Identificar cuando podemos utilizar los teoremas de Castigliano para el cálculola pendiente y la deflexión de una estructura.

Aplicar estos conocimientos mediante ejercicios que vinculen este tipo decálculo en la deformación de una estructura y comparando que los resultadossean iguales a los demás métodos estudiados.

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3.0 METODOLOGIA

La manera en la que se llevará a cabo la presente investigación será utilizandola metodología analítica-sintética, ya que de acuerdo con el tema referidosobre el Método de Castigliano, estudiaremos el tema en cada una de suspartes para comprenderlas en forma individual y luego la integramos paraaplicarla en los ejercicios que nos proponemos.

En atención a esta modalidad de investigación, y de acuerdo con lainvestigación propuesta se introducirán tres fases en el estudio, a fin de cumplircon los objetivos establecidos.

En la primera fase, investigaremos el autor de este método, consultaremos elMétodo de Castigliano y sus diferentes teoremas para la determinación de ladeflexión y pendiente en la deformación de una estructura.

En la segunda fase de la investigación identificaremos cuando podemos aplicareste método, porque en el estudio de estructuras encontraremos en variasocasiones diferentes tipos de vigas como las determinadas y lasindeterminadas en las cuales tendrán procedimientos específicos a cada unade ellas.

Por última fase, con todos estos conocimientos adquiridos podremos aplicarlosa los ejercicios propuestos en los diferentes libros de Resistencia de losMateriales que encontremos a nuestra disposición.

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3. BIOGRAFÍA DE CARLO ALBERTO CASTIGLIANO.

Carlo Alberto Castigliano (9 de noviembre de1847, Asti - 25 de octubre de 1884, Milán ) fue unitaliano matemático y físico conocido por elmétodo de Castigliano para la determinación de losdesplazamientos en un elástico-lineal del sistemasobre la base de las derivadas parciales de energíade deformación .

Alberto Castigliano se trasladó desde la región desu nacimiento, Piamonte en el noroeste de Italia,para el Instituto Técnico de Terni (en Umbría ) en1866. Después de cuatro años en Terni ,Castigliano se trasladó al norte de nuevo, esta vezpara convertirse en un estudiante de la universidadde Wilkes. Después de tres años de estudio enWilkes escribió una disertación en 1873 tituladoElasticiIntornoaisistemi por la que es famoso. En su tesis parece un teorema que ahoralleva el nombre de Castigliano. Esto se afirma que:

La derivada parcial de la energía de deformación, considerada como una función de lasfuerzas aplicadas que actúan sobre una estructura linealmente elástico, con respecto auna de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la dirección de la fuerza de su puntode aplicación”.

Después de graduarse de la universidad Wilkes, Castigliano era empleado de losferrocarriles del norte de Italia. Se dirigió a la oficina responsable de la obra,mantenimiento y servicio y trabajó allí hasta su muerte a una edad temprana.1

1http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano

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4. TEOREMA DE CASTIGLIANO

“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre unaestructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera

derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto ala acción aplicada”.2

Este es el teorema de Castigliano, llamado así en honor al ingeniero Italiano AlbertoCastigliano (1847-1884), quien lo estableció.

Si un cuerpo homogéneo, isotopo y elásticoestá sujeto a la acción de un sistemacualquiera de fuerzas exteriores que lo mantiene en equilibrio, el trabajo de deformaciónalmacenado en él es función del sistema de cargas:= ,Además, supondremos que los apoyos son fijos y que la función w es diferenciable. Elincremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma:

∆ = ∆ + ∆Mi + a ∆ + ∆En donde:→ 0. Si

∆∆ → 0Cuando sobre el cuerpo solamente actúa la fuerza ∆ , el trabajo efectuado es:

∆ = ∆ + ∆Si aplicamos sobre el cuerpo una fuerza ∆ , se produce una deformación ∆ y untrabajo:

= 12∆ ∆Siempre que la carga ∆ se aplique gradualmente. Si una vez efectuado este trabajo secarga al cuerpo con el sistema Fi que desarrolla un trabajo Wi y produce unadeformación en dirección de la fuerza aplicada- el trabajo de deformación en elcuerpo es:

2Recuperado en “Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural”, pág. 8

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= ∆ ∆ + ∆ + (3.1)

Por tanto, el incremento del trabajo vale:

∆ = ∆ ∆ + ∆ (3.2)

Sustituyendo el valor de la ecuación (3.2) en la ecuación (3.1) queda:

∆ + ∆ = 12∆ ∆ + ∆Dividiendo entre ∆ :

+ = 12∆ +Tomando límite cuando ∆ → 0, queda:

=Ya que: lim = 0ylim∆ = 0∆ → 0 ∆ → 0Podemos, entonces enunciar el primer teorema de castigliano:

“la derivada del trabajo de deformación con respecto a una fuerza Fi cualquiera, midela deformación que experimenta el cuerpo en el punto de aplicación de dichafuerza.”

Considerando ahora que el cuerpo en estudio solamente actúa el sistema ∆ , siendo eltrabajo función continúa y diferencial, se cumple:

∆ = ∆∆ ∆ + ∆

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Al aplicar el par ∆ , gradualmente, por la ley de clapeyron:

∆ = 12∆ ∅Igualando ambos incrementemos de trabajo:

∆ + ∆ = 12∆ ∅Dividiendo entre ∆ , y tomando limites cuando ∆ , → 0= ∅Esta ecuación corresponde al segundo teorema de castigliano, que dice:

“la derivada del trabajo de deformación con respecto a un par ∆ ,cualquiera, mide el

ángulo de rotación producido por dicho par en el punto de su aplicación”.3

4.1. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS

La energía de deformación para un miembro de una armadura esta dada por la ecuación

= ²2Sustituyendo esta ecuación de la ecuación:∆ = y omitiendo el subíndice (i) tenemos

= = ∑ ²2Es generalmente más fácil efectuar la diferenciación antes de sumar. En el caso general,L, A, E son contantes para en miembro dado y por tanto puede escribirse:

∆= ∑∆= desplazamiento externo del nudo de la armadura.P= fuerza externa aplicada al nudo de la armadura en la dirección de la ∆ buscada.N= fuerza interna en un miembro causada por las fuerzas P y cargas sobre la armaduraL= longitud de un miembro.A= área de la sección transversal de un miembro.

3Ing. Alberto Martínez Castillo. Análisis y Diseño de Estructuras Tomo 1. Resistencia de Materiales.Alfaomega. México

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E= módulo de elasticidad de un miembro.

La ecuación es similar a la usada en el Método del Trabajo Vertical:

∆= ∑Excepto que se desplaza por . Nótese que para determinar esta derivada parcial es

necesario tratar a P como una variable (no como una cantidad numérica especifica) yademás, cada fuerza de barra N debe expresarse como función de P. Por esto, el cálculo

de requiere en general algo más de trabajo que el requerido para calcular cada fuerza

n determinada.4

4 Russell C. Hibbeler. Analilis de Estructuras. 3ra edición. Unidad 9. Pág. 784

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5. EJERCICIOS

Ejemplo 1

Calcular la máxima deformación de una viga simplemente apoyada con una cargauniformemente distribuida

Se ha colocado una carga imaginaria Q en el centro de la viga, que es el punto demáxima deformación. Considerando sólo la parte izquierda, el momento es:

La energía de deformación para la viga entera es el doble de la correspondiente a lamitad de la viga.

La deformación en el centro es:

Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.5

5http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html

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Ejemplo 2

Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga envoladizo.

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6 Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Análisis Estructural Teorema de Castigliano. Departamento deIngeniería Sanitaria y Ambiental Facultad de Ingeniería

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Ejemplo 3

Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en B. Nosplanteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB). En tal caso:

Donde F es una fuerza infinitesimal aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcularel desplazamiento. Así tendremos:

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6.0. CONCLUSIONES

1. El teorema de Castigliano está diseñado para aplicarlo ev vigas que estánsolicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial dela energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro.

2. También se concluye que el teorema de Castigliano se utiliza para calcular ladeformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carganumérica sino como una variable.

3. Este teorema tiene también un parecido al método del trabajo virtual.

4. El método de Castigliano, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo dedeflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.

5. Este método, con sus dos teoremas, nos sirve para el cálculo de deflexiones ypendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

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7.0. BIBLIOGRAFIA

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Carlo_Alberto_Castigliano

2. Carlos Alberto Riveros Jerez (2008) Análisis Estructural Teorema deCastigliano. Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental Facultad deIngeniería

3. Ing. Alberto Martínez Castillo. Análisis y Diseño de Estructuras Tomo 1.Resistencia de Materiales. Alfaomega. México

4. http://www.eumed.net/libros-gratis/ciencia/2013/14/teorema-castigliano.html

5. Teoremas Energéticos Fundamentales al Análisis Estructural”, pág. 8

6. Russell C. Hibbeler. Analilis de Estructuras. 3ra edición. Unidad 9. Pág. 784