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Métodos MatricialesSolución de Redes

Pablo Corredor

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1. Matriz de Admitancia de Barras

Se Cumple :

De la Figura se Cumple fig 4.1 :

De las ecuaciones seleccionadas se tiene la matriz cuadrada :

Esta matriz Y se conoce como matriz Ybus esta matriz tiene caracteristicas particulares es simetrica , cuadrada, posee terminos complejos, es dispersa(muchos de sus compenentes son cero) su estructura se puede sistematizar por lo tanto puede ser programado.

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Se Cumple en la Matriz :

Para formar la matriz en un computador se procede de la siguiente manera: Para esto estudiamos el siguiente

sistema :

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Entonces si queremos programar utilizaremos el siguiente Diagrama de Flujo:

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Cuando I=1 en la primera iteración se tiene :

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Teniendo en cuenta también que la matriz Ybus es simétrica se cumple que :

En la primera iteración se cumpliría que :

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2. TRANSFORMACIONES LINEALES

Para de otra manera poder hallar la matriz de admitancia mediante este método de transformaciones lineales se sigue los siguientes pasos:

• Numerar los nodos de la red original.

• Numerar las ramas.• Formar la matriz primitiva.

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Ejemplo como hallar la matriz primitiva

Formamos la red primitiva, formado por los elementos de la red

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De la figura 4.5 se forma matricialmente la siguiente ecuación

Consideraremos que no hay acoples mutuos entre los elementosTambien se debe saber que se cumple:

… (1)

… (11)

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Siguiente paso: Relacionar las corrientes nodales con las de la red primitiva.De la figura 4.5 vemos que se cumple que:

En forma matricial tenemos

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Por lo tanto

Siguiente paso : Relacionar los voltajes nodales de la red con la red primitiva.

De las ecuaciones se deduce que

… (111)

… (1V)

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De (1) y (1V)…

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3. Inclusión de Taps en los Transformadores

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Partimos de que Y=V.I , siendo Y la matriz de admitancias.Matricialmente tenemos:

Se trata de obtener la matriz Y y asi tratar de encontrar un circuito que se acomode a ella.

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La ecuación anterior se puede también escribir :

Un circuito que cumple con estas ecuaciones es :

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Para el circuito shunt tenemos :

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Notese que cuando t=1 se obtiene el modelo ya estudiado. Cuando t es mayor que uno , Yshunt2 sería negativo el cual indicaría una inductancia.

Cuando se cambia el tap de un transformador, solamente cambiará la admitancia de este , lo cual es de gran ventaja para los análisis en por unidad , por que no hay que cambiar todas las Xpu del transformador.

Yt se debe calcular para cada posición del taps si se desean resultados más exactos, pero en algunos casos se puede suponer que si se calcula para 1:1 no se comete mucho error .Se supone entonces Yt como una constante.Cuando Yt está muy alejado del transformador no se puede considerar constante .

Cuando existen transformadores de tres devanados en el sistema, únicamente se reemplaza por el modelo para transformadores con taps el(o los) devanado(s) donde se encuentra el tap, el resto peramanece(n) constante(s).

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Ejemplos1. Encontrar el modelo en P.U del transformador , suponiendo que el tap está en el lado de alta.

Tomando como bases 220kv y 150MVA y teniendo en cuenta que Yt=1/(jXt)=-j10t, el transformador queda entonces representado mediante el siguiente modelo general expresado en admitancias.

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Si se desea por ejemplo obtener una relación de transformación de 208/110kV se debe colocar el tap a un valor t=208/110=0.9452. Para la red mostrada a continuación , encontrar el diagrama de impedancias para la posición central de los taps y el diagrama general para cualquier posición de estos.

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Calculo de las tensiones bases del sistema:

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Se llega entonces al siguiente modelo en Por Unidad.

Si el transformador T1 se ubica el taps en +2.5% se tendrá la siguiente relación de transformación.

Si la base de G1 es 13.8kV y la línea es 240.45kV se tiene una relación de transformación:

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En Por Unidad esto significa:

El modelo para esta posición de los taps se encuentra reeplazando t por 1.025 y Ytpor -11.46 en el diagrama general Por Unidad mostrado a continuación.

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4. Matriz de impedancia de barras (Z)

La matriz de impedancias(Z) indica la sensibilidad que presenta los voltajes del sistema cuando ocurren cambios de corriente en la red.

Tenemos que:

Ilustración :

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Por ejemplo si se inyecta una corriente de magnitud unitaria en el nodo 1 queda:

Z11:Es el voltaje con respecto a la referencia que aparece en 1 cuando se inyecta una corriente de magnitus unitaria en 1.

Z12: Es el voltaje con respecto a la referencia que aparece en 2 cuando una corriente de magnitud unitaria en 1.

Ahora por el contrario aplicamos la fuente de corriente unitaria en el nodo 2 , Z12 y Z22 quedarían así :

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En forma general :Zkk: Es la impedancia Thevenin vista desde k haciua el nodo de referencia .Es igual al voltaje con respecto a la referencia que aparece en k cuando se inyecta una corriente de magnitud unitaria en k.Zik: Es la impedancia de transferencia entre los nodos i-k con respecto a la referencia. Es igual al voltaje con respecto a la referencia que aparece en k cuando se inyecta una corriente de magnitud unitaria en i.

ALGORITMO DE CONSTRUCCIÓN DE ZBUS

Existen varios algoritmos para encontrar la matriz de impedancias.Uno de ellos es el Algoritmo de H.Brown. El cual es muy útil y efectivo en sistemas pequeños (no mayores de 40 barras).Este algoritmo consiste en armar la red rama por rama y a medida que se va armando se va calculando la matriz de impedancia.Los pasos fundamentales para a formación de la matriz Zbus son los siguientes :

ING. KOC RUEDA, JOSÉ 27

5. ALGORITMO DE CONSTRUCCIÓN DE ZBUS

Existen varios algoritmos para encontrar la matriz de impedancias.Uno de ellos es el Algoritmo de H.Brown. El cual es muy útil y efectivo en sistemas pequeños (no mayores de 40 barras).

Este algoritmo consiste en armar la red rama por rama y a medida que se va armando se va calculando la matriz de impedancia.

Los pasos fundamentales para a formación de la matriz Zbus son los siguientes :

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- Iniciar con una rama conectada a la referencia(tierra).

Aqui se tiene que :

Por lo tanto

-Conectar una nueva rama . Esta nueva rama tiene la posibilidad de conectarse de alguna de las dos siguientes maneras : Radial a P :

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Si adicionamos otra rama radial en el nodo q (sin formar malla), la matriz de impedancia quedaría así :

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Comparando esta matriz con la anterior , podamos afirmar lo siguiente : Cuando se adiciona una rama radial , aparece un nodo nuevo. Zbus tendrá por lo tanto una fila y una columna adicional. Los elementos de la nueva fila y la nuva columna cumplirán con las siguientes características : Los que pertenecen a la diagonal de la matriz tomarán un valor un valor igual al de la diagonal en que estaba conectada más la impedancia de la nueva rama.

Los que están fuera de la diagonal tomarán un valor igual a los dos de la columna correspondiente al nodo al cual se conecta la nueva rama radial.

Conectada a la referencia

ING. KOC RUEDA, JOSÉ 31

Luego se adiciona una nueva rama y así sucesivamente se sigue hasta armar toda la red.

De una manera general se puede decir que cada vez que se adicione una nueva rama al sistema, se puede presentar las 3 siguientes situaciones: -Conectarla con referencia.

ING. KOC RUEDA, JOSÉ 32

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Conectarla entre 2 nodos existentes (cerrar el circuito) .No aparece un nuevo nodo

Si no se tiene en cuanta Zb, V=Zoriginal.I

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Si se considera Zb es posible plantear otra relación

Es lógico suponer que se puede encontrar una nueva matriz tanto de impedancia como de corrientes, tales que nos relacionen Ip e Iq eliminando a Ib.

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Como se tiene una ecuación adicional (n+1), aumenta la dimensión de las matrices.

La matriz no puede ser de n+1, elementos ya que su dimensión está dada por la cantidad de nodos que posea la red (n.n). Utilizando la Reducción de Kron es posible llevar una matriz de dimensión (n+1.n+1) a una (n.n) , de la siguiente manera.

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EJEMPLO:

Para la red activa (en Por Unidad ) encontrar :1. Zbus.2. Los cambios de voltaje cuando se cierra el

interruptor S.3. Los MVAR entregados por el condensador que tiene

una reactancia Xc=5 p.u

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SOLUCIÓN : a. Se toma como referencia la tierra del circuito y como

nodo 1 el de la inductancia de j0.8.

Adicionando la reactancia de j0.5, Zbus queda:

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Adicionando otra rama radial(j0.2) se encuentra Zbus3 :

Se cierra la malla por medio de la reactancia de j0.4

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Aplicando la reducción de Kron(puesto que al cerrar la malla no se adicionan nuevos nodos ) aparece Zbus4.

Conectando la reactancia de j0.2 entre el nodo 3 y tierra aparece Zbus 5

Aplicando reducción Kron :

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Introduciendo la impedancia de la otra fuente :

Reduciendo , se llega a la Zbus pedida:

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Una forma de comprvar la respuesta es encontrando la matriz Y(matriz de admitancias ) y luego invirtiéndola puesto que :

Inviertiendo Ybus se tiene:

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Por lo tanto la Zbus hallada es correcta .

En algunos casos, cuando la red es muy grande , es dificil comprobar de esta manera la veracidad del Zbus hallada debido al invertir Ybus resulta difícil.En estos casos se recurre a métodos sistemáticos por computador.Un metodo comúnmente utilizado para invertir matrices es el de la descomposición por el LDU el cual aprovecha la dispersidad de la matriz Ybus.b. Calculo de los voltajes en cada barra. Calculando la corriente inyectada en cada uno de

los nodos , se encuentra el siguiente vector de corrientes.

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c. Al adicionar el condensador , lógicamente es necesario calcular de nuevo Zbus.

Aplicando la reducción de Kronse encuentra la nueva Zbus:

Para comprobar lo hallado se encuentra la matriz Ybus+cond que difiere de Ybus en un solo término de la diagonal , y aprovechando que se encuentra la matriz de impedancia Z, la cual debe coincidir con Zbus+cond.

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Matricialmente se tiene que :

Como era de esperarse , los voltajes en cada nodo de la red aumenta y quedan de la siguiente manera:

d. Los MVAR entregados por el condensador se pueden calcular así :

Escogiendo para V el voltaje de la barra a la cual está conectado y sabiendo que el condensador posee una reactancia Xc=5 p.u., se llega a que Qc=+j0.21p.u.

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